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~排列組合1~ 排列與組合 壹、重點整理 一、計數的基本法則: 加法原理: 如果做一件事情的方法有n類,其中第一類有m1 種方法,第二類有m2 種方法,...,第n類有 mn 種方法,且各類方法不互相重疊,那麼完成此事共有m1 +m2 +...+mn 種方法。 乘法原理: 如果做一件事情須經過n個步驟完成,其中第一步有m1 種方法,第二步有m2 種方法,... ,第 n步有mn 種方法,那麼完成此事共有m1 ×m2 ×...×mn 種方法。 二、排列: (1)直線排列: (a)完全相異物排列: n件不同的事物全取排成一列的排列總數為: n n P = n(n1)(n2)...1=nn件不同的事物中取出m件的排列總數為: n m P = n(n1)(n2)...(nm+1)= n(nm)(b)不完全相異物排列: 設有n件物品,共有k種不同種類,第一類有m1 個,第二類有m2 個,...,第k類有 mk (n=m1 +m2 +...+mk ),將此n件物品排成一列,共有 nm 1 m 2 ...m k 種排法。 例子: (1)15 個團員中挑選 4 個,排成一列共有幾種排法? (2) AABC 四個字母排成一列,有幾種排法? [解法](1) 15 個團員中挑選 4 個,排成一列共有 15 4 P 種排法。 (2) AABC 四個字母排成一列共有 42(2)重複排列: n個不同的物件中,任選出m個,可重複選取,排成一列, 叫做n中取m的重複排列,其排列總數為nm 例子: 326 班有 5 位同學,到合作社買飲料,冰箱中共有 7 種飲料,請問這 5 個同學購買飲料的 情形有幾種? [解法]:每個同學買飲料的方式有 7 種,5 個同學購買飲料有 75 種方法。

排列與組合 - math1.ck.tp.edu.twmath1.ck.tp.edu.tw/林信安/學術研究/複習講義/排列組合(學生版).pdf · (2)重複排列: 由n個不同的物件中,任選出m個,可重複選取,排成一列,

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  • ~排列組合−1~

    排列與組合 壹、重點整理 一、計數的基本法則: 加法原理: 如果做一件事情的方法有n類,其中第一類有mB1 B種方法,第二類有m B2 B種方法,...,第n類有mBn B種方法,且各類方法不互相重疊,那麼完成此事共有mB1 B+mB2 B+...+mBnB種方法。 乘法原理: 如果做一件事情須經過n個步驟完成,其中第一步有mB1 B種方法,第二步有m B2 B種方法,...,第n步有mBn B種方法,那麼完成此事共有mB1 B×mB2 B×...×mBn B種方法。 二、排列: (1)直線排列: (a)完全相異物排列: 由n件不同的事物全取排成一列的排列總數為: nnP = n(n−1)(n−2)...1=n!

    由n件不同的事物中取出m件的排列總數為: nmP = n(n−1)(n−2)...(n−m+1)= n!

    (n−m)!

    (b)不完全相異物排列: 設有n件物品,共有k種不同種類,第一類有mB1 B個,第二類有mB2 B個,...,第k類有

    mBkB個(n=mB1 B+mB2 B+...+mBk B),將此n件物品排成一列,共有 n!

    m1!m2!...mk! 種排法。

    例子: (1)從 15 個團員中挑選 4 個,排成一列共有幾種排法? (2) AABC 四個字母排成一列,有幾種排法? [解法]: (1) 15 個團員中挑選 4 個,排成一列共有 154P 種排法。

    (2) AABC 四個字母排成一列共有4!2!。

    (2)重複排列: 由n個不同的物件中,任選出m個,可重複選取,排成一列, 叫做n中取m的重複排列,其排列總數為nPmP。 例子: 326 班有 5 位同學,到合作社買飲料,冰箱中共有 7 種飲料,請問這 5 個同學購買飲料的情形有幾種? [解法]:每個同學買飲料的方式有 7 種,5 個同學購買飲料有 7P5 P種方法。

  • ~排列組合−2~

    (3)環狀排列:

    (a)n 件相異物做環狀排列,其排列總數為 n!n =(n−1)!

    (b)自 n 件相異物取出 m 件做環狀排列,其排列總數為 nmP ×1m

    (c)串珠的排列= 12 ×(環狀排列)。

    例子:ABCDE 五個人 (1) ABCDE 五個人圍成一圈跳舞,請問有幾種圍成圈的方法? (2) ABCDE 五個人中要挑出 4 個圍成一圈,有幾種圍成圈的方法? [解法]:

    (1)5!5 = 4!。 (2) 4

    154 ×P 。

    (4)有限制條件之直線排列: (a)若要求 k 個人相連,先將這 k 個人視為一整體,排定後在排此 k 個人。 (b)若要求 k 個人分開,則先排其他人,在將這 k 個人安排至其他人的空隙中。 (c)男女相間隔的排列,先排女人(或男人),再插排入男人(或女人)。 (d)考慮反面計算:全部方法−不合的方法。 (e)應用排容原理。 三、組合: 例子:

    從建中高二某班 5 個同學中,選出 3 人參加辯論比賽,有幾種選法? [解法一]:(以分類的觀點) 5 個同學以ABCDE表示,先考慮選出 3 人排成一列,配合樹狀圖,可得排法共有PP5 PB3 B=5×4×3種方法。但選人的觀點是不論次序的,即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA是算一樣的,都是選中ABC三個人,因此每 3!種排法算成一種,因此從 5 個人中,選取 3 個人(不

    考慮排列順序)的方法有P533! =

    5×4×31×2×3種。

    [解法二]:(以配對的觀點) 如圖,將A,B,C,D,E與 3 個黑球,2 個白球做對應, 對到黑球的人被選取,我們可以得知不同的排法 會對應不同的選取法,而不同的選取方法會對應 不同的排法,即排法與選取的方法一樣多,因此

    5 個人中選取 3 人的方法有5!

    3!2!=5×4×31×2×3種。

    (1)排列與組合: 從n個不同物件中,取出m個不同物件的組合數為

    甲 乙 丙 丁 戊

  • ~排列組合−3~

    CPn PBmB=Pnmm!=

    n(n−1)(n−2)…(n−m+1)1⋅2⋅3⋅…⋅m =

    n!m!⋅(n−m)!

    例子: (1)從A,B,C,D四人中選出兩人排成一列,共有幾種排法? (2)從A,B,C,D四人中選出兩人參加桌球賽,共有幾種選法? [解法]:(1)CP4 PB2 B×2!=PP4 PB2 B(2)CP4 PB2 B (2) 組合的性質: (a) PPn PBm B= CPn PBmB⋅m! (b) n mn

    nm CC −=

    (c)巴斯卡定理: 111 −

    −− += nm

    nm

    nm CCC 1≤m≤n−1

    [證明]:

    111 −

    −− + nm

    nm CC =

    (n−1)!m!(n−1−m)!+

    (n−1)!(m−1)!(n−m)!

    =(n−1)!(n−m)m!(n−m)! +

    (n−1)!mm!⋅(n−m)!

    =(n−1)!(n−m+m)

    m!(n−m)!

    =n!

    m!(n−m)!

    = nmC 。

    例如:CB7 PB10P= 10!

    7!⋅3! =10!

    3!⋅7!=C B3PB10

    P。CP10 PB6B=C P9PB6 B+CP9 PB5 B。

    用組合的觀點解釋性質: (b)要從ABCDE中選出三人去打掃環境,今抽籤決定,籤的作法有兩種:一種是五支籤中,3 支籤做記號,抽中的人去打掃,其抽中的組合數為C53 ;另一種是五支籤中,2 支作記號,抽中的人不去打掃,其抽中的組合數為C52 , 故可得C53 = C52 。 (c)要從 ABCDE 中選出三人去打掃環境,今有 C53 種選法,選出來的 3 人之中,我們可分成兩類:第一類是若 A 去打掃,則必須從其他 4 人中再選 2 人一起打掃,其組合數共有 C42 種方法;第二類是若 A 沒去打掃,則從其他 4 人中選 3 人去打掃,其組合數共有 C43 種方法,所以 C53 = C42 + C43 (3)重複組合: 例子:ABCD等 4 人到麥當勞點套餐,套餐共有 1~5 號 5 種,請問 (a)這 4 個人有幾種點餐的情形? (b)店員有幾種給餐點的方式?

  • ~排列組合−4~

    [說明]: (a)ABCD四人每個人都有 5 種套餐可以點,因此這 4 個人有幾種點餐的情形共有 5 P4 P種。 (b)就店員而言,他不在乎每個人點了那些餐,它只在乎,每種套餐被點了幾次,因此假設第i號餐被點了xBi B次,其中xBi B為非負整數,不定方程式xB1B+x B2B+xB3 B+xB4 B+xB5 B=4 的解(xB1B,x B2B,x B3 B,xB4 B,x B5 B)就代表一種店員給餐點的方式。因此只要能求出這樣的方程式有幾個非負整數解,就可以求出

    店員有幾種給餐點的方式。 [重複排列與重複組合] 設(A,1)代表A點了 1 號餐,設有兩種點法(A,1)(B,3)(C,1)(D,2) 與(A,3)(B,1)(C,2)(D,1),在(a)中他代表兩種點餐的方式,換句話說 1,3,1,2 與 3,1,2,1 是有順序的,不過就店員而言,都代表 1 號餐 2 份,2 號餐 1 份,3 號餐 1 份,因此店員給餐的方式都一樣,也就是沒有順序可言。在(a)中我們可以重複點套餐,但是有順序的,即 1,1,3,2、1,3,2,1、…是不同的,這是前面提過的重複排列;而(b)中的情形,我們可以重複點餐,但是不考慮順序,即 1,1,3,2、1,3,2,1、…都代表xB1 B=2、xB2 B=1、xB3B=1、xB4 B=0、xB5B=0 這一組解, 我們稱做重複組合。 重複組合的定義與要點: (a)從n類東西中取出m件,(每類至少有m件)的組合數為 1−+= mnm

    nm CH 。

    (b)從n類東西中取出m件,(每類至少有m件)的組合數等於不定方程式

    xB1 B+x B2B+…+xBn B=m的非負整數解個數=(n−1)個 m個 排列數= (n+m−1)!m!(n−1)!=

    1−+mnmC

    (c)從n類東西中取出m件,(每類至少有m件)的排列數nPmP。 從n類東西中取出m件,(每類至少有m件)的組合數為 1−+= mnm

    nm CH 。

    (d)當我們從n類東西中取出m件,或問題的方法數可以化成不定方程組 xB1 B+x B2B+…+xBn B=m的非負整數解的個數,這都是使用重複組合的時機。 例子:方程式x+y+z+u=12 的非負整數解有 個,正整數解有 個。 [解法]:非負整數解有HP4 PB12B=C P15PB12B=455 個,正整數解有HP4 PB8 B=CP11 PB8 B=165 個 四、排列與組合中的幾種思考模式: (1)分類計算: 在計數的過程中,常會因為需求的不同,例如順序、排法、分組、…等等,會將一類的事物視為相同一種,因此在計算上會先將其視為不同,再計算相同的事物有幾類,進而求

    出方法數。 (a)不盡相異物排列: 有 3 個相同紅球,1 個白球排成一列,共有幾種排法? [解法]:

  • ~排列組合−5~

    先將 3 個紅球視為不同:RB1 B、RB2 B、RB3 B,白球為W,先將其排成一列,共有 4!種排法。 但例如RB1 BRB2 BRB3 BW、R B1 BRB3 BR B2 BW、RB2 BRB1 BRB3 BW、RB2 BR B3 BRB1 BW、RB3 BR B1 BRB2 BW、R B3 BRB2 BR B1 BW這六種,因為紅球是相同的,所以這 6(3!)種。均視為相同,即 4!排法中,每 3!種視為一類,所以 3 個相

    同紅球,1 個白球排成一列共有4!3!=4 種。

    (b) 環狀排列: 有ABCD四個人排成一個圓圈,有幾種不同的排法? [解法]: 先將ABCD四個人排成一列,共有 4!種,因為是環狀排列,因此ABCD、BCDA、CDAB、

    DABC這四種情形視為同一類,因此ABCD四個人排成一個圓圈,有4!4 種不同的排法。

    (c)保持一定順序: 有甲乙丙丁四人排成一列,若要保持甲在乙丙的中間,請問有幾種排法? [解法]:甲乙丙丁四人排成一列,共有 4!種排法,依照甲乙丙排列的順序,可將 24 種排法分成 3!類,例如:甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丁乙丙、丁甲乙丙視為同一類,其中每一

    類的排法均相同,因此每一類有4!3!種排法。題目要求甲在乙丙的中間,這種情形分別代表

    3!中的兩類(順序可為乙甲丙、丙甲乙這兩類),所以排法共有4!3!×2 種排法。

    (d)分組問題: ABCDEF六人分成 2 人,2 人,2 人三組共有幾種分法? [解法]:考慮C P6 PB2 B⋅CP4 PB2B⋅C P2 PB2 B的意義,根據數狀圖的原理,可知(AB,CD,EF)、(AB,EF,CD)、 (CD,AB,EF)、(CD,EF,AB)、(EF,AB,CD)、(EF,CD,AB)算成不同的 6(3!)種,但就分組的意

    義而言,應該算成同一種,所以六人分成 2 人,2 人,2 人三組共有(C P6 PB2 B⋅C P4 PB2 B⋅C P2 PB2 B)×1

    3!種分法。

    (2)配對的模式: 例子:從ABCDE五人中選出 3 人去打掃,請問有幾種選法? 現在我們考慮 5 個球,其中 3 個黑球,2 個白球,並且做以下的配對: 對應到黑球的人被選中,反過來說選中的人對應到黑球,因此選法與排法之間便有了一個對應,而且不同的選法對應不同的排法,不同的排法對應不同的選法,排法與選法

    都有被對應,此時我們就可以說選法的數目與排法的數目都一樣。這樣的觀念就是配對的

    想法。

    A B C D E A B C D E

  • ~排列組合−6~

    抽象化:f:A→B為一個一對一且映成的函數,則A的元素個數與B的元素個數相等。 例子:如圖,一人走捷徑由A到B(即只能走→↑)走捷徑有幾種走法? [解法]: 由A到B走捷徑向右要 6 步,向上 4 步,若以E、N分別 代表向右與向上。 我們可以觀察出:6 個E與 4 個N的排列數與走捷徑的方法

    可以 1−1 配對,因此走捷徑的方法數= 10!

    6!4! 。

    例子: 從 1 到 20 之中,選取 3 個數字,要求這 3 個數字沒有 2 個連續整數的取法有幾種? [解法]:根據前面的說明,可以取 3 個黑球,17 個白球排成一列,排完之後,再與 1~20 的數字對應,與黑球對應的數字,即是被選取的數字,這種對應方式為 1−1 的配對。 若要求 3 個數字沒有 2 個連續整數,則黑球在排列的過程中就要不相連,因此先排其他 17個白球,再將 3 個黑球插入白球中,因此有CP18 PB3 B種排法,而每一種排法對應一種取球的方法,一種取球的方法對應一種排法,因此共有CP18 PB3B種取球的方法。 五、二項式定理: (1)二項定理的要點:

    (a) (a+b)Pn P=CPn PB0 BaPnPbP0 P+C Pn PB1 BaPn−1 Pb+…+CPn PBkBaPn−k PbPkP+…+CPn PBn Bb PnP=∑=

    −n

    i

    iinni baC

    1

    (b)(a+b)Pn P展開式中的一般式為CPn PBkBa Pn−kPbPk P (c)(a+b)Pn P若按a的降冪排列,則第k+1 項為CPn PBk BaPn−k PbPkP。 (d)(a+b)Pn P的展開式共有n+1(HP2PBn B)項。 (e)(1+x)Pn P= C Pn PB0B+C PnPB1 Bx+CPnPB2 Bx P2P+C Pn PB3 BxP3 P+…+CPn PBk BxPk P+…+CPn PBn BxPnP。

  • ~排列組合−7~

    貳、精選範例 一、加法、乘法原理 [例題1] (加法、乘法原理的應用)

    四位正整數中共有多少個 0(例如:1400 為 2 個 0,1301 為 1 個 0) [答案]:2700 [解法]:依照 0 的數量來分類: 1 個 0 的四位正整數: ×0××或××0×或×××0,×的位置不能填上 0⇒有 9 P3 P×3 個數。(乘法原理) 2 個 0 的四位正整數: ×00×或×0×0 或××00,×的位置不能填上 0⇒有 9P2 P×3 個數。(乘法原理) 3 個 0 的四位正整數: ×000,×的位置不能填上 0⇒9 個數 四位正整數中共有(9 P3P×3)×1+(9 P2P×3)×2+9×3=2700 個 0(加法原理)

    [例題2] (樹狀圖) 如圖,某人由 A 點出發,沿著路走,不許循原路回頭走, 當同一點經過二次才不再前進,請問有多少種走法? [答案]:18 種 [解法]:利用數狀圖,可得有 18 種走法。

    (練習1) 坐標平面上的圓C:(x−7) P2P+(y−8)P2P=9 上有 個點與原點的距離正好是整數值。(2004 學科能力測驗) [答案]:12

    [解法]:因為圓C上的點P與原點O距離⎯OP的最大值為 113 +3,最小值為 113

    −3,因此⎯OP=8,9,10,11,12,13,而這樣的

    ⎯OP均各有 2 點,因此共有 2×6=12 點。

    A

    B C

    D

    6 種

    6 種

    6 種

    A

    B

    C(對稱於 B)

    D(對稱於 B)

    D

    C

    A

    C

    A

    B A

    D

    B

    A

  • ~排列組合−8~

    (練習2) 有一個十字路口,規定不可以迴轉,東西向不可以左轉,南北向可以左右轉,求此路口有 種車流動向。(85 學科能力測驗) [答案]:10 [解法]: 東西向有: 4 種。 南北向有: 6 種。 共有 6+4=10 種車流動向。

    (練習3) 三位數中,百位數與個位數之差的絕對值為 2 的共有 種。(87 學科能力測驗) [答案]:150 [解法]:設三位數為 ABC |A−C|=2, A>C⇒(A,C)=(9,7)、(8,6)、(7,5)、(6,4)、(5,3)、(4,2)、(3,1)、(2,0) C>A⇒(A,C)=(7,9)、(6,8)、(5,7)、(4,6)、(3,5)、(2,4)、(1,3) 滿足條件的(A,C)共有 15 組。 ⇒滿足題意的三位數共有 15×10=150 種。

    (練習4) 由一個正六面體的一頂點A沿著稜線走到對角線的另一頂角G, 每一個頂點只能經過一次,有 U U種走法。 [答案]:18 [解法]: 利用樹狀圖,共有 6×3=18 種走法。

    二、直線排列: 有限制條件之直線排列: (a)若要求 k 個人相連,先將這 k 個人視為一整體,排定後在排此 k 個人。 (b)若要求 k 個人分開,則先排其他人,在將這 k 個人安排至其他人的空隙中。 (c)男女相間隔的排列,先排女人(或男人),再插排入男人(或女人)。 (d)考慮反面計算:全部方法−不合的方法。 (e)應用排容原理。

    東西

    6

    6

    6

    A

    B

    D

    E

    C

    F

    G

    DG

    E

    H

    G

    E F G

    H

    G

    D C G

  • ~排列組合−9~

    [例題3] (有條件限制的直線排列) triangles一字中,字母全取排成一列。試問: (1)其排法有幾種? (2)母音全相連之排法有幾種? (3)任二母音不相鄰之排法有幾種?(4)a不排首尾,t不排中之排法有幾種? (5)a不排尾,t不排中,e不排首之排法有幾種? [答案]:(1)362880 (2)30240 (3)151200 (4)287280 (5)256320 [解法]: triangles一字中有 9 個不同字母 (1)排法有 9!=362880 種。 (2)將母音i,a,e視為一物,與其餘子音排成一列,再考慮i,a,e的排列。 排法有 7!×3!=30240 種。 (3)先排子音t,r,n,g,l,s,再將母音i,a,e插入間隔中排列。 6!×PP7 PB3 B=151200 種。 (4)使用排容原理: a不排首尾且t不排中=全部−(a排首尾或t排中) =9!−(8!×2−7!)= 287280。 (5) a不排尾,t不排中,e不排首=全部−(a排尾或t排中或e不排首) =9!−(8!×3−7!×3+6!×1)= 256320。

    [例題4] (男女相間隔的直線排列) (1)五男四女排成一列,男女相間隔之排法有幾種? (2)五男五女排成一列,男女相間隔之排法有幾種? [答案]:(1)5!×4! (2)2×(5!)P2 P [解法]: (1)先排女生,再將男生排入女生的間隔中⇒4!×5!。 (2)先排女生(男生),再將男生(女生)排入女生(男生)的間隔中 ⇒2×(5!) P2 P。

    (練習5) 有 4 個女生 3 個男生排成一列,若要求男生排在一起,女生排在一起,則 (1)其排列方法有 種;(2)要求男女相間隔排列,排列方法有 種, (3)3 個男生要分開排列的方法有 種。 [答案]:(1)288(2)144(3)1440

    (練習6) 某班一天有七節課,每一節課均排不同的科目,其中體育課不排第四節,數學課不排第七節,請問這一天的課表有幾種排法? [答案]:3720

    三、不盡相異物排列: [例題5] (有條件限制的不盡相異物排列)

    population一字,各字母排成一列,求下列的排列數 (1)任意排列 (2)首位與末位均為母音 (3)首末位至少有一個子音 (4)母音互不相鄰 (5)pp不相鄰 (6)相同字母不相鄰。

  • ~排列組合−10~

    [答案]:(1) 907200 (2)201600 (3)705600 (4)21600 (5)725760(6)584640 [解法]:

    (1) population一字中有pp,oo,u,l,a,t,i,n⇒排法有10!

    2!⋅2!種= 907200 種。

    (2)母音有ooaiu,先考慮這 5 個母音排入首末位的情形,再將其於字母排入中間 的 7 個位置。

    首末排入oo⇒8!2!,首末排入oa,oi,ou⇒3×2!×

    8!2!,首末排入a,i,u⇒PP

    3PB2 B×

    8!2!2!

    首位與末位均為母音=8!2!+3×2!×

    8!2!+ PP

    3PB2B×

    8!2!2!=201600。

    (3)(首末位至少有一個子音的排法) =全部排法−(首位與末位均為母音的排法) =9!−201600=705600。 (4)先排子音ppltn,再將母音排入子音的間隔中。

    ⇒5!2!×PP

    6PB5 B×

    12!=21600。

    (5) pp不相鄰的排法=全部排法−(pp相鄰的排法)= 10!

    2!⋅2!−9!2!=725760。

    (6)相同字母不相鄰的排法=全部排法−(oo相鄰或pp相鄰)

    =10!

    2!⋅2!−(8!2!+

    8!2!−

    7!2!2!)=584640。

    [例題6] 有 2 個相同的紅球,3 個相同的白球,4 個相同的黑球分給 (1)9 人 (2)11 人 每人至多一球,球一定要分完,請問有幾種分法? [答案]:(1) 1260 種 (2) 13860 種 [解法]: (1)因為每人至多一球,球一定要分完,因此可以將 2 個相同的紅球,3 個相同的白球,4 個相同的黑球排成一列,再將球與人對應,球的排法與分法 1−1 對應,

    所以分法有9!

    2!3!4!=1260 種。

    (2)因為人數為 11 人,所以有 2 人無法分到球, 可以考慮 2 個紅球,3 個白球,4 個黑球,再加上 2 個×,對應×的人,

    便分不到球,故分法有11!

    2!3!4!2!=13860 種。

    [例題7] 有一長方形牆壁,尺寸 12×1(即長 12 單位長,寬 1 單位長),若有許多白色與咖啡色壁磚,白色壁磚尺寸 2×1,咖啡色壁磚尺寸 4×1,用這些壁磚貼滿此長方形,問可貼成幾種不同的圖案? (88 學科能力測驗) [答案]:13 [解法]:設白色、咖啡色壁磚有 x,y 塊,其中 x,y 為非負整數。 依題意可得 2x+4y=12⇒x+2y=6⇒(x,y)=(6,0)、(4,1)、(2,2)、(0,3)

  • ~排列組合−11~

    所以可貼成6!6!+

    5!4!+

    4!2!⋅2!+

    3!3!=13 種不同的圖案。

    (練習7) pontoon 一字,各字母排成一列,求下列各排列數: (1)全部任意排成一列 (2)三個「o」完全在一起 (3)恰有兩個「o」在一起 (4) 三個「o」完全分開 [答案]:(1)420 (2)60 (3)240 (4)120

    (練習8) 將 5 元硬幣 4 枚,1 元硬幣 3 枚,分給 7 個兒童,每人最多一枚,且錢幣給完,則有多少種分法?若改為分給 10 個兒童,又有多少種分法? [答案]:35,4200

    (練習9) 鳴放氣笛作信號,長鳴一次需 4 秒,短鳴一次需 1 秒,每次間隔時間為 1 秒,請問 30 秒的時間可作出多少種的信號? [答案]:235

    四、重複排列與環狀排列: [例題8] (重複排列)

    5 件不同的物品分給甲乙丙丁四人,下列給法各有幾種? (1)任何人均可兼得各物品 (2)甲至少得一個 (3)任何人至多得三個。 [答案]:(1)1024 (2)781 (3)960 [解法]: (1)每個物品均可分給甲乙丙丁四人⇒4 種分法, 5 個不同物品共有 4P5 P=1024 種分法。 (2)甲至少得一個的分法=全部分法−(甲沒有分到物品的分法)=4 P5 P−3P5P=781 種分法。 (3)反面計算,考慮全部分法中,不符合題目規定的情形有甲乙丙丁四人有 1 人得 到 5 件物品,或是有一人得到 4 件物品,一人得到 1 件物品 分法=4P5P−(4+CP5 PB4 B×4×3)=1024−64=960 種。

    [例題9] (環狀排列) 5 對夫妻圍圓桌而坐,在下列情形中之排法有幾種? (1)任意圍成一圓圈 (2)男女相間隔 (3)夫妻相鄰 (4)夫妻相鄰且男女相間隔 (5)男女相對 (6)夫妻相對 [答案]:(1)9! (2)4!×5! (3)4!×2P5 P (4)4!×2 (5)4!×2P4P×5!(6)4!×2P4 P [解法]:

    (1)10!10 =9!

    (2)男生先做環狀排列,再將女生排入男生的間隔

    ⇒5!5 ×5!(注意:男生環狀排列之後,女生再排入,就不能視為環狀排列)

  • ~排列組合−12~

    (3)視每對夫妻為一體,但可以左右對調⇒5!

    5 ×2P5

    P=768。

    (4)先生做環狀排列,再排入妻子,因為要求夫妻相鄰且男女相間隔,因此妻子入

    座的方法只有 2 種。 ⇒5!5 ×2

    (5)第一位男士入座,有一種方法; 其次另外 4 位男士配線有 4!種方法。 這 4 個男士選所對之線的位置各有 2 種方法, 共 2P4 P種方法,5 位女士入座有 5!種方法。 ⇒1×4!×2P4 P×5!種方法。 (6)第一位男士入座,有一種方法;其次另外 4 位男士配線有 4!種方法。這 4 個男士選所對之線的位置各有 2 種方法,共 2P4P種方法,男士坐定後,他的妻子一定坐在對面所以女士入座的方法只有 1 種。 ⇒1×4!×2P4 P×1 種方法。

    (練習10) 請求出下列各小題的排列數: (1)有 10 位選舉人,3 位候選人,採計名投票,每人都要投,且沒有廢票。 請問有幾種結果? (2)一個多重選擇題,有A,B,C,D,E五個選項,請問答案有幾種型式? (3)10 名學生要爭奪 3 項比賽的錦標,請問得到冠軍的可能性有幾種? (4)5 個人於十字路口話別後,同時離開(沒有 5 人同走一條路) 共有幾種可能情形? [答案]:(1)3P10P (2)2 P5P−1 (3)10 P3P (4)4P5 P−4

    (練習11) 我國自用小汽車的牌照號碼,前兩位為大寫英文字母,後四位為數字,例如:AB-0950,若最後一位數字不用 4,且後四位數沒有 0000 這個號碼,那麼我國可能有的自用小汽車牌照號碼有多少個(A) 26×25×(4320-1)(B) 26×25×4320-1 (C) 26×25×(5040-1)(D) 26×26×(9000-1)(E) 26×26×9000-1 個。 (84 學科能力測驗) [答案]:(D)

    (練習12) 甲乙丙丁….等 8 人為成一個圓圈而坐,若甲乙相鄰且丙丁相對,有幾種排法? [答案]:192

    (練習13) 紅,黃,白,…等 12 顆不同色的珠子, (1)任選 8 顆串成項鍊有 種型式。 (2)任選 8 顆(含紅,黃,白)串成一項圈,且紅,黃,白三色均不得相鄰,則可串出 U U種不同的項圈。

    [答案]:(1)P128

    8 =2494800(2)PP9

    PB5 B×15×PP

    5PB3 B×

    12

    第一位男士

    1

    2 3

    4

  • ~排列組合−13~

    五、排列的應用: [例題10] (走捷徑)

    如圖,一人走捷徑由 A 到 B(即只能走→↑) (1)走捷徑有幾種走法? (2)若每次需經過 D,其走法有幾種? (3)若不經過 C 且不經過 D, 其走法有幾種? [答案]:(1)210 (2)105 (3)69 [解法]:

    (1)由 A 至 B 走捷徑共有10!

    4!6!=210 種走法。

    (2)A→D→B 走捷徑⇒7!

    4!3!×3!

    2!1!=105 種走法。

    (3)(不過 C 且不過 D 的走法)=全部走法−(經過 C 或經過 D 的走法)

    ⇒走法=10!

    4!6!−(4!

    2!2!×6!

    4!2!+7!

    4!3!×3!

    2!1!−4!

    2!2!×3!

    2!1!×3!

    2!1!)=69。

    [例題11] (著色問題) 用五種不同的顏色塗右上圖中五個空白區域, 相鄰的區域塗不同的顏色,則有幾種塗法? [答案]:420 [解法]: 可將原來的圖簡化成右圖,相鄰用連線表示 將其著色情形,分成 C、E 同色,C、E 異色來討論 (1) C、E 同色: A 塗色情形有 5 種,C、E 塗色情形有 4 種 B、D 塗色情形各有 3 種⇒5×4×3×3=180。 (2)C、E 異色: A 塗色情形有 5 種,C、E 塗色情形有 4 種、3 種 B、D 塗色情形各有 2 種⇒5×4×3×2×2=240 種 由(1)(2)的討論可知著色情形有 180+240=420 種。

    [例題12] (著色問題) 用 6 種不同的顏色塗下列兩個立體,各面的顏色 都不同,而且圖形在空間中可以任意轉動,請問 各有幾種著色的方法? (1)正四面體 (2)正立方體

    D

    C

    B

    A

    A

    B

    C

    D

    E

    A B

    C

    D E

  • ~排列組合−14~

    [答案]:(1)30 (2)30 [解法]: 可翻轉的立體圖色

    (a)用 n 種不同的顏色塗正 y 面體(每面為正 x 面體),使每面不同色之塗法=Pnyx⋅y 。

    (b)排列數=定位排列數

    平面上的旋轉×空間中的翻轉。

    (1)43

    64

    ×P =30。 (2)

    64

    66

    ×P

    =30。

    [例題13] (數字問題) 用 0,1,2,3,4,5 作相異數字之四位數,請求出滿足下列要求的四位數個數? (1)數字相異四位數 (2)偶數 (3)3 的倍數 (4)4 的倍數 (5)5 的倍數。 [答案]:(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108 [解法]: (1) 0,1,2,3,4,5 取 4 個相異數字排列−0 排首位的排法=PP6 PB4B−PP5 PB3B=300 個。 (2)×××0⇒5×4×3=60,×××2 或×××4⇒2×(4×4×3)=96⇒60+96=156 個。 (3)將 0,1,2,3,4,5 依照被 3 除的餘數分成三組A(0,3)、B(1,4)、C(2,5) 因為 3 的倍數數字和要為 3 的倍數 所以四位數中 A組取 2 個,B、C組各取 1 個=1×2×2×(4!−3!)=72(去掉 0 排首位的情形) A組取 0 個,B、C組各取 2 個=1×1×4!=24 共有 72+24=96 個。 (4)4 的倍數ABCD的末兩位CD可被 4 整除 CD可為 04、12、20、24、32、40、52 04、20、40⇒3×(4×3)=36 12、24、32、52⇒4×(3×3)=36 共有 36+36=72 個。 (5)四位數ABCD為 5 的倍數 ⇔ D=0 或 5 D=0⇒5×4×3=60,D=5⇒4×4×3=48⇒共有 60+48=108 個。

  • ~排列組合−15~

    (練習14) 如右圖,由 A 走到 B 取捷徑。 但不許經過斜線區之方法有幾種? [答案]:108

    (練習15) 今用 10 種不同的顏色,試塗下列可轉動(不可翻動)的積木板,但規定每一區域著不同的顏色,問各有幾種塗法? (1) (2) (3) (4)

    [答案]:(1)P104

    4 (2)P108

    4 (3)P104

    3 (4)P107

    6

    (練習16) 用五種不同的顏色塗左下圖中五個空白區域, 相鄰的區域塗不同的顏色,則有幾種塗法? (86 大學聯考社會組) [答案]:960

    (練習17) 有 6 張卡片分別記以數字 1,2,2,3,3,3,現在自此 6 張卡片中任取 3 張,再由左至右排成一個三位數,則能排出 種不同的三位數。 (91 台北區學測模擬測驗 2) [答案]:19

    (練習18) 有 5 張卡片的正反兩面分別寫著 0 和 1、2 和 3、4 和 5、6 和 7、8 和 9,將其中3 張排成三位數,可以得到 個不同的三位數。(90 台中區模擬考 3) [答案]:432

  • ~排列組合−16~

    五、組合問題: [例題14] 求滿足 mmCCC nr

    nr

    nr 2::1:: 21 =++ 的整數組(m,n,r),其中 n≥r+2,r≥0,m>0。

    (92 台北區指定考科模擬測驗 2) [答案]:(5,5,0)或(3,11,2)

    [解法]: mmCCC nrnr

    nr 2::1:: 21 =++ ⇒ m

    Cm

    CC nrnr

    nr

    2121 ++ ==

    ⎪⎪⎩

    ⎪⎪⎨

    −−+⋅=

    −−+⋅

    −−+=

    −⋅

    )2.......()!2()!2(

    !)!1()!1(

    !2

    )1.......()!1()!1(

    !)!(!

    !

    rnrnm

    rnrnm

    rnrn

    rnrnm

    由(1)可得m

    n−r = 1

    r+1…..(3),由(2)可得2

    n−r−1 = 1

    r+2 ….(4)

    由(3)⇒n=3r+5 代入(4)可得 r=5−mm−2

    (a)r=0⇒m=5⇒n=5。 (b)r>0⇒2

  • ~排列組合−17~

    如下圖,選中了 3,6,8,10 號。 所以 4 個號碼不相連 ⇔4 個黑球、6 個白球排成一列,而這 4 個黑球不相連 先排 6 個白球,再將 4 個黑球排入間隔中的排法=CP7 PB3 B=35 種。

    (練習19) 設 nnC2

    1− :22 −n

    nC = 132:35,則 n=? [答案]:n=6

    (練習20) 求CP1 PB0 B+C P2 PB1B+CP3 PB2 B+…+CP13PB12B=? [答案]:CP14 PB2 PB P

    (練習21) 一棟公寓中有 6 對夫妻,請回答下列問題: (1)任選 2 人,恰為 1 對夫妻。 (2)任選 4 人,恰為 2 對夫妻。 (3)任選 4 人,恰有一對夫妻。 (4)任選 4 人,均不是夫妻。 [答案]:(1)6 (2)15 (3)240 (4)240

    (練習22) 由 1 到 20 的自然數中取出不同的三個數,則 (a)取出的三數成等差的取法(不考慮排列)有幾種? (b)取出的三數中沒有二個連續整數的取法有幾種? (c)取出的三數乘積為偶數的取法有幾種? [答案]:(a)90 (b)816 (c)1020

    六、重複組合: [例題17] (重複組合與排列)

    求下列各小題的方法數: (1)同時擲 2 粒相同的骰子,有幾種可能的情形? (2)有 4 名候選人,18 名選舉人,記名投票時,有幾種情形?不記名投票時, 有幾種情形?(假設每個人都去投票,而且沒有廢票) [答案]:(1)21 (2)4 P18 P,HP4 PB18B [解法]: (1)設xBi B表示出現i點的次數i=1,2,…,6⇒xB1 B+xB2 B+…+xB6 B=2 上述不定方程式的非負整數解與骰子出現點數的情形 1−1 對應 所以有HP6 PB2 B=C P7 PB2B=15 種情形。 (2)記名投票為重複排列⇒4 P18 P。

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  • ~排列組合−18~

    不記名投票:設x,y,z,w為四位候選人的票數⇒x+y+z+w=18 上述不定方程式的非負整數解與得票情形 1−1 對應 所以有HP4 PB18B種結果。

    [例題18] (不定方程式的(非負)整數解) 方程式x+y+z+u=12 的非負整數解有 個,正整數解有 個。 [答案]:455,165 [解法]: (1)非負整數解的個數=HP4 PB12B=CP15 PB12B=CP15 PB3B=455。 (2)若x,y,z,u為正整數,設xP/ P=x−1,y P/ P=y−1,zP/ P=z−1,uP/ P=u−1, 則xP/ P,y P/ P,zP/ P,u P/ P均為非負整數 方程式x+y+z+u=12 可化為xP/ P+y P/ P+zP/ P+u P/ P=8, 而且x+y+z+u=12 的正整數解個數= xP/ P+yP/ P+zP/ P+u P/ P=8 的非負整數解個數=HP4 PB8 B=165。

    (練習23) 某披薩專賣店舉辦「買大送大」的優惠活動,U杰倫U班上訂購了 3 個大披薩,加上贈送的 3 個(口味亦可任選),共有 6 個大披薩。今天店裡有海鮮、什錦、總匯、夏威夷四種口味,在任選的狀況下,總共有 種不同的選擇方式。 (92 台北區指定考科乙模擬測驗 1) [答案]:84

    (練習24) 將 9 件相同的玩具分給 4 個小朋友,每個人至少一件,有幾種分法? [答案]:56

    (練習25) 求集合 A={(x,y,z)|1≤x≤y≤z≤10,x,y,z 為整數}的元素個數=? [答案]:220

    (練習26) 方程式 x+y+z+u≤9 之正整數解之個數為何? (84 大學聯考社會組) [答案]:126

    七、排列組合綜合運用: [例題19] (分組與分堆)

    有 8 本不同的書本, (1)平分成兩堆 (2)按照 4,2,2 分成三堆 (3)按照 4,3,1 分成三堆(4)平分給甲乙兩人 (5)甲給 4 本,乙給 2 本,丙給 2 本 (6)按照 4,3,1 自由分配給甲乙丙三人 [答案]:(1)35 (2)210 (3)280 (4)70 (5)420(6)1680 [解法]:

    (1)8 本不同的書分成 4,4 兩堆⇒CP8 PB4 B×CP4 PB4 B×12=35。

  • ~排列組合−19~

    (2)8 本不同的書分成 4,2,2 三堆⇒CP8 PB4 B×CP4 PB2B×C P2 PB2 B×12=210。

    (3)8 本不同的書分成 4,3,1 三堆⇒CP8 PB4 B×CP4 PB3B×C P1 PB1 B=280。 (4)平分成甲乙兩人的分法=先將 8 本不同的書分成 4,4 兩堆,再分給甲乙兩人

    分法=(CP8PB4 B×C P4 PB4B×12)×2!=70。

    (5) 甲給 4 本,乙給 2 本,丙給 2 本的分法=先將 8 本不同的書分成 4,2,2 三堆, 再分給甲乙丙三人。

    分法=( C P8 PB4B×C P4PB2 B×CP2 PB2B×12)×2!=420。

    (6) 按照 4,3,1 自由分配給甲乙丙三人=先將 8 本不同的書分成 4,3,1 三堆, 再分給甲乙丙三人。 分法 =( CP8 PB4 B×C P4 PB3B×CP1 PB1 B)×3!=1680。

    [例題20] (有特定條件的分組問題) (1)9 人平分成三組,其中甲乙丙三人必不在同一組的方法有幾種? (2)9 人平分成三組,其中甲乙在同一組的方法有幾種? [答案]:(1)90 (2)70 [解法]: (1)Q 甲乙丙三人必不在同一組, ∴先將其他 6 人分成 2,2,2 三組,再將甲乙丙分配至這三組。

    分法=(C P6PB2 B×CP4 PB2 B×C P2 PB2B×1

    3!)×3!=90。

    (2)先將其他 7 個人分成 3,3,1 三組,再將甲乙兩人分配進去。

    分法=(C P7PB3 B×CP4 PB3 B×C P1 PB1B×1

    2!)×1=70。

    [例題21] (排列與組合) 7 個球放入 3 個箱子,每個箱子都夠大能放入 7 個球,亦可以留有空箱子 (1)球相同,箱子相同有幾種存放的方法? (2)球相同,箱子相異有幾種存放的方法? (3)球相異,箱子相同有幾種存放的方法? (4)球相異,箱子相異有幾種存放的方法? [答案]:(1)8 (2)36 (3)365 (4)2187 [解法]: (1)球相同、箱子相同: 直接討論球放入箱子的情形為(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、 (3,3,1)、(3,2,2),因為箱子相同、球相同,所以上述 8 種情形中,每一種情形只 代表一種放法。 (2)球相同、箱子相異: 設三個箱子的球數目為x,y,z,其中x,y,z為非負整數

  • ~排列組合−20~

    ⇒x+y+z=7 的非負整數解個數代表放球的方法數 ⇒放球的方法數=HP3 PB7B=C P9 PB7 B=36。 (3)球相異、箱子相同: 因為球相異、箱子相同,所以先將球按(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、 (4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)這些數目分配,再放入箱子。

    (7,0,0)⇒1,(6,1,0)⇒C P7 PB6B×CP1 PB1 B=7,(5,2,0)⇒CP7 PB5 B×CP2 PB2 B=21,(5,1,1)⇒CP7 PB5 B×CP2 PB1 B×C P1 PB1B×1

    2!=21

    (4,3,0)⇒CP7 PB4B×CP3 PB3 B=35,(4,2,1)⇒CP7 PB4 B×CP3 PB2 B×C P1PB1 B=105,(3,3,1)⇒C P7 PB3 B×CP4 PB3 B×C P1 PB1 B×1

    2!=70

    (3,2,2)⇒ CP7 PB3 B×C P4 PB2B×CP2 PB2 B×1

    2!=105。

    放球的方法=1+7+21+21+35+105+70+105=365。 (4)球相異、箱子相異: 球相異,箱子相異相當於重複排列⇒3 P7 P=2187。

    (練習27) 欲將八位新生平均分發到甲乙丙丁四班,共有 種分法。 (87 大學聯考社會組) [答案]:2520

    (練習28) 有學生 10 人,住 A,B,C 三間房,若 A 房住 4 人,B,C 各住 3 人 (1)住法有幾種? (2)若甲乙兩人住同房,其住法有幾種? [答案]:(1)4200 (2)1120

    (練習29) 由 mathematical 中的字母,每次取 4 個的組合數有幾個?排列數有幾個? [答案]:143,2482

    (練習30) 將 10 件相同物分給甲乙丙三人 (1)每人至少一件,有幾種分法? (2)其中一人至少得一件,一人至少得二件,一人至少得三件,有幾種分法? [答案]:(1)36 (2)33

    八、二項式定理:

    [例題22] (2x −xP2

    P) P6 P的展開式中,xP3 P項的係數為 ,常數項為 。

    [答案]:−160,240 [解法]:

    (2x −xP

    2P) P6 P展開式中的一般項為C P6 PBkB(

    2x)P

    6−kP(−xP2 P)Pk P=C P6PBk B×2 P6−kP×(−1)PkP×x P3k−6 P

    3k−6=3⇒k=3⇒xP3 P項的係數=CP6 PB3B×2 P3 P×(−1)P3 P=−160。 3k−6=0⇒k=2⇒常數項=CP6 PB2 B×2 P4 P×(−1)P2 P=240。

  • ~排列組合−21~

    [例題23] 化簡下列各式: (1) 1+2.C n1 +4.C

    n2 +8.Cn3 …+2Pn P.C nn =_____________

    (2) 1+(−13)C

    n1 +(−

    13)P

    2P Cn2 +(−

    13)P

    3P Cn3 +……+(−

    13)P

    nP Cnn =____________

    [答案]:(1)3 Pn P (2)(23) P

    nP

    [解法]:考慮恆等式(1+x) Pn P= C Pn PB0B+C Pn PB1Bx+CPn PB2 BxP2 P+CPn PB3BxP3 P+…+CPnPBk BxPk P+…+CPn PBn BxPn P (1)令x=2 代入上述恆等式⇒1+2.C n1 +4.C

    n2 +8.Cn3 …+2 Pn P.C nn =3 Pn P。

    (2)令x=−13 代入上述恆等式⇒1+(−

    13)C

    n1 +(−

    13)P

    2P Cn2 +(−

    13)P

    3P Cn3 +……+(−

    13)P

    nP Cnn =(

    23) P

    nP。

    (練習31) 設a為實數,若(axP2 P+1x)P

    5P展開式中xP4P項之係數為 80,則求

    (1)a=? (2)1x2項的係數。

    [答案]:(1)a=2 (2)10

    (練習32) 在(2x−yP2 P)P6 P的展開式中,xP4Py P4 P的係數為何? [答案]:240

    (練習33) 將( x+2x2) P

    nP展開後,各項依照x的次數由大到小,從左而右排列,如果第五項的係

    數與第三項係數比是 56:3,則n=?(90 台北區指定考科模擬測驗乙 3) [答案]:10

  • ~排列組合−22~

    叁、綜合練習 (A)學科能力測驗、聯考試題觀摩 1. 一拳擊比賽,規定每位選手必須和其他選手各比賽一場,賽程總計 78 場,

    則選手人數為 人。 (83 大學聯考社會組)

    2. 爸爸,媽媽,哥哥,妹妹四人參加喜宴,與其他客人坐滿一張 12 人座位的圓桌。若四人座位相鄰,且哥哥與妹妹夾坐於爸爸,媽媽之間,則共有幾種不同的坐法? (83 大學聯考自然組)

    3. 老師將 12 枝相同的鉛筆分給甲乙丙丁戊己六位小朋友,其兩位分得四枝,兩位分得兩支,而有兩位沒分到, 則有 種分法 (83 大學聯考自然組)

    4. 已知 n,k 均為正整數,且 n>k,若 3:2:1:: 11 =+− nknknk CCC ,則 n= 。 (84 大學聯考社會組)

    5. 由 123456 六個數字所組成(數字可重複)的四位數中含有奇數個 1 的共有幾個? (85 大學聯考社會組)

    6. 用 0,1,2,3,4,5 等六個數字排成的三位數中,數字不重複者共有 個,其中可被3 整除的有 個 (85 大學聯考自然組)

    7. 從 10 人的俱樂部,選出一位主任,一位幹事,一位會計,且均由不同的人出任,如果10 人中的甲君及乙君不能同時被選上,那麼共有 種選法。 (86 大學聯考社會組)

    8. 有 6 男 4 女共 10 名學生擔任本週值日生,導師規定在本週五個上課日中,每天兩名值日生,且至少需有 1 名男生,試問本週安排值日生的方式有 種。 (90 大學聯考社會組)

    9. 右圖所示為一個含有斜線的棋盤街道圖◦ 今某人欲從 A 取捷徑走至 B, 共有 種走法。 (85 大學聯考社會組)

    10. 因乾旱水源不足自來水公司計畫在下周一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水。若要求停水的兩天不相連,則自來水公司共有多少種選擇方式? (91 指定考科乙)

    A

    B

  • ~排列組合−23~

    11. 啦啦隊競賽規定每隊 8 人且每隊男生、女生均至少要有 2 人。某班共有 4 名男生及 7 名女生想參加啦啦隊競賽。若由此 11 人中依規定選出 8 人組隊,則共有 種不同的組隊方法。(93 指定考科乙)

    12. 兄弟二人在排成一列的 20 個空位中,選坐不相鄰的兩個座位,則有 種不同的坐法。 (83 學科能力測驗)

    13. 右圖中,至少含 A 或 B 兩點之一 的長方形共有 個?(85 學科能力測驗)

    14. 體操委員會由 10 女性委員與 5 位男性委員組成◦委員會要由 6 位委員組團出國考察,如以性別做分層,並在各層比例隨機抽樣,試問此考察團共有多少種組團方式? (89 學科能力測驗)

    15. 籃球 3 人鬥牛賽,共有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 9 人參加,組成 3 隊,且甲乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種? (90 學科能力測驗)

    16. U新新鞋店U為與同業進行促銷戰,推出「第二雙不用錢---買一送一」的活動。該鞋店共有八款鞋可供選擇,其價格如下:

    款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛

    價格 670 670 700 700 700 800 800 800

    定所送的鞋之價格一定少於所買的價格(例如:買一個「丁」款鞋,可送甲、乙兩款鞋

    之一)。若有一位新新鞋店的顧客買一送一,則該顧客所帶走的兩雙鞋,其搭配方法一

    共有 種。(95 學科能力測驗)

    17. 某地共有 9 個電視頻道,將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種類型。若同類型電視台的頻道要相鄰,而且前兩個頻道保留給體育台,則頻道的分配方式 共有 種。(95 學科能力測驗)

    18. 某公司生產多種款式的「阿民」公仔,各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色,球衣有白、綠、藍三種顏色,而球鞋有黑、白、灰

    三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子,而白色的球衣則必須搭配藍色的帽

    子,至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下,最多可有 種不同款式的「阿民」公仔。(96 學科能力測驗)

    19. 某地區的車牌號碼共六碼,其中前兩碼為O 以外的英文大寫字母,後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字,但規定不能連續出現三個 4。例如: AA1234 ,AB4434 為可出現的車牌號碼;而AO1234 ,AB3444 為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1) 25×9P3 P (2) 25×9P2 P×10 (3) 25× 900 (4) 25× 990 (5) 25× 999 (97 學科能力測驗)

    A B

  • ~排列組合−24~

    (B)重要問題觀摩: 20. 學校舉行保齡球比賽,預賽之後取前 5 名進入挑戰賽,挑戰賽賽制為:

    第一場:預賽第 5 名挑戰第 4 名,獲敗者為第 5 名。 第二場:第一場獲勝者挑戰第 3 名,獲敗者為第 4 名。 第三場:第二場獲勝者挑戰第 2 名,獲敗者為第 3 名。 第四場:第三場獲勝者挑戰第 1 名,獲敗者為第 2 名、獲勝者第 1 名。 現在已知預賽已產生前5 名參賽者,則經挑戰賽後此5 名參賽者有幾種不同的排名方式? (A)4 (B)16 (C)32 (D)120 (E)240。(90 台北區指定考科模擬測驗乙 3)

    21. 有 A、B、C、D、E、F、G 七人排成一列,已知 A、B 之間恰有一人,C、D 之間至少有二人,且 A、B 皆不得排在 C、D 之間,則下列敘述那些是正確的? (A)C、D 中至少有一人排在首位或末位。 (B)A、B 中至少有一人排在首位或末位。 (C)E 可排在第四位。 (D)F 不能排在第四位。 (91 台北區指定考科甲模擬測驗 3)

    22. 有 A、B、C、D、…等 10 人圍坐一個圓桌,A、B 之間至少間隔 2 人,B、C 之間亦至少間隔 2 人,C、A 之間亦至少間隔 2 人,問如此入座共有 種方法。 (91 台北區指定考科甲模擬測驗 3)

    23. 設 a,b,c,d,e 表 1,2,3,4,5 之一排列,則滿足(a−1)(b−2)(c−3)(d−4)(e−5)≠0 的(a,b,c,d,e)有幾組。

    24. factoring 中各字母,每次全取排列 (1)母音保持 a,o,i 之順序有幾種排法? (2)母音保持 a,o,i 之順序,同時子音保持 f,c,t,r,n,g 之順序有幾種排法?

    25. U小安U的父母出國,將家中 7 把不同門鎖的鑰匙交給他,但忘了告訴 U小安 U各門鎖的配對,試問U小安U最多要試 次就能將所有配對弄清楚。

    26. 用 0,1,2,3,4,5,6 作成一個四位數, (1)數字可重複有 個。 (2)數字不可重複有 個。 (2)數字不可重複且為 5 的倍數有 個。

    27. 如圖,每個小正方形之邊長都是 1,則面積為 4 平方單位的矩形共有 個。 (90 台北區指定考科甲模擬測驗 2)

    28. 從 1,2,3,…,10 中選出 3 個相異數 a,b,c 滿足 a

  • ~排列組合−25~

    (1)多少條直線? (2)多少個線段? (3)多少個三角形?

    30. 平面上有 11 個相異點,任意連接兩點,共可得 48 條不同的直線 (1)在這 11 點中,含 3 點以上的相異直線有幾條? (2)在這 11 點中,任取 3 點,可決定幾個三角形?(2004 台大電機甄試)

    31. U小乖U一心想念外文系,學測之後依照自己的分數列出 7 所大學的外文系,其中包含中山外文系與輔仁外文系,但依申請入學規定:一名考生依照志願的次序,只能申請 5 個科系。若 U小乖 U自 7 所大學的外文系中,申請其中 5 個系,但中山與輔仁的外文系都不排在第二與第三志願的排法有 種。 (92 台北區指定考科乙模擬測驗 2)

    32. 世界盃棒球賽,共有 12 隊參賽,先抽籤均分成四組進行預賽,各組的第一名才有資格進入複賽爭奪冠軍,請問亞洲三強台灣、日本、南韓在預賽均不同組的分法有幾種?

    33. 設 A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5,6},則從 A 到 B 的函數中,滿足 (1)f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)者共有幾個?(2) f(1)

  • ~排列組合−26~

    肆、綜合練習解答 1. [答案]:13 人

    [解法]:設選手有n 個人⇒總共比賽了C Pn PB2 B=78⇒n(n−1)

    2 =78 ⇒n=13。

    2. [答案]:161280 [解法]:將爸爸,媽媽,哥哥,妹妹視為一人,與其他人做環狀排列,在對調哥哥與妹

    妹、爸爸與媽媽⇒9!9 ×2!×2!=161280。

    3. [答案]:90

    [解法]:如例題 6 的想法⇒12!

    4!4!2!2!=90。

    4. [答案]:14

    [解法]:Q321

    11nk

    nk

    nk CCC +− == ,∴

    ⎩⎨⎧

    ⋅=⋅=⋅

    +

    )2......(23)1.....(2

    1

    1nk

    nk

    nk

    nk

    CCCC

    由(1)⇒2×n!

    (k−1)!(n−k+1)! =n!

    k!(n−k)! ⇒n−3k+1=0….(3)

    由(2)⇒3×n!

    k!(n−k)!=2×n!

    (k+1)!(n−k−1)! ⇒2n−5k−3=0…(4)

    由(3)(4)可解得(n,k)=(14,5)⇒n=14。

    5. [答案]:520 [解法]:

    恰有 1 個 1:1×××⇒4!

    3!1!×1×5P3

    P=500

    恰有 3 個 1:1×11⇒4!

    3!1!×1P3

    P×5=20

    ⇒共有 500+20=520 個。

    6. [答案]:100,40 [解法]: (1)數字不重複⇒PP6PB3 B−PP5 PB2 B=100。 (2)依照被 3 除的餘數來分類,可分成A:0,3、B:1,4、C:2,5 三組,從A、B、C三組中各取一個數字和為 3 的倍數 含 0 的有CP2 PB1 B×CP2 PB1B=4,排列數=(3!−2!)×4=16。 不含 0 的有CP2 PB1 B×CP2 PB1B=4,排列數=3!×4=24。 共有 16+24=40 個。

    7. [答案]:672 [解法]: 全部的選法−(甲、乙同時被選上)

  • ~排列組合−27~

    =CP10 PB3B×3!−(CP3 PB2B×2!×8)=672。

    8. [答案]:43200 [解法]: 將男生分成 1,1,1,1,2 五組,再與 4 位女生配對,最後再分配周一到周五的值日生。

    (C P6 PB1B×C P5PB1 B×C P4 PB1 B×CP3 PB1B×CP2 PB2 B×1

    4!)×4!×5!=43200

    9. [答案]:30 [解法]: 考慮 A→C→E→B 與 A→D→F→B 兩種路線的走法

    A→C→E→B:4!

    3!1!×1×3!

    2!1!=12。

    A→D→F→B:4!

    2!2!×1×3!

    2!1!=18

    共有 12+18=30 種走法。

    10. [答案]:15 [解法]: 如例題 16 的想法,相當於 1~7 這 7 個數字選兩個不相連的數字。 選法=CP6 PB2 B=15。

    11. [答案]:161 [解法]:(男、女): )4,4( 或 )5,3( 或 )6,2( 共有 16176

    42

    75

    43

    74

    44 =⋅+⋅+⋅ CCCCCC 種。

    12. [答案]:342 [解法]:全部的坐法−(兄弟選坐相鄰位置)=PP20 PB2B−2!×19=342。

    13. [答案]:15 [解法]: 計算含A的矩形共CP1 PB1 B×C P3 PB1 B×CP1 PB1 B×CP3 PB1 B=9 同理含B的矩形共CP1 PB1 B×CP3 PB1 B ×CP3 PB1B×C P1 PB1 B=9 含A且含B的矩形共CP1 PB1 B×C P3 PB1B ×C1B1 B×CP1 PB1 B=3 至少含A或B兩點之一的長方形有 9+9−3=15 個。

    14. [答案]:2100 [解法]:女:男=10:5=2:1

    ⇒女選出 6×2

    2+1=4 人,男選出 2 人,方法有CP10

    PB4B×C P6 PB2 B=2100。

    15. [答案]:210 [解法]:先將其他 7 人分成 3,2,2 三組,再將甲乙排入

    (C P7 PB3B×C P4PB2 B×C P2 PB2 B×1

    2!)×2!=210。

    A

    B

    C

    D

    E

    F

  • ~排列組合−28~

    16. [答案]:21 [解法]: 買丙或丁或戊(700 元)者,可送甲或乙,方法有:3×2=6 種 買己或庚或辛(800 元)者,可送甲或乙或丙或丁或戊,方法有:3×5=15 種 共有 6+15=21 種

    17. [答案]:576 [解法]:體育頻道排列有 2!種 新聞台組與綜藝台組排列有 2!種 新聞台組內各頻道排列有 3!種,綜藝台組內各頻道排列有 4!種 頻道分配共有 2!×2!×3!×4!=576 種分配法。

    18. [答案]:25 [解法]: 若球衣為白色時,最多有 331 =× 種方法 若球衣為綠色時,最多有 11134 =−× 種方法(扣除紅色球帽配灰色球鞋) 若球衣為藍色時,最多有 11134 =−× 種方法(扣除紅色球帽配灰色球鞋) 故共有 2511113 =++ 種方法

    19. [答案]:(4) [解法]:第二碼可填入 25 個字母,後四碼可以填入 10P3 P−10 種號碼,由乘法原理 故所有第一碼為A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 25× 990。

    20. [答案]:16 [解法]:共有 2×2×2×2=16 種排名方式。

    21. [答案]:(A)(B)(D) [解法]:依題意,C、D 間有 2 人不為 A、B,故排列方式必為 A∆BC∆∆D 或 C∆∆DA∆B之一,其中 A、B 可交換,C、D 可交換。

    22. [答案]:30240 [解法]:先將 A、B、C 做環狀排列,AB、BC、CA 中分別安排 3 人、2 人、2 人的方法有 3 種,再將 7 人排入這 7 個位置。

    ⇒3!3 ×3×7!=30240。

    23. [答案]:44 [解法]: (a−1)(b−2)(c−3)(d−4)(e−5)≠0 ⇔ a≠1 且 b≠2 且 c≠3 且 d≠4 且 e≠5 ⇔ 全−(a=1 或 b=2 或 c=3 或 d=4 或 e=5)=5!−(5×4!−10×3!+10×2!−5×1!+1×0!)=44。

    24. [答案]:(1)9!3! (2)

    9!3!6!

    [解法]:

    (1) 母音保持 a,o,i 之順序的排法有9!3!種。

  • ~排列組合−29~

    (2) 母音保持 a,o,i 之順序,同時子音保持 f,c,t,r,n,g 之順序有9!

    3!6!種。

    25. [答案]:21 [解法]:第一把最多試 6 次,第二把最多試 5 次,…,第七把最多試 0 次, ⇒6+5+4+3+2+1+0=21。

    26. [答案]:(1)6×7P3P (2)720 (3)220 [解法]: (1)數字可重複: 首位有 6 種排法,第二、三、四位數各有 7 種排法⇒可做成 6×7 P3P個四位數。 (2)數字不重複: 全部的排法−0 排首位=PP7 PB4 B−PP6 PB3 B=720。 (3)末位數字=0⇒PP6 PB3 B=120,末位數字=5⇒PP6 PB3 B−PP5PB2 B=100 共有 120+100=220 個。

    27. [答案]:149 [解法]:分三種情形: (1) 2×2:有 8×7=56 個 (2) 1×4:有 6×8=48 個 (3) 4×1:有 9×5=45 個 ⇒共有 56+48+45=149 個。

    28. [答案]:120 [解法]:從 1~10 中選出 3 個數a,b,c,Qa

  • ~排列組合−30~

    31. [答案]:1200 [解法]:先排第二、第三志願,再排其他的校系 ⇒C P5PB1 B×C P4 PB1 B×5×4×3=1200。

    32. [答案]:7560 [解法]:先將其他 9 隊分成 3,2,2,2 三組,再將亞洲三強台灣、日本、南韓分配入各組

    分法=(CP9 PB3 B×CP6 PB2 B×C P4 PB2B×CP2 PB2 B×1

    3!)×3!=7560。

    33. [答案]:(1)126 (2)15 [解法]: (1)Q f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4),∴B中的元素中重複取 4 個,取定之後,f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的對應就決定了。故共有HP6 PB4 B=126 個函數。 (2)Q f(1)

  • ~排列組合−31~

    2 同 2 同:選法=CP2 PB2B =1,排列數=1×4!

    2!2!=6

    2 同 2 異:選法=CP2 PB1B×C P3 PB1B=6,排列數=6×4!2!=72

    四 異:選法=CP4 PB4B=1,排列數 1×4!=24 共可排出 12+6+72+24=114 個四位數。

    40. [答案]:36 [解法]: 四同色:CP4 PB1 B=4,三同一異色:C P4 PB2 B×2×1=12,二同二同色:C P4 PB2 B×1=6,

    二同二異色:CP4 PB3 B×3×1=12,四異色:CP4 PB4 B×4!4×3=2。

    共有 4+12+6+12+2=36 種。

    41. [答案]:1266 [解法]: 全部的取法−不符合題目要求的情形 =CP54 PB2B−(CP2 PB2 B+C P3 PB2 B+CP4 PB2B+…+CP10 PB2B)=CP54 PB2 B−( C P3PB3 B+CP3 PB2 B+CP4 PB2 B+…+CP10PB2 B)=C P54 PB2B−C P11PB3 B=1266。