Estadística y Biometría

Guía de Trabajos Prácticos

2012

Docentes:

Arnaldo MangeaudAnalía GonzálezMariano GrilliHaydée Cugno

Escuela de Biología.

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.Universidad Nacional de Córdoba.

PROGRAMA ANALITICO

Unidad 1: IntroducciónConcepto de Estadística. La Investigación Científica. Campos de Aplicación. Reseña Histórica. Población. Unidades de observación o elementos. Caracteres. Variables cuantitativas y cualitativas. Observación y medidas de los caracteres. Formas de observar la población. Estadística Descriptiva e Inferencia Estadística.

Unidad 2. Análisis descriptivo de una variableIntroducción. Distribución de una variable. Distribución simple. Distribución de frecuencias. Características de la distribución. Formas de la distribución. Medidas de posición. Media aritmética. Mediana, Cuartilos y Percentiles. Modo. Relaciones entre las distintas medidas de posición. Medidas de dispersión. Rango o recorrido. Recorrido intercuartílico y desviación cuartílica. Varianza. Desviación estándar. Coeficiente de variación.

Unidad 3. Análisis descriptivo de dos variables conjuntas.Introducción. Distribución de dos variables conjuntas. Distribución bidimensional de frecuencias. Covarianza. Coeficiente de Correlación lineal de Pearson.

Unidad 4. Probabilidad.Introducción. Experiencia aleatoria. Espacio muestral. Eventos. Probabilidad. Axiomas. Propiedades. Asignaciones de probabilidad. Probabilidad Condicional. Sucesos Independientes.

Unidad 5. Variables Aleatorias I.Introducción. Variables aleatorias. Función de probabilidad. Función de densidad. Función de distribución. Esperanza y Varianza de una variable aleatoria. Propiedades de las variables aleatorias. Distribución Binaria. Distribución Binomial. Distribución Poisson. Distribución Uniforme. Distribución Normal.

Unidad 6. Variables Aleatorias II.Introducción. Distribuciones de funciones de variables aleatorias. Distribución de la suma, el cociente y el producto de variables aleatorias. Esperanza de una función de variables aleatorias. Distribución del estadístico “χ2”. Distribución del estadístico “t”. Distribución del estadístico “F”. Teorema Central del Límite. Ley débil de los grandes números.

Unidad 7. Distribuciones en el muestreoIntroducción. Razones para utilizar muestras. Muestreo aleatorio. Distribución de los estimadores. Parámetros poblacionales. Las observaciones muestrales como variables aleatorias. Distribución de la media muestral. Distribución de la diferencia de medias

muestrales. Distribución del estadístico Distribución del estadístico .

Distribución del estadístico .

Unidad 8. Estimación.Introducción. Estimación puntual. Propiedades de los buenos estimadores. Estimación por intervalos. Intervalos para la media poblacional. Intervalo para la diferencia de dos medias poblacionales. Intervalo para la varianza poblacional. Intervalo para el cociente de dos varianzas poblacionales. Intervalos para estimadores con distribuciones desconocidas.

Unidad 9. Pruebas de HipótesisIntroducción. Concepto de Hipótesis. Criterio general de pruebas de hipótesis. Concepto de Confianza (1-α), Potencia (1-β), Errores de tipo I (α) y tipo II (β). Pruebas para la media poblacional. Pruebas para la igualdad entre dos medias poblacionales. Prueba para la varianza poblacional. Prueba para la igualdad de dos varianzas poblacionales. Prueba de Bondad de ajuste. Prueba de independencia entre dos variables cualitativas. Pruebas para estimadores con distribuciones desconocidas.

Unidad 10. Diseños de Experimentos simples. Introducción. Necesidades y propósitos de un diseño experimental. Principios básicos. Reproducción. Aleatorización. Control Local. Factores y respuestas. Tratamientos. Unidad experimental, observacional y Error experimental. Introducción al Análisis de Varianza. Diseño Completamente aleatorizado a un factor. El modelo estadístico y los supuestos. Análisis de la varianza a un factor. Comparaciones entre tratamientos. Diseño en bloques al azar. El modelo estadístico y los supuestos. Análisis de la varianza a un factor con bloques. Diseño completamente aleatorizado a dos factores.

Unidad 11. Correlación y RegresiónIntroducción. Asociación e independencia entre dos variables cuantitativas. Prueba de hipótesis del índice de correlación lineal. Regresión. Método de los mínimos cuadrados. Ajuste a una función lineal simple. Estimación y pruebas de hipótesis. Regresión lineal múltiple. Modelos no lineales.

BIBLIOGRAFIA

ARMITAGE, P. y G. BERRY. 1997. Estadística para la Investigación Biomédica. Harcourt Brace. 593 pp.DI RIENZO, J; CASANOVES, F. GONZALEZ, L.; TABLADA, E; DIAZ, M.; ROBLEDO, C. y BALZARINI, M. 2001. Estadística para las Ciencias Agropecuarias. 4ta. Ed. Triunfar. Córdoba. Argentina.MACCHI, R. 2001. Introducción a la Estadística en Ciencias de la Salud. Ed. 128 ppMONTGOMERY, M. C. 1991. Diseño y Análisis de Experimentos. Grupo Editorial Iberoamericana.MORTON, R, J. HEBEL y R. McCARTER. 1993. Bioestadística y Epidemiología. Interamericana-McGraw-Hill. 184 pp.ROBLES, C.A. 1969. Serie didáctica Nº 4: Biometría y Técnica Experimental. FCA-UNTuc 286 pp.SCHEFFE, H. 1959. The analysis of variance. Ed. John Wiley & Sons. New York. 477 pp.SOKAL, R y J. RHOLF. 1984. Introducción a la Bioestadística. Ed. Reverk.SPIEGEL, M. 1991. Estadística. Ed. Mc.Graw HillZAR, J. 1984. Biostatistical analysis. Prentice-Hall. New Jersey. 718 pp.

TRABAJO PRÁCTICO N°1:CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA

Ejercicio 1-1:Se realizó un estudio sobre un insecto fitófago Zulia entrerriana que puede

localizarse tanto en las hojas como en los tallos de la planta hospedadora. El insecto en cuestión puede convertirse en una plaga importante ya que puede transmitir un virus patógeno para la planta hospedadora. Se estudiaron 30 hembras en total.

Para cada individuo los datos recolectados se encuentran en la tabla y corresponden a:

* Peso total (en mg.)* Longitud del cuerpo (en mm.)* Número de huevos puestos por hembra por día

Para realizar esta medición se aislaron las hembras individualmente durante 24 hs., al cabo de las cuales se registró el número de huevos.

* Se registró también el sitio en el que fue hallada cada hembra y se determinó la presencia o ausencia del virus en las glándulas salivales del insecto.

Para el problema en cuestión se pide:a) Definir: Población, Unidad de Observación, Características.b) Determinar de qué tipo son cada una de las características.c) Elaborar y presentar la información en Tablas y Gráficos de modo que le

resulten útiles para responder a las siguientes preguntas:I- ¿Cuál es la población de insectos capaces de transmitir el virus?II- ¿Está el número de huevos en relación al peso de cada hembra?

¿Cómo?III- ¿Alguno de los hábitats está más poblado que otro? ¿Cuál?IV- ¿Influye la localización del individuo en su propio peso?V-¿Está el peso en relación al tamaño del insecto?VI- ¿Influye la localización del individuo en la presencia del virus?

DATOS CORRESPONDIENTES A LOS REGISTROS REALIZADOS SOBRE EL INSECTO

Zulia entrerriana

Individuo N°

Peso Longitud N° huevos/hembra

Hábitat Infección

1 14.67 1.03 2 H NO2 21.52 1.11 3 H NO3 24.32 1.25 3 H SI4 27.89 1.33 5 H SI5 29.02 1.81 6 T NO6 32.37 2.49 6 T SI7 17.42 1.05 2 H NO8 22.10 1.13 3 T NO9 24.82 1.25 4 H NO

10 27.93 1.38 5 H SI11 29.31 1.83 6 H SI12 37.42 2.73 6 H SI13 22.28 1.15 3 H SI14 25.43 1.23 4 T SI15 30.55 2.21 6 H SI16 17.75 2.07 2 H NO17 45.25 3.43 7 T SI18 28.85 1.74 6 T SI19 26.84 1.30 4 T NO20 19.90 1.09 3 T NO21 28.18 1.49 6 T SI22 29.63 1.98 6 T SI23 23.98 1.20 3 T NO24 28.34 1.68 6 T NO25 29.32 1.87 6 T SI26 41.95 3.43 2 H SI27 19.08 1.07 2 T SI28 37.47 2.75 6 T NO29 24.03 1.21 3 T NO30 27.75 1.31 4 T SI

Ejercicio 1-2:Con los datos del ejercicio N° 1 construir una distribución de frecuencias para la

variable "N° de huevos/hembra". En base a la tabla construida responda a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas hembras pusieron 3 o más huevos?b) ¿Cuántas hembras pusieron 4 o menos huevos?c) ¿Qué proporción de hembras puso 3 huevos?d) ¿Qué porcentaje de hembras puso 5 o menos huevos?Exprese en forma gráfica las frecuencias acumuladas.-

Ejercicio 1-3:Determinar el recorrido de la variable "Peso de hembras" del ejercicio N° 1.

Construir una tabla de distribución de frecuencias. Graficar. Responder:a) ¿Cuál es la cantidad de hembras que pesa más de 30 mg?b) ¿Cuál es el peso más frecuente?c) ¿Cómo determinó el recorrido de la variable?d) ¿Cuán frecuentes son las hembras que pesan 22 mg. o menos?

Ejercicio 1-4:Determinar el recorrido de la variable "Longitud de cada hembra", tomando los

datos del ejercicio N° 1. Construir una tabla de distribución de frecuencias y responder:a) ¿Qué cantidad de hembras miden 3,4 mm. o menos?b) ¿Cuál es la longitud más frecuente entre las 30 hembras?c) ¿Qué cantidad de hembras hay entre 2,2 y 2,6 mm.?

TRABAJO PRÁCTICO N°2:ANALISIS DESCRIPTIVO DE VARIABLES

Ejercicio 2-1:

En una muestra de 8 niños, el peso (en Kg) fue {18, 19, 17, 19, 13, 21, 16, 24}

Calcular: Recorrido, Mediana, Media aritmética, Desvío estándar y Coeficiente de variación.

Ejercicio 2-2:La siguiente es una distribución hipotética de frecuencias de hojas por planta en

una muestra de tamaño 100, tomada de un cultivo. Calcular el número medio de hojas por planta y determinar que forma tiene la distribución.

# de hojas 4 5 6 7 8 9 10 ni 1 0 9 28 31 25 6

Ejercicio 2-3:Consignados en la siguiente tabla se hallan valores de Ca, K y Zn contenidos en

hojas de la planta Avena sativa. Calcule:a) contenido medio de Ca, K y Zn;b) la mediana para los datos de Ca.

Hoja # Ca (ppm) K (ppm) Zn (%)1 0.15 1.7 1.42 0.20 6.6 7.33 0.53 17.2 6.84 0.10 17.2 6.45 0.32 31.6 6.16 0.27 27.5 5.57 0.41 27.2 5.48 0.37 24.2 5.39 0.33 29.4 5.710 0.30 26.5 5.111 0.27 24.9 5.812 0.34 24.9 5.813 0.31 25.0 7.614 0.39 25.3 9.615 0.27 23.9 9.316 0.28 24.1 8.917 0.27 23.6 9.018 0.27 27.8 8.6

Ejercicio 2-4:Se estudiaron las consultas realizadas en un hospital por cierta enfermedad que

afecta a niños. En el estudio se incluyeron 50 niños. La gravedad de la enfermedad fue registrada como: leve, moderada, grave y muy grave. Los niveles de gravedad de la enfermedad presentan las siguientes frecuencias absolutas:

Leve: 22 Moderado: 16 Grave: 8 Muy Grave: 4

a) Representar gráficamenteb) Determinar las medidas de posición en este caso.

Ejercicio 2-5:La siguiente tabla muestra los pares de valores obtenidos entre longitud corporal

de las hembras (en mm.) de una especie de pez y el número de huevos.

Longitud: 15 17 22 23 28 29 33Número de huevos: 42 49 144 151 210 195 240

Se pide:a) Graficar los pares de valores observadosb) Calcular las medias y varianzas marginales y la covarianzac) Calcular el coeficiente de correlación lineal r.

Ejercicio 2-6:La siguiente tabla representa una distribución de frecuencias de la variable

"tamaño de las partículas de un suelo (en mm.)". Calcule media aritmética, mediana y modo:

Xi-1 - Xi ni0.001 - 0.05 50.051 - 0.10 220.101 - 0.15 180.151 - 0.20 80.201 - 0.25 50.251 - 0.30 50.301 - 0.35 40.351 - 0.40 3

Compare las medidas de posición obtenidas.

Ejercicio 2-7:Calcule el primer cuartil (Q1) para el contenido de K y el Q3 (tercer cuartil) para

el contenido de Zn del ejercicio 2-3.

Ejercicio 2-8:Calcule Q1 y Q3 para el contenido de Ca del ejercicio N° 2-3. Calcule recorrido,

desvío estándar y desviación cuartílica. Comente las medidas de dispersión calculadas.

Ejercicio 2-9:Calcule el desvío estándar para el contenido de K del ejercicio 2-3. ¿Qué

elemento es más variable, el Ca o el K?

Ejercicio 2-10:Los siguientes datos se refieren a los gramos de materia seca obtenidas en un

ensayo para análisis de calidad de hojas de Eucaliptus sp.138 164 150 132 144 125 149 157 146 158163 119 154 165 146 173 161 145 135 169145 128 145 142 150 156 168 126 138 176

Calcule media, mediana, modo, varianza y coeficiente de variación.

Ejercicio 2-11:Para poner a prueba un nuevo cultivo se sembraron 8 parcelas cuyo rendimiento

en Kg/parcela fue el siguiente:Parcela 1 2 3 4 5 6 7 8Rendimiento 4.5 5.3 5.4 4.9 5.3 5.7 6.2 4.8

Caracterice la distribución y descríbala.

Ejercicio 2-12:Sobre la base de la tabla del ejercicio 1-1 y con relación a las variables “peso”

(X) y “número de huevos por hembra” (Y):a) Represente los datos en una distribución bidimensional de frecuencias.b) Calcule las medias y varianzas marginales y la covarianza.c) Calcule el coeficiente de correlación lineal r.

TRABAJO PRÁCTICO N°3:

PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS I

Ejercicio 3-1: Una persona tiene en una caja cerrada cuatro semillas: dos de ellas son de poroto

y dos de sandía.Si se seleccionan dos de ellas al azar:

a) Escriba el espacio muestral.b) Defina los eventos:A = al menos una es de porotoB = ambas son de sandíac) Para cada evento definido anteriormente, asignar las probabilidades correspondientes.d) Asigne las probabilidades correspondientes a los siguientes eventos:C = exactamente dos son de porotoD = ambas son de porotoE = una es de poroto y la otra de sandíaF = por lo menos uno es de sandía

Ejercicio 3-2: En el ejercicio anterior, se define la variable aleatoria X = cantidad de semillas

de sandía.a) ¿Qué valores asume X?b) Escriba la función de distribución para X y grafique.c) Calcule el valor esperado y la Varianza de X.

Ejercicio 3-3: Un laboratorio recibió 5 muestras de sangre para saber si la cantidad de proteína

en sangre requerida por un adulto estaban dentro de los parámetros normales. Si se sabe que el 15% de la población presentan insuficiencia en proteína: A) Se define X = “la cantidad de muestras que presentan insuficiencias de proteína en sangre”.Calcula la probabilidad de que:1. Todas las muestras tengan la cantidad de proteína necesaria. 2. Exactamente dos muestras no tienen la cantidad de proteína necesaria. 3. A lo sumo 1 muestra está dentro de los parámetros normales.B) Calcular el valor esperado y la varianza de la variable definida como:1. X = “la cantidad de muestras que presentan insuficiencias de proteínas en sangre”.2. Y = “la cantidad de muestras que están dentro de los parámetros normales de proteínas en sangre”.

Ejercicio 3- 4: Se sabe que el 30 % de los peces de una laguna están atacados por un parásito.

Si se toma una muestra de 10 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya?:a) Exactamente 4 peces atacados.b) Menos de 7 peces atacados.c) Más de uno pero 6 o menos.d) 10 peces atacados.

Ejercicio 3-5: Se ha determinado que en una población de insectos plaga de la soja, alrededor

de 0.8 de cada 1000 individuos son resistentes a la acción de un insecticida. Si 2000 de esos insectos son tratados con el insecticida, cuál es la probabilidad de que sobrevivan:a) Exactamente 2.b) 2 o más.c) Menos de 4.d) ¿Cuál es el promedio esperado de sobrevivientes?

Ejercicio 3-6: Si en una población de felinos 1 de cada 5000 individuos es melánico y se toma

una muestra de 12000 individuos, cuál es la probabilidad de que en la muestra haya:a) Más de 2.b) Más de 1 pero menos de 4.c) No más de 5.

Ejercicio 3-7: La distribución de parásitos en 1 cm³ de hígado de cierta especie animal, se

comporta de acuerdo al modelo de Poisson con media número de parásitos/cm³ = 0,02.¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos 1 parásito en un hígado de volumen 50 cm³?

Tarea Ejercicio 3-8:

Realice nuevamente los ejercicios 3.1 y 3.2, pero asumiendo que en la caja se presentan dos semillas de porotos y tres de sandías.

Ejercicio 3-9: Sean A y B sucesos tales que: P(A) = 1/2; P(B) = 1/3; P(AB) = 1/4. Hallar:a) P(AB) b) P(A/B)c) P(B/A) d) P(A´/B)e) P(B´/A´)

Ejercicio 3-10: La siguiente tabla muestra los resultados de un ensayo clínico en el que se probó

el efecto curativo de una droga para cierta enfermedad. Algunos voluntarios fueron tratados con la droga, en tanto otros, sin saberlo, recibieron placebo. Al cabo se cierto tiempo se registró el número de voluntarios que se curaron y los que no se curaron.

Denotemos: X: tratamiento recibido (Droga, Placebo)Y: cura del paciente (si = 1; no = 0)

Y1 0

X Droga 40 20Placebo 16 48

¿Es la droga eficiente en el tratamiento de la enfermedad? O en otras palabras ¿El hecho que un paciente se cure es dependiente de haber recibido la droga?

Ejercicio 3-11: Con los datos del Ejercicio 1-1 (punto d VI) determine si la presencia del virus

depende de la localización del individuo en la planta.

Ejercicio 3-12: Si se ha suministrado una vacuna contra el resfrío a una muestra de una

determinada población, valorándose las siguientes probabilidades conjuntas:

ANingún resfrío

BUn resfrío

CMás de un resfrío

VVacunadas 1/3 1/8 1/24

NNo vacunadas 1/6 1/8 5/24

Se pide:a) Comprobar la dependencia o independencia de los pares de sucesos A y V; B

y N; (B C) y V.b) Sabiendo que un individuo no ha sido vacunado, ¿cuál es la probabilidad de

que haya tenido algún resfrío?c) ¿cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar, ó esté vacunado,

ó no hay tenido ningún resfrío?

Ejercicio 3-13: Si la probabilidad de que el individuo A viva 20 años es 0,70; la probabilidad de

que otro individuo B viva 20 años es 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos individuos vivan 20 años?

Ejercicio 3-14: Si en el experimento "nacimiento de un hijo" los resultados "nacimiento de un

niño" y "nacimiento de una niña" son igualmente probables y si se supone independencia en ensayos repetidos:

a) Hallar la distribución de probabilidades de niños y niñas en familias con 5 hijos.

b) Graficar la ley de distribución obtenida en (a).

Ejercicio 3-15: Si la proporción de mutantes en una población es del 10%, ¿cuál es la

probabilidad de que en una muestra de 20 individuos haya:a) 3 mutantes? b) no más de 5 mutantes?c) menos de 3 mutantes? d) 6 o más mutantes?e) más de 4 mutantes? f) 3 ó más, pero no más de 7 mutantes?

Ejercicio 3-16: Si la proporción de daltónicos en una población humana es de 1/100000. Hallar

la probabilidad de que en una muestra de 50000 personas haya:a) 2 daltónicos; b) a los sumo 4;

c) 2 o más daltónicos; d) más de 4;e) 2 ó más pero menos de 4; f) más de 3 pero menos de 6.

Ejercicio 3-17: Si los grupos de huevos de insectos sobre las hojas de un árbol tienen

distribución de Poisson con parámetro = 0,5; calcular la probabilidad de que una hoja tenga:

a) ningún grupo de huevos;b) al menos un grupo de huevos.c) dos grupos de huevos.d) más de tres grupos.

Ejercicio 3-18: Si la proporción del alelo A en una población es del 5%, encontrar la

probabilidad de que en una muestra de 17 individuos haya:a) menos de 5 individuos con el alelo A;b) más de 3 individuos;c) 2 ó más pero menos de 5 individuos.

Ejercicio 3-19: El archivo del servicio meteorológico de una localidad muestra que el 40% de

los días del mes de abril son nubosos. Hallar la probabilidad de que, durante los primeros 20 días del mes de abril haya:

a) 5 días nubosos;b) 7 ó más días nubosos;c) más de 4 días nubosos;d) no más de 5 días nubosos;e) menos de 8 días nubosos;f) 2 ó más, pero no más de 10.

Ejercicio 3-20: Se lleva a cabo un experimento sobre germinación de una cierta clase de semilla.

Se estima que el porcentaje de semillas no germinadas alcanza al 0,039%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10000 semillas se obtengan:

a) exactamente 3 no germinadas?b) menos de 5 no germinadas?c) 6 ó más no germinadas? d) más de 3 no germinadas?e) a lo sumo 5 no germinadas?f) más de 3 pero 7 ó menos?g) 2 ó más, pero 5 ó menos?h) 4 ó más, pero menos de 9 no germinadas?i) más de 1, pero menos de 5 no germinadas?

Ejercicio 3-21: Un distribuidor de semillas ha determinado a partir de numerosos ensayos que el

5% de un grupo grande de semillas no germina; vende las semillas en paquetes de 200, garantizando la germinación del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete no cumpla la garantía?

Ejercicio 3-22: Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción nociva debido a un

inyección de cierto suero es de 0,001. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 1000 personas, 2 ó más sufran esa reacción?

Ejercicio 3-23: Si la proporción de atacados por una cierta enfermedad en una población es del

25% y se extraen 100 muestras de tamaño 7 cada una. ¿Cuántas muestras es de esperar que incluyan:

a) 2 atacados? b) 3 ó más?c) más de 4? d) a lo sumo 3?e) menos de 5? f) más de 2 pero menos de 6?

Ejercicio 3-24: Cada espora liberada a partir de una cápsula de esporas de un helecho tiene

probabilidad 0,2 de convertirse en planta. Si una cápsula contiene 100 esporas, hallar la probabilidad de que al menos 5 de ellas lleguen a ser plantas, usando:

a) distribución binomial; b) aproximación normal.Comparar los resultados.

Ejercicio 3-25: Se sabe por experiencias previas que el 10% de las plantas de algarrobo son

atacadas por cierto insecto. ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 plantas haya:a) a lo sumo 4 plantas atacadas? b) 3 plantas atacadas?c) menos de 7 plantas atacadas? d) 5 ó más plantas atacadas?e) más de 6 plantas atacadas? f) más de 3 pero menos de 6?

Ejercicio 3-26: Si la probabilidad de que un individuo sufra una mala reacción de una inyección

de suero Mantoux es 0,001; determinar la probabilidad de que en 2000 individuos:a) exactamente 3 sufran una mala reacción;b) más de 2 individuos sufran una mala reacción.

Ejercicio 3-27: La probabilidad de ocurrencia de una mutación es una población es de 3/1000.

Si se toma una muestra de 5000 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de hallar:a) 8 mutantes? b) menos de 11?c) más de 14? d) más de 8 pero 15 o menos?

Ejercicio 3-28: Tabular los valores de una distribución binomial para n = 5 con parámetro p =

0,20. Representar gráficamente y calcular la esperanza y la varianza.

Ejercicio 3-29: Tabular los valores de una distribución de Poisson con parámetro 1,2.

Representar gráficamente y calcular esperanza y varianza.

Ejercicio 3-30: Los cuatro grupos sanguíneos se reparten en una población de acuerdo con las

siguientes proporciones:

0 : 45% A : 43% B : 8% AB : 4%Teniendo en cuenta las incompatibilidades que existen entre ciertas

combinaciones de estos grupos, dadas dos personas X e Y elegidas al azar e independientemente, de las que se desconoce a qué grupo sanguíneo pertenecen; calcular la probabilidad:

a) de que X pueda recibir la sangre de Y;b) de que X e Y puedan dar y recibir su sangre mutuamente.

Ejercicio 3-31: Un depredador atrapa una presa por día. Suponiendo que es un fenómeno

Poisson. Quedan 10 presas. ¿Cuál es la probabilidad de que el depredador elimine a la población presa en una semana?

Ejercicio 3-32: Si para investigar la deficiencia de glóbulos rojos en la sangre, elegimos un

pequeño volumen fijo que contenga un promedio de 5 glóbulos para una persona normal. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de una persona normal contenga sólo 3 glóbulos o menos en ese volumen?

TRABAJO PRÁCTICO N° 4:VARIABLES ALEATORIAS II.

Ejercicio 4-1: Si la variable Z se distribuye normalmente con media = 0 y desvío = 1;

hallar la probabilidad de encontrar valores de la variable:a) menores de 1,53; b) menores de -0,49;c) mayores que 2,11; d) mayores de -1,85;e) entre 0,95 y 3,22; f) entre -2,31 y 2,31;g) entre -0,67 y 3,01.

Ejercicio 4-2: Si la variable Z se distribuye normalmente con media = 0 y desvío = 1,

hallar los valores de Z que verifiquen:a) P(Z < z*) = 0,9686 b) P(Z > z*) = 0,2266c) P(1,12 < Z < z*) = 0,0725 d) P(-z* < Z < z*) = 0,95e) P(0 < Z < z*) = 0,3770 f) P(Z < z*) = 0,8621g) P(-1,5 < Z < z*) = 0,0217 h) P(Z > z*) = 0,0268i) P(Z < -z*) = 0,0060 j) P(1,01 < Z < z*) =

0,0814k) P(-z* < Z < z*) = 0,99 l) P(z* < Z < 1) = 0,2266

Ejercicio 4-3: Si la altura de las mujeres de una población se distribuye normalmente con

media = 150 y desvío = 10; encontrar la probabilidad de hallar valores de la variable:

a) menores de 170; b) menores que 140;c) mayores de 165; d) mayores de 134;e) entre 155 y 175; f) entre 135 y 165;g) entre 140 y 170.

Ejercicio 4-4: Si el diámetro del tallo de cierta especie de árbol es una variable con distribución

normal y una desviación estándar de 0.3 m ¿Qué valor será el del diámetro promedio, si el 1% de los tallos tienen un diámetro que supera 1.5 m?

Ejercicio 4-5: Si en una determinada población la variable altura de plántulas se distribuye

normalmente con media 170 mm. y desvío 5 mm., encontrar la probabilidad de hallar valores de la variable:

a) menores a 160 mm.;b) entre 170 y 180 mm..

Ejercicio 4-6: El tiempo de maduración del trigo invernal en Norteamérica tiene distribución

normal con media 183 días y desvío 10 días. Si se sembró el 1° de Octubre, ¿qué porcentaje madurará:

a) antes de abril? b) en abril?c) después de mayo?Asumir que febrero tiene 28 días.

Ejercicio 4-7: Cada espora liberada a partir de una cápsula de esporas de un helecho tiene

probabilidad 0,2 de convertirse en planta. Si una cápsula contiene 100 esporas, hallar la probabilidad de que al menos 5 de ellas lleguen a ser plantas, usando:

a) distribución binomial; b) aproximación normal.Comparar los resultados.

Ejercicio 4-8: La cantidad de heno, X, consumida por un ternero en un día puede tomarse

como distribuida normalmente con media 9 Kg. y desviación estándar 1,5 Kg.. Encontrar la probabilidad de que:

a) X esté comprendida entre 8,5 y 10,25 Kg.;b) X sea mayor que 9,3 Kg.

Ejercicio 4-9: Por medio de un tamiz de malla 8 mm de diámetro zarandeamos 8000 granos de

maíz. Se conoce de antemano que = 7,5 mm y = 1,2 mm.a) ¿Cuántos granos serán retenidos por el tamiz?b) ¿Cuántos granos no retenidos, lo serán por un tamiz de diámetro de malla

igual a 7,5 mm?c) ¿Qué proporción de granos pasará a través de los dos tamices?

Ejercicio 4-10: Si la longitud de un hueso parietal de una especie de Usoraurus. se distribuye

normalmente con media = 3,85 cm. y desvío = 0,15 cm., encontrar la probabilidad de hallar huesos:

a) menores de 3,55 cm; b) mayores de 4 cm.;c) entre 3,55 y 4,15 cm.; d) entre 3,85 y 4,3 cm

Ejercicio 4-11: Una variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad:

f(x) = a(2 + X) para 0 < X < 2a) Hallar el valor de la constante a.b) Hallar P(0 < X < 1)

c) Hallar E(X) y V(X)

Ejercicio 4-12: Si el diámetro del tallo de cierta especie de árbol es una variable con distribución

normal y una desviación estándar de 0.3 m ¿Qué valor será el del diámetro promedio, si el 1% de los tallos tienen un diámetro que supera 1.5 m?

TRABAJO PRÁCTICO N° 5:VARIABLES ALEATORIAS III.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Ejercicio 5-1: En una población de ratas la variable "peso" se distribuye normalmente con

media poblacional = 450 gr. y desvío poblacional = 150 gr. Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 100 animales la media muestral sea:

a) P( < 480) b) P(430 < < 500)c) P( > 400)

Ejercicio 5-2: Sea la variable Y = longitud de espiga de una variedad de trigo que se distribuye

normalmente con media poblacional = 10 cm. Se extrae una muestra de 16 plantas, obteniéndose un desvío muestral S = 4 cm. Calcular:

a) P( > 11,75 cm) b) P( < 12,6)a) P( > 9,4)

Ejercicio 5-3: Se sabe que en un cultivo A la media poblacional de la longitud del cuerpo de

una especie de insecto es de 15 mm. y la varianza poblacional es de 20 mm². En otro cultivo B, la longitud media para la misma especie de insecto es de 6 mm., con una varianza de 28 mm². Se toma una muestra de 10 insectos para el cultivo A y otra de 4 para el B. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de la longitud del insecto en el cultivo A sea:

a) a lo sumo 12 mm. mayor que en B?b) A lo sumo 6 mm. mayor que en B?c) 15 mm. o más mayor que en B?

Ejercicio 5-4: Sea la variable Y = longitud caudal del Jurel (Trachurus lathami) con

distribución normal y media poblacional = 15 cm. se extrae una muestra de 25 individuos, obteniéndose un desvío S = 20 cm. Calcular las siguientes probabilidades:

a) P( > 25) b) P( < 30)

Ejercicio 5-5: 500 plantas de una cierta especie han tenido un período de germinación

promedio de 5,02 días con una desviación estándar de 0,3 días. Encontrar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 100 plantas tengan un período medio de germinación de:

a) entre 4,9 y 5 días; b) más de 5 días.

Ejercicio 5-6: Una compañía de maíz híbrido para siembra afirma que sus productos darán, por

término medio 120 bolsas por Ha.. 49 Has dan un promedio de 115 bolsas/Ha. Si se supone que el desvío () es de 35 bolsas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral de 115 bolsas o menos? ¿Qué puede concluir respecto a la afirmación de la compañía?

Ejercicio 5-7:

Un cierto cereal sembrado en 45 parcelas con abono fosforado experimentó un rendimiento promedio de 300 Kg./Ha. con una desviación estándar de 25 Kg./Ha. El mismo cereal sembrado en 63 parcelas sin abonar produjo un rendimiento de 200 Kg./Ha. con una desviación estándar de 11 Kg./Ha. ¿Cuál es la probabilidad de que el rendimiento promedio en suelos abonados supere al rendimiento de suelos sin abonar en:

a) más de 50 Kg.? b) más de 100 Kg.?

TRABAJO PRÁCTICO N° 6:ESTIMACIÓN

Ejercicio 6-1: Se sabe que el contenido porcentual de clorofila en las hojas de una determinada

especie vegetal tiene distribución normal con desvío = 10. Se extrajo una muestra de tamaño n = 25, siendo su media muestral = 8,6. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.

Ejercicio 6-2: Se realizaron 25 recolecciones sobre una red de arrastre en un cultivo de soja,

para determinar la densidad de una especie de insecto clave en cierta época del año. La media muestral fue 6 y el desvío muestral 4. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.Calcular el tamaño mínimo para una confianza del 99% y un error no mayor del 20%.

Ejercicio 6-3: Se determinó el contenido de materia orgánica de dos muestras de suelo

provenientes de dos regiones distintas A y B. Se sabe que la varianza de la población A es 60 y la de la población B es 120. Los tamaños muestrales fueron 15 para A y 10 para B, y las medias muestrales 50 para A y 35 para B. Determinar intervalos de confianza del 95% y 99% para la diferencia de medias poblacionales, suponiendo que ambas poblaciones el contenido de materia orgánica se distribuye normalmente.

Ejercicio 6-4: Se estudió el aumento de peso producido por dos tipos de hormonas sobre ratas

blancas. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:Hormona A 6.9 3.8 3.5 4.9 3.7 6.5Hormona B 4.8 4.7 3.9 6.0 5.9 3.7 5.0

Se desea construir un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias poblacionales, suponiendo que la característica en estudio se distribuye normalmente en ambas poblaciones.¿Alguna de estas opciones le parece correcta? a) las dos hormonas producen el mismo efecto; b) la hormona A hace que el peso aumente más que con la hormona B; c) la B aumenta más el peso que la A.

Ejercicio 6-5: La varianza del contenido de materia seca en 16 determinaciones de suelo fue

igual a 24. Determinar un intervalo de confianza del 99% para el valor de ².

Ejercicio 6-6: Se realizaron 16 determinaciones de una longitud definida sobre cierta especie

de mamífero. La media muestral fue de 20 cm. y el desvío de 0,4 cm. Determinar un intervalo de confianza del 95% para , y estimar el tamaño mínimo de muestra con una confianza del 99% y un error no mayor a 0,2 cm.

Ejercicio 6-7:

Supóngase que Y tiene una distribución N (,²). Una muestra de tamaño 30 permite calcular los siguientes valores: yi= 700,8 y yi² = 16395,8. Obtener un intervalo de confianza del 95% para .

Ejercicio 6-8: Se realizaron determinaciones del contenido de sales en dos muestras de agua.

La muestra A es considerada potable en relación a la variable en estudio, y la B desconocida. Los resultados fueron:

nA = 6 A = 5,98 SA = 1,364nB = 7 B = 6,95 SB = 0,819

Basándose en la construcción de un intervalo de confianza, ¿puede admitirse que el contenido de sales de B difere del de A?

Ejercicio 6-9: Una cierta característica en estudio tiene distribución normal con parámetros y

². Una muestra de tamaño 15 ha producido los siguientes valores: yi= 8,7 y yi² = 27,3. Obtener un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.

Ejercicio 6-10: La precipitación media anual en una cierta región tiene distribución normal y

desvío poblacional = 49. Se tomó una muestra de 36 observaciones, siendo su media 253 mm. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

Ejercicio 6-11: En un estudio sobre la altura de plantas de cierta especie, en dos localidades

distintas, se utilizó una muestra de 13 plantas en la localidad A y otra de 18 plantas en B. En el primer caso la altura promedio fue de 107 cm., con una varianza muestral de 100; en el segundo caso el promedio fue de 95 y la varianza igual a 80. Determinar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias poblacionales, suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal en ambas poblaciones.

Ejercicio 6-12: Los límites de confianza al 95% para obtenidos en una determinada muestra

han sido 4,91 y 5,67. ¿Es correcto decir que 95 veces de cada 100 la media se halla dentro de tal intervalo? Si la respuesta es negativa, ¿Cuál sería la afirmación correcta?

TRABAJO PRÁCTICO N° 7:PRUEBA DE HIPOTESIS

Ejercicio 7-1: Se desea probar la hipótesis de que el contenido porcentual de clorofila en hojas

de una cierta especie es igual a 10, contra la alternativa de que sea un valor distinto a 10. Se extrajo una muestra de tamaño 15 y su media fue de 8,6; se sabe que el desvío poblacional es igual a 16. Con estos datos, ¿qué se puede inferir respecto de la hipótesis planteada si se trabaja con un nivel de significación del 5%? Calcular el valor P. Construir el intervalo de confianza si corresponde.

Ejercicio 7-2: Se sabe que la longitud Y en cierta especie animal es un buen carácter

sistemático para caracterizar a esa especie. Un autor estableció que si esa longitud es 16 ó más, el organismo pertenece a la especie A, pero si esa longitud es menor, pertenece a la especie B. Se tomaron 16 individuos y se realizaron las mediciones resultando media = 20 y desvío = 4. Si se trabaja con un = 5%, ¿a qué especie corresponden los individuos?

Ejercicio 7-3: En el estudio del Ejercicio N° 6-3. ¿Cuál sería la conclusión si se trabaja con un

nivel de significación del 1%?

Ejercicio 7-4: Del estudio de aumento de peso producido por dos tipos de hormonas en el

ejercicio N° 6-4, fundamente cuál de las conclusiones es correcta.

Ejercicio 7-5: La concentración del azúcar del néctar en ambas mitades del capítulo

(inflorescencia) del trébol rojo, utilizando dos sistemas diferentes de análisis químico A y B, arroja los siguientes resultados:

Planta N° 1 2 3 4 5 6 7Análisis A 47 34 60 59 63 44 49Análisis B 45 32 58 57 60 38 47¿Existen diferencias significativas entre los métodos, con = 5%?

Ejercicio 7-6: De una muestra de 18 observaciones obtenidas de una distribución N ( , ²), se

obtiene una media de 14,65 y una varianza muestral de 22,56. Utilizando un nivel de significación del 5%, probar la hipótesis de que la varianza poblacional igual a 36.

Ejercicio7-7: Determinar la validez del supuesto de igualdad de varianzas poblacionales para

el ejercicio 6-4.

Ejercicio 7-8: En un cruce híbrido entre tomates, se observaron las siguientes frecuencias:

Fenotipos Frec. ObservadasAlto, s/brote 926Alto, c/brote 288

Bajo, s/brote 296Bajo, c/brote 104

Se pide:a) Presentar los datos como una tabla de contingencia. b) Si se esperaba que la proporción fuera 9:3:3:1, ¿corroboran los datos esta

suposición a un nivel de significación del 5%?

Ejercicio 7-9: En un relevamiento forestal se toman 500 parcelas de 2000 m², y en cada una de

ellas se determina el número de árboles existentes. ¿La distribución correspondiente puede considerarse como siguiendo la de Poisson, sabiendo que x = 3,4?

árboles/parcela X: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ó más

Frecuencias obs. ni: 119 88 59 69 27 36 25 22 18 37

Ejercicio 7-10: Determinar si las siguientes frecuencias, correspondientes al largo de las alas de

la mariposa noctura Erebus agrippina, ¿ajustan adecuadamente con una distribución normal, sabiendo que = 31 mm. y S = 10 mm.?

Clase 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55ni 7 10 21 32 60 35 25 7 3

Ejercicio 7-11: Se desea probar la hipótesis de que la demanda de una cierta especie vegetal en

cierta región es de 55 individuos por hectárea, contra la hipótesis de que sea un valor distinto. Se tomó una muestra de tamaño 25, siendo su media de 45 y su desvío igual a 12. Si se desea trabajar con = 5%, ¿cuál es la conclusión? Construir el intervalo de confianza si corresponde.

Ejercicio 7-12: Determinar la validez del supuesto de igualdad de varianzas poblacionales para

el ejercicio 6-11.

Ejercicio 7-13: A partir de la tabla del Ejercicio 3-12 probar si el hecho de no tener resfríos

depende de haber sido vacunado, trabajando con una muestra de 96 personas.

Ejercicio 7-14: Se propone la hipótesis que el largo de las antenas de dos especies de

coleópteros A y B es similar, los resultados experimentales expresados en mm., son los siguientes:

Grupo A: 17 15 22 18Grupo B: 25 28 28 20

Verificar la validez de la hipótesis para un nivel de significación del 5%.

Ejercicio 7-15: Se quieren comparar dos preparaciones de virus sobre los efectos diferentes en

cierta especie vegetal. La mitad de una hoja envuelta con un lienzo embebido con una

preparación del extracto de un virus y la otra mitad con el del otro virus. La variable de respuesta es la cantidad de lesiones locales que aparecen como pequeños anillos oscuros en las hojas. Los resultados fueron:

Preparado 1: 31 20 18 17 9 8 10 7Preparado 2: 18 17 14 11 10 7 5 6¿hay diferencias significativas entre ambos preparados?

Ejercicio 7-16: En una población del hongo Phytophtora infestans, el largo de las esporas tiene

un valor medio = 50 micrones y = 8 micrones. Se desea saber si una muestra de 100 hongos puede considerarse como perteneciente a dicha población, teniendo en cuenta que x = 29 micrones y = 5%. Calcular el valor P. Construir el intervalo de confianza si corresponde.

Ejercicio 7-17: En el ejercicio 6-11 determine si la variable en estudio difiere significativamente

para las dos regiones, para un = 0,01.

Ejercicio 7-18: Determinar la validez del supuesto de igualdad de varianzas poblacionales para

el ejercicio 6-8.

Ejercicio 7-19: En un estudio hematológico realizado sobre 1000 adultos humanos, se extrajo a

cada uno un volumen de 100 ml de sangre. Sea W el contenido de globulinas (en g) del plasma sanguíneo en dicho volumen. Determinar si W se distribuye normalmente. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias para W:

W wi %(0,51 ; 0,57] 0,54 0,5(0,57 ; 0,63] 0,6 2,2(0,63 ; 0,69] 0,66 8,7(0,69 ; 0,75] 0,72 21,5(0,75 ; 0,81] 0,78 27,8(0,81 ; 0,87] 0,84 23,1(0,87 ; 0,93] 0,9 11,6(0,93 ; 0,99] 0,96 3,6(0,99 ; 1,05] 1,02 1

Ejercicio 7-20: En un programa de control integrado de plagas se realizan evaluaciones

periódicas para conocer la densidad de cierto insecto plaga sobre un cultivo de interés. Por estudio previos se sabe que: 1) el umbral de daño económico es 16 insectos por planta es decir, que si la población llega a tal valor de densidad, no se ejecuta ninguna acción de control y si la densidad es mayor que 16, debe utilizarse una estrategia de control. En una de las evaluaciones de rutina en 3 parcelas distintas se hallaron los siguientes valores de densidad:

Parcela 1:Xi: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Ni: 1 2 3 6 10 9 4 3 2 1

Parcela 2: Xi: 14 15 16 17 18 19Ni: 2 3 15 14 6 4

Parcela 3:Xi: 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32Ni: 1 2 3 6 10 9 4 3 2 1

¿Qué decisión debería tomarse en cada una de las parcelas?

TRABAJO PRÁCTICO N° 8:DISEÑO EXPERIMENTAL

Ejercicio 8-1: Se utilizaron 18 ratas para experimentar el efecto de una droga que genera

resistencia a una enfermedad que aumenta el tiempo de coagulación sanguínea. La experiencia comprendió:

- animales testigos (sin droga)- animales con tratamiento A (dosis fuerte de droga)- animales con tratamiento B (dosis débil de droga)

Se desea saber si existen diferencias en la respuesta de los distintos grupos experimentales. La tabla siguiente consigna las lecturas del tiempo de coagulación sanguínea en cada individuo para cada tratamiento estudiado:

Tratamiento Tiempo de coagulación Testigo 100 84 68 99 85 92

A 94 67 45 70 50 82B 72 48 32 75 50 80

Ejercicio 8-2: Se estudió la producción de caña de azúcar en 7 variedades. En estudios

anteriores se comprobó la existencia de un gradiente de fertilidad en la parcela de terreno donde se sembrarían las plantas. Para evitar que ese gradiente influyera en la interpretación de los datos, se ejecutó la experiencia de acuerdo a un diseño en bloques aleatorizados, donde los bloques se ubicaron perpendicularmente al grandiente de fertilidad. Se desea saber si existe diferencia entre la productividad de las distintas variedades.

Variedad Bloques I II III IV

1 9 11 9 102 12 15 13 113 11 12 15 144 12 14 16 165 14 13 16 116 11 16 12 107 14 15 15 12

Ejercicio 8-3: Se desea conocer el efecto de las cepas de inoculantes sobre el contenido de

nitrógeno de plantas de trébol rojo. Para ello se dispone de 30 macetas de trébol en un invernadero. Se eligen 5 macetas al azar y se inoculan con la cepa 1; se eligen otras 5 y se inoculan con la cepa 2 y así hasta la cepa 6. Los resultados son los siguientes en mg. de nitrógeno:

1: 19,4 2: 17,7 6: 17,3 1: 32,1 5: 11,6 3: 15,8 3: 17,0 3: 19.4 5: 14,4 4: 18,8 6: 19,1 5: 14,2

4: 20,7 1: 27,0 2: 27,9 5: 11,8 4: 18,6 2: 24,31: 32,6 2: 24,8 4: 20,5 6: 19,4 3: 11,9 6: 20,85: 14,3 4: 21,0 3: 9,1 2: 25,2 6: 16,9 1: 33,0¿Con qué cepa recomendaría inocular para aumentar el contenido de nitrógeno?

Ejercicio 8-4: El efecto de la adición de azúcares sobre la longitud de unidades ópticas (0,114

nm) de secciones de porotos criados en un medio de cultivo en presencia de auxinas fue el siguiente:Control: 75 67 70 75 65 71 67 67 76 682% Glucosa: 57 58 60 59 62 60 60 57 59 612% Fructuosa: 58 61 56 58 57 56 61 60 57 581% Glu + 1% Fru: 58 59 58 61 56 58 57 57 57 592% Sacarosa: 62 66 65 64 62 65 63 65 62 67

Extraiga las conclusiones que considere adecuadas.

Ejercicio 8-5: Se desea estudiar el efecto de la carga animal sobre la producción de materia

seca en una pastura implantada. Para ello se divide el lote en 28 potreros y se asignan aleatoriamente 7 potreros a cada una de las 4 cargas animales en estudio (2 nov./ha.; 4 nov./ha.; 6 nov./ha.; 8 nov./ha.). Los resultados fueron los siguientes expresados en toneladas de materia seca/ha.:Carga 2: 2.6 1.9 3.1 2.8 2.2 2.0 2.7Carga 4: 2.5 2.3 2.8 1.8 2.7 2.6 2.0Carga 6: 3.1 2.0 2.5 3.1 2.3 3.0 2.2Carga 8: 3.3 3.6 3.0 3.5 3.2 3.9 3.4

¿Podría recomendar alguna de ellas?

Ejercicio 8-6: Un productor necesita saber si le conviene fertilizar su cultivo de soja. Para ello

se realizó un ensayo (con los fertilizantes disponibles) en un lote de 24 has.; dividido en parcelas de 1 ha. cada una asignando los tratamientos en forma aleatoria. Los datos obtenidos fueron:

Control: 23 20 22 20 21 19Fert. A: 30 32 19 35 33Fert. B: 28 36 31 32 34Fert. C: 27 25 24 28 26 14

¿Recomendaría fertilizar? De ser así, ¿Cuál de los fertilizantes recomendaría?

Ejercicio 8-7: Se realizó una experiencia para probar 3 tipos distintos de drogas (cada una con

una dosis única), para determinar sus efectos sobre la capacidad de aumentar el peso en ratas. Se estudiaron 16 individuos donde 4 de ellos actuaron como control, sin suministrarle ningún tipo de droga. Los resultados fueron:

Tratamientos Repeticiones A (control) 47 52 62 51B 50 54 67 57C 57 53 69 57D 54 65 74 59

Se desea saber si existen diferencias en el aumento de peso de las ratas debido a los distintos tratamientos.

Ejercicio 8-8: En un diseño experimental se intenta probar el efecto de las concentraciones de

una droga sobre el tiempo de coagulación en ratas, pero considerando que la edad de las ratas no era homogénea y como se sospecha algún efecto diferencial de la droga según grados de desarrollo corporal, se procedió a agruparlos en 6 categorías de edades, para luego aleatorizar los tratamientos. De esa manera quedaron 3 individuos de edad homogénea dentro de cada grupo; a cada uno de los 3 individuos, en forma aleatoria, se le asignó uno de los tres tratamientos ensayados. Se desea saber si existen diferencias en la respuesta de los distintos grupos experimentales.

Tratamiento Tiempo de coagulaciónEdad I II III IV V VI

Testigo 100 84 68 99 85 92A 72 48 32 75 50 80B 94 67 45 70 50 82

TRABAJO PRÁCTICO N° 9A:CORRELACIÓN

Ejercicio 9A-1: Se ha estudiado la relación existente entre la altitud y el número de especies de

aves presentes en cierta zona. Los resultados obtenidos fueron:Altitud 310 650 789 892 1102 1278Núm de sp 32 21 20 11 10 3

¿Está relacionada la altitud con la cantidad de especies presentes en un área determinada?

Ejercicio 9A-2: Los siguientes datos corresponden a los % de mortalidad de insectos a dosis

crecientes de un nuevo producto biocida. Supongamos que la incorporación de un nuevo producto al mercado sólo tiene sentido si asegura una relación de mortalidad/ln(dosis) es igual o mayor a 0,8. ¿Qué conclusiones sacaría acerca del producto experimental?

Ln (dosis) 0 1 5 10 15 20 25 30Mortalidad 5 7 10 16 17 25 26 30

TRABAJO PRÁCTICO N° 9B:REGRESIÓN LINEAL

Ejercicio 9B-1: Se desea conocer la función matemática que relaciona la longitud corporal de

hembras de una especie determinada de pez, con el número de huevos que esa hembra pondrá durante su vida reproductiva. Conociendo la relación que liga ambas variables, se podrá inferir el potencial reproductivo de la población sin tener que matar individuos para contar el número de huevos que contienen. En un estudio llevado a cabo se sacrificaron 7 hembras a las que se midió y contó el número de huevos que contenían. Los resultados fueron:

Longitud: 15 17 22 23 28 29 33Número de huevos: 42 49 144 151 210 195 240

Se pide:a) Graficar los pares de valores observados y encontrar la función.b) Estime el R² para la regresión;c) Realizar las pruebas de hipótesis correspondientes al 0,01.d) ¿Cuál será el número de huevos que podrán hembras que midieran 19 cm.,

25 cm. y 31 cm?

Ejercicio 9B-2: Suponga que una colonia de Paramecium sp es colocada en un medio óptimo

para su crecimiento con una cantidad de alimento limitado. Se registró periódicamente la cantidad de Paramecium en el medio de cultivo, siendo los resultados:

Tiempo 0,5 1 2 2,5 4 5Densidad 30 39 61 82 200 370

Los nutrientes se terminaron a las 15 Hs. de comenzada la experiencia. Se desea saber:a) grafique la curva de crecimiento de la población;b) calcule R² para la regresión;c) ¿cuál fue el número de individuos iniciales?d) ¿cuál fue el número máximo de individuos en el medio de cultivo,

asumiendo que la forma de crecimiento no varió en el transcurso de la experiencia?

e) Haga las pruebas de hipótesis para correspondientes.

Ejercicio 9B-3: En un estudio sobre varios caracteres del maíz "colorado", se obtuvieron los

siguientes resultados:Carácter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Diámetro del Tallo 1,8 2,2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 2,7 2,8Altura de la Planta 1,29 1,48 1,45 1,49 1,59 1,6 1,6 1,58 1,7 1,62

Carácter 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Diámetro del Tallo 2,6 2,5 2,5 2,5 2,5 2,8 2,8 2,7 2,6 2,6Altura de la Planta 1,6 1,64 1,68 1,6 1,68 1,7 1,66 1,69 1,7 1,81

a) ¿Qué tipo de relación existe entre ambos caracteres? Fundamente.b) ¿Qué sucede si se consideran los 5 primeros valores de X?c) ¿Qué sucede si se consideran los 10 primeros valores de X?d) ¿Qué sucede si se consideran los 5 últimos valores de X?e) ¿Qué sucede si se consideran los 10 últimos valores de X?

Ejercicio 9B-4: Está muy generalizada la idea que dice que una aspirina disuelta en el florero

donde se colocan las rosas hace que el tiempo de duración de éstas se prolongue. Con el objetivo de probarlo se realizó un estudio colocando pimpollos de igual desarrollo en distintas concentraciones de ácido acetilsalicílico y contando el tiempo que demoraban éstas hasta perder su primer pétalo. Los resultados fueron:

Horas: 11,5 42,3 70 32 8,7 50,2 51,9 33,7 48,9Concentr.: 0,1 0,5 1 2 2,5 3,5 3,9 4,5 5

Se desea saber si existe relación entre ambas variables. Averigüe los valores de los parámetros ajustando una función lineal.

Ejercicio 9B-5: ¿Qué forma de crecimiento ontogénico presentan las plantas de girasol? Para

responder considere los siguientes datos:Semanas (X):1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Altura (Y): 18 36 68 98 131 170 206 228 247 250 254

Ejercicio 9B-6: Con el fin de determinar la forma de crecimiento embrionario de pollos, se

registró el peso seco de embriones de edades entre 6 y 16 días, siendo los siguientes:Edad (días)(X): 6 7 8 9 10Peso seco (Y): 1,029 1,052 1,079 1,125 1,181

X: 11 12 13 14 15 16Y: 1,261 1,425 1,738 2,18 2,282 3,812

¿Qué forma tiene el crecimiento embrionario del pollo entre los 6 y 16 días?

Ejercicio 9B-7: Sobre la base de los datos del ejercicio N° 1-1 y a la tabla construida por Ud. en

el ejercicio N° 2-12, determine la función que mejor se ajuste a la nube de puntos.

Ejercicio 9B-8: Se expusieron 8 lotes de 400 chinches cada uno a -6,6°C durante diversos

intervalos de tiempo. La consecuente mortalidad es la siguiente:Días de exposición 1 3 4 8 14 16 21 28% de mortalidad 1 4 6 12 23 45 68 92

¿Qué efecto considera Ud. que produce la exposición al frío sobre las chinches? Fundamente su respuesta.

EJERCICIOS GLOBALIZADORES

Ejercicio 1: Se está realizando un estudio que trata de conocer aspectos de la biología del

pulgón Rophalosiphum padi. Este insecto plaga ataca varios cultivos y produce importantes pérdidas económicas.Una medida del crecimiento de los pulgones en contar cuántos individuos nacen de cada hembra por día.Los experimentos que se hicieron hasta el momento y que Ud. debe analizar son:

a) se seleccionaron en cámaras de cría 10 plantas de los siguientes cultivos: avena (A), cebada (C), maíz (M) y trigo (T). Se colocó una hembra en cada una de las plantas. Al cabo de 7 días, los resultados fueron:

A: 24 30 25 26 32 56 21 25 35 29C: 36 35 50 12 59 34 26 24 19 30M: 33 32 28 51 21 23 19 26 25 35T: 32 35 51 46 43 17 34 28 29 34

I- ¿Qué considera Ud. que se intenta probar?II- Realice el/los tests estadísticos que considere necesarios y

extraiga de ellos las conclusiones.III- ¿Sugeriría realizar algo más específicamente en este punto?

b) Teniendo en cuenta que las hembras que se colocaron eran de distintas edades, se sugirió realizar otro análisis, separando éstas por edades:

Edades I II III IV V VI VII VIII IX X A: 24 30 25 26 32 56 21 25 35 29C: 36 35 50 12 59 34 26 24 19 30M: 33 32 28 51 21 23 19 26 25 35T: 32 35 51 46 43 17 34 28 29 34

Conteste para este ítem las preguntas I, II y III.

c) Para observar la respuesta de los pulgones a distintas dosis de insecticidas naturales en cada planta, se utilizó un extracto de una planta tóxica a 15 concentraciones diferentes (en partes por millón):

I II III IV V VI VII VIII IX X A: 35 65 34 42 30 28 22 16 8 4C: 24 45 36 47 28 22 21 15 9 3M: 61 38 42 49 18 12 8 6 3 1T: 46 43 29 33 32 26 21 16 12 11

XI XII XIII XIV XV A: 4 1 3 2 4 C: 2 0 1 0 4 M: 1 1 0 1 0 T: 10 8 6 2 1

I- ¿Qué análisis haría para probar el efecto de las dosis en cada cultivo? Realícelos.

II- ¿Haría falta un testigo?

III- ¿Qué ocurre con los primeros 4 datos¡ ¿con 5 al 10? ¿y con los del 11 al 15?

d) ¿Cuál es la población en estudio en los puntos a, b y c? ¿y la variable aleatoria?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que en el punto (a) una hembra alimentada con cada cultivo tenga más de 38 individuos? ¿y menos de 26?

Ejercicio 2: En un estudio realizado sobre los algarrobos de la región norte de Córdoba, se

mide su edad mediante la técnica de extracción de tubos dendrológicos. Se mide también el alto, ancho y alto de la copa de cada individuo.

a) los anillos de crecimiento fueron analizados mediante dos técnicas: con microscopios esteroscópicos y con un programa de computación desarrollado para los pinos de Oregón. Los resultados (en anillos) fueron:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MIC 127 102 98 95 95 89 86 85 75 69PC 123 103 99 94 92 85 70 80 71 70

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MIC 65 58 58 58 56 54 54 49 45 36PC 65 62 54 53 56 49 53 50 45 32

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MIC 35 35 26 68 67 65 26 25 25 25PC 35 36 22 64 61 64 24 22 20 21

I- ¿Existen diferencias significativas entre los dos métodos?II- ¿El método del microscopio es significativamente distinto de 90 anillos?III- ¿El método de la PC es significativamente distinto de 85 anillos?IV- ¿Es probable que un algarrobo de 120 anillos pertenezca a esa población?

¿cómo lo averiguaría?V- Si la cantidad de anillos correspondiera a la de años, ¿cuál es la edad

promedio de los árboles? ¿y la edad más frecuente?

b) Los datos del resto de las medidas son:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ancho: 444.5 355 349.3 339.5 333 289.7 289.6 288 260 248Largo: 445.9 356 350.1 354.8 352.8 355 401.3 333 398 293Alto: 20.3 15 16.2 15.2 16 11 14.3 13.6 12.5 10.5

  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Ancho: 230 234.5 227 219.8 248 168 200 199 198 189Largo: 275 279.5 272.5 220 249.3 248.3 258 241 234 225.3

Alto: 10.9 11 9 10 9.3 8 11.2 9.9 8.7 12

  21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Ancho: 222.3 202.5 171.3 164.3 12.5 92.8 90.5 87.5 88.3 88Largo: 222.3 202.5 171.3 164.3 156 139.8 136.5 132.9 136 132Alto: 6 7.9 7.6 5.5 6.8 5.1 4.6 4.3 2.8 3.9

I- Se encuentran el largo, ancho o alto en relación con la edad? ¿Qué ocurre con los 10 primeros datos en comparación con los 10 últimos?

II- Realice intervalos de confianza del 95% y 99% para cada variable tomada. Analícelos y explique que significan.

c) ¿Considera que para cada variable tomada en los puntos (a) y (b) haría falta un número mayor de muestras? ¿Por qué?

d) Realice la covarianza entre largo y ancho. ¿Cómo relaciona ésto con r?