e Structur As

Rubn A. Hidalgo


PRIMERA EDICIN 2009

Rubn A. HidalgoDepartamento de Matemtica, Universidad Tcnica Federico Santa Mara, Valparaso,Chile.E-mail : [email protected] : http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgo

Este libro fu parcialmente patrocinado por los proyectos Fondecyt 1070271 y UTFSM 12.09.02.


PRIMERA EDICIN 2009

Rubn A. Hidalgo

A Betty, Cata y Pucky

INTRODUCCIN

El propsito de este libro es presentar desde un punto de vista bsico (en lo posible) elconcepto de grupos y anillos que puedan ser utilizados por estudiantes de Licenciatura enMatemticas e Ingeniera Civil Matemtica de nuestro Departamento de Matemtica dela UTFSM.

Muchos de los fenmenos que encontramos en la naturaleza tienen ciertas simetrascon las cuales podemos sacar conclusiones que nos permitan entender tal situacin deuna manera simple. Muchos casos corresponden a problemas de la fsica y biologa. Porejemplo en fsica, conceptos como momentos angulares, tensores, etc., aparecen comopropiedades de la teora de grupos. En biologa podemos entender molculas y cristalespor sus grupos de simetras.

Muchos temas se han propuesto como ejercicios para que el estudiante pueda poneren prctica los conceptos ya estudiados. Por supuesto, esto podra tener la desventaja deproducir una idea de aislamiento de los temarios tratados, lo cual no es nuestro propsito.

Es claro que en esta primera version existen muchos errores tipogrficos y de temarios.Esperamos que durante el transcurso del curso los estudiantes puedan hacer las correc-ciones al escrito y as poder tener en el futuro unas notas mejoradas, las cuales deberncrecer con el tiempo.

Mis primeros agradecimientos van dirigidos a Betty, Cata y Pucky, a quienes quitetiempo de dedicacin para escribir esta monografa, por su comprensin durante esetiempo. Quiero tambin agradecer de manera especial a Sebastian Reyes, Vctor Gonzlezy a todos aquellos quienes leyeron parte de estas notas y me indicaron algunos errores.

Valparaso, Chile 2009 Rubn A. Hidalgo

TABLA DE MATERIAS

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Parte I. Teora Bsica de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Grupos de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Grupos por medio de permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Orden de un grupo de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Subgrupo de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1. Definicin de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Grupos Abelianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Generadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. El pequeo teorema de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. El teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Homomorfismos de Grupos y Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1. Homomorfismos de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Grupo de automorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Teorema de Caeley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4. Automorfismos interiores y grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5. Grupos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Algunos Subgrupos Normales y Abelianizacin de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7. Productos de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.1. Producto Directo de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2. Producto Dbil de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3. Producto Directo Interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

xii TABLA DE MATERIAS

7.4. Producto Semidirecto de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Producto Libre de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9. Producto Libre Amalgamado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10. HNN-Extensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11. Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12. Grupos Abelianos Finitamente Generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.1. Grupos Abelianos Libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.2. Grupos Abelianos Finitamente Generados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13. Grupos Como Cociente de Grupos Libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

14. Grupos de Permutaciones Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Parte II. Accin de Grupos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

15. Accin de Grupos sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116. Los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

17. Aplicaciones de los Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8517.1. Aplicacin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8517.2. Aplicacin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.3. Aplicacin 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8817.4. Aplicacin 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Parte III. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

18. Definicin y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9519. Homomorfismos de Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

20. Ideales y Anillos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

21. Ideales Primos y Maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

22. Cuerpo Cociente de un Dominio Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

23. Dominios Euclidianos, Principales y Factorizacin nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11923.1. Dominios Euclidianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11923.2. Dominios de Ideales Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12023.3. Dominios de Factorizacin nica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12123.4. Relaciones entre Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

24. Anillo de Polinomios y Factorizacin Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

25. Anillos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

TABLA DE MATERIAS xiii

Parte IV. Representaciones Lineales de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

26. Representaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

27. Algunos Ejemplos de Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13927.1. Representacin regular dada por la accin de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13927.2. Representacin suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13927.3. representacin producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14027.4. Representacin wedge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14027.5. Representacin Hom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14027.6. Representacin cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

28. Representaciones Irreducibles y Reducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

29. Homomorfismos de Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

30. Carcteres y Conteo de Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

PARTE I

TEORA BSICA DE GRUPOS

En la naturaleza aparecen en diversas formas la idea de simetra, como es el caso decristales, molculas, movimiento de electrones por un campo simtrico, etc. Todos esosfenmenos tienen un concepto comn el cual es la nocin de un grupo.

CAPTULO 1

GRUPOS DE PERMUTACIONES

En esta parte introduciremos el concepto de grupos desde un punto de vista clsico,dado por biyecciones de algn conjunto no vaco. En el prximo captulo daremos lanocin general de grupos.

1.1. Grupos por medio de permutaciones

Definicin 1.1.1. Consideremos primero algn conjunto no vacoX (por ejemplo, re-presentando una molcula, cristales, etc). Una permutacin de X ser por definicin unafuncin biyectiva f : X X . Denotemos por Perm(X) al conjunto de las permuta-ciones de X .

Observemos que todo conjunto X posee la permutacin trivial dada por la funcinidentidad IX . Tambin, dada una permutacin f : X X , siempre tenemos la permuta-cin inversa f1 : X X .

Ejercicio 1.1.2. Verificar que X es un conjunto finito s y slo si Perm(X) es finito.En el caso que X es un conjunto finito de cardinalidad n, calcular la cardinalidad dePerm(X).

Dadas dos permutaciones f, g Perm(X) del conjuntoX , tenemos que al componer-las obtenemos nuevamente una permutacin g f Perm(X). Esto como consecuenciadel hecho que la composicin de dos biyecciones es de nuevo una biyeccin. As, tenemosen Perm(X) una operacin (binaria) dada por la composicin, que satisface las siguientespropiedades :

(1) La operacin de composicin en Perm(X) es asociativa, es decir,f (g h) = (f g) h,

para todos f, g, h Perm(X).

4 CAPTULO 1. GRUPOS DE PERMUTACIONES

(2) La funcin identidad IX es un elemento neutro para la composicin, es decir,f IX = f = IX f

para todo f Perm(X).(3) Toda permutacin f Perm(X) tiene un elemento inverso f1 Perm(X).

Definicin 1.1.3. Decimos que el par (Perm(X), ) es el grupo de permutaciones delconjuntoX .

Desde ahora en adelante usaremos indistintamente la notacin Perm(X) para denotartanto al conjunto de permutaciones de X como al grupo de permutaciones de X ya queesto no produce confusin alguna.

1.2. Orden de un grupo de permutaciones

Definicin 1.2.1. La cardinalidad de Perm(X) es llamado el orden del grupo de per-mutaciones Perm(X).

Notacin : Sea k {0, 1, 2, 3, ...}. Si k > 0, entonces usaremos la notacin fkpara denotar la composicin de f consigo misma k veces. La notacin fk indicar quehacemos la composicin de f1 consigo misma k veces. Por ltimo, f0 indicar el neutroIX .

Ejemplo 1.2.2. ConsideremosX = {a, b, c} un conjunto de tres elementos. EntoncesPerm(X) = {IX , A,A2, B,A B,A2 B}, donde

A : (a, b, c) = (b, c, a) y B(a, b, c) = (b, a, c)

Es decir, Perm(X) es un grupo de permutaciones de orden 6.

Ejercicio 1.2.3. Sea X un conjunto de n > 0 elementos. Determinar los elementosde Perm(X). Verificar que el orden de Perm(X) es n!.

1.3. Subgrupo de permutaciones

Hay veces en que no estaremos interesados en todas las permutaciones de un conjunto,pero slo de algunas de ellas, por ejemplo, de aquellas que preservan cierta propiedad.

Definicin 1.3.1. Supongamos que tenemos un conjunto X 6= y un subconjuntoG Perm(X) de algunas de las permutaciones de X . Si :

(1) Para todos. El conjuntoG consiste f, g G vale que f g G ;

1.3. SUBGRUPO DE PERMUTACIONES 5

(2) Para todo f G vale que f1 G,entonces diremos que G es un subgrupo de permutaciones de X y esto lo denotaremoscon el smbolo G < Perm(X). La cardinalidad de G es llamado el orden del subgrupode permutacionesG.

Observacin 1.3.2. Observar que las condiciones (1) y (2) obligan a tener IX G yque G satisface las mismas propiedades antes verificadas para Perm(X).

Ejercicio 1.3.3. Calcular todos los subgrupos del grupo Perm(X) del ejemplo 1.2.2.

Ejemplo 1.3.4. Sea X un conjunto no vaco y p X un punto que hemos fijamos.Consideremos el conjuntoG formado por las permutaciones deX que tienen la propiedadde dejar al punto p fijo. Entonces claramente valen las dos propiedades anteriores y vemosque G es un subgrupo de permutaciones de X . Por ejemplo, en el caso X = {a, b, c} yp = a, entonces G = {IX , A B}.

Ejemplo 1.3.5. Generalicemos un poco ms el ejemplo anterior. Sea X un conjuntono vaco y A X un subconjunto que hemos fijamos. Consideremos el conjunto Gformado por las permutaciones de X que tienen la propiedad de dejar invariante al sub-conjunto A, es decir, para cada g G y cada a A vale que g(a) A. EntoncesG es un subgrupo de permutaciones de X . Observemos que cada g G, al restrin-girla a A, produce una permutacin (g) de A. Luego tenemos inducida una funcin : G Perm(A), definida por tal restriccin. Puede ocurrir que tengamos g1, g2 Gtales que g1 6= g2 pero que sus restricciones coincidan en A ; luego, no es necesaria-mente una funcin inyectiva. Por otro lado, cada permutacin h Perm(A) puede serextendida a una permutacin (h) Perm(X) por extensin como la funcin identidaden X A. Tenemos entonces una funcin, ahora inyectiva, : Perm(A) Perm(X).Observemos que (Perm(A)) es un subgrupo de permutaciones de X (Verificar).

Ejemplo 1.3.6. Si X = V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , entonces elgrupo Perm(V ) contiene como subgrupo a

GL(V ) = {L : V V : L es un isomorfismo de V }es decir, los isomorfismos lineales de V es un subgrupo de permutaciones de V (las per-mutaciones que preservan la estructura de espacio vectorial).

Por otro lado, si Q V , entoncesG = {L GL(V ) : L(Q) = Q},

resulta tambin ser un subgrupo de Perm(V ).

6 CAPTULO 1. GRUPOS DE PERMUTACIONES

Tenemos las contenciones

G GL(V ) Perm(V )Supongamos por ejemplo que Q es alguna figura geomtrica dentro de V , que podra

estar representando una molcula, una coleccin de electrones o un cristal. Entonces Gestara formado por aquellos isomorfismos que preservan tal configuracin. Veamos estode una manera un poco ms concreta. Supongamos V = R2, K = R y Q un polgonoregular de n 3 lados con centro en el orgen (0, 0) y uno de sus vrtices localizado en(1, 0). Entonces todo elemento de G debe obligatoriamente ser una rotacin (de determi-nante positivo o negativo). Ms an, si R es la rotacin positiva en ngulo pi/n, S es lareflexin S(x, y) = (x,y) y T = R S R1, entonces se puede verificar que todoelemento de G se obtiene con todas las posibles composiciones entre T y S y que estetiene orden 2n (mirar la figura de la tapa para n = 6).

Ahora, supongamos que en el espacio vectorial real V tenemos un producto interiorEuclidiano , . Por ejemplo, en Rn podemos usar el producto punto

(x1, ..., xn), (y1, ..., yn) = x1y1 + x2y2 + + xnynDenotemos por O, al conjunto de todas los isomorfismos L GL(V ) tales que

preservan tal producto, es decir,

L(x), L(y) = x, y, para todos x, y VSi V es de dimensin finita, digamos n, entonces podemos considerar una base =

{v1, ..., vn} de V y formar la matriz simtrica A GL(n,R) cuyo coeficiente aij ==< vj , vi >. Entonces escribiendo x = x1v1+ +xnvn, y = y1v1+ +ynvn,vale que

< x, y >= (x1 xn)A t(y1 yn)De esta manera si M M(n,R) es la matriz que representa a la transformacin lineal

L : V V en la base , entonces tenemos que L O, s y slo siMA tM = A

Llamamos a O, el grupo de isometras del espacio Euclidiano (V, , ). Se tiene queO, es un subgrupo de permutaciones de Perm(V ). Este tipo de permutaciones (llamadosisometras de (V, , )) son los que interesan para el estudio de algunos fenmenos de lanaturaleza.

Ejercicio 1.3.7. Verificar y completar los detalles del ejercicio anterior.

Ejercicio 1.3.8. Para cada entero n 3 considere el polgono regular P de n ladoscentrado en el orgen en R2. Use el producto punto usual

(a, b), (c, d) = ac+ bdy determine las isometras de P .

CAPTULO 2

GRUPOS

La pregunta natural es si existe en el fondo alguna diferencia entre un grupo de si-metras Perm(X) y alguno de sus subgrupos. La verdad es que, excepto por la propiedadque uno es subconjunto del otro, no hay diferencia conceptual entre ellos. En este captuloveremos la definicin general de grupos, el cual responde a la interrogante anterior.

2.1. Definicin de grupos

Definicin 2.1.1. Un conjunto G 6= junto a una funcin : GG G

llamada una operacin binaria en G es llamado un grupo si valen las siguientes propie-dades :

(1) La operacin binaria es asociativa, es decir,g1 (g2 g3) = (g1 g2) g3,

para todos g1, g2, g3 G.(2) Existe un elemento neutro para la operacin binaria , denotado por IG, que satis-

face :g IG = g = IG g

para todo g G.(3) Todo elemento g G tiene un elemento inverso respecto a la operacin binaria ,

es decir que existe un elemento g1 G tal que g g1 = IG = g1 g.

Ejercicio 2.1.2. Verificar que el elemento neutro y los inversos son nicos en ungrupo.

8 CAPTULO 2. GRUPOS

Definicin 2.1.3. El orden de un grupo (G, ), denotado por |G|, es definido comola cardinalidad de conjunto G. De la misma manera, por cada elemento g G {IG}llamaremos el orden de g, denotado por o(g), al entero positivo k ms pequeo tal quegk = IG en caso de existir, o o(g) = en caso contrario. Diremos que el orden delneutro es 1.

Ejercicio 2.1.4. Ver que todo grupo de permutaciones es un grupo con la operacinde composicin.

Ejercicio 2.1.5. Sea (G, ) un grupo y dos elementos x, y G de ordenes n > 1 ym > 1 respectivamente. Supongamos que x y = y x. Verificar que el orden de x yes el mnimo comn mltiplo M.C.M.(n,m) entre n y m.

Ejercicio 2.1.6. Supongamos que (G, ) es un grupo finito donde la ecuacin x2 =IG tiene como nica solucin a x = IG. Calcular el valor en G del producto de todos loselementos de G.

Ejemplo 2.1.7. Para analizar conjuntos finitos muy pequeos con alguna operacinbinaria dada, uno puede utilizar tablas de multiplicacin para analizar si estamos en pre-sencia de un grupo on no. Por ejemplo, consideremos el conjunto G = {e, a, b, c, d, f} ydefinamos la operacin binaria dada por la siguiente tabla :

| e a b c d f e | e a b c d fa | a b e f c db | b e a d f cc | c d f e a bd | d f c b e af | f c d a b e

Lo que esta tabla nos dice, por ejemplo, que el coeficiente (2, 3), es decir, e es igual aa b.

Ejercicio 2.1.8. Verificar que el grupo del Ejemplo 2.1.7 tiene orden 6.

2.3. SUBGRUPOS 9

2.2. Grupos Abelianos

Definicin 2.2.1. Un grupo (G, ) es llamado un un grupo Abeliano si se satisface lasiguiente propiedad de commutatividad

(*) para todo par de elementos x, y G vale que x y = y x.

Ejemplo 2.2.2. Es claro que no todo grupo puede ser Abeliano. Un ejemplo tpicoes el grupo Perm(X) cuando la cardinalidad de X es al menos 3. Otro ejemplo es elsiguiente. SeaGL(n,Z) el conjunto de las matrices cuadradas de tamao nn invertiblescon coeficientes enteros (las inversas con coeficientes enteros tambin). Usando como laoperacin binaria el producto usual de matrices, tenemos que para n 2 este da un grupono Abeliano.

Ejercicio 2.2.3. Verificar que el Ejemplo 2.1.7 define un grupo que no es Abeliano.

Ejemplo 2.2.4. Supongamos que tenemos un grupo (G, ) con la propiedad que todossus elementos diferentes del neutro son de orden 2. Si x, y G, entonces x y x1 y1 = x y x y = (x y)2 = IG, es decir, G es un grupo Abeliano.

2.3. Subgrupos

Definicin 2.3.1. Si (G, ) es un grupo yH G satisface ser un grupo con la mismaoperacin , entonces H es llamado un subgrupo de G, denotado esto por H < G.

Ejercicio 2.3.2. Obtener todos los subgrupos del grupo del Ejemplo 2.1.7.

Ejercicio 2.3.3. Sea (G, ) un grupo y H 6= un subconjunto de G. Verificar que Hes un subgrupo de G s y slo si :

(1) Para cada h H se tiene que h1 H ; y(2) Si h1, h2 G, entonces h1 h2 H .

Concluir que IH = IG y que todo inverso en H es inverso en G.

Es claro que todo grupo de permutaciones y todo subgrupo de permutaciones es ungrupo (donde = ) en la versin moderna. Antes de verificar que todo grupo, en lanotacin moderna, es un subgrupo de permutaciones de algn conjunto, necesitaremos unconcepto que permita comparar grupos, estos son los homomorfismos.

10 CAPTULO 2. GRUPOS

Ejercicio 2.3.4. Determinar que todos los subgrupos del grupo Abeliano Z son de laforma nZ = {nk : k Z}.

Ejemplo 2.3.5. Consideremos el grupo R con la operacin binaria de la suma usualde nmero reales. Recordemos del curso de anlisis 1 que R es un espacio normado,la norma siendo el valor absoluto. Un subgrupo H de R tiene dos posibilidades : serun subconjunto discreto (es decir, no tiene puntos de acumulacin) o no serlo. En casoque H no sea discreto entonces existe una sucesin xn H que converge hacia unnmero real p. Entonces yn = xn+1 xn H nos d una sucesin que converge hacia0 H . Escojamos cualquier intervalo abierto (a, b) R. Entonces podemos escoger ynde manera que z = |yn| < (b a). Es claro que z H y que kz = z+ + z H paratodo k Z. Como existe k0 Z tal que k0z (a, b), tenemos que si H no es discreto,entonces debe ser un subconjunto denso deR. Ahora, siH es discreto, entonces lo anteriortambin nos dice que w = mnimo{h H : h > 0} > 0. Ahora, consideremos wZ ={kw : k Z}. Se tiene que wZ es un subgrupo de R y tambin de H . Si wZ 6= H ,entonces es posible encontrar k Z y h H tales que (k 1)w < h < kw. Pero eneste caso, 0 < kw h < h. Como kw h H , obtenemos una contradiccin con laminimalidad de w. En consecuencia, el hemos obtenido lo siguiente :

Teorema 2.3.6. Todo subgrupo aditivo de R es o bin denso o de la forma wZ paracierto w > 0.

Ejemplo 2.3.7. Sea K un cuerpo (por ejemplo,Q, R, C) y denotemos por GL(n,K)al conjunto de las matrices de tamao n n, con coeficientes en K , que son invertibles.Entonces, con la operacin de jultiplicacin de matrices, obtenemos que GL(n,K) es ungrupo. Este grupo es un modelo del grupo GL(V ) donde V es un espacio vectorial sobreK y dimensin n. Definamos la relacin de equivalencia

A B s y slo si existe K {0} tal que B = ASea PGL(n,K) el conjunto de las clases de equivalencia y denotemos por

pi : GL(n,K) PGL(n,K)la proyeccin natural que asocia a cada matriz A GL(n,K) su clase de equivalenciapi(A) := [A] PGL(n,K). Si definimos la operacin

[A] [B] := [AB]la cual est bin definida, entonces obtenemos en PGL(n,K) una estructura de grupo,cual es llamado el grupo proyectivo lineal.

Observemos que el grupo especial lineal SL(n,K), formado de las matrices deGL(n,K) de determinante 1, satisface que pi(SL(n,K)) = PSL(n,K) es un subgrupode PGL(n,K).

2.3. SUBGRUPOS 11

Ejercicio 2.3.8. (1) Verificar que PSL(n,C) = PGL(n,C).(2) Es verdad lo anterior con C reemplazado por R ?

Ejemplo 2.3.9. Un grafo G es una coleccin disjunta de objetos llamados "vrtices"y objetos llamados "ejes" que conectan dos vrtices (puede ocurrir que los dos vrticesconectados por un eje sean el mismo). Un automorfismo del grafo G es una funcin bijec-tiva al nivel de vrtices y al nivel de ejes, es decir, este enva vrtices en vrtices y envaejes en ejes. Denotamos por Aut(G) al conjunto de los automorfismos del grafo G. Juntocon la operacin de composicin de funciones obtenemos una estructura de grupo paraAut(G).

Ejercicio 2.3.10. Completar los detalles del ejemplo anterior.

La operacin conjuntista dada por la interseccin nos permite construir subgrupos dealgn grupo a partir de otros.

Proposicin 2.3.11. Sea (G, ) un grupo y {Hj : j J} una coleccin cualquierade subgrupos de G. Entonces

jJ Hj es de nuevo un subgrupo de G.

Demonstracin. Supongamos que x, y jJ Hj . Entonces x, y Hj , para cadaj J . Como Hj es subgrupo, entonces x y, x1 Hj y, como consecuencia, x y, x1 jJ Hj .Ejercicio 2.3.12. Verificar que la unin de subgrupos no es necesariamente un sub-grupo. Dar un ejemplo.

Ejemplo 2.3.13. Un ejemplo de un grupo es dado por las rotaciones Euclidianas enR3. Consideremos dos ngulos de rotacin , R y consideremos las rotaciones en R3dadas por

A =

cos() sin() 0sin() cos() 00 0 1

B = cos() sin() 0sin() cos() 0

0 0 1

tenemos A B = B A, pero con las rotaciones

C =

cos() sin() 0sin() cos() 00 0 1

D = cos() 0 sin()0 1 0

sin() 0 cos()

tenemos C D 6= D C.


Ejemplo 2.3.14. Consideremos un grupo (G, ) de orden par. Entonces G {IG} esun conjunto de cardinalidad impar. Consideremos la funcin

: G G : x 7 x1

Observamos que es una bijeccin, es su propia inversa y que (IG) = IG. As,tenemos una bijeccin : G{IG} G{IG}. Como es su propia funcin inversa,tenemos que para cada x G {IG} vale que ({x, x1}) = {x, x1}. Esto nos obligaa tener al menos un elemento x G {IG} con (x) = x, es decir,G tiene al menos unelemento de orden 2.

Ejercicio 2.3.15. Sea (G, ) un grupo de orden par. Verificar que #{x G : o(x) =2} es impar (Ind. Use la funcin biyectiva dada por inversin, es decir, G G : x 7x1).

Ejercicio 2.3.16. Consideremos el grupo de las matrices cuadradas de tamao 2 2invertible reales, es decirG = GL(2,R) con la operacin binaria dada por multiplicacinusual de matrices. Sean

x =

[0 11 0

]y =

[0 1

1 1]

Verificar que o(x) = 4, o(y) = 3 y o(x y) =. Comparar al ejercicio anterior.

2.4. Generadores

Consideremos un grupo (G, ) y un subconjunto A G. Lo ms probable es que Ano sea un subgrupo de G. Podemos preguntarnos por el subgrupo de G ms pequeo quecontengaA.

Lo que podemos intentar es considerar la interseccin de todos los subgrupos deG quecontenga a A, es decir

A =

H

2.5. EL PEQUEO TEOREMA DE FERMAT 13

2.5. El pequeo teorema de Fermat

Definicin 2.5.1. Sea p un nmero primo y sea G = {1, 2, 3, ..., p 1}. Considere laoperacin binaria de la siguiente manera : si a, b G entonces a b denota el resto dedividir ab Z por p.

Ejercicio 2.5.2. (i) Verificar que (G, ) es un grupo conmutativo de orden p 1(Ind. Si a G entonces (a, p) = 1, es decir, a no es divisible por p. Ms adelanteveremos que existen enteros n,m tales que na+mp = 1). Al grupo as construidole denotaremos por (Z/pZ).

(ii) Verificar que si p no fuese un nmero primo, entonces la operacin definida nodetermina una estructura de grupo en G.

Ejemplo 2.5.3. Consideremos un nmero primo p y formemos el grupo (Z/pZ).Busquemos los elementos de orden 2, es decir a {1, 2, ..., p 1} tal que a a = 1, esdecir, a2 1 sea divisible por p. Como a2 1 = (a 1)(a+1) y (a 1) < p, debemostener que (a + 1) debe ser divisible por p, dando como nica solucin a = p 1. Enparticular, como todo otro elemento de {2, 3, ..., p 2} tiene inverso diferente, tenemosque 1 2 3 (p 1) = (p 1), es decir,

(p 1)! 1 mdulo p

Si n es un entero positivo tal que (n, p) = 1, es decir, p no divide n. Entonces n =ap + r cierto r G. Ms adelante veremos que si G es un grupo finito de orden Ny x G, entonces vale que xN = 1, donde 1 G denota al elemento neutro. Luegorp1 = 1 en (G, ), es decir, vale la igualdad rp1 = 1 + bp en Z para cierto entero b.Luego, en Z tenemos que :

np = nnp1 = n(ap+ r)p1 = nrp1 + pq, cierto entero q

es decir

np = n(1 + bp) + pq = n+ p(nb+ q)

De donde concluimos el siguiente

Teorema 2.5.4 ( Pequeo teorema de Fermat). Sean p un primo y n un entero cual-quiera, entonces

np n mdulo p


2.6. El teorema de Euler

Definicin 2.6.1. Para cada nmero entero positivo q consideramos la funcine(q) = #{k {1, 2, 3, ..., q 1} : (q, k) = 1}

llamada la funcin de Euler.

Ejercicio 2.6.2. Verificar que(i) si p es un nmero primo, t > 0 un entero, entonces

e(pt) = pt(1 1

p

)(ii) Si q, r son enteros positivos y (q, r) = 1, entonces e(qr) = e(q)e(r).(iii) Sea G = {{k {1, 2, 3, ..., q 1} : (q, k) = 1} y considere la operacin binaria dada por : si a, b G, entonces a b denota el resto al dividir ab por q. Verificarque (G, ) es un grupo abeliano de orden e(q) (Ind. Ms adelante veremos que si(k, q) = 1, entonces existen enteros n,m Z de manera que nq +mr = 1).

De (iii) del problema enterior, podemos concluir la siguiente generalizacin al pequeoteorema de Fermat.

Teorema 2.6.3 ( Teorema de Euler). Si q, n Z, q > 0, son tales que (q, n) = 1,entonces

ne(q) 1 mdulo q

2.7. Grupo fundamental

Consideremos un espacio topolgico (X,) y escojamos un punto p X . Sea A(p)el conjunto de todas las funciones continuas : [0, 1] X tal que (0) = (1) = p.Para 1, 2 A(p), definamos la operacin binaria dada por

1 2 ={1(2t), 0 t 122(2t 1), 12 t 1

Desgraciadamente, esta operacin binaria no es asociativa, es decir, en general tenemosque 1(23) 6= (12)3. Para arreglar esto, definimos una relacin de equivalencia sobreA(p) definida de la siguiente manera. Sean 1, 2 A(p), entonces decimos queellas son homotpicamente equivalentes relativo al punto p, es decir,

1 2si existe una funcin continua F : [0, 1] [0, 1] X tal que

(i) F (t, 0) = 1(t), para todo t [0, 1] ;(ii) F (t, 1) = 2, para todo t [0, 1] ;

2.7. GRUPO FUNDAMENTAL 15

(iii) F (0, s) = F (1, s) = p, para todo s [0, 1].Lo importante de esta relacin de equivalencia es que si tenemos 1, 2, 1, 2 A(p)

tales que 1 1 y 2 2, entonces1 2 1 2

Denotemos por [] la clase de equivalencia de A(p) y por pi1(X, p) al conjuntode las clases de equivalencia. Podemos hacer descender la operacin hasta pi1(X, p), esdecir,

[1] [2] := [1 2]Ahora la operacin es asociativa. Si ep A(p) es el camino constante ep(t) = p,

entonces se tiene que [ep] [] = [] = [] [ep], es decir, [ep] es un neutro para taloperacin.

Dado cualquier camino A(p), tenemos su camino de vuelta 1(t) := (1 t) A(p). En este caso, tenemos que [] [1] = [ep] = [1] [], es decir, [1] es inversode [] para esta operacin.

Hemos obtenido que (pi(X, p), ) define un grupo, llamado grupo fundamental de Xbasado en el punto p.

Ejercicio 2.7.1. Completar los detalles del ejemplo anterior.

CAPTULO 3

HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Y AUTOMORFISMOS

3.1. Homomorfismos de grupos

Definicin 3.1.1. Sean (G1, 1) y (G2, 2) dos grupos y : G1 G2 una funcin.Diremos que es un homomorfismos de grupos si vale que

(x 1 y) = (x) 2 (y), para todos x, y G1

Observacin 3.1.2. Sea : (G1, 1) (G2, 2) un homomorfismo de grupos. En-tonces para cada x G1 tenemos que

(x) = (x 1 IG1) = (x) 2 (IG1)luego, vale que

(IG1 ) = IG2

Definicin 3.1.3. Sean (G1, 1) y (G2, 2) dos grupos y : G1 G2 un homomor-fismo de grupos. Entonces

Ker() = 1(IG1) = {g G1 : (g) = IG2}es llamado el ncleo de y

Im() = {h G2 : existe g G1 tal que (g) = h}es llamado la mgen de .

Definicin 3.1.4. En caso que un homomorfismo de grupos sea inyectivo, diremosque es un monomorfismo. Si este es sobreyectivo, entonces hablamos de un epimorfismoo homomorfismo sobreyectivo. Un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo.En este caso diremos que los respectivos grupos son grupos isomorfos. Un isomorfismode un grupo en si mismo es llamado un automorfismo del grupo.

18 CAPTULO 3. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Y AUTOMORFISMOS

La idea es que grupos isomorfos son el mismo desde el punto de vista algebraico.

Ejercicio 3.1.5. (i) Verificar que las funciones : G Perm(A) y : Perm(A) Perm(X) del

ejemplo 1.3.5 son homomorfismos de grupos.(ii) Deducir del ejemplo 2.3.5 que todo subgrupo aditivo no denso de R es isomorfo aZ.

(iii) Sea (G, ) un grupo, X un conjunto y F : G X una funcin biyectiva. Veri-ficar que es posible dotar de una operacin binaria a X de manera que (X, ) esun grupo y F : (G, ) (X, ) es un isomorfismo de grupos. Ver adems que taloperacin binaria es nica.

(iv) Sean (G1, 1) y (G2, 2) dos grupos y : G1 G2 un homomorfismo degrupos. Verificar que :

(iv.1) Ker() es un subgrupo de G1.(iv.2) Im() es un subgrupo de G2.(iv.3) es monomorfismo s y slo si Ker() = {IG1}. En este caso ver que : G1 Im() es un isomorfismo.

(iv.4) es epimorfismo s y slo si Im() = G2.(iv.5) Si H es subgrupo de G1, entonces (H) es subgrupo de G2.(iv.6) Si U es subgrupo de G2, entonces 1(U) es un subgrupo de G1 conte-

niendo a Ker().(v) Verificar que la funcin logaritmoLog : (R,+) (R{0}, ) es un isomorfismo.

Determinar la inversa.(vi) Sea S1 = {z C : |z| = 1} junto a la operacin dada por la multiplicacin usual

de nmeros complejos, denotada por . Verificar que tenemos un grupo Abeliano.Para cada nmero real a R defina la funcin

Fa : (S1, ) (S1, ) : w = ei 7 wa = eia

Verificar que Fa es un homomorfismo de grupos. Calcular Ker(Fa).(vii) Sea (G, ) un grupo para el cual la funcin de inversin

J : (G, ) (G, ) : x 7 x1

es un homomorfismo de grupos. Verificar que (G, ) es un grupo Abeliano.

Ejercicio 3.1.6. Sea (X,) un espacio topolgico y sean p, q X en la misma com-ponente arcoconexa. Verificar que los grupos fundamentales pi1(X, p) y pi1(X, q) sonisomorfos. Qu pasa si p y q estn en componentes diferentes ?

Ejemplo 3.1.7. Sea (G, ) un grupo finito y supongamos que tenemos un automor-fismo involutivo sin puntos fijos no triviales, es decir, un automorfismo T : (G, ) (G, ) de (G, ) tal que T T = I y T (x) = x slo vale para x = IG. Veamos que

3.2. GRUPO DE AUTOMORFISMOS 19

esto obliga a tener (G, ) Abeliano. En efecto, primero consideremos el subconjunto deG siguiente

K = {x1 T (x) : x G} GLa igualdad x1 T (x) = y1 T (y) es equivalente a tener T (y x1) = y x1,la condicin sobre los puntos fijos de T asegura x = y. En particular, K = G. De estamanera, podemos escribir cada elemento de G como u = x1 T (x). Ahora, T (u) =T (x1 T (x)) = T (x)1 x = u1, es decir, T en la nueva representacin es dadapor inversin. Parte (vii) del Ejercicio 3.1.5 nos permite concluir que (G, ) es un grupoAbeliano.

Ejemplo 3.1.8. Dado un grupo (G, ) definamos la siguiente operacin binaria : GG G : (x, y) 7 x y := y x

Sean x, y, z G. Entonces :(i) (x y) z = Z (y x) = (z y) x = x (y z), es decir, es una operacin

asociativa.(ii) x IG = IG x = x = x IG = IG x, es decir, tenemos un elemento neutro,

el cual coincide con el elemento neutro para la operacin binaria .(iii) x x1 = x1 x = IG = x x1 = x1 x, es decir, cada elemento de G

tiene un inverso respecto a la operacin binaria el cual es el mismo como para laoperacin binaria .

Luego, (G, ) resulta ser un grupo. Si consideramos la funcin : (G, ) (G, ) : x 7 x1

entonces obtenemos que

(x y) = (x y)1 = y1 x1 = x1 y1 = (x) (y)es decir, es homomorfismo de grupos. Como adems es una bijeccin, tenemos quees un isomorfismo de grupos. Llamaremos al grupo (G, ) el grupo reflejado del grupo(G, ).

Ejercicio 3.1.9. Verificar que I : (G, ) (G, ) : x 7 x no es un homomorfismosi G no es un grupo Abeliano.

3.2. Grupo de automorfismos

Definicin 3.2.1. Dado un grupo (G, ), definimos el conjunto Aut(G), formado portodos los automorfismos de (G, ). Un isomorfismo : (G, ) (G, ) ser llamado unantiautomorfismo de (G, ). Denotaremos por Aut(G) al conjunto de los antiautomor-fismos de (G, ).


Ejercicio 3.2.2. Verificar que Aut(G) es un grupo con la regla de composicin y dehecho un subgrupo de Perm(G). Si (G, ) es un grupo Abeliano, entonces Aut(G) =Aut(G), es decir, todo antiautomorfismo es tambin un automorfismo. Qu pasa paragrupos no Abelianos ? Es Aut(G) un grupo bajo la regla de composicin ?

Definicin 3.2.3. Algunos automorfismos de (G, ) se pueden obtener por conjuga-cin, es decir, para cada g G la funcin

(g) : G G : k 7 g k g1

resulta ser un automorfismo de (G, ), llamados automorfismos interiores. Denotaremospor Int(G) al conjunto de los automorfismos interiores de G.

Ejercicio 3.2.4. Verificar que Int(G), con la operacin de composicin, es un sub-grupo de Aut(G) y luego un subgrupo de Perm(G).

Ejercicio 3.2.5. (1) SeaGn un grupo cclico de orden n. Verificar que existe un isomorfismo de grupos

entre Aut(Gn) y (Z/nZ).(2) Calcular Aut(Perm(X)) para un conjuntoX de cardinalidad 2, 3, 4.

3.3. Teorema de Caeley

A continuacin veremos el clsico teorema de Caeley, el cual nos dice que todo grupose puede ver como un subgrupo de permutaciones de algn conjunto.

Sea (G, ) un grupo y consideremos al conjuntoX = G. Entonces tenemos la funcin : G Perm(G)

definida por(g) : G G : k 7 g k

Este es un ejemplo de lo que definiremos ms adelante como la accin de un grupo.

Ejercicio 3.3.1. Verificar que : G Perm(G) es un monomorfismo.

Teorema 3.3.2 (Teorema de Caeley). Todo grupo (G, ) es isomorfo a un subgrupodel grupo Perm(G). De hecho, tal subgrupo est contenido en el subgrupo de Perm(G)formado por los automorfismo interiores de G.

3.3. TEOREMA DE CAELEY 21

Ejemplo 3.3.3. Consideremos dos conjuntoX e Y y supongamos que existe una fun-cin biyectiva f : X Y . Entonces tenemos que para cada h Perm(X) vale quef (h) = f h f1 Perm(Y ). La funcin f : Perm(X) Perm(Y ) es un iso-morfismo de grupos. Como todo conjunto X de cardinalidad n > 0 es biyectivo conel conjunto de los n primeros ndices {1, 2, ..., n}, podemos identificar (mdulo isomor-fismos) el grupo Perm(X) con el grupo Perm({1, 2, ..., n}) := Sn, llamado el gruposimtrico de n letras. Este grupo lo analizaremos en una seccin futura.

Ejercicio 3.3.4. Dar un ejemplo de un grupo de orden n para cada n {1, 2, 3, 4, ...}.

Ejemplo 3.3.5. Sea (G, ) un grupo finito de orden n. Por el teorema de Caeley, existeun monomorfismo : (G, ) Sn. Por otro lado, podemos construir un monomorfismo

: Sn GL(n,Z)

definido por

((1, 2, ..., n)) =

0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

. ... ...0 0 0 1 0

((1, 2)) =

0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 1 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

. ... ...0 0 0 1 00 0 0 0 1

Luego, componiendo los dos monomorfismos anteriores permite obtener un monomor-fismo

: (G, ) GL(n,Z)

Ejercicio 3.3.6. Describir el monomorfismo : (G, ) GL(n,Z) construidoen el Ejemplo anterior.


3.4. Automorfismos interiores y grupos Abelianos

Ahora veremos que los automorfismos interiores de un grupo sirven para medir quetan lejos esta un grupo de ser Abeliano.

Proposicin 3.4.1. Sea (G, ) un grupo. Entonces Int(G) = {I}, donde I : G Gdenota al automorfismo identidad s y slo si G es Abeliano.Demonstracin. Sea (G, ) un grupo Abeliano, g G y consideremos el automor-fismo interno g : G G definido por g. Entoncesg(h) = ghg1 = gg1h = h,es decir, g = I . Recprocamente, si tenemos que Int(G) = {I}, entonces para g, h Gvale que g(h) = h, lo cual es equivalente a tener gh = hg. Como esto lo hemos hechopara cualquier par de elementos de G, tenemos que G es Abeliano como queramos.

Ejemplo 3.4.2. (1) Consideremos el grupo aditivo Z. Como este grupo es Abeliano, tenemos queInt(Z) = {I}. Ahora, sea : Z Z un automorfismo. Sabemos que los ni-cos generadores de Z son 1 y 1. As, (1) {1, 1}. Si (1) = 1, entonces esclaro que (k) = k para cada k Z y luego obtenemos el automorfismo identidadI . Si (1) = 1, entonces (k) = k para cada k Z obteniendo = I . Deesta manera obtenemos que Aut(Z) es un grupo cclico de orden 2.

(2) Consideremos un grupo G cclico de orden n y sea x un generador de G. LuegoG = {IG, x, x2, x3, ..., xn1}.

Sea e(n) la funcin de Euler evaluada en n. Ms adelante veremos que el n-mero total de generadores de G es e(n). Al ser G Abeliano tenemos que Int(G)es trivial. Sea Aut(G). Entonces (x) puede tomar como valor cualquiera delos generadores de G. Adems, una vez indicado el valor de (x) tenemos deter-minado completamente el automorfismo ya que (xl) = (x)l por ser este unhomomorfismo de grupo. De esta manera obtenemos que |Aut(G)| = e(n).

CAPTULO 4

GRUPOS CCLICOS

Definicin 4.0.3. Aquellos grupos que se pueden generar con un slo elemento sonllamados grupos cclicos.

Tenemos dos tipos de casos ; grupos cclicos finitos y grupos cclicos infinitos. Obser-vemos que si (G, ) es un grupo cclico finito, con un generador x, entonces |G| = o(x).El primer resultado bsico es el siguiente.

Proposicin 4.0.4. Todo grupo cclico es Abeliano

Demonstracin. Sea x un generador del grupo cco G. Entonces todo elemento de Ges de la forma xa para algn a Z. Como

xa xb = xa+b = xb+a = xb xa

tenemos lo deseado

Ejemplo 4.0.5. (1) En ejercicio 1.2.2 tenemos que S y T son generadores de Perm(X). Ms an, este

no puede ser cclico. De hecho, el grupo Perm(X) no puede ser cclico cuando lacardinalidad de X es al menos 3.

(2) El grupo aditivo Z tiene como generador a 1 (tambin lo es 1 y no hay otros) y,en particular, es un grupo cclico.

(3) El conjunto aditivo R no puede ser generado con un nmero finito de generadores(la razn de esto lo tendremos que ver mucho ms adelante). Este no puede ser ungrupo cclico como consecuencia del siguiente.

Ejemplo 4.0.6 (Grupos Cclicos infinitos). Sea G un grupo un grupo cclico infinito,digamos generado por x.

24 CAPTULO 4. GRUPOS CCLICOS

(i) Sea H un subgrupo de G diferente de {I} y consideremos la menor potencia po-sitiva de x, digamos xm, contenida en H . Entonces el grupo cclico generado porxm est contenido en H . Si esta contencin fuese estricta, entonces debe existirxn H xm. Esto nos dice que existe s > 0 tal que (s 1)m < n < sm. Estonos segura que xsmn H contradiciendo la minimalidad de m. En particular,todo subgrupo de un grupo cclico infinito es tambin un grupo cclico infinito.

(ii) Si xn es otro generador de G, entonces debe existir un entero r Z de maneraque xnr = x, es decir, xnr1 = I . Como x tiene orden infinito, esto obliga a tenernr = 1, es decir, n 1. En consecuencia, si x genera un grupo cclico infinito,entonces x1 es el nico generador diferente de x.

(iii) La funcin : Z G, definida por (k) = xk , resulta ser un isomorfismo degrupos.

Ejemplo 4.0.7 (Grupos Cclicos finitos). Sea G un grupo cclico de orden n, diga-mos generado por x, luego o(x) = n.

(i) SeaH un subgrupo deG, diferente de {IG}. Si consideramos la menor potencia dex contenido en H , digamos xm, entonces H es un grupo cclico generado por xm.En efecto, si no fuese esto cierto, deberiamos tener alguna potencia xk H que noestn xm = {IG, xm, x2m, ..., xrm}. En tal caso, debemos tener que (s 1)m 0 un divisor de n, entonces existe un y nico subgrupo de Gde orden igual a d. En efecto, si tomamos y = xnd , entonces el grupo generado pory es de orden d. Esto no da la existencia. Para ver la unicidad, supongamos que Hes un subgrupo de G de orden d. Por (i), H = xm donde m lo podemos escogerdividiendo n y tal que nm = d. Luego m =

nd .

(iii) Seam {1, 2, 3, ..., n}, y = xm yH el subgrupo generado por y. Por el teoremade Lagrange, |H | = o(y) = t divide n. En particular, podemos escribir n = tq paracierto q {1, 2, 3, ..., n 1}. Consideremos K el subgrupo generado por z = xq ,el cual tiene orden t. Por (ii) tenemos que H = K . En particular, existe un entero atal que xam = xq . Esto ltimo dice que existen enteros a, b tales que am+ bn = q,es decir M.C.D.(m,n) = q (mximo comn divisor entre m y n).

(iv) De (iii) vemos que xm genera G s y slo si M.C.D.(m,n) = 1, es decir(m,n) = 1.

(v) La funcin : Z/nZ G, definida por ([k]) = xk, resulta ser un isomorfismode grupos.

Proposicin 4.0.8. Sea G un grupo cclico de orden n, digamos generado por x.(a) Para k {1, 2, ..., n 1} tenemos que xk genera G s y slo si (k, n) = 1, es

decir, k y n son relativamente primos. En particular, la cantidad de generadores deG es e(n).

CAPTULO 4. GRUPOS CCLICOS 25

(b) Todo subgrupo de G es cclico y est generado por una potencia xd, donde ddivide n, y tiene orden n/d. Adems hay exctamente un subgrupo de cada posibleorden.

(c) Sean k {1, 2, ..., n 1} y q = M.C.D.(k, n). Entonces xk y xq generan elmismo subgrupo.

Proposicin 4.0.9. Sean n,m enteros y q =M.C.D.(n,m). Entonces existen enterosa, b Z tales que

q = an+ bm

En particular, si (m,n) = 1, entonces existen enteros a, b Z tales que1 = an+ bm

Demonstracin. (1) Usando grupos cclicos finitos. Es claro lo anterior cuando n = m. Supongamos

entonces que n > m. Consideremos el grupo cclico de orden n generado por unelemento x. Ahora procedemos como en (iii) del ejemplo anterior.

(2) Usando grupos cclicos infinitos. Podemos verificar la proposicin de la siguientemanera. Consideremos el grupo cclico infinito Z y sea H su subgrupo generado porn y m. Sabemos que H debe ser cclico, digamos generado por r {0, 1, 2, ...}.Como n,m H , tenemos que r divide a ambos n y m y como consecuencia, rdivide a d = M.C.D.(n,m). Esto ltimo nos dice que el grupo cclico generadopor d est contenido enH . Pero, como d divide a ambos n ym, tenemos queH estcontenido en el grupo cclico generado por d. Como consecuencia,H = d.

Ejercicio 4.0.10. Generalizar lo anterior, es decir, verificar que dados enterosn1, ..., nm y d =M.C.D.(n1, ..., nm), entonces existen enteros r1, ..., rn tales que

d = r1n1 + + rmnm

CAPTULO 5

GRUPOS COCIENTES

Partamos con un grupo (G, ) y un subgrupo H de este. Podemos definir la relacinde equivalencia siguiente : Sean x, y G, diremos que ellos son equivalentes por H ala derecha si existe h H tal que y = x h. La clase de equivalencia derecha de x ladenotaremos por xH . De manera similar, diremos que ellos son equivalentes por H a laizquierda si existe h H tal que y = h x. La clase de equivalencia izquierda de x esdenotada por Hx.

Ejercicio 5.0.11. Verificar que las anteriores son relaciones de equivalenciaConsideremos la relacin de equivalencia derecha deH en G (lo que haremos es simi-

lar para la otra relacin de equivalencia). Denotemos por G/H al conjunto de las clasesde equivalencias derechas de los elementos de G y por piH : G G/H a la proyeccinnatural, es decir, piH(x) = xH . Observemos que H es la clase de equivalencia de IG.

Tomemos una clase cualquiera, digamos xH . Entonces la funcin f : H xH ,definida por f(h) = xh, es una funcin biyectiva. De esta manera, la cardinalidad de todaclase de equivalencia es igual al orden de H , es decir a |H |.

Definicin 5.0.12. Denotemos por [G : H ] la cardinalidad del conjunto de clasesG/H , tambin llamado el ndice de H en G.

Usando el hecho que dos clases de equivalencia coinciden o son disjuntos, obtenemosel siguiente :

Teorema 5.0.13 (Teorema de Lagrange). Si G tiene orden finito, entonces|G| = [G : H ]|H |

Ejercicio 5.0.14. Usar el teorema de Lagrange para obtener lo siguiente. Sea G ungrupo finito y sean subgruposK < H < G. Entonces [G : K] = [G : H ][H : K]

28 CAPTULO 5. GRUPOS COCIENTES

Si tomamos un elemento g G, donde (G, ) es algn grupo, entonces el subgrupogenerado por l g tienen orden igual a o(g). Una primera aplicacin de este resultado esel siguiente :

Corolario 5.0.15. Sea (G, ) un grupo de orden finito,H un subgrupo de G y g G.Entonces |H | y o(g) dividen al orden de G como consecuencia del teorema de Lagrange.

Lo anterior, por ejemplo, nos permite ver que un grupo de orden 6 no puede tener ele-mentos ni subgrupos de orden 4. Una segunda aplicacin es la siguiente caracterizacin.

Proposicin 5.0.16. Sea G un grupo finito de orden p, donde p es algn primo. En-tonces G es necesariamente un grupo cclico.

Demonstracin. Tomemos cualquier elemento x G {IG}. Por la proposicinanterior, o(x) divide al nmero primo p. Como o(x) > 1, necesariamente o(x) = p.Consideremos el subgrupo cclico de G dado por x. Como el orden de x coincide cono(x) = p, tenemos que G = x.

Ejemplo 5.0.17. Consideremos un grupo (G, ) de orden 4. Si G contiene un ele-mento de orden 4, digamos x, entoncesG = x, es decir,G es un grupo cclico de orden4. Supongamos ahora que G no contiene elementos de orden 4. Como el orden de cadaelemento no trivial (es decir diferente del neutro) debe dividir 4, debemos tener que todosellos tienen orden 2. Sea x G {IG}. Luego x est formado por el neutro IG y x.ComoG tiene orden 4, podemos escoger otro elemento y Gx. Tenemos que y tieneorden 2. Como (xy)2 = IG, x2 = y2 = IG, tenemos xy = yx. Consideremos el sub-grupoH deG generado por x e y. Tenemos queH = {IG, x, y, xy} (xy 6= x, y ya quex, y 6= IG). Pero |H | = 4, lo cual dice que G = H . Ahora, consideremosK = x ycon la operacin binaria definida componente a componente (en cada factor usamos laoperacin ). Este grupo es llamado el grupo de Klein. Consideremos la funcin

F : K G : (xa, yb) 7 xa yb

Tenemos que F es un isomorfismo de grupos. Adems, como K no es cclico, obtenemosque mdulo isomorfismos slo hay dos grupos.

Ejercicio 5.0.18. Verificar que la operacin binaria paraK dota de la estructura de ungrupo Abeliano a K, que F es en efecto un isomorfismo de grupos. Calcular y compararlas tablas de multiplicacin de estos dos tipos de grupos de orden 4.

Ejercicio 5.0.19. Verificar que dos grupos cclicos finitos del mismo orden sonsiempre isomorfos.

CAPTULO 5. GRUPOS COCIENTES 29

Ejercicio 5.0.20. Determinar, mdulo isomorfismos, los grupos de orden n {1, 2, ..., 7}.

Volvamos a mirar la proyeccin

piH : G G/H : x 7 xHUna pregunta natural es la posibilidad de dotar a G/H de una estructura de grupo que seacompatible con la de G por medio de H . Compatibilidad significa que haga piH de unhomomorfismo de grupos. En la mayora de los casos esto no ser posible, pero existenciertos subgrupos que permiten esto. Tratemos de forzar una operacin binaria enG/Hpara que haga de piH un homomorfismo. Primero, debemos tener

piH(x y) = piH(x)piH(y)lo que es equivalente a decir

(x y)H = x Hy Hpara todos x, y G. Luego tenemos forzada nuestra operacin binaria a ser definidacomo :

: G/H G/H G/H : (xH, yH) 7 (x y)HPara que esta funcin tenga sentido, debemos asegurarnos que lo anterior no dependa

de los representantes de las clases respectivas, es decir, si xH = xH , yH = yH ,entonces (x y)H = (x y)H . Pero x = x h1 e y = y h2 para ciertos h1, h2 H .Luego lo anterior es equivalente a tener

(x h1 y h2)H = (x y)Hes decir

(h1 y)H = yHo de manera equivalente

y1 h1 y HEn resumen, para que lo anterior tenga sentido, debemos tener la propiedad

zH = Hz, para todo z G

Definicin 5.0.21. Un subgrupoH de G con la propiedad quezH = Hz, para todo z G

es llamado un subgrupo normal de G.

Proposicin 5.0.22. Sea H un subgrupo normal de G. Entonces G/H resulta ser ungrupo con la operacin binaria con la cual piH : G G/H es un homomorfismo degrupos cuyo ncleo es exactamente H . Este grupo cociente es tambin llamado el grupode las clases laterales de H en G. Ms an, (i) si G es Abeliano, entonces G/H tambines Abeliano ; y (ii) si G es cclico, entonces G/H tambin es cclico.


Demonstracin. La asociatividad de es heredada por la de . Por otro lado,HH = H (H es la clase de IG), lo cual nos est forzando a tomar H como elementoneutro IG/H . Hasta ahora todo camina bin. Sea xH G/H y tratemos de buscar uncandidato para el inverso. Por la condicin de hacer piH de un homomorfismo, estamosobligados a tener

piH(x1) = piH(x)

1

lo cual es equivalente a pedir que

(xH)1 = x1H

Esta definicin funciona correctamente y tenemos que G/H resulta ser un grupo con laoperacin binaria con la cual piH : G G/H es un homomorfismo de grupos cuyoncleo es exactamenteH .

La definicin de la operacin asegura que si es commutativa, entonces tambin loes . Por otro lado, si G es cclico generado por x, entonces xH es generador de G/H .

Ejemplo 5.0.23. Sea H un subgrupo de ndice dos en un grupo G (con operacinbinaria de grupo dada por ). Entonces podemos escribir

G = H xH = H Hxpara cualquier x G H , donde las uniones son disjuntas. Tomemos g G. entonces(i) g H , en cuyo caso g h g1 H , para todo h H , o (ii) g = x h1 = h2 x,para ciertos h1, h2 H . Ahora, si h H , entonces g h g1 = x h1 h 13 x1 =xh4 x1, donde h4 H . Si tenemos xh4 x1 / H , entonces xh4 x1 xH ,lo cual dice que h4x1 H . Esto ltimo asegura que x H , una contradiccin. Hemosverificado el siguiente.

Proposicin 5.0.24. Todo subgrupo de ndice dos es necesariamente un subgruponormal.

Ejemplo 5.0.25. Consideremos el grupo, con la regla de composicin, de todos losdifeomorfismos de Rn. Sea H el subgrupo de los difeomorfismos con jacobiano positivo(difeomorfismos que preservan la orientacin). Como el jacobiano de una composicines el producto de los respectivos jacobianos, tenemos entonces que H es un subgrupo dendice dos y luego un subgrupo normal.

Ejemplo 5.0.26. (1) Si G es un grupo Abeliano, entonces todo subgrupo es necesariamente normal.


(2) Consideremos X = {1, 2, 3} y G = Perm(X). Tenemos que

A =

1 22 33 1

y B =

1 22 13 3

forman un conjunto de generadores de G (comparar con el ejemplo 1.2.2). Lossubgrupos de G son, aparte del trivial {IG} y del total G, los subgrupos de or-den dos B, A B, A2 B y el grupo de orden tres A, todos ellos ccli-cos. Como B A B = A3, tenemos que A es subgrupo normal de G. PeroAB A1 = A2 B ,AAB A1 = AB yAA2 B A1 = B, tenemosque ninguno de los tres subgrupos de orden dos es subgrupo normal. Observemostambin que [G : A] = 2, luego G/A es un grupo de orden dos (luego cclico).

Ejercicio 5.0.27. Considere el grupo multiplicativo de las matrices reales de tamaon n y determinante no cero (es decir, la invertibles). Calcular todos su subgrupos nor-males.

Ejemplo 5.0.28. Consideremos el grupo aditivo Z y sea n {2, 3, 4, 5, ...}. Entoncesse tiene que nZ = {nk : k Z} es un subgrupo de Z y, como este es Abeliano, estambin subgrupo normal. Se tiene que [Z : nZ] = n y, como consecuencia,

Z/nZ

es un grupo Abeliano de orden n, llamado el grupo de las clases residuales de orden n.Este es un grupo cclico de orden n (luego todo grupo cclico de orden n es isomorfoa Z/nZ. Como consecuencia, el grupo de Klein es isomorfo a Z/2Z Z/2Z, con laoperacin binaria componente a componente.

Ejemplo 5.0.29. Volvamos al grupo de automorfismos de un grupo G, Aut(G). Yahabamos definido el subgrupo deAut(G) dado por los automorfismos interiores, Int(G).Para cada g G, tenemos el automorfismo interior g : G G, definido por g(h) =g h g1. Sea T Aut(G). Entonces,

T g T1 = T (g)obteniendo que Int(G) es un subgrupo normal de Aut(G). El grupo cociente

Out(G) = Aut(G)/Int(G)

es llamado el grupo de automorfismos exteriores de G. As, si G es un grupo Abeliano,entonces Aut(G) = Out(G).

Ejercicio 5.0.30. Calcular Out(Perm(X)) para X como en el ejemplo 1.2.2.


Proposicin 5.0.31. Consideremos un homomorfismo de grupos : G K , donde(G, ) y (K, ) son ciertos grupos. Entonces tenemos que Ker() es un subgrupo normalde G. De hecho, si U es un subgrupo normal del grupo (G), entonces 1(U) es sub-grupo normal de G. Recprocamente, si H es un subgrupo normal de G, entonces (H)es un subgrupo normal de (G).

Demonstracin. (i) Sea h Ker() y g G. Entonces(g h g1) = (g) (h) (g)1 = IK

(ii) Sea U subgrupo normal de (G), entonces sabemos que 1(U) es un subgrupo deG.Por otro lado, si h 1(U) y g G, entonces(ghg1) = (g)(h)(g)1 U ,obteniendo la normalidad de 1(U). (iii) Sea H un subgrupo normal de G. Ya sabemosque (H) es un subgrupo de (G). Ahora, si tomamos t (G) y k (H), entoncesexisten g G y h H tales que (g) = t y (h) = k. Luego t k t1 = (g) (h) (g)1 = (g h g1) (H).

El resultado anterior nos permite considerar el grupo cociente G/Ker() para cadahomomorfismo de grupos : G K . Podemos entonces definir la nueva funcin :G/Ker() K como

(xKer()) = (x)

Proposicin 5.0.32 (Primer teorema del isomorfismo). La funcin : G/Ker() K est bin definida y es un monomorfismo.

Demonstracin. Para ver que est bin definida basta ver que si x G y h Ker()entonces (x h) = (x). Ahora,

(xKer()xKer()) = ((x y)Ker()) = (x y) == (x) (y) = (xKer()) (yKer())

Corolario 5.0.33. La funcin : G/Ker() (G) es un isomorfismo. En particu-lar ; si G tiene orden finito, entonces tenemos que |(G)| = [G : Ker()].

Ejemplo 5.0.34. Sean : G K un homomorfismo de grupos y H un subgrupo deG. Podemos restringir nuestro homomorfismo a H , |H : H K . Ahora, Ker(|H) =Ker() H . Luego tenemos un isomorfismo entre (H) y G/(H Ker()).

Como consecuencia de esto es que si H es adems un subgrupo normal deG, entoncesusando K = G/H , tenemos una biyeccin, dada por = piH , entre los subgrupos(normales) de G/H y los subgrupos (normales) de G que contienen a H .


Para nuestro siguiente ejemplo necesitaremos el subgrupo generado por la unin de dossubgrupos, lo cual pasamos a mirar inmediatamente. Supongamos que tenemos un grupo(G, ) y dos subgrupos de este, digamosH y K . Podemos entonces mirar el subgrupo deG generado por H y K , es decir, H K. Es claro que

HK = {h k : h H, k K} H KLuego, la igualdad H K = HK es cierta s y slo si HK es un subgrupo de G. Elsiguiente resultado nos permite ver cuando ocurre esta situacin.

Proposicin 5.0.35. HK es subgrupo de G s y slo si HK = KH .

Demonstracin. Supongamos que HK es un subgrupo de G. En tal caso considere-mos un elemento h k HK . Tenemos que su inverso (h k)1 = k1 h1 pertenecea KH . Como todo elemento de HK (por ser subgrupo) es inverso de alguno de sus otroselementos, tenemos la contencinHK KH . Por otro lado, dado kh KH , entoncesh1k1 HK . Al serHK subgrupo tenemos que este debe contener al inverso, es decirk h HK , obteniendo la contencinKH HK .

Veamos ahora el recproco y supongamos la igualdadHK = KH . Sean h1 k1, h2 k2 HK . Luego (h1 k1) (h2 k2) = h1 (k1 h2)k2. Pero la igualdadHK = KHasegura que k1 h2 = h3 k3, as, (h1 k1) (h2 k2) = (h1 h3) (k3 k2) HK .Tambin, si h k HK , entonces (h k)1 = k1 h1 KH = HK . Comoconsecuencia,HK es un subgrupo de G.

Observacin 5.0.36. Si tenemosH,K subgrupos de G y uno de ellos es un subgruponormal, entonces la condicin HK = KH vale trivialmente. Ms an, si ambos sonsubgrupos normales, entonces HK tambin lo es.

Ejercicio 5.0.37. Verificar la observacin anterior.

Suponiendo que G es un grupo de orden finito, tenemos que HK (independiente deser o no un subgrupo) tiene una cardinalidad finita. Para ver que valor tiene esta, conside-remos la funcin

F : H K HK : (h, k) 7 h kPor la definicin de HK , F es una funcin sobreyectiva. Tambin sabemos que |H

K| = |H ||K|. Por otro lado, si HK , entoncesF1() = {(h, k) H K : h k = }

Ahora, si (h1, k1), (h2, k2) F1(), entonces h1 k1 = h2 k2, lo cual asegura queh12 h1 = k2 k11 = x H K . Entonces h2 = h1 x1, k2 = x k1. En formarecproca, si x H K y (h, k) F1(), entonces F (h x1, x k) = . Como


consecuencia, #F1() = |H K|. De esta manera, como preimgenes de valoresdiferentes son disjuntos y la unin de todas la preimgenes es H K , obtenemos

#HK =|H ||K||H K|

Ejemplo 5.0.38 (Segundo Teorema del isomorfismo). Sean (G, ) un grupo, H,Ksubgrupos de G y supongamos que H es adems subgrupo normal de G. De esta maneranos aseguramos que HK es subgrupo de G. Como H es tambin subgrupo de HK ,tenemos que H es subgrupo normal de HK . Consideremos la proyeccin pi : HK HK/H : x 7 xH . Consideremos las restriccin a K , es decir, pi|K : K HK/H .Tenemos que Ker(pi|K) = K H . Veamos ahora que pi|K es sobreyectiva. En efecto, siz = (h k)H HK/H , entonces como HK = KH , tenemos que h k = k1 h1 yluego pi|K(k1) = z. En consecuencia, tenemos un isomorfismo

K

K H= HK

H

Ejemplo 5.0.39 (Tercer Teorema del isomorfismo). Consideremos un grupo (G, )y dos subgrupos normales de G, digamos K y H , tales que K < H . Consideremos lafuncin

: G/K G/H : gK 7 gHEntonces resulta ser un homomorfimos sobreyectivo. Por otro lado,

Ker() = {gK : g H} = H/Kes decir

G/H = (G/K)/(H/K)

Ejemplo 5.0.40. Consideremos un grupo finito (G, ) y H un subgrupo normal de Gtal que ([G : H ], |H |) = 1, es decir, [G : H ] y |H | son relativamente primos. Veamosque no existe otro subgrupo de G del mismo orden que H . En efecto, supongamos queexiste K subgrupo (no necesariamente normal) de G tal que |K| = |H |. Tomemos elhomomorfismo : K G/H : k 7 kH . Entonces, Ker() = K H y K/(K H) =(K). En particular, [K : K H ] divide [G : H ], por el teorema de Lagrange, es decir,

[G : H ] = [K : K H ]M = |K|Rpara ciertos enteros positivos M,R. Esto dice que |H | = |K| divide [G : H ], una contra-diccin a menos que K = H .

Ejercicio 5.0.41. (i) Sea (G, ) un grupo y sean H,K dos subgrupos de G. Suponga que [G : H ]


(ii) Sea S1 el grupo multiplicativo de los nmeros complejos de valor absoluto 1 conla operacin usual de producto. Consideremos el grupo aditivo (R,+) y su subgruponormal Z. Verificar que el siguiente es un isomorfismo de grupos

P : R/Z S1 : xZ e2xpii(iii) Sea (G, ) un grupo y sea H = x2 : x G. Verificar que H es subgrupo

normal de G y que el grupo cociente G/H es un grupo Abeliano.(iv) Sea (G, ) un grupo y sea n > 1 un entero positivo fijo. Supongamos que para

todo x, y G vale la igualdad (x y)n = xn yn. DefinaGn = x : o(x) = nGn = xn : x G

Verificar que ambos son grupos normales de G y que G/Gn = Gn (Ind. Utilizar elhomomorfismo : G Gn : x 7 xn).

CAPTULO 6

ALGUNOS SUBGRUPOS NORMALES Y ABELIANIZACIN DEGRUPOS

Dado un grupo (G, ), existe la posibilidad que este sea Abeliano, pero en general noes as. La condicin de ser Abeliano es equivalente a que la ecuacin

[x : y] = x y x1 y1 = IGsea siempre valida para cualquier x, y G.

Definicin 6.0.42. Cada expresin[x : y] = x y x1 y1

es llamada un conmutador de x e y. Denotamos por [G,G] al subgrupo de G generadopor todos los conmutadores.

Ejercicio 6.0.43. Sea (G, ) un grupo. Verificar que[G,G] = {x1 x2 xn x11 x12 x1n : xj G, n 2}

y concluir que [G,G] es un subgrupo normal de G.(Ind. (a b a1 b1) (c d c1 d1) =

a (b a1) b1 c (d c1) d1 a1 (a b1) b c1 (c d1) d)

Proposicin 6.0.44. La interseccin arbitraria de subgrupos normales de un grupo(G, ) es un subgrupo normal.

Demonstracin. Sean {Hj : j J} una coleccin de subgrupos normales de G. Yahabamos verificado que la interseccin de estos subgrupos es un subgrupo de G. Ahoraslo necesitamos verificar la normalidad. Sea g G y h H = jJ Hj . Entonces,h Hj , para cada j J . Como Hj es subgrupo normal, tenemos que g h g1 Hj ,para cada j J y, como consecuencia, g h g1 H .

38 CAPTULO 6. ALGUNOS SUBGRUPOS NORMALES Y ABELIANIZACIN DE GRUPOS

Observemos que si G es Abeliano, entonces [G,G] = {IG}. Recprocamente,[G,G] = {IG} asegura que [x : y] = IG siempre vale para cualquier x, y G,obteniendo que G es Abeliano. Es decir, tenemos que

Proposicin 6.0.45. Un grupo (G, ) es Abeliano s y slo si [G,G] = {IG}.

Luego, si (G, ) no es un grupo Abeliano, entonces [G,G] 6= {IG} nos d un subgruponormal no trivial de G. La normalidad de [G,G] nos permite mirar el grupo

Gabel = G/[G,G]

el cual es llamado la abelianizacin de G.

Proposicin 6.0.46. El grupo cociente Gabel es un grupo Abeliano.

Demonstracin. sean x[G,G], y[G,G] Gabel. Luego,[x[G,G] : y[G,G]] = x[G,G]y[G,G](x[G,G])1(y[G,G])1 =

= x[G,G]y[G,G]x1[G,G]y1[G,G] = (x y x1 y1)[G,G] == [G,G]

Definicin 6.0.47. Otro de los subgrupos de (G, ) que mide la cercana de G a serAbeliano es el siguiente :

Z(G) = {g G : [g, x] = IG para todo x G}llamado el centralizador deG. Tambin podemos hablar del centralizador de un elementog del grupo G que est definido por

Z(G; g) = {x G : g x = x g}

Ejercicio 6.0.48. Verificar que Z(G; g) es un subgrupo de G y que Z(G; g) = G s yslo si g Z(G).

Proposicin 6.0.49. Z(G) es siempre un subgrupo normal de G.

Demonstracin. Es claro que IG Z(G), luego Z(G) 6= . Sean x, y Z(G),entonces [x,w] = [w, x] = [y, w] = [w, y] = IG, vale para cada w G. Pero, paracada w G, tenemos que x [x1 : w] X1 = [w, x] = IG asegurando que [x1 :w] = IG y, como consecuencia, x1 Z(G). Tambin, para cada w G, tenemos que[x y, w] = [x,w] = IG y, como consecuencia, x y Z(G). Hemos verificado queZ(G) es un subgrupo de G.

CAPTULO 6. ALGUNOS SUBGRUPOS NORMALES Y ABELIANIZACIN DE GRUPOS 39

Sea g G, x Z(G). entonces [g x g1, y] = g x g1 y g x1 g1 y1.Pero x Z(G) dice que x conmuta con cada elemento deG, luego [g x g1, y] = IG,es decir, g x g1 Z(G), con lo cual obtenemos la normalidad de Z(G) en G.

Observemos que si G es Abeliano, entonces Z(G) = G. Recprocamente, si Z(G) =G, entonces [y, x] = IG es vlido para todo x, y G, es decir, G es Abeliano ; luegotenemos el siguiente.

Proposicin 6.0.50. Un grupo (G, ) es Abeliano s y slo siZ(G) = G.

Proposicin 6.0.51. Si (G, ) no es un grupo Abeliano, entonces G/Z(G) no puedeser un grupo cclico. En particular, [G : Z(G)] no puede ser un primo.

Demonstracin. Sea (G, ) un grupo que no es Abeliano, es decirG 6= Z(G). Supon-gamos por el contrario queG/Z(G) es un grupo cclico. Podemos escoger u GZ(G)tal que uZ(G) genera G/Z(G). Tomemos un elemento x G Z(G). Existe a {1, 2, ..., p 1} tal que xZ(G) = uaZ(G). Para cada y Z(G) tenemos [x : y] = IG.Para y G Z(G) tenemos que yZ(G) = ubZ(G), para cierto b {1, ..., p 1}. Estonos dice que podemos encontrar z, w Z(G) tales que x = ua z, y = ub w. Enparticular,

[x : y] = (ua z) (ub w) (ua z)1 (ub w)1 == ua z ub w z1 ua w1 ub = ua+bab = IG

Como consecuencia, x Z(G), una contradiccin.

Proposicin 6.0.52. Sea G un grupo finito y x1, x2 G elementos de orden 2 talesque x1 x2 tiene orden n. EntoncesZ(G;xj) tiene orden a lo ms 2|G|/n, para j = 1, 2.Demonstracin. Sea H el subgrupo de G generado por x1 y x2. Denotemos por Dnel grupo dihedral de orden 2n generado por a y b, con las relaciones

an = b2 = (ab)2 = 1

Entonces tenemos un homomorfismo sobreyectivo : Dn H , definido por : (b) = x1y (a) = x2 x1. Ahora, el ncleo de es un subgrupo normal de Dn. Pero los nicossubgrupo normales de Dn son los subgrupos triviales {1}, Dn y los subgrupos cclicosgenerados por una potencia no trivial de a. Los ltimos dos casos obligarn tener que elcociente Dn/Ker() = H es trivial el elemento a se proyecta a un elemento de ordenmenor a n, una contradiccin. Luego : Dn H es un isomorfismo. Ahora, se puedeverificar que Z(H ;xj) es isomorfo a Z/2Z si n es impar bin isomorfo a Z/2ZZ/2Zsi n es par. En cualquier caso, el orden de Z(H ;xj) es a lo ms 4.

Consideremos una descomposicin en clases laterales izquierda de G por H , es decir

G = H z1 H z2 H z3 H zn

40 CAPTULO 6. ALGUNOS SUBGRUPOS NORMALES Y ABELIANIZACIN DE GRUPOS

donde n = [G : H ] y z1 = IG. Tenemos que Z(G;xj) H = Z(H ;xj). Supongamosque tenemos dos elementos de Z(G;xj) en la misma H zl, digamos g1 = h1 zl, g2 =h2 zl Z(G;xj). Entonces h1 h12 = g1 g12 H Z(G;xj) = Z(H ;xj).Luego el orden de Z(G;xj) H zl es el mismo orden de Z(H ;xj). Como tenemos ladescomposicin disjuntaZ(G;xj) = (Z(G;xj) H) (Z(G;xj) H z2) (Z(G;xj) H zn),

tenemos de lo anterior que el orden de Z(G;xj) es igual a [G : H ] veces el orden deZ(H ;xj), es decir a lo ms 4|G|/|H | = 2|G|/n.

Ejemplo 6.0.53. Consideremos un grupo (G, ) y denotemos por Gtor el subgrupogenerado por todos los elementos de orden finito de G. Si h tiene orden finito y g G,entonces g h g1 tiene el mismo orden finito que h. Como los elementos de Gtor sonde la forma x1 x2 xn, donde xj G tienen orden finito, obtenemos que Gtores un subgrupo normal de G. Es claro que si G es de orden finito, entonces G = Gtor.Podemos tener grupos G de orden infinito con G = Gtor, por ejemplo, considere Gel grupo generado por las reflexiones de Mbius A(z) = z y B(z) = z + 1. Estegrupo contiene a la translacin B A(z) = z + 1 y luego G es infinito. Por otro lado,A,B Gtor asegura queG = Gtor. De manera ms general, siG puede ser generado porelementos de ordenes finito, entonces G = Gtor. Si G no contiene elementos de ordenfinito diferentes del neutro, entonces Gtor = {IG}. Un grupo que tiene la propiedad quesus elementos diferentes de la identidad no tienen orden finito, es decir,Gtor = {IG} sonllamados grupos sin torsin.

Dado un subgrupo H de un grupo dado (G, ), lo ms probable que ocurra es que Hno sea un subgrupo normal de G. Una de las cosas que podemos hacer es considerar elsubgrupo normal ms pequeo de G que contenga a H ,

Hel cual resulta ser la interseccin de todos los subgrupos normales de G que contienena H . Tal coleccin sobre la que hacemos la interseccin no es vaca ya que G pertenecetrivialmente a esta. Llamamos a tal subgrupo normal la cpsula normal del subgrupo H .El siguiente es claro por la definicin.

Proposicin 6.0.54. H = H s y slo si H es subgrupo normal de G.

Otra cosa que podemos hacer es considerar el normalizador de H , definido por

NG(H) = {g G : g H g1 = H}Puede ocurrir que NG(H) no sea un subgrupo normal de G. Es claro que cada h

H debe pertenecer a NG(H), ya que si t H , entonces h1 t h H y luegoh (h1 t h) h1 = t. De esta manera, H es un subgrupo de NG(H). Como cadaelemento de NG(H) tiene la propiedad de conjugarH en si mismo, obtenemos que :

CAPTULO 6. ALGUNOS SUBGRUPOS NORMALES Y ABELIANIZACIN DE GRUPOS 41

Proposicin 6.0.55. H es subgrupo normal de NG(H).

CAPTULO 7

PRODUCTOS DE GRUPOS

7.1. Producto Directo de Grupos

Una de las maneras de producir nuevos grupos a partir de algunos dados es por mediodel producto directo. Sea {(Gj , j) : j J} una coleccin no vaca de grupos (finita oinfinita). Formemos el producto cartesiano

jJ

Gj = {f : J jJ

Gj : f(j) Gj}

La operacin binaria es dada por

f g(j) = fj j gj

Proposicin 7.1.1. La operacin binaria as definida define enjJ Gj una estruc-tura de grupo, llamado el producto directo de los grupos Gj , j J .Demonstracin. La asociatividad es equivalente a la asociatividad coordenada a co-ordenada. El neutro es dado por I , donde I(j) = IGj . El inverso de cada f

jJ Gj

es dado por f1(j) = f1j .

Observacin 7.1.2. Cuando cada grupo Gj es un grupo Abeliano, usualmente habla-mos de la en vez del producto directo y se acostumbra a denotarlo por

jG

Gj

Ejercicio 7.1.3. Supongamos queGk, k = 1, 2, 3, ..., n son n grupos finitos. Verificarque |nj=1Gj | =nj=1 |Gj |.

Por cada k J tenemos de manera natural la inclusinik : Gk

jJ

Gj

44 CAPTULO 7. PRODUCTOS DE GRUPOS

definido por

ik(x) : J jJ

Gj : j {IGj j 6= kx j = k

Ejercicio 7.1.4. Verificar que ik : Gk jJ Gj es un monomorfismo, con lo cual

podemos mirar cada Gk como subgrupo de su producto directo.

Proposicin 7.1.5. Consideremos dos grupos cclicos (H, ) y (K, ) de ordenes py q, respectivamente. Supongamos que p y q son relativamente primos, es decir el nicofactor positivo entero comn es 1. Entonces el producto directoHK es un grupo cclicode orden pq.

Demonstracin. Consideremos dos nmeros enteros positivos p, q que sean relativa-mente primos, es decir no hay factores positivos comunes diferentes de 1. Sea (Z, ) ungrupo cclico de orden pq. Sean x, y y w generadores de H , K y Z , respectivamente.Consideremos la funcin

: H K Z : (xa, yb) 7 waq+bp

Este es claramente un homomorfismo de grupos. Por otro lado, si (xa, yb) = IZ , en-tonces aq + bp 0 mdulo pq. Luego, p/aq y q/bp y, como p y q son relativamenteprimos, tenemos que p/a y q/b, es decir, xa = IH y tambin yb = IK . De esta maneraobtenemos que es un monomorfismo. Como la cardinalidad deHK y Z es la misma,pq, tenemos gratis la sobreyectividad y luego el isomorfismo deseado.

7.2. Producto Dbil de Grupos

Al igual que en la seccin anterior, consideremos una coleccin de grupos {(Gj , j) :j J} y consideremos su producto directojJ Gj . El subconjunto

debiljJ

Gj

dejJ Gj definido por aquellas funciones f : J

jJ Gj tales que f(j) Gj , para

cada j J y f(j) = IGj con la posible excepcin de un nmero finito de valores de j,resulta ser un subgrupo, llamado el producto dbil de los grupos Gj , j J . Observemosque si #J

7.4. PRODUCTO SEMIDIRECTO DE GRUPOS 45

Ejemplo 7.2.2. Los productos dbiles de grupos Abelianos tienen cierta propiedaduniversal que pasamos a ver. Supongamos que tenemos una coleccin de grupos Abelia-nos {(Gj , j) : j J} y consideremos su producto dbil G =

jJ Gj . Es claro que G

(de hecho el producto directo) es un grupo Abeliano. Supongamos que tenemos un grupoAbelianoK y una coleccin de homomorfismos j : Gj A, para cada j J . Por cadaf debiljJ Gj podemos considerar el producto h(f) = jG j(f(j)) (el producto enla operacin binaria de K), el cual tiene sentido ya que, excepto por un nmero finito dedices j J , vale que j(f(j)) = IK , y los grupos involucrados al ser Abelianos no im-porta el orden para el producto. Se puede verificar que h : G K es un homomorfismoque satisface h ij = j, para todo j J .

Ejercicio 7.2.3. Completar los detalles del ejemplo anterior y deducir que h : G Kes nico con la propiedad de ser homomorfismo y h ij = j, para todo j J .

7.3. Producto Directo Interno

Supongamos que tenemos un grupo (G, ) y una coleccin de subgrupos {Hj :j = 1, 2, ..., n}. Diremos que G es producto directo interno de los subgrupos Hj ,j = 1, 2, ..., n, si

:

j{1,2,...,n}

Hj G : f 7nj=1

f(j) = f(1) f(2) f(j)

resulta ser un isomorfismo. De esta definicin es claro que cada elemento g G se puedeescribir de manera nica como g = h1 h2 hn, donde hj Hj .

7.4. Producto Semidirecto de Grupos

Consideremos dos grupos (H, ), (K, ) y un homomorfismo de grupos : K Aut(H). El conjuntoK H junto con la operacin binaria

(k1, h1) (k2, h2) = (k1 k2, h1 (k1)(h2))resulta ser un grupo llamado el producto semidirecto de los gruposK y H el cual denota-mos por G = K H . En este caso, el elemento neutro es dado por (1K , 1H), donde 1Ky 1H denotan los elementos neutros de K y H , respectivamente. El elemento inverso de(k, h) es dado por (k1, (k1)(h1)). Observemos tambin que {1K}H yK{1H}resultan ser subgrupos de K H y se tiene que las inclusiones

jH : H {1K} H : h 7 (1K , h)jK : K K {1H} : k 7 (k, 1H)

resultan ser isomorfismos. Ms an, el subgrupo jH(H) = {1K} H resulta ser unsubgrupo normal de K H .

Ejercicio 7.4.1. Verificar que

46 CAPTULO 7. PRODUCTOS DE GRUPOS

(i) la operacin binaria define una estructura de grupo ;

(ii) las funciones jH y jK son efectivamente isomorfismos ;

(iii) jH(H) es subgrupo normal de K H .

Ejemplo 7.4.2. Supongamos que tenemos un grupo (G, ) que contenga dos subgru-pos H y K , donde H es normal en G, H K = {1G} y G = HK . Consideremos elhomomorfismo de grupos : K Aut(H) donde (k)(h) = k hk1 y formemos elproducto semidirecto K H . Tenemos que : K H G : (k, h) k h resulta serun isomorfismo de grupos. Diremos que G es el producto semidirecto interno de K y G.

Ejercicio 7.4.3. (1) Completar los detalles del ejemplo anterior.(2) SeanG un grupo abeliano,H yK subgrupos deG tales queG = HK yHK ={1G}. Verificar que G = H K .

(3) Sea G un grupo, H,K < G tales que H G y HK = G. Verificar que :K H G : (k, h) 7 kh define un isomorfismo.

(4) Sean H,G,K grupos, i : H G, pi : G K , : K G homomorfismos degrupos tales que :

(i) i es inyectivo ;(ii) pi es sobreyectivo ;(iii) i(H) = Ker(pi) ;(iv) pi = IK .Las condiciones (i), (ii) y (iii) dicen que la sucesin corta siguiente es exacta.

1 H i G pi K 1Verificar que : K H G : (k, h) 7 (k)h define un isomorfismo.

CAPTULO 8

PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS

Ahora procederemos a generar un nuevo grupo a partir de unos ya dados, pero demanera de no producir nuevas relaciones entre los elementos. En el caso de productos di-rectos o dbiles, por ejemplo, cuando los grupos involucrados son Abelianos, el resultadonos da un grupo Abeliano, es decir hay ms relaciones que las originales (slo valan encada grupo).

Nuevamente, consideremos una coleccin no vaca de grupos {(Gj , j) : j J}.Definimos una palabra reducida (en estos grupos) de longitud n > 0 a una sucesin finita(x1, ..., xn), donde cada xj pertenece a alguno de nuestros grupos y tienen las siguientesdos propiedades :

(i) ningn xj es el neutro del grupo a cual pertenece ; y(ii) dos trminos consecutivos no pertenecen al mismo grupo.Denotaremos por 1 la palabra de longitud 0 (usualmente llamada la palabra vaca). Sea

G la coleccin de tales palabras. Ahora procederemos a construir una operacin binariasobre este conjunto.

1 1 := 11 (x1, ..., xn) := (x1, ..., xn)(x1, ..., xn) 1 := (x1, ..., xn)

Ahora supongamos que tenemos dos palabras de longitudes positivas, digamos(x1, ..., xn) y (y1, ..., ym). Queremos definir

(x1, ..., xn) (y1, ..., ym)

Caso 1 : Si xn y y1 no pertenecen al mismo grupo, entonces definimos(x1, ..., xn) (y1, ..., ym) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym)

Caso 2 : Si xn y y1 pertenecen al mismo grupo Gj , pero xn j y1 6= IGj , entoncesdefinimos

(x1, ..., xn) (y1, ..., ym) = (x1, ..., xn1, xn j y1, y2..., ym)

48 CAPTULO 8. PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS

Caso 3 : Si xn y y1 pertenecen al mismo grupo Gj , xn j y1 = IGj , entonces exigimos,siguiendo las definiciones anteriores,

(x1, ..., xn) (y1, ..., ym) = (x1, ..., xn1) (y2, ..., ym)

La operacin binaria que hemos definido recibe tambin el nombre de yuxtaposicin.Observemos que la,operacin binaria es asociativa por definicin, 1 es neutro y cada pa-labra reducida (x1, ..., xn) tiene como inversa (respecto a esta operacin) a la palabrareducida (x1n , ..., x11 ).

Definicin 8.0.4. Al grupo obtenido de esta manera es llamado el producto libre delos grupos {(Gj , j) : j J}.

Notacin. Desde ahora en adelante identificaremos cada palabra reducida (x1, ..., xn), delongitud n > 0, con x1x2 xn (es decir, no haremos uso del smbolo ni de losparntesis.

Observacin 8.0.5. Cuando tenemos un nmero finito de grupos,G1,...,Gn, entoncesse estila usar la notacin

G1 G2 Gnpara denotar su producto libre. Observemos que la definicin del producto libre no de-pende de ningn orden en los grupos factores, es decir, si Sn, entonces

G1 G2 Gn = G(1) G(2) G(n)De manera anloga, para el producto libre arbitrario denotamos este por

jJ Gj .

Ejemplo 8.0.6. Consideremos G1 = {I1, x} (es decir, un grupo de orden 2, luegox2 = I1) y G2 = {I2, y, y2} (es decir, un grupo de orden 3, luego y3 = I2). Entoncesuna lista de algunas de las palabras reducidas de G1 G2 son las siguientes :

Longitud 0 : 1Longitud 1 : x, y, y2 = y1Longitud 2 : xy, xy2, yx, y2x

Una propiedad universal del producto libre de grupos es el siguiente. Consideremosuna coleccin de grupos {(Gj , j) : j J} y su producto libre de grupos

jJ Gj .

Entonces, por cada k J tenemos naturalmente un monomorfismo ik : Gk jJ Gj

(a cada x Gk {IGk} le asigna la palabra x de longitud 1, y a IGk le asigna 1). Sea(K, ) un grupo y supongamos que tenemos homomorfismos j : Gj K , para cadaj J . Definamos la funcin h : jJ Gj K de la siguiente manera. h(1) = IK ,y si x1x2 xn es una palabra reducida de longitud n > 0, donde xr Gjr , entoncesh(x1x2 xn) = j1(x1) j2(x2) jn(xn). Resulta que h es un homomorfismoque satisface que h ij = j , para cada j J .

CAPTULO 8. PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS 49

Ejercicio 8.0.7. Verificar que h es en efecto un homomorfismo de grupos y que estnicamente definido por la condicin h ij = j , para cada j J .

Ejemplo 8.0.8. Consideremos un espacio topolgico (X, ) arco-conexo y local-mente arco-conexo. Sean A, B abiertos arconexos tales que A B = X y A B seaarco-conexo y simplemente conexo. Entonces, si p A B, tenemos que

pi1(X, p) = pi1(A, p) 1(B, p)

CAPTULO 9

PRODUCTO LIBRE AMALGAMADO

Consideremos dos grupos (G1, 1), (G2, 2) y subgrupos Hj < Gj , para j = 1, 2.Supongamos que tenemos un isomorfimo de grupos

: H1 H2En el producto libre G1 G2 consideremos el subgrupo normal ms pequeo K que

contega todas las palabras de la forma

h1(h), donde h H1

Definicin 9.0.9. El grupo cocienteG1 G2 = G1 G2/K

es llamado el producto libre amalgamado por : H1 H2.

Observemos que si H1 = {IG1}, entonces G1 G2 = G1 G2.

Ejemplo 9.0.10. Consideremos un espacio topolgico (X, ) arco-conexo y local-mente arco-conexo. Sean A, B abiertos arconexos tales que A B = X y A B seaarco-conexo. Entonces, si p A B, tenemos que

pi1(X, p) = pi1(A, p) 1(B, p)donde : pi1(A B, p) < pi1(A, p) < pi1(A B, p) pi1(A B, p) < pi1(B, p) 0 es biyectivo al conjunto {1, 2, 3, ..., n}, y tenemos que en estecaso Perm(X) y Perm({1, 2, ..., n}) son necesariamente isomorfos, bastar considerarX = {1, 2, ..., n}. Como habamos dicho antes, usaremos el smbolo Sn para denotarPerm({1, 2, ..., n}). Este grupo recibe tambin el nombre de grupo simtrico de n letras.

Antes que nada, veamos algunas notaciones que nos simplificarn el trabajo.

Definicin 14.0.8. El smbolo (a1, a2, ..., ak), donde k {2, 3, ..., n}, aj {1, 2, ..., n} y aj 6= ar para j 6= r, denotar la permutacin que enva a1 en a2, a2en a3,..., ak1 en ak, ak en a1 y fija todos los otros elementos. Este es llamado un cclode longitud k. Cuando k = 2 hablamos de transposiciones en vez de decir un cclo delongitud dos.

La operacin de dos cclos corresponde a la composicin de las dos permutacionesque definen, es decir de derecha hacia la izquierda, por ejemplo (1, 2)(2, 3) = (1, 2, 3),(2, 3)(1, 2) = (1, 3, 2).

Ejercicio 14.0.9. Calcular la cantidad de cclos de logitud k {2, 3, ..., n} que hayen Sn.

Ejemplo 14.0.10. Consideremos n = 3. En este caso tenemos que S3 est formadopor el neutro I , las transposiciones a = (1, 2), b = (1, 3), c = (2, 3) y los cclos delongitud tres d = (1, 2, 3) y e = (1, 3, 2). Observemos que e = d1, dad1 = c yd1ad = b. Es decir que S3 est generado por a y d. Observemos que valen las relacionesa2 = I , d3 = I y como ad = (2, 3), entonces (ad)2 = I .

64 CAPTULO 14. GRUPOS DE PERMUTACIONES FINITOS

Ejercicio 14.0.11. Verificar que toda otra relacin S3 es consecuencia de las tres re-laciones dadas en ele ejemplo anterior. Verifique que existe un isomorfismo entre S3 y elgrupo dihedral D3.

Ahora, si consideramos una permutacin Sn, entonces podemos escribirla comoproducto de un nmero finito y disjunto de cclos. Para ver esto, primero consideramosel subconjunto J {1, 2, ..., n} que son los puntos fijos de la permutacin . Entonces,tomamos el menor elemento a1 {1, 2, ..., n} J y formamos el cclo

C1 = (a1, a2 = (a1), a3 = 2(a1), ..., ak1 =

k11(a1))

donde k1(a1) = a1. Ahora, consideramos el menor elemento de {1, 2, ..., n} (J {a1, a2, ..., ak}), digamos b1. Entonces formamos el cclo

C2 = (b1, b2 = (b1), b3 = 2(b1), ..., bk2 =

k21(b1))

donde k2(b1) = b1. Como el conjunto {1, 2, ..., n} es finito, obtenemos por este procedi-miento una coleccin finita de cclos, digamosC1,..., Cr, de respectivas longitudes k1,...,kr. La inyectividad de asegura que dos cualquiera de tales cclos deben ser disjuntos.Ahora no es difcil darse cuenta que

= C1C2 Cry adems el orden de los cclos no afecta al producto. En particular, hemos obtenido elsiguiente resultado.

Proposicin 14.0.12. El grupo simtrico Sn est generado por todos su cclos.

Por otro lado, cada cclo puede escribirse como producto de transposiciones. En efecto,consideremos un cclo (a1, ..., ak), entonces tenemos que

(a1, ..., ak) = (a1, ak)(a1, ak1) (a1, a3)(a1, a2)es decir, tenemos el siguiente.

Proposicin 14.0.13. El grupo simtrico Sn est generado por todas sus transposi-ciones.

Corolario 14.0.14. El grupo simtrico Sn est generado por el cclo de longitud ndado por a = (1, 2, 3, ..., n) y la transposicin b = (1, 2).

Demonstracin. Primero que nada, observemos que bn = a1ba = (n, 1), bn1 =a2ba2 = (n 1, n), bn2 = a3ba3 = (n 2, n 1),..., b2 = aba1 = (2, 3). Defina-mos b1 = b. Segundo, c3 = bb2b = (1, 3), c4 = c3b3c3 = (1, 4), c5 = c4b4c4 = (1, 5),...,cn1 = cn2bn2cn2 = (1, n 2). Hasta ahora hemos logrado obtener todas las trans-posiciones de la forma (1, k), k = 2, 3, ..., n. Ahora, conjugando estas transposiciones

CAPTULO 14. GRUPOS DE PERMUTACIONES FINITOS 65

por at, donde t = 1, 2, 3, ..., n 1, obtendremos todas las transposiciones posibles. Elresultado entonces sigue de la proposicin anterior.

Sea An el subconjunto de Sn formado por todos los prod

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