Documente5

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 5

1

Za konstrukcijo na sliki dolo~i {tevilo prostostnih stopenj in lastne frekvence za pre~no nihanje.

L

M1

EI

RE[ITEV Konstrukcijo sestavljata brezmasna konzolna palica, ki ima upogibno togost EI, in koncentrirana masa M1. Za palico predpostavimo, da je v osni smeri nedeformabilna. Prosta masna to~ka v ravnini ima dve prostostni stopnji, ker pa je masna to~ka vezana na podlago (ena~ba vezi), ima sistem eno prostostostno stopnjo. Izbira prostostne stopnje pravzaprav pomeni izbiro koordinate, s katero bo opisano gibanje konstrukcije, in zato je smiselno vedno izbrati tako smer prostostne stopnje (usmeritev ni tako pomembna), s katero je mogo~e najenostavneje zajeti celotno gibanje konstrukcije. Kot najo~itnej{a se obi~ajno izka`e izbira v smeri, pravokotni na nosilec. Pre~no nihanje

Smer izbrane prostostne stopnje je pravokotna na konzolo. Kineti~na energija je:

T EM u

k= =1 1

2

2&

Potencialna energija

Tehni~na teorija upogiba predpostavlja 0xzyzxyzy ===== (os x sovpada z

vzdol`no osjo elementa). Ravnina, normalna na nedeformirano nevtralno os, ostane

ravnina, normalna na os tudi po deformaciji (Bernoulli-Eulerjeva hipoteza). Tako

u1


2

zapi{emo osni pomik to~ke, ki se nahaja na oddaljenosti y od te`i{~ne osi:

u x y yvx

( , ) =

Potencialna (deformacijska) energija v celotnem elementu je

E U dVp x xV

= = 12

Normalne napetosti izrazimo kot:

x x

EuxE= =

kjer je E elasti~ni modul.

Potencialna energija se tako zapi{e:

E E yvx

dx EIvx

dxpV

zx

=

=

12

12

22

2

2 2

2

2

Sedaj moramo poiskati neko upogibnico, ki zadosti robnim pogojem. Izberemo npr. stati~no upogibnico za konzolo, na kateri izvedemo pre~ni pomik u1 na prostem koncu. Izhajamo iz difirencialne ena~be upogibnice

( )

2

2

2

2xEI

vx

q xz

=

Ker v na{em primeru velja q(x)=0, je funkcija pomikov v(x) lahko polinom najve~ tretjega reda, mora pa zadostiti naslednje robne pogoje: ( )v 0 0= pomik na vpetem koncu je enak ni~, ( )v' 0 0= zasuk na vpetem koncu je enak ni~, ( )v L u= 1 pomik na prostem koncu je enak u1,

( ) =EI v L' ' 0 moment na prostem koncu je enak ni~. Prepri~amo se lahko, da naslednja funkcija pomikov zadosti zgornjim pogojem:

( ) ( )v x u xL

xL

uL

L x x=

=

1

2

2

3

313

2 3

23

23

Drugi odvod funkcije


3

( ) ( )

( ) ( )

v xuL

L x x

v xuL

L x

'

' '

=

=

13

2

13

26 3

3

upo{tevamo v potencialni energiji, ki je tako:

( )EuL

EI L x dxp zx

=

12

62

29

^e je upogibna togost EI konstantna vzdol` elementa, dobimo:

( )E uL

EI L x L x dxuL

EI L xx L x

uL

EI L LL EI

Lu

p zx

z

L

zz

=

+ =

+

=

+

=

12

62 2 1

2

62

2 3

0

12

63 3

3

3 12

29 2

29

22 3

29

332

Lagrangeova funkcija je sedaj:

l = =

E EM u EI

Luk p

z1 12

3 12

232

&

Odvodi so:

l

l

l

&&

&&&

uM u

ddt u

M u

uEI uLz

11 1

11 1

1

13

3

=

=

=

Tako dobimo diferencialno ena~bo lastnega nihanja: ddt u u

M uEIL

uz

l l

&&&

1 11 1 3 1

30

= +

=

Vidimo, da je postopek z uporabo potencialne (deformacijske) energije zapleten. Poglejmo si sedaj {e alternativni postopek za dolo~itev ena~be gibanja s pomo~jo podajnosti. Zapi{emo kineti~no energijo, ki jo `e poznamo in njen odvod:


4

T EM u

Tu

M uM u

ddt

Tu

M u

k= =

=

=

=

1 12

1

1 11 1

11 1

22

2

&

&

&&

&&&

Izra~unamo {e podajnost konstrukcije v smeri izbrane prostostne stopnje: Diagram momentov za izbrano prostostno stopnjo

Podajnost je tako:

( ) ( )

dM MEI

dx

dL L LEI

LEI

kd

EIL

zx

L

z z

z

=

=

=

= =

=0

3

3

3 31 3

Tako ponovno dobimo diferencialno ena~bo lastnega nihanja:

M uEIL

uz1 1 3 13

0 +

=&&

Ena~ba se zapi{e v splo{ni obliki kot (m* in k* sta posplo{ena masa in posplo{ena togost): m u k u* *&& + = 0 Njeno re{itev i{~emo v obliki: u e u r e u r er t r t r t= = = & && 2 kar vodi do: m r e k e

m r k rkm

rkm

i i

r t r t* *

* **

*

*

*

+ =

+ = = = =

2

2 2

0

0

Re{itev diferencialne ena~be je vsota obeh re{itev:

( ) ( )u K e K e C t C tt i t i= + = + 1 2 1 2 sin cos kjer je

x1=1

-L

-

[M]


5

=33

1

EIL M

lastna kro`na frekvenca, ki je neodvisna od izbire prostostnih stopenj. Pri nekaterih vrstah konstrukcij (pali~ja) predpostavka o osni nedeformabilnosti elementov ni primerna, in zato si oglejmo {e osno nihanje iste konstrukcije. Osno nihanje

Kineti~na energija je sedaj:

TM u

Tu

M uM u

ddt

Tu

M u

=

=

=

=

1 12

1

1 11 1

11 1

22

2

&

&

&&

&&&

Izra~unajmo sedaj najprej potencialno (deformacijsko) energijo. Potencialna (deformacijska) energija v elementu je

E U dVp x xV

= = 12

Normalne napetosti so dane kot

x x

EuxE= =

kjer je E elasti~ni modul.

Potencialna energija tako postane

E Eux

dx EAux

dxpV x

=

=

12

12

2 2

Sedaj moramo poiskati linijo deformacije za konzolo, na kateri izvedemo vzdol`ni pomik u1 na prostem koncu. Funkcija pomikov u(x) je lahko polinom najve~ prvega reda (torej premica), mora

u1


6

pa zadostiti naslednja robna pogoja: ( )u 0 0= pomik na vpetem koncu je enak ni~, ( )u L u= 1 pomik na prostem koncu je enak u1.

Taka funkcije je:

( )u x uxL

= 1

Prvi odvod funkcije

( )u xuL

' = 1

upo{tevamo v potencialni energiji, ki je tako:

E EAuL

dxpx

=

12

12

^e je upogibna togost EI konstantna vzdol` elementa, dobimo:

E EAuL

dxEA uLp x

= =

12

112

12

212

Lagrangeova funkcija je sedaj:

l = =

E EM u EA

Luk p

1 12

12

2 2&

Odvodi so:

l

l

l

&&

&&&

uM u

ddt u

M u

uEA uL

11 1

11 1

1

1

=

=

=

Tako dobimo: ddt u u

M uEAL

u

l l

&&&

1 11 1 1 0

= + =

Podajnost pa se {e la`je izra~una s pomo~jo diagrama osnih sil, saj so momenti enaki ni~:


7

dN NEA

dx

dLEA

kEAL

x

L

=

=

=

=0

kar seveda vodi do enake diferencialne ena~be gibanja (nihanja).

Lastna kro`na frekvenca za osno nihanje je torej:

1MLEA

MK

== ,

ki pa je obi~ajno mnogo vi{ja kot lastna frekvenca za pre~no nihanje, kar nekako opravi~uje predpostavko o osni nedeformabilnosti konstrukcije. Za vitke konstrukcije pravokotnega prereza (bh) tako velja:

1Lh

21

L4h

hbL12hb3

ALI3

MLAEMLEI3

2

22

3

2

1

13

Documents

Documente5