逢甲大學

自動控制工程學系

畢業專題報告

Maple 應用於簡支樑形變分析

Analysis Of Deformation Of

Simple Beam Using Maple

指導教授：林南州 學 生：張鈞凱 曾永進 劉弘翔

中華民國九十一年六月

2

感 謝

此次專題得已順利完成，首要感謝的是本組的專題指導教授—林南州老師，

不僅出了一個不錯的題目讓我們發揮，更是不時的督促我們、教導我們，當遇到

瓶頸時，給我們當頭棒喝，適時的解惑，並細心的說明專題在製作上要注意的細

節，另外也讓我們習得新的套裝軟體，也算是新的展獲，可說是一舉數得，雖然

在這段時間裡，常常遇到程式的部分出錯，或是要進入新的階段時毫無頭緒，不

過經過老師的講解及提示，方能一步一步繼續向前邁進，最終修得正果，所比本

組全體組員要再次對林南州老師報以十二萬分的感謝。

另外，也要多謝本組組員鼎力相助，犧牲平常玩樂的時光，而熱烈投入專題

的構思及製作，也讓我們了解分工合作的重要性，大家團結一致，再艱難都是

o.k. 的！

最後，要感謝的另一位老師是專題研究的黃榮興老師，由於老師的殷殷期

盼，為了使我們可以順利地在期限內發表，不但用心教授還超關心每一組的進度

及狀況，讓大部分的組別都能如期完成，真是令本組組員超感謝的喔！

3

中 文 摘 要

Maple 是目前非常專業的套裝軟體。專門使用在數學上的計算，把材力裡頭

簡支樑所受力的狀況，全部化為數學式子表示以後，利用 Maple 來計算及繪出相

關的圖形，以作為分析討論用。

由此，可以幫我們很輕鬆的處理數學方面相當複雜的計算，但是這次本組的

實驗是有關於材料力學方面的研究分析，不過的確也是有一定程度的複雜運算，

於是才要藉由 Maple 來寫一套簡單的小程式來幫助我們來處理一些簡單的受力

分析，這裡頭包括了受力負載，簡力分布、彎矩力分布、偏移角度、偏移的距離

等五項性質，我們將一一的用程式經過計算後呈現在整個簡支樑上每一個位置上

此五項性質的分析圖，可以讓我們馬上就很清楚所要得到的東西。

4

Abstract

Maple is a professional software to solve the difficult problems .We take the

problems of simple beam to be the mathematical functions and analyze that by Maple.

We make a simple program to help us analyzing the load, shear force, bending

moment, angle, and deflection.

5

目 錄

感謝 ----------------------------------------------------------------------------------------------- i

中文摘要 ------------------------------------------------------------------------------------- ii

英文摘要 --------------------------------------------------------------------------------------- iii

目錄 ----------------------------------------------------------------------------------------------iv

圖目錄 ----------------------------------------------------------------------------------------vi

表目錄 -------------------------------------------------------------------------------------- viii

第 1 章 緒論------------------------------------------------------------------------------------ 1

1.1 前言------------------------------------------------------------------------------------ 1

1.2 研究動機------------------------------------------------------------------------------ 1

第 2 章 理論探討與說明--------------------------------------------------------------------- 3

2.1 彈性曲線 ----------------------------------------------------------------------------- 3

2.2 積分法計算斜率與位移 -------------------------------------------------------- 7

2.3 Singularity And Macaulay Functions 說明 ------------------------------------- 10

第 3 章 程式實做說明與範例 -------------------------------------------------------------- 12

3.1 程式設計說明 ---------------------------------------------------------------------- 12

3.2 範例實做 ---------------------------------------------------------------------------- 13

第 4 章 實驗結果與討論-------------------------------------------------------------------- 23

第 5 章 結論----------------------------------------------------------------------------------- 24

6

附錄一•結構形狀的幾何性質 ------------------------------------------------------------ 25

附錄二•常用工程材料之平均機械性質(U.S 制) ------------------------------------- 26

附錄三•常用工程材料之平均機械性質(SI 制) ---------------------------------------- 27

參考文獻 --------------------------------------------------------------------------------------- 28

7

圖目錄

圖 2-1 負載作用之彈性曲線------------------------------------------------------------- 3

圖 2-2 正、負彎矩圖---------------------------------------------------------------------- 3

圖 2-3 負載、彎矩、彈性曲線說明一 ----------------------------------------------- 4

圖 2-4 負載、彎矩、彈性曲線說明二 ------------------------------------------------- 4

圖 2-5 負載作用下形變分析------------------------------------------------------------- 5

圖 2-6 負載後彎曲和曲率半徑的關係 ------------------------------------------------- 7

圖 2-7 負載範例圖----------------------------------------------------------------------- 10

圖 3-1 實做範例圖一-------------------------------------------------------------------- 13

圖 3-2 範例一負載圖-------------------------------------------------------------------- 14

圖 3-3 範例一剪力圖-------------------------------------------------------------------- 15

圖 3-4 範例一彎矩圖-------------------------------------------------------------------- 16

圖 3-5 範例一θ圖----------------------------------------------------------------------- 18

圖 3-6 範例一撓曲圖-------------------------------------------------------------------- 19

圖 3-7 實做範例圖二-------------------------------------------------------------------- 20

圖 3-8 範例二負載圖------------------------------------------------------------------- 21

圖 3-9 範例二剪力圖-------------------------------------------------------------------- 21

圖 3-10 範例二彎矩圖 ------------------------------------------------------------------ 21

圖 3-11 範例二θ圖 --------------------------------------------------------------------- 22

8

圖 3-12 範例二撓曲圖 ------------------------------------------------------------------ 22

9

表目錄

表 2-1 Singularity And Macaulay Functions ---------------------------------------------10

10

第 1 章 緒論

1.1 前言

在這日新月異的社會裡，很多的事情都趨向精確及快速的要求。然而人工的

計算只是讓我們初步的來了解基本的做法，而遇到繁雜的題目就毫無頭緒。基於

此，利用電腦來輔助就成了不二法門，真正快速又精準的展現它的運算能力，數

秒間解決大筆大筆的程式資料。樑的受力情形及形變的狀況很值得我們來一一研

究，在我們的生活中，所居住的屋子內含有很多的樑，樑與柱是構成整個建築物

結構的重要部份，也是一切的基礎所在，樑的堅固度及受力的問題關係著它是否

能支撐不斷裂，這些都是要計算的非常精確，絲毫不差。於是把受力的狀況以數

學的模式來建立方程式，用 Maple 寫一個程式代入，讓它來幫我們了解簡支樑受

力的情況和形變的分析。非常的方便，著手於此程式便為本專題最主要的核心議

題，會寫出一個能符合各種情況三種力施在一各簡支樑上的程式。

1.2 研究動機

本次專題研究是在研究如何用 Maple 寫一個通用的程式，來讓電腦幫助我們

更快速精確的計算有關簡支樑受力所產生的形變及受力分布的分析。

首先，我們查閱一些有關機械以及材料力學的書籍，去了解集中力、平均力、

彎矩力三種力的特徵，好讓我們把這些受力化做數學的式子來表示，因此我們對

照(表 2-1)，可以很清楚的了解這三種力的特性，然後我們在 Maple 的指令集裡

11

頭找出相同含意的指令，如此一來我們便可以很便利的把這些複雜的受力化為式

子來表示，以便進行更進階的計算。

會著手此次專題是因為之前修過的材料力學中。多半是利用人工手算一些

有關支樑受力的題目。所球的有剪力、彎矩力、移動量及偏移的角度等，如此繁

雜的計算過程，未免要花上好一段時間，在現代的社會裡，時間就是金錢，有鑑

於此，本組於是尋找很多方法，後來得知 Maple 此套裝軟體可應用再數學及一些

材力的計算上，所以我們打算將簡支樑受力的狀況，化為數學上的方程式，並利

用 Maple 來代替我們作繁雜的運算，一來答案較為精確，二來也節省了不少的時

間。

12

第 2 章 理論探討與說明

2.1 彈性曲線

在計算樑（或軸上）某一點的斜率或位移之前，通常先畫出負載作用下樑

的撓曲形狀會有所幫助，為求可看出任何計算的結果，並可局部檢驗這些結果。

通過樑各個形心截面的縱向軸之撓度圖稱為彈性曲線(Elastic Curve)。對大多數樑

之彈性曲線均可輕易的繪出，然而繪圖中必須知道對各種形態支撐點的斜率或位

移之限制條件。一般而言，支撐一負載的接點，例如插銷受位移所限制。另外那

些承受力矩，如固定牆端，則扭轉或斜率受到限制。兩個典型例子以極誇張的比

例畫出負載作用下樑（或軸）之彈性曲線，示於圖 2-1。

圖 2-1 負載作用之彈性曲線 圖 2-2 正、負彎矩圖

如果一樑的彈性曲線似乎不容易建立，建議首先繪出元件的彎矩圖。正的彎

矩會使樑上凹，如圖 2-2(a)。同理，負的彎矩將使樑下凹，如圖 2-1(b)。因此，

若已知彎矩圖，則將容易畫出彈性曲線。例如，考慮圖 2-3(a)的樑及其相關之彎

矩圖，圖 2-2(b)。由於為滾輪及插銷支撐，故 B 及 D 的位移必定為零。在負彎

13

矩的區間內；圖 2-3(b)的 AC 段，彈性曲線必定向下凹，而正彎矩的區間內；即

CD 段之彈性曲線必定向上凹。因此，點 C 必為一反曲點，即曲線從上凹變成下

凹的地方，因為此點的彎矩為零之故。利用此現象，樑的彈性曲線以極誇張的比

例繪於圖 2-3(c)。必須注意的，位移△A及△E特別危險，點 E 處彈性曲線的斜率

等於零，而樑的撓度可能最大。△E是否大於△A則須看 P1 與 P2的相對大小，即

B 處滾輪的位置而定。

依照上述的原則，注意圖 2-4 之彈性曲線是如何建立的。此懸臂樑在 A 固定，

因此此彈性曲線的斜率與位移均為零。同時，最大位移將出現於 D 點，即斜率

為零之處，或是 C 點。

圖 2-3 負載、彎矩、彈性曲線說明一 圖 2-4 負載、彎矩、彈性曲線說明二

我們要推導樑中某一點的彎矩與彈性曲線的曲率半徑ρ(rho)之關係。導出的

方程式將於本章中，作為求取一樑(或軸)之斜率的各種方法之基礎。

14

此處及下一節中，對於下述的分析需使用到三維座標，如圖 2-5(a)所示，x

軸向右為正，即沿著樑的縱軸方向。假設軸上一積分元素未變形前的寬度為 dx，

而 v 軸由 x 軸向上延伸為正。此量即為量度積分元素所在之截面形心的位移。稍

後我們將用此兩個座標來定義彈性曲線的方程式，且以 x 函數表示。最後，一個

“局部性”座標 y 被用來定義樑元素的位置，其方向性由中性軸向上為正，如圖

2-5(b)所示。回顧前面推導撓曲公式時，也使用跟此相同的 x 即 y 座標。

為了求得彎矩與ρ的關係，我們將此分析限制於最普遍之情況，及原為一直

線的樑受到垂直 x 軸之負載作用而產生彈性變形，並位於樑截面對稱面 x-v 平面

上。由於負載效應，樑之變形是由簡力與彎矩兩者所造成。如果樑的截面愈大於

截面高度，則彎矩產生的變形就愈大，因此我們將直接探討他的影響。

圖 2-5 負載作用下形變分析

當彎矩 M 彎曲了圖 2-5(b)的樑元素後，元素的截面維持平面狀態，則兩側

截面的夾角變為 dΘ。彈性曲線的一小段弧與每一個截面之中性軸相交，又由於

15

此弧沒被拉伸，故仍維持長度 dx。令此弧的區率半徑為ρ，即由曲率中心 O ’到

dx 的距離。除了 dx 以外元素上的任何弧均為正應變，如位於中性軸 y 處的弧 ds

之應變，可由下式求得，即

(2-1)

如果材料為均質且在彈性限制範圍，則ε=σ/ E。同時，由於應用彈性公式

σ= -My / I，合併這些方程式並代入式(2-1)，得

(2-2)

式子中

ρ=彈性曲線上一特定點的曲率半徑(1/ρ為曲率)

M =樑中被求ρ的那一點之彎矩

E =材料的彈性模數

I =樑截面對中性軸的慣性矩

此式中的 EI 稱為撓性剛度(flexural rigidity)，且此值一定是正值。因此ρ的

符號則依彎曲的方向而定，如圖 2-6 所示。當 M 為正，ρ在樑上方，即在正的 v

16

方向；當 M 為負，ρ在樑下方，或者說是在負 v 方向。

圖 2-6 負載後彎曲和曲率半徑的關係

使用撓曲公式ρ= - My / I，我們也可用樑中應力來表曲率，即

(2-3)

式(2-2)即式(2-3)兩者均適用於較小或較大的曲率半徑。然而ρ的值算起來皆

為一個大的數量。例如考慮由W14*53(附錄一)製成的A-36鋼樑，其 y=(+-)7 in. 處

即將產生降服，則從式(2-3)，ρ=(+-)5369 in.。沿著樑之彈性曲線上其餘點的ρ

值，計算出來可能會更大，因為在外緣處σ不可能超過σY。

2.2 積分法計算斜率與位移

一樑的彈性曲線可表示為數學函數 υ = ƒ(x)，為求得此方程式，首先以υ

及 x 來表示曲率(1/ρ)。從大多數的微積分課本中可以找到下列關係式

代入式(2-2)中，得

17

(2-4)

此式為非線性二次微分方程式，其解答稱為彈性解(elastica)，可得彈性曲線

正確的形狀。當然，假設樑的撓曲僅由彎矩所產生。經由更高層次的數學解答，

彈性解解答只在簡單的樑幾何型狀及負載時才得到。

為求幫助解答多數撓曲的問題，我們修正式(2-4)。大多數工程之設計規格為

了公差或美學觀點而限制撓度，其結果大部分樑及軸的彈性撓曲形成一低淺之曲

線。因此，從 dυ/dx 求得得彈性曲線斜率將非常小，而且其平方值與 1 比較則

可忽略。是故前面所定義的曲率可以 d² υ/dx² 來近似。由此化簡，式(2-4)可

改寫成

(2-5)

上式可再重寫成兩種形式，如果將方程式兩邊對 x 微分並代入 V = dM / dx ，

可得

(2-6)

再微分一次，並令 w = dV / dx ，得

(2-7)

18

對於大部分的問題整根樑的撓性剛度皆為常數，如果是這種情況，則上述之

結果可被重整為下列的方程組：

這些方程式的解答需要連續積分以求得彈性曲線的撓度υ，每一次積分都需引入

一個 “ 積分常數 “，對於特別的問題則解出所有的常數以得到唯一解。例如，

如果分布負載以 x 函數表示且使用式(2-8)，則須計算 4 個積分常數。至於使用何

式開始積分，則依問題而定。通常，將彎矩 M 表示為 x 的函數，積分兩次並計

算兩個常數會比較容易。

如果作用在樑上的負載為不連續，及有數個分佈負載及集中負載的情況，那

麼就須寫出數個彎矩函數，每一個均代表不連續之區間的彎矩分佈。此外，為求

方便表示各彎矩函數樑，在區間 AB、BC 及 CD 之彎矩可以 x1，x2及 x3座標來

表示，如圖 2-7(b)或 2-7(c)中之一的方式，或者用任何簡單之形式來得到 M = ƒ(x)

也可以。一但這些函數經由式(2-10)積分且求出積分常數，則得到的函數即為樑

之各區間的斜率或撓度（彈性曲線）。

19

圖 2-7 負載範例圖

2.3 Singularity & Macaulay Functions 說明

表 2-1 Singularity & Macaulay Functions

20

由圖表 2-1 中，可以很清楚的了解到五個特徵方程式的定義，這些表中所列

出的五種特徵方程式，簡單地而且常用來表示在經過不連續處積分情形的構成和

分析。

當樑上受到集中性的力矩或平均力或集中力的負載時，我們則可以利用圖表

上的說明，適當的表示出樑上所受的簡力或是彎矩力的情形，並可列出方程式。

以下將簡單的說明一下圖表中所代表的涵意，由表 2-1 中第一、二項中可得

知，當樑上某處ａ受到集中的力矩和力時，樑上除了ａ之外其他位置方程式的值

皆為零，而在受到集中力矩或力作用的位置上，方程式的值是不可定義的。

其次，由表 2-1 中第三、四、五項得知，當樑上某處ａ受到力函數為單位步

階或斜線函數或拋物線函數這三種時，在小於ａ的位置，其方程式的值皆為零，

在大於ａ的地方，方程式代值便可得到。

藉由這些圖表上積分的特性和特徵，可幫助我們將簡支樑上的受力情形化做

數學形態的方程式，以便我們對它做分析及研究。

21

第 3 章 程式實做說明與範例

3.1 程式設計說明

利用圖表上的五種特徵方程式的說明，我們可以在 Maple 中找到相對應的指

令，進而寫成程式的形態表示，於是經過查詢指令集後，可得知集中力作用可以

用 Dirac 此指令來代替，在樑上某處ａ受集中力作用，則可寫成 Dirac(x-a)，另

外要乘上大小係數，一般定向下作用為負值，向上則為正值。

再來平均力作用在樑上某段範圍ａ〜ｂ裡頭，則可以用 Haviside 此指令來代

替，寫法為(Heaviside(x-a)-Heaviside(x-b))，照樣的要乘上大小的係數，向下為負

值，向上為正。

最後，彎矩力作用在樑上ａ處時，指令也是用 Dirac，不過是經過集中力的

積分動作所得來的，寫法稍有不同，寫做 Dirac(1,x-a)，照樣要乘上大小係數，

取順時鐘為正，逆時鐘為負值。

於是最後，我們把樑上所有受各形式的力化成的程式一一相加起來，此式子

就是此簡支樑目前所受力的總狀態方程式，利用此一方程式，我們就可以展開一

連串本次專題所要探討的問題。

經過查閱資料，可以得到一個固定的公式 EI(V)''''=q，q 所指的就是利用上

述方法所求得的受力總合方程式，E 則為楊氏係數，它和材質有著密切關係，關

係著樑的耐抗度和斷裂與否，I 則為慣性矩，應著樑切面的形狀而有不同的一個

係數，而 V 則為樑經受力後所產生的移動量，也就是偏移的距離，(V)'是經受力

22

後，樑上經偏移後和水平線所產生的偏移角度量，而用 EI(V)''''=q 積分以後得到

一個式子為 EI(V)'''=R，R 值則是代表著所要求的簡力值，再利用 EI(V)''''=q 積分

兩次以後可得一式子為 EI(V)''=M，M 則表示所要求的彎矩力值，(V)'可利用方程

式 q 積分三次後除 E 值和 I 值得到，(V)就是利用 q 積分四次後除 E 值和 I 值得

到。

利用以上的詳細說明，相信可以很輕易的求出本次專題一直著重的簡力、彎

矩力、偏移角、偏移量四個值，並繪出四種所求的圖解，讓我們可以一目了然的

看出它們的走勢及樑上各位置的詳細受力情況，以便我們了解如何的修改讓樑不

致負載超過，進而達到我們預期理想的情況。

3.2 範例實做

3.2.1 例題一

圖 3-1 實做範例圖一

以下為程式部份，另外加上文字說明每段程式所表示的意思：

23

> restart; 範例一 >集中力(向下為負)

> Load1:=-6*Dirac(X-6); := Load1 −6 (Dirac − X 6 )

)

)

>彎矩力(順時鐘為正)

> Load2:=10*Dirac(1,X-9); := Load2 10 ( )Dirac ,1 − X 9

>平均力(向下為負)

> Load3:=-4*(Heaviside(X-2)-Heaviside(X-5)); := Load3 − + 4 ( )Heaviside − X 2 4 (Heaviside − X 5

>總合全部的力

> Load:=Load1+Load2+Load3; Load :=

− + − + 6 ( )Dirac − X 6 10 ( )Dirac ,1 − X 9 4 ( )Heaviside − X 2 4 (Heaviside − X 5

>由樑的形狀所決定的 I值

> Mi:=301*10^(-6);

:= Mi 3011000000

>楊氏係數的設定

> Me:=10^(7); := Me 10000000

>設定 X 為此式子的變數(樑上任一位置)

> f1:=X->Load; := f1 → X Load

--->畫出負載圖

> plot(f1(X),X=1..12); m

KN

圖 3-2 例題一負載圖

24

> 計算簡支樑向上的支撐力

> Fb:=-int(f1(X)*X,X=0..12)/12; := Fb 22

3

> 計算簡支樑向上的支撐力

> Fa:=-int(f1(X),X=0..12)-Fb; := Fa 32

3

> EI(V)’’’=剪力 (由之前EI(V)’’’’=q 積分所得)

> f2:=int(f1(X),X)+Fa; f2 6 ( )Heaviside − X 6 10 ( )Dirac − X 9 4 X ( )Heaviside − X 2− + − :=

8 ( )Heaviside − X 2 4 X ( )Heaviside − X 5 20 ( )Heaviside − X 5323 + + − +

> 繪出樑上剪力分佈圖

> plot(f2(X),X=0..12);

N

> EI(V)’’=

> f3:=intf3 6 He− :=

2 He −

2 He +

> 繪出樑上

> plot(f3

K

m

圖3-3範例一剪力圖

彎矩力 (由EI(V)’’’’=q 積分二次所得)

(int(f1(X),X)+Fa,X); ( )aviside − X 6 X 36 ( )Heaviside − X 6 10 ( )Heaviside − X 9 + +

( )aviside − X 2 X2 8 ( )Heaviside − X 2 8 X ( )Heaviside − X 2 − +

( )aviside − X 5 X2 50 ( )Heaviside − X 5 20 X ( )Heaviside − X 5323 X + − +

每一位置上彎矩大小的圖

(X),X=0..12);

25

KN•m

m

圖3-4範例一彎矩圖

>偏移的距離(υ)’= q 積分三次除以 E 和 I 的乘積，但有C1未知數

> f4:=int(int(int(f1(X),X)+Fa,X),X)+C1;

f4 3 ( )Heaviside − X 6 X2 108 ( )Heaviside − X 6 36 ( )Heaviside − X 6 X− − + :=

10 ( )Heaviside − X 9 X 90 ( )Heaviside − X 9 23 ( )Heaviside − X 2 X3 + − −

163 ( )Heaviside − X 2 8 X ( )Heaviside − X 2 4 ( )Heaviside − X 2 X2 + − +

23 ( )Heaviside − X 5 X3 250

3 ( )Heaviside − X 5 50 X ( )Heaviside − X 5 + − +

10 ( )Heaviside − X 5 X2 163 X2 C1 − + +

> 偏移的距離(υ)= q 積分四次除以 E 和 I 的乘積，有多出C2未知數

> f5:=int(int(int(int(f1(X),X)+Fa,X),X),X)+C1*X+C2;

f5 90 ( )Heaviside − X 9 X 83 ( )Heaviside − X 2 625

6 ( )Heaviside − X 5− − + :=

18 ( )Heaviside − X 6 X2 103 ( )Heaviside − X 5 X3 16

9 X3 + − +

43 ( )Heaviside − X 2 X3 216 ( )Heaviside − X 6 (Heaviside − X 6 X3 + + − )

163 X ( )Heaviside − X 2 250

3 X ( )Heaviside − X 5 405 (Heaviside − X + − +

5 ( )Heaviside − X 9 X2 4 ( )Heaviside − X 2 X2 108 (Heaviside − X 6 + − −

)9

) X

16 ( )Heaviside − X 2 X4 25 ( )Heaviside − X 5 X2 1

6 ( )Heaviside − X 5 − + +

C2 +

X4 + C1 X

26

> 利用偏移距離的式子，樑兩端撓曲量為零的特性來解聯立方程式 (X=0)

> f6:=evalf(subs(X=0,f5));

:= f6 C2

> 利用偏移距離的式子，樑兩端撓曲量為零的特性來解聯立方程式 (X=12)

> f7:=evalf(subs(X=12,f5));

:= f7 + + 1634.500000 12. C1 C2

> 聯立解C1及C2，並把結果存入sol裡

> sol:=solve({f6,f7},{C1,C2});

:= sol { }, = C2 0. = C1 -136.2083333

> 把sol裡存的C1及C2值代回偏移角(θ)的式子裡

> f8:=subs(sol,f4);

f8 3 ( )Heaviside − X 6 X2 108 ( )Heaviside − X 6 36 ( )Heaviside − X 6 X− − + :=

10 ( )Heaviside − X 9 X 90 ( )Heaviside − X 923 ( )Heaviside − X 2 X3 + − −

163 ( )Heaviside − X 2 8 X ( )Heaviside − X 2 4 ( )Heaviside − X 2 X2 + − +

23 ( )Heaviside − X 5 X3 250

3 ( )Heaviside − X 5 50 X ( )Heaviside − X 5 + − +

10 ( )Heaviside − X 5 X2 163 X2 136.2083333 − + −

> 求得 θ 值

> g8:=f8/(Me*Mi);

g8 33010 ( )Heaviside − X 6 X2 54

1505 ( )Heaviside − X 618

1505 ( )Heaviside − X 6 X− − + :=

1301 ( )Heaviside − X 9 X 9

301 ( )Heaviside − X 91

4515 ( )Heaviside − X 2 X3 + − −

84515 ( )Heaviside − X 2 4

1505 X ( )Heaviside − X 2 21505 ( )Heaviside − X 2 X2 + − +

14515 ( )Heaviside − X 5 X3 25

903 ( )Heaviside − X 5 5301 X ( )Heaviside − X 5 + − +

1301 ( )Heaviside − X 5 X2 8

4515 X2 .04525193797 − + −

> 繪出樑上每一位置的θ值

> plot(g8(X),X=0..12);

27

rad

m

圖3-5範例一的θ圖

> 把sol裡存的C1及C2值代回撓曲量(υ)的式子裡

> f9:=subs(sol,f5);

f9 90 ( )Heaviside − X 9 X 83 ( )Heaviside − X 2 625

6 ( )Heaviside − X 5− − + :=

18 ( )Heaviside − X 6 X2 103 ( )Heaviside − X 5 X3 16

9 X3 + − +

43 ( )Heaviside − X 2 X3 216 ( )Heaviside − X 6 (Heaviside − X 6 X3 + + − )

163 X ( )Heaviside − X 2 250

3 X ( )Heaviside − X 5 405 (Heaviside − X + − +

5 ( )Heaviside − X 9 X2 4 ( )Heaviside − X 2 X2 108 (Heaviside − X 6 + − −

)9

) X

16 ( )Heaviside − X 2 X4 25 ( )Heaviside − X 5 X2 1

6 ( )Heaviside − X 5 − + +

136.2083333 X −

X4

> 求得撓曲量(彈性曲線)

> g9:=f9/(Me*Mi);

g9 9301 ( )Heaviside − X 9 X 4

4515 ( )Heaviside − X 2 1253612 ( )Heaviside − X 5− − + :=

91505 ( )Heaviside − X 6 X2 1

903 ( )Heaviside − X 5 X3 813545 X3 + − +

24515 ( )Heaviside − X 2 X3 108

1505 ( )Heaviside − X 6 13010 ( )Heaviside − X 6 + + − X3

84515 X ( )Heaviside − X 2 25

903 X ( )Heaviside − X 5 81602 ( )Heaviside − X 9 + − +

28

1602 ( )Heaviside − X 9 X2 2

1505 ( )Heaviside − X 2 X2 541505 ( )Heaviside − X 6 X + − −

118060 ( )Heaviside − X 2 X4 5

602 ( )Heaviside − X 5 X2 − +

118060 ( )Heaviside − X 5 X4 .04525193797 X + −

> 繪出樑上每一位置的撓曲量(υ)

> plot(g9(X),X=0..12);

m

m 圖3-6範例一撓曲量圖

29

3.2.2 例題二

圖 3-7 實做範例圖二

以下是例題二的程式，只列出和例題一不同的地方及結果產生的圖形： > restart; > Load1:=-50*Dirac(X-2);

:= Load1 −50 ( )Dirac − X 2

> Load2:=-100*Dirac(X-12);

:= Load2 −100 ( )Dirac − X 12

> Load3:=90*Dirac(1,X-4);

:= Load3 90 ( )Dirac ,1 − X 4

> Load4:=70*Dirac(1,X-14);

:= Load4 70 ( )Dirac ,1 − X 14

> Load5:=-60*(Heaviside(X-6)-Heaviside(X-10));

:= Load5 − + 60 ( )Heaviside − X 6 60 (Heaviside − X 10 )

)

> Load6:=-80*(Heaviside(X-16)-Heaviside(X-20));

:= Load6 − + 80 ( )Heaviside − X 16 80 ( )Heaviside − X 20

> Load:=Load1+Load2+Load3+Load4+Load5+Load6; Load 50 ( )Dirac − X 2 100 ( )Dirac − X 12 90 ( )Dirac ,1 − X 4− − + :=

70 ( )Dirac ,1 − X 14 60 ( )Heaviside − X 6 60 (Heaviside − X 10 + − + 80 ( )Heaviside − X 16 80 ( )Heaviside − X 20 − +

> Mi:=302*10^(-6);

:= Mi 151500000

> Me:=10^(7); := Me 10000000

30

m

KN 圖 3-8 範例二負載圖

KN

m

圖 3-9 範例二剪力圖

KN•m

m

圖 3-10 範例二彎矩圖

31

rad

m

圖 3-11 範例二θ圖

m

m

圖 3-12 範例二撓曲量圖

32

第 4 章 實驗結果與討論

了解各項所要求得的數據以及函數的圖形後，便可輕易的得到簡支樑各位置

上的簡力值、彎矩力值、偏移角、撓曲量的大小等，不過經由前述幾個例題的實

做，我們可以很明顯的歸納出一些特徵，也就是彎矩力函數圖和受力分佈的關

係，我們列出三個特點，如下:

特點一•樑上在有分散力作用的區段，對映到彎矩力函數圖形中，在此區段

上，會產生一段斜直線在此段落裡，所以函數圖裡頭有斜直線的位置便是有分散

力作在那段落上。

特點二•樑上在有彎矩力作用的位置，對映到彎矩力函數圖形中，在此位置

會產生一個極明顯的不連續狀況，圖形在此位置回突然垂直跳升或是下墬一個

值，造成一個垂直線的情形，便是有彎矩力作用在此位置，很輕易就可以看出來。

特點三•樑上在有集中力作用的位置，對映到彎矩力函數圖形中，在此位置

會造成一不連續的情形，一個明顯的轉折點，但是不會像彎矩力所產生的垂直線

的不連續點，只是單純的一折點，圖形折往另一方向。

由以上的分析，了解 Maple 不僅幫助我們計算繁複的方程式問題，另外其所

生的函數圖形也是裡頭透露著另一個意思，就是看圖形便能了解大致上此樑所有

的受力分佈情形，以便於我們驗證是否程式有出錯的地方要修正，這點也是實做

做久了所累積出來的經驗，也是另有一門學問。

33

第 5 章 結論

本次的實驗，本組設計的程式，只是停留在基礎部分，就是簡支樑是固定的

型態，兩端是固定住的，而且並無硬性規定，E I 值設定及限制。在未來的展望

是希望能往更進階的程度設計下去，就是不限於簡支樑。包括支點單一、支點在

樑中間範圍以及包括在 T型或 I型的考慮都是往更進一步進階的部分。另外希望

能藉由程式及圖形，更進一步探討出樑受力的極限狀態，以及告知是否負載已超

過，會否導致斷裂情形，有待更積極的去研究與討論。

做完本次的專題，是要讓初學者在研讀本論文時，能清楚了解每一段程式所

代表的意涵及表達的作用再遇到一樣的題型時能藉由參考本程式而得到一些解

題的方針，並了解程式該做如何的修改，才能達到自己所要求、要算的題型。

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參考文獻

[1] Joseph Edward Shigley , Charles R. Mischke, Mechanical Engineering

Design‚McGRAW-Hill International Editions

[2] R.C.Hibbeler 著, Mechanics of Materials,沈勇全,彭世明,曾建榮,簡國雄譯,高立

圖書出版,1994

[3] Heal Hansen Rickard 著, Maple Ⅴ學習手冊,威立大工作室譯,高立圖書出

版,1997

[4] 洪維恩, Maple 在微積分之應用,五南圖書出版,2000

[5] 萬雲龍,林裕凱, 統合性數學輔助計算系統,松崗出版,1994

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