Corso diCorso diTECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI

POLITECNICO DI TORINOII Facoltà d’Ingegneria

(Vercelli)

Docente:

Rosario Ceravolo

Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica

PARTE 3:PARTE 3:

STRUTTURE IN ACCIAIOSTRUTTURE IN ACCIAIO

COMPOSIZIONE STRUTTURALECOMPOSIZIONE STRUTTURALELa struttura in acciaio deriva dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, i

profilati, e/o bidimensionali, le lamiere, prodotti in officina.

S o lu z io n e e c o n o m ic a

C e r n ie r a

S o lu z io n e c o s to s a

I n c a s t r o

Acciaieria Carpenteria Cantiere

La tendenza a semplificare le giunzioni può portare a labilità del complesso:

In tro d u z io n e d i u lte r io ri e le m e n ti

Nonostante il materiale presenti un legame simmetrico sia a trazione, che compressione, i problemi di stabilità locale e di insieme possono rendere non simmetrica la risposta degli elementi strutturali (aste compresse, travi inflesse, pannelli e anima delle travi, zone compresse delle sezioni).

L’asta soggetta a carico assiale presenta risposta non simmetrica: elasto-plastica, a trazione; non lineare ed in funzione di λ e delle imperfezioni, a compressione.

δ

Nf yA

Trazione

Compressione

λ

N

Ncr

Nc

NE

Fc δ

asta induastriale elasto-ploastica

asta industriale indefinitamente elastica

asta teoricaN

N

δ

La necessità di controllare accuratamente la presenza di eventuali labilità e di valutare correttamente le risposte dei differenti elementi strutturali nei riguardi dell’instabilità richiede di concepire la struttura nello spazio a tre dimensioni.

Le strutture in acciaio presentano elevata deformabilità in presenza delle azioni di esercizio a causa degli elevati livelli tensionali raggiungibili e del modesto contributo del peso proprio.

La verifica a deformazione può diventare determinante nel dimensionamento, più che quella di resistenza. Limitazioni di freccia dell’ordine di 1/500 l risultano piùcondizionanti dei limiti tensionali.

Edifici multipianoEdifici multipiano

• Pannelli in C.A. o misti con laterizio gettati in opera (soluzione a, b);

• Pannelli in C.A. o misti con laterizio prefabbricati (soluzione c, d);

• Lamiere grecate riempite con materiale inerte (soluzione e);

• Lamiere grecate riempite con calcestruzzo collaborante (soluzione f).

I carichi verticali vengono raccolti dagli impalcati a struttura mista, trasferiti alle travi principali e da queste alle colonne, fino alla fondazione.

L’impalcato può essere realizzato con:

Le azioni orizzontali vengono riportate dagli elementi di facciata, i tamponamenti, i solai, e da questi alle colonne che li devono trasferire in fondazione. I solai quindi devono operare come lastre oltre che come piastre. Gli elementi verticali in generale sono impegnati a sforzo normale e flessione.

Combinando le diverse membrature si evince che la struttura è un complesso di elementi idonei a sopportare tutte le caratteristiche di sollecitazione (M,N,T). In particolare, ciò vale anche per le giunzioni che dovranno essere in grado di trasmettere tutte le componenti della sollecitazione.

Nelle figure sottostanti sono riportati alcuni tipi di nodi strutturali:• Nodo “a” e ”c” bullonato, e saldato, in grado di

trasferire completamente il momento flettente;• Nodo “b” e “d” in grado di trasferire solo

parzialmente il momento flettente, attraverso la sola anima.

I nodi saldati in opera sono molto onerosi (talora non consentiti), quindi sono preferibili quelli imbullonati.

I nodi sono chiamati a trasmettere solo sforzi normali e tagli (cerniere), le colonne sono solo soggette a forze assiali (bielle).

Le strutture di controventatura possono essere realizzate in calcestruzzo armato, come i vani scala, o in acciaio, come ad esempio i diagonali posti tra travi e colonne.

Esaminando nel complesso spaziale la risposta dell’edificio deve risultare che:• Ogni impalcato deve operare come lastra vincolata ai controventi verticali;• I controventi devono garantire almeno tre condizioni di vincolo ad ogni piano;• L’impalcato deve essere dimensionato anche per le azioni orizzontali provenienti

dal comportamento di insieme dell’edificio.Ogni elemento di controvento verticale fornisce le condizioni di vincolo che

corrispondono al movimento che è in grado di controllare:

• Parete in C.A. vincolo di appoggioo reticolare semplice;

• Incrocio di pareti vincolo diin C.A. o reticolare cerniera;

• Nucleo scale vincolo dio ascensore incastro.

In presenza di q distribuita risulta:

In presenza dei carichi agenti sulla facciata trasversale risulta invece:

02 321 === RqlRR

321321

212 FFFR

LaFaFRR ++=

⋅+⋅=−=

Nel caso successivo si sono usati esclusivamente controventi in acciaio sia in direzione verticale che orizzontale.

Edifici monopianoEdifici monopianoIn genere edificio industriale, a maglia rettangolare, con eventuali vie di corsa per

carri-ponte.

I carichi verticali sono trasferiti alle travi principali tramite la struttura di copertura e gli arcarecci, oppure tramite le travi secondarie e gli arcarecci.

Pertanto gli arcarecci sono inflessi e per lo più si comportano come travi continue su 2/3 della luce. Le travi principali hanno il corrente superiore compresso, cioè i carichi nei nodi, o pressoinflesso, con i carichi tra i nodi, e trasmettono il loro carico direttamente alle colonne oppure ad una trave di bordo.

E’ agevole definire la lunghezza libera di inflessione:

• Nel piano della capriata lc,v è pari alla distanza tra i nodi;• Nel piano orizzontale il corrente superiore può sbandare tra le colonne (l0 = lc,H ),

sia nelle travi principali, che in quelle secondarie;Occorre quindi introdurre dei controventi di falda idonei a stabilizzare i correnti

superiori.• Nella figura a è presente il controvento che stabilizza il corrente superiore delle

travi principali ad appoggio diretto sulle colonne: in tal caso l0 = lc (distanza tra i nodi del controvento);

• Nella figura b è presente anche il controvento longitudinale, necessario a stabilizzare il corrente superiore della trave secondaria e quindi a tener fissa la principale appoggiata in falso.

Le azioni orizzontali della copertura vengono poi trasferite a terra impegnando le colonne in uno schema a telaio con le travi, o facendole operare come mensole, oppure introducendo dei controventi di parete longitudinali e/o trasversali, riducendo le colonne a semplici bielle.

Schematizzazioni di calcoloSchematizzazioni di calcoloLa complessità dei collegamenti costringe spesso all’introduzione di semplificazioni

di calcolo che devono però rappresentare in modo fedele lo schema di calcolo adottato, contando poi sul teorema statico per la sicurezza a collasso.

Se si adotta uno schema pendolare, cioè si immaginano dei collegamenti a cerniera tra travi e colonna, e di conseguenza sia il tipo di connessione che le luci di calcolo reali dovranno adeguarsi a tale ipotesi.

Tenuto conto della dimensione fisica del vincolo esistono diverse possibilità:

Nello schema 1 le colonne sono semplicemente compresse e la trave opera sulla luce L. Il giunto nella sezione X-X deve assorbire oltre al taglio V=R1 anche un momento M=R1*a. Il giunto nella sezione Y-Y deve assorbire oltre al taglio V=R1 anche un momento M=R1(a+e).

Nello schema 2 la colonna B è compressa (N=R1B+R2B) ed inflessa nel nodo da una coppia M=a(R1B-R2B). La colonna A è compressa (N=R1) e caricata nel nodo da un momento M=R1a; la trave opera su una luce L-2a. Il giunto in X-X assorbe solo il taglio V=R1, ed in Y-Y oltre al taglio anche un momento M=R1e.

Nello schema 3 la colonna B oltre ad N=R1B+R2B è soggetta a M=(R1B-R2B)(a-e); la colonna A è compressa e caricata da una coppia M=N(a+e); la trave opera su una luce L-2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio V=R1 ed un momento M=R1e. Il giunto in Y-Y assorbe solo il taglio V=R1.

Si può scegliere uno qualunque di questi:• Lo schema 1 minimizza le sollecitazioni

nelle colonne (orientate con la rigidezza minima);

• Lo schema 2 è conveniente se le colonne sono orientate con la rigidezza massima;

• Lo schema 3 non è usualmente conveniente.

Nelle travi reticolari ci deve essere congruenza tra lo schema di collegamento nodale , le cerniere, e la posizione dell’asse del nodo (assi aste concorrenti nel nodo ideale di calcolo).

I momenti nodali possono essere trascurati purché si valutino correttamente le lunghezze libere di inflessione (l0 = distanza tra i nodi ideale).

Se la bullonatura non può essere nel baricentro (L) interviene localmente un momento parassita sui bulloni. Si può anche tracciare sugli assi di truschino a patto di distribuire il momento parassita tra le aste.

Nei controventi si può operare con 2 differenti schemi:

• Immaginare attive sia le aste di parete tese che compresse, ma allora λ<100 (comportamento pressoché uguale a compressione e trazione);

• Immaginare attive solo le aste di parete tese, allora λ<200 (sbandamento in campo elastico e quindi efficienza per inversione di segno dell’azione).

IL MATERIALEIL MATERIALETutti gli elementi provengono da processi di laminazione, e si distinguono in lamiere

e profilati.LAMIERE

PROFILATI

lamierini lamiere sottili lamiere medie lamiere spesse(s < 1 mm) (1 mm < s < 4 mm) (4 mm < s < 50 mm) (50 mm < s)

I (IPN) I e H C, L, T,Z tubolari saldati a I sagomati a freddoali rastremate IPE (da lamiere) (forme varie)

HEAHEBHEM

Imperfezioni strutturali o meccanicheImperfezioni strutturali o meccanicheNei materiali è possibile riscontrare due tipi di imperfezioni strutturali o meccaniche:

• Tensioni residue (autotensioni): stati tensionali elastici autoequilibrati dovuti al processo di produzione (raffreddamento, saldatura, taglio a fiamma, laminazione a freddo, raddrizzamento, ecc…);

• Disomogeneità caratteristiche meccaniche (snervamento): legata strettamente al processo industriale di produzione.

La sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelle ideali.

Le imperfezioni si possono analizzare distinguendole a seconda dei profili:

• Laminati a caldo;• Saldati;• Laminati a freddo.

PROFILI LAMINATI A CALDOLe tensioni residue si formano nel raffreddamento

susseguente alla laminazione, cioè per temperature di circa 600°C.

Da T0 (600°C) a T1 le parti più esposte si raffreddano prima , e quindi vanno in trazione (b).

Da T1 a T2 le parti centrali fluiscono plasticamente e riducono le precedenti punte tensionali (c).

Da T2 a T le parti esposte si raffreddano completamente ed impediscono la contrazione delle altre.

Alla fine si ottiene lo stato tensionale (d) con compressioni nelle zone più esposte.La presenza di tensioni residue di compressione nelle ali è sfavorevole nei riguardi

del rischio di instabilità.Ulteriori tensioni residue si generano nel processo di raddrizzamento (meccanico che

si effettua mediante passaggio attraverso rulliere). In genere questo ha un effetto riducente sullo stato tensionale di natura termica.

La disomogeneità delle caratteristiche meccaniche comporta resistenza e snervamento maggiori, con resilienza e allungamento minori, e viceversa.

PROFILI LAMINATI A FREDDOPer effetto della laminazione si possono avere compressioni sulla superficie e trazioni

nelle zone interne. L’operazione di piegatura, comporta un innalzamento del limite elastico e la conseguente riduzione della resilienza.

PROFILI SALDATI

Forte apporto termico per la presenza di materiale di asporto fuso. A causa dell’impedimento esercitato dalle zone limitrofe, si raggiungono nella zona del giunto tensioni superiori allo snervamento a caldo e conseguenti e conseguenti accorciamenti plastici.

Dopo il raffreddamento nelle zone prossime alla saldatura e nel cordone nascono tensioni residue di trazione e nelle zone più lontane di compressione.

L’entità e la distribuzione delle autotensioni dipendono da: modalità della saldatura, sezione del cordone, spessore dei lembi e geometria degli elementi saldati.

-

-+

-

Una classica distribuzione delle tensioni residue in travi a I composte per saldatura è riportato in figura (nel cordone di saldatura si raggiunge il limite di snervamento del materiale d’apporto).

Resilienza: resistenza alla rottura fragile degli acciai (tenacità); prova col pendolo di Charpy su provetta intagliata (la differenza di quota nella risalita del pendolo èproporzionale all’energia assorbita).

T° = temperatura di transizione;27 J/m2 = valore minimo da garantire a diverse temperature.

Massa battente

T

J/m^2

-10° 0 +10°

ACCIAI DA CARPENTERIA

Resistenza a faticaResistenza a faticaNel caso, infatti, siano presenti cicli di tensione che si ripetono nel tempo il

cedimento del materiale può manifestarsi per carichi inferiori a quelli di rottura, cioè per fatica: in tal caso:

• La rottura si manifesta per σmax < fy;• La rottura è fragile;• Esiste un valore limite della tensione al di sotto del quale la rottura non si

manifesta fino ad un numero N di cicli. Se N = ∞ tale limite di tensione si chiama: resistenza originaria se ha sempre lo stesso segno, oppure resistenza a sforzi alterni se la tensione passa attraverso lo zero (per gli acciai N = 5000000 ≅ ∞);

• Sovrapponendo al ∆σ una tensione statica i limiti di fatica variano.

I diagrammi di Smith riportano in ascissa la tensione media ed in ordinata le tensioni massima e minima del ciclo per cui si ha rottura in N cicli.

Criteri di resistenzaCriteri di resistenzaIn un generico punto di ogni elemento lo stato tensionale è caratterizzato dalle

componenti pij(P) del tensore degli sforzi, occorre controllare la compatibilità con la risposta elastica del materiale. E’ quindi necessario determinare il moltiplicatore di pij(P) che consente di raggiungere lo snervamento in P.

E’ necessario adottare un criterio di resistenza per valutare il cimento tensionale.In tutti i paesi, per le strutture in acciaio, si usa il criteri detto di Huber-Hencky-Von

Mises.L’energia potenziale elastica totale del materiale può essere espressa come somma di

quella dovuta alla variazione di forma (distorsione) ΦD e quella dovuta alla variazione di volume, il criterio di Huber-Hencky-Von Mises fa dipendere la crisi del materiale solo da ΦD. Allora occorre dividere il tensore di tensione espresso in tensioni principali nella somma di 2 tensori:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

σσ

σ

3

2

1

000000

Pij

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

σσ

σ

σσσσ

σσ

m

m

m

m

m

m

ijP00

0000

000000

3

2

1

con deviatore di tensione tensore idrostatico(en. distorcente) (en. per variaz. di vol.)

3321 σσσσ

++=m

L’energia distorcente vale:

in un regime triassiale

in un regime monoassiale

[ ]))) 213

232

221 (((12

1σσσσσσ −+−+−=Φ gD

σ 261gD =Φ

Applicando il criterio di ugual cimento ai due regimi (monodimensionale e tridimensionale) e ponendo σ = σid, si valuta:

[ ] σσσσσσσσσσσσσσσσ 32132123

22

81

213

223

221 )()()(

21

−−−++−+−+− ==id

σσσσσ 2122

21 −+=idPer stati tensionali piani o biassiali (σ3 = 0) si ottiene:

τσσσσσ 222 3 xyyxyxid +−+=Riferendosi alle componenti speciali della tensione:

τσσ 22 3 xyxid +=In presenza di flessione e taglio (σ2 = 0) si ha:

τσ ⋅= 3idE per pura tensione tangenziale (σx = σy = 0):

Metodi di verificaMetodi di verifica- Stati limite classici → allo s.l.u. γm = 1,1 (plasticizzazione completa)- Stato limite elastico → allo s.l.el. γm = 1 (snervamento)

m

kfdfidSjipdFSdF

γσ =≤→→→ )(,)(

- Tensioni ammissibili → alle t.a. σadm ≥ σid

t<40 mm t>40 mmFe360 160 140Fe430 190 170Fe510 240 210

Acciaio σadm (Mpa)

I → permanenti, variabili (no vento, sisma, coazioni)(σid ≤ σadm)

2 condizioni di carico:II → tutte le azioni

(σid ≤ 1,125σadm)

Nello s.l.u. e s.l.el. →

con γg = 1,5 γq = 1,5 ψ0i = 0,9 (devono anche esser verificati gli s.l.e.)

- s.l.el.: calcolo elastico delle sollecitazioni;- s.l.u.: trasformazione della struttura in un meccanismo (cerniere plastiche), con

verifica di duttilità nelle zone plasticizzate (non consentito se le strutture sono soggette a significativi fenomeni di fatica).

- s.l.e.: γg = 1 γq = 1 γm = 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅++⋅= ∑

=

n

iikikqkgd QQGF

201 ψγγ

Nella pratica progettuale:- Molto diffuso il metodo delle t.a.;- Facilmente applicabile il progetto con s.l.el.;- Complessa l’applicazione del metodo a s.l.u. (Eurocodice 3).

UNIONI SALDATEUNIONI SALDATELe procedure di saldatura autogena per fusione si possono dividere in base alla

tipologia della sorgente di calore e alla modalità di protezione del bagno fuso, e sono le seguenti:

- Ossiacetilenica: (diffusione elevata in passato, oggi muore) la sorgente termica èla fiamma ossiacetilenica (C2H2+O2), la temperatura è di circa 3100°C e provoca la produzione di CO e H2;

- Arco sommerso: (grandi saldature ed elevata produttività) la sorgente termica è un arco elettrico tra elettrodo e materiale base (filo continuo a matassa ad avanzamento automatico). Utilizzo di fluido sul giunto che forma un cumulo protettivo al cui interno scocca l’arco;

- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica èun arco elettrico che scocca tra elettrodo e materiale base:

-elettrodo è rivestito con materiale che fondendo protegge il bagno;-elettrodi basici hanno buone caratteristiche meccaniche e metallurgiche;-elettrodi acidi hanno buone caratteristiche meccaniche.

- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo fusibile: si usa per acciai dolci e poco legati. La saldatura ad arco a filo continuo con protezione del bagno con gas inerte (argon) o attivo (co2 );

- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo infusibile: si utilizza prevalentemente per l’acciaio inox, e per le leghe di alluminio. L’arco è protetto con argon inserito tra il tungsteno e materiale base;

- Saldatura ad elettroscossa: realizzato da un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatore di corrente assieme al materiale base. Entrambi arrivano a fusione per effetto Joule. Pattini in rame raffreddati con acqua costituiscono il crociolo.

Le conseguenze della saldatura sono la solidificazione del materiale fuso nelle passate, e il trattamento termico nella zona del materiale fuso prossimo alla saldatura.

I cicli termici hanno un effetto di tempera che produce zone ad elevata durezza nel materiale base e possono originare criccature a freddo. Per evitare la formazione occorre addolcire il ciclo termico con un preriscaldamento dei pezzi ed uso di elettrodi basici.

Le cricche a caldo si formano per eccesso di impurità nella zona fusa, per effetto di temperature di solidificazione differenziate (effettuare più passate).

CRICCHE A FREDDO CRICCHE A CALDO

I difetti delle saldature sono i seguenti:- Cricche;- Soffiature;- Mancanza di penetrazione e di fessure;- Incollatura.

I mezzi di indagine per scoprire eventuali imperfezioni nelle saldature sono:- Raggi X o raggi γ (macchie scure sulle pellicole);- Ultrasuoni (onde deviate dai difetti);- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);- Liquidi penetranti.

Classificazione delle unioni saldateClassificazione delle unioni saldateIN ORDINE DI DIFFICOLTA’ CRESCENTE

VARI TIPI DI SEZIONE DEL CORDONE DI SALDATURA

- In piano (1);- In verticale (2);- Frontale (3);- Sopratesta (4).

- Giunti testa a testa (I);- Saldatura ad arco (II);- Saldatura ad angolo (III);- Giunto a L (IV);- Giunto a T (V);- Giunto per sovrapposizione (VI).

VARI TIPI DI GIUNZIONI

- Piena (a);- Convessa (b);- Concava (c);

c

a

bVI

II

V

III

IV

I

4

3

1

2

- Giunti a completa penetrazione;- Giunti a cordone d’angolo.

Esistono due classi di saldatura la prima classe prevede che i giunti devono superare controlli molto restrittivi, mentre per la seconda i controlli sono meno severi. In ogni caso occorre comunque eliminare i difetti prima di effettuare le passate successive o le successive saldature. Le norme UNI 7272 precisano le modalità di controllo.

VARI TIPI DI GIUNTI TESTA A TESTANei giunti testa a testa se si vuole una completa penetrazione occorre smussare i

lembi in modo da creare un vano completamente accessibile.- A V (1);- A U (2);- A X (3);- A Y (4).SECONDO LA DIREZIONE DELL’AZIONE SOLLECITANTE- Laterali (I);- Frontali (II);- Obliqui (III).SECONDO LA VERIFICA DI SICUREZZA

III

4

3

2

1

I

II

Resistenza della giunzione saldataResistenza della giunzione saldata

In un giunto testa a testa privo di difetti lo stato tensionale corrisponde a quello di un mezzo continuo. La sezione resistente è quindi pari allo spessore per la lunghezza del giunto e la resistenza del materiale di apporto fd,cr viene espressa come una frazione di quella del materiale base:

fd,cr = µcr fd con µcr = coefficiente di efficienza.Le tensioni agenti nel cordone sono:

- σ⊥ : tensione normale di trazione o compressione ortogonale alla gola;- τ : tensione tangenziale parallela;- σ// : tensione normale di trazione o compressione parallela alla gola.

Si può calcolare la tensione ideale:

Deve risultare: τσσσσσ 3//

2//

2 +−+= ⊥⊥id

I σid < fd σid < σadm

II σid < 0,85 fd σid < 0,85 σadm

Classe s.l.el. t.a.

GIUNTI TESTA A TESTA

GIUNTI A CORDONE D’ANGOLOSi considera come sezione resistente il prodotto

dell’altezza della gola a per la lunghezza del cordone. Il calcolo convenzionale delle tensioni viene eseguito ribaltando su uno dei lati del cordone la sezione di gola.

In sede di verifica le componenti (valori assoluti) delle tensioni dovranno soddisfare le verifiche allo s.l.el. (per le t.a. si sostituisce fd con σadm) riportate qui a fianco.

In presenza di cordoni inclinati si decompone la sollecitazione agente nelle componenti normale ed ortogonale al cordone.

In combinazione di cordoni d’angolo laterali e frontali non è prudente sommare tutti i contributi resistenti; meglio affidare tutto lo sforzo ad una tipologia di cordone. Se ciò non è possibile, verificare che risulti:

al ⋅≤∑ 60

- Cordoni frontali soggetti a sforzo normale:

alF

⋅⋅=⊥ 2

τ

- Cordoni laterali soggetti a sforzo normale:

alF

⋅⋅=

4//τ

- Cordoni frontali longitudinali soggetti a taglio e momento flettente:

ahF

halF

halF

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⊥ 23

26

//22max τσ

- Cordoni frontali trasversali soggetti a taglio e momento flettente:

atF

thalF

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⊥ 2//τσ

F/2

F/2Fl

FF/2

F/2l

F

h

l

l

h

Ft

ESEMPI

- Combinazione di cordoni trasversali e longitudinali soggetti a taglio e momento (le tensioni normali dovute al flettente si valutano considerando attiva tutta la saldatura):

La verifica si fa nei punti più sollecitati, cioè nel cordone l1/a1 (solo σ⊥)ed agli estremi di quello d’anima (σ⊥ e t//).Un’ulteriore possibilità di progetto consiste nell’attribuire ai cordoni d’ala l’assorbimento del flettente ed a quelli d’anima quello del taglio.

33// 2 al

F⋅⋅

=τ

//τ

11 , la max⊥σ

max'⊥σ33 , la

22 , la

2h1htotWlF ⋅

=⊥maxσ

323222111 3

12 alhalhalWtot ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=

1

3max h

lW

lF

tot

⋅⋅

=⊥σ

- Cordoni laterali soggetti a torsione, taglio e momento flettente (metodo del momento polare):Si calcola il baricentro G dei cordoni ribaltati sul piano della giunzione ed il loro momento polare rispetto G (I0); si calcola quindi la sollecitazione Smax agente l punto più lontano P ed ortogonale alla congiungente P con Q.

Si decompone Smax nelle direzioni dei cordoni e si valutano τ// e τ⊥.0

maxmax I

rMS T ⋅

=

laS

⋅⋅

=θ

τsinmax

//

laS

⋅⋅

=⊥

θτ

cosmax

l

Gθ rmax

Smax

F

MT

e

hh+a

- Cordoni frontali soggetti a torsione, taglio e momento flettente (metodo delle forze):Si ammette MT bilanciato con una coppia di forze V agenti verticalmente nei cordoni:

Le forze V generano solocomponenti parallele ai cordoni:

Nel caso di presenza di 4 cordoni si può ammettere che:- Il torcente sia equilibrato da 2 coppie di forze (H e V) che se lo ripartiscono in base alle relative resistenze:

- Il taglio sia suddiviso tra i 4 cordoni con analoghe modalità:

zlFV ⋅

=

laV⋅

=//'τla

F⋅⋅

=2

"//τ ////// "' τττ +=

l

e

Fz

VV

maxmax

max

TVTH

THTTH MM

MMM

+=

maxmax

max

TVTH

TVTTH MM

MMM

+=

maxmax

max

VH

HH VV

VVV

+=

maxmax

max

VH

VV VV

VVV

+=

- Per sezioni aperte con saldature continue lungo tutto il perimetro in genere, a favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il contributo della torsione secondaria.

In alternativa il taglio può esser suddiviso tra i cordoni verticali.

Nel caso di presenza di 3 cordoni (2 orizzontali e 1 verticale) alla coppia che si genera in quelli orizzontali si affida il torcente ed a quello verticale il taglio.

- Nel caso di sezioni a cassone:- Se il perimetro è completamente saldato → Breat- Se mancano tratti di saldatura → metodo delle forze

aAM T

⋅⋅=

2//τ

UNIONI BULLONATEUNIONI BULLONATELa bulloneria è divisa in classi

(materiale); le classi di resistenza associate sono nella tabella a lato.

I bulloni devono essere serrati in modo da applicare nel gambo una trazione pari a:

dove Ares = area resistente.

AfN resNKs ⋅⋅= ,8,0

La coppia di serraglio vale:

dove d è il diametro nominale del bullone.

dNT ss ⋅⋅= 2,0

Nella tabella seguente sono riportati i valori di Ares, d, Ts, e Ns per le diverse classi di bulloni:

4,6 5,6 6,6 8,8 10,9 4,6 5,6 6,6 8,8 10,912 84 39 48 58 90 113 16 20 24 38 4714 115 62 77 93 144 180 22 28 33 52 6416 157 96 121 145 225 261 30 38 45 70 8818 192 133 166 199 309 387 37 46 55 86 10820 245 188 235 282 439 549 47 59 71 110 13722 303 256 320 384 597 747 58 73 87 136 17024 353 325 407 488 759 949 68 85 102 158 19827 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 25730 561 646 808 969 1508 1885 108 135 161 251 314

Ns (kN)d (mm)

Ares

(mm2)

Ts (N.m)

TOLLERANZE FORO - BULLONE

In genere: φ-d ≤ 1 mm con d ≤ 20 mmφ-d ≤ 1,5 mm con d > 20 mm

Fori calibrati: φ-d ≤ 0,3 mm con d ≤ 20 mmφ-d ≤ 0,5 mm con d > 20 mm

Nella valutazione della capacità portante delle unioni bullonate si tiene conto delle distribuzioni e delle sollecitazioni sui singoli bulloni in corrispondenza dello s.l.u.. Anche qui le normative impongono dei parametri dimensionali frutto di indagini sperimentali.

INTERASSE E DISTANZA DEI BULLONI DAI BORDI

a p ap

a1p

a1t1

- p nella direzione della forza:Per elementi tesi: 25tmin ≥ p ≥ 3dPer elementi compressi: 15tmin ≥ p ≥ 3d

- a ≥ 2d:Bordo non irrigidito: a ≤ 6tminBordo irrigidito: a ≤ 9tmin

- a ≥ 1,5d:Bordo non irrigidito: a1 ≤ 6tminBordo irrigidito: a1 ≤ 9tmin

Resistenza delle unioni bullonateResistenza delle unioni bullonate

Tipiche della carpenteria, per ripristinare la continuità tra due elementi interrotti.

UNIONI BULLONATE A TAGLIO

Caratterizza l’unione:Carico limite d’esercizio (inizio scorrimento tra A e B) →Vf0

Carico limite ultimo (resistenza dell’unione)

γµ

f

fsf

nNV

⋅⋅=0

con: γf = 1,25 (coefficiente di sicurezza);nf = numero di superfici a contatto;

0,30 per superfici non trattate;µ =

0,45 per superfici trattate;Riguardo µ, per valori superiori di 0,45 occorre fare prove sperimentali di

determinazione diretta.

Lo stato limite ultimo può essere raggiunto per:- Rottura a taglio del bullone;- Rottura per rifollamento della lamiera;- Rottura per taglio della lamiera;- Rottura per trazione nella lamiera.

Nel rifollamento la pressione di contatto viene supposta uniforme:

dove: tmin = spessore complessivo lamiere impiegate in una direzione;d = diametro;a = a/d ≤ 2,5

La resistenza a trazione delle lamiere viene valutata assumendo una distribuzione uniforme delle tensioni, contando cioè su ridistribuzioni plastiche locali.

minmin, tdftdfV drifrifd ⋅⋅⋅=⋅⋅= α

a

bd

In presenza di più bulloni ci si può riferire alla sezione minima (minimo percorso) ottenuta attraverso 1 o piùfori. Se le piastre sono sollecitate solo a trazione si può ottimizzare le dimensioni uguagliando resistenze a trazione e rifollamento:

( ) 1minmin +=⇒⋅=−⇒≅⋅⋅=⋅−⋅ ααφαφdbddbdcontftbf drif

UNIONI BULLONATE A TRAZIONEIl carico agente sul bullone è trasmesso attraverso le lamiere che si deformano

flessionalmente non consentendo il distacco completo degli elementi. In esercizio si assume prudenzialmente una forza di decompressione pari a quella di serraggio Ns.

Allo s.l.u., con γn = 1,25 (tiene conto del percorso di distacco della testa e delle flessioni parassite):

UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E TAGLIO

γ n

resNKd

AfN ⋅= ,0

In condizione di esercizio l’interazione V-N è espressa da un dominio lineare; Allo stato limite ultimo il dominio di interazione può essere assunto di forma ellittica.

)1(0 NVVs

ffN

−⋅=

10,0,

22

≤+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

NN

VV

dd

UNIONI BULLONATE A TAGLIO E TORSIONE

vv

v

v

v

v

FV

vT1

vT6

vT5

vT3

vT2

vT4

v1v2

v6 v3

v5 v4

TNN

FV

VV⋅

=

iiT akV ⋅=,

∑

∑ ∑

=

= =

⋅

⋅=⇒

⋅⋅=⋅⋅=

k

iiV

iiT

k

i

k

iiViiTV

aN

aTV

akNaVNT

1

2,

1 1

2,

con: N = numero bulloni;NV = numero sezioni reagenti per bullone;ai = distanza centro bullone – baricentro bulloni.

UNIONI BULLONATE A FLESSIONE E SFORZO ASSIALE

Momento inerzia sezione reagente rispetto all’asse neutroMomento statico sezione reagente rispetto all’asse neutroS

JyC =

022226 11

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅+

⋅ ∑∑==

n

iiii

n

iiiC

CC yaeyAyaeAyaebyby

(equazione cubica)

( )∑=

−−⋅

⋅=

n

iCii

C

CNC

yyAby

yF

1

2

2

σ ( )C

CiiCi y

yyAN

−⋅= σ

FN

a/2

a/2

e yi yC

ε σe > 0 per N < 0e < 0 per N > 0

COLLEGAMENTICOLLEGAMENTI- Articolazioni → cinematismi;- Giunti a parziale ripristino trasferiscono parzialmente M, N, e T;- Giunti a totale ripristino trasferiscono globalmente M, N, e T;- Duttilità nel collegamento: condiziona la duttilità di insieme (possibile solo con

saldatura, non con bullonatura).

Giunti tesiGiunti tesi

Saldatura a completa penetrazione

Coprigiunti saldati

Coprigiunti saldati

Coprigiunti bullonati

Distribuire coprigiunti in parti proporzionale a sezione profili

Giunti tesi flangiatiGiunti tesi flangiati

Giunti compressiGiunti compressiNei giunti bullonati le flange devono avere

sezione proporzionale a quella degli elementi da collegare.

saldati a completa penetrazione bullonato

per contatto

Giunti di baseGiunti di base

Il taglio viene assorbito:- Per attrito (µ = 0,1) → V/N ≤ 0,4;- Per contrasto diretto → incassando il profilo nel calcestruzzo.

Giunti inflessi intermediGiunti inflessi intermedi- A completo ripristino:

- di M e V in qualunque sezione;- di M in ogni sezione in cui V < Vpl/3;

- A parziale ripristino di M: devono permettere le rotazioni nello schema statico assunto.

Completo ripristino M, V Parziale ripristino M e completo di V

Completo ripristino se ripartizione forze in unioni è condotta secondo resistenza parti collegate

Completo ripristino o parziale a seconda di resistenze di piastra e bulloni

Completo ripristino del solo taglio

Giunti inflessi di estremitGiunti inflessi di estremitàà

Parziale ripristino flangia inferiore a contatto ; trasmette V parte di M

Completo ripristino di M e V (trave Gerber)

Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V

Completo ripristino di V e parziale di M

CernieraCerniera

Cerniera

Cerniera

Giunti trave Giunti trave -- colonnacolonna

Completo ripristino Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino

Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino

Giunti pendolariGiunti pendolari

Nei giunti con coprigiunto a totale ripristino flessionale il flettente deve essere suddiviso tra ali ed anima; questa deve inoltre assorbire anche V.

Nel caso di parziale ripristino flessionale si attribuisce al coprigiunto delle ali tutto il flettente ed a quelli d’anima il taglio.

Nei giunti flangiati il taglio viene trasmesso da tutti i bulloni, il flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della flangia.

Nei giunti a squadretta (L) occorre tener conto delle eccentricitàdelle reazioni:

Giunti a squadretta ed osservazioniGiunti a squadretta ed osservazioni

- a: faccia sulla trave principale- V = R → V1 = V/2 = R/2- T = V⋅e1 → H = T/d = V⋅e1/d

- b: faccia sulla trave secondaria- V = R/2 → V2 = R/4- T = R ⋅e2/2 → H2 = R ⋅e2/2d

RR/2

d

e1 e2

V2

V2 H2

H2H1

V1

H1 V1

a

b

R/2 R/2R

- a: su 2 sezioni

- b: su una sezione22

222

21

211

HVR

HVR

+=

+=

Giunti di composizione delle sezioniGiunti di composizione delle sezioni

alS

ltSdxtdNdS

m

Wm

W

2// ⋅∆=

∆⋅⋅=⋅⋅==

τ

ττ

N+dN

dx

N

tw

Rotture dei giuntiRotture dei giunti

Rottura zona compressa

altrimenti costoni

Rottura zona tesa Rottura per taglio

d

WW f

ht 235

30≥

yc

yb

ff

ff

k

Akt

=

⋅≥

1

4,0

WfW h

Akt 31 ⋅≥

VERIFICHE DI RESISTENZAVERIFICHE DI RESISTENZA

Aeff è l’area del profilo o di una sua sezione netta (depurata di fori) quando il profilo è collegato in modo simmetrico rispetto al baricentro; penalizzazioni in caso di collegamenti eccentrici (CNR 10011).

TRAZIONE

( )..LSN fA deff

dN ≤=σ

( )..ATNadm

effAN σσ ≤=

COMPRESSIONE

( )..LSN fA d

dN ≤=σ

( )..ATNadm

d

AN σσ ≤=

A è l’area netta del profilo, depurata dei fori.

FLESSIONE( )..max LSf dd ≤σ( )..max AT

admσσ ≤

L

1

ψ

ψMef res ψMe

Μ/Me

χ/χeεr/εe

FLESSIONE RETTA

wMψσ =max

ψ ≥ 1: coeff. adattamento plastico (o di forma).

FLESSIONE DEVIATA

ψσ 1max ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Y

Y

X

X

WM

WM

ψΜe: valore del momento che produce una freccia residua allo scarico fr = L/1000.χ/χe = ε/εe (sezioni simmetriche).

ψ ≅ 1 (cautelativo)

PRESSOFLESSIONE

( )..max LSf ddNd ≤+σσ( )..

maxAT

admN σσσ ≤+( )..

3maxLS

AwV f dd ≤≅τ

( )..3max AT

AwV admστ ≤≅

TAGLIO

TorsioneTorsioneLa teoria di d.s.v. sottovaluta la resistenza a torsione delle travi a sezione aperta in

parete sottile.Risultati più realistici si ottengono con la teoria delle aree settoriali o della torsione

non uniforme. Flusso primario classico (d.s.v.) associato alla torsione pura o uniforme

Flusso secondario associato alle τ legate (equilibrio) alle σ dovute all’ingobbamento disuniforme delle sezioni generato dal flusso primario (torsione d’ingobbamento)

Flusso delle τ dovute al torcente

TORSIONE PURA

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≅

⋅== circolaresezioneperII

IGT

dzd

tt

0' θθ

∫∫

Ω⋅=⋅

⋅Ω⋅=

⋅Ω⋅=

S

tSds

t

IdstG

Tdzd

tT

141

42

2

2

θτ

In sezione aperta a spessore sottile:

t

S

n

iiit

ItTtG

tbdstI

⋅=⋅⋅=

⋅≅= ∫ ∑=

'

31

31

max

1

33

θτ

n = numero di elementi costituenti la sezione

In sezione cava a spessore sottile:

TORSIONE DA INGOBBAMENTO IMPEDITOTrave con appoggi con vincolo torsionale. Nella mezzaria spostamenti w = 0 per

simmetria. Nella mezzaria torsione d’ingobbamento impedito, agli estremi (w = 0) torsione primaria ⇒ torsione mista.

Nelle altre sezioni sono presenti entrambi i comportamenti torsionali.

In una trave a sezione costante soggetta a torsione la componente wd’ingobbamento vale:

con ω = ω(x,y) = area settoriale (funzione della geometria della sezione).

dzdw θω=

w rappresenta il doppio dell’area generale dal raggio C-M per M che descrive la linea media della sezione.

Fissando M0 (punto qualunque della linea media):

Variando w in funzione di z risulta:

La funzione è tabulata per i profili più usuali unificati. Insorgono anche tensioni tangenziali nella sezione trasversale:

Il torcente secondario si ottiene per integrazione dei momenti delle forze di taglio rispetto al centro di taglio:

( ) ( )∫==S

t dsss0

τωω

"" ,,, θωεσθωε ωωω ⋅⋅=⋅=⋅=∂∂

= EEzw

zzz

( ) ∫=⋅⋅

−=A

dAsScont

SEω

θτ ω

ωω

|||

momento statico settoriale

∫=⋅⋅−=A

dAIconIET 2||| ωθ ωωω momento d’inerzia settoriale

TORSIONE MISTA

TT

Tω

Tω

TT

In generale per effetto torcente sono presenti τT, σzw, τw. In ogni sezione il torcente si decompone in:

ωTTT T +=

La ripartizione del torcente tra TT e Tω è fortemente dipendente dalla geometria della sezione.

Nelle sezioni piene o a cassone Tω è sempre trascurabile rispetto rispetto a TT.Nelle sezioni aperte TT può essere trascurabile rispetto a Tω e quindi trascurare

l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza torsionale dei profili usuali.

Qui di fianco si nota il quadro riassuntivo completo delle tensioni da torsione mista.

Ripartizione tra TT e Tω:

Se il torcente unitario applicato vale:

|||

'

θ

θ

ωω

ω

⋅⋅−=

⋅⋅=+=

IET

IGTTTT

TT

T

( ) ( )

( )ztIGIE

ztdzdTdz

dzdTTztT

T =⋅⋅−⋅⋅⇒

=−⇒=+++−

"

0

||| θθω

( ) ( ) ( )zezqzt ⋅=

la condizione di equilibrio per l’elemento di lunghezza dz è:

(eq. differenziale 1° ordine)

L’integrale generale è del tipo:

Imposte le condizioni al contorno per ricavare C1, C2, C3 e C4, si ottiene:

'

"'

||| θθ

θθω

ω

ωω

⋅⋅+⋅⋅−=

⋅⋅−=⋅=

TIGIET

IEMw

Lo stato tensionale completo nel sistema di coordinate generalizzate vale:

ω

θθIEIG

LkconzLkchCz

LkshC

LzCC T

⋅⋅

=++++= 43210

k: lunghezza adimensionale caratteristica della trave

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )stxT

sSIT

sSIT

sSIT

sts

IM

xI

My

IM

T

TT

yy

yx

x

x

y

y

x

xz

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++=

++=

τ

τ

ωσ

ωω

ω

ω

ω

1

VERIFICHE DI STABILITAVERIFICHE DI STABILITA’’Elementi compressiElementi compressi

- Pilastri di strutture pendolari in cui le azioni orizzontali sono affidate ad elementi di controvento;

- Aste delle strutture reticolari.In relazione alla forma della sezione trasversale l’instabilità può manifestarsi con tre

diversi meccanismi:- Instabilità piana: inflessione guidata in un piano (sezioni a doppio asse di simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;- Instabilità torsionale: interessa sezioni con rigidezza torsionale secondaria trascurabile (sezioni a croce);- Instabilità flesso-torsionale : combinazione delle precedenti.

Le imperfezioni di natura costruttiva devono comportare uno scostamento dalla configurazione rettilinea non superiore ad 1/1000 della lunghezza libera di inflessione (altrimenti elementi precompressi):

10001

00 ⋅≤ lV

La lunghezza libera di inflessione è funzione della lunghezza reale dell’asta e delle condizioni di vincolo:

ll ⋅= β0

- β = 1 se i vincoli sono assimilabili a cerniere;- β = 0,7 se i vincoli estremi sono assimilabili ad incastri;- β = 0,8 se un vincolo è assimilabile a cerniera e l’altro ad incastro;- β = 2 se ad un estremo è un incastro perfetto,e l’altro è libero.

Nelle diverse tipologie si adottano le seguenti indicazioni:

Aste di corrente di travi reticolari piane

β = 1 nel piano della travatura;β = 1 nel piano ortogonale alla travatura se esistono ritegni rigidi di estremo, in caso di ritegni elastici urgono verifiche più accurate;

β = d/l ≥ 0,8 dove d è l’interasse tra le giunzioni;

Aste di parete di travi reticolariβ ≥ 0,5 nel caso d’incrocio di aste tese e compresse con resistenza del nodo non minore di 1/5 dello sforzo di estremo dell’asta compressa;

valori di β.

nel piano di parete

fuori dal piano di parete

Colonne di edifici β = 1 in presenza di ritegni rigidi a livello dei piani.

In ogni caso deve risultare:

Ll0=λ

- ≤ 200 nelle membrature principali (azioni statiche);- ≤ 250 nelle membrature secondarie (azioni statiche);- ≤ 150 nelle membrature principali (azioni dinamiche);- ≤ 200 nelle membrature secondarie (azioni dinamiche).

La verifica di sicurezza comporta che risulti:

νσσ ≥c

- ν = 1,0 stati limite;- ν = 1,5 tensioni ammissibili condizione 1;- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.

σσ N cc =

tensione corrispondente alla forza che comporta l’inflessione laterale nel piano considerato.

AN=σ tensione di compressione media corrispondente al carico N presente.

Come tecnica di verifica si utilizza il metodo che riduce la verifica di stabilità a quella statica corrispondente, ma con una azione maggiorata:

σω

admAN

=⋅

σσσω ν

c

y

c

admf

==con

Per sezioni doppiamente simmetriche o dotate di un unico asse di simmetria ortogonale (limitatamente ad un inflessione nella direzione di tale asse) i valori di

f y

cσω

=1

sono tabulati per quattro tipi di sezioni in funzioni del rapporto λ/λc, dove λc è la snellezza corrispondente al limite di validità del comportamento elastico della membratura.

f yc

Eπλ =da ⇒2

2

cy

Ef λπ

=

I valori diagrammati corrispondono a quei tabulati e per le 4 curve risulta(riportate in forma tabellare nel CNR 10011/88):- curva a: tubi (quadri, rettangolari e tondi);- curva b: sezioni a I laminate con h/b>1,2;

sezioni a I con ali rinforzate da piatti saldati;sezioni chiuse a cassone composte con saldatura;

- curva c: aste laminate diverse da b;sezioni aperte composte con saldatura;Aste composte da più profilati;

- curva d: aste semplici e composte con spessore t ≥ 40 mm.

I singoli elementi in acciaio possono essere composti dando luogo ad aste composte:- tralicciate (a);- calastrellate (b);- abbottonate (c).

Il comportamento delle aste composte dipende sia dalle prestazioni flessionali dell’asta semplice che da quello dei collegamenti che, deformandosi, esaltano le inflessioni e quindi gli effetti instabilizzanti.

La capacità portante dipende pertanto da i seguenti parametri:- Comportamento globale dell’asta;- Comportamento locale di ogni corrente;- Effetto delle azioni sui collegamenti.

Il comportamento globale dipende dalla deformabilità per flessione e per taglio che condizionano l’inflessione laterale dovuta alle imperfezioni iniziali. La deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:

4222

11dAII ⋅⋅+⋅=

I1: momento inerzia singolo profilo;A1: area singolo profilo;d: distanza baricentri profili correnti

(2 correnti)

La deformabilità a taglio dipende da quella delle aste di collegamento e dei correnti, e precisamente:

Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di collegamento, e precisamente:- Per aste tralicciate ogni corrente è un asta compressa con l0 pari all’interasse tra i collegamenti;- Per aste calastrellate ogni corrente è un asta pressoinflessa;- Per aste abbottonate ogni corrente è pressoinflesso.

- Nelle aste tralicciate dalla deformabilità assiale delle aste di parete;- Nelle aste calastrellate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dei calastrelli;- Nelle aste abbottonate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dall’eventuale scorrimento nella giunzione.

L’influenza del comportamento locale su quello globale è di facile valutazione. Viene quindi coperta da limitazioni dimensionali che ne riducono la portata a valori piùsignificativi.

La pratica progettuale porta ad una definizione di snellezza equivalente dell’asta composta, cioè:

- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (x-x) che taglia tutte le sezioni: snellezza valutata come per un’asta semplice;- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (y-y) che non taglia tutte le sezioni: λ dipende dal tipo di collegamento.

In presenza di calastrelli rigidi:

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

yYyeq i

li

l 0

min,1

11

21

2 ⋅==+=

βλλλλλ

50342

50;50342 ,1

1

,1

1 ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤

C

x

yC

x

y NNse

il

oNN

il λλ

Deve in ogni caso risultare:

In presenza di traliccio (oltre alla verifica locale dei correnti):lt

At

l0

A/2ld

Ad

lt

At

l0

ld A/2

Ad

A B

( )AAl

Al

llA

t

t

d

d

tyeq ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+=

33

20

2 10λλ

( )BAlllA

dt

dyeq ⋅⋅

⋅⋅+= 2

0

32 10

λλ

I collegamenti trasversali delle aste composte compresse e gli attacchi ai correnti si dimensionano per:

100NV ω

=N = forza assiale nell’asta;ω = relativo all’asta.

I calastrelli si calcolano ammettendo che il taglio si ripartisca in quote uguali tra i correnti: V/2

R

V/2

l0/2

l0/2

lt/2

t

t

llV

RlRlV 00

22

22⋅

=⇒⋅

=⋅⋅

Devono dividere l’asta almeno in 3 campi e presentare interasse costante.

Sezioni composte da aste ravvicinate calastrellate:Per distanze minori di 3 volte lo spessore ⇒ asta semplice purché i

calastrelli siano a passo minore di 50⋅imin (in figura calastelli a croce alternati).

Sezioni composte da elementi ravvicinati con imbottiture:La verifica si conduce per la singola asta composta con:

21

2 λλλ +=eqλ = snellezza effettiva;λ1 = snellezza locale tra le imbottiture del singolo profilo.

Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:Per evitare che si manifesti un imbozzamento locale prima che l’elemento abbia

esaurito la sua resistenza di insieme occorre rispettare dei limiti dimensionali, quali riportati nella CNR 10011. Tali limiti dipendono dal materiale.

I limiti interessano i rapporti b/t. b1

t1

Travi inflesse a parete pienaTravi inflesse a parete pienaIntervento di sbandamento laterale e

torsione fino al collasso prima di esaurire tutte le risorse flessionali primarie.

Parametri influenti:- rigidezze flessionali;- rigidezza torsionale;- punto di applicazione del carico;- parametri di geometria e vincolo.

Il fenomeno è descritto dalle 2 variabili indipendenti µ e θ . Operando con le CNR 10011 deve risultare:

WM

eW

Mcon

x

DD

x

D

⋅=

⋅=≤

ψσ

ψσ

νσ

σ maxmaxmax

MD = momento max calcolato per il carico critico in campo elasto-plastico;W = modulo resistente relativo al lembo compresso.

h

b

t

Mm = momento medio nel campo di trave (L) considerato.

Travi laminate:

n = 1,5 per travi laminate;n = 1 per travi saldate.( )n

yxn

Dcr

DcryxD

ff

⋅+⋅⋅=

ψσ

σψσ

,

,

Tensione critica per instabilità flesso-torsionale in campo elasticoW

M crDcr =,σ

11 585,0 tb

LhE

f y

⋅⋅

⋅⋅

=ω≤⋅

⋅=

WM

x

eq

ψω

σ 1 fd (S.L.)σadm (T.A.)

ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;t1 = spessore ali;l = distanza tra 2 ritegni torsionali successivi.

→=≤≤

→=≤≤

meqeq

meqeq

MMMMM

MMMMM

maxmax

maxmax

50,0

3,175,0 Travi appoggiate o continueTravi con sbalzi o mensole

Per travi a I approssimativamente si può controllare la stabilità nel piano trasversale supponendo l’ala compressa isolata dall’anima, per uno sforzo normale Neq:

≤⋅

=⇒==AN

MM

conSJ

MN eqeq

XX

eq

ωσηη

max1

max1

fd (S.L.)σadm (T.A.)

Elementi pressoElementi presso--inflessiinflessiF

l

2θ

θθ0

k

v Fmolla (b)Npl

Ncr

Nlim

(c)

(a)

θθ0 θlim

con θ0 = imperfezione iniziale.

Carico critico per modulo privo di imperfezioni

( )

NN

con

NN

NN

lkNper

lkN

kMlN

cr

cr

cr

cr

=−

=−

=⇒−

=⇒

=⇒=

−⋅=

−==⋅⋅

µθµ

µθθ

θθθ

θ

θθθ

θθθ

11

40

4

22

00

0

0

0

Alla plasticizzazione della molla:

lk

Ml

MN

kMlNMvN

pl

pl

plpl

⋅+⋅=

+=⇒⋅⋅==⋅

2

222

0

lim

0lim

θ

θθθ

Il comportamento dell’asta continua è descritto dalla curva (c), con una transazione più graduale dalla curva (a) alla curve (b), dovuta alla progressiva plasticizzazione della sezione critica.

La norma italiana adotta una formulazione che tiene conto della forma del diagramma di momento agente sull’asta. Deve risultare:

aeqbabaeq MMeMMconMMMM 4,04,06,0 >≥−==⋅β

≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅+

crNNW

MAN

νψ

βω1

fd (S.L.)σadm (T.A.) con σcr = tensione critica euleriana

β = 1 se M = costanteMa Mb

Nel caso di presso-flessione deviata:

≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅+

YcrYY

eqY

XcrXX

eqX

NNW

M

NNW

MAN

,

,

,

,

11 νψ

β

νψ

βω

fd (S.L.)σadm (T.A.)

Elementi inseriti in un complesso strutturaleElementi inseriti in un complesso strutturale- Condizioni di vincolo non perfette e spesso variabili in funzione del carico;- Necessità di valutare la rigidezza e resistenza dei vincoli e la conseguente reale

lunghezza libera di inflessione.P P P

l

l1

EA

l

k=EA/l1

v

In realtà l’intervento della plasticizzazione rende più complesso il problema.Le norme danno regole empiriche e forfettarie di riferimento che portano a

dimensionare i vincoli per forze comprese tra L’1% ed il 2% del carico agente sull’elemento da stabilizzare.

3

2

2

2

2l

IEkpermeccanismo

lkPlvkvPl

IEP

crcr

cr

⋅⋅<°

⋅=⇒⋅⋅=⋅

⋅⋅=

π

π

Aste vincolate agli estremi → l0 = βl

l β = 1 l β = 0,7 β = 2l

l β = 0,5 β = 2β = 1l l

P

l

a

k=a/l

k β0,0 1,000,2 1,240,4 1,560,6 1,930,8 2,311,0 2,70

l

P

a

k=a/l

k β0,0 2,000,2 2,130,4 2,270,6 2,410,8 2,551,0 2,70

Aste con vincoli intermedi

Aste con vincoli elasticiMolto spesso i vincoli delle aste non possono esser ritenuti rigidi, allora la loro

deformabilità abbassa la sicurezza nei confronti dei fenomeni d’instabilità.

l

P

oppure

l0=l l0>l

vincolo molto efficace

vincolo poco efficace

- La rigidezza minima efficace del vincolo elastico deve essere valutata tenendo conto delle imperfezioni iniziali;- Il vincolo deve essere verificato in termini di resistenza nei confronti delle reazioni vincolari che vi insorgono, legate alla sua rigidezza.

Il problema interessa essenzialmente i ponti a sezione aperta (a via inferiore) e le coperture industriali realizzate con capriate la cui briglia superiore è controventata da orditure secondarie opportunamente intervallate.

Il problema è stato inizialmente risolto da Engesser nell’ipotesi di corrente compresso rettilineo, a sezione costante, sollecitata da carico assiale costante, con estremitàincernierate e supporti elastici uniformemente distribuiti.

k = F/v v = spostamento vincolo;F = reazione vincolo.

Secondo Engesser l’asta raggiunge il carico critico in campo elastico se:

( )

( )( )2

22

min2

22

2

min

4

2,14

lPlP

kkrisultaredevelP

EIpoiché

pervalidaEI

lPkk

cr

crcr

cr

⋅⋅

⋅⋅=≥

⋅⋅=

≥⋅

=≥

βπ

πβ

β

La procedura è poi stata estesa al campo plastico e si applica come di seguito indicato.

PlC=βl

lC

k

l

l0

N ke

ki

ki

ki

kea) Sezione e N costanti, appoggi elastici intermedi equidistanti e di ugual rigidezza:Si determina la rigidezza k0 (n = numero di campi):

( )0

20

02

2

0 423212

422,12

lNkn

lNknn ⋅−=⇒≤≤=⋅=⇒≤≤> ββ

βπβ

ricavando λy in funzione di ω (da fd ⋅ A/N o σadm⋅ A/N).

y

y

il 0

λβ =

Deve risultare:( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) cedevoliestremivincoliATkkoLSkk

cedevoliestremivincoliATkkoLSkkrigidiestremivincoliATkkoLSkk

eiei

iiii

ii

⇐⋅⋅≥≥⇐⋅⋅≥≥

⇐≥≥

..5,1....5,1..

..5,1..

00

00

00

ηηηη

Verifica:

con ( )notoconi

ei ξξη

ηβξβξβξη =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅+⋅⋅

−+⋅⋅+

= 26,0141,111

26,01

Progetto:

βηη

η1

36,0/6,0−

=i

ie ηi noto

In ogni caso ηi ≥ 1,1 e β ≥ 1,2.

b) Sezione variabile da campo a campo, N variabile, campi di lunghezza variabile e rigidezze dei vincoli intermedi variabili:Si usa la procedura precedente assumendo:- N = Nmax- l0 = l0,min- β = media aritmetica dei diversi valori di β- ξ = ki,min/ke

I vincoli elastici si dimensionano per:

estremiappoggiN

F

inermediappoggiN

F

e

i

100

100

max

max

=

=β

con Nmax = max forza nei campi adiacenti al vincolo.

β = 0,7 (1)

β = 0,5 (0,7)

β = 2 (>2)

β = 1 (2)

Aste appartenenti a telail0 = distanza tra i 2 punti consecutivi di flesso della deformata critica in campo elastico

di un ritto semplicemente compresso.

Verifica di stabilità globale:Si considera agente nella combinazione più gravosa dei carichi verticali un sistema di

forze orizzontali pari ad 1/80 dei carichi verticali.Gli spostamenti orizzontali conseguenti non devono superare 1/500 dell’altezza totale

del telaio.

Lastre piane irrigiditeLastre piane irrigiditeIl comportamento instabile è strettamente influenzato dal tipo di sollecitazione.

S’individuano 2 categorie di problemi:

Lastre compresse Lastre inflesse

Piattabande e impalcati Anime

Poche riserve in campo elastico Molte riserve in campo elasticoLASTRE COMPRESSE

σ1

σ2

τ

Sono soggette a:- Tensioni flessionali σ1 associate al

comportamento d’insieme di tutta la struttura;

- Tensioni tangenziali complanari τ dovute al comportamento globale a taglio e torsione (primari e secondaria);

- Tensioni normali trasversali dovute alla deformazione trasversale ed alla presenza d’irrigidimenti (σ2);

- Tensioni flessionali nello spessore dell’impalcato dovute agli effetti locali dei carichi.

Sono possibili 4 tipi d’instabilità:

Imbozzamento locale dei singoli pannelli tra le nervature

Instabilità locale della nervatura (aperta) o di una sua parte (chiusa)

Instabilità globale della lastra con inflessione longitudinale tra gli irrigidimenti trasversali

Instabilità globale della lastra con inflessione trasversale tra le travi di bordo

LASTRE INFLESSE

σ1

τ ψσ1

σ1

ψσ1

a

σ2

σ2I pannelli d’anima compresi tra le ali. Travi e

nervature verticali d’irrigidimento sono in genere soggetti a flessione composta e taglio.

Molte riserve in campo plastico per via della forma dei diagrammi tensionali.

Modalità di verifica:- calcolo del coefficiente d’imbozzamento

sulla base dello stato tensionale nel pannello (kσ);

- Calcolo tensione ideale d’imbozzamento:σr = kσ σcr,0 (quest’ultimo da tabella).

Deve risultare:

22

11

221

,221

,

43

41

3

3⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−+⋅

+

+=⋅≥

+

crcrcr

idcridcr

ττ

σσψ

σσψ

τσσνβ

τσ

σ

03

0:

0

00

1,

,

1max,11

11

==

==

<=

>=

στσ

τσσ

τ

σσσ

σσ

se

sedove

animasolasuvalutata

camponelsecon

camponelsecon

cridcr

cridcr

MdaNda

per

per

m

n

mn

mn

σσσσ

αβ

ασσ

σσβ

==

>=

≤+

+=

5,11

5,180,0

2

,

2

,,

,

25

152520

8,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

≅>

idcr

y

idcr

y

didcr

idcrdycr

f

f

f

esostituiscsiaffrisultaSe

σ

σσ

σσ

ANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOI procedimenti dell’analisi limite trovano alcuni limiti nei seguenti problemi:- Necessità di tenere in conto di un numero cospicuo di condizioni di carico;- Presenza di imperfezioni geometriche (aste non rettilinee), costruttive (verticalità

delle colonne) , Autotensioni.

Sono detti a nodi fissi quei telai che non hanno resistenza apprezzabile ad azioni orizzontali e richiedono dunque un contoventamento o un accoppiamento con strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.

La loro deformabilità ad azioni orizzontali comporta che i corrispondenti spostamentinon causino apprezzabili effetti sui regimi di sforzi.

Non si commettono errori importanti a considerare schematizzazioni semplici come le travi continue.

Telai a nodi fissiTelai a nodi fissi

TRAVI- Profilati di classe III e IV :

calcolo elastico lineare, il carico ultimo corrisponde al raggiungimento del momento ultimo nella prima sezione;

- Profilati classe I e II : E’possibile effettuare una analisi limite.

Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali.

COLONNE- Caso A detto pendolo: si effettua la verifica di instabilità dell’asta reale al carico

di punta (instabilità euleriana);- Caso B: si effettua la verifica del carico di punta in presso flessione (Instabilità

Euleriana);I controventi saranno calcolati tenendo conto delle imperfezioni di verticalità, e degli

effetti del 2°ordine.

Telaio con nodi rigidi

Nodi flessibili o semi-rigidi

Nodi flessibili pendolari

A)B)

Telai a nodi rigidiTelai a nodi rigidiSono telai progettati per sopportare, integralmente o parzialmente, azioni orizzontali,

azioni orizzontali. Essi dunque prevedono collegamenti tra travi e colonne che possano trasmettere M, T e di solito usano unioni rigide (giunti saldati, bulloni ad attrito), e sono più onerosi.

I punti A,B e C rappresentano le successive cernierizzazioni, mentre da C in poi si hanno i seguenti fenomeni:

- Effetto P-δ;- Non linearità geometrica e

conseguente instabilità globale. Le difficoltà dell’analisi sono:- Non linearità geometrica;- Non linearità meccanica;- Influenza delle imperfezione;- Instabilità locale.La non linearità geometrica si risolve con il metodo della matrice geometrica o il

metodo P-δ.

La non linearità meccanica si affronta con i metodi basati sull’ipotesi della plasticitàaddensata , tuttavia è necessario verificare di volta le rotazioni delle cerniere. Nelcaso di profilati di classe III e IV le instabilità premature vanificano l’analisi limite, cosicché il collasso avviene alla formazione della prima cerniera, cioè il calcolo avviene in campo elastico.

Per quanto riguarda le imperfezioni, generalmente si tiene conto, in sede di analisi strutturale, dei soli difetti costruttivi. Delle imperfezioni nelle aste e delle autotensioni si tiene conto in sede di verifica locale.

DUTTILITADUTTILITA’’

Definiamo:- Me: momento elastico, per cui ε,

deformazione massima, raggiunge il limite elastico;

- Mu: momento ultimo, per cui ε = εu;- Mp: momento plastico, per cui ε = ∞;- µ0 = εu/εe :duttilità del materiale;- β = Mp/Mu: fattore di forma della

sezione.

Nello studio del comportamento elasto-plastico delle travi e strutture monodimensionali in acciaio solitamente si fanno le seguenti ipotesi:

- Ipotesi di Navier (cioè il mantenimento delle sezioni piane);- Piccoli spostamenti;- Materiale elastico-perfettamente plastico (diagramma di Prandtl);- Assenza di fenomeni di instabilità.

DuttilitDuttilitàà delle sezionidelle sezioniSezione rettangolare.Per l’ipotesi di Navier:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−⋅

⋅⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=

ε

εσσσσσ 2

2222

311

434322

422 eoeooeeo

ohbYbhbYYbhhbM

Considerando che si ha , considerando che42hbo

pM⋅⋅

= σ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−⋅Μ=Μ

u

eeu ε

ε 2

311

e

u

εε

µ =0

MM po

ohbhhb

e 32

6232

222

2=

⋅⋅=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅= σσInoltre, poiché da cui:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=

εε

εε

uee

ue MMM p

223

2311

2hY e

e εε =

εε e

eh

Y ⋅= 2

Eo

eσε =

da cui

dove

Dunque il fattore di forma per sezioni rettangolari risulta:

23

==MM

e

pβ

Se l’anima è molto sottile β ≅ 1 e:

In realtà vi sono altri fattori che condizionano i diagrammi momento curvatura e precisamente:

- Presenza di autotensioni parassite;- Ramo incrudente dell’acciaio

(solitamente trascurato per insorgenza di fenomeni d’instabilità).

0022 σσ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≅ hsbhsbM p A1

A2

A1

A2

-σ0

σ0 σ0

-σ0

-

+

-

+

221AAA ==

DuttilitDuttilitàà della strutturadella strutturaLa duttilità strutturale porta comunque diversi

vantaggi:1. Collasso duttile e non fragile;2. Attenuazione dei picchi di sollecitazione e

capacità di ridistribuzione nelle strutture iperstatiche;

3. Attenuazione delle sollecitazioni dovute ad azioni sismiche, dinamiche, impulsive.

Tuttavia, a una duttilità anche illimitata del materiale o della sezione corrisponde una limitata duttilità della struttura.

1

1

αδ

P

1

χ/χe

M/Me

l

l

M1(x)

χe

-

ESEMPIO: MENSOLA

Lunghezza tratto plasticizzato dipende dall’incrudimento del diagramma M-χ

( ) ( ) ( )

e

u

e

u

ll

e

dxxedxxxM

αα

µδδ

µ

χαχδ

αδ ==

=⋅= ∫∫00

1

La duttilità della struttura aumenta se si ha un apprezzabile incrudimento nel diagramma momento-curvatura, e in particolare aumenta con il beneficio plastico β, fattore di forma.

La duttilità è limitata dal fatto che la plasticizzazione si estende a tratti limitati. Ciò èdovuto alla variabilità del momento flettente, e cioè alla presenza del taglio.

INFLUENZA DEL TAGLIOIl taglio può avere un ruolo importante nella

plasticizzazione di sezioni a doppio T, al punto che a volte si considera l’anima già plasticizzata, assumendo che il collasso avvenga non appena sopraggiunge la plasticizzazione nelle ali.

La plasticizzazione prematura dell’anima rispetto alle ali, permette la progettazione di controventi duttili.

In particolare la struttura viene progettata in modo che la plasticizzazione a taglio avvenga prima dell’instabilizzazione dei controventi, che determinerebbe un collasso repentino e poco dissipativo.

irettngolarsezioniper79,169,11050 ÷=⇒÷= αµµ

INSTABILITAINSTABILITA’’ DELLE TRAVI IN REGIME DELLE TRAVI IN REGIME ELASTICOELASTICO

Ci riferiamo a travi di Eulero-Bernulli, limitatamente deformabili, cui sia applicabile la teoria linearizzata (cos ϕ = 1, sen ϕ =0).

Dunque:

⇒−= )(4

4

xpy

EJdxd

⇒=⋅=⋅⇒ dxy

PdyPdxxpdxd

2

2

)(

⇒=+⇒ 02

2

4

4

dxd

dxd y

Py

EJ

EJP

=α 2con

yy

dxd

dxd 02

22

4

4

=+⇒ α

CCCC xxsenxy 4321cos +++= ααSoluzione:

Proviamo a costruire la matrice di rigidezza della trave sulla base della teoria linearizzata , imponendo le seguenti condizioni al contorno:

0)0( =y

ϕ=)0('y

0)( =ly0)(' =ly

041 =+ CC ϕα =+ CC 32

0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ 0cos 321 =++− CCC sen λαλα

Dsen

Cλλλ

αϕ cos

1−

⋅= Dsen

Cλλλ

αϕ −−

⋅=cos1

2 DCλϕ cos1

3−

⋅= CC 14 −=

CCC xxseny 321 cos' ++−= ααααPoichési ha:

avendo posto α ⋅ l = λ.Risolvendo:

λλλ senD −−= cos22ove .

( ) ( )xsenCxCy αααα 22

12 cos'' −−=

( ) ( )xCxsenCy αααα cos''' 23

13 −=

I COLONNA:

( )xsenxEJEJy CCM αα αα 22

12 cos'' +=−=

ϕλφ

ϕλλλλλλλϕα

⋅⋅=

=⋅−

⋅⋅=−

⋅==

)(

coscos)0(

lEJ

Dsen

lEJ

DsenEJMM A

ϕλχϕλλλ

λλλλϕαλλλλϕα

⋅⋅=⋅−

⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−−⋅+⋅

−⋅−=−=

)()(

cos1coscos)(

lEJ

Dsen

lEJ

senD

senD

senEJlMM B

( ) ϕλωϕλ

ϕλχλφ λ ⋅⋅=⋅−

⋅⋅=⋅+

⋅=+

=−=ll

EJDll

EJll

EJl

MM BABA VV )()cos1(1)()(

2

II COLONNA:η=)0(y 0)0(' =y 0)( =ly 0)(' =ly

η=+ CC 41

032 =+ CCα

0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ

0cos 321 =++− CCC sen λαλα

ηλ⋅

−=

DC1cos

1 ηλ⋅

−=

Dsen

C2

ηλλ⋅⋅−=

Dsen

lC3ηλ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=DCcos114

( )xsenxEJEJyx CCM αα αα 22

12 cos'')( +=−=

ηλωηληλ λα ⋅⋅−=⋅−

⋅=⋅−

⋅==ll

EJD

EJD

EJMlM A

)(1cos1cos)0( 2

22

ηλω⋅⋅−==−=

llEJlM MM AB

)()(

ηλωηηλω⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⋅−⋅⋅=−=

EJP

lEJ

lP

lEJ

llVV BA 22

)(2)(2

Dunque nell’ipotesi che P non vari apprezzabilmente, il problema rimane lineare e la matrice di rigidezza [K] della trave assume la forma seguente:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−

−

+−−−

−−

⋅=

EJP

lEJP

l

ll

EJP

lEJP

l

ll

lEJK

ll

ll

22

22

)(2)()(2)(

)()()()(

)(2)()(2)(

)()()()(

λωλωλωλω

λωλφλωλχ

λωλωλωλω

λωλχλωλφ

ANALISI STRUTTURALE DEL 2ANALISI STRUTTURALE DEL 2°° ORDINEORDINERiprendiamo la formulazione di rigidezza della trave derivante dalla teoria

linearizzata. La trave fa parte in genere di una travatura più complessa e lo sforzo normale non può, se non con approssimazione, essere considerato costante : Insorge dunque un problema di non-linearità detta geometrica. Ulteriori problemi computazionali in un eventuale calcolo iterativo derivano dalla presenza di termini non lineari nella stessa matrice locale.

E’ possibile attuare un procedimento semplificato basato sull’assunzione di una deformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodi vengono calcolati con riferimento agli spostamenti calcolati con la teoria del 1°ordine.

Nella costruzione della matrice di rigidezza, una volta imposto uno spostamento unitario su un movimento, oltre alle reazioni del 1° ordine, si calcolano le reazioni rispetto alle sollecitazioni del 2° ordine, che andranno in una matrice detta “Geometrica” [K]G.

[ ] [ ] η⋅+=− KKSS G0

Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente dell’asta assume carattere dominante, per cui facendo riferimento al seguente schema:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅−=

000000010010000000000000010010000000

lP

KGeffetto sway (deragliamento)

l1

≅δ

Metodo P Metodo P -- δδValuta approssimativamente gli effetti del 2° ordine utilizzando esclusivamente la

matrice di rigidezza elastica sulla base del cosiddetto effetto “Sway”.Facendo riferimento alla figura seguente si scrive l’equazione di equilibrio della

generica trave di un telaio:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

+

++−p i

ii

i

iii h

Nh

NH

1

11δδ

( ) ψ⋅−=∆ +QQH iii 1

Il calcolo è iterativo e di volta in volta si considera l’aggravo di carichi orizzontali aggiuntivi ∆Hi, finché questi diventano sufficientemente piccoli.

Tale metodo permette anche la valutazione di carichi orizzontali aggiuntivi dovuti ad imperfezioni di verticalità ψ del telaio:

INFLUENZA DELLA DEFORMABILITAINFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’’ A A TAGLIO SUL CARICO DI PUNTATAGLIO SUL CARICO DI PUNTA

Y

Pϕ

P(ϕ+dϕ)ϕ

Il taglio determina una rotazione aggiuntiva del concio che non genera flettenti e va detratto dall’eq. della linea elastica:

tagliodifattoreconAGyP

AGTyT =

⋅⋅

⋅=⋅

⋅= χχχ ''

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

−=

=⋅⋅

+⇒=+−⋅

AGPJcon

yJE

PyPyyyJE IIIVIIIVT

IV

χ1*

0*

0

AGP

PP

AGP

PPcuidaE

Ecr

crEcr

⋅⋅+

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

−=χ

χ

11

L0

T

T

msLt

α

γd

t

AECosLT

⋅⋅⋅

α2

d

t

AECosLT

⋅⋅⋅

α3

αT

T/Cos α

Nel caso di sezione piena in acciaio (l = altezza asta incernierata, b = base minore sez.) si trova:

( )

22

2

6,2

12

2,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

=⋅⋅

lb

AEl

JE

AGPE

ν

πχ

Valore generalmente trascurabile. Invece tale riduzione assume importanza nel caso di aste calastrellate e tralicciate.

ESEMPIO: TRALICCIO

003

003

0

cos'

cos

LAEL

LAEL

TAG

LAELT

LAELT

Ls

t

t

d

t

t

t

d

t

⋅⋅+

⋅⋅⋅==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⇒

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅==

αγχγ

αγ

tt AE

TLm⋅

=

ESEMPIO: TRALICCIO

In entrambi i casi il problema si può impostare nella forma seguente:

γ’, e dunque λ1, dipendono in generale da considerazioni teoriche corroborate e calibrate da prove sperimentali.

T/2T/2

T/2 T/2

L0

Lt s1 s2

correnteinMomentoJE

LTs

icalastrellinMomentoJELLT

st

t

:48

:24

0

30

2

20

1

⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅

=

0

200

2412'

JEL

JELL

TAG t

t

⋅⋅+

⋅⋅⋅

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

γχγ

( )( )

Eeq

Eeq

Ecrit

Pe

P

PE

⋅⋅=+=

⋅+=

⋅+⋅

=

'

'1

'1

221

21

22

22

2

2

γλλλλλ

γλλ

γλπσ

INSTABILITAINSTABILITA’’ LATERALELATERALEL’instabilità laterale interessa tipicamente le travi inflesse con anima molto sottile. In

alcuni casi, un leggero sbandamento laterale o una torsione, possono portare alla instabilità.

Esaminiamo il caso di una trave rettangolare soggetta a momenti costanti applicati sulle estremità.

Si osserva che la configurazione variata determina dei momenti aggiuntivi che dovranno rispettare le seguenti relazioni:

ϕϕ xzyyy MME J ⋅−== 0' ϕϕ yzxt MG J ⋅= 0'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=⋅=

JEMMMGy

xzzyzxtJ

ϕϕϕ 000 '''

0''20 =⋅+ ϕϕ x

y

zxt JE

MG J

0'' 2 =⋅+ ϕϕ λ xx

( )( )JEJGM

yt

z2

2 0=λ

Derivando la seconda relazione e sostituendo si ottiene:

La soluzione è:xBsenxAx λλϕ += cos

Se imponiamo e (rotazioni impedite sugli appoggi), troviamo:

0)0( ==xxϕ 0)( == lxxϕ

( )( )( )

lJEJG

Myt

zo critico ⋅= π

( )( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅⋅=

−

MJGP

lJEJG

Moz

tytzo critico 2

5,0

1π

0=⋅ xsenB λ0=A eOltre alla soluzione banale (B = 0) , si trova

πλ Kl = ( )( ) πKlJEJG

Myt

oz =⋅ossia

Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:

Nel caso in cui esista anche una forza assiale di compressione P, si dimostra che:

INSTABILITAINSTABILITA’’ E COLLASSO IN REGIME E COLLASSO IN REGIME ELASTOELASTO--PLASTICO DELLE TRAVIPLASTICO DELLE TRAVI

Imponendo le condizioni v(0) = 0 e v’(0) = 0 si trova: l

x

v P

ef

h

b

( )

( ) ( )JE

PovefexsenCxCv

vfePdx

vdJE

⋅=+++=

−+=⋅

ααα 21

2

2

cos

( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) )cos

cos1cos1

acurval

lef

xefv

⋅⋅−

=

−+=

αα

α

La completa plasticizzazione di una sezione rettangolare si ha quando è soddisfatta la seguente equazione:

20

2

00 42

2''2

bMPbMMMyybMM

PPPP ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅⋅⋅−=σ

σσ

20

20

1

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅=

⋅⋅=

PP

P

P

PP

MM

hbP

hbM

σ

σ

Poiché( )

2

6bh

efPAP +

+=σ

allora:

( ) )0142

bcurvah

efPP

P

=−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

-

-σ0

σ0

-σ0

h

bσ0

-σ0

-

+

-

+

PM

MP

y'

1,5P/PP

0,82

A

BC

b)a)

c)

f/e

e/h=0,1La curva a) esprime la relazione tra il

carico P e lo spostamento in testa f.La curva b) esprime la condizione di

plasticizzazione completa nella sezione di base.

La curva c) esprime il collasso a carico di punta in regime elasto-plastico.