Ec Diferenciales Henry

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Ecuaciones diferenciales:una introduccin moderna

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Ecuaciones diferenciales:una introduccin moderna

HENRY RICARDO

Barcelona Bogot Buenos Aires Caracas Mxico

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Ttulo de la obra original: A Modern Introduction to Differential Equation

Edicin original en lengua inglesa: Houghton Mifflin, Boston, Massachusetts, United States of America. Modern Introduction to Differential Equations, 1st edition, Copyright 2003 by Houghton Mifflin Company. All rights reserved.

Versin espaola traducida por: M Arnzazu Pargada Getino Licenciada en Filologa Inglesa

Revisada por: Manuel Pargada Gil Dr. Ingeniero Industrial Licenciado en Ciencias Matemticas Profesor Agregado de la Universidad de Navarra

Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o proce-dimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, queda rigurosamente prohibida, salvo excepcin prevista en la ley. Asimismo queda prohibida la distribucin de ejemplares mediante alquiler o prstamo pblicos, la comunicacin pblica y la transformacin de cualquier parte de esta publicacin (incluido el diseo de la cubierta) sin la previa autorizacin de los titulares de la propiedad intelectual y de la Editorial. La infraccin de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Cdigo Penal). El Centro Espaol de Derechos Reprogrficos (CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos.

Edicin en espaol:

Editorial Revert, S. A., 2008 ISBN: 978-84-291-5162-6

Impreso en Espaa - Printed in Spain

Depsito Legal: B-857-2008

Impreso por Alvagraf, S. L. La Llagosta (Barcelona)

RICARDO, Henry. [A Modern Introduction to Differential Equation. Espaol]

Ecuaciones diferenciales : una introduccin moderna / Henry Ricardo ; [versin espaola traducida por M Arnzazu Pargada Getino ; revisada por Dr. Manuel Pargada Gil]. Barcelona : Revert, 2008 XVII, 445 p. : grf. ; 24 cm. Traduccin de: A Modern Introduction to Differential Equation. ndice DL-B 857-2008. - ISBN 978-84-291-5162-6 1. Ecuaciones diferenciales. I. Pargada Getino, M Arnzazu, trad. II. Pargada Gil, Manuel, rev. III. Ttulo. 517.9

Para Catherine, mi sine qua non,y para Cathy, Christine, Henry y Marta,

y Toms Agustn.

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PREFACIO

Filosofa

Durante ms de una dcada ha habido un movimiento tangible para reformar el modo enque se ensean ciertos temas de matemticas. ste tuvo su inicio con el clculo y se ha am-pliado con el objeto de incluir cursos antes y despus, en la tpica secuencia matemtica.La enseanza de las ecuaciones diferenciales ordinarias ha experimentado una gran evolu-cin, tanto en trminos pedaggicos como de contenido. Lo que una vez se pudo conside-rar como una coleccin de mtodos especiales1 ha sufrido un desarrollo gradual con lafinalidad de proporcionar al alumno experiencias ms valiosas: experiencias que un autory matemtico prominente ha denominado conceptualizacin, exploracin y resolucin deproblemas de dificultad superior.2 ste es el espritu que ha marcado la elaboracin de estelibro.

El manual presenta una introduccin slida y, no obstante, muy accesible a las ecuacio-nes diferenciales, ya que los conceptos se desarrollan desde una perspectiva de los sistemasdinmicos y se recurre a las herramientas tecnolgicas para abordar los temas desde un puntode vista grfico, numrico y analtico. Est ideado con la intencin de resultar adecuado parauna amplia variedad de estudiantes y de servir como sucesor natural de cualquier secuenciamoderna de clculo.

En particular, en el libro se admite que la mayora de las ecuaciones diferenciales no sepueden resolver en forma cerrada, y se realiza un amplio uso de los mtodos cualitativos y nu-mricos para analizar las soluciones. A fin de adecuar este cambio de enfoque, se ha omitidoo se le ha restado importancia a una parte del material tradicional. El manual incluye discu-siones acerca de diversos modelos matemticos significativos, aunque no se ha pretendido en-sear el arte del modelado.3 De igual modo, el texto slo introduce la mnima cantidad de l-gebra lineal necesaria para un anlisis de sistemas.

Este libro pretende ser el manual de estudio para un curso semestral de ecuaciones di-ferenciales ordinarias, tpicamente ofertado para estudiantes de segundo y penltimo ao,pero con algunas diferencias. El estudio del clculo durante dos semestres es un requisitoprevio para el curso. No es necesario poseer ningn conocimiento previo de clculo multi-variable ni de lgebra lineal, ya que en el mismo libro se abordan conceptos esenciales deestos temas. Este manual est principalmente dirigido a estudiantes especializados en ma-temticas, en ciencias de la naturaleza y en ingeniera. No obstante, con la preparacin ne-cesaria, tambin resultar muy til para estudiantes de Econmicas, Empresariales y Cien-cias Sociales.

vii

1. S. L. ROSS. Ordinary Differential Equations, 3a ed., 25. Wiley, Nueva York, 1984.2. W. E. BOYCE, New Directions in Elementary Differential Equations, en College Mathematics Journal, 364(noviembre 1994).3 . Vase D. A. Snchez, Review of Ordinary Differential Equations Texts, en American MathematicalMonthly 105, segundo prrafo de la pg. 382 (1998).

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Uso de herramientas tecnolgicas

Este libro da por supuesto que el lector tiene acceso a un sistema de lgebra computacio-nal (SAC), o quiz a algn tipo de software especializado que le permitir construir lasgrficas requeridas curvas solucin, diagramas de fases, etc. y las aproximaciones num-ricas. Por ejemplo, para implementar el mtodo de Euler de la aproximacin de solucio-nes, se puede utilizar de un modo efectivo un programa de hojas de clculo. Aunque youtilizo Maple en mi propio curso, no se adopta ninguna plataforma de software o hard-ware para este manual. En gran medida, incluso una calculadora grfica ser suficiente.

Caractersticas pedaggicas y estilo de escritura

Este libro est ciertamente ideado para ser ledo por los estudiantes. El estilo es accesible, sinun excesivo formalismo matemtico o material extrao, aunque proporciona una slida baseen la que los profesores con la ayuda de la Gua del profesor adjunta se pueden preparar asu gusto a nivel individual y conforme a las necesidades de los alumnos. Todos los captulosdisponen de una Introduccin informal que establece el tono y que presenta el material quese va a tratar en cada captulo. He intentado de varias maneras motivar la introduccin denuevos conceptos, incluyendo referencias a cursos de matemticas anteriores y ms elemen-tales, en los que el alumno haya tomado parte. Cada captulo concluye con un Resumen na-rrativo que recuerda al lector los conceptos importantes de tal captulo. Dentro de las seccio-nes hay figuras y tablas que facilitarn a los alumnos la visualizacin o el resumen de losconceptos. Se dan muchos ejemplos y ejercicios resueltos tomados de la biologa, la qumica yla economa, as como de las matemticas puras tradicionales, de la fsica y la ingeniera. En elmismo manual van guiando al alumno a travs de anlisis cualitativos y numricos de proble-mas, que habran resultado difciles de abordar antes de la omnipresencia de las calculadorasgraficadoras y de los ordenadores. Los ejercicios que aparecen al final de cada seccin de con-tenidos abarcan desde lo rutinario hasta lo desafiante, y los ltimos problemas requieren, amenudo, algn tipo de exploracin o justificacin terica (prueba). Algunos ejercicios pre-sentan a los alumnos conceptos suplementarios frecuentemente tradicionales. He facilitadolas respuestas a los problemas de numeracin impar al final del libro, con soluciones ms de-talladas a estos problemas en el adicional Manual de soluciones del alumno. Todos los captu-los tienen por lo menos un proyecto despus del Resumen.

He redactado el libro en el modo en el que imparto el curso, empleando un estilo colo-quial e interactivo. Al alumno se le insta con frecuencia a realizar determinadas acciones confrases del tipo reflexione acerca de esto, compruebe aquello o cercirese de que lo haentendido. En general, no hay demostraciones de teoremas, salvo para aquellas formulacio-nes matemticas que se puedan justificar mediante una secuencia bastante obvia de manipu-laciones algebraicas o clculos. De hecho, no hay una designacin formal de los resultadoscomo teoremas, aunque los resultados clave se escriben en cursiva o son compartimentadosen el libro. Adems, a lo largo del manual se han ido insertando breves aclaraciones histri-cas relacionadas con un concepto concreto, sin dificultar el flujo informativo. ste no es untratado matemtico, sino una moderna, informativa y amistosa introduccin a las herramien-tas requeridas por los alumnos en muchas disciplinas. He disfrutado impartiendo el curso, y

viii Prefacio

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creo que mis alumnos han sacado provecho de la experiencia. Sinceramente, espero que elusuario de este libro tambin se pueda hacer una idea de la teora y las aplicaciones de lasecuaciones diferenciales modernas.

Principales caractersticas del contenido

Los captulos 1-3 introducen conceptos bsicos y se centran en los aspectos analticos, numri-cos y grficos de las ecuaciones de primer orden. En captulos posteriores, estos aspectos elprincipio de superposicin inclusive se generalizan de manera natural a las ecuaciones de or-den superior y a los sistemas de ecuaciones. El captulo 1 contiene una seccin informalacerca del papel de las herramientas tecnolgicas en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

El captulo 4 comienza con mtodos para la resolucin de las importantes ecuaciones li-neales homogneas y no homogneas de segundo orden con coeficientes constantes. As mismoanaliza las aplicaciones a los circuitos elctricos y a los problemas de masa-resorte. El puntoprincipal del captulo es la demostracin de que cualquier ecuacin diferencial de orden supe-rior es equivalente a un sistema de ecuaciones de primer orden. Se introduce al alumno en elanlisis cualitativo de los sistemas (diagramas de fases), la existencia y unicidad de las solucio-nes de los sistemas y la extensin de los mtodos numricos para ecuaciones de primer ordena los sistemas de ecuaciones de primer orden. Entre los ejemplos abordados en este captulo,hay dos formas para un sistema depredador-presa uno lineal, otro no lineal, una ilustracinde una carrera armamentstica y varios sistemas de masa-resorte incluido uno que muestra elfenmeno de la resonancia.

El captulo 5 comienza con una breve introduccin a los conceptos del lgebra matricialnecesarios para la presentacin sistemtica de los sistemas bidimensionales de ecuacioneslineales autnomas que se estudian a continuacin. (Este tratamiento se suplementa medianteel Apndice B). Se enfatiza la importancia de la linealidad y se vuelve a comentar el principiode superposicin. La estabilidad de tales sistemas est completamente caracterizada por me-dio de los valores propios de la matriz de coeficientes. Los sistemas de masa-resorte se anali-zan en trminos de sus valores propios. Asimismo, hay una breve introduccin a las compleji-dades de los sistemas no homogneos. Finalmente, mediante ejemplos de 3 3 3 y 4 3 4, se lemuestra al alumno cmo las ideas previamente desarrolladas se pueden extender a las ecua-ciones de ensimo orden y a sus sistemas equivalentes.

El captulo 6 aborda la transformada de Laplace y sus aplicaciones a la solucin de lasecuaciones diferenciales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales. ste es probablementeel tema ms tradicional del libro, que se incluye debido a su utilidad en muchas reas aplica-das. En particular, permite a los alumnos tratar ms fcilmente las ecuaciones lineales no ho-mogneas y los sistemas, as como manejar las fuerzas impulsoras discontinuas. La transfor-mada de Laplace se aplica a los problemas de circuitos elctricos, a la deflexin de las vigasun problema de valores en la frontera y a los sistemas de masa-resorte. Sin embargo, si-guiendo el estilo del resto del libro, la seccin 6.6 muestra la aplicabilidad de la transformadade Laplace a un anlisis cualitativo de las ecuaciones diferenciales lineales.

El captulo 7 trata con los sistemas de ecuaciones no lineales de un modo sistemtico. Seanaliza la estabilidad de los sistemas no lineales. Se desarrolla la importante nocin de aproxi-

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macin lineal a una ecuacin o sistema no lineal, incluyendo el uso de un resultado cualitativoque debemos a Poincar y Liapunov. Se abordan detalladamente algunos ejemplos importan-tes de sistemas no lineales, incluyendo las ecuaciones de Lotka-Volterra, el pndulo no amor-tiguado y el oscilador de Van der Pol. Asimismo, se discuten acerca de los ciclos lmite.

Los Apndices AC presentan un importante material que es prerrequisito, o correqui-sito, del clculo de una variable y multivariable, el lgebra vectorial o matricial y los nme-ros complejos, respectivamente. El Apndice D es un suplemento del manual que introducelas soluciones en serie de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Suplementos

Gua del profesor con soluciones. Incluye soluciones a todos los ejercicios del manual,comentarios captulo por captulo, sugerencias de Maple y tambin referencias a otrosoftware, ejemplos y problemas adicionales y una extensa bibliografa. Esta gua estdisponible de modo gratuito para los profesores que adquieran el libro.

Manual de soluciones del alumno. Facilita las soluciones completas a todos los ejerci-cios del libro con numeracin impar.

SMARTHINKING Live On-Line Tutoring (Tutora online en directo) HoughtonMifflin se ha asociado con SMARTHINKING para proporcionar un servicio de tuto-ra online eficaz y de fcil manejo. Una funcin de calculadora grfica y whiteboard (pi-zarra electrnica compartida) permite a los alumnos y tutores online colaborar fcil-mente. SMARTHINKING ofrece tres niveles de servicios:

Text-specific Tutoring (Tutora basada en texto): proporciona una enseanza indi-vidual en tiempo real, con un tutor online especialmente cualificado.

Questions Any Time (Preguntas en cualquier momento): permite a los alumnos re-alizar preguntas al profesor fuera de horario y recibir una respuesta en 24 horas.

Independent Study Resources (Recursos para el estudio independiente) conecta alos alumnos, con acceso de 24 horas, a servicios educativos adicionales; entre otros,los sitios web interactivos, los test de diagnstico y Preguntas realizadas frecuen-temente (FAQ) planteadas a los tutores online de SMARTHINKING.

Un sitio web basado en texto Contiene enlaces a sitios web de ecuaciones diferencialesordinarias, as como algunos laboratorios Maple y otros materiales tiles. Visitehttp://math.college.hmco.com y siga los vnculos a este libro de texto.

Agradecimientos

El enfoque y contenido de este libro ha recibido principalmente la influencia de tres fuentes:(1) el proyecto sobre ecuaciones diferenciales de la Universidad de Boston; (2) el Consorciopara experimentos con ecuaciones diferenciales ordinarias (CODEE), y (3) el nmero espe-cial sobre ecuaciones diferenciales College Mathematics Journal, vol. 25, no. 5, (noviembre de1994). Tambin me ha animado la valiosa crtica de textos recientes sobre ecuaciones diferen-ciales ordinarias4 llevada a cabo por David Snchez, y me ha inspirado el reciente volumen de

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4. Snchez, loc. cit.

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MAA Notes, Revolutions in Differential Equations: Exploring ODEs with Modern Techno-logy, que tuve el honor de revisar antes de su publicacin.

Me he dado cuenta de que, verdaderamente, cuesta lo suyo escribir un manual de mate-mticas. He disfrutado de la cooperacin y la franqueza de los asistentes a varias clases delMedgar Evers College, que aprendieron de este libro mientras an se estaba escribiendo.Destaco a Tamara Battle, Hibourahima Camara, Lenston Elliott y Ayanna Moses como re-presentantes de estos pacientes estudiantes. Agradezco sinceramente los tiles comentariosde mi colega Tatyana Flesher sobre una versin anterior de este libro. Agradezco a mi coor-dinador, Darius Movasseghi, sus nimos y su ayuda en reas tan esenciales como la progra-macin del curso y la garanta de la disponibilidad de herramientas tecnolgicas. Expreso asi-mismo mi agradecimiento a mi colega Mahendra Kawatra por sus continuas muestras dealiento y constante apoyo.

En lo que respecta a Houghton Mifflin, quisiera mostrar mi agradecimiento a Jack Shira,que fue el primero en manifestar la confianza depositada en la filosofa y el estilo de este li-bro, y que ha continuado respaldando el proyecto de muchas maneras. Aprecio las aportacio-nes de Paul Murphy mientras fue mi redactor jefe. Transmito mi gratitud a Marika Hoe y Ce-cilia Molinari, por su profesionalidad, paciencia y sentido del humor mostrados al orientarmeen las etapas de redaccin, edicin y produccin del libro. Agradezco tambin los exitosos es-fuerzos de Beverly Fusfield de Techsetters, Inc. y del director artstico George McLean portransformar mis muchas y a menudo complicadas figuras en profesionales obras artsticas.William Hoston realiz un excelente trabajo como corrector de estilo. Saqu un gran prove-cho de los comentarios y sugerencias de mis correctores: Bill Goldbloom Bloch (WheatonCollege), Beth Bradley (University of Louisville), Robert Bradshaw (Ohlone College), Mar-tin Brown (Jefferson Community College), Dean Burbank (Gulf Coast Community College),Thomas W. Cairns (University of Tulsa), Benito Chen-Charpentier (University of Wyoming),Mark Farris (Midwestern State University), John H. Jaroma (Gettysburg College), MatthiasKawski (Arizona State University), Kevin Kreider (University of Akron), P. Gavin LaRose(Nebraska Wesleyan University), Michael A. McDonald (Occidental College), Douglas B.Meade (University of South Carolina), Roger Pinkham (Stevens Institute), Lila F. Roberts(Georgia Southern University), Bhagat Singh (University of Wisconsin-Manitowoc), Ann Si-tomer (Portland Community College), Allan Struthers (Michigan Technological University),Ted J. Suffridge (University of Kentucky), Hossein T. Tehrani (University of Nevada), LuisValdez-Sanchez (University of Texas en El Paso) y David Voss (Western Illinois University).Doy la bienvenida a cualquier pregunta, comentario adicional y sugerencia para una mejora.Se puede contactar conmigo por e-mail en [email protected].

Sobre todo, agradezco a mi esposa Catherine el amor, constante estmulo, apoyo y pa-ciencia que ha desplegado durante la redaccin de este libro, y en todos los dems momentos.Le expreso asimismo mi gratitud por su activa ayuda en la correccin y la crtica del manus-crito a lo largo de todas sus etapas.

Henry Ricardo

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NDICE

1 Introduccin a las ecuaciones diferenciales 11.0 Introduccin 11.1 Terminologa bsica 2

Ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales 2Ecuaciones diferenciales ordinarias 2El orden de una ecuacin diferencial ordinaria 3Forma general de una ecuacin diferencial ordinaria 3Ecuaciones en derivadas parciales 4Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales 4

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 51.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales 7

Nociones bsicas 7Soluciones implcitas 8

Familias de soluciones I 9Problemas de valor inicial (PVI) 10Una forma integral de una solucin de un PVI 11

Familias de Soluciones II 12Problemas de contorno o de valores en la frontera 13Soluciones generales 16

Soluciones de sistemas de EDO 161.3 La tecnologa y las ecuaciones diferenciales 241.4 Resumen 26PROYECTO 1-1 27

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 292.0 Introduccin 292.1 Ecuaciones separables 302.2 Ecuaciones lineales 41

El principio de superposicin 42El factor integrante 43

Anlisis razonado 44Problemas de compartimento 47

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2.3 Campos de direcciones 56Ecuaciones autnomas y no autnomas 60

2.4 Lneas de fases y diagramas de fases 67La ecuacin logstica 67

2.5 Puntos de equilibrio: sumideros, fuentes y nodos 72Un test para puntos de equilibrio 73Test de la derivada 73

2.6 Bifurcaciones 78Conceptos bsicos 78Aplicacin a las ecuaciones diferenciales 79

2.7 Existencia y unicidad de las soluciones 85Un teorema de existencia y unicidad 87

2.8 Resumen 92PROYECTO 2-1 94PROYECTO 2-2 94

3 La aproximacin numrica de las soluciones 973.0 Introduccin 973.1 El mtodo de Euler 98

Ecuaciones diferenciales rgidas 1073.2 Algunas cosas ms sobre los errores 1123.3 El mtodo de Euler mejorado 1153.4 Mtodos numricos ms sofisticados:

Runge-Kutta y otros 1193.5 Resumen 123PROYECTO 3-1 124

4 Ecuaciones de segundo orden y de orden superior 1264.0 Introduccin 1264.1 Ecuaciones lineales homogneas de segundo orden

con coeficientes constantes 126La ecuacin caracterstica y los valores propios 127

Valores propios reales y distintos 128Valores propios reales e iguales 129Valores propios complejos conjugados 130Resumen 131

4.2 Ecuaciones lineales no homogneas, de segundo orden, con coeficientes constantes 134

La estructura de las soluciones 134La variacin de parmetros 137

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4.3 Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes 1424.4 Ecuaciones de orden superior y sus sistemas equivalentes 146

Tcnica de conversin I: conversin de una ecuacin de orden superior en un sistema 147Tcnica de conversin II: conversin de un sistema en una ecuacin de orden superior 151Una mirada hacia delante 152

4.5 Anlisis cualitativo de los sistemas autnomos 154Los diagramas de fases para los sistemas de ecuaciones 154

Otras representaciones grficas 158Un modelo depredador-presa: las ecuaciones de Lotka-Volterra 162

Otras representaciones grficas 164Problemas de masa-resorte 166

Movimiento armnico simple 166Movimiento libre amortiguado 170Diferentes tipos de amortiguacin 173Movimiento forzado 173Resonancia 177

Sistemas tridimensionales 1794.6 Existencia y unicidad 182

Un teorema de existencia y unicidad 183Muchas soluciones 184Ninguna solucin 184Exactamente una solucin 184

4.7 Soluciones numricas 186El mtodo de Euler aplicado a sistemas 186El mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden para sistemas 188

4.8 Resumen 194

PROYECTO 4-1 197

5 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1995.0 Introduccin 1995.1 Sistemas y matrices 200

Matrices y vectores 200La representacin matricial de un sistema lineal 201Algo de lgebra matricial 202

5.2 Sistemas bidimensionales de ecuaciones lineales de primer orden 205

Valores propios y vectores propios 205Interpretacin geomtrica de los vectores propios 207El problema general 208

El comportamiento geomtrico de las soluciones 211

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5.3 Estabilidad de los sistemas lineales: valores propios reales distintos 217

Valores propios reales distintos 218La imposibilidad de vectores propios dependientes 219Valores propios positivos distintos 219Valores propios negativos distintos 222Valores propios distintos con signos opuestos 223Valores propios distintos, un valor propio igual a cero 225

5.4 Estabilidad de los sistemas lineales: valores propios reales iguales 229

Valores propios iguales y no nulos, dos vectores propios independientes 229Valores propios iguales y no nulos, un nico vector propio independiente 231Ambos valores propios nulos 234

5.5 Estabilidad de los sistemas lineales: valores propios complejos 235

Valores propios complejos y vectores propios complejos 2355.6 Sistemas no homogneos 243

La solucin general 243El mtodo de los coeficientes indeterminados 244

5.7 Generalizaciones: el caso n 3 n (n # 3) 252La representacin matricial 252

Valores propios y vectores propios 252Independencia lineal y dependencia lineal 254Sistemas no homogneos 259Generalizacin a los sistemas de n 3 n 259

5.8 Resumen 267

PROYECTO 5-1 269PROYECTO 5-2 270

6 La transformada de Laplace 2716.0 Introduccin 2716.1 La transformada de Laplace

de algunas funciones importantes 2726.2 La transformada inversa y la convolucin 277

La transformada inversa de Laplace 277La convolucin 281

Ecuaciones integrales y ecuaciones integro-diferenciales 283La transformada de Laplace y las herramientas tecnolgicas 285

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6.3 Transformadas de funciones discontinuas 287La funcin (escaln unidad) de Heaviside 287

6.4 Transformadas de funciones impulso:la funcin Delta de Dirac 294

6.5 Transformadas y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 298

6.6 Anlisis cualitativo mediante la transformada de Laplace 303Ecuaciones homogneas 303

Estabilidad 304Ecuaciones no homogneas 306

Funciones de transferencia y funciones de respuesta al impulso 3076.7 Resumen 309

PROYECTO 6-1 311

7 Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales 3137.0 Introduccin 3137.1 Equilibrios de los sistemas no lineales 3137.2 Aproximacin lineal en los puntos de equilibrio 318

Sistemas cuasilineales 320El teorema de Poincar-Liapunov 324

7.3 Dos importantes ejemplos de ecuaciones y sistemas no lineales 332

Ecuaciones de Lotka-Volterra 332El pndulo no amortiguado 334

7.4 La ecuacin de Van der Pol y los ciclos lmite 342La ecuacin de Van der Pol 342Ciclos lmite 344

7.5 Resumen 351

PROYECTO 7-1 353

Apndice A Algunos conceptos y resultados de clculo 354Apndice B Vectores y matrices 364Apndice C Nmeros complejos 376Apndice D Soluciones en serie de ecuaciones diferenciales 380Respuestas y sugerencias para ejercicios con numeracin impar 393ndice alfabtico 437

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1.0 INTRODUCCINQu tienen en comn las siguientes situaciones?

Una carrera armamentista entre naciones. El seguimiento de la rapidez con la que llegan a manifestar el sida los pacientes con

VIH positivo. La dinmica de la oferta y la demanda en un sistema econmico. La interaccin entre dos o ms especies de animales en una isla.

La respuesta es que cada una de estas reas de investigacin se puede modelar conecuaciones diferenciales. Esto significa que las caractersticas esenciales de esos proble-mas se pueden representar mediante el uso de una o varias ecuaciones diferenciales, y lassoluciones de los problemas matemticos permiten intuir el futuro comportamiento de lossistemas estudiados.

Este libro trata del cambio, el flujo, el movimiento y, en particular, de la rapidez a laque las variaciones tienen lugar. Cada ser viviente experimenta cambios. Las mareas fluc-tan a lo largo del da. Los pases aumentan y disminuyen sus reservas de armas. El preciodel aceite sube y baja. El marco de trabajo de este curso en particular es la dinmica, el es-tudio de los sistemas que evolucionan con el paso del tiempo.

El origen de la dinmica (inicialmente un rea de la fsica) y de las ecuaciones diferen-ciales se remonta a los primeros trabajos del cientfico y matemtico ingls Isaac Newton(1642-1727) y del filsofo y matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716),basados en el desarrollo de la nueva ciencia del clculo en el siglo XVII. A Newton en con-creto le preocupaba la determinacin de las leyes que gobiernan el movimiento, ya sea elde una manzana cayndose de un rbol, o el de los planetas movindose dentro de sus r-bitas. Le interesaba la rapidez de cambio. Sin embargo, no se debe pensar que las ecuacio-nes diferenciales slo abordan temas relacionados con la fsica. El mismo tipo de ecuacio-nes y de anlisis de los sistemas dinmicos se puede utilizar para ilustrar y comprendersituaciones en biologa, economa, qumica o estrategias militares, por ejemplo. A lo largode este libro se encontrarn aplicaciones de este tipo.

1

Introduccin a lasecuaciones diferenciales

1

01-160 C01 pp6_ES 9/11/07 15:15 Pgina 1

En la siguiente seccin haremos una introduccin al lenguaje de las ecuaciones dife-renciales y hablaremos de algunas de sus aplicaciones.

1.1 TERMINOLOGA BSICAECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Ecuaciones diferenciales ordinarias

En general, una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) es una ecuacin que implica la exis-tencia de una funcin desconocida o incgnita de una nica variable (la variable indepen-diente) y una o ms de sus derivadas.

EJEMPLO 1.1.1 Una ecuacin diferencial ordinariaHe aqu una tpica EDO elemental en la que se indican algunos de sus componentes:

funcin desconocida, yT

variable independiente, tc

Esta ecuacin describe una funcin desconocida de t que es igual a tres veces su propia de-rivada. Dicho de otro modo: esta ecuacin diferencial describe una funcin cuya razn decambio es proporcional a su propio tamao (valor) en cualquier tiempo dado, siendo 1/3la constante de proporcionalidad.

En muchas aplicaciones dinmicas, la variable independiente es el tiempo, designadopor t, y se pueden representar las funciones derivadas mediante la notacin de puntos1 deNewton, como en la ecuacin Tendra que resultar fcil el reco-nocer una ecuacin diferencial sin que importen las letras usadas para las variables depen-diente e independiente, ni la notacin empleada para las derivadas. El contexto determi-nar el significado de las diversas letras. Es la forma de la ecuacin la que se deberareconocer. Por ejemplo, debera hacrsenos fcil poder ver que las dos ecuaciones diferen-ciales ordinarias:

(A)

son la misma; es decir, que ambas describen un mismo comportamiento matemtico o f-sico. En la ecuacin (A), la funcin desconocida u depende de t, mientras que, en la ecua-cin (B), la funcin y es una funcin de la variable independiente x. Sin embargo, ambasecuaciones describen la misma relacin e implican la funcin desconocida, sus derivadas yla variable independiente. Cada una de estas dos ecuaciones describe una funcin cuya se-gunda derivada es igual a tres veces su primera derivada, menos siete veces ella misma.

d2udt2

2 3 dudt

1 7u 5 0 y sBd d2y

dx25 3

dy

dx2 7y

x 1 3tx 1 2x 5 sensvtd.

3 dy

dt5 y

2 1 / Introduccin a las ecuaciones diferenciales

1. En esta notacin, .x#

5 dx>dt y x$ 5 d2x>dt2

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Es til la notacin de Leibniz para una derivada, , porque la variable independiente

(la cantidad fundamental, cuyo cambio es causante de otros cambios) aparece en el deno-minador, y la variable dependiente est en el numerador. Las tres ecuaciones

no dejan duda acerca de la relacin entre las variables independiente y dependiente. Sinembargo, en una ecuacin como , debemos inferir que la funcindesconocida w es realmente w(t), una funcin de la variable independiente t.

El orden de una ecuacin diferencial ordinaria

Un modo de clasificar ecuaciones diferenciales ordinarias es segn su orden. Diremos queuna ecuacin diferencial ordinaria es de orden n, o que es una ecuacin de n-simo orden,si la derivada de mayor orden de la funcin desconocida en la ecuacin es la derivada en-sima. Las ecuaciones

son ecuaciones diferenciales de primer orden porque la derivada de mayor orden en cadauna de ellas es la derivada primera. Las ecuaciones

y

son ecuaciones de segundo orden y es de orden 5.

Forma general de una ecuacin diferencial ordinaria

Si y es la funcin desconocida de una sola variable independiente x, una ecuacin diferen-cial ordinaria de orden n se puede expresar matemticamente de un modo conciso me-diante la relacin

o a menudo como

.

donde representa la derivada de y de orden k.El siguiente ejemplo muestra la apariencia que adopta esta forma en la prctica.

yskdysnd 5 Gsx, y, yr, ys, yt, c , ysn21dd

Fsx, y, yr, ys, yt, c , ysn21d, ysndd 5 0

e2xys5d 1 ssen xdyt 5 5ex

x$

1 3t x#

1 2x 5 sensvtd

xs std 2 5xr std 1 6xstd 5 0

dxdt

53t2 1 4t 1 2

2sx 2 1d

swrd2 1 2t3wr 2 4t2w 5 0

dy

dx1 2xy 5 e2x2

swrd2 1 2t3wr 2 4t2w 5 0

dxdt

53t2 1 4t 1 2

2sx 2 1d

xs std 2 5xr std 1 6xstd 5 0

dy

dx1 2xy 5 e2x2

dsddsd

1.1 Terminologa bsica 3

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EJEMPLO 1.1.2 Forma general para una EDO de segundo ordenSi y es una funcin desconocida de x, la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden

se puede escribir en la forma

o como

Observemos que F designa una expresin matemtica que comprende la variable indepen-diente x, la funcin desconocida y, y la primera y segunda derivadas de y.

Alternativamente, podramos recurrir al lgebra ordinaria para despejar la derivadade mayor orden en la ecuacin diferencial original. Entonces la ecuacin se escribira en laforma

Ecuaciones en derivadas parciales

Si tratamos con funciones de varias variables y las derivadas que aparecen son derivadasparciales, entonces tenemos una ecuacin en derivadas parciales (EDP). (Consulte elapndice A.7 si no est familiarizado con las derivadas parciales.) Por ejemplo, la ecua-

cin en derivadas parciales , que recibe el nombre de ecuacin de onda,

es de vital importancia en muchas reas de la fsica y la ingeniera. En esta ecuacin supo-nemos que u 5 u (x, t), una funcin de dos variables, x y t. Sin embargo, cuando en este li-bro usamos el trmino ecuacin diferencial nos estamos refiriendo a una ecuacin diferen-cial ordinaria. A menudo escribiremos nicamente ecuacin, si por el contexto resultaevidente que se trata de una ecuacin diferencial ordinaria.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales

Otra forma importante de clasificar las ecuaciones diferenciales es en trminos de si son li-neales o no lineales. Si y es una funcin de x, entonces la forma general de una ecuacindiferencial lineal ordinaria de orden n es

(1.1.1)

donde y f(x) son funciones de x. Lo importante aqu esque cada funcin coeficiente ai(x) depende nicamente de la variable independiente x, yno contiene ni la variable dependiente y, ni cualquiera de sus derivadas. En particular, laecuacin (1.1.1) no contiene productos o cocientes de y o de sus derivadas.

ansxd, an21sxd, c, a1sxd, a0sxd

ansxdysnd 1 an21sxdysn21d 1 c 1 a2sxdys 1 a1sxdyr 1 a0sxdy 5 fsxd

'2u'x2

21c2

'2u't2

5 0

Gsx, y, yrd

ys 5 12 sen x 112y 2

12exyr

Fsx, y, yr, ys d

2ys 1 exyr 2 y 2 sen x 5 0

2 d2y

dx21 ex

dy

dx2 y 2 sen x 5 0

2 d2ydx2

1 ex dydx

5 y 1 sen x


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EJEMPLO 1.1.3 Una ecuacin lineal de segundo ordenLa ecuacin , donde v es una constante, es lineal. Podemos con-templar la forma de esta ecuacin as:

Los coeficientes de las diversas derivadas de la funcin incgnita x son nicamente funcio-nes (eventualmente constantes) de la variable independiente t.

El siguiente ejemplo muestra que no todas las ecuaciones de primer orden son lineales.

EJEMPLO 1.1.4 Una ecuacin no lineal de primer orden (un modelo para la infeccin por VIH)

La ecuacin modela el crecimiento y la muerte de las c-

lulas T, un importante componente del sistema inmunolgico.2 En dicha ecuacin, T(t) re-presenta el nmero de clulas T existentes en el momento t. Si reescribimos la ecuacin

sin los parntesis, obtenemos . De este modo, vemos que

hay un trmino que contiene el cuadrado de la funcin incgnita. Por consiguiente, no esuna ecuacin lineal.

En general, existen ms mtodos sistemticos de anlisis de las ecuaciones lineales quede las ecuaciones no lineales, algunos de los cuales los estudiaremos en los captulos 2, 5y 6. Sin embargo, las ecuaciones no lineales son importantes y aparecern a lo largo del li-bro. En concreto, el captulo 7 est dedicado a su anlisis.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En cursos anteriores de matemticas habr observado que a veces es necesario tratar consistemas de ecuaciones algebraicas, como por ejemplo:

3x 2 4y 5 2225x 1 2y 5 7

Del mismo modo, al trabajar con ecuaciones diferenciales, podemos encontrarnos frente asistemas de ecuaciones diferenciales, como

dy

dt5 x 2 3y

dxdt

5 23x 1 y

dTdt

5 s 1 rT 2 a rTmax

bT2 2 mT

dTdt

5 s 1 rT a1 2 TTmax

b 2 mT

1 ? xs 1 3t ? xr 1 2 ? x 5 sensvtd

fstda0stda1stda2std

xs 1 3txr 1 2x 5 sensvtd

1.1 Terminologa bsica 5

2. E. K YEARGERS, R. W. SHONKWILER y J. V. HEROD. An Introduction to the Mathematics of Biology: WithComputer Algebra Models, 341. Birkhuser, Boston, 1996.

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o

donde b, r y s son constantes. (Recordemos que .) El ltimo sis-

tema surgi en un famoso estudio sobre condiciones meteorolgicas.Advertimos que cada uno de estos dos sistemas de ecuaciones diferenciales consta de

un nmero diferente de ecuaciones y que cada ecuacin del primer sistema es lineal, mien-tras que las dos ltimas ecuaciones del segundo sistema son no lineales, porque contienenproductos xz en la segunda ecuacin y xy en la tercera de algunas de las funciones des-conocidas. Lgicamente denominaremos sistema lineal a un sistema en el que todas lasecuaciones son lineales, y sistema no lineal a un sistema que contenga al menos una ecua-cin no lineal. En los captulos 4, 5, 6 y 7 veremos cmo se originan los sistemas de ecua-ciones diferenciales y aprenderemos a analizarlos. Por ahora, tratemos simplemente decomprender la idea de un sistema de ecuaciones diferenciales.

EJERCICIOS 1.1En los ejercicios 1-10, (a) identifique la variable dependiente y la variable independiente decada ecuacin; (b) indique el orden de cada ecuacin diferencial, y (c) determine si la ecua-cin es lineal o no lineal. Si responde en (c) que es no lineal, explique por qu.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.11. Para qu valor o valores de la constante a es lineal la siguiente ecuacin diferencial?

12. Clasifique cada uno de los siguientes sistemas como lineal o no lineal:

a. b.

c. d.

z#

5 3x 2 t3y 1 zz#

5 3x 2 y 1 zy#

5 22tx 1 y 2 zy#

5 22x 1 y 2 yzx#

5 2x 2 ty 1 t2zx#

5 x 2 xy 1 z

Rr 5 3Q 1 5Rdxdt

5 23x 1 y

Qr 5 tQ 2 3t2Rdy

dt5 x 2 4xy

d2xdt2

1 sa2 2 adxdxdt

5 tesa21dx

t2Rt 2 4tRs 1 Rr 1 3R 5 eteyr 1 3xy 5 0xs7d 1 t2xs5d 5 xetys4d 1 xyt 1 ex 5 0

d2rdt2

5 3drdt

1 sen txyrsxyr 1 yd 5 2y2

syrd2 1 x 5 3yxs 1 5x 5 e2xxyr 5 2yyr 5 y 2 x2

x#

5dxdt

, y#

5dy

dt y z

#5

dzdt

z#

5 xy 2 bz y#

5 2xz 1 rx 2 yx#

5 2sx 1 sy


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1.2 SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

NOCIONES BSICAS

En cursos anteriores de matemticas, siempre que nos encontrbamos con una ecuacinprobablemente se nos invitaba a resolverla o a obtener una solucin. La solucin de unaecuacin diferencial es simplemente una funcin que satisface a la ecuacin: al sustituiresta funcin en la ecuacin diferencial, se obtiene una afirmacin matemtica cierta, unaidentidad. Antes de comenzar a estudiar mtodos resolutivos formales en el captulo 2, po-demos intuir o conjeturar las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales sencillas. Elsiguiente ejemplo muestra cmo intuirlas de un modo lgico.

EJEMPLO 1.2.1 Conjetura y comprobacin de una solucin a una EDO.

La ecuacin diferencial lineal de primer orden , donde k representa una cons-

tante positiva determinada, es un simple ejemplo de un saldo bancario B(t) al cabo de taos tras la inversin inicial a un inters compuesto. La razn de cambio de B en cualquierinstante es proporcional al valor de B en ese momento, siendo k la constante de propor-cionalidad. Esta ecuacin expresa que cuanto mayor sea el saldo en cualquier momento t,ms rpidamente aumentar su valor.

Si suponemos conocidas las funciones elementales y sus derivadas, podremos intuirqu tipo de funcin describe B(t). Qu tipo de funcin tiene una derivada que es un ml-tiplo de s misma por una constante? Deberamos concluir que B(t) debe ser una funcinexponencial de la forma aekt, donde a es una constante. Si se sustituye B(t) 5 aekt en laecuacin diferencial original, comprobaremos si la conjetura es correcta. El lado izquierdo

de la ecuacin se convierte en , que es igual a kaekt, y el lado derecho es k(aekt). El

lado izquierdo es igual que el lado derecho y nos proporciona una identidad.Anticipando una idea que estudiaremos despus dentro de esta seccin, podemos ha-

cer que t 5 0 en nuestra funcin solucin, para concluir que B(0) 5 aek(0) 5 a; es decir, quela constante a debe ser igual a la inversin inicial. Finalmente, podemos expresar la solu-cin en la forma B(t) 5 B(0) ekt.

Expuesto de un modo ms formal, una solucin de la ecuacin diferencial:

en un intervalo (a, b) es una funcin real y 5 y (x), tal que existen todas las derivadas ne-cesarias de y (x) en ese intervalo e y (x) satisface la ecuacin para cada valor de x en el in-tervalo. Resolver una ecuacin diferencial significa encontrar todas las soluciones posiblesde la misma.

Advierta que decimos una solucin en vez de la solucin. Una ecuacin diferen-cial, si es que tiene alguna solucin, normalmente tiene ms de una. Adems, deberamosestar atentos al intervalo en el que podra definirse la solucin. Ms tarde en esta seccin y

ysn21d, ysndd 5 0, o bien ysnd 5 Gsx, y, yr, ys, yt, c, ysn21ddFsx, y, yr, ys, yt, c,

dsaektddt

dBdt

5 kB

1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales 7

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en la seccin 2.7, analizaremos con ms detalle las cuestiones de la existencia y la unicidadde las soluciones. De momento se trata simplemente de aprender a reconocer cundo unafuncin es una solucin de una ecuacin diferencial, como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.2.2 Comprobacin de una solucin de una ecuacin de segundo ordenSupongamos que alguien afirma que es una solucin de la ecuacin li-neal de segundo orden en toda la recta real; es decir, para todos los va-lores de t en el intervalo (2`, `). Podremos comprobar que esta afirmacin es correcta sicalculamos y sustituimos estas expresiones enla ecuacin original:

Como x(t) 5 satisface la ecuacin original, entendemos que x(t) es una solu-cin. Sin embargo, sta no es la nica solucin de la ecuacin diferencial dada. Por ejemplo,

tambin lo es: . (Compruebe esto.) Ms adelante hablaremos ms

detalladamente sobre este tipo de situaciones.

Soluciones implcitas

Volvamos a considerar el concepto de funciones implcitas en el clculo. La idea aqu esque a veces las funciones no estn claramente (explcitamente) definidas mediante unafrmula en la que la variable dependiente (en un lado) est expresada en trminos dela variable independiente y algunas constantes (en el otro lado), como en la solucin

del ejemplo 1.1.2. Por ejemplo, se nos podra plantear la relacin, que puede escribirse en la forma G(x, y) 5 0, donde .

La grfica de esta relacin es un crculo de radio centrado en el origen y no representauna funcin. (Por qu?) Sin embargo, esta relacin define implcitamente dos funciones:y1(x) 5 , ambas con dominio [2 , ]. En cursos de an-lisis ms avanzados se estudia cundo una relacin define realmente una o ms funcionesimplcitas. De momento recordemos nicamente que incluso si no podemos resolver unarelacin con objeto de obtener una frmula explcita para cada funcin, podemos haceruso de la diferenciacin implcita para hallar derivadas de cualquier funcin que pueda es-tar oculta en la relacin.

Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales, con frecuencia no podremos hallar una so-lucin explcita y deberemos conformarnos con una solucin definida de un modo implcito.

EJEMPLO 1.2.3 Comprobacin de una solucin implcitaQueremos demostrar que cualquier funcin y que satisfaga la relacin x2 1 y2 2 5 5

0 es una solucin de la ecuacin diferencial .dy

dx5 2

xy

Gsx, yd 5

"5"5"5 2 x2 e y2sxd 5 2"5 2 x2"5

Gsx, yd 5 x2 1 y2 2 5x2 1 y2 5 5x 5 xstd 5 5e3t 2 7e2t

x2std 5 2pe3t 123

e2t

5e3t 2 7e2t 5 230e3t 1 42e2t 1 30e3t 2 42e2t 5 0 5 45e3t 2 28e2t 2 75e3t 1 70e2t 1 30e3t 2 42e2t 5 s45e3t 2 28e2td 2 5s15e3t 2 14e2td 1 6s5e3t 2 7e2td

xstdxr stdxs std

xs std 2 5xr std 1 6xstd

xr std 5 15e3t 2 14e2t y xs std 5 45e3t 2 28e2t

xs 2 5xr 1 6x 5 0xstd 5 5e3t 2 7e2t


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En primer lugar, derivamos implcitamente la relacin, tratando a y como y(x), unafuncin de la variable independiente x, definida implcitamente:

(1)

Regla de la cadena

(2)

(3)

Si ahora despejamos . As se demues-

tra que cualquier funcin definida implcitamente por la relacin anterior es una solucinde nuestra ecuacin diferencial.

FAMILIAS DE SOLUCIONES I

A continuacin, analizaremos cuntas soluciones puede tener una ecuacin diferencial.Por ejemplo, la ecuacin no tiene una solucin real (reflexione sobre esto),mientras que la ecuacin tiene exactamente una solucin, la funcin .(Por qu?) Como ya vimos en el ejemplo 1.2.2, la ecuacin diferencial tiene al menos dos soluciones.

La situacin an puede ser ms complicada, como muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.2.4 Una familia infinita de solucionesSupongamos que dos estudiantes, Lenston y Jennifer, observan la sencilla ecuacin dife-

rencial de primer orden . Una solucin de esta ecuacin es una

funcin de x cuya primera derivada es igual a . Lenston cree que la solucin es

, mientras que Jennifer piensa que es . Ambas respuestas

parecen correctas.Resolver este problema es sencillamente una cuestin de integracin de los dos miem-

bros de la ecuacin

.

Puesto que estamos utilizando una integral indefinida, existe siempre una constante de in-tegracin que no debemos olvidar. La solucin a nuestro problema es realmente una fami-

lia infinita de soluciones, , donde C representa cualquier cons-ysxd 5x3

32 x2 1 7x 1 C

y 5 3dy 5 3dydx dx 5 3sx2 2 2x 1 7d dx

x3

32 x2 1 7x 2 10

x3

32 x2 1 7x

x2 2 2x 1 7

dy

dx5 fsxd 5 x2 2 2x 1 7

xs 2 5xr 1 6x 5 0y ; 00 yr 0 1 0 y 0 5 0

syrd2 1 1 5 0

dy

dx en la ecuacin s3d, se obtiene

dy

dx5

22x2y

5 2xy

2x 1 2y dy

dx5 0

2x 1 2y dy

dx2

ddx

s5d 5 0

ddx

Gsx, yd 5d

dx sx2 1 y2 2 5d 5

ddx

s0d 5 0


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tante real. Cada valor concreto de C da lugar a otro miembro de la familia. Acabamos deresolver nuestra primera ecuacin diferencial de este curso sin conjeturas! Cada vez queefectubamos una integracin indefinida (hallbamos una antiderivada) en la clase declculo, estbamos resolviendo una sencilla ecuacin diferencial.

Al describir el conjunto de soluciones de una ecuacin diferencial de primer ordencomo la mostrada en el ejemplo anterior, normalmente nos referimos a dicho conjuntocomo una familia uniparamtrica de soluciones. El parmetro es la constante C. Cada va-lor concreto de C nos proporciona lo que se denomina una solucin particular de la ecua-cin diferencial. En el ejemplo anterior, Lenston y Jennifer hallaron soluciones particula-res, una correspondiente a C 5 0 y la otra para C 5 210. Una solucin particular sedenomina a veces una integral de la ecuacin, y su grfica recibe el nombre de curva inte-gral o curva solucin. La figura 1.1 muestra tres de las curvas integrales de la ecuacin

las correspondientes a C 5 15, 0 y 210 (de arriba a abajo).

La curva que pasa por el origen es la solucin particular de Lenston; la curva solucinque pasa por el punto (0, 210) es la de Jennifer.

Problemas de valor inicial (PVI)

Supongamos ahora que deseamos resolver una ecuacin diferencial de primer orden,siendo y la funcin incgnita de la variable independiente t. Especificamos adems queuna de sus curvas integrales ha de pasar por un punto concreto (t0, y0) en el plano. Esta-mos imponiendo la condicin y(t0) 5 y0, denominada condicin inicial. El problema pasaentonces a llamarse un problema de valor inicial (PVI). Advierta que, de este modo, esta-mos tratando de hallar una solucin particular concreta. Encontramos esta solucin si es-cogemos un valor especfico de la constante de integracin (el parmetro).

dy

dx5 x2 2 2x 1 7,


Figura 1.1

Curvas integrales de

con parmetros respectivos 15, 0 y 210

dy

dx5 x2 2 2x 1 7

2 1 1 2

40

20

20

40

x

y

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A continuacin veremos cmo resolver un sencillo problema de valor inicial.

EJEMPLO 1.2.5 Un problema de valor inicial de primer ordenSupongamos que un objeto se mueve a lo largo del eje x de tal modo que su velocidad ins-tantnea en un tiempo t viene dada por v(t) 5 12 2 t2. Primero encontraremos la posicinx del objeto, medida desde el origen, en cualquier instante t > 0.

Como la funcin velocidad es la derivada de la funcin posicin, podemos plantear la

ecuacin diferencial de primer orden para describir nuestro problema.

La simple integracin de los dos miembros de la ecuacin da como resultado

Este ltimo resultado significa que la posicin del objeto en un momento arbitrario t . 0

puede ser descrita por cualquier miembro de la familia uniparamtrica , lo

cual no es una conclusin muy satisfactoria. Pero si disponemos de informacin adicional,podemos encontrar un valor concreto para C y acabar con la incertidumbre.

Supongamos que sabemos, por ejemplo, que la posicin del objeto es x 5 25 cuandot 5 1. Entonces podremos aplicar esta condicin inicial para obtener

Esta ltima ecuacin implica que , de modo que la posicin del objeto en el

tiempo t viene dada por la funcin particular .

La condicin inicial x(1) 5 25 haba sido seleccionada aleatoriamente. Cualquier otraeleccin x(t0) 5 x0 nos habra conducido hasta un valor definido de C y a la obtencin deuna solucin particular de nuestro problema.

Una forma integral de una solucin de un PVI

Si una ecuacin de primer orden se puede escribir en la forma siendo f(x) unafuncin continua (o continua por tramos), entonces podremos expresar siempre la solu-cin del PVI f(x), y(x0) 5 y0 en un intervalo (a, b) en la forma

(1.2.1)

para x en (a, b). Observemos que el valor x0 de la condicin inicial, es utilizado como el l-mite inferior de integracin, y el valor y0 de la condicin inicial, como una particular cons-tante de integracin. Usamos t como una variable ficticia o muda. Dada la ecuacin

ysxd 5 3x

x0

fstddt 1 y0

yr 5

yr 5 fsxd

xstd 5 12t 2t3

32

503

5 12t 2st3 1 50d

3

C 5250

3

25 5 xs1d 5 12s1d 213

31 C o bien 25 5

353

1 C

12t 2t3

31 C

xstd 5 3dx 5 3dxdt dt 5 3s12 2 t2d dt 5 12t 2t3

31 C

dxdt

5 12 2 t2


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(1.2.1), el teorema fundamental del clculo integral (TFC) (apndice A.4) implica que

,y vemos que , tal y como queramos. Este

modo de tratar con ciertos tipos de PVI es habitual en textos de fsica e ingeniera. En elejemplo 1.2.4, la solucin de la ecuacin, con y(21) 5 2 como condicin, es

Debera resolver tambin este problema del modo en que lo hemos hecho en el ejemplo1.2.5; es decir, sin utilizar una frmula integral definida.

FAMILIAS DE SOLUCIONES II

Aunque hemos visto ejemplos de ecuaciones de primer orden sin solucin o de solucinnica, en general deberamos esperar que una ecuacin diferencial de primer orden tu-viera un conjunto infinito de soluciones descritas por un parmetro nico.

Si desarrollamos nuestro anlisis anterior, estableceremos que una ecuacin diferencialde orden n puede tener una familia n-paramtrica de soluciones, lo que implica la existen-cia de n constantes arbitrarias (los parmetros). Por ejemplo, una solu-cin de una ecuacin de segundo orden puede tener dos constantes arbitra-rias. Si establecemos las condiciones iniciales , podemos determinarvalores especficos para estas dos constantes y obtener una solucin particular. Observeque, para ambas condiciones, usamos el mismo valor, t0, de la variable independiente.

El siguiente ejemplo muestra cmo resolver un PVI de segundo orden.

EJEMPLO 1.2.6 Un PVI de segundo ordenEn la seccin 4.1 mostraremos que cualquier solucin de la ecuacin lineal de segundo or-den tiene la forma y(t) 5 A cos t + B sen t, siendo A y B constantes arbitrarias.(Debera comprobar que cualquier funcin con esa forma es una solucin de la ecuacindiferencial). Si una solucin de esta ecuacin representa la posicin de un objeto en movi-miento en relacin con una referencia fija, entonces la derivada de la solucin representala velocidad de la partcula en el instante t. Si, por ejemplo, establecemos las condicionesiniciales y (0) 5 1 e y9(0) 5 0, estamos diciendo que queremos que la posicin de la part-cula al comienzo de nuestro estudio sea 1 unidad en la direccin positiva desde la referen-cia fija, y que queremos que su velocidad sea 0. Dicho de otro modo, nuestra partcula co-mienza estando en reposo a 1 unidad (en una direccin positiva) de la referencia fija.

Podemos usar estas condiciones iniciales para encontrar una solucin particular de laecuacin diferencial original:

ys 1 y 5 0

yst0d 5 y0 e yrst0d 5 y1ys 5 gst, y, yrd

C1, C2, C3, c, Cn

5 ax33

2 x2 1 7xb 2 a2253

b 1 2 5 x33

2 x2 1 7x 1313

5 a t33

2 t2 1 7tb `t5x

2 a t33

2 t2 1 7tb `t5 21

1 2

ysxd 5 3x

21

st2 2 2t 1 7d dt 1 2

ysx0d 5 3x0

x0

fstd dt 1 y0 5 0 1 y0 5 y0yr 5 fsxd


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1. y(0) 5 1 implica que 1 5 y(0) 5 A cos(0) + B sen(0) 5 A.2. y9(0) 5 0 implica que 0 5 y9(0) 5 2A sen(0) + B cos(0) 5 B.

Si combinamos los resultados de (1) y (2), obtenemos la solucin particular y(t) 5 cos t.

En general, si buscamos la solucin particular de la ecuacin de n-simo ordenF(t, y, y9, y0, y90, . . . , y(n21), y(n)) 5 0, de manera que y(t0) 5 y0 , y9(t0) 5 y1, y0(t0) 5 y2 , . . .e yn21(t0) 5 yn21, donde y0 , y1, . . . , yn21 son constantes arbitrarias reales, decimos que esta-mos intentando resolver un problema de valor inicial (PVI). (Ms adelante consideraremoslos PVI para sistemas de ecuaciones diferenciales.) En este momento no podemos estar se-guros de si podremos y cundo podremos resolver un problema como ste pero, en los ca-ptulos 2 y 4, hablaremos de la cuestin de la existencia y la unicidad de las soluciones.

Problemas de contorno o de valores en la frontera

Para ecuaciones diferenciales de segundo o mayor orden, tambin podemos determinaruna solucin particular si especificamos las denominadas condiciones de contorno o fron-tera. La idea aqu es dar las condiciones que deben satisfacer la funcin solucin, o sus de-rivadas, en dos puntos diferentes del dominio de la solucin. Los puntos seleccionados de-penden de la naturaleza del problema que tratamos de resolver y de los datos del problemaque se nos han proporcionado. Por ejemplo, si estamos analizando las tensiones en unaviga de acero de longitud L, cuyos extremos estn empotrados en hormign, nos podra in-teresar hallar y(x), el desplazamiento vertical en un punto situado a x unidades de un ex-tremo, cuando se coloca una carga en algn lugar de la viga (figura 1.2). Observemos que eldominio de y es [0, L]. En este problema es lgico establecer que y(0) 5 0 y que y(L) 5 0,valores razonables en los extremos, o fronteras, del intervalo de la solucin. Grficamente,requerimos que la grfica de y 5 y(x) pase por los puntos (0,0) y (L, 0). (Consulte el pro-blema 25 en la seccin de Ejercicios 1.2. para ver la aplicacin a un problema de este tipo.)

Si tratamos de encontrar una solucin particular de una ecuacin (o sistema) que tienecondiciones de frontera, decimos que estamos intentando resolver un problema de valoresen la frontera (PVF). El siguiente ejemplo muestra que, igual que en el caso de un pro-blema de valor inicial, sin llevar a cabo un anlisis ms exhaustivo, no podemos estar segu-ros de si existen soluciones para un PVF en concreto, o de si cualquier solucin que encon-tremos es nica. En general, los PVF son ms difciles de resolver que los PVI. Aunque eneste libro aparecern PVF de vez en cuando, nos centraremos principalmente en los pro-blemas de valor inicial.

Como muestra el siguiente ejemplo, algunos problemas de frontera o contorno care-cen de solucin, otros tienen una nica solucin y algunos tienen infinitas soluciones.


Figura 1.2Una solucin y(x) que satisface las condiciones de frontera y(0) 5 0 e y(L) 5 0

y(x)

0 x L

Viga

01-160 C01 pp6_ES 9/11/07 15:15 Pgina 13

EJEMPLO 1.2.7 Un PVF puede tener una, varias o ninguna solucinUtilizaremos la ecuacin diferencial de segundo orden del ejemplo 1.2.6, y0 + y 5 0, quetiene la familia biparamtrica de soluciones y (t) 5 c1 cos t + c2 sen t .

A continuacin, veremos qu ocurre si imponemos las condiciones de frontera y(0) 5 1,y(p) 5 1. La primera condicin implica que 1 5 y(0) 5 c1 cos (0) + c2 sen (0) 5 c1 , y la se-gunda nos dice que 1 5 y(p) 5 c1 cos (p) 1 c2 sen (p) 5 2c1. Como no podemos hacer quec1 sea igual a 1 y a 21 al mismo tiempo, esta contradiccin implica que el problema de con-torno no tiene solucin.

Por otra parte, las condiciones de contorno y(0) 5 1, y(2p) 5 1 nos llevan a extraer unaconclusin diferente. Si aplicamos la primera condicin, obtenemos 1 5 y(0) 5 c1 cos (0) 1c2 sen (0) 5 c1 . La aplicacin de la segunda condicin da como resultado 1 5 y(2p) 5c1 cos (2p) 1 c2 sen (2p) 5 c1. El hecho de que no podamos obtener el valor de c2 nos in-dica que cualquier valor es correcto. En otras palabras, el PVF presenta una infinitud desoluciones de la forma y(t) 5 cos t 1 c2 sen t.

Finalmente, si requerimos que y(0) 5 1 y que y(p/4) 5 1, hallamos que 1 5 y(0) 5c1 cos (0) 1 c2 sen (0) 5 c1 y

lo que implica que . Por eso, este PVF tiene la solucin nica y(t) 5 cos t 1 .

Debemos percatarnos de que para una ecuacin general de orden n (o para un sistemade ecuaciones) existen multitud de posibilidades para especificar las condiciones de con-torno, y no siempre en los extremos de los intervalos de la solucin. La idea es disponer deunas cuantas condiciones que nos permitan resolver (determinar) un nmero adecuado deconstantes arbitrarias.

El siguiente ejemplo muestra el modo en que el uso de condiciones de contorno puedefacilitar la solucin de un interesante problema.

EJEMPLO 1.2.8 Un PVF prcticoEn la seccin Automviles de un diario, en el 2005, se informa que un modelo concretopasar de 0 a 100 kilmetros por hora en 6 segundos. Suponiendo que la aceleracin es cons-tante, queremos saber la distancia, medida en metros, que ha recorrido el automvil hastaalcanzar 100 km/h.

Si s(t) indica la posicin del automvil despus de t segundos, entonces debemos cal-cular s(6) 2 s(0), la distancia total recorrida por el automvil en el intervalo de los 6 se-gundos. Sabemos que la aceleracin, una constante C en este problema, puede describirse

como . Tambin sabemos que s(0) 5 s9(0) 5 0, es decir, que nuestra posicin

inicial se considera s 5 0, y tambin que la velocidad inicial es nula en el momento en que

astd 5d2sdt2

s"2 2 1d sen tc2 5 "2 2 1

5"2

21 c2a"22 b

1 5 yap4b 5 c1 cossp>4d 1 c2 senap4 b 5 c1a

"22

b 1 c2a"22 b


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pisamos el acelerador. El ltimo dato que tenemos es que la velocidad s9(6) al cabo de6 segundos es de 100 km/h.

Estamos, por tanto, ante una ecuacin diferencial de segundo orden y unas

condiciones de frontera s(0) 5 s9(0) 5 0, s9(6) 5 100 km/h y debemos obtener la funcindesconocida s(t).

Ahora, las reglas bsicas del clculo integral nos indican que, al hallar la integral inde-finida de cada miembro de la ecuacin diferencial anterior, se obtendr:

, es decir ,

donde C1 es una constante de integracin. La integracin de cada lado de esta ltima ecua-cin nos da como resultado:

Tenemos as una expresin para s(t), pero sta contiene tres constantes arbitrarias.Podemos usar ahora la condicin inicial s(0) 5 0 para escribir

que se reduce a 0 5 C2. Por tanto podemos decir que:

Puesto que s9(0) 5 0, podemos observar que , luego

.

En nuestra frmula todava tenemos una constante C desconocida. Pero sabemos queal acabar los 6 segundos, la velocidad es de 100 km/h. Aqu hemos de tener cuidado con lasunidades utilizadas. No debemos mezclar segundos y horas. Para hacer consistentes todaslas unidades, hemos de convertir los 6 segundos en 6/3600 horas. Entonces podemos afir-mar que 100 5 s9(6/3600) 5 C (6/3600), y tenemos por tanto:

(t en horas, s en kilmetros)

y

Hemos mostrado as que, para pasar de 0 a 100 km/h, el automvil recorrer 83,333 me-tros aproximadamente.

sa 63600

b 5 30 000 a 63600

b2 5 112

kilmetros < 83,333 metros

sstd 5Ct2

25 30 000t2

C 5100s3600d

65 60 000skm>h2d

sstd 5Ct2

2

0 5 srs0d 5 sCt 1 C1d k t50 5 C1

sstd 5Ct2

21 C1t

0 5 ss0d 5C s0d2

21 C1 0 1 C2

sstd 5Ct2

21 C1t 1 C2

dsdt

5 Ct 1 C13d2s

dt2 dt 5 3C dt 5 Ct 1 C1

d2sdt2

5 C


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Soluciones generales

Si cada solucin en un intervalo (a, b) de una ecuacin diferencial de orden n F(x, y9, y0, . . . ,y(n21), yn) 5 0 puede obtenerse desde una familia n-paramtrica, cuando se han escogidovalores apropiados para las n constantes, diremos que la familia es la solucin general de laecuacin diferencial. En este caso, necesitaremos n condiciones iniciales o n condiciones defrontera (o una combinacin de n condiciones) para determinar las constantes arbitrarias.

Algunas veces, sin embargo, no podemos encontrar cada solucin entre los miembrosde una familia n-paramtrica. Por ejemplo, deberamos comprobar que la ecuacin diferen-cial no lineal de primer orden 2 xy9 1 y2 5 1 tiene una familia uniparamtrica de soluciones

dada por . Sin embargo, para cualquier valor de x, la funcin constante

es tambin una solucin, que no puede obtenerse de la familia si se elige un valor parti-cular del parmetro C. Supongamos que se pudiera hallar un valor de C tal que

. Entonces Cx 2 1 5 Cx 1 1, de modo que 21 5 1!

Del mismo modo, y(x) 5 kx2 es una solucin de para cualquierconstante k y para todos los valores de x; pero lo es tambin y(x) 5 x2ln para todo x di-ferente de 0. (Compruebe estas afirmaciones.) Naturalmente, dado que la ecuacin es desegundo orden, deberamos darnos cuenta de que una familia uniparamtrica no puede serla solucin general.

Una solucin de una ecuacin diferencial de orden n que no puede ser obtenidadando valores particulares a los parmetros en una familia n-paramtrica de solucionesrecibe el nombre de solucin singular. En el captulo 2 veremos que algunas de esas solu-ciones singulares se obtienen tras realizar ciertas manipulaciones algebraicas en las ecua-ciones diferenciales.

SOLUCIONES DE SISTEMAS DE EDO

Dado un sistema de dos ecuaciones con funciones incgnita x(t) e y(t), una solucin en unintervalo (a, b) est formada por un par de funciones diferenciables x(t) e y(t), tales queambas satisfacen, en todos los puntos del intervalo, las ecuaciones que conforman el sis-tema. Las condiciones iniciales se dan en la forma x(t0) 5 x0 e y(t0) 5 y0.

EJEMPLO 1.2.9 Un PVI en un sistemaEn el captulo 4 veremos por qu la nica solucin del sistema

que satisface las condiciones x(0) 5 0 e y(0) 5 7 es ,

. (Compruebe que efectivamente se trata de soluciones del PVI.) Por ahora,

aceptemos como cierta la unicidad de la solucin.

72

e22t 172

e24t fystd 5exstd 5 7

2e22t 2

72

e24t

dy

dt5 x 2 3y

dxdt

5 23x 1 y

0 x 0x2ys 2 3xyr 1 4y 5 0

Cx 2 1Cx 1 1

5 1

y ; 1y 5Cx 2 1Cx 1 1


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Podemos imaginar el par solucin como las coordenadas de un punto (x(t), y(t)) en elespacio bidimensional R2. Al variar la variable independiente t, el punto describe unacurva en el plano x-y que recibe el nombre de trayectoria. La direccin positiva sobre di-cha curva es la que resulta cuando t crece.

En Clculo tendramos que haber visto la representacin paramtrica de una curva.Por ejemplo, si hacemos que la variable t vare de forma continua de 0 a 2p, los puntos(x(t), y(t)) 5 (cos t , sen t) recorren la circunferencia unidad (centro 5 (0, 0), radio 5 1) enel plano en sentido contrario al de las agujas de un reloj a medida que t crece. Tambin de-beramos saber usar una calculadora graficadora o un sistema algebraico computacional(SAC) para trazar la grfica de una curva dada en forma paramtrica.

En la figura 1.3a se muestra en el plano x 2 y la curva correspondiente a la solucin delsistema dado anteriormente, junto con las flechas que indican su direccin. Se indica elpunto inicial (x(0), y(0)) 5 (0, 7). Si nos fijamos en las expresiones de la solucin para x(t) ey(t), vemos que , y por tanto la curva tiende hacia el origen a medidaque t crece.

La figura 1.3b muestra la representacin grfica de x 5 x(t), y la figura 1.3c, la de y 5 y(t).

limtS`

xstd 5 0 5 limtS`

ystd


Figura 1.3aRepresentacin grfica de

en el plano x-y, 2 0,1 # t # 4s72e22t 2

72e24t,

72e22t 1

72e24tdsxstd, ystd d 5

2

4

6

8

y

(x(t), y(t))

(0, 7)

Figure 1.3bRepresentacin grfica de , 2 0,1 # t # 4xstd 5 72e22t 2

72e24t

1 2 3

0,80,60,40,2

0,20,40,60,8

t

x(t)

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Un modo dinmico muy importante de contemplar la situacin en el ltimo ejemploes considerar la curva de la figura 1.3 como el camino (o trayectoria) de un objeto o unacantidad cuyo movimiento o cambio se rige por el sistema de ecuaciones diferenciales. Lascondiciones iniciales especifican el comportamiento (el valor, razn de cambio, etc.) en unnico punto sobre el camino del objeto en movimiento o la cantidad cambiante. La grficapropia de la solucin del sistema dado en el ejemplo 1.2.9 es una curva en el espacio, elconjunto de puntos (t, x(t), y(t)). Veremos ms adelante, en el captulo 4, ms interpreta-ciones grficas de soluciones de sistemas. Las condiciones de frontera tambin determinanciertos aspectos sobre la trayectoria del fenmeno que se est estudiando.

De forma anloga, cada solucin del sistema no lineal:

donde b, r y s son constantes, es una terna ordenada (x(t), y(t), z(t)), y las condiciones ini-ciales tienen la forma x(t0) 5 x0, y(t0) 5 y0 y z(t0) 5 z0. Las condiciones de contorno en estasituacin pueden adoptar diversas formas. La trayectoria en este caso es una curva en elespacio, un camino en el espacio tridimensional. La autntica grfica de la solucin es elconjunto de puntos (t, x(t), y(t), z(t)) en el espacio tetradimensional. Estos puntos de vista,especialmente la idea de trayectoria, son muy tiles. Seguiremos usando estos conceptosen los captulos 4, 5 y 7.

EJERCICIOS 1.2 En los ejercicios 1-11, compruebe que la funcin indicada es una solucin de la ecuacin di-ferencial dada. Las letras a, b, c y d representan constantes.

1.

2. ; x 5 2pe3t 1 23e2txs 2 5xr 1 6x 5 0

ys 1 y 5 0; y 5 sen x

z#

5 xy 2 bz y#

5 2xz 1 rx 2 yx#

5 2sx 1 sy


Figura 1.3cRepresentacin grfica de , 2 0,1 # t # 4 ystd 5 72e22t 1 72e24t

1 2 3

2

4

6

8

t

y(t)

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3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. [Piense en el teorema fundamental del clculo integral.]

11. [Piense en el teorema fundamental del clculo integral.]

12. Escriba un prrafo explicando por qu razn una solucin B(t) de la ecuacin dife-

rencial del ejemplo 1.2.1 no puede ser un polinomio, una funcin trigono-

mtrica o una funcin logartmica.13. a. Por qu la ecuacin no tiene soluciones en el campo real?

b. Por qu la ecuacin tiene nicamente una solucin? Cul es esasolucin?

14. Explique por qu la ecuacin no tiene solucin en el campo real.

15. Si c es una constante positiva, muestre que las dos funciones y 5 e

y 5 2 son ambas soluciones de la ecuacin no lineal sobre

el intervalo 2c , x , c. Explique por qu las soluciones no son vlidas fuera del in-tervalo abierto (2c, c).

16. Considere la ecuacin y la solucin del ejercicio 4. Halle la solucin particular que sa-tisface la condicin inicial R(p) 5 0.

17. Considere la ecuacin y la solucin del ejercicio 5. Halle la solucin particular que sa-tisface las condiciones iniciales y(0) 5 1, y9(0) 5 0, y0(0) 5 1 e y09(0) 5 6. (Sugerencia:use las condiciones iniciales una a una, comenzando por la izquierda.)

18. Considere la ecuacin y la solucin del ejercicio 6. Halle la solucin particular que sa-tisface la condicin inicial r(0) 5 0. (Su respuesta debe contener nicamente las cons-tantes a y b.)

y dy

dx1 x 5 0"c2 2 x2

"c2 2 x2dxdt

5 "2 0 x 2 t 0

0 yr 0 1 0 y 0 5 0syrd2 1 1 5 0

dBdt

5 kB

ys 1 2xyr 5 0; y 5 3x

3

e2t2 dt

xyr 2 sen x 5 0; y 5 3x

1

sen tt

dt

2y 5 xyr 1 lnsyrd; y 5x2

21

x2"x2 1 1 1 ln#x 1 "x2 1 1

ys 5 a"1 1 syrd2; y 5 eax 1 e 2ax2a

xyr 2 2 5 0; y 5 lnsx2d

drdt

5 at 1 br; r 5 cebt 2ab

t 2ab2

d4y

dt45 0; y 5 at3 1 bt2 1 ct 1 d

t dRdt

2 R 5 t2 sen t; R 5 tsc 2 cos td

14ady

dxb2 2 x dy

dx1 y 5 0; y 5 x2


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19. Considere la ecuacin y la solucin del ejercicio 8. Obtenga la solucin particular quesatisface las condiciones iniciales y(0) 5 2, y9(0) 5 0.

20. Sea W 5 W(t) su peso en kilogramos, el da t de una dieta. Si usted consume C calo-ras cada da y su cuerpo quema EW caloras por da, donde E representa las caloras

por kilogramo, entonces la ecuacin modela su velocidad de cam-

bio de peso.3 (Esta ecuacin expresa que su velocidad de cambio de peso es propor-cional a la diferencia entre las caloras consumidas y las caloras quemadas, siendo kla constante de proporcionalidad.)

a. Demuestre que es una solucin de la ecuacin, donde

W0 5 W(0) es su peso al comienzo de la dieta.

b. Dada la solucin del apartado (a), qu le sucede a W(t) cuando ?

c. Si W0 5 80 kg, E 5 45 cal/kg, k 5 1/7875 kg/cal y C 5 2500 cal/da, cunto tardaren perder 10 kg? Cunto para 15 kg? Y para 20 kg? Qu sugieren sus respues-tas acerca del proceso de prdida de peso?

21. Una partcula se desplaza a lo largo del eje X de forma que su velocidad en cualquiertiempo t $ 0 est dada por v(t) 5 1/(t2 1 1). Si se supone que la partcula est inicial-mente en el origen, demuestre que nunca podr llegar a sobrepasar a x 5 p/2.

22. Diana sale de su casa a medioda y conduce su automvil hasta la casa de su ta, lle-gando a las 15:20 h. Arranc el automvil que estaba estacionado y fue aumentandosu velocidad uniformemente, de forma que cuando lleg a la casa de su ta conduca auna velocidad de 100 km/h. (La casa se haba vuelto a pintar recientemente y Dianano la reconoci.) Qu distancia hay desde la casa de Diana hasta la de su ta?

23. Un jet necesita alcanzar los 360 kilmetros/hora para despegar. Si el reactor puedeacelerar de 0 a 360 kilmetros/hora en 30 segundos y si suponemos que la aceleracines constante, qu longitud mnima debe tener la pista de aterrizaje?

24. En la seccin Automviles de un peridico se informa que un modelo de coche delao 2000 pasar de 0 a 100 kilmetros por hora en 5,2 segundos.

a. Si se supone que la aceleracin es constante, qu espacio, medido en metros, re-correr el automvil cuando alcance los 100 km/h?

b. Cuando el automvil llega a los 100 km/h, se aplican los frenos. Si se supone que ladeceleracin es constante, cunto tiempo tardar en detenerse el automvil siesto ocurre a los 37,49 metros?

25. Resuelva la ecuacin con las condiciones de contorno y(0) 5 0,

y9(0) 5 0; y(L) 5 0, y9(L) 5 0. (Este problema aparece en el anlisis de las tensiones

EI d4y

dx45 2

WL

t S `

W 5CE

1 aW0 2 CEbe2kEt

dWdt

5 ksC 2 EWd


3. A. C. SEGAL. A Linear Diet Model, en College Mathematics Journal, 18, 44-45. 1987.

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sobre una viga uniforme de longitud L y peso W, con ambos extremos empotrados enhormign. La solucin y describe la forma de la viga cuando se coloca un cierto tipode carga sobre ella. Aqu E e I son constantes, y el producto EI es una constante lla-mada rigidez a la flexin de la viga.) (Sugerencia: integre sucesivamente introduciendouna constante de integracin en cada etapa. Entonces utilice las condiciones de con-torno para evaluar estas constantes de integracin.)

26. Muestre que la ecuacin no lineal de primer orden tieneuna solucin general dada por , pero que cualquier funcin y de-finida implcitamente por la relacin tambin es una solucin que no co-rresponde a ningn valor particular de C en la expresin de la solucin general.

27. a. Compruebe que la funcin es una solucin de la ecuacin

diferencial por cada valor de los parmetros C1 (Z 0) y C2.

b. Muestre que se necesita un nico parmetro esencial para y. En otras palabras, es-criba con nicamente un parmetro C.

28. Para cada funcin, entre las siguientes, obtenga una ecuacin diferencial a la que sa-tisfaga tal funcin.

a. , donde c es una constante.

b. y 5 eax sen bx, donde a y b son constantes.c. y 5 (A 1 Bt)et, donde A y B son constantes.

En los ejercicios 29 y 30, la funcin y est definida implcitamente como una funcin dex por medio de la ecuacin dada, donde C es una constante. En cada caso, use la tcnicade diferenciacin implcita para hallar una ecuacin diferencial que tenga a y como unasolucin.

29. xy 2 ln y 5 C30. y 1 arctg y 5 x 1 arctg x 1 C

31. Halle una solucin de de la forma y(x) 5 c1 sen x 1 c2 cos x, donde

c1 y c2 son constantes.32. Halle un polinomio y(x) de segundo grado que sea una solucin particular de la ecua-

cin diferencial lineal 2y9 2 y 5 3x2 2 13 x 1 7.33. Considere la ecuacin xy0 2 (x 1 n)y9 1 ny 5 0, donde n es un entero no negativo.

a. Muestre que y 5 ex es una solucin

b. Muestre que es una solucin.

34. La ecuacin logstica se usa para describir el crecimiento de

ciertos tipos de poblaciones humanas o animales. Aqu k y M representan constantesque describen caractersticas de la poblacin que est siendo modelada.

dy

dt5 k ystd a1 2 ystd

Mb

y 5 1 1 x 1x2

2!1

x3

3! 1 c1

xn

n!

dy

dx1 y 5 sen x

y 5 c 1xc

y 5 lns 0C1x 0 d 1 C2

yr 51x

y 5 lns 0C1x 0 d 1 C2x2 1 y2 5 1

y 5 Cx 6 "C2 1 1sxyr 2 yd2 2 syrd2 2 1 5 0


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a. Muestre que la funcin satisface la ecuacin logstica con

.

b. Un estudio de datos4 sobre la poblacin de EE. UU. muestra que la solucin dadaen el apartado (a) proporciona un buen ajuste si M 5 387,9802, A 5 54,0812 y k 50,02270347. Con tecnologa adecuada, obtenga la grfica de y(t) utilizando estos va-lores de M, A y k. (Aqu t representa el tiempo en aos desde 1790, el ao del pri-mer censo en EE. UU.)

c. En 1790, la poblacin de EE. UU. era de 3 929 214 habitantes. En 1980, la cifra as-cenda a 226 545 805; en 1990, el nmero de habitantes era 248 709 873. Evaluando lafuncin representada en la grfica del apartado (b), para los valores de t 5 0, 190 y200, compare los valores (en millones) dados por y(t) con las verdaderas poblaciones.

d. Segn el modelo con los parmetros dados en el apartado (b), qu le sucedera ala poblacin de EE. UU. si ?

35. a. Demuestre que las funciones x(t) 5 (A 1 Bt)e3t e y(t) 5 (3A 1 B 1 3Bt)e3t son so-luciones del sistema:

x9 5 yy9 5 2 9x 1 6y

para todos los valores de los parmetros A y B.b. Halle la solucin del sistema del apartado (a) si x(0) 5 1 e y(0) 5 0.

36. Compruebe que las funciones e

son soluciones del problema de valor inicial:

37. Las ecuaciones

se usan para el modelado de infecciones por VIH-1.5 Aqu T* 5 T*(t) representa el n-mero de clulas infectadas; T0 5 T(0), el nmero de clulas potencialmente infectadas

dV1dt

5 2cV1

dT*dt

5 kV1T0 2 dT*

dy

dt5 s1,01dx 2 s0,2dy; xs0d 5 0, ys0d 5 21

2ydxdt

5

110

e2t>10s210 cos t 1 sen tdystd 5xstd 5 e2t>10 sen t

t S `

ys0d 5M

1 1 A

ystd 5M

1 1 Ae2kt


4. E. K YEARGERS, R. W. SHONKWILER y J. V. HEROD. An Introduction to the Mathematics of Biology: With Com-puter Algebra Models, 117. Birkhuser, Boston, 1996.5. A. S. PERELSON, A. U. NEUMANN, M. MARKOVITZ, J. M. LEONARD y D. D. HO. HIV-1 Dynamics in Vivo: Vi-rion Clearance Rate, Infected Cell Life-Span, and Viral Generation Time, en Science 271, 1582-1586. 1996.

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en el instante de inicio de la terapia; V1 5 V1(t), la concentracin de partculas viralesen plasma; k, el ritmo de infeccin; c, la constante de ritmo de eliminacin de partcu-las virales; y d, el ritmo de prdida de clulas productoras de virus.

a. Efecte un anlisis como el del ejemplo 1.2.1 y resuelva la segunda ecuacin paraV1(t), expresando la solucin en trminos de V0 5 V1(0).

b. Con la solucin hallada en el apartado (a), demuestre que la solucin de la ecuacindiferencial para T* se puede escribir como

c. Qu determina la solucin del apartado (a) sobre el nmero de clulas infectadascuando ?

38. Un modelo matemtico de una supuesta compaa est expresado por las ecuaciones:

donde u(t) representa el capital invertido en la compaa en el instante t; w(t), el divi-dendo total pagado a los accionistas a lo largo del periodo [0, t]; y a y k, constantes cona . 0 y 0 # k # 1.

a. Resuelva la primera ecuacin para u(t). (Vea el ejemplo 1.2.1.)

b. Sustituya su respuesta del apartado (a) en la ecuacin diferencial para w e integrepara hallar w(t). (Distinga entre w(t) para 0 , k # 1 y para k 5 0.)

39. Considere la ecuacin lineal (*). Sea yGR la solucin general dela ecuacin reducida (u homognea) x2y0 1 xy9 24y 5 0 ; e yP, una solucin particu-lar de (*). Demuestre que yGR 1 yP es la solucin general de (*). (Para este problema,defina la solucin general de una EDO de segundo orden como una solucin que tienedos constantes arbitrarias. Obviamente, una solucin particular no tiene constantesarbitrarias.)

40. El matemtico francs Pierre Simon Laplace (1749-1827), quien dedic gran parte desu tiempo a aplicar las leyes de la dinmica de Newton al movimiento de los plane-tas, defenda una visin ms bien determinista del universo. Impresionado por el po-der de las matemticas para describir la naturaleza, esencialmente crea que resolverun problema de valor inicial siempre permita comprender estados pasados de un sis-tema y la prediccin de todos los estados futuros del mismo. La fsica moderna, sinembargo, ha demostrado que muchas leyes fsicas son de hecho estocsticas (aleato-rias, dependientes del azar) ms que deterministas. Se ocupa de probabilidades msque de certezas.

Lea sobre la vida y el trabajo de Laplace y explique sus opiniones sobre las mate-mticas y el universo. Algunos informes: Men of Mathematics, de E. T. Bell (Nueva

x2ys 1 xyr 2 4y 5 x3

dwdt

5 as1 2 kdu, ws0d 5 0

dudt

5 kau, us0d 5 A

t S `

T*std 5 T*s0de2dt 1kT0V0d 2 c

se2ct 2 e2dtd


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York, EE. UU.: Simon & Schuster, 1986); The History of Mathematics, de D. M. Bur-ton (Boston, Mass.: McGraw-Hill, 1999); A History of Mathematics, de V. J. Katz (Re-ading, Mass.: Addison Wesley Longman, 1998); Calculus Gems, de G. F. Simmons(Nueva York: McGraw-Hill, 1992).

1.3 LA TECNOLOGA Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALESLos usuarios de este libro estn viviendo una poca maravillosa para la enseanza y elaprendizaje. La disponibilidad y el coste relativamente bajo de las calculadoras, ordenado-res y el software facilitan, ms que nunca y en cualquier lugar, la introduccin de la tecno-loga en la clase y en las mochilas y los hogares de los estudiantes.

Se supone que en este curso tendr la posibilidad de acceso a potentes calculadoras gr-ficas o a sistemas de lgebra computacional (SAC). Incluso los programas con hojas declculo pueden realizar ciertos clculos que resultaran tediosos si se hicieran a mano. (Con-sulte las secciones 3.1, 3.3 y 3.4.) Debera intentar duplicar las figuras y las tablas del textoutilizando su propia tecnologa. Para ello est a su disposicin software matemtico de pro-psito general como Derive, Macsyma, Maple, Mathematica y MATLAB, as comoprogramas especializados de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo Differential Sys-tems, ODE Solver, Phaser, ODE Toolkit y MDEP. Su profesor o profesora puede inclusodisponer de sus propios programas para utilizar en clase. Incluso sin ordenador, puede tra-tar de resolver algunas ecuaciones diferenciales y sistemas de EDO con calculadoras grfi-cas tan potentes a nivel algebraico (y programables) como la HP-48G/X y la TI-92.

Al principio de este curso, deber aprender a aplicar la tecnologa para realizar clcu-los bsicos y para representar grficamente las soluciones de varios tipos de ecuaciones.A medida que avance con el material, tendr que aprender instrucciones y procedimien-tos especficamente relativos a las ecuaciones diferenciales. El uso de la tecnologa le libe-rar de la carga de realizar tediosos clculos y le permitir centrarse en la conveniencia delas entradas o datos y lo razonable de las salidas o resultados. Una calculadora grfica oSAC le permitir pensar los problemas de un modo diferente, debido a sus funcionalida-des analticas, grficas y numricas. Con ayuda de la tecnologa, podr analizar problemasde mayor complejidad que la abordable hace tan slo una o dos generaciones universita-rias. Sin embargo, es importante que los usuarios de calculadoras grficas y ordenadoresse den cuenta de que estas potentes herramientas tecnolgicas pueden llevarles por unmal camino.

Los sofisticados aparatos tecnolgicos pueden errar al facilitar la respuesta a un pro-blema. Por otro lado, las calculadoras y los ordenadores pueden proporcionar resultadosincorrectos, incompletos o engaosos, incluso cuando se haya introducido correctamentetoda la informacin preliminar sobre un problema y cuando las teclas se hayan pulsado enel orden correcto. Por ejemplo, un SAC corriente no facilita ningn resultado si se le soli-cita que resuelva la ecuacin de primer orden y9 5 ln (x2 1 y2). Y, sin embargo, el mismoSAC puede proporcionar soluciones numricas exactas (consulte el captulo 3). El mismoprocedimiento de resolucin de EDO del programa, aplicado a la ecuacin no lineal de

primer orden 2xy9 1 y2 5 1, da como resultado la familia uniparamtrica ,y 5e2Cx 1 1

21 1 e2Cx


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que no es exactamente igual que la solucin proporcionada en la seccin 1.2, pero lasgrficas de estas familias sern idnticas. Adems, el SAC no ofrece la solucin singu-lar . Sobre todo, dado que la integracin indefinida es importante para resolvermuchas ecuaciones diferenciales, resultara molesto que el software computacional pro-porcionase el valor de como ln x en vez de la respuesta que podramos esperar,

. En este caso, el ordenador es correcto porque interpreta el logaritmo en tr-minos de un nmero complejo x. Sin embargo, ya que en este curso estamos interesadosen soluciones reales, debemos integrar 1/x como lo hacemos habitualmente en clculo.(Compruebe el resultado de los ejemplos mostrados en este prrafo usando su propioSAC.)

A una escala ms general, cualquiera puede utilizar los recursos de internet (laWorld Wide Web, WWW) para encontrar informacin. En el caso de ecuaciones diferen-ciales, esta exploracin puede adoptar la forma de bsqueda de herramientas online(como las applet Java) para dibujar grficas o para realizar clculos numricos, de reco-gida de datos reales para un proyecto de modelado o, simplemente, de utilizacin de tu-toriales u hojas de clculo SAC facilitadas por profesionales fuera de su propia institu-cin. En esta actividad, deber tener cuidado al utilizar una calculadora o un SAC. LaWeb es famosa por proporcionar informacin que puede resultar imprecisa. Explore (onavegue por) la red de un modo inteligente, y refuerce su intuicin acerca de la fiabi-lidad de los datos con los que se encuentra. Finalmente, ni el profesor ni los alumnos de-beran obsesionarse con la tecnologa de tal modo que se acabe por eliminar toda inte-raccin humana. Los profesores y los alumnos deberan conversar y escucharse conatencin.

La conclusin de esta breve seccin es que las calculadoras grficas y los ordenadoresson estupendos, pero tambin es necesario el conocimiento de la teora matemtica y delas tcnicas de anlisis. Intente siempre centrarse en la ciencia y en las matemticas subya-centes que hay bajo los nmeros y las grficas. Internet puede ayudarnos a aprender mu-cho sin abandonar nuestra clase, biblioteca o casa, pero hemos de ser cautelosos y no creertodo lo que vemos. Utilicemos la tecnologa sabiamente, recordando que slo los seres hu-manos pueden pensar y emitir juicios... hasta ahora.

EJERCICIOS 1.3

1. Busque reseas de algn software computacional de matemticas generales, cient-fico o especficamente para EDO, especialmente alguno al que tenga acceso desdesu casa o escuela. Intente conseguir en Internet o en revistas de informtica artcu-los sobre ese software. Incluso si no entiende todos los conceptos matemticos delas reseas, podr obtener una idea general de los puntos fuertes y flacos de estosprogramas.

2. Lea las instrucciones necesarias para resolver sencillas EDO con el software al quetenga acceso. Intente aplicar estos conocimientos a la EDO no lineal de primer orden

, cuya familia de soluciones es y(x) 5 , cCe2x 1 25

scos x 1 2 sen xd d21>2yr 1 y 5 y3 sen x

ln 0 x 0 1 C#1>x dx

y ; 1

1.3 La tecnologa y las ecuaciones diferenciales 25

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donde C es una co

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