Y UNIVERSIDAD COMPLUTENSC

531 4278845-i~;~--

UNIVERSIDAD COMPLUTENSEDE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS

CARACTERIZACIÓN DE LENTESOETÁLMICASPORMEDIO DE LA MATRIZ DE POTENCIA

DIÓPTRICA LOCAL

Memoriapresentadaparaaptaralgradode DoctorenCC. Físicaspor

D. JoséAntonio GómezPedrero,

Madrid, Diciembrede 1998

UNIVEB2:DAD CO’I’~?~S~ DE MAiRID

FP§ULTLD U~ U. ~

REGISTRO DE LIBROS

BIBLIOTECAJ40 REGISTRO

eeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeo

eeeeeeeeeeeeeee• A mispadreseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeee

Agradecimientoseeee• Deseoexpresarmi más sinceroagradecimientoa los directoresde estaTesis Doctoral, Prof. Eusebio

Bemabeuy Dr. JoséAlonso, por la confianzadepositadaen mi brindándosea dirigir este trabajode

e• investigación,por el esfuerzorealizadoy el tiempoempleadoen la direccióndel mismo,así comopor• el continuoapoyocientíficoy humanoqueherecibidodeambosdurantela ejecucióndel mismo. Gran

• partedeestetrabajode investigaciónesresultadodeideasy sugerenciassuyaso surgidasenel transcurso

denuestrasdiscusionesacercadelos problemastratados.lbmbiéndeseoagradeceral Prof. E. Bemabeue• comoDirector del Departamentode Ópticade la UniversidadComplutensedeMadridpor habermedado

• la oportunidaddeintegrarmeenel mismo.

ee

Me gustaríamostrarmi agradecimientoaD. RafaelMendieta,DirectorEjecturivode InversionistaCom-• ercial,SA. (INCOSA-FRAMO)por suexcelenteacogiday tratodispensadodurantelaprimera¿tapade

• desarrollodeesteproyectodeinvestigación.

ee• No puedodejarde agradecera mis compañerosde la “Cueva” todo su apoyoy todala pacienciapara

• conmi personadequela hanhechogaladurantetodoestetiempo.Especialmentea losdoctoresAgustín

GonzálezCano,JuanAntonioQuiroga,Mañ Cruz Navarrete,JesúsMarcény JuanCarlosMartínezasíe• como a Héctor Canabal,Luis Miguel Sánchez,Daniel Crespoy FemandoRodriguezpor susvaliosas

• enseñanzasci¿ntíficasy humanas.Deboexpresarmi reconocimientoalos compañerosdel Departamento

• deÓpticapor el cariñoy la simpatiamostrada,especialmentea AsunciónPeral,GonzaloRueda.Oscar

Estebany JoseMiguel Ezquerro.ee• Este trabajodeinvestigaciónhasidorealizadograciasal apoyoeconómicoprestadopor la Comunidad

• Autónomade Madrid (proyecto I+D 0119/94), Unión Europea(proyecto SMT3-CT95-2048ABSO-e• DIAM) y ala UniversidadComplutense(Becasde Formaciónde PersonalInvestigación,convocatoria

• de 1998).

ee

Finalmente,deseoagradecerprofundamentea mis padresy a mi hermanasu apoyoincondicional y la• infinita pacienciaconlaquehansoportadola realizaciónestetrabajodeinvestigación.

eeeeeeeeeee

eeeeeee

e Índiceeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeee•eee• Capítulo1 INTRODUCCIÓN 3

1.1 Generalidadesacercade las lentesoftálmicas 3e1.2 Objetivos 7

• 1.3 Plandetrabajodeestamemoria 7

• Referencias 8e• Capítulo2 CARACTERIZACIÓN MATRICIAL DE LENTES OFTÁLMICAS

ESFEROTÓRICAS. II

• 2.1 Resuméndela formulaciónmatricialde laópticageométricaparaxial 11

• 2.2 Estudiode lentesesferotóricaspor mediode la formulaciónmatricial dela óptica• geométrica. 17

e 2.3 La matriz depotenciadióptrica: definicióny propiedades 21e2.3.1 Definicióny característicasprincipalesdelamatrizdepotenciadióptrica 21

• 2.4 Aplicacionesdela matrizdepotenciadióptricaenópticaoftálmica 22

• 2.4.1 Ley dePrenticeparalentesesferotóricas:descentramientosenlentes¡nonofocales

• y bifocales. 22• 2.4.2 Obtencióndel espesoren bordeparalentesesferotóricas 26

2.4.3 Utilizaciónde lamatrizdepotenciadióptricaparael estudioestadísticode lentese esferotóricas 27

e Referencias 28e• Capítulo3 LA MATRIZ DE POTENCIA DIÓPTRICA LOCAL DE UNA LENTEe• OFTÁLMICA. 31e

3.1 Matriz depotenciadióptricalocal: Definicióny propiedades 31• 3.1.1 Refraccióndeun rayoenunasuperficiedeformaarbitraria 32

• 3.1.2 Refracciónenunalenteoftálmicaconsuperficiesrefractorasarbitrarias. 34

- 3.1.3 Matriz dePotenciaDióptricaLocal (MPDL) 35e3.1.4Potencialocal deunalente consuperficiesrefractorasarbitrarias 38

• 3.1.5 Expresióntensorialparala ley dePrenticegeneralizada 44

e 3.2 Matriz depotenciadióptricalocal enlentesasféricas . 45

e 3.3 Matriz de potenciadióptricalocal enlentesasferotóricas 49e3.3.1 Descripcióndeunasuperficieasferotóricacónica 49

• 3.3.2 Efectosprismáticosen lentesasferotóricascónicas 52

• 3.3.3 La matrizde potenciadióptricalocal enlentesasferotóricascónicas 53eeeeeeeeeee

2

Referencias 57

Capítulo4 MEDIDA DE LA MATRIZ DE POTENCIADIÓPTRICA LOCAL DE UNALENTE OFTÁLMICA 59

4.1 Medidade la MPDL apartirde la topografíasuperficialdeunalente oftálmica. 59

4.1.1 Descripcióndel dispositivoexperimental 60

4.1.2Tratamientodedatos.Obtenciónde laMPDL 64

4.2 Resultadosexperimentales 70

4.3 Medidade la MPDL a partirdeladeflexióndelos rayossobreunalenteoftálmica. 89

4.3.1 Descripcióndel dispositivoexperimentalparala medidade la MPDL a partirdeladeflexiónderayos 89

4.3.2 Comparacióndelos dosmétodosdemedidade loselementosdela MPDL 91

Referencias 103

Capítulo5 ALGUNAS APLICACIONES DEL FORMALISMO DE LA MPDL ENÓPTICA OFTÁLMICA 105

5.1 Representaciónenel espaciodepotenciadióptrica. 105

5.1.1 El espaciodepotenciadióptrica. 105

5.1.2Representacióntridimensionalde lentesesféricasy asféricas 107

5.1.3 Representacióntridimensionalde lentesprogresivas 111

5.2 Aplicaciónde laMPDL al cálculodeefectosprismáticosy potencialocal diferenciales. 112

5.2.1 Definición depuntosequivalentesdeunaparejade lentescompensadoras. 112

5.2.2 Algoritmo decálculodepuntosequivalentes 114

5.2.3 Cálculo depotenciasprismáticasy refractorasdiferencialesen unaparejadelentesprogresivas ill

Referencias 123

CONCLUSIONES 125

- APÉNDICES 127

Apéndice1 Instrucciónesdemovimientode losmotores 128

Apéndice2 Influenciadelapuntadel palpadorenla medidade la superficiedela lente 129

Apéndice3 Parametrosdelas leniesmedidas 131

e

e

e

eee Capítulo 1ee• Introduccióneee

En este capítulo se exponen los objetivos de este trabajo de investígactón enmatrandolos dentmdel contexto de los pmcesos de diseño, fabricación y contml de lentes oftálmicas y se presenta el

• plan de trabajo que pensamos seguir para la consecución de dichos objetivos. Para ello presen-• tamos en primer lugar una serie de nociones generales sobre lospmcesos de diseño, fabricación• y control de lentes oftálmicas. A continuación, se enumeran los objetivos de este trabajo de in-• vestígación y se describe elplan de trabajo propuesto para la consecución de los mismos.

ee

1.1 Generalidadesacercadelaslentesoftálmicase

Laslentesoftálmicassonlentesdiseñadasparacompensarunaseriededeficienciasquepuedepresentar• el sistemavisualhumano.Entrelas deficienciasquepuedencompensarseconel usodelentesoftálmicas

• se encuentranlas llamadasametropías (miopíae hipermetropía),elastigmatismo oculan lapresbicia y

cienostipos de estrabismos. Las lentesoftálmicasestancompuestaspor dossuperficiesrefractorasquee• sonresponsablesen sumayorpartede las propiedadesópticasdela lenteParaqueuna lente oftálmica

• puedacumplir su papelde elementocompensadorofreciendoel mayorgradoposiblede comfortvisual

• al usuarioesnecesariorecurrira un procesodediseñoenelcual sedeterminala formaóptimadelas su-e

perficesrefractoras.Unavezdiseñadala lentedebeserfabricadaenun procesoindustrialy traspasarlos

• preceptivoscontrolesdecalidaddebesermontadaen lagafay adaptadaal usuario. El diseño,fabricación

• y controldelentesoftálmicasespuesunaramade la kcnologiaÓpticaqueseencargadel diseñodefor-

e matosóptimosparalas lentesoftálmicas,de la fabricacióndelos mismosy del control decalidadtrasel

ee procesodefabricación.Los procesosdediseño,fabricacióny controldelentesoftálmicasutilizan resul-

• Vadosderamasfundamentalesde la Ópticacomo laÓpticaGeométricay la ÓpticaFisiológicay deotras

• ramasdela cienciacomolaQuimicaOrgánicay la Cienciade Materialesy delaIngenieriaIndustrial.

• Citandodatosdel AmericanCouncil of Vision, 161 millones de ciudadanosde losEEUU utilizanealgun tipo de elementocompensadorde deficits visuales. De estos 161 millones de personas,el 81 %

• de ellos usanlentesoftálmicasmientrasque un 3 % utilizan lentes decontactoy un 16 % alternanel

• usodelentesoftálmicasy lentesdecontacto.En 1996el gastoanualdelos ciudadanosdelos EEUU ene productosoftálmicosascendioa 14.600millones de $ USA, en 1997el gastose incrementoen un 5.5

eeeeeeeeeea

4 Generalidades acerca de las ¡entes oftálmicas

% llegandoa los 15.400millonesde $ USA. En 1998se preveeun gastode 16.300millonesde $ USA.

Deestegastoenproductosoftálmicosaproximadamentela mitad(un 49.5%) secorrespondea lentesde

contactoy lentesoftálmicas.Estosdatosindican la importanciadela industriaoftálmicaen la sociedad

actual.

Existenvarios criteriosparala clasificaciónde lentesoftálmicassiendoel másextendidolaclasifi-

cacióndelentesoftálmicasatendiendoa la formade lasuperficierefractora.De acuerdoconestecriterio

se tienenlas siguientesclasesde lentesoftálmicas

• Untes esféricas: Son aquellaslentescuyaslas dossuperficiesrefractorassonesféricas.Se utilizan

paralacompensaciónde ametropíasesféricas(miopíay hipermetropía).

• Lentes esferotóricas: Son aquellasquecumplenqueal menosunade las dos superficiesrefractoras

de la lentees un toro. Seutilizan paralacompensacióndel astigmatismoocular.

• Lentes asféricas: Son aquellasquecumplenque al menosunade las dossuperficiesde la lente es

unasuperficienoesféricaconsimetríaderevolución.Seutilizanparalacompensacióndeametropías

esféricasen lugarde las lentesesféricasdebidoa sumejorcalidadópticay aspectoestético.

• Lentes bifocales: Sonaquellaslentesquepresentandoszonasdedistintapotenciabiendefinidas. Se

utilizan para la compensaciónde la presbicia,generalmenteen présbitasjoveneso aquellosque no

puedenadaptarsesatisfactoriamentea lentesprogresivas

• Untes progresivas: Son aquellaslentesmultifocalesquepresentanun aumentoprogresivode la po-

tenciadesdela zonadelejos hastala zonadecerca. Seutilizanparala compensaciónde la présbicia

Cadatipodelentepresentaun procesodediseñoy fabricacióndiferente,aunqueconcienosaspectos

comunes.Enelcasodeldiseñodelentesmonofocalesy bifocales[1], [4], [3], [7] elcriterio utilizado

atiendefundamentalmentea la minimación de las aberracionesqueaparecencuandoel ojo rota para

verobjetossituadosfueradel eje visual. Así puesel diseñode lentesoftálmicasmonofocalestiene que

considerarel sistemaóptico fonnadopor la lente oftálmicay el ojo móvil. Dadalaextremacomplejidad

del ojo humano,se realizaunasimplificación enesteesquemade modoqueel sistemaóptico lente-ojo

sesustituyepor otro mássencilloformadopor la lente oftálmicay unapupilasituadaen laposiciónque

ocupael centroderotaciónocular.

En estascondiciones,secalculanlas aberracionesquepresentael sistemalente-pupilaen el centrode

rotaciónocularparaun pincelde luz cuyo diámetrono superaal de lapupiladel ojo humano(de 2 a 8

mm)queincide sobreel sistemacondistintosángulosde inclinaciónde maneraqueel rayo centraldel

hazpasepor el centrode la pupilasituadaen el centrode rotación[1] [4] , [3] , [7] . A esterayo se

eeeee 5

e Introducción

ee

le denominarayo principal. Delas aberracionesmonocromáticasde tercerorden, solocontribuyendee• manerasignificativaa unaperdidade la calidadde la imagentresaberraciones:elastigmatismooblicuo,

• la curvaturade campo(comoerrorde potencia)y la distorsión. En principio no esposibleconseguir

anulartodaslas aberracionesparael rangohabitualde ángulosdeinclinación(deO a 300), demodoque

el diseñode la lentetratadeconseguirla formaóptimadela lenteque permitaminimizarunadeterminadae• función de forma. ‘Ibmbién es importanteconseguiroptimizar otrosfactores,por ejemplo,es deseable

• que la curvaturadelas superficiesdela lente sealo menorposibley paraello seutiliza bien un material

dealto índiceo bienunasuperficierefractoraasférica.

El casodelentes progresivas[3] , [5] , [6] es más complejoya queel procesode diseñodebede

e atendera un mayornúmerode factores.Unalente progresivadebeproporcionaral usuariounazonade

e potenciaconstanteparavisiónlejana,unazonadepotenciaconstanteparavisión cercanay unazonadee

progresiónentreambas. Debidoa las característicasdelas superficiesprogresivas[7] , no es posible

e conseguirunasuperficieprogresivaqueproporcioneal usuariounavisión nítidaentoda laextensiónde

• susuperficie.De hechoentodalenteprogresivaexistenunaszonaslateralesdela superficiea travésde

• las cualesno esposibleobservarun objetocon nitidez. En el diseñode lentesprogresivasintervienen

ademásotrosfactores,de modoqueengeneraleldiseñode unasuperficieprogresivaesmáscomplicadoe• que el diseñode unasuperficieesférica,aunquetambiénseconservala ideageneralde minimizaruna

• ciertafuncióndeforma.

Unavezdiseñadaunalente,tiene lugarel procesode fabricacióndela lente [3] , [8]. El procesode

e fabricacióndependetantodela naturalezadel materialempleadoparala lentecomodel tipddelentequee• sedeseafabricar. Partiendode un bloquede materialse produceel llamadosemitermínado, demanera

• quesetafiay puleunade las superficiesde la lenteen unade las carasdel bloquedematerialy sedeja

• sin terminarla otrasuperficie.La superficiequese talla esla denominadacurva base o superficie base,

de modoqueel semiterminadopuedeutilizarseparaun ciertorangode potencias.En el casodelentese• a~féricasy progresivas,la superficiebaseesla superficieasféricao progresiva,ya queestassuperficies

• requierenun procesodefabricaciónespecial.El semiterminadosealmacenay posteriormentesetalla y

se pule lasuperficieinacabadadela lentequees aquellaquedeterminarálas propiedadesópticasde la

misma.

e El procesode tallado de superficiesesferotóricasse llevaacabomedianteun generador de tóricos• o unamáquinadecontrol numérico,siendoesteúltimo método el másmodernoy avanzadotecnológi-

• cainente. Trasel procesode tallado,se lleva a caboel pulidode las superficiespor mediode fricción

6 Generalidades acerca de las lentes oftálmicas

mecánica.La generacióndesuperficiesasféricasy progresivases un procesoespecial,existiendovarios

métodosparala fabricacióndelas mismas.En elcasodelentesorgánicassesuelerecurrira la inyección

del materialenun molde generadopor unamáquinade control numérico.En el casodelentesminerales

existendosmétodosprincipales: 1) Un ciclo térmicoen el cual que se talla y pule la superficieesférica

más aproximadaa la superficieprogresivaque se quierefabricar, se depositala lente sobre un molde

cerámicotallado conla formade la superficieprogresiva,secalientala lente hastaunatemperaturade

600 ~Cy sedejaenfriarlentamente,demaneraquela lente adquierela formadeseadasinperderel pulido

óptico, 2) ‘Ihílado y pulidodela lentepor unamáquinadecontrol numérico.

Unavez quese ha fabricadola lente,tienelugarel procesodecontrol decalidadparaasegurarque

la lentecumplelas especificacionesnecesariasparacumplir coneficaciasu papelde elementocompen-

sador. El procesodecontrol decalidadatiendetanto al control del acabadomecánicode las superficies

refractorasde la lentecomoal control de las característicasópticasde lamisma. En estesegundocaso

hay quecomprobarque los valoresde unaseriede magnitudesópticasse hallen bajo tolerancia.Estas

magnitudessonlas potenciasesféricay cilíndrica(enel casode lentesmonofocales), la adición (en el

casode lentesmultifocales)y el efectoprismáticoqueintroduzcala lente.

En el casode lentesesféricas,se controlanunaúnicamágnitudóptica: la potenciade la lenteme-

dida desdeel vértice de la segundasuperficiede la misma. En el casode lentes esferocilindricas,se

tieneunapotenciaparacadameridianodela lente,sin embargo,la lentese comporta,enprimeraaproxi-

mación,comolasuperposicióndedoslentesdelgadas:una lenteesféricay unalente cilíndrica. En estas

condiciónessecaracterizala lentepor las potenciasdelas lentesesférica(potencia esférica) y cilíndrica

(potencia cilíndrica) equivalentes.En el casodelentesbifocales,tenemosqueconsiderarlapotenciaen

lazonade lejosy la potenciaen lazonadecerca,de modoquela lente se caracterizaporla potenciaen

lazonade lejosy ladiferenciaentrelas potenciasdela zonade lejosy decerca,magnitudque sedenom-

maadición. En el casodelentesprogresivas,lapotenciavaríaa lo largode lasuperficiedela lente,de

modoquesetieneunadistribucióndepotenciaesféricay cilíndricaa lo largodelasuperficiede la lente.

Ademáslas lentesprogresivasa diferenciadel restode las lentespresentanun efectoprismáticoenel

centrogeométricodela lente,estoesqueun hazderayosse dellectaal atravesarel centrogeométricode

la lente. Esteefectosecaracterizapormediodela llamadapotencia prismática quedacuentadel ángulo

dedesviaciónquesufreunrayoal atravesarla lente.Lamedidadeestasmagnitudesse realizahabitual-

mentecon un frontofocómetro[9] ,aunqueesposibleutilizar otrosmétodosdemedida[10] [11] , [II]

(metodosMoiré, interferométricos,etc...).

ee

¡ntmducción 7eee

Los parámetrosópticosquecaracterizanunalente oftálmicaesferotórica,enconcreto,las potencias

de la lente puedenrelacionarsede un modosimple conparámetrosgeométricosde las lentescomo la

• curvaturade lassuperficiesrefractorasempleandolasexpresionesde laÓpticaGeométrica.Sin embargo,

• hastael momentono se haencontradoen la literaturauna relaciónsencillaquepermitacaracterizarel

comportamientoóptico de unalente quepresentesuperficiesrefractorasde formaarbitraria, tal y comoeesel casode unasuperficieprogresiva.

e• 1.2 Objetivose• El objetivogeneralquepersigueestetrabajodeinvestigacióneslaobtencióndeun formalismomatemático

quepermitacaracterizarde un modosimpleel comportamientOóptico de una lenteoftálmicaformadaepor superficiesrefractorasdeforma arbitraria. Parala consecucióndeesteobjetivogeneralse pretende

• el cumplimientodelossiguientesobjetivosparciales.

• Encontrarunarelaciónsencillaquepermitacaracterizarelcomportamientoópticodeunalentecom-ee puestapor superficiesrefractorasarbitrariasapartir de losparámetrosgeométricosdelas superficies

e dedichas lentes.

• • Particularizarla expresiónanteriorparalos casosparticularesenquelas superficiesrefractorasdelas

lentesseansuperficiesesféricas,tóricaso asféricas.e• • Comprobarexperimentalmentela relaciónanteriormedianteladeduccióndelosparámetrosópticos

• de unalente a partir de la medidadirecta de las superficiesde varias lentesoftálmicas utilizando

• las relaciónderivadaanteriormente.El métododemedidadebeserpreferentementeun métodoau-etomáticoparaconseguirunacaracterizaciónrápidadeun conjuntodelentes.Igualmentees deseable

• llevara cabounacaracterizarióndeloserroresexperimentalesdel métododemedidadesarrollado.

• Compararelmétododemedidaexpuestoen elpuntoanteriorconun métododemedidadirectade lose

parámetrosópticosdeunalente.

• • Desarrollaraplicacionesprácticasdel algoritmomatemáticodecaracterizaciónde lentes oftálmicas

• enÓpticaOftálmica

e 1.3 Plan de trabajo de estamemoria

En el capítulo2 se muestrala aplicaciónde los métodosmatricialesparala caracterizaciónde lentes

esferotóricas.Laaplicacióndeestosmétodospermitelacaracterizacióndelentesoftálmicasesferotóricas

8 Referencias

pormediodeunamatriz2>< 2 denominadamatrizdepotenciadióptrica. El restodelcapítuloestádedicado

a la descripcióndelas propiedadesdela matrizde potenciadióptricay desusprincipalesaplicacionesen

el ámbitodela tecnologíaoftálmica.

En el capítulo3 seintroducela matrizdepotenciadióptricalocalcomounageneralizaciónde lamatriz

de potenciadióptricaparael casode lentesoftálmicascompuestasde superficiesrefractorasde forma

arbitraria. La matrizdepotenciadióptricalocal sededucea partirdela expresióngeneralizadadela ley

dePrenticeobtenidapor nosotros.La matrizdepotenciadióptricalocal permitecaracterizarópticaniente

unalenteoftálmicacon superficiesrefractorasarbitrariasa partirde los parámetrosgeométricosdedichas

superficies.Al final del capítulopresentamoslasexpresionesdela matrizdepotenciadióptricalocal para

lentesasféricasy asferotóricas,queincluyen comocasosparticulareslas lentesesféricasy esferotóricas,

En el capítulo4 se describe el dispositivoexperimentalempleadoparala medidaindirectade la

matriz de potenciadióptrica local de una lente oftálmicaa partir de la medidadirectade la forma de

las superficiesrefractorasde la lente y semuestranlos resultadosobtenidosal medirunaseriede lentes

oftálmicas.Así mismo,mostramoslaestimacióndel errorcometidoen lamedidade lamatrizde potencia

diópticalocal. Finalmentecomparamoslos resultadosobtenidospor nosotrosconotrosque seobtienen

apartir de la medidadela matrizdepotenciadióptricalocal apartir de la medidadeladeflexióndirecta

deun hazláserencadapuntode la superficiede la lente.

Por último, en el capítulo5 se muestrandosaplicacionesdel algoritmodecaracterizaciónde lentes

oftálmicaspor medio de la matriz de potenciadióptrica local en ÓpticaOftálmicacomo sonla repre-

sentaciónde lentesoftálmicasen un espaciocuclideotridimensionaly el cálculodeefectosprismáticos

diferencialesenlentesprogresivas.

En los Apéndicesqueaparecenal final de la memoriaserecogenunaseriederesultadosadicionales

queaunquenecesanosparaun conectoseguimientodel trabajorealizado,haríanmás tediosala lectura

del texto.

Referencias

[1] Fannin,1, Grosvenor,1, Clinical Oprícs, l~’ edición,ButterworthHeinemann,Boston,(1996).

[2] hile, M., The Principies of Ophthalmic Lenses, 44 edición,ARDO,Londres,(1998).

[3] J. Salvadó,M. Fransoy,Tecnología óptica. Lentes oftálmicas, diseño yadaptación, EdicionsUPC,Barcelona,

ee

• Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemiórlcas. 9

e• (1997).e• [4] Atchison,D., “Spectaclelens design:a review”, Appl. Opt, 31, 3579-3585,(1992).

e[5] Young.J.M., “Re progressof progressives”,The Ophthalmic Optician, 28,300-306,(1984).

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ee oftheobliquecentral refractionin ophthalmiclenses’,Optik, 104,171-174,(1996).

eeeeeeee

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eeeeu>eeeu>u>eeu>u>u>eeu>eeeeeeeeu>eeeeeeeu>u>u>u>eeeu>eu>eeeeu>u>eu>u>eu,

u>eees

eeeeeee Capítulo 2eee Caracterizaciónmatricial de lentesoftálmicases-

ferotóricas.eee• En este capítulo se íntmduce el fonnolismo de la matriz de potencia dióptrica para la carac-

terización de lentes oftálmicas. Para ello, utilizando laformulación matricial de la Óptica Ge-ométrico., se deriva lamatriz de potenciadióptrica como lacaja C de lamatriz ABCD que repre-

e senta a una lente astigmática delgada. A partirde aquí se resumen lascarácteristicasprincipales• de la matriz de potencia dióptrica ysus principales aplicaciones que se recogen en la literatura• En particular se muestran diversas aplicaciones del formalismo de la potencia dióptrica; como• son el cálculo de descentramientos en lentes oftálmicas monofocales e incluso bifocales, la ob-e tención de una fórmula sencilla para el cálculo del espesor de bonle de uno lente asferotórica y

• por último, la utilización de lamatriz de potencia dióptrica para ladescripción estadística de une conjunto de estados refractivos.ee 2.1 Resuménde la formulación matricial de la óptica geométricae• paraxiale

Es bienconocidala aplicaciónde métodosmatricialesal estudiode la ópticageométrica,en particular,

• parael cálculodetrayectoriasderayosensistemascentradosteniendoencuentalaaproximaciónparaxial

• [1], [2], [3]. Estaformulaciónmatricial5~ basaenla descripciónde latrayectoriadelrayoquepasapore

un punto1’ por un vectordedos’ componentes,la alturay del rayosobreel ejeóptico en P, y el índice

• derefracciónn del mediodondeseencuentrael puntoP multiplicadoporlapendientequeformalarecta

• quedescribela trayectoriadel rayoconel ejeóptico,quedenotaremospora,dadoqueenaproximación

paraxial la tangentey el ánguloseconfunden.En estascondiciones,el vectorvp quedefineel rayoen

el puntoP, vienedadoporee ~= (7w)~ (2.1)e

Supongamosqueel rayo, definido en el puntoP por medio del vectorVp, se propagapor un medio

homogéneoe isótropo,hastaalcanzarelpuntoQ, situadoa la derechadel puntoP, teniendoencuentaelee sentidousual de propagacióndela luzdeizquierdaa derecha,tal y comose puedeverenla Fig. 2.7.

e Wmosa limitarnos de momentoaconsiderarpropagaciónde rayosen el planoncúdianodel sistema. En el casogeneralde unrayocruzado,quetrataremosmásadelante,utilizaremosun vectordecuatrocomponentespararepresentaral mismo.

ee II

eeu>e

12 Resumén de lo.formulación matricial de la óptica geométrica paresia! u>eee

Es inmediatocomprobarqueel vectorquedescribeel rayoenel puntoQ sepuedeescribircomo: u,

u,= (~ K~Uí ), (2.2) u,

u,

u,enestaecuación,1 representaladistanciaa lo largodel ejeóptico entrelos puntosP y Q. A partirdelas u,ecuaciones<2.1) y <2.2), podemosencontrarfacilmentelasiguienterelaciónentreVp y VQ e

ei’i I\ e

= ko n)VP. (2.3) eu,

Así pues,la propagaciónrectilineadeun rayoatravésdeun mediohomogeneovienerepresentada,enla u,

formulaciónmatricial de laópticageométricapor mediode la matriz

eu,

~==(i ~ <2.4) eeu,

la matriz~ se denominamatriz de paso u operador de pasoy representacomohemosdicho la propa- u,gaciónrectilineadeun rayoenun mediohomogéneoe isótropo,entredospuntoscuyadistanciaa lo largo u,del ejeóptico es1. La cantidad.L seconocecomoespesor reducido. u)

It

A continuación,vamosa estudiarel casoenel queun rayoincidesobreunasuperficieesféricaquesepara u,edosmediosdediferenteíndicederefracción.LI y comosepuedeverenlaFig. 2.2, el rayoincideenel u,

puntoP situadosobrela superficieesféricaE, refractandosea continuación.Si elvectorquedescribeal u,

rayoincidentevienedadoporla ecuación(2.1),el vectorv~ quedescribeal rayorefractadovendrádado u>

por laecuación: u,e(~ rfa’ ) (2.5) u>u,

dondesepuedeapreciarque el efectode la refracciónha consistidoenun cambioen la direccióndel u,

rayo, pasandoladireccióndel rayoa formarun ánguloa’ conel eje óptico. Deacuerdoconla expresión u,eclásicaparala refracciónenun dióptrioesféricoderadioR, la relaciónentrea y a vienedadapor: u,

(n’—n

)

1? y+na. (2.6) u,u,

La ecuación(2.6), no es másque laexpresiónde la fórmuladeLange[3] en aproximaciónparaxial. De u,

acuerdoconestaecuación,y teniendoen cuentaquela alturadel puntoP sobreel eje óptico no varia u,

u,

u,

u)

u,

u,

u,

u,

u,

u,eje,

Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas. 13

e• trasla refracción,podemosescribirla siguienteley matricialparala refracciónen undióptrioesféricoene

aproximaciónparaxial:

• ~‘=((~t—~ ?)vP. (2.7)• VR

• Podemospuesdefinir lasiguientematriz de refracción u operador de refracción como:

•• R=(~(n’~n) ~). (2.8)e

Definidoslos operadoresderefraccióny depasoesposibletrazarunrayopor cualquiersistemadióptrico

• centrado(la extensióna sistemasquecontenganelementosreflectoreses inmediata,sustituyendoen la

• ecuación(2.7)it’ por —it). Supongamos,tal y comomuestrala figura(Fig. 2.3),quenuestrosistemaesta

formadopor k superficiesesféricasE1,E2, ..., E1, ..., Sk, que tienenasociadaslas correspondientese• matricesde refracción~?í312, ..4I2~, ...,YR& y de pasoentresuperficies£~1j=2,...j~j

9¿=k..1. Sea

• puesun rayoquepasapor el puntoobjeto O, caracterizadopor un vectory0, en estascondiciones,el

• vectorvp1del rayoenel puntodeincidenciaenlaprimerasuperficie,Pi, vendrádadopore• vp1 = %v0, (2.9)

esiendo£Jo la matrizdepasoentreel puntoobjetoy el puntodeincidenciaenlaprimerasuperficie.Tras

• refractarseel rayoen laprimerasuperficiepodemosescribirel vector como

e• v’~, =lJtp,%vo, (2.10)

e• operandoiterativamente,podemosencontrarel vectordel rayo tras refractarseen la i-ésimasuperficie,

• VP, demodoque:e• v~,1 ~ (2.11)

e• A partir deestaecuación,encontraremoslaexpresiónfinal querelacionalos vectoresdel rayoenel punto

• objetoO e imagenO’, expresiónqueadoptala siguienteforma:e•

= ~ (2.12)

e• De acuerdoconestaecuación,podemoscaracterizarla actuacióndeun sistemaóptico centradosobreun

eee

14 Resumén de laformulación matricial de la óptica geométrica paraxial

Q

___a

1 y-k

Figura 2FFropa gación de un rayo de luz a través de un medio homogéneo e isótropo

p

Figura 2.2.Refracción en una superficie esférica

Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas.

rayo pormedio de la matriz

R=

15

(2.13)

quesueledenominarseMatriz del sistema óptico u Operador del sistema óptico. Debehacersenotar

la importanciaque tiene el ordende multiplicaciónde las matricesde refraccióny de pasodel sistema,

debidoa la ausenciadepropiedadconmutativaenel productodematrices.Lasecuaciones(2.4), (2.8) y

El E2 E3E4

u

E7E8 E9 E10

Figura 2.3.Ejenip¡o de sistema óptico compuesto por múltiples superficies rfractoras: Objetivofotográfico Biotar <Zeiss)

(2.13),caracterizancompletamentela acciónde un sistemaóptico centradosobreunrayocualquieraque

estécontenidoenel plano meridiano. Conlaayudade estasecuacionessepuedecaracterizarcualquier

sistemaóptico (enaproximaciónparaxial),encontrandoloselementoscarícteristicosdel mismo: puntos

y planosfocales,puntosy planosnodalesy puntosy planosprincipales,tal y comovieneexplicadoen

]os textosdeópticamatricial [1] , [3]. En particular,unalentegruesaviene representadapor el siguiente

operadormatricial

= ( 1 + e(n—1

)

ID ~ —~ e(n—1)1[?~ R2 nR1R21

eit

— e(n— 1

)

R2n

(2.14)

haciendoe = O en la expresiónanterior, encontramosqueuna lente delgadaviene representadapor la

.4

eeee

ee

eeeee

eeeeeeee

e

e

eee

eeeeeee

eee

16 Resumén de la formulaciónmatricial de la óptica geométrica paraxial

matriz

Quepodemosescribir

siendoS la potenciade la lente delgada,definidaa travésde la ecuacióndel constructorde lentes [3]

como

S = (it —1) {+ —+1 (2.17>

deestemodose puedeestudiarcualquiersistemaóptico comocombinaciónde lentesdelgadas.

Hastael momento,hemoslimitado nuestraatencióna aquellosrayos queestáncontenidosen el plano

que defineel eje óptico y unaseccióndel sistema.sin embargo,la formulaciónmatricial de la óptica

geométricatambién es capazdeestudiarla propagaciónde rayosoblicuos. Paraello, se deberedefinir

t -

o 5

x

Figura 2.4.Cosenos diactores de un rayo que se pmpaga oblicuamente ~rspecboal sistema de referencia OX, OY 07

el vector de rayo de lasiguienteforma:

¡ x

¡y’

k ita

e

• Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas. 17eee• donde(xy) sonlas coordenadasdel puntodel planoperpendicularal ejeóptico por dondepasael rayo,

y (6,a) son loscosenosdirectores2de la direccióndel rayo, respectoa los ejesOX y OY,(Fig. 2.10).

Deacuerdocon ladefinicióndevectorderayooblicuodadaenla ecuación<2.18), se puedecomprobar

• queel operadordepasoadoptala siguienteexpresión

•• o

• 1 ~ (219)

e• o

y queeloperadorderefracción ~puedeescribirsecomo:e o

•0 ío’ (2.20)alob.j(fl½-it)• ¡(it’—it

)

R 01/

• Con la ayudade los operadoresdefinidosen (2.19) y en (2.20), se puedeestablecerla trayectoriaen

e aproximaciónparaxialdecualquierrayooblicuoqueatravieseun sistemaóptico centradocompuestopor

superficiesesféricas.Enparticularel operadorquerepresentaa unalenteesférica,vienedadopor

• 000• 1 0 0 ¡ (2.21)•eee• 2.2 Estudio de lentesesferotóricaspor medio de la formulación• matricial de la óptica geométrica.

• Unavez estudiadosen el apartadoprecedenteun resuménde la formulaciónmatricial de la ópticage-

• ométrica,en aproximaciónparaxial, vamosa aplicar estosmétodosmatricialesal estudiode sistemas

astigmáticos.En particular,vamosa centrarnuestroestudioenlentescilíndricasy lentestóricasdel-

• gadas,comolas empleadasenlaprácticaoptométricaparala compensacióndel astigmatismoocular.

• En la figura(Fig. 2.5),podemosver la refraccióndeun hazderayosatravesdeunalenteplano-cilíndricae

2 Enaproximación paraxial, que es el marco enel que nosestamosmoviendo,dichoscosenosdirectoresseconfradenconlos ángulos• queforma [adireccidn del rayo en el ponto Pcon los ejes de coordenadasOX y QY, respectivamente.eeee

eeeeee

18 Estudio de lentes esferotóricas por medio de laformulación matricial de la óptica geométrica.

enlos dosmeridianosprincipalesde la lente,estoes,aqueldefinidopor el eje del cilindro y su perpen-

dicular,quedenotaremos(Fig. 2.10)por los ejesde coordenadasOY y OX, respectivamente.Nuestro

objetivoesencontrarel operadormatricial que representaa estalentecilíndrica. De acuerdoconlovisto

enla secciónanterior, podríamosescribirdichooperadorcomo:

= c~00 0\100~b 1 0¡~dO 1/

(2.22)

Dondea, b, c y d sonconstantesadeterminarempleandolaspropiedadesde las lentescilíndricas. Sabe-

mosque,paraunalente cilíndrica, los rayoscontenidosen el planoquedefinenel ejeóptico OZ y el

meridianoOY -que coincideconel ejedel cilindro-, no sedesvian,y por tanto se cumpleque3

F

Figura 2.5.Refracción de un haz de rayos a través de una lente plano cilíndrica. Nótese que la sección de haz contenida en elplano

defin ido por 07y OYno se des-’da.

a =a (2.23)

si aplicamosel operadorLS, definidoen(2.22),encontramosque

a’ =cx+dy+a,

y:

(2.24)

En estadiscusién,vamosatrabajarconlentesdelgadasen aire,de modoquevamosaconsiderarquena= a, en todoslosvectoresde rayoqueempleemos.

eee• Caracterización matricial de lentes oftñlmicas esfemtóricas. 19

ee• obviamente(2.23)y (2.24)coincidenúnicamentesi c = d = 0. Porotro lado, todorayocontenidoenel

• plano formadopor unasecciónperpendicularal eje del cilindro, esrefractadopor la lentecilindrica, tal

y comolo haríaunalenteconlasuperficieanterioresféricay laposteriorplana,coincidiendoel radiode

• curvaturadesu primerasuperficie,conel radio del cilindro. Dicho de otro modo,

• — (it— 1) (2.25)_____ x+6.

• Laaplicacióndel operadorLa, nosdala siguienteexpresión:

e• 6’ = cxx + by +6, (2.26)

e(it—1) _ _

• igualando(2.25)y (2.26),encontramosque a = — — C dondeC esla potenciacilíndricade

la lente,y queb = 0. Deestemodo,el operadorquerepresentaa unalente cilíndrica,cuyosmeridianose• principalescoincidanconlosejesOX, y OYde nuestrosistemadereferencia,estadadopor:

• 000• 1 0 0 ¡ (2.27)

0 ~ 0•ooí/

eEn laprácticaoptométricahabitual,escomúnencontrarseconlentescilfndricasparalas cuales,los merid-e

• ianosprincipalesno coincidencon los ejesOX y OY, sinoqueseencuentrangiradosun ánguloa con

• respectodedichosejes.En estecaso,debemosescribireloperadorLa, querepresentaunalentecilíndrica

• comoe• L0 =r’LSR, (2.28)

e• enestaexpresión,Lb esoperadorlente cilíndricaenel sistemade coordenadasdefinidoporlosmeridi-

anosprincipales<2.27),mientrasqueR es un operadorquerepresentala rotaciónde losejesdecoorde-

hadas.Puededemostrarse[5] , [6] quedichooperadorvienedadopor unamatrizdela forma

• cosa —siria O O N• sina cosa 0 0

g ~ cosa —siDa)’ (2.29)

siendosuinversaR’igual asutranspuesta,dadoqueResun operadorortogonal.SustituyendoR, R-’ee

eee

e

eee

20 Estudio de lentes esferotóricas por medio de la formulación matricial de la óptica geométrica.

y Lb en la ecuación(2.28), se obtienela siguienteexpresiónparael operadorlente cilíndrica,

¡ 1 0 00

r1 0 1 GolLiC—¡ —Ccos2a —Csinacoso 1 ~ ¡ (2.30)

—Csincxcosa —Csin2a 0 i )Consideremosel casomásgeneralde unalente esferotórica,de mayorimportanciaen la prácticaop-

tométricaque las lentescilíndricas. Es bienconocido[4] , que dichaslentespuedenconsiderarsecomo

la superposicióndeunalente puramenteesféricay unalente cilíndrica. De estemodopodemoshallarel

operadorquerepresentaa unalenteesferotóricaLET, sinmásquemultiplicar el operadordelentecilín-

dricaL0, dadopor la ecuación(2.30) y el operadorde una lente esféricaLE, de acuerdocon (2.13).

ObteniendoqueLET vienedadopor la expresión

0 001 0 0 (2.31)

LET=((S+~2) -Csinacosa 1 0 ¡~

—(S+Csin2a) 0 1)

Utilizandoestáexpresión,podemoshallarel cambioquesufrenlos cosenosdirectoresdeun rayooblicuo

tras atravesaruna ¡enteesferotórica.De tal maneraque

6’ = — (S + Ccos2a) x — (Csinacosa)y + 6, (2.32)

a’ = —(Csinacosa)x—(S+Csin2a)y+a. (2.33)

De acuerdocon [16] , las componentesdel efectoprismáticovienendadaspor

1’ ~‘i ¡.1% — 6’— (2.34)Y

demodoquepodemosescribirla siguienteexpresiónparaencontrarel efectoprismáticoproducidopor

-unalente esferotórica,en cualquierpuntodela superficiede lamisma

( Ex > _ (S+Ccos2a Csinacosa>1 x’~) — Csinacosa S+Csin2a )~y )~ (2.35)

estaes la formulaciónmatemáticadela ley dePrenticeaplicadaa lentesesferotóricas,paralas cualesel

eje del cilindro sehallaorientadodeun modoarbitrario respectodel sistemadecoordenadasutilizado.

e

eee 21

Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas.ee• 2.3 La matriz de potencia dióptrica: definición y propiedadesee 2.3.1 Definición y característicasprincipales de la matriz de potenciadióptricae

La expresión(2.35)nospermitecaracterizara unalenteoftálmicaesferotórica,pormediodeun operadore•• (S+Ccos2ct Csinacosa’\

F= Y Csinacosa S+Csin2~)‘ (2.36)

equedenominaremosMatriz de PotenciaDióptrica. Esteoperadorfue introducidopor primeravezpara

• el estudiodelentesoftálmicasesferotóricaspor Long [8] , pararesolverproblemasde descentramiento

• de cilindroscruzados.Sin embargo,la derivaciónformal de la matrizde potenciadioptrlcaa partirdel

• formalismo matricial de la ópticageométricase debea Keating [9] , [10] , mientrasque un extensoe

estudiode las propiedadesdela matrizdepotenciadióptricaes debidoa Harris([15] a [19]). X~mos a

• continuacióna ver las propiedadesfundamentalesdedichamatrizdepotencia.

• En primerlugar, vamosaestudiarla relaciónentrelas componentesf~g delamatrizdepotenciadióptrica

y la potenciaesférica,cilíndrica y el eje del cilindro de la lente, [S c x a]. De acuerdocon (2.36),e

tenemoslasrelacionesdeLong

e• = S+Ccos2a, (2.37)

• = Csinacosa, (238)e• = S+Csin2a. . (2.39)

e• Porotro lado,conociendolamatrizdepotenciadióptricaF quecaracterizaaunalenteoftálmica,podemos

• hallarla potenciaesférica,cilíndricay el ejedel cilindrode dichamatriz, de acuerdoconlas siguientes

• relaciones[11]

• 5 = (trF—C)¡2, (2.40)

e ‘2’• C = ± (~trF—4detF)~ (2.41)

e 1~

• tana (2.42)

e• La importanciadeestasexpresionesen ópticaoftálmicaesque permitenresolverfácilmenteel estudioe

del problemadecrucedelentesesferocilindricas,métodoútilizadoenoptometríaparala determinación

e

e

ee

ee

22 Aplicaciones de la matriz de potencia dióptrica en óptica oftálmica

del estadorefractivodepacientesastigmáticos.Puededemostrarseque,segúnlasleyesdelaformulación

matricialde laópticageométrica[8] la matrizF, quecaracterizaaun sistemacompuestopor doslentes

esferotóricascruzadas, dadaspor las matricesFi y F2, es

F = F1 + F2. (2.43)

De estemodo, la resolucióndel problemadel crucede lentesesferotóricasse simplifica considerable-

menteconla ayudade las relaciones(2.40),(2.41),(2.42)y (2.43).

Por último, debemosconstarotrasdoscarácteristicasde la matrizde potenciadióptrica: La matriz de

potenciadióptricaes simétricaparaunalente delgada,o paraun sistemadelentesdelgadaspegadasy la

matrizdepotenciadióptricaes invarianterespectoal signodel cilindro.

2.4 Aplicacionesde la matriz de potenciadióptrica en ópticaoftálmica

Vamosa vera continuaciónlas principalesaplicacionesde lamatrizdepotenciadióptricaqueserecogen

en la literatura. La utilizacióndel formalismode la matrizde potenciadióptricapermiteresolvercierto

númerodeproblemashabitualesen ópticaoftálmicade un modomásrapido, sencillo y elegante. La

mayoriade estasaplicacionesha sido desarrolladapor Harris, especialmenteaquellasreferentesa la

utilizacióndel formalismode lamatrizdepotenciadióptricaparaestablecerunaestadísticacompletade

estadosrefractivos.

2.4.1 Ley de Prentice para lentesesferotóricas: descentrandentosen lentesmonofocalesy bifocales.

Laecuación(2.35) constituyela expresiónde la ley de Prenticeparaunalente esferotórica,aunqueun

modomásgeneraldeescribirdichaleyes

x

( sinacosa S+Csin2a ), (2.44)

dondeseha tenidoen cuentalaposibilidaddequeelcentrogeométricodela lentemontadano coincida

conel centroóptico dela misma,procedimientoutilizado enoptometríaparala compensacióndeforias.

En estecaso,las coordenadasdel centroóptico de la lente,referenteal sistemadecoordenadascentrado

Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas.

enel centrogeométricodela lente,vienedadopor laecuación

xJ’~ =~~1 ( —(S+Csin2a)( lIc ,/ (S2+SC) \ Csinacosa

Csinacos a ‘~ ( P~ N~— (S+Ccos2a) ) k “0 )

Deestemodopodemosencontrarel descentramientodela lentetórica. Esteformalismopuedeextenderse

parael estudiode lentesmenossimplescomolas lentesbifocales[15]

En efecto,supongamosuna lente bifocal, tal y como se muestraen la figuraFig. 2.6. Podemosver

quela lentepresentaunazonaparavisión lejana,que consideraremoscomo unalente tóricacon centro

óptico enO (Fig. 2.6)y caractérizadapor unamatrizdepotenciadióptricaF. Por otro lado, tenemosla

lentilla quesealiadeparapermitir lautilizaciónde la lente envisión decerca.Consideradadichalentilla

como unalente independiente,estapresentaun centroóptico en oc y unamatriz depotenciadióptrica

“adición” A. Cuandoseunenla lenteparavisión delejosy la lentilladevisiónpróximaformanla lente

bifocal. La zonade visión de cercapuedeconsiderarsecomo unalente esferotóricaobtenidapor la

Figura 2.6Repmsentación esquentñtica de un bifocal y localización de los centms ópticos de la lente y de la lentilla de visión de

ce/ra

superposicióndedoslentesdelgadas,caracterizadaspormatricesdepotenciaF y A, concentrosópticos

situadosen O y en 0c. respectivamente.Por consiguiente,tal y como hemosvisto, la zonade visión

decercadel bifocalsecomportarácomounalente esferotóricacaracterizadapor unamatriz depotencia

dióptricaFN = E + A, y cuyocentroóptico estarásituadoen el punto0N~ Nuestroobjetivoes hallar

la posiciónde dichocentroóptico de la zonade visiónpróxima,QN•

Paraello, procederemosdel siguientemodo.Dadoun puntoP, situadoenlazonadevisión cercana(Fig.

23

(2.45)

ee

eee

eeeee

eeeeeee

eeeeeee

ee

eeeeee

eeee

eeeeeeea

24 Aplicaciones de la matriz de potencia dióptrica en óptica oftálmica

2.6),podemoscalcularel efectoprismáticoendichopuntosegúnla expresiónsiguiente[15]

Pp=—Fr—A(r—rc), (2.46)

que indicasimplemente,queel efectoprismáticototal resultade lasuperposicióndelos efectosprismáti-

cos causadospor la lentedelejos y la lentilla, referidosadistintoscentrosópticos,comoeradeesperar.

La ecuación(2.46),puedeescribirsecomo

PP=—FNr+Arc. (2.47)

La condiciónmatemáticaquedebecumplirseparaencontrarel centroóptico de la porción cercanadel

bifocal es

PN = 0, (2.48)

donde el subíndiceN, indicaque nos hallamosen la posicióndel centroóptico. Sustituyendoen la

ecuación(2.47),encontramosque

FÑr,v= Ar0, (249)

el problemase reduce,por tantoa resolverestaecuación.Llegadosa estepunto,podemosencontrardos

casos:enel casomáscomún,el rangode lamatrizdepotenciaFN esdos,y por tanto, es invertible,de

modoque [15]

rN=FN (Aro), (2.50)

siendoFÑ’ la inversadelamatrizFN, deacuerdoconladefinición clásicade inversadematriz, estoes

FÑ’FN = 1, (2.51)

donde1 es la matrizidentidad2 x 2. La otraposibilidadesquela matrizFN tengaun rangoinferior a

dos,enestecaso,no existeunamatrizinversaquecumplalaecuación(2.51). Aunasí,esposibleresolver

[15] la ecuación(2.47),haciendousodela inversageneralizadadeMoore-Penmsede una ,natri~ [16]

Dadaunamatriz W, se definesumatriz inversageneralizada,\V, como aquellaque satisfacelas

siguientesigualdades[16]

ww-w = w (2.52)

eee• Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas. 25eee• WWW = W, (2.53)

e WW— = (WWj’, (2.54)e• wW = (wW)’ (2.55)e• dondeel simbolo ‘ indica la operaciónde transposición. En el casoparticular en que la matriz W

es cuadrada,de dimensiónit x it, no singulary el rangode W coincidecon it, entoncesla matrizepseudoinversaW coincideconlainversaordinariaW1,definidaatravésdelaecuación(2.51). Puede

• demostrarse[15] ,queexistesoluciónparala ecuación(2.49) si y solosi, secumpleque

• FNF Ar0 = A rc, (2.56)

e• ecuaciónquepuedereescribirsecomoe• (1— FNFÑ) A rc = 0, (2.57)e• siendoOlamatriznula. Si estascondicionesdeexistenciasesatisfacen,lasolucióngeneraldelaecuacióne

(2.49)vienedadapor lasiguienteexpresión

e• rN = F~ Arc + (1— FNF) g. (2.58)

e• Siendog un vectorcualquiera.En el casoparticularen que (1 — FNFfl = O, se tienequeel centro

• óptico en la zonade cerca¿s único, y que la matriz inversageneralizadaFÑ coincideconla inversa

• ordinariaFÑ’, siendolasoluciónbuscadae

rN =F~’Ar0. (2.59)ee

En casocontrario,laecuación(2.58)representalas infinitassolucionesqueaparecen(unaporcadavalor• deg) parala ecuación(2.49).

• En resumidascuentas,al tratar deencontrarel centroóptico en la zonade visión cercanadeuna lente

• bifocal,nospodemosencontrarcon trescasos:1) la existenciade un únicocentroóptico enla zonadee visión próxima,ecuaciones(2.51),(2.59), 2) la aparicióndeinfinitos centrosópticoslocalesquepueden

• hallarsepor medio de la ecuación(2.58) y 3) la no existenciade prismalocal, cuandolas condiciones

• (2.56)o (2.57) no sesatisfacen.

eeeeeeeeeeeea

26 Aplicaciones de la matriz de potencia dióptrica en óptica oftálmica

2.4.2 Obtención del espesoren borde para lentesesferotóricas

Otraaplicacióninteresantede lamatrizdepotenciadióptricaestarelacionadaconlaobtencióndel espesor

en bordede una lente esferotórica.Estaaplicaciónestábasadaen !a forma aproximadade la sagitade

unasuperficietórica. Es bienconocida[12] la forma exactade lasagitade unasuperficetoroidal, que

vienedadapor unaexpresióndel tipo

z=R1— j(Ri—R2+ R~~Y2~x2) (2.60)

dondeR1, J?2 sonlos radiosde curvaturade la superficieen los meridianosprincipales(quecoinciden

conlas direccionesdelos ejesdecoordenadasOX y OY,respectivamente).Si suponemosquelos radios

decurvaturadeambosmeridianosdeltoro sonmayoresqueel diámetrodel circuloquedefineel bordede

la lente,podemosaplicarla llamadaaproximacióndeRayleigh [12], obteniendoselasiguienteexpresión

para lasagita

x2

(2.61)2R

1 2R2

Utilizandolas curvaturasenlugardelos radios,podemosescribirlaecuacionanteriorcomo

1z = ~ (CIA +02v

2), (2.62)

sabemosque01 <02, yaqueR1 > J?2,demodoquepodemosescribir02 = O~ + C~ y 0~ =

0s~de

modoque la ecuación(2.62),quedadela siguienteforma

z=~Ácsx2+(cs±cc)v2). (2.63)

Hastaahora,hemosconsideradoquenuestrosejesde coordenadasOX, OY sonparalelosa lasdirec-

ciónesdelosmeridianosprincipalesen lasuperficie,sinembargo,engeneralestonoescieno,existiendo

unarelaciónentrelas coordenadas(x, y) deun puntoPdelasuperficieen la basedefinidapor losmerid-

ianosprincipalesy las coordenadas(x’, y’) del puntoP enunabasearbitraria.Dicharelaciónvienedada

a travésdelamatrizderotación

/Z’\ ¡cosa sina ‘~ ¡ \

Yy)Y—sinct cosa) Y ~t ) (2.64)

Sustituyendolas coordenadas(x, y) dadaspor la ecuación(2.64) en (2.63),obtenemosla siguienteex-

ee

e• Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtóricas. 27ee

• presiónparala sagitade lasuperficie

• 2 = 4 [(Os + Occos2a) (i~ + 2% cosasinaz’y’+ (Os + Ocsin2a) (y’)2] , (2.65)

e• quepermiteescribir la siguiente formacuádraticaparala sagitade unasuperficetóroidal, expresióne

debidaa Harris [12]

• 1 S+Ccos2a Ccosasina\ /x’ \2 2(n’ — it) ~ ~ ¾,,Ccosasina S+Csin2a ) Y )‘ (2.66)

e• demodoquelasagitadelasuperficiequedacomofunciónde lospoderesrefractoresSy O dela superfi-• cie, o másespecificamente,delamatriz depotenciadióptrica delamisma.Haciendousodelaecuación

• (2.66) y sabiendoqueel espesort encualquierpuntode unalente vienedadopor [4]e• t = t~,- 2~+ 22, (2.67)

e podemosescribirel espesordeunalenteesferotórica(situadaenaire)como

• 1— r Fr, (2.68)

• 2(n— 1)e

siendot~ el espesorcentralde la lente,r el vectordeposición(coordenadas(a?,ti’)) en la superficiede

• la lentey E la matrizde potenciadióptricade la lente. Esta importanterelación,quepermitecalcular

• el espesoren cualquierpuntode unalente esferotóricacongrangeneralidad,admite la siguientegener-

alización [13] parapoderconsiderarel casopaniculardelentesquetenganun prismaP,. en su centroe• geométrico

1 r’P r’Fr. (2.69)• (it—1) c2(nl)

eQueremosseñalar,por último, que la ecuaciónanteriorpermite, entreotrascosas,calcularel espesor

• tnáximoy el mínimo a lo largodecualquiermeridianode unalente esferotóricautilizandouna técnica

• demultiplicadoresdeLagrange[14].

2.4.3 Utilización de la matriz de potenciadióptrica para elestudioestadísticoee de lentesesferotóricase

En ópticaoftálmicaresultadeconsiderableinterésel establecimientodeunaestadísticacompletadeesta-

• dosrefractivos.La utilizacióndel formalismodela matrizdepotenciadióptricahapermitidoestablecer

eee

e

eeee

28 Referencias

deun modosimpleunaestadísticacompletadeestadosrefractivos.El trabajode desarrollodedichaes-

tadísticaesdebidoa Harris [17] ,[18] y [191concontribucionesdeotros autores[91,[l0], [21] y [22]

En general,dadoun estadorefractivo,estepuedesercaracterizadopor un trio de númerosreales. En

notacióntradicional fS O x a]seusael valor de la potenciaesférica,la potenciacilíndrica y el ángulo

formadopor el eje del cilindro de la lente oftálmicautilizadapara compensardicho estadorefractivo.

De modoalternativo,si se utiliza el formalismode la matrizde potenciadióptrica, un estadorefractivo

vienedadoporlos tresvalores(f, fn,, f~jde lascomponentesdelamatrizdepotenciadióptricade la

lenteoftálmicautilizadaparacompensardichoestadorefractivo.Laventajadeestaúltimarepresentación

eslaposibilidaddeestablecerunacorrespondenciaentreel conjuntode posiblesestadosrefractivosy el

espaciovectorialR3 [18]. SiguiendoaHarris[17] y [19] , esposiblerepresentarun estadorefractivopor

un vectorf = (f, f~,, f~) cuyascomponentessonlos elementosde lamatriz de potenciadióptrica

correspondientea dichoestadorefractivo.

En estascondiciones,dadaunaseriede estadosrefractivosf1, ~‘2,f3... f, resultafactibledefinir lasmag-

nitudesestadísticasmáshabituales[20] , comolamediaaritmética

f=! >5 (2.70)1=1

lavarianza

fit

o la desviacióntípica

(2.71)

(2.72)

La utilizaciónde las ecuacionesanteriorespermitela caracterizaciónestadísticadeestadosrefractivos

utilizando loselementosde la matrizde potenciadióptricacomovariablesestadísticasindependientes,

en lugardela notacióntradicionalde esfera,cilindro y eje.

Referencias

eeee

Caracterización matricial de lentes oftálmicas esfemtáricas. 29

ee• [1] E. O’Neill, ¡ntmductionto Statistical Optics, (1’ edición),DoverPublicationsInc., NewYork, (1992).e• [2] E. Hecht,A. Zajac,Oprica, (xx edición), Addison-V&sley,Wtlmington, (1974).

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AstigmaticEye”, Am. ¿ Optom.PhysioL 0$., 58,919-929,(1981).e• [11] MP Keating, “An EasierMethodto Obtain dic Sphere,Cylinder,andAxis from an Off-Axis Dioptric

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[22] H. Saunders,“Transformationof sphero-cylinders.II. Mean,varianceandstandarddeviation”, Op/it/ial

P/iyiot Opt., 5, 327-332,(1985).

eeeeee• Capítulo 3eee• La matriz de potenciadióptrica local deuna lentee• oftálmica.eee• En este capítulo se intmduce el concepto de Matriz de PotenciaDióptrica Local (MPDL) en• lentes oftálmicas que presenten superflces refractoras de forma arbitraria, raly como ocurre en• el caso de las lentes de adiciónpmgresiva. Para introducir el concepto de MPDL se ha derivado• en primer lugar una generalización de la ley de Prentice, esta generalización permite caracteri-

zar el efecto prismático que presenta una lente oftálmica compuesta de superficies refractaras• arbitrarias. A partir de la expresión generalizada de la ley de Prentice, se ha encontrado una• relación matricial entre el efecto prismático y el punto de la superficie de la lente en el cual se• quiere calcular dicho efecto prismático. Esta relación matricial viene dado por la MPDL. que• permite caracterizar ópticamente lentes oftálmicas con superficies refractores arbitrarias. Para• finalizar se muestran las expresionesanalíticas de la MPDL en lentes oftálmicas con superficies

refractores asféricas y asfemióricas.

ee

3.1 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y propiedadesComose havisto enel capItulo2, la aplicacióndetécnicasmatricialespermitela caracterizaciónde lose

• efectosprismáticospresentadospor lentesoftálmicasesferocilíndricaspor mediode la l~y de Prentice.

• A continuación,vamosa estudiarunageneralizacióndela ley dePrenticeconel objetodeencontrarlos

• efectosprismáticosen lentesoftálmicascompuestasdesuperficiesrefractorasarbitrarias.En particular,enuestroobjetivoeslaobtencióndeunaley sencillaquepermitacaracterizarlas desviacionesprismáticas

• enlentesprogresivas.Paraello es necesariotenerencuentalas siguienteshipótesis:

• 1/ Aceptaremoscomoválida la aproximaciónparaxial. Estahipótesises ciertaen primeraaproxi-

maciónparalentesoftálmicasdebidoal efectode la rotaciónocular, quepermitevariar la direccióndeemiradadel ojo panobservarobjetossituadoslateralmenterespectoalacaben

• 2/Wmosaconsiderarquelas superficiessonsuficientemente“planas”.Esteconceptoseráexplicado

condetallemásadelante.

3/Porúltimo, vamosa suponercorrectalaaproximacióndelentedelgadaya quelosespesoresdelaselentesoftálmicasmáscomúnmenteutilizadasen la prácticaoptometrica,tienenvaloresnuméricoscer-

canosa 5 mm, inferioresalas dimensionesde los radiosde curvaturay diámetrosde las lentes. Puede

demostrarse[1] , queelefectodelespesorenlosparámetrosdediseñodeunalenteoftálmicaesgeneral-eeeeeeawaa

a

32 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y ptvpiedndes

x

Figura LiGeometría de la refracción de un rayo a través de una superficie deforma arbitraria

mentepequeño.

Con la ayudade estashipótesisvamosa establecerunaexpresiónparala desviaciónquesufreun

rayo tras refractarseen unasuperficie arbitraria, tras lo cual estaremosen condicionesde considerarla

desviaciónde un rayo quese refractadosveces,en dossuperficiesrefractorasarbitrarias.El análisisde

los resultadosqueobtendremosnosllevará a caracterizarlas lentes oftálmicas(y entreellas las lentes

progresivas)consuperficiesrefractorasarbitrarias,por mediodeunamatrizdepotenciadióptricacuyos

elementossonfunción de la posiciónen la superficiede la lente. Dichamatriz serádenominadaMatriz

de PotenciaDióptrica Local (MPDL).

3.1.1 Refracción.deun rayo en una superficiede forma arbitraria

ConsideremosunasuperficieSi deformaarbitraria,definidapormediodeunacartadeMonge (x,y, z(x,y)),

que¡imita dosmediosdeindicede refracciónit y it’ respectivamente.El sistemade coordenadasse ha

escogidode modoqueel punto(0,0,0), seael vértice de la superficie(Fig. 3.1), y por tanto, ladirec-

ción del ejeópticode lasupeficievienedadapor el vectorOZ. Delos textosdeGeometríaDiferencial

[8] , [9] sepuedeobtenerfacilmentela siguienteexpresiónparasu vectornormal

1 (8~z,8~z,—1). (3.1)1 + (8~z)2 + (O~z)2

La aproximaciónde considerarnuestrasuperficiecomo suficientemente“plana”, a la que hemos

hecho referenciaen el apanadoanterior, consisteen suponerquela direccióndel vectornormal no va

a diferir excesivamentede la direccióndel eje OZ. Matemáticamente,estoequivaleconsiderarque la

o’

E

La matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica. 33

• función z(x,y), tiene unavariaciónsuavea lo largodela superficie,lo cualpuedeexpresarsecomo

• (8~z)2«1, (3.2)

• (QzV « 1, (3.3)

e• quedandoel vectornorma]como

N = (8~z,8~,z,—1). (3.4)ee

Enestascondiciones,supongamosqueun rayoincidesobrela superficie,demodotal quesudirección• vienedadapor el vector14 = (k~,kt, k,). ‘lbniendoen cuentaqueconsideramospor hipótesisque la

• aproximaciónparaxial es valida, y por tanto, la direccióndel rayo incidenteno estamuy alejadade la

direccióndel eje óptico,(queen estecasocoincideconel eje OZ) podemosescribirel vector14 de lae• siguientefonna

• 14 (k%,k,1), (3.5)

conlasiguientescondicionesde normalización,análogasa (3.2) y (3.3):

• < 1, (3.6)

• (kt)2 < 1. (3.1)

• Si consideramoscierta la aproximaciónparaxial,podemosadmitir queel vectordirectordel rayo

• refractadotendráunaformasimilara ladel rayoincidente,demodoquee14’ (k;14,1). (3.8)e

eEn estascondiciones,podemospasara relacionarlos vectores10 y 14 por mediode la formulación

• vectorialdela ley deSnell [2]

n(k’ x N) = n~(kr x N), (3.9)ee

lo cualconduceautomáticamentea las siguentesrelaciónes

e(3.10)= .L~ -~ (itx ‘““x 1 —

n’k; = nk,+(n—n’)8~z, (3.11)eeeaa

w

2aa

34 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y pzvpiedades

it’k;a~Z—it’k;8~~ = itk~8vzitkt8zz. (3.12)

Vamosa aplicar las ecuaciones(3.10) y (3.11) al casoparticularde unasuperficieesférica. En este

casopodemosencontrarla siguienteexpresiónaproximada[4] parala sagitade la supeficie

j~2 y2z(x,y) = + ~, (3.13)

demodoque,paraestecasoparticular,podemosescribir

n’k~ = n14+(n—it’4, (3.14)

it’k; = n14-f-(it--it’)j (3.15)

Queconstituyela conocidaexpresiónde las ecuacionesde Langeparaunasuperficieesférica,tal

y como fuedefinido en la ecuación??. Utilizando las expresiones(3.10), (3.11), (3.14) y (3.15), se

puedeencontrarladesviaciónquesufreun rayoal atravesarunalente oftálmicacuyaprimerasuperficie

tiene formaarbitraria(con las restriccionesenumeradasal inicio de estasección),como vamosa ver a

continuación.

3.1.2 Refracciónen unalente oftálmica consuperficiesrefractaras arbitrarias.

De acuerdocon los resultadosexpuestosenelapartadoanterior,podemosconsiderarla refracciónde un

rayoatravésde unalenteoftálmicadelgada,cuyaprimerasuperficiepresenteunaformaarbitraria,pero

cuyasegundasuperficiees unaesfera.La aplicacióndirectade las ecuaciones(3.10)y (3.11),nospermite

escribirlasiguienteexpresiónparala refracciónenlaprimerasuperficie,teniendoencuentaque,al estar

la lente enalre, u = 1, u’ = u, siendou el indicederefracciónde la lente. Asípuestenemosque

itk;1 = k$+(1—u)8~zi, (3.16)

itkrl = (3.17)

análogamente,tenemosparala segundasuperficieque

— ukI2+(u—1)8~z2, (3.18)

= nlc~,2+(u—1)8~z

2. (319)

Siendoz1(z,y) y z2(x,y) las sagitasde laprimeray segundasuperficie.En aproximaciónde lente

La matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 35

delgada,tenemosque = y quek’ = 02 ,de modoquetrassustituir(3.16) y (3.17)en (3.18) yu

(3.19>, llegamosaque

— — (it — 1)8,~ (z1 — z2), (3.20)

— — (it — 1)8v (zi — z

2), (3.21)

si definimoslas compontentesdel efectoprismático1% y P~ como:

= k2—k~,’, (3.22)

= k~2—k’~ (3.23)u u’

encontramosla siguienteexpresiónparala ley dePrentice[11], aplicadaa unalentecuyassuperficies

refractoraspresentenunaformaarbitraria

= —(n—1)8±(zx—z2), (3.24)

1% = —(it — 1)8~, (zi — z2); (3.25)

Podemosapreciarque,en estecaso, la dependenciadel efectoprismáticocon las coordenadasde

posicióndel puntoP delasuperficiedela lente,coordenadas(x, y), esno lineal,y lano linealidadviene

dadaporlas derivadasparcialesdela sagitadelas dossuperficiesz1, z2, evaluadasen el puntoP.

3.1.3 Matriz de PoténciaDióptrica Local (MPDL)

De acuerdocon las expresiones(3.24) y (3.25),el efectoprismáticoresultantede la refracciónde un

rayoenunalente oftálmicacompuestapor unasuperficiede formaarbitrariatieneunadependenciano

lineal conlas coordenadasde posicióndel puntoenel queestemoscalculandodichoefectoprismático.

Sin embargo,a nosotrosnosinteresaríaencontrarunaexpresiónmatricialsimilara laquetenemosenel

casode unalenteesferotórica,ecuaciones7? o 7?. Paraello, consideremosun punto P, de la primera

superficiedela lenteoftálmica,cuyascoordenadasson(zo,yo,Zfl. Obviamente,enlas proximidadesde

dichopuntopodemosencontrarlasiguienteexpresiónaproximadaparala sagitazfr, y) dela superficie

z(x, y) z0 + 8~z0(z — x0) + 8~z0(y — y0) + ~8~zo (x — rO)2 (3.26)

+8z0 (x — t) (y — y0)+ ~8%,zo(~ — yo)2.

Estaecuaciónnosdice que,en las próximidadesdel puntoP, podemosconsiderarquela superficie

viene descritapor un paraboloide(ya quela superficiees cónvexaen P, y por tanto 8~±zo8~z0

36 Matrizde potencia dióptrica local: Definición y propiedades

8~,z~82 20 > O de acuerdocon la GeometríaDiferencial [?] , [9] ). Estapropiedadcomúna todas

las superficies,nosva a permitir caracterizarla superficiepor mediode unamatrizdepotenciadióptrica

local [10].

De acuerdocon(3.24), (3.25) y (3.26),el efectoprismáticoqueexperimentaun rayotras refractarse

enun Q situadoenlas proximidadesde 1-’, vienedadopor

2 o o o= ~ (z,— 22) (y y))’ (3.27)

Pu = ~ (3.28)

Deacuerdoconestasecuaciones,podemosencontrarunpuntoen las proximidadesdeP, parael cual

el rayono sufredesviación.Las coordenadas(x’,y’) de dichopunto,quedenominaremoscentroóptico

local [10] ,satisfacenlas ecuaciónes

8,j5z0 + 8~6zO (z’ — xc) + 8~6zO (y’ — yO) = 0, (3.29)

BUS?+ 8~3z~ (a) — z~) + ¿9~~3z0 (y’ — yO) = 0, (3.30)

donde320 = 4 — 4 quepodemosescribircomo

= ~8~6zO (0 — z~) — 8~6z~ (y’ — y0) , (3.31)

= ~8~v6zÓ(x’ — xO) — 8~,6zO (z’ — x”>. (3.32)

Sustituyendo(3.31) y (3.32)enlas ecuaciónes(3.24)y (3.25),encontraremosla siguienteexpresión

de la ley dePrentice

Estaecuación,nosindicaquepodemoscaracterizarel comportamientode unalenteoftálmica,que

presentesuperficiesrefractorasarbitrarias,por mediode unamatrizdepotenciadióptrica local [10]

definidacomofuncióndela posiciónenla superficiedela lente,segúnla siguienteexpresión:

F(x,y) = (it —1) { ~ ~ (3.34)

quecorrespondea la matrizde potenciadióptricadeunalente oftálmicacuyaprimerasuperficieviene

dadaporel paraboloideosculadorquedefinelasegundaformafundamentaldelasuperficiealrededordel

ee

eLa matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica. 37 e

ee

puntoP, y cuyasegundasuperficieestadadapor el paraboloideosculadorcorrespondientede la segunda esuperfice. En estascondiciones,el efectoprismáticoen P puedehallarsede acuerdocon la expresión

matricial (3.33), expresiónformalmenteanálogaa ??, aunquecon dosdiferenciasfundamentales.En

primer lugar, la matrizdepotenciadióptricalocal esfuncióndela posiciónenla superficiede la lente,y

por otráparte,en la ecuación(3.33),aparecenlas coordenadasdel centroóptico local (xi, yí), mientras eque enlaecuación??,sehaescogidoel sistemade coordenadasdemodoqueel centroóptico dela lente

coincidacon el origendecoordenadas.Además,deacuerdoconlas ecuaciones(3.29), (3.30),se tiene

quelascoordenadasdel centroóptico local sonfuncióndela posiciónen la superficiedela lente,mientras

queenunalenteesferotóricanonnal,dichascoordenadassonfijas. eResultainteresantedefinir la siguientemagnitudvectorial

f PxL 1 _ r ~ 1— [ 8~(zY— 4> — 8~,(z? — 4)xo — 8(z~ — 4)? ] ‘ (3.35) e

que denominaremosprisma local, y quepermiteescribirla ecuación(3.33), de unaformaanálogaa ??,

estoes

estandorelacionadoelprismalocal y las coordenadasdel centroóptico local,por mediodela ecuación

‘Ir

8V4—4) y1 — PYL ]

Otrapropiedadinteresantedelamatrizdepotenciadióptricaloca]esquesuselementospuedenobten-

ersede la derivandola.i componentesdel efectoprismático. En efecto,deacuerdocon las ecuaciones e(3.24) y (3.25), puedecomprobarseque e

e= —80%, (3.38)

= —&1% = —8~P~, (3.39) ee= —8,,F~,. (3.40)

eEn resumén,dadauna lente oftálmica, cuyassuperficiesrefractoraspresentenforma arbitraria, es e

posibleunacaracterizaciónmatricial dedichalente por mediode la matrizdepotenciadióptrica local,

La matrizdepotencialocal puededefinirseparacadapuntoP delasuperficiede la lente,comola matiz edepotenciaquepresentala lenteesferotóricaequivalenteformadapor los paraboloidesosculatricesde la

e

eeeee

38 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y pmpiedades

a primeray segundasuperficiedela lenteenel puntoP,definidosa travésdelasegundaformafundamentala

a dedichassuperficies.De estemodoel efectoprismáticoqueapareceenel punto1’, puedesercalculadomediantela aplicaciónde la ley de Prenticeusandolamatrizdepotenciadióptrica local (3.33), teniendo

encuentael centroópticode la lenteesferotóricaequivalente,quehemosdenominadocentro óptico local.

De un modoequivalente,podemoshallarel efectoprismáticoen P comola sumadelefectoprismático

resultantede laaplicacióndirectadela leydePrenticeusandolamatrizdepotenciadióptricalocal másun

prisma local, ecuación(3.36).Dicho prismalocal estarelacionadoconla orientaciónde losparaboloides

• osculatricesrespectoa la direccióndel ejedecoordenadasOZ. La aplicacióndeestasecuacionesa una

• lenteprogresivaesinmediatahabidacuentadequedichalenteestáformadapor unasuperficierefractorae

arbitraria(superficieprogresiva)y por unasuperficieesferotóricacorriente.

• 3.1.4 Potencialocal de una lentecon superficiesrefractoras arbitrariase• El conocimientodel efectoprismáticoproducidoen un puntocualquierade la superficiede una lente

oftálmicacompuestapor superficiesarbitrariaspermiteestudiarla refracciónde un hazderayosproce-e• dentesde unpuntoobjeto sobrela superficiedela lente. Es bienconocido[4] que,en visión foveal, el

• ojo humanono utiliza simultáneamentetodala superficiede unalenteoftálmicaparaobservarun objeto

• determinado,debidoa] efectoderotaciónocularquepermitecambiarcontinuamenteladireccióndemi-e

rada. Estehechohasidoampliamenteutilizado enel diseñodelentesoftálmicasy constituyeel principio

• en el quedescansael funcionamientodelas lentesmultifocales.

• Paracaracterizarel Uectode la rotaciónocular se utiliza el esquemaya comentadoen el capítulo

• anterior,de modoquese situatrás la lente oftálmicaunapupila situadaen laposiciónocupadapor ele

centroderotacióndel ojo (aproximadamentede 25 a27 mm por detrásdel vértice delasegundacarade

• la lente>. En el diseño de lentesoftálmicas[7] esteesquemaesutilizado paraestudiarla refracciónde

• unhazderayosquepartedel puntoobjetoy pasaa travésdedichapupila, queactuacomodiafragmade

aperturadelsistema,lo cualpermiteel cálculodeaberracionesy elconsiguienteprocesodeoptimización

del factordeformade la lenteoftálmica.

• Comohemosvisto, las ecuaciones(3.24) y (3.25) permitenel cálculode la trayectoriade un rayo

• tras refractarseen unalente oftálmicaformadapor superficiesrefractorasarbitrarias,dentrodel grado

de aproximaciónadoptado.Existepor tantola posibilidadde estudiarla refracciónde un hazde rayose• estrechoprocedentedeun mismopuntoobjeto endiversaszonasdela superficiedeunalenteoftálmica.

• Paraello consideremosla situacióndela Fig. 3.2, en la cualtenemosun puntoobjeto O del cual parte

un hazderayos.Uno deestosrayosserefractaenun puntoP sobrela primerasuperficiede la lente.Eneeeeeeeeeee

Lente

ee

La matriz de potencia dióptrica local de uno lente oftólmica. 39

egeneral,vamosa considerarqueesterayotras refractarseva a atravesarlapúpila situadaenel centrode

rotacióndel ojo. Por consiguiente,el rayoquepasapor P le denominaremosrayo principal. lbmbién

consideraremosque la extensiónespacialdel hazva a ser limitada por dichapúpila y por tanto el haz

incidentesobreel sistemava a estarlimitadoespacialmente,locualnospermitehablardepotencialocal.e

La situaciónescompletamenteanálogaa la quesetieneal estudiaraberracionesenlentesoftálmicaspara

distintosángulosde visión.

eeee

eeeeee

ee

Figura 32.Trazadográfico de un conjuntode rayos que, partiendode un puntoobjeto O, llegan a un punto imagenO’ tras

atravesarel sistemaóptico compuestopor unalente oftálmicay unapupila situadaen la posicióndelcentrode rotación del ojo.

eSi las coordenadasde O son (u, W, 20) y lasdeP (to, Yo, 4)’ tenemosqueel vectordedireccióndel

rayo principal incidentesobrela lente vienedadopor laexpresión

e— (xo—u,yo—w,z?—zo) (3.41)

=

j(xo — u)2 + (yo—mí + (4— zoí eaondeel signo lc~ indicael vectordirectordel rayoprincipal incidente. Paraserconsistentescon las

ehipótesisrealizadasenel desarrollodela ley dePrenticegeneralizada,vamosa suponerun puntoobjetoO situadoa unadistanciadela lente tal que z~ =z? y que4 (ato — u)2 + (yo — w)2 de modoque

podemosescribirel vectordel rayoprincipal incidentecomo

e(ato—u y

0—w N

k. 20 , 1). (3.42) eSupongamosa continuaciónun puntoP situadoenla superficiede la primeracarade la lente no

ee

eeeeeee

o

Rayoprincipal

O

11

40 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y pmpi edadesa

muyalejadodel puntoP. Si las coordenadasdeP~son(z,y,zi) las coordenadasdel vectordirectordel

rayoquepartiendodeO incide enla lenteenel puntoP vienendadaspor la expresión

y—vi (3.43)

demodoquepodemosescribir(3.43) delasiguientefonna

kÍ= k~+(x ato ~2Yto) (3.44)

e 20

ee Porotraparte,deacuerdoconla ley dePrenticegeneralizada,tenemosque

e• krx = k~ + ~ + (1 — n) 8~6z, (3.45a)e zo• = ~ (3.45b)

20e• siendoáz=z1

• De acuerdocon [1] , si W(x,y,ato, va) es la función quedescribeal frente de onda refractadoa

• la salidade la lente (teniendoen cuentalas aproximacionesefectuadasparaderivar la ley de Prenticee

generalizada),puedecomprobarseque

ekrx = ~ (3.46)

• kry = —8MW, (3.47)

e• (dondeseha tenidoencuentaqueconsideramosel índicederefraccióndel medioa la salidade la lentee

como 1) de modoque, integrandolas ecuaciones(3.45a)y (3.45b),obtenemosla siguienteexprexión• parael frentedeondarefractado

• W(x,y,xo,yo)=Wo—lcíxz—k.~y (x —x0)2 _ 6,— yo? + (it —1) óz, (3.48)

2zo

• siendoVV0 unaconstantedeintegración.

• En el marcadeaproximaciónenquenosencontramosla ecuación(3.48) vaarepresentarel frente

de ondaasociadocon un pincel de rayosastigmático,con las correspondientesfocalesde Sturrn. Lae• distanciaentreelpuntode incidenciadel rayoprincipal, P, y ambasfocalesdeSturmvaa venirdadapor

• la inversade las curvaturasprincipalesn1 y >c2 deW(x, y z0,y0)enelpuntoP. Deestemodo,cuando

consideremosun puntoobjeto situadoen el infinito, podemoscaracterizarcadapuntode la superficieeeeeeeeeee

e

La motriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 41

• de la lente por las curvaturasprincipalesdel frente deondarefractadoVV (xy, z0, yo)¡.0...~,,endicho

punto, o lo queesequivalente,podemoscaracterizarcadapuntodela lente por unapotenciaesférica

• local S (z,y) y unapotenciacilíndrica local C(x, y) dadaspor las expresiones

e• S (z, y) = >c2~0.0,, (3.49a)• C(x,y) = — >~2Izo.c,c,, (3.49b)e

dondesupondremosqueK1 =¿c2,estoestomaremoselconveniodedaral cilindro el signopositivo.eDe acuerdocon la GeometríaDiferencial [?] , [9] ,la expresiónde los coeficientesde la primera

• formafundamentalde la superficiedefinidapor la funciónVV (z,y,x0,yo) vienedadapor

e• E = 1+9, (3.50a)

F = pq, (3.SOb)

• G = 1+q2, (3.50c)

e• dondep = 8~W y q = 8~W. Análogamente,puededemostrarsequelos coeficientesde la segunda

formafundamentalvienendadospor el conjuntodeecuaciones

eL= 1+p2+q2’ (3.Sla)

8

• M= . (3.51b)t

• (3.Slc)e• donder = 8~,,W,s = 8~~JWy t = 8%,W. Sustituyendolos valoresde VV enlas ecuacionesanteriores,

• obtenemoslas siguientesexpresionesparalos coeficientesdelaprimera

• I1.,.......N 2E =

1~+P~+\<’ ..‘0) (3.52a)

F = ~ (3.52b)• ,,~ .,~ 2

o = 1++P~+’~’”~’) ‘ (3.52c)

eee

e

ee

eee

42 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y pmpiedades

y de lasegundaformafundamental

1frs — —20

j (í+(k%X+PXWXXO) )2+ (k1~ + +

151/

j + + + (x ;;o))2 + (k~1/ + p + ~ ~Yo))

)

111/14-;;

(1 + (~ + Ps +(x—xo) 2

+ (k~14 + p1, + ~‘ va) )2)

Por otrolado, las curvaturasgaussianay mediapuedenencontrarsea partirdelos coeficientesde la

primeray segundaformafundamentalesdeacuerdoconlas siguientesecuaciones[?] , [9]

K = LN — Al2

EG-F2’EN+GL-2FM

EG-F2

demodoquetenemosque,en nuestrocaso

(3.54a)

(3.54b)

u,

( lxx zo

(z — 2za))

+

+ +

(z —ato)

)

2

~1/ + (y— iiofl~20

2)(i)

2 (i + (k15 + ~5 + (x —ato))

2+ (%~~+ ~1/+ 6,

(‘+ (~1/+~14+ (Y—Yo))2) (i=—~)

3/2

+

u,

L

M

N

u,

(3.53a)

(3.53b)

(3.53c)

á

K

(1

(3.55a)

2 (1 + (k~5+~5+ (z;0xo))

2 + (¡~14-~-~1/+ (y—yo))

2)

unavezconocidaslas expresionesparaH y K

las ecuaciones

43La matriz de potencia dióptrica local de una lente oftólmica.

(3.55b)

esposibleencontrarlas curvaturasprincipalesapartirde

1< =

,Ct + >C22

(3.56a)

(3.56b)

demaneraque

nl = H+VWZW,

= H —

(3.57a)

(3.57b)

conlocual encontramosque

S(z,y) =

C(z,y) = 2V¶rWk~00.

(3.58a)

(3.58b)

Sustituyendo(3.55a)y (3.55b)enlas ecuacionesanteriores,encontramoslas siguientesexpresionespara

la potenciaesféricay cilíndrica local

(3.59a)

(3.59b)

dondekrz = ki.. + 1% y kr1/ = k114 + P14sonlas coordenadasdel vectordirectordelrayoprincipalrefrac-

tado, deacuerdoconla ley de Prenticegeneralizada.Sin embargo,de acuerdoconlas aproximaciones

efectuadasal principio del capítulo,tenemosque (krx) « 1 y que (lcr1/) « ide modoquepodemos

escribirlas ecuacionesanterioresdela siguienteformaaproximada

tr F - C2 (3.60a)

4 fflJvu—f~

(z — x ______

2f~~ + ~ + 20 o)) (k~+P1/+ (YYO)

)

2(1+ (z~±~~+(x—zo) 2 ±(k+

e

eeee

eeeeee

e

eee

eeeeeeeeeeee

eeee

eeeeee

e

eee

(i + (krv)2) + y,,,, + (k5)2) —2!xykrykrx

3/2

2(1±k~ +

c =

44 Matriz de potencia dióptrica local: Definición y pmpiedades

c = v’W?~fletF, (3.60b)

dondetr E = b~ + f~, y detE = ~ — f~1/.Las ecuacionesanterioresson formalmenteanálogasa las ecuacionesde transformaciónde Long

presentadasenel capítuloanterior,conla diferenciadeque,enestecaso,f, f~ y f~,sonfunciónde

laposiciónsobrela superficiede la lente oftálmica.Con lo cualpodemosdecirqueennuestrogradode

aproximaciónlos elementosdelamatrizdepotenciadióptricaestánrelacionadoscon la potencialocal a

lo largode lasuperficiede unalente oftálmicacompuestapor superficiesrefractorasarbitrarias.

3.1.3 Expresión tensorial para la leyde Prentice generalizada

Lasexpresiones<3.24) y (3.25)permitenel cálculodelosefectosprismáticosdeunalenteoftálmicacon

superficiesrefractorasarbitrariasdadaspor las correspondientessagitasz~(z,y) y z2(z,y). Por otro

lado, dadaunafunción realf (xi, x2) de dosvariablesrealesx1 y z2,podemosexpandirdichafunción

enseriede‘Ibylor [5] alrededorde un punto(4,4),de modoque

2 2 2 2 2 2

f=xo+Zxt,++ZZ4,t,t,+~rZZZxtktítstk+... (3.61):=1 j=1 k=1

Dondex0 = f (4,4),¾= —4, y x?

1~2..1~conn> 1, vienendadospor

(3.62)

representanlas coordenadasdeun tensorcovariante[6] deordenit. Aplicandoel desarrollode‘Ibylor

(3.61)alrededordelpunto(0,0) alas sagitas21, z~,y sustituyendodichasexpresiónesenlas ecuaciones

(3.24)y (3.25),es inmediatoobtenerla siguienteexpresióntensorialparala ley dePrenticegeneralizada

/2 122 1222

= I4+ZA~szá+~rZZátkxszk+s¡ZZZAtkmzszkzrn+.I (3.63)

dondelos términos estánrelacionadosconlas funciónes21 y 22 de acuerdoconlaexpresión:

= (1— it)8118~2...8~~ (zí 22) 1(0,0) (3.64)

eLa matriz de potencia dióptrica local de uno lente oftólmica. 45

ee• Un análisisde la ecuación(3.63), nosmuestraquedicha ecuaciónpuededividirse en dospartes.

Unapartelineal, que fonnaríanlos dosprimerostérminosdela ecuación<3.63), y a continuaciónuna

• parteno-lineal, formadaporel restode los términosde laecuación.Podríamosconsiderarpor tanto,que

• el efectoprismáticoquenosencontramosen un puntodela superficiedeuna lente oftálmica formada

por superficiesrefractorasarbitrariascomoel queproduciríauna lente esferotóricacuyassuperficiese

refractorasson los paraboloidesosculadoresde las ságitasZ1, 22 en el punto (0,0) de acuerdocon la

• expresión:

e• 2

• pL = (1— n)(8~(z1 — z2) 1(0,0) +Z8~8s (21—22) I<o,o} x5, (3.65)

e 5=’

• másunaseriede términoscorrectoresno lineales,cuyaimportanciaaumentaconformenosacercamosal

extremode la lente.

e• 3.2 Matriz de potenciadióptrica local en lentesesféricas• Comoun primer ejemplo práctico, vamos a aplicar los conceptosestudiadosen las seccionesanteri-

• oresa lentesoftálmicasconsuperficiesrefractorasasféricas.La utilización detaleslentesenla practicae

oftálmicase ha incrementadoconsiderablementeen los últimos tiempos,debido a lamejoraen las téc-

• nicas de fabricaciónde las mismas. El usodeuna lente asférica,presentados ventajasrespectoa la

• utilizacióndeunalente convencional,enprimer lugarpermitela compensaciónde lasaberracionesmás

importantesdelas lentesoftálmicas,el astigmatismooblicuo y el errordepotenciaparaun rangodepo-etenciassuperioral quepermitenlas lentesesféricas.En segundolugar,paraunapotenciadeterminada,

• es posibleencontrarunalenteasféricaquecompenseel astigmatismoconsuperficiesmásplanasquela

• lenteesféricacorrespondiente,lo cualse traduceenunagananciaestéticaasícomoenunareducciónde

peso,queen algunoscasos[7] ,puedellegaral 25 %. Aunqueengeneral,se denominalente asféricaa

todalente monofocalconunasuperficierefractoraasférica,enlapráctica,las superficiesutilizadasson

• conicoides,estoes superficiesgeneradaspor rotaciónde unacurvacónica. En esteepigrafe,vamosa

• limitar nuestroestudioa lentesasféricasconsuperficiescónicas.

En general[4] ,podemosdescribirunasuperficieasféricapormediodeunacartadeMonge,(z, y, z (z, y)),

• de modoque la sagitadela superficievienedadapor laexpresión

eee

eeeeee

ee

Matriz de potencia dióptrica local en lentes asféricas

Tabla 3.1 7ipos de supeificies asféricas segun elvalor del coeficiente de asfericidad.

Mdordep Tipo desuperficie—oo <p < O Hipérboloide

p = O ParaboloideO <p < 1 Elipsoideoblato

p=l Esfera

1 <p < +oo Elipsoideprolato

z(x,y) = R— R2—p(x2+y2) (3.66)p

en estaexpresión,1? representael radio de la superficie,mientrasquep es el denominadocoeficiente

de asfericidad del conicoide y nos indicael tipo de curvacónicaqueestamosutilizando segunindica

la lbbla 3.1. Cuantomásse alejeel valor de p de 1, tantomás asféricaes la curvade la supeficie,de

modoquelas curvasmásplanassonaquellasconmenorvalor de p y las máscunassonaquellasque

tienenvaloresdep máselevados.Unainteresantepropiedadde las lentesasféricaspuedederivarsedel

desarrolloenseriedelbylor dela ecuación(3.66)

1z2-!-y2 lp(z2+y2)2 +o((x2+y2)2). (3.67)R

Dondese puedeverque,enprimeraaproximacióntodaslas supeficiescónicaspuedenaproximarse

a un paraboloide,conindependenciadel valordel coeficientede asfericidad.Másadelanteharemosuso

deestaconocidapropiedadde las superficescónicas.

A continuación,vamosa utilizar laexpresión(3.66)paraderivarlaexpresióngeneralizadadela ley de

Prenticeparalentesasféricas,haciendousodelas ecuaciones(3.24)y (3.25). Wmosaconsiderarlentes

biasféricas,estoes,lentescuyasdossuperficiessonasféricascondoscoeficientesdeasfericidaddistintos

paracadacaradela lente,aunquemás tardeal analizarcasosconcretosnoslimitemosa considerarlentes

conunaúnicasuperficieasférica,de acuerdocon lo queocurreen laprácticaEn estascondiciones,la

sustitucióndela función (3.66) en las ecuaciones(3.24)y (3.25)conducealas siguientesexpresiones:

Px (1it)(1 ) yR~~p2(z2+y2))’ (3.68)

46

La matriz de potencia dióptrica local de uno lente oftálmica. 47

P1/=(1 —it) ( x22) .R~p~(x2+y2)

)

(3.69)

A partir de las cualespuedecalcularseel módulodel efectoprismático,obteniendoseque

(3.70)

puedededucirsedeestaexpresiónqueel módulodel efectoprismáticoenlentesasféricaspresentasíme-

tria rotacionalen la superficiede la misma. Paraestudiarcomose comportaestafunción, hemosrep-

resentado(Fig. 3.3) el modulo del efectoprismáticoen función de la distanciaal centrode la lente

r = paravarios valoresdel coeficientedeasféricidaden lentes depotencia+7 D, +5 D,

—5 D, y —7 D, respectivamente.En todoslos casos,lasuperficieasféricadela lente esla supeficiemás

cunadacorrespondientea laprimeracaraen la lente positivay a la segundaen la negativa),mientras

¡

1

¡

1

3.

Caid.nad. — ~>

¡

¡

Figura 3.3.Modulodel efectoprismáticopresentadopor diversaslentesoftálmicas asiarl casdepotencia+7D, +5D. —5 D y —7D parodistintosvaloresdel coeficientedeasfericidad.

9.’

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

— ‘-e (cm>

— ‘-e (u.> — — (a>

48 Matriz de potencia dióptrica local en lentes asféricas

quelaotrasuperficiesehamantenidoesférica<y = 1). En ambasfiguras,podemosvercomoexistendis-

crepanciasentrela ley de Prentice(queprediceunarelaciónlineal entreel valordel efectoprismáticoy

ladistanciaal centrodela lente)y los resultadosobtenidospormediode(3.70).Comopuedeapreciarse

enestasgráficasFig. 3.3, la leydePrenticesolosecumpleenel casodequeelcoeficientedeasfericidad

seaigual a cero,lo cualsecorresponderíaconunaparábolaEstoesasídebidoa quela otrasuperficiede

la lenteaunqueesesférica,tieneun radiodecurvaturasuficientementegrandecomoparaquelasagitade

lasuperficiesecorrespondaconel primertérminodel desarrolloenseriequeapareceenlapartederecha

delaecuación(3.67), comportandosea efectosprácticoscomounasuperficieparabólica.

Ya hemosvisto que loselementosde lamatrizde potenciadióptrica local secorrespondencon las

derivadasparcialesde las componentesdel efectoprismático.Deestemodo,podemoscalcularlas com-

ponentesde lamatrizdepotenciadióptricadeunalenteasféricaderivandolas ecuaciones(3.68)y (3.69),

demaneraque

(3.72)

siendo

p~— R?—p~ (z2+ ~2). 1=1,2 (3.74)

Apartir de lasecuacionesanteriores,podemosencontrarladistribucióndelapotenciaesféricaS(z,y),

cilíndricaC (x, y) y el ejedel cilindro a (z,y), utilizandolas ecuacionesdeLong (citarecuacionescapi-

tulo 1), demaneraquellegamosa las siguientesexpresiones

S(x,y)=(rz—1) (1—1), (3.75)

cr(z,y) — tant (~) <3.77)

La matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica. 49

• las cualesnos indican,queparaunalente oftálmicaasférica,ladistribucióndepotenciasesféricay cilín-e

dricapresentasimetríaderevolución,orientándoseel ejedel cilindro enladirecciónradial. Parailustrar

• estehecho,hemosrepresentadoladistribucióndepotenciasesféricay cilíndricaparaunalentesoftálmica

• asféricadepotencia+5 D condiferentescoeficientesdeasfericidadparala superficiemáscurva de la

• lente.ee• 3.3 Matriz de potenciadióptrica local en lentesasferotóricase• En ópticaoftálmica,lacorreccióndel astigmatismoocular,sellevaa caboutilizandolentesconsuperficies

• tóricas,demodoquelapotenciade la lente seadiferenteencadaunade las direccionesradialesqueunen

• el centrode la lente con la periferiade la misma, compensandode estemodoel astigmatismoocular.e

Debidoa las mejorasen las técnicasdefabricaciónde superficesópticasempleadaspor la industriade

• lentesoftálmicas,actualmentees posibleencontrarlentescorrectorasdel astigmatismocon superficies

•Al igual queen el apartadoanterior,nosotrosvamosa centrarel estudiode lentesasferotóricaspore

• medio de la matriz de potenciadióptricalocal a aquellaslentescuyasseccionesprincipalessoncurvas

•e

3.3.1 Descripciónde una superficie asferotórica cónicae

Paraobtenerla ecuaciónde unasuperficieasferotóricacónica,partimos de la ecuaciónde unacurva• asférica

z(x) = (3.78)•e• quepuedeescribirsecomo

• (R)2x2• z(z) = — — (3.79)

pe• demodoquepodemosrealizarel cambiodevariablea = RIp y u = z/ ~ obteniendoseque

e• z(z) = a—x/rT52, (3.80)

e• que secorrespondeconla ecuacióndeunacircunferencia.

eeeeeeeeeeeee

50 Matriz de potencia dióptrica local en lentes asfemtó ricas

‘4

a)

20 6 7

¡10 6 6

1 4 6

10 3

1.10 2 2

-20 1 1o

o) d) u‘4

20 8 ‘4

?io ‘4e .L ‘4

6

ic ‘410.10o 2 2

-20 ‘4o o ‘4

u,

f) ‘4‘410 12 u,

ío ‘4‘4

6 9 ‘4u,4

4 ‘4‘4

-20 :+;2 2 ‘4‘4-20 -lO O fo

Coordenada X (mm)

u,Figura 3.4.Repmsen:aciónde la distribuciónde ti potenciaesférica,a), tj yd) ycilíndrica b), d)y]) enuna lenteasféricadc +5Odepotenciapara distintosvaloresdelcoeficientedeasfericidad(—2. 0.5y 1).

e)

20

¡o

1.1:

loCoordenada X <rin)

-20 -lO 0 10 20Coordnada X (mm) -20 -10 0 10 20

Coordenada X (rin)

20 o loCoordenada X (rin)

eeeee

La matnz de potencia d¡optríca local de una lente oftálmica. 51

e• Porotro lado, laecuacióndel toro en coordenadascartesianasvienedadapor lasiguienteecuacióne•• z(uv)=a1~;~/ka1~a2+ a~~u2)~v2 (3.81)

• deshaciendoel cambiodevariablesa1 = Ri /p1,a2 = R2/p2,u= y/.,/~y y = x/ ~fi7.seobtiene

• la siguienteexpresión

e

¡ — \2y2 Az(x,y) _ R

1 _ (R, 1?2 1R21 2Pi kPi P2 \P2/P2

eecuaciónquepuedeescribirsedeun modomássimplecomo

2

zQr,y)= J?1— (Rí—~i (R2~v~rr~s2)) —Pi3:2 (3.83)

e ________________________

• Pi

eEstaes la ecuaciónpropuestaparaunasuperficieatórica. Puedecomprobarseque,si x = 0, (3.83),

• quedacomo

z(O,y) = R2 — ¡R~ P2Y

2 (3.84)

•e• mientrasquesi Y = O, entoncestenemosque

• z(x,0) = (3.85)Pi

• siendopor tantolas seccionesprincipalesdela curva((3.83)), sendascurvasasféricasconradiosy coe-

• ficientesdeasfericidaddistintos.e

A continuaciónvamosa estudiaralgunoscasosparticularesde laecuación((3.83)). En primer lugar,

• tuedecomprobarsetrivialmentequesi pi = 1>2 = 1, tenemosque

¡ 2• z(xd4I=Rí~i(Ri~R

2+ Ri~y2)~x2, (3.86)ee

quese correspondecon laecuaciónnormal deunasuperficietórica.

Por otro lado,podemosrealizarel siguientedesarrolloen serieenel segundoterminode la ecuación

ee

eeeeeee

52 Matriz de potencia dióptrica local en lentes asferotó ricas

(3.83)

z(x,Y)PI

demodoque si p~ = O, tenemosque

Rí — 1(Rl —Pi (~2))2 —Pix2

z(x,y) =

Pi

quepuedeescribirsecomo

(Rí —z(z,y) =

Pl

ecuaciónquetambiénadmiteun desarrolloenseriedepotencias,de modoque

2y _________________

+ 2 (Rí —Pi

4

+ Pix

8(Rí Pí

2z(x,y) y— +

21?2 ~X7~’

conlo cual, siPi = O, setienefinalmenteque

(3.91)

que secorrespondeconun paraboloidetórico.

3.3.2 Efectosprismáticos en lentesasferotóricascónicas

Partiendode laexpresióngeneralizadadela leydePrenticeesposiblecalcularlosefectosprismáticospara

unalenteasferotóricacónica. Comoun casoparticular,vamosa suponerunalente positiva, compuesta

por unaprimerasuperficieatóricade radiosde curvaturaRia, Ríb y concoeficientesde asfericidadPa

y Ph, y cuyasegundasuperficiees unasuperficieasféricacon radio de curvaturaR2 y coeficientede

(3.87)

(3.88)

(3.89)

(3.90)

La matriz de potencia dióptrica local de uno lente oftálmica. 53

ee• asfericidadp2 En estecaso,

e• ¡ ¡n /r~\ )2• R10— \] ~Ri4 p4 kJUb VRIh—PbY) — PaX

2

• 6z=Pa

R2— .

1R~—p2(x

2+y2) (3.92)

e P2

• demodoque,aplicandola expresióngeneralizadade la ley de Prentice,se encuentranla siguientesex-

e presionesparalacomponentehorizontaly verticaldel efectoprismático

•• =

Pb (Rib — IRL —PbY2)) PaX2

• x (3.93)

•e

• 1 (PbRia

P1, = (1—ii)

7”kpa —Rfl + jR~ — PhY

)

j(R~rPbY2) [(Ria~ (R1~~—\/?~!WhYfl) Pax2}

e• Y .~ (3.94)

• jAW~~2+y2)Je• Parailustrar el comportamientode los efectosprismáticosen unalente asferotóricacónica,hemos

• representadoelmódulodel efectoprismáticoparaunalenteasferotóricaconcurvaturasprincipales<10 —

8.SD, Ci,, = 9D y C2 = —4.5D, esto es, una lente con potenciaesféricaS= 4D y cilíndrica

C = 0.5D,estandoel ejedel cilindro orientadoaQO• Comopuedeapreciarseclaramenteenla figura(Fig.

• 3.5), la simetriarotacionalquepresentabanlas lentesasféricasnormalesdesaparece,y la distribución

• del módulode la potenciaprismáticasobrela superficiede la lente se orientasegúnlos meridianose principales,queenestecasocoincidencon los ejesdecoordenadasal serunalenteorientadaa 00.

• 3.3.3 La matriz de potenciadióptrica local en lentesasferotóricascónicase• Unavezconocidoslas funciones1% (x, y) y P~ (x, y) quenosdanlas componenteshorizontaly vertical

eeeeeeeee

54 Matriz de potencia dióptrica local en lentes a.sfemtóricas

I<a

10

e

fi

4

2

a) b) ‘4‘4‘4

9 8 ‘4‘4

6 6

e4 4 ‘4

u,2 2u,‘4u,

o) d) u,10 ‘4

‘49 ‘4

u,S‘4

4 u,u,

2 u,‘4‘4‘4e> f)

10 20 ‘4e ‘4

9 u>

‘46 u,

1 ‘40~102 -~ 2 ‘4

‘4-20 -lO u 10 20 ‘4

Coordenada X (mm)

‘4Figura 3.S.Modulodela potenciaprismática(en A)parauna lenteasferotórica[40.5x 00] paradistintosvaloresdel coeficiente

deasfericidadPía =Pib. a> —3, b) —2, c) —1, d> —0.5. e)O.5yfl1.

o

-lo

-20

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (mm)

-20 -10 0 lO 20Coordenada X (rin)

-20 -lO O lO 20Coordenada X (mm)

-20 -lO O lO 20Coordnada x (mm)

eLa matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica. 55

ee• de la potenciaprismáticaa lo largo de la superficiede la lente,es posibleencontrarloselementosde

la matriz de potenciadióptricalocal haciendousode las expresiones(3.38), (3.39) y(3.40). Asípues,

volviendo al ejemploutilizado en el apanadoanterior, si derivamoslas ecuaciones(3.93) y (3.94) se

• llegaalas siguientesexpresionesparaloselementosde la matrizdepotenciadióptricalocal

ee

= (n—1) +(n—1) (S~~~P2, (3.95a)e(pav¡pt+Pax2 _ 1>2

= (n—1) _________ _ ~)xy, (3.95b)• k. IR~rPhY2PL P~/

• Pí~ _ PbY2f~ = (n—1) ( ~ ~ (R~—p,,y2)

+ Pí~Y2~ +¡a~ ‘(R~ —p~y2)(p~ + p0z2)

)

• ( I(R~ — p~y2)

)

• 1 P2Y2”~ (3.95c)

• ~~~~1~>P2 P2 1

• siendo

Pi0 = j ((R10 — ~ (~i~ — (R?,, p,,y2)))V PaA)~ (396)

ee• . Pu, = ~R10 — Ru,+ (R?,, — p,,y

2) (3.97)

• Pa

y

• ¡~2 = (ff3 —p2x

2 P2y2)- (3.98)

• Denuevovamosa ilustrarconun ejemplolos resultadosobtenidos.En estecaso,vamosarepresentar

ladistribucióndelos valoresdela esferay el cilindro <que puedenobtenerseinmediatamenteapartirdeelos elementosde la matriz de potenciadioptricalocal) parala lenteasferotóricadescritaenel apartado

• anteriorSehanescogidoloscoeficientesdeasfericidaddemodoquePa = p~ y quep,~ = 1, siendo,por

• tanto,lasegundasuperficiedela lenteesférica.Lesresultadosobtenidosserecogenen la figura(ver??).eeeee

eeeee

eeee

-20 -lO 0 10Ooord.nada X <nn)

20

-20 -10 0 lO 20Coordenada X <nr)

3.5

3

2.6

2

1.8

~ ~.98

3.9,

3.94

3.92

3.93.84

3*6

3.843.82

b)20

10

1~:-20

d)20

1

1

11

lo

O

-lo

-20

f)

4.6

4.5

4.4

4.3

4.2

4.1

1

1‘.3

-20 -10 0 lO 20Coerdecada X (rin)

-20 -10 0 10 20coord.,iaM X (nr.)

Distribucióndelapotenciaesféricay prismáticaa lo largo deunalenteasferotórica[40.5 x 00] paradistintosvaloresdel coeficientedeasfericidadde la primerasuperficiePm = pu,, a)y b) —2, c) y d)

—0.5, e)y 1)0.5.

56 Referencias

a)20

¶0

1~:-20

C)

20

-g

-20

e)

20

10

lo

11-10

-20

2

1.5

0.5

0.6

0.56

0.5

0.45

04

01

0.6

0.4

0.2

-20 -lO O lO 20Cootd.rwda X <nr.)

-20 -10 0 10 20Coerdeda X <rin)

eee

La matriz de potenciadióptrica local de una lente oftálmica. 57

e• Referenciase

[1] J. Marcen,JA.Gómez-Pedrero,E. Bernabeu,“fl-iickness effectonte obliqueastigmatisminophthalmic

• lenses”,Optik 101, 157-160,(1996).e• [2] E. Hecht,A. Zajac,Optica, (2” edición),Addison-V~sley,Wílmington,USA, (1974).

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• [4] M. hile, l7lze PrincipIes ofOphthalmic ¡tenses, (4’ edición), Editadopor la BADO, Londres,(1988).e• [5] ‘EM. Apostol,Análisis Matemático, (2” edición), Editorial Reverté,Barcelona,(1989).

e• [6] D.C. Kay, Cálculo Tensorial, (1’ edición), Editorial McGrawHill, Madrid,(1990).

[7] DA. Atchison, “Spectaclelensdesign:a review”,Appl. Opt., 31,3579-3585,(1992).

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e [12] JA. Gómez-Pedrero,J. Alonso,E. Bernabeu,“Local dioptricpowermatrixandprismaticeffectsof spher-

• ical, asphericalandspherotoricalophthalmiclenses”,SPIEproc.,3573,405409,(1998).

eeeeee

eeeeeeeeeee

u,u,‘4e‘4u,‘4‘4‘4‘4u,‘4eu,‘4u,u,‘4‘4u,u,

eu,e‘4u,u,u,u,u,eu,u,uu,u,u,e,‘4u,‘4‘4st‘4u,u,‘4‘4eJu,‘4u’‘4u,

‘3eest

eeee

e• Capítulo 4

ee• Medida dela matriz de potenciadióptrica local dee• una lente oftálmicaee• En este capítulo se estudia un pmcedimiento de medida indirecta de la matriz de potencia• dióptrica local utilizando laspropiedades de la misma descritas en el capítulo anterior Elpro-• cedimiento adoptado en nuestro caso ha sido derivar los valores experimentales de lo matriz de• potencia dióptrica local a partir de la medida directa de la forma de las dos superficies refrac-

toras de la lente. Laforma de la lente se ha medidomediante un sistema automático de medida de• lo topografla superflcal basado en un palpador mecánico y un sistema mótorizodo de desploza-• miento de la lente. De este modo se ha obtenido ladistribución superficial depotencia prismática• y de los elementos de la matriz de potencia dióptrica local de varias lentes oftátmicas. También• se lleva a cabo la comparación de este método de medido de lamatriz de potencia dióptrica lo-• calcon otro método distinto basado en la obtención de los efectos prismáticos locales apartir de

lo medida directa de lo deflexión de un haz láser en cada punto de lo supeificie de la lente.

e4.1 Medida de la MPDL a partir de la topografía superficial de una

• lenteoftáhnica.e• De acuerdocon los resultadosobtenidosen el capitulo anterior,esposibledescribirel comportamiento

• óptico de unalente oftálmica compuestaporsuperficiesrefractorasarbitrariasapartir de la expresión

generalizadadela ley dePrenticepor mediode la matrizdepotenciadióptricalocal. En efecto,dadaunae

lenteoftálmicadesuperficiesrefractorasdefinidaspor sendascanasdeMonge [x, y,z~(z,~fl1i,2 y de

• indicederefracciónu, esposibleobtenerla siguienterelaciónentrelasságitaszí y 22 de las superficies

• de la lente y loselementosdela matrizdepotenciadióptricalocal de acuerdoa las expresiones

e• f±±(x, y) = (u —1)8 (zí —22), (4la)

• f~~(x,y) = (n—1)8~~(zi—22), (4.lb)

• I~~(x,y) = (n—1)81~(zi—22). (‘tIc)

e• Así puespodriamosplantearcomo métodode medidaindirectade los elementosde la matriz de

potenciadióptricalocal de unalente oftálmicade índice de refracciónconocidou, el medir la forma

• de las ságitaszí (r, Y) y 22 (x, y) de las dossuperficiesrefractorasdela lentey utilizar las expresiones

e

eeeeeeeee

60 Medida de la MPDL a partir de la ¡opografia superficial de uno lente oftálmica.

anterioresparaobtenerla matriz de potenciadióptrica local. Este ha sido el métodode medidade la

matriz de potenciadióptrica local adoptadoen estetrabajode investigación. A continuaciónvamosa

describirenprofundidadeldispositivoexperimentaldemedidadela matrizdepotenciadióptricalocal a

partirde la topografíade las superficiesrefractoras,asícomoel procesodemedida.

4.1.1 Descripcióndel dispositivoexperimental

Parala medidade la formade unasuperficieexisten numérososmétodosdescritosen la literatura [1]

[2] , [3] , [4] y [5] - ‘Ibles métodospuedenclasificarseatendiendoa criteriostalescomo naturalezadel

métododemedida(métodosópticos,mecánicos,electromagnéticos,etc..),sucaracterglobal (medidade

la superficie en su conjunto)o local (medidade la superficie“punto a punto”), etc.... En nuestrocaso,

hemosoptadopor un métodomecánicoy local consistenteen la utilización de un palpadorpara medir

directamenteen cadapuntode la superficiela ságitaz (x,y), desplazandola superficiede la lente de

un puntodemedidaa otro por medio deunosdesplazadoreslinealesmotorizados,dotadoscon motores

eléctricosdepasofijo. Thntoel palpadorcomolos desplazadoreslinealessecontrolanpor medio deun

RS 232

e)

d)

Figura 4.l.Esquemadel dispositivoexperimentalempleadopata la medidadesupeq¶ciesde lentesoftálmicas. Elementos:a)

Palpadormecánico~b) yc) motorespasoa paso,d) unidaddecontroly alimentaciónde los motoresye)computadora

ordenadorutilizandoun programaescritoenMArLAB, demodoqueel procesodemediday adquisición

dedatoses automático.

En laFig. 4.1 podemosverun esquemadel dispositivoexperimentaly en la Fig. 4.2sepuedeapreciar

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 61

unaimagendel mismo. El sistemaconstadelos siguienteselementos:

• Dos desplazadoreslinealesmotorizadosde pasofijo de la firma Parker,modelo 102004BN.Estos

desplazadorestienenun recorridode100 mmconunarepetibilidaden elposicionamientode±2pm

a lo largode todoel recorrido.Cadapasodemotorcorrespondea un desplazamientode0.25pm.

e Un palpadormecánicodigital dela firma Mitutoyo, modeloIDC 543-142,concapacidadparamedir

longitudesinferioresa12.99mmconunaprecisiónen lamedidade±1pm. Elpalpadordigital puede

controlarsepor medio deun ordenadora travésdel puertode comunicacionesRS-232.

• Un soportedelentes,concapacidadparalentesoftálmicasde60,65 y 70 mmdediámetro.

• Un ordenadorpersonalparael controldel sistema.

ComopuedeverseenlaFig. 4.1 tantoel palpadormecánicocomola unidaddecontrol estánconec-

tadosadospuertosRS-232del ordenador,demodoqueel controldeambosaparatosserealizaenviando

una serie de caracteresal puerto RS-232correspondiente.Por ejemplo, paraindicar al motor 1 que

deberámoverseunalongitudde 200 pasosen La direcciónnegativa,hay queenviarla siguientecadena

decarácteresal puertoRS-232: “ID-200\r IG\r”, dondeel símbolo“\r” representaun retomodecano.

En el apéndiceAl serecogenlas instruccionesutilizadasparael control de los motoresy del palpador

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Figura 4.2.Fotografíadel dispositivomecánicodemedidadesupvflciesde lentesoftólmicas

62 Medida de la MPDLapartir de la topografía superficial de una lente oftálmica.

mecánico.Las instruccionesde movimientode los motoreshansidoprogramadasen MATLAB como

funcionesindependientes,demodoqueesposiblecontrolarlos motoresde modomanualen la ventana

de comandosdel entornoMATLAB o implementarestasfuncionesen unaaplicaciónmásgeneral.

El funcionamientodel sistemade medidaessencillo. Pormedio delos desplazadoresmotorizados

semueve la lente de maneraque lapuntadel palpadormecánicorecorrala superficiede la misma. La

posiciónde la puntadel palpadores siempreperpendicularal planodefinidopor el soportede la lente

Fig. 4.2. Al llegaral puntodondesequiererealizarlamedida,los motoresdel desplazadorsedetieneny

el ordenadortomaenesemomentola lecturadel palpador(queindicael valordela ságitadel puntode

la lente)y asísucesivamentehastamedirun númerodepuntossignificativosenla superficiedela lente.

30

20

10

o

10

-20

-30-30 10 20 30

Figura 4.3.Trayectoriadela puntadelpalpadormecánicosobrela superficiede la ¡enteoftálmicaa medir

La figura (Fig. 4.4) representael caminoquerecorrelapuntadel perfilometrosobrela superficiede

lalente. Estecaminosehaescogidoporquepermite recorrertodala superficiede la lente sinpasardos

vecesporel mismopuntodemedida,salvoelcentrogeométricodela lentequeesel puntoinicial y final

del recorrido. En estascondiciones,el procesodemedidaquelleva acaboel perfilómetroconstade los

siguientespasos:

-20 -10 0Eje X <mm)

ee

e• 63Medido de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

ee• e Sesituala lentea medir enel soportee• e Se llevan los motoresa la posicióninicial quese definecomo aquellaen laqueambosmotoresse

• encuentransituadosjustamentea la mitadde surecorrido.

• Se situala puntadel comparadorenel centrogeométricode la lente y se fija la alturacerocomolaealturadel centrogeométricodela lente.

• • Semuevela lente conlos motores,demodoquelapuntadel comparadorsigael caminorepresentado

en la Fig. 4.3 sobrela superficedela lente.e• e Seguardanlos datosen un fichero.

• e Serepiteel procesoparalacaraposteriordela lente.

De estaforma,al acabarlamedida,setieneun conjuntodiscretodepuntos(x1, y~,z~) quedescribenlae• superficiede la lente.Es evidenteque cuantomásgrandeseael númerodepuntos,mejordescritaestará

• la superficiey cuantomenorseael númerode puntosmenorseráel tiempode medida. Es por tanto,

• necesarioencontrarun compromisoentreel númerode puntosy el tiempode media. Por ello, hemose elegidoel conjuntodepuntosdemodoquela distanciaentredospuntosa lo largodelosejesOX y OY

• (segúnel sistemadereferenciade la Fig. 4.3) seade 1.5 mm. De estemodo,semiden un total de 1009

• puntosa lo largode lasuperficiedela lente,con un tiempodemedidadeunos34) minutos.

Puntaeee•eee

eeeeeeee• Comoelpalpadormecánicoacabaen unapuntaesférica,los puntosquenosotrosmedimoscorrespon-

ee

eeeeeeeee

A

r

N4 ~‘

E

Figura 4.4.Recorridodela puntadelpalpadorsobrela superficiedela lente.

64 Medida de la MPDL a partir de la topografía superficial de uno lente oftálmica.

denrealmenteconlassucesivasposicionesdel centrodecurvaturade lapuntaesférica.Comopuedeverse

en la figura(Fig. 4.4),el puntode contactode lapuntaesféricadel palpadory la superficiede la lente

esaquelen el quecoincidela direccióndel vectornormalde la superficiea medir,Ni y el vectorque

une elcentrodecurvaturadelapuntaconel puntodecontactorb. Si consideramosademásla superficie

E’ descritapor las distintasposicionesdel centrodecurvaturadelabola, puededemostrarseenprimera

aproximación(apéndiceA2) que,de acuerdoconla hipótesisrealizadaenel capítulo3 acercadelanat-

uralezade las superficiesde las lentesoftálmicas,la direccióndel vector normal a dichasuperficieen

el puntoconsiderado,N2 tambiéncoincideconla direcciónde los vectoresanteriores.En estascondi-

ciones,tenemosquesepuedeestablecerla siguienterelaciónentreel vectorde posiciónr delasuperficie

E y el vectorde posición9 dela superficie2’9 =r+aN2, (4.2)

comoademástenemosque

=r—rb, (43)

podemosconcluir, por tanto,que r~, = aN2. Peroademásdebemosde teneren cuentaque rbi = a,

dondea esel radiodelapuntadel palpador.demaneraquea = —a y portanto

r = 9 + aN2. (4.4)

Estaesla relaciónque se ha empleadoparaencontrarlos valoresde lospuntos (x1,y1,z~) sobrela su-

perficie dela lente a partir de lospuntosmedidos(x~, y~,z~) quenosdan las posicionessucesivasdel

centrode lapuntaesféricadel palpador,yaqueel vectorN2 puedeobtenerseporcálculonuméricoapartir

del conjuntodepuntos(x~, yfl z~). Estaoperaciónseha implementadoen losprogramasde tratamiento

dedatos experimentalesde modoqueantesde procesarlos datosse parteya de lospuntoscorregidos

4.1.2 ¶11-atamientode datos. Obtención de la MPDL

A continuaciónvamosa describirel procesodetratamientodedatosquesesigueparaobtenerlaMPDL.

De acuerdocon las expresiones(‘tia), (41b) y (‘tic), paraobtenerloselementosdela MPDL es nece-

sanocalcularlas derivadasdelas ságitasde las superficies.En nuestrocaso,nosotrostenemosun con-

juntodiscretodedatos(x1,y~, z~) de maneraquedebemosemplearmétodosdecálculonuméricoparael

eeeee Medida de la motriz de potenciadióptrica local de una lente oft4lmica 65

eee• calculode lasderivadasparciales8~z,8~,zy8~z.DeacuerdoconPressetaL [7], unabuenaestimación

dela primeraderivadaparcial en ladirecciónOX dela sagitavienedadaporee =

2k (4.5)• (‘k —

edonde(Xj,YJ, z) y (xk,yk, 2k) sonlos dospuntosmáspróximos al punto ~ z~) en la dirección

• del eje OX, estoes y~ = lii = Yk- El problemaquepresentaestaestimacióndiscretade la derivada

• es su comportamientopoco robusto frente a los errores. Si denominamosbz al error cometidoen la

e determinacióndez~ y 2k (suponiendoquedichoerrorno dependedel puntode la lenteenel queestemos

ee midiendo)y 6í esel errorcometidoenla determinaciónde z~ y 1k~ podemosescibirla ecuación(4.5)• como

e (A1zO’ = (zk—z~)+ 26z (46)

e (1k —xi) +26x’

edesarrollandoen serieel denominador(teniendoencuentaqueestamostrabajandoconerrores),tenemos

• que

(2k—2~)+2áiz 2(zk—zJ)&z (47)

• (xk—x~) + (xk—x~)2e• donde se han eliminado los términos quevan con las potenciascuadráticasde los erroresfiz y óx y

• superiores.Comparandolas expresiones(46)y (4.7),podemosverqueunaestimacióndel errorcometido

e en ladetenninaciónde la primeraderivadaparcialen la direcciónOX de la sAgita estadadapor

e• 26z 2(zk—z~)&x

+6(A~z~) (xk—xj) (xk—xJ)2 (4.8)e

e y el errorrelativo vienedadopor

e 6(A~z~) 26z+

• (2k — zg) (2k — z~) (1k — Zj) (1k — x~)2í (4.9)e• las expresionesanteriorespuedenser utilizadasparacalcularel errorcometidoenla segundaderivada,

• definidaa partirdelaexpresión

2 A5zk —L=xzZj

e zi =

eeeeeeeeeeeeee

66 Medida de lo MPDLa partir de la topografía superficial de una lente oftálmica.

demodoque el errorcometidopuedeestimarsecomo

26 (t1z) 2 (A5zk —L5z~) Sí6 (A~z~) — í~)2 + ( — )3 (4.11)

(1k

Comoejemplo,consideraremosunasuperficieparabólicade R = 200 mmderadioy vamosaestudiar

el errorcometidoen lasegundaderivadade un puntosituadoa í~ = 10 mm del centro,suponiendoque

— í, = 1.5mm y que6z= ±1gmy Sí = +10pm(estoes,los datoscorrespondientesa laprecisión

denuestroaparatodemedida). lénemospuesque

26z (xk+í~)fix6 (A~z~) + (4.12)

(ík—íg) R(xk—xj)’

operando,

6 (á5z1) +8 - iO~,

de maneraque,parala segundaderivada

26(t1z) 26í (4.13)(1k1j) R(ík—íJ)

2’

sutituyendolos datosnuméricosencontramosque

6(A~z1)~+2-10

4mm’,

si expresamosel error endioptrias tenemosque 6 (t~z~) +0.2 D, teniendoen cuentaque,en este

casola segunaderivadanuméricavienedadapor

/4zi = A5zk-A12J —-

1-=5D(xk—íJ) R

tenemosqueen valor relativoelerrorcometidoesenestecasodeun 4%. Sin embargo,el errorrelativo

en la medidade la posición1 es deun 0.1 % y el de la medidade2 es de un 0.4%. Estoimplica que

el errorrelativosemúltiplicaen un factor 10 teniendoencuentaúnicamentelos errOreSdeprecisióndel

aparato.

Paraevitar estefactor de error debido al cálculodiscretode las derivadasparciales,se haoptado

por ajustarlas funcionesz~ (í, y) y 22 (í, Y) a un desarrolloen seriede polinomios. Comoestamos

trabajandocon superficiesdefinidasen un dominiocircular, hemoselegidoel conjuntodepolinomios

de Zernike, al seresteconjuntounabasenaturalparatoda superficiedefinidaen un dominio circular

eeee• 67Medida de lomatriz de potencia dióptrica local de una lente oftólm¡ca

eee debidoasuspropiedadesdeortogonalidadsobreel circulode radiounidad,asícomociertaspropiedadese

de invariancia[8] , de modoquepodemosescribir

• N

• z~(x,y) = 5c4V3(x,y), (4.14)

e ti

22(X,Y) = N (415)j=i

e• siendoVj (í, y) el j-ésimopolinomio de Zernike. Comoestamostrabajandosobreun dominiodiscreto

• depuntos,siguiendoa [9] escogeremoslos coeficientesdelospolinomiosdeZcrnikequeminimizenla

diferenciacuadrática

2

dc=Z Iz.—>3a,V,31 , (4.16)

e t=íe• donde z~ es valor de la ságitaen el i-ésimo puntode la superficie,M es el númerode puntosmedidos

• sobrelasuperficie,V1j esel valordelj-ésimopolinomiodeZemikeen elpuntoi-ésimoy Nesel número

e de polinomiosdeZernikeempleados.Si consideramosquelospolinomiosdeZernike sonortonormales

• en el conjuntodiscretodedatosconsiderado,estoes si

e• >3 V1~V1~ =

6kj. (4.17)e 1=1

la minimizaciónde(4.16) nos lleva a lasiguienteexpresiónparaloscoeficientesdelos polinomiose• M

e a~ =>3 ~ (4.18)

e ~=1

e Si denominamos6a~ al errorcometidoen ladeterminacióndel coeficientedelj-ésimopolinomiode

Zernike,tenemosquenuestraestimacióndela sAgita,sehallaafectadadeun errore• N

áz, =>3 3a3V13, (4.19)

e 3=i

• considerandoademásque el error relativoen la detenninaciónde loscoeficientesde lospolinomiosde

eeeeeeeeeeeeeee

e,u,u,

u,

u,68 Medidade la MPDLapartir de lo topografía superficial de una lente oftálmica.

u,

u,Zemikeesel mismo,estoessi ¿a5= ca5, tenemosque u,

eN

>3 a~Víp u,6z~ = c (4.20) u,e,

esdecir,queel errorrelativoquecometemosen laestimacióndelasAgitaesdel mismoordenqueel error u,

relativoenloscoeficientesdel desarrolloen seriedepolinomios. Porotro lado, la derivadade la sAgita

puedeexpresarsecomo

N u,85zí=>3as8~Ví5, (4.21) u,

¡=1 u,

u,siendoel errordela derivada u,

N u,á(t9~z~)=>3 Sas8A’t. (4.22) e,

5=1u,

Comopuedeapreciarse,el errorenla derivadade la sagitaesfuncióndel errorenloscoeficientes,y u,deacuerdoa la expresión(4.20),elerror relativoquesecometeesdel ordendel errorrelativocometido st

enladeterminacióndeloscoeficientesdelospolinomiosdeZernike. Estoquieredecirqueel procesodeu,

derivaciónno aumentaenestecasoel error. Es porello por lo quehemosdecididoexpresarlas sAgitas

delas superficiesrefractorasapartirdel desarrolloenseriedepolinomiosdeZemike. u,

A continuaciónvamosa describirel procesodeobtencióndela MPDL a partirdelas medidasde la u’

e,sAgita. Nuestroobjetivo esencontrarlos coeficientesdelospolinomiosdeZernikea partirdel conjunto u,discretodepuntos(xi, y~, z1)dela superficiequehemosmedido. Los coeficientesdelospolinomiosse e,

hallanminimizandola distanciacuadráticadadapor laecuación(4.16). Comoen nuestrocasotenemos e,

un conjuntodiscretodedatos,hemosempleadoel algoritmodescritopor Fischeret aL [10] queutiliza

u,un procesodeortogonalizacióndeGrani-Schmidtparaencontrarun conjuntodepolinomiosortogonales u,enel dominiodiscretodepuntos(xi, y~) queestamosmanejandoapartir de losvaloresdelos polinomios u’

de Zernike. Deestemodosomoscapacesdeencontrarlaexpansiónde la superficiemedidaenseriede u,

polinomiosdeZernike. El ajustehasidorealizadoempleandolos 45 primerospolinomiosdeZernikeya

u,queconun númerosuperiordepolinomiosnomejorasignificativamenteel ajusteentrelospolinomiosy e,losdatosexperimentales. u,

Elpasofinal es calcularlos valoresde lasprimerasy segundasderivadasparcialesdelos polinomios u,

deZernike enlos puntos(xi, y2). Si los valoresde los diferentespolinomiosdeZernikeencadauno de u,u,lospuntosdemedidavienendadospor unamatriz y cuyoselementosson1-9. = 14 (z~,yI), estoese! u,

e,st

ti

e,u’

e,ti

e,ejej

eeee

Medida de la matriz de potenciadióptrica local de una lente oftálmica 69eee• valordel j-ésimopolinomio de Zernike en el punto (í~, y¿; susderivadassucesivasvendrándadaspor

~ V51 - Porotro lado, tenemosdosconjuntosdecoeficientese• deajustede las dossAgitasanuestroconjuntode polinomiosdeZemike,demaneraquepodemosobtener

• los valoresdelas componentesdelapotenciaprismática1’,. (xí,yi), 1% (íi,YI) ydelamatrizdepotencia

• dióptricaf~ (xi, yO, M~ (xi, Yi) y f~ (xi, y~ a partir de las expresionessiguientese• N

• r~ ~xj,yj) = — n) ~, ~a; — QJ) 85Vj11, N45 (4.23a)e i=1

N

• 1% (í~,y~) = (1— n) >3 (<4 — afl 8~Vs~, N45 <4.23b)eee y• N

• f±~(x¡,y~) = (n—1)>3(aj—a~)8~.Vjí, N=45 (424a)e J=i

N• f~~(x~,y~) = xíYií, N45 <4.2’tb)e• N

• f~~(x~,y~) = (n—1)>3(<4—a~)8~~Vji, N=45 (4.22k)e j=i

• siendo {<4} los coeficientesde ajustede la sAgita de la primerasuperfciey {a~} los coeficientesdeee ajustedela sAgitadela segundasuperficie.

e Si la formade la superficiees conocida,tal y como ocurreen el casode lentesesféricas,esposible• utilizar otroprocedimientopara la obtenciónde las potenciasprismáticasy los elementosde laMPDL.e Esteprocedimientosedaajustardirectamentelos puntosexperimentalesa unasuperficieesférica.Para

eello, dadoun conjuntodepuntos(í~, y1,z~) correspondientesa unasuperfciedela cualsabemosa pnorz

• queesesférica,definimosla siguientemagnitud

e N 2

• DC=Z (2~—ii+ ~ (4.25>ee calculamose y los valoresdel radio R y de los coeficientesde inclinacióna y b queminimizanestaex-• presión. La minimizaciónde(4.25) puederealizarseutilizando técnicasde cálculonuméricocomo el

• algoritmollamado“simplex” [7] - El algoritmodeminimización“simplex” figuracomounade las fun-

cionesde MatLab, siendoestafunción la que hemosempleadoparaminimizar la distanciacuadráticaeee

eeeeeeee

70 Resultados experimentales

(4.25). Una vezquesedeterminael valor del radioRqueproporcionael mejorajustea losdatosexper-

imentales,el cálculode loselementosdela MPDL y de la distribucióndepotenciasesféricay cilíndrica

se llevaa caboutilizando las expresionesdel capitulo 3.

4.2 Resultadosexperimentales

Vamos a presentaracontinuaciónlosresultadosobtenidosal medir la MPDL de variaslentesoftálmicas

comercialesconel métodode medidadescritoanteriormente.Lascaracterísticasdelas lentesmedidas

semuestranenla tabla1.

En el casode lentesesféricas,se realizael ajustede los puntosmedidosa unasuperficieesférica

obteniendoel valordel radioR y delos coeficientesdeinclinaciónay b. Paraestimarel errorcometido,

hemosmedido8 vecescadasuperficiede la lente y hemosdeterminadoel valormedio y la desviación

mediade los coeficientes{a, b, R}. Una vezdeterminadoel valor de R hemoshalladolos elemtosde

laMPDL y las potenciasesféricay cilíndricasiguiendoel métodoexpuestoenel apanadoanterior Los

valoresobtenidosdela MPDL y de la esferay cilindro semuestranen las figuras: Fig. 4.7, Fig. 4.8,

Fig. 4.9y Fig. 4.10mientrasque el valormediodel radio Ry su desviaciónmediaAR se muestranen

el apéndiceA3. En el casodelas lentespositivas,se puedeobservarciertadiscrepanciaentrela potencia

medidaenel centrodela lente y lapotencianominalde la lente. Creemosquedichasdiscrepanciasson

debidasal efectodel espesorcentral.

El procesodemedidade las lentesasféricasy progresivasconsisteenla medidadela superficieante-

rior y posteriordela lente,el ajustedelas mismasa polinomiosdeZernike y laobtencióna partir de las

derivadasnuméricasdelos polinomiosdelos valoresdelas componentesde lamatrizdepotenciadióp-

trica local y dela distribucióndepotenciasesféricasy cilindricasa lo largodela superficiede las lentes

estudiadas.Parapoderrealizarunaestadísticadeerrores,se hanllevadoa caboun númeroestadística-

mentesignificativo de medidasde cadasuperficiede la lente quequeremosmedir, en nuestrocasose

llevanacabo10 medidasdecadasuperficiede la lente. Deestemodoobtenemos10 conjuntosdiferentes

deelementosde la MPDL y por consiguiente,esposibleencontrarla MPDL mediay el errorcometido

enla medidadelaMPDL encadapuntode lasuperficiedela lente. En laFig. ‘ti semuestraunaimagen

tridimensionalde las dossuperficiesde la lente progresivaPI tal y como hansidomedidaspor nuestro

sistemadeperfilometríaautomática,mientrasqueen la Fig. 4.6esposiblever los residuosque resultan

deajustarlas superficiesanterioresa un conjuntodepolinomiosdeZemike. En elapéndiceA3 se mues-

tranlos valoresde los coeficientesdeZemikeobtenidosparacadaunadela medidasefectuadassobre

Medida de lomotriz de potencia dióptrica local de una lente oftólmica 71

Tabla 4.1 Propiedades de las lentes medidas con elperfilómetro autom.dtico. .P¡~ es la potencia de lejosde la lente, A es lo adición, u es el índice de refracción y t. es el espesor central

LLente Tipo P¡, (D) A(D) u tc(mm)El Esférica —4.00 NA 1.500 200E2 Esférica —2.00 NA 1500 0.90E3 Esférica +2.00 NA 1.500 380E4 Esférica +4.00 NA 1.500 5.30Al Asférica +2.00 NA 1.604 2.50A2 Asférica +2.50 NA 1.604 290Pl Progresiva 0.00 +2.00 1.604 1.85P2 Progresiva 0.00 +2.00 1604 190P3 Progresiva 0.00 +2.0<) 1.604 Z40

las lentesasféricasy progresivasde la ‘lbbla 4.1.

En las figuras: Fig. 4.11, Fig. 4.13,Fig. 4.15, Fig. 4.17 y Fig. 4.19 semuestranlosvaloresde: el-

ementosde la MPDL f,~, f~, y f~, y distribuciónde potenciasesféricaE y cilíndrica C, tal y como

vienendadaspor las ecuacionesdeLong de las ¡entesAl, A2, Pl,P2y P3. En las figurasFig. 4.12,Fig.

4.14,Fig. 4.16,Fig. 4.18yFig. 4.20tenemoslos valoresdelos errorescometidosenladeterminaciónde

las magnitudesanteriores.Como puedeapreciarseenestasfiguras,cadagrupode lentesestudiadopre-

sentaunadistribuciónsuperficialcaracterísticadelos elementosdela MPDL y de las potenciasesférica

y cilíndrica. Estadistribuciónsuperficialvienedadaporlanaturalezadelas superficiesrefractorasdelas

lentesestudiadas.

En el casodelentesconlaprimerasuperficieasférica,lentesAl y A2 (Fig. 4.11 y Fig. 4.13), lasdis-

tribucionesdeloselementosde laMPDL y delaspotenciasesféricay cilíndricadedichaslentespresentan

un aspecto“ruidoso” (más acusadoen la lentede +2.00 D que en la lentede +2.50 D). Sin embargo,

al menosenteoría,al estarestaslentescompuestaspordossuperficiesde revolución,las distribuciones

depotenciaesféricay cilíndricadeberianpresentarunadistribuciónconsimetriarotacional.La causade

queno aparezcadichasimetriaseencuentraenel hechodequelaprimerasuperficie(superficieasférica)

de la lente nopresentasimetriaderevolucióndebido,en nuestraopinión, a un procesodefabricaciónde-

fectuoso. Convieneteneren cuentaquelas lentesmedidasson lentesorgánicasde CR39 y se fabrican

por inyeccióndel material sobreun molde [17] , demodoque al enfriarsela lente,puedenaparecerpe-

queñasdefonnacionesque,si bienno tienenun efectomuy grandesobrela calidadópticadela lente,y

por tanto, sonindetectadaspor un frontofocómetro,si puedendar lugara cambiosenla estructurade la

superficie.Nuevamente,losvaloresdepotenciaencontradossecorrespondenconlos valoresesperados,

al menosenla zonaparaxialdeambaslentes.

a

a

a

a

a

ae

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

72 Resultados experimentales

vi

ti

tia)

—‘4E

N2ew.

o

b)

—‘.4E

N2e

-ID,

o

Eje Y (mm) Eje X <mm)

Eje Y (mm) Eje X (mm)-20

Figura 4.S.Repmsentacióntridimensionalde la superficiesa) anterior y b)posteriorde la ¡entePI medidascon elperfl¡óntetmautomático. Nótese la ligera asimetríadela superficieanteriorqueindica sucaracterdesupetflciepmgmsiva.

73Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

a)

b)

‘1e-u -o.oi

Figura 4.6.Residuosresultantesdeajustar tas superficiesa) anteriory b)posteriorde la ¡entePI a un conjuntodepolinomiosdeZemike.Puedeconipmbarsequela diferenciaentrela superficiemediday ajustadanuncaesmayorque10pm.

Nle.i.1 -o.oi

Eje Y (mm> Eje X (mm)

a

a

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

-20Eje Y (mm) Eje X (mm)

-20

74 Resultados experimentales

a) b) ________________

0.320 -41 20

0.2

lO -44 10 0.1

10 -46 ~O O1

-10 ~ 1.10 -0.1o

-0.2-20 -20-

-6 -0.3

-20 -10 0 10 20CoerdeisdaX (rin>

o) d) _________________

0.3. -4.2

0.2

LO 01 -4.4

lo O lo -4.8

11

-lo -0.1 -4.8-0.2

.20 20-0.3 -6

-4.2

0.6

-44 0.6

0.4-4.6

0.3

-4.8 0.2

6 0.1

e)

-20 -lO 0 10 20coord.nadaX (mm)

-20 -lO 0 10 20Coord.nads X (mm)

-20 -lO 0 10 20OcordeisdaX (n.u)

-20 -10 0 10 20Coardanad. X (mm)

-20 -10 0 fOCoerdacadaX (rin)

Figura 4.7Distribuc,ónde los elementosdela MPDL, a) f~. b) ~ c) f~. d) f~ yde laspotenciase)esfe’ricay]) cilíndrica

sobtela superficiede la lenteCI.

Medida de la motriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 75

ee a) b) ______________

e-2.2 20 0.16

e -2.3 0.10.06e

1 -24 jo Oc

-2.5 -0.058-so ¡lo -0.1e -2.6

-20 ..., -0.16

-2.7 42-20 10 0 10 20e cwd.nds X <nrn)

e d) _____________

• o)e 20 0.15 20 -2.2

e -~ 0.1

• !í0 0.06 -2.3

• lo. 0 -2.4ce-0.06 -2.6e

8-lo -0.1e -20 ,~. -0.15 -20- -2.6

________________________________ -0.2 -2.7• -20 10 0 lO ~0

cooidnda X <nm,)ee) ________________________________________________ f)e o.’

e 20- -2.2 200.35

e -2.3 0.3

0.26e-2.4 10-2.5

o-lOe -10 -2.6 0.1e -20 -20 0.06

• -2.7 _____________

• -20 -10 0 10 -20 -lO 0 10Coord.nsda X (mm) coord.nmd. X (rin)

eee• Figura 4.8? Distribucióndelos elementosde ¡a MPDI.. a) f~, b)~ c) f~. d) f~,y de laspotenciase)esféricay]) cilíndrica

sobrela supetflcíe dela lenteE2.

eeeee

-20 -lO 0 10 20Coord.nadm X (mm)

-20 -10 0 lO 20coord.nada X (mm)

20 20

Resultados experimentales

vi

vi

0.15

0.1

0.06

O

-0.05

-0.1

-0.15

2.36

¡ 2.3

2.25

2.2

2.15

2.1

2.06

2

1.95

0.36

0.3

0.26

0.2

0.15

0.1

0.06

76

-20 -10 0 10 20Coord.nsd. X (rin)

b)

20

10

-20

d)20

‘O

1 -~

-20 -10 0 10 20Coccd.uds X(rin)

a)

20

10

joc~28-lou

-20

c)20

10

-20

e)

II

1-IIu

2.36

2.3

2.25

2.2

2.15

2.1

2.06

2

1.96

-<0-ls4<

0.1

0.06

O

-0.06

41

-0-ls

2.06

2.04

2.02

2

1.98

1.96

1.94

1.92

-20 -lO 0 10 20Coord.n.da X (mm) -20 -¶0 0 ¶0 20

Ocordeud. X (rin)

-lO OCoord.nada X (mm>

-20 .10 0 10 20Coordw,d X (un)

Figura 4?9.Distribuciónde los elementosde la MPDL, a) fx~.b) f~, c) f~, d) f,,,, y de las potenciase) esféricay b) cilíndrica

sobrela supeq5ciede la lente E?.

Medida de la motriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 77

a)

20

lo

ejOe1o-loo

-20

o)20

10

joc

-1 -10

-20

e)20

10

e28-10o

-20

6

4.8

4.6

4.4

4.2

4

3.8

0.4

0.3

0.2

0.1

O

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

4.16

4.1

4.06

4

3.96

3.8

3.95

3.9

3.76

d)20

10

1 .~:o

-20-

f)20

10

108-soo

-20

0.4

0.3

0.2

0.l

O

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

6

4.9

4.6

4.4

4.2

A

39

09

06

04

0.2

Figura 4?IO.Distribuciónde los elementosdela MPDL, a) fn,. 1’) h~, c) f,,~.4)f,,,,yde laspotenciase)esfáricay]) cilínónca

sobrela superficiede la lente£4.

-20 -10 0 lO 20Coord.nada X (mm) Coord.nsda X (rin>

a

eeaeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

-20 -lO 0 lO 20Coordenada X (mm)

-20 -10 0 10 20Coordenada X (n.u>

-20 -lO O lO 20Coosd.nada X (mm>

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (n.u)

eeeee

78 Resultados experimentales

-20 -10 0 40 20X Ocordinate (mm)

b)

2.2

2.1

2

1.9

4.8

1.7

0.1

0.05

O

-0.06

-0.1

2.06

2

1.96

1.9

4.96

1.8

1.76

1.7

1.66

20

ti0

10‘a

-20

d)20

tic

jolo

-20

f)20

tío

jo‘a -lo

-20

-20 -10 0 lO 20X Coordine. (rin)

a)

18‘-3

20

lo

O

e

-10~

-20

-20 -40 0 10 20X Coordinate (mm)

0.1

0.06

O

405

-0.4.20 -40 0 lO 20

X Coordine. (rin)

c)

1(-3x

u’

-20 -io e io 20X Coordinate (mm>

-20 -10 0 10 20X Coordine. (un)

e)

20

10

I0

-20

24

2.3

2.2

2.4

2

1.9

1.9

0.4

0.36

0.3

0.26

0.2

0.16

0.1

0.06

Figura 4.I¡.Distribuc,ónde los ch~aieatosde la MPDL. a) f~. b) f,,,~ c) f~. d) f~ y de laspotenciase) esféricay]) cilíndrica

sobrela superficiede ¡a lenteAl.

:0:. -

Medida de lo matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

a)

20

10

e10c

1-lo

-20

o)

¶0

I 10o

-20

e)20-

lo

‘o

28-10o

-20

-20 -10 0 lO 20Coord.nada X (mm)

-20 -10 0 10 20Coord.nada X (mm)

0.09

0.07

0.06

0.06

0.04

0.03

0.02

0.01

0.025

0.02

0.016

0.01

0.006

0.19

0.16

0.14

0.12

0.1

0.09

0,06

0.04

0.02

b)

20

110

loco-loo

-20-

d)20

lila

18-ío

‘-3

-20

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (rin)

-20 -10 0 10Coordenada X (rin>

79

0.026

0.02

0.0 16

0.01

0.006

0.03

0.026

0.02

0.016

0.01

0.006

0.19

0.16

0.14

0.12

0.1

0.09

0.06

0.04

0.02

Figura 4.12.Distribuciónde la estimacióndel ermrcometidoen la medidadelos elementosde la MPDL. a) 1. 10 f~ c) 1,,~.d) f,,,, yde laspotenciase)esféricay]) cilíndrica sobrela supeificiede la lenteAl.

aw

a

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

20

-20 -40 0 lO 20Coordenada X (rnnl)

-20 -10 0 10 20coordenada x (rrrn>

80 Resultados experimentales vi

2.56 b)2.5 20

2.46 ~. ~

2.4 —

2.35

2.25 (-3

2.2 -20

2.16

d)

0.1

0.06

ej-0.06

8(-3

-0.1

2.65

2.6

2.46

2.42.36

2.3

2.25

2.2

2.15

viu’

e,

0.1

0.05

o

-0.05

-0.1

u’es

.2.6 e)2.65 u’u’2.6

Él245

e,2.4 e,2.36 - u,

2.3 u’2.26 u’

u’u’u’u’

0.26 u’u’

02 u’0.16 u’

u’01 u’0.05 u’

ÉSu’e,esu’st

es

-20 -10 0 10 20coordenada x (mm)

a)

20

10

e

-20

o)

20

lo

jo

o-lo(.1

-20

e)

-20 -10 0 lO 20Coordenada X (rin)

-20 -10 0 10 20Coordenada X <mm)

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (ln¶~)

II

101.10o

-20 -40 0 10 20CoordenadaX mm)

-20 -10 0 10 20Coordenada X (mii.)

Figura 4. 13.Distribuciónde los elen,cnzosde la MPDL, a) fa, b) f~, e) f,,z,d) f,,,,yde las potenciase)esféricay» cilíndrica

sobir la superficiede la ¡enteA2.

81Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

-20 -lo O lO 20Coordenada X (mm)

b)a)

-1e

8O

o>

e

1oo‘-3

Coordenada X (mm)

a

a

a

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Coordenada X <mm)

e

•128-ii

t.3

0.180.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.08

0.04

0.02

0.09

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.25

0.2

0.16

0.1

0.05

d)20

10

10

1-lo-20’

0.08

0.07

0.08

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.26

0.2

0.15

0.1

0.06

0.3

0.26

0.2

0.15

0.1

0.06

Coordenada X (mr!,)-20 -10 0 40 20

Coo.rd.nada X (mm>

f)e)20

lo

jo

1o-lOO

-20

20

10

joc

-go-lo‘-3

-20

-20 -lO 0 10 20Coordenada X <mm)

Figura 4.14.Distribuciónde la estimación leí ermr cotíietido enla medidadelos elementosde la MPDL a) fn. b) f~, c) .l~z.d) f1,1, y delas potenciase) esféricayfl cilíndrica sob¡~ la supeificiedela lenteA2.

Resultados experimentales

-20 -10 O lO 20Coordenada X (mm>

2

1 .5

0.5

O

-0.5

—l

b)20

ío

~o

1.10

-20

d)20

0.6

loo

-0.6 1.10

-20—l

-20 -40 0 10Coordenada X (rin)

20

-20 ‘lO O lO 20coordenadaX (rin>

f)1.5

0.6

o

-0.6

—l

20

ío

1 :-20

‘20 -lO 0 10 20Coordenada X (rin>

82

a)

20

lo

1.0O

-lo

-20

-20 .10 O ¶0 20Coordenada X ~mm)

o)20

lo

1-lo4->

-20

e)

20

10

-20

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (mm)

0.6

O

-0.6

—1

1.6

0.6

o

-0.6

2.6

2

1.6

0.6

vi

Figura 4.I5.Distribuciónde los elementosdela MPDL, a)f. 1’) f21, c) f~, d) f~, y de laspotenciase)esféricay]) cilfndricasobre la superficiedela lentePl.

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

-20 -40 0 lO 20Coordenada x (mm>

Figura 4.I6Distribuciónde la estimacióndelertvrcometidoen la medidadelos elementosde la MPDL. a) f~. b) frL, c) f~,d) f.~, ydelas potenciase) esféricay]) cilíndrica sobrela superficiedela lentePI.e

e

83

‘20 ‘lO 0 10 20Coordenada X (mm)

ee

eeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

‘20 -10 0 10 20Coordenada X (mm>

a)

20

40

10eoo’lOO

-20

e)

20

40E

e‘oo0-10O

-20’

e)

20

10

eloe2oo-lOo

-20

0.3

0.26

0.2

0.15

0.1

0.05

0.45

0.4

0.36

0.3

0.260.2

0.15

0.1

0.05

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0.3

0.26

0.2

0.16

0.1

0.06

0.3

0.25

0.2

0.16

0.1

0.05

b)20

10E

e

@ -loO

-20

d)20

íoE

joae‘o~-40O

-20

f)20

40

e~0ae

‘2g -ío

O

-20

-20 -10 0 lO 20Coordenada X <mm)

‘20 ‘40 0 10 20coordenada x (mm>

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.16

0.1

0.05

-20 -40 0 lO 20Coordenada X (mm)

84 Resultados experimentales

‘20 ‘40 0 lO 20Coordenada X (mm)

‘20 ‘lO 0 lO 20Coordenada X (mm>

2

1 .5

0.6

O

-0.6

0.9

0.60.4

0.2

O

‘0.2

-0.4-0.6-0.9

.2

1.5

0.5

o

-0.5

b)20

10e‘o

8-íDO

‘20

d)20

10

ejoe‘ooo’IO’O

‘20’

f)20’

loE

joce‘ooo-laO

-20

-20 -10 0 10 20Coordenada X (mm)

a)

20

¶0Ejoe‘o8-loO

-20

o)

20

10

joe‘ogO

‘20

u,

esesesti

esu,u,esesu,eses

esu,

0.8

0.6

0.40.2

O

-0.2

‘0.4

-0.6

‘0.9‘20 -lO 0 10 20

Coordenada X (mm>

u,

‘20 -10 0 10 20Coordenada X (mm>

‘20 -10 0 lO 20Coordenada X (rin>

e)

Ee

‘1‘2ooO

2.5

2

1 .5

0.5

O

2.5

2

l .5

0.5

u>

Figura 4.17Distribuciónde los elementosde la MPDL, a) f~, b) 1±1,c) f~, d) fi,,, yde laspotenciase) esféricayf) cilíndrica

sobrela superficiede la lenteP2.

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 85

-20 ‘lO O lO 20Coordenada X <mm>

‘20 -40 0 ~i0 20Coordenada X (mm)

-20 ‘lO O lO 20Coordenada X (mm)

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.06

0.09

0.07

0.06

0.06

0.04

0.03

0.02

0.01

0.26

0.2

0.16

0.1

0.06

b)20

loE

joe‘o

8-loO

-20

d)20

lo

ejOe‘o8-10O

-20

f)20

40

loea‘o8-10O

-20

‘20 -lO O 10 20Coordenada X <mm)

‘20 -10 0 lO 20Coordenada X <mm>

-20 ‘lO 0 10 20Coordenada X (mm)

Figura 4.18?Distribuciónde la estimacióndel ermr cometidoenla medidade los elementosde la MPDL, a) f, b) ~ c) f~,d) f1,1, y de las potenciase) esféricay»cilíndrica sobrela superficiedela lenteP2.

a)

20

lo

joe‘28-loO

-20’

o)

20

10

joee‘2oo-loO

‘20

a

a

a

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

0.09

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.36

0.3

0.26

0.2

0.45

0.1

0.06

0.36

0.3

0.26

0.2

0.16

0.1

0.06

e)

20

lo

e10ee

‘o

8-10O

-20

eeeeeeeeeeeee

Resultados experimentales

-20 -lO O lOCoordenadaX <mm>

20

‘20 -10 0 lO 20Coordenada X (mm)

2

1.6

0.6

o

‘0.5

0.4

0.2

o

-0.2

-0.4

-0.6

‘0.8

—1

2

1.6

0.6

o

-0.5

—l

b)20

lo

eeee‘ooo-lOO

‘20

d)20

10

10ee‘ooo-loO

-20

f)20

‘gloE

e

~0e‘ooo-loO

‘20

-20 -10 0 10 20Coordenada X (mr,)

‘20 -lO 0 10 20Coordenada X <mm>

vi

u,

a)

20

lo

joe‘o

g-íoO

-20

c)

20

lo

10ee‘og -ío

O

-20

e)

20

ío

joe‘o

g -íoO

-20

0.4

0.2

o

-0.2

.0.4

‘0.6

‘0.8

—l

2

1 .5

05

o

2

1,6

0.6

‘20 -10 0 10Coordenada X <mm>

20 ‘20 -lO 0 10 20Coordenada X (mm>

Figura 4.19.Distribaciónde los elementosdela MPDL. a) f~, b) f~ c) f1,X> d) ~ y delas potenciase) esféricavfl cilíndrica

sobrela superficiede la lentePS.

Medida de lamatriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

-20 -¶0 0 40 20Coordenada X <mm)

‘20 -lO 0 10 20Coordenada X <mm)

-20 -lO 0 10 20Coordenada X (mm)

Figura 420.Distribucióndela estimacióndel ermrcometidoen la medidade los elementosdela MPDL, a) f~±,10 f~ c) f~,d) f~, y delas potenciase) esféricay]) cilíndrica sobrela superficiede la lenteEl.

a)20

lo

‘o0aee‘oooO

b)20

lo.

-lo’

‘20

o)

20

i~i 10

‘o 0’aee‘ooo -lO

O

-20’

-20 -40 0 10 20coordenada x (mm)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

018

0-It

042

0.1

0.09

0.06

0.04

0.02

0.14

0.12

0.1

0.08

0.08

0.04

0.02

0.16

0.44

0.12

0.1

0.09

006

o.ot

0.02

87

0.14

0.12

0.1

0.09

0.06

0.04

0.02

018

016

0.14

012

Dl

008

0 06

004

0 02

02

o is

01

006

s

joe

‘o

O

‘20

f)20

joee

‘o8-loO

-20

-20 -10 0 lO 20Coordenada X <mm>

e)

20

lo

e‘ooeee‘ooo-IDO

-20

-20 -10 0 10 20Coordenada X <mii.)

88 Resultados experimentales

Laestimacióndel errorcometidoenla determinaciónde laMPDL y las potenciasesféricay cilíndrica

de las lentesAl y A2 semuestranenlas Fig. 4.12 y Fig. 4.14. Thl y comopuedeverseendichasgráficas,

los erroresde los elementosde la MPDL y de las correspondientespotenciasesféricay cilíndrica son

pequeños,yaqueenelcasodela lenteAl no superanlas 0.OSDyenel casodela lenteA2 no superanlas

0.250 (aunqueloserroresmediosdela lente A2 sonbastanteinferioresaestacotadeerror). lhl y como

ocurreconladistribucióndeloselementosde la MPDL y de las potenciasesféricasy cilíndricas,la lente

Al presentaunadistribuciónde errores“aleatoria” o cuantomenosunaapariencia“rugosa”, mientras

que la lenteA2 presentaunaciertaestructuraen ladistribucióndelos erroressobresu superficie.

Las lentesPl, P2y P3, mostradasen las Fig. 4.15, Fig. 4.17y Fig. 419, son lentesprogresivasy

dichocomportamientoquedacorrectamentereflejadoen las correspondientesdistribucionesdepotencia

esféricay cilíndrica. Así puedeverseunazonade visión de lejos queocupaaproximadamentela mitad

superiorde las tres lentes,dondela variacióndepotenciaespequeña(y comosonlentesneutrasdelejos

susvaloressoncercanosacero),mientrasqueen laparteinferior deestaslentes,la potenciaaumentade

modoprogresivahastaencontramosunazonadepotenciaconstanteen laparteinferior derechao nasal

delas lentes(yaquesonlentesconstruidasparaun ojoderecho)siendoel valordelapotenciaenesazona

el correspondientea la sumadel valorde lapotenciade lejos máslaadición,lo cualennuestrocasonos

daunaslentesde+2.00 D, yaquelas lentessonneutrasdelejosy su adiciónesjustamente+2.0<)0. La

distribucióndepotenciacilíndricasobrelasuperficiedela lentetambienpresentaun comportamientode

acuerdoconlo descritoen la literatura[18] , [19] y [20] - Demodoque,podemosencontrarunazona

de visión de lejos y otrazona(máspequeña)de visión de cerca,libresdecilindro unidas por mediode

un estrechopasillo(elpasillo progresivo), encontrandoseunadistribucióndepotenciacilíndricaenam-

boslateralesdel pasillo progresivode maneraque la potenciacilíndrica crececonforme nosalejamos

del pasillo progresivo. Lasfigurasmuestranasimismounaligeradiferenciaenel diseñode las lentes,

diferenciaesperablesi consideramosquePl,P2y P3sonlentespertenecientesa tresmarcascomerciales

diferentes.Así mismo,esdehacerconstarquela lenteP3 presentaunaligerarotacióndel pasillo progre-

sivohacialazonanasal,encomparaciónconlas lentesPl y P2. Estarotaciónpuededebersea unaligera

imprecisióncometidaenelposicionamientodedichalenterespectoa losejesdel perfilómetro.

La estimacióndel errorcometidoen lamedidade la MPDL y delas correspondientespotenciases-

féricasy cilíndricasse muestraenla Fig. 4.16,Fig. 4.18y Fig. 4.20. En la lentePl se observaque

losmayoreserroresen la MPDL seconcentranen laparteinferior de la lente a amboslados del pasillo

progresivo(parala componentef~) o en las zonaslaterales(componentes~ y .41,). El valormáx-

eeee

Medida de lamatriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 89eee• imo del errorcometidono superaentodocasoel cuartodedioptriay en generalel valor medio del error

• cometidoesdel ordende0.1 D, valor enconsonanciaconla precisióndeotros métodosexperimentalesecomo la mediade potenciaspor medio de un frontofocómetroautomático. El comportamientode los

• errorescometidosenla determinaciónde la esferay el cilindro esmuy similar.

• En el casode la lente P2, las zonascon altosvalores(del ordende 0.25 0) deerror tantoen los ele-

mentosde la MPDL comoen las potenciasesféricay cilíndricasonmásreducidas,aunquesulocalizacióne• sobrelasúperficiedela lente es muy parecidaa la quepresentabala lentePl, estoes,en las zonasin-

• feriores y lateralesde la lente. En estecasotambienencontramosvaloresmáximoscercanosal cuarto

• dedioptría(exceptoen la componentef~, de la MPDL, dondeno sesobrepasanlas 0.08 D) y un valor

mediodel ordende0.10.e• Sin embargo,parala lente P3,elmayorvalordel errorcometidoen ladeterminacióndeloselementos

• de la MPDL no sobrepasalas 0.16 D, siendoel valor medio del ordende 0.08 0. De modoque, en

• estecasola precisióndel métodoes mayorquela proporcionadapor el empleode un frontofocómetroe

automático.En estecasopuedecomprobarsela existenciade cierta estructuraen ladistribuciónde los

• errores,sobretodoen las componentesf~ y f~, de la MPDL. Comoocurrecon las lentesPl y P2, el

• comportamientode los errorescometidosen la determinaciónde laesferay el cilindro es similaral que

presentanlos erroresenlos elementosdela MPDL.ee• 4.3 Medida de la MPDL a partir de la deflexión de los rayos sobre• una lenteoftálmica.ee 4.31 Descripcióndel dispositivoexperimtntal para la medida de la MPDL ae partir de la deflexiónde rayos

En estasección,vamosa comparaslos resultadosde dosmétodospara la medidadela MPDL. Por unelado, la medidade la MPDL a partir de las derivadassegundasde las ságitasy por otro la medidade

• la MPDL apartir delas derivadasdel efectoprismático. De acuerdoconlos resultadosdel capítulo3,

• tenemoslasiguienteexpresiónquerelacionalos elementosf~, f~, y f1,1, delaMPDL y lascomponentese

P5 y P1, de la potenciaprismática

• OPX• — -~- (426)

• f~ = = —~ (4.27)Ox

eeeeeeeeeee

90 Medi~ de laMPDL apartir de la deflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

-r (428)

De modoque,si conocemosla distribuciónde las componentesP~ y P1, del efectoprismáticoa lo

largo dela superficiedela lente,es posibleobtenerlos valoresde los elementosde la MPDL a partir de

las derivadasparcialesde las anteriorescambiadasdesigno.

o)

Figura 421Esquetnadel dispositivoexperimentalempleadopara la medidadirecta de la deflexiónde rayosen lentesoltólmicas.

Elementos.-a)Ordenadorb) unidaddecontrol de los motores,c) ldserd)filtro espacial,polarizadory lentecoliniadora. e) motores

pasoa pasoy» carnaraCCD desnuda.

La medidadeladeflexión(o efectoprismático)queexperimentaun rayoal refractarseencadapunto

deunasuperficiepuederealizarsede variasmaneras.Sepuedeencontrarunaabundanteliteraturasobre

métodosbasadosendeflectometríaMoiré con mayoro menorgradodeautomatismo[11] ,[12] , [131,

[14] y [15]. Aunquetambiénesposibleencontrarotrosmétodos,comolamedidadirectade ladellexión

deun rayo [9] y [16] - En el DepartamentodeÓptica,UCM [21] sehadesarrolladoun dispositivopara

la medidadirectade la deflexiónde un hazláseren la superficiede unalente oftálmica. TaJ y como

puedeapreciarseenla Fig. 4.21 estedispositivodemedidaconstade un hazláser,que tras seratenuado

por un filtro neutroy un polarizadorlineal incidesobreunalentecolimadoradealtafocal, de modoque

el hazláser es colimado,peroel diámetrode la manchaqueproduceen unapantallasuficientemente

alejadade la lentecolimadoraes pequeña.Trassercolimado,el hazláserincide sobreunacámaraCCD

a)

1)

b)

d)

$-e)

H —

• Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 91

• desnuda.La lenteque sequiereestudiarsecolocaa pocadistanciade la cámaraCCD sobreun soporte

quepuedemoverseenelplanoperpendicularal haz(Fig. 4.21)por mediodeunosdesplazadoreslineales

motorizados.En estascondiciones,la medidade los efectosprismáticosquese producenen un punto

• de la superficiede la lente se realizadel siguientemodo: se muevela lentehastaqueel hazláserincida

• sobrela mismaen el puntodondesedeseanmedir los efectosprismáticosy se calculala posicióndel

• centrode masasde la imagendel hazlaserquerecogela CCD. La posicióndel centrode masasdel haz

vienedadapor las ecuaciones

•• E xiii— t=1 , (4.29)a: =•• Eh

i=1

•• E v~i~• ~= . (430>

• Ehi=1

• Donde (a:1,y~) sonlas coordenadasde posicióndel i-ésimopixel de laCCD (suponiendoque el centro

de coordenadasse hallaen el centrogeométricodel “chip” CCO) y donde1, es la intensidadrecogida

• por la CCDparaestepixel y Npixe¿es el númerodepixelsdela CCD. En primeraaproximaciónpuede

• considerarsequelaposicióndel centrodel hazvienedadaporla posicióndel centrodemasasdela imagen

• del hazrecogidapor laCCD. En estascondicionessi conocemosladistanciazentreel soportedela lente

y la cámaraCCD, las componentesdel efectoprismáticovendrándadaspor -

= (4.31)

• = (432)

suponiendoque

• ¿ »~2 ~ (4.33)

• lo cuales ciertoparalentesde bajapotencia(-c 2 D). En estascondiciones,es posiblecalcularlos ele-

mentosde la MPDL a partir de las expresiónes(4.26),(4.27) y (4.28).

• 4.31 Comparación de losdosmétodosde medida de loselementosde la MPDL

• En estasubsecciónvamosa mostraren primerlugarlos resultadosexperimentalesobtenidosal medirlas

e

92 Medida de la MPDLa partir de la deflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

lentesA2, Pl y P2. En la Fig. 4.22, Fig. 4.23 y Hg. 4.24se muestranlos resultadosexperimentales

obtenidospor el métododemedidade ladeflexióndirectade los rayos.

Cualitativamente,se encuentraun buenacuerdo’ entre los resultadosde las medidasde la MPDL

a partir de la medidade la superficiede la lente (Hg. 413, Hg. 4.15 y Hg. 4.17) y los resultados

proporcionadospor el métodode la deflexión directade rayos. Parapoderrealizarunacomparación

cualitativa,vamos a representarunaseriede perfileslongitudinalesde potenciaesféricay cilíndrica

obtenidaspor ambosmétodosde medida.Asípueshemostomardolos perfilesde potenciaesféricay

cilíndrica a lo largo de las líneashorizontalesdadaspor las ecuaciones(y = —15 mm, y = —10 mm,

y = —5 mm, y = O mm, y = 5 mm e y = 10 mm), tal y comopuedeverseen la Fig. 4.25,Hg. 4.26,

Fig. 4.27, Hg. 4.28, Hg. 4.29y Fig. 4.30. Parapodercuantificarla diferenciaentreambosmétodosde

medidahemoscalculadola mediadelos valoresabsolutosde la diferenciaentrelos perfilesdepotencia

correspondientesa la medidade la MPDL a partirde las medidassuperficialescon aquellosresultantes

demedir la MPDL a partir de ladeflexiónde los rayosen la lente. Matemáticamente,sedefinedicha

magnitudcomo

(4.34)rZP<YX?L

i=1

siendoX~ el valordela potenciacalculadoapartir delas medidassuperficialesen el puntoí-esimo del

perfil depotencia,Kf el valordelapotenciamedidoa partirde ladeflexióndirectadel rayoenel mismo

puntodel perfil de potenciay Nel númerode puntosa lo largo de dichoperfil. LasTablas4.11 y 4.111

nosmuestranlosvaloresded paralas potenciasesféricasy cilíndricasdelentescomparadasencadauno

delosmeridianos(numéradosdell al 6 segúnel ordendecrecientedevaloresde y).

En el casodela lenteasféricaA2, encontramosque,aunquecuantitativamente,las diferenciasentre

los perfilesdepotenciaesféricay cilíndricano sonmuygrandes(del ordendeladécimade dióptria,esto

esdel ordendel errorcometidoenla determinaciónde las potencias),la formadelosperfilesde potencia

es diferentesegúnel métododemedida. Estadiferenciaen la formadelos perfilesde potenciaestáde

acuerdoconlas diferenciasque se aparecenen las distribucionesde loselementosde la MPDL y de la

potenciaesféricay cilíndrica. En efecto,de acuerdocon la Hg. 4.22 ladistribucióndeloselementosde

laMPDL y potenciasesféricay cilíndricadadosporla deflexiónderayospresentaun aspecto“ruidoso”,

mientrasque la distribuciónde elementosde la MPDL y potenciasesféricay cilíndrica dadospor la

medidade las superficiesrefractoraspresentaunacierta estructura.En el primer caso,creemosque el

Exceptoen el casodela lenteasféricaA2 queserácomentandomásadelante.

93Medida de lamatriz de potencia dióptrica local de una lente ofiólmica

b)245

2.4

2.36

2.3

2.26

2.2

-20 -40 0 lO 20Coordenada X <mm>

0.05

0

-0.06

-0.1

-0.16

-0.2

-026

2.4

2.36

2.3

225

2.2

2.46

2.1

d)20

j~j 40

jOa2O

-20

f)20

‘g’lo

e10ee28-10O

-20

0.05

o

-0.05

-0.4

‘0-ls

-0.2

-0.26

2.5

2.4

2.3

22

2.1

0.3

0.25

0.2

045

0.1

0.05

20

‘gía

e -ce‘28-lo

O

-20

a)

E

-1e‘ooo

O

Coordenada X (mm)

e)~2O

40E

eEa‘2oo-lOO

-20’

e)

20

íoe‘o0ee

‘28-loO

-20

-20 -10 0 10 20Coordenada X (mm>

-20 -40 0 -. 40 20Coordenada X (mm>

-20 -10 0 lO 20Coordenada X (mm)

-20 -lO O lO 20Coordenada X <mm>

F’gura 4.22 Distribución de los elementos dela MPDL, a)fa, b) fn,, c) f,,~, d) f~,, y de laspotenciase) esféricayf) cilindrica

sobrela superficiede la lente.42. obtenidasa travésde la medidade la deflexióndeun hazde luz sobrela superficiede la lente.

Medié de la MPDL a partir de la deflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

-20 XX Coordh,st. <mm)

20

-20 0 20X Coordine.<mm>

-20 0X Coordine. <mm>

b)2

1 .5

30

20’

lo1 e1CO

O0.5

-20’o

-30-

d)0.8

0.6

04

0.2

o-0.2

-0.4

-0.6

-0.9

1.6

0.5

o

-0.5

30-

20-

E 40

ooo-lo

-20

-30

30

20

loe1‘joooO-lo

-20

-301

-20 0 20X Coordine. <mm>

-20 0 20X Cooedn.t. (rin)

-20 0X Coordine. (mo,)

94

a)30

20’

£40e1s O‘oooO-lo

-20

-30

o)30

20

£10

1Co1OoO-lo

-20

-30

0.9

0.6

0.4

0.2

O

-0.2

-0.4

-0.6

‘0 9

1.5

0.5

o

07 2

4-5

0.6

e)30

20

£40

lo¡10

-20

-3020 20

Figura 4.23.Distribuciónde los elementosde la MPDL. a) f~, 1’) fn,, c) fvs d) ~ y de las potencias e) esférica y»cilindrica

sobrela superficiede la lentePl, obtenidasa travésde la medidade la deflexióndeun hazdeluz sobrela superficiedela lente.

1’~,

95Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

a)

£e

oo0-1

o)30

20

E lOaCO

oOo-

40

-20

-30

-20 0 20X Coordine. (nr>

e)30

20’

E lO

1s O‘o

O~‘I0

-20

-30

b)30

2

1.6

0.6

O

-0.6

0.6

o

-0.5

—l

-1.6

2

1.5

0.6

O

-0.5

‘1

20-

£10

1.; o‘2ooo-10

-20

-30’

d)30

20

loE

1C 0-ioo ¡o-10

-20

-30

f)30

20

40

o

E1t6OQ-40

-20

-30

-20 0 20-X Coordinas.(nr)

0.5

0

-0.5

—1

-1.6

3

2

o

—1

3-5

3

2.5

2

¶ .5

0.6

Figura 424Disrribución de los elementos de la MPDL, a) f,~,b) As,, c) fs,~,d) fs,,, y de las potenciase) esféricay» cilindrica

sobre la superficie de la lente P2, obtenidas a través de la medida de la deflexión de un hazde luz sobre la superficiede la lente.

X Coordinan (mm>-20 0 20

X Coordinan (mm)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

-20 0 20xcoordinas. (mm>

-20 0 20X Coordinas. (mm>

96 Medida de la MPDLa partir de ladeflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

2.5

,-1

-20 -lO O lO 20Eje X (mm)

-20 -lO 0 40 20Eje X (mm>

-20 -lO OEje X (mm>

lO 20

f) 2.7

2.6

2.6

a;2.4

A 2.3oo- 2.2.

2.1

-20 -10 OEj. X (ma)

Figura 4.2íPerflleslongitudinalesdepotenciaesfericaa lo largo de los meridianosdados por las ecuaciones a) ~j= 10 mm,1,)

It = 5 mm, c) It = O tntn, d) y = —5 mm, e)y = —10 mmy»y = —15 mmdcla lente .42. La línea continuasecorrespondeconelmétodopeafilométrico,mientrasque la tinca continuaconpuntosgruesoscorrespondeal métododeflectométrico.

b)2.r

a)

2.4

S2.3eCeZ 2.2

o-

2.

o) 2.7

-20 -10 0 10 20Ej. X (mm>

2.4

~2.3

CeZ 2.2O.

2.1

2

2.6

2.6a;24

¡ 2.3oO’

2.2

2.1

2

2.8

2.5a

aoo.

2.3 . p

,/2.2

2.4

2

e)

aeCAoo-

-20 -lO O lO 20Ej. X (mm)

2.7

2.6

2.6

2.4

2.3

2.2

2.1

2

‘VIA

4.’

lO 20

97Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una tente oftálmica

a)

o)

0.4’

0.3

eeZ 0.2o-

0.4

O

e)0

0.

0.3a-5

1 0.2o-

0.1

b)

aaeAoO.

d) o:

0.4

~ 0.3eeeZ 0.2,o-

0.1

f)

0.4’

g 0.3aeeZ 0.2

O.

0.1

o

Figura 4.26 Perfiles longitudinales de potencia cilíndrica a lo largo de los meridianosdadospor las ecuacionesa) It = 10 mm.

b)It = Smm, c)It = Omm,d)y = —Smm.e)It = —10mmyf)~ = —15 mmdclalenteA2. La línea continua se corresponde

con el método perfilométrico. mientras que la tinca continua con puntos gruesos corresponde al método deflectométrico.

OEj. X <mm)

-20 -lO 0 10 20Eje X (mm)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

-20 -lO 0 40 20Ej. X (mm)

-20 -10 0 lO20

Eje X (mm>

-20 -10 0 10 20Eje X (mm>

-20 -40 0 10 20Eje X (rorrO

Medida de la MPDL apartir de la deflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

a) b)

E _

‘o5 -0.,CoOo-

0.5

‘u:0-c‘oo-

e)

E‘u.5CoOa-

-0.5

Figura 4.2TPetflleslongitudinalesdepotenciaesféricaa lo largo de los meridianosdadospor las ecuacionesa) y = 10 mm,

= 5mm,c)y = Omm, d)It = —Stnm,e)v = —lOmmyfly = —l5tnmde la tentePl. La líneacontinuasecorrespondeconcl métodopeq7lométrico,mientrasquela linca continuaconpuntosgruesoscorrespondeal métododeflectométrico.

98

E‘o

oLO0.

Eje X<mn,> Eje X(mm)

-20 -10 0 40 20Eje X(mnl>

-20 -10 0 lO 20Ej. X(mm)

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

a)

E‘ooeo,o-

0.5

e)25

9-4-‘o-5e4>

O-

99

Fgura 428?Perfileslongitudinalesdepotenciaesféricaa lo largo de los meridianosdadospor las ecuacionesa) y = 10 mm, b)

y = Smm,c)y = Otren d)y = —Smm,e)y= —10 mmy»y= —l5tnmdelalentePl. La líneacontinuasecorrespondeconel métodoperfilométrico,mientrasquela linea continuaconpuntosgruesoscorrespondeal métododeflectométrico.

O-20 -lO 0 10 20

Eje X(mm>-20 -¶0 0 10 20

Eje X(mm)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Ej. X(mm) Eje X(rnm)

OEje X(mm>

20Eje X<mm)

Medida de la MPDLa partir de ladeflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

0.3

0.2

‘o00Co,o -0.1o-

-0.2

a‘o

-0-c 0.5-4>

o-

VN/

¡¡

O ¡ N

./~,Á1

-20 -10 0Eje X(mm)

lO 20

Figura 429Perflleslongitudinalesdepotenciaesféricaa lo largo de losmeridianosdadospor las ecuacionesa) y = ID noii. b)

y = 5mm.c)It Otnm,d)It = —Stnnz,e)y = —10 PnZnyJJy= —15 mmdelalente$2. La línea continuasecorrespondeconel métodopeifilométrico,mientrasquela linea continuaconpuntosgruesoscorrespondeal métododeflectométrico.

100

a)04

¡a‘o.0

o,

a-

c)

Eje X<mm>-¶0 0

Eje X(mm)10 20

0.4

0.3

—02o -‘o 0.1

i o

-0.2

Eje X(mm>

e)

a‘o-oo,

a-

O -20 -40 0Eje XQru,,) Eje X(mm)

íD 20

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica

b)

1 .2

5-it

-U‘e~J.6loa-0.4

0.2

o

2

--5

d)

E‘o

‘U-c.4>

a

0.6 -

.10 0Eje X(nvn)

0 0Eje X<mn,) Ej. X(mm)

101

10 20

Figura 4.30.Peqileslongitudinalesdepotenciacilíndrico a lo largo de los meridianosdadospor las ecuacionesa) y = 10 mm.

b) y = 5 tnm, c) It = O mm, d) y = —5 tnm, e) It = —10 mmy» It = —15 mmdcla lente$2. La línea continuasecorresponde

con el métodoperfilométrico,mientrasque la linea continuacon puntosgruesoscorrespondeal métododeflectométrico.

0.8

0.7

0.6

o 0.5‘ofl 0.4CO>.‘~ 0.3’o-

021

0.4

a)

o)

Eje X<mm>-20 -lO O lO 20Eje X(mrn)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeee

8~-~

‘oUclo,o-

0.5

¡ -

¶ ¡

yEje X<mn,)

e)

a-‘u

eo,

o-

20 20

Medida de la MPDLa partir de la deflexión de los rayos sobre una lente oftálmica.

Tabla 4.111Vilor de la distancia media entre los valores de lapotenciaesférica obtenidos porperfilometríafrente aquellos obtenidos por deflexión directa

Perfil LenteA2 LentePl Lente¡‘2]

0.17003100.3000.2200.2000260

1 0.050 01402 007D 0.1403 0070 0.15D4 007D 02005 0080 0.2506 0.040 0.260

aspectoruidosode las distribucionesde loselementosdelaMPDL y delas potenciasesféricay cilíndrica

sondebidosa que las pequeñasvariacionesque aparecenenel efectoprismático(debidasa su veza que

lamayourvariacióndepotenciaobservadaes de 0.50 enel bordede la lente)a lo largode lasuperficie

sonamplificadaspor el procesodederivacióndiscreta.En el casodel métododemedidade la MPOL a

partirde medidassuperficiales,laestructuraqueapareceesdebidaaquelasuperficiedela lenteconserva

engranmedidasusimetríaderevolución.

En el casode las lentesprogresivasPl y P2, podemosobservarciertasdiferenciasentrelos perfiles

correspondientesal método de medidade la MPDL por perfilometriay aquelloscorrespondientesal

métododeflectométricoconvaloresdel ordende las dosdécimasde dioptria (estoes dosvecesel error

estimadoquesecometeenla medidadelos elementosdela MPDL por perfilometría). Estasdiferencias

se debena nuestroparecera doscausas:1) en primer lugar, al no disponerdela posiblidadderealizar

un ajusteexacto de la posiciónde la lente frente al sistemade medida,tenemosuna pequeñarotación

entrelas dosimagenes,de modoqueapareceun errordebidoal centradoy posicionamientode la lente;

2) en segundolugar tenemoslas diferenciasintrinsecasde ambosmétodos. Aunquehemostratadode

corregirdemodomanualel efectode la rotacióna la horade obtenerlos perfilesde potencia,existen

todaviadiferenciasentrelosperfilesdepotenciadebidoa la rotaciónrelativaexistentedelos sistemasde

referencia.Esteefecto‘es másacusadoen la lente P2, quepresentamayorgradode rotación(Fig. 4.17

y Fig. 4.24). De todosmodos,tal y comopuedeverseenlas figurasel acuerdoentreambosmétodoses

culitativamenteaceptable.Cuantitativamente(Tablas4.11 y 4.111) se encuentrandiferenciasen potencia

del ordendelas dosdécimasdedioptriacomoterminomedio, locualpruebaunbuenacuerdoentreambos

métodosenel casode medidadelentesprogresivas,dadoqueestosvaloressondel mismoordenque los

valoresnuméricosdel error cometidoen la determinacióndelaMPOL.

Tasnbienpuedeapreciarseque,en generalel métodode medidade potenciaspordeflectometríapre-

sentaen las zonasde visión lejanasperfilesde potenciaruidosos. Estoes debido a que en las zonas

102

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee• Referenciaseeeee• Opt., 25, 1630-1633,(1986).

eeeee

eeeeeeeeeeeee

Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 103

Tabla 4.111 lálor de la distancia media entre los valores de la potencia cilíndrica obtenidos por per-filometríafrente aquellos obtenidos por deflexión directa

Perfil LenteA2 LentePl LenteP2

1 0fl60 0.20D 0.1602 0.060 0220 0,1303 0080 0,200 O.1TD4 0.12D 0.210 0,2505 0.100 0.220 0.2306 0.140 0.250 0.240

de visión lejanaal serambaslentesPl y ¡‘2 neutras,los efectosprismáticossonaproximadamentecon-

stantes,porqueel efectoprismáticodebidoapotenciano se manifiestay solose manifiestaenesazona

unadeflexiónconstanteresultantedel llamadoprismadeadelgazamiento,que no esmásqueun descen-

tran-sientoentrelasdossuperficiesrefractorasintroducidopor el fabricantede la lenteparaobtenervalores

más reducidosde los espesoresen laperiferiadela lente. Al serel efectoprismáticocasiconstantecon

unapequeñavariacióndebidoala amplificacióndel ruido introducidaporel procesodederivacióndisc-

reta,dichavariaciónse amplificaresultandounosperfilesde potenciaruidososen la zonade lejos. Por

otrolado, enelcasodemedidadepotenciasporperfilometríaautomáticanosencontramos,enocasiones,

concomportamientoserráticosenlos bordesde la lentedebidosfundamentalmentea lascaracterísticasde

los polinomiosde Zernike,quesuelenpresentardichocomportamientoen la fronteradel circulo unidad

dondeestándefinidos[8] -

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Medida de la matriz de potencia dióptrica local de una lente oftálmica 105

[21] H. Canabal,Automatización de medidas deflectométricas y su aplicación en la caracterización de lentes

oftálmicas,Tesis Doctoral,UniversidadComplutensedeMadrid,(1998).

eeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeu,

ueeeeu,eeeeeu’eeeeeeeeeeeeu,eeeeu,u,

u,

eeu,u,e

eeeeee• CapítuloSeee• Algunas aplicacionesdel formalismo dela MPDL

en Óptica Oftálmicaeee

En este capítulo se muestran dos aplicaciónes delformalismo de la MPDL desarmílado encapítulos anteriores a la Óptica Oftálmica. La primera aplicación está relacionada con la repre-

• sentación de la MPDL como unafunción vectorial del espacio de las matrices reales simétricas• de dimensión 2 x 2. La representación vectorial de la MPDLpermite la representación gráfica• de una lente oftálmica como una nube de puntos en un espacio euclideo tridimensional. De esta• manera se han representado las lentes medidas en el capftulo anterior y se ha analizado laforma• que presenta la nube de puntos que representa la MPDL en el espacio euclideo tridimensional

para los casos paniculares de lentes esféricas, asféricas ypmgresivas. La segunda aplicación delformalismode laMPDL consiste en el cálculo de lasdiferencias existentes en potenciaprismáticay potencia refractora entre dos puntos correspondientes cualesquiera de una pareja de lentes pro-

• gresivas montadas en la misma montura. De este modo se han determinado las zonas de una lente• progresiva que resultan menos aptas para la visión binocular

ee• 5.1 Representaciónen el espaciode potenciadióptrica.e• 5.1.1 EJ espaciode potenciadióptrica.e• lE y como vimos en el capitulo 2, dela aplicaciónde losmétodosde la Ópticamatricial al estudiodee

lentesoftálmicasresultala caracterizacióndeunalente ofta]nucaesferotóricapor mediode unamatriz• simétricadedimensiones2 x 2 cuyoselementossonnúmerosreales.Puededemostrarsequetalesmatrices

• formanun espaciode Hilbert [1] quedenominaremosMs2. Una baseortonormalde esteespacio,que

• resultaconvenienteparael estudiodeestadosrefractivos[2] y [3] estaformadaporlas matricese

e1 = {~ ~], (5la)e

= [~ fl, (5lb)e62 =$[~~]. (SIc) -

eDemaneraquecualquiermatrizsimétricapertenecientea Ms2 puedeescribirsecomouna combinacióne

eeeeeeeeeeee

108 Representación en el espacio de potencia dióptrica,

0.4.

0.2

9- o•-y

-0.2

-0.4—l

—l

Figura S.J.Representaciónenelespaciodepotenciasde25medidasdel estadorefractivode un sujetoobtenidasa partir de unrefractómetmautomático.

lineal de las matrices~i, e2 yeade modoque

Ef~ 1 = f~5ei + f~~e2+ ‘ñfirvea,

(5.2)

con lo cual, un estadorefractivocualquierapuederepresentarsecomo un vector(fa, f~,, v’~fsy) del

espaciode Hilbert Ms2. De estemodoes posiblerepresentarun estadorefractivocualquieracomoun

puntoen un espacioeuclideotridimensional,estarepresentaciónesútil en ópticaoftálmicapararepre-

sentar,porejemplo,ladispersiónquepresentanmedidassucesivasdel estadorefractivode un observador

utilizandoun refractómetroautomático[4] , [5] y [6] - En la Fig. 5.1 puedeverseel aspectodela nube

depuntosquerepresentanlosestadosrefractivosdel mencionadoobservador[6] -

La representaciónde la matrizde potenciadióptricacomo un vectordel espacioMs2 permite la

realizaciónde unaestadísticacompletade estadosrefractivos,asícomo la visualizaciónde los mismos

enun espaciocuclideotridimensional[2] , [3] -

En el capítulo3, hemoscaracterizadoel comportamientode una lente oftálmicacompuestapor su-

perficiesrefractorasarbitrariaspor mediodeunamatrizde potenciadióptricalocal. Aunquelamatrizde

potenciadióptricalocal es una función dela posiciónsobrela superficiedela lente,en la práctica,para

lentescuyassuperficiesrefractorasno puedanserdescritasmedianteunafunción analítica,tenemosun

a

-2‘3

-2.3

yO) -44 r>« (D)

eeeee

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica ¡09ee• conjuntodiscretode matricesparaun conjuntodiscretode puntossobre la superficiede la lente, tal y

como ocurreen el casodeunalente progresiva(ver capítulo4). Podríamos,por tanto, utilizar la repre-e

sentacióntridimensionalde la matrizdepotenciadióptricapararepresentarla MPDL de unalente como

• un conjuntodepuntos(o vectores)delespaciovectorialMs2. En las siguientesseccionesmostramosla

• representaciónde laMPDL de las lentesmedidasen el capítuloanteriorcomoun conjunto de vectores

del espacioMs2.e• 5.1.2 Representacióntridimensional de lentesesféricasy asféricase• En el casode unalente asféricatenemoslas siguientesexpresionesanalíticas(capítulo 3) paralos de-

mentosde laMPDLee f = 1 1+9 (Pi (5.3a)• 9

= (nl)[I.I+~2(E~. (5.3b)e• lxv = —4)~ (5.3c)• (n~1)xY(?~e

dondep1 = x/ATEFr2 y P2 = .rZ~7~? Si los radiosdecurvatura1?1 y R2 sonsuficientemente

• grandes,es posibleencontrardesarrollarenserielas funcionesp7” y ~j1demaneraque tenemosque

e 1 _ 1 p1r

2

Pi — + (5.4a)

e 1 _ 1 Pi~•2e _ _P2 — + ~ (5.4b)

• de modoquepodemosescribirlos elementosdelaLPDM como

eFi 1 1/pi P2’\ 21

lxx = , (n—1) ~ ~s— -ñ~) (3x2+ (5.5a)e1-1 1 1 1Pi P

2Y,2 22f = (n—1) ———+— —— + (5.5b)

• VV [R1 R2 2 \~R~ ~,Mx

= (n—1)( xy. (5.5c)

e• Si denominamosP, a la potenciaparaxialde la lente,dadapor el primertérmino de las ecuacionese

(5.5a)y (Sic),y denominamosA a la expresión

(5.6)2R~

eeeeeeeeeee

lío Representación en el espacio de potencia dióptrica.

tenemosquelas ecuaciones(55a),(5.5b)y (5.Sc)puedenescribirsecomo

= P0+A(3z2+y2), (5.7)

= P0+A(x

2+3y2), (5.8)

fxy = 2Azy, (5.9)

operandose tiene que

fxv = — ~ — 2Po) (3fyv— lxx 2.P0), (5,10)£;,,/(3lxx

de maneraque en el casode unalente asférica,los elementosde laMPDL formanunasuperficiedada

por la ecuación(5.10) enel espaciocuclideoMs2.

En laFig. 5.2 podemosverla representacióntridimensionalde los elementosde la MPDL parauna

lente de +2.00 D cuyaprimera superficiees asféricay la segundasuperficieesférica,paradistintos

valoresdel coeficientede asfericidad.Comopuedecomprobarseen dichagráfica, la dispersiónde los

puntosalrededordel puntocorrespondientea lapotenciaparaxial,punto(P0,E’0, 0), esmayorcuantomas

grandees el valorabsolutodel coeficientedeasfericidad.‘Ibmbienpuedecomprobarsequela orientación

dela nubedepuntoscambiaal cambiarel signodel coeficientede asfericidadde la primerasuperticie.

La formacónicadelanubevienedadaporla ecuación(5.10).

La representaciónen el espaciode potenciasMs2 de las MPDL de las lentes asféricasAl y A2 de

potencia+2.00 0 y ±2.50D, respectivamente,medidasen el capítuloanterior (ver capítulo 4> puede

verseen la hg. 5.3. LI y comose apreciaen dicha figura, existen importantesdiferenciasentre la

distribuciónde los elementosde la MPDL obtenidosexperimentalmente,y aquellosquevienen dados

por laexpresión(5.10). En concreto,lospuntosdel espacioMs2 correspondientesa los elementosde

la MPDL obtenidaexperimentalmenteno formanunasuperficiedel espacioMs2 sinoque forman una

nubedepuntosmáso menosirregular (aunquela nubedepuntoscorrespondientea la lente A2 presenta

unaorientaciónespacialpredominanteparecidaa laquepresentaunalentehiperbólica). A nuestrojuicio

estasdiferenciasentrelospuntosteóricosy experimentalessedebena doscausasprincipales: 1) Es bien

conocido[7] quelasuperficieasféricaquepresentaunalentecomercial,vienedescritapor unaecuación

del tipo

D212u2\ kz(x,y)= sL-’PkXmYJ ZA2nfr

2+y2)~. (5.11>n=2

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica

a)

ao

-y-0.5

—l2

o)

0.1

0.05

— o

-0.05

-0.12

b)

05-

3-5

d)

e)

2

Figura S2.Representaciónen el espaciocuclideo Ms2 de una lente asféricadepotencia+2.00D con la segundasuperficie

esféricay la primerasuperficieesférica,siendolos valoresdelcoeficientede asfericidada)pi = 1.5, b) pi = 1, c) p~ = 0.5, d>

= —0.5, e) pi = —1 y]) pi = —1.5

III

3 6

(0) f(D)3

9- o.—y

2.5 32.6

t (0) 3.6 2 t(D)w

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

2.1 2.2

2.2 2.1(0) f~(0)

f)

2 0 fjD)w

2

<~ (0> 2 -l t,0<(D)

2

112 Representación en el espacio de potencia dióptrica.

-0.1-~

(D)w

(D)w

-t Md 41)

f>,< (D)

f>~ (D)

a>

0.2 -

0.1 -

a.-3,

o

15

b)

02—

01

a 0—

-0.1

2

st’-e--~ 4;

Figura S3Represenracióntridimensionalde loselementosde la MPDL correspondientesa las lentesasféricasAl y 42 medidas

enelcapítulo anterior

eeee• 113

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmicaee• Dondeel primer término de la ecuacióndescribeun conicoidey el segundotérmino es unasumade

epolinomiospares.Estesegundotérminoesintroducidoen el procesode diseñodela lente para lacom-pensaciónde aberracionesfueradeeje, comoel astigmatismooblicuo y la curvaturade campo.2) Tal y

• comosepudocomprobarenel capítuloanterior,los elementosde laMPDLde las lentesasféricasmedidas

• sehallanafectadosdemido. El cambioen laMPDL introducidoporel cambioenla formadela superfi-

• cie debidoa la introducciónde los términospolinomicosde laecuación(5.11), unidoal efectodel midoe• en la medidade la MPDL, provocan,a nuestrojuicio las diferenciasque se observanen la distribución

• de puntosenel espacioMs2entrelos resultadosteóricosy experimentales.

e5.1.3 Representacióntridimensional de lentesprogresivas

eEn una lente progresiva,unade las superficiesde la lente, llamadasuperficie de progresión,es una

• superficiealtamenteasféricadiseñadaparaconseguirla variaciónde potenciadeseada.Estasuperficie

• no vienedescritapor unaexpresiónmatemáticaexplicita, demaneraqueno resultaposibleobteneruna

eexpresiónmatemáticaexplicitadel elementotorsionaldelaMPDL, lxv. comofunción delos elementosdeladiagonalprincipalfxz y lVV~ Demodoque,enestecaso,noslimitaremosarepresentarenel espacio

• cuclideotridimensionalMs2 los elementosde la MPDL de las lentesprogresivasPl y P2 obtenidos

• experimentalmente(capítulo4).

• Larepresentacióntridimensionaldela lentePl puedeverseen laFig. 5.4. Podemosencontrarnotablese

diferenciasentrela lenteprogresivaylaslentesasféricasy esféricasrepresentadasen laHg. 5.3 y Fig. 5.2.

• En lagraficaquerepresentaunalenteprogresiva,puedendistinguirsevariaszonasdeinteres.En primer

• lugar, puedeobservarseunaacumulacióndepuntosalrededordel punto(2,2,0)quecorresponderiacon

el centrodela zonadevisión cercanadel progresivo(recordandoqueestamostrabajandocon unalentee• progresivaneutrade lejos y con adiciónde +2.00 D), por tanto,esaacumulaciónde puntosalrededor

• del punto(2,2,0) representariala distribución de potenciasen la zonade visión cercana. De manera

• análogase observaunaacumulacióndepuntosalrededordela potencia(0,0,0)querepresentael valor

de lapotenciaenlazonadevisiónlejana. Podemosvercomo ambaszonasestanunidaspor unalineaene• el plano lxv = 0, esta¡incarepresentalospuntosdel meridianoumbilical. Ademásdelas acumulaciones

• de puntosenlas zonasdevisión próximay lejanay de la linea que representael meridianoumbilical,

• puedeobservarseen la Fig. 5.4 doslóbulossituadosa ambosladosdel plano lxv = 0. Estoslóbulose

representanlas zonaslateralesen las cualesse tienenvaloresapreciablesdel cilindro y correspondena

• las zonaslateralesen la graficabidimensionalcorrespondientea la torsión.La diferenciadeorientación

• deestoslóbulosdacuentadel cambioenlaorientacióndel ejedel cilindroy la diferenciade tamañoentre

eeeeeeeeeee

114 Aplicación de la MPDLal cálculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales.

1

0.5

o-0.5

—1-2

O2 2

4 -2

Figura S4Representacióntridimensionalde la lentepmgresivaPl medidaenel capitulo4.

ambosindicaeldiseñoasimétricodel progresivo.

En la Fig. 5.5 podemosver la representacióntridimensionalde la lenteP2. Comopuedeverse,la

formadela nubedepuntosobtenidaesmuysimilara la nubeobtenidaparala lentePl. Lasprincipales

carácteristicasdelanubedepuntos(concentracióndepuntosalrededordelas potenciascercanay lejana,

líneadepuntoscorrespondienteal meridianoumbilical y lóbuloslateralescorrespondientesa las zonas

detorsiónde la lente)permaneceninalteradas,existiendopequeñasdiferenciasen la formade la nube

quesecorrespondenconel diseñodiferenteque presentanlas lentesPI y P2.

5.2 Aplicación de la MPDL al cálculo de efectosprismáticos ypotencialocal diferenciales.

5.2.1 Definición de puntos equivalentesde una pareja de lentescompensadoras.

En ÓpticaFisiológicase definenlos puntoscorrespondientescomoaquellaparejadepuntos,uno situado

enla retinadel ojoderechoy otro situadoenla retinadel ojo izquierdoqueproducenunaúnicasensación

e

eee

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica 115

eeeeeeeee•• —y

ee• 4

eeeeee

Figura SS.Representacióntridimensionalde la lente¡‘2 enelespaciodepotenciaMs2.

evisual al serexcitadossimulaneamnenteporunafuenteexterior [8] , [9] , [10] , [11] - Matemáticamente,

• esposiblelocalizarlospuntoscorrespondientescomoaquellosqueresultande la interseccióncon ambas

• retinasde las rectasqueunenun punto objeto y los centrosde rotacióndel ojo derechoe izquierdo,

• respectivamente([12] y [13]). Estalocalizaciónmatemáticadelos puntoscorrespondientescarecedeee validez si el sujeto estádotado de lentes compensadorasde ametropías.En estecaso, los rayos que

• partiendodelpuntoobjetoO, pasanpor loscentrosderotación,nolleganal ojo siguiendola trayectoria

• marcadapor la rectaqueuneel objetoconel centroderotacióndel ojo, debidoa la desviación(efecto

• prismático)introducidapor las lentescompensadoras.DeacuerdoconlaFig. 56,paraobtenerunaúnicaee sensaciónvisualal observarel puntoobjeto O los ojosderechoe izquierdodebenorientarsesegunlas

• rectasmarcadaspor los vectoresDLD e1k (Fig. 5.6). De estemodotenemosdospuntos,LD y L1

• hacia los que debenorientarseel ojo derechoe izquierdo,respectivamente,paraquela imagendel punto

ee objetoOcaigasobreunaparejapuntoscorrespondientes.Poranalogía,diremosquelospuntos

1D y L1

sonpuntos equivalentes.

• Como los puntosequivalentesestánsituadosen doslentesoftálmicasdiferentes,es muy probable

• que, en la mayoríade los casos,la potencialocal y el efectoprismático que presentanlas lentes en

esospuntosseandistintos. Estadiferenciasentrepotencialocal y efectoprismáticopuedenprovocareeeeeeeeeeee

‘1

0.6

—1-2

O

22

O<0> f(D)w

116 Aplicación de la MPDL al cálculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales.

Figura 5.6Definicióndepuntosequivalentes.O es elpuntoobjeto, D es el centrode rotación delojo derecho,1 es el del ojo

izquierdoy Ls, LD son los puntosequivalentes.

alteracionesenlavisiónbinocular[14] , especialmenteenlentesprogresivas[15] , demodoqueel cálculo

delas mismases de interésen ÓpticaOftálmica. Comoel formalismode la MPDL permiteobtenerlos

valoreslocalesdeefectoprismáticoy depotenciaencualquierpuntodeunalenteprogresiva,unaposible

aplicacióndel formalismodela MPDL seriael cálculode las diferenciaslocalesde efectoprismáticoy

potenciaque tienenlugaral observarun objetoa travésdeun parde lentesprogresivas.Paraello habría

que desarrollaren primerlugar un algoritmode cálculode puntosequivalentespara,a continuación,

calcularlas diferenciasde efectoprismáticoy potencialocal enesospuntos. A continuaciónse dara

cuentadel procedimientode cálculode diferenciasde efectoprismático y potencialocal en un par de

lentesprogresiv..s.

5.2.2 Algoritmo de cálculo de puntos equivalentes

Seael sistemade referenciaexpuestoen la Fig. 5.6. De acuerdocon dicho sistemade referencia,la

posicióndel objeto O va a venirdadapor las coordenadas(x, y, z), la posiciónde D por las coorde-

nadas(DNP, 0,0), siendoDNP la distancianaso-pupilar,la posiciónde 1 vendrá dadapor lascoor-

denadas(—DNP, 0,0) y laposiciónde los puntosLD y L1 vendrádadapor (DNP + ED ~D’ DCR)

y (—DNP + (~, ij~, flOR), respectivamente,siendoDRO la distanciaal centrode rotación. En estas

condiciones,los vectoresunitarios quedefinenal rayoincidentey refractadoenla lentederechavendrán

L

DL D

z

o

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica 117

dadospor las ecuacionessiguientes

kb = ______ ____

análogamentetenemosparala lenteizquierdaque

Deacuerdoconladefinicióndepotenciaprismáticadadaenelcapítulo3, setienenlos siguientessistemas

deecuaciones:

-DOR +

P~(¿D’no) + ( z -DOR

DCR)¿D re-VN

?

z-DCR

+ D§Rí?D~ yz-DCR

= o,

= 0,

(5.16)

(5.17)

y

P0{ (Ei,~is) +

P,j (¿¡,rj1) +

( z -DCR+ DCR

)

~DCR)

x+DNPz-DCR

y

WZDCR

= 0, (5.18)

= 0. (519>

De estemodo,Áenemosdossistemasdeecuacionesno linealesdescritosporlasexpresionesanteriores.

De acuerdocon Presset at. [16] , la forma genéricade un sistemade ecuacionesno lineal de varias

variables,vienedadaporla expresión

F(x) = O, (5.20)

dondeF(x) es unafunciónvectorialde variablevectorial. En nuestrocasotenemosque

pD (~D UD) [PP(ED,UD) +

P1ÑEDUD) +

1>+ flOR)

1’~±DCR)

re-VN?ED~ re-flOR

yUD re-flOR ] (5.2 la)

= (zk flOR’

—1)

—1)

(5.12)

(5.13)

= (-DNP+¿í-x

= (tí~~ iZk~-’)-(5.14)

(5.15)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

118 Aplicación de la MPDL al cálculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales.

( 1 ~ ,~ x+flNF 1

— z—flOR flOR,/ flOR ¡ (521b)P~(E¡,n1)± 1 ±~!~~ÁUí

L (re-floR flOR) re-flOR

Pararesolvernuméricamenteun sistemade ecuacionesno linealesdadopor la ecuación(5.20), es

necesario[16] partir de unasoluciónsemillax,, y calcularel incremento&x que debeañadirsea la

soluciónsemillaparaaproximarseal mínimode laecuación(5.20). ‘Ib] incrementoseobtieneal resolver

la ecuaciónlineal

.1 (x0) tx = —F (x0), (5.22)

siendo3 lamatrizjacobianadeF, cuyoselementosvienendadospor

Bfl- (5.23)8x5

Una vezmodificadala soluciónsemilla,se vuelve acalcularun nuevoincremento,aplicandolasecua-

ciones(5.22)y (5.23), sustituyendoenestecasox,, por laprimeraaproximacióndela solución,x0+t5X.

El procesose repiteel númeronecesariodeveceshastaconseguirquelos valoresdeF(x) seaninferiores

a un vectorde toleranciast.

En el casoquenosocupa,las matricesjacobianasasociadasa los sistemasdeecuaciones(5.16),(5.17)

y (5.18), (5.19)puedenescribirsecomo

= ~ ~ (ZtOR 1)1

(5.24)

deestamaneraesposibleencontrartrassucesivasiteracioneslas coordenadasdelospuntosequivalentes

(U~UD) y (Es,~¿. El cálculode puntosequivalentesha sido programadoen MatLab, siguiendoel

siguienteprocedimiento:

1.- Cálculo delos puntossemilla(¿~,ij~) y (¿~,Ufl quese obtienenhaciendopf’ (~,UD) = 0,

PtIED Un) =0yp~(E~,~0) —0, p~(E1,n1)= 0. en las ecuaciones(5.16), (5.17)y (5.18),

eeee

119Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica

ee• (5.19).e

L- Cálculo delosvaloresdepotenciaprismáticay MPDL enlos puntos (¿DiUD) y (¿e,Uit• 3- , Cálculo de las matricesjacobianas¿¡D, J’ y de los valoresde FD (¿D,UD) y P’ (¿sUs)

• (ecuaciones(516), (5.17)y (5.18), (5.19)).e4.- Obtenciónde los incrementos~ 6UD) y (6¿~,óij¿, resolviendolaecuaciónlineal (5.22).

• 5.- Repeticióndel paso2 si los valoresde FD (¿D UD) y F’ (Ó, UD no se encuentranbajo

• tolerancia.e

Deestemodosecalculanlas coordenadasdelasdosparejasdepuntosequivalentes(¿D + fiN?, UD flOR)

• y (¿~ — VN?, Us, flOR) queresultanparaunadeterminadaposición(x, y, re) del puntoobjeto O. De

• estemodoes posiblecalcularlos efectosprismáticosdifenciales,así como la diferenciade potencias

esféricay cilíndricaenunaparejacualesquieradelentesoftálmicas.e• 5.2.3 Cálculo de potenciasprismáticas y refractoras diferencialesen una• pareja de lentesprogresivase• Parailustrarconun ejemploelalgoritmode cálculodepuntosequivalentes,vamosautilizar dichoalgo-

• ritmo paracalcularlas potenciasprismáticasy refractorasdiferencialesparaunaparejade lentesprogre-e

sivascomerciales.Paratal fin, hemosseleccionadounaparejadelentesprogresivasdel mismomodelo,

• siendoambasneutrasdelejos y presentandounaadiciónde+2.00 D. Unadeestaslentesestadiseñada

• para la compensacióndel ojo derechoy la otrapara la compensacióndel ojo izquierdo. Ambas lentes

• hansidomedidaspor mediodel procedimientoexpuestoenel capítulo4. De estemodoseobtuvieronlase

distribucionesdepotenciaprismáticay los elementosdela MPDLparacadaunade las lentes.

e• yA

e• O)

ee

X Mallade Puntos

eee

FiguraS7.Malla depuntosobjeto empleadaparael cálculode diferenciasprismáticas.

eeeeeeeeeeee

120 Aplicación de la MPDLal cálculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales.

Unavezmedidaslas lentes,sedefinierontres mallasdepuntosobjetoequidistantessobretresplanos

perpendicularesal ejeOZy situadosa 30cm,50cmy 200cmrespectodel origendel sistemade referencia

(Fig. 5.7). De estemodo,unade las mallascorresponderiacon objetossituadosen el campode visión

cercano, otra con objetossituadosen el campode visión intermediay otra con objetossituadosen el

campode visión lejano La posicióndelos puntosobjetosse haelegidodeacuerdoconla distanciaentre

el planoobjeto y el origende coordenadas.Así, los puntossituadosen el campode visión cercanose

hanseleccionadode modoque el ánguloWx esté comprendidoentre—20” y 200 y el ánguloWv esté

comprendidoentre~3130 y —18.16”. Estosángulosse han seleccionadoparaque la malla depuntos

seleccionadaestésituadarealmenteen el campode visión cercanodel usuario,respentandosede esta

maneralos parámetrosergonómicosy visualesque intervienenenel diseñode la lente progresiva.Para

el casode los puntosdel campodevisión intermedia,los valoresdeWx oscilanentre~~3QOy 30” y los de

entre—14.53” y —10.3”, mientrasque los puntoscorrespondientesal campode visión lejanatienen

valoresdeWx comprendidosentre—30” y 30” y deWv comprendidosentre0” y 30”. En conclusión,la

disposiciónde la malladepuntosobjetossehaelegidode tal maneraque seanobservadosa travésde la

zonadevisióndela lente progresivaquesecorrespondaconsu distanciaal origendecoordenadas.Así,

los puntossituadosa 30 cm de la lente sonobservadosa travésde la zonade visión cercanamientras

que los puntossituadosa 50 cm y 200 cm de la lente sonobservadosa travésde las zonasde visión

intermediay lejana,respectivamente.Unavezdefinidaslas mallasde puntosobjeto, se haempleadoel

algoritmodesarrolladoenel apartadoanteriorparaelcálculode los puntosequivalentescorrespondientes

a cadapuntoobjeto dela nialla. Deello resultana su vezdosmallasde puntosequivalentes,una sobre

la superficiede la lentederechay otrasobrela superficiedela lente izquierdatal y como se muestra en

la Fig. 5.8 parael casode los puntossituadosenel campovisualcercano.

Una vez calculadoslas mallasde puntosequivalentesa lo largo de la superficesde las lentes pro-

gresivas,es posibleobtenerel valordelas potenciasprismáticashorizontaly vertical y de las potencias

esféricay cilindricaen dichospuntos. De estemodopodemoscalcularlas diferenciasde potenciaa lo

largodelasuperficiedecadaunadelas lentesque componenla pareja.Los resultadosobtenidospueden

observarseen las figuras(#FIGURAS#)dondese representanlas diferenciasdea) potenciaprismática

horizontal,b) potenciaprismáticavertical,c) potenciaesféricay d) potenciacilíndricaenfunción de los

ángulosde visión Wx y w~ paralas mallasdepuntosdescritasanteriormente.

En la Fig. 5.9 puedeverseladiferenciade potenciasparapuntosobjetosituadosenla zonadevisión

cercana. Las distribuciónesqueaparencensonsimétricasconrespectoal ángulo Wx de modoque las

eeee

121Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Ofialmíca

eeeeee .40• 30

• . 20-

• ~10oe o-•r -io• oo• (J20

• -30

e -40e—40 -20 0 20 40

• Coordenada X <mm)ee

Figura S&Mallas depuntosequivalentesen la parejade lenteprogresivas,Lospuntosequivalentesseagrupancomo los dos

puntosmarcadoscon un círculo. Las circunferenciasindican los límitesde las lentessin biselar

e• diferenciasdepotenciaprismáticay de potenciaesféricay cilíndricasonnulas (exceptoenel casode la

• diferenciade potenciaprismáticahorizontal)paraun ángulode Wx = O” y aumentanen valorabsouto

con el giro lateralde los ojos. Los valoresnuméricosencontradossonpequeños,especialmenteen ele• caso de la diferenciade potenciaprismáticavertical (0.1 A de diferenciamáxima), lo cual garantiza

• que el umbral de agudezaestereóscopicano aumentabruscamente(15] y quela visión binoculardel

• usuariodelas lentesno seve significativamenteafectadaporello. Lasdiferenciasdepotenciaesféricay

cilíndricatambiénsonpequeñasenvalorabsoluto(0.6Denelcasodepotenciaesféricay 1 D enel casoedepotenciacilíndrica)y puedensercompensadasfacilmentepor elsistemavisualhumano.La tendencia

• que muestranlas distribucionesde diferenciade potenciade la Fig. 5.9 nos indicanque a mayorgiro

• horizontalde losojos mayoresdiferenciasdepotencia. De estemodopodríaexplicarsela tendenciade

los usuariosdelentesprogresivasa girar la cabezaparamirarobjetoslateralescuandoparaun individuoe• que no presentara compensación con lentesprogresivasun giro lateral del ojo le pennitiriavisualizar

• dichosobjetos.

• En el casode las diferenciasde potenciaencontradasparael campode visión lejanoFig. 510, lase

figurasmuestranun comportamientosimilaral presentadoenelcasode la malladepuntosobjetossituadas

• en la zonade visión cercanaaunqueconalgunasdiferenciascomo son: 1) Los valoresnuméricosde la

eeeeeeeeee

b)

122 Aplicación de la MPDL alcalculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales. UDeu,

eeUDUDu,

ea)

20 20 OW

-22

c

126

-21

‘3’ -0t

eo) d)

‘20 1 tto, i4 . 0.0

-n 22 1£ 0~ j £

3 ~“24 . -

a o

~ ‘2t ,, t2 00 ¡

a. ‘3Co

-so a, - 40

-20 15 -lO 4 0 5 lO 15 20—ex

eu,u,u,

Figura 59.Diferenciasdea) potenciaprismaticahonzontal, 1,) potenciaprismáticavenical, c) potenciaesfe’ricay d)potencia u,cilíndrica encontradospara lospuntosequivalentescorrespondientesa la malladepuntossituadaenel campode visión cercano.. u,

-29

‘30

‘,o-íu’6 0 5 iu •Mg,io e ‘20 “0 ‘10 ‘04 0 04 10 lO 20

~Joe,O

30<

-20 -1$ -lO ‘,u;,u,o 20

kgh.

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica 123

Li>—, Oc

25,

04 ¡5

O,

Oc

-I ~O,

o, -

42

4,

o’

d)

25

92

jis

a)

20

£

¡

c)

-20 -10 0 40 20— ex

0’

7—eeeeeeeeeee

25

20

£cISA

r

Aagjoe e~ -‘4, 4, lO 20A~ic e,O

Figura 51O.Doferenciasdea) potenciaprismáticahorizontal, b) potenciaprismáticavertical, c) potenciaesféricay d) potencia

cilíndrica encontradospara lospuntosequivalentescorrespondientesa la molladepuntossituadaenel campode visión lejana.

Aplicación de la MPflL al cálculo de efectos prismáticos y potencia local diferenciales.

20 ‘10 O lO 20Mg-jo .,e~

u,

Ii?.-O,

-135

‘14

02 -145

u,

1 u’- u,

0.04 UD002 UD0~ u,402 u,

404 u’

u,

u,u,u,

u,

u,u,

124

UD

a)0,

—II.—

¡ :-13J

‘14!

-04.6

u,

e

u,

UD

b) 6

‘41

-411

¡5:.435

‘44

‘145

0.4

os

a’

‘20 •TU 4, 94, 20hvjo .,19

o),05‘11

‘III

e -12

¡.12:

-135

-14

‘145-20 14, 0 lO 20

MgMe/~.24,> -lO O lO 20

A,qM.,O

Figura SiLDiferenciasdea) potenciaprismáticahorizontal, E,) potenciaprismáticavertical, c) potenciaesféricay d) potencia

cilíndrica encontradospara lospuntosequivalentescorrespondientesa la molladepuntossituadaenelcampode visiónintermedio..

Algunas aplicaciones delformalismo de la MPDL en Óptica Oftálmica 125

diferencia de potencias esférica y cilíndricason menores (0.4Ddediferenciamáximadepotenciaesférica

y 0.3 D de diferenciadepotenciacilíndrica), locual puededeberseala menorvariaciónde potenciaen

la zonade visión de lejosde unalenteprogresiva.2) Los valoresnuméricosde la diferenciadepotencia

prismática verticalson mayores, llegandosea alcanzarlas 0.3 ~ dediferenciamáximaen valor absoluto.

Esteaumentodel valormáximode la diferenciadepotenciaprismáticaverticalpuedeserdebidoa que,

en visión lejana,el campo visual es mayor.

La distribucióndelas diferenciasdepotenciamostradasen las figurasFig. 5.9, Fig. 510y Fig. 5.11

muestranque,en general,el diseñoasimétricoque presentanlas lentesprogresivasmodernasmantiene

en valoresnuméricosbajoslas diferenciasdepotenciaenpuntosequivalentes.El comportamientode las

diferenciasprismáticasessimilarconindependenciade laposiciónde lamalladepuntosobjetos,estoes,

valoresreducidoscuandoel objetoestasituadoenposicióncentralrespectodel observadory un aumento

de la diferenciadepotenciaentreambosojos conformeaumentael giro lateralde los ojos. Los valores

numéricosencontradosde diferenciade potenciaprismáticavertical sonpequeños,de maneraque,el

usuariono encuentraunadisminuciónsignificativaensucapacidaddeobservarel relievedelos objetos.

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ee UniversityPress,Cambridge,(1992).

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeeeeee

Conclusioneseee

A continuaciónse exponenlas conclusionesdel trabajo presentadoen estaMemoriade Tesis Doctoral• que tratasobrela Caracteriwciónde Untes Oftálmicas por medio de la Matriz de Potencia Dioptrica

• Local:e• 1. Se ha llevado a cabounaextensióndel formalismode la ÓpticaGeométricaMatricial para lentese

oftálmicascompuestaspor dossuperficiesrefractorasdeformaarbitraria.Deacuerdoconestaextensión• de la teoríamatricial,es posiblecaracterizarunalenteoftálmicapor unamatrizcuyoselementosdepen-

• dende laposiciónsobrela superficiede la lente. Estafunción matricial hasidodenominadaMatriz de

• Potencia Dioptrica Local <MPDL).e

2. Sehanobtenidolasexpresionesanalíticasdela MPDL paralentesoftálmicascompuestaspor super-

• ficiesasfericascónicastoroidales.Comocasoparticular, sehanderivadolas expresionesde la MPDL

• paralentesoftálmicasesféricas(las másutilizadasparala compensaciónvisual) y tóricas.

• 3. Sehadesarrolladoun métodoindirectodemedidade los elementosdelaMPDLdeunalente oftálmicae

a partirde la medidade la geometríade sussuperficiesrefractoras. Paratal fin, se ha implementado

• un dispositivoperfilométricoautomáticoparala medidadesuperficiesrefractorasde lentesoftálmicas,

• llevandosea caboel montaje del mismo, así comola elaboracióndel software de control y medida.

Posteriormentesehanmedidoloselementosde laMPDL deunaseriedelentesoftálmicascomercialeseutilizandoestedispositivoperfilométrico.

• 4. Conel objeto de testarlos resultadosobtenidos,se han comparadoestoscon los ofrecidos por un

• métodoóptico equivalentede medidade potencialocal en lentesoftálmicas,encontrándoseun buen

acuerdocualitativoy cuantitativoentreambosmétodosdemedida.e5. Finalmente,sehandesarrolladodosaplicacionesdel formalismodelaMPDL enÓpticaOftálmica, la

• primeraaplicaciónhaceusodelas propiedadesde la MPDL pararepresentaruna lenteoftálmicacomo

• un conjuntode puntosenun espaciocuclideotridimensional. Se han representadode estemodolentes

oftálmicasesféricas,asféricasy progresivas.Se ha demostradoque las lentes asféricasy esféricassee• representancomosuperficiesendichoespaciotridimensional,derivandoselas expresionesanalíticasde

• dichassuperficies.La segundaaplicacióndel formalismodelaMPDL consisteenelcálculodelasdifer-

• enciasde potenciaprismáticay esferocilíndricaqueaparecenentrelos dosojos de un usuariodelentese

oftálmicasprogresivasal mirarhaciaun objeto a travésdedichaslentes.Paratal fin, se hadesarrollado

eeeeeeeeee

128 Conclusiones

un algoritmode cálculode puntosequivalentesen la superficiede unalenteoftálmicay se haempleado

dicho algoritmoparacalcularlas diferenciasde potenciaquepresentaunaparejade lentesprogresivas

comercialespara una malladepuntosobjetoen función deladistanciaal observador

eeeee• Apéndiceseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

130

Al Instrucciónes de movimiento de los motoresEn la siguientetablaserecogenlas instruccionesde movimientode los motorespasoa pasoempleados

parala obtenciónde laMPDL a partirde lamedidade las superficiesrefractorasdela lente.

TablaAl.! Instrucciones de movimiento de los motores paso a paso

Sintaxis Unidades Rango Orden

<a>An ¿~~T77’ si = 0.001 —999 fija la aceleracióndel motor<a><a>Dn steps u = +4000(X) fija el recorridodel motor<a><a>G N/A NIA ordenamoverseal motor<a><a>GH N/A NIA ordenaal motor<a> moversehaciael origen<a>PR N/A N/A devuelvela posiciónabsolutadel motor<a><a>R N/A N/A devuelveel estadodel motor<a><a>S N/A N/A ordenadetenerseal motor<a>

<a>Vn -1ciclos ~s u = 0.01— 54 fija laaceleracióndel motor<a>

En esteconjuntodeinstruccionesquesedebenenviara la tarjetadecontrol de los motoresa travésdel

puertodecomunicacionesR5232,<a> indicael númerodel motorquequeremosmover,si estainstruc-

ción se omite, la tarjetaaplicalaordena todoslos motoresquecontrola,asípor ejemplo la instrucción

IG indicariaa la tarjetaquemuevael motor 1, mientrasque la instrucciónG indicariaa la taijetaque

muevatodoslos motores.Parala ejecucióndecualquierinstrucción,todaslas ordenesdebenir seguidas

deun retomodecarro “ \r” -

eeee

131Influencia de lapunta del palpador en lamedida de la superficie de la lente

eee

A2 Influencia de la punta del palpador• en la medida de la superficie de la lentee• De acuerdo con la Fig. 4.4, cuandoel palpadormecánicorecorrela superficiede la lente, obtenemos

realmentelas coordenadasdel posicióndel centrode curvaturade lapunta(r’ en la Fig. 4.4) en lugare• del vectorde posiciónr del puntoP dondeestánen contactola superficiede la lente y la puntadel

• comparador Seanpues (a?,y’, a?) las coordenadasde <17 y (zr,y,z) las coordenadasde P respectoal

• sistemade referenciadela Fig. 4.4. ComoC es el centrode lapuntaesféricay P es un puntode lae

superficiededichapuntaesférica,setiene que

e• (x — x’)

2 + (y—y’)2 + (z — z’)2 = a2, (A2.1)

e• siendoa el radiode la puntadel palpador.Derivandolaecuación, respectodea? y dey’ se tieneque

e• x — a? = — z’)8

2’z’, (A2.2a)

y — = —(z — z’)8~’z’. (A2.2b)e

Porotraparte,tenemosquee(z — z’) — a2 — (x — x’)2 + (y — y’)2, (A2.3)e

esi el radiodela puntadel palpadorespequeño,podemossuponerque -

e• (x—x’)2 < <a2, (A2.4a)

• (y—y’)2 < <a2, (A2.4b)

e• conlo cualpodemosescribirlas ecuacionesy comoe

— a? = —a8~’z’, (A2.5a)e• y — y’ = —a8~’z’, (A25b)

e• cumpliéndoseademásquez = z’+a. Porotraparte,deacuerdoconlas hipótesisrealizadasenel capítulo

• 4 paradeducirel formalismode laMPDL, tenemosqueparala superficieE’ (verFig. 4.4.) secumpleeee

eeeeeeeee

UDUD

UD~1

132 u,u’u,UD

que u,

u,= (—85’z’, —B1gz’, 1), (A2,6)

u,

siendoN2 lanonnalde la superficie E’, demaneraque tenemosfinalmenteque

UDr’ =r+aN2, (A2.7) UD

u’ecuacion que nos relaciona las coordenadasdelos puntosO y P y nospermiteencontrarlas coordenadas UD

del puntodecontactoentrela puntadel palpadory lasuperficiede la lentea partirdelas coordenadasdel UDUD

centrodecurvaturadela puntadel palpador.

UDu,

u,UDUDUDu’UDUDu,

UDUD

u,

eu,UDeeUDuu,

u,

u,u,

u,

u,UDti

UDu,

u,u’

u,tiu’

eu,u,

Parametms de las lentes medidas 133

A3 Parametros de las lentes medidasA continuación(lhbla AlT) mostramoslos valoresdel radio medio R y de suerror AR resultantesde

ajustarlas superficiesrefractorasde las lentesEl, E2, £3 y £4 medidaspor mediode un perfilómetro

automáticoaunasuperficieesféric&Lassuperficiesrefractorasdelas lentesasféricas(Al y A2) y progre-

TablaA3.JParámetmsde las lentes esféricas £1, £2, £3 y £4

Ri (mm)LenteEl j_LenteE2[LenteE3 (LenteE4

17745 11770 83.73 65.761AR1 (mm) 002 0.01 0.02 0002R2 (nun) 74.123 7954 120.3 122.35

ÁR2 (mm) 0.004 0.05 0.1 01)2

sivas (Pl, ¡‘2 y P3)fueronajustadasa unacombinaciónlineal delos45 primerospolinomiosde Zernike.

Unalista de dichospolinomiospuedeencontrarseen la referencia[8] del capítulo4. LastablasA3.fl y

A3.111muestranlosvaloresnuméricosmedios(enmm)dedichoscoeficientesdeajusteparalas superfi-

ciesanteriory posteriorde las lentesAl, A2, Pl, ¡>2 y ¡‘3.

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

134

Tabla A3.II Coeficientes del ajuste a polinomios de Zernike de la superficie anteriorde las lentes Al, A2,PI, P2yP3

Coeficiente_j LenteAl_J LenteAl

1 15259 1.5153

LentePl Lente¡>2 Lente¡>3

1.6882 16654 1.69152 0.1595 0.1902 0.0722 0.1147 0.21243 0.1857 0.2662 0.1423 0.5559 0.59904 —0.0020 —0.0021 —0.1277 —01041 —0.15245 1.5205 1.5164 1.7010 16965 1.69966 —0.0261 —0.0225 0.0425 00220 —0.05047 0.0084 0.0011 00448 0.0412 0.04998 0.0058 0.0055 0.0083 0.0052 0.03689 0.0000 0.0004 —0.1297 —01272 —01201

10 —00043 0.0031 —0.0715 —00447 —0.021811 —oGUOS —0.0015 —0.0658 —0.0619 —0.020512 0.0014 —0.0008 —0.0128 —0.0150 —0.005013 0.0038 —0.0018 0.0105 0.0161 0.009314 0.0009 0.0006 —00200 —0.0117 —0020315 0.0003 —0.0013 —00176 —00145 —0.053416 —0.0008 —0.0022 —0.0098 —0.0080 —0.024517 —0.0006 —0.0006 —0.0150 —00138 —0.023018 0.0006 0.0002 0.0029 —0.0020 —0.005519 00008 0.0025 0.0181 0.0143 0.019520 —0.0017 —0.0012 00138 0.0137 0.008121 0.0022 —0.0005 0.0024 0.0274 0.004822 0.0006 —00005 —0.0061 —00056 —0.02523 —0.0011 —00019 0.0034 0.0017 0.001124 00006 —0.0004 0.0038 0.0046 0005925 0.0009 —0.0006 0.0172 0.0134 0.005626 0.0004 —0.0002 00057 0.0085 0.017727 0.0001 —0.0008 —0.0119 —0.0028 —0.000828 —0.0016 —0.0003 0.0010 0.0025 0.001229 —00008 0.0022 —00013 00001 0.000330 —0.0008 00001 —0.0044 —0.0016 —0.005531 —0.0014 0.0011 0.0079 0.0042 0004832 0.0000 0.0006 —0.0028 —0.0036 0.002133 —0.0004 0.0014 0.0030 0.0026 0005034 0.0012 00004 —0.0020 —0.0057 0.001035 0.0007 0.0017 —0.0027 —0.0014 —0.000936 —00004 —0.0001 —0.0013 00063 0.002737 —0.0004 —00013 0.0007 0.0025 —0.000138 0.0004 0.0019 —0.0011 0.0023 0.00939 0.0001 —0.0003 —0.0023 —0.0006 —0.001540 —0.0017 —0.0007 —0.0048 —0.0024 —0.000141 0.0000 —0.0003 —0.0042 —0.0026 —0.005242 0.0002 —0.0019 0.0041 0.0017 0.000643 0.0001 —0.0006 0.0004 —0.0006 0.000344 —0.0004 0.0017 —0.0004 0.0018 0.000945 —0.0001 —0.0002 0.0022 0.0007 —0.0038

Paranietms de las lentes medidas

Tabla A3.ll Coeficientes del ajuste a polinomios de Zernike de la superficie posterior de las lentes Al,A2, Pl. P2yP3

Coeficiente LenteAl LenteAl [Lente Pl LenteP2 LenteP3]

1 0.9322 0.7849 15419 15293 157932 0.0858 0.0829 0.1134 0.1231 0.29223 0.1305 0.1350 -0.1184 0.2124 015614 0.0109 0.0053 0.0399 0.0171 0.03715 0.9273 07908 1.5412 1.5278 1.57506 -0.0201 -0.0161 -0.0248 -0.0315 -0.02787 -0.0027 0.0003 0.0038 -0.0014 -0.00228 -0.0006 -0.0003 00002 -01)014 -0.00109 0.0000 0.0005 -0.0077 0.0011 0.0024

10 -0.0009 0.0014 0.0029 0.0007 -0.006911 -0.0005 0.0002 0.0006 0.0000 -0.001012 -0.0011 0.0001 -0.0039 -0.0010 -0.003713 0.0016 0.0024 0.0089 0.0078 0.008214 0.0011 -0.0005 0.0005 0.0010 -0.000215 -0.0006 0.0000 -0.0024 -0.0021 -0.002816 0.0006 -0.0007 0.0010 -0.0013 01)00517 -0.0002 0.0016 0.0020 -0.0017 -0.000118 0.0001 -0.0010 0.0017 -0.0014 0.000819 0.0003 -0.0004 0.0019 0.0012 -0.001320 0.0002 -0.0001 -0.0017 -0.0018 0002121 -0.0001 0.0003 0.0015 0.0009 -0.000722 0.0002 -00010 -0.0010 0.0008 0.000223 0.0003 0.0001 -0.0014 00018 0.001124 0.0009 -00009 -0.0008 01)004 -0.0003t25 -0.0012 0.0007 0.0016 -00010 0.001226 0.0007 -0.0005 0.0003 0.0005 0.001227 01)008 0.0017 -0.0003 0.001328 -0.0004 0.0004 0.0006 -0.0012 -0.000129 0.0001 -00002 -00009 0.0000 0.000330 -0.0002 00004 -00005 0.000 -0.001331 0.0001 0.0009 0.0000 -0.0003 -0000432 0.0004 0.0000 00002 -0.0018 0.000733 0.0003 -0.0002 0.0017 -0.0014 -0002434 -0.0011 -0.0002 -0.0008 00024 0.001135 -01)007 -0.0001 0.0003 00009 0.002336 -00002 0.0002 0.0001 01)005 0.000337 -0.0010 0.0012 -0.0012 -01)008 -0.000838 -0.0008 -0.0003 0.0012 0.0012 0.002339 0.0018 -0.0010 -0.0009 0.0005 -0.00084<) -01)002 0.0003 -0.0020 0.0000 0.001741 0.0000 -0.0007 -0.0015 00010 -0.002942 -0.0002 00006 0.0016 -00004 0.001643 -0.0013 0.0003 -00001 0.0009 0.000644 -0.0001 -00001 0.0007 -00006 -0.000745 0.0014 -00017 -01)007 0.0007 -0.0001

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Reunido el Tribunal que suscrine

en el día de la fecha acordó cali—

ficar la presente Tesis Doctoral

con la censura de - =oBPESAú&01’s. CL-IM LA (‘DFSS .flflfl—np—s—~.n—..s.nn

Madrid, a 7 A L oa Iff~ff

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