2. cvičení – vzorové příklady

Příklad 1

Nakreslete zatěžovací obrazce složek hydrostatických sil, působících na automatický segementový jezový uzávěr s hybným ramenem. Vypočtěte hodnotu

souřadnice x, udávající polohu hladiny v tlačené šachtici, při níž se jez začne sklápět. Hrazená výška h = 4,0 m, poloměr zakřivení válcové plochy r = 4,8 m,

a = 0,85 m, tíha uzávěru G = 17 658 N.m-1, = 60o, = 45o, fG = 3,0 m. Úlohu řešte na 1 m´ délky konstrukce. Uzávěr U1 je otevřen, U2 uzavřen.

CBa

G

O

h

xŠE

k2

U3

U2U1

r

fG

P

k3

k1

U4

k4

obr. 1

Řešení

Vzhledem ke složitosti konstrukce i zatížení je vhodné nejprve zatěžovací obrazce rozkreslit pro jednotlivé části konstrukce.

x

O

x

C x

C

B

E

O

P

E

obr. 2

Pro celkový názor na působení sil a momentů se složí jednotlivé zatěžovací obrazce do obrazce výsledného.

výslednýzatěžovací obrazec

x

x

obr 3

Pro výpočet hodnoty x se nejprve určí ty složky sil, které mají na pohyb uzávěru vliv. Síla, působící na válcovou část, prochází jejím středem křivosti,

který je zároveň středem otáčení jezové konstrukce O. Uvažují se tedy pro

výpočet x pouze síly, působící na rovinné části konstrukce. Ve složkách (obr. 4): Výsledné síly (obr. 5):

x

x

Fx1

Fx2

Fz1

Fz2

fz1

fz2fx1

fx2O

x

F1

F2

O

Výpočet sil - podle obr. 5:

11 bgF

2o

o1 m26,045cos8,448,445cos

4

2

1cosrhr

cos

h

2

1

N6,255026,0181,91000F1

22 bgF

x85,0xa2

x5,8338x85,0181,91000F2

Výpočet délky ramen sil F1 a F2 k bodu O:

m086,58,445cos

4

3

18,4r

cos

h

3

1rf

o1

m225,52

85,08,4

2

arf2

Momentová výminka k bodu O:

0fGfFfF G2211

0365817225,5x5,8338086,56,2550

m51,17,56843

3,94365x

Příklad 2

Na obrázku je znázorněn sklápěcí uzávěr s osou otáčení O. Stanovte hloubku

h, při které se uzávěr začne sklápět. Hmotnost 1 m širokého výseku uzávěru je 530 kg.

O

h

1,52 m

0,46 m

0,61 mG

obr. 6

Řešení

Pro řešení je výhodné použít momentovou podmínku k ose O (síly působící

v tomto místě mají vzhledem k ose O nulové rameno a v momentové podmínce se neuplatní).

Ostatní síly působící na uzávěr: F1 na svislou plochu, F2 na vodorovnou plochu, G – vlastní tíha konstrukce.

O

1,52 m

h

G

fg = 0,46 m

f2

f1

F2

F1

obr. 7

Výpočet sil pro výsek konstrukce 1m široký

11 bgF

2

1 h2

1

22

11 h4905h2

1181,91000bgF

22 bgF

h52,12

h2,14911h52,1181,91000bgF 22

N3,519981,9530gmG

Výpočet délky ramen sil

h3

1f1 , m76,0

2

52,1f2 , fG = 0,46 m

Momentová výminka k bodu O:

0fGfFfF G2211

046.03,519976,0h2,14911h3

1h4905 2

Tato rovnice má tři řešení: h = -2,73 m, h = 0,21 m a h = 2,52 m, přičemž řešení první (h = -2,73 m).

Závěr: stabilita uzávěru bez použití dalších zajišťovacích mechanismů nastane při hloubkách h = 0,21 m a h = 2,52 m.

Příklad 3

Vypočtěte velikost hydrostatické síly F, působící na 1 m´ tížné betonové hráze a navrhněte sklon vzdušního líce hráze tak, aby hráz byla stabilní proti

posunu v základové spáře se součinitelem bezpečnosti = 1,25. Součinitel

tření = 0,7. Měrná hmotnost betonu b = 2400 kgm-3.

15,0

0,0

5 5

62,060,0

obr. 8

Řešení Složky hydrostatické síly určíme ze zatěžovacích obrazců.

Fx

Fz

xz

obr. 9

Fx = ·g·x = 1000·9,81·0,5·602 = 17 658·10

3 N = 17 658 kN

Fz = ·g·z = 1000·9,81·5·0,5·(45 + 60) = 2 575,125·103 N = 2 575,125 kN

Tíha hráze:

G = b·g·(5·62+0,5·5·15+0,5·622·cotg ) = (8 181,54+45 251,57·cotg )·10

3 [N]

=

= 8 181,54 + 45 251,57·cotg [kN]

T = ·(Fz+G) = 0,7·(2 575,125+8 181,54+45 251,57·cotg =

= (7 529,67 + 31 676,1 cotg )·103 [N] = 7 529,67 + 31 676,1 cotg [kN]

·Fx = 1,25·17 658,0 = 22 072,5 kN

T ·Fx

7 529,67 + 31 676,1 cotg = 22 072,5 z toho

206517812,283,54214

1,67631tg o

Příklad 4 Určete velikost a působiště hydrostatické síly F, působící na šikmé čelo

cisterny s naftou - obr. 10. Průměr cisterny D = 2 m, = 60o, na hladinu působí

přetlak pp = 30 kPa, n = 900 kgm-3

.

a

a

F C

T

h

D

ppzT

xc'xc"

n

obr. 10

Řešení

1) Síla F = n . g . S . zT; S = . a . b m0,12

Db;m15,1

sin2

Da

Pro výpočet zT je třeba určit polohu tlakové čáry (fiktivní volnou hladinu)

souřadnicí h = zT - D/2. Přetlak pp = n . g . h - z toho:

kN35,1402

Dhb..g.F;m4,3

81,9.900

00030

g.

ph n

n

p

2) Působiště hydrostatické síly:

m66,0x.b..4

b.a.

x.S

I;m08,5

60sin

14,3

sin

2

Dh

sin

zx

´

T

3

´

T

o

o

T´

T

Příklad 5

Vypočtěte velikost síly F, potřebné k nadzdvihnutí poklopu, hradícího výpust

nádrže s vodou - obr. 11. Hloubka vody v nádrži h = 1,0 m, a = 0,5 m, = 60o, tíha poklopu G = 1,2 kN. Počítejte na 1 m' šířky poklopu, tření zanedbejte.

Řešení

h/sin = 1,155; a/sin = 0,577 m; L = 1,55 + 0,577 = 1,732 m.

f = L . cos = 1,732 . cos 60o = 0,866 m. Hydrostatická síla na obr. 12:

F' = . g . = N664560sin

1.2

1.81,9.1000

2

1.

sin

h.g.

o

2

Potřebná síla se vypočte z momentové výminky k ose otáčení poklopu:

m347,1155,1.3

2577,0

sin

h.3

2

sin

a´f

F f Gf

F f . . .2

FF f G

f

fN

. .. , . ,

,.2 5664 1 347 1200 0 433

0 8669410

Příklad 6

Vypočtěte velikost síly F1, osově namáhající jeden šroub ze 24, kterými je:

a) spojeno dno nádoby se svislou částí pláště, b) připojen horní kónický díl pláště.

Nádoba je rotační a je naplněna vodou. Rozměry nádoby podle obr. 13 jsou: h1 = 0,4 m, h2 = 0,4 m, h3 = 1,0 m, D1 = 0,25 m, D2 = 1,0 m.

D1

D2

F

h1

h2

h3

obr. 13

Řešení a) Hydrostatická síla působící na dno:

0,5 ff

a

h G

voda

F

f

h/si

n

a/si

nL

f '

obr. 11 obr. 12

N6,868130,14,04,04.81,9.1000hhh

4

D..g.F 321

2

2

Na jeden šroub působí: N9,57724

FF1 .

b) Hydrostatická síla působící na horní díl nádoby: Hydrostatická síla působí kolmo na zatěžovanou plochu. Znamená to, že síly FAB vytvářejí v každém osovém řezu dvojici vzájemně se rušících sil a jejich celkové působení na nádobu je nulové - . obr. 14.

FBC FBC

FAB FAB

A

B

C

A

B

C

FBCz

zr1

r2

rT

obr. 14 obr. 15 Síly FBC v osových řezech lze rozložit na složky vodorovné FBCx a svislé FBCz, z nichž vodorovné se opět ruší. Výsledná hydrostatická síla je tedy dána tíhou

zatěžovacího tělesa svislé složky F = .g.Vz - obr. 15. Objem zatěžovacího tělesa -

jedná se o těleso rotační - je Vz = 2 . . rT . z.

z = (r2 - r1) h1 + 0,5 (r2 -r1) h2 = (0,5 - 0,125) 0,4 + 0,5 (0,5 - 0,125) 0,4 = 0,225 m2

Velikost rT se určí z momentové výminky:

;m333,0r1r;m208,0

225,0

4,0.375,0375,03

14,0.375,0

2

1h.rr

3

2.2

1h.rr

2

1

rrl 1T

22

z

2

2

121

2

12

1T

V = 2 . . rT . z = 2 . . 0,333 . 0,225 = 0,471 m3; F = . g . Vz = 4 618,2 N;

na jeden šroub: F1 = F/24 = 192,4 N.

Příklad 7

Stanovte velikost a směr ( = ?) hydrostatické síly F, působící na válcovou výduť ve stěně nádrže - obr. 16. Průměr válcové výdutě je D = 0,5 m, h = 2,0 m, b =

1,5 m, = 30o.

F

bh D

b

Fx

Fz

x z

obr. 16 obr. 17

Řešení V tomto případě je možné k řešení hydrostatické síly použít řezovou metodu.

a) Výpočet hydrostatické síly, působící na plochu řezu:

Fs = . g . h .D . b = 1000 . 9,81 . 2 . 0,5 . 1,5 = 14 715 N

Fsx = F . sin = 14 715 sin 30o = 7 357,5 N

Fsz = F . cos = 14 715 cos 30o = 12 743,6 N

b) Výpočet tíhy kapaliny ve výduti: G gD

b N

..

. ,2

81444 64

c) .N24,18814GFF;N5,3577FF;FGF szzsxxs

2527;5186,02,18814

5,3577

F

Ftg;N98215FFF o

z

x2

z

2

x

Pro srovnání se vypočte hydrostatická síla ještě pomocí zatěžovacích obrazců - podle obr. 17.

Fx = . g . b . x; x = D . sin . h = 0,5 m2 Fx = 1000 . 9,81 . 1,5 . 0,5 = 7 357,5 N

22

o2

z m964,08

5,0.0,2.30cos.5,0

8

D.h.cos.D

Fz = . g . b . z = 1000 . 9,81 . 1,5 . 0,964 = 14 188,2 N. Již z porovnání složek hydrostatické síly Fx a Fz je zřejmé, že oběma způsoby výpočtu vyjde hydrostatická síla F stejně velká.

Příklad 8

Určete velikost a směr ( = ?) hydrostatické síly F, kterou působí voda na 1 m´stěny nádrže podle obr. 18. Dáno: h1 = 6,0 m, h2 = r = 2,0 m.

C

B

A

D

bh1

h2 r

r

Fx1

x1

Fz1

z1

obr. 18 obr. 19

Řešení Pro výpočet hydrostatické síly se nakreslí zatěžovací obrazec složek hydrostatických sil: 1) pro zatížení horní vodou - obr. 19, 2) pro zatížení dolní vodou - obr. 20.

Fz2

z2

Fx2

x2

Fx

x

Fz

z

obr. 20 obr. 21 Složením dílčích zatěžovacích obrazců se získá výsledný zatěžovací obrazec - obr. 21. a z něj složky hydrostatické síly:

Fx = . g . b . x = 1000 . 9,81 . 1,0 . 16,0 = 156 960 Nm-1

kde 22

221

2

21x m0,162.26265,0hhhhh5,0

22

22

2

21z m858,84

2.22.26

4

r.rr.hh

Fz = . g . b . z = 1000 . 9,81 . 1 . 8,858 = 86 900 Nm-1

12

z

2

x Nm410179FFF

5828tohoz5536,0960156

90086

F

Ftg o

x

z

Poznámka Výpočet hydrostatické síly pomocí zatěžovacího obrazce, vzniklého složením dílčích zatěžovacích obrazců je možný v případě, že je konstrukce zatěžována z obou stran kapalinou se stejnou měrnou hmotností. V opačném případě není skládání zatěžovacích obrazců možné. Vypočítají se hydrostatické síly pro každý zatěžovací stav zvlásť a teprve jejich složením se určí výsledná hydrostatická síla.

Příklad 9 Pro hydrostatický sektorový jez na obr. 22: a) nakreslete zatěžovací obrazce složek hydrostatických sil, působících na jezový uzávěr; b) stanovte pomocí vzdálenosti x polohu hladiny v tlačené komoře, při níž se jezový uzávěr právě začne sklápět. Hloubka vody před jezem h = 3,2 m, r = 4,0 m, tíha jezového uzávěru G = 17,73 kNm-1, fg = 2,2 m.

h

x

G r

fG

obr. 22 obr. 23

Řešení V tomto případě si ukážeme zatěžovací obrazce hydrostatických sil. Numerické řešení hydrostatických sil a sestavené momentové výminky je obdobné jako ve vzorovém příkladu 1. Zatěžovací obrazce viz obr. 23. Vzdálenost x, určující polohu hladiny v tlačné komoře x = 0,93 m.

Příklad 10

Navrhněte rozmístění tří vodorovných nosníků po výšce svislého stavidlového uzávěru tak, aby každý z nich byl namáhán stejně velkou silou. Hloubka vody před stavidlem h = 3,0 m - obr. 24. Řešte pro šířku stavidla 1,0 m.

h zc3

zc2

zc1

F1

F2

F3

z1

z2

obr. 24

Řešení 1) Numerické řešení:

Celková zatěžovací plocha: 222

m5,42

3

2

h

Na jeden nosník: 124 5

31 5

,, m

Hloubky rozdělující plochy:

m732,15,1.22ztohoz2

z11

2

11

m449,25,1.44ztohoz2

z2 12

2

21

m0,35,1.66ztohoz2

z3 13

2

31 (uvedeno pro kontrolu)

Nosníky budou umístěny v úrovni těžišť příslušných zatěžovacích obrazců. Jejich vzdálenosti od hladiny:

.m155,1z3

2z 11c

Vzdálenost dalších těžišť je určena z momentových výminek:

212c11c1 z3

2.2z.z. ; m111,2155,1449,2.

3

4zz

3

4z 1c22c

h2zz3

4;h

3

2.3z.z

3

2.2 3c213c121

m735,2499,2.3

46z

3

4h2z 23c

Zatížení nosníků:

celková hydrostatická síla N145442

3.81,9.1000

2

h.g.F

22

na jeden nosník N715143

14544

3

FF1

2) Řešení pomocí součtové čáry.

h

h

h

h

h

h

FF

13

FF

23

FF

33

2h

0

A

B

zC1

zC2

zC3F1

F2

F3

parabola

obr. 25

Vychází se ze zatěžovacího obrazce, který se rozdělí po výšce na pruhy o

stejné tloušťce h. Čím větší počet pruhů, tím je grafické řešení přesnější. Každému pruhu se přisoudí hodnota zatížení, odpovídající jeho střednici. Tyto střednice se pomocí zvoleného pólu graficky sečítají. V hloubce h vytíná součtová čára úsečku, odpovídající celkové hydrostatické síle F. Tato úsečka se rozdělí na n dílů, odpovídající n vodorovným nosníkům. Dělící body Ai se promítnou svisle do součtové čáry (body Bi) a vodorovné úsečky z nich vedené rozdělí zatěžovací obrazec na zatěžovací obrazce stejné velikosti. Těžiště těchto zatěžovacích obrazců určují polohu stejně namáhaných nosníků. Vlastní řešení je patrné z obr. 25. Z uvedeného řešení vychází zc1 = 1,15 m, zc2 = 2,1 m a zc3 = 2,75. Z výsledků je vidět velmi dobrá shoda obou způsobů řešení. Součtová čára vyjadřuje hydrostatickou sílu při proměnné hloubce z:

2z.b.g..2

1F

Tato kvadratická závislost vyjadřuje parabolu s vrcholem v hladině. Pokud by bylo zatížení stavidla oboustranné, zatěžovacím obrazcem bude lichoběžník. Až do hladiny dolní vody bude hydrostatická síla při proměnné hloubce z1 určena rovněž výrazem

F1 = 0,5 .g .b . z12. Tato parabola končí potom v úrovni hladiny dolní vody, kde je

její úsečka FH = 0,5 .g .b . H2. Pod hladinou dolní vody je zatížení rovnoměrné a hydrostatická síla v proměnlivé hloubce z2 bude dána součtem

F2 = F1 + 0,5 .g .b .H . z2. Roste tedy lineárně s hloubkou z2 až do koncové souřadnice v úrovni dna

;h2

HH.b.g.F 2

součtová čára je zde přímkou.