EAD 350 Pesquisa Operacional Aula 03 Parte 1 · Aula 03 – Parte 1 Revisão Preço-Sombra e ... que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular •No caso

EAD 350 Pesquisa Operacional

Aula 03 – Parte 1 Revisão Preço-Sombra e Análise de Sensibilidade

Profa. Adriana Backx Noronha Viana

(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza)

[email protected]

FEA/USP

Bibliografia para Estudo

• Programação Linear

– Solução pelo método gráfico item 3.1 Livro Hillier e Lieberman

• Análise de Pós-Ótimo

– Preços-Sombra e Análise de Sensibilidade item 4.7 Livro Hillier e Lieberman

Revisão de Geometria Analítica

• Para esse processo, considere a utilização do geogebra

• Considere a seguinte inequação:

X1 + X2 ≤ 4

que em geral são as restrições apresentadas nos problemas de PO

• Para construir no gráfico, consideramos a igualdade:

X1 + X2 = 4

Ou ainda, podemos fazer como uma função, colocando X1 no eixo x e X2 no eixo Y; temos:

X2 = 4 – X1, ou ainda

f(x) = 4 – x

x

f(x)

Plotando o

gráfico com

GeoGebra

Equação da Reta

• Observe que uma função linear tem duas partes:

f(x) = 4 – x

– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x)

– e o -1 (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.

Equação da Reta

• Observe que uma função linear tem duas partes:

f(x) = 4 – x

– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x)

– e o -1 (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.

O que acontece quando

variamos esses parâmetros ??

Equação da Reta • Modificações

no valor da ordenada (igual a 4)

• Cria retas paralelas

g(x) = 6 – x

h(x) = 2 – x

• Valor da ordenada aumenta, a reta “sobe”

• Quando diminui, a reta “desce”

Equação da Reta • Modificações no

coeficiente angular da reta (igual a -1)

• Muda a inclinação da reta

g(x) = 4 – 0,5*x

h(x) = 4 – 2*x

• Valor coef.ang aumenta, a reta “inclina” para esquerda

• Quando diminui, a reta “inclina” para direita

• Rotaciona no ponto 4

Análise de “Pós-Ótimo”

• Preço-Sombra

– Analisa até que ponto é interessante aumentar a restrição de um recurso (escasso)

– Análises são feitas na ordenada (retas paralelas às das restrições)

Preços-Sombra

• Os valores bi (quantidades máximas de recursos) podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, mas com possível flexibilidade

• Parte dos valores bi então poderia ser alterada (aumentando o consumo de recursos) se houver justificativa econômica para isso

• O preço-sombra para o recurso bi mede o valor marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o valor de bi

ii

ib

Z

b

Zy

Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010)

Fábrica 1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Lucro Por Lote

(US$ 1.000) 3 5

Produto

Tempo de Produção

(horas)

Tempo de

Produção

Disponível

por Semana

Modelo Matemático

Função Objetivo

Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2

Sujeito à (restrições):

1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0

X1 – número de lotes do produto 1 produzido

semanalmente (porta de vidro com esquadria de

alumínio)

X2 – número de lotes do produto 2 produzido

semanalmente (janela com esquadria de madeira

41 X

122 2 X

X2

Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:

X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

(Fábrica 1)

(Fábrica 2)

(Fábrica 3)

36ZC (2;6)

i

ib

Zy

122 2 X

X2

X1 A

B C

D

E

(b2=12) 36Z

C

?´ZC´ (?;?) B´

132 2 X (b2'=13)

Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: i

ib

Zy

Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 13 3X1 + 2X2 =18

2X2 = 13 X2 = 13/2 3X1 + 2(6,5) =18

X1 = (18-13)/3 = 5/3

Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(5/3)+5.(13/2)=37,5

2

2b

Zy

C´ (5/3;6,5)

B´

5,11213

365,37

2

2

b

Zy

1923 21 XX (b´3=19)

X2

Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:

X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

(b3=18)

36ZC

i

ib

Zy

D´

C´ (?;?)

?Z

Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 12 3X1 + 2X2 =19

2X2 = 12 X2 = 6 3X1 + 2(6) =19

X1 = (19-12)/3 = 7/3

Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(7/3)+5.(6)=37

11819

3637

3

3

b

Zy

Preço-Sombra: Resumo Descrição Restrições

Solução ótima (2, 6) Z = 36

Fábrica 2 Fábrica 3

Aumentando uma unidade de recurso na fábrica 2 Nova solução ótima: (5/3, 6,5) Z = 37,5


Aumentando uma unidade de recurso na fábrica 3 Nova solução ótima: (7/3, 6) Z = 37


122 2 X

1823 21 XX

132 2 X

1823 21 XX

5,11213

365,37

2

2

b

Zy

122 2 X

1923 21 XX

11819

3637

3

3

b

Zy

Acrescentar uma hora de tempo de produção por semana na Fábrica 2

para esses dois produtos novos incrementaria o lucro total em U$1500

por semana.

Análise de Sensibilidade da P.O.

• Trata-se de verificar se variações nos valores dos parâmetros ci podem modificar a solução ótima

• Para essa análise utilizando o gráfico, considere que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular

• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, o coeficiente angular é:

21 53 XXZ

1

2

1

2

2 Xc

c

c

ZX

2

1

c

c

2211 XcXcZ

No nosso exemplo

125

3

5X

ZX

Plotando no gráfico a função

Diminuindo o coeficiente angular

Reta gira no sentido

horário

Rotaciona em Oy


Para deslocar

para o ponto

ótimo (2,6)


Aumentando o coeficiente angular

Reta gira no sentido

anti-horário

Rotaciona em Oy

Retornando a reta para o ponto ótimo (2,6)

Para deslocar

para o ponto

ótimo (2,6)

Aumentando o coeficiente angular

Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010)

Fábrica 1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Lucro Por Lote

(US$ 1.000) 3 5

Produto

Tempo de Produção

(horas)

Tempo de

Produção

Disponível

por Semana

Modelo Matemático

Função Objetivo

Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2

Sujeito à (restrições):

1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0 Vamor aplicar a

Análise de sensibilidade

X2

Análise de Sensibilidade da PO:

X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

122 2 X (Fábrica 2)

(Fábrica 3)

C (2;6)

Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros ci um de cada vez

36Z

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E


(Fábrica 3)

C (2;6)

Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros ci um de cada vez

36Z

Observar que os limites de rotação são as retas de recurso da Fábrica 2 (rotação anti-horário) e Fábrica 3 (rotação horário)

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

(Fábrica 3)

C (2;6)

122

3

2

18XX

a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3

Ou seja, o coef. Angular é -3/2

No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos

2

3

2

1 c

c36Z

125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c

Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez

Variando um ci de cada vez, ou seja, c1 = 3 e c2 =5 na desigualdade acima teremos os valores de ci

Calculando….

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

(Fábrica 3)

C (2;6)

122

3

2

18XX




2

3

2

1 c

c36Z

125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c


Segue-se que:

2

151 c 22 ce

X2


X1

A

B C

D

E


C (2;6)

b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2


125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c

X2


X1

A

B C

D

E

C (2;6)


12 02

12XX

Ou seja, o coef. Angular é 0

No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos

02

1 c

c


Segue-se que:

01 c 02 ce

125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c


Calculando….

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E


(Fábrica 3)

C (2;6)

Sintetizando os limites da análise de sensibilidade:

A solução permanece inalterada enquanto

2

150 1 c 22 ce

125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c

Análise de Sensibilidade: Resumo Descrição Restrições Coeficientes

Solução ótima (2, 6) Z = 36


Z = 3X1 + 5X2

Rotacionando a reta no sentido horário

A reta limite será a restrição da Fábrica 3

Rotacionando a reta no sentido anti-horário

A reta limite será a restrição da Fábrica 2

122 2 X

1823 21 XX

A solução ótima continuará no ponto (2,6), desde que sejam

considerados os limites acima. O valor de Z poderá modificar.

2

151 c 22 c

Veja a planilha em Excel para visualizar as modificações

2

150 1 c 22 c

Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de

ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.

Itens / Atividades

Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Proço unitário de venda

R$30,00 R$50,00

A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema

B) Resolva o problema pelo método gráfico.

Análise pós-Otimo – Aula 1 En 1

Função Objetivo

Max R = 30x1 + 50x2

Restrições

2x1 + x2 < 16 Cobre

x1 + 2x2 < 11 Zinco

x1 + 3x2 < 15 Chumbo

x1, x2 > 0

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

Chumbo: x1 + 3x2 < 15

x2

x1

F

G

Z = 30x1 + 50x2

Z = 310

O ponto D (7; 2) é o ponto de máximo.

As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser

verificadas graficamente

Ou, podem ser obtidas a partir da

solução do par de equações das retas

limites das restrições de Cobre e Zinco:

x1 + 2x2 = 11 (Zn)

2x1 + x2 = 16 (Cu)

Solução Gráfica – Aula 1 En 1

Preço Sombra – Aula 1 En 1

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

x2

x1

F

G

(Cu) 162

(Zn) 112

21

21

xx

xx


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

x2

x1

F

G

(Cu) 162

(Zn) 112

21

21

xx

xx Restrição Zinco


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

x2

x1

F

G

(Cu) 162

(Zn) 122

21

21

xx

xx Restrição Zinco

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

Restrição Cobre

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16


(Cu) 162

(Zn) 112

21

21

xx

xx

Zinco: x1 + 2x2 < 11

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

Restrição Cobre

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16


(Cu) 172

(Zn) 112

21

21

xx

xx

Zinco: x1 + 2x2 < 11

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Preço Sombra – Limites de Validade da Análise

Zinco: x1 + 2x2 < 11

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

D´


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

D´


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

D´


5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

D´

0;11

0

112

21

2

21

xx

x

xx

No ponto G:


(Cobre) 22

2201122

1

21

b

xx

Substituindo os valores na

restrição do Cobre:

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

D´


4;3

153

112

21

21

21

xx

xx

xx

No ponto C:

Chumbo: x1 + 3x2 < 15

Zinco: x1 + 2x2 < 11

(Cobre) 10

104322

1

21

b

xx

Substituindo os valores na

restrição do Cobre:

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

D´


2210 1 b

Sintetizando, o intervalo

para o parâmetro b1 para o

qual o preço sombra do

Cobre identificado pode ser

considerado é:

Chumbo: x1 + 3x2 < 15

Zinco: x1 + 2x2 < 11

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D (4,3)

E


(Fábrica 3)

C (2;6)

36Z

Z = 3X1 + 5X2

X2 = Z/5 -3/5 X1

C1=3 ; C2 = 5

X2

X1

1823 21 XX

A

B C

E


(Fábrica 3)

C (2;6)

51Z

Z = 9X1 + 5X2

X2 = Z/5 -9/5 X1

C1=9 ; C2 = 5

D (4,3)

Imaginando uma situação em que C1 tivesse outro valor:

A pergunta da Análise de sensibilidade é então: quais os limites para o valor de C1 (e C2) que ainda manteriam a mesma solução (X1=2; X2=6)


X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E

(Fábrica 3)

C (2;6)

122

3

2

18XX




2

3

2

1 c

c12

5

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c



Segue-se que:

2

151 c 22 ce

X2


X1

A

B C

D

E


1823 21 XX (Fábrica 3)

C (2;6)



125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c

X2


X1

A

B C

D

E

C (2;6)


12 02

12XX

Ou seja, o coef. Angular é 0

No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos

02

1 c

c


Segue-se que:

01 c 02 ce

125

3

5X

ZX

Ou seja, o coef.

Angular é: -3/5

ou

2

1

c

c


1823 21 XX (Fábrica 3)

X2


X1

1823 21 XX

A

B C

D

E


(Fábrica 3)

C (2;6)

Sintetizando os limites da análise de sensibilidade:

A solução permanece inalterada enquanto

2

150 1 c 22 ce

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