材料力学講義基礎から応用まで（1）nakatani/Lectures/Strength...レオナルド・ダ・ヴィンチは微積分の確立されていない時代に材料力学の正しい知識に到達していた

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材料力学講義基礎から応用まで（１）

中⾕彰宏http://www.md.ams.eng.osaka-u.ac.jp/

Copyright(C)2017,AkihiroNakatani,MicrodynamicsLaboratory,OsakaUniversity

教科書「渋⾕陽⼆，中⾕彰宏，材料⼒学，(2017)，コロナ社」1,2,3,4,10,11章（前半の授業）を学習し終えて、5,6,7,8,9,12,13章（後半の授業）をこれから学ぶ諸君のための補助資料

5章曲げ応⼒6章はりのたわみ

2017年6⽉16⽇（⾦）

材料力学を愛するページ

かけがえのない材料⼒学

材料⼒学中⾕

かけがえのない材料⼒学

．．．などで、ぐぐる

数式処理について

ü ⼤阪⼤学ではMathematicaのサイトライセンスありü フリーでは、SageMath（MAXIMAなどの統合環境、

pythonで動作、パッケージ化されている）ü iOSアプリなど：Mathpixなど（⾃⼰責任で）ü ラズパイにはMathematicaが標準装備（未確認）


切断法の極意(methodofsection)

またつまらぬものを斬ってしまった斬鉄！

つまらないものを切るとだいじなものが⾒える！


面積・図心・断面二次モーメント


面積・図心・断面二次モーメントに関する重要な性質


面積・図心・断面二次モーメントの例


面積


図心


断面二次モーメント


様々な断面


⻑⽅形と円は基本的な図形覚えておこう!!

曲げモーメントによる曲率半径と曲げ応力分布


曲げ応力分布に関する具体例


面積・図心


図心断面二次モーメント


応用：曲げ応力分布


一様強さのはり：最適設計（むだのない設計）


組合せはり


座標軸の回転


レオナルド・ダ・ヴィンチの素描にはさまざまな変形の様子がスケッチされている

ばねの曲げについて（マドリッド⼿稿I 84r）

様々な⻑さの鉄線の強さの試験（アトランティコ⼿稿82v-b）

始めも中途も終わりも、五官のいずれをも通過しない科学は空虚で誤謬に満ちている〔ウルビノ稿本33〕


レオナルド・ダ・ヴィンチは微積分の確立されていない時代に材料力学の正しい知識に到達していた

いま太さが同じで、⻑さが次々に倍化される３本の棒をもったとする。ここでそれぞれの棒の真ん中に、３本の⼸の引きが等しくなる重さを持つ錘をかけてみたい（マドリッド⼿稿137r）

⻑さの⽐が1:2:4の3本の単純⽀持はりの中央に64、8、1の錘を吊るすと、同じ⼤きさの最⼤たわみ（図の錘には鏡⽂字でと書かれている）


教科書 p.115式（6.32）の関係

⽂献：北川浩（2010）

たわみの方程式（簡単すぎる微分方程式）

たわみ⾓

たわみ

曲率

たわみの⽅程式

たわみの基礎式


たわみの方程式の解法（静定問題）

要素技術（レベル1の技術）ü直接積分法（たわみの⽅程式を出発点）ü直接積分法（たわみの基礎式を出発点）üモーメント⾯積法üエネルギー法ü・・・

有⽤なテクニック（レベル２の技術）ü重ね合せの原理を⽤いる⽅法ü特異関数を⽤いる⽅法ü・・・


たわみの境界条件（支持条件）：○が既知：一般には0（ゼロ）に規定

模式図⽀持等の呼び名

⾃由端未知未知 ○ ○

固定⽀持 ○ ○ 未知未知

回転⽀持 ○ 未知 ○ 未知

移動⽀持 ○ 未知 ○ 未知

ヒンジ未知：左右で連続

未知：⼀般に不連続 ○：⼀般に0 未知：左右で

連続

はり途中の移動⽀持（または回転⽀持）

○ 未知：左右で連続

未知：左右で連続

未知：⼀般に不連続


場合分けによるオーソドックスな解法（p.111例題6.2のまとめ）


特異関数と超関数


特異関数（その微積分のルール）


特異関数：場合分けしないで一行にまとめることができる


〔例（p.111例題6.2）〕 Socool!

モーメントが作用するはり*


さらなる微分は？

？（１）

（２）

（３）

形式的にはδ‘と書ける

M(x) V(x) q(x)

2c

2c

M0

M0

M0

M0/ 2c

M0/ c

M0/ c2

−M0/ c2

モーメント面積法(Moment-Area Method)


C.E.Greene (1842–1903)MIT，ハーバード⼤出⾝ミシガン⼤学教授

⼿順1. M/EI線図を描く2. 適⽤区間（AB）を決める3. ⾯積と図⼼ ,を求める

点Aの接線と点Bの接線のなす⾓（点Aの接線を反時計まわりに回転させて点Bの接線に⼀致させるための⾓度）

点A，点Bの接線たわみ（点Aが，点Bの接線からどれだけ上⽅にあるか）（点Bが，点Aの接線からどれだけ上⽅にあるか）

モールの共役はり理論の発展形

ほんとうは楽しいモーメント面積法♪


ü 特定の点のたわみ⾓やたわみ。M/EI線図を計算しやすいように分割ü 接線たわみなので、適⽤に⼯夫が必要（実は楽しい！）ü 固定端や最⼤たわみ点（接線が⽔平になる）を利⽤ü たわみ⾓が、相対的なたわみ量÷相対距離という裏技も

〔例（p.111例題6.2）〕

断面が変化するはり（p.124, 例題6.7）


曲げモーメント分布は単純だが…

部分領域に分けて⾯積と図⼼を考える

部分領域ごとの寄与を考えればよい（全体領域の図⼼を陽に求める必要はない）

対称性などから既知の最大たわみ点を利用（p.125, 例題6.8）


5/8チップス(S&B,1979-2003)

中央点Cのたわみ⾓は0であることに着眼

⽀点のたわみ⾓，中央点の最⼤たわみ

放物線について：⾯積2/3，図⼼位置5/8覚えておこう！

最大たわみの位置と値を知る（p.126, 例題6.9）


AB間

DB間

最⼤たわみの発⽣位置と最⼤たわみ

b＝３a

裏わざ！

互いに独⽴な別の考え⽅から得られた値を等置平⾏線の錯⾓

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材料力学講義 基礎から応用まで（1）nakatani/Lectures/Strength...レオナルド・ダ・ヴィンチは微積分の確立されていない時代に 材料力学の正しい知識に到達していた

材料力学講義基礎から応用まで（1）nakatani/Lectures/Strength...レオナルド・ダ・ヴィンチは微積分の確立されていない時代に材料力学の正しい知識に到達していた