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高等院校信息管理与信息系统专业系列教材
运筹 学模型与方法教程
例题分析与 题解
刘满凤 傅 波 聂高辉 编著
清 华 大 学 出 版 社
( 京) 新登字 158 号
内 容 简 介
本书是根据《运筹学模型与方法教程》( 程理民 , 吴江 , 张玉林编著) 而编写的配套教学辅助用书 . 全书
共分 10 章 , 内容包括: 线性规划模型 , 整数规划模型, 动态规划 , 对策论模型 , 网络模型 , 存储模型 , 决策分
析模型 , 随机服务系统模型 , 多目标决策模型 . 每章内容均按重点难点提要、主要解题方法与典型例题分
析、习题及习题解答四部分进行编写 . 全书最后的附录中有 5 个具有现实指导意义的运筹学案例 .
本书可作为高等院校财经类和信息管理类专业本科生和工商管理硕士( MBA)研究生学习运筹学的参
考用书, 也可供教师教学参考 .
版权所有, 翻印必究。
本书封面贴有清华大学出版社激光防伪标签, 无标签者不得销售。
图书在版编目( CIP)数据
�运筹学模型与方法教程例题分析与题解/ 刘满凤, 傅波, 聂高辉 编著. —北京: 清华大学
出版社, 2000
ISBN 7-302-04088-5
�Ⅰ. 运⋯ Ⅱ. ① 刘⋯② 傅⋯③ 聂⋯ Ⅲ. 运筹学—数学模型—高等学校—解题
Ⅳ. O22-44
中国版本图书馆 CIP 数据核字( 2000) 第 75656 号
出版者: �清华大学出版社 ( 北京清华大学学研大厦, 邮编 100084)
ht tp: / / w ww. tup. tsinghua . edu . cn
印刷者: 印刷厂
发行者: 新华书店总店北京发行所
开 本: 787× 1092 1/ 16 印张: 18.75 字数: 455 千字
版 次: 2001 年 1 月第 1 版 2001 年 1 月第 1 次印刷
书 号: ISBN 7-302-04088-5/ T P·2410
印 数: 0001～0000
定 价: 元
出 版 说 明
20 世纪三四十年代, 长期摸索前进的古老的计算技术与刚走向成熟的电子技术结合.
这一结合, 不仅孕育了新一代计算工具——电子计算机, 还产生了当时谁也没有料到的巨大
效应. 电子计算机——这种当初为计算而开发出来的工具, 很快就超出计算的范畴, 成为“信
息处理机”的代名词; 人类开始能够高效率地开发并利用信息; 信息对人类社会的作用得以
有效地发挥, 并逐步超过材料和能源成为人类社会的重要支柱; 信息产业急剧增长, 信息经
济高速发展, 社会生产力达到了新的高度; 人们的信息化意识不断加强, 人类在信息资源方
面开始更加激烈的竞争, 社会发展走上信息化轨道.
科学技术是第一生产力, 教育是基础. 为了加速社会信息化的过程, 以培养信息资源开
发人才为目标的信息管理与信息系统专业应运而生.
从与信息有关的学科纵向来看, 信息管理与信息系统处于信息学、信息技术、信息管理、
信息经济、信息社会学这个层次的中间, 它下以信息学和信息技术为基础, 上与信息经济和
信息社会学相关联. 从其涉及的学科横向来看, 它处在管理学、信息科学与技术、系统科学等
有关学科领域的交叉点上. 它对技术有极高的要求, 又要求对组织的深刻理解和对行为的合
理组织, 反映了科学与人本融合的特点. 这种交叉和融合正是信息管理与信息系统的最重要
的特征, 是别的学科或专业难以取代和涵盖的.
我国的信息管理与信息系统专业创建于 20 世纪 70 年代末. 在不到 20 年的时间里, 已
发展到 150 多个点, 成为培养信息化人才的主要摇篮. 其发展速度之快、影响之深远, 已令世
人和学术界刮目相看.
然而, 作为一个新的学科, 这个专业的课程体系、教学内容以及教学方法都需要经历一
个逐步完善、逐步成熟的过程. 特别是教材的建设更需要经过长期的实践和探索. 没有这样
一个过程, 具有专业特点、符合中国实际的教材是不可能产生的. 近 20 年来, 大家一直在课
程体系的完善和建设并具有自己专业特点的教材方面不断进行探讨. 1991 年全国 10 所财
经类院校的经济信息管理专业负责人汇聚在太原召开第一次教学研讨会. 以后, 1993 年在
大连、1995 年在武汉、1997 年在烟台, 又有更多的院校参加了这一研讨. 在讨论中, 各校的同
仁一致认为, 教材建设是当务之急, 它不仅直接体现和落实培养目标, 同时也是学科建设的
根本所在, 目前一些课程缺乏专业特点, 简单搬用其他专业教材的状况亟待改变. 在武汉会
议上, 这一共识得到了与会的国家教委有关部门负责同志的赞许, 清华大学出版社也对此给
予了热情的支持. 会议确定了首批计划编写八九本教材, 由张基温教授主持实施, 由清华大
学出版社出版. 在实施过程中, 还聘请了魏晴宇、陈禹两位教授作为顾问.
经过两年多的工作, 在全国许多高等院校的同仁共同努力下, 其中 7 本已完成初稿. 我
们希望这批教材的问世, 能够起到抛砖引玉的作用, 对各校信息管理与信息系统专业的建设
和发展有所裨益.
近 20 年来的实践使我们对信息管理与信息系统专业的重要性和困难有了切身的体会.
一方面, 席卷全球的信息化大潮把信息管理推到了时代发展的前沿, 信息、信息管理、信息系
·Ⅰ·
统已经成为全社会注视的热点. 这为信息管理与信息系统专业的建设创造了良好的外部条
件, 提供了难得的机遇. 另一方面, 信息技术的迅速发展与普及, 多种社会经济因素的互相渗
透和影响, 前所未有的许多新问题、新情况的出现, 又给这个专业的发展带来了很大的困难.
我们深感责任之重大和任务之艰巨. 在这套教材问世之时, 我们再次表示这样一个心愿: 希
望与全国的同行共勉, 为祖国信息化建设的宏伟事业多添一块砖, 多加一块瓦, 多出一份力,
培养出更多的优秀人才.
由于上述种种原因, 这套教材当然不会是完整的, 也不会是完美的. 它必然要不断补充、
不断修改、不断完善. 因此, 对于它的任何修改意见, 都是我们非常盼望的. 希望能够在这套
教材出版后, 收到更多的意见和建议, 使之逐步走向成熟.
全国高等院校计算机基础教育研究会
财 经 信 息 管 理 专 业 委 员 会
信息管理与信息系统专业教材编委会1997 年 9 月
·Ⅱ·
前 言
《运筹学模型与方法教程》一书出版后, 应广大教师和学生的需要, 为完善《高等院校信
息管理与信息系统专业系列教材》, 我们组织编写了这本与原教材配套使用的例题分析与
题解.
本书汇集了参加编写的同志和编写原教材的同志, 在多年的教学中积累起来的经验, 包
括运筹学解题思想、典型解题方法、典型例题及习题资料, 并从国内外有关文献中选择了部
分例题, 从江西财经大学 MBA 研究生中选择了 5 个学生的优秀案例, 经进一步整理加工而
成. 全书共 10 章, 例题与习题共计 400 余题. 考虑到各种不同层次和不同专业的需要, 本着
突出重点, 解决难点的宗旨, 在编写时, 每章均按重点难点提要、主要解题方法及典型例题介
绍、习题及习题解答四个部分进行编写, 着重讲述基本概念, 阐明基本理论和基本方法, 突出
解题技巧, 注重建模思想的介绍, 强调如何运用运筹学知识建立实际问题的模型, 并进一步
解决实际问题. 本书论述力求简洁透彻, 深入浅出, 文字通俗易懂, 以期达到事半功倍之效.
本书可作为高等院校财经类和信息管理类专业本科生和工商管理硕士( MBA ) 研究生
学习运筹学的参考用书, 也可供教师教学参考.
参加本书编写的有江西财经大学副教授刘满凤( 第 1、2、3 章)、江西财经大学讲师傅波
(第 4、5、6 章) 和江西财经大学副教授聂高辉(第 7、8、9 章) . 全书由刘满凤统稿, 并由程理民
教授和吴江教授审稿. 在编写过程中, 得到江西财经大学信息学院各位同仁的大力支持, 谨
在此表示感谢.
由于编者水平有限, 时间仓促, 书中可能存在不少缺点和错误, 热忱欢迎广大读者批评
指正.
编 者
2000. 7. 5
·Ⅲ·
目 录
第 1 章 运筹模型概论( 略) 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 2 章 线性规划模型 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2. 1 重点、难点提要 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2. 2 主要解题方法和典型例题分析 6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2. 3 习题 30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2. 4 习题解答 40⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 3 章 整数规划模型 61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3. 1 重点、难点提要 61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3. 2 主要解题方法和典型例题分析 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3. 3 习题 71⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3. 4 习题解答 77⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 4 章 动态规划 85⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4. 1 重点、难点提要 85⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4. 2 主要解题方法和典型例题分析 86⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4. 3 习题 97⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4. 4 习题解答 100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 5 章 对策论模型 113⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5. 1 重点、难点提要 113⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5. 2 主要解题方法和典型例题分析 117⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5. 3 习题 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5. 4 习题解答 130⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 6 章 网络模型 144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6. 1 重点、难点提要 144⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6. 2 主要解题方法和典型例题分析 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6. 3 习题 155⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6. 4 习题解答 160⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
·Ⅴ·
第 7 章 存储模型 171⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7. 1 重点、难点提要 171⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7. 2 主要解题方法和典型例题分析 176⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7. 3 习题 178⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7. 4 习题解答 179⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 8 章 决策分析模型 182⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8. 1 重点、难点提要 182⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8. 2 主要解题方法和典型例题分析 183⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8. 3 习题 195⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8. 4 习题解答 199⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 9 章 随机服务系统模型 213⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9. 1 重点、难点提要 213⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9. 2 主要解题方法和典型例题分析 216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9. 3 习题 221⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9. 4 习题解答 223⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第 10 章 多目标决策模型 228⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10. 1 重点、难点提要 228⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10. 2 主要解题方法和典型例题分析 232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10. 3 习题 238⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10. 4 习题解答 242⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
附录 运筹学案例 253⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
案例 1 某集团摩托车公司产品年度生产计划的优化研究 253⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
案例 2 A 市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究 259⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
案例 3 某设计项目人员指派方案的研究 266⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
案例 4 某计量所投资优化、人员组合优化模型研究 277⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
案例 5 运输路线的最优化问题 287⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
参考文献 292⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
·Ⅵ·
第 1 章 运筹模型概论
1. 1 运筹学的历史与性质
运筹学的早期工作及其历史可追溯到 1914 年, 当时兰彻斯特 ( Lanchest er )提出军事运
筹学的战斗方程. 1917 年, 排队论的先驱者丹麦工程师埃尔朗 ( Erlang) 在哥本哈根电话公
司研究电话通信系统时, 提出了排队论的一些著名公式. 存储论的最优批量公式是在 20 世
纪 20 年代初提出的. 在商业方面列温逊在 20 世纪 30 年代已用运筹思想分析商业广告、顾
客心理. 线性规划是丹青格( G . B. Dant zing) 在 1947 年发表的成果, 所解决的问题是美国空
军军事规划时提出的, 创造性地提出了求解线性规划问题的单纯形方法. 早在 1939 年苏联
的学者康托洛维奇( Л. B. KA H TOP OBИУ) 在解决工业生产组织和计划问题时, 已提出了
类似线性规划模型, 并给出了“解乘数法”的求解方法, 可惜当时未被重视.
运筹学作为一门学科诞生于 20 世纪 30 年代末期, 通常认为运筹学的活动是第二次世
界大战早期从军事部门开始的. 当时, 英国为了研究“如何最好地运用空军及新发明的雷达
保卫国家”, 成立了一个由各方面专家组成的交叉学科小组, 这就是最早的运筹学小组. 它的
任务是进行“作战研究”( operational research ) , 后来, 美国从事这方面研究的科学家又称之
为“O. R. , operat ions research”, 该名字广泛使用至今. O. R . 的中文译名“运筹学”则是出自
《史记》卷八的“高祖本记”中刘邦的一句话:“夫运筹于帷幄之中, 决胜于千里之外, 吾不如子
房”. 借用了其中的“运筹”二字作为 O. R. 的中文译名倒也十分恰当, 说明运筹学不只是数
学, 还含有决策、规划的意思.
第二次世界大战期间, 英国和美国的军队中都有运筹学小组, 它们研究诸如护航舰队保
护商船队的编队问题; 当船队遭受德国潜艇攻击时, 如何使船队损失最小的问题; 反潜深水
炸弹的合理起爆深度问题; 稀有资源在军队中的分配问题等. 研究了船只受到敌机攻击时应
采取的策略, 它们提出了大船应急转向, 小船应缓慢转向的躲避方法, 该研究成果使船只的
中弹率由 47% 降到 29% . 研究了反潜深水炸弹的合理起爆深度后, 德国潜艇的被摧毁数增
加到 400% . 当时的英国空中战斗、太平洋岛屿战斗、大西洋北部战斗等一系列战斗的胜利,
被公认为与运筹学密切相关. 运筹学在军事上的显著成功, 引起了人们广泛的关注. 第二次
世界大战结束后, 运筹学很快深入到工业、商业、政府部门等, 并得到了迅速发展. 战后, 在
英、美军队中相继成立了更为正式的运筹研究组织. 以兰德公司( RAN D)为首的一些部门开
始着重研究战略性问题, 如未来的武器系统的设计和其可能合理运用的方法. 例如, 为美国
空军评价各种轰炸机系统, 讨论未来的武器系统和未来战争的战略. 到 20 世纪 50 年代, 由
于开发了各种洲际导弹, 到底发展哪种导弹, 运筹学界也投入了争论; 到 20 世纪 60 年代, 参
与了战略力量的构成和数量问题研究等.
在 20 世纪 50 年代中期, 钱学森、许国志等教授全面介绍运筹学, 并结合我国的特点在
国内推广应用. 1957 年, 我国在建筑业和纺织业中首先应用运筹学; 从 1958 年开始在交通
运输、工业、农业、水利建设、邮电等方面陆续得到推广应用. 比如, 粮食部门为解决粮食的合
·1·
理调运问题, 提出了“图上作业法”, 我国的运筹学工作者从理论上证明了它的科学性. 在解
决邮递员合理投递路线时, 管梅谷教授提出了国外称之为“中国邮路问题”的解法. 从 20 世
纪 60 年代起, 运筹学在钢铁和石油部门开始得到了比较全面、深入的应用. 从 1965 年起统
筹法在建筑业、大型设备维修计划等方面的应用取得可喜的进展; 1970 年在全国大部分省、
市和部门推广优选法; 70 年代中期, 最优化方法在工程设计界受到了广泛的重视, 并在许多
方面取得成果; 排队论开始应用于矿山、港口、电信及计算机设计等方面; 图论用于线路布
置、计算机设计、化学物品的存放等; 70 年代后期, 存储论在应用汽车工业等方面获得成功.
近年来, 运筹学已趋向研究和解决规模更大、更复杂的问题, 并与系统工程紧密结合. 在此期
间, 以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究队伍, 使运筹学的很多分支很快
跟上当时的国际水平.
从以上可见, 为运筹学的建立和发展做出贡献的有物理学家、经济学家、数学家、其他专
业的学者、军官和各行业的实际工作者.
运筹学是一门应用科学, 至今还没有统一且确切的定义. 我们给出以下几个定义来说明
运筹学的性质和特点.
莫尔斯( P. M. Morse) 和金博尔( G . E. Kimball) 的定义是:“运筹学是为决策机构在
对其控制下业务活动进行决策时, 提供以数量化为基础的科学方法. ”它首先强调的是科学
方法, 其含义不单是某种研究方法的分散和偶然的应用, 而是可用于整个一类问题上, 并能
传授和有组织的活动. 它强调以量化为基础, 必然要运用数学. 但任何决策都包含定量和定
性两方面, 而定性方面又不能简单地用数学表示. 如政治、社会等因素, 只有综合多种因素的
决策才是全面的. 运筹学工作者的职责是为决策者提供可以量化方面的分析, 指出那些定性
的因素.
另一定义是:“运筹学是一门应用科学, 它广泛地应用现有科学技术知识和数学方法, 解
决实际中提出的专门问题, 为决策者选择最优决策提供定量的依据. ”该定义表明运筹学具
有多学科交叉的特点, 如综合运用经济学、心理学、物理学、化学中的一些方法. 运筹学强调
最优决策.“最”是过分理想了, 在实际生活中往往用次优、满意等概念代替最优.
又一定义是:“运筹学是一种给出问题坏的答案艺术, 否则的话, 问题的结果会更坏. ”
最早建立运筹学会的国家是英国( 1948 年) , 接着是美国 ( 1952 年)、法国( 1956 年) 、日
本和印度( 1957 年) 等. 到 1986 年为止, 国际上已有 38 个国家和地区建立了运筹学会及类
似的组织. 我国的运筹学会成立于 1980 年. 在 1959 年, 由英、美、法三国的运筹学会发起成
立了国际运筹学联合会( IF ORS) , 以后各国的运筹学会纷纷加入, 我国于 1982 年加入该会.
此外还有一些地区性组织, 如欧洲运筹学协会( EU RO ) 成立于 1976 年, 亚太运筹学协会
( AP ORS) 成立于 1985 年.
为了有效地应用运筹学, 前英国运筹学学会会长汤姆林森( T omlinson) 提出六条原则:
( 1) 合伙原则 是指运筹学工作要和各方面的人士, 尤其是同实际部门工作者合作.
( 2) 催化原则 在多学科共同解决某问题时, 要引导人们改变一些常规的看法.
( 3) 互相渗透原则 要求多部门彼此渗透地考虑问题, 而不是只局限于本部门.
( 4) 独立原则 在研究问题时, 不应受某人或某部门的特殊政策所左右, 应独立工作.
( 5) 宽容原则 解决问题的思路要宽, 方法要多, 而不是局限于某种特定的方法.
( 6) 平衡原则 要考虑各种矛盾的平衡、关系的平衡.
·2·
1. 2 运筹学模型及其研究的特点
运筹学在解决实际问题的过程中, 其核心问题是建立模型. 整个过程的主要步骤如下.
1. 提出问题, 明确目标
解决实际问题总是从对现实系统的详细分析开始. 通过对系统中错综复杂的现状分析,
找出影响系统的主要问题, 提出要解决的问题. 如果主要问题有多个, 就要把急待解决的最
主要的问题摆在首位. 通过对问题的深入分析, 明确主要目标、主要变量和参数以及它们的
变化范围, 弄清它们之间的相互关系. 同时, 还要对解决所提出问题的困难程度, 可能花费的
时间与成本以及获得成功的可能, 从技术、经济和操作的可行性等方面进行分析, 做到心中
有数, 目的更明确.
2. 构建模型
运筹学的一个显著特点就是通过模型来描述和分析所提出问题范围内的系统状态. 构
建模型是运筹学研究的关键步骤. 运筹学中的模型主要有像形模型、模拟模型和数学模型三
大类型, 并以数学模型为主. 由于模型代表着所研究的实际问题中最本质、最关键和最重要
的基本状态, 它必然是对现实情况的一种抽象, 不可能完全准确地反映实际问题. 因此, 在建
造模型时, 往往要根据一些理论的假设或设立一些前提条件对模型进行必要的抽象和简化.
在建立模型前, 必须搜集和掌握与问题有关的数据信息资料, 对其进行科学地分析和加
工, 以获得建模所需要的各种参数.
运筹学的数学模型一般包括: ( 1) 一组需要通过求解模型确定的决策变量; ( 2) 一组反映
系统逻辑和约束关系的约束函数; ( 3) 反映决策目标的目标函数; ( 4) 与系统密切相关的各种
参数.
模型的构造是一门基于经验的艺术, 既要有理论作指导, 又要靠实践积累建模的经验,
切忌把运筹学模型硬套某些问题. 建模时不能把与问题有关的所有因素都考虑进去, 只能暂
时不考虑非主要因素, 而抓住主要因素; 否则, 模型将会过于复杂而不便于分析和计算. 同
时, 模型的建立不是一个一次性的过程, 一个好的模型往往要经过多次修改才可能符合实际
情况. 构建运筹学模型一要尽可能简单; 二要能较完整地描述所研究的问题.
3. 求解与检验
建模后, 要对模型进行求解计算, 其结果是解决问题的一个初步方案. 此方案是否满意,
还需检验. 如果不能接受, 就要考虑模型的结构和逻辑关系的合理性、采用数据的完整性和
科学性, 并对模型进行修正或更改. 只有经过反复修改验证的模型, 才能最终给管理决策者
提供一项既有科学依据, 又符合实际的可行方案. 值得一提的是, 由于模型和实际存在差异,
由模型求解所得的最优解有可能不是真实系统中问题的最优解, 它可能只是一个满意解. 因
此, 运筹学模型求解的结果只能提供管理决策者最终决策的一个参考.
4. 结果分析与实施
借助模型求出结果, 不是运筹学研究的终结, 还必须对结果进行分析, 对求解出的结果,
决不能仅仅理解为一个或一组最优解. 对结果进行分析, 要让管理人员和建模人员共同参
与. 要让他们了解求解的方法步骤, 对结果赋予经济含义, 并从中获取求解过程中提供的多
种宝贵的经济信息, 使双方对结果取得共识. 让管理人员参加对结果分析的全过程, 有利于
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掌握分析的方法和理论, 便于以后完成日常分析工作, 保证结果分析的真正实施.
对结果分析的实施, 关系到被研究系统总体效益能否有较理想的提高, 也是运筹学研究
的最终目的. 因此, 在实施过程中, 不仅要求加强系统内部科学管理, 保证按支持结果的管理
理论和方法进行, 而且要求管理人员密切关注系统外部的市场需求、价格波动、资源供给和
系统内部的情况变化, 以便及时调整系统的目标、模型中的参数等. 从某种意义上说, 将分析
结果成功地实施, 是运筹学研究的最重要的一步.
运筹学发展到今天, 内容已相当丰富, 分支也很多, 可以根据所解决问题的主要特征将
其分为两大类: 确定型模型和概率型模型. 确定型模型主要包括: 线性规划、整数规划、目标
规划、非线性规划、动态规则、图与网络; 概率型模型主要包括: 决策论、对策论、排队论、存储
论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等.
运筹学研究问题具有以下特点:
( 1) 面向实际, 从全局追求总体效益最优. 运筹学是为决策寻找科学依据的, 其最终目
的是为解决企业(或系统) 实际问题提供决策方案. 它依赖于与问题相关的信息资料, 用系统
的观点分析企业(或系统) 时, 着眼于全局, 而不是某个局部, 通过协调各部门之间的关系, 帮
助企业(或系统) 决策者用全局的观点加强对各部门的管理, 使整个企业(或系统) 的总体效
益达到最优.
( 2) 借助于模型, 用定量分析的方法, 合理解决实际问题. 在解决企业( 或系统) 问题的
过程中, 运筹学运用系统分析的方法, 构建一个能合理反映实际问题的模型, 并用数学方法
和技巧进行定量分析, 其结果将是解决实际问题的较好方案.
( 3) 多学科专家集体协作研究. 运筹学从它问世之日起就是由许多知识专长不同的人
共同努力而取得成果的. 这是因为要解决的实际问题来自于各行各业, 在构建与求解模型
时, 不可避免地要涉及到各方面的科学技术知识和方法. 尤其是那些大而复杂的系统, 往往
与政治、经济、技术、社会、心理、生态等多种因素密切相关。而具备运筹学知识的人又不可能
对各个领域都很精通, 这就需要有多学科专家的集体智慧共同努力, 加上企业决策者的直接
参与, 才有可能较好地解决问题.
( 4) 电子计算机是不可缺少的工具. 近 50 年来, 随着电子计算机的发展, 使许多运筹学
方法得以实现和发展. 没有电子计算机, 运筹学只是一种理论科学, 不会象今天这样成为广
泛应用、不断发展的应用学科. 在解决实际问题时, 应用计算机既可避免在利用模型进行求
解时大量重复计算的劳动, 又可利用它对某些实际问题进行仿真模拟, 达到解决问题的目
的. 因此, 电子计算机是运筹学研究不可缺少的工具.
1. 3 运筹学模型的应用及其在经济信息管理中的作用
近几十年来, 运筹学模型已广泛应用于许多领域, 深入到国民经济的多个方面, 诸如生
产计划管理、市场预测与分析、资源分配与管理、工程优化设计、运输调度管理、库存管理、企
业管理、区域规划与城市管理、计算机与管理信息系统等. 随着社会经济和计算机的迅速发
展, 运筹学模型在经济管理中的作用将越来越受到重视, 应用运筹学模型的领域越来越
广泛.
从运筹学模型的构建与应用的整个过程可以看出, 提出问题和明确目标依赖于企业对
·4·
系统外部环境和内部管理经济信息的掌握; 构建模型需要所提问题的有关( 经过科学加工处
理的)数据信息作支撑; 求解模型的结果又产生新的经济信息, 它必须用现实环境作检验; 在
对结果分析和实施中更需要密切关注整个内部经济活动和外部市场动态的经济信息, 并及
时反馈给企业的管理决策者, 以使运筹学模型保持适应外部市场和企业内部经济环境的动
态平衡. 缺乏经济信息的支持, 运筹学模型将不可能达到预期的目标. 它们之间的关系如图
1. 1 所示。
图 1. 1
总之, 运筹学模型的构建和应用离不开过去、现在和将来(通过预测获得) 有关的经济信
息. 这些宝贵的信息获取来自于企业的管理信息系统.
应用运筹学模型, 强烈要求获取的经济信息具有针对性、准确性和时效性. 运筹学模型
仅仅为企业的管理决策者提供一个或多个参考方案, 只有企业的经济管理信息系统获取需
要的信息量越大, 准确度越高, 时效性越强, 决策者才可能有正确的决策, 所选用的方案才会
有最佳的效果. 为此, 企业必须加强管理信息系统的建设, 强化管理信息系统处理经济信息
的科学性和高效性. 因此, 运筹学模型的应用必将促进企业经济信息管理的现代化和科
学化.
·5·
第 2 章 线性规划模型
2. 1 引 言
在经济生活中, 经常会遇到在有限的资源( 如人力、原材料、资金等)情况下, 如何合理安
排, 而使效益达到最大; 或者对给定的任务, 如何统筹安排现有的资源, 完成给定的任务而使
花费最小. 这类现实中的优化问题, 都可以用线性规划的数学模型来描述.
线性规划是运筹学的重要分支, 也是运筹学最基本的部分. 20 世纪 30 年代末, 前苏联
学者康托洛维奇首先研究了线性规划问题, 并提出了解线性规划问题的“解乘数法”. 随后许
多学者也对此问题做了深入研究. 特别是从 1947 年美国学者丹青格提出求解线性规划的一
般方法——单纯形方法后, 线性规划的理论和方法趋向成熟.
线性规划应用极其广泛, 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输
业、军事、经济计划和管理决策领域都可以发挥作用. 它是现代科学管理的一种重要手段.
1961 年提出目标规划, 它的应用范围也极其广泛, 深为管理者所重视.
我们先看两个例子。
例 1 某工厂生产甲、乙两种产品. 每件产品的利润、所消耗的材料、工时及每天的材料
限额和工时限额, 如表 2. 1 所示. 试问如何安排生产, 使每天所得的利润为最大?
表 2. 1
甲 乙 限额
材料 2 �3 �24 |
工时 3 �2 �26 |
利润(元/ 件) 4 �3 �
这是一个生产计划问题. 可用如下数学模型描述. 设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 1
件和 x 2 件, 则该问题的数学模型是求一组变量 x 1 , x 2 满足
约束条件:
2x 1 + 3x 2 ≤ 24
3x 1 + 2x 2 ≤ 26
x 1 , x 2 ≥ 0 ,
且使目标函数 Z= 4x 1 + 3x2 的值达到最大.
即 �maxZ= 4x 1 + 3x 2
s. t .
2x 1 + 3x 2≤24
3x 1 + 2x 2≤26
x 1 , x 2≥0 .
其中“s . t . ”是英文“subject to ”的缩写.
例 2 某公司经销某种产品, 该产品由 3 个生产点 A1 , A2 , A3 生产, 日产量为 A1 = 60
·6·
吨, A2 = 40 吨, A 3 = 60 吨, 分别销往 4 个销售点 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , 各销地日销量为: B1 = 30 吨,
B 2 = 50 吨, B3 = 40 吨, B 4 = 40 吨. 已知每吨产品从各生产点到各销售地的运价如表 2. 2 所
示. 问如何调运, 保证产销平衡且总运费最小?
表 2. 2 ( 单位: 百元/ 吨)
产地
单位运价 销地 B1 �B2 cB3 �B4 y产 量
A1 5 �6 O10 �3 e60 6
A2 4 �1 O9 �7 e40 6
A3 4 �2 O3 �8 e60 6
销量 30 �50 f40 �40 |
这是一个产销平衡的运输问题, 即各产地产量的总和等于各销地销量的总和. 设从生产
点 Ai 到销售点 B j 的调运量为 x ij ( i= 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4) , 则该问题的数学模型为: �
min Z = 5x1 1 + 6x1 2 + 10x 13 + 3x 14 + 4x 21 + x 22 + 9x 23 + 7x 24
+ 4x 31 + 2x 32 + 3x 33 + 8x3 4 ,
s . t.
x1 1 + x 12 + x 1 3 + x 14 = 60
x2 1 + x 22 + x 2 3 + x 24 = 40
x3 1 + x 32 + x 3 3 + x 34 = 60
x1 1 + x 21 + x 3 1 = 30
x1 2 + x 22 + x 3 2 = 50
x1 3 + x 23 + x 3 3 = 40
x1 4 + x 24 + x 3 4 = 40
xij ≥ 0 ( i= 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4) .
上述例 1 和例 2 中两个不同类型的数学模型具有如下共同特征:
( 1) 有决策变量( 如例 1 中的 x i, 例 2 中的 x ij ) , 约束条件和目标函数等三个要素;
( 2) 目标函数是决策变量的线性函数, 约束条件是决策变量的线性等式或不等式.
同时满足以上特征的这类优化问题, 称为线性规划问题.
线性规划问题的求解过程本质上是迭代, 因此求解一个规模稍大的实际问题必须借助
于计算机. 目前, 电子计算机已能处理具有成千上万个约束条件和决策变量的大型线性规划
问题. 因此, 随着我国经济建设的不断深入发展, 电子计算机的普及与应用, 线性规划作为现
代科学管理的手段, 必将愈来愈广泛地得到应用.
本章主要介绍线性规划、运输问题、目标规划和 DEA 问题的数学模型及其解法.
2. 2 线性规划的数学模型
2. 2. 1 线性规划问题的标准型
线性规划问题有各种不同形式, 其目标函数可以是实现最大化, 也可以是实现最小化;
·7·
约束条件可以是“≤”, 也可以是“≥”, 还可以是“= ”的形式; 决策变量可以非负, 也可以是无
符号限制. 归纳起来, 线性规划问题的数学模型的一般形式为: �
max( min ) Z = c1 x 1 + c2 x 2 + ⋯ + cnx n , ( 2. 1)
s. t.
a 1 1x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1nx n ≤ ( = , ≥) b1
a 2 1x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2nx n ≤ ( = , ≥) b2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ⋯ + am nx n ≤ ( = , ≥) bm
x 1 , x2 , ⋯, x n ≥ 0 .
( 2. 2)
( 2. 3)
为以后研究之便, 我们规定如下标准型简写为 �
max Z = ∑n
j = 1
cj x j ,
s . t .∑
n
j = 1
aij x j = bi ( i= 1, 2, ⋯, m)
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, ⋯, n) .
令 �
b =
b1
b2
┆
bm
, P j =
a 1j
a 2j
┆
a mj
, X =
x1
x2
┆
xm
, C = ( c1 , c2 , ⋯, cn ) ,
A =
a1 1 a 12 ⋯ a 1n
a2 1 a 22 ⋯ a 2n
┆ ┆ ┆
am 1 a m2 ⋯ a mn
= ( P 1 , P 2 , ⋯, P n ) , 0 =
0
0
┆
0
.
因此, 标准型可描述为向量形式: �
max Z = CX ,
s. t.∑
n
j = 1
P j x j = b
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, ⋯, n) .
也可用矩阵形式描述:
max Z = CX ,
AX = b
X ≥ 0 .
称系数矩阵 A 为资源消耗系数矩阵, b 为资源限量向量, C 为价值向量, X 为决策变量向量.
同时, 我们对标准型还作如下假定:
( 1) 矩阵 A 的秩 rank( A) = m, 0< m< n. 这就是说, 标准型中的约束方程彼此独立, 没
有多余方程, 且约束方程个数小于变量的个数.
( 2) b≥0. 若有 bi< 0, 则可对第 i个约束方程两边同时乘以- 1 即可.
以下讨论如何将线性规划问题的一般形式化为标准型.
( 1) �如果目标函数为最小化, 即 min Z= CX.
·8·
只须令 Z′= - Z, 化为 max Z′= - CX 即可.
( 2) 如果约束方程为不等式.
①“≥”约束
不等式的左端- 某松弛变量= 右端 (该松弛变量≥0) .
②“≤”约束
不等式的左端+ 某松弛变量= 右端 (该松弛变量≥0) .
其中松弛变量的价值系数为 0.
③ 如果变量 x k 无非负性限制, 则可令 xk = x k′- x k″, 其中 x k′≥0, x k″≥0
例 3 化例 1 的数学模型为标准型.
解 例 1 的数学模型为 Y
max Z = 4x 1 + 3x2 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 ≤ 24
3x 1 + 2x 2 ≤ 26
x 1 , x 2 ≥ 0 .
对两个约束不等式分别加上一个松弛变量 x 3 , x 4 , 得如下标准型: U
max Z = 4x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 24
3x 2 + 2x 2 + x 4 = 26
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 .
例 4 化下述问题为标准型. �
min Z = - x 1 + 2x 2 - 3x 3 ,
s. t .
x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 7
- x 1 + x 2 - x 3 ≤- 2
- 3x 1 + x2 + 2x 3 = 5
x 1 , x 3 ≥ 0, x 2 无约束 .
请读者用上述方法完成之.
参考答案为 z
Z′= - Z ,
max Z′= x 1 - 2( x 2′- x2″) + 3x 3 + 0x 4 + 0x5 ,
s. t.
x 1 + 2( x2′- x 2″) + 3x 3 + x 4 = 7
x 1 - ( x 2′- x 2″) + x 3 - x 5 = 2
- 3x 1 + ( x 2′- x 2″) + 2x 3 = 5
x 1 , x2′, x 2″, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 .
2. 2. 2 线性规划问题解的概念
对于线性规划问题 �
max Z = ∑n
j = 1
cj x j , ( 2. 4)
·9·
s . t .∑
n
j = 1
a ij x j = bi i= 1, 2, ⋯, m
x j ≥ 0 j = 1, 2, ⋯, n .
( 2. 5)
( 2. 6)
可行解: 满足约束条件( 2. 5) 和( 2. 6)的解 X= ( x 1 , x 2 , ⋯, x n ) T 称为可行解.
最优解: 满足( 2. 4) 的可行解称为最优解.
基: 设 A 是约束方程组( 2. 5)的 m× n 阶系数矩阵, rank( A) = m, 如果 B 是矩阵 A 中的
一个 m× m 阶非奇异子矩阵( ©¦B©¦≠0) , 则称 B 是线性规划问题的一个基.
基向量与非基向量: 基 B 中的列向量称为基向量, 基 B 中含有 m 个基向量. 矩阵 A 中
除基 B 之外的各列即为非基向量, A 中共有( n- m)个非基向量.
基变量与非基变量: 与基向量 P j 对应的变量 x j 称为基变量; 否则称为非基变量.
基解: 令所有非基变量为 0, 求出的满足( 2. 5)的解称为基解.
基可行解与可行基: 满足( 2. 6) 的基解称为基可行解. 对应基可行解的基, 称为可行基.
基可行解的数目≤基解的数目≤Cmn .
图 2. 1
基本最优解与最优基: 满足( 2. 4) 的基可行解称为基本最优解, 对
应基本最优解的基称为最优基.
退化的基可行解: 基变量中含有零分量的基可行解, 称为退化的基
可行解; 否则称为非退化的基可行解.
以下讨论时, 一般都假设不出现退化的情况.
图 2. 1 表示了线性规划问题解之间的关系.
2. 2. 3 两个变量的线性规划问题的图解法
图解法简单直观, 有助于理解线性规划问题解的基本概念和定理.
图 2. 2
1. 图解法步骤
下面结合例 1 的求解来说明.
第一步: 在直角坐标系中分别做出各约束条
件, 求出可行域. 据直线分平面为两部分, 分析得
可行域, 如图 2. 2 阴影部分, 即四边形 O Q1 Q2 Q3 .
第二步: 做出一条目标函数等值线, 并确定 Z
值增大方向, 如图 2. 2 所示.
第 三 步: 沿 Z 值 增 大 方 向 移动, 当 移 至
Q2 ( 6, 4)点时, Z 值为最大, Z*
= 36.
2. 图解法的直观结论
( 1) 解的情况
① 有惟一最优解.
如例 1 具有惟一最优解, Q2 点, 即 X* = ( 6, 4) T , Z
* = 36.
② 有多重最优解.
如将例 1 的目标函数改为 Z = 4x 1 + 6x 2 , 约束条件不变, 则图 2. 2 中线段 Q3 Q2 上的任
一点均为最优解点.
③ 无界解.
·01·
例 �max Z = x 1 + x2 ,
s . t .x 1 + 2x2 ≥ 4
x 1 , x 2 ≥ 0 .
见图 2. 3.
④ 无可行解.
例 �max Z = x 1 + x2 ,
s . t .
x 1 + x 2 ≤ 3
x 1 + 2x2 ≥ 8
x 1 , x 2 ≥ 0 .
见图 2. 4, 可行域为空集.
图 2. 3 图 2. 4
( 2) 最优解可在可行域的某顶点上达到
直观上可以得出, 若在内部某点达到最优, 则过该点的目标函数的等值线(或等值面) 与
边界的交点(或交线) 也为最优解. 实际上, 后面我们可以进一步得到这样的结论: 如果线性
规划问题有最优解, 则必可在可行域的某顶点达到.
2. 2. 4 基本定理
为了介绍基本定理的需要, 先介绍以下概念.
凸集: 设 K 是 n 维欧氏空间 En 中的一点集, 若任意两点 X
( 1) , X( 2 ) ∈K ( X
( 1) ≠X( 2) ) 连
线上的一切点 X = αX( 1 ) + ( 1- α) X
( 2 ) ∈K ( 0≤α≤1) , 则称 K 为凸集.
凸组合: 设 X( 1) , X
( 2) , ⋯, X( k ) 是 n 维欧氏空间 E
n 中的 k 个点, 若存在 μ1 , μ2 , ⋯, μk ( 其
中 0≤μi≤1, i= 1, 2, ⋯, k; 且 ∑μi = 1) 使 X = μ1X( 1) + μ2 X
( 2 ) + ⋯+ μkX( k) , 则称 X 为
X( 1) , X
( 2) , ⋯, X( k) 的凸组合.
极点: 设 K 是凸集, X ∈K ; 若不能用两个不同的点 X( 1 ) ∈K , X
( 2) ∈K 的线性组合表示
为 X = αX( 1 ) + ( 1- α) X
( 2 ) ( 0≤α≤1) , 则称 X 为 K 的一个极点.
定理 1 若线性规划问题存在可行域, 则其可行域为凸集. 即
D = {X ©¦AX= b, X≥0}为凸集.
证 任取 X( 1) ∈D, X
( 2) ∈D 且 X( 1 ) ≠X
( 2) ,
则 �AX( 1) = b, �X
( 1) ≥0 ,
AX( 2)
= b, X( 2)≥0 .
令 X 是 X( 1) 和 X
( 2) 连线上任意一点, 即有 0≤μ≤1 ,
·11·
使 X= μX( 1)
+ ( 1- μ) X( 2)≥0 ,
而 AX �= A[ μX( 1 ) + ( 1- μ) X
( 2) ]
= μAX( 1) + ( 1- μ) AX
( 2) = μb+ ( 1- μ) b= b ,
即 AX= b .
从而 X∈D , 由定义知 D 为凸集. □
定理 2 线性规划问题的可行解 X= ( x 1 , x2 , ⋯, x n ) T 为基可行解的充分必要条件是 X
的正分量对应的系数列向量是线性无关的.
证明 ( 1)必要性 由基可行解的定义可知.
( 2) 充分性 设可行解 X 的正分量为前 k 个, 其对应的线性无关列向量为 P 1 , P 2 , ⋯,
P k , 由于 rank ( A) = m, 故 k≤m. 当 k= m 时, 它们恰为一基, 从而 X = ( x 1 , x 2 , ⋯, x k , 0, ⋯,
0)T为相应的基可行解; 当 k< m 时, 由线性代数理论知, 一定可以从其余的 ( n- k) 个列向
量中取出( m- k) 个列向量与 P 1 , P 2 , ⋯, P k 构成最大线性无关组, 其对应的基解恰为 X, 据定
义, 它是基可行解( 退化的) . □
定理 3 线性规划问题的基可行解 X 对应于可行域的极点.
该定理的证明思路为: 不是基可行解, 一定不是极点; 不是极点, 也一定不是基可行解.
证明可参考文献[ 3] , 这里略去.
引理 若 K 是有界凸集, 则任何一点 X∈K , 一定可表示为 K 的极点的凸组合.
证明略.
定理 4 若线性规划问题的可行域有界, 则其目标函数最优值一定可以在其可行域的
极点上达到.
证 设 X( 1)
, X( 2)
, ⋯, X( k)是可行域所有的极点, 且目标函数值在某一可行解 X
( 0)∈D
达到最优 Z*
= CX( 0)
. 若 X( 0)是极点, 立得结论. 若 X
( 0)不是极点, 则由引理知 X
( 0 )可表示为
X( 1) , X
( 2) , ⋯, X( k) 的凸组合, 即
X ( 0) = ∑k
i= 1
μiX ( i) ≤ μi ≤ 1, ( i= 1, 2, ⋯, k) , ∑k
i= 1
μi = 1 .
从而有 CX( 0)
= ∑k
i= 1
μiCX( i)
.
令 CX( m) = max( C X
( 1 ) , C X( 2) , ⋯, C X
( k) ) ,
由于 CX( 0 )
= ∑k
i= 1
μiC X( i)
≤∑k
i= 1
μiC X( m )
= C X( m)
,
即 C X( 0)≤C X
( m).
另一方面, 由于 C X( 0)是最优值, 故有 C X
( 0 )≥C X
( m ),
从而 C X( 0)
= C X( m)
.
即目标函数在极点 X( m ) 处也取得最优值 Z
* . □
归纳上述定理, 对线性规划问题有以下结论:
( 1) 可行域若为非空, 则一定为凸集.
( 2) 每个基可行解对应于可行域的一个极点, 极点数为有限个(≤Cmn ) .
( 3) 若存在最优解, 必定可在某极点得到.
从理论上讲, 采用“枚举法”找出所有基可行解, 并一一比较, 一定可找到最优解. 但当
·21·
m, n 较大时, 这种办法是不经济和不可取的. 下面继续讨论, 如何有效地找到最优解的方
法, 其基本思想是从一个基可行解向另一个基可行解的迭代( 极点到极点) , 这个方法就是
著名的单纯形方法.
2. 3 单纯形方法
2. 3. 1 单纯形表
在线性规划问题的标准型: 8
max Z = CX ,
s . t .AX = b
X ≥ 0 .
中, 不妨设 B 是一个可行基, 于是系数矩阵 A 可分块为( B, N ) . 不失一般性假定 B= ( P 1 , ⋯,
P m ) . 对应于 B 的基变量 XB = ( x 1 , x 2 , ⋯, x m )T; N = ( Pm+ 1 , Pm + 2 , ⋯, P n ) , 对应的非基变量
XN = ( x m + 1 , x m + 2 , ⋯, x n )T.
则
X =XB
XN
.
相应地有 C= ( CB , CN ) , 其中 CB 为基变量 XB 的系数行向量, CN 是非基变量 XN 的系数
行向量. 于是原问题化为 �
max Z = CX = ( CB , CN )XB
XN
,
( B, N )XB
XN
= b
XB , XN ≥ 0 .
即 max Z = CB XB + CN XN , ( 2. 7)
BXB + N XN = b
XB , XN ≥ 0 .
( 2. 8)
( 2. 9)
对( 2. 8)式的两边同时左乘 B- 1
, 得
XB = B- 1
b - B- 1
N XN , ( 2. 10)
并代入( 2. 7) , 得
Z = CB B- 1
b - ( CB B- 1
N - CN ) XN . ( 2. 11)
令非基变量 XN = 0, 得 XB = B- 1
b, 从而相应基可行解为
X =XB
XN
=B
- 1b
0.
目标函数取值为 Z= CB B- 1
b. 由于 CB B- 1
B- CB = 0, 故又有
Z= CB B- 1
b - ( CB B- 1
B - CB ) XB - ( CB B- 1
N - CN ) XN
= CB B- 1
b - ( CB B- 1
A - C) X . ( 2. 12)
将( 2. 10) 和( 2. 11) 分别改写为如下形式:
·31·
XB + B- 1
NXN = B- 1
b
Z + ( CB B- 1
N - CN ) XN = CB B- 1
b ,
( 2. 13)
( 2. 14)
则可得到表 2. 3, 并称其为相应于 B 的矩阵形式的单纯形表, 记为 T ( B) .
表 2. 3
XB X N
B- 1 sb I B - 1 �N
CBB - 1 �b 0 OCBB - 1 SN- CN
令 σN = CB B- 1
N - CN , σ= CB B- 1
A- C 则( 2. 12)又可写成
Z = CB B- 1
b - σN XN = CB B- 1
b - σX.
其中 σ= ( 0, σN ) ,
将( 2. 13) 和( 2. 14) 的展开式写出来, 令 |
B- 1
N =
a�1m + 1 a�1, m + 2 ⋯ a�1, n
a�2m + 1 a�2, m + 2 ⋯ a�2, n
┆ ┆ ┆
a�mm + 1 a�m, m + 2 ⋯ a�m, n
, B- 1
b =
b�1
b�2
┆
b�m
,
CB B- 1
N - CN = ( σm+ 1 , σm + 2 , ⋯, σn ) , CB B- 1
b = b�0 .
则( 2. 13) 和( 2. 14) 又可改写成下述方程组:
x 1 + a�1, m + 1 x m+ 1 + ⋯ + a�1k x k + ⋯ + a�1nx n = b�1
x2 + a�2, m + 1 x m+ 1 + ⋯ + a�2k x k + ⋯ + a�2nx n = b�2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
x m + a�m, m + 1 x m+ 1 + ⋯ + a�m kx k + ⋯ + a�mnx n = b�m
Z + σm+ 1 xm + 1 + σm+ 2 xm + 2 + ⋯ + σnx n = b�0 .
因此, 相应于表 2. 3 有一般形式的单纯形表 T ( B) 如表 2. 4.
表 2. 4
cj → c1 5c2 �⋯ cm cm+ 1 �⋯ cn
CB XB b� x1 >x2 �⋯ x m xm+ 1 �⋯ xn
c1 jx 1 �b�1 �1 /0 �⋯ 0 �a�1 T, m+ 1 ⋯ a�1 �n
c2 jx 2 �b�2 �0 /1 �⋯ 0 �a�2 T, m+ 1 ⋯ a�2 �n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
cm x m b�m 0 /0 �⋯ 1 �a�m, m+ 1 �⋯ a�mn
Z b�0 �0 /0 �⋯ 0 �σm+ 1 �⋯ σn
比较表 2. 4 与表 2. 3, 增加了上面一行和最左边一列, 其目的是帮助读者在迭代计算中
更迅速准确地算出 b�0 的值. 事实上, Z = b�0 = ∑m
i
cib�i.
在迭代过程中, 基变量所在的位置并不一定正好在前 m 个位置上, 但总可以通过调换,
·41·
重新排列成表 2. 4 的形式, 因此具有一般意义. 但在后面求解的实际迭代中, 并不需要这样.
表的最下面一行称为检验数行, 对应于各非基变量 x j 的检验数为
σj = CB B- 1
P j - Cj = ∑m
i
cia�ij - cj ( j = 1, 2, ⋯, n) .
不难看出, 在单纯形表 T ( B) 中, 对应于基变量 XB = ( x 1 , x 2 , ⋯, x m )T的检验数均为 0=
( 0, 0, ⋯, 0) , m 个单位列向量构成单位阵 I .
2. 3. 2 单纯形法的步骤
下面通过例 1 的求解过程说明单纯形法的步骤.
例 5 对线性规划问题 �
max Z = 4x 1 + 3x 2 ,
s. t.
2x 1 + 3x2 ≤ 24
3x 1 + 2x2 ≤ 26
x 1 , x2 ≥ 0 ,
引进松弛变量 x 3 , x 4 , 化为标准型 �
max Z = 4x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 24
3x 2 + 2x 2 + x 4 = 26
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 .
第一步: 找出初始可行基, 建立初始单纯形表.
本例中, 取 B1 = ( P 3 , P 4 ) = I , 则 XB 1 = ( x 3 , x 4 )T, CB 1 = ( 0, 0) , B
- 11 = I ,
B- 11 A= A, b= B
- 11 b= b, σ= CB 1 B
- 11 A- C= - C, b0 = CB 1B
- 11 b= 0, 得单纯形表 2. 5.
表 2. 5
c j → 4 �3 �0 �0 �
CB XB b x 1 �x 2 �x 3 �x 4 �
θi
0 �x 3 �24 �2 �3 �1 �0 �
0 �x 4 �26 �3 �2 �0 �1 �
Z 0 �- 4 �- 3 �0 �0 �←σj
在初始可行基为单位阵的情况下, 约束方程组中增广阵的数字可直接填入表中各相应
的位置, 目标函数非基变量的系数以相反数填入检验数行各相应的位置. 由表 2. 5, 有基可
行解 X( 1)
= ( x 1 , x 2 , x3 , x 4 )T= ( 0, 0, 24, 26)
T, 相应的目标函数值 Z
( 1)= 0. 但 B1 是否为最优
基? 需要进行最优性检验, 转下一步.
第二步: 最优性检验 .
检验各非基变量 x j 的检验数 σj = CB B- 1
P j - Cj , 可能有三种情况:
( 1) 若所有的 σj≥0, 则基 B 为最优基, 相应的基可行解即为基本最优解, 停止计算( 满
足最优基定理的非基变量中, 有某非基变量的检验数 σm+ k = 0, 则该问题有多重最优解) .
( 2) 若有某 σs< 0 ( m+ 1≤s≤n) , 它所对应的列向量的全部分量 B- 1
P s= ( a1 s, a 2s, ⋯,
·51·
a ms)T≤0, 则该线性规划问题的目标函数值无上界, 即无界解, 停止计算.
( 3) 若有某个负检验数 σj < 0 ( m+ 1≤j ≤n) 所对应的列向量有正分量, 则基 B 不是最
优基, 须转入第三步, 进行换基迭代.
在表 2. 5 中, 由于 σ1 < 0, σ2 < 0, 且它们对应的列向量均有正分量, 说明增加非基变量 x 1
或 x 2 的值, 可使目标函数值增加. 所以 B1 不是最优基, 转下一步.
第三步: 换基迭代 .
( 1) 确定换入变量 x s : 取 s= min {j ©¦σj < 0, 0≤j≤n}.
( 2) 确定换出变量 x r : 由于受到非负约束 x j ≥0 ( j = 1, 2, ⋯, n) 的限制, 故 x s 不能任意
取代现有的基变量. 为此, 按最小比值原则求出主元.
θ= mini
θi=b�i
a�is
a�is> 0 =b�r
a�r s
, 确定 x r 为出基变量, 其中 a�r s为主元.
( 3) 以 a r s为主元, 在单纯形表中进行初等行变换. 即把基变量 x s 所在的列变为单位列
向量,
a�1s
a�2s
┆
a�r s
┆
a�m s
→
0
0
┆
1
┆
0
← 第 r 行
.
同时将 XB 中的 x r 换为 x s, 得到新的可行基 B�= ( P�1 , ⋯, P�r - 1 , P�s , P�r + 1 , ⋯, P�m ) 和相应的
单纯形表 T ( B�) .
重复第二、第三步, 直至获得最优解, 或判断出有无界解, 计算终止.
具体地说, 对于表 2. 5, 因为 s= min{j ©¦σ1 = - 4, σ2 = - 3}= 1, 所以 x 1 为换入变量. 又由
θ= min θi=b�i
a�is
a�is> 0 = {24/ 2, 26/ 3}= 26/ 3, 确定 x 4 为换出基变量, 并以 x 1 所在列
和 x 4 所在行的交叉处 a�21 = 3 为主元素进行迭代, 得表 2. 6.
表 2. 6
c j → 4 �3 �0 �0 �
CB XB b x 1 �x 2 �x 3 �x 4 �
θi
0 �x 3 �24 �2 �3 �1 �0 �12 �
0 �x 4 �26 �[ 3 �] 2 �0 �1 �26 x/ 3
Z 0 �- 4 �- 3 �0 �0 �←σj
0 �x 3 �20 }/ 3 0 �[ 5 d/ 3] 1 �- 2 �/ 3 4 �
4 �x 1 �26 }/ 3 1 �2 d/ 3 0 �1 b/ 3 13 �
Z 104 �/ 3 0 �- 1 �/ 3 0 �4 b/ 3 ←σj
得新基可行解 X( 2 ) = ( 26/ 3, 0, 20/ 3, 0) T , 目标函数取值为 Z
( 2) = 104/ 3 .
同样, 确定 x 2 换入, x3 换出, 进行迭代, 得表 2. 7.
·61·
表 2. 7
c j → 4 �3 �0 �0 �
CB XB b x 1 �x 2 �x 3 �x 4 �
θi
3 �x 2 �4 �0 �1 �3 c/ 5 - 2 �/ 5
4 �x 1 �6 �1 �0 �- 2 �/ 5 3 b/ 5
Z 36 �0 �0 �1 d/ 5 6 c/ 5 ←σj
表中最后一行的所有检验数都已是正数或零, 表明目标函数已不能再增大, 从而得到基
本最优解 X* = X
( 3 ) = ( 6, 4, 0, 0) T , Z* = Z
( 3 ) = 36. 由于 x 3 , x 4 是引进的松弛变量, 因此, 原问
题的最优解为 x 1 = 6, x 2 = 4, 最优值为 Z* = 36.
例 6 求解如下问题: a
max Z = 3x 1 + x 2 ,
s. t.
x1 + x 2 ≤ 4
- x 1 + x 2 ≤ 2
6x 1 + 2x 2 ≤ 18
x1 , x 2 ≥ 0 .
解 化为标准型 �
max Z = 3x 1 + x2
s. t.
x 1 + x 2 + x 3 = 4
- x 1 + x 2 + x 4 = 2
6x 1 + 2x 2 + x 5 = 18
x 1 , x2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 .
单纯形法迭代如表 2. 8 所示.
表 2. 8
cj → 3 �1 �0 �0 e0 6
CB XB b x 1 �x2 �x 3 �x4 tx 5 E
θi
0 �x3 _4 !1 �1 �1 �0 e0 64 �
0 �x4 _2 !- 1 !1 �0 �1 e0 6-
0 �x5 _18 8[ 6 �] 2 �0 �0 e1 63 �
Z 0 !- 3 !- 1 �0 �0 e0 6←σj
0 �x3 _1 !0 �2 �/ 3 1 �0 e- 1 �/ 6
0 �x4 _5 !0 �4 �/ 3 0 �1 e1 �/ 6
3 �x1 _3 !1 �1 �/ 3 0 �0 e1 �/ 6
Z 9 !0 �0 �0 �0 e1 �/ 2 ←σj
该问题的基本最优解 X*
= ( 3, 0, 1, 5, 0)T, 最优值 Z
*= 9. 删除松弛变量后, 得原问题
的最优解为 x 1 = 3, x 2 = 0, 目标函数最优值 Z*
= 9.
值得注意的是, 最终表中有非基变量 x 2 的检验数为 σ2 = 0, 且相应的列分量中含有正分
·71·
量, 因此, 该问题有多重最优解. 事实上, 我们在最终表中取 x 2 为进基变量, x 3 为出基变量,
迭代一次, 得到另一个最优解 X�* = ( 5/ 2, 3/ 2, 0, 3, 0) T , 即 x 1 = 5/ 2, x 2 = 3/ 2, Z
* = 9. 从而它
们的凸组合 X= αX*
+ ( 1- α) X�*
( 0≤α≤1) 都是最优解, 显然有多重最优解.
以上讨论的是求 max Z 问题, 如果是求 min Z 问题, 则只须分别将最优性检验 ( 1) , ( 2)
中的 σj ≥0 改为 σj≤0 和 σs< 0 改为 σs> 0, 其他条件不变, 均有类似结论成立.
2. 3. 3 用人工变量法找初始可行基
2. 3. 2 节中介绍的单纯形法, 前提是已经具有一个初始可行基, 所给例子是易发现一个
含有单位矩阵的可行基. 而实际的问题可能是, 有可行基但却不是一目了然可以得到, 甚至
问题本身无可行解. 有没有一般的方法解决这个问题呢? 有, 这就是用人工变量法找出初始
可行基. 下面先考虑添加人工变量.
设线性规划问题的约束方程组是∑n
j = 1
a ij x j = bi( i= 1, 2, ⋯, m) , 分别给每一个约束方程
加入人工变量 x n+ 1 , x n+ 2 , ⋯, x n + m≥0, 得
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a1 nx n + x n+ 1 = b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a2 nx n + x n+ 2 = b2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ⋯ + amnx n + x n+ m = bm
x 1 , x 2 , ⋯, x n ≥ 0; x n+ 1 , x n+ 2 , ⋯, x n+ m ≥ 0 .
显然, B= ( P n+ 1 , P n+ 2 , ⋯, P n + m ) = I , 它是以人工变量所在列构成的一个初始可行基, 取
x n + 1 , x n + 2 , ⋯, x n+ m为基变量. 令非基变量 x 1 , x 2 , ⋯, x n 为零, 得到一个初始基可行解 X( 0)
=
( 0, 0, ⋯, 0, b1 , b2 , ⋯, bm ) T . 可以证明, 对加入人工变量后的问题, 利用前述迭代算法计算后
的最终表中, 若基变量中不含有非零的人工变量, 表明原问题有可行解; 否则原问题一定无
可行解.
1. 两阶段法
两阶段法方便计算机求解, 其方法如下:
第一阶段: 给原问题加入人工变量, 构造如下问题: �
min W = x n+ 1 + xn + 2 + ⋯ + x n+ m ,
( LP 1 )
a1 1x 1 + a1 2x 2 + ⋯ + a 1nxn + xn + 1 = b1
a2 1x 1 + a2 2x 2 + ⋯ + a 2nxn + xn + 2 = b2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
am 1x 1 + a m 2x 2 + ⋯ + am nx n + x n+ m = bm
x 1 , x 2 , ⋯, x n ≥ 0; x n+ 1 , x n+ 2 , ⋯, xn + m ≥ 0 .
易证如下结论, 用单纯形法求解 LP 1 :
( 1) 若得到 W= 0, 则原问题存在基可行解, 继续进行第二阶段计算.
( 2) 若得到 W≠0, 则原问题无可行解, 停止计算.
第二阶段: 将第一阶段得到的最终表删去人工变量列, 将目标行的价值系数换为原问
题的目标函数的价值系数, 作为第二阶段的初始表, 继续进行迭代即可.
例 7 求解如下线性规划问题.
·81·
�
min Z = x 1 + 1. 5x 2 ,
s . t.
x1 + 3x 2 ≥ 3
x1 + x 2 ≥ 2
x1 , x 2 ≥ 0 .
解 先在上述线性规划问题的约束方程中引入松弛变量 x 3 , x 4 , 并加入人工变量 x 5 ,
x 6 , 得第一阶段的数学模型: �
min W = x 5 + x 6 ,
( LP 1 )
x 1 + 3x 2 - x 3 + x 5 = 3
x 1 + x 2 - x 4 + x 6 = 2
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 , x 6 ≥ 0 .
用单纯形法求解, 得第一阶段结果 W= 0, 其最优解为
x 1 = 3/ 2, x 2 = 1/ 2, x 3 = x 4 = x 5 = x6 = 0, 过程如表 2. 9 所示.
表 2. 9
cj → 0 .0 �0 `0 �1 �1 +
CB XB b� x1 =x2 �x 3 ox 4 �x 5 �x6 :
θi
1 cx 5 �3 �1 .[ 3 �] - 1 �0 �1 �0 +1 �
1 cx 6 �2 �1 .1 �0 `- 1 (0 �1 +2 �
W 5 �2 .4 �- 1 �- 1 (0 �0 +←σj
0 cx 2 �1 �1/ 3 1 �- 1 a/ 3 0 �1 d/ 3 0 +3 �
1 cx 6 �2 �[ 2/ 3] 0 �1 2/ 3 - 1 (- 1 �/ 3 1 +1 �. 5
W 2 �2/ 3 0 �1 2/ 3 - 1 (- 4 �/ 3 0 +←σj
0 cx 2 �1 g/ 2 0 .1 �- 1 a/ 2 1 �/ 2 1 d/ 2 - 1 ,/ 2
0 cx 1 �3 g/ 2 1 .0 �1 2/ 2 3 �/ 2 - 1 �/ 2 3 �/ 2
W 0 �0 .0 �0 `0 �- 1 �- 1 Z←σj
由于 x 5 = x 6 = 0, 从而 ( x 1 , x 2 , x 3 , x4 ) = ( 3/ 2, 1/ 2, 0, 0) 是原线性规划问题的一个基可
行解.
将第一阶段最终表中的人工变量所在列删去, 并将目标行的各价值系数换为原目标函
数对应的价值系数, 进行第二阶段计算, 其结果见表 2. 10.
表 2. 10
c j → 1 �1 e. 5 0 �0 �
CB XB b� x 1 �x 2 �x 3 �x 4 �
θi
1 h. 5 x 2 �1 f/ 2 0 �1 �- 1 �/ 2 1 b/ 2
1 �x 1 �3 f/ 2 1 �0 �1 c/ 2 - 3 �/ 2
Z 9 g/ 4 0 �0 �- 1 �/ 4 - 3 �/ 4 ←σj
从表 2. 10 中知, 已得到最优解: x*1 = 1/ 2, x
*2 = 3/ 2, 目标函数 Z
* = 9/ 4.
应当指出, 在第一阶段的最终表中, 有可能出现 W = 0, 但在基变量中仍含有取值为零
·91·
的人工变量(即退化的基可行解) 的情况, 此时可继续进行换基迭代, 将基变量中的人工变量
全部替换为非基变量后, 才得到原问题的初始可行基, 从而转入第二阶段.
2. 大 M 法
对求最大值的原问题, 约束条件中加入人工变量后, 取人工变量在目标函数中的价值系
数为( - M) ( M 为任意大的正数) , 得新问题: �
max Z = c1 x 1 + c2 x 2 + ⋯ + cnx n + ( - M)∑m
i= 1
x n+ i,
( LPM )
a1 1x 1 + a 1 2x 2 + ⋯ + a 1nxn + xn + 1 = b1
a2 1x 1 + a 2 2x 2 + ⋯ + a 2nxn + xn + 2 = b2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
am 1x 1 + a m2 x 2 + ⋯ + am nx n x n+ m = bm
x1 , x 2 , ⋯, x n ≥ 0; x n+ 1 , x n+ 2 , ⋯, xn + m ≥ 0 .
为使目标函数实现最大化, 迭代过程中必须将人工变量从基变量中换出. 一旦全部人工
变量变为非基变量, 即可得原问题的最优解.
对 LPM 问题和原 LP 问题, 易证如下结论:
在 LPM 的最终表中, 如有人工变量仍为非零的基变量, 则原 LP 问题无可行解.
思考题: 试用大 M 法求解如下线性规划问题: �
min Z = - 3x1 + x 2 + x 3 ,
s . t.
x1 - 2x 2 + x 3 ≤ 11
- 4x 1 + x 2 + 2x3 ≥ 3
- 2x 1 + x 3 = 1
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 .
提示: 对原问题是最小化形式, 相应 LP M 问题也取最小化形式, 不同的是人工变量的
价值系数取为( + M) .
2. 3. 4 单纯形法小结
( 1) 根据实际问题给出数学模型, 化为标准形式, 若需要, 适当添加人工变量, 以松弛变
量或人工变量为基变量, 列出初始单纯形表.
( 2) 对目标函数为求 max 的线性规划问题, 单纯形法的计算步骤框图参见图 2. 5.
2. 3. 5 修正单纯形方法
由 2. 3. 1 节矩阵形式的单纯形表 2. 3 知, 在整个迭代过程中, 现行基的逆是关键. 也就
是说, 利用现行基的逆和模型中的原始数据就可确定迭代过程中所关心的数据. 而前面介绍
的单纯形法, 在迭代过程中, 重复计算了许多与迭代过程无关的数字, 影响了计算效率, 用计
算机编程求解时, 要占用很多的内存单元. 同时, 在逐次迭代中会不断增加累积误差, 影响计
算精度. 在表 2. 3 的基础上进行研究, 提出了修正单纯形法. 其计算步骤为:
第一步: 首先构造初始可行基 B, 一般情况下取 B 为单位阵, 即有 B- 1 = B= I . 求出初
始解:
·02·
图 2. 5 单纯形法计算流程框图
XB
XN
=B- 1 b
0.
第二步: 计算单纯形乘子 Y= CB B- 1
, 并计算非基变量的检验数 σN , σN = YN - CN . 如果
σN ≥0, 则得到最优解, 停止计算. 否则, 转下一步.
第三步: 令 s= min {j ©¦σj < 0, 0≤j ≤n}, 确定 x s 为换入变量. 并计算 B- 1
P s 向量, 如果
B- 1
P s≤0, 那么问题为无界解, 停止计算. 否则转下一步.
第四步:
计算 θ= min( B
- 1b) i
( B- 1 P s) i( B
- 1P s) i> 0 =
( B- 1
b) r
( B- 1 P s) r.
·12·
确定相应的基变量 x r 为换出变量. 于是得到一组新的基变量及新的基矩阵 B1 .
第五步: 计算新的基阵的逆阵 B- 11 , 求出 B
- 11 b. 返回第二步.
用上面修正的单纯形法求解线性规划问题时, 计算逆矩阵 B- 11 这一步比较繁琐, 但考虑
到上一轮迭代基 B 和下一轮迭代基 B1 之间只相差一列, 于是有如下求 B- 11 的简便方法.
即 B- 11 = EB
- 1, 其中 E= ( e1 , ⋯, er - 1 , ξ, er+ 1 , ⋯, em ) , ei 表示第 i个位置的元素为 1, 其余
为 0 的 m 维单位列向量,
ξ=
- a�1s / a�rs
- a�2s / a�rs
⋯
l / a�r s
⋯
- a�ms / a�rs
← 第 r 行 .
由于初始时 B 为单位阵, 从而 B- 1也为单位阵, 因而修正单纯形法在开始计算时, 不再
需要计算基的逆阵了.
下面举例说明修正单纯法的计算步骤.
例 8 用修正单纯形法求解如下线性规划问题. �
max Z = 4x 1 + 3x 2 ,
s. t.
2x 1 + 3x2 ≤ 24
3x 1 + 2x2 ≤ 26
x 1 , x2 ≥ 0 .
解 化为标准型 U
max Z = 4x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 24
3x 1 + 2x 2 + x 4 = 26
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 .
其中 A= ( P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) =2 3 1 0
3 2 0 1, b=
24
26, C= ( c1 , c2 , c3 , c4 ) = ( 4, 3, 0, 0) .
取初始基 B0 = ( P 3 , P 4 ) = I , 有 B- 10 = B0 = I , B
- 10 b=
24
26, XB 0 = ( x 3 , x 4 )
T, CB 0 = ( 0, 0) ,
XN 0 = ( x 1 , x 2 ) T , CN 0 = ( 4, 3) .
第一轮迭代计算:
因为 Y0 = CB 0 B- 10 = 0, σN 0 = Y0N 0 - CN 0 = ( - 4, - 3) = ( σ1 , σ2 ) , 所以, 确定 x 1 为换入变
量. 计算 θ= min( B
- 10 b) i
( B- 10 P 1 ) i
( B- 10 P 1 ) i> 0 = min ( 12, 26/ 3) = 26/ 3. 于是 x 4 为换出变量.
从而得新基 B1 = ( P 3 , P 1 ) , XB 1 = ( x 3 , x 1 )T, XN 1 = ( x 2 , x4 )
T, CB1 = ( 0, 4) , CN 1 = ( 3, 0) .
由于 ξ1 =- 2/ 3
1/ 3, 所以, B
- 11 = E 1B
- 10 =
1 - 2/ 3
0 1/ 3, XB 1 = B
- 11 b=
1 - 2/ 3
0 1/ 3
24
26=
20/ 3
26/ 3.
·22·
第二轮迭代计算:
因为 Y1 = CB 1 B- 11 = ( 0, 4/ 3) , σN 1 = Y1 N1 - CN 1 = ( 0, 4/ 3)
3 0
2 1- ( 3, 0) = ( - 1/ 3,
4/ 3) = (σ2 , σ4 ) , 所以, 确定 x 2 为换入变量.
又 B- 11 P 2 =
1 - 2/ 3
0 1/ 3
3
2=
5/ 3
2/ 3> 0, θ= min
( B- 11 b) i
( B- 11 P 2 ) i
B- 11 P 2 > 0 = min ( 20/ 3
5/ 3, 26/ 3 2/ 3) = min ( 4, 13) = 4 .
于是 x 3 为换出变量. 由此得新基 B2 = ( P 2 , P 1 ) . 此时 XB 2 = ( x 2 , x 1 )T, XN 2 = ( x 3 , x 4 )
T, CB 2 =
( 3, 4) , CN 2 = ( 0, 0) .
由于 ξ2 =3/ 5
- 2/ 5, E 2 =
3/ 5 0
- 2/ 5 1, B
- 12 = E 2B
- 11 =
3/ 5 0
- 2/ 5 1
1 - 2/ 3
0 1/ 3=
3/ 5 - 2/ 5
- 2/ 5 3/ 5, XB2 = B
- 12 b=
3/ 5 - 2/ 5
- 2/ 5 3/ 5
24
26=
4
6.
第三轮迭代计算:
因为 Y2 = CB 2 B- 12 = ( 3, 4)
3/ 5 - 2/ 5
- 2/ 5 3/ 5= ( 1/ 5, 6/ 5) , σN 2 = Y2 N2 - CN 2 = ( 1/ 5, 6/ 5)
0 1
1 0- ( 0, 0) = ( 6/ 5, 1/ 5) ≥0, 所以, B2 为最优基, 原问题的最优解为
X* =x *
1
x*2
=4
6, 最优函数值 Z* = Y2b = ( 1/ 5, 6/ 5)
24
26= 36 .
从上例的迭代计算可以看出, 修正单纯形法比较适用于计算机编程计算.
2. 4 对 偶 理 论
2. 4. 1 对偶问题的提出
例 9 对本章的例 1, 现在从另一个角度来讨论. 假设工厂考虑不安排生产, 而是出售材
料, 出租工时, 问如何定价, 可使工厂获利不低于安排生产所获得的收益, 且又能使这些定价
具有竞争力?
设出售材料的定价为每单位 y1 元, 出租工时的定价为每工时 y 2 元, 从工厂考虑, 这些
定价下的获利不应低于安排生产所获得的收益, 否则工厂宁可生产, 而不出售和出租.
由此, 工厂生产一件甲产品所消耗的材料和工时的总价值不应低于 4 元, 即有
2y 1 + 3y 2 ≥ 4 .
同样, 从乙产品考虑, 亦有
3y 1 + 2y 2 ≥ 3 .
为使这些定价具有竞争力, 目标函数应为
min W = 24y1 + 26y 2 .
综合起来, 该问题的数学模型为: V
min W = 24y1 + 26y 2 ,
·32·
s . t.
2y 1 + 3y 2 ≥ 4
3y 1 + 2y 2 ≥ 3
y1 , y 2 ≥ 0 .
这种内容一致但从相反角度提出的一对问题称之为互为对偶问题. 一般地, 设某企业有
m 种资源, 用于生产 n 种不同产品, 各种资源的拥有量为 bi( i= 1, ⋯, m) . 已知生产一单位第
j 种产品( j = 1, 2, ⋯, n)消耗第 i种资源 aij单位, 产值为 cj 元. 问如何安排生产, 可使产值最
大?
用 x j 表示第 j 种产品数量, 则该问题的线性规划模型为: p
max Z = c1x 1 + c2x 2 + ⋯ + cnxn , ( 2. 15)
s . t .
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1nx n ≤ b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2nx n ≤ b2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ⋯ + a mnx n ≤ bm
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, ⋯, n) .
( 2. 16)
现从另一个角度考虑问题, 若该企业不安排生产, 将所有资源租让, 问如何定价这些资
源, 既可使其获利不低于安排生产所获得的收益, 又使资源租让具有竞争力.
设 y i 表示第 i种资源的单位成本( 机会成本) ( i= 1, 2, 3, ⋯, m) , 则生产一个单位的第 j
种产品, 消耗的各种资源数分别为 a1 j , a 2j , ⋯, a mj , 则相应的线性规划模型为 Y
min W = b1y 1 + b2y 2 + ⋯ + bm ym , ( 2. 17)
s . t .
a 11 y1 + a 21 y 2 + ⋯ + a m1 ym ≥ c1
a 12 y1 + a 22 y 2 + ⋯ + a m2 ym ≥ c2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a 1ny1 + a 2ny2 + ⋯ + a mnym ≥ cn .
( 2. 18)
如果我们把上述的两个问题之一称为原问题, 则另外一个问题称为对偶问题, 两者互为
对偶.
2. 4. 2 原问题和对偶问题的关系
1. 对称形式的对偶问题
对称形式的对偶问题用矩阵表示, 若原问题是 �
max Z = CX , ( 2. 19)
s . t .AX ≤ b
X ≥ 0 .( 2. 20)
则其对偶问题为 5
min W = Yb, �min W = bT YT ( 2. 21)
s . t .YA ≥ C
Y≥ 0 . 或 s . t .
ATY
T≥ C
T
YT≥ 0
( 2. 22)
由此可知, 如果 A, b, C 已知, 就可以写出相应的对偶问题.
例 10 求本章例 1 的对偶问题.
·42·
解 其系数矩阵分别为:
A =2 3
3 2, C = ( 4, 3) , b =
24
26.
相应的对偶问题是 {
min W = bTY
T= ( 24, 26)
y1
y2
,
AT YT =2 3
3 2
y1
y2
≥4
3.
即 min W = 24y 1 + 26y2 ,
2y1 + 3y2 ≥ 4
3y1 + 2y2 ≥ 3
y 1 , y2 ≥ 0 .
将上述对称形式的两个互为对偶问题进行比较可以看出:
( 1) 一个问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量数;
( 2) 一个问题中目标函数的系数是其对偶问题中约束条件的右端项;
( 3) 约束条件在一个问题中为“≤”, 则在其对偶问题中为“≥”;
( 4) 目标函数在一个问题中求最大值, 在其对偶问题中则为求最小值.
这些关系可用表 2. 11 表示.
表 2. 11
yi
x j x 1 �x 2 �⋯ xn 原关系 min W
y1 �a11 �a 12 �⋯ a 1 �n ≤ b1 �
y2 �a21 �a 22 �⋯ a 2 �n ≤ b2 �
┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
ym am1 �a m2 �⋯ a mn ≤ bm
对偶关系 ≥ ≥ ⋯ ≥
max Z c1 �c2 �⋯ cn
显然对称形式的对偶问题, 如果已知其中一个问题, 立即就可以写出相应的对偶问题.
例 11 试根据表 2. 12 写出原问题和对偶问题的关系式.
表 2. 12
yi
x j x1 �x2 �b
y1 �3 �4 �8 e
y2 �2 �0 �16 |
y3 �1 �2 �12 |
C 3 �5 �
·52·
解 �原问题: �对偶问题:
max Z= 3x 1 + 5x 2 , min W = 8y1 + 16y2 + 12y 3 ,
s . t .
3x 1 + 4x 2≤8
2x 1 ≤16
x 1 + 2x 2≤12
x 1 , x 2≥0 .
s . t .
3y 1 + 2y2 + y 3≥3
4y 1 + 2y3≥5
y1 , y 2 , y 3≥0 .
2. 非对称形式的对偶问题
如果原问题中的约束条件含有等式, 那么它的对偶问题的表达式应该如何?
设线性规划问题 �
max Z = CX ,
s . t .AX = b
X ≥ 0 .
( 2. 23)
由于 AX= b 等价于
AX≤b
- AX≤- b ,
所以, ( 2. 23)可改写为 F
max Z = CX ,
s. t.
AX ≤ b
- AX ≤- b
X ≥ 0
( 2. 24)
( 2. 25)
令 Y′对应不等式( 2. 24) , Y″对应不等式( 2. 25) , 按对称形式可以写出它的对偶问题 �
min W = Y′b - Y″b, �min W = ( Y′- Y″) b ,
Y′A - Y″A ≥ C
Y′, Y″≥ 0 ,
即
( Y′- Y″) A ≥ C
Y′, Y″≥ 0 .
又令 Y= Y′- Y″, 显然 Y 无非负约束. 把它代入上式, 得对偶问题 �
min W = Yb ,
YA ≥ C
Y 无非负约束 .
( 2. 26)
一般而言, 原问题和对偶问题之间的对应关系如表 2. 13 所示.
表 2. 13
原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题)
目标函数 max Z 目标函数 min W
变 量 �n 个 约束条件 �n 个变 量 ≥0 �约束条件 ≥变 量 ≤0 �约束条件 ≤变 量 无约束 约束条件 =约束条件 m 个 变 量 m 个约束条件 ≤ 变 量 ≥0 �约束条件 ≥ 变 量 ≤0 �约束条件 = 变 量 无约束约束条件右端项 目标函数变量的系数目标函数变量的系数 约束条件右端项
·62·
例 12 试求下述问题的对偶问题. l
min Z = 3x1 + 2x 2 - 4x 3 + x 4 ,
s. t.
x 1 + x2 - 3x 3 + x 4 ≥ 10
2x 1 + 2x3 - x 4 ≤ 8
x 2 + x 3 + x 4 = 6
x 1 ≤ 0, x2 , x 3 ≥ 0, x 4 无约束 .
解 由表 2. 13 知, 其对偶问题如下: �
max W = 10y 1 + 8y 2 + 6y3 ,
s. t .
y 1 + 2y 2 ≥ 3
y 1 + y3 ≤ 2
- 3y 1 + 2y2 + y 3 ≤- 4
y 1 - y2 + y 3 = 1
y 1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 无约束 .
2. 4. 3 对偶问题的基本定理
对称性定理 对偶问题的对偶是原问题. ( 证明略. )
弱对偶性定理 若 X( 0)是原问题的可行解, Y
( 0)是对偶问题的可行解, 则有 CX
( 0 )≤
Y( 0)
b.
证 设原问题为 �
max Z = CX, AX ≤ b, X ≥ 0
则其对偶问题是
min W = Yb, YA ≥ C, Y ≥ 0 .
因 X( 0 )为原问题的可行解, 则有 AX
( 0)≤b .
又因 Y( 0 )为对偶问题的可行解, 则有 Y
( 0)A≥C .
从而有 CX( 0 )≤Y
( 0 )AX
( 0 )≤Y
( 0)b 即 CX
( 0 )≤Y
( 0)b. □
由弱对偶性定理可推出, 若原问题( 对偶问题)为无界解, 则其对偶问题(原问题) 无可行
解. 同时, 由弱对偶性定理易证得最优性定理.
最优性定理 若 X( 0 ) 是原问题的可行解, Y
( 0 ) 是对偶问题的可行解, 且有 CX( 0) = Y
( 0)b ,
则 X( 0 ) , Y
( 0) 分别是原问题和对偶问题的最优解.
对偶定理 若两个互为对偶问题之一有最优解, 则另一个必有最优解, 且目标函数值
相等.
证 假定原问题为 max Z= CX, AX≤b, X≥0 ,
则其标准型为 max Z= CX+ 0XL , AX+ XL = b, X≥0, XL ≥0.
设 X* 为原问题的最优解, 则其相应基阵 B 下变量的检验数为
CB B- 1 ( A, I ) - ( C, 0) ≥0, 即 CB B
- 1A- C≥0, CB B
- 1≥0 .
令 Y*
= CB B- 1
, 可得 Y*
A≥C, Y*≥0 .
这就是说 Y* = CB B
- 1是对偶问题 min W = Yb, YA≥C, Y≥0 的可行解.
同时 �W = Y*
b= CB B- 1
b ,
·72·
Z= CX*
= CB B- 1
b .
因此有 Y*
b= CX*
.
由最优性定理知, X*
, Y*分别是原问题和对偶问题的最优解, 且目标函数值相等. □
互补松弛性定理 若 X*
, Y*分别是原问题和对偶问题的可行解, 则 X
*, Y
*为最优解的
充分必要条件是 Y*
XL = 0 和 YsX* = 0.
证 设对偶问题的标准型是 �
原问题: `对偶问题:
max Z = CX , min W = Yb ,
AX + XL = b
X, XL ≥ 0 .
YA - Ys = C
Y, Ys ≥ 0 .
从而有 Z= CX = ( YA- Ys) X= YAX- YsX. ( 2. 27)
W = Yb = Y( AX + XL ) = YAX + YXL . ( 2. 28)
= > 必要性 若 X, Y为最优解, 则由对偶定理有 CX= Yb , 再由( 2. 27)及( 2. 28) , 有
Y*
AX*
- YsX*
= Y*
AX*
+ Y*
XL .
即 - YsX*
= Y*
XL .
又由于 Y*
, Ys ≥ 0, X*
, XL ≥ 0,
故有 YsX* = 0 和 Y* XL = 0.
< = 充分性 设 Y*
XL = 0, YsX*
= 0 .
由( 2. 27) 及( 2. 28) 知 CX*
= Y*
AX*
= Y*
b .
依据最优性定理 X*
, Y*分别是原问题和对偶问题的最优解. □
解的对应定理
设原问题是 max Z= CX, AX+ XL = b, X , XL≥0.
对偶问题是 min W = Yb, YA- Ys= C, Y, Ys≥0.
则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解, 其对应关系见表 2. 14.
表 2. 14
XB XN XL
0 "CBB - 1 =N- CN CB B- 1 5
Ys1 9Ys2 }Y
这里 Ys1是对应原问题中基变量 XB 的剩余变量, Ys2是对应原问题中非基变量 XN 的剩
余变量.
证 设 B 是一原问题的一个可行基, 于是 A= ( B, N) , 原问题可以改写为 \
max Z = CB XB + CN XN ,
s . t .BXB + N XN + XL = b
XB , XN , XL ≥ 0 .
相应地对偶问题可表示为 O
min W = Yb ,
·82·
s . t.
YB - Ys1 = CB
YN - Ys2 = CN
Y, Ys1 , Ys2 ≥ 0 ,
( 2. 29)
( 2. 30)
这里 Ys= ( Ys1 , Ys2 ) .
当求得原问题的一个基解 X= ( XB , XN , XL ) T = ( B- 1
b , 0, 0) T , 其相应的检验数为 σ=
( σB , σN , σL ) = ( 0, CB B- 1
N - CN , CB B- 1 ) . 令 Y= CB B
- 1 , 并将它代入( 2. 29) , ( 2. 30) 得 Ys1 = 0,
Ys2 = CB B- 1
N - CN , 可见( Y, Ys1 , Ys2 ) = ( CB B- 1
, 0, CB B- 1
N - CN )是对偶问题的一个基解. □
例 13 已知线性规划问题 �
max Z = x 1 + x2 ,
s . t .
- 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 6
- 3x 1 + x 2 - x 3 ≤ 5
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 .
试用对偶理论证明上述问题无最优解.
证 首先看到该问题存在可行解, 例如, X = ( 0, 0, 0) T , 而上述问题的对偶问题为 ~
min W = 6y 1 + 5y 2 ,
s . t.
- 2y1 - 3y2 ≥ 1
2y 1 + y2 ≥ 1
3y 1 - y2 ≥ 0
y1 , y 2 ≥ 0 .
因为 y 1 , y2≥0, 由其中第一个约束条件可知, 对偶问题无可行解, 因而无最优解, 从而原
问题无最优解.
思考题 如下线性规划问题: F
min W = 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 ,
s. t .
x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 ≥ 4
2x 1 - x 2 + 3x 3 + x4 + x 5 ≥ 3
x j ≥ 0, j = 1, 2, ⋯, 5 .
已知其对偶问题的最优解为 y*1 = 4/ 5, y
*2 = 3/ 5, Z
* = 5, 试用对偶理论找出原问题的
最优解.
2. 4. 4 对偶单纯形方法
由对偶问题解的对应定理知, 用单纯形法求解线性规划问题时, 在得到原问题的一个
基可行解的同时, 在检验数行得到对偶问题的一个基解. 通过逐步迭代, 当在检验数行得到
对偶问题的解可行时, 由前述定理知, 已达到最优解.
所谓对偶单纯形方法, 是基于对偶问题的对称性所设计的求解原问题的一种方法. 其基
本思想是在保持对偶问题的可行性( CB B- 1
A- C≥0) 基础上, 逐步迭代, 当原问题也达到可
行时( B- 1
b≥0) , 同样表示也已达到最优. 其优点是求解原问题的初始解不一定是基可行解,
在对偶可行的前提下, 可从非基可行解开始迭代. 具体步骤如下:
第一步: 建立线性规划问题的初始单纯形表.
·92·
设表中检验数行的值 z j - cj 全部≥0, 即是其对偶问题的一个可行解.
第二步: 检查 b�列的数字, 若均非负, 则已得最优解, 停止计算. 若 b�列有负分量, 则转
第三步.
第三步: 换基迭代
( 1) 确定换出变量
按 min {i©¦©¦( B- 1
b) i< 0}= r , 确定基变量 x r 为换出变量.
( 2) 确定换入变量
在单纯形表中检查 x r 所在行的各系数 a�r j ( j = 1, 2, ⋯, n) . 若所有 a�r j ≥0, 则无可行解,
停止计算. 否则, 计算
θ= min- σj
a�r ja�r j < 0 =
- σs
a�r s,
确定 x s 为换入变量.
( 3) 以 a�rs为主元素, 按原单纯形法在表中进行初等行变换, 得到新基的单纯形表. 返回
第二步.
例 14 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题. �
min Z = 12y 1 + 8y2 + 16y 3 + 12y4 ,
s . t .
2y 1 + y2 + 4y 3 ≥ 2
2y 1 + 2y2 + 4y4 ≥ 3
yi ≥ 0 ( i= 1, 2, 3, 4) .
解 先将问题化为 �
max Z′= - 12y1 - 8y2 - 16y 3 - 12y 4 + 0y 5 + 0y6 ,
s. t .
- 2y 1 - y 2 - 4y 3 + y 5 = - 2
- 2y 1 - 2y2 - 4y4 + y6 = - 3
y 1 , y2 , y3 , y 4 , y5 , y6 ≥ 0 .
用对偶单纯法进行计算, 其过程见表 2. 15.
表 2. 15
cj → - 12 u- 8 �- 16 �- 12 @0 �0 ,
CB XB b y1 <y2 �y3 ny 4 �y5 �y6 9
0 dy 5 �- 2 �- 2 ^- 1 �- 4 �0 �1 �0 ,
0 dy 6 �- 3 �- 2 ^- 2 �0 a[ - 4 )] 0 �1 ,
Z′ 0 �12 F8 �16 x12 �0 �0 ,←σj
0 dy 5 �- 2 �- 2 ^[ - 1 �] - 4 �0 �1 �0 ,
- 12 �y 4 �3 h/ 4 1 �/ 2 1 �/ 2 0 a1 �0 �- 1 -/ 4
Z′ - 9 �6 /2 �16 x0 �0 �3 ,←σj
- 8 �y 2 �2 �2 /1 �4 a0 �- 1 �0 ,
- 12 �y 4 �- 1 �/ 4 - 1 0/ 2 0 �[ - 2 �] 1 �1 e/ 2 - 1 -/ 4
Z′ - 19 �2 /0 �8 a0 �2 �3 ,←σj
- 8 �y 2 �3 h/ 2 1 /1 �0 a2 �0 �- 1 -/ 2
- 16 �y 3 �1 h/ 8 1 �/ 4 0 �1 a- 1 �/ 2 - 1 �/ 4 1 �/ 8
Z′ - 14 �0 /0 �0 a4 �4 �2 ,←σj
·03·
至此, 得原问题的最优解 y= ( y1 , y2 , y 3 , y 4 )T= ( 0, 3/ 2, 1/ 8, 0)
T.
最优值为 Z* = - Z′= 14 .
说明: 对偶单纯形法初始基的确定, 往往并不容易. 理论上已找到一个一般方法, 有兴
趣的读者可参考有关文献, 这里就不叙述了.
2. 4. 5 对偶变量的经济意义和影子价格
前已述及, 若 B 为原问题{max Z = CX ©¦AX≤b, X≥0}的最优基时, 对偶变量 Y*
=
CB B- 1 , 且有
Z*
= CB B- 1
b = Y*
b = ∑m
i= 1
biy*i ,
由于�Z *
�bi= y
*i , 因此, 对偶变量 yi 的经济意义是第i种资源在最优决策下的边际价值. 也就
是说, 在其他条件不变的情况下, 增加单位第 i种资源将会使目标函数值增加 ( CB B- 1 ) i. 其
定量表达了在最优生产方案下对单位第 i种资源的一种估价, 这种估价不是该种资源的市
场价格, 而是在最优生产方案下的结果, 故称其为影子价格( shadow price ) . 没有最优决策,
就没有影子价格.
影子价格真实反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益(目标函数值) 的影响和贡
献大小. 资源的影子价格越高, 表明该种资源的贡献越大. 由松紧定理知, 影子价格为正数,
表明该种资源在最优决策下已充分利用耗尽, 并成为进一步增加总收益的紧缺资源, 亦称短
线资源. 影子价格为零, 表明该种资源在最优决策下尚有剩余, 成了长线资源.
影子价格亦是机会成本. 当第 i种资源的市场价格低于影子价格 yi 时, 可适量买进这种
资源, 组织和增加生产; 相反, 当市场价格高于影子价格时, 可以卖出资源而不安排生产或提
高产品的价格.
在完全的宏观市场条件下, 随着资源的买进和卖出, 影子价格随之变化, 直到影子价格
与市场价格保持同等水平时, 才处于平衡状态.
影子价格是对资源的恰当估价, 这种估价直接涉及到资源的最有效利用. 如可借助资源
的影子价格确定内部结算价格, 以便控制有限资源的使用和考核下属部门经营的好坏.
因此, 有效利用资源的影子价格指导经济活动是有积极作用的.
( 1) 影子价格从资源最优利用的角度, 提出了企业挖潜改革, 扬长避短的方向.
影子价格为正数的短线资源, 已成为进一步发展生产增加收益的瓶颈. 在资源的影子价
格大于该资源的市场购价时, 适量购进该资源即可增加总收益. 此外, 如果能在生产工艺上
革新降低这种资源的消耗, 将使企业增收节支.
对影子价格为零的长线资源, 其剩余资源是进一步发展生产的潜在优势, 为以长线资源
为主要资源的新产品的生产提供可能性.
( 2) 影子价格可以指导管理部门对紧缺资源实现“择优分配”.
( 3) 影子价格可以帮助预测产品的价格. 买方要购入卖方的产品作为资源投入生产, 要
求其价格必须小于该产品作为自己最优生产资源的影子价格, 否则将无利可图; 卖方要求出
售产品的价格必须大于自己的生产“成本”, 否则, 利益受到损失. 因此, 产品的价格应在双方
的“成本”和影子价格之间.
·13·
( 4) 资源影子价格的高低可以作为同类企业经济效益的评估标准之一.
2. 5 优化后分析
在前面讨论的线性规划问题中, a ij , bi, cj 这些数据通常是根据以往资料, 或估计, 或预测
等得到的, 不完全符合经济活动的现实. 面对市场经济中价格的波动, 工艺的改进, 资源储量
的变化等, 必须考虑这些数据中的一个或几个发生变化时, 现行最优方案会有什么变化? 将
这些数据的变化限制在什么范围内, 原最优解仍是最优的? 如果原最优基不再是最优基, 又
怎样在先前优化的基础上迅速求得新的最优方案? 这就是优化后分析的内容.
考查数据变化对现行最优方案的影响, 实质上考查对基 B 最优性的影响. 因此, 可考虑
从以下两个方面入手:
( 1) 数据的变化是否影响基 B 的原始可行性( 即 B- 1
b≥0) ;
( 2) 数据的变化是否影响基 B 的对偶可行性( 即 CB B- 1
A- C≥0) .
下面分别进行讨论(以下的分析都是假定最终表中已得到最优基 B) .
2. 5. 1 价值系数 cj 的变化分析
( 1) 若 cj 是非基变量 x j 的系数. 当 cj→cj + Δcj , 为保持原基 B 的最优性, 须
σj′= CB B- 1
P j - ( cj + Δcj ) ≥ 0 ,
解不等式有 Δcj≤CB B- 1
P j - cj = σj . ( 2. 31)
从而确定了在不影响基 B 最优性下, Δcj 的允许变化范围.
( 2) 若 cr 是基变量 x r 的系数. 当 cr→cr + Δcr 时, 就引起 CB 的变化, 从而可能导致所有
非基变量的检验数发生变化, 这时
σ′= ( CB + ΔCB ) B- 1 A - C
= CB B- 1
A + ( 0, ⋯, Δcr , ⋯, 0) B- 1
A - C
= CB B- 1
A - C + Δcr ( a�r 1 , a�r 2 , ⋯, a�r m ) .
即 σ′= σ+ Δcr ( a�r1 , a�r 2 , ⋯, a�r m ) .
从而 σj′= σj + Δcr a�r j , ( j = 1, 2, ⋯, n) .
要使基的最优性不变, 须满足
σj′= σj + Δcr a�r j ≥ 0 , ( j = 1, 2, ⋯, n) . ( 2. 32)
解不等式组( 2. 31) 得到 Δcr 的变化范围:
maxj
{- σj / a�r j ©¦a�r j > 0} ≤ Δcr ≤ minj
{- σj / a�r j ©¦a�r j < 0} .
当 Δcr 的变化超出此范围时, 则破坏基 B 的对偶可行性, 此时可用单纯形法继续迭代.
例 15 试以本章例 1 的最终表 2. 6 为例, 设基变量 x 1 的系数 c1 变化 Δc1 , 在最优性不
变的条件下, 试确定 Δc1 的范围.
解 直接将 c1 + Δc1 代入表 2. 6 中, 并计算得表 2. 16.
为保持原基 B 的最优性, 解不等式组
1/ 5 - 2/ 5Δc1 ≥ 0
6/ 5 + 3/ 5Δc1 ≥ 0 ,
·23·
得 - 2≤ Δc1≤1/ 2 .
表 2. 16
cj → 4 �+ Δc1 3 |0 �0 �
CB XB b x1 �x2 �x 3 �x4 �
θ
3 hx 2 �4 �0 |1 {3 {/ 5 - 2 �/ 5
4 �+ Δc1 x 1 �6 �1 |0 {- 2 �/ 5 3 �/ 5
Z 36 m+ 6Δc1 0 }0 |1 �/ 5- 2/ 5Δc1 6 $/ 5+ 3/ 5Δc1 ←σj
即 x 1 的价值系数 c1 可以在[ 2, 4. 5] 之间变化, 而不影响现行最优方案. 但此时目标函
数值相应增加了 6Δc1 .
2. 5. 2 资源数量的变化分析
当资源数量 bk 的值有变化时, 由于 bk 的变化和 B- 1 , A, C 不相关, 因此, 检验数没有变
化. 这样当 bk - > bk + Δbk , 最终表中基变量的值为 XB′= B- 1
( b+ Δb) , 其中
Δb = ( 0, 0, ⋯, Δbk , 0, ⋯, 0)T. 只要 XB′≥0, 则基 B 的最优性不变.
Δbk 的范围可用以下方法确定:
因为 B- 1
( b+ Δb) = B- 1
b+ B- 1Δb ,
设 B- 1
b= ( b�1 , b�2 , ⋯, b�m )T,
所以, B- 1Δb= B
- 1
0
Δbk
0
= Δbk
a�1k
┆
a�mk
.
只要 B- 1
b+ B- 1Δb≥0 ,
即 b�i+ a�ikΔbk≥0, i= 1, 2, ⋯, m . ( 2. 33)
就能保证基 B 的最优性不变. 解不等式组( 2. 33) , 得到 Δbk 的允许变化范围:
maxi
{- b�i/ a�ik ©¦a�ik > 0} ≤ Δbk ≤ mini
{- b�i/ a�ik ©¦a�ik < 0} .
应当指出, 当 bk 在此范围内变化时, 虽然基 B 的最优性仍可保持, 但最优解中基变量的
值和目标函数值同时改变. 当 bk 变化超出范围时, 则必然破坏基 B 的可行性, 此时可用对偶
单纯形法在最终表上继续迭代.
例 16 求本章例 1 的第二个条件 b2 的变化范围.
解 由表 2. 6 知, 只须
B- 1
b + B- 1
0
Δb2
≥ 0 ,
即4
6+
3/ 5 - 2/ 5
- 2/ 5 3/ 5
0
Δb2
=4
6+
- 2/ 5
3/ 5Δb2 ≥ 0 .
解不等式组
·33·
4 - 2/ 5Δb2 ≥ 0
6 + 3/ 5Δb2 ≥ 0 .
得 - 10 ≤ Δb2 ≤ 10 .
故 b2 的变化范围为[ 16, 36] .
2. 5. 3 技术系数的变化分析
( 1) 基变量的技术系数 aij的变化比较复杂, 既有可能引起 b 列的变化, 也可能引起检验
数行的变化. 下面以具体例子说明.
例 17 以例 1 为例, 分析原计划生产产品的工艺结构发生变化. 若生产产品甲的工艺
有了改进, 其技术系数向量变为 P 1′= ( 1, 2) T , 相应甲产品的每件利润为 6 元. 试分析对原计
划有什么影响?
解 把改进工艺结构的产品甲视为甲′, 设 x 1′是其产量, 在最终表中用 x1′代替 x 1 , 用 P 1′
代替 P 1
计算 B- 1 P 1′=3/ 5 - 2/ 5
- 2/ 5 3/ 5
1
2=
- 1/ 5
4/ 5,
σ1′= CB B- 1P 1′- c1′= ( 3, 6)- 1/ 5
4/ 5- 6 = - 9/ 5 .
同时, >σ3 = ( 3, 6)3/ 5
- 2/ 5- 0 = - 3/ 5 ,
σ4 = ( 3, 6)- 2/ 5
3/ 5- 0 = 12/ 5 .
将上述数据填入表 2. 6 中相应位置, 得新表 2. 17.
表 2. 17
c j → 6 �3 �0 �0 �
CB XB b x1 �′ x 2 �x 3 �x 4 �
θ
3 �x 2 �4 �- 1 �/ 5 1 �3 c/ 5 - 2 �/ 5 -
6 �x1 �′ 6 �[ 4 e/ 5] 0 �- 2 �/ 5 3 b/ 5 15 x/ 2
Z 48 �- 9 �/ 5 0 �- 3 �/ 5 12 z/ 5 ←σj
由表 2. 17 以[ 4/ 5] 为主元素进行变换并迭代, 过程如表 2. 18 至 2. 19 所示.
表 2. 18
c j → 6 �3 �0 �0 �
CB XB b x1 �′ x 2 �x 3 �x 4 �
θ
3 �x 2 �11 }/ 2 0 �1 �[ 1 c/ 2] - 1 �/ 4 11 �
6 �x1 �′ 15 }/ 2 1 �0 �- 1 �/ 2 3 b/ 4 -
Z 123 �/ 2 0 �0 �- 3 �/ 2 15 z/ 4 ←σj
·43·
表 2. 19
c j → 6 �3 �0 �0 �
CB XB b x1 �′ x 2 �x 3 �x 4 �
θ
0 �x 3 �11 �0 �2 �1 �- 1 �/ 2
6 �x1 �′ 13 �1 �1 �0 �1 b/ 2
Z 78 �0 �3 �0 �3 �←σj
表 2. 19 中的结果已是最优解. 即生产产品甲′13 件, 生产产品乙为 0 件, 可获利 78 元.
例 17 的分析方法, 也可看作增加新产品( 必须生产) 的优化分析. 事实上, 若将产品甲′
视为必须生产的新产品, 就会有上述结果.
( 2) 非基变量的技术系数 a ij 的变化, 仅影响基 B 的对偶可行性, 而不会影响 B 的可
行性.
当 a r j →a r j + Δa r j , 则变化的检验数
σj′= CB B- 1
P j′- cj = σj + ( CB B- 1
) r Δa r j ,
其中( CB B- 1 ) r 为 CB B
- 1的第 r 个分量.
若要保持基 B 的最优性, 则 Δa r j的允许变化范围为
Δa r j ≥-σj
( CB B- 1
). ( 2. 34)
否则用单纯形法进行换基迭代.
2. 5. 4 对增加约束条件的分析
优化后对增加新约束条件的分析, 可按以下方法进行:
首先, 检验原最优解是否满足新增加的约束条件. 如果满足, 则说明此约束条件对原最
优方案无影响(称此约束条件为不起作用的约束, 否则称为起作用的约束 ) ; 如果不满足, 则
将最终表中基变量的表达式代入新约束, 整理后放置最终表中, 继续进行迭代.
例 18 对例 1 增加电力约束: 设生产 1 件甲产品需耗电 3 个单位, 生产 1 件乙产品需耗
电 4 个单位, 且每天供电量不超过 30 单位, 即
3x 1 + 4x 2 ≤ 30 .
试进行分析.
解 将 x 1 = 6, x 2 = 4 代入新增加的电力约束, 左端为 34, 大于右端. 所以, 电力约束为起
作用的约束. 于是以
x 1 = 6+ 2/ 5x 3 - 3/ 5x 4 和 x 2 = 4- 3/ 5x 3 + 2/ 5x 4 代入 3x 1 + 4x 2≤30, 整理得
- 6/ 5x 3 - 1/ 5x 4 ≤- 4 .
加入松弛变量 x 5 后, 放置最终表 2. 7 中, 用对偶单纯形法进行迭代, 详见表 2. 20.
即增加电力约束后, 最优方案变为生产甲产品 22/ 3 件, 乙产品 2 件, 每天获得的最大利
润为 106/ 3 元.
·53·
表 2. 20
cj → 4 �3 �0 �0 �0 �
CB XB b x 1 �x 2 �x 3 �x 4 �x 5 �
3 �x 2 �4 �0 �1 �3 d/ 5 - 2 �/ 5 0 �
4 �x 1 �6 �1 �0 �- 2 �/ 5 3 c/ 5 0 �
0 �x 5 �- 4 �0 �0 �[ - 6 �/ 5] - 1 �/ 5 1 �
Z 36 �0 �0 �1 e/ 5 6 d/ 5 0 �
3 �x 2 �2 �0 �1 �0 �- 1 �/ 2 1 b/ 2
4 �x 1 �22 ~/ 3 1 �0 �0 �2 c/ 3 - 1 �/ 3
0 �x 3 �10 ~/ 3 0 �0 �1 �1 c/ 6 - 5 �/ 6
Z 106 �/ 3 0 �0 �0 �6 d/ 7 1 c/ 6
2. 6 运输问题及其解法
2. 6. 1 运输问题的数学模型
在运输行业中, 经常要将某种物资从一些产地运往另外一些销地. 而单位物资的运输费
用一般来说都与运输距离有关, 根据已有的交通网, 如何调运可使总的费用最少? 这个问题
可用以下模型描述.
已知有 m 个产地 Ai, i= 1, 2, ⋯, m, 可供应某种物资, 其供应量( 产量)分别为 a i, 有 n 个
销地 B j , j = 1, 2, ⋯, n, 其销量分别为 bj , 从 Ai 到 B j 的单位物资运价为 cij , 这些数据汇总于
如下调运量和单位运价表 2. 21 中。
表 2. 21
产地
单位运价
销 地 B1 cB2 �⋯ Bn
产 量
A 1 }c11 cc12 �⋯ c1 �n a 1 �
A 2 }c21 cc22 �⋯ c2 �n a 2 �
┆ ┆ ┆ ⋯ ┆ ┆
Am cm1 jcm2 �⋯ cmn a m
销量 b1 Wb2 �⋯ bn
设 x ij表示 Ai 到 B j 的运量, 那么在产销平衡的条件下 ∑m
i= 1
a i = ∑n
j = 1
bj , 要确定总运费
最小的调运方案, 实际为求解如下数学模型: _
min Z = ∑m
i= 1∑
n
j = 1
cij x ij ,
·63·
s . t .
∑m
i= 1
x ij = bj , j = 1, 2, ⋯, n
∑n
j = 1
x ij = a i, i= 1, 2, ⋯, m
xij ≥ 0, ( i= 1, 2, ⋯, m; j = 1, 2, ⋯, n) .
将上面的数学模型写成矩阵形式: �
min Z = CX ,
s . t .AX = b
X ≥ 0 .
其中 �C= ( c11 , c12 , ⋯, c1n , c2 1 , c22 , ⋯, c2n , ⋯, cm1 , cm 2 , ⋯, cmn ) ,
X= ( x 11 , x 12 , ⋯, x 1n , x 21 , x 22 , ⋯, x2 n , ⋯, x m1 , xm 2 , ⋯, xm n )T,
b= ( a 1 , a 2 , ⋯, am , b1 , b2 , ⋯, bn ) T ,
x 11 x1 2⋯ x 1 n x 21 x 22 ⋯ x 2n⋯ x m1 xm 2⋯xm n
A =
1 1 ⋯ 1
1 1 ⋯ 1
1 1 ⋯ 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n 行
m 行
A 矩阵中 xij 对应的列向量 P ij 为 P ij = ei+ em+ j . 可以证明矩阵 A 的秩 rank ( A) =
m+ n- 1, 并且删去矩阵 A 的任意一行所得的矩阵的秩恰好为 m+ n- 1. 因而运输问题的任
一基可行解均有 m+ n- 1 个基变量, 其值构成一个可行的调运方案.
由于运输问题有可行解, 而 0≤x ij≤min( ai, bj ) , 故无论是 max 问题, 还是 min 问题, 它
们的解一定是上有界或下有界, 从而运输问题一定有最优解.
运输问题的数学模型共包含 m× n 个决策变量 x ij和 m+ n- 1 个独立的约束条件. 如果
用单纯形法求解, 如再考虑增加人工变量, 即使 m 和 n 都不很大, 但变量数却比较多, 计算
起来比较麻烦. 考虑到矩阵 A 的特殊结构, 人们在单纯形法的基础上, 设计求解运输问题的
表上作业法, 其实质仍是单纯形方法.
2. 6. 2 产销平衡问题的表上作业法
表上作业法首先在表上给出一个初始调运方案(即初始基可行解) ; 然后, 按照给出的准
则对方案进行判别是否最优. 如果所得方案不是最优, 则需对所得方案进行调整. 如此直到
最优.
下面通过例子说明表上作业法的方法与步骤.
例 18 设某产品从产地 A1 , A2 , A3 运往销地 B 1 , B 2 , B3 , B 4 , B5 , 运量和单位运价如表
2. 22所示. 问如何调运才能使总的运费最少?
·73·
表 2. 22 单位: 百元/ 万吨
产地
单位运价
销 地 B1 ,B2 �B3 �B4 fB5 $
产量( 万吨)
A1 ~7 �10 �8 �6 S4 �40 �
A2 ~5 �9 �7 �12 j6 �40 �
A3 ~3 �6 �5 �8 S11 (90 �
销量( 万吨) 30 040 �60 �20 j20 (
解 第一步: 确定初始调运方案
确定初始调运方案的方法很多, 这里介绍两种, 即最小元素法和伏格尔法.
1. 最小元素法
最小元素法是按运价最小的优先调运原则确定初始方案的方法. 下面用最小元素法给
出例 18 的初始调运方案. 首先在表 2. 22 中找到最小运价 3, 将 A3 优先供应 30 万吨给 B1 ,
由于 B 1 已被满足, 所以划去运价表中的 B1 列, 见表 2. 23.
表 2. 23 产销平衡表(单位: 万吨) 运价表( 单位: 百元/ 万吨)
产地
调运
量
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B 5 �
产量(万吨)
B1 �
B2 w
B 3 _
B4 G
B5 /
A1 �40 �7 |10 {8 L6 44 �
A2 �40 �5 |9 d7 L12 K6 �
A3 �30 #90 �3 _� 6 d5 L8 411 3
销量(万吨) 30 #40 �60 �20 �20 �
再从余下的运价表中找到最小运价 4, A1 优先供应 20 万吨给 B 5 , 划去 B 5 列. 余下的最
小运价为 5, A3 余下的 60 万吨供给 B 3 , 划去 B 3 列. 因为此时 A 3 也已供应完, 应划去 A3 行,
这种要同时划去一行和一列, 为保证有( m+ n- 1) 个数字格, 应在同时划去的其他格中填上
一个数字格“0”, 在 ( A2 , B 3 ) 处补上一个“0”; 如此下去, 直到划去所有的行和所有的列, 这些
过程详见表 2. 24 至 2. 27。
表 2. 24 产销平衡表(单位: 万吨) 运价表( 单位: 百元/ 万吨)
产地
调运
量
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B 5 �
产量(万吨)
B1 �
B2 w
B 3 _
B4 G
B5 /
A 1 �20 �40 �7 |10 {8 L6 44�
A 2 �40 �5 |9 d7 L12 K6 �
A 3 �30 #90 �3 |6 d5 L8 411 3
销量(万吨) 30 #40 �60 �20 �20 �
·83·
表 2. 25 产销平衡表(单位: 万吨) 运价表( 单位: 百元/ 万吨)
产地
调运
量
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B 5 �
产量(万吨)
B1 �
B2 w
B 3 _
B4 G
B5 /
A 1 �20 �40 �7 |10 {8 L6 44 �
A 2 �0 �40 �5 |9 d7 L12 K6 �
A 3 �30 #60 �90 � 3 | 6 d 5 /� 8 4 11 3
销量(万吨) 30 #40 �60 �20 �20 �
表 2. 26 产销平衡表(单位: 万吨) 运价表( 单位: 百元/ 万吨)
产地
调运
量
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B 5 �
产量(万吨)
B1 �
B2 w
B 3 _
B4 G
B5 /
A 1 �20 �20 �40 � 7 | 10 { 8 L 6 �� 4 �
A 2 �0 �0 �40 �5 |9 d7 L12 K6 �
A 3 �30 #60 �90 � 3 | 6 d 5 L 8 4 11 3
销量(万吨) 30 #40 �60 �20 �20 �
表 2. 27 产销平衡表(单位: 万吨) 运价表( 单位: 百元/ 万吨)
产地
调运
量
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B 5 �
产量(万吨)
B1 �
B2 w
B 3 _
B4 G
B5 /
A 1 �20 �20 �40 � 7 | 10 { 8 L 6 4 4 �
A 2 �40 �0 �0 �40 � 5 | 9 G� 7 L 12 K 6 �
A 3 �30 #60 �90 � 3 | 6 d 5 L 8 4 11 3
销量(万吨) 30 #40 �60 �20 �20 �
Z= 20× 6+ 20× 4+ 40× 9+ 0× 7+ 0× 12+ 30× 3+ 60× 5= 950 .
该调运方案的总运价为 9. 5 万元. 可以证明, 用最小元素法给出的初始方案是运输问题
的基可行解.
把调运方案中有数字的格叫数格, 未填数字的格叫空格. 一个合理的调运方案中数格的
个数应为( m+ n- 1)个. 用最小元素法求初始方案时, 可能在产销表中填入一个数字格后,
同时要划去一行和一列, 这称为退化情况, 为保证总有( m+ n- 1)个数字格, 可在同时划去
的其他格中填上数字“0”.
2. 伏格尔法
最小元素法可能为了节省一处费用, 造成其他处多花很多费用. 伏格尔法考虑到, 一产
地的产品假如不能按最小运费供应, 就可考虑次小运费, 这二者之间有一个差额. 差额越大,
说明不能按最小运费调运时, 运费增加越多. 因而对差额最大处, 应当多采用最小运费调用.
其步骤为:
( 1) 分别计算表中各行和各列中最小运费和次小运费的差额, 并填入表中的最右列和
最下行;
·93·
( 2) 从行和列的差额中选出最大者, 选择其所在行或列中的最小元素, 按类似于最小元
素法优先供应, 划去相应的行或列;
( 3) 对表中未划去的元素, 重复( 1)、( 2) , 直到所有的行和列划完为止.
下面对例 18 给出相应的初始方案, 步骤如表 2. 28 至表 2. 39.
表 2. 28 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 5
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 �7 "10 �8 �6 �4 R2 r
A 2 �5 "9 �7 �12 �6 R1 r
A 3 �3 "6 �★ 5 �8 �11 i2 r
列差额 2 "3 �� 2 �2 �2 R
表 2. 29 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �40 �
A2 �40 �
A3 �40 ?90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
表 2. 30 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 6
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 �7 "10 �8 �6 �4 R2 r
A 2 �5 "9 �7 �12 �6 R1 r
A 3 �3 �★ 6 �5 �8 �11 i2 r
列差额 2 �� - 2 �2 �2 R
表 2. 31 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �40 �
A2 �40 �
A3 �30 s40 ?90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
表 2. 32 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 6
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 �7 "10 �8 �6 �4 R2 r
A 2 �5 "9 �7 �12 �6 R1 r
A 3 � 3 " 6 � 5 �★ 8 � 11 i3 U�
列差额 - - 2 �2 �2 R
表 2. 33 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �40 �
A2 �40 �
A3 �30 s40 ?20 �90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
表 2. 34 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 6
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 �7 "10 �8 �6 i★ 4 R2 r
A 2 �5 "9 �7 �12 �6 R1 r
A 3 � 3 " 6 � 5 � 8 � 11 i-
列差额 - - 1 �6 i� 2 R
表 2. 35 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �20 �40 �
A2 �40 �
A3 �30 s40 ?20 �90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
表 2. 36 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 6
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 � 7 " 10 � 8 � 6 � 4 5★ 4 U�
A 2 �5 "9 �7 �12 �6 R1 r
A 3 � 3 " 6 � 5 � 8 � 11 i-
列差额 - - 1 �- 2 R
表 2. 37 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �20 �20 �40 �
A2 �0 �40 �
A3 �30 s40 ?20 �90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
·04·
表 2. 38 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 6
B2 �
B3 �
B4 �
B5 e
行差额
A 1 � 7 " 10 � 8 � 6 � 4 R-
A 2 �5 "9 �7 �★ 12 �6 R1 r
A 3 � 3 " 6 � 5 � 8 � 11 i-
列差额 - - 7 �� - 6 R
表 2. 39 单位: 百元/ 万吨
产地销地 B1 o
B2 ;
B3 �
B4 �
B5 �
产量
A1 �20 �20 �40 �
A2 �40 �0 �40 �
A3 �30 s40 ?20 �90 �
销量 30 s40 ?60 �20 �20 �
根据上述初始调运方案, 可得总运费为
Z= 20× 6+ 20× 4+ 20× 4+ 40× 7+ 0× 6+ 30× 3+ 40× 6+ 20× 5= 9. 1 万元 .
可以证明, 用伏格尔法给出的初始方案是运输问题的基可行解. 本例用伏格尔法给出的
初始方案是最优解.
第二步: 最优调运方案的判别
理论上已经证明, ( 1) 一个合理的调运方案中不应有以数格为始点的闭回路. 所谓闭
回路, 是指方案中从某一始格出发, 沿同行或同列前进, 当遇到一个数字格时可转 90 度继
续前进, 按此方法进行下去, 直到回到始点的一个封闭的曲线. ( 2) 每一个空格有且只有一
条闭回路.
显然表 2. 40 所给方案是一个可行方案, 但存在图中虚线所示的闭回路, 故不能作为某
个运输问题一个合理调运方案.
表 2. 40
产 地
运量
销 地 B1 ,
B2 �
B3 �
B4 f
B5 $
产 量
A1 ~30 � 30 60 �
A2 ~40 0 30 j70 �
A3 ~30 � 30 40 (100 �
销 量 40 060 �60 �30 j40 (
一个初始方案是一个基可行解, 方案中的数格对应于基变量, 空格对应于非基变量. 因
此, 如何判别方案是否最优, 实际上是计算空格( 非基变量) 的检验数 σij = CB B- 1
P ij - cij =
( ui+ v j ) - cij i, j ∈J N . 对目标函数要求极小化的运输问题, 当所有的 σij≤0 时, 为最优方案.
如何计算空格的检验数, 现介绍两种方法.
1. 闭回路法
对表 2. 27 所制定的调运方案计算其空格的检验数.
将表 2. 27 所制定的方案中的各个调运量换成相对应的单位运价, 得表 2. 41, 表中的空
格是表 2. 27 中的空格.
对空格( A1 , B 2 ) 有闭回路( A1 , B2 ) →( A1 , B4 ) →( A2 , B 4 ) →( A2 , B 2 ) → ( A1 , B 2 ) , 设想若
由 A 1 供应 1 万吨给 B2 , 则总的运费有何变化呢? 显然为保持产销平衡, 那么 A 1 要少运 1 万
吨给 B4 , A2 要多运 1 万吨给 B4 , A2 少运一万吨给 B 2 . 这样的调整方案, 运费增加 10- 6+ 12
- 9= 7 万元, 这表明, 如果这样调整将增加运费. 该数字 7 的相反数- 7 就是空格 ( A 1 , B 2 )
·14·
的检验数. 如上所述, 可找出该方案的所有空格的检验数, 如表 2. 42 所示.
表 2. 41 单位: 百元/ 万吨
产 地
运
价
销 地 B1 �
B2 �
B3 y
B4 �
B5 i
A1 ~6 �4 V
A2 ~9 �7 f12 �
A3 ~3 v5 f
表 2. 42 检 验 数 表
产 地
检验
数
销 地 B1 �
B2 �
B3 y
B4 �
B5 i
A1 ~- 8 �- 7 �- 7 �
A2 ~0 v4 VA3 ~1 �2 �- 3 �
从表 2. 42 中可以看出, 共有 3 个正检验数, 故这个方案不是最优的.
2. 位势法
用闭回路法求检验数时, 需给每一空格找一条闭回路. 当产销点很多时, 这种计算比较
繁. 下面介绍用位势法计算空格的检验数.
由线性规划的对偶理论可知, CB B- 1表示运输问题 m + n 个约束条件的对偶变量向量.
设其分量为 u1 , u 2 , ⋯, um , v1 , v2 , ⋯, vn .
因为检验数 σij = CB B- 1
P ij - cij , 而 P ij = ei+ em+ j , 所以, σij = ( ui+ v j ) - cij . 其中基变量
(数格) 的检验数 σij = ( ui+ vj ) - cij = 0( i, j∈J B ) . 因而有由 m+ n 个变量和 m+ n- 1 个方程
组成方程组
ui + vj = cij ( i, j ∈ J B ) .
显然, 上述方程组中含一个自由变量, 令其中某个为任一确定的值, 可得到方程组的解
ui 和 vj ( i= 1, 2, ⋯, m; j = 1, 2, ⋯, n) , 从而可求出非基变量( 空格) 的检验数. 以下计算均在
表中进行.
下面仍以表 2. 41 为例, 介绍具体的方法.
在表 2. 41 的下边和右侧各加一行和一列, 分别称为位势行和位势列, 记为 ui 和 vj ( 见
表 2. 43) .
表 2. 43 单位: 百元/ 万吨
产 地
运
价
销 地 B1 R
B2 Z
B3 b
B4 j
B5 r
ui
A1 �6 W4 _u1 �
A2 �9 G7 O12 nu2 �
A3 �3 ?5 Ou3 �
vj v1 Iv2 Qv3 Yv4 av5 i
·24·
由 ui+ v j = cij ( i, j ∈J B ) , 有如下方程组
u1 + v4 = 6
u1 + v5 = 4
u2 + v2 = 9
u2 + v3 = 7
u2 + v4 = 12
u3 + v1 = 3
u3 + v3 = 5 ,
令 u2 = 6 得
u2 = 12
u3 = 10
v1 = - 7
v2 = - 3
v3 = - 5
v4 = 0
v5 = - 2 .
按 σij = ( ui+ vj ) - cij ( i, j ∈J N ) , 计算空格相应的检验数, 其结果见表 2. 44.
表 2. 44 单位: 百元/ 万吨
产 地
运
价
销 地 B1 R
B2 Z
B3 b
B4 j
B5 r
ui
A1 �- 8 m- 7 u- 7 }6 z
A2 �0 ?4 _12 �
A3 �1 G2 W- 3 �10 �
vj - 7 m- 3 u- 5 }0 W- 2 �
不难看出, 用该法和闭回路法算得的检验数完全一样.
第三步: 用闭回路法调整方案
当在表中空格处出现正检验数时, 表明它不是最优方案, 必须对其进行调整. 具体调整
方法如下: 若有两个或两个以上的正检验数时, 一般选其中最大的正检验数, 以它对应的格
为调入格, 如例 18 中的( A 2 , B 5 )格. 然后沿此空格的闭回路进行最大可能的调整, 最大调整
量 θ= min {闭回路中第奇数拐角点的调运量}. 该处最大调整量为 0 吨, 调整后的方案为表
2. 45, 相应检验数如表 2. 46 所示.
表 2. 45
产地
调运
量
销地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B5 j
产量
A 1 �20 �20 n40 m
A 2 �40 �0 �0 W40 m
A 3 �30 �60 �90 m
销量 30 �40 �60 �20 �20 n
表 2. 46 检验数表
产地
销地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B5 i
A 1 @- 4 �- 3 �- 3 �
A 2 @0 �- 4 �
A 3 @1 �- 12 �- 7 �
同样以( A3 , B 2 ) 为调整格, 重新调整如表 2. 47 所示, 相应检验数如表 2. 48 所示.
从表 2. 48 中可以看出, 8 个检验数均为非正, 说明这个方案是最优方案. 此时总运费为
Z* = 20× 6+ 20× 4+ 20× 4+ 40× 7+ 0× 6+ 30× 3+ 40× 6+ 20× 5= 9. 1 万元.
几点说明:
·34·
( 1) 在最优方案中某空格检验数为 0 时, 由线性规划的理论知, 一定有多重最优解.
( 2) 退化情况.
表上作业法求解运输问题出现退化情况时, 须在相应格中填上一个 0, 以表示此格为数
格. 有以下两种情况:
① 确定初始方案时, 若出现同时划去一行和一列, 则需在填写数格的行或列上, 再添一
个“0”数格.
② 闭回路调整时, 若同时有 r ( r> 1)个最小值格时, 则需在要划去的这 r 个数格中改填
r - 1 个“0”数格.
这两种情况的处理, 参见例 18.
表 2. 47
产地
调运
量
销地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B5 j
产量
A 1 �20 �20 n40 m
A 2 �40 �0 W40 m
A 3 �30 �40 �20 �90 m
销量 30 �40 �60 �20 �20 n
表 2. 48 检验数表
产地
销 地 B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
B5 i
A 1 @- 4 �- 4 �- 3 �
A 2 @0 �- 1 �- 4 �
A 3 @- 2 �- 7 �
2. 6. 3 产销不平衡问题的解法
前面讨论的是产销平衡的问题, 即有
∑m
i= 1
a i = ∑n
j = 1
bj .
而实际问题中产销往往是不平衡的. 对于这样的运输问题, 解决的办法是把它转化为平
衡的问题, 然后用前述的表上作业法求得最优方案.
当产大于销, 即
∑m
i= 1
a i > ∑n
j = 1
bj
时, 运输问题的数学模型可表示为 �
min Z = ∑m
i= 1∑
n
j = 1
cij x ij ,
s . t .
∑n
j = 1
x ij ≤ a i ( i= 1, 2, ⋯, m)
∑m
i= 1
x ij = bj ( j = 1, 2, ⋯, n)
xij ≥ 0 ( i= 1, 2, ⋯, m, j = 1, 2, ⋯, n) .
由于总产量大于总销量, 可虚拟 Bn + 1为存储地, 并设 x i, n+ 1是产地 Ai 的储存量, 于是有
∑n
j = 1
x ij + xi, n + 1 = ∑n+ 1
j = 1
x ij = a i ( i= 1, 2, ⋯, m) .
总的存量为
·44·
∑m
i= 1
x i, n + 1 = ∑m
i= 1
a i - ∑n
j = 1
bj = bn+ 1 .
由于就地存储的单位运费为 0, 所以, 令 ci, n + 1 = 0, i= 1, 2, 3, ⋯, m, 从而得到一个产销
平衡的运输问题: �
min Z′= ∑m
i= 1∑n + 1
j = 1
cij x ij ,
s . t .
∑n + 1
j = 1
x ij = a i( i= 1, 2, ⋯, m)
∑m
i= 1
x ij = bj ( j = 1, 2, ⋯, n + 1)
x ij ≥ 0 ( i= 1, 2, ⋯, m, j = 1, 2, ⋯, n + 1) .
同样, 当总销量大于总产量时, 只要增加一个虚拟的产地 Am + 1 , 它的产量 a m+ 1为
am + 1 = ∑n
j = 1
bj - ∑m
i= 1
ai.
可令从假想产地 Am + 1到销地 B j 的单位运费 cm+ 1, j = 0( j = 1, 2, ⋯, n) , 同样可以将这类
问题转化为产销平衡的问题.
例 19 设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机. 各厂家的年产量、各地区
的年销售量及各厂到各地区的单位运价如表 2. 49 所示. 试求出总的运费最省的电视机调拨
方案.
表 2. 49 运价单位: 万元/ 万台
厂家销 地
B1 �B2 �B3 yB4 �产量( 万台)
A1 !6 �3 �12 }6 �10 �
A2 !4 �3 �9 f- 12 �
A3 !9 �10 !13 }10 �10 �
最低需求( 万台) 6 �14 !0 f5 �
最高需求( 万台) 10 �14 !6 f不限
解 这是一个产销不平衡的典型运输问题, 总产量为 32 万台, 四个地区的最低总需求
为 25 万台, 最高总需求为无限. 据现有产量知第四个地区最高可分配到 12 万台, 这样确定
最高需求为 42 万台, 大于产量. 为了求得平衡, 增加一个虚拟的厂家 A4 , 其年产量为 10 万
台. 各地区的需求量包含两部分, 如地区 A1 , 其中 6 万台是最低需求, 从而也就不能由 A4 供
应, 故可令相应运价为 M( M 为很大的正数) , 其余部分可由 A 4 供应, 相应运价设为 0. 参照
上述分析, 对有两种需求不同的地区, 可视为两个地区对待. 这样可得表 2. 50.
表 2. 49 中( A2 , B4 ) 处表示 A2 不供应 B 4 地区, 在表 2. 50 中相应运价也用 M 表示. 对表
2. 50 用表上作业法计算, 得最优方案如表 2. 51 所示.
最优方案为生产厂 A1 分别调运给 B 2 和 B 4 各 8 万台和 2 万台, A2 分别调运给 B1 和 B 2
各 6 万台, A3 全部调运给 B 4 共 10 万台.
总运价为 Z* = 8× 3+ 2× 6+ 6× 4+ 6× 3+ 5× 10+ 5× 10= 178 万元.
·54·
表 2. 50
厂家销 地
B1 v′ B1 f″ B2 aB3 QB4 6′ B4 &″ 产量
A 1 �6 n6 ^3 N12 U6 .6 �10 �
A 2 �4 n4 ^3 N9 >M M 12 �
A 3 �9 n9 ^10 e13 U10 E10 510 �
A 4 �M 0 ^M 0 >M 10 510 �
销量 6 n4 ^14 e6 >5 .7 �
表 2. 51
厂家销 地
B1 v′ B1 f″ B2 aB3 QB4 6′ B4 &″ 产量
A 1 �8 N2 �10 �
A 2 �6 n6 N12 �
A 3 �5 .5 �10 �
A 4 �4 ^6 >0 �10 �
销量 6 n4 ^14 e6 >5 .7 �
2. 7 目标规划模型
前面介绍的线性规划及运输问题, 都是在约束条件下具有单个目标函数的基本特征. 但
现实世界中有很多问题具有多个目标, 这些目标的重要性各不相同, 往往有不同的量纲, 又
相互冲突. 同时, 在许多实际问题中, 在某些限制条件下, 决策者希望实现的多项目标, 有的
要求百分之百地予以实现, 有的则要求基本实现就可以. 诸如此类问题, 这正是目标规划要
研究解决的. 目标规划通常包括线性目标规划、非线性目标规划等. 本节仅介绍线性目标规
划(简称目标规划) 的数学模型及方法.
引例 如对本章的例 1, 我们已经很熟悉了, 它是一个单目标的线性规划问题.
设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 1 件和 x 2 件, 其数学模型如下: �
max Z = 4x 1 + 3x2 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 ≤ 24
3x 1 + 2x 2 ≤ 26
x 1 , x 2 ≥ 0 .
其最优解为 x*1 = 6, x
*2 = 4, z
*= 36. 即最优方案为甲产品生产 6 件, 乙产品生产 4 件,
每天的总利润为 36 元.
现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素, 提出如下目标:
( 1) 根据市场信息, 甲产品的销量有下降趋势, 而乙产品的销量有上升趋势, 故考虑乙
产品的产量应大于甲产品的产量;
( 2) 尽可能充分利用工时, 不希望加班;
( 3) 应尽可能达到并超过计划利润 30 元.
·64·
在原材料不能超计划使用的前提下, 并考虑上述( 1) ( 2) ( 3)后, 如何安排生产使这些目
标依次实现?
为了建立数学模型, 仍设每天生产甲、乙两种产品分别为 x1 件和 x 2 件, 由于原材料的
限制, 显然有如下资源约束: 2x 1 + 3x 2≤24 .
令 d-1 表示乙产品的产量低于甲产品产量的数, d
+1 表示乙产品的产量高于甲产品产量
的数. 我们称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量. 从而满足目标约束( 1)的约
束为约束等式
- x 1 + x 2 + d-1 - d
+1 = 0.
同样令 d-2 和 d
+2 分别表示安排生产时, 低于可利用工时和高于可利用工时, 即加班工
时的偏差变量, 则对目标( 2) , 有: 3x 1 + 2x 2 + d-2 - d
+2 = 26 .
又令 d-3 和 d
+3 分别表示安排生产时, 低于计划利润 30 元和高于计划利润 30 元的偏差
变量, 则对目标( 3) , 有: 4x 1 + 3x 2 + d-3 - d
+3 = 30 .
这个问题的目标函数依次为:
min Z 1 = d-1 ,
min Z 2 = d+2 + d - -
2
min Z 3 = d-3 .
因此, 该问题的数学模型可描述为
目标 min Z 1 = d-1 ; min Z 2 = d
+2 + d
-2 ; min Z 3 = d
-3 .
约束条件
s . t.
2x 1 + 3x 2 ≤ 24
- x 1 + x 2 + d -1 - d +
1 = 0
3x 1 + 2x 2 + d-2 - d
+2 = 26
4x 1 + 3x 2 + d -3 - d +
3 = 30
x1 , x 2 ≥ 0, d +i ≥ 0, d -
i ≥ 0, i= 1, 2, 3 .
( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
2. 7. 1 目标规划的数学模型
目标规划的基本思想是化多项目标为单一目标, 为此先引入与目标规划数学模型有关
的概念.
1. 决策变量和偏差变量
决策变量又称控制变量, 用 xi 表示.
在目标规划中, 引进正、负偏差变量, 分别用 d+i 和 d
-i 表示. d
+i 为正偏差变量, 它表示
实际决策值超过第 i个目标值的数量; d-i 为负偏差变量, 它表示实际决策值低于第 i个目标
值的数量.
显然 d+i 和 d
-i 二者中至少有一个为零. 事实上, 当 d
+i ≠0 时, 说明实际值超过目标值,
此时有 d-i = 0; 同样当 d
-i ≠0 时, 也有 d
+i = 0, 因此, d
+i d
-i = 0. 目标规划一般有多个目标值,
每个目标值都有一对偏差变量 d+i 和 d
-i .
2. 资源约束和目标约束
资源约束是指必须严格满足的等式或不等式约束, 如引例的数学模型中的约束条件
·74·
( 1) , 又称为硬约束. 目标约束是目标规划特有的, 它把要预定的目标值作为右端的常数项,
在达到目标值时允许发生正或负的偏差量, 因此, 目标约束是软约束, 具有一定的弹性. 如引
例的数学模型中的约束条件( 2) ( 3) ( 4) . 目标约束不会不满足, 但可能偏差过大.
例如, 对于约束 f i( X ) + d-i - d
+i = bi,
当 d-i = 0 时, 有 f i( X )≥bi,
当 d+i = 0 时, 有 f i( X ) ≤bi,
当 d+i = d
-i = 0 时, 有 f i( X ) = bi.
3. 优先因子与权系数
目标规划中, 当决策者要求实现多个目标时, 为使多个目标统一在单一目标中, 且按主
次或轻重缓急依次实现, 故引进优先因子. 凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P 1 , 次位
的目标赋予优先因子 P 2 , ⋯, P k+ 1 , 并规定 P km P k+ 1 , ( k= 1, 2, ⋯, K ) 表示 P k 比 P k+ 1有更大
的优先权, 不同的优先因子代表不同的优先等级. 满足时首先保证 P 1 级目标的实现, 这时
不考虑其他次级目标, P 2 级目标是在保证 P 1 级目标实现的基础上考虑, 依此类推, 若要考
虑具有相同优先因子的两个目标的差别, 这时可分别赋予它们不同的权系数 ωrk , 这些都由
决策者按具体情况而定.
4. 目标规划的目标函数
目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变量和相应的优先因子组成的. 因决
策者的愿望是尽可能缩小偏离目标值, 故目标函数总是极小化.
对于目标约束 f i( X ) + d-i - d
+i = bi, 相应目标函数的基本形式有如下三种:
( 1) 若要求恰好达到预定目标值, 则目标函数为 �min ( d+i + d
-i ) ;
( 2) 若要求不超过预定目标值, 则目标函数为 min ( d+i ) ;
( 3) 若要求超过预定目标值, 则目标函数为 min ( d-i ) .
对引例的三个目标( 1) ( 2) ( 3)考虑分别赋予优先因子 P 1 , P 2 , P 3 , 则这个问题的模型为 �
min Z = P 1 d -1 + P 2 ( d+
2 + d -2 ) + P 3 d -
3 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 ≤ 24
- x 1 + x2 + d-1 - d
+1 = 0
3x 1 + 2x 2 + d -2 - d +
2 = 26
4x 1 + 3x 2 + d-3 - d
+3 = 30
x 1 , x 2 ≥ 0, d+i ≥ 0, d
-i ≥ 0, i= 1, 2, 3 .
( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
一般地, 目标规划的数学模型为 �
min Z = ∑L
r = 1
P r ∑K
k = 1
( ω-r k d
-k + ω
+rk d
+k ) ,
s . t .
∑n
j = 1
a ij x j ≤ bi i= 1, 2, ⋯, m
∑n
j = 1
ckj x j + d -k - d +
k = gk k = 1, 2, ⋯, K
x j ≥ 0 j = 1, 2, ⋯, n; d-k , d
+k ≥ 0 k = 1, 2, ⋯, K .
为了使上述模型中的资源约束一定成立, 从而保证其解的可行性, 可引进相应的偏差变
·84·
量, 可将资源约束的正负偏差量之和, 赋予优先因子 P 0 并首先给予满足. 如果改变后的最优
值中 P 0 的系数大于零, 说明原问题无可行解.
建立目标规划的数学模型时, 排定各个目标的优先等级, 确定各目标值和权系数等, 一
般通过专家评定事先解决.
2. 7. 2 目标规划的图解法
对于只具有两个决策变量的目标规划的数学模型, 用图解法求解简单直观. 下面结合例
题的求解说明图解法的步骤.
例 20 用图解法求引例的解.
解 ( 1) 先在平面直角坐标系中作出各约束条件所确定的区域 .
资源约束条件的作图与线性规划相同, 如图 2. 6 中的阴影部分, 即三角形 OAB 所围的
区域为可行域. 对目标约束条件, 令相应的正、负偏差( d+i , d
-i ) 均为 0, 作相应的直线.
图 2. 6
( 2) 标出目标约束在相应直线上 d+i , d
-i 的方向.
( 3) 根据目标函数的优先因子分析求解.
在可行域中, 首先考虑 P 1 的实现, 即要求 min d-1 , 从图中可见, 满足 d
-1 = 0 的区域为三
角形 OBC; 接着考虑 P 2 相应的目标, 即在区域 OBC 中要实现 min ( d+2 + d
-2 ) , 容易看出,
C( 24/ 5, 24/ 5) 点距离直线( 2) 最近, 即可以使 ( d+2 + d
-2 ) 取最小, 此时 d
+2 = 0, d
-2 = 2; 最后,
同理考虑 P 3 相应目标的实现, 此时只有 C 点, d-3 = 0, d
+3 = 18/ 5. 因此, 满意解为, x 1 =
24/ 5, x 2 = 24/ 5, 相应的利润为 168/ 5= 33. 6 元.
图解法不仅直观表达了 d+i 和 d
-i 的几何意义, 而且可以得出 (理论上也可以证明) , 任
何目标规划问题都有满意解的结论.
2. 7. 3 用单纯形法解线性目标规划的步骤
由于目标规划的数学模型结构和线性规划的模型结构类似, 所以, 可用单纯形法求解.
以下结合例题的求解, 说明其方法步骤.
例 21 试用单纯形法求解引例.
解 先将引例化为标准型: �
min Z = P 1d-1 + P 2 ( d
+2 + d
-2 ) + P 3 d
-3 ,
·94·
s . t .
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 24
- x 1 + x 2 + d -1 - d +
1 = 0
3x 1 + 2x 2 + d-2 - d
+2 = 26
4x 1 + 3x 2 + d -3 - d +
3 = 30
x i ≥ 0, d+i ≥ 0, d
-i ≥ 0, i= 1, 2, 3 .
第 1 步: 建立初始单纯形表
取 x 3 , d-1 , d
-2 , d
-3 为基变量, 建立初始单纯形表 2. 52.
表 2. 52
cj → 0 g0 ~0 �P 1 �P 2 �P 3 �0 �P 3 b0 �
CB X B b x1 vx 2 �x 3 �d -1 �d -
2 �d -3 �d +
1 �d+2 Od+
3 �
θ
0 "x 3 H24 g2 g3 ~1 �0 �0 �0 �0 �0 N0 �8 �
P 1 7d -1 :0 P- 1 �[ 1 ~] 0 �1 �0 �0 �- 1 0 N0 �0 �
P 2 7d-2 :26 g3 g2 ~0 �0 �1 �0 �0 �- 1 |0 �13 �
P 3 7d -3 :30 g4 g3 ~0 �0 �0 �1 �0 �0 N- 1 �10 �
P 1 e- 1 �1 ~- 1
σj → P 2 e3 g2 ~- 2 |
P 3 e4 g3 ~- 1 �
表 2. 52 中的检验数矩阵是这样得到的:
根据线性目标规划具有多个目标函数, 且分别属于不同的优先等级的特点, 其各级目标
函数系数中的非基变量的检验数, 都含有不同等级的优先因子, 因此, 检验数可表示为
σj = z j - cj = ∑K
k= 1
akj P k - cj ( j = 1, 2, ⋯, n) .
对于本例来说, 基变量 x 1 的检验数
σ1 = z 1 - c1 = ( 2, - 1, 3, 4)
0
P 1
P 2
P 3
- 0 = - P 1 + 3P 2 + 4P 3 .
把 σ1 中各级优先因子的系数写成具有 K 行的列向量
- 1
3
4
并填入表中. 其他非基变量
的检验数也如此计算分别填入表中. 便得到表中具有 K 行的检验数矩阵.
第 2 步: 判别满意解
线性目标规划满意解的检验是对单纯形表中检验数矩阵从 P 1 到 P K 逐行进行的.
如果单纯形表中检验数矩阵的第 k( 1≤k≤K )行的系数均为非正, 且它所在列的前k- 1
个数均为非正, 则表中相应的解为满意解, 停止计算. 否则转第 3 步.
本例中, 表 2. 52 中检验数矩阵的 P 1 行中含有正数 2, 所以转入下一步.
第 3 步: 换基迭代
( 1) 换入变量的确定. 如果表中检验数矩阵第 k( 1≤k≤K )行中有正数, 且它们所在列
·05·
的前第 k- 1 个数均为零, 则取其中最左边正系数对应的变量为换入变量.
( 2) 按最小比值确定换出变量, 当存在两个或两个以上相同的最小比值时, 选取具有
较高优先级的变量为换出变量.
本例中, x 2 为换入变量, d-1 为换出变量, 且 a 22为主元.
按单纯形法进行迭代运算, 得新表 2. 53, 返回第 2 步.
重复进行第 2, 3 步, 得最终表 2. 55,
表 2. 53
cj → 0 g0 ~0 �P 1 �P 2 �P 3 �0 �P 2 b0 �
CB X B b x1 vx 2 �x 3 �d -1 �d -
2 �d -3 �d +
1 �d+2 Od+
3 �
θ
0 "x 3 H24 g5 g0 ~1 �- 3 �0 �0 �3 �0 N0 �24 �/ 5
0 "x 2 H0 P- 1 �0 ~0 �1 �0 �0 �- 1 0 N0 �-
P 2 7d -2 :26 g5 g0 ~0 �- 2 �1 �0 �2 �- 1 |0 �26 �/ 5
P 3 7d -3 :30 g[ 7 g] 0 ~0 �- 3 �0 �1 �3 �0 N- 1 �30 �/ 7
P 1 e- 1 �
σj → P 2 e5 g- 2 �2 �- 2 |
P 3 e7 g- 3 �3 �- 1 �
表 2. 54
cj → 0 g0 ~0 �P 1 �P 2 �P 3 �0 �P 2 b0 �
CB X B b x1 vx 2 �x 3 �d-1 �d
-2 �d
-3 �d
+1 �d
+2 Od
+3 �
θ
0 "x 3 H18 9/ 7 0 g0 ~1 �- 6 �/ 7 0 �- 5 �/ 7 6 �/ 7 0 N[ 5 �/ 7] 18 �/ 5
0 "x 2 H30 9/ 7 0 g1 ~0 �4 ~/ 7 0 �1 �/ 7 - 4 �/ 7 0 N- 1 �/ 7 -
P 2 7d -2 :32 9/ 7 0 g0 ~0 �1 ~/ 7 1 �- 5 �/ 7 - 1 �/ 7 - 1 |5 �/ 7 32 �/ 5
0 "x 1 H30 9/ 7 1 g0 ~0 �- 3 �/ 7 0 �1 �/ 7 3 �/ 7 0 N- 1 �/ 7 -
P 1 e- 1 �
σj → P 2 e1 ~/ 7 - 5 �/ 7 - 1 �/ 7 - 2 |5 �/ 7
P 3 e- 1 �
表 2. 55
cj → 0 g0 ~0 �P 1 �P 2 �P 3 �0 �P 2 b0 �
CB X B b x1 vx 2 �x 3 �d -1 �d -
2 �d -3 �d +
1 �d+2 Od+
3 �
θ
0 "d+3 :18 9/ 5 0 g0 ~7 g/ 5 - 6 �/ 5 0 �- 1 �6 �/ 5 0 N1 �-
0 "x 2 H24 9/ 5 0 g1 ~1 g/ 5 2 ~/ 5 0 �0 �- 2 �/ 5 0 N0 �15 �/ 2
P 2 7d -2 :2 P0 g0 ~- 1 �1 �1 �0 �- 1 - 1 |0 �2 �
0 "x 1 H24 9/ 5 1 g0 ~1 g/ 5 - 3 �/ 5 0 �0 �3 �/ 5 0 N0 �-
P 1 e- 1 �
σj → P 2 e- 1 �1 �- 1 - 2 |
P 3 e- 1 �
·15·
表 2. 55 所示的满意解 x*1 = 24/ 5, x
*2 = 24/ 5, z
*= 168/ 5, d
-2 = 2, d
+3 = 18/ 5, d
+1 = d
-1 =
d+2 = d
-3 = 0, 相当于图 2. 6 中的 C( 24/ 5, 24/ 5) 点.
2. 8 评价相对有效性的 DE A 模型
2. 8. 1 DEA 模型的发展
所谓相对有效性是指在同类型的企业或部门(称为决策单元) 各投入一定数量的资源、
资金或劳动力后, 对其生产的产品的数量、经济效益或社会效益相互间进行比较而言. 评价
同类企业或部门的相对有效性是衡量一个企业或部门的科学管理水平的一个重要标记.
自然, 评价一个决策单元, 其主要依据是“投入量”( 或称“输入数据”)和“产出量”(或称
“输出数据”) . 例如, 评价一所高等院校, 输入数据是学校的全年经费、教职员工的总人数、各
类职称的教师人数、教学用房总面积以及图书、设备、仪器等; 输出数据则应是每年培养的学
生人数、毕业生的质量、教师的教学质量和科研成果的数量和质量等, 然后根据这些“投入
量”与“产出量”评价这所高校的优劣. 这里的优劣是通过与其他学校相互比较而言的.
1978 年著名的运筹学家查尼斯( A . Charnes)、库珀( W . W . Cooper) 及罗兹( E. Rh odes)
首先 提 出了 一 个 评 价 部 门 间 相 对 有效 性 的 数 据 包 络 分 析 法 ( t he meth od of dat a
envelopment analysis ) , 简称 DEA 方法. 它是根据一组输入和输出的观察值来估计有效生
产前沿面. 他们的第一个 DEA 模型称为 C2R 模型, 是用来评价部门间的相对“规模有效”
的. 1985 年提出了单纯评价“技术有效”性的 C2GS 模型. 1986 年根据研究具有无穷多个决
策单元的情况, 提出了 C2W 模型. 1987 年给出具有“偏好”的锥比率的 C
2WH 模型. 这些模
型已经在实际中得到成功的运用.
为了说明 DEA 模型建模的基本思路, 下面看一个例子.
某公司有甲、乙、丙三个企业, 为评价这几个企业的生产效率, 收集到反映其投入(固定
资产年净值 x 1 , 流动资金 x 2 , 职工人数 x 3 ) 和产出( 总产值 y1 , 利税总额 y2 ) 的有关数据如表
2. 56 所示.
表 2. 56
指 标企 业 甲 乙 丙
x1 �(万元) 4 �15 �27 �
x2 �(万元) 15 �4 �5 �
x3 �(万元) 8 �2 �4 �
y1 �( 万元) 60 �22 �24 �
y2 �( 万元) 12 �6 �8 �
由于投入指标与产出指标都不止一个, 故通常采用加权的办法来综合指标值和产出指
标值. 设 vi 为第 i个投入指标 x i 的权重, u r 为第 r 个产出指标 y r 的权重, 则第 j 个企业投入
的综合值为
·25·
∑3
i= 1
vix ij , 产出的综合值为∑2
r= 1
u r y r j , 其效率定义为 h j =∑
2
r = 1
u r y r j
∑3
i= 1
vix ij
于是问题实际上是确定一组最佳的权变量 v1 , v2 , v3 和 u1 , u2 , 使第 j 个企业的效率值 hj
最大. 这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值.
我们限定所有的 h j 值( j = 1, 2, 3) 不超过 1, 即 max h j≤1. 这意味着, 若第 k 个企业 hk =
1, 则该企业相对于其他企业来说生产率最高, 或者说这一生产系统是相对有效的; 若 hk <
1, 那么该企业相对于其他企业来说, 生产率还有待提高, 或者说这一生产系统还不是有
效的.
根据上述分析, 可以建立确定任一个企业(如第 3 个企业即丙企业) 的相对生产率的最
优化模型如下: �
max H = h3 ,
s. t .h j ≤ 1, j = 1, 2, 3
u r ≥ 0, r = 1, 2, vi ≥ 0, i= 1, 2, 3 .
其中
h1 =60u1 + 12u 2
40v1 + 15v2 + 8v3, h2 =
22u1 + 6u 2
15v1 + 4v2 + 8v3, h3 =
24u1 + 8u2
27v1 + 5v2 + 4v3.
这是一个分式规划模型, 利用查尼斯-库珀变换后, 可以把它转化为一个等价的线性规
划模型, 然后利用线性规划的知识进行求解即可.
DEA 方法是运筹学的一个较新的研究领域, 它的众多优点吸引了许多应用工作者. 在
国外, 应用范围已扩展到军用飞机的飞行、城市建设、银行信贷等方面. 同时还可用它研究多
种方案之间的相对有效性, 甚至可以用来进行政策评价. 目前我国正在进行的各行各业的评
价中, DEA 方法是一个较为理想的方法.
本节, 只简单介绍 C2R 模型, 其他几个模型请参考有关的资料.
2. 8. 2 C2R 模型
设有 n 个同类型的部门(又称决策单元) , 对每个部门都有 m 种不同的输入以及 p 种不
同的输出(即投入 m 种“资源”, 产出 p 种“产品”) , 它们由表 2. 57 给出.
表 2. 57
权数指 标部门
1 �2 f⋯ j ⋯ n
输 入
1 �v1 �x 11 �x12 �⋯ x 1 �j ⋯ x 1 �n
2 �v2 �x 21 �x22 �⋯ x 2 �j ⋯ x 2 �n
┆ ┆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
m vm x m1 �xm2 �⋯ x mj ⋯ x mn
输 出
1 �u1 �y 11 �y12 �y 1 �j ⋯ y1 �n
2 �u2 �y 21 �y22 �⋯ y 2 �j ⋯ y2 �n
┆ ┆ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
p up yp 1 �yp2 �⋯ yp j ⋯ yp n
·35·
其中:
x ij表示第 j 个决策单元关于第 i种类型投入的总量, xij > 0;
y r j 表示第 j 个决策单元关于第 r 种类型产出的总量, y r j > 0;
vi 表示第 i种类型输入的度量(也称为权系数) ;
u r 表示第 r 种类型输出的度量( 也称为权系数) ;
i= 1, 2, ⋯, m; j = 1, 2, ⋯, n; r = 1, 2, ⋯, p .
x ij和 y r j 为已知的数据, 它可以根据历史的资料或预测的数据得到; vi 和 u r 是变量.
对应于权系数 V= ( v1 , v2 , ⋯, vm )T与 U= ( u1 , u2 , ⋯, up )
T, 每个决策单元都有相应的效
率评价指数
h j =∑
p
r = 1
u r y r j
∑m
i= 1
vix ij
, j = 1, 2, ⋯, n .
从理论上来说, 我们总是可以选取适当的权系数 V 和 U, 使其满足:
h j ≤ 1, j = 1, 2, ⋯, n.
现在对第 j 0 个决策单元进行效率评价( 1≤j 0≤n) , 以权系数 V 和 U 为变量, 以第 j 0 个
决策单元的效率指数为目标, 以所有决策单元的效率指标 h j≤1 为约束, 构成如下的最优化
模型: B
max h j 0 =∑
p
r= 1
u r y r j 0
∑m
i= 1
vix ij 0
,
∑p
r = 1
u r y r j
∑m
i= 1
vix ij
≤ 1, j = 1, 2, ⋯, n.
V = ( v1 , v2 , ⋯, vm ) T ≥ 0
U = ( u1 , u2 , ⋯, up )T≥ 0 .
不难看出, 利用上述模型评价决策单元 j 0 是不是有效, 是相对于其他所有决策单元而
言的. 为方便起见, 记 y r j 0为 y r 0 , x ij 0为 x j 0 , 同样 Yj 0记为 Y0 , X j 0记为 X0 , 使用矩阵符号, 有 )
max VP =U
TY0
VTX0
,
( P�) s . t .
UTYj
VT X j≤ 1, j = 1, 2, ⋯, n
V ≥ 0, U ≥ 0 .
其中 X j = ( x 1j , x 2j , ⋯, x mj )T, Yj = ( y 1j , y 2j , ⋯, yp j )
T, j = 1, 2, ⋯, n.
( P�)是一个分式规划, 使用查尼斯—库珀变换, 可以转化为一个等价的线性规划问题.
为此, 令
·45·
t =1
VTX0
, ω= tV, μ= tU ,
则有
UT Y0
VTX0
= μT Y0
UTYj
VT X j=
μTYj
ωT X j≤ 1, j = 1, 2, ⋯, n
ωTX0 = 1, ω≥ 0, μ≥ 0 .
因此分式规划( P�) 变为 �
max VP = μTY0 ,
( P ) s . t .ω
TX j - μ
TYj ≥ 0 , j = 1, 2, ⋯, n
ωT X0 = 1, ω≥ 0, μ≥ 0.
定理 1 分式规划( P�) 和线性规划( P ) 在下述意义下等价:
( 1) 若 V0, U
0为( P�) 的最优解, 则
ω0= t
0V
0, μ
0= t
0U
0为( P ) 的最优解, 并且最优值相等, 其中
t 0 =1
V0 T
X0.
( 2) 若 ω0, μ
0为( P )的最优解, 则 V
0, U
0也为( P�) 的最优解, 并且最优值相等.
定义 1 若线性规划 ( P ) 的最优解 ω0, μ
0满足 VP = μ
0 TY0 = 1, 则称决策单元 j 0 为弱
DEA 有效.
定义 2 若线性规划( P ) 的最优解中存在 ω0 > 0, μ
0 > 0 满足 VP = μ0T
Y0 = 1, 则称决策单
元 j 0 为 DEA 有效.
由上面定义知, 若决策单元 j 0 为 DEA 有效, 则必弱 DEA 有效.
显然线性规划( P ) 的对偶规划为 �
min VD = θ,
( D ) s . t .
∑n
j = 1
Xj λj + S-
= θX0
∑n
j = 1
Yjλj - S+ = Y0
λj ≥ 0 j = 1, 2, ⋯, n
S+≥ 0, S
-≥ 0, θ无约束.
定理 2 线性规划( P ) 及其对偶线性规划( D )都存在最优解且最优值 VD = VP ≤1.
定理 3 对于对偶线性规划( D ) 有
( 1) 若( D ) 的最优值 VD = 1, 则决策单元 j 0 为弱 DEA 有效; 反之亦然.
( 2) 若( D ) 的最优值 VD = 1, 并且它的最优解 λ0, S
0-, S
0+, θ
0, 都有 S
0 -= 0, S
0+= 0, 则决
策单元 j 0 为 DEA 有效; 反之亦然.
例 22 已知甲、乙、丙三个同行企业, 为评价其相对生产率, 取投入要素为固定资产 K
( 亿元) 和职工人数 L( 千人) , 产出项目为净产值 Y( 亿元) , 有关数据如表 2. 58. 试比较它们
的有效性.
·55·
表 2. 58
权数指 标部门
甲 乙 丙
输入 1 �( K) v1 �1 P. 5 1 3 �
2 �( L) v2 �4 ~3 7 �输出 1 �( Y) u1 �5 ~4 8 �
解 ( 1) 甲企业对应的 DEA 模型为: 2
min VD = θ ,
( D ) s . t .
1. 5λ1 + λ2 + 3λ3 + s-1 = 1. 5θ
4λ1 + 3λ2 + 7λ3 + s-2 = 4θ
5λ1 + 4λ2 + 8λ3 - s+3 = 5
λj ≥ 0, j = 1, 2, 3, s-1 ≥ 0, s
-2 ≥ 0, s
+3 ≥ 0 .
( D ) 的最优解为 λ0= ( 0, 1. 25, 0)
T, θ
0= 0. 93, s
0-1 = 0. 15, s
0-2 = s
0 +3 = 0. 由于 θ
0< 1, 所以
甲企业不是 DEA 有效.
( 2) 乙企业对应的 DEA 模型为 �
min VD = θ,
( D ) s . t .
1. 5λ1 + λ2 + 3λ3 + s-1 = θ
4λ1 + 3λ2 + 7λ3 + s-2 = 3θ
5λ1 + 4λ2 + 8λ3 - s+3 = 4
λj ≥ 0, j = 1, 2, 3, s-1 ≥ 0, s
-2 ≥ 0, s
+3 ≥ 0 .
( D ) 的最优解为 λ0 = ( 0, 1, 0)T, θ
0= 1, s
0-1 = s
0-2 = s
0 +3 = 0. 可知, 乙企业是 DEA 有效.
( 3) 丙企业对应的 DEA 模型为 �
min VD = θ,
( D ) s. t.
1. 5λ1 + λ2 + 3λ3 + s-1 = 3θ
4λ1 + 3λ2 + 7λ3 + s-2 = 7θ
5λ1 + 4λ2 + 8λ3 - s+3 = 8
λj ≥ 0, j = 1, 2, 3, s-1 ≥ 0, s-
2 ≥ 0, s+3 ≥ 0 .
( D ) 的最优解为 λ0 = ( 0, 2, 0)T, θ
0= 0. 85, s
0-1 = 0. 57, s
0 -2 = s
0+3 = 0. 由于 θ
0< 1, 所以, 丙
企业不是 DEA 有效.
上述计算结果表明, 乙企业的相对生产率最高, 丙企业的相对生产率最低.
2. 9 应 用 实 例
线性规划应用非常广泛, 限于篇幅, 我们略举数例. 每例的重点放在建立相应的数学模
型上, 求解过程都省略了.
·65·
2. 9. 1 配料问题
例 23 某养鸡专业户, 养鸡 1 000 只, 用大豆和谷物饲料混合喂养, 每天每只鸡平均吃
混合饲料 0. 5 公斤; 其中应至少含有 0. 1 公斤蛋白质和 0. 002 公斤钙. 已知每公斤大豆含有
50% 的蛋白质和 0. 5% 的钙, 价格是每公斤 1. 00 元; 每公斤谷物含有 10% 的蛋白质和0. 4%
的钙, 价格是每公斤 0. 30 元. 粮食部门每周只保证供应谷物饲料 2 500 公斤, 大豆供应量不
限, 问如何搭配这两种饲料, 才能使喂养成本最低?
解 设每周需要供应大豆和谷物各 x 1 , x 2 公斤, 则由它们配合而成的混合饲料总量应
恰好为鸡群一周吃完, 从而有 x 1 + x 2 = 7× 1 000× 0. 5 即 x 1 + x 2 = 3 500 .
由蛋白质要求, 又有 50% x 1 + 10% x 2≥7× 1 000× 0. 1, 即 5x 1 + x 2≥7 000 .
同样由钙质要求, 有 5x 1 + 4x 2≥14 000 .
最后由供应谷物饲料的限制, 有 x 2≤2 500 .
目标是喂养成本最低, 即 z= x 1 + 0. 3x 2 为最小.
综上所述, 得如下数学模型: b
min z = x 1 + 0. 3 x 2 ,
s . t .
x 1 + x 2 = 3 500
5x 1 + x 2 ≥ 7 000
5x 1 + 4x 2≥ 14 000
x 2 ≤ 2 500
x 1 , x 2 ≥ 0 .
求解得最优方案
x*1 = 1 000, x
*2 = 2 500, z
* = 1 750 .
2. 9. 2 综合生产问题
例 24 某工厂加工 A, B, C 三种元件, 三种元件在粗加工、精加工和包装检验三个车间
所需的单位工时, 单位价格和各车间总工时限额如表 2. 59 所示. 问如何安排生产, 可获最大
总产值.
表 2. 59
A B C 各车间工时
粗加工 1 U2 �1 �430 G
精加工 3 U0 �2 �460 G
检查包装 1 U4 �0 �420 G
单位价格(元) 30 �20 �50 �
解 设生产 A , B, C 元件分别为 x 1 , x 2 , x 3 , 件, 其数学模型为
max Z = 30x 1 + 20x 2 + 50x3 ,
·75·
x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 430
3x1 + 2x 3 ≤ 460
x 1 + 4x 2 ≤ 420
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, 3) .
引入松弛变量 x 4 , x 5 , x 6 , 化为标准形式: �
max Z = 30x 1 + 20x2 + 50x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x6 ,
x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 430
3x 1 + 2x 3 + x 5 = 460
x 1 + 4x 2 + x 6 = 420
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) .
用单纯法解之, 得最终表 2. 60.
表 2. 60
cj 30 �20 �50 �0 e0 60 �
CB XB b x 1 �x2 �x 3 �x4 tx 5 Ex 6 �
20 �x2 _100 O- 1 �/ 4 1 �0 �1 7/ 2 - 1 7/ 4 0 �
50 �x3 _230 O3 �/ 2 0 �1 �0 e1 �/ 2 0 �
0 �x6 _20 82 �0 �0 �- 2 �1 61 �
Z 13500 }40 �0 �0 �10 |20 M0 �
因此, 最优方案是:
A 元件不生产, B 元件生产 100 件, C 元件生产 230 件, 可获得最大产值 13500 元. 同时
由最终表可以看出: 粗加工工时的影子价格为 10 元/ 工时, 精加工工时的影子价格为 20 元
/ 工时, 检验包装车间剩余 20 个工时.
( 1) 该厂附近有甲、乙两个小厂愿意承接粗加工和精加工任务. 但受各种因素的限制,
该厂只能与一个厂签订一种加工合同. 为增加收益, 该厂应如何分别与两厂签订合同? 已知
甲乙两厂分别提出的条件见表 2. 61.
表 2. 61
粗加工 精加工
甲厂 3 �元/ 工时 17 �元/ 工时
乙厂 8 �元/ 工时 16 �元/ 工时
解 首先要对粗加工工时 b1 和精加工工时 b2 作灵敏度分析, 以便求出在保证现行最优
基 B 的前提下, b1 和 b2 的允许增加量.
从最终表知
B- 1
=
1/ 2 - 1/ 4 0
0 1/ 2 0
- 2 1 1
,
·85·
B- 1 b=
1/ 2 - 1/ 4 0
0 1/ 2 0
- 2 1 1
b1
460
420
=
b1 / 2 - 460/ 4
230
- 2b1 + 880
≥ 0 .
得 230 ≤ b1 ≤ 440 .
即: 粗加工工时在 230 和 440 之间时, 最优基不变. 因为现有 430 粗加工工时, 所以, 该
厂为了进一步提高总收益, 在不改变现行生产方案的前提下可追加粗加工工时 440- 430=
10. 又由
B- 1 b =
1/ 2 - 1/ 4 0
0 1/ 2 0
- 2 1 1
430
b2
420
≥ 0 ,
得 440 ≤ b2 ≤ 860 .
即: 还可追加精加工工时 860- 460= 400.
根据粗加工工时的影子价格 10 元/ 工时, 追加 10 个粗加工工时可多获产值 10× 10=
100 元; 根据精加工工时的影子价格为 20 元/ 工时, 追加 400 个精加工工时可多获产值 20×
400= 8 000 元.
若与甲厂签订加工合同, 要付甲厂加工费分别是 3× 10= 30 和 17× 400= 6 800( 元) , 该
厂净获利为 100- 30= 70(元) 或 8 000- 6 800= 1 200(元) .
若与乙厂签订加工合同, 要付乙厂加工费分别是 8× 10= 80 和 16× 400= 6 400( 元) , 该
厂净获利为 100- 80= 20(元) 或 8 000- 6 400= 1 600(元) .
因此, 应与甲厂签订粗加工合同 10 个工时, 与乙厂签订精加工合同 400 个工时的合同
可使获利最大为 70+ 1 600= 1 670( 元) .
( 2) 由于市场价格的波动, A 元件的价格有上升趋势, 问在价格达到多少时, A 元件投
产才有利.
对 A 元件的价格系数 c1 作灵敏度分析. 若要 x 1 进基作为产品变量, 必须 x 1 的检验数
CB B- 1
P 1 - c1 < 0.
即
( 10, 20, 0)
1
3
1
- c1 < 0, 亦即 c1 > 70.
这说明只有当 A 元件的单位价格达到 70 元才有利于生产.
( 3) 由于市场供求关系的限制, 现在 B 元件最多只能生产 60 件, 问应如何调整生产
安排?
在原问题中添加一个约束条件 x 2≤60, 引进松弛量 x 7 得 x 2 + x 7 = 60, 把它作为新的一
行添加到最终表 2. 61 中, 得表 2. 62, 并解之. 用对偶单纯形法得最终表 2. 63.
调整后的最优方案是 A 元件不生产, B 元件生产 60 件, C 元件生产 230 件, 最大利润是
12 700 元, 比原来减少了 800 元.
·95·
由于最终表(表 2. 63)的改变, 粗加工工时的影子价格由 10 元/ 工时降为 0 元/ 工时. 原
来粗加工工时很紧张, 以至需要在外厂加工, 而现在粗加工工时还空余 80 工时. 包装检验工
时比原来剩余的更多, 而精加工工时仍很紧张, 影子价格由原来的 20 元/ 工时上升到 25
元/ 工时. 因此, 外厂加工的任务也应作出相应的变化. 考虑的方法如前所述. 并且应另辟途
径以利用剩余的 80 粗加工工时和 180 个检验包装工时.
表 2. 62
cj 30 F20 �50 x0 �0 �0 ,0 �
CB XB b x1 >x2 �x 3 px 4 �x 5 �x 6 ;x7 �
20 {x 2 �100 �- 1 0/ 4 1 �0 a1 �/ 2 - 1 �/ 4 0 ,0 �
50 {x 3 �230 �3 �/ 2 0 �1 a0 �1 e/ 2 0 ,0 �
0 dx 6 �20 �2 /0 �0 a- 2 )1 �1 ,0 �
0 dx 7 �- 40 �1 �/ 4 0 �0 a- 1 �/ 2 1 e/ 4 0 ,1 �
Z 13500 �40 F0 �0 a10 �20 �0 ,0 �
表 2. 63
cj 30 F20 �50 x0 �0 �0 ,0 �
CB XB b x1 >x2 �x 3 px 4 �x 5 �x 6 ;x7 �
20 {x 2 �60 �0 /1 �0 a0 �0 �0 ,1 �
50 {x 3 �230 �3 �/ 2 0 �1 a0 �1 e/ 2 0 ,0 �
0 dx 6 �180 �1 /0 �0 a0 �0 �1 ,- 4 �
0 dx 4 �80 �- 1 0/ 2 0 �0 a1 �- 1 �/ 2 0 ,- 2 �
Z 12700 �45 F0 �0 a0 �25 �0 ,20 �
当然也可考虑在上级指令至少生产 100 件的条件下如何安排生产, 讨论的方法与上面
相同.
2. 9. 3 投资计划问题
例 25 某公司经调研分析知, 在今后三年内有四种投资机会. 第Ⅰ种方案是在三年内
每年年初投资, 年底可获利 15% , 并可将本金收回; 第Ⅱ种是在第一年的年初投资, 第二年
的年底可获利 45% , 并将本金收回, 但该项投资不得超过 2 万元; 第Ⅲ种是在第二年的年初
投资, 第三年的年底可获利 65% , 并将本金收回, 但该项投资不得超过 1. 5 万元; 第Ⅳ种是
在第三年的年初投资, 年底收回本金, 且可获利 35% , 但该项投资不得超过 1 万元. 现在本
公司准备拿出 3 万元来投资, 问如何计划可使到第三年年末本利和最大( 仅写出其数学模
型, 不求解) ?
解 本问题的投资年份有三年, 投资方案有四个, 因而设变量 x ij为第 i年投资到第 j 种
投资的金额数, i= 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4. 下面进行分析.
第一年年初有第Ⅰ, Ⅱ种投资机会, 可供使用的资金为 3 万元. 资金不会闲置, 故有
·06·
x1 1 + x 12 = 3 .
另外, 由于第Ⅱ种投资不得超过 2 万元, 故有
x 12≤2.
第二年年初, 此时第一年的第Ⅰ种投资已全部收回, 本利和为 1. 15x 11 , 它可第二年重新
投资, 投资机会有第Ⅰ, Ⅲ种, 因而有
x2 1 + x 2 3 - 1. 15x 1 1 = 0 .
另外, 由于第Ⅲ种投资不得超过 1. 5 万元, 故有
x 23≤1. 5 .
第三年年初, 此时第一年的第Ⅱ种投资应全部收回, 本利和为 1. 45x 12 , 第二年投资于Ⅰ
的资金亦已收回, 本利和为 1. 15x 21 , 这些资金可供重新投资, 这一年的投资机会有第Ⅰ, Ⅳ
种, 因而有如下约束
x 31 + x3 4 - 1. 45x 1 2 - 1. 15x 2 1 = 0.
另外, 由于第Ⅳ种投资不得超过 1 万元, 故有 x 34≤1 .
第三年年底, 所有本利全部收回. 即第二年投资于Ⅲ本利和 1. 65x 23 , 第三年年初投资于
Ⅰ的本利和 1. 15x 31及投资于Ⅳ的本利和为 1. 35x 34 . 归纳上述分析, 该问题的数学模型为 h
max z = 1. 65x 23 + 1. 15x 31 + 1. 35x 34 ,
s . t .
x 11 + x 1 2 = 3
x 12 ≤ 2
x 21 + x 2 3 - 1. 15x 11 = 0
x 23 ≤ 1. 5
x 31 + x 3 4 - 1. 45x 12 - 1. 15x 21 = 0
x 34 ≤ 1
x ij ≥ 0 i= 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 .
2. 9. 4 中转调运问题
例 26 已知甲、乙两处分别有 100 吨和 85 吨同种物资外运, A, B, C 三处各需物资 55,
60, 70(吨) . 物资可以直接运到目的地, 也可以经某些中转点转运, 已知各处之间的距离( 公
里)如表 2. 64, 表 2. 65, 表 2. 66 所示, 试确定一个最优的调运方案(最小的总吨公里数) .
表 2. 64
到从 甲 乙
甲 0 �12 �
乙 10 �0 �
表 2. 65
到从 A B C
甲 10 )14 �12 �
乙 15 )12 �18 �
表 2. 66
到从 A B C
A 0 !14 �11 M
B 10 80 �4 6
C 8 !12 �0 6
·16·
解 这是一个产销平衡的转运问题, 解决这类问题的思路是先将它化为无转运的平衡
运输问题, 再用表上作业法求解. 为此, 作如下考虑:
( 1) 首先根据具体问题求出最大可能中转量 Q;
( 2) 纯中转站可视为销量和产量均为 Q 的一个产地和销地;
( 3) 兼中转站的产地 Ai 可视为一个销量为 Q 的销地及产量为 ai+ Q 产地;
( 4) 兼中转站的销地 B j 可视为一个产量为 Q 的产地及销量为 bj + Q 销地;
在上述考虑的基础上, 列出产销平衡表, 然后用表上作业法求解.
本例的总运量为 185 吨, 最大可能中转量 Q 也为 185 吨. 甲、乙是兼中转站的产地, A,
B , C 是兼中转站的销地. 经转化得产销平衡表 2. 67, 再由表上作业法求解, 得最优方案如表
2. 68, 最小运量为 2 210 吨公里.
表 2. 67
甲 乙 A B C 产量
甲 0 .12 \10 s14 �12 �285 �
乙 10 E0 E15 s12 �18 �270 �
A 10 E15 \0 \14 �11 �185 �
B 14 E12 \10 s0 s4 �185 �
C 12 E18 \8 \12 �0 �185 �
销量 185 \185 s240 �245 �255 �
表 2. 68
甲 乙 A B C 产量
甲 185 �55 �45 �285 �
乙 185 �85 �270 �
A 185 �185 �
B 160 �25 �185 �
C 185 �185 �
销量 185 �185 �240 �245 �255 �
2. 9. 5 提级加薪问题
例 27 某公司的员工工资有四级, 根据公司的业务发展情况, 准备招收部分新员工, 并
将部分员工的工资提升一级. 该公司的员工工资及提级前后的编制如表 2. 69 所示. 其中提
级后的编制是计划编制, 允许有变化, 其中 1 级员工中有 8% 要退休.
公司领导的目标如下:
( 1) 提级后在职员工的工资总额不超过 550 千元;
( 2) 各级员工不要超过定编人数;
( 3) 为调动积极性, 各级员工的升级面不少于现有人数的 18% ;
( 4) 总提级面不大于 20% , 但尽可能多提;
( 5) 4 级不足编制人数可录用新工人.
表 2. 69
级 别(Ⅰ) 1 c2 �3 �4 �
工资(千元) 8 c6 �4 �3 �
现有员工数 10 z20 �40 �30 �
编制员工数 10 z22 �52 �30 �
问应如何拟定一个满意的方案, 才能接近上述目标?
解 设 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 分别表示提升到 1, 2, 3 级和新录用的员工数, P 1 , P 2 , P 3 和 P 4 分
别表示各目标的优先因子:
·26·
P 1 ——提级后在职员工的工资总额不超过 550 千元;
P 2 ——各级员工不要超过定编人数;
P 3 ——各级员工的升级面不少于现有人数的 18% ;
P 4 ——总提级面人数不大于 20% , 但尽可能多提;
分别建立各目标约束:
( 1) 提级后在职员工的工资总额不超过 550 千元
8( 10- 10× 8% + x 1 ) + 6( 20- x 1 + x 2 ) + 4( 40- x 2 + x3 ) + 3( 30- x 3 + x 4 ) + d-1 - d
+1 = 550 .
( 2) �各级员工不要超过定编人数
1 级有 s10- 10× 8% + x 1 �+ d-2 - d
+2 = 10 ,
2 级有 20- x 1 + x 2 + d-3 - d
+3 = 22 ,
3 级有 40- x 2 + x 3 + d-4 - d
+4 = 52 ,
4 级有 30- x 3 + x 4 + d-5 - d
+5 = 30 .
( 3) �各级员工的升级面不少于现有人数的 18%
对 2 级有 �x 1 + d-6 - d
+6 �= 22× 18% ,
对 3 级有 x 2 + d-7 - d
+7 = 40× 18% ,
对 4 级有 x 3 + d-8 - d
+8 = 30× 18% .
( 4) 总提级面人数不大于 20% , 但尽可能多提
x 1 + x 2 + x 3 + d-9 - d
+9 = 100× 20% .
目标函数:
min Z= P 1d+1 + P 2 ( d
+2 + d
+3 + d
+4 + d
+5 ) + P 3 ( d
-6 + d
-7 + d
-8 ) + P 4 ( d
+9 + d
-9 ) .
2. 9. 6 生产率比较问题
例 28 以 1997 年全部独立核算企业为对象, 对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产
水平的比较. 投入要素取固定资产净值年平均余额( 亿元) , 流动资金年平均余额(亿元) 及从
业人员(万人) ; 产出要素取总产值( 亿元)和利税总额( 亿元) .
样本数据和计算结果见表 2. 70( 样本数据引自 1997 年中国统计年鉴) .
表 2. 70
安 徽 江 西 湖 南 湖 北
固定资产 932 L. 66 583 ~. 08 936 �. 84 1306 �. 56
流动资金 980 L. 45 581 ~. 64 849 �. 31 1444 �. 30
从业人数 401 L. 8 294 ~. 2 443 �. 20 461 �. 00
利税总额 179 L. 29 49 ~. 76 144 �. 20 181 �. 41
总 产 值 2196 L. 09 930 ~. 22 1659 �. 04 2662 �. 21
全要素相
对生产率
1 L. 0000
0 ~. 7140
0 �. 9285
1 �. 0000
生产率序号 1 L3 ~2 �1 �
·36·
以评价湖南省的全要素相对生产率为例, 其 DEA 模型为
min VD = θ,
s . t .
932. 66λ1 + 583. 08λ2 + 936. 84λ3 + 1306. 56λ4 + s-1 = 936. 84θ
980. 45λ1 + 581. 64λ2 + 849. 31λ3 + 1444. 40λ4 + s-2 = 849. 31θ
401. 8λ1 + 294. 2λ2 + 443. 20λ3 + 461. 00λ4 + s-3 = 443. 20θ
179. 29λ1 + 49. 76λ2 + 144. 20λ3 + 181. 41λ4 - s+1 = 144. 20
2196. 09λ1 + 930. 22λ2 + 1659. 04λ3 + 2662. 21λ4 - s+2 = 1659. 04
λj≥0, j = 1, 2, 3, 4, s-i ≥0 i= 1, 2, 3, s
+r ≥0 r = 1, 2 .
其解为 θ= 0. 9285, λ1 = 0. 8043, λ2 = λ3 = λ4 = 0,
s-1 = 119. 71, s
-2 = 0, s
-3 = 88. 17, s
+1 = 0, s
+2 = 107. 24 .
习 题
2. 1 用图解法求解下列线性规划问题 , 并指出问题是具有唯一最优解、多重最优解、无界解或无可
行解 .
( 1) �max Z= 2x 1 + 3x2 ,
s. t.
x 1 + 2x2≤8
x 1 ≤4
x2≤3
x 1 , x2≥0 .
( 2) �min Z = - x 1- x 2,
s. t .
x 1 - x 2≥- 1
0. 5x 1 + x 2≤2
x 1, x 2≥0 .
( 3) �m ax Z= x1 + x 2 ,
s . t .
x 1- x2≥1
3x 1 - x 2≤- 3
x 1, x 2≥0 .
2. 2 将下列线性规划模型化为标准型.
( 1) �max Z= 2x 1 - 3x2 + x 3,
s. t.
x 1 - x 2+ x 3≥5
4x1 - x2 + 3x3 = 6
3x1 + x2 + x 3≤10
x 1 , x2≥0, x 3 无约束 .
( 2) min Z = 2x 1- x2 + 2x3 ,
s. t.
- x 1+ x 2+ x3 = 4
- x 1+ x 2- 2x 3≤8
x 1≤0, x 2≥0, x 3 无约束 .
( 3) max Z= - ©¦x ©¦- ©¦y©¦,
s. t.
x + y≥2
x ≤3
x , y 无约束 .
2. 3 找出下列线性规划问题的所有基本解 , 并指出其中的基本可行解和最优解.
( 1) max Z= 2x 1 + 3x2 + 4x3 + 7x4 ,
s. t.
2x1 + 3x 2- x3 - 4x4 = 8
x 1 - 2x2 + 6x3 - 7x4 = - 3
x 1 , x2 , x3 , x 4≥0 .
( 2) min Z = 5x 1- 2x 2+ 3x 3- 6x 4,
·46·
s. t.
x 1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7
2x1 + x2 + x 3+ 2x 4= 3
x 1 , x2 , x3 , x 4≥0 .
2. 4 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题 , 并指出单纯形法迭代的每一步相当于图上的
哪一点.
( 1) �max Z= x 1+ 2x 2,
s. t.
3x1 + x2≤27
4x1 + 3x 2≤36
x 1 , x2≥0 .
( 2) Ymin Z= - 2x 1- 3x 2,
s . t .
x1 + 2x2≤6
3x 1+ x2≤15
x1 , x2≥0 .
2. 5 求解下列线性规划问题:
( 1) �max Z = - x 1+ 2x 2 + x 3,
s. t.
2x1 + x2 + x 3≤4
x 1 + 2x2 ≤6
x 1 , x2 , x3≥0 .
( 2) min Z = - 3x 1+ x 2,
s. t.
- x 1+ x 2≤2
3x1 - x 2≤6
x 1 , x2≥0 .
( 3) max Z = 3x 1+ 5x 2+ x 3,
s. t.
- 4x1 + 2x2 + x3≤14
- x 1 + x2 - x 3≤4
x 1 , x2 , x3≥0 .
2. 6 分别用二阶段法和大 M 法求解下列线性规划问题 , 并指出属于哪一类解 .
( 1) min Z = 2x 1+ 5x 2,
s. t.
2x1 + x2 + x 3 ≥6
x2 + 3x3≥9
x 1 , x2≥0 .
( 2) max Z= x 1+ 2x 2+ 3x 3,
s. t.
5x1 + 3x2 + x3 ≤9
- 5x1 + 6x2 + 15x 3≤15
2x1 + x 2 + x3 ≥5
x 1 , x2 , x3≥0 .
2. 7 用改进单纯法求解下述线性规划问题:
( 1) max Z = 5x1 + 2x 2+ 3x 3,
s. t.
x 1 + 5x2 + 2x3 = 30
x 1 - 5x2 - 6x3≤40
x 1 , x2 , x3≥0 .
( 2) min Z = 5x 1- 5x 2- 13x 3,
s. t.
- x 1+ x 2+ 3x 3≤20
12x 1+ 4x 2+ 10x3≤90
x 1 , x2 , x3≥0 .
2. 8 写出下列线性规划问题的对偶问题 .
( 1) max Z= 2x 1 + x 2+ 5x 3,
·56·
s. t.
2x1 + 3x 2+ 5x 3≤2
3x1 + x2 + 7x 3≤3
x1 + 6x 3≤5
x 1 , x2 , x3≥0 .
( 2) max Z= x 1+ x2 + x3 ,
s. t.
2x1 + x2 + 5x 3≤12
x1 + 2x 2+ 7x 3 = 6
x1 + 6x 3 ≥4
x 1 , x2 , x3≥0 .
( 3) min Z = 4x 1+ 2x 2+ 3x 3,
s. t.
2x1 + x2 + 5x 3≤6
x1 + 2x 2+ 7x 3= 4
x1 + x3 ≥2
x 1 无约束, x2≤0, x 3≥0 .
2. 9 试用对偶单纯形方法求解下列线性规划问题 .
( 1) min Z = x1 + x 2,
s. t.
2x1 + x2≥4
x 1 + 7x3≥7
x 1 , x2≥0 .
( 2) max Z = 2x1 - x2 + x 3,
s. t.
2x1 + 3x 2- 5x 3≥4
- x 1+ 9x 2 - x 3≥3
4x1 + 6x 2+ 3x 3≤8
x 1 , x2 , x3≥0 .
2. 10 有线性规划问题
max Z = - 5x1 + 5x2 + 13x 3,
s . t .
- x 1+ x2 + 3x3≤20 ①
12x1 + 4x2 + 10x 3≤90 ②
x 1, x 2, x 3≥0 .
先用单纯形方法求出最优解 , 然后用灵敏度分析方法分析在下列各种条件下, 最优解分别有何变化?
( 1) 约束条件①的右端常数由 20 变为 30;
( 2) 约束条件②的右端常数由 90 变为 70;
( 3) 目标函数中 x3 的系数由 13 变为 8;
( 4) x1 的系数列向量由- 1
12变为
0
5;
( 5) 约束条件②改变为 10x 1+ 5x 2+ 10x3≤100 ;
( 6) 增加一个约束条件③ 2x1 + 3x2 + 5x 3≤50 .
2. 11 某文教用品厂 , 其经济结构为:
产品范围: 信封(以盒为单位) , 公文袋( 以捆为单位) , 便条(以箱为单位) ;
工人总数: 100 人;
原料情况: 每天有 30 000 公斤坯纸;
生产定额: 每个工人每天单独生产三种产品的任何一种定额都是 30 单位;
消耗定额: 1 单位信封用坯纸 10/ 3 公斤, 1 单位公文袋用坯纸 40/ 3 公斤 , 1 单位便条用坯纸 79/ 3
公斤;
·66·
盈利情况: 信封、公文袋、便条的单位利润分别为 2 元、3 元、1 元;
请根据上述情况制订经营策略. 如果每个工人每天工资为 20 元 , 再增加 1000 人 , 又当如何?
2. 12 证明运输问题中, 任何一个方程可以取作多余方程 .
2. 13 判别表 2. 71( a) ( b) ( c)所给出调运方案可否作为表上作业法求解时的初始解 , 为什么?
表 2. 71 ( a)
产 地销 地 B1 �
B2 z
B3 �
B4 b
B5 �
B6 J
产 量
A 1 }20 �5 g25 �
A 2 }25 ~30 �55 �
A 3 }15 �15 f40 �10 N80 �
A 4 }20 N20 �
销 量 20 �30 ~45 �15 f40 �30 N
( b)
产 地销 地 B1 �
B2 z
B3 �
B4 b
B5 �
B6 J
产 量
A 1 }30 �30 �
A 2 }10 �25 ~35 �
A 3 }15 ~25 �5 O20 N65 �
A 4 }20 �20 �
销 量 10 �40 ~25 �5 O50 �20 N
( c)
产 地销 地 B1 c
B2 �
B3 �
B4 �
产 量
A 1 }6 �4 �10 �
A 2 }4 P8 ~6 �18 �
A 3 }2 ~9 �11 �
销 量 4 P10 �15 �10 �
2. 14 求下列运输问题的最优解 .
( 1)
表 2. 72 调 运 表 运价表
B1 �B2 �B3 CB4 �产量 B1 �B2 �B3 @B4 �
A 1 z3 a2 �2 �2 ,1 �
A 2 z6 a10 �8 �5 ,4 �
A 3 z6 a7 �6 �6 ,8 �
销量 4 �3 �4 /4 �
·76·
( 2)
表 2. 73 调运表 运价表
B1 �B2 �B3 �产量 B1 �B2 �B3 �
A1 �12 �5 �1 �8 �
A2 �14 �2 �4 �0 �
A3 �4 �3 �6 �7 �
销量 9 �10 �11 �
2. 15 某农场承包 100 亩地 , 但因土壤等自然条件不同, 土地分为三类 . 现要在三类土地上种植三种
作物 , 各类土地的亩数 , 各类植物计划播种面积以及各种作物在各类土地上的亩产量如表 2. 74 所示 , 问如
何安排作物布局可使作物总产量最多?
表 2. 74 播种计划表 亩产量表
作物种类土地种类 B1 �
B2 �
B3 z
面积
B1 �
B2 �
B3 �
A 1 O100 e600 6700 �500 �
A 2 O500 e800 6500 �850 �
A 3 O400 e400 6150 �300 �
亩 数 200 �300 �500 �
2. 16 某公司有 3 个工厂和 3 个客户 . 这 3 个工厂在下一时期将分别制造产品 3 000, 5 000 和 4 000
件 . 公司答应卖给客户 1 的数量为 4 000 件 , 客户 4 还想尽可能多地购买剩下的产品 . 工厂 i卖给客户 j 的
单位利润如表 2. 75 所示 . 问如何安排生产和供应才使总利润最大?
表 2. 75
工 厂 i客户j B1 �
B2 �
B3 �
B4 �
A1 ~15 �13 �12 �14 �
A2 ~18 �17 �15 �12 �
A3 ~13 �10 �9 �10 �
2. 17 用图解法解下列线性目标规划问题 .
( 1) �min Z = P 1( d -1 + d +
1 ) + P 2 ( d -2 + d -
3 ) ,
s. t.
15x 1+ 25x2 + d -1 - d +
1 = 600
x 1 + 3x2 + d -2 - d+
2 = 60
x 1 + 3x2 + d -3 - d+
3 = 40
x 1 , x2≥0, d +i ≥0, d -
i ≥0, i= 1, 2, 3 .
( 2) min Z = P 1d-1 + P 2d
-2 ,
s. t.
x1 - x2 + d -1 - d +
1 = 50
2x1 + 3x 2+ d -2 - d +
2 = 0
x1 + x2 ≤1 000
x 1 , x2≥0, d +i ≥0, d -
i ≥0, i= 1, 2 .
2. 18 单纯形法求解下列线性目标规划问题 .
·86·
( 1) �min Z = P 1d -1 + P 2d +
2 + P 3( d -3 + d+
3 ) ,
s. t.
3x1 + x 2 + d -1 - d+
1 = 60
x1 - x2 + 2x3 + d -2 - d+
2 = 10
x1 + x2 - x 3 + d -3 - d+
3 = 20
x i≥0, d+i ≥0, d -
i ≥0 ( i= 1, 2, 3) .
( 2) min Z = P 1d -1 + P 2d +
4 + 5P 3d -2 + 3P 3d -
3 + P 4 d+1 ,
s. t.
x 1 + x 2+ d -1 - d +
1 = 80
x 1 + d -2 - d +
2 = 60
x 2+ d -3 - d +
3 = 45
x 1 + x 2+ d -4 - d +
4 = 90
x 1 , x2≥0; d +i ≥0, d -
i ≥0 ( i= 1, 2, 3, 4) .
2. 19 某彩色电视机组装工厂 , 生产 A, B , C 三种规格的电视机 . 装配工作在同一生产线上完成 , 三种
产品装配时的工时消耗分别为 6 小时 , 8 小时和 10 小时 . 生产线每月正常工作为 200 小时; 三种规格电视
机销售后 , 每台获利分别为 500 元 , 650 元和 800 元 . 每月销量预计为 12 台 , 10 台和 6 台 . 该厂经营目标
如下:
P 1: 利润指标为每月 1. 6× 104 元;
P 2: 充分利用生产能力;
P 3: 加班时间不超过 24 小时;
P 4: 产量以预计销量为标准;
为确定生产计划 , 试建立该问题的目标规划模型.
2. 20 某公司从两个不同仓库向 3 个居民点提供某种产品 , 在计划期内该产品供不应求 , 公司决定重
点保证某些居民点的需要 , 同时又要保证总运费最省 . 现在已知总需要超出供应能力 1 500 单位 . 从仓库 i
到居民点 j 的单位运输费如表 2. 76 所示( i= 1, 2; j = 1, 2, 3) .
表 2. 76
单位运费 居民点 1 \居民点 2 r居民点 3 �库存量
仓库 1 t 10 �4 �12 �3000 L
仓库 2 t 8 �10 �3 �4000 L
需求量 2000 �1500 5000 6
公司有下列 6 个有序目标:
( 1) 完全满足居民点 3 的需要 .
( 2) 至少 75% 满足所有居民点的需要 .
( 3) 使总运费最小 .
( 4) 从仓库 2 给居民点 1 的货运用船运输, 其最小运货量为 1 000 单位 .
( 5) 从仓库 1 给居民点 3 和从仓库 2 给居民点 1 的公路是危险公路 , 尽可能减少运货量 .
( 6) 平衡居民点 1 和居民点 2 之间的供货量满意水平 .
2. 21 试建立下述问题的数学模型(可以不求解) :
( 1) 某房地产公司有水泥 100 单位 , 木材 160 单位和玻璃 400 单位 , 用以建造 A 型和 B 型住宅 . 建一栋
A 型住宅需要水泥、木材、玻璃分别为 1, 2, 2 单位 , 售价每栋 100 万元; 建一栋 B 型住宅需要水泥、木材、玻
璃分别为 1, 1, 5 单位 , 售价每栋 150 万元 . 该公司如何安排两种住宅的建设 , 才能使总售价最大?
( 2) 一贸易公司专门经营某商品的批发业务 . 公司有库容 5 000 单位的仓库 . 一月一日 , 公司有库存
·96·
1 000单位 , 并有资金 20 000 元 . 估计第一季度该商品价格如表 2. 77 所示 .
表 2. 77
进货价( 元) 出货价(元)
一月 2 �. 85 3 7. 10
二月 3 �. 05 3 7. 25
三月 2 �. 90 2 7. 95
如买进的杂粮当月到货 , 但需到下月才能卖出 , 且规定“货到付款”. 公司希望本季末库存为 2 000 单
位 , 问应采取什么样的买进卖出的策略可使 3 个月总的获利最大?
·07·
第 3 章 整数规划模型
3.1 重点、难点提要
1. 整数规划模型的建立
整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致, 只是变量的部分或全体必
须限制为整数. 因而建立模型的步骤仍为:
① 确定决策变量;
② 确定目标函数;
③ 确定约束条件;
④ 确定变量是否为非负整数.
2. 整数规划模型的解法
整数规划常用的解法为分枝定界法和割平面法. 它们适用于解纯整数规划问题和混合
整数规划问题.
3. 0-1 规划的解法
常见的求解 0-1 规划的方法有两种, 即完全枚举法和隐枚举法.
4. 指派问题
指派问题数学模型的标准形式为
min Z = ∑n
i= 1∑
n
j = 1
cij xij ( cij ≥ 0) ,
s. t .
∑n
j = 1
x ij = 1 ( i= 1, 2, ⋯, n)
∑n
i= 1
x ij = 1 ( j = 1, 2, ⋯, n)
x ij 皆为 0 或 1.
若目标函数为求最大值, 即模型为
max Z = ∑n
i= 1∑
n
j = 1
cij x ij ( cij ≥ 0) ,
( IP ) s . t .
∑n
j = 1
x ij = 1 ( i= 1, 2, ⋯, n)
∑n
i= 1
x ij = 1 ( j = 1, 2, ⋯, n)
xij 皆为 0 或 1.
·17·
则需令c′ij= c- cij , 其中 c= max{cij }, 转而求解如下指派问题.
min Z′= ∑n
i= 1∑
n
j = 1
c′ij x ij ,
( IP′) s. t .∑
n
j = 1
xij = 1 ( i= 1, 2, ⋯, n)
∑n
i= 1
xij = 1 ( j = 1, 2, ⋯, n) .
( IP )与( IP′) 的最优解相同, 但最优值之间的关系为
max Z = ∑n
i= 1∑
n
j = 1
cij x ij
= nc - min Z′= nc - min ∑n
i= 1∑
n
j = 1
c′ij xij .
3.2 主要解题方法和典型例题分析
1. 建立整数规划模型
例 1 某钻井队要从以下 10 个可供选择的井位中确定 5 个钻井探油, 使总的钻探费用
为最小. 若 10 个井位的代号为 s1 , s2 , ⋯, s10 , 相应的钻探费用为 c1 , c2 , ⋯, c1 0 , 并且井位选择
上要满足下列限制条件:
① 或选择 s1 和 s7 , 或选择 s8 ;
② 选择了 s3 或 s4 就不能选 s5 , 或反过来也一样;
③ 在 s5 , s6 , s7 , s8 中最多只能选两个.
试建立这个问题的整数规划模型.
解 设决策变量 x j =1, 选择钻探第 sj 井位
0, 否则
目标函数为 min Z = ∑10
j = 1
cj x j .
约束条件:
从 10 个可供选择的井位中确定 5 个探油,
则 ∑10
j = 1
x j = 5.
或选择 s1 和 s7 , 或选择 s8 可表示为
x 1 + x 8 = 1, x 7 + x8 = 1.
选择了 s3 或 s4 就不能选 s5 , 反过来也一样. 可表示为
x 3 + x 5 ≤ 1, x 4 + x5 ≤ 1.
在 s5 , s6 , s7 , s8 中最多只能选两个可表示为
x 5 + x 6 + x 7 + x8 ≤ 2.
综上所述, 该问题的整数规划模型如下:
min Z = ∑1 0
j = 1
cj x j ,
·27·
s . t .
∑10
j = 1
x j = 5
x 1 + x 8 = 1, x 3 + x 5 ≤ 1
x 7 + x 8 = 1, x 4 + x 5 ≤ 1
x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ≤ 2
x j 取 0 或 1.
2. 用分枝定界法求解整数规划模型
用分枝定界法求解整数规划(最大化) 问题的步骤为:
首先, 将要求解的整数规划问题称为问题 A , 将与它相应的线性规划问题( 去掉整数约
束的)称为问题 B.
( 1) 解问题 B, 可能得到以下情况之一:
① B 没有可行解, 这时 A 也没有可行解, 则停止.
② B 有最优解, 并符合问题 A 的整数条件, B 的最优解即为 A 的最优解, 则停止.
③ B 有最优解, 但不符合问题 A 的整数条件, 记它的目标函数值为 Z.
( 2) 用观察法找问题 A 的一个整数可行解, 一般可取 x j = 0, j = 1, ⋯, n. 试探, 求得其目
标函数值, 并记作 - �Z. 以 Z*表示问题 A 的最优目标函数值; 这时有 - 痚
Z ≤ Z* ≤ Z
进行迭代.
第一步: 分枝, 在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 x j , 其值为 bj , 以[ bj ] 表
示小于 bj 的最大整数. 构造两个约束条件:
x j ≤ [ bj ] ① 和 x j ≥ [ bj ] + 1 ②
分别加入问题 B, 得两个后继问题 B1 和 B2 . 不考虑整数条件求解这两个后继问题.
定界. 以每个后继问题为一分枝标明求解的结果, 并与其他问题的解进行比较, 找出最
优目标函数值最小者作为新的上界 Z. 从已符合整数条件的各分枝中, 找出目标函数值为最
大者作为新的下界, 若无整数解, 则取 - 刺Z= 0.
第二步: 比较与剪枝, 各分枝的最优目标函数中若有小于 - 祘Z 者或无可行解者, 则剪掉这
枝( 用打�表示) , 即以后不再考虑了. 若大于 - �)Z, 且不符合整数条件, 则重复第一步. 一直到
最后得到 Z* = - 钝Z 为止. 得最优整数解 x
* .
例 2 用分枝定界法求解混合整数规划.
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( A ) s . t.
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0, 并且 x 1 , x 3 为整数.
解 首先不考虑整数约束, 得问题 B. 而原问题称为 A .
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
·37·
( B) s. t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x 1 , x 2 , x3 ≥ 0.
用单纯形法求得问题( B)的最优解为: x 1 =163
, x 2 = 3, x 3 =103
, max Z= 29.
由于 x 1 =163为非整数, 所以将约束 x 1 ≤5, 和 x 1 ≥6 分别增加于 ( B) 中构成问题 ( B1 )
和( B2 ) .
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( B1 ) s . t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x 1 ≤ 5
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( B2 ) s . t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x 1 ≥ 6
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
解问题( B1 ) , 得最优解为 x 1 = 5, x 2 =207
, x 3 =237
, max Z= 2757
.
由于 x 3 =237为非整数, 所以有约束 x 3≤3 和 x 3 ≥4, 分别增加于 ( B1 )中构成问题 ( B11 )
和( B1 2 ) .
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( B11 ) s . t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x 1 ≤ 5
x 3 ≤ 3
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
max Z = 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( B12 ) s . t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤ 4
4x 2 - 3x 3≤ 2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤ 3
x 1 ≤ 5
x 3 ≥ 4
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
用单纯形法解问题( B1 1 ) , 得最优解为 x 1 = 5, x2 =114
, x 3 = 3, max Z= 2634
. 而问题( B12 )
无最优解. 因此问题( B11 ) 和( B1 2 )都该剪枝. 且原问题的最优值
2634
≤ Z * ≤ 29.
用单纯形法解问题( B2 ) , 无最优解, 剪枝.
因此, 原混合整数规划的最优解为: x 1 = 5, x 2 =114
, x 3 = 3, 最优值 max Z= 2634
.
其树形图如图 3.1 所示.
3. 用割平面法解整数规划问题
割平面法的基本思想是: 首先不考虑变量 x j 是整数这一条件, 求解相应的线性规划问
题. 若最优解恰为整数, 则停止计算; 若最优解不为整数, 则增加线性约束条件( 即割平面) ,
·47·
使得原可行域切割掉一部分, 这部分只包含非整数解, 但没有切割掉任何整数可行解, 继续
求解这个新的线性规划问题. 如此下去, 直至求得最优解或判断无解止.
图 3.1
例 3 求解
max Z = x 1 + x 2 ,
( A ) s . t .
- x1 + x 2 ≤ 1
3x 1 + x 2 ≤ 4
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 , x 2 整数.
解 不考虑整数约束, 构成问题( B)
max Z = x 1 + x 2 ,
( B) s . t .
- x 1 + x2 ≤ 1
3x 1 + x 2 ≤ 4
x 1 , x 2 ≥ 0.
用单纯形法求解的最优单纯形表如表 3.1 所示.
表 3.1 中 x 3 , x 4 为松弛变量, 且为整数.
表 3.1
cj → 1 +1 B0 Y0 p
CB XB b x 1 :x 2 Qx3 hx 4 �θ1 �x1 �3 �/ 4 1 +0 B- 1 Z/ 4 1 B/ 4
1 �x2 �7 �/ 4 0 +1 B3 +/ 4 1 B/ 4
Z 5 �/ 2 0 +0 B1 +/ 2 1 B/ 2 σj
从表 3.1 中可知, 得到非整数的最优解:
x 1 =34
, x 2 =74
, x 3 = x 4 = 0, max Z =52
.
由最终表得到 x 1 所在行的关系式为
x1 -14
x 3 +14
x 4 =34
.
将系数和常数项都分解成整数和非负真分式之和, 上式化为
x 1 - x3 +34
x 3 +14
x 4 =34
.
移项后得
x 1 - x 3 =34
-34
x 3 +14
x 4 ( 3-1)
由 x1 , x 3 均为整数, 所以上式左端为整数, 在等式右边(·) 内是正数; 所以等式右边必
是负数, 即
34
-34
x 3 +14
x 4 ≤ 0.
也就是 3x3 - x 4 ≤- 3. ( 3-2)
这就是所得到的一个割平面方程 . 由 ( B) 中约束条件- x 1 + x 2 + x 3 = 1
3x 1 + x2 + x 4 = 4( 3-2) 式 也可化
·57·
为 x 2≤1.
将( 3-2)式加入问题( B) , 可得问题( B1 ) .
max Z = x 1 + x2 ,
( B1 ) s . t.
- x 1 + x 2 + x 3 = 1
3x 1 + x 2 + x 4 = 4
3x 3 - x 4≤- 3
x j ≥ 0.
用单纯形法解问题( B1 ) , 得最优单纯形表, 如表 3.2 所示.
表 3.2
cj → 1 �1 �0 e0 60 �
CB XB b x 1 �x 2 �x3 tx 4 Ex5 �θ
1 Px 1 01 �1 �0 �0 e1 �/ 3 1 �/ 12
1 Px 2 01 �0 �1 �0 e0 61 �/ 4
0 Px 3 01 �0 �0 �1 e- 1 e- 1 �/ 3
Z 2 �0 �0 �0 e1 �/ 3 1 �/ 6 σj
由此可知, 最优整数解已得到: x*1 = 1, x
*2 = 1. 最优值为 max Z= 2. 这也就是原问题
( A )的解.
本题的求解过程可用图 3.2, 3.3 两个图分别表示.
最优解为 A34
,74
图 3.2
用 x 2= 1 切割掉△ABC, 最优解 C( 1, 1)
图 3.3
用割平面法求解整数规划的关键是找割平面方程. 一般求一个割平面方程的步骤可归
纳为:
( 1) 令 xi 是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量, 由单纯形表的最终表得到
x i + ∑k
a ikx k = bi. ( 3-3)
其中 i∈J B ( J B 为基变量下标集合) , k∈J N ( J N 为非基变量下标集合) .
( 2) 将 bi 和 a ik都分解成整数部分 N 与非负真分数 f 之和, 即
bi = N i + f i, 其中 0 < f i < 1,
·67·
a ik = N ik + f ik , 其中 0 ≤ f ik < 1.
代入( 3-3)式得
x i + ∑k
N ikx k - N i = f i - ∑k
f ik x k .
( 3) 由变量为整数的条件, 这时, 上式由 左边看必须是整数, 但从右边看, 因为
0< f i < 1, 所以不能为正. 即
f i - ∑k
f ik x k ≤ 0. ( 3-4)
这就是一个割平面方程.
割平面方程( 3-4) 真正进行了切割, 至少把非整数最优解这一点割掉了, 而没有割掉整
数解, 这是因为任意整数可行解都满足( 3-4) 式.
值得注意的是, 割平面法求解整数规划经常遇到收敛很慢的情形.
4. 求解 0-1 规划的隐枚举法
0-1 规划的隐枚举法是一种特殊的分枝定界法. 它利用变量只能取 0 或 1 两个值的特
性, 进行分枝定界, 以达到隐枚举之目的. 它适用于任何 0-1 规划问题的求解.
要用隐枚举法, 首先应将 0-1 规划化成以下规范形式:
max S = ∑n
j = 1
cj x j (其中所有的 cj ≤ 0) ,
s . t .∑
n
i= 1
a ij x j ≤ bi( i= 1, 2, ⋯, m)
x j = 0 或 1.
( 1) 如果目标函数是求最小值, 则对目标函数两边乘以- 1, 改求最大值.
( 2) 如果目标函数中某变量 x j 的系数 cj > 0, 则令 x j = 1- y j 替换 x j , 其中 y j 为 0-1 变
量, 于是变量 y j 在目标函数中的系数变成小于 0.
( 3) 如果约束条件是“≥”形式, 则可两边乘以- 1, 改为“≤”的形式.
( 4) 如果约束条件中含有等式, 则可将每个等式化成两个“≤”形式的不等式. 例如
∑n
j = 1
aij x j = bi 可化成∑
n
i= 1
a ij x j ≤ bi
- ∑n
i= 1
a ij x j ≤- bi.
如果有 k 个等式约束∑n
i= 1a ij x j = bi( i= 1, 2, ⋯, k) , 则可用以下 ( k+ 1) 个“≤”的约束
代替:
∑n
i= 1
aij x j ≤ bi( i= 1, 2, ⋯, k)
- ∑k
i= 1∑
n
j = 1
a ij x j ≤- ∑k
i= 1
bi.
0-1 规划的隐枚举法的基本思想是: 首先令全部变量取 0( 因为目标函数的系数全非
正, 此时, 相应的目标函数值 S= 0 就是上界) . 如果此解可行, 则为最优解, 计算终止; 否则,
·77·
有选择地指定某个变量为 0 或 1, 并把它们固定下来( 称为固定变量) , 将问题分枝成两个子
问题. 继续分别对它们进行检验, 即对未被固定取值的变量(称为自由变量) , 令其全部为 0,
检查是否可行. 如果可行, 则它们与固定变量所组成的解就是原问题目前最好的可行解( 不
一定是最优解) , 不再分枝, 其相应的目标函数值就是原问题的一个下界; 否则, 在余下的自
由变量中, 继续上述过程. 经过检验, 或者停止分枝, 修改下界, 或者有选择地将某个自由变
量, 令其为 0 或 1, 将子问题再分枝. 如此下去, 直到所有的子问题停止分枝, 或没有自由变
量止, 并以最大下界值对应的可行解为最优解.
例 4 用隐枚举法求解下列 0-1 规划:
max Z = 2x 1 - x 2 + 5x 3 - 3x 4 + 4x 5 ,
s . t .
3x 1 - 2x 2 + 7x 3 - 5x 4 + 4x 5 ≤ 6
x 1 - x 2 + 2x 3 - 4x 4 + 2x 5 ≤ 0
x j = 0 或 1( j = 1, 2, ⋯, 5) .
解 首先将其化为规范型.
令 x 1 = 1- x′1 , x 3 = 1- x′3 , x 5 = 1- x′5 , 原模型化为
max Z = 11 - 2 x′1 - x 2 - 5 x′3 - 3x 4 - 4 x′5,
s. t.
- 3 x′1 - 2x 2 - 7 x′3 - 5x 4 - 4 x′5 ≤- 8
- x′1 - x 2 - 2 x′3 - 4x 4 - 2 x′5 ≤- 5
x′1 , x′3 , x′5 , x 2 , x 4 取 0 或 1.
其求解分枝图如图 3.4 所示. 在图中弧线上的变量为固定变量, 其余未标出的为自由变
量, 结点序号为分枝的序号.
图 3.4
由图 3.4 可知, 最优解为x′3 = 0, x4 = 1, x′5 = 0, x′1 = 1, max Z= 6.
·87·
因此, 原 0-1 规划的最优解为: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 1, x 5 = 1, 最优值为 max Z= 6.
4. 指派问题的求解
指派问题的解法一般采用匈牙利法. 匈牙利法的主要步骤为:
第一步: 变换指派问题的系数矩阵, 使在各行各列都出现零元素.
( 1) 从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素.
( 2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素.
第二步: 进行试指派.
从有零元素最少的行( 列)开始, 圈出一个零元素, 用�表示, 然后划去同行同列的其他
零元素, 用 �表示. 若最少零元素行(列) 同时有几行( 列) , 则从零元素所在列( 行) 中最少的
开始. 依次类推.
若矩阵中的�的个数等于 n( 矩阵的阶数) , 则对应的指派方案就是最优方案.
若矩阵中�的个数< n, 则进行第三步.
第三步: 作最小能覆盖所有零元素的直线集合. 为此, 按如下步骤进行:
( 1) 对没有�的行打�号;
( 2) 对已打�行上的所有 �元素所在的列打�号;
( 3) 再对已打�号的列上有�的行打�号;
( 4) 重复( 2) , ( 3) 直到得不出新的打�号的行列为止;
( 5) 对没有打�号的行划横线, 所有打�号的列画纵线, 这就是能覆盖所有零元素的最
小直线集合.
第四步: 进行调整.
在没有被直线覆盖的部分元素中找出最小元素, 对没有画直线的行的各元素都减去这
最小元素. 对已画直线的列的各元素都加上这最小元素. 转第二步.
例 5 6 个人完成 4 项工作任务, 由于个人的技术专长不同, 他们完成 4 项工作任务所
获得的收益如表 3.3 所示, 且规定每人只能做一项工作, 一项工作任务只需一人操作. 试求
使总收益最大的分派方案?
解 此问题是一个非平衡的指派问题, 通过虚设两项任务Ⅴ, Ⅵ, 而设任务的收益为零,
化为平衡指派问题.
表 3.3
任 务人编号
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
1 �3 O5 �4 �5 �
2 �6 O7 �6 �8 �
3 �8 O9 �8 �10 5
4 �10 f10 �9 �11 5
5 �12 f11 �10 �12 5
6 �13 f12 �11 �13 5
平衡指派问题的收益矩阵( cij )为:
·97·
( cij ) =
3 5 4 5 0 0
6 7 6 8 0 0
8 9 8 10 0 0
10 10 9 11 0 0
12 11 10 12 0 0
13 12 11 13 0 0
.
目标函数为 max Z = ∑6
i= 1∑
6
j = 1
cij x ij .
将其化为求极小化问题:
c = max {cij } = 13, c′ij = c - cij ,
( c′ij) =
10 8 9 8 13 13
7 6 7 5 13 13
5 4 5 3 13 13
3 3 4 2 13 13
1 2 3 1 13 13
0 1 2 0 13 13
.
用匈牙利法求解, 将矩阵( c′ij)变换为:
( c′ij ) →
2 0 0 0 0 0
2 1 1 0 3 3
2 1 1 0 5 5
1 1 1 0 6 6
0 1 1 0 7 7
0 1 1 0 8 8
进行试指派
2 � � � � �
2 1 1 � 3 3
2 1 1 � 5 5
1 1 1 � 6 6
� 1 1 � 7 7 �
� 1 1 9� 8 8
�
�
�
�
�
� �
作最小直线覆盖
2 � � � � �
2 1 1 � 3 3
2 1 1 � 5 5
1 1 1 � 6 6
� 1 1 � 7 7 �
� 1 1 � 8 8
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
调整
并试指派
3 � � � � �
3 � � � 2 2
3 � � � 4 4
2 � � � 5 5
� � � � 6 6 �
� �� �� �� 7 7
�
�
�
�
�
+ 1 � � � �
作最小直线
覆盖
3 0 0 0 0 0
3 0 0 0 2 2
3 0 0 0 4 4
2 0 0 0 5 5
0 0 0 0 6 6 �
0 0 0 0 7 7
- 2
- 2
- 2
- 2
- 2
调整
并试指派
5 � � � � �
5 � � � � �
5 � � � 2 2
4 � � � 3 3
� � � � 4 4
� � � � 5 5
+ 2
由此可知�的个数= 6, 已求得最优解. x*16 = x
*25 = x
*34 = x
*43 = x
*52 = x
*61 = 1, 其余为 0, 即第
·08·
3 人做第Ⅳ项工作, 第 4 人做第Ⅲ项工作, 第 5 人做第Ⅱ项工作, 第 6 人做第Ⅰ项工作, 所得
最大总收益为
max Z*
= 6× 13 - ( 13 + 13 + 3 + 4 + 2) = 43.
3.3 习 题
3. 1 判断下列说法是否正确:
( 1) 整数规划问题解的目标函数值一般优于其相应的松弛问题解的目标函数值.
( 2) 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时, 任何一个可行解的目标函数值
是该问题目标函数值的一个下界.
( 3) 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题, 当得到多于一个可行解时, 通常可
任取其中一个作为下界值, 经比较后确定是否再进行分枝.
( 4) 指派问题效率矩阵的每个元素乘上同一常数 k, 将不影响最优指派方案.
( 5) 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似, 故也可以用表上作业法求解.
3. 2 考虑装载货船问题. 假定装到船上的货物有五种, 各种货物的单位重量 wi 和单位
体积 vi 以及它们相应的价值 r i 如表 3. 4 所示.
表 3. 4
货物编号 w i(吨) vi(米3 z) ri( 万元)
1 �5 �1 74 �
2 �8 �8 77 �
3 �3 �6 76 �
4 �2 �5 75 �
5 �7 �4 74 �
船的最大载重量和体积分别是 W = 112 吨和 V= 109 米3, 现在要确定怎样装运各种货
物才能使装运的价值最大. 试建立此问题的数学模型.
3. 3 合理下料问题. 要用一批长度为 7.4 米的圆钢做 100 套钢架, 每套由长 2.9 米、
2.1 米、1.5 米的圆钢各一根组成, 应如何下料才能使所用的原料最省, 试建立此问题的数学
模型.
3. 4 试用 0-1 变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件:
( 1) x 1 + x2≤2 或 2x 1 + 3x 2≥8;
( 2) 变量 x 3 只能取值 0, 5, 9, 12;
( 3) 若 x 2≤4, 则 x 5≥0, 否则 x 5≤3;
( 4) 以下 4 个约束条件中至少满足 2 个:
x 6 + x 7 ≤ 2
x 6 ≤ 1
x 7 ≤ 5
x 6 + x 7 ≥ 3 .
3. 5 将下列问题表示为混合整数规划模型
·18·
问题: min Z= f 1 ( x 1 ) + f 2 ( x 2 ) ,
满足约束条件: ( 1) 或 x 1≥10, 或 x 2≥10 .
( 2) 下列各不等式至少有一个成立:
2x 1 + x 2 ≥ 15
x 1 + x 2 ≥ 15
x 1 + 2x 2 ≥ 15 .
( 3) ©¦x 1 - x 2 ©¦= 0 或 5 或 10 .
( 4) x 1≥0, x2≥0 ,
其中 �
f 1 ( x 1 ) =20 + 5x , 当 x 1 > 0
0, 当 x 1 = 0 ,
f 2 ( x 2 ) =12 + 6x 2 , 当 x 2 > 0
0, 当 x 2 = 0 .
3. 6 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部, 拟议中有 7 个位置 (点) Ai( i= 1, 2, ⋯,
7) 可供选择.
并要求:
( 1) 在东区, 由 A1 , A2 , A3 三个点中至多选两个;
( 2) 在西区, 由 A4 , A5 两个点中至少选一个;
( 3) 在南区, 由 A6 , A7 两个点中只能选一个.
如选用 Ai 点, 设备投资估计为 bi 万元, 每年可获利润估计为 ci 万元, 但投资总额不能
超过 B 万元. 问应选择哪几个点可使年利润最大? 试建立此问题的 0-1 规划模型.
3. 7 某旅行推销员, 从城市 1 出发, 要到另 5 个城市去推销商品, 各城市之间行程如表
3. 5 所示.
表 3. 5
出发点到达点 1 p2 �3 �4 '5 d6 �
1 �0 p3 �2 �1 '5 d4 �
2 �3 p0 �1 �2 '3 d1 �
3 �2 p1 �0 �2 '2 d2 �
4 �1 p2 �2 �0 '1 d5 �
5 �5 p3 �2 �1 '0 d2 �
6 �4 p1 �2 �5 '2 d0 �
试建立求最短巡回路线的 0-1 规划模型.
3. 8 某校篮球队准备从以下 6 名预备队员中选拔 3 名为正式队员, 并使平均身高尽可
能高. 这 6 名预备队员情况如表 3. 6 所示.
·28·
表 3. 6
预备队员 号 码 身高(厘米) 位 置
大张 4 �193 e中锋
大李 5 �191 e中锋
小王 6 �187 e前锋
小赵 7 �186 e前锋
小田 8 �180 e后卫
小周 9 �185 e后卫
队员的挑选要满足下列条件:
( 1) 至少补充一名后卫队员;
( 2) 大李或小田中间只能入选一名;
( 3) 最多补充一名中锋;
( 4) 如果大李或小赵入选, 小周就不能入选. 试建立此问题的数学模型.
3. 9 考虑资金分配问题, 在今后 3 年内有 5 项工程考虑施工, 每项工程的期望收入和
年度费用(千元) 如表 3. 7. 假定每一项已经批准的工程要在整个 3 年内完成, 目标是要选出
使总收入达到最大的那些工程.
表 3. 7
工程费用(千元)
第 1 O年 第 2 �年 第 3 �年收入( 千元)
1 �5 O1 �8 �20 5
2 �4 O7 �10 �40 5
3 �3 O9 �2 �20 5
4 �7 O4 �1 �15 5
5 �8 O6 �10 �30 5
最大的可
用基金数
( 千元)
25 f25 �25 �—
把这个问题表示成一个 0-1 整数规划模型.
3. 10 一条装配线由一系列工作站组成, 被装配可制造的产品在装配线上流动的过程
中, 每站都要完成一道或几道工序, 假定一共有 a , b, c, d , e, f 六道工序, 这些工序按先后次
序在各工作站上完成. 关于这些工序有如表 3. 8 所示的数据. 且规定, 在任一给定的工作站
上, 不管完成哪些工序, 能用的总时间不得超过 10 分钟, 希望将这些工序分派给各个工作
·38·
站, 并使需要的工作站数最少. 试建立此问题的整数规划模型.
表 3. 8
工 序 完成时间(分) 前面必须完成的工序
a 3 �—
b 5 �—
c 2 �b
d 6 �a , c
e 8 �b
f 3 �d
3. 11 对下列整数规划问题, 问用先求解相应的松弛问题, 然后凑整的办法能否求得最
优整数解?
max Z= 20x 1 + 10x 2 , max Z= 3x 1 + 2x 2 ,
( 1) s . t .
5x 1 + 4x 2≤24
2x 1 + 5x 2≤13
x 1 , x 2≥0 为整数 .
( 2) s. t.
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1 , x 2≥0 为整数 .
3. 12 将下面非线性的 0-1 整数规划问题, 转换成线性整数规划问题. :
max Z = x21 + x 2x 3 - x 3
3 ,
s . t .- 2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 3
x j = 0 或 1, j = 1, 2, 3 .
3. 13 用分枝定界法解下列整数规划:
max Z= 3x 1 + 2x 2 , max Z= 20x1 + 10x 2 ,
( 1) s . t .
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1 , x 2≥0 且为整数 .
( 2) s. t.
- x 1 + 2x 2 + x 3≤4
4x 2 - 3x 3≤2
x 1 - 3x 2 + 2x3≤3
x 1 , x 2 , x3 皆是非负整数 .
3. 14 用分枝定界法求解下列混合整数规划:
max Z= 7x 1 + 9x 2 , max Z= 3x 1 + x 2 + 3x 3 ,
( 1) s . t .
- x 1 + 3x 2≤6
7x 1 + x 2≤35
x 1 , x 2≥0, 且 x 1 为整数 .
( 2) s . t .
- x 1 + 2x 2 + x 3≤4
4x 2 - 3x 3≤2
x 1 - 3x 2 + 2x 3≤3
x 1 , x 2 , x 3≥0, 且 x 1 , x 3 为整数 .
3. 15 用完全枚举法求解下列 0-1 规划:
max Z = 3x 1 - 2x 2 + 5x 3 ,
s . t .
x 1 + 2x 2 - x 3 ≤ 2
x 1 + 4x 2 + x 3 ≤ 4
x 1 + x 2 ≤ 3
4x2 + x 3 ≤ 6
x j = 0 或 1 ( j = 1, 2, 3) .
·48·
3. 16 用隐枚举法求解下列 0-1 规划问题:
max Z= 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 , max Z= 5x 1 + 6x 2 + 7x 3 + 8x 4 + 9x5 ,
( 1) s . t .
2x 1 - 5x 2 + 3x 3≤4
4x 1 + x 2 + 3x 3≥3
x 2 + x 3≥1
x 1 , x 2 , x 3 = 0 或 1 .
( 2) s . t .
3x 1 - x 2 + x 3 + x4 - 2x 5≥2
x 1 + 3x 2 - x 3 - 2x 4 + 2x 5≥0
- x 1 - x 2 + 3x 3 + x4 + x 5≥2
x j = 0 或 1 ( j = 1, 2, 3, 4, 5) . max Z= 3x 1 - 2x 2 + 5x 3
( 3) s . t .
x 1 + 2x 2 - x 3≤2
x 1 + 4x 2 + x 3≤4
x 1 + x 2≤3
4x 2 + x 3≤6
x 1 , x 2 , x 3 = 0 或 1 .3. 17 某工厂有 4 个工人 A1 , A 2 , A3 , A4 , 分别均能操作 B1 , B 2 , B 3 , B 4 四台车床中的一
台, 每小时的产值如表 3. 9. 求产值最大的分配方案.
表 3. 9
车床产
值工人
B1 �B2 nB3 �B4 &
A 1 �10 �9 [8 �7 �A 2 �3 4 [5 �6 �A 3 �2 1 [1 �2 �A 4 �4 3 [5 �6 �
3. 18 某公司要把 4 个有关能源工程项目承包给 4 个互不相关的外商投标者, 规定每
个承包商只能且必须承包一个项目, 试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者, 总费
用为多少?
各承包商对工程的报价如表 3. 10 所示.
表 3. 10 单位: 万元
投标者项 目 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
甲 15 �18 r21 �24 *乙 19 �23 r22 �18 *丙 26 �17 r16 �19 *丁 19 �21 r23 �17 *
3. 19 已知 6 个工厂担任 4 种任务的费用矩阵如下, 问应如何分配任务, 使总费用
最小?
C=
3 6 2 6
7 1 4 4
3 8 5 8
6 4 3 7
5 2 4 3
5 7 6 2
.
·58·
3. 20 设 6 项任务由 4 个工厂担任, 每个工厂可担任 1 至 2 件. 已知各个工厂担任各项
任务的费用矩阵如下, 问应如何分配任务, 使总的费用最小?
C=
3 7 3 6 5 5
6 1 8 4 2 7
2 7 5 3 4 6
6 4 8 7 3 2
.
3.21 选择题
( 1) 求解整数规划常用的算法有 , 求解 0-1 规划常用的算法有 , 求解指派
问题常用的算法有 .
( A ) 单纯形法 �( B) 分枝定界法
( C) 割平面法 ( D) 完全枚举法
( E) 隐枚举法 ( F ) 匈牙利法
( G) 表上作业法
( 2) 0-1 变量可以很好地用于处理相互排斥的约束条件. 若有 m 个相互排斥的约束条
件如下:
a i1x 1 + a i2x 2 + ⋯ + a inx n ≤ bi( i= 1, ⋯, m) ,
下面哪组式子表达了这 m 个相互排斥的约束条件中只有一个起作用 , 其中 M 为一
个很大的正数.
( A )
a i1 x 1 + ai2 x 2 + ⋯+ a inx n≤bi+ yiM
y1 + y 2 + ⋯+ y m = m- 1
yi= 0 或 1 ( i= 1, 2, ⋯, m)
( B)
ai1 x 1 + a i2 x2 + ⋯+ a inx n≤bi+ ( 1- y i) M
y1 + y2 + ⋯+ ym = m- 1
yi= 0 或 1 ( i= 1, 2, ⋯, m)
( C)
a i1 x 1 + ai2 x 2 + ⋯+ ainxn≤bi+ ( 1- yi) M
y 1 + y 2 + ⋯+ y m = 1
yi= 0 或 1 ( i= 1, 2, ⋯, m)
( D)
a i1 x 1 + ai2 x 2 + ⋯+ a inx n≤bi+ yiM
y1 + y 2 + ⋯+ y m = 1
yi= 0 或 1 ( i= 1, 2, ⋯, m)
( 3) 关于匈牙利法, 下列说法正确的有 .
( A ) 匈牙利法只能用于求解平衡分配问题
( B) 对于极大化问题, 匈牙利法不能直接求解
( C) 对于极大化问题 max Z = ∑n
i= 1∑
n
j = 1
cij x ij , 令 c = max {cij }, bij = c - cij 转化为极小化
问题 min W = ∑n
i= 1∑
n
j = 1
bij x ij , 则用匈牙利法求解时, 极大化问题的最优解就是极小化问题的
最优解, 但目标函数相差: - �,n + c
·68·
3.4 习 题 解 答
3.1 解 ( 1) 错, ( 2) 对, ( 3) 错, ( 4) 对, ( 5) 对.
3.2 解 决策变量 x j ( j = 1, 2, 3, 4, 5) 为装运各种货物的件数, 则该问题的数学模
型为:
max Z = 4x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 4x 5 ,
s . t .
5x 1 + 8x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 7x 5 ≤ 112(重量约束)
x 1 + 8x2 + 6x 3 + 5x 4 + 4x 5 ≤ 109( 体积约束)
x j ≥ 0, x j 为整数( j = 1, 2, 3, 4, 5) .
3.3 解 解答见第 2 章例 2.
3.4 解 ( 1) 可表示为
x 1 + x 2 ≤ 2 + ( 1 - y) M
2x 1 + 3x 2 ≥ 8 - y M
y = 0 或 1, M 为任意大正数,
则当 y = 0 时, 2x 1 + 3x 2≥8 成立, 当 y = 1 时, x 1 + x 2≤2 成立.
( 2) 引进 0-1 变量 yi( i= 1, 2, 3) , 则可表示为
x 3 = 5y 1 + 9y 2 + 12y3
y 1 + y 1 + y3 ≤ 1
y i = 0 或 1 ( i= 1, 2, 3) ,
则当 yi= 0 时 ( i= 1, 2, 3) , 则 x 3 = 0; 当 y 1 = 1, y 2 , y 3 = 0 时, x 3 = 5; 当 y2 = 1, y1 , y3 = 0 时, x 3
= 9; 当 y 3 = 1, y 1 , y 2 = 0 时, x 3 = 12.
( 3) 引进 0-1 变量 y 和任意大正数 M, 则可表示为:
x 2 ≤ 4 + yM
x 2 > 4 - ( 1 - y) M
x 5 ≤ 3 + ( 1 - y) M
x 5 ≥- yM
y = 0 或 1, M 为任意大正数.
当 y = 0 时, x 2≤4, x 5≥0 成立; 当 y = 1 时, x 2 > 4, x 5≤3 成立.
( 4) 引进 0-1 变量 yi( i= 1, 2, 3, 4)和任意大正数 M, 则可表示为
x 6 + x 7≤ 2 + y1 M
x 6 ≤ 1 + y2 M
x 7≤ 5 + y3 M
- x 6 - x 7≤ 3 + y4 M
y 1 + y2 + y3 + y 4 ≤ 2
y i = 0 或 1( i= 1, 2, 3, 4)
·78·
3.5 解 表示的混合整数规划模型为
min Z = 20y1 + 5x 1 + 12y2 + 6x 2 ,
s. t.
� x 1 ≤ y1 ¡¤M; x 2 ≤ y2 ¡¤M
① x 1 ≥ 10 - y3 ¡¤M
x 2 ≥ 10 - ( 1 - y3 ) M
② 2x 1 + x 2 ≥ 15 - y4 M
x 1 + x2 ≥ 15 - y 5M
x 1 + 2x 2 ≥ 15 - y6 M
y 4 + y 5 + y6 ≤ 2
③ x 1 - x2 = 0. y7 - 5y8 + 5y9 - 10y10 + 11y11
y 7 + y 8 + y9 + y 10 + y 11 = 1
④ x 1 ≥ 0, x2 ≥ 0, yi = 0 或 1( i= 1, 2, ⋯, 11) .
3.6 解 设决策变量
x i =1, 当 Ai 点被选用
0, 当 Ai 点未被选用i= 1, 2, ⋯, 7
则 0-1 规划模型为:
max Z = ∑7
i= 1
cix i,
s . t .
∑7
i= 1
bix i ≤ B
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2
x 4 + x 5 ≥ 1
x 6 + x 7 ≥ 1
x i = 0 或 1.
3.7 解 设 xij =1, 自城市 i到城市 j
0, 不自城市 i到城市 j
cij表示自城市 i到城市 j 的行程, 且 cij = cj i则该问题的整数规划模型为:
min Z = ∑6
i= 1∑
6
j = 1
cij x ij —— 最短巡回路程,
s . t .
∑6
j = 1
x ij = 1, i= 1, 2, ⋯, 6, i≠ j ( 从第 i个城市出发只能 1 次)
∑6
i= 1
x ij = 1, j = 1, 2, ⋯, 6, i≠ j (到达第 j 城市也只能一次)
x ij + x j i ≤ 1, i≠ j (避免 2 个城市循环)
x ij + x j l + x li ≤ 2, i≠ j ≠ l (避免 3 个城市循环)
x ij + x j l + x lk + xki ≤ 3, i≠ j ≠ l ≠ k( 避免 4 个城市循环)
x ij + x j l + x lk + xkp + x p i ≤ 4, i≠ j ≠ l ≠ k ≠ p (避免 5 个城市循环)
x ij = 0 或 1 ( i, j = 1, 2, ⋯, 6) .
·88·
3.8 解 设决策变量 yi 表示第 i号队员( i= 4, 5, ⋯, 9)
令 yi =1, 当选中第 i号队员
0, 不选中第 i号队员
为使平均身高尽可能高, 即要使总身高最大, 所以目标函数为:
max Z = 193y 4 + 191y5 + 187y6 + 186y 7 + 180y 8 + 185y 9 .
只选 3 名正式队员, 则 y 4 + y5 + y 6 + y7 + y 8 + y9 = 3, 至少补充 1 名后卫队员, 则 y8 + y 9
≥1, 大李或小田中间只能入选一名, 则 y5 + y8≤1, 最多补充一名中锋, 则 y 4 + y5≤1, 如果大
李或小赵入选, 小周就不能入选, 则
y 5 + y9 ≤ 1
y 7 + y9 ≤ 1.
综上所述, 该问题的线性规划模型为:
max Z = 193y 4 + 191y5 + 187y6 + 186y 7 + 180y 8 + 185y 9 ,
s . t .
y 4 + y 5 + y 6 + y7 + y8 + y9 = 3
y8 + y9≥ 1
y 5 + y8 ≤ 1
y 4 + y 5 ≤ 1
y 5 + y9≤ 1
y7 + y9≤ 1
yi = 0 或 1( i= 4, 5, ⋯, 9) .
3.9 解 设 x j =0, 第 j 项工程施工
1, 第 j 项工程不施工j = 1, 2, ⋯, 5
则该问题的整数规划模型如下:
max Z = 20x 1 + 40x 2 + 20x 3 + 15x 4 + 30x 5 ( 总收入最大) ,
s. t.
5x 1 + 4x2 + 3x 3 + 7x 4 + 8x 5 ≤ 25(第 1 年资金约束)
x 1 + 7x 2 + 9x 3 + 4x 4 + 6x 5 ≤ 25( 第 2 年资金约束)
8x 1 + 10x 2 + 2x 3 + x 4 + 10x 5 ≤ 25( 第 3 年资金约束)
x j = 0 或 1, j = 1, 2, 3, 4, 5.
3.10 解 为描述方便, 给工序编号. 设工序 a, b, c, d , e, f 分别对应序号为 1, 2, 3, 4, 5, 6,
令 x ij =1, 若工序 i在工作站 j 上进行
0, 若工序 i不在工作站 j 上进行
y j =1, 若在一个最优解中需要工作站 j
0, 若在一个最优解中不需要工作站 j
因为工序 1, 2, 3 可以在一个站上完成, 而工序 4, 5, 6 可分别在各自的工作站上进行, 所
以可以判断需要的工作站不会多于 4 个, 因此目标函数为:
max Z = y 1 + y2 + y3 + y 4 .
下面考虑问题的约束条件:
( 1) 各道工序都必须完成
x i1 + x i2 + x i3 + xi4 = 1, i= 1, 2, ⋯, 6.
·98·
( 2) 在任一工作站上完成各道工序能用的时间不得超过 10 分钟,
3x1 j + 5x2 j + 2x 3j + 6x 4j + 8x 5j + 3x 6j ≤ 10, j = 1, 2, 3, 4.
( 3) 关于各道工序完成先后次序的约束条件. 首先考虑工序 2 应在工序 3 之前完成, 若
工序 3 在站 4 上完成, 显然没有什么问题, 因为所有工序都要在此站或此站前完成, 若工序
3 在站 3 上进行, 则要保证工序 2 在工序 3 之前进行, 则
x 21 + x 22 + x 2 3 ≥ x 33 .
若工序 3 在站 2 或在站 1 上进行, 也有类似的约束:
x2 1 + x 22 ≥ x 3 2
x 21 ≥ x 3 1 .
一般地, 若工序 I 要在工序 K 之前进行, 其对应的约束条件为:
x I 1 ≥ x k1
x I 1 + x I 2 ≥ x k2
x I 1 + x I 2 + x I 3 ≥ x k3 .
( 4) 如四个工作站中有一个不用, 那么就不能将任何工作分派给该站, 即若某个 w j =
0, 则所有的 x ij必须为零. 于是有下列约束条件:
x 1j + x2 j + x 3j + x 4j + x 5j + x 6j ≤ 6w j , j = 1, 2, 3, 4.
综上所述, 该问题共有 28 个变量, 29 个约束条件. 模型综合略.
3.11 解 ( 1) 相应的松弛问题的最优解为 X= ( 4, 8, 0) T , z ( X ) = 96, 而整数规划的最
优解是 X*
= ( 4, 1)T, z( X
*) = 90, 凑整得到的解其一 X= ( 5, 0)
T, 不可行; 其二, X= ( 4, 0)
T,
z ( X) = 80< 90= z( X* ) . 所以本问题用凑整的方法不能得到最优整数解.
( 2) 相应松弛问题的最优解是 X= ( 3.25, 2.5)T而整数规划的最优解是 X
*= ( 4, 2)
T.
所以本问题不能用凑整方法得到最优整数解.
3.12 解 因对任一 0-1 变量 x j 有 xkj = x j , k 为任一正数.
设 y =1, 当 x 2 = x 3 = 1 时
0, 其他,此假设等价于下面两个约束条件
- x 2 - x 3 + 2y ≤ 0
x 2 + x 3 - y ≤ 1.
因此原问题转化为:
max Z = x 1 + y - x 3 ,
s . t .
- 2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 3
x 2 + x 3 - y ≤ 1
- x 2 - x 3 + 2y ≤ 0
x 1 , x 2 , x 3 , y = 0 或 1.
3.13 ( 1) 解 其松弛问题
( B) max Z = 3x 1 + 2x 2 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2 ≤ 14
2x 1 + x 2 ≤ 9
x 1 , x 2 ≥ 0
·09·
的最优解为 x 1 =134
, x 2 =52
, Z0 =594
.
因 x 1 =134为非整数, 增加两约束 x 1≤3 或 x 1≥4 构成问题( B1 ) , ( B2 ) .
( B1 ) max Z= 3x 1 + 2x 2 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1≤3
x 1 , x 2≥0.
( B2 ) max Z= 3x 1 + 2x 2 ,
s . t .
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1≥4
x 1 , x 2≥0.
问题( B1 ) 的最优解为 x 1 = 3, x 2 =83
, Z 1 =433
, 问题( B2 ) 的最优解为 x 1 = 4, x 2 = 1, Z 2 =
14, 已为整数解, 剪枝。因为Z1 =433
> 14, 继续对( B1 )分枝, 针对 x 2 =83
, 增加两约束 x2≥3 或
x 2≤2 构成问题( B1 1 )和( B12 ) .
max Z= 3x 1 + 2x 2 ,
( B1 1 ) s . t .
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1≤3
x 2≥3
x 1 , x 2≥0
max Z= 3x 1 + 2x 2 ,
( B1 2 ) s . t .
2x 1 + 3x 2≤14
2x 1 + x 2≤9
x 1≤3
x 2≤2
x 1 , x 2≥0.
问题( B11 )的最优解为 x 1 =52
, x 2 = 3, Z 3 =272
< 14, 问题 ( B1 2 )的最优解为 x 1 = 3, x 2 = 2,
Z 3 = 13. 所以问题( B1 1 ) , ( B1 2 )均剪枝。
图 3.5
因此, 原问题的最优解为 x*1 = 4, x
*2 = 2, max Z= 14,
其求解的树形图如图 3.5 所示.
( 2) 其求解的树形图如图 3.6 所示.
所以该问题的最优解为 x*1 = 2, x
*2 = 3, x
*3 = 0,
max Z= 70.
3.14 解 ( 1) 其求解树形图如图 3.7 所示.
所以该问题的最优解为 x*1 = 4, x
*2 = 10/ 3, max Z =
58.
( 2) 见本章例 2.
3.15 解 ( 0, 0, 0) 为可行解, 代入目标函数得过滤
约束
3x 1 - 2x 2 + 5x 3 ≥ 0 ○A
其他约束为:
x 1 + 2x 2 - x3 ≤ 2 ①
x 1 + 4x 2 + x3 ≤ 4 ②
x 1 + x 2 ≤ 3 ③
4x 2 + x 3 ≤ 6 ④
列表计算如表 3.11 所示.
·19·
图 3.6 图 3.7
表 3.11
约 束 条 件( x1 �, x2, x3)
○A ① ② ③ ④ Z 值
( 0 <, 0, 0) � � � � 0 �
( 0 <, 0, 1) � � � � � 5 �
( 0 <, 1, 0) �
( 1 <, 0, 0) �
( 1 <, 0, 1) � � � � � 8 �
( 1 <, 1, 0) �
( 0 <, 1, 1) �
( 1 <, 1, 1) �
因而该问题的最优解为( x*1 , x
*2 , x
*3 )
T= ( 1, 0, 1)
T, 最优值 max Z= 8.
3.16 解 ( 1) 首先化为规范型
令 y 1 = 1- x 1 , y 2 = 1- x 2 , y 3 = 1- x 3 代入原模型, 转化为
max Z = 9 - 4y 1 - 3y 2 - 2y3 ,
s . t .
- 2y 1 + 5y 2 - 3y 3 ≤ 4
4y 1 + y2 + 3y 3 ≤ 5
y2 + y3 ≤ 1
yi = 0, 1.
·29·
显然( y1 , y2 , y 3 )T= ( 0, 0, 0)
T为可行解, z= 9. 因此它也为规范化问题的最优解.
所以, 原问题的最优解为( x*1 , x
*2 , x
*3 ) T = ( 1, 1, 1) T , 最优值 max Z= 9.
( 2) 显然 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 )T
= ( 1, 1, 1, 1, 1)T为可行解. 因此它也为最优解, 最优值
max Z= 35.
( 3) 首先化为规范型
令 y 1 = 1- x 1 , y 3 = 1- x 3 , 则
max Z = 8 - 3y 1 - 2x 2 - 5y3 ,
s . t .
- y1 + 2x 2 + y 3 ≤ 2
- y1 + 4x 2 - y 3 ≤ 2
- y1 + x 2 ≤ 2
4x 2 - y3 ≤ 5
y 1 , x 2 , y3 = 0 或 1.
显然( y1 , x 2 , y 3 )T= ( 0, 0, 0)
T为规范化问题的可行解, 也就是最优解. 因而原问题的最
优解为( x*1 , x
*2 , x
*3 ) T = ( 1, 0, 1) T , 最优值为 max Z= 8.
3.17 解
( cij ) =
10 9 8 7
3 4 5 6
2 1 1 2
4 3 5 6
.
令c′ij = 10- cij , 得变换后的矩阵为
( c′ij ) =
0 1 2 3
7 6 5 4
8 9 9 8
6 7 5 4
.
用匈牙利算法求得其最优方案为
( c′ij ) →
� � 1 3
3 1 � �
� � � �
2 2 � �
.
即工人 A 1→B1 , 工人 A 2→B3 , 工人 A3→B2 , 工人 A4→B4 , 最大产值 Z= 10+ 5+ 1+ 6= 22.
3.18 解 用匈牙利法求得最优承包方案为甲→Ⅰ, 乙→Ⅳ, 丙→Ⅲ, 丁→Ⅱ或甲→Ⅱ,
乙→Ⅰ, 丙→Ⅲ, 丁→Ⅳ. 最小承包费用为 Z= 70.
3.19 解 这是一个非平衡的分配问题, 虚设工种任务化为平衡分配问题, 其相应的系
数矩阵为
( cij ) =
3 6 2 6 0 0
7 1 4 4 0 0
3 8 5 8 0 0
6 4 3 7 0 0
5 2 4 3 0 0
5 7 6 2 0 0
.
·39·
用匈牙利法求得其最优分配方案为
( cij ) →
� 5 � 4 � �
5 � 2 2 � �
� 6 2 5 � �
4 2 0 4 � �
3 � 1 � � �
3 6 4 � � �
.
即最优方案为第一个工厂担任第Ⅲ种任务, 第二个工厂担任第Ⅱ种任务, 第三个工厂担
任第Ⅰ种任务, 第六个工厂担任第Ⅳ种任务, 最小总费用为 8.
3.20 解 这是一个非平衡的分派问题, 而且每个工厂可担任 1 至 2 项工作任务, 因而
将 4 个工厂看成 8 个工厂, 虚添 2 项任务, 化为平衡分派问题, 其系数矩阵如下:
任 务工 厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
1 �3 �7 "3 �6 f5 �5 �0 L0 �
2 �6 �1 "8 �4 f2 �7 �0 L0 �3 �2 �7 "5 �3 f4 �6 �0 L0 �4 �6 �4 "8 �7 f3 �2 �0 L0 �1 �3 �7 "3 �6 f5 �5 �0 L0 �2 �6 �1 "8 �4 f2 �7 �0 L0 �
3 �2 �7 "5 �3 f4 �6 �0 L0 �4 �6 �4 "8 �7 f3 �2 �0 L0 �
用匈牙利算法求得最优方案为: 工厂 1 担任第Ⅲ项任务, 工厂 2 担任第Ⅱ、Ⅴ项任务,
工厂 3 担任第Ⅰ、Ⅳ项任务, 工厂 4 担任第Ⅵ项任务. 最小总费用为 13.
3.21 解 ( 1) B、C; D、E; F ( 2) A、C ( 3) A、B
·49·
第 4 章 动 态 规 划
4. 1 重点、难点提要
动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法, 它主要由两大内容组成, 一是将实际
问题描述为一个动态规划模型, 即动态规划模型的建立, 二是用逆序算法(反向递归) 或顺序
算法(正向递归) 进行求解.
1. 动态规划模型的建立一般包含以下内容:
( 1) 明确阶段划分.
( 2) 明确状态变量 sk 的含义及其取值范围.
( 3) 明确决策变量 xk 的含义及其取值范围( 即允许决策集合 D k( sk ) ) .
( 4) 正确写出各阶段的状态转移方程 sk+ 1 = T ( sk , xk ( sk ) ) . 此时需注意有的问题状态转
移方程可用一个确定统一的函数关系式来表示, 但有的问题只能按阶段分别用不同的函数
关系式表示.
( 5) 明确阶段指标 vk ( sk, xk ) 和最优指标函数 f k ( sk ) .
( 6) 正确写出基本方程( 递推关系式) .
设 Vk, n表示从第 k 阶段至最后阶段 n 的指标函数.
若 Vk, n = ∑n
i= k
vi( x i, si) , 即过程指标函数等于各阶段指标之和时, 基本方程采用
f k ( sk ) = optx
k∈ D
k( s
k)
{vk ( sk , x k ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= n, n- 1, ⋯, 3, 2, 1)
f n + 1 ( sn+ 1 ) = 0.
若 Vk, n = ∏n
i= k
vi( si, x i) , 即过程指标函数等于各阶段指标之积时, 基本方程采用
f k ( sk ) = optx
k∈D
k( s
k)
{vk( sk , x k ) ¡¤f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= n, n- 1, ⋯, 3, 2, 1)
f n+ 1 ( sn+ 1 ) = 1.
2. 动态规划的寻优方向和求解形式
动态规划的寻优方向一般有逆序(反向递归) 寻优和顺序(正向递归) 寻优.
当第一阶段状态变量 s1 已知时, 适用逆序求解.
当第 n 阶段状态变量 sn 已知时, 适用顺序求解.
当动态规划的第 1 阶段和第 n 阶段状态变量均已知时, 可采用逆序或顺序求解.
动态规划的求解形式有解析表达和表格表达两种形式, 有时也以综合交替的形式表达.
·59·
3. 应用实例
最短路问题; 一维资源分配问题; 二维资源分配问题; 生产与存储问题; 设备更新问题;
背包问题及用动态规划方法求整数规划、非线性规划模型的最优解.
4. 2 主要解题方法和典型例题分析
1. 用动态规划方法求整数规划模型, 非线性规划模型的最优解.
例 1 求解下列整数规划的最优解:
max Z = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3
s. t.3x 1 + 4x2 + 5x 3 ≤ 10
x j ≥ 0 ( j = 1, 2, 3) , x j 为整数.
解 ( 1) 建立动态规划模型:
阶段变量: 将给每一个变量 x j 赋值看成一个阶段, 划分为 3 个阶段, 且阶段变量 k= 1,
2, 3.
设状态变量 sk 表示从第 k 阶段到第 3 阶段约束右端最大值, 则 s1 = 10.
设决策变量 x k 表示第 k 阶段赋给变量 x k 的值( k= 1, 2, 3) .
状态转移方程: s2 = s1 - 3x 1 , s3 = s2 - 4x 2 .
阶段指标: v1 ( s1 , x 1 ) = 4x 1 , v2 ( s2 , x 2 ) = 5x 2 , v3 ( s3 , x 3 ) = 6x3 .
基本方程:
f k ( sk) = max0 ≤x
k≤
sk
ak
{vk ( sk , x k ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 3, 2, 1)
f 4 ( s4 ) = 0.
其中 a 1 = 3, a2 = 4, a 3 = 5.
( 2) 用逆序法求解:
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 ) = max0≤ x
3≤
s3
5
{6x 3 + f 4 ( s4 ) } = max0≤ x
3≤
s3
5
{6x 3 },
而 s3∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 因此, 当 s3 = 0, 1, 2, 3, 4
时, x 3 = 0; 当 s3 = 5, 6, 7, 8, 9 时, x 3 可取 0 或 1; 当 s3 = 10 时, x3 可取 0, 1, 2, 由此确定f 3 ( s3 ) .
现将有关数据列入表 4. 1 中.
表 4. 1
s3
x3 r
f 6 ~x3 + f 4 ( s4 )
0 g1 O2 7f 3 �( s3) x *
3 |
0 �0 g0 �0 {
1 �0 g0 �0 {
·69·
续表
s3
x3 r
f 6 ~x3 + f 4 ( s4 )
0 g1 O2 7f 3 �( s3) x *
3 |
2 �0 g0 �0 {
3 �0 g0 �0 {
4 �0 g0 �0 {
5 �0 g6 O6 �1 {
6 �0 g6 O6 �1 {
7 �0 g6 O6 �1 {
8 �0 g6 O6 �1 {
9 �0 g6 O6 �1 {
10 �0 g6 O12 N12 �2 {
当 k= 2 时, 有
f 2 ( s2 ) = max0 ≤x
2≤
s2
4
{5x 2 + f 3 ( s3 ) } = max0 ≤x
2≤
s24
{5x 2 + f 3 ( s2 - 4x 2 ) },
而 s2∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 所以当 s2 = 0, 1, 2, 3 时, x 2 = 0; 当 s2 = 4, 5, 6, 7 时, x 2 = 0
或 1; 当 s2 = 8, 9, 10 时 x2 = 0, 1, 2. 由此确定 f 2 ( s2 ) . 现将有关数据列入表 4.2 中.
表 4. 2
s2
x2 r
f 5 �x2 + f 3( s2- 4x2 )
0 �1 82 ff 2 �( s2 ) x *
2 Ns3 �
0 �0 �+ 0 0 �0 M0 �
1 �0 �+ 0 0 �0 M1 �
2 �0 �+ 0 0 �0 M2 �
3 �0 �+ 0 0 �0 M3 �
4 �0 �+ 0 5 �+ 0 5 �1 M0 �
5 �0 �+ 6 5 �+ 0 6 �0 M5 �
6 �0 �+ 6 5 �+ 0 6 �0 M6 �
7 �0 �+ 6 5 �+ 0 6 �0 M7 �
8 �0 �+ 6 5 �+ 0 10 7+ 0 10 �2 M0 �
9 �0 �+ 6 5 �+ 6 10 7+ 0 11 �1 M5 �
10 �0 �+ 12 5 �+ 6 10 7+ 0 12 �0 M10 �
当 k= 1 时, 有
f 1 ( s1 ) = max0 ≤x
1≤
s1
3
{4x 1 + f 2 ( s2 ) } = max0 ≤x
1≤
s13
{4x 1 + f 2 ( s1 - 3x 1 ) },
而 s1 = 10, 故 x1 只能取 0, 1, 2, 3, 由此确定 f 1 ( s1 ) . 现将有关数据列入表 4.3 中.
·79·
表 4. 3
s1
x 1 �
f 4 �x 1+ f 2( s1- 3x 1)
0 �1 �2 �3 7f 1 �( s1 ) x*
1 �s2 �
10 �0 P+ 12 4 �+ 6 8 �+ 5 12 �+ 0 13 M2 �4 �
按计算顺序反推, 由表 4. 3 可知, 当 x*1 = 2 时, f 1 ( s1 ) 取得最大值 13. 又由 s2 = 4 查表
4. 2 得x*2 = 1 及 s3 = 0, 再由表 4.1 查得 x
*3 = 0. 因此, 最优解为
x *1 = 2, x *
2 = 1, x *3 = 0, 最优值 max Z = 13.
例 2 用动态规划方法求解下列非线性规划问题:
max Z = ∏3
j = 1
j ¡¤x j ,
s . t .x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ 12
x j ≥ 0, ( j = 1, 2, 3) .
解 ( 1) 建立动态规划模型.
阶段变量: 把依次给变量 x 1 , x 2 , x 3 赋值各看成一个阶段, 划分为三个阶段, k= 1, 2, 3.
状态变量 sk 表示从第 k 阶段到第 3 阶段约束右端的最大值, 因而 s1 = 12.
决策变量 x k 表示第 k 阶段赋给 x k 的值.
允许决策集合为: 0≤x 1≤12, 0≤x 2≤s2
3, 0≤x 3≤
s3
2.
状态转移方程: s2 = s1 - x 1 , s3 = s2 - 3x 2 .
阶段指标 vk ( sk , x k ) = kx k .
而过程指标函数 Vk, n = ∏3
i= k
vi( si, x i) , 因此, 基本方程采用乘积形式, 即
f k ( sk ) = maxx
k∈D
k( s
k){vk ( sk , x k ) ¡¤f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
f 4 ( s4 ) = 1.
( 2) 采用逆序法求解
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 ) = max0 ≤x
3≤
s32
{3x3 ¡¤f 4 ( s4 ) } = max0 ≤x
3≤
s3
2
{3x 3 }.
显然 x*3 =
s3
2时, f 3 ( s3 ) =
32
s3 .
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 ) = max0≤ x
2≤
s2
3
{2x 2 ¡¤f 3 ( s2 - 3x 2 ) } = max0≤x
2≤
s23
{2x 2 ¡¤32
( s2 - 3x 2 ) }
= max0≤ x
2≤
s2
3
{3x 2 ¡¤( s2 - 3x2 ) }.
令 y 1 = 3x 2·( s2 - 3x 2 ) ,
·89·
由dy1
dx 2= 3s2 - 18x2 = 0, 得 x
*2 =
16
s2 .
又d
2y1
dx 22
= - 18< 0, 故 x*2 =
16
s2 时, y 1 取最大值, 代入得
f 2 ( s2 ) =s2
2
2-
s22
4=
14
s22 .
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 ) = max0≤x
1≤ s
1
{x1 ¡¤f 2 ( s1 - x 1 ) } = max0 ≤x
1≤ s
1
x1 ¡¤( 12 - x 1 )
2
4.
令 y 2 = x 1·( 12- x 1 ) 2
4,
dy2
dx 1=
14
( 144- 48x1 + 3x21 ) = 0,
得 x*1 = 4 或 12.
又d
2y
dx21=
14
( - 48+ 6x 1 ) .
当 x 1 = 4 时,d2 y2
dx 21
= - 24< 0.
当 x 1 = 12 时,d
2y
dx21= 24> 0.
因而 x*1 = 4 时, y2 有最大值, 代入得
f 1 ( s1 ) =4( 12 - 4)
2
4= 64.
按计算顺序反推:
s1 = 12, x *1 = 4,
s2 = s1 - x1 = 8, x*2 =
16
s2 =43
,
s3 = s2 - 3x 2 = 4, x*3 =
12
s3 = 2.
所以该问题的最优解为 x*1 = 4, x
*2 =
43
, x*3 = 2, 最优值 max Z= 64.
2. 一维资源分配问题
例 3 某科研项目由三个小组用不同方法独立进行研究, 它们失败的概率分别为 0. 40,
0. 60 和 0.80. 为了减少三个小组都失败的可能性. 现决定暂派两名高级科学家参加这一科
研项目. 把这两人分配到各组后, 各小组仍失败的概率如表 4. 4 所示, 问应如何分派这两名
高级科学家以使三个小组都失败的概率最小?
表 4. 4
高级科学家人数小 组
1 �2 �3 �
0 �0 ~. 40 0 }. 60 0 |. 80
1 �0 ~. 20 0 }. 40 0 |. 50
2 �0 ~. 15 0 }. 20 0 |. 30
·99·
解 ( 1) 建立动态规划模型
按小组数将问题划分为 3 个阶段, 阶段变量 k= 1, 2, 3.
状态变量 sk 表示第 k 阶段初可用于分配的科学家数, s1 = 2.
决策变量 x k 表示第 k 阶段分配给第 k 个小组的高级科学家人数.
状态转移方程: sk+ 1 = sk - xk .
允许决策集合: Dk ( sk ) = {x k ©¦0≤x k≤sk , x k 为整数}.
阶段指标 vk ( sk , x k )表示第 k 个小组失败的概率.
过程指标函数 Vk. n = ∏3
i= k
vi( si, x i) .
因而基本方程采用乘积形式, 即
f k ( sk ) = min0≤ x
k≤ s
k
{vk ( sk , x k ) ¡¤f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
f 4 ( s4 ) = 1
( 2) 采用逆序法求解:
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 ) = min0 ≤x
3≤ s
3
{v3 ( s3 , x 3 ) }.
因为 s4 = s3 - x 3 = 0, 所以 x 3 = s3 (即尚未分配给第 1 和第 2 小组的全部分配给第 3 小组) . 计
算结果如表 4. 5 所示.
表 4. 5
s3 %x *3 �f 3 �( s3)
0 !0 �0 �. 80
1 !1 �0 �. 50
2 !2 �0 �. 30
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 ) = min0≤x
2≤ s
2
{v2 ( s2 , x 2 ) ¡¤f 3 ( s3 ) }.
计算结果如表 4. 6 所示.
表 4. 6
s2 �
f 2 -( s2, x 2) = v2( s2, x2 )·f 3 ( s3 )
x 2 G= 0 x2 = 1 x2 �= 2x *
2 �f 2 $( s2)
0 �0 9. 48 0 �0 �. 48
1 �0 9. 30 0 �. 32 0 �0 �. 30
2 �0 9. 18 0 �. 20 0 �. 16 2 �0 �. 16
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 ) = min0≤ x
1≤2
{v1 ( s1 , x1 ) ¡¤f 2 ( s2 ) }.
计算结果如表 4. 7 所示.
·001·
表 4. 7
s1 �f 1 -( s1, x 1) = v1( s1, x1 )·f 2 ( s2 )
x 1 G= 0 x1 = 1 x1 �= 2x
*1 �f 1 $( s1)
2 �0 ". 064 0 �. 060 0 �. 072 1 �0 �. 060
由表 4. 7 可知 x*1 = 1, f 1 ( s1 ) = 0. 060, 由 s2 = 1 查表 4.6 可得 x
*2 = 0; 由 s3 = 1 查表 4.5
得 x*3 = 1.
因而此问题的最优解为 x*1 = 1, x
*2 = 0, x
*3 = 1. 即把两名高级科学家分派到第 1 和第
3 两小组各一名, 可使三个小组都失败的概率减小到 0. 060.
注: 此问题还有一种更简捷的解法, 将它化为最短路模型. 即将各阶段状态作为结点,
各小组失败的概率为弧线上的数据, 见图 4. 1. 然后在图上用逆序法计算, 计算结果标于图
上的方框 内.
图 4. 1
由图 4. 1 可知, 整个项目失败的概率为 0.060, 最优路线为图中双线表示, 即 s1 = 2→
s2 = 1→s3 = 1→s4 = 0, 由此同样得出最优解为 x*1 = 1, x
*2 = 0, x
*3 = 1.
因此, 所有一维资源分配( 离散型)均可化为最短路问题来求解, 在图上用逆序算法求解
较简便.
3. 二维资源分配问题
例 4 设现有两种原料, 数量各为 3 单位, 现要将这两种原料分配用于生产 3 种产品. 如果
第一种原料以数量 x j 单位, 第二种原料以数量 y j 单位用于生产第 j 种产品( j = 1, 2, 3) , 所得的
收入 g j ( x j , y j )如表 4. 8 所示, 问应如何分配这两种原料于 3 种产品的生产, 使总收入最大?
表 4. 8
xyg g 1 :( x , y )
0 �1 �2 @3 v
g 2 �( x, y )
0 �1 �2 �3 N
g3 �( x , y)
0 �1 �2 �3 &
0 P0 �1 �3 @6 v0 �2 �4 �6 N0 �3 �5 �8 &
1 P4 �5 �6 @7 v1 �4 �6 �7 N2 �5 �7 �9 &
2 P5 �6 �7 @8 v4 �6 �8 �9 N4 �7 �9 �11 =
3 P6 �7 �8 @9 v6 �8 �10 /11 e6 �9 �11 �13 =
·101·
解 ( 1) 建立动态规划模型
阶段变量: 将两种原料分配用于生产每一种产品看成一个阶段, 则可将问题划分为 3
个阶段, 即 k= 1, 2, 3.
状态变量( sk , uk ) , sk 表示第 k 阶段初至第 3 阶段可用于分配的第一种原料数量, uk 表
示第 k 阶段初至第 3 阶段可用于分配的第二种原料数量.
决策变量( x k , yk ) , x k , yk 分别表示第 k 阶段分配给第 k 种产品用的第一种, 第二种原
料的数量, x k , yk 取整数.
状态转移方程:
sk+ 1 = sk - x k ,
uk+ 1 = uk - y k.
阶段指标 gk ( x k , y k )表示第 k 阶段分配给第 k 种产品所用的第一种, 第二种原料数量分
别为 x k , yk 所获得的收入.
基本递推方程为
f k ( sk , uk ) = max0≤ x
k≤ s
k0 ≤y
k≤u
k
{g k ( x k, yk ) + f k + 1 ( sk+ 1 , uk+ 1 ) }
( k= 3, 2, 1)
f 4 ( s4 , u4 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 , u3 ) = max0 ≤x
3≤ s
30≤ y
3≤u
3
{g 3 ( x 3 , y3 ) }.
而 s3∈{0, 1, 2, 3}, u3∈{0, 1, 2, 3}, 故 f 3 ( s3 , u3 )即为表 4.8 中的 g 3 ( x , y ) .
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 , u2 ) = max0 ≤x
2≤ s
20≤ y
2≤ u
2
{g 2 ( x 2 , y2 ) + f 3 ( s3 , u3 ) }
而
s2 ∈ {0, 1, 2, 3}, u2 ∈ {0, 1, 2, 3},
所以
x 2 ∈ {0, 1, 2, 3}, y2 ∈ {0, 1, 2, 3}.
将 f 2 ( s2 , u2 ) 的计算结果和相应的最优决策( x*2 , y
*2 ) 分别列于表 4.9 和表 4.10 所示.
表 4. 9
f 2 ( s2 , u2)
s2
u2 & 0 O1 �2 �3 �
0 �0 O3 �5 �8 �
1 �2 O5 �7 �9 �
2 �4 O7 �9 �12 5
3 �6 O9 �11 �14 5
·201·
表 4. 10
s2
( x *2, y
*2
)
u2 � 0 �1 �2 N3 �
0 P( 0 �, 0) ( 0 N, 0) ( 0 �, 0) , ( 0, 1) ( 0 �, 0)
1 P( 0 �, 0) ( 0 N, 0) ( 0 �, 0) , ( 0, 1) , ( 1, 1)( 0 �, 0) , ( 0, 1) , ( 0, 2) ,
( 1, 0) , ( 1, 1) , ( 1, 2)
2 P( 0 �, 0) , ( 2, 0) ( 0 N, 0) , ( 2, 0)( 0 �, 0) , ( 0, 0) , ( 1, 1) ,
( 2, 0) , ( 2, 1)( 2 �, 0)
3 P( 0 �, 0) , ( 2, 0) , ( 3, 0) ( 0 N, 0) , ( 2, 0) , ( 3, 0)
( 0 �, 0) , ( 0, 1) , ( 1, 1) ,
( 2, 0) , ( 2, 1) , ( 3, 0) ,
( 3, 1)
( 3 �, 0)
例如计算 f 2 ( 2, 1) :
f 2 ( 2, 1) = maxx
2= 0, 1 , 2, 3
y2
= 0, 1, 2, 3
{g2 ( x 2 , y2 ) + f 3 ( 2 - x 2 , 1 - y 2 ) }
= max[ g 2 ( 0, 0) + f 3 ( 2, 1) , g 2 ( 1, 0) + f 3 ( 1, 1) , g 2 ( 2, 0) + f 3 ( 0, 1) ,
g 2 ( 0, 1) + f 3 ( 2, 0) , g 2 ( 1, 1) + f 3 ( 1, 0) , g2 ( 2, 1) + f 3 ( 0, 0) ]
= max[ 0 + 7, 1 + 5, 4 + 3, 2 + 4, 4 + 2, 6 + 0]
= 7.
故相应的最优决策为( x*2 , y
*2 ) = ( ( 0, 0) , ( 2, 0) ) , 其余类推.
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 , u1 ) = maxx
1= 0, 1 , 2, 3
y1
= 0, 1 , 2, 3
{g 1 ( x 1 , y1 ) + f 2 ( s1 - x 1 , u1 - y 1 ) }
而 s1 = u1 = 3, 计算结果如表 4.11 所示.
表 4. 11
x1
g1( x 1, y 1) + f 2( s2 , u2)
y1 � 0 �1 }2 e3 M
0 �14 �14 �12 |12 d
1 �16 �14 �13 |11 d
2 �14 �13 �12 |10 d
3 �14 �12 �11 |9 M
由表 4.11 可知, f 1 ( s1 , u1 ) = 16, 最优决策( x*1 , y
*1 ) = ( 1, 0) , 即分配给第一种产品的第
1 种原料为 x*1 = 1, 留下为 s1 - x 1 = 3- 1= 2; 第 2 种原料 y
*1 = 0, 留下为 3- 0= 3. 再从表
4.10 中知( x*2 , y
*2 ) = ( 2, 0) , 即分配给第二种产品的第 1 种原料为 x
*2 = 2, 留下为 2- 2= 0;
第 2 种原料为 y*2 = 0, 留下仍为 3- 0= 3, 故分配给第三种产品的第 1 种原料为 x
*3 = 0, 第 2
种原料为 y*3 = 3.
所以最优策略为 x*1 = 1, y
*1 = 0; x
*2 = 2, y
*2 = 0; x
*3 = 0, y
*3 = 3, 最大总收入为
f 1 ( 3, 3) = 16.
·301·
4. 设备更新问题
例 5 某企业在第一年( 1988 年)拥有一台机龄为 1 的旧设备. 现考虑一个五年内的设备
更新策略, 设备各机龄状态下的收入额、维护费、新设备购置费、旧设备折价有关预测数据如表
4.12 所示. 问应如何进行五年内的设备更新, 以使第五年末( 1992 年末)企业收入最大?
其中表 4.12 中, sk——机龄, 表示设备使用过的年限. sk= 0 表示新设备.
表 4. 12
产品年代机龄
( sk)
收入额
r k( sk)
维护费
uk( sk)
新设备购置费
q
旧设备折价
ck ( sk )
1988 -年前
1 �2
3
4
5
18 �16
16
14
14
8 f8
9
9
10
50 �
20 {15
10
5
2
1988 [年
0 �1
2
3
4
22 �21
20
18
16
6 f6
8
8
10
50 �
30 {25
20
15
10
1989 [年
0 �1
2
3
27 �25
24
22
5 f6
8
9
52 �
31 {26
21
15
1990 [年0 �1
2
29 �26
24
5 f5
6
52 �33 {28
20
1991 [年0 �1
30 �28
4 f5
55 �35 {30
1992 [年 0 �32 �4 f60 �40 {
r k ( sk ) 表示一台设备机龄为 sk , 在第 k 年继续运行一年所获得的收入额.
uk ( sk )表示一台设备机龄为 sk , 第 k 年继续使用一年的维修保养费.
ck ( sk )表示第 k 年初卖掉一台机龄为 sk 的旧设备所得折价.
q——第 k 年购进一台新设备的费用.
解 ( 1) 建立动态规划模型
阶段变量: 按期划分为 5 个阶段, 即 k= 1, 2, 3, 4, 5.
状态变量 sk 表示第 k 阶段设备的机龄, s1 = 1.
决策变量 xk ( sk )∈{K , R}, 当 x k ( sk) = K 表示第 K 阶段机龄为 sk 的设备继续使用; 当
x k ( sk) = R 表示第 K 阶段机龄为 sk 的设备进行更新.
状态转移方程为
sk+ 1 =sk + 1, 当 xk = K
1, 当 xk = R.
·401·
所以, 在 1992 年 sk = 1, 2, 3, 4, 5; 在 1991 年 sk = 1, 2, 3, 4; 在 1990 年 sk = 1, 2, 3; 在 1989 年
sk = 1, 2; 在 1988 年 sk = 1.
指标函数 vk ( sk , x k )表示第 k 阶段所获得的收入:
vk ( sk , xk ) =r k ( sk ) - uk ( sk ) ; 当 xk = K
r k ( 0) - uk( 0) - q + ck ( sk ) ; 当 x k = R.
基本方程:
f k ( sk ) = maxr k ( sk) - uk ( sk ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) , xk = K
r k ( 0) - uk ( 0) - q + ck ( sk ) + f k+ 1 ( 1) , x k = R
( k = 5, 4, 3, 2, 1)
f 6 ( s6 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解
当 k= 5 时, 即 1992 年, 此年设备的机龄 sk = 1, 2, 3, 4, 5
f 5 ( 1) = maxr 5 ( 1) - u5 ( 1) + f 6 ( 2) , x 5 = K
r 5 ( 0) - u5 ( 0) - q + c5 ( 1) + f 6 ( 1) , x 5 = R
= max28 - 5 + 0 = 23, x5 = K
32 - 4 - 60 + 30 + 0= - 2, x5 = R
= 23.
所以 x*5 = K .
f 5 ( 2) = maxr 5 ( 2) - u5 ( 2) + f 6 ( 3) , x 5 = K
r 5 ( 0) - u5 ( 0) - q + c5 ( 2) + f 6 ( 1) , x 5 = R
= max24 - 6 + 0 = 18, x5 = K
32 - 4 - 60 + 20 + 0= - 12, x5 = R
= 18.
所以 x*5 = K .
f 5 ( 3) = maxr 5 ( 3) - u5 ( 3) + f 6 ( 4) , x 5 = K
r 5 ( 0) - u5 ( 0) - q + c5 ( 3) + f 6 ( 1) , x 5 = R
= max22 - 9 + 0 = 13, x5 = K
32 - 4 - 60 + 15 + 0= - 17, x5 = R
= 13.
所以 x*5 = K .
f 5 ( 4) = maxr 5 ( 4) - u5 ( 4) + f 6 ( 5) , x 5 = K
r 5 ( 0) - u5 ( 0) - q + c5 ( 4) + f 6 ( 1) , x 5 = R
= max16 - 10 + 0 = 6, x5 = K
32 - 4 - 60 + 10 + 0= - 22, x5 = R
= 6.
所以 x*5 = K .
·501·
f 5 ( 5) = maxr 5 ( 5) - u5 ( 5) + f 6 ( 5) , x 5 = K
r 5 ( 0) - u5 ( 0) - q + c5 ( 5) + f 6 ( 1) , x 5 = R
= max14 - 10 + 0 = 4
32 - 4 - 60 + 2 + 0= - 30
= 4.
所以 x*5 = K .
当 k= 1 时, 即 1991 年, 此年设备的机龄 sk = 1, 2, 3, 4
f 4 ( 1) = maxr 4 ( 1) - u4 ( 1) + f 5 ( 2) , x 4 = K
r 4 ( 0) - u4 ( 0) - q + c4 ( 1) + f 5 ( 1) , x 4 = R
= max26 - 5 + 18 = 39, x4 = K
30 - 4 - 55 + 28 + 23= 22, x4 = R
= 39.
所以 x*4 = K .
f 4 ( 2) = maxr 4 ( 2) - u4 ( 2) + f 5 ( 2) , x 4 = K
r 4 ( 0) - u4 ( 0) - q + c4 ( 2) + f 5 ( 1) , x 4 = R
= max24 - 8 + 13 = 29, x4 = K
30 - 4 - 55 + 21 + 23= 15, x4 = R
= 29.
所以 x*4 = K .
f 4 ( 3) = maxr 4 ( 3) - u4 ( 3) + f 5 ( 3) , x 4 = K
r 4 ( 0) - u4 ( 0) - q + c4 ( 3) + f 5 ( 1) , x 4 = R
= max18 - 8 + 6 = 16, x4 = K
30 - 4 - 55 + 15 + 23= 9, x4 = R
= 16.
所以 x*4 = K .
f 4 ( 4) = max14 - 9 + 4 = 9, x4 = K
30 - 4 - 55 + 5 + 23= - 1, x4 = R
= 9.
所以 x*4 = K .
当 k= 3 时, 即 1990 年, 此年设备的机龄有 sk = 1, 2, 3.
f 3 ( 1) = maxr 3 ( 1) - u3 ( 1) + f 4 ( 2) , x 3 = K
r 3 ( 0) - u3 ( 0) - q + c3 ( 1) + f 4 ( 1) , x 3 = R
= max25 - 6 + 29 = 48, x3 = K
29 - 5 - 52 + 26 + 39= 37, x3 = R
所以 x*3 = K .
类似计算:
·601·
f 3 ( 2) = max20 - 8 + 16 = 28, x3 = K
29 - 5 - 52 + 20 + 39= 31, x3 = R
= 31.
所以 x*3 = R.
f 3 ( 3) = max16 - 9 + 9 = 16, x3 = K
29 - 5 - 52 + 10 + 39= 21, x3 = R
= 21.
所以 x*3 = R.
当 k= 2, 即 1989 年, 此年设备的机龄有 sk= 1, 2.
f 2 ( 1) = maxr 2 ( 1) - u2 ( 1) + f 3 ( 2) , x 2 = K
r 2 ( 0) - u2 ( 0) - q + c2 ( 1) + f 3 ( 1) , x 2 = R
= max21 - 6 + 31 = 46, x2 = K
27 - 5 - 52 + 25 + 48= 43, x2 = R
= 46.
所以 x*2 = K .
f 2 ( 2) = max16 - 8 + 21 = 29, x2 = K
27 - 5 - 52 + 15 + 48= 33, x2 = R
= 33.
所以 x*2 = R.
当 k= 1, 即 1988 年, 此年 sk= 1.
f 1 ( 1) = maxr 1 ( 1) - u1 ( 1) + f 2 ( 2) , x 1 = K
r 1 ( 0) - u1 ( 0) - q + c1 ( 1) + f 2 ( 1) , x 1 = R
= max18 - 8 + 33 = 43, x1 = K
22 - 6 - 50 + 20 + 46= 32, x1 = R
= 43.
所以 x*1 = K .
按计算顺序反推, 可得最优策略为( x*1 , x
*2 , x
*3 , x
*4 , x
*5 ) T = ( K , R, K , K , K ) , 最大收入
为 43.
由此可知, 五年内的最优设备更新策略是在 1992 年, 1991 年, 1990 年均不更新设备, 在
1989 年更新 1987 年买进并运行的设备.
4. 3 习 题
4. 1 某厂从国外引进一台设备, 由工厂 A 至 G 港口有多条通路可供选择, 其路线及费
用如图 4. 2 所示. 现要确定一条从 A 到 G 的使总运费最小的路线. 请将该问题描述成一个
动态规划问题, 然后求其最优解.
4. 2 某科学实验室可以用 3 套不同的仪器( A, B, C) 中任一套去完成. 每做完一次实
·701·
图 4. 2
验后, 如果下次实验仍使用原仪器就必须对仪器进行整修, 中间要耽搁一段时间; 如果下次
使用另一套仪器, 则卸旧装新也要耽搁一段时间. 耽搁时间 t ij如表 4. 13 所示.
表 4. 13
本次用仪器i
下次用仪器j 1 �2 �3 �
1 F( A) 10 �9 �14 �
2 H( B) 9 �12 �10 �
3 J( C) 6 �5 �8 �
假定一次实验的时间大于任一 t ij , 因而某套仪器换下后隔一次再用时, 不再另有耽搁.
现在要做 4 次实验, 首次实验指定用仪器 A, 其余各次实验可用任一套仪器. 问应如何安排
使用仪器的顺序, 才能使总的耽搁时间最短?
4. 3 某公司准备经销某种货物, 货物入库后才能销售, 仓库容量为 900 件. 公司每月月
初订购货物, 月底才到货. 每月的销售量由公司自己确定(销售月初库存货物) . 现在 1～4 月
各月的单位货物的购货成本及销售价格如表 4. 14 所示. 又知 1 月初存货 200 件, 问如何安
排每月的货物购进量与销售量, 使四个月的利润最大.
表 4. 14
月 份 购货成本 销售价格
1 �40 �45 �
2 �38 �42 �
3 �40 �40 �
4 �42 �44 �
4. 4 某工厂有 100 台机器, 拟分四期使用, 在每一期都有两种生产任务. 据经验, 若把
x 1 台机器投入第一种生产任务, 则在本期结束时将有 1/ 3 x 1 台机器损坏报废. 剩下的机器
全部投入第二种生产任务, 则有 1/ 10 的机器在期末损坏报废. 如果干第一种生产任务时每
台机器可获利润 10, 干第二种任务时每台机器可获利润 7, 问应怎样分配使用机器以使四期
的总利润最大 (期末剩下的完好机器数量不限) ?
4. 5 某公司拟将 3 千万元资金用于改造扩建所属的 3 个工厂. 每个工厂的利润增长额
与所分配到的投资额有关. 各工厂在获得不同的投资额时所能增加的利润如表 4. 15 所示
(单位: 百万元 ) . 问应如何分配这些资金, 使公司总的利润增长额最大?
·801·
表 4. 15
投 资工 厂
0 �10 �20 �30 �
1 i0 �2 �. 5 4 �10 �
2 i0 �3 �5 �8 �. 5
3 i0 �2 �6 �9 �
4. 6 求下列数学规划的解:
max Z = ( 4x 1 + 7x 2 + 8x 3 )
2x 1 + 3x 2 + 4x3 ≤ 8
x j ≥ 0 且为整数, j = 1, 2, 3 .
4. 7 设某工厂调查了解市场情况, 估计在今后四个时期市场对产品的需求量如表
4.16 所示.
表 4. 16
时 期 1 g2 O3 74 �
需求量 2 g3 O2 74 �
假定不论在任何时期, 生产每批产品的固定成本费为 3(千元) , 若不生产, 则为零. 每单
位生产成本费为 1( 千元) . 同时任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过 6
个单位. 又设每时期的每个单位产品库存费为 0. 5( 千元) , 同时规定在第一期期初及第四期
期末均无产品库存. 试问, 该厂如何安排各个时期的生产与库存, 使所花的总成本费用最低?
4. 8 某单位在 5 年内需使用一台机器, 该种机器的年收入、年运行费及每年年初一次
性更新重置的费用随机器的役龄变化如表 4. 17 所示. 该单位现有一台役龄为 1 年的旧机
器, 试制定最优更新计划, 以使 5 年内的总利润最大(不计 5 年期末时机器的残值) .
表 4. 17
机 龄 0 �1 �2 �3 4 N5 |
年 收 入 20 �19 �18 �16 714 e10 �
年运行费 4 �4 �6 �6 9 N10 �
更 新 费 25 �27 �30 �32 735 e36 �
4. 9 选择题
( 1) 动 态规 划方 法是 解决 , 它 是 在明 确 条件 的 基础 上, 建 立
, 求解的最终应求出 .
( A ) 动态问题 �( B) 多阶段决策过程的问题
( C) 阶段和阶段数 ( D) 无后效性
( E) 最优性原理 ( F ) 基本方程(递推关系式)
( G) 决策变量与允许决策集 ( H ) 阶段指标与指标函数
( I) 状态转移方程 ( J ) 逆序解法或顺序解法
·901·
( K ) 最优决策序列和最优目标值 ( L) 状态与状态变量
( 2) 对于动态规划, 下列说法正确的有 .
( A ) 在动态规划模型中, 问题的阶段数等于问题中的子问题的数目
( B) 动态规划中, 定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性
( C) 动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的
决策
( D) 对一个动态规划问题, 应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解
( E) 假如一个线性规划问题含有 5 个变量和 3 个约束, 则用动态规划方法求解时将划
分为 3 个阶段, 每个阶段的状态将由一个 5 维的向量组成
( 3) 非线性规划
max Z = x21 x 2 x
33 ,
s . t .x 1 + x 2 + x 3 ≤ 6
xi ≥ 0, i= 1, 2, 3.
与
max Z = 7x21 + 6x 1 + 5x
22 ,
s . t .
x 1 + 2x 2 ≤ 10
x 1 - 3x 2 ≤ 9
x 1 , x 2 ≥ 0.
的基本方程分别为 和 .
( A )
f k ( sk) = max{vk( sk , x k ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 3, 2, 1)
f 4 ( s4 ) = 0 ( B)
f k ( sk) = max{vk( sk , x k )·f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 3, 2, 1)
f 4 ( s4 ) = 1
( C)
f k ( sk′, sk″) = max {vk ( sk′, sk″, x k ) + f k + 1 ( sk+ 1′ , sk+ 1″ ) }
f 3 ( s3′, s3″) = 0.
( D)
f k( sk′, sk″) = max{vk ( sk′, sk″, x k ) ¡¤f k+ 1 ( sk+ 1′ , sk+ 1″ ) }
f 3 ( s3′, s3″) = 1.
4. 4 习 题 解 答
4. 1 解 为划分阶段, 添加虚结点 D 1 , D 2 , 如图 4.3 所示, 其中虚路线 D1 E , D 2 F 上的
费用为 0.
该问题划分为 4 个阶段:
第一阶段, 状态变量为结点 A, 即 s1 = {A}, 允许决策集合为 D1 = {A B, AC}.
第二阶段, 状态变量为结点 B, C, 即 s2 = {B, C}, 允许决策集合为 D2 = {BD 1 , BD , CD ,
CD 1 }.
·011·
图 4. 3
第三阶段, 状态变量为结点 D 1 , D , D2 , 即 s3 = {D1 , D , D 2 }, 允许决策集合为 D3 =
{D 1E , D E, DF , D 2F }.
第四阶段, 状态变量为结点 E , F , 即 s4 = {E , F }, 允许决策集合为 D 4 = {E G, F G}.
该问题用逆序算法求得结果见图 4. 4.
图 4. 4
由图 4. 4 可知, 从 A 到 G 的总运费最小的路线有两条, 分别是 A→B→E→G, A→C→F
→G. 总运费为 120.
4. 2 解 该问题可描述为: 分 4 个阶段, 第一阶段的初始状态为 A , 而二、三、四阶段
的状态均为 A , B, C, 如图 4. 5 所示.
图 4. 5 中 D 为虚设的结点, 因此 AD , BD , CD 弧上的数据均为 0, 其他弧上的数据为耽
搁时间 tij . 如首次试验为 A , 下次试验再用仪器 A 的耽搁时间为 10, 而用 B 的耽搁时间为
9, 用 C 的耽搁时间为 14, 因此, 第一阶段弧 AA , 弧 AB, 弧 AC 上的数字即为 10, 9, 14.
用逆序算法求得结果见图 4. 5. 由此可知, 最优线路是 A→B→C→B ( 图中双线弧线
路) , 即首次试验用仪器 A, 第二次试验用仪器 B, 第三次试验用仪器 C, 第四次试验用仪器
B, 才能使耽搁时间最短, 最短耽搁时间为 24.
4. 3 解 ( 1) 建立该问题的动态规划模型
① 阶段变量 k= 1, 2, 3, 4.
② 状态变量 sk 表示第 k 月初的库存量, 则 s1 = 200.
③ 决策变量 x k , yk 分别表示每月的货物购进量和销售量.
④ 状态转移方程 sk + 1 = sk + x k- y k.
⑤ 阶段指标函数 vk ( sk , x k , yk ) 表示每月的利润
·111·
图 4. 5
vk ( sk, xk , y k ) = qk yk - p kx k .
其中 p k , qk 分别表示第 k 个月的单位购货成本和单位销售价格.
⑥ 基本方程为
f k ( sk ) = max0 ≤y
k≤ s
k0≤x
k≤ H + y
k- s
k
{vk ( sk , x k , yk ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 4, 3, 2, 1)
f 5 ( s5 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解:
当 k= 4 时, 有
f 4 ( s4 ) = max0≤ y
4≤ s
40≤ x
4≤H + y
k- s
4
{44y4 - 42x 4 }
显然, 当 y*4 = s4 , x
*4 = 0 为最优决策, 这时 f 4 ( s4 ) = 44s4 .
当 k= 3 时, 有
f 3 ( s3 ) = max0≤ y
3≤ s
30≤ x
3≤H + y
3- s
3
{40y3 - 40x3 + f 4 ( s4 ) }
= max0≤ y
3≤ s
30≤ x
3≤H + y
3- s
3
{40y3 - 40x3 + 44( s3 - y3 + x3 ) }
= max0≤ y
3≤ s
30≤ x
3≤H + y
3- s
3
{44s3 - 4y3 + 4x 3 }.
这是一个线性规划问题, 用图解法求解( 见图 4. 6)得最优解为 x*3 = H , y
*3 = s3 .
所以 f 3 ( s3 ) = 40s3 + 4H .
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 ) = max0 ≤y
2≤ s
20≤x
2≤ H + y
2- s
2
{42y 2 - 38x 2 + f 3 ( s3 ) }
= max0 ≤y
2≤ s
20≤x
2≤ H + y
2- s
2
{4H + 2x 2 + 2y2 }.
仿图 4. 6 的解法, 得其最优解为 x*2 = H , y
*2 = s2 .
所以 f 2 ( s2 ) = 6H + 2s2 .
·211·
图 4. 6
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 ) = max0 ≤y
1≤ s
10≤x
1≤ H + y
1- s
1
{45y 1 - 40x 1 + f 2 ( s2 ) }
= max0 ≤y
1≤ s
10≤x
1≤ H + y
1- s
1
{6H + 43y 1 - 38x 1 }.
其最优解为
y*1 = s1 , x
*1 = 0,
f 1 ( s1 ) = 6H + 43s1 .
将 s1 = 200, H = 900 代入上式并按计算顺序往回反推, 可得各月的最优购货量 x*k 和销售量
y*k 如下:
x*1 = 0, y
*1 = s1 = 200,
x *2 = H = 900, y*
2 = s2 = s1 + x *1 - y*
1 = 0,
x*3 = H = 900, y
*3 = s3 = s2 + x
*2 - y
*2 = 900,
x *4 = 0, y*
4 = s4 = s3 + x *3 - y*
3 = 900.
即最优决策如表 4. 18 所示.
表 4. 18
月份 sk yk xk
1 �200 �200 �0 �
2 �0 �0 �900 �
3 �900 �900 �900 �
4 �900 �900 �0 �
最大利润为
f 1 ( s1 ) = 6× 900 + 43× 200 = 14 000.
4. 4 解 ( 1) 建立动态规划模型
按四期划分为 4 个阶段, 即阶段变量 k= 1, 2, 3, 4.
状态变量 sk 表示第 k 阶段初可用于分配的机器数.
决策变量 x k 表示第 k 阶段投入第一种生产任务的机器数, 则投入第二种生产任务的机
器数为 sk - x k .
·311·
状态转移方程 sk + 1 =23 x k +
910
( sk - x k) =9
10sk -7
30xk .
第 k 阶段的指标函数为
利润 vk ( sk , x k ) = 10x k + 7( sk- x k ) = 3xk + 7sk.
基本方程:
f k ( sk ) = max0 ≤x
k≤ s
k
{vk ( sk , x k ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 4, 3, 2, 1)
f 5 ( s5 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解:
当 k= 4 时,
f 4 ( s4 ) = max0≤ x
4≤ s
4
{3x 4 + 7s4 }.
显然 f 4 ( s4 )为 x 4 的递增函数, 所以当 x*4 = s4 时
f 4 ( s4 ) = 10s4 .
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 ) = max0≤x
3≤ s
3
{3x 3 + 7s3 + f 4 ( s4 ) }
= max0≤x
3≤ s
3
{3x 3 + 7s3 + 10s4 }
= max0≤x
3≤ s
3
3x 3 + 7s3 + 109
10s3 -
730
x 3
= max0≤x
3≤ s
3
16s3 +23
x3 .
显然, x*3 = s3 , f 3 ( s3 ) =
503
s3 .
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 ) = max0 ≤x
2≤ s
2
{3x 2 + 7s2 + f 3 ( s3 ) }
= max0 ≤x
2≤ s
2
22s2 -89
x 2 .
显然, 最优解为 x*2 = 0, 最优值 f 2 ( s2 ) = 22s2 .
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 ) = max0 ≤x
1≤ s
1
{3x 1 + 7s1 + f 2 ( s2 ) }
= max0 ≤x
1≤ s
1
-3215
x 1 +134
5s1 .
因为 -3215
x 1 +1345
s1 是 x 1 的单调减函数, 所以当 x*1 = 0 时, 其值最大 f 1 ( s1 ) =
1345
s1 .
当 s1 = 100 代入上式后得 f 1 ( s1 ) = 2 680.
按计算的顺序回推, 于是
x*1 = 0, s1 = 100;
x*2 = 0, s2 =
910
s1 -7
30x *
1 = 90;
·411·
x*3 = s3 = 81, s3 =
910
s2 -7
30x
*2 = 81;
x*4 = s4 = 54, s4 =
910
s3 -7
30x
*3 = 54.
因而最优分配方案是第一, 第二生产周期中把全部完好机器投入第二种生产任务. 第
三、第四周期把全部完好机器都投入第一种生产任务. 此时得到的最大收益为 2 680.
4. 5 解 将对 k 个工厂的投资看成第 k 个阶段, 划分为三个阶段, 即 k= 1, 2, 3. 该问
题可化为动态规划中的一个最短路问题, 如图 4. 7 所示.
图 4. 7
设 sk 表示第 k 阶段( k= 1, 2, 3) 可用于分配的资金数, 则 s1 = 3, 而资金一般应全部用于
投资, 所以 s4 = 0, 而图 4. 6 中弧上的数据表示各阶段投资所获利润. 如当 s1 = 3, 说明对第 1
个工厂投资 3 000 万元, 因而弧上的数据为 10; 当 s2 = 1, 说明对第 1 个工厂投资2 000 万元,
因而弧上的数据为 4; 当 s2 = 2, 说明对第 1 个工厂投资 1 000 万元, 因而弧上的数据为 2.5;
当 s2 = 3, 说明对第 1 个工厂投资 0 元, 因而弧上的数据为 0.
用逆序算法的求解结果如图 4. 7 所示. 从图上可知, 最优线路为 s1 = 3→s2 = 0→s3 = 0→
s4 = 0, 最优值为 10, 即将所有资金全部投入第 1 个工厂, 可使公司总的利润增长额最大, 最
大利润增长额为 1 000 万元.
4. 6 解 ( 1) 建立该问题的动态规划模型
阶段变量 k= 1, 2, 3 分别表示对决策变量 x1 , x 2 , x 3 的赋值.
状态变量 sk 表示第 k 阶段约束右端的最大值. s1 = 8, 状态转移方程 s2 = 8- 2x 1 = s1 - 2x 1 ,
s3 = 8- 2x1 - 3x 2 = s2 - 3x 2 , 阶段指标: v1 ( s1 , x 1 ) = 4x 1 , v2 ( s2 , x 2 ) = 7x 2 , v3 ( s3 , x 3 ) = 8x 3 .
基本方程:
f k ( sk ) = max0≤x
k≤
sk
k+ 1x
k为整 数
{vk ( sk , xk ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) }
( k= 3, 2, 1)
f 4 ( s4 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解
·511·
当 k= 3 时,
f 3 ( s3 ) = max0 ≤x
3≤
s3
4
{8x 3 + f 4 ( s4 ) }, s3 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
因此, 当 s3 = 0, 1, 2, 3 时, x 3 = 0; 当 s3 = 4, 5, 6, 7 时, x 3 可取 0 或 1; 当 s3 = 8 时, x 3 = 0, 1, 2,
由此确定 f 3 ( s3 ) . 现将有关数据列入表 4. 19.
表 4. 19
s3x3 �
f 8 Ox 3+ f 4( s4)
0 �1 2 �f 3 &( s3) x
*3 N
0 �0 �0 e0 M
1 �0 �0 e0 M
2 �0 �0 e0 M
3 �0 �0 e0 M
4 �0 �8 8 e1 M
5 �0 �8 8 e1 M
6 �0 �8 8 e1 M
7 �0 �8 8 e1 M
8 �0 �8 16 �16 |2 M
当 k= 2 时,
f 2 ( s2 ) = max0 ≤x
2≤
s2
3
{7x 2 + f 3 ( s3 ) }
= max0 ≤x
2≤
s2
3
{7x 2 + f 3 ( s2 - 3x 2 ) }
s2 ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
当 s2 = 0, 1, 2 时, x 2 = 0; 当 s2 = 3, 4, 5 时, x 2 取 0 或 1; 当 s2 = 6, 7, 8 时, x 2 取 0, 1, 2. 由此确
定 f 2 ( s2 ) , 现将有关数据列入表 4. 20 中.
表 4. 20
s2x2 r
f 7 �x2 + f 3( s2- 3x2 )
0 �1 82 ff 2 �( s2 ) x
*2 Ns3 �
0 �0 �+ 0 0 �0 M0 �
1 �0 �+ 0 0 �0 M1 �
2 �0 �+ 0 0 �0 M2 �
3 �0 �+ 0 7 �+ 0 7 �1 M0 �
4 �0 �+ 8 7 �+ 0 8 �0 M4 �
5 �0 �+ 8 7 �+ 0 8 �0 M5 �
6 �0 �+ 8 7 �+ 0 14 7+ 0 14 �2 M0 �
7 �0 �+ 8 7 �+ 8 14 7+ 0 15 �1 M4 �
8 �0 �+ 12 7 �+ 8 14 7+ 0 15 �1 M5 �
·611·
当 k= 1 时,
f 1 ( s1 ) = max0≤ x
1≤
s1
2
{4x 1 + f 2 ( s2 ) }
= max0≤ x
1≤ 4
{4x 1 + f 2 ( s1 - 2x 1 ) }.
因为 x 1 可取 0, 1, 2, 3, 4, 由此确定 f 1 ( s1 ) . 现将有关计算数据列入表 4. 21 中.
表 4. 21
s1
x 1 �
f 4 �x1 + f 2 ( s1 - 2x1 )
0 !1 �2 �3 �4 ef 1 �( s1 ) x*
1 �s2 �
8 P0 �+ 15 4 �+ 14 8 ~+ 8 12 f+ 0 16 7+ 0 18 M1 �6 �
由表 4. 21 可知当 x*1 = 1 时, f 1 ( s1 ) 得最大值 18. 又由 s2 = 6 查表 4. 20 得 x
*2 = 2; 由
s3 = 0 查表 4. 19 得 x*3 = 0.
所以, 该线性规划问题的最优解为 x*1 = 1, x
*2 = 2, x
*3 = 0, 最优值为 max Z= 18.
4. 7 解 ( 1) 建立动态规划模型:
划分为四个阶段, 阶段变量 k= 1, 2, 3, 4. 即
状态变量 sk 表示第 k 阶段末的库存量, 由已知得 s4 = 0.
决策变量 x k 表示第 k 阶段的生产量, dk 表示第 k 阶段的需求量.
状态转移方程: sk+ 1 = sk + xk - d k .
阶段指标函数 vk ( sk , xk ) 表示第 k 阶段的总成本, 它由两部分构成, 一部分是第 k 阶段的
生产成本 ck ( x k ) , 另一部分是第 k 阶段的存储费 hk ( sk ) .
由已知可得
ck ( x k) =
0, x k = 0
3 + x k , x k = 1, 2, ⋯, 6
∞, x k > 6,
hk ( sk) = 0. 5sk .
所以
vk ( sk , xk ) = ck ( x k ) + hk ( sk) .
基本方程为
f k ( sk ) = min0 ≤x
k≤ σ
k
{vk ( sk, xk ) + f k- 1 ( sk- 1 ) }, ( k = 1, 2, 3, 4)
f 0 ( s0 ) = 0, 而 σk = min{sk + d k, 6}.
( 2) 用动态规划的顺序算法求解
当 k= 1 时, 有
f 1 ( s1 ) = minx
1= σ
1
{c1 ( x 1 ) + h1 ( s1 ) }.
这时状态集合
s1 = {s1 ©¦0 ≤ s1 ≤ min ∑4
j = 2
d j ; 6 - d1 , 且 s1 为整数}
= {s1 ©¦0 ≤ s1 ≤ min[ 9, 6 - 2] , 且 s1 为整数}
·711·
= {0, 1, 2, 3, 4}.
下面就各状态分别计算:
f 1 ( 0) = minx
1= 2
{c1 ( 2) + h1 ( 0) } = 3 + 1× 2 + 0. 5× 0 = 5, 所以 x 1 = 2.
f 1 ( 1) = minx
1= 3
{c1 ( 3) + h1 ( 1) } = 3 + 1× 3 + 0. 5× 1 = 6. 5, 所以 x 1 = 3.
f 1 ( 2) = min{c1 ( 4) + h1 ( 2) } = 3 + 1× 4 + 0. 5× 2 = 8, 所以 x 1 = 4.
同理得
f 1 ( 3) = 9. 5, 所以 x 1 = 5.
f 1 ( 4) = 11, 所以 x 1 = 6.
当 k= 2 时, 由
f 2 ( s2 ) = min0≤x
2≤ σ
2
{c2 ( x 2 ) + h2 ( s2 ) + f 1 ( s1 ) }
= min0≤x
2≤ σ
2
{c2 ( x 2 ) + h2 ( s2 ) + f 1 ( s2 + d 2 - x 2 ) }.
其中 σ2 = min {s2 + d 2 , 6}, 而状态集合
s2 = {s2 ©¦0 ≤ s2 ≤ min ∑4
j = 3
d j , 6 - d2 , 且 s2 为整数}
= {s2 ©¦0 ≤ s2 ≤ min[ 6, 6 - 3] , 且 s2 为整数}
= {0, 1, 2, 3}.
下面就各状态分别计算:
f 2 ( 0) = min0≤ x
2≤3
{c2 ( x 2 ) + h2 ( 0) + f 1 ( 3 - x 2 ) }
= min
c2 ( 0) + h2 ( 0) + f 1 ( 3)
c2 ( 1) + h2 ( 0) + f 1 ( 2)
c2 ( 2) + h2 ( 0) + f 1 ( 1)
c2 ( 3) + h2 ( 0) + f 1 ( 0)
= min
0 + 9. 5
4 + 8
5 + 6. 5
6 + 5
= 9. 5.
所以 x 2 = 0.
f 2 ( 1) = min0≤x
2≤ 4
{c2 ( x 2 ) + h2 ( 1) + f 1 ( 4 - x2 ) }
= min
c2 ( 0) + h2 ( 1) + f 1 ( 4)
c2 ( 1) + h2 ( 1) + f 1 ( 3)
c2 ( 2) + h2 ( 1) + f 1 ( 2)
c2 ( 3) + h2 ( 1) + f 1 ( 1)
c2 ( 4) + h2 ( 0) + f 1 ( 0)
= min
0. 5 + 11
4. 5 + 9. 5
5. 5 + 8
6. 5 + 6. 5
7. 5 + 5
= 11. 5,
所以 x 2 = 0.
同理得
f 2 ( 2) = min0≤x
2≤ 5
{c2 ( x 2 ) + h2 ( 2) + f 1 ( 5 - x 2 ) } = 14, 所以 x 2 = 5.
f 2 ( 3) = min0≤x
2≤ 6
{c2 ( x 2 ) + h2 ( 3) + f 1 ( 6 - x 2 ) } = 15. 5, 所以 x 2 = 6.
注意: 在计算 f 2 ( 2) 和 f 2 ( 3) 时, 需要用到 f 1 ( 5)和 f 1 ( 6) . 由于每个时期的最大生产批
·811·
量为 6 件, 故 f 1 ( 5)和 f 1 ( 6)是没有意义的, 就取 f 1 ( 5) = f 1 ( 6) = ∞, 其余类推.
当 K = 3 时, 由
f 3 ( s3 ) = min0≤x
3≤ σ
3
{c3 ( x 3 ) + h3 ( s3 ) + f 2 ( s3 + d 3 - x 3 ) },
其中 σ3 = min {s3 + 2, 6}, 而状态集合为
s3 = {s3 ©¦0 ≤ s3 ≤ min[ d 4 , 6 - d 3 ] , 且 s3 为整数}
= {0, 1, 2, 3, 4}.
下面就各状态分别计算:
f 3 ( 0) = min0≤ x
3≤2
{c3 ( x 3 ) + h3 ( 0) + f 2 ( 2 - x 3 ) } = 14, 所以 x 3 = 0;
f 3 ( 1) = min0≤ x
3≤3
{c3 ( x 3 ) + h3 ( 1) + f 2 ( 3 - x 3 ) } = 16, 所以 x 3 = 0 或 3;
f 3 ( 2) = min0≤ x
3≤4
{c3 ( x 3 ) + h3 ( 2) + f 2 ( 4 - x 3 ) } = 17. 5, 所以 x 3 = 4;
f 3 ( 3) = min0≤ x
3≤5
{c3 ( x 3 ) + h3 ( 3) + f 2 ( 5 - x 3 ) } = 19, 所以 x 3 = 5;
f 3 ( 4) = min0≤ x
3≤6
{c3 ( x 3 ) + h3 ( 4) + f 2 ( 6 - x 3 ) } = 20. 5, 所以 x 3 = 6.
当 k= 4 时, 因为要求第 4 阶段末的库存量为 0, 即 s4 = 0, 故有
f 4 ( 0) = min0≤ x
4≤ 4
{c4 ( x4 ) + h4 ( 0) + f 3 ( 4 - x 4 ) }
= min
c4 ( 0) + f 3 ( 4)
c4 ( 1) + f 3 ( 3)
c4 ( 2) + f 3 ( 2)
c4 ( 3) + f 3 ( 1)
c4 ( 4) + f 3 ( 0)
= min
0 + 20. 5
4 + 19
5 + 17. 5
6 + 16
7 + 14
= 20. 5,
所以 x 4 = 0.
再回代求最优策略: 由 x*4 = 0, s4 = 0 得
s3 = s4 + d 4 - x 4 = 4, 所以 x*3 = 6.
s2 = s3 + d 3 - x 3 = 4 + 2 - 6 = 0, 所以 x*2 = 0.
s1 = s2 + d 2 - x 2 = 3, 所以 x *1 = 5.
故最优生产策略为:
x *1 = 5, x *
2 = 0, x *3 = 6, x *
4 = 0.
其相应的最小总成本为 2.05 万元.
4. 8 解 ( 1) 建立该问题的动态规划模型
划分为 5 个阶段, 即阶段变量 k= 1, 2, 3, 4, 5.
状态变量 sk 表示第 k 年初机器的役龄(已使用的年数) .
决策变量 x k 表示第 k 年年初( k= 1, 2, 3, 4, 5)对役龄为 sk 的机器采用的决策, 它只能取
两个值. 更新( R) 或继续使用( K ) , 即允许决策集合为 D k ( sk ) = {R, K }.
状态转移方程
sk+ 1 =sk + 1, 当 xk = K
1, 当 xk = R.
·911·
设 r k( sk )表示第 k 年初役龄为 sk 的机器继续使用一年的年收入;
uk ( sk )表示第 k 年初对役龄为 sk 的机器继续使用一年的年运行费.
ck ( sk )表示第 k 年初对役龄为 sk 的机器进行更新时的一次性更新费.
阶段指标: vk ( sk , x k )表示第 k 年的利润:
vk ( sk , xk ) =r k ( sk ) - uk ( sk) , 当 x k = K
r k ( 0) - uk ( 0) - ck ( sk ) , 当 x k = R.
f k ( sk )表示第 k 年至第 5 年内, 期初有一台役龄为 sk 的机器, 采用最优更新策略所能获
得的最大利润额, 则基本递推方程为
f k ( sk ) = maxvk ( sk, dk ) + f k+ 1 ( sk+ 1 ) ©¦xk = K
vk ( sk, dk ) + f k+ 1 ( 1) ©¦xk = R
x k ∈ {k, R} k = 5, 4, 3, 2, 1
f 6 ( s6 ) = 0.
( 2) 用逆序算法求解
当 k= 5 时, 由于 s1 = 1, 所以 s5 的可能值为 1, 2, 3, 4, 5, 即 s5∈{1, 2, 3, 4, 5}. 计算结果如
表 4. 22 所示.
表 4. 22
s5 �1 �2 83 �4 �5 c
f 5 �( s5) 15 �12 O10 �5 �0 c
x *5 �K K K K K
当 k= 4 时, s4 的可能值为 1, 2, 3, 4, 即 s4∈{1, 2, 3, 4}.
f 4 ( s4 ) = maxr 4 ( s4 ) - u4 ( s4 ) + f 5 ( s5 ) ©¦x 4 = K
r 4 ( 0) - u4 ( 0) - c4 ( s4 ) + f 5 ( 1) ©¦x 4 = R.
计算如下:
f 4 ( 1) = maxr 4 ( 1) - u 4 ( 1) + f 5 ( 2) ©¦x 4 = K
r 4 ( 0) - u 4 ( 0) - c4 ( 1) + f 5 ( 1) ©¦x 4 = R
= max19 - 4 + 12 ©¦x 4 = K
20 - 4 - 27 + 15 ©¦x 4 = R= 27, 所以 x
*4 = K .
f 4 ( 2) = maxr 4 ( 2) - u 4 ( 2) + f 5 ( 3) ©¦x 4 = K
r 4 ( 0) - u 4 ( 0) - c4 ( 2) + f 5 ( 1) ©¦x 4 = R
= max18 - 6 + 10 ©¦x 4 = K
20 - 4 - 30 + 15 ©¦x 4 = R= 22, 所以 x
*4 = K .
f 4 ( 3) = max16 - 6 + 5 ©¦x 4 = K
20 - 4 - 32 + 15 ©¦x 4 = R= 15, 所以 x
*4 = K .
f 4 ( 4) = max14 - 9 + 0 ©¦x 4 = K
20 - 4 - 35 + 15 ©¦x 4 = R= 5, 所以 x*
4 = K .
列表如表 4. 23 所示.
·021·
表 4. 23
s4 �1 O2 �3 �4 �
f 4 �( s4 ) 27 f22 �15 �5 �
x*4 �K K K K
当 k= 3 时, s3 的可能值为 1, 2, 3, 即 s3∈{1, 2, 3}.
f 3 ( s3 ) = maxr 3 ( s3 ) - u3 ( s3 ) + f 4 ( s4 ) ©¦x 4 = K
r 3 ( 0) - u3 ( 0) - c3 ( s3 ) + f 4 ( 1) ©¦x 4 = R.
计算如下:
f 3 ( 1) = maxr 3 ( 1) - u3 ( 1) + f 4 ( 2) ©¦x 3 = K
r 3 ( 0) - u3 ( 0) - c3 ( 1) + f 4 ( 1) ©¦x 3 = R
= max19 - 4 + 22 ©¦x 3 = K
20 - 4 - 27 + 27 ©¦x 3 = R= 37 所以 x
*3 = K .
f 3 ( 2) = max18 - 6 + 15 ©¦x 3 = K
20 - 4 - 30 + 27 ©¦x 3 = R= 27 所以 x *
3 = K .
f 3 ( 3) = max16 - 6 + 5 ©¦x 3 = K
20 - 4 - 32 + 27 ©¦x 3 = R= 15 所以 x
*3 = K .
列表如表 4. 24 所示.
表 4. 24
s3 �1 �2 �3 �
f 3 W( s3) 37 �27 �15 �
x *3 �K K K
当 k= 2 时, s2 的可能值为 1, 2, 即 s2∈{1, 2}.
f 2 ( s2 ) = maxr 2 ( s2 ) - u2 ( s2 ) + f 3 ( s3 ) ©¦x 3 = K
r 2 ( 0) - u2 ( 0) - c2 ( s2 ) + f 3 ( 1) ©¦x 3 = R.
计算如下:
f 2 ( 1) = maxr 2 ( 1) - u2 ( 1) + f 3 ( 2) ©¦x 2 = K
r 2 ( 0) - u2 ( 0) - c2 ( 1) + f 3 ( 1) ©¦x 2 = R
= max19 - 4 + 27 ©¦x 2 = K
20 - 4 - 27 + 37 ©¦x 2 = R= 42 所以 x
*2 = K .
f 2 ( 2) = max18 - 6 + 15 ©¦x 2 = K
20 - 4 - 30 + 37 ©¦x 2 = R= 27 所以 x *
2 = K .
列表如表 4. 25 所示.
表 4. 25
s2 %1 �2 �
f 2 �( s2 ) 42 �27 �
x *2 "K K
·121·
当 k= 1 时, s1 = 1.
f 1 ( s1 ) = maxr 1 ( s1 ) - u1 ( s1 ) + f 2 ( s2 ) ©¦x 1 = K
r 1 ( 0) - u1 ( 0) - c1 ( s1 ) + f 2 ( 1) ©¦x 1 = R.
所以
f 1 ( 1) = max19 - 4 + 27 ©¦x 1 = K
20 - 4 - 27 + 42 ©¦x 1 = R= 42 x
*1 = K .
因此, 按计算顺序反推, 得最优更新策略是现机龄为 1 的旧机器继续使用到第 5 年末, 可使
5 年内的总利润最大, 最大总利润为 42, 即最优策略 x*
= ( K , K , K , K , K ) , f*
= 42.
4. 9 解 �( 1) B; C、D、G、H、I、L; F ; K
( 2) A、B、C
( 3) B; C
·221·
第 5 章 对策论模型
5. 1 重点、难点提要
1. 对策论的基本概念
( 1) 局中人
局中人也叫选手, 是对策中有权决定自己行动方案的参加者, 个数至少是 2, 个人或者
集体都可作为局中人, 有时也把大自然和人作为对策双方的局中人.
( 2) 策略
策略是局中人在整个决策过程中一系列行动的一个完整方案.
( 3) 得失
得失也叫支付或赢得, 是一局对策的利害结果.
( 4) 对策
也称“博奕”或“竞争”, 记 I = {1, 2, ⋯, n}为全体局中人; si 为局中人 i的策略; s=
( s1 , s2 , ⋯, sn ) 称为局势; H i( s) 为在每一局势中局中人 i的得失, 也称赢得函数. 称 Γ=〈I ;
{si}, i∈I ; {H i( s) }, i∈I〉为一个对策, 即对策由局中人、每个局中人的策略以及依赖于局
势的赢得函数所确定.
( 5) 零和对策与非零和对策
在任一局势下, 局中人的得失之和恒为零的对策, 称为零和对策. 相反的对策则称为非
零和对策.
对于非零和对策, 可虚增一局中人使其化为零和对策.
( 6) 矩阵对策
也称“两人有限零和对策”, 这种对策中有两个局中人, 一般用 Γ= {S Ⅰ , S Ⅱ ; A}表示. 其中
S Ⅰ , S Ⅱ分别表示局中人Ⅰ与Ⅱ的策略集, A= ( a ij ) m× n表示Ⅰ的赢得矩阵. 设 SⅠ = ( α1 , α2 , ⋯,
αm ) , SⅡ = ( β1 , β2 , ⋯, βn ) , A 的行数表示局中人Ⅰ的策略个数, 列数表示局中人Ⅱ的策略个
数, 元素 a ij表示局中人Ⅰ选择策略 i和局中人Ⅱ选择策略 j 的结果后, 局中人Ⅰ的得失.
( 7) 矩阵对策的最优纯策略
对于矩阵对策 Γ= {SⅠ , SⅡ ; A}, 若存在纯局势(αi* , βj * ) 使:
max1≤ i≤m
min1 ≤ j ≤n
a ij = min1 ≤ j ≤n
max1≤ i≤m
a ij = a i*
j* ,
则称局势(αi* , βj
* ) 为对策 Γ在纯策略下的解, αi* 和 βj
* 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策
略. a i* j * 称为对策 Γ的值, 记为 VΓ.
结论 1 矩阵对策 Γ= {SⅠ , SⅡ , A}在纯策略意义下有解的充要条件为: 存在纯局势
(αi* , βj * ) 使下列不等式成立:
a ij* ≤ ai
*j* ≤ a i
*j ( i= 1, 2, ⋯, m; j = 1, 2, ⋯, n) .
·321·
( 8) 矩阵对策的最优混合策略
对于矩阵对策 Γ= {S Ⅰ , S Ⅱ , A}, 其中, SⅠ = {α1 , α2 , ⋯, αm }, SⅡ = {β1 , β2 , ⋯, βn}, A=
( a ij ) m× n , 纯策略集合对应的概率向量
X = ( x1 , x 2 , ⋯, x m ) , x i ≥ 0, i= 1, 2, ⋯, m,
∑m
i= 1
x i = 1,
Y = ( y 1 , y 2 , ⋯, y n ) , y j ≥ 0, j = 1, 2, ⋯, n,
∑n
j = 1
y i = 1.
分别称为局中人Ⅰ与Ⅱ的混合策略. 这里, x i 是局中人Ⅰ选取 αi 的概率; y j 是Ⅱ选取 βj 的
概率.
在纯策略情况下, 对策的解可以看成是局中人以概率为 1 去选取某个纯策略.
设局中人Ⅰ的混合策略为 X= ( x 1 , x 2 , ⋯, x m ) , 局中人Ⅱ的混合策略为 Y= ( y 1 , y 2 , ⋯,
y n ) , 则值
E ( X, Y) = ∑m
i= 1∑
n
j = 1
a ij x iy j = XAYT
称为局中人Ⅰ的赢得. 而( X , Y)称为混合局势.
局中人Ⅰ的所有混合策略的全体记为 S*Ⅰ , 局中人Ⅱ的所有混合策略全体记为 S
*Ⅱ , 以
S*Ⅰ与 S
*Ⅱ为策略集合的对策, 叫混合扩充, 即把对策
Γ* = {S *Ⅰ , S *
Ⅱ ; E }
称为对策 Γ= {SⅠ , SⅡ ; A}的混合扩充. 如果存在混合局势( x* , y
* ) , 使
maxX∈S
*Ⅰ
minY∈S
*Ⅱ
E ( X, Y) = minY∈ S
*Ⅱ
maxX∈ S
*Ⅰ
E( X, Y) = E( X* , Y* ) ,
则称 ( X* , Y
* ) 为 Γ在混合策略下的解, X* 、Y
* 分别称为局中人Ⅰ, Ⅱ的最优混合策略,
X*
AY*
T
称为对策 Γ在混合意义下的值, 记为 VΓ*
结论 2 X* ∈S
*Ⅰ , Y
* ∈S*Ⅱ , 则( X
* , Y* ) 作为矩阵对策 Γ= ( SⅠ , SⅡ ; A) 在混合意义下
有解的充要条件是
E( X, Y* ) ≤ E ( X* , Y* ) ≤ E ( X* , Y) .
矩阵对策在纯策略意义下不一定有解, 但在混合扩充下一定存在最优解. 这就是如下的
结论 3.
结论 3 在混合扩充中, 任何矩阵对策都有解.
( 9) 两人有限非零和对策
两人有限非零和对策可用 Γ= {S Ⅰ , S Ⅱ ; ( A, B) }表示, 其中 SⅠ 和 S Ⅱ分别为局中人Ⅰ和
Ⅱ的纯策略集, SⅠ = {α1 , α2 , ⋯, αm }, S Ⅱ = {β1 , β2 , ⋯, βn}, 矩阵 A = ( a ij ) m× n 和矩阵 B =
( bij ) m× n分别为局中人Ⅰ与Ⅱ的赢得矩阵, 一般地 A+ B≠0.
两人有限非零和对策又称为双矩阵对策. 当 B= - A 时, 双矩阵对策就是矩阵对策.
( 10) 纳什均衡
对于非合作两人对策 Γ= {SⅠ , SⅡ ; ( A, B) }, 如果 αi* ∈S Ⅰ , βj * ∈SⅡ 分别是局中人Ⅰ和
·421·
Ⅱ的最优纯策略, 则称局势(αi* , βj
* ) 是一个纳什均衡. 设 A= ( a ij ) , B= ( bij ) , 纳什均衡满足
如下条件:
a ij * ≤ a i* j * , bi* j ≤ bi* j * .
( 11) 混合策略纳什均衡
设 A, B 分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的赢得矩阵, 且皆为 m× n 矩阵, 局中人Ⅰ、Ⅱ的混合策略
集为
S*Ⅰ = {X©¦x i ≥ 0, ∑
m
i= 1
x i = 1},
S*Ⅱ = {Y©¦y j ≥ 0, ∑
n
j = 1
y j = 1}.
如果一个混合局势( X*
, Y*
)同时满足
XAY* ≤ X* AY* , X* BY ≤ X* BY*
则称局势( X*
, Y*
) 是一个混合策略纳什均衡, 其中 X、Y 分别是局中人Ⅰ和Ⅱ的任意混合
策略.
2. 矩阵对策的一般解法
( 1) 线性规划法
任一矩阵对策 Γ= {SⅠ , SⅡ , A}的解 X* = ( x
*1 , x
*2 , ⋯, x
*m ) 和 Y
* = ( y*1 , y
*2 , ⋯, y
*n ) 为
下述两组不等式的解:
( 1°)
∑m
i= 1
a ij x i ≥ v
∑m
i= 1
x i = 1
x i ≥ 0
( 2°)
∑n
j = 1
a ij y j ≤ v
∑n
j = 1
y j = 1
y j ≥ 0
其中 v= VΓ*
为此, 作如下变换( 不妨设 v> 0) :
x i′=x i
v和 y j′=
y j
v, 于是不等式组( 1°) 和( 2°)等价于一对互为对偶的线性规划问题:
( P)
min Z = ∑m
i= 1
x i′
∑m
i= 1
aij x i′≥ 1
x i′≥ 0,
( D)
maxW = ∑n
j = 1
y j′
∑n
j = 1
a ij y j′≤ 1
y j′≥ 0.
·521·
其中 minZ = ∑m
i= 1
x i′即为局中人Ⅰ的期望赢得值 v=1Z达到最大, max W = ∑
n
j = 1
y j′即为局中
人Ⅱ的期望损失值 v=1
W达到最小.
当 v< 0 时, 可用如下结论处理:
结论 4 设矩阵对策 Γ= {S Ⅰ , SⅡ , A}和 Γ′= {SⅠ , SⅡ , A′}, 其中 A= ( a ij ) m× n , A′= ( a ij
+ k) m× n , k 为任一常数, 则 Γ和 Γ′的解相同, 且 vΓ′= vΓ+ k.
( 2) 2× n 对策的解法
( i) 2× 2 对策的公式法
设 A=a 11 , a 12
a 21 , a 22
, δ= ( a 1 1 + a 22 ) - ( a 12 + a 21 )
det A= a 11·a 22 - a 12·a2 2 , x*1 与 x
*2 为局中人Ⅰ的最优解, y
*1 和 y
*2 为局中人Ⅱ的最优解,
则有
x *1 =
a 22 - a 21
δ, x *
2 =a 11 - a 1 2
δ
y *1 =
a2 2 - a 12
δ, y*
2 =a 11 - a2 1
δ
VΓ =det Aδ
( ii) 2× n 对策的代数解法
( 3) 用优超法简化计算
给定矩阵对策 Γ= {SⅠ , SⅡ ; A}, 其中 S Ⅰ = {α1 , α2 , ⋯, αm }, SⅡ = {β1 , β2 , ⋯, βn}, A=
( a ij ) m× n , 如果第 k 行与第 l 行的所有元素均有
a kj ≥ a lj , j = 1, 2, ⋯, n
则称局中人Ⅰ的第 k 个纯策略 αk 优超于第 l 个纯策略 αl; 如果第 p 列与第 q 列的所有元素
均有
a ip ≤ aiq , i= 1, 2, ⋯, m
则称局中人Ⅱ的第 p 个纯策略 βp 优超于第 q 个纯策略 βq .
如果发现局中人Ⅰ的策略 αk 优超于 αl , 就可以在 A 中把第 l 行划去, 且在最优混合策
略中必有 x*l = 0. 如果发现局中人Ⅱ的策略 βp 优超于 βq , 就可以在 A 中把第 q 列划去, 且
在最优混合策略中必有 y*q = 0.
( 4) A 为特殊矩阵的情况
( i) A 为对角矩阵
设 Γ= {SⅠ , S Ⅱ , A}, A 为 n 阶对角矩阵, 主对角线上元素为 a 1 1 , a 22 , ⋯, a nn , 若 a 11 ,
a 2 2 , ⋯, a nn符号相同, 则 X*
= Y*
=λ
a 11,
λa2 2
, ⋯,λ
ann, 且 VΓ= λ. 其中
λ= ∑n
i= 1
a - 1ii
- 1
.
( ii) A 的各行各列元素之和相等的情况
设 Γ= {SⅠ , SⅡ , A}, A 为 n× n 矩阵, 若
·621·
∑n
j = 1
aij = b, i= 1, 2, ⋯, n
∑n
i= 1
aij = b, j = 1, 2, ⋯, n
则 X* = Y* =1n
,1n
, ⋯,1n
,
且 VΓ =bn
.
3. 两人有限非零和对策的解法
( 1) 纯策略纳什均衡
对非合作两人对策 Γ= {SⅠ , SⅡ ; ( A, B) }, 求纳什均衡的方法步骤如下:
第一步: 在双矩阵对策( A, B) 表中, 对于矩阵 A 的每列, 分别找出赢得最大的数字, 并
在其下划一横线;
第二步: 在双矩阵对策( A, B) 表中, 对于矩阵 B 的每行, 分别找出赢得最大的数字, 并
在其下划一横线;
第三步: 如果表中某格的两个数字下面都被划有横线, 则此格对应于两个局中人相应
策略的组合就是一个纯策略下的纳什均衡, 否则, 该对策不存在纯策略下的纳什均衡.
( 2) 混合策略纳什均衡
5. 2 主要解题方法和典型例题分析
1. 有鞍点的最优纯策略问题
其解题步骤是:
第一步, 确定赢得矩阵 A 各行中的最小值, 并在该数字上加圈;
第二步, 确定 A 各列中的最大值, 并在该数字上加框;
第三步, 若 A 中的某元素同时被圈和框住, 则该元素即为对策的值, 该元素所在的行和
列相应的策略则分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略.
例 1 给定一个矩阵对策 Γ, 其赢得矩阵为
A =
6 5 6 5
1 4 2 - 1
8 5 7 5
0 2 6 2
.
求此对策的最优纯策略和最优值.
解 求解结果如下矩阵所示:
A=
6 ⑤ 6 ⑤
1 4 2 - 1○8 ⑤ 7 ⑤
� 2 6 2
·721·
由此可知, 局中人Ⅰ的最优解为 α1 或 α3 , 局中人Ⅱ的最优解为 β2 或 β4 , 最优值 VΓ= 5.
注: 此例说明, 对策的解可以不惟一, 但值是惟一的.
2. 无鞍点的混合策略问题
( 1) 用线性规划法求解
例 2 某小城市有两家超级市场相互竞争, 超级市场 A 有三个广告策略, 超级市场 B 也
有三个广告策略. 已经算出当双方采取不同的广告策略时, A 方所占市场份额增加的百分数
如下:
策略B
1 ~2 �3 �
A
1 �
2
3
3 ~
0
2
0 �
2
- 1
2 �
0
4
把此对策问题表示成一个线性规划模型, 并用单纯形法求解此对策.
解 由 maxi
minj
a ij = 0, minj
maxi
aij = 2, 知 v> 0.
先求 B 的最优策略, 设 B 的策略为 ( y 1′, y2′, y 3′) , 对策值为 v, 并令 y1 =y1′v
, y2 =y 2′v
,
y 3 =y 3′v
, 则 B 问题的线性规划模型为
max W = y1 + y2 + y 3 ,
s . t .
3y 1 + 2y3≤ 1
2y 2 ≤ 1
2y 1 - y 2 + 4y3≤ 1
y1 , y2 , y3≥ 0.
相应的单纯形表如表 5. 1 所示.
表 5. 1 初 始 表
YB b y1 y2 y3 -s1 Qs2 �s3 �
s1 T1 ![ 3 �] 0 �2 1 N0 |0 �
s2 T1 !0 �2 �0 0 N1 |0 �
s3 T1 !2 �- 1 4 0 N0 |1 �
W 0 !- 1 !- 1 - 1 N0 N0 |0 �
y1 ]1 !3
1 �0 �2 3
1 N3
0 |0 �
s2 T1 !0 �[ 2 �] 0 0 N1 |0 �
s3 T1 !3
0 �- 1 8 3
-2 |3
0 |1 �
W1 !3
0 �- 1 -1 N3
1 N3
0 |0 �
·821·
续表
YB b y1 y2 y3 -s1 Qs2 �s3 �
y1 ]1 !3
1 �0 �2 3
1 N3
0 |0 �
y2 ]1 !2
0 �1 �0 0 N1 |2
0 �
s3 T5 !6
0 �0 �8 3
-2 |3
1 |2
1 �
W5 !6
0 �0 �-1 N3
1 N3
1 |2
0 �
最终表
y1 �1 !8
1 �0 �0 1 N2
-1 �8
-1 �4
y2 �1 !2
0 �1 �0 0 N1 |2
0 �
y3 �5 !16
0 �0 �1 -1 |4
3 |16
3 �8
W15 816
0 �0 �0 1 N4
9 |16
1 �8
因此, V=1615
.
( y*1 , y
*2 , y
*3 ) =
1615
18
,12
,5
16
T
=215
,8
15,
515
T
.
A 的最优策略( 对偶问题的最优解)为
( x*1 , x
*2 , x
*3 ) =
1615
14
,9
16,
18
T
=4
15,
915
,2
15
T
.
例 3 已知矩阵对策 Γ, 局中人为 A 与 B, A 的赢得矩阵为
- 3 - 1 1 0
- 1 - 2 - 2 - 1
0 1 - 1 - 3
求对策的最优混合策略与对策的值.
解 由maxi
minj
aij = - 2, minj
maxi
a ij = 0, 知- 2< V< 0. 将上面的赢得矩阵中各元素
都加上 3, 得新的赢得矩阵:
0 2 4 3
2 1 1 2
3 4 2 0
局中人 B 的线性规划模型为
max W = y1 + y 2 + y 3 ,
s . t.
2y2 + 4y3 + 3y 4≤ 1
2y 1 + y2 + y3 + 2y 4≤ 1
3y 1 + 4y2 + 2y3 ≤ 1
y1 , y 2 , y3 , y4 ≥ 0
以 s1 , s2 , s3 为松弛变量, 可求得最优单纯形表如表 5. 2 所示.
·921·
表 5. 2
YB b y1 y2 �y3 �y4 rs1 :s2 �s3 �
y3 ]1 !4
0 �1 �2
1 �3 e4
1 64
0 �0 �
y2 ]5 !12
0 �-3 �2
0 �9 e4
1 612
1 �-2 �3
y1 ]1 !6
1 �1 �0 �-1 �2
-1 e6
0 �1 �3
W 5 �/ 12 0 �1 �2
0 �1 e4
1 612
0 �1 �3
由此 B 的 最优 策略 为125
16
, 0,14
, 0 =25
, 0,35
, 0 , A 的最 优策 略为125
112
, 0,13
=15
, 0,45
, 对策值 V=125
- 3= -35
.
( 2) 2× 2 对策的公式法
例 4 给定一个矩阵对策 Γ= {SⅠ , SⅡ , A}, S Ⅰ = {α1 , α2 }, SⅡ = {β1 , β2 }, A=1 3
4 2, 求
对策的最优值与对策值.
解 由于maxi
minj
aij = 2, minj
maxi
aij = 3,
故
maxi
minj
a ij ≠ minj
maxi
a ij .
因而对策没有纯策略意义下的解.
因为 a 1 1 = 1, a 12 = 3, a 21 = 4, a 22 = 2,
所以 δ= a 11 + a 22 - ( a 12 + a 21 ) = - 4, det A= a 11 a2 2 - a1 2·a 21 = - 10.
所以 对策在混合意义下的最优解为:
x*1 =
a 22 - a 21
δ=
2 - 4- 4
=12
,
x*2 =
a 11 - a 12
δ=
1 - 3- 4
=12
,
y*1 =
a2 2 - a 12
δ=
2 - 3- 4
=14
,
y*2 =
a1 1 - a 21
δ=
1 - 4- 4
=34
,
V =det Aδ
=- 10- 4
=52
.
由此, 局中人Ⅰ的最优混合策略为 X*
=12
,12
, 局中人Ⅱ的最优混合策略为 Y*
=
14
,34
, 对策的值为 V=52
.
3. 2× n 对策的代数法与图解法
例 5 用图解法求解下面 2× 2 对策:
·031·
策略B
1 �2 �
A1 �
2
4 �
0
3 �
6
解 对局中人 A , 图解的图形如图 5. 1:
图 5. 1
其中 \l 1 : v= 4x 1
l 2 : v= - 3x 1 + 6
A 的最优策略为 x*1 =
67
, x*2 =
17
, V= 337
对局中人 B, 图解如图 5. 2 所示:
图 5. 2
其中 \l 1 : v= ( a 11 - a1 2 ) y1 + a 12 = y1 + 3,
l 2 : v= ( a 21 - a2 2 ) y1 + a 22 = - 6y 1 + 6.
·131·
B 的最优策略为 y*1 =
37
, y*2 =
47
, V= 337
.
例 6 用图解法求解下列矩阵对策:
( 1)
策略
B
1 2 t3 �
A1 �
2
1
4
3 t
2
5 �
1
( 2)
策略
B
1 *2 �
A
1 �2
3
4
2 *3
4
5
8 �4
6
2
解 ( 1) 这是一个 2× 3 对策. 对局中人 A , 图解的图形如图 5. 3 所示.
图 5. 3
其中: Jl 1 : v= - 3x 1 + 4,
l 2 : v= x 1 + 2,
l 3 : v= 4x 1 + 1.
由图 5. 3 可知, 直线 l 1 与 l 2 的交点是最大最小化点, 它满足方程
- 3x 1 + 4 = x1 + 2.
由此解得 x*1 = 0. 5, x
*2 = 0. 5, V= 2. 5.
又由直线 l 1 与 l 2 过最大最小化点, 可知 y*3 = 0, y
*1 = 1- y
*2 , 原矩阵可简化为
1 3
4 2
在直角坐标平面可得两条相交直线:
l 4 : v = - 2y 1 + 3,
l 5 : v = 2y 1 + 2.
令
- 2y1 + 3 = 2y1 + 2
解得 y*1 = 0. 25, 从而 y
*2 = 0. 75.
·231·
总之, A 的最优混合策略为 X*
= ( 0. 5, 0. 5) , B 的最优混合策略为 Y*
= ( 0. 25, 0. 75,
0) , 而对策值 V= 2. 5.
( 2) 这是一个 4× 2 对策
先求 B 的最优策略, 图解的图形如图 5. 4 所示.
图 5. 4
其中 \l 1 : v= - 6y1 + 8,
l 2 : v= - y 1 + 4,
l 3 : v= - 2y1 + 6,
l 4 : v= 3y1 + 2.
如图 5. 4, 因直线 l 3 与 l 4 的交点是最小最大化点, 因此令
- 2y 1 + 6 = 3y 1 + 2.
得 y*1 = 0. 8, y
*2 = 0. 2; 且可知 x
*1 = x
*2 = 0, x
*3 = 1- x
*4 , 原矩阵可简化为
4 6
5 2
在直角坐标平面 x 3 ov 上可得两条相交直线:
l 5 : v = - x 3 + 5,
l 6 : v = 4x 3 + 2.
令 - x 3 + 5 = 4x3 + 2,
得 x*3 = 0. 6, 从而 x
*4 = 0. 4.
因此, A 的最优策略 X* = ( 0, 0, 0. 6, 0. 4) , B 的最优策略为 Y
* = ( 0. 8, 0. 2) , 而对策值
V= 4. 4.
例 7 用代数法求解例 6 中的矩阵对策.
解 ( 1) 此对策有 3 个子对策, 相应的赢得矩阵为
A1 =1 3
4 2, A2 =
1 5
4 1, A3 =
3 5
2 1
分别求以 A1 , A2 , A3 为赢得矩阵相应子对策的值:
·331·
vA1
=52
, vA2
=197
, vA3
= 3.
取 vΓ= min {vA1, vA
2, vA
3}= vA
1=
52
.
子对策 GA1的解为
x*1 =
12
, x*2 =
12
, y*1 =
14
, y*2 =
34
.
其中 A1 由 A 的第 1、2 列组成. 因此 y*3 = 0.
所以 X* =
12
,12
, Y* =
14
,34
, 0 , v=52
.
( 2) 此对策有 6 个子对策, 相应的赢得矩阵为:
A1 =2 8
3 4, vA
1= 3.
A2 =2 8
4 6, vA
2= 4.
A3 =2 8
5 2, vA
3= 4.
A4 =3 4
4 6, vA
4= 4.
A5 =3 4
5 2, vA
5=
72
.
A6 =4 6
5 2, vA
6=
225
.
所以 vΓ = max1≤i≤ 6
{vAi} =
225
.
相应于 A6 可得:
x*3 =
35
, x*4 =
25
, y*1 =
45
, y*2 =
15
.
同时可知:
x*1 = x
*2 = 0.
所以
X*
= 0, 0,35
,25
, Y*
=45
,15
,
v =225
.
4. 用优超法简化计算
例 8 给定一个矩阵对策 Γ, 其赢得矩阵为
·431·
A =
3 4 0 3 0
5 0 2 5 9
7 3 9 5 9
4 6 8 7 6
6 0 8 8 3
.
求对策 Γ的解与值.
解 A 的第 4 行比第 1 行对应元素大, 即 α4 优超于 α1 , 删去第 1 行, 同理 α3 优超于 α2 ,
删去第 2 行, 得矩阵
A1 =
7 3 9 5 9
4 6 8 7 6
6 0 8 8 3
.
在 A1 中, 第 3 列比第 1 列对应元素大, 即 β1 优超于 β3 , 删去第 3 列, 同理 β2 优超于 β4
和 β5 , 删去第 4、5 列得矩阵
A2 =
7 3
4 6
6 0
α3
α4
α5
.
β1 β2
在 A2 中, α3 优超于 α5 , 删去 α5 得矩阵
A3 =7 3
4 6
α3
α4
β1 β2
解 A3 所对应的矩阵对策得
x*3 =
13
, x*4 =
23
, y*1 =
12
, y*2 =
12
, v = 5.
显然, x*1 = x
*2 = x
*5 = 0, y
*3 = y
*4 = y
*5 = 0.
所以局中人Ⅰ的最优策略为 X* = 0, 0,
13
,23
, 0 , 局中人Ⅱ的最优策略为 Y* =
12
,12
, 0, 0, 0 , 对策值 v= 5.
( 5) A 为特殊矩阵的情况
当矩阵 A 为对角阵或 A 的各行各列元素之和相等时, 可借助如下的互补松弛定理
求解.
定理 如果( x*
, y*
) 是对策 Γ的最优混合局势, 则对某一个 i或 j 来说:
( 1) 若 x*i ≠0, 则 ∑
n
j = 1
a ij y *j = v
( 2) 若 y*j ≠0, 则 ∑
m
i= 1
a ij x *i = v
例 9 求解矩阵对策 Γ= {S Ⅰ , S Ⅱ , A}, 其中
·531·
A =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
.
解 A 为对角矩阵, 可设 x*i ≠0, i= 1, 2, 3, y
*j ≠0, j = 1, 2, 3, Γ在混合意义下的解, 满
足如下两组不等式:
x 1 ≥ v
2x 2 ≥ v
3x 3 ≥ v
x 1 + x 2 + x 3 = 1
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
,
y 1 ≤ v
2y2 ≤ v
3y3 ≤ v
y 1 + y 2 + y3 = 1
y 1 , y 2 , y3 ≥ 0
.
因 x*i 与 y
*j ≠0, 由互补松弛定理, 上述两组不等式取等号:
x 1 = v
2x 2 = v
3x 3 = v
x 1 + x 2 + x 3 = 1
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
,
y 1 = v
2y2 = v
3y3 = v
y 1 + y 2 + y3 = 1
y 1 , y 2 , y3 ≥ 0
.
解得
X*
= Y*
=6
11,
311
,211
, v =6
11.
5. 3 习 题
5. 1 判断下列说法是否正确.
( 1) 矩阵对策中, 如果最优解要求一个局中人采取纯策略, 则另一局中人也必须采取纯
策略.
( 2) 矩阵对策中当局势达到均衡时, 任何一方单方面改变自己的策略( 纯策略或混合策
略)将意味着自己更少的赢得或更大的损失.
( 3) 任何矩阵对策一定存在混合策略意义下的解, 并可以通过求解两个互为对偶的线
性规划问题得到.
( 4) 矩阵对策的对策值相当于进行若干次对策后, 局中人Ⅰ的平均赢得值或局中人Ⅱ
的平均损失值.
5. 2 甲、乙两名儿童玩猜拳游戏. 游戏中双方可分别出拳头 ( 代表石头) , 手掌 ( 代表
布) , 两个手指(代表剪刀) , 规则是剪刀赢布, 布赢石头, 石头赢剪刀, 赢者得一分, 若双方所
出相同, 算和局, 均不得分. 试列出游戏中儿童甲的赢得矩阵.
5. 3 A, B 两人分别有 1 角、5 分和 1 分的硬币各一枚. 在双方互不知道的情况下, 各出
一枚硬币, 并规定当和为奇数时, A 赢得 B 所出硬币; 当和为偶数时, B 赢得 A 所出硬币. 试
据此列出两人零和对策的模型, 并说明该项游戏对双方是否公平合理.
·631·
5. 4 两个游戏者分别在纸上写{0, 1, 2} 三个数字中的任一个, 且不让对方知道. 先让
第一个人猜两人所写数字总和, 再让第二个人猜, 但规定第二个人猜的数不能与第一个人相
同. 猜中者赢得 1 分, 否则得零分. 试回答两个游戏者各有多少个纯策略.
5. 5 设有参加对策的局中人 A 和 B, A 的赢得矩阵如表 5. 3 所示, 求最优纯策略和对
策值.
表 5. 3
A 策 略B 策 略 β1 �β2 �β3 �β4 �
α1 q
α2
α3
8 �
8
7
6 �
9
5
2 �
4
3
8 �
5
5
5. 6 A, B 两家公司的产品竞争性推销, 它们各控制市场的 50% . 最近这两家公司都改
进了各自的产品, 现在都准备发动新的广告宣传. 如果这两家公司都不做广告, 那么平分市
场的局面将保持不变, 但如果有一家公司发动一次强大的广告宣传, 那么另一家公司将按比
例 地失去其一定数量的顾客. 市场调查表明, 潜在顾客的 50% 可以通过电视广告争取到,
30% 通过报纸, 其余的 20% 可通过无线电广播争取到, 现每一家公司的目标是要选择最有
利的宣传手段.
( 1) 把这个问题表达成一个两人零和的对策, 写出局中人 A 的赢得矩阵.
( 2) 这个对策有鞍点吗?A , B 两公司的最优策略各是什么?对策值为多少?
5. 7 三河城由汇合的三条河分割为三个区, 如图 5. 5 所示. 城市居民 40% 住在 A 区,
30% 住在 B 区, 30% 住在 C 区. 目前, 三个区没有溜冰场, 两个公司甲和乙都计划要在城中
修建溜冰场, 公司甲打算修建两个, 公司乙只打算修建一个. 每个公司都知道, 如果在城市的
某一个区内设有两个溜冰场, 那么这两个溜冰场将把该区的业务平分; 如果某一区只有一个
溜冰场, 则该场独揽该区的全部业务, 如果在一个区内没有修建溜冰场, 则该区的业务将平
均分散在城市的三个溜冰场中. 每个公司都想把溜冰场设在营业额最多的地方.
( 1) 把这个问题表达成一个两人零和对策, 写出公司甲的赢得矩阵.
( 2) 这个对策有鞍点吗?如果有, 将有几个鞍点?甲、乙公司的最优策略各是什么?在双
方都取最优策略时, 两家公司各占有多大的市场份额?
C
30 �%
B
30 �%
A
40 �%
图 5. 5
5. 8 在下列矩阵中确定 p 和 q 的取值范围, 使得该矩阵在( a , b) 交叉处存在鞍点.
·731·
b1 b2 b3 b1 b2 b3
( 1)
a 1
a 2
a 3
1 q 6
p 5 10
6 2 3
, ( 2)
a 1
a 2
a 3
2 4 5
10 7 q
4 p 6
.
5. 9 已知下列各对策的赢得矩阵, 试用图解法求出甲、乙各自的最优策略及对策值.
( 1) A = 5 0 4
2 7 5 , ( 2) A =
4 - 3
2 1
- 1 3
.
5. 10 用公式法求解下列 2× 2 矩阵对策 Γ( SⅠ , SⅡ , A) , 其中 A 为
( 1) A = 1 3
4 2 , ( 2) A =
4 3
0 6 .
5. 11 用代数法和图解法求解下列 2× 3 矩阵对策:
A =2 3 11
7 5 2 .
5. 12 用迭代法求解下列矩阵对策 P ( S Ⅰ , SⅡ , A) :
A =
7 2 9
2 9 0
9 0 11
.
5. 13 用线性规划方法求解下列矩阵对策问题:
( 1) A =
3 - 1 - 3
- 3 3 - 1
- 4 - 3 2
, ( 2) A =
1 2 3
4 0 1
2 3 0
.
5. 14 求解下列矩阵对策, 其中赢得的矩阵 A 分别为 �
( 1)
2 2 1
3 4 4
2 1 6
, ( 2)
2 7 2 1
2 2 3 4
3 5 4 4
2 3 1 6
,
( 3)
1 0 3 4
- 1 4 0 1
2 2 2 3
0 4 1 1
, ( 4)
3 4 0 3 0
5 0 2 5 9
7 3 9 5 9
4 6 8 7 6
6 0 8 8 3
.
5. 15 已知矩阵对策
A =
1 2 5
8 4 7
- 1 5 - 6
的解为 X*
= ( 0, 11/ 14, 3/ 14) , Y*
= ( 0, 13/ 14, 1/ 14) , 对策值为 59/ 14, 求下列矩阵对策的
解和对策值:
·831·
( a)
3 4 7
10 6 9
1 7 - 4
, ( b)
- 1 2 - 2
1 4 5
2 - 9 - 4
, ( c)
8 10 16
24 14 20
6 16 - 6
.
5. 16 已知表 5. 4 中对策局中人 B 的最优策略为 x * = 0. 6, y* = 0. 4, 求局中人 A 的
最优策略和对策值.
表 5. 4
局中人 B
局中人 A β1 �β2 [
α1 �
α2
α3
- 2 �
3
1
4 N
2
5
5. 17 考虑科洛奈的对策. 对策中的科洛奈和他的敌人都企图夺取两个战略位置. 科
洛奈和敌人可利用的兵团分别是 2 个和 3 个. 双方都将把他们的兵团分布在两个位置附近.
设 n1 和 n2 是科洛奈分配到位置 1 和 2 处的兵团数, m 1 和 m 2 是敌人分配到位置 1 和 2 处的
兵团数. 科洛奈的规则如下: 如果 n1 < m1 , 则他将失去 n1 + 1, 同样, 如果 n2 < m 2 , 则失去
n2 + 1; 反之, 如果 n1 > m 1 , 他则赢得 m 1 + 1, 如果 n2 > m 2 , 则赢得 m 2 + 1, 如果双方在某
位置处的兵团数相等, 则在该处为平局.
( 1) 把这个问题表示成一个两人零和对策, 写出科洛奈的赢得矩阵.
( 2) 求此对策的解和对策值.
5. 18 在一场敌对的军事行动中, 甲方拥有三种进攻性武器 A1 , A2 , A 3 , 可分别用于摧
毁乙方工事; 而乙方有三种防御性武器 B 1 , B 2 , B 3 来对付甲方, 据平时演习得到的数据, 各种
武器间对抗时, 相互取胜的可能如下:
A 1 对 B 1 2∶ 1; A2 对 B 1 3∶ 7;
A 1 对 B 2 3∶ 1; A2 对 B 2 3∶ 2;
A 1 对 B 3 1∶ 2; A2 对 B 3 1∶ 3;
A 3 对 B 1 3∶ 1; A3 对 B 3 2∶ 1;
A 3 对 B 2 1∶ 4.
试确定甲、乙双方使用各种武器的最优策略, 回答总的结果对甲、乙哪方有利?
5. 19 给定一矩阵对策, 其赢得矩阵为
A =
0 1 2
- 1 0 3
- 2 - 3 0
.
验证( 1) 若( X* , Y* ) 是解, 则( Y* , X* ) 也是其解; ( 2) 对策的值是 0.
5. 20 每行与每列均包含有整数 1, ⋯, m 的 m× m 矩阵称为拉丁方. 例如, 一个 4× 4
的拉丁方为
·931·
1 3 2 4
2 4 3 1
3 1 4 2
4 2 1 3
.
试证明: 对策矩阵为拉丁方的 m× m 的矩阵对策值为( m + 1) / 2.
5. 21 囚犯两难问题. 有两人因藏有被盗物品而被捕. 两人都明白, 如果两人均拒不承
认盗窃, 则现有证据不足以判盗窃罪, 而只能以窝藏赃物罪判 1 年徒刑; 如果两人都招认, 则
判 8 年徒刑, 如果其中一人招认而另一人拒不坦白, 则坦白者从宽处理可获释放, 抗拒者从
严处理将判 10 年徒刑. 列出此问题的非零和对策模型, 并求纳什均衡解.
5. 22 夫妻争执问题. 一对夫妻为晚上到哪里玩, 争执不下, 妻子想去剧院, 丈夫想去
看足球. 他们相亲相爱, 一定要两人同去一个地方. 假定若夫妻同去看足球, 则妻子的满意程
度为 1, 丈夫为 4; 若同去剧院则妻子的满意程度为 4, 丈夫为 1; 若不同去, 则夫妻的满意程
度均为 0. 试求此对策问题的纳什均衡解.
5. 23 求表 5. 5 中双矩阵对策的混合纳什均衡解.
表 5. 5
甲乙
β1 ]β2 �
α1 p( 0 !, 0) ( 2 N, 1)
α2 p( - 2 �, - 1) ( 3 �, - 2)
5. 4 习 题 解 答
5. 1 解 ( 1) 错. 当一个矩阵对策的鞍点不惟一时, 结论不正确. 例如:
A=
2 0
1 1
α1
α2
β1 β2
,
对策的鞍点为 1. 因此, 局中人Ⅰ选择纯策略 α2 , 而局中人Ⅱ采取混合策略各以概率12选取
β1 与 β2 .
( 2) 对.
( 3) 对.
( 4) 错. 当矩阵对策有惟一的鞍点时, 局中人采取纯策略.
5. 2 解
乙
石子 剪刀 布
甲
石子
剪刀
布
0 1 - 1
- 1 0 1
1 - 1 0
.
·041·
5. 3 解 Γ= {SⅠ , SⅡ , P}, 其中 SⅠ = {1, 5, 10}, S Ⅱ = {1, 5, 10}, 矩阵 P 为
B
1 5 10
A
1
5
10
- 1 - 1 10
- 5 - 5 10
1 5 - 10
.
即
P =
- 1 - 1 10
- 5 - 5 10
1 5 - 10
α1
α2
α3
.
β1 β2 β3
用优超法化简得
P 1 =- 1 10
1 - 10
α1
α3
.
β1 β3
解得 x*1 =
12
, x*3 =
12
, y*1 =
1011
, y*3 =
111
, v= 0.
另, 显然有 x*2 = y
*2 = 0.
所以, X* =
12
, 0,12
, Y* =
1011
, 0,1
11, v= 0, 该项游戏对双方公平合理.
5. 4 解 游戏者Ⅰ的纯策略可分两步: ① Ⅰ写出数字 0、1、2 中的一个, 用 a 表示, 共
3 种情况; ② Ⅰ猜出所写数字之和, 和数的可能值为 0, 1, 2, 3, 4, 用 b 表示, 共 5 种情况, 因
此游戏者Ⅰ的纯策略有 3× 5= 15 种. 第二个人纯策略用( c, d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 ) 表示, c 为Ⅱ写
的数, 有 3 种选择, d i 为等第一人猜数后第二人猜的数, di∈{0, 1, 2, 3, 4}\ {b}, 有 4 种选择,
故第二人纯策略数为 3× 45= 3072 种.
初学者很容易想到如下解法; 游戏者Ⅱ的纯策略可按如下线路图分析:
因此游戏者Ⅱ的纯策略有 3× 5× 4= 60 种. 这种解法是错误的, 因为纯策略是一个完整
的方案, 而不是其中的某一步.
·141·
5. 5 解
minj
a1 j = 2, minj
a 2j = 4, minj
a 3j = 3,
因而 maxi
minj
a ij = 4 = a 23 .
maxi
a i1 = 8, maxi
ai2 = 9, maxi
a i3 = 4, maxi
a i4 = 8,
因而 minj
maxi
a ij = 4 = a 23 .
所以, 局中人 A 的最优纯策略为 α2 , 局中人 B 的最优纯策略为 β3 , 对策值 v= 4.
5. 6 解 ( 1) 两家公司各自可选用的纯策略有: 1——不做任何广告; 2——做电视广
告; 3——做报纸广告; 4——做无线电广告; 5——做电视和报纸广告; 6——做电视和无线电
广告; 7——做报纸和无线电广告; 8——做电视、报纸和无线电广告.
依题意, 可知公司 A 的赢得矩阵如表 5.6( 矩阵中的数据为百分数)所示.
表 5. 6
A 策略
B 策略 1 !2 �3 �4 �5 e6 67 �8 �
1 P0 !- 50 8- 30 �- 20 �- 80 �- 70 |- 50 M- 100 5
2 P50 80 �20 �30 �- 30 �- 20 |0 �- 50 �
3 P30 8- 20 80 �10 �- 50 �- 40 |- 20 M- 70 �
4 P20 8- 30 8- 10 �0 �- 60 �- 50 |- 30 M- 80 �
5 P80 830 �50 �60 �0 e10 M30 �- 20 �
6 P70 820 �40 �50 �- 10 �0 620 �- 30 �
7 P50 80 �20 �30 �- 30 �- 20 |0 �- 50 �
8 P100 O50 �70 �80 �20 |30 M50 �0 �
( 2) 因为maxi
minj
a ij = minj
maxi
a ij = a8 8 = 0.
所以, 此对策有一个鞍点 a8 8 , A, B 两公司的最优纯策略都是策略 8, 即同时进行电视、
报纸和无线电广播的广告宣传, 对策值 v= 0.
5. 7 解 显然, 公司甲不会考虑把两个溜冰场建在同一个区的方案, 因此, 甲、乙两公
司所能采用的策略各有下面三种:
公司甲:
策略 A B C
1 /1 �1 �0 �
2 /1 �0 �1 �
3 /0 �1 �1 �
公司乙:
策略 A B C
1 �1 �0 �0 �
2 �0 �1 �0 �
3 �0 �0 �1 �
表中的数字 1 表示在该区建一个溜冰场, 0 表示在该区不建溜冰场.
设市场总份额为 100, 则甲的赢得矩阵为
·241·
表 5. 7
甲策略 乙策略 1 �2 �3 �
1 �70 �75 �70 �
2 �70 �70 �75 �
3 �60 �72 �72 �
因为 maxi
minj
a ij = minj
maxi
aij = a1 1 = a 21 = 70. 这个对策有两个鞍点 a 11和 a 21 . 公司
甲的最优纯策略是 1 或 2, 即在 A, B 两区或 A、C 两区各修建一个溜冰场; 公司 B 的最优纯
策略是在 A 区修建一个溜冰场. 对策值 v= 70, 即甲公司将占有 70% 的市场份额, 乙公司将
占有 30% 的市场份额.
5. 8 解 ( 1) a 22 = 5 为所在行的最小数, 所在列的最大数. 即
a i2 ≤ a 22 ≤ a 2j , i, j = 1, 2, 3.
得
p ≥ 5, q ≤ 5.
( 2) 同理可得 p≤7, q≥7.
5. 9 解 ( 1) 先求局中人Ⅰ的最优策略, 设 X*
= ( x*1 , 1- x
*1 ) , 则在平面直角坐标系
x 1 ov 上存在三条直线:
l 1 : v = 3x 1 + 2,
l 2 : v = - 7x 1 + 7,
l 3 : v = - x 1 + 5.
图 5. 6
由图 5. 6 可知, 直线 l 1 与 l 2 的交点为极大极小化点. 令
3x 1 + 2 = - 7x 1 + 7.
得 x*1 =
12
, 所以 x*2 =
12
, v =72
.
·341·
由于 l 3 不过此交点, 可知 y*3 = 0, 令 y
*2 = 1- y
*1 , 矩阵可简化为
5 0
2 7.
由矩阵得
l 4 : v = 5y1 ,
l 5 : v = - 5y1 + 7.
令 5y1 = - 5y1 + 7,
得 y *1 =
710
, 所以 y *2 =
310
.
所 以, 局中 人 Ⅰ的 最 优策 略 为 X* =
12
,12
, 局中 人 Ⅱ的 最优 策 略 为 Y* =
710
,3
10, 0 , 对策值 v=
72
.
( 2) 先求局中人Ⅱ的最优策略, 设 Y* = ( y
*1 , 1- y
*1 ) , 则在平面直角坐标系 y1 ov 上存
在三条直线:
l 1 : v = 7y 1 - 3,
l 2 : v = y1 + 1,
l 3 : v = - 4y 1 + 3.
图 5. 7 中的极小极大化点为 l 2 与 l 3 的交点, 令
y1 + 1 = - 4y1 + 3.
图 5. 7
得 y*1 =
25
, 所以 y*2 =
35
, v=75
.
令 x*1 = 0, 矩阵可简化为
2 1
- 1 3
设 x*3 = 1- x
*2 , 由矩阵得
l 4 : v = x 2 + 1,
·441·
l 5 : v = - 4x 2 + 3.
令 x 2 + 1 = - 4x 2 + 3,
得 x*2 =
25
, x*3 =
35
.
所以, 局中人Ⅰ的最优策略为 X* = 0,
25
,35
, 局中人Ⅱ的最优策略为 Y* =
25
,35
, 对策值 v=75
.
5. 10 解 ( 1) δ= a 1 1 + a 22 - ( a1 2 + a 21 ) = 1+ 2- ( 3+ 4) = - 4, det A= a 11 ·a 2 2 - a1 2·
a 2 1 = - 10.
x *1 =
a 22 - a 21
δ=
2 - 4- 4
=12
,
x*2 =
a 11 - a 13
δ=
1 - 3- 4
=12
,
y*1 =
a2 2 - a 12
δ=
2 - 3- 4
=14
,
y*2 =
a1 1 - a 21
δ=
1 - 4- 4
=34
,
v =det Aδ
=- 10- 4
=52
.
( 2) 因为maxi
minj
a ij = 3, minj
maxi
a ij = 4, 3≠4. 此策略无纯策略解, 可用公式法求解,
同( 1)可得:
x *1 =
67
, x *2 =
17
, y*1 =
37
, y *2 =
47
, v =247
.
5. 11 解 ( 1) 先用代数法求解, A 的三个子策略矩阵及对策值为:
A1 =2 3
7 5, vA
1= 5,
A2 =2 11
7 2, vA
2=
7314
,
A3 =3 11
5 2, vA
3=
4911
,
vΓ = min1≤ i≤ 3
vAi=
4911
= vA3.
对 A3 可得:
x*1 =
311
, x*2 =
811
, y*2 =
911
, y*3 =
211
,
所以
X*
=3
11,
811
, Y*
= 0,9
11,
211
, v =4911
.
( 2) 再用图解法求解. 设局中人Ⅰ的最优策略为 X*
= ( x*1 , 1- x
*1 ) , 有:
l 1 : v = - 5x 1 + 7,
·541·
l 2 : v = - 2x 1 + 5,
l 3 : v = 9x 1 + 2.
图 5. 8
极大极小化点为 l 2 与 l 3 的交点, 令
- 2x 1 + 5 = 9x 1 + 2,
得 x*1 =
311
, x*2 =
811
, v =4911
.
令 y*1 = 0, y
*3 = 1 - y
*2 ,
在矩阵
3 11
5 2
中, 有:
l 4 : v = - 8y2 + 11,
l 5 : v = 3y 2 + 2.
令 - 8y 2 + 11 = 3y 2 + 2,
得 y*2 =
911
, y*3 =
211
.
5. 12 (略)
5. 13 解 ( 1) 因为maxi
minj
a ij = - 3, minj
maxi
a ij = 3, 所以- 3< v< 3.
将矩阵 A 的各元素分别加上 3, 得
A1 =
6 2 0
0 6 2
- 1 0 6
.
局中人Ⅱ的线性规划模型为
max W = y 1 + y2 + y3 ,
·641·
s. t .
6y1 + 2y 2 ≤ 1
6y 2 + 2y3≤ 1
- y1 + 6y3≤ 1
y 1 , y2 , y3 ≥ 0
以 s1 , s2 , s3 为松弛变量, 可求得最优单纯形表为表 5. 8.
表 5. 8
YB b y1 �y 2 �y3 [s1 Qs2 �s3 �
y 1 �7 �
531 �0 }0 N
9 N53
-3 �53
1 �53
y 2 �11 �106
0 �1 }0 N-1 |
1069 |53
-3 �53
y 3 �10 �53
0 �0 }1 N3 N
106-
1 �106
9 �53
W45 �106
0 �0 }0 N10 e53
11 �106
7 �53
由此, 局中人Ⅱ的最优策略为
10645
753
,11
106,
1053
=1445
,1145
,2045
.
局中人Ⅰ的最优策略为
10645
1053
,11
106,
753
=2045
,1145
,1445
.
对策值为
v =10645
- 3 = -2945
.
( 2) 局中人Ⅱ的线性规划模型为:
max W = y 1 + y2 + y3 ,
s . t .
y 1 + 2y2 + 3y 3≤ 1
4y 1 + y 3≤ 1
2y 1 + 3y2 ≤ 1
y1 , y 2 , y 3≥ 0
最终单纯形表为表 5. 9.
表 5. 9
YB b y1 �y 2 �y3 [s1 �s2 �s3 �
y 3 �5 �
370 �0 }1 N
12 �37
1 �37
-8 �37
y 1 �8 �
371 �0 }0 N-
3 u37
9 �37
2 �37
y 2 �7 �
370 �1 }0 N
2 u37
-6 �37
11 �37
W20 �37
0 �0 }0 N11 �37
4 �37
5 �37
·741·
所以, 局中人Ⅱ的最优策略为
3720
837
,7
37,
537
=8
20,
720
,520
.
局中人Ⅰ的最优策略为
3720
1137
,4
37,
537
=1120
,4
20,
520
.
对策值 v=3720
.
5. 14 解 ( 1) 设
2 2 1
3 4 4
2 1 6
α1
α2
α3
,
β1 β2 β3
则
maxi
minj
a ij = minj
maxi
a ij = a 21 = 3.
所以, 最优纯策略为 α2 , β1 , 对策值 v= 3.
( 2) 设
2 7 2 1
2 2 3 4
3 5 4 4
2 3 1 6
α1
α2
α3
α4
,
β1 β2 β3 β4
因为
maxi
minj
a ij = minj
maxi
a ij = a 31 = 3,
所以, 最优纯策略为 α3 , β1 , 对策值 v= 3.
( 3) 设
1 0 3 4
- 1 4 0 1
2 2 2 3
0 4 1 1
α1
α2
α3
α4
,
β1 β2 β3 β4
因为
maxi
minj
a ij = minj
maxi
a ij = a 31 = 2,
所以, 最优纯策略为 α3 , β1 , 对策值 v= 2.
( 4) 因为maxi
minj
a ij = 4, minj
maxi
a ij = 6, 4< 6, 所以对策无鞍点.
·841·
设
3 4 0 3 0
5 0 2 5 9
7 3 9 5 9
4 6 8 7 6
6 0 8 8 3
α1
α2
α3
α4
α5
,
β1 β2 β3 β4 β5
用优超法化简得
7 3
4 6
α3
α4
,
β1 β2
解此矩阵对策得
x*3 =
13
, x*4 =
23
, y*1 = y
*2 =
12
, v = 5.
所以, 原矩阵对策的最优解与对策值为:
X*
= 0, 0,13
,23
, 0 ,
Y*
=12
,12
, 0, 0, 0 ,
v = 5.
5. 15 解 ( a ) 此矩阵为原矩阵 A 的各元素分别加 2 所得, 所以, X*
= 0,1114
,3
14,
Y* = 0,
1314
,114
, v=5914
+ 2=8714
.
( b) 将原矩阵 A 各元素分别减去 3 得
A1 =
- 2 - 1 2
5 1 4
- 4 2 - 9
.
再将 A1 的 1、2、3 列交换成 2、3、1 列, 即得矩阵
- 1 2 - 2
1 4 5
2 - 9 - 4
.
所以, X*
= 0,1114
,3
14, Y
*=
1314
,1
14, 0 , v=
5914
- 3=1714
.
( c) 原矩阵 A 各元素分别乘以 2 再加上 6 即得
8 10 16
22 14 20
4 16 - 6
.
所以, X*
= 0,1114
,3
14, Y
*= 0,
1314
,1
14, v=
5914× 2+ 6=
1017
.
5. 16 解 设局中人 A 的策略为 X= ( x 1 , x 2 , x 3 ) , 局中人 B 的策略为 Y= ( x , y) , 从矩
·941·
阵
- 2 4
3 2
1 5
图 5. 9
可知, 在平面直角坐标系( 见图 5. 9)上可得三条直线:
l 1 : v = - 6x + 4,
l 2 : v = x + 2,
l 3 : v = - 4x + 5,
令 x* = 0. 6,
- 6x * + 4 = 0. 4,
x * + 2 = 2. 6,
- 4x * + 5 = 2. 6.
由图解法知 v= 2. 6, 且 x*1 = 0, x
*3 = 1- x
*2 , 从矩阵
3 2
1 5可解得
x*2 =
45
, x *3 =
15
.
另解(用互补松弛定理) :
矩阵对策的最优解满足如下两组不等式:
( 1)
- 2x + 4y ≤ v
3x + 2y ≤ v
x + 5y ≤ v
x + y = 1
x , y ≥ 0
, ( 2)
- 2x 1 + 3x 2 + x 3 ≥ v
4x 1 + 2x2 + 5x 3 ≥ v
x 1 + x2 + x 3 = 1
x 1 , x2 , x 3 ≥ 0
由于 x 1 , x 2 , x3 中至少有一个大于 0, 所以在第( 1)组不等式中, 第 1、2、3 行中至少有一
行取等号(互补松弛定理) , 以 x*
= 0. 6, y*
= 0. 4 代入得
- 2× 0. 6 + 4× 0. 4 = 0. 4 ≤ v ①
3× 0. 6 + 2× 0. 4 = 2. 6 ≤ v ②
0. 6 + 5× 0. 4 = 2. 6 ≤ v ③
所以 v= 2. 6, 上述式①有 0. 4< v, 再由互补松弛定理知 x*1 = 0.
又由于 x*
= 0. 6> 0, y*
= 0. 4> 0, 所以由互补松弛定理, 第 ( 2) 组不等式中第 1、2 行
取等号, 可得
3x 2 + x 3 = 2. 6
2x 2 + 5x 3 = 2. 6,
且有 x 2 + x 3 = 1.
解得 x*2 =
45
, x*3 =
15
.
所以 X* = 0,
45
,15
, v= 2. 6.
·051·
5. 17 解 设科洛奈和他的敌人分别是局中人 A 和 B, 则 A, B 可选择的策略如下:
局中人 A
策略 n1 gn2 �
1 �2 ]0 �
2 �1 ]1 �
3 �0 ]2 �
局中人 B
策略 m1 �m2 W
1 Y3 �0 A
2 Y2 �1 A
3 Y1 �2 A
4 Y0 �3 A
由题意, 可得 A 的赢得矩阵(见表 5. 10) .
表 5. 10
A 策略
B 策略 1 O2 �3 �4 �
1 �- 3 ~- 1 � 1 � 0 M
2 �- 1 ~- 2 �- 2 �- 1 M
3 � 0 ~ 1 �- 1 �- 3 M
由线性规划法可解得:
X* =15
,35
,15
, Y* =13
,15
, 0,7
15, v = -
65
.
5. 18 解 甲的策略为{A1 , A 2 , A3 }, 乙的策略为{B 1 , B 2 , B 3 }, 甲的赢得矩阵为
23
34
13
310
35
14
34
15
23
A1
A2
A3
.
B 1 B 2 B3
矩阵经超优化简得
34
13
15
23
A1
A3
.
B2 B 3
解此矩阵对策得: x*1 =
2853
, x*3 =
2553
, y*2 =
2053
, y*3 =
3353
, v=2653
.
即甲的最优策略为 X*
=2853
, 0,2553
, 乙的最优策略为 Y*
= 0,2053
,3353
, 对策值
v=2653
<12
, 所以总的结果对乙方有利.
5. 19 解 A=
0 1 2
- 1 0 3
- 2 - 3 0
为反对称阵, 即 AT= - A,
·151·
因为( X*
, Y*
)为对策 Γ= ( S 1 , S 2 ; A)的最优解, 充分必要条件是
XAY* T ≤ X* AY* T ≤ X* AYT
此不等式对任意 X∈SⅠ , Y∈S Ⅱ成立.
现已知( X* , Y
* )为对策 Γ的最优解, 则上述不等式成立, 对三边取转置有:
Y* AT XT ≤ Y* AT X* T ≤ YAT X* T .
因为 AT= - A, 代入上式得:
- Y* AXT ≤- Y* AX* ≤- YAX* T .
即有:
YAX* T
≤ Y*
AX*≤ Y
*AX
T.
所以( Y* , X
* )为 Γ的最优解.
因对策值相等, 所以
V = X* AY* T = Y* AX* T
即 ( X* AY* T ) T = Y* AX* T .
即 Y* AT X* T = Y* AX* T .
即 - Y*
ATX
* T= Y
*AX
* T.
所以 v = 0.
5. 20 解 此对策矩阵的各行各列之和均= 1+ 2+ 3+ ⋯+ m=( 1+ m) m
2.
由公式可得
v =1m
¡¤( 1 + m) m
2=
1 + m2
.
5. 21 解 设 0——不招认, 1——招认, 则 S甲 = {0, 1}, S 乙 = {0, 1}, 双矩阵如下:
甲策略
乙策略 0 �1 �
0 !( 1 W, 1) ( 10 �, 0)
1 !( 0 @, 10) ( 8 �, 8)
纳什均衡解为双方都采取不招认的策略, 各判一年徒刑.
5. 22 解 设妻子的策略为 SⅠ = {α1 , α2 }, 丈夫的策略为 SⅡ = {β1 , β2 }, 其中 α1 , β1 = 看
足球, α2 , β2 = 去剧院, 则双矩阵为:
β1 �β2 �
α1 *( 1 W, 4) ( 0 �, 0)
α2 *( 0 f, 0) ( 4 �, 1)
有两个纳什均衡解, ( α1 , β1 ) 和(α2 , β2 ) .
5. 23 解 设甲的策略为 X = ( x , 1- x ) , 乙的策略为 Y= ( y , 1- y) , 因
·251·
A =0 2
- 2 3, B =
0 1
- 1 - 2.
E A ( x , y ) = XAYT
= 3x y - x - 5y + 3.
令�E A
�x= 3y - 1 = 0,
得 y* =13
.
E B ( x , y) = XBYT = - 2xy + 3x + y - 2.
令�E B
�y= - 2x + 1 = 0.
得 x*
=12
.
所以, 甲的混合纳什均衡解为 X*
=12
,12
, 乙的混合纳什均衡解为 Y*
=13
,23
.
·351·
第 6 章 网 络 模 型
6. 1 重点、难点提要
1. 图论的基本概念
( 1) 图
由 m 个顶点 v1 , v2 , ⋯, vm 与 n 条边 e1 , e2 , ⋯, en 两组基本元素组成的结构称为图, 记为
G= ( V, E ) , 其中 V= {v1 , v2 , ⋯, vm }, E = {e1 , e2 , ⋯, en}.
上述所说的“结构”是指图中的点与边之间的关联关系. 具体说明如下:
①
vi, vj 为 ek 的关联点, 也称 vi 与 v j 为相邻点.
②
ei, ej 为 vk 的关联边, 也称 ei, ej 为相邻边.
在一个图中, 只要确定了点边关联关系, 无论我们如何改变顶点的位置, 改变边的形状
与大小, 所得的新图都认为与原图是同一个图( 也称同构) . 例如: 见图 6. 1.
图 6. 1
上述三个图形即为同一个图.
( 2) 无向图与有向图
设 G= ( V, E ) 是一个图, 若 E 中每一条边都是有向的, 则称此图为有向图, 记为 D =
( V, A ) ; 若 E 中每一条边都是无向的, 则称 G 为无向图.
( 3) 子图
设 G1 = ( V1 , E 1 ) 与 G2 = ( V2 , E 2 )为两个图, 若 V1 = V2 , E 1�E 2 , 称 G1 为 G2 的支撑子图.
( 4) 链
G 为无向图, G 的一个点边交替序列 μ= {v0 , e1 , v1 , e2 , ⋯, en- 1 , vn}满足 ei= ( vi- 1 , vi) , 称
这个点边序列为从 v0 到 vn 的一条链. 若链中 v0 = vn , 且 n≥3, 则称此链为圈.
·451·
( 5) 连通
设 G= ( V, E )为图, v1 与 v2 为 G 中两点, 若存在 G 中一条链连接 v1 与 v2 , 称 v1 与 v2 在
G 中连通; 若 G 中任意两点均连通, 则称 G 为连通图.
( 6) 树
一个无圈的、连通的无向图称为树.
结论 1 设 G= ( V, E ) , V= {v1 , v2 , ⋯, vm }, E= {e1 , e2 , ⋯, en}, 下列关于树的命题等价:
① G 为树;
② G 连通, 且 n= m- 1;
③ G 无圈, 且 n= m- 1;
④ G 连通, 且删去 G 中任一条边后不连通.
( 7) 最小支撑树
如果图 G= ( V, E )的支撑子图 G′= ( V1′, E 1 ) 为树, 称 G′为 G 的一个支撑树.
结论 2 图 G 有支撑树的充要条件是 G 连通.
图 G 中, 如果每条边都被赋予一个权数, 则称 G 为赋权图. 赋权图中权数之和最小的支
撑树称为最小支撑树.
求最小支撑树的方法有两种: ① 丢边破圈法; ②避圈法.
2. 网络中的流
( 1) 网络
有向赋权图 D = ( V, A , W )称为网络.
( 2) 可行流
有向赋权图 D = ( V, A , W) 中, 其中 W= ( w ij ) , wij为弧( vi, v j ) 上的权数, 在网络流中, 称
w ij为可通过弧( vi, v j ) 的最大容量, 简称为弧容量.
D 中通过弧 ( vi, v j ) 的物运量 f ij 称为弧( vi, vj ) 的流量, 所有弧上流量集合 f = {f ij }称为
G 的一个流.
V 中一发点( 也称源)记为 vs , 一收点( 也称汇)记为 vt , 其余点均称为中间点.
若 D = ( V, A, W ) 中各条弧上由 vs 到 vt 的一组流 f = {f ij }满足以下条件, 则称为 D 上
的可行流:
① 容量限制条件:
0 ≤ f ij ≤ w ij .
② 平衡条件:
∑{ j ©¦( v
i, v
j) ∈A }
f ij - ∑{k©¦( v
k, v
i) ∈ A }
f ki =
v( f ) , i= s
0, i≠ s, t
- v( f ) , i= t.
( 3) 增广链
设 μ为有向赋权图 D 中 vi 到 v j 的一条链, 若 μ上某弧方向与 vi 到 vj 链的方向相同, 则
称此弧为正向弧; 若弧的方向与 vi 到 vj 链的方向相反, 则称此弧为反向弧.
若 D 中有一个可行流通过 μ, 且满足以下条件:
① 对于正向弧有 f ij < wij ;
② 对于反向弧有 f ij > 0.
·551·
则称 μ为由 vi 到 vj 的一条增广链.
最大流定理:
可行流 f 为最大流的充要条件是: 不存在关于 f 的增广链.
( 4) 截集与截量
设 V 中的发点为 v s , 收点为 vt , 若在 A 中删去一个弧集 S 后, 使得 v s 与 vt 不连通, 则称
S 为网络 D 中分离 v s 与 v t 的截集. S 的各弧容量之和称为 S 的截量, D 中截量最小的截集
称为最小截集.
最大流量最小截量定理:
任一个网络 D 中, 从 vs 到 v t 的最大流的流量等于分离 v s 与 vt 的最小截集的截量.
求最大流的方法是 F ord-F ulkerson 标号法.
( 5) 最短路
设 V 中的起点为 v s , 终点为 vt , 在 v s 到 vt 的所有路中权数和最小的路称为最短路.
求最短路的算法有: Dijkst ra 标号法与 W arshall-Flod 算法.
Dijks tra 算法与 Warsh all-Flod 算法的区别如下:
① 适用条件不同. Dijkst ra 算法只适用于弧上权数 w ij ≥0, 而 W arshall-Flod 算法适用
于弧上权数 w ij 为任何实数.
② 计算方式不同. Dijkst ra 算法是在网络图上直接标号进行, 而 W arshall-Flod 算法是
在矩阵表(即用矩阵表示两点间的距离) 上进行.
③ 得到的最终结果不同. Dijks tra 算法只能得到从起点到各点的最短路, 而 Warshall-
F lod 能得到网络中任意两点间的最短路.
( 6) 最小费用最大流
设网络 D = ( V, A, W) , 其中 W = ( w ij ) , wij 表示弧( vi, v j ) 上的容量, bij 表示弧上通过一
个单位流量的费用. 求以 vs 为起点、vt 为终点通过 D 的一个最大流 f = ( f ij ) , 且使 f 通过 G
的费用 C( f ) = ∑( v
i, v
j) ∈A
f ij·bij 为最小的问题称为最小费用最大流问题. 这个问题可归结为下
述线性规划问题:
min C( f ) = ∑( v
i, v
j) ∈ A
bij ¡¤f ij ,
s . t .
0 ≤ f ij ≤ w ij , 对任意( vi, v j ) ∈ A
∑f ij - ∑f j i =
v( f ) , i= s
0, i≠ s, t
- v( f ) , i= t
.
求最小费用最大流的思想方法是: 求出从 vs 到 v t 的费用最短路, 再对此路分配最大流.
6. 2 主要解题方法和典型例题分析
1. 求最小支撑树的问题
( 1) 丢边破圈法
首先将 G 中权数最大的边去掉, 破掉一个圈; 再从余边中选择权数最大的边去掉, 破
·651·
圈. 依次进行, 直至 G 中不存在圈时为止.
例 1 已知图 6. 2 表示 7 个城市间拟修建一条连接各个城市的通信线路, 各边的权数
表示两个城市之间线路的修建费. 利用“丢边破圈法”, 求连接各城市通信线路最小修建费用
方案.
图 6. 2 图 6. 3
解 在图 6. 2 中依次去掉 GD ( 60) , GC( 52) , E F ( 50) , A F ( 48) , BG( 46) , AG( 45) 各边
后, 即求得最小生成树 T , 如图 6. 3 所示, T 中各边权数之和为 219.
( 2) 避圈法
首先找一条权数最小的边 e1 , 再从余下的边中找一条不与 e1 构成圈的权数第二小的
边; 依次进行, 直到这个过程不能进行为止.
2. 求最大流问题
( 1) 有初始可行流的问题
设网络 D = ( V, A, W ) 中, vs 为发点, v t 为收点, 符号( wij , f ij ) 表示弧 ( vi, v j ) 上容量为
w ij , 可行流量为 f ij , 满足 f ij ≤w ij . 符号( l 1 ( i) , l 2 ( i) )表示顶点 vi 的标号, 其中 l 1 ( i)的绝对值
表示从 vs 到 vi 的增广链上 vi 的前一顶点的下标, 若 l 1 ( i) > 0, 则表示该链上最末一条弧为
( l 1 ( i) , i) , 从而是正向弧; 而若 l 1 ( i) < 0, 则该链上最末一条弧为( i, ©¦l 1 ( i) ©¦) , 从而是反向弧,
l 2 ( i)表示这条从 vs 到 vi 的链上可增加的流量.
F ord—Fulkerson 标号法:
0°( 初始步) 找一个初始的可行流( f ij ) , 给发点 vs 以标号 ( 0, + ∞) , v s 成为已标号而
未检查的点.
1°( 最优性判别 ) 如不存在已标号而未检查的点, 则停止, 说明不存在增广链, 从而
{f ij }是最大流.
2°( 探寻增广链) 取一个已标号而未检查的点 vi.
( a ) 检查所有以 vi 为起点的弧( vi, v j ) , 若 v j 未标号而且 f ij < w ij , 则给顶点 vj 以标号
( vi, min{l 2 ( i) , wij - f ij }) , v j 成为已标号而未检查的点.
( b) 再检查所有以 vi 为终点的弧 ( vj , vi) , 若 v j 未标号且 f ij > 0, 则给顶点 vj 以标号
( - vi, min{l 2 ( i) , f ij }) , vj 成为已标号而未检查的点.
在完成( a) , ( b )后, vi 成为已检查的点.
3°( 判别是否已找到增广链) 如果收点 vt 尚未标号, 则回到 1°; 否则令 θ= l 2 ( vt ) .
4°( 修改可行流) 在已找到的从 vs 到 v t 的增广链上, 所有正向弧上可行流量增加 θ, 所
·751·
有反向弧的流量减少 θ.
例 2 求图 6. 4 所示网络的最大流. 弧旁的数是[ wij , f ij ] .
图 6. 4
解 从 v s 出发标号, 得到图 6. 5.
图 6. 5
找到增广链.
μ1 : vs - v1 - v2 - v3 - vt ,
且 θ1 = 1.
在 μ1 上修改可行流得:
f s1 + θ1 = 1 + 1 = 2,
f 21 - θ1 = 1 - 1 = 0,
f 32 - θ1 = 1 - 1 = 0,
f 3t + θ1 = 1 + 1 = 2.
修改后的网络图如图 6. 6 所示.
图 6. 6
·851·
再对图 6. 6 标号, 到顶点 v1 时, 标号过程无法进行下去. 上述可行流即为最大流. 最大
流量为 F = f s1 + f s2 = 5.
( 2) 无初始可行流问题
例 3 求图 6. 7 所示网络的最大流, 其中顶点 1 为发点, 顶点 5 为收点, 弧上数字为弧
的容量.
解 此题未给出初始可行流, 则以零流为初始可行流. 如图 6. 8 所示.
图 6. 7 图 6. 8
① 给顶点 1, 2, 5 标号, 找到增广链 1→2→5, θ1 = 3, 于是有
1[ 3 , 3]
2[ 9 , 3]
5.
② 给顶点 1, 3, 5 标号, 找到增广链 1→3→5, θ2 = 4, 于是有
1[ 7 , 4]
3[ 4 , 4]
5.
③ 给顶点 1, 4, 5 标号, 找到增广链 1→4→5, θ3 = 4, 于是有
1[ 4 , 4]
4[ 7 , 4]
5.
④ 给顶点 1, 3, 2, 5 标号, 得增广链 1→3→2→5, θ4 = 3, 于是有
1[ 7 , 7]
3[ 3, 3]
2[ 9 , 6]
5.
图 6. 9
经过以上 4 步, 得到图 6. 9 网络图.
再给顶点 1 标号后, 无法进行下去, 此时可行流
即为最大流, 最大流量为
F = f 12 + f 1 3 + f 14 = 3 + 7 + 4 = 14.
( 3) 求最小截集问题
当用标号法求出最大流时, 可标号的点组成集
合 V, 不可标号的点组成 V, 则由 V 中顶点出发指向
V 中顶点的弧的全体即为最小截集.
例 4 求图 6. 10 所示网络的最小截集.
解 用标号法求出网络的最大流如图 6. 11 所示. 则 v s, v1 , v2 为标号顶点, 其余为不可
标号点, 令 V= {vs , v1 , v2 }, V= {v3 , v4 , v t}, 则( V, V) = {e14 , e13 , e23 )即为最小截集. 最小截量
k( V, V) = w1 4 + w 13 + w 23 = 3+ 4+ 5= 12.
注 若已求出最大流量 F , 则所有截量等于 F 的截集即为最小截集, 也可用此方法求
最小截集.
·951·
图 6. 10
图 6. 11
3. 求最短路问题
( 1) Dijkst ra 标号法
求网络图中从起点 v s 到其他所有顶点的最短路, 可用 Dijks tra 标号法. 顶点 vi 的标号
为 l( i) = ( l 1 ( i) , l 2 ( i) ) , 其中 l 2 ( i)表示从 v s 到 vi 的某一条路的长, 也就是从 v1 到 vi 的最短
路长的一个上界, l 1 ( i) 表示该路上 vi 的前趋点的下标. 算法把顶点分成 V 与 V 两部分, V 为
已经找到最短路的顶点的集合. 开始时 V= {vs}, l( s) = ( vs , 0) . 算法中( V, V )仍表示一端在
V, 一端在 V 的弧集.
Dijks tra 算法计算步骤如下:
0° 令 l( s) = ( v s , 0) , V= {vs}, 对图 6. 11 中其他顶点 vi, 令 l( i) = ( v s, + ∞) .
1° 若( V, V) = �, 则停止, 表明不存在从 v s 到 V 中任一顶点的路.
2° 对 V 中顶点 vi, 若 ( vk , vi) ∈A , 其中 A 为网络中的弧集, 则计算 min {l 2 ( i) , l 2 ( k)
+ w ki) , 其中 wki为弧上权数, 并将此最小值记为新的 l 2 ( i) , 即令 l 2 ( i) = min {l 2 ( i) , l 2 ( k)
+ w ki}, 对等式两边的 l 2 ( i) , 左边的为新值, 右边的为旧值. 若新 l 2 ( i) 的值有所减少, 则令
l 1 ( i) = k.
3° 求 l 2 ( k) = minvi∈ V
{l 2 ( i) }. 再令 V= V∪{vk }, V= V \ {vk }, 即在 V 中加入新的顶点 vk ,
在 V 中除去 vk .
4° 若 V= �, 则停止; 否则转步 1°.
例 5 求网络图 6. 12 中从顶点 v1 到其余各顶点的最短路, 其中弧旁所标数字为弧长.
·061·
解 开始时 l( 1) = ( 1, 0) , V= {1}( 这里我们用顶点下标表示顶点) , l ( i) = ( 1, + ∞) ,
图 6. 12
i= 2, 3, ⋯, 7, V= {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
迭代 1:
从 v1 出发的弧有( 1, 2) , ( 1, 3) , ( 1, 4) , 故
可得: l 2 ( 2) = min {+ ∞, 0 + 5} = 5, l 2 ( 3) =
min {+ ∞, 0+ 2}= 2, l 2 ( 4) = 6. 从而:
l ( 2) = ( 1, 5) , l ( 3) = ( 1, 2) , l ( 4) = ( 1, 6) ,
而其余标号不 变. 由于 l 2 ( 3 ) = min {l 2 ( 2 ) ,
l 2 ( 3) , l 2 ( 4) }= 2, 故令 V= {1, 3}.
迭代 2:
从 v3 出发的弧有( 3, 2) , ( 3, 4) , ( 3, 5) , ( 3, 6) , 可算得: l( 5) = ( 3, 9) , l( 6) = ( 3, 6) , 其余
标号不变. l 2 的最小值在 v2 处达到, 故 V= {1, 2, 3}.
迭代 3:
从 v2 出发到 V 中的弧只有( 2, 5) , 故算得 l 2 ( 5) = min {l 2 ( 5) , l 2 ( 2) + w 25 }= min {9, 5+
3}= 8, 故可得:
l( 5) = ( 2, 8)
其余不变, l 2 的最小值在 v4 和 v6 处达到, 故 V= {1, 2, 3, 4}. (因为 V 一次只取一个点) .
迭代 4:
从 v4 出发有弧( 4, 6) , ( 4, 7) , 可得 l( 7) = ( 4, 10) , s= {1, 2, 3, 4, 6}.
迭代 5:
可得 l( 5) = l( 7) = ( 6, 7) , 此时 V= �, 计算结束.
这样就得到了所有顶点的标号, 如图 6. 13 所示.
图 6. 13
利用标号 l 1 可确定从 v1 到其余各点的最短路如下:
v1→v2 , 长为 5;
v1→v3 , 长为 2;
v1→v4 , 长为 6;
v1→v3→v6→v5 , 长为 7;
v1→v3→v6 , 长为 6;
v1→v3→v6→v7 , 长为 7.
( 2) 用 Warsh all-Flod 方法求最短路
开始( k= 0) 作距离矩阵 L( 0) = ( l
( 0)ij )和序号矩阵θ
( 0) = (θ( 0 )ij ) , 其中
·161·
l( 0)ij =
wij , ( vi, v j ) ∈ A
+ ∞, ( vi, v j ) | A,
θ( 0)ij = j , ( i, j = 1, 2, ⋯, p ) .
其中, wij为弧上的权数, A 为网络的弧集, p 为网络的顶点数.
第一步: k= r ( 1≤r< p )时, L( k)中第 k 行和第 k 列元素保持与 L
( k- 1)相应元素相同, 其
他元素按下式计算, 并填入 L( k)中:
l( k)ij = min{l
( k- 1)ij , l
( k- 1 )ik + l
( k- 1)kj }
相应地, θ( k) 的各元素按下式变化:
θ( k)ij =
θ( k- 1)ij , 若 l ( k)
ij = l ( k- 1)ij
θ( k- 1)ik , 若 l
( k)ij < l
( k- 1)ij
第二步: 若存在 l( k)ii < 0( 1≤i≤p ) , 计算终止; 否则, 置 k= k+ 1.
第三步: 当 k= p 时, 计算终止. 若 l( p )ij = + ∞, 则说明 D 中不存在从 vi 到 v j 的路; 否则,
记 d ij = l( p )ij , 表示由 vi 到 v j 的最短路长, 相应的最短路可由 θ
( p )ij ( i, j = 1, 2, ⋯, p )找出.
例 6 求图 6. 14 中各顶点间的最短路径.
图 6. 14
解 列表如表 6. 1 所示.
表 6. 1
k= 0 !, 1 k= 2 ek= 3 {
L( k)
0 � 1 �∞ 2 v∞ ∞ 0 �1 � ④ 2 �∞ ∞ 0 �1 �4 � 2 �⑤ ∞
∞ 0 � 3 � 4 v ∞ ∞ ∞ 0 � 3 �4 �∞ ∞ ∞ 0 �3 � 4 �④ ∞
∞ - 2 � 0 �5 v1 O∞ ∞ - 2 � 0 � ② 1 e ∞ ∞ - 2 � 0 � 2 �1 {∞
∞ 4 �∞ 0 v- 3 P ∞ ∞ 4 � ⑦ 0 �- 3 f ∞ ∞ 4 � 7 � 0 � - 3 | ∞
∞ ∞ 2 �3 v0 O∞ ∞ ∞ 2 �3 �0 e∞ ∞ � 2 � 3 �0 {∞
∞ ∞ 2 �∞ 2 O0 (∞ ∞ 2 �∞ 2 e0 >∞ � 2 � ④ ② 0 T
θ(k)
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �② 4 �5 e6 >1 �2 �2 �4 �② 6 T
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �3 �4 �5 e6 >1 �2 �3 �4 �③ 6 T
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �3 �② 5 e6 >1 �2 �3 �2 �5 {6 T
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �② 4 �5 e6 >1 �2 �2 �4 �5 {6 T
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �3 �4 �5 e6 >1 �③ 3 �4 �5 {6 T
1 �2 �3 �4 v5 O6 (1 �2 �3 �4 �5 e6 >1 �③ 3 �3 �5 {6 T
·261·
续表
k= 4 Ok= 5 ek= 6 {
L( k)
0 �1 �4 �2 v ○- 1 `∞ 0 �○- 1 �① 2 �- 1 � ∞ 0 �- 1 �1 �2 �- 1 �∞
∞ 0 �3 �4 v ① ∞ ∞ 0 �3 �4 �1 e ∞ ∞ 0 �3 �4 �1 {∞
∞ - 2 �0 �2 v ○- 1 `∞ ∞ - 2 �0 �2 �- 1 � ∞ ∞ - 2 �0 �2 �- 1 �∞
∞ 4 �7 �0 v - 3 ~∞ ∞ ○- 3 �○- 1 �0 �- 3 � ∞ ∞ - 3 �- 1 �0 �- 3 �∞
∞ 0 � 2 � 3 v 0 O ∞ ∞ 0 �2 �3 �0 e ∞ ∞ 0 �2 �3 �0 {∞
∞ 0 �2 �4 v ① 0 ( ∞ 0 � 2 � 4 � 1 e 0 >∞ 0 �2 �4 �1 {0 T
θ(k)
1 �2 �2 �4 v④ 6 (1 �④ ④ 4 �4 e6 >1 �4 �4 �4 �4 {6 T
1 �2 �3 �4 v④ 6 (1 �2 �3 �4 �4 e6 >1 �2 �3 �4 �4 {6 T
1 �2 �3 �2 v② 6 (1 �2 �3 �2 �2 e6 >1 �2 �3 �2 �2 {6 T
1 �2 �2 �4 v5 O6 (1 �⑤ ⑤ 4 �5 e6 >1 �5 �5 �4 �5 {6 T
1 �3 �3 �4 v5 O6 (1 �3 �3 �4 �5 e6 >1 �3 �3 �4 �5 {6 T
1 �3 �3 �3 v③ 6 (1 �3 �3 �3 �3 e6 >1 �3 �3 �3 �3 {6 T
4. 最小费用流问题
求最小费用流的基本思想是: 从零流 ( f 0 = 0) 的费用有向图 D ( f 0 ) 开始, 用求最短路的
方法求出由 v s 到 v t 的最小费用链 μ0 , 并在 μ0 上进行流量的调整, 如果 V( f 1 ) = V, 则计算终
止. 否则, 重新构造关于 f 的费用有向图 D ( f 1 ) , 直至求出流量为 V 的可行流. 具体方法步
骤如下:
开始作 f 0 = 0, 相应的费用有向图为 D ( f 0 ) .
第一步: 在 D ( f 0 )上用求最短路方法求出由 v s 到 vt 的最小费用链 μ0 , 并在 μ0 上进行流
量调整.
第二步: 重新构造可行流 f 相应的费用有向图 D ( f ) . 其中顶点集仍为 V, 弧集 A 是在
观察上一个费用有向图中最小费用链的基础上按以下方法做出:
① 对于最小费用链 μ上的各弧:
若 ( vi, v j ) ∈μ+ 且 f ij < w ij , 或( vi, v j ) ∈μ
- 且 f ij > 0, 则添上一条与原弧方向相反、权为
- bij的弧.
若( vi, vj )∈μ+且 f ij = w ij , 或( vi, v j ) ∈μ
-且 f ij = 0, 则将原弧改为相反方向, 权改为- bij .
② 对于最小费用链 μ外的各弧, 其方向与权不变.
第三步: 在 D ( f )上仍用求最短路方法求出由 vs 到 v t 的最小费用最大流. 计算终止, 否
则转第四步.
第四步: 在 D ( f ) 上的最小费用链上对 f 进行流量调整, 得新的最小费用可行流 f ′, 若
V( f ′) = V, 则计算终止, 否则返回第二步.
例 7 求图 6. 15 中网络自点 v s 到 vt 的最小费用最大流, 其中每条弧上的数对为( bij ,
w ij ) , bij为单位费用, w ij为容量.
图 6. 16( a)为费用图 D ( f 0 ) , 其中 f 0 = 0 为零流. 最短路为 vs- v1 - v3 - v t , 记为 μ0 .
图 6. 16( b) 为容量图, 在 μ0 上可增加流量 θ1 = 4, 得新的可行流, 流量 f 1 = 4.
图 6. 16( c) 为费用图 D ( f 1 ) , 最短路为 vs- v2 - v3 - vt , 记为 μ1 .
图 6. 16( d)为容量图. 新增流量 θ2 = 1, f 2 = 5.
·361·
图 6. 15
图 6. 16
·461·
图 6. 16( e)为费用图 D( f 2 ) , 最短路为 v s- v1 - v4 - vt , 记为 μ2 .
图 6. 16( f) 为容量图, 新增流量 θ3 = 3, f 3 = 8.
图 6. 16( g)为费用图 D ( f 3 ) , 最短路为 v s- v2 - v3 - v4 - v t , 记为 μ3 .
图 6. 16( h) 为容量图, 新增流量 θ4 = 4, f 4 = 8, 此流量图已为最大流, 最小费用最大流的
流量为 12, 最小总费用 c( f 4 ) = 679.
6. 3 习 题
6. 1 判断下列说法是否正确:
( 1) 图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系, 而且是真实图形的写照, 因而对图中
点与点的相对位置、点与点连线的长短曲直等都要严格注意;
( 2) 在任一连通图 G 中, 当点集 V 确定后, 树图是 G 中边数最少的连通子图;
( 3) 如果图中从 v1 至各点均有惟一的最短路, 则连接 v1 至其他各点的最短路在去掉重
复部分后, 恰好构成该图的最小支撑树.
( 4) 求网络最大流问题可归结为求解一个线性规划模型.
6. 2 用破圈法和避圈法求图 6. 17 的最小树.
图 6. 17
6. 3 车站拟在 v1 , v2 , ⋯, v7 七个居民点中设置售票处, 各点的距离由图 6. 18 给出.
( 1) 若要设置一个售票处, 问设在哪个点可使最大服务距离为最小?
( 2) 若要设置两个售票处, 问设在哪两个点可使最大服务距离为最小?
图 6. 18 图 6. 19
·561·
6. 4 指出图 6. 19 所示的所有截集、最小截集及最小截量( 弧旁的数字是( wij , f ij ) ) .
6. 5 求图 6. 20 所示的网络最大流和最小截集(弧旁的数字是( w ij , f ij ) ) .
图 6. 20
6. 6 某公司有 3 个仓库 A1 , A2 , A 3 和 4 个零售店 B 1 , B2 , B 3 , B 4 , 各仓库可提供的货量
及零售店的最大零售量见表 6. 2, 表中打圈的格子表示公司指定该店可向相应的仓库取货.
现在要求作一调运方案, 使得各店从各仓库得到的总货量为最多.
表 6. 2
零售店仓库
B1 cB2 �B3 yB4 �存货量
A1 NO O 20 �
A2 NO O 12 �
A3 NO O 12 �
最大零售量 14 f9 �8 e10 �
6. 7 某产品从仓库运往市场销售. 已知各仓库的可供量、各市场需求量及从 Ai 仓库至
B j 市场的路径的运输能力如表 6. 3 所示( 表中∞表示无路可通) , 试求从仓库可运往市场的
最大流量, 各市场需求能否满足?
表 6. 3
市场仓库 B1 cB2 �B3 yB4 �可供量
A1 N30 f10 �∞ 40 �20 �
A2 N∞ ∞ 10 |50 �20 �
A3 N20 f10 �40 |5 �100 �
需求量 20 f20 �60 |20 �
6. 8 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各 1 人, 现有 5 人应聘, 已知乙懂俄文,
甲、乙、丙、丁懂英文, 甲、丙、丁懂日文, 乙、戊懂德文, 戊懂法文, 问这 5 个人是否都能得到聘
书? 最多几个得到招聘, 招聘后每人从事哪一方面的翻译任务?
6. 9 用 Dijkst ra 标号法分别求图 6. 21( a) 和( b )的 v1 到其他各顶点的最短路及路长,
·661·
并指出哪些顶点不可到达(弧旁的数字表示从 vi 到 vj 的距离) .
图 6. 21
6. 10 用 W arsall-F lod 算法分别求图 6. 22( a)和( b )中任意两点间的最短路及路长.
图 6. 22
6. 11 现有 3 辆卡车需要调到 3 个不同的目的地. 各辆卡车的运行成本见表 6. 4, 试求
能使总成本最低的调运方案.
表 6. 4
成本 目的地
车辆 v1 �v2 �v3 �
A1 �46 �62 �39 �
A2 �24 �31 �49 �
A3 �29 �38 �56 �
6. 12 如图 6. 23 所示, 某人每天从住处①开车至工作地⑦上班, 图中各弧旁的数字为
图 6. 23
该人开车上班时经过该弧受阻的可能性, 试
问该人应选择哪条路线, 使从家出发至工作
地路上受阻的可能性最小.
6. 13 某公司职员因工作需要购置了一
辆摩托车, 他可以连续使用或于任一年末将
旧车卖掉, 换一辆新车. 表 6. 5 列出了于第 i
·761·
年末购置或更新的车至第 j 年末的各项费用的累计( 含更新所需费用、运行费用及维修费
用) , 试据此确定该人最佳的更新策略, 使从第 l 年末至第 5 年末的各项费用的累计之和为
最小.
表 6. 5
ji
2 O3 �4 �5 �
1 �0 !. 4 0 O. 54 0 �. 98 1 �. 37
2 �0 O. 43 0 �. 62 0 �. 81
3 �0 �. 48 0 �. 71
4 �0 �. 49
6. 14 某公司在六个城市 c1 , ⋯, c6 中有分公司, 从 ci 到 cj 的直接航程票价记在下述矩
阵中的( i, j )位置上( ∞表示无直接航路) . 请帮助该公司设计一张任意两城市间票价最便宜
的路线表.
0 50 ∞ 40 25 10
50 0 15 20 ∞ 25
∞ 15 0 10 20 20
40 20 10 0 10 25
25 ∞ 20 10 0 55
10 25 ∞ 25 55 0
6. 15 如果图 6. 24 中 v s 表示仓库, v t 表示商店, 现要从仓库运 10 单位的物资到商店,
应如何调运才能使运费最省(图中弧表示交通线, 弧旁的数字为( w ij , bij ) , 其中 w ij 表示交通
线上运输能力限制, bij表示单位运价) .
6. 16 ( 1) 试求图 6. 24 网络 V( f ) = 15 的最小费用流(弧旁的数字为( w ij , bij ) , 其中 w ij
表示弧容量, bij表示单位物质运费) .
( 2) 试求图 6. 25 网络的最小费用最大流.
图 6. 24 图 6. 25
6. 17 表 6. 6 给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表, 将此问题转化为最小费用
最大流问题. 画出网络图并进行求解.
·861·
表 6. 6
销地单位运价产地
B1 �B2 �B3 x产量
A 1 �20 �24 �5 e8 M
A 2 �30 �22 �20 |7 M
销量 4 �5 }6 e
6. 18 某工程各工序关系及各工序所需时间如表 6. 7 所示. 试绘制网络图、计算时间参
数和确定关键路线.
表 6. 7
工序 紧前工序 工时 工序 紧前工序 工时 工序 紧前工序 工时
a - 12 �f c 5 ex h 3 �
b - 3 �g c 6 ep f 7 �
c b 5 �h a, g 4 er n 3 �
d b 7 �n d , e 3 ew m 2 �
e b 8 �m e 8 ey x , p , r 2 �
6. 19 已知如表 6. 8 中的资料, 求该项工程的最低成本日程.
表 6. 8
活动 作业时间( 天) 紧前活动正常完成进度的
直接费用(百元)
赶进度一天所需
费用(百元)
a 4 8- 20 N5 �
b 8 8- 30 N4 �
c 6 8b 15 N3 �
d 3 8a 5 72 �
e 5 8a 18 N4 �
f 7 8a 40 N7 �
g 4 8b, d 10 N3 �
h 3 8e, f , g 15 N6 �
合计 153 e
工程间接费用 5 �(百元/ 天)
6. 20 某工程的工序关系和时间估计如表 6. 9 所示.
表 6. 9
工序 紧前工序 乐观时间 a 最可能时间 m 保守时间 b
A - 2 �5 �6 �
B A 6 �9 �12 5
C A 5 �14 �17 5
D B 5 �8 �11 5
E C, D 3 �6 �9 �
F - 3 �12 �21 5
G E , F 1 �4 �7 �
·961·
( 1) 绘制网络图并计算每个工序的期望时间与方差;
( 2) 总工期的期望值与方差是多少?
( 3) 分别计算以下两种情况的概率:
① 比总工期的期望值提前 3 天;
② 比总工期的期望值延迟不多于 5 天.
6. 4 习 题 解 答
6. 1 ( 1) 错. 图论中的图只反映了点边之间的关联关系, 而与点的位置、边的形状和大
小无关.
( 2) 对. 在树图中, 若删除其中任一边, 则不连通, 因此树图是 G 中边数最少的连通子图.
( 3) 错. 首先, 由于 v1 至各点都有最短路, 此子图为连通的; 其次, 由于最短路的惟一
性, 此子图无圈, 即为支撑树. 但此子图不一定是最小支撑树. 例如:
图 6. 26
在图 6. 26 的图( a )中, 用 Dijkst ra 标号法可求得 v1 至其余各点的最短路, 可得支撑树
图 6. 27
如图 6. 26( b ) , 权数和为 25, 而在图 6. 26( a) 中, 用
破圈法可求得最小支撑树如图 6. 26( c) 所示, 权数
和为 23, 而 25> 23, 所以, 图 6. 26( b ) 不是最小支
撑树.
( 4) 对.
6. 2 最小树为图 6. 27(不惟一) :
·071·
6. 3 用 Warsall-Flod 算法可求得各点之间的最短路矩阵为
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
0 3 5 9. 3 6. 3 4. 5 6
3 0 2 6. 3 3. 3 1. 5 3
5 2 0 6 4 2. 5 4
9. 3 6. 3 6 0 3 4. 8 6. 3
6. 3 3. 3 4 3 0 1. 8 3. 3
4. 5 1. 5 2. 5 4. 8 1. 8 0 1. 5
6 3 4 6. 3 3. 3 1. 5 0
算出上述矩阵各行的和为:
行 v1 �v2 Bv3 �v4 *v5 �v6 �v7 �
和 34 �. 1 19 !. 1 23 �. 5 35 �. 7 21 }. 7 16 �. 6 24 e. 1
所以:
( 1) 设在 v6 点.
( 2) 设在 v2 , v6 两点.
6. 4 用( i, j ) 表示起点为 vi, 终点为 v j 的弧, 则所有截集如下:
① {( v s, v1 ) , ( v s , v2 ) }; ② {( v s , v1 ) , ( v2 , v1 ) , ( v2 , v3 ) }; ③ {( vs , v2 ) , ( v1 , v t) }; ④ {( v2 ,
v3 ) , ( v1 , v t) }; ⑤ {( v1 , v t) , ( v3 , v t) }.
最小截集为④{( v2 , v3 ) , ( v1 , v t) }.
最小截量 V= 5.
6. 5 网络最大流如图 6. 28 所示(弧旁的数字是( w ij , f ij ) , 其中 w ij为权, f ij为最大流) :
图 6. 28
即最大流{f ij }为:
f s1 = 4, f s5 = 3, f s4 = 7, f 1 2 = 1, f 1 5 = 3, f 2t = 7, f 3 2 = 2, f 3t = 7, f 4 5 = 3, f 43 = 4, f 5 2 = 4,
f 5 3 = 5.
最大流量 F = 14.
若用( i, j )表示以 vi 为起点、vj 为终点的弧, 则最小截集为:
{( v s , v1 ) , ( vs , v5 ) , ( v4 , v5 ) , ( v4 , v3 ) }.
·171·
6. 6 以 A1 , A2 , A3 为起点, B1 , B 2 , B 3 , B 4 为终点, 可得一网络图, 虚增一发点 s, 一收
点 t, 得 图 6. 29 ( a ) , 此即成为求最大流的问题, 从零流出发, 可得最大流如图 6. 29 ( b )
所示.
图 6. 29
调运方案为:
最大总货量为 41.
6. 7 从仓库到市场的最大流量见表 6. 10.
表 6. 10
市场仓库 B1 cB2 �B3 yB4 �可供量
A1 N0 O10 �0 e10 �20 �
A2 N0 O0 �10 |5 �20 �
A3 N20 f10 �40 |5 �100 �
需求量 20 f20 �60 |20 �
6. 8 虚增发点 s, 收点 t, 可得网络图如图 6. 30 所示.
用最大流法可求得结果如下:
甲 乙 丙 丁 戊
英 俄 日 德
答案不惟一. 最多只有 4 人得到招聘.
6. 9 用 Dijk stra 标号法可求得最短路如图 6. 31( a) 与( b ) , 图中顶点的标号( vi, j )中 vi
表示此顶点在最短路上前一个顶点的符号, j 表示到此顶点时的最短路长.
·271·
图 6. 30
图 6. 31
图 6. 31( a)中 v1 至各顶点的最短路及路长为:
① v1→v2 , s2 = 2.
② v1→v3 , s3 = 8.
③ v1→v3→v4 , s4 = 15.
④ v1→v2→v5 , s5 = 3.
⑤ v1→v2→v5→v9→v6 , s6 = 10.
⑥ v1→v2→v5→v9→v7 , s7 = 7.
⑦ v1→v2→v5→v9→v8 , s8 = 11.
⑧ v1→v2→v5→v9 , s9 = 4.
⑨ v1→v2→v5→v9→v7→v10 , s10 = 8.
，0 v1→v2→v5→v9→v7→v10→v11 , s11 = 12.
图 6. 31( b) 中 v1 至各顶点的最短路及路长为:
① v1→v2 , s2 = 4.
② v1→v3 , s3 = 1.
③ v1→v4 , s4 = 3.
④ v1→v3→v6 , s6 = 3.
⑤ v1→v3→v6→v7 , s7 = 6.
顶点 v5 , v8 不可到达.
·371·
6. 10 解 图 6. 22( a)与 6. 22( b )的最短路矩阵分别为:
L(4 w)
0 P1 �2 �1 ~
2 P0 �4 �3 ~
3 P4 �0 �2 ~
1 P2 �3 �0 ~
Q( 4 y)
1 P2 �3 �4 ~
1 P2 �1 �1 ~
4 P4 �3 �4 ~
1 P1 �1 �4 ~
( a)
0 G2 /6 �8
- 3 G- 1 /3 �5
- 7 G- 5 /- 1 �1
- 8 G- 6 /- 2 �- 1
1 G4 /4 �4
4 G4 /4 �4
4 G4 /4 �2
3 G3 /3 �3
( b )
6. 11 解 对矩阵
46 62 39
24 31 49
29 38 56
,
可用匈牙利算法得矩阵
v1 v2 v3
A1
A2
A3
7 9 �
� � 25
� 2 27
,
所以最优调运方案为:
A 1 �A 2 �A3 {
v3 �v2 �v1 p
6. 12 解 先将此图弧上的受阻概率转化为畅通概率. 由于在某条路上受阻的反面为
在该路上畅通, 而开车在各弧上畅通是相互独立的, 整条路上畅通的概率可用乘法来求. 而
求受阻可能性最小, 即求畅通的可能性最大. 借用 Dijkst ra 标号法可求出畅通概率最大的
路. 图 6. 32 中各顶点标号 ( vi, p j ) , 第一个标号 vi 为该路上 v j 的前一个顶点, p j 为 v1 至 vj
的最大畅通概率.
图 6. 32
·471·
得受阻概率最小的路为:
v1 → v2 → v3 → v5 → v7 ,
最小概率为 1- 0. 168= 0. 832.
6. 13 先画出网络图, 图中顶点的数字代表年份, 可得最短路的标号, 如图 6. 33 所示.
图 6. 33
最短路为 v1 - v2 - v5 , 即最佳更新方案为: 第 1 年末买一辆新车, 第 2 年末更换, 用到第
5 年末止, 最小费用为 1. 21.
6. 14 任意两城市间的最便宜路线和票价如表 6. 11 所示.
表 6. 11
起终城市 最 便 宜 路 线 票 价
C1 ��C2 C1 `- C6 - C2 35 �
C3 zC1 `- C5 - C3 或 C1- C6 - C4- C3 45 �
C4 zC1 `- C5 - C4 或 C1- C6 - C4 35 �
C5 zC1 `- C5 25 �
C6 zC1 `- C6 10 �
C2 ��C3 C2 `- C3 15 �
C4 zC2 `- C4 20 �
C5 zC2 `- C4 - C5 30 �
C6 zC2 `- C6 25 �
C3 ��C4 C3 `- C4 10 �
C5 zC3 `- C5 或 C3 - C4- C5 20 �
C6 zC3 `- C4 - C6 35 �
C4 ��C5 C4 `- C5 10 �
C6 zC4 `- C6 25 �
C5 ��C6 C5 `- C1 - C6 或 C5- C4 - C6 35 �
·571·
6. 15 如图 6. 34 所示.
图 6. 34
流量图 f 3 即满足要求, 最小费用= 30.
6. 16 ① 求解过程如图 6. 35 所示.
f 4 即为最小费用流.
② 求解结果见图 6. 36.
f 5 即为最大流, 也为最小费用最大流.
6. 17 网络图为图 6. 37, 图中数据为( bij , wij ) , 最小费用最大流为:
f A1
B1
= 2, f A1
B2
= 0, f A1
B3
= 6,
f A2
B1
= 2, f A2
B2
= 5, f A2
B3
= 0.
6. 18 解 ( 1) 网络图如图 6. 38 所示.
( 2) 各结点最早开工时间计算结果见图 6. 38 中□内数据.
各结点最迟开工时间计算结果见图 6. 38 中△内的数据.
( 3) 关键线路有两条: ①→②→，0 →，？→，？; ①→③→⑤→②→，0 →，？→，？. 用图 6. 38
中粗线条表示.
6. 19 解 其网络图如图 6. 39 所示.
·671·
图 6. 35
图 6. 36
·771·
图 6. 37
图 6. 38
图 6. 39
其中方框内数据表示结点最早时间, 三角形框内数据表示结点最晚时间.
关键线路为: ①→③→④→⑤→⑥.
方案一: 正常进度完工的工程费用:
工程费用= 153+ 15× 5= 22800( 元) .
方案二: 在方案一中, 关键路线是①→③→④→⑤→⑥, 且由表 6. 8 中已知数据费用
率(即赶进度一天所需费用) 知, min {c1 3 , c4 5 , c56 } = {4, 3, 6}= 3 = c45 , 为此缩短关键工序 g
一天.
工程费用= 228+ 1× 3- 1× 5= 22600(元) .
·871·
调整后, 关键路线有 3 条: ①→③→④→⑤→⑥; ①→③→⑥; ①→②→⑤→⑥, 工期为
14 天, 见图 6. 40.
图 6. 40
在图 6. 40 中各结点最早时间与最迟时间已相等, 因而该项工程的最低成本日程已求
出, 为 14 天, 方案二为最优方案.
6. 20 解 ( 1) 网络图如图 6. 41 所示.
图 6. 41
每个工序的期望时间 t ij与方差 σij 见表 6. 12.
表 6. 12
工序 乐观时间 a 最可能时间 m 保守时间 b tij σij
A 2 85 }6 �4 N. 7 4 |/ 9
B 6 89 }12 �9 |1 �
C 5 814 �17 �13 �4 �
D 5 88 }11 �8 |1 �
E 3 86 }9 �6 |1 |/ 4
F 3 812 �21 �12 �9 �
G 1 84 }7 �4 |1 �
( 2) 按工序期望时间求出的关键路线为①→②→③→④→⑤→⑥, 用图 6. 41 中粗线条
·971·
表示.
因此, 总工期的期望值为:
T E = ∑t ij = 4. 7 + 9 + 8 + 6 + 4 = 31. 7 天.
方差为:
σ2E = ∑σ2
ij =49
+ 1 + 1 +14
+ 1 = 32536
= 3. 69.
( 3) 比总工期的期望值提前 3 天的概率
V =- 33. 69
= - 0. 81,
P ( V = - 0. 81) = 1 - P ( V = 0. 81)查正态分布表得
1 - 0. 79 = 0. 21.
因此工程提前 3 天完工的可能性不大.
比总工期的期望值延迟不多于 5 天的概率
V =5
3. 69= 1. 36,
查正态分布表得: P ( V< 1. 36) = 0. 913.
由计算结果可知, 一般工程工期延迟不会多于 5 天.
·081·
第 7 章 存 储 模 型
7. 1 重点、难点提要
1. 基本概念
我们把需要储备的货物、原料、备件、物资( 也包括现金)等概括称为库存. 库存的各种物
质数量经常在变化, 例如商店, 经过销售使货物减少; 工厂, 由于生产使原材料及备件减少,
对于这种数量的减少, 称之为库存减少. 把库存因满足生产及销售的需要而减少的原因称为
需求.
库存由于需求而减少, 减少到一定数量时必须加以补充, 这样才能使继续生产及销售成
为可能. 补充的方式可以是向外单位购买, 也可以是本单位自己生产.
商店或工厂的库存管理者经常要对下面问题做出决定: 隔多少时间检查一次库存状况?
库存项目可能很多, 对每个项目何时进行补充? 补充数量是多少? 何时补充库存, 补充多少
数量的策略, 称之为库存策略. 库存策略的优劣, 要用经济效益来衡量. 简便的办法是计算它
的费用, 用费用来衡量库存策略的优劣.
库存费用主要有三项:
( 1) 存储费
存储费包括存储物料所需的费用; 对库存的监测或实地清点的费用; 物料的过期损失;
保险费与税金; 占用资金的成本等.
t 时刻的库存称为 t 时刻的库存水平, 记为 I ( t) . 由 0 至 T 时刻内的平均库存 I , 可以表
示为
I =1T∫
T
0I ( t) dt.
定义库存时间间隔( 0, T ) 上的库存量为
Q =∫T
0I ( t) dt.
若 C1 是单位物料在单位时间内的存储费, 则在时间间隔( 0, T )上的存储费为
C1 ¡¤Q = C1 ¡¤∫T
0I ( t) dt.
式中 C1 称为单位存储费, 通常认为它与时刻 t 无关. 若它是时刻 t 的函数 C1 ( t)时, 则在( 0,
T )时间间隔上的存储费为
∫T
0C1 ( t) ¡¤I ( t) dt.
( 2) 订货费
通常把向其他单位采购所需要的费用称为订货费.
订货费可分为两部分, 一部分是订购时支出的费用, 如手续费、电信往来、派人外出采购
·181·
所需的费用, 这项费用只与订购次数有关, 与采购数量无关; 另一部分与采购数量有关, 如货
物本身的价格与运费等. 前一部分是固定费用, 后一部分相对来说是可变费用. 本章所称的
订货费是专指前者, 即固定费用部分.
( 3) 缺货损失费
原材料库存过少; 工人停工待料; 机器闲置等会造成损失. 商店库存过少, 会失去销售机
会, 影响信誉( 或不能履行合同要支付罚款) . 这些损失折合成钱, 称为缺货损失费.
制定库存策略时还要考虑一个因素, 即备运期. 为了补充库存而订购时, 从订货开始直
到货物进入库存时为止, 需要一段时间, 这段时间称为备运期.
由于具体条件有差别, 库存问题也大有不同. 从库存项目来说, 有单项和多项的差别; 从
订购货物的价格来说, 有有折扣与无折扣的差别; 从备运期来说, 有备运期长短是确定的和
随机的差别. 通常, 当需求量不随时间变化时, 称为静态需求, 否则称为动态需求. 当随机需
求的概率分布函数不随时间改变时, 称随机需求是平稳的, 否则是非平稳的. 有时允许缺货,
有时不允许缺货. 本章只讨论确定型静态存储模型与随机平稳需求存储模型.
2. 需求确定的存储模型(简称确定性存储模型)
( 1) 模型一: 备运期为零、不允许缺货
为使模型简单, 便于计算, 需作如下假设:
① 缺货损失费无限大(不允许缺货) .
② 供货率无限, 即无货时可以立即得到补充, 备运期为零.
③ 需求是连续均匀的, 需求速度 D (单位时间内的需求量) 是正常数.
④ 每批订货量 Q 不变, 订货费 k> 0 不变.
⑤ 单位存储费(单位时间内单位货物所需的存储费用) C1 不变.
设每隔 t 0 时间补充一次库存, t 0 即是相邻两次订货的间隔时间, 也即一个周期的时间长
度, t 0 时间内的需求量 Q0 = D·t 0 .
在此模型中, 库存以 t 0 为周期变化着, 为此决定库存策略只需研究一个周期的费用. 以
下是在 t 0 时间内所需的各项费用.
存储费: 记单位库存费为 C1 , 则库存水平 I ( t) = Q0 - D t, 所以在一个周期 t 0 上的库存
量为
Q =∫t0
0I ( t) dt =∫
t0
0( Q0 - Dt) dt =
12
Q0 t 0
(因为 Q0 = D t0 ) .
存储费为 C1 Q=12
Q0 t 0 C1 .
订货费: 记每次订货费为 k. 由于不会产生缺货, 缺货损失费可以不予考虑.
于是在周期 t 0 时间内所需的总费用为
12
C1 Dt20 + k.
平均总费用
C( t 0 ) =12
C1 D t0 +kt 0
.
·281·
令dC( t 0 )
dt 0=
12
C1·D-kt 2
0= 0.
解得
t *0 =2k
C1 D( 7. 1)
又因为 Q0 = Dt*0 , 得
Q0 =2kDC1
( 7. 2)
此时, C( t*0 ) =
12
C1·Dt* 20 + k
t *0=
2kt *0
= 2C1·k·D ,
即有 C( t*0 ) = 2C1 ¡¤k ¡¤D ( 7. 3)
因d
2C( t 0 )dt
20 t
0= t*
0
=2k
( t*0 )
3 > 0, 知 t*0 =
2kC1·D
时, C( t 0 )取最小值.
故得出最优库存策略是: 每隔 t 0 =2k
C1D时间订货一次, 订货量 Q0 =
2k·DC1
, 这时平
均总费用最小, 最小总费用 C( t 0 ) = 2C1·k·D .
公式( 7. 2)称为经济订货批量公式( economic ordering quant ity) , 简称 EOQ 公式.
( 2) 模型二: 备货期为零, 允许缺货
设单位存储费为 C1 , 单位缺货损失费为 C2 , 每次订货费为 k, 需求速度为 D . 最初库存水
平为 S , 可以满足 t 1 时间内的需求, 则 t1 时间内的平均库存水平为12
S, 所需存储费为C1
2St 1 .
当 t 0 > t 1 时, 在( t 0 - t 1 )时间内库存为零, 平均缺货为12
D· ( t 0 - t 1 ) , 应付的缺货费用为C2
2·
D ( t 0 - t 1 ) 2 , 订货费为 k, 于是平均总费用
C( t0 , S) =1t 0
12
C1St 1 +12
C2 D ( t 0 - t 1 )2
+ k .
因为 S = D t1 , t 1 =SD
, 代入上式得
C( t 0 , S) =1t0
12
C1S2/ D +
12
C2 ¡¤D( t0 - S/ D )2
+ k .
求得最优值为
t*0 =
2kC1 D
C1 + C2
C2( 7. 4)
S*
=2kDC1
¡¤C2
C1 + C2( 7. 5)
C( t *0 , S * ) = 2kC1 DC2
C1 + C2( 7. 6)
最优订货量 Q*
= Dt*0 =
2k( C1 + C2 ) DC1 C2
, 即
·381·
Q* =2kDC1
¡¤C1 + C2
C2( 7. 7)
模型二得出 的库存策略 为: 每 隔 t 0 =2k( C1 + C2 )
C1D C2时间订货一 次, 订 货量 Q =
2k( C1 + C2 ) DC1 C2
, 用其中一部分订货补足上阶段的缺货, 剩余部分进入库存, 库存的数量为
S =2kDC2
C1 ( C1 + C2 ). t0 周期内的最大缺货量 Q- S , 则
Q - S =2kDC2
¡¤C1
C1 + C2( 7. 8)
公式( 7. 5)中的 S* 可认为是缺货不要补充时的经济订货批量; 公式( 7. 7)为缺货在到货
后要补上的经济订货批量.
3. 需求随机的存储模型(简称随机性存储模型)
随机型存储模型的主要特点在于需求是随机的, 其概率分布已知. 可采用如下三种
方法:
第一种方法: 定期订货, 但订货量则需根据库存量加以变化.
第二种方法: 库存量降到某一个数量时即订货, 否则不订货. 这个数量值称为订货点. 每
次订货的数量不变.
第三种方法: 是把定期定货与定点订货综合起来的方法. 隔一定的时间检查一次库存
量, 如果库存量高于某个数值 β, 则不订货, 如果低于 S 则订货补充库存, 使库存达到 S .
( 1) 模型一: 需求离散的报童问题
报童每天售出报纸的数量是一个随机变量. 每天售出一份报纸赚 m 分, 如未能售出, 每
份赔 h 分. 每日售出 r 份报纸的概率 P ( r ) 根据已往的经验是已知的. 问报童每日应准备多
少份报纸才能使赢利的期望值最大?
报童问题是最简单的定期订货模型: 无订货费、存储费; 备货期为零; 不计上期库存剩余
数量; 有过量损失与不足损失; 要求确定适当的订货量, 以使得总的损失最小. 凡属上述模型
的存储问题都称报童问题.
设报童每日准备报纸的份数为 Q; 需要报纸 r 份数的概率为 P ( r ) ( 已知) , ∑∞
r= 0
P ( r) =
1, 当 r≤Q 时, 赢利为 mr- h( Q- r ) , 赢利的期望值为 ∑Q
r= 0
[ mr - h ( Q - r ) ] P ( r ) ; 当 r > Q
时, 赢利为 m·Q, 赢利的期望值为 ∑∞
r = Q + 1
m ¡¤Q ¡¤P ( r) .
无论 r≤Q 或 r> Q, 报童赢利的期望值为
E[ C( Q) ] = ∑Q
r = 0
[ mr - h ( Q - r ) ] ¡¤P ( r) + ∑∞
r = Q + 1
m ¡¤Q ¡¤P ( r)
可证明: 使 E [ C( Q) ] 取得最大值的 Q= Q* 应满足
F ( Q* ) ≥m
m + h≥ F ( Q* - 1) ,
·481·
其中 F ( Q) = ∑Q
r= 0P ( r ) .
( 2) 模型二: 需求连续的报童问题
除需求是连续型随机变量外, 其他条件同模型一. 设 X 是市场需求量, 它是一个概率密
度函数为 f ( x )的随机变量.
设 Q 为订货量, 则全部损失费的数学期望为
E [ C( Q) ] = h∫Q
0( Q - x ) f ( x ) dx + m∫
+ ∞
Q( x - Q) f ( x ) dx
可证明, 使 E [ C( Q) ] 取得最大值的 Q= Q* 应满足
F ( Q*
) =m
m + h,
其中 F ( Q) =∫Q
0f ( x ) dx .
我们称m
m+ h为服务水平, 它是在最优存储下有货出售给顾客的概率. 因为 F ( Q
*) =
P ( X≤Q* )是市场需求量 X 不大于订货量 Q
* 的概率.
利用服务水平m
m+ h反查分布函数 F ( x )的数值表, 可得
Q*
= F- 1 m
m + h.
下面分析需求量 X 服从正态分布时的最优订货量 Q* .
设 X～N ( μ, σ2 )
则 F ( Q*
) = P ( X≤Q*
) = PX - μ
σ≤
Q*
- μσ
= ΦQ
*- μσ
.
由 F ( Q*
) =m
m+ h得
ΦQ
*- μσ
=m
m + h.
反解得Q
*- μσ
= Φ- 1 m
m+ h.
即有 Q*
= μ+ σ·Φ- 1 m
m+ h.
另外, 可求得
E[ C( Q* ) ] = ( h + m) ¡¤σ¡¤φQ* - μ
σ.
( 3) 模型三: 备货期大于零, 不允许缺货的问题
当备货时间 T 大于零时, 为避免缺货, 必须增加一部分安全库存量. 设需求量 X ～
N (μ, σ2) , R 为在置信度 1- α下的订货点, 由 P ( X < R) = 1- α, 可得 R = μ+ β·σ, 其中 β
为安全库存系数, 其值为满足等式 P ( X > β) = α的正态分布的分位数, βσ为安全库存量.
因此, 订货策略为: 当备货期大于零时, 若存储量降低到 R, 则以 Q*
=2kDC1
固定的订
货量进行订货.
( 4) 模型四: 备货期大于零, 允许缺货的问题
·581·
设 D , k, C1 , C2 同前, 并设存储量降到 R 时订货, 订货数量为 Q, 备货期中需求量 X 的密
度函数为 f ( x ) , 分布函数为 F ( x ) , 即 F ( x ) =∫x
- ∞f ( t) dt, 则可求得最佳订货点 R
*和最佳
订货量 Q*满足如下方程组:
F ( R) = 1 -C1 ¡¤QC2 ¡¤D
( 7. 9)
Q =2D k + C2∫
+ ∞
Rx ¡¤f ( x ) dx - R[ 1 - F ( R) ]
C1( 7. 10)
最佳订货点 R* 和最佳订货量 Q
* 可按以下步骤解出:
① 取 Q1 =2kDC1
;
② 将 Q= Q1 代入式( 7. 9) 求出 R 1 ;
③ 将 R= R1 代入式( 7. 10)求出 Q2 ;
④ 将 Q2 代入( 7. 9) , 重复②、③, 一直迭代到收敛为止, 最后得到的即为 R*与 Q
*.
7. 2 主要解题方法和典型例题分析
1. 不允许缺货的确定性模型
例 1 某公司经营一批电视机, 每台成本为 560 元, 每次订购费 20 元, 其存储费每年为
成本的 15% , 顾客对此电视机的年需求量为 1400 台. 假设需求量是均匀的, 在不许缺货的
情况下, 求最优订购批量.
解 C1 = 560× 15% = 84, D = 1400, k= 20, 则
Q*
=2k ¡¤D
C1=
2× 20× 140084
= 26.
所以, 最优订购批量为 26 台. 即全年分140026
ǚ 54 次进货, 每次进 26 台, 能使费用最小.
2. 允许缺货的确定性模型
例 2 某电子设备厂对一种元件的需求为 R= 2000 件/ 年, 订货提前期为零, 每次订货
费为 25 元. 该元件每件成本为 50 元, 年存储费为成本的 20% . 如发生供应短缺, 可在下批
货到达时补上, 但缺货损失费为每件每年 30 元. 要求:
① 经济订货批量及全年的总费用;
② 如不允许发生供应短缺, 重新求经济订货批量, 并同①的结果进行比较.
解 ① k= 25, D = 2000, C1 = 50× 20% = 10, C2 = 30, 则
Q* =2kDC1
C1 + C2
C2=
2× 25× 200010
¡¤10 + 30
30= 115.
C( t *0 , S * ) = 2kC1DC2
C1 + C2=
2× 25× 10× 2000× 3010 + 30
= 866.
·681·
② �Q* =
2kDC1
=2× 25× 2000
10= 100.
C( t*0 , S
*) = 2kC1 D = 2× 25× 10× 2000= 1000.
与①相比, ②中的经济订货批量减少了, 而全年的总费用增加了.
3. 离散型的报童问题
例 3 某商店准备在新年前订购一批挂历批发出售, 已知每售出一批( 100 本 ) 可获利
70 元. 如果挂历在新年前售不出去, 则每 100 本损失 40 元. 根据已往销售经验, 该商店售出
挂历的数量如表 7. 1 所示. 问一次订货几百本, 使期望的获利数最大?
表 7. 1
销售量( 100 �本) 0 �1 �2 3 N4 |5 �
概率 0 �. 05 0 �. 10 0 �. 25 0 �. 35 0 7. 15 0 e. 10
解 由公式 F ( Q*
- 1)≤m
m+ h≤F ( Q
*) , 其中 m= 70, h= 40, 可得 Q
*= 3.
所以, 一次应订购 300 本.
4. 连续型的报童问题
例 4 设某产品的需求量服从正态分布. 已知 μ= 150, σ= 25, 又知每个产品的进价为
8 元, 售价为 15 元, 如销售不完按每个 5 元退回原单位. 问该产品的订货量应为多少个, 使
预期的利润最大?
解 m= 15- 8= 7, h = 8- 5= 3,
则 F ( Q*
) =m
m+ h=
77+ 3
= 0. 7.
因为 Q～N ( 150, 252) ,
所以 P ( Q≤Q*
) = PQ- 150
25≤
Q*
- 15025
= ΦQ
*- 15025
= 0. 7.
查表得Q* - 150
25= 0. 525.
所以 Q*
= 163.
即该产品的订货量应为 163 个.
5. 不允许缺货的随机模型
例 5 某公司订购一种零件, 一次订货费为 100 元, 年平均需求量为 1000 件, 每件年存
储费为 80 元, 备运期为 10 天, 备运期中的销售量服从均值为 30、均方差为 2 的正态分布.
为使不缺货的概率达到 99. 5% 且总费用最小, 问订货点是多少, 每次订多少件?
解 D = 1000, k= 100, C1 = 80, 且备运期 T = 10> 0, 所以
Q* =2kDC1
=2× 100× 1000
80= 50.
·781·
根据不缺货的概率达到 99. 5% , 查正态分布表得 β= 2. 58, 订货点为
R * = μ+ β¡¤σ= 30 + 2. 58× 2 ≈ 35.
所以订货点为 35 件, 每次订货 50 件.
6. 允许缺货的随机模型
例 6 某物资年平均需求量为 10000 吨, 备货期的需求量服从以 300 吨为均值、40 吨为
均方差的正态分布, 一次订货费 k= 70 元, 每吨年存储费 C1 = 0. 6 元.
① 为使不缺货的概率达 99. 9% 且总费用最小, 求最佳订货点和订货量.
② 若缺货, 需在到货后补上, 每次缺一吨的损失费 C2 = 1. 50 元, 求最佳订货点和订货量.
解 ① Q*
=2K D
C1=
2× 70× 100000. 6
≈1528.
查正态分布表得 β= 3, 所以
R * = μ+ βσ= 300 + 3× 40 = 420.
存储量降到 420 吨时订货, 每次订货量为 1528 吨.
② 取 Q1 = 1528, 得
F ( R 1 ) = 1 -C1 Q1
C2D= 1 -
0. 6× 15281. 5× 10000
= 0. 9389.
即 P ( X ≤ R1 ) = PX - 300
40≤
R 1 - 30040
= ΦR 1 - 300
40= 0. 9389.
查正态分布表得
R1 - 30040
= 1. 54,
R 1 = 300+ 40× 1. 54= 362, 再将 R 1 代入公式
Q =2D K + C2∫
+ ∞
Rx t( x ) dx - R[ 1 - F ( R) ]
C1,
得
Q2 =2× 10000 70 + 1. 5∫
+ ∞
362xt(x)dx - 362× 0. 0611
0. 6=
20000× ( 70 + 1. 5× 1. 07)0. 6
= 1545.
又有
F ( R 2 ) = 1 -C1 Q2
C2D= 1 -
0. 6× 15451. 5× 10000
= 0. 9382.
查正态分布表得
R 2 = 300 + 1. 54× 40 = 362.
这时, R 1 = R 2 = 362, 计算已收敛, 故得订货点 R* = 362, 每次订货量 Q
* = 1545.
7. 3 习 题
7. 1 某工厂每年需要某种备件 400 件, 每件每年的存储保管费为 14. 4 元, 每次订购费
·881·
为 20 元, 不得缺货, 试求经济订货批量.
7. 2 某工厂每年需要某种原料 600 公斤, 每次订货费为 900 元, 每月每公斤存储费为
5 元. 若允许缺货, 且每年每公斤缺货损失费为 180 元, 求最优订货量.
7. 3 某物资每月需供应 50 箱, 每次订货费为 60 元, 每月每箱的存储费为 40 元. ( a)
若不允许缺货, 且一订货就可提货, 试问每隔多少时间订购一次, 每次应订购多少箱? ( b ) 若
一个周期中缺一箱的缺货损失费为 40 元, 缺货不要补. 问每隔多少时间订购一次, 每次应该
订购多少箱?
7. 4 某食品商店每天进货牛奶, 每箱的进货价为 24 元, 售价为 30 元. 当天如果不能售
出, 则因牛奶变质而全部损失. 根据以往的统计, 该商店牛奶需求量的概率分布如表 7. 2 所
示. 试确定每天牛奶的进货数.
表 7. 2
需求量(箱) 32 �33 �34 |35 d
概率 0 g. 1 0 O. 3 0 7. 5 0 �. 1
7. 5 某物资每月平均需求量为 60 箱, 一次订货费为 147 元, 每箱每月的存储费为 40
元, 备货期 5 天. 备货期的需求量服从均值为 10 箱, 均方差为 2 箱的正态分布. 为使不缺货
的概率达到 99. 9% 且总费用最小, 问订货点是多少, 每次订多少箱?
7. 6 某公司对某种备件的年平均需求量为 800 件, 一次订货费为 16 元, 存储费为每年
每件 4 元, 缺货损失费为每年每件 8 元, 设备货期的需求量服从[ 0, 200]区间上的均匀分布,
试求最佳批量与最佳订货点.
7. 4 习 题 解 答
7. 1 解 D = 400, C1 = 14. 4, k= 20,
Q*
=2kDC1
=2× 20× 400
14. 4ǚ 33 件.
即经济订货批量为每次 33 件.
7. 2 解 D = 600, k= 900, C1 = 5× 12= 60, C2 = 180. 本题理解为缺货, 可在下期补充.
Q*
=2kDC1
¡¤C1 + C2
C2=
2× 900× 60060
¡¤60 + 180
180= 155.
即最优订货量为 155 件.
7. 3 解 ① 不允许缺货
D = 50, k= 60, C1 = 40,
Q* =2kDC1
=2× 60× 50
40ǚ 12.
t*
=2k
C1 ¡¤D=
2× 6040× 50
= 0. 245 月.
② 允许缺货, 缺货不要补, C2 = 40
·981·
Q* =2kDC1
C2
C1 + C2=
2× 60× 5040
¡¤40
40 + 40ǚ 9.
t * =2k
C1DC1 + C2
C2=
2× 6040× 50
40 + 4040
ǚ 0. 173 月.
7. 4 解 m= 30- 24= 6, h = 24.
mm + h
=6
6 + 24= 0. 2.
由公式 F ( Q* - 1) ≤
mm+ h
≤F ( Q* ) ,
即 F ( Q*
- 1)≤0. 2≤F ( Q*
) ,
得 Q* = 33.
即每天牛奶进货量为 33 箱.
7. 5 解 D = 60, k= 147, C1 = 40,
此题为备货期大于 0 的不允许缺货的随机存储问题, 需求量 X～N ( 10, 22) , 则
Q* =2kDC1
=2× 147× 60
40= 21.
根据不缺货的概率为 99. 9% , 查正态分布表得 β= 3.
R * = 10 + 3× 2 = 16.
所以, 订货点为 16 箱, 每次订 21 箱.
7. 6 解 D = 800, k= 16, C1 = 4, C2 = 8, 此题为备货期大于 0 的允许缺货的随机存储
问题, 需求量 X～U[ 0, 200] .
Q0 =2kDC1
=2× 16× 800
4= 80.
设 Q1 = 80, 得
F ( R 1 ) = 1 -C1 Q1
C2 D= 1 -
4× 808× 800
= 0. 95.
因为 f ( x ) =
1200
, 0≤x≤200
0, 其他,
所以 ∫R
1
0
1200
dx =R 1
200= 0. 95.
所以 R 1 = 200× 0. 95= 190.
将 R 1 = 190 代入公式
Q =2D k + C2∫
+ ∞
Rx f ( x ) dx - R[ 1 - F ( R) ]
C1,
得 Q2 ǚ 85,
F ( R 2 ) = 1 -C1 Q2
C2D= 1 -
4× 858× 800
= 0. 9468,
R 2 = 200× 0. 9468 = 189,
·091·
Q3 = 92,
F ( R 3 ) = 1 -C1 Q3
C2D= 1 -
4× 928× 800
= 0. 9425,
R 3 = 200× 0. 9425 ǚ 188,
Q4 = 95,
F ( R 4 ) = 1 -C1 Q4
C2D= 1 -
4× 958× 800
= 0. 9406,
R 4 = 200× 0. 9406 = 188.
因为 R 3 = R4 = 188, 计算已收敛, 故得最佳批量 Q*
= 95 件, 最佳订货点为 R*
= 188 件.
·191·
第 8 章 决策分析模型
8. 1 重点、难点提要
1. 决策问题的基本要素
决策问题的基本要素包括: 可能采取的行动方案 a ; 影响决策的自然状态 s; 反映效果的
收益函数 q; 指导行动的决策准则 f . 其关系为
Optd = f ( a , s, q) .
其中 d 为某决策准则下的决策值, q 为处于状态 s 时决策人采用方案 a 的收益.
通常将 n 个状态 m 个方案产生的收益 qij排列为如下矩阵
s1 s2 ⋯ sn
Q =
a1
a2
┆
am
q11 q12 ⋯ q1n
q21 q22 ⋯ q2n
┆ ┆ ┆
qm1 qm2 ⋯ qmn
.
该矩阵称之为收益矩阵.
2. 决策模型
( 1) 不确定性决策模型: 决策者面临的决策问题缺乏必要的可能出现的不同自然状态
的信息和无法确定自然状态发生的概率, 此类问题称之为不确定性决策模型. 该决策模型求
解准则有:
① 悲观准则: 在此准则下, 最优决策值 d* 为小中取大, 即 d
*i0 = max
imin
j{qij }, 此时对应
的方案 a i0为最优方案.
② 乐观准则: d*i0 = max
imax {qij }, 此时对应的方案 ai0为最优方案.
③ 适度乐观准则: d*i0 = max {α·max
j{qij }+ ( 1- α) min
j{qij }}, 其中 α为决策者依据经
验判断为可能出现的最大收益确定的一个系数( 0< α< 1) , 此时, 对应的方案 a i0为最优方案.
④ 后悔准则: d*i0 = min
imax
j{max
i{qij }- qij }.
此时对应的方案 a i0为最优方案.
⑤ 等可能性准则: d*i0 = max
i
1n ∑
n
j = 1
qij .
此时对应的方案 a i0为最优方案.
( 2) 风险性决策模型
决策者面临的决策问题具有各自然状态 si 发生的概率 p ( si) , 此类决策问题是风险性决
策模型.
风险性决策模型的准则有
·291·
① 最大可能准则
d*i0 = max
i{qit}.
其中 t 满足 p ( st ) = maxj
{p ( sj ) }. 对应的方案 ai0为最优方案.
② 期望收益准则
d *i0 = max
i{∑
j
qij p ( sj ) }.
对应的方案 a i0为最优方案.
③ 期望损失准则
d *i0 = min
j{∑
j
( maxi
{qij } - qij ) ¡¤p ( sj ) }.
对应的方案 a i0为最优方案.
④ 后验期望准则
d *i0 = max
i{∑qij p ( sj ©¦x ) }.
其中
p ( sj ©¦x ) =p ( x ©¦sj ) ¡¤p ( sj )
∑k= 1
p ( x ©¦sk ) ¡¤p ( sk ).
p ( x ©¦sj )是在给定自然状态 sj 下事件 x 发生的概率. ai0为最优决策方案.
3. 信息的价值
① 完全信息期望值= 完全最大期望收益值- 先验最大期望收益值.
即 E VP I = ∑j
maxi
{qij p ( sj ) } - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }
② 样本信息期望值(样本信息价值) E VSI
E VSI = 后验最大期望收益值 - 先验最大期望收益值.
即 E VSI = ∑k
p ( xk ) [ maxi
{∑qij p ( sj ©¦x k ) }] - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }.
8. 2 主要解题方法和典型例题分析
例 1 某工厂有三种方案可供选择, 方案 A1 是对原厂进行扩建; 方案 A2 是对原厂进行
技术改造; 方案 A3 是建设新厂, 而未来市场可能出现滞销( s1 ) 、一般( s2 ) 和畅销 ( s3 ) 三种状
态. 各个方案在每种状态下的利润矩阵见表 8. 1.
表 8. 1
状态利润
方案 s1 �s2 Qs3 �
a1 ,- 4 �13 e15 �
a2 , 4 �7 e8 �
a3 ,- 6 �12 e17 �
·391·
问该厂的经营者在以下五种方法下的最优决策方案为何?
( 1) 悲观准则
( 2) 乐观准则
( 3) 适度乐观准则( α= 0. 6)
( 4) 后悔值准则
( 5) 等可能性准则
解 ( 1) 据悲观准则有
d1 = min{- 4, 13, 15} = - 4,
d2 = min{4, 7, 8} = 4,
d3 = min{- 6, 12, 17} = - 6,
d*2 = max{- 4, 4, - 6} = 4.
故方案 a 2 为最优决策方案.
( 2) 据乐观准则有
d 1 = max{- 4, 13, 15} = 15,
d 2 = max{4, 7, 8} = 8,
d 3 = max{- 6, 12, 17} = 17,
d*3 = max{15, 8, 17} = 17.
故方案 a 3 为最优决策方案.
( 3) 据适度乐观准则:
max q1j = max {- 4, 13, 15} = 15,
minq1j = min{- 4, 13, 15} = - 4.
同理有
maxq2j = 8, minq2j = 4,
maxq3j = 17, minq3 j = - 6.
于是
d*1 = max{0. 6× 15 - 0. 4× 4, 0. 6× 8 + 0. 4× 4, 0. 6× 17 - 0. 4× 6}
= max{7. 4, 6. 4, 7. 8} = 7. 4.
故 a 1 为最优决策方案.
( 4) 据后悔值原则有
令 bij = maxi
qij - qij表示在状态 sj 下, 采取方案 a i 的后悔值, 则 bij阵为
状态b
方案 s1 ;s2 �s3 �
a1 �8 70 �2 �
a2 �0 76 �9 �
a3 �10 N1 �0 �
于是
maxb1j = max {8, 0, 2} = 8,
·491·
maxb2 j = max{0, 6, 9} = 9,
maxb3 j = max{10, 1, 0} = 10,
d *1 = min{8, 9, 10} = 8.
故 a 1 为最优决策方案.
( 5) 据等可能性准则
13 ∑
3
j = 1
q1j =13
( - 4 + 13 + 15) =13× 24 = 8,
13 ∑
3
j = 1
q2j =13
( 4 + 7 + 8) =13× 19 = 6
13
,
13 ∑
3
j = 1
q3j =13
( - 6 + 12 + 17) =13× 23 = 7
23
.
于是 d*1 = max 8, 6
13
, 713
= 8.
故 a 1 为最优决策方案.
例 2 某公司拟定扩大再生产的三种方案, 未来市场需求状态为: 无需求 ( s1 ) 、低需求
( s2 ) 、中需求( s3 ) 和高需求( s4 ) , 每个方案在四种状态下的损失如表 8. 2 所示.
表 8. 2
自然状态损失
方案
s1 �s2 �s3 hs4 P
a1 �130 �65 �- 70 �- 160 �
a2 �40 �5 �- 45 �- 100 �
a3 �95 �50 �- 60 �- 120 �
试用下列五种决策准则选择扩大再生产的方案.
( 1) 悲观决策准则
( 2) 乐观决策准则
( 3) 适度乐观准则( α= 0. 7)
( 4) 后悔值决策准则
( 5) 等概率决策准则
解 注意到损失的反面就是收益, 于是我们有收益矩阵
s1 s2 s3 s4
Q =
a 1
a 2
a 3
- 130 - 65 70 160
- 40 - 5 45 100
- 95 - 50 60 120
.
于是
( 1) 据悲观准则有
d 1 = min {- 130, - 65, 70, 160} = - 130,
d 2 = min {- 40, - 5, 45, 100} = - 40,
·591·
d 3 = min{- 95, - 50, 60, 120} = - 95,
d *2 = max {d 1 , d 2 , d 3 } = max{- 130, - 40, - 95} = - 40.
故应选择的方案为 a 2 .
( 2) 据乐观准则有:
d 1 = max{- 130, - 65, 70, 160} = 160,
d 2 = max{- 40, - 5, 45, 100} = 100,
d 3 = max{- 95, - 50, 60, 120} = 120,
d *1 = max {d 1 , d 2 , d 3 } = max{160, 100, 120} = 160.
故应选择的方案为 a 1 .
( 3) maxj
q1j = max{- 130, - 65, 70, 160} = 160,
minj
q1j = min {- 130, - 65, 70, 160} = - 130.
同理有
maxq2 j = 100, minq2 j = - 40,
maxq3 j = 120, minq3 j = - 95.
令 d i= αmaxj
qij + ( 1- α) minj
qij , 则
d 1 = 0. 7× 160 + 0. 3× ( - 130) = 73,
d 2 = 0. 7× 100 + 0. 3× ( - 40) = 58,
d 3 = 0. 7× 120 + 0. 3× ( - 95) = 55. 5.
故 d*1 = max {d 1 , d 2 , d 3 }= 73.
因此, 应选择的方案为 a1 .
( 4) 据后悔值准则令 bij = maxi
qij - qij , 表示在 sj 状态下, 采用方案 a i 的后悔值, 则有后
悔值矩阵
s1 s2 s3 s4
B =
a1
a2
a3
90 60 0 0
0 0 25 60
55 45 10 40
.
于是由 d i= maxj
bij 有
d 1 = max {90, 60, 0, 0} = 90,
d 2 = max {0, 0, 25, 60} = 60,
d 3 = max {55, 45, 10, 40} = 55,
d*3 = min{d 1 , d 2 , d 3 } = 55.
故, 应选择的方案为 a3 .
( 5) 据等可能准则
令 d i =14 ∑
4
j = 1
qij ,
则有
d 1 =14 ∑
4
j = 1
q1j =14
( - 130 - 65 + 70 + 160) = 834
,
·691·
d 2 =14 ∑
4
j = 1
q2j =14
( - 40 - 5 + 45 + 100) = 25,
d 3 =14 ∑
4
j = 1
q3j =14
( - 95 - 50 + 60 + 120) = 834
,
d *3 = max {d 1 , d 2 , d 3 } = max 8
34
, 25, 834
= 834
.
故应选择 a 1 或 a 3 .
例 3 某工厂在未来三种状态 s1 , s2 , s3 下有三种生产方案 a 1 , a 2 , a 3 , 且 a 1 在三种状态下
生产费用分别为 32 万元, 40 万元, 29 万元; a 2 在三种状态下生产费用分别为 21 万元, 28 万
元, 45 万元; a 3 在三种状态下的生产费用分别为 38 万元, 42 万元, 27 万元. 试用下列五种准
则选择最优方案:
( 1) 悲观准则
( 2) 乐观准则
( 3) 适度乐观准则( α= 0. 8)
( 4) 后悔值准则
( 5) 等可能准则
解 该问题的收益矩阵为
s1 s2 s3
Q =
a 1
a 2
a 3
- 32 - 40 - 29
- 21 - 28 - 45
- 38 - 42 - 27
.
于是
( 1) 据悲观准则, 令
di = minj
{qij },
则
d1 = min{- 32, - 40, - 29} = - 40,
d2 = min{- 21, - 28, - 45} = - 45,
d3 = min{- 38, - 42, - 27} = - 42,
d*1 = max{d 1 , d 2 , d3 } = - 40.
故应选择的最优方案为 a 1 .
( 2) 据乐观准则, 令
d i = maxj
{qij },
则
d 1 = max{- 32, - 40, - 29} = - 29,
d 2 = max{- 21, - 28, - 45} = - 21,
d 3 = max{- 38, - 42, - 27} = - 27,
d*2 = max{d 1 , d 2 , d 3 } = max {- 29, - 21, - 27} = - 21.
故应选择的最优方案为 a 2 .
( 3) 据适度乐观准则, 令
d i1 = maxj
{qij }, d i2 = minj
{qij }.
·791·
则
d 11 = max{- 32, - 40, - 29} = - 29, d 12 = min {- 32, - 40, - 29} = - 40,
d 21 = max{- 21, - 28, - 45} = - 21, d 22 = min {- 21, - 28, - 45} = - 45,
d 31 = max{- 38, - 42, - 27} = - 27, d 32 = min {- 38, - 42, - 27} = - 42.
又令
d i = αd i1 + ( 1 - α) d i2 .
则
d 1 = 0. 8× ( - 29) + 0. 2× ( - 40) = - 31. 2,
d 2 = 0. 8× ( - 21) + 0. 2× ( - 45) = - 25. 8,
d 3 = 0. 8× ( - 27) + 0. 2× ( - 42) = - 30,
d *2 = max{d 1 , d 2 , d 3 } = max{- 31. 2, - 25. 8, - 30} = - 25. 8.
故选择的最优方案为 a 2 .
( 4) 据后悔值准则, 令
bij = maxi
( qij ) - qij ,
表示在 sj 状态下, 采用方案 ai 的后悔值.
则有
B =
11 12 2
0 0 18
17 14 0
.
于是 d 1 = maxj
( b1j ) = max{11, 12, 2} = 12,
d 2 = maxj
( b2j ) = max{0, 0, 18} = 18,
d 3 = maxj
( b3j ) = max{17, 14, 0} = 17.
d*1 = min{d 1 , d2 , d 3 } = 12.
故选择的最优方案为 a 1 .
( 5) 据等可能准则, 有
d 1 =13 ∑
3
j = 1
q1j =13
( - 32 - 40 - 29) = - 3323
,
d 2 =13 ∑
3
j = 1
q2j =13
( - 21 - 28 - 45) = - 3113
,
d 3 =13 ∑
3
j = 1
q3j =13
( - 38 - 42 - 27) = - 3523
,
d*2 = max{d1 , d 2 , d 3 } = max - 33
23
, - 3113
, - 3523
= - 3113
.
故选择的最优方案为 a 2 .
例 4 某企业由于生产能力过剩, 拟开发新产品, 有四种品种可供选择. 市场销售有好、
中、差三种情况, 销售状态的概率和每一品种在不同状态下的收益如表 8. 3 所示. 按照以下
不同的准则, 试问该厂应开发哪一种产品最好.
·891·
表 8. 3
销 路 好 中 差
概率收益 万元/ 件
品种 0 �. 3 0 �. 5 0 �. 2
a 1 �14 �14 �12 �
a 2 �22 �14 �10 �
a 3 �18 �16 �10 �
a 4 �20 �12 �8 �
( 1) 最大可能准则;
( 2) 期望收益准则;
( 3) 期望损失准则.
解 收益矩阵如下:
s1 s2 s3
Q =
a 1
a 2
a 3
a 4
14 14 12
22 14 10
18 16 10
20 12 8
( 1) 由最大可能准则有( 即由 p ( st) = maxj
{p ( sj ) }知) p ( s2 ) = 0. 5,
d*3 = max
i{qi2 } = max{14, 14, 16, 12} = 16.
故开发第三种产品最好.
( 2) 据期望收益准则有
d 1 = ∑j
q1j p ( sj ) = 14× 0. 3 + 14× 0. 5 + 12× 0. 2 = 13. 6,
d 2 = ∑j
q2j p ( sj ) = 22× 0. 3 + 14× 0. 5 + 10× 0. 2 = 15. 6,
d 3 = ∑j
q3j p ( sj ) = 18× 0. 3 + 16× 0. 5 + 10× 0. 2 = 14. 4,
d 4 = ∑j
q4j p ( sj ) = 20× 0. 3 + 12× 0. 5 + 8× 0. 2 = 13. 6,
d*2 = max
i{d 1 , d 2 , d 3 , d 4 } = max {13. 6, 15. 6, 14. 4, 13. 6} = 15. 6.
故开发第二种产品最好.
( 3) 据期望损失准则, 令 bij = maxi
qij - qij
表示在状态 sj 下, 采用方案 ai 的后悔值, 则有后悔值矩阵
s1 s2 s3
B =
a 1
a 2
a 3
a 4
8 2 0
0 2 2
4 0 2
2 4 4
.
·991·
�
d 1 = ∑j
b1j p ( sj ) = 8× 0. 3 + 2× 0. 5 + 0× 0. 2 = 3. 4,
d 2 = ∑j
b2j p ( sj ) = 0× 0. 3 + 2× 0. 5 + 2× 0. 2 = 1. 4,
d 3 = ∑j
b3j p ( sj ) = 4× 0. 3 + 0× 0. 5 + 2× 0. 2 = 1. 6,
d 4 = ∑j
b4j p ( sj ) = 2× 0. 3 + 4× 0. 5 + 4× 0. 2 = 3. 4,
d*2 = min
i{d 1 , d 2 , d 3 , d 4 } = max{3. 4, 1. 4, 1. 6, 3. 4} = 3. 4.
故开发第一种或第四种产品是最好的方案.
例 5 某制造公司加工某种机器零件, 批量为 150 个. 经验表明每一批零件的不合格率
p 不是 0. 05 就是 0. 25, 且所加工的各批量中 p 等于 0. 05 的概率是 0. 8. 每批零件最后将被
用来组装一个部件. 制造厂可以在组装前按每个零件 10 元的费用来检验一批中所有零件.
发现不合格品立即更换, 也可以不予检验就直接组装, 但发现不合格品后返工的费用是每个
100 元. 试在下列三个准则下做出最优方案( 是检验还是不检验) :
( 1) 最大可能准则
( 2) 期望收益准则
( 3) 期望损失准则
解 用 s1 表示状态{p = 0. 05}, s2 表示状态{p = 0. 25}, a 1 表示方案“检验”, a 2 表示方案
“不检验”. 于是依题意有如下收益矩阵和 p ( s1 ) = 0. 8, p ( s2 ) = 0. 2:
s1 s2
Q =a1
a2
- 1500 - 1500
- 750 - 3750
( 1) 据最大可能准则有
p ( s1 ) = max{p ( s1 ) , p ( s2 ) } = p ( s1 ) = 0. 8,
d *2 = max {- 1500, - 750} = - 750.
故不检验为最佳的方案.
( 2) 据期望收益准则有
d 1 = ∑j
q1j ¡¤p ( sj ) = - 1500× 0. 8 - 1500× 0. 2 = - 1500( 元) ,
d 2 = ∑j
q2j ¡¤p ( sj ) = - 750× 0. 8 - 3750× 0. 2 = - 1350(元) ,
d *2 = max{d 1 , d 2 } = max{- 1500, - 1350} = - 1350.
故, 不检验为最佳的方案.
( 3) 据期望损失准则有后悔矩阵
s1 s2
B =a 1
a 2
750 0
0 2250
于是
d 1 = ∑j
b1j p ( sj ) = 750× 0. 8 + 0× 0. 2 = 600(元) ,
·002·
d 2 = ∑j
b2j p ( sj ) = 0× 0. 8 + 2250× 0. 2 = 450(元) ,
d*2 = min {d 1 , d 2 } = 450.
故, 不检验为最优方案.
例 6 在例 5 中, 工厂为慎重起见, 在进行决策前, 从一批中抽出一个产品进行初检, 然
后据此产品是否合格来决定是否对该批产品进行检验, 试问:
( 1) 在初检合格时, 据后验准则, 最优方案为何?
( 2) 在初检为不合格时, 据后验准则, 最优方案为何?
解 延续上题的记号并用 x1 表示“初检合格”, x 2 表示“初检不合格”, 于是 p ( x 1 ©¦s1 ) =
0. 95, p ( x 2 ©¦s1 ) = 0. 05, p ( x1 ©¦s2 ) = 0. 75, p ( x 2 ©¦s2 ) = 0. 25, 以及
p ( x 1 ) = p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 1 ©¦s2 ) p ( s2 )
= 0. 95× 0. 8 + 0. 75× 0. 2 = 0. 91,
p ( x 2 ) = 1 - p ( x 1 ) = 1 - 0. 91 = 0. 09.
( 1) 由 Bayes 公式可求得:
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 )
p ( x1 )=
0. 95× 0. 80. 91
= 0. 835,
p ( s2 ©¦x 1 ) = 1 - p ( s1 ©¦x 1 ) = 1 - 0. 835 = 0. 165.
于是据后验准则有
d 1 = ∑j
q1j p ( sj ©¦x 1 ) = - 1500× 0. 835 + ( - 1500× 0. 165) = - 1500,
d 2 = ∑j
q2j p ( sj ©¦x 1 ) = - 750× 0. 835 - 3750× 0. 165 = - 1245,
d *2 = max{d 1 , d 2 } = max{- 1500, - 1245} = - 1245.
故, 不检验为最优方案.
( 2) 由 Bayes 公式可求得:
p ( s1 ©¦x 2 ) =p ( x 2 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 )
p ( x2 )=
0. 05× 0. 80. 09
= 0. 444,
p ( s2 ©¦x 2 ) = 1 - p ( s1 ©¦x 2 ) = 1 - 0. 444 = 0. 556.
于是据后验准则有
d 1 = ∑q1j p ( sj ©¦x 2 ) = - 1500× 0. 444 + ( - 1500)× 0. 556 = - 1500,
d 2 = ∑q2j p ( sj ©¦x 2 ) = - 750× 0. 444 + ( - 3750× 0. 556) = - 2418,
d *1 = max{d 1 , d 2 } = max{- 1500, - 2418} = - 1500.
故, 检验为最优方案.
例 7 某石油公司考虑在某地钻井, 结果可能出现三种情况: 无油( s1 ) ; 油少量( s2 ) ; 油
丰富( s3 ) . 石油公司估计, 三种状态出现的概率为 p ( s1 ) = 0. 5, p ( s2 ) = 0. 3, p ( s3 ) = 0. 2. 钻井
费用为 7 万元, 如果少量出油可收入 12 万元, 如大量出油可收入 27 万元.
为了进一步了解地质构造情况, 可进行勘探, 勘探结果可能是构造较差( x1 ) , 构造一般
( x 2 )和构造良好( x3 ) . 根据过去的经验, 地质构造与油井出油的关系如表 8. 4 所列.
·102·
表 8. 4
p ( x j ©¦Qi) 构造较差 x1 �构造一般 x2 �构造良好 x 3 �
无油 s1 �0 �. 6 0 �. 3 0 �. 1
油少量 s2 00 �. 3 0 �. 4 0 �. 3
油丰富 s3 00 �. 1 0 �. 4 0 �. 5
如果勘探费用需 1 万元, 问 ( 1) 应先勘探还是直接钻井, ( 2) 应怎样根据勘探结果来决
定是否钻井?
解 用 a 1 表示“钻井”, a 2 表示“不钻井”, 则收益矩阵为
s1 s2 s3
Q =a 1
a 2
- 7 5 20
0 0 0
并求得:
p ( x 1 ) = ∑3
j = 1
p ( x 1 ©¦sj ) ¡¤p ( sj ) = 0. 6× 0. 5 + 0. 3× 0. 3 + 0. 1× 0. 2 = 0. 41,
p ( x 2 ) = ∑3
j = 1
p ( x 2 ©¦sj ) ¡¤p ( sj ) = 0. 3× 0. 5 + 0. 4× 0. 3 + 0. 4× 0. 2 = 0. 35,
p ( x 3 ) = 1 - 0. 41 - 0. 35 = 0. 24,
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 )
p ( x 1 )=
0. 6× 0. 50. 41
= 0. 7317,
p ( s2 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
p ( x 1 )=
0. 3× 0. 30. 41
= 0. 2195,
p ( s3 ©¦x 1 ) = 1 - 0. 7317 - 0. 2195 = 0. 0488.
同理有
p ( s1 ©¦x2 ) = 0. 4286, p ( s2 ©¦x 2 ) = 0. 3428, p ( s3 ©¦x 2 ) = 0. 2286,
p ( s1 ©¦x3 ) = 0. 2083, p ( s2 ©¦x 3 ) = 0. 375, p ( s3 ©¦x 3 ) = 0. 4167.
于是勘探结果为 x 1 时:
d 1 = ∑q1j p ( sj ©¦x 1 ) = - 7× 0. 7317 + 5× 0. 2195 + 20× 0. 0488 = - 3. 0484,
d 2 = 0,
d*2 = max {d 1 , d 2 } = max{- 3. 0484, 0} = 0.
故, 不钻井为最优选择.
勘探结果为 x 2 时:
d 1 = ∑q1 j p ( sj ©¦x 2 ) = - 7× 0. 4286 + 5× 0. 3428 + 20× 0. 2286 = 3. 2858,
d 2 = ∑q2 j p ( sj ©¦x 2 ) = 0,
d*1 = max{d1 , d 2 } = max{3. 2858, 0} = 3. 2858.
故, 钻井为最优选择.
勘探结果为 x 3 时:
d 1 = ∑q1j p ( sj ©¦x 3 ) = - 7× 0. 2083 + 5× 0. 375 + 20× 0. 4167 = 8. 7509,
·202·
d 2 = ∑q2 j p ( sj ©¦x 3 ) = 0,
d*1 = max{d 1 , d2 } = max{8. 7509, 0} = 8. 7509.
故, 钻井为最优选择.
( 1) 据样本信息期望值 EVSI 的定义有:
E VSI = ∑p ( x k) ¡¤( maxi
(∑j
qij p ( sj ©¦x k ) ) ) - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }
= 0× 0. 41 + 3. 2858× 0. 35 + 8. 7509× 0. 24
- ( - 7× 0. 5 + 5× 0. 3 + 20× 0. 2)
= 3. 2502 - 2 = 1. 2502.
因此, 样本信息价值为 1. 2502 万元. 该公司为获取这些新信息进行的勘探费用为 1 万
元, 并没有超过样本信息价值, 故应先行勘探.
( 2) 据勘探结果对钻井与否的回答在( 1) 的前段.
例 8 一个工厂生产某种时令产品, 每销售一件可获利 10 元, 如果不能售出, 每积压一
件要损失 4 元, 预测到每月各种销售量的概率如表 8. 5 所示.
表 8. 5
日销售量(件) 10000 ^( s1) 20000 �( s2 ) 30000 �( s3 ) 40000 -( s4)
销售概率 0 �. 15 0 O. 30 0 �. 35 0 �. 20
又企业的月最大生产能力为 40000 件, 且通过调查知各种销售量状态下销路好与不好
的概率如表 8. 6 所示.
表 8. 6
sx
10000 ^( s1) 20000 �( s2 ) 30000 �( s3 ) 40000 -( s4)
销路好 0 !. 3 0 f. 5 0 �. 7 0 �. 8
销路不好 0 !. 7 0 f. 5 0 �. 3 0 �. 2
( 1) 试求 EVP I .
( 2) 求在调查结果销路好与不好的生产方案.
( 3) 试求 EVSI .
解 用 a i 表示生产 i× 10000( i= 1, 2, 3, 4) 件, x 1 表示销路好, x 2 表示销路不好, si 表示
销售量 i× 10000( i= 1, 2, 3, 4) , 则 p ( s1 ) = 0. 15, p ( s2 ) = 0. 30, p ( s3 ) = 0. 35, p ( s4 ) = 0. 20. 收
益矩阵为
s1 s2 s3 s4
Q =
a 1
a 2
a 3
a 4
10 10 10 10
6 20 20 20
2 16 30 30
- 2 12 26 40
.
其中收益矩阵中 qij的单位为万元.
·302·
( 1) 据完全信息期望值
E VP I = ∑j
maxi
{qij p ( sj ) } - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }
有
∑j
maxi
{qij p ( sj ) }= 10× 0. 15 + 20× 0. 30 + 30× 0. 35 + 40× 0. 20
= 26(万元) ,
maxi
{∑j
qij p ( sj ) }= max {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 }
= max {10, 17. 9, 21. 6, 20. 4} = 21. 6.
故 E VP I = 26- 21. 6= 4. 4.
这意味着工厂为了获得完全信息, 可以支付 4. 4 万元.
( 2) 由已知有:
p ( x 1 ) = ∑p ( x 1 ©¦sj ) ¡¤p ( sj ) = 0. 3× 0. 15 + 0. 5× 0. 30 + 0. 7× 0. 35 + 0. 8× 0. 2
= 0. 6,
p ( x 2 ) = ∑p ( x 2 ©¦sj ) ¡¤p ( sj ) = 0. 7× 0. 15 + 0. 5× 0. 30 + 0. 3× 0. 35 + 0. 2× 0. 2
= 0. 4.
于是
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x1 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x1 )=
0. 3× 0. 150. 6
= 0. 075,
p ( s2 ©¦x 1 ) =p ( x1 ©¦s2 ) p ( s2 )
p ( x1 )=
0. 5× 0. 30. 6
= 0. 25.
同理有:
p ( s3 ©¦x 1 ) = 0. 408, p ( s4 ©¦x 1 ) = 0. 267,
p ( s1 ©¦x 2 ) = 0. 2625, p ( s2 ©¦x 2 ) = 0. 375,
p ( s3 ©¦x 2 ) = 0. 2625, p ( s4 ©¦x 2 ) = 0. 1.
在信息为销路好时:
d 1 ©¦x 1 = ∑j
q1j p ( sj ©¦x 1 ) = 10× 0. 075 + 10× 0. 25 + 10× 0. 408 + 10× 0. 267
= 10,
d 2 ©¦x 1 = ∑j
q2j p ( sj ©¦x 1 ) = 6× 0. 075 + 20× 0. 25 + 20× 0. 408 + 20× 0. 267
= 18. 95,
d 3 ©¦x 1 = 2× 0. 075 + 16× 0. 25 + 30× 0. 408 + 30× 0. 267 = 24. 4,
d 4 ©¦x 1 = - 2× 0. 075 + 12× 0. 25 + 26× 0. 408 + 40× 0. 267 = 24. 138,
d*3 ©¦x 1 = max {10, 18. 95, 24. 4, 24. 138} = 24. 4.
故, 生产 3 万件为最优方案.
在信息为销路不好时:
d 1 ©¦x 2 = ∑qij p ( sj ©¦x 2 ) = 10× 0. 2625 + 10× 0. 375 + 10× 0. 2625 + 10× 0. 1
= 10.
·402·
同理可求
d 2 ©¦x 2 = 16. 325, d3 ©¦x 2 = 17. 4, d 4 ©¦x 2 = 18. 573.
于是
d *4 ©¦x 2 = max{d 1 ©¦x 2 , d 2 ©¦x 2 , d3 ©¦x 2 , d 4 ©¦x 2 }
= max{10, 16. 325, 17. 4, 18. 573} = 18. 573.
故, 生产 4 万件为最优方案.
( 3) 据样本信息期望值有
EVSI = ∑k
p ( x k ) max{∑j
qij p ( sj ©¦x k ) } - maxi ∑qij p ( sj )
= 24. 4× 0. 6 + 18. 573× 0. 4 - 21. 6 = 0. 4692(万元) .
这说明样本信息的价值为 0. 4692( 万元) , 如果工厂进行销路调查费用不少于 0. 4692
万元, 则此项调查是不值得的.
8. 3 习 题
8. 1 给定不同自然状态 sj ( j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 下各个行动方案 Ai( i= 1, 2, 3, 4, 5, 6) 的
收益 (见表 8. 7) , 试分别利用悲观准则、乐观准则、后悔值准则和等可能准则选择最优决策
方案.
表 8. 7
SA s1 �s2 �s3 #s4 Qs5 �s6 �
a 1 �7 �9 �6 4 N10 �8 �
a 2 �10 �5 �7 5 N8 |4 �
a 3 �4 �6 �11 79 N10 �7 �
a 4 �9 �4 �6 12 e9 |5 �
a 5 �6 �8 �5 4 N11 �9 �
a 6 �10 �7 �8 10 e6 |6 �
8. 2 某厂有一种新产品, 其推销策略有 A1 , A2 , A 3 三种方案, 已知市场情况也有三种
状况, 需求量大( s1 )、需求量中等( s2 ) 和需求量小( s3 ) , 但其发生的概率未知, 经调查分析, 得
收益矩阵如表 8. 8 所示.
表 8. 8
状态收益
方案
需求量大 需求量中等 需求量小
s1 �s2 �s3 �
a 1 �50 �10 �- 5 �
a 2 �30 �25 �0 �
a 3 �10 �10 �10 �
试分别用后悔值准则与适度乐观准则(α= 0. 7)选择最优方案.
·502·
8. 3 某公司设想增加一条新的生产线. 这一设想的成功依赖于经济条件的好坏, 表
8. 9 中给出各种情况下的收益值.
表 8. 9
SA 好 一般 坏
新生产线 48000 �30000 �12500 �
现有生产线 35700 �22000 �18000 �
设决策者的乐观系数为 α, 试讨论 α在何范围内时, 用适度乐观准则选取的最优决策方
案为增加新的生产线.
8. 4 某厂生产一种易变质产品, 每件成本 20 元, 售价 60 元, 每件售出可获利 40 元.
如果当天剩余一件就要损失 20 元, 市场以往的资料表明, 日销售量及其概率如表 8. 10
所示.
表 8. 10
日销售量 100 }110 �120 �130 L
概率 0 !. 2 0 f. 4 0 �. 3 0 �. 1
为使利用最大, 现根据日销售量制定产品生产计划, 试分别利用最大可能准则与期望收
益准则确定最优生产计划.
8. 5 某公司正考虑为开发一种新型产品提供资金. 可供选择的方案有三个. 前景有成
功、部分成功与失败. 成功的概率为 0. 35, 部分成功的概率为 0. 45, 失败的概率为 0. 20, 其
利润如表 8. 11 所示.
表 8. 11
S方案 成功( s1 $) 部分成功( s2 �) 失败( s3 ")
方案 1 �20 �3 �- 18 �
方案 2 �15 �1 �- 10 �
方案 3 �10 �0 �- 2 �
试分别用期望收益准则与期望损失准则确定最优决策方案, 并求 EVP I 的值.
8. 6 某工厂拟采用新技术, 预计其市场反映好的概率为 0. 6, 市场反映差的概率为
0. 4. 已知利润如表 8. 12 所示( 单位: 万元) .
表 8. 12
SA 市场反映好( s1 �) 市场反映差( s2 �)
采用新技术 80 �- 30 M
发展现有技术 - 40 �100 5
·602·
决策者用 2. 5 万元请专家进行市场调查, 得到各个自然状态下调查结果的条件概率如
表 8. 13 所示.
表 8. 13
SA 市场反映好( s1 �) 市场反映差( s2 �)
销路好( x1 �) 0 O. 80 0 �. 10
销路一般( x 2 �) 0 O. 10 0 �. 75
销路差( x3 �) 0 O. 10 0 �. 15
试用后验期望准则作出决策, 花费 2. 5 万元的调查费用是否值得?
8. 7 某采油计划, 估计钻井成功可收益 1000 万元, 而钻井失败则损失 400 万元, 估计
钻井成功的机会为 30% , 若事先做一次地震测量, 需花费 60 万元, 但地震测量也有误差,
根据历史资料得知, 在实际情况为 B j 的条件下, 地震测量结果为 Ai 的概率, 即条件概率
P ( Ai©¦B j ) 的数据如表 8. 14 所示.
表 8. 14
P ( Ai©¦B j)B j
A i
有 油 无 油
有油 0 O. 75 0 �. 40
无油 0 O. 25 0 �. 60
试进行决策分析并选择最优方案.
8. 8 某公司考虑生产一种新产品, 决策者对市场销售状态进行预测的结果有三种情
况: 销路好、一般、差, 其概率及各种情况下的增加的利润额如表 8. 15 所示( 单位: 万元) .
表 8. 15
PS
A
好( s1 �) 一般( s2 #) 差( s3 �)
0 ~. 25 0 }. 30 0 |. 45
生产( a 1 �) 15 �1 �- 6 �
不生产( a2 ,) 0 �0 �0 �
为了得到更可靠的信息, 公司打算花费 0. 6 万元请咨询公司代为进行市场调查. 在咨询
之前, 该公司根据以往市场调查情况进行分析, 给出了在市场销售状态为已知的条件下市场
需求状况好、中、差的概率如表 8. 16 所示.
表 8. 16
SX 好( s1 �) 一般( s2 #) 差( s3 �)
好( x 1 �) 0 ~. 70 0 }. 30 0 |. 10
中( x 2 �) 0 ~. 20 0 }. 50 0 |. 15
差( x 3 �) 0 ~. 10 0 }. 20 0 |. 75
·702·
试作出最优决策和计算 E VSI , 并回答花费 0. 6 万元请咨询公司调查是否合算.
8. 9 对一个问题进行决策分析, 该问题必须具备怎样的构成?
8. 10 下列说法是否正确?
( 1) 期望损失原则就是在损失矩阵上求各个方案的期望值, 然后选期望值最小者的方
案作为最优方案.
( 2) 据后验期望准则做出的最优方案必受样本信息的结果的影响.
( 3) 适度乐观准则不受决策者乐观与悲观的情绪影响.
( 4) 决策问题的最优方案总是存在的, 从而用各种决策准则进行决策, 所得的最优方案
总是一致的.
8. 11 根据以往的资料, 一家面包店每天所需面包数可能是下面各个数量中的某一个:
100, 150, 200, 250, 300
而其概率分布不知道. 如果一个面包当天没有卖掉, 则可在当天结束时以 15 分钱处理掉. 新
鲜面包每个售价 49 分, 每个面包的成本是 25 分. 假如进货量限定为需要量中的某一个, 试
分别用下面五种决策准则确定最优进货量:
( 1) 悲观准则
( 2) 乐观准则
( 3) 适度乐观准则( α= 0. 3)
( 4) 后悔准则
( 5) 等可能性准则
8. 12 一个工厂要确定下一个计划期间内产品批量, 根据经验并通过市场调查, 已知产
品销路较好、一般和较差的概率分布为 0. 3、0. 5 和 0. 2, 采用大批量生产可能获得的利润分
别为 20 万元、12 万元和 8 万元; 中批量生产可能获得的利润分别为 16 万元、16 万元和 10
万元; 小批量生产可能获得的利润分别为 12 万元、12 万元和 12 万元. 试用期望收益准则进
行决策.
8. 13 某旅游公司必须预订每天包租的游览车的数量. 一辆游览车可乘客 40 位, 每位
顾客要为这一天的游览付款 12 元, 但包租一辆汽车不管使用与否, 每天都需付款 200 元, 过
去的统计资料表明, 通常一天对汽车的需求量具有如表 8. 17 所列概率分布.
表 8. 17
汽车数 15 �16 917 �18 }19 �20 �21 c22 �
概率 0 ;. 13 0 �. 17 0 �. 18 0 !. 26 0 �. 14 0 e. 07 0 �. 03 0 �. 02
为了取得最大利润, 该旅游公司每天应包租多少辆汽车?
8. 14 试用期望损失准则对 8. 12 题做出最优决策.
8. 15 某石油公司拥有一块据称含油的土地, 该公司从相似地质区域内油井中得到的
资料估计, 若在该土地上钻井开采, 则采油为 500 000 桶, 200 000 桶, 50 000 桶及 0 桶的概
率分别是 0. 1, 0. 15, 0. 25 和 0. 5. 该公司有三种方案可供选择: 钻井探油、土地无条件租出
和土地有条件租出. 钻得一口产油井的费用是 100 000 元, 钻出一口涸井的费用是 75 000
元, 对产油井来说, 每桶可获利 2 元. 若将土地无条件租出, 公司可收入租让费 45 000 元, 而
·802·
有条件租出, 合同规定: 假如该土地的采油量达到 500 000 桶或 200 000 桶, 则公司可以从每
桶油中收入 0. 5 元, 否则公司就没有任何收入. 试用下列两种方法进行决策:
( 1) 最大可能准则
( 2) 期望收益准则
8. 16 在 8. 12 题中, 厂方进一步得知在产品销路较好、一般和较差的条件下需求一般
的概率分别为 0. 6、0. 8 和 0. 2. 试用后验期望准则作最优方案的选择, 并求 E VP I .
8. 17 一公司准备大批量投产一种新产品, 估计这种产品销路好的概率为 0. 7, 销路差
的概率为 0. 3, 如果销路好, 可获利 1200 万元, 销路差将亏损 150 万元, 为了更深入细致地
分析这个决策问题, 以避免盲目性造成的损失, 该厂管理人员考虑先建设一个小型试验工
厂, 先进行小批量试生产和试销, 为销售情况获取更多的信息. 根据市场的研究, 估计试销时
销路好的概率为 0. 8, 如果试销的销路好, 则以后大批量投产时销路好的概率为 0. 85, 如果
试销的销路差则以后大批量投产时销路好的概率为 0. 1.
( 1) 试求通过先进行小批量生产而取得的情报的价值.
( 2) 假如建设小型试验工厂所需费用为 5 万元, 那么建设此小型试验工厂是否值得?
8. 18 在习题 8. 15 中, 公司以 12 000 元的代价获得地质探测资料, 如表 8. 18 所示.
表 8. 18
出现频数油量
地质类型 500000 �200000 �50000 {0 �
地段确有构造圈闭 7 O9 711 69 �
地段可能有构造圈闭 4 O3 76 �13 �
地段有未封闭的构造圈闭 1 O2 73 �15 �
地段无构造圈闭 0 O2 74 �11 �
试验次数 12 f16 N24 648 �
( 1) 进行地质探测, 求公司的最优期望费用.
( 2) 地质探测所得到的信息价值是多少? 是否应当利用地质探测的信息?
( 3) 地质探测结果属第 3 类时, 最优方案为何?
8. 4 习 题 解 答
8. 1 解 收益矩阵
s1 s2 s3 s4 s5 s6
Q =
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 6
7 9 6 4 10 8
10 5 7 5 8 4
4 6 11 9 10 7
9 4 6 12 9 5
6 8 5 4 11 9
10 7 8 10 6 6
·902·
据悲观准则有
d 1 = minj
{q1j } = min {7, 9, 6, 4, 10, 8} = 4,
d 2 = minj
{q2j } = min {10, 5, 7, 5, 8, 4} = 4,
d 3 = minj
{q3j } = min {4, 6, 11, 9, 10, 7} = 4,
d 4 = minj
{q4j } = min {9, 4, 6, 12, 9, 5} = 4,
d 5 = minj
{q5j } = min {6, 8, 5, 4, 11, 9} = 4,
d 6 = minj
{q6j } = min {10, 7, 8, 10, 6, 6} = 6,
d *6 = max{d 1 , d 2 , ⋯, d 6 } = max {4, 4, 4, 4, 4, 6} = 6.
故, 方案 a6 为最优方案.
据乐观准则有
d 1 = maxj
{q1j } = max {7, 9, 6, 4, 10, 8} = 10.
同理有
d 2 = maxj
{q2j } = 10, d 3 = maxj
{q3j } = 11.
d 4 = maxj
{q4j } = 12, d 5 = maxj
{q5j } = 11,
d 6 = maxj
{q6j } = 10,
d*4 = max {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 } = 12.
故, 方案 a4 为最优方案.
据后悔值准则, 令 bij = maxi
qij - qij , 表示在 sj 状态下, 采用方案 Ai 的后悔值, 则有后悔
值矩阵
s1 s2 s3 s4 s5 s6
B =
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
3 0 5 8 1 1
0 4 4 7 3 5
6 3 0 3 1 2
1 5 5 0 2 4
4 1 6 8 0 0
0 2 3 2 5 3
�
d 1 = maxj
{b1j }= max{3, 0, 5, 8, 1, 1}= 8,
d 2 = maxj
{b2j }= max{0, 4, 4, 7, 3, 5}= 7,
d 3 = maxj
{b3j }= max{6, 3, 0, 3, 1, 2}= 6,
d 4 = maxj
{b4j }= max{1, 5, 5, 0, 2, 4}= 5,
d 5 = maxj
{b5j }= max{4, 1, 6, 8, 0, 0}= 8,
d 6 = maxj
{b6j }= max{0, 2, 3, 2, 5, 3}= 5,
d*4 (或 d
*6 ) = min{d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 }= 5.
故, 方案 a4 或 a6 均为最优方案.
·012·
据等可能准则:
d 1 =1n∑
n
j = 1
q1j =16
( 7 + 9 + 6 + 4 + 10 + 8) =223
,
d 2 =1n∑
n
j = 1
q2j =16
( 10 + 5 + 7 + 5 + 8 + 4) =132
,
d 3 =1n∑
n
j = 1
q3j =16
( 4 + 6 + 11 + 9 + 10 + 7) =476
,
d 4 =1n∑
n
j = 1
q4j =16
( 9 + 4 + 6 + 12 + 9 + 5) =456
,
d 5 =1n∑
n
j = 1
q5j =16
( 6 + 8 + 5 + 4 + 11 + 9) =436
,
d 6 =1n∑
n
j = 1
q6j =16
( 10 + 7 + 8 + 10 + 6 + 6) =476
,
d*3 ( 或 d
*6 ) = max{d 1 , d 2 , d3 , d 4 , d 5 , d 6 } =
476
.
故, 方案 a3 或 a6 为最优方案.
8. 2 解 据后悔值准则, 令 bij = maxi
qij - qij 表示在 sj 状态下, 采用方案 Ai 的后悔值,
则有后悔值矩阵
s1 s2 s3
B =
A1
A2
A3
0 15 15
20 0 10
40 15 0
.
于是
d 1 = maxj
{b1j } = max {0, 15, 15} = 15,
d 2 = maxj
{b2j } = max {20, 0, 10} = 20,
d 3 = maxj
{b3j } = max {40, 15, 0} = 40,
d*1 = min {d 1 , d 2 , d 3 } = min{15, 20, 40} = 15.
故, 最优决策方案为 a1 .
据适度乐观准则有
d 1 = maxj
{q1j } + ( 1 - α) minj
{q1 j } = 0. 7× 50 + 0. 3× ( - 5) = 35 - 1. 5
= 33. 5,
d 2 = αmaxj
{q2 j } + ( 1 - α) minj
{q2j } = 0. 7× 30 + ( 1 - 0. 7)× 0 = 21,
d 3 = αmax{q3j } + ( 1 - α) min{q3j } = 0. 7× 10 + ( 1 - 0. 7)× 10 = 10,
d *1 = max {d 1 , d 2 , d 3 } = max{32. 5, 21, 10} = 32. 5.
故, 最优决策方案为 a1 .
8. 3 解 据适度乐观准则有
d1 = αmax {q1j } + ( 1 - α) min {q1j } = 48000α+ 12500( 1 - α) ,
·112·
d2 = αmax {q2j } + ( 1 - α) min {q2j } = 35700α+ ( 1 - α) 18000.
欲使增加新的生产线为最优方案, 就必须使 d 1 > d 2 , 即
48000α+ 12500( 1 - α) > 35700α+ ( 1 - α)× 18000.
求得: α>55178
≈0. 309.
故 α的变化范围为 0. 309< α< 1.
8. 4 解 依题意用 s1 表示“日销量为 100”, s2 表示“日销量为 110”, s3 表示“日销量为
120”, s4 表示“日销量为 130”, 则 p ( s1 ) = 0. 2, p ( s2 ) = 0. 4, p ( s3 ) = 0. 3, p ( s4 ) = 0. 1. 用 a 1 表
示日产量为“100”, a2 表示日产量为“110”, a 3 表示日产量为“120”, a 4 表示日产量为“130”,
则收益矩阵
s1 s2 s3 s4
Q =
a1
a2
a3
a4
4000 4000 4000 4000
3800 4400 4400 4400
3600 4200 4800 4800
3400 4000 4600 5200
.
由最大可能准则知
p ( s2 ) = max{p ( s1 ) , p ( s2 ) , p ( s3 ) , p ( s4 ) } = 0. 4,
d*2 = max{4000, 4400, 4200, 4000} = 4400.
故知, 日产量为“110”是最优方案.
又据期望收益准则知
d 1 = ∑4
j = 1
q1j p ( sj ) = 4000× 0. 2 + 4000× 0. 4 + 4000× 0. 3 + 4000× 0. 1 = 4000,
d 2 = ∑4
j = 1
q2j p ( sj ) = 3800× 0. 2 + 4400× 0. 4 + 4400× 0. 3 + 4400× 0. 1 = 4280,
d 3 = ∑4
j = 1
q3j p ( sj ) = 3600× 0. 2 + 4200× 0. 4 + 4800× 0. 3 + 4800× 0. 1 = 4320,
d 4 = ∑4
j = 1
q4j p ( sj ) = 3400× 0. 2 + 4000× 0. 4 + 4600× 0. 3 + 5200× 0. 1 = 4180,
d*3 = max
i{∑qij p ( sj ) } = max{4000, 4280, 4320, 4180} = 4320.
故, 日产量为“120”是最优方案.
8. 5 解 由题意有 p ( s1 ) = 0. 35, p ( s2 ) = 0. 45, p ( s3 ) = 0. 20.
据期望收益准则:
d 1 = ∑q1j p ( sj ) = 20× 0. 35 + 3× 0. 45 - 18× 0. 20 = 4. 75,
d 2 = ∑q2j p ( sj ) = 15× 0. 35 + 1× 0. 45 - 10× 0. 2 = 3. 7,
d 3 = ∑q3j p ( sj ) = 10× 0. 35 + 0× 0. 45 - 2× 0. 2 = 3. 1,
d*1 = max {d 1 , d 2 , d 3 } = 4. 75.
故, 方案 1 为最佳的选择.
·212·
据期望损失准则, 令 bij = maxi
qij - qij , 有矩阵
s1 s2 s3
B =
a 1
a 2
a 3
0 0 16
5 2 8
10 3 0
.
于是
d 1 = ∑b1j p ( sj ) = 0× 0. 35 + 0× 0. 45 + 16× 0. 2 = 3. 2,
d 2 = ∑b2j p ( sj ) = 5× 0. 35 + 2× 0. 45 + 8× 0. 2 = 4. 25,
d 3 = ∑b3j p ( sj ) = 10× 0. 35 + 3× 0. 45 + 0× 0. 2 = 4. 85,
d *1 = min{d 1 , d 2 , d 3 } = 3. 2.
故, 方案 1 为最优决策方案.
E VP I = ∑j
maxi
qij p ( sj ) - maxi
{∑i
qij p ( sj ) }
= 20× 0. 35 + 3× 0. 45 + ( - 2)× 0. 2 - 4. 75
= 3. 2.
8. 6 解 依题意有 p ( s1 ) = 0. 6, p ( s2 ) = 0. 4, 且
p ( x 1 ©¦s1 ) = 0. 8, p ( x 1 ©¦s2 ) = 0. 10,
p ( x 2 ©¦s1 ) = 0. 1, p ( x 2 ©¦s2 ) = 0. 75,
p ( x 3 ©¦s1 ) = 0. 1, p ( x 3 ©¦s2 ) = 0. 15.
据 Bayes 公式有
p ( x 1 ) = p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 1 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
= 0. 8× 0. 6 + 0. 1× 0. 4 = 0. 52,
p ( x 2 ) = p ( x 2 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 2 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
= 0. 1× 0. 6 + 0. 75× 0. 4 = 0. 36,
p ( x 3 ) = p ( x 3 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 3 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
= 0. 1× 0. 6 + 0. 15× 0. 4 = 0. 12.
于是有
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x1 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x1 )= 0. 923,
p ( s2 ©¦x 1 ) =p ( x1 ©¦s2 ) p ( s2 )
p ( x1 )=
0. 1× 0. 40. 52
= 0. 077,
p ( s1 ©¦x 2 ) =p ( x2 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x2 )=
0. 1× 0. 60. 36
= 0. 167,
p ( s2 ©¦x 2 ) =p ( x2 ©¦s2 ) p ( s2 )
p ( x2 )=
0. 75× 0. 40. 36
= 0. 833,
p ( s1 ©¦x 3 ) =p ( x3 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x2 )=
0. 1× 0. 60. 12
= 0. 5,
p ( s2 ©¦x 3 ) =p ( x3 ©¦s2 ) p ( s2 )
p ( x3 )=
0. 15× 0. 40. 12
= 0. 5.
·312·
因此据后验期望准则有
销路好时:
d 1 ©¦x 1 = ∑q1j p ( sj ©¦x 1 ) = 80× 0. 923 + ( - 30)× 0. 077 = 71. 53,
d 2 ©¦x 1 = ∑q2j p ( sj ©¦x 1 ) = - 40× 0. 923 + 100× 0. 077 = - 29. 22,
d*1 ©¦x1 = max{d 1 ©¦x 1 , d 2 ©¦x 1 } = max{71. 53, - 29. 22} = 71. 53.
故, 采用新技术为最优方案.
销路一般时:
d1 ©¦x 2 = ∑q1j p ( sj ©¦x 2 ) = 80× 0. 167 - 30× 0. 833 = - 11. 63,
d2 ©¦x 2 = ∑q2j p ( sj ©¦x 2 ) = - 40× 0. 167 + 100× 0. 833 = 76. 62,
d*2 ©¦x 2 = max{- 11. 63, 76. 62} = 76. 62.
故, 采用发展现有技术为最优方案.
销路差时:
d 1 ©¦x 3 = ∑q1j p ( sj ©¦x 3 ) = 80× 0. 5 - 30× 0. 5 = 25,
d 2 ©¦x 3 = ∑q2j p ( sj ©¦x 3 ) = - 40× 0. 5 + 100× 0. 5 = 30,
d *2 ©¦x 3 = max {25, 30} = 30.
故, 最优方案是发展现有技术.
又后验最大期望收益值为
∑p ( xk ) [ maxi
{∑qij p ( sj ©¦x k ) }] = 71. 53× 0. 52 + 76. 62× 0. 36 + 30× 0. 12
= 68. 3788.
先验最大期望收益值为
maxi
{∑j
qij p ( sj ) } = max {80× 0. 6 + ( - 30)× 0. 4, - 40× 0. 6 + 100× 0. 4} = 36.
于是
EVSI = ∑p ( x k ) [ maxi
{∑j
qij p ( sj ©¦x k) }] - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }
= 68. 3788 - 36 = 32. 3788.
由于 E VSI = 32. 3788> 2. 5, 故用 2. 5 万元请专家进行调查是值得的.
8. 7 解 用 a 1 表示钻井, a 2 表示不钻井, s1 表示成功 ( 有油 B 1 ) , s2 表示失败 ( 无油
B 2 ) , 则收益矩阵为
s1 s2
Q =a 1
a 2
1000 - 400
0 0.
用 x 1 表示“有油( 即 A 1 )”, x 2 表示“无油(即 A2 ) ”, 则
p ( x1 ) = p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 1 ©¦s2 ) p ( s2 )
= 0. 75× 0. 3 + 0. 40× 0. 7 = 0. 505,
p ( x2 ) = p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 ) + p ( x 2 ©¦s2 ) p ( s2 )
= 0. 25× 0. 3 + 0. 60× 0. 70 = 0. 495.
·412·
于是
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 )
p ( x1 )=
0. 75× 0. 30. 505
= 0. 446,
p ( s2 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
p ( x2 )=
0. 40× 0. 70. 505
= 0. 554,
p ( s1 ©¦x 2 ) =p ( x 2 ©¦s1 ) ¡¤p ( s1 )
p ( x2 )=
0. 25× 0. 30. 495
= 0. 152,
p ( s2 ©¦x 2 ) =p ( x 2 ©¦s2 ) ¡¤p ( s2 )
p ( x2 )=
0. 6× 0. 70. 495
= 0. 848.
有油时:
d 1 ©¦x 1 = 1000× 0. 446 - 400× 0. 554 = 224. 4,
d 2 ©¦x 1 = 0,
d*1 ©¦x1 = max{224. 4, 0} = 224. 4.
故, 最优方案是钻井.
无油时:
d1 ©¦x 2 = 1000× 0. 152 - 400× 0. 848 = - 187. 2,
d2 ©¦x 2 = 0,
d*2 ©¦x 2 = max{- 187. 2, 0} = 0.
故, 最优方案是不钻井.
又
EVSI = ∑p ( x k ) [ maxi
{qij p ( sj ©¦x k ) }] - maxi
{∑j
qij p ( sj ) }
= 224. 4× 0. 505 + 0× 0. 495 - max{1000× 0. 3 - 400× 0. 7, 0}
= 113. 322 - 20 = 93. 322 > 60.
故, 开采前做地震测量是值得的. 在地震测量有油的结论下最优方案为钻井, 在地震测量无
油的结论下最优方案为不钻井.
8. 8 解 依题意可求
p ( x 1 ) = ∑p ( x 1 ©¦sj ) p ( sj ) = 0. 70× 0. 25 + 0. 30× 0. 30 + 0. 1× 0. 45 = 0. 31,
p ( x 2 ) = ∑p ( x 2 ©¦sj ) p ( sj ) = 0. 2× 0. 25 + 0. 50× 0. 30 + 0. 15× 0. 45 = 0. 2675,
p ( x 3 ) = ∑p ( x 3 ©¦sj ) p ( sj ) = 0. 1× 0. 25 + 0. 2× 0. 30 + 0. 75× 0. 45 = 0. 4225.
于是有
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x 1 )=
0. 70× 0. 250. 31
= 0. 565.
同理有 �
p ( s2 ©¦x 1 ) = 0. 29, �p ( s3 ©¦x 1 ) = 0. 145,
p ( s1 ©¦x 2 ) = 0. 187, p ( s2 ©¦x 2 ) = 0. 561,
p ( s3 ©¦x 2 ) = 0. 252, p ( s1 ©¦x 3 ) = 0. 059,
p ( s2 ©¦x 3 ) = 0. 142, p ( s3 ©¦x 3 ) = 0. 799.
在市场需求好( x 1 )下:
·512·
d 1 ©¦x 1 = 15× 0. 565 + 1× 0. 29 - 6× 0. 145 = 7. 895,
d 2 ©¦x 1 = 0,
d *1 ©¦x 1 = max {d 1 ©¦x 1 , d 2 ©¦x 1 } = 7. 895.
故, 最优方案为生产.
在市场需求中( x 2 )下:
d 1 ©¦x 2 = 15× 0. 187 + 1× 0. 561 - 6× 0. 252 = 0. 854,
d 2 ©¦x 2 = 0,
d *1 ©¦x2 = max{d 1 ©¦x 2 , d 2 ©¦x 2 } = 0. 854.
故, 最优方案为生产.
在市场需求差( x 3 )下:
d1 ©¦x 3 = 15× 0. 059 + 1× 0. 142 - 6× 0. 799 = - 3. 767,
d2 ©¦x 3 = 0,
d*2 ©¦x 3 = max{d1 ©¦x 3 , d 2 ©¦x 3 } = 0.
故, 最优方案为不生产.
又
E VS I = ∑p ( xk ) [ max{qij p ( sj ©¦xk ) }] - maxi
{∑qij p ( sj ) }
= 7. 895× 0. 31 + 0. 854× 0. 2675 + 0× 0. 4225
- max{15× 0. 25 + 1× 0. 3 - 6× 0. 45, 0}
= 2. 6759 - 1. 35 = 1. 3259 > 0. 6.
故, 花费 0. 6 万元请咨询公司调查是合算的.
8. 9 答 四个要素: 可能采取的行动方案、影响决策的自然状态、反映效果的收益函
数、指出行动的决策准则.
8. 10 ( 1) 不对. 期望损失原则是在后悔值矩阵上求各个方案的期望值, 然后挑选期望
值最小者的方案作为最优方案.
( 2) 对.
( 3) 不对. 因为乐观系数的选取还是受乐观或悲观情绪的影响.
( 4) 不对. 参看习题 8. 1.
8. 11 解 收益矩阵如下
s1 s2 s3 s4 s5
Q =
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
2400 2400 2400 2400 2400
1900 3600 3600 3600 3600
1400 3100 4800 4800 4800
900 2600 4300 6000 6000
400 2100 3800 5500 7200
.
于是
( 1) 据悲观准则
d 1 = min{q1j } = min{2400, 2400, 2400, 2400, 2400} = 2400,
同理
·612·
d 2 = min{q2j } = 1900, d 3 = min{q3j } = 1400,
d 4 = min{q4j } = 900, d 5 = min{q5j } = 400,
d *1 = max {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 } = 2400.
故, a 1 为最优方案; 即进货 100 个为最优方案.
( 2) 据乐观准则
d 1 = max{q2j } = max{2400, 2400, 2400, 2400, 2400} = 2400.
同理有
d 2 = max{q2j } = 3600, d 3 = max {q3j } = 4800,
d 4 = max{q4j } = 6000, d 5 = max {q5j } = 7200,
d*5 = max {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 } = 7200.
故, a 5 即进货 300 个为最优方案.
( 3) 据适度乐观准则有:
d 1 = 0. 3× max{q1 j } + 0. 7× min{q1 j }
= 0. 3× 2400 + 0. 7× 2400 = 2400,
d 2 = 0. 3× 3600 + 0. 7× 1900 = 2410,
d 3 = 0. 3× 4800 + 0. 7× 1400 = 2420,
d 4 = 0. 3× 6000 + 0. 7× 900 = 2430,
d 5 = 0. 3× 7200 + 0. 7× 400 = 2440,
d*5 = max{d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 } = 2440.
故 a 5 即进货 300 个为最优方案.
( 4) 据后悔值准则, 令 bij = maxi
qij - qij , 此为后悔值, 从而后悔值矩阵为
s1 s2 s3 s4 s5
B =
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
0 1200 2400 3600 800
500 0 1200 2400 3600
1000 500 0 1200 2400
1500 1000 500 0 1200
2000 1500 1000 500 0
.
d 1 = maxj
{b1j } = 3600,
d 2 = max{500, 0, 1200, 2400, 3600} = 3600,
d 3 = max{1000, 500, 0, 1200, 2400} = 2400,
d 4 = max{1500, 1000, 500, 0, 1200} = 1500,
d 5 = max{2000, 1500, 1000, 500, 0} = 2000,
d*4 = min {d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 } = 1500.
故, a 4 即进货 250 个为最优方案.
( 5) 据等可能准则
d 1 =15 ∑q1j =
15
( 2400 + 2400 + 2400 + 2400 + 2400) = 2400,
同理有
·712·
d 2 =15 ∑q2j = 3260, d 3 =
15 ∑q3j = 3780,
d 4 =15 ∑q4j = 3960, d 5 =
15 ∑q5j = 3800,
d *4 = max{d 1 , d 2 , d3 , d 4 , d 5 } = 3960.
故, a 4 即进货 250 个为最优方案.
8. 12 解 用 s1 表示销路较好, s2 表示销路一般, s3 表示销路较差, 则 p ( s1 ) = 0. 3,
p ( s2 ) = 0. 5, p ( s3 ) = 0. 2. a 1 表示大批量生产, a 2 表示中批量生产, a 3 表示小批量生产, 则收
益矩阵为
s1 s2 s3
Q =
a1
a2
a3
20 12 8
16 16 10
12 12 12
.
于是按期望收益准则有
d 1 = ∑q1j p ( sj ) = 20× 0. 3 + 12× 0. 5 + 8× 0. 2 = 13. 6,
d 2 = ∑q2j p ( sj ) = 16× 0. 3 + 16× 0. 5 + 10× 0. 2 = 14. 8,
d 3 = ∑q3j p ( sj ) = 12× 0. 3 + 12× 0. 5 + 12× 0. 2 = 12,
d*2 = max{d 1 , d 2 , d3 } = 14. 8.
故, a 2 即中批量生产为最优方案.
8. 13 解 用 si 表示“14+ i”( i= 1, 2, ⋯, 8) , 则 p ( s1 ) = 0. 13, p ( s2 ) = 0. 17, p ( s3 ) =
0. 18, p ( s4 ) = 0. 26, p ( s5 ) = 0. 14, p ( s6 ) = 0. 07, p ( s7 ) = 0. 03, p ( s8 ) = 0. 02, 用 a i 表示旅游公
司每天包租的汽车数为 14+ i( i= 1, 2, ⋯, 8)对应的方案, 则有收益矩阵
s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8
Q =
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 6
a 7
a 8
7 200 7 200 7 200 7 200 7 200 7 200 7 200 7 200
7 000 7 680 7 680 7 680 7 680 7 680 7 680 7 680
6 800 7 480 8 160 8 160 8 160 8 160 8 160 8 160
6 600 7 280 7 960 8 640 8 640 8 640 8 640 8 640
6 400 7 080 7 760 8 440 9 120 9 120 9 120 9 120
6 200 6 880 7 560 8 240 8 920 9 600 9 600 9 600
6 000 6 680 7 360 8 040 8 720 9 400 10 080 10 080
5 800 6 480 7 160 7 840 8 520 9 200 9 880 10 560
.
d 1 = ∑q1j p ( sj ) = 7200× 0. 13 + 7200× 0. 17 + 7200× 0. 18 + 7200× 0. 26
+ 7200× 0. 14 + 7200× 0. 07 + 7200× 0. 03 + 7200× 0. 02 = 7200.
同理可求
d 2 = 7000× 0. 13 + 7680× 0. 87 = 7591. 6,
d 3 = 6800× 0. 13 + 7480× 0. 17 + 8160× 0. 7 = 7867. 6,
d 4 = 6600× 0. 13 + 7280× 0. 17 + 7960× 0. 18 + 8640× 0. 52
·812·
= 8021. 2,
d 5 = 6400× 0. 13 + 7080× 0. 17 + 7760× 0. 18 + 8440× 0. 26 + 9120× 0. 26
= 7998,
d 6 = 6200× 0. 13 + 6880× 0. 17 + 7560× 0. 18 + 8240× 0. 26 + 8920× 0. 14
+ 9600× 0. 12 = 7975. 6,
d 7 = 6000× 0. 13 + 6680× 0. 17 + 7360× 0. 18 + 8040× 0. 26 + 8720× 0. 14
+ 9400× 0. 07 + 10080× 0. 05 = 7713. 6,
d 8 = 5800× 0. 13 + 6480× 0. 17 + 7160× 0. 18 + 7840× 0. 26 + 8520× 0. 14
+ 9200× 0. 07 + 9880× 0. 03 + 10560× 0. 02 = 7527. 2,
d *4 = max{d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 , d 8 } = 8021. 2.
故, 该旅游公司每天应包租 18 辆汽车是最优策略.
注: 本题也可以考虑利润矩阵, 答案也是包租 18 辆汽车为最优方案.
8. 14 解 设 bij = maxi
qij - qij表示在状态 sj 下, 采用方案 a i 的后悔值, 则
s1 s2 s3
B = ( bij ) =
a 1
a 2
a 3
0 4 4
4 0 2
8 4 0
.
于是
d 1 = ∑b1j p ( sj ) = 0× 0. 3 + 4× 0. 5 + 4× 0. 2 = 2. 8,
d 2 = ∑b2j p ( sj ) = 4× 0. 3 + 0× 0. 5 + 2× 0. 2 = 1. 6,
d 3 = ∑b3j p ( sj ) = 8× 0. 3 + 4× 0. 5 + 0× 0. 2 = 4. 4,
d*2 = min{d 1 , d 2 , d 3 } = 1. 6.
故, a 2 即中批量生产为最优方案.
8. 15 用 s1 表示采油量为 500 000 桶, s2 表示采油量为 200 000 桶, s3 表示采油量为
50 000 桶, s4表示采油量为 0 桶. 用 a 1 表示方案钻井, a2 表示方案无条件租借, a3 表示方案
有条件租借, 则 p ( s1 ) = 0. 1, p ( s2 ) = 0. 15, p ( s3 ) = 0. 25, p ( s4 ) = 0. 5, 则收益矩阵为
s1 s2 s3 s4
Q =
a 1
a 2
a 3
900 000 300 000 0 - 75 000
45 000 45 000 45 000 45 000
250 000 100 000 0 0
( 1) 由最大可能准则有
p ( s3 ) = max {p ( s1 ) , p ( s2 ) , p ( s3 ) , p ( s4 ) } = 0. 25,
d*2 = max{q13 , q2 3 , q3 3 } = 45 000.
故, a 2 即土地无条件租出为最优方案.
( 2) 据期望收益准则
d 1 = ∑q1j p ( sj ) = 900 000× 0. 1 + 300 000× 0. 15 + 0× 0. 25 - 75 000× 0. 5
= 97 500,
·912·
d 2 = ∑q2j p ( sj ) = 45 000× 0. 1 + 45 000× 0. 15 + 45 000× 0. 25 + 45 000× 0. 5
= 45 000,
d 3 = ∑q3j p ( sj ) = 25 000× 0. 1 + 100 000× 0. 15 + 0× 0. 25 + 0× 0. 5
= 40 000,
d*1 = max{d1 , d 2 , d 3 , d 4 } = 97 500.
故, 钻井探油为最优方案, 最优期望收益为 97 500.
8. 16 解 沿用 8. 12 题的记号并记 x 为需求一般, 则由题意 p ( x ©¦s1 ) = 0. 6, p ( x ©¦s2 ) =
0. 8, p ( x ©¦s3 ) = 0. 2. 于是
p ( x ) = ∑p ( x ©¦sj ) p ( sj ) = 0. 3× 0. 6 + 0. 5× 0. 8 + 0. 2× 0. 2 = 0. 62,
p ( s1 ©¦x ) =p ( x ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x )=
0. 3× 0. 60. 62
= 0. 29,
p ( s2 ©¦x ) =p ( x ©¦s2 ) p ( s2 )
p ( x )=
0. 5× 0. 80. 62
= 0. 645,
p ( s3 ©¦x ) =p ( x ©¦s3 ) p ( s3 )
p ( x )=
0. 2× 0. 20. 62
= 0. 065.
从而, 在需求一般的情况下:
d 1 ©¦x = ∑q1j p ( sj ©¦x ) = 20× 0. 29 + 12× 0. 645 + 8× 0. 065 = 14. 06,
d 2 ©¦x = ∑q2j p ( sj ©¦x ) = 16× 0. 29 + 16× 0. 645 + 10× 0. 065 = 15. 61,
d 3 ©¦x = ∑q3j p ( sj ©¦x ) = 12× 0. 29 + 12× 0. 645 + 12× 0. 065 = 12,
d *2 ©¦x = max {d 1 ©¦x , d 2 ©¦x , d3 ©¦x } = 15. 61.
故, 最优方案为 a2 , 即中批量生产.
又 E VP I = ∑j
maxi
{qij p ( sj ) } - maxi
{∑qij p ( sj ) }
= 20× 0. 3 + 16× 0. 5 + 12× 0. 2 - 14. 8
= 16. 4 - 14. 8 = 1. 6(万元) .
8. 17 解 ( 1) 用 s1 表示“销路好”, s2 表示“销路差”, 则 p ( s1 ) = 0. 7, p ( s2 ) = 0. 3. 用 a 1
表示“大批量投产”, a 2 表示“不投产”, 则收益矩阵为
s1 s2
Q =a 1
a 2
1200 - 150
0 0.
又用 x 1 表示“试销销路好”, x 2 表示“试销销路差”, 则 p ( x 1 ) = 0. 8, p ( x 2 ) = 0. 2, 且 p ( s1 ©¦x 1 )
= 0. 85, p ( s2 ©¦x 1 ) = 0. 15, p ( s1 ©¦x 2 ) = 0. 1, p ( s2 ©¦x2 ) = 0. 9. 于是有:
d 1 ©¦x 1 = ∑q1j p ( sj ©¦x 1 ) = 1200× 0. 85 - 150× 0. 15 = 997. 5,
d 2 ©¦x 1 = ∑q2j p ( sj ©¦x 1 ) = 0,
d*1 ©¦x1 = max{d 1 ©¦x 1 , d 2 ©¦x 1 } = 997. 5.
而
d 1 ©¦x 2 = ∑q1j p ( sj ©¦x 2 ) = 1 200× 0. 1 - 150× 0. 9 = - 15,
·022·
d 2 ©¦x 2 = ∑q2j p ( sj ©¦x 2 ) = 0,
d*2 ©¦x2 = max{- 15, 0} = 0.
故
EVSI = ∑p ( x k ) maxi
{∑qij p ( sj ©¦x k) } - max{∑i
qij p ( sj ) }
= 997. 5× 0. 8 + 0× 0. 2 - max{795, 0}
= 798 - 795 = 3(万元) .
( 2) 由于小型试验工厂的费用为 5 万元, 而 E VSI = 3 < 5, 故, 建设此小型试验厂不
值得.
8. 18 解 沿用 8. 15 题的记号, 并用 x 1 表示“地段确有构造圈闭”, x 2 表示“地段可能
有构造圈闭”, x 3 表示“地段有未封闭的构造圈闭”, x 4 表示“地段无构造圈闭”, 于是依题意有
p ( x 1 ©¦s1 ) =712
, p ( x 1 ©¦s2 ) =9
16, p ( x1 ©¦s3 ) =
1124
, p ( x 1 ©¦s4 ) =9
48,
p ( x 2 ©¦s1 ) =412
, p ( x 2 ©¦s2 ) =3
16, p ( x2 ©¦s3 ) =
624
, p ( x 2 ©¦s4 ) =1348
,
p ( x 3 ©¦s1 ) =112
, p ( x 3 ©¦s2 ) =2
16, p ( x3 ©¦s3 ) =
324
, p ( x 3 ©¦s4 ) =1548
,
p ( x 4 ©¦s1 ) = 0, p ( x 4 ©¦s2 ) =2
16, p ( x 4 ©¦s3 ) =
424
, p ( x 4 ©¦s4 ) =1148
,
p ( x 1 ) = ∑p ( x 1 ©¦sj ) p ( sj ) �=7
12× 0. 1 +
916× 0. 15 +
1124× 0. 25 +
948× 0. 5
= 0. 351,
p ( x 2 ) = ∑p ( x 2 ©¦sj ) p ( sj ) =4
12× 0. 1 +
316× 0. 15 +
624× 0. 25 +
1348× 0. 5
= 0. 259,
p ( x 3 ) =1
12× 0. 1 +
216× 0. 15 +
324× 0. 25 +
1548× 0. 5 = 0. 214,
p ( x 4 ) = 0× 0. 1 +2
16× 0. 15 +
424× 0. 25 +
1148× 0. 5 = 0. 176,
p ( s1 ©¦x 1 ) =p ( x 1 ©¦s1 ) p ( s1 )
p ( x 1 )= 0. 165.
同理有
p ( s2 ©¦x 1 ) = 0. 239, p ( s3 ©¦x 1 ) = 0. 328, p ( s4 ©¦x 1 ) = 0. 268,
p ( s1 ©¦x 2 ) = 0. 127, p ( s2 ©¦x 2 ) = 0. 108, p ( s3 ©¦x 2 ) = 0. 2643, p ( s4 ©¦x 2 ) = 0. 522,
p ( s1 ©¦x 3 ) = 0. 037, p ( s2 ©¦x 3 ) = 0. 089, p ( s3 ©¦x 3 ) = 0. 145, p ( s4 ©¦x3 ) = 0. 729,
p ( s1 ©¦x 4 ) = 0, p ( s2 ©¦x 4 ) = 0. 108, p ( s3 ©¦x 4 ) = 0. 239, p ( s4 ©¦x4 ) = 0. 653.
d1 ©¦x 1 = 900 000× 0. 165 + 300 000× 0. 239 + 0× 0. 328 - 75 000× 0. 268
= 200 100,
d2 ©¦x 1 = 45 000,
d3 ©¦x 1 = 250 000× 0. 165 + 100 000× 0. 239 = 65 150,
d*1 ©¦x 1 = max{200 100, 45 000, 65 150} = 200 100,
·122·
d1 ©¦x 2 = 900 000× 0. 127 + 300 000× 0. 108 + 0× 0. 243 - 75 000× 0. 522
= 107 550,
d2 ©¦x 2 = 45 000,
d3 ©¦x 2 = 250 000× 0. 127 + 100 000× 0. 108 = 42 550,
d*1 ©¦x 2 = max{107 550, 45 000, 42 550} = 107 550,
d1 ©¦x 3 = 900 000× 0. 037 + 300 000× 0. 089 + 0× 0. 145 - 75 000× 0. 729
= 5 325,
d2 ©¦x 3 = 45 000,
d3 ©¦x 3 = 250 000× 0. 037 + 100 000× 0. 089 = 18 150,
d*2 ©¦x 3 = max{5 325, 45 000, 18 150} = 45 000,
d1 ©¦x 4 = 900 000× 0 + 300 000× 0. 108 + 0× 0. 239 - 75 000× 0. 653
= - 16 575,
d2 ©¦x 4 = 45 000,
d3 ©¦x 4 = 250 000× 0 + 100 000× 0. 108 = 10 800,
d*2 ©¦x 4 = max{- 16 575, 45 000, 10 800} = 45 000.
( 1) 若进行地震探测, 公司最优期望费用为
∑p ( x k) ¡¤max{∑qij p ( sj ©¦x k) }= 200 100× 0. 351 + 107 550× 0. 259
+ 45 000× 0. 214 + 45 000× 0. 176
= 115 640. 55.
( 2) EVSI = ∑p ( x k ) ¡¤max{∑qij p ( sj ©¦x k ) } - maxi
{∑qij p ( sj ) }
= 115 640. 55 - 97 500 = 18 140. 55 > 12 000.
故, 应当利用地震探测数据.
( 3) 由前面知, 地震探测结果属第 3 类, 则最优决策为土地无条件租让出去.
·222·
第 9 章 随机服务系统模型
9. 1 重点、难点提要
1. 随机服务系统理论
随机服务系统理论( 或排队论) 是研究由顾客、服务机构及其排队现象的一种排队系统
的理论. 刻划该系统的模型又称为随机服务系统模型. 此模型的基本构成为输入过程、服务
时间、服务机构和排队规则.
输入过程: 顾客到达排队系统的时间间隔分布. 如泊松输入, 在长度为 t 的时间内有 k
个顾客到达的概率为
P k ( t) = e - λt ( λt)k
k!, k = 0, 1, 2, ⋯.
而相继顾客到达的时间间隔 t 的分布为
A ( t) =1 - e - λt t ≥ 0
0 t < 0.
服务时间: 顾客接受服务的时间分布. 如简单的服务时间为负指数分布, 其函数为
B( x ) =1 - e- ux x ≥ 0
0 x < 0.
服务机构: 服务台的个数, 其类型有单服务台和多服务台.
排队规则: 服务机构给到达的顾客服务规则, 包括损失制、等待制和混合制. 损失制指的
是顾客到达时, 若所有服务台都忙, 顾客随即离去; 等待制指的是顾客到达时, 若所有服务台
都忙, 他们就排队等待, 等待的次序有先到先服务、后到先服务、随机服务、优先权服务; 混合
制指的是既有等待又有损失的情况.
2. 模型分类
模型分类指的是依据模型的输入过程、服务时间及服务台个数的特征, 用符号来表示出
不同的模型. 其规则是: 输入过程©¦服务分布©¦服务台数. 如 m©¦m©¦S 表示输入过程为泊松输
入, 服务时间分布为负指数分布, 服务台数为 S 台. 通常用 m 表示泊松输入, 或服务时间分
布为负指数分布. D 表示定长分布, G 表示服务时间为一般服务分布, E k 表示 k 阶埃尔朗
分布.
3. 模型的主要数量指标
( 1) 等待时间: 顾客从到达系统时起到开始接受服务时止的此段时间. 有两个指标: 平
均等待时间 W q 和平均逗留时间 W s(包括等待时间和服务时间) .
( 2) 忙期: 指服务台连续繁忙的时间长度. 用 B 表示忙期的平均长度, 与此相反, 用 I
·322·
表示闲期的平均长度.
( 3) 队长: 指系统中的顾客数(包括排队等候的和正在接受服务的) 。用 L s 表示平均队
长, 用 L q 表示( 仅仅排队等候的顾客数称为队列长)平均队列长.
( 4) 服务强度( ρ) 表示有效的平均到达率(λ)和平均服务率( μ) 的比, 即 ρ= λ/ μ.
4. M©¦M©¦1 模型( 顾客、容量均无限且先到先服务的单队)
( 1) 系统的稳态概率
P 0 = 1 - ρ ρ< 1
P n = ( 1 - ρ) ρn
n = 1, 2, ⋯.
( 2) 平均队长
L s =ρ
1 - ρ=
λμ- λ
( 0 < ρ< 1) .
( 3) 平均队列长
L q =λ2
μ( μ- λ)= ρL s .
( 4) 平均逗留时间
W s =1
μ- λ=
1μ( 1 - ρ)
.
( 5) 平均等待时间
Wq = W s -1μ
=ρ
μ- λ=
ρμ( 1 - ρ)
.
( 6) 闲期平均长度
I =1λ
.
( 7) 忙期的平均长度
B =ρ
1 - ρ1λ
=1
μ- λ.
5. M©¦M©¦C 模型(顾客源、容量均无限且先到先服务的 C 个服务台并联)
( 1) 稳态概率
P o = ∑C- 1
n = 0
1n!
λμ
n
+1
C!λμ
C CμCμ- λ
- 1
,
P n =
1n!
λμ
n
P o n ≤ C
1C! C
n - Cλμ
n
P o n > C.
( 2) 平均队列长
L q =( Cρ) C
C! ( 1 - ρ)2ρP o.
( 3) 平均队长
L s = L q + Cρ.
·422·
( 4) 平均等待时间
Wq =L q
λ.
( 5) 平均逗留时间
Ws =L s
λ= Wq +
1μ
.
用 P C 记( Cρ)
C
C!P o , 则
L q =ρ
( 1 - ρ) 2 P C , L s = Cρ+ρ
( 1 - ρ) 2 P C ,
Wq =ρ
λ( 1 - ρ)2 P C , Ws =
1μ
+ρ
λ( 1 - ρ)2 P C .
此处 ρ=λ
Cμ.
6. 随机服务系统模拟
随机服务系统模拟就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行
动态模拟, 以获得系统或过程反映其本质特征的数量指标结果, 进而预测、分析或评价该系
统的行为效果。
7. 借助[ 0, 1]上均匀分布的随机数获取常用的分布
( 1) 一般独立输入或一般服务分布
如果分布函数 A ( t)的逆函数存在, 则由[ 0, 1]上均匀分布随机数 μ, 可得 A( t)的随机数
x , 即
x = A- 1
(μ) .
( 2) 负指数分布
负指数分布
B( t) =1 - e - μt t ≥ 0
0 t < 0
的逆函数为 B- 1 ( s) = -
1μln( 1- s) , 故负指数分布的随机数
x = -1μ
ln ( 1 - u) 或 x = -1μ
lnu.
其中 u 为[ 0, 1] 上均匀分布的随机数 .
( 3) 泊松输入
由( 2)中产生一系列相互独立且同服从负指数分布的随机数 x 1 , x 2 , x 3 , ⋯, 则 x 1 , x 2 ,
x 3 ⋯便为泊松输入中相继顾客到达间隔, 而 x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x3 , ⋯就是相继顾客到达
时刻 .
( 4) 埃尔朗分布 E k
E k 的分布密度为μ(μt)
k- 1
( k- 1) ! e- μt , t≥0.
据( 2)中的公式产生 k 个相互独立的随机数 x1 , x 2 , ⋯, x k , 则 x = x 1 + x 2 + ⋯+ x k 便是
·522·
E k 分布密度的随机数 .
( 5) 如 ξ1 , ξ2 , ⋯, ξn 同服从均匀分布, 则 ξ=12n
ξ1 + ξ2 + ⋯+ ξn -n2
近似服从标准
正态分布. 令
η= a + σξ.
则 η～N ( a, σ2) , 于是有均值为 a, 方差为 σ
2的正态分布随机数公式
x = a + σ12n
u1 + ⋯ + un -n2
,
其中 ui 为相互独立的[ 0, 1] 上均匀分布的随机数.
9. 2 主要解题方法和典型例题分析
例 1 某理发店只有一名理发师, 来理发的顾客按泊松分布到达, 平均每小时 4 人, 理
发时间服从负指数分布, 平均需 6 分钟, 求
( 1) 理发店空闲时间的概率;
( 2) 店内有 3 个顾客的概率;
( 3) 店内至少有 1 个顾客的概率;
( 4) 在店内顾客平均数;
( 5) 在店内平均逗留时间;
( 6) 等待服务的顾客平均数;
( 7) 平均等待服务时间;
( 8) 必须在店内消耗 15 分钟以上的概率.
解 此为 m©¦m©¦1 模型, 已知, λ=460
= 0. 067( 人/ 分 ) , μ=16
( 人/ 分 ) , ρ= 0. 067 1/ 6=
0. 4.
( 1) P o= 1- ρ= 1- 0. 4= 0. 6.
( 2) P 3 = ( 1- ρ) ρ3= 0. 6× 0. 4
3= 0. 0384.
( 3) P ( n≥1) = 1- P ( n< 1) = 1- P o= 1- 1+ ρ= ρ= 0. 4.
( 4) L s=ρ
1- ρ=
0. 41- 0. 4
= 0. 67(人) .
( 5) Ws=1
μ- λ=
116
- 0. 067= 10(分) .
( 6) L q = ρL s= 0. 4× 0. 67= 0. 268( 人) .
( 7) Wq =ρ
μ( 1- ρ)=
0. 416× 0. 6
= 4(分) .
( 8) 用 T 表示顾客在系统中的逗留时间, 则 T 服从(μ- λ) 的指数分布. 于是
P ( T ≥ 15) =∫+ ∞
15(μ- λ) e - ( μ- λ) x dx
·622·
= - e- ( μ- λ) x
+ ∞
1 5= e
- 15( μ- λ)
= 0. 223.
例 2 某银行有三个出纳员, 顾客以平均速度为 4 人/ 分钟的泊松流到达. 所有的顾客
排成一队, 出纳员与顾客的交易时间服从平均数为12分钟的负指数分布, 试求
( 1) 银行内空闲时间的概率;
( 2) 银行内顾客数为 n 时的稳态概率;
( 3) 平均队列长 L q;
( 4) 银行内的顾客平均数 L s;
( 5) 在银行内的平均逗留时间( W s) ;
( 6) 等待服务的平均时间( W q) .
解 这是 M©¦M©¦3 模型, 顾客源、容量均无限, 单队 3 个服务台并联的情形. 此时, λ= 4,
μ= 2, C= 3, ρ=λ
Cμ=
43× 2
= 2/ 3.
( 1) 银行内空闲时间的概率即没有顾客时的概率.
P o = ∑C- 1
n = 0
1n!
λμ
n
+
λμ
C
C!Cμ
Cμ- λ
- 1
= 1 + 2 +1
2!22 +
23
3!3 ¡¤2
3 ¡¤2 - 4
- 1
=19
.
( 2) n≤3 时,
P n =1n!
λμ
n
P o =1n!
2n
9.
n > 3 时,
P n =1
C! Cn- C
λμ
n
P o
=1
3! 3n- 3 ¡¤2n ¡¤
19
=12
¡¤23
n
.
( 3) 平均队列长
L q =( Cρ)
C
C! ( 1 - ρ)2 ¡¤ρP o =
( 3 ¡¤2/ 3)3
3! ( 1/ 3)2 ¡¤2/ 3 ¡¤
19
=89
.
( 4) 银行内顾客的平均数
L s = L q + Cρ=89
+ 2 = 289
.
( 5) 银行内顾客的平均逗留时间
W s =L s
λ=
289
4=
269×
14
=1318
.
( 6) 顾客等待服务的平均时间
Wq =L q
λ=
89×
14
=29
.
·722·
例 3 某电话亭有一部电话, 来打电话的顾客数服从泊松分布, 相继两个人到达间的平
均时间为 10 分钟, 通话时间服从指数分布, 平均数为 3 分钟. 求
( 1) 顾客到达电话亭要等待的概率.
( 2) 等待打电话的平均顾客数.
( 3) 当一个顾客至少要等 3 分钟才能打电话时, 电信局打算增设一台电话机, 问到达速
度增加到多少时, 装第二台电话机才是合理的?
( 4) 打一次电话要等 10 分钟以上的概率是多少?
( 5) 第二台电话机安装后, 顾客的平均等待时间是多少?
解 在装两台电话机前, 模型为 M©¦M©¦1, 客源、容量不限的排队系统, 且 λ= 0. 1( 人/
分) , μ= 1/ 3= 0. 33(人/ 分) , ρ=
110
13
= 0. 3. 于是
( 1) 顾客到达必须等待的概率为
P ( n ≥ 1) = 1 - P ( n < 1) = 1 - P o = 1 - ( 1 - ρ) = 0. 3.
( 2) 等待用电话的平均顾客数
L q =ρ2
1 - ρ=
0. 32
1 - 0. 3= 0. 13( 人) .
( 3) 到达速度即为平均到达率 λ, 由题意知
Wq =ρ
μ( 1 - ρ)=
λ0. 33( 0. 33 - λ)
= 3.
从而, λ=16
(人/ 分) .
( 4) 打一次电话的时间即为顾客的逗留时间 T .
P ( T > 10) = ρ∫+ ∞
10(μ- λ) e - ( μ- λ) x dx
= - ρe - ( μ- λ) x+ ∞
10= 0. 3e- 10 ( 0. 33- 0. 1 )
= 0. 03(分) .
( 5) 装了第 2 台电话后, 系统为 M©¦M©¦2. 此时 C= 2,
P o = ∑C - 1
n= 0
1n!
λμ
n
+1
C!λμ
C CμCμ- λ
- 1
= 1 +λμ
+12!
λμ
2 2μ2μ- λ
- 1
= 1 + 0. 3 +1
2!0. 32 ¡¤
2× 0. 332× 0. 33 - 0. 1
- 1
= 0. 74.
Wq =ρ
λ( 1 - ρ)2 ¡¤
( Cρ)C
C!P o
=0. 15
0. 1( 1 - 0. 15)2 ¡¤
( 0. 3)2
2¡¤0. 74 = 0. 069(分) .
即加装一台电话机后, 平均等待时间为 0. 069 分, 即 4. 15 秒.
例 4 某航运局拟自己建设 1 个港口, 据资料知货船按泊松流到达, 平均每小时到达 21
·822·
条, 卸货时间服从负指数分布, 平均卸货时间为 2 分钟. 每条船的售价 8 万元, 每建设 1 个泊
位需投资 12 万元, 试问建设多少个泊位合理?
解 此问题可看成是 M©¦M©¦C 的源、容量不限的排队问题, 且关心的是 C 为多少才合
理. 由题设知 λ= 21 条/ 小时, μ= 30 条/ 小时.
( 1) 如果 C= 1, 则由 M©¦M©¦1 知 ρ1 = 21/ 30= 0. 7, 即泊位空闲的概率为
P o = 1 - ρ1 = 1 -2130
= 0. 3.
系统内货船的平均数为
L s =ρ1
1 - ρ1=
0. 70. 3
= 2. 3(条) .
( 2) 如果 C= 2, 则由 M©¦M©¦2 知 ρ2 =21
2× 30= 0. 35.
此时, 泊位空闲的概率为
P o = 1 + 0. 7 +1
2!( 0. 70) 2 ¡¤
11 - 0. 35
- 1
= 0. 48.
所以系统内货船的平均数为
L s =( 2× 0. 35) 2
2( 1 - 0. 35) 2× 0. 35× 0. 48 +2130
= 0. 797( 条) .
( 3) 如果 C= 3 时, 则由 M©¦M©¦3 知 ρ3 =13ρ1 = 0. 23. 此时, 泊位空闲的概率为
P o = 1 + Cρ3 +12!
( Cρ3 )2
+( Cρ3 )
3
3!¡¤
11 - ρ
- 1
= ( 1 + 0. 7 + 0. 49 + 0. 074)- 1
= 0. 44.
系统内货船的平均数为
L s =( 3× 0. 23) 3
3! ( 1 - 0. 23) 2× 0. 23× 0. 44 + 0. 7 = 0. 71(条) .
由于 1 个泊位的 L s 比 2 个泊位的 L s 多 1. 603, 此意味着可平均增加 1. 603 条货船, 相
当于 12 万元的投资可产生 1. 603× 8= 12. 824 万元的运输设备. 因 12. 824> 12, 故建设 2
个比建设 1 个好. 而建设 3 个泊位时, 则 2 个泊位时货船的平均数与 3 个泊位的货船的平均
数多 0. 797- 0. 71= 0. 087 条. 这意味着投资 12 万元增加 1 个泊位所产生的效益为 0. 087
× 8= 0. 696 万元, 这比成本 12 万元要低很多 . 故该航运局合理拟建的泊位数为 2.
例 5 存货按照泊松分布被用完和再补足, 用完和再补足之间的平均时间分别等于1μ
和1λ
. 如果库存不足时每单位时间每件的惩罚成本为 c2 , n 件存货在库存时的单位时间成本
为 c1·n, 此处 c2 > c1 .
( 1) 求出每单位时间平均总成本T C的表达式.
( 2) ρ为何值时, 平均总成本最小.
解 ( 1) 此过程可以看成是 M©¦M©¦1. 此时泊松分布的均值为1λ
, 负指数分布的均值为
1μ
, ρ=μλ
.
·922·
P o = 1 - ρ,
Ls =ρ
1 - ρ.
故
T C = Ec1n + c2 P o = c1 ¡¤ρ
1 - ρ+ c2 ( 1 - ρ) .
( 2) T C′= c11
( 1- ρ)2 - c2 .
令
T C′= 0, 求得 ρ*
= 1 -c1
c21 +
cc2
不合 ,
T C" =2c1
( 1 - ρ) 3ρ*
> 0
和
ρ*
= 1 -c1
c2为惟一驻点.
知道
ρ* = 1 -c1
c2是使T C 最小的最优值.
例 6 假定在 M©¦M©¦C、队长无限的排队系统中, λ= 10, μ= 3, 成本是 c1 = 5, c2 = 25. 求
使得总期望成本最小所必须使用的服务员个数( 其中 c1 为单位时间每增加一个服务员的成
本, c2 为单位时间每个顾客的等待成本) .
解 设给定 C 个服务员的总成本为 TC( C) , 系统中顾客平均数为 L s( C) . 当用 C 个服
务员使总成本最小时, 必须满足
T C( C - 1) ≥ T C( C) , T C( C + 1) ≥ T C( C) .
又 T C( C) = c1C+ c2 L s( C) , 并由上式有
c1 ( C - 1) + c2L s( C - 1) ≥ c1 C + c2 L s( C) .
即
c1
c2≤ L s( C - 1) - L s( C) .
又
c1 ( C + 1) + c2L s( C + 1) ≥ c1 C + c2 L s( C) ,
即
c1
c2≥ L s( C) - L s( C + 1) .
从而
Ls( C) - L s( C + 1) ≤c1
c2≤ L s( C - 1) - L s( C) .
于是:
·032·
C Ls( C) Ls ( C- 1 �) - Ls( C)
4 !6 O. 62 —
5 !3 O. 98 2 �. 64
6 !3 O. 52 0 �. 46
7 !3 O. 39 0 �. 13
而c1
c2=
525
=15
= 0. 2. 故
L s( 6) - L s( 6 + 1) = 0. 13 <c1
c2= 0. 2 < 0. 46 = L s( 6 - 1) - Ls( 6) .
故 C= 6 时, 即使用 6 个服务员最好.
例 7 用逆变换法确定服从下列概率分布的随机模拟数 x :
f ( x ) =1
b - aa ≤ x ≤ b
0 其他.
解 易知 f ( x )为密度函数, 其分布函数为
F ( x ) =∫x
af ( u ) du =
x - ab - a
.
令 A ( x ) = F ( x ) =x - ab - a
,
则由 x = A- 1
( u) 知
x = u( b - a ) + a .
例 8 参数为 α的负指数分布的概率密度函数为
f ( x ) =αe- αx x ≥ 0
0 x < 0 (α> 0) .
试用逆变换法确定服从负指数分布的随机数.
解 易知以 f ( x )为密度函数, 其分布函数为
F ( x ) = 1 - e- αx
.
令
A( x ) = F ( x ) = 1 - e- αx
,
则
x = A - 1 ( u )
= -1α
ln( 1 - u) .
9. 3 习 题
9. 1 某修理店只有一个修理工, 来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布, 平均每小
时 4 人. 修理时间服从负指数分布, 平均需 6 分钟. 求: ( 1) 修理店空闲时间的概率; ( 2) 店内
有 3 个顾客的概率; ( 3) 店内顾客平均数; ( 4) 店内等待顾客平均数; ( 5) 顾客在店内平均逗
留时间; ( 6) 平均等待修理时间.
·132·
9. 2 对 M©¦M©¦1 的排队模型, 根据下列等式右侧的表达式分别解释 θ的含义:
( 1) θ= λ/ μ ( 2) θ= P {n> 0} ( 3) θ= Ls- L q ( 4) θ= W q/ Ws
9. 3 汽车平均以每 5 分钟一辆的到达率去某加油站加油, 到达过程为泊松过程. 该加
油站只有一台加油设备, 加油时间服从负指数分布, 且平均需要 4 分钟, 求: ( 1) 加油站内平
均汽车数; ( 2) 每辆汽车平均等待加油时间; ( 3) 汽车等待加油时间超过 2 分钟的概率是多
少?
9. 4 在 9. 3 题中, 若每辆汽车平均等待加油时间减少至 2 分钟以下, 则加油站还需增
加几台加油设备? 在增加设备的情况下, 整个加油站没有汽车加油的概率是多少?
9. 5 某公用电话站有一台电话机, 打电话的人按泊松分布到达, 平均每小时 24 人, 假
定每次电话的通话时间服从负指数分布, 平均为 2 分钟, 求该系统以下各项指标: P o , L q,
L s , Wq , Ws. 又若打电话的人到达情况与通话时间的概率分布均不变, 而电话机增加到两
台时, 系统的以上各项指标又有什么变化?
9. 6 某商店收款台有 3 名收款员, 顾客到达率为每小时 504 人, 每名收款员服务率为
每小时 240 人, 设顾客到达为泊松输入, 收款服务时间服从负指数分布, 求解 P o, L q , L s , Wq
及 W s.
9. 7 设 λ= 10/ 小时, μ= 15/ 小时, 模拟一个 M ©¦M ©¦1 随机服务系统, 通过模拟求出 L s
和 L q .
9. 8 模拟有两位营业员工作的储蓄所一天 8 小时的业务情况. 前来办理存款或取款的
顾客按照一定的统计规律到达储蓄所(顾客到达的时间间隔服从平均到达为 10 分钟的指数
分布) . 顾客按先到先服务的规则接受服务. 营业员对每一顾客的服务时间服从均值为 10 分
钟, 均方差为 2 分钟的正态分布 . 通过模拟求出一天之内接受服务的顾客总数以及各顾客
到达时看到的系统中顾客平均数(包括正在服务的和排队等待的顾客) .
9. 9 M©¦M©¦1 与 M©¦M©¦C 中的 ρ是否相同?
9. 10 在 M©¦M©¦1 中, 用 n s 表示系统中逗留的人数, nq 表示系统中等待的顾客数且 n s=
nq + 1, 则 L s= En s= E ( nq + 1) = E nq+ 1= Lq + 1.
9. 11 指出下列排队系统中的顾客和服务员:
( 1) 自行车修理店.
( 2) 按客户订货单进行加工的加工车间.
9. 12 M©¦M©¦1 中 L s= L q + ρ1 , 而 M©¦M©¦C 中也有 L s= L q+ ρ2 其中 ρ1 =λμ
, ρ2 =λ
cμ.
9. 13 在 M©¦M©¦1 模型的排队问题中, 如 1 个顾客在时刻 t 到达, 发现在他前面已有 4
个顾客在系统中(其中 1 个正在被服务) , 刚到达的顾客在系统中花费的时间将服从什么分
布? 平均数和方差是多少? 这些结果在多大程度上依赖于排队模型 M©¦M©¦1 的特征.
9. 14 M©¦M©¦C 的特征是什么?
9. 15 某有线电视台配有一位电视机修理工, 来此维修的顾客到达为泊松流, 平均到达
时间为 20 分钟, 修理时间服从负指数分布, 平均时间 15 分钟, 求
( 1) 顾客来修理不必等待的概率;
( 2) 电视台内要求维修电视机的顾客数的平均数;
( 3) 要求维修电视机的顾客的平均逗留时间;
·232·
( 4) 如果( 3) 中的逗留时间超过 1. 25 小时, 则电视台将考虑增加设备及人员, 问平均到
达率提高多少时店主才作这样的考虑呢?
9. 16 某食堂有两个窗口, 用餐人员以平均到达间隔时间是 8 分钟的泊松流到达, 服务
时间服从负指数分布且平均服务时间为 5 分钟, 试求:
( 1) 窗口不空而耽搁的概率;
( 2) 至少有一个服务台空闲的概率;
( 3) 两个服务台都空闲的概率.
9. 17 设一套卸货设备, 每次只能给一条船卸货, 每周到达船数是服从参数为 λ的泊松
流, 卸货时间服从参数为 μ的负指数分布. 设卸货费用与卸货速度成正比, 其值为 kμ, 船停
在码头上的费用与时间成正比, 其值为 cw, k 和 c 均为常数, 求使费用最少的卸货速度.
9. 18 在 λ= 17. 5 人/ 小时和 μ= 10 人/ 小时的 M©¦M©¦C 中, 要确定服务个数 C 使得空
闲时间的百分比不超过 159. 并使一个顾客花费在系统中的时间不超过 30 分钟. 如果每单
位时间每增加一个服务员的成本是 10 元, 那么由以上决策标准所确定的每单位时间每个顾
客的隐含(等待) 成本是多少?
9. 4 习 题 解 答
9. 1 解 此为 M©¦M©¦1 模型.
λ= 4 人/ 小时, μ= 10 人/ 小时, ρ=λμ
= 0. 4.
( 1) 修理店空闲时间的概率
P o = 1 - ρ= 1 - 0. 4 = 0. 6.
( 2) 店内有 3 个顾客的概率
P 3 = P ( n = 3) = ( 1 - ρ)ρ3 = 0. 6× 0. 43 = 0. 0384.
( 3) 店内顾客平均数
L s =ρ
1 - ρ=
0. 41 - 0. 4
= 0. 67( 人) .
( 4) 店内等待顾客平均数
Lq = ρL s = 0. 4× 0. 67 = 0. 268(人) .
( 5) 顾客在店内平均逗留时间
Ws =1
μ- λ=
110 - 4
= 0. 16(小时) .
( 6) 平均等待修理时间
Wq =ρ
μ( 1 - ρ)=
0. 410( 1 - 0. 4)
= 0. 067(小时) .
9. 2 解 ( 1) θ= λ/ μ为服务强度, 具体地说表示在每个顾客接受服务的平均服务时间
内进入系统的顾客数.
( 2) θ= P ( n> 0) 表示服务机构没有空闲的概率, 同时也是系统的服务机构的利用率.
( 3) θ= Ls- L q 表示正在服务台上接受服务的顾客数的平均数.
·332·
( 4) θ=Wq
Ws此为顾客等待服务时间占他在系统中逗留时间之比.
9. 3 解 此为 M©¦M©¦1 模型.
λ= 0. 2 辆/ 分, μ= 0. 25 人/ 分, ρ=λμ
= 0. 8.
( 1) 加油站内平均汽车数
L s =ρ
1 - ρ=
0. 81 - 0. 8
= 4(辆) .
( 2) 每辆汽车平均等待加油时间
Wq =ρ
μ( 1 - ρ)=
0. 80. 25( 1 - 0. 8)
= 16( 分) .
( 3) 汽车等待加油时间超过 2 分钟的概率, 用 W 表示汽车等待时间, 则
P ( W ≥ 2) =∫+ ∞
2ρ(μ- λ) e - ( μ- λ) x dx
= ρ( - e - ( μ- λ) x )+ ∞
2= 0. 8× e - ( 0. 2 5- 0. 2 )× 2
= 0. 72.
9. 4 解 设加油站有 c 台加油设备. 依题意有 μ= 0. 25, λ= 0. 2, ρ=λ
cμ=
1c× 0. 8.
在 c= 2 时:
P o = 1 +λμ
+12!
λμ
2
¡¤2μ
2μ- λ
- 1
= 1 + 0. 8 +1
2!0. 82 ¡¤
2× 0. 252× 0. 25 - 0. 2
- 1
= 0. 43.
从而
Wq =ρ
λ( 1 - ρ) 2 ¡¤( cρ) c
c!P o =
0. 40. 2× 0. 62 ¡¤
0. 82
2!× 0. 43
= 0. 76 < 2.
故, 加油站只需增加一台加油设备.
此时, 即增加一台加油设备后, 整个加油站没有汽车加油的概率为 P o= 0. 43.
9. 5 解 此题前部分为 M©¦M©¦1, 且 λ= 24 人/ 小时, μ= 30 人/ 小时, ρ=λμ
=2430
= 0. 8.
于是,
P o = 1 - ρ= 1 - 0. 8 = 0. 2,
L q =λ
2
μ( μ- λ)=
242
30( 30 - 24)= 3. 2(人) ,
L s =ρ
1 - ρ=
0. 81 - 0. 8
= 4(人) ,
W q =p
μ( 1 - ρ)=
0. 830( 1 - 0. 8)
= 0. 13(小时)
W s =1
μ- λ=
130 - 24
= 0. 167(小时) .
又用电话人的到达与通话时间的概率不变, 电话机增加到两台, 此时系统为 M©¦M©¦2 且
·432·
μ= 30, λ= 24, ρ=λ
Cμ=
243× 30
= 0. 4. 于是
P o = 1 +λμ
+1
2!λμ
2 2 ¡¤μ2μ- λ
- 1
= 1 + 0. 8 +1
2!( 0. 8) 2×
2× 302× 30 - 24
- 1
= 0. 43,
Lq =( Cρ)
C
C! ( 1 - ρ)2 ¡¤ρP o =
( 2× 0. 4)2
2! ( 1 - 0. 4)2 ¡¤0. 4 ¡¤0. 43 = 0. 153(人) ,
Ls = Lq + Cρ= 0. 153 + 2× 0. 4 = 0. 953(人) ,
Wq =L q
λ=
0. 15324
= 0. 0064(小时) ,
Ws = Wq +1μ
= 0. 0064 +130
= 0. 04 (小时) .
9. 6 解 此为 M©¦M©¦3, 且 C= 3, μ= 504 人/ 小时, λ= 240 人/ 小时, ρ=λ
Cμ=
2403× 504
=
0. 159. 于是
P o = 1 +λμ
+1
2!λμ
2
+1
3!λμ
3 3μ3μ- λ
- 1
= 1 +240504
+12
¡¤240504
2
+16
¡¤240504
3
¡¤3× 504
3× 504 - 240
- 1
= 0. 62,
Lq =( Cρ) C
C! ( 1 - ρ) 2 ρP o =( 3× 0. 159) 3
3! ( 1 - 0. 159) 2× 0. 159× 0. 62
= 0. 0025(人) ,
Ls = L q + Cρ= 0. 0025 + 3× 0. 159 = 0. 4795,
Wq =L q
λ=
0. 0025240
= 0. 00001(小时) ,
Ws = Wq +1μ
= 0. 00001 +1
504= 0. 00199( 小时) .
9. 7 解 ( 略)
9. 8 解 ( 略)
9. 9 解 不同. M©¦M©¦1 中的 ρ=λμ
, 而 M©¦M©¦C 中的 ρ=λ
Cμ.
9. 10 解 此结论不对. 结论为 L s= L q + ρ. 因为∑∞
n= 1
P n = ρ≠ 1 ( 缺 P o 项) .
9. 11 解 4( 1) 顾客: 自行车 . 服务员: 修理工.
( 2) 顾客: 订货单 . 服务员: 车间.
9. 12 解 不对: M©¦M©¦1 中有 L s= Lq + ρ1 但 M©¦M©¦C 中 L s= L q + Cρ2 .
9. 13 解 按先到先服务的规则, 新的顾客必须待 4 个顾客按指数分布服务结束后才
能完成他的服务. 因此他在系统中花费的时间长度的分布是爱尔朗分布, 平均数为5μ
, 方差
5μ2 . 单个服务台和先到先服务的假设都是关键, 到达过程和系统容量与讨论的问题无关.
·532·
9. 14 解 M©¦M©¦C 的特征是输入为泊松流, 服务时间服从负指数分布, 顾客源及容量
不限, 服务原则是先到先服务, 有 C 个服务台且是并联的.
9. 15 解 此为 M©¦M©¦1, 且 λ=120
= 0. 05 人/ 分, μ=1
15= 0. 067 人/ 分, ρ= 0. 75.
( 1) 顾客来修理不必等待的概率即顾客到达时, 服务台处于空闲的概率, 故为 P o, 即
P o = 1 - ρ= 1 - 0. 75 = 0. 25.
( 2) 电视台内要求维修电视机的顾客数的平均数为
L s =λ
μ- λ= 3(人) .
( 3) 平均逗留时间
Ws =L s
λ=
30. 05
= 60(分) .
( 4) 根据题意有
Ws > 1. 25× 60 = 75( 分) .
故
11
15- λ
> 75 λ> 0. 053 人 / 分.
9. 16 解 此为 M©¦M©¦2 模型, λ= 0. 125 人/ 分, μ= 0. 2 人/ 分, C= 2, ρ= 0. 3125.
( 1) 窗口不空而耽搁的概率, 即系统至少有两个人的概率. 故所求概率为
P = 1 - P 0 - P 1
= 1 - 1 +λμ
+1
2!λμ
2
¡¤2μ
2μ- λ
- 1
-1
1!λμ
P o
= 1 - ( 1 + 0. 625) 1 + 0. 625 +12
0. 6252
¡¤0. 4
0. 4 - 0. 125
- 1
= 0. 15.
( 2) 至少有一个空闲的服务台的概率
P = P ( n ≤ 1) = P 0 + P 1 = 0. 85.
( 3) 两个窗口都空闲的概率, 此即为 P o:
P o = 1 + 0. 625 +12× 0. 625
2×
2× 0. 22× 0. 2 - 0. 125
- 1
= 0. 52.
9. 17 解 此为 M©¦M©¦1 模型. 设成本为 Z, 目标函数为
minZ = c1 + c2 = kμ+c
μ- λ.
又令
dZdμ
= k -c
( μ- λ)2 = 0 ( μ> λ) .
有
μ=ck
+ λ.
·632·
据实际问题有最小成本. 故 μ=ck
+ λ为最优卸货速度.
9. 18 解 C= 1 时:
P o = 1 - ρ= 1 -17. 5
10= - 0. 75( 不合) .
C = 2 时:
P o = 1 +λμ
+1
2!λμ
2 2μ2μ- λ
- 1
= 1 + 1. 75 +12
( 1. 75) 2×2× 10
2× 10 - 17. 5
- 1
= 0. 067.
显然P o = 0. 067 < 0. 15.
又
Ws =L s
λ= Wq +
1μ
=1μ
+ρ
λ( 1 - ρ)2 ¡¤
( Cρ) C
C!P o = 0. 1603(小时)
= 9. 6( 分) < 30(分)
故最优的服务员个数为 2.
W q = Ws -1μ
= 0. 1603 - 0. 1 = 0. 0603( 小时) = 3. 618( 分) ,
L q = λW q = 17. 5× 0. 0603 = 1. 05525.
于是, 雇用 2 个服务员时, 每单位每个顾客隐含(等待) 成本最多为 20/ 1. 05525= 1. 9(元) .
·732·
第 10 章 多目标决策模型
10. 1 重点、难点提要
1. 多目标决策的数学模型
( 1) 多目标决策问题的基本要素有目标、方案和决策者.
( 2) 多目标决策问题的特点: 目标多, 准则多; 目标之间相互联系, 相互制约, 甚至彼此
矛盾. 绝对最优方案往往不存在; 给定的两个方案往往又不可比较.
( 3) 多目标决策问题有两类: 多目标规划问题和多目标优选问题.
( 4) 多目标规划问题的模型
设 X= ( x1 , ⋯, x n )为决策变量, 可行域为
X = {x ∈ E n©¦gi( x) ≥ 0, i= 1, 2, ⋯, P }
其中, g i( x ) 为第 i个约束函数. 第 j 个目标函数为 f j ( j = 1, 2, ⋯, m) , 则模型结构为
optx ∈X
F ( x) = ( f 1 ( x) , ⋯, f m ( x ) ) T
此处, m≥2, opt 或为 max 或为 min .
( 5) 多目标优选问题的模型
设 x= ( x 1 , ⋯, x n ) 表示含 n 个备选方案的方案组, f 1 , ⋯, f m 表示 m 个目标属性, f i( x j )
为第 j 个方案在第 i个属性下的偏好值, 则多目标优选问题的模型结构为:
maxx∈ X
F ( x) = ( f 1 ( x) , ⋯f n ( x) ) T .
( 6) 多目标决策模型的解( 对于多目标规划为最大化问题)
绝对最优解: 如果对任意 x∈X 都有 F ( x* ) ≥F ( x ) .
有效解: 若不存在 x∈X , 使 F ( x* ) ≤F ( x) .
弱有效解: 若不存在 x∈X , 使 F ( x* ) < F ( x) 此处 x
* 表示上述相应的解.
2. 多目标决策模型的求解
考虑多目标决策模型
maxF ( x) = ( f 1 ( x) , ⋯, f m ( x ) )T
x ∈ X( 10. 1)
( 1) 主要目标法
假定 f 1 ( x )为主要目标, 其余 f 2 , ⋯, f m 为次要目标, 且要求满足
f j ( x) ≥ αj j = 2, ⋯, m,
则( 10. 1) 可转化为如下单目标问题:
maxf 1 ( x )
x ∈ X*
( 10. 2)
其中, X* = {x©¦x∈X , f j ( x)≥αj , j = 2, ⋯, m}.
·832·
可以证明:
( 10. 2) 的最优解一定是( 10. 1) 的弱有效解.
( 2) 线性加权和法
给定权数 w i≥0, 且 ∑m
i= 1
w i = 1, 做线性加权和评价函数
U( x ) = ∑m
i= 1
wif i( x) ,
于是有:
maxU( x) = ∑m
i= 1
wif ( x)
x ∈ X( 10. 3)
那么, w i> 0 时, ( 10. 3) 的最优解为 ( 10. 1) 的有效解; wi≥0 时, ( 10. 3) 的最优解为( 10. 1) 的
弱有效解.
指标值的标准化处理: 定性指标定量化, 如
效益型指标 很低 低 一般 高 很高
1 93 �5 �7 I9 �
1 93 �5 �7 I9 �
很高 高 一般 低 很低 ←成本型指标
以及无量纲标准化处理. 其公式
aij =99× ( f ij - f
* *j )
f*j - f
* *j
+ 1.
其中, f*j = max
if ij , f
* *j = min
if ij .
注: 若 f ij 为成本型数量指标, 则取其相反数计算.
( 3) 字典序法
按照各个目标的重要性程度依次求出各目标的最优解, 如果在某个目标下的最优解惟
一, 则此惟一解便是我们所求的多目标问题的有效解. 求解步骤如下:
如果( 10. 1) 的各目标的重要性排序为
f 1 ( x) > f 2 ( x ) > ⋯ > f m ( x) ,
那么
第一步: 求解单目标问题
maxf 1 ( x )
x ∈ X .
若最优解 x*惟一, 则 x
*即为( 10. 1) 的满意解; 否则, 令 k= 1, f
*k = f k ( x
*) . 转下步.
第二步: 解下列单目标问题:
maxf k+ 1 ( x)
x ∈ X′.
其中 X′= {x©¦x∈X , f i( x) = f*i , i= 1, 2, ⋯, k}.
如果 k+ 1= m, 则该问题的最优解 x* 为( 10. 1)的最优解; 否则转第三步.
·932·
第三步: 该问题的最优解 x*是惟一的最优解, 则 x
*为 ( 10. 1) 的满意解. 此时, f k+ 1 =
f k + 1 ( x*
) ; 否则, 置 k+ 1�k, 返回第二步.
( 4) 步骤法( ST EM 法)
基本思想: 先求 ( 10. 1)的一组理想解( f*1 , ⋯, f
*m ) , 并以此解作为一个标准去估计有效
解, 然后通过对话, 不断修改目标值, 并把降低要求的目标作为新的约束条件加到原来的约
束条件中去重新计算, 直到决策者得到满意的解.
求解步骤如下:
第一步: 分别求以下 m 个单目标问题的最优解:
maxf i( x ) = ∑m
j = 1
cij x j
x ∈ X ( i= 1, 2, ⋯, m)
得到最优解 xi*
, 并令
Zki =f
*i k = i
f k ( xi*
) k ≠ i,
得下列支付表:
x f 1 0f 2 u⋯ f m
x1 �* f *1 "Z 21 �⋯ Zm1 �
┆ ┆ ┆ ┆
xm* Z 1 �m Z 2 dm ⋯ f *m
并记 fmi 为第 i列的最小值, i= 1, 2, ⋯, m.
第二步: 求解下列规划
minλ
πi( f*i - f i( x) ) ≤ λ, i= 1, 2, ⋯, m.
x ∈ X
λ≥ 0
其中
πi =αi
∑m
i= 1
αi
, αi =
f*i - f
mi
f *i
∑n
j = 1
c2ij
-12, 当 f
*i > 0
f mi - f *
i
fmi
∑n
j = 1
c2ij
-12 , 当 f *
i ≤ 0,
得到最优解 x0 .
第三步: 用解 x0 求出目标值 f 1 ( x 0 ) , ⋯, f m ( x0 ) , 与理想值进行比较, 并作以下修改: 把
比较好的目标值中的某一个修改的差一些, 以使太坏的目标值得到改善. 当减少了第 j 个目
标的值 Δf j 之后, 第二步中的规划问题的约束条件 X 应改为 X′
X ′=
X
f j ( x) ≥ f j ( x0 ) - Δf j , j = 1, 2, ⋯, k
f i( x) ≥ f i( x0 ) , i≠ j , i= 1, 2, ⋯, m.
继续求解(此时, 降低了要求的那些目标 f j ( j = 1, 2, ⋯, k)的权系数 πj 应设为 0) , 直至求到
·042·
满意解为止.
3. 层次分析法
( 1) 层次分析法是一种多目标、多准则的决策分析方法. 其分析过程是将问题层次化,
即依据问题的性质和要达到的总目标, 将问题分解为不同的组成因素, 并按照因素间的相互
影响及隶属关系, 将因素按不同层次聚集组合, 形成一个多层次的分析结构模型. 然后把系
统分析归结为最低层(方案) 和对于最高层(总目标) 的相对重要性权值的确定或相对优劣次
序的排序问题, 为选择决策方案提供依据. 其特点是既有定性又有定量.
( 2) 层次分析法可分为 6 个步骤: 明确问题; 建立层次结构模型; 构造判断矩阵; 层次单
排序及其一致性检验; 层次总排序; 层次总排序的一致性检验.
( 3) 单排序权值: 判断矩阵的最大特征根 λma x的特征向量即为单排序权值.
( 4) 一致性检验:
一致性指标: CI =λm ax - nn- 1
.
随机一致性指标 RI 在 1 至 9 阶判断矩阵下, 值如表 10. 1 所示.
表 10. 1
阶数 1 92 �3 !4 �5 �6 }7 �8 e9 �
RI 0 �. 00 0 h. 00 0 �. 58 0 P. 90 1 �. 12 1 8. 24 1 �. 32 1 . 41 1 �. 45
随机一致性比率 CR= CI / RI .
判断: 如果 CR < 0. 10, 即认为判断矩阵具有满意的一致性; 否则, 对判断矩阵进行调
整, 使其具有满意的一致性.
( 5) 层次总排序及一致性检验:
如果上一层 A 包含 m 个元素 A1 , A 2 , ⋯, Am , 其层次总排序值分别为 a 1 , a 2 , ⋯, a m , 下一
层次 B 包含 n 个元素 B1 , B2 , ⋯, B n , 它们对于元素 A j 的层次单排序权分别为 b1j , ⋯, bnj , 则
B 层次总排序权值表如表 10. 2 所示。
表 10. 2
层 次A1 eA 2 �⋯ A m
a 1 Za2 �⋯ am
B 层次总排序权值
B1 {b11 eb12 �⋯ b1 �m w 1 �= ∑n
j = 1
a jb1j
B2 {b21 eb22 �⋯ b2 �m w 2 �= ∑n
j = 1
a j b2j
┆ ┆ ┆ ┆ ┆
Bn bn1 dbn2 �⋯ bnm w n = ∑n
j = 1 �
a j bnj
B 层次总排序随机一致性比率
·142·
CR =∑
m
j = 1
a j CI j
∑m
j = 1
a j RI j
.
如果 CR< 0. 10 时, 认为层次总排序结果具有满意的一致性; 否则, 需要重新调整判断矩阵
的元素取值.
( 6) 判断矩阵单排序权值的方根法求值步骤
设判断矩阵 B 为:
B B1 cB2 �⋯ Bn
B1 �b11 db12 �⋯ b1 �n
B2 �b21 db22 �⋯ b2 �n
┆ ┆ ┆ ┆
Bn bn1 dbn2 �⋯ bnn
则 �①求 M i, Mi= ∏n
j = 1
bij , i= 1, 2, ⋯, n.
② 计算 Vi, Vi=n
M i, i= 1, 2, ⋯, n.
③ 计算 W i,
Wi =Vi
∑n
j = 1
V j
,
则 W= ( W 1 , W2 , ⋯, Wn ) T 即为所求的特征向量. 此时
λm a x = ∑n
i= 1
( BW ) i
nW i,
其中, ( BW) i 表示向量 BW 的第 i个分量.
10. 2 主要解题方法和典型例题分析
例 1 某企业在一个计划期内生产 A、B 两种产品, 各产品都要经过两种不同的工序加
工, 每件产品所需的加工时间( 工时) 、各工序计划期加工能力( 工时/ 期) 以及销售各产品的
单位利润和单位产品材料费如表 10. 3 所示.
表 10. 3
产品单位产品加工时间( 工时)
工序
A B 每期加工能力
Ⅰ 9 �4 7360 5
Ⅱ 3 �10 N300 5
单位消耗
单位利润
4 �
70
5 7
120
( 1) 试建立一个如何安排生产才能使得利润最大、消耗最少的数学模型 ( 设产品都能
·242·
销出) .
( 2) 该企业决定以利润为主要目标, 而消耗应限制在 200 个单位以下, 试在该前提下求
解模型.
解 ( 1) 设 A 产品数为 x 1 , B 产品数为 x 2 , 则利润函数为 f 1 ( x) = 70x1 + 120x 2 , 而消耗
函数为 f 2 ( x) = 4x 1 + 5x 2 , 据题意还有资源约束, 9x 1 + 4x 2 ≤360 和 3x 1 + 10x 2 ≤300. 由于
x 1 , x2 均为产量, 从而是非负的, 故有下列多目标模型:
maxF ( x) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x) )T
x ∈ X ,
其中
X = {( x 1 , x 2 ) ©¦3x 1 + 10x 2 ≤ 300, 9x 1 + 4x2 ≤ 360, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0}.
( 2) 企业将消耗控制在 200 个单位以下, 即由
f 2 ( x) = 4x 1 + 5x 2 ≤ 200
于是, 据主目标法有如下单目标规划:
maxf 1 ( x) = 70x 1 + 120x 2 ,
9x 1 + 4x 2 ≤ 360
3x 1 + 10x 2 ≤ 300
4x 1 + 5x 2 ≤ 200
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
利用线性规划中的单纯形法求得最优解为: x1 = 20, x2 = 24. 此时 f 1 ( 20, 24) = 4280, 而
f 2 ( 20, 24) = 200.
例 2 用线性加权和法求解下列问题:
maxx ∈X
F ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x ) )T,
其中, f 1 ( x) = 4x 1 - 12x2 , f 2 ( x) = 4x 1 + 8x 2 ,
X = {( x 1 , x 2 ) ©¦2x 1 + 3x 2 ≤ 24, 3x 1 + 2x 2 ≤ 26, x 1 ≥ 0, x2 ≥ 0}.
目标 f 1 与 f 2 的权数分别为: w 1 =14
, w 2 =34
.
解 做线性加权和评价函数
U ( x) = ∑2
i= 1
w if i( x) =14
f 1 ( x) +34
f 2 ( x)
= 4x 1 + 3x 2 ,
则所求的问题转化为
maxU( x ) = 4x 1 + 3x 2
x ∈ X .
此为单目标规划问题. 利用线性规划的方法求得 x 1 = 6, x2 = 4. 于是所求多目标问题的有效
解为( x 1 , x 2 ) = ( 6, 4) .
例 3 某计算机中心欲购买一批计算机, 市场上有 A、B、C 三种机型可供选择. 中心就
功能、价格、维护三个属性( f 1、f 2 和 f 3 )进行考虑. 三种机型分别关于三个属性的指标值如
表 10. 4 所示.
·342·
表 10. 4
f ij f 1 �f 2 t(元) f 3 �
A 较好 6800 �容易
B 最好 12800 �一般
C 差 4860 �一般
权重 0 ~. 35 0 }. 30 0 |. 35
试做出决策分析 .
解 先借助属性量化指标将定性指标定量化, 得
f 1 �较好 7 ,最好 9 +差 3 �
f 3 �一般 5 ,一般 5 +容易 7 *
然后做无量纲标准化处理.
因 f 2 为成本型指标,
f*1 = 9, f
*2 = - 4860, f
*3 = 7, f
* *1 = 3, f
* *2 = - 12800, f
* *3 = 5, 于是由
aij =99× ( f ij - f
* *j )
f*j - f
* *j
+ 1,
求得如下指标值矩阵:
aij f 1 �f 2 �f 3 �
A 67 �75 �. 81 100 �
B 100 �1 �1 �
C 1 �100 �1 �
于是
U( x1 ) = ∑3
j = 1
w j a 1j = 0. 35× 67 + 0. 3× 75. 81 + 0. 35× 100 = 81. 193,
U( x2 ) = ∑3
j = 1
w j a 2j = 0. 35× 100 + 0. 3× 1 + 0. 35× 1 = 35. 65,
U( x3 ) = ∑3
j = 1
w j a 3j = 0. 35× 1 + 0. 30× 100 + 0. 35× 1 = 30. 7.
又由于U
*= max
iU ( x i) = U( x1 ) ,
故最优方案为购买 A 型计算机.
例 4 例 3 中各目标的重要性排序为
f 3 > f 1 > f 2 ,
试用字典序法做出决策分析.
解 先求 f 3 对应的单目标问题
maxf 3 ( x)
x ∈ {A, B, C}
的解. 求得 x*
= A. 此解是惟一解, 故 x*为所求问题的满意解. 即购买 A 型计算机为最优方
·442·
案.
例 5 已知多目标规划问题
maxf 1 ( x) = x 1 + 3x 2 ,
minf 2 ( x ) = 3x 1 + 2x 2 ,
2x 1 + x 2 ≤ 32
x 1 + x 2 ≤ 20
x 1 + 5x 2 ≤ 72
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
试用步骤法进行决策分析.
解 先求解
maxf 1 ( x) = x 1 + 3x 2 ,
2x 1 + x 2 ≤ 32
x 1 + x 2 ≤ 20
x 1 + 5x 2 ≤ 72
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
和
max f 2′( x ) = - ( 3x 1 + 2x 2 )
2x 1 + x 2 ≤ 32
x 1 + x 2 ≤ 20
x 1 + 5x 2 ≤ 72
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
得理想解
x 1* = ( 7, 13) , f *1 = 46,
x2*
= ( 0, 0) , f*2 = 0.
由此构造支付表:
x f 1 �f 2 �′
( 7 �, 13) 46 �- 47 M
( 0 �, 0) 0 �0 �
又由下式
αi =
f*i - f
mi
f*i
∑2
j = 1
c2ij
-12 , 当 f
*i > 0,
fmi - f
*i
f mi
∑2
j = 1
c2ij
-12, 当 f
*i ≤ 0.
求得 α1 = 0. 316, α2 = 0. 277.
又由
πi =αi
∑αi
,
求得
·542·
π1 = 0. 533, π2 = 0. 467.
于是解下列线性规划问题:
minλ,
0. 533( 46 - x 1 - 3x 2 ) ≤ λ
0. 467( 0 + 3x 1 + 2x 2 ) ≤ λ
x ∈ X
λ≥ 0,
其中, X = {( x 1 , x 2 ) ©¦2x 1 + x 2≤32, x 1 + x 2≤20, x1 + 5x 2≤72, x 1≥0, x 2≥0}, 求得解为:
x 1 = 0, x 2 = 9. 69,
f 1 = 29. 07, f 2′= - 19. 38.
目标值 ( 29. 07, - 19. 38) 与理想值( 46, 0) 比较, 如果决策者认为满意, 则 x1 = 0, x 2 =
9. 69 是满意解.
例 6 在例 5 中, 决策者认为 f 2′是满意的, 但 f 1 不满意, 并认为 f 2′还可减少至- 20 个
单位. 试求满意解.
解 据题意, 我们可将例 5 中的约束集修改为
X′=
X
- 3x 1 - 2x 2 ≥- 20
x 1 + 3x 2 ≥ 29. 07,
于是接续例 5 中的迭代. 令 π2 = 0, 求得 π1 = 1. 此时有单目标规划问题
minλ
46 - x 1 - 3x2 ≤ λ
x ∈ X′
求解得
x 1 = 0, x 2 = 10. 005
f 1 = 30. 015, f 2′= - 20. 01.
例 7 目标 A 下有三个子目标 B 1 , B 2 , B 3 ; B 1 比 B2 稍重要, 比 B 3 明显重要, B 2 与 B 3 相
比介于同等重要和稍微重要之间.
( 1) 试确定判断矩阵 B;
( 2) 求 B1 , B2 , B3 的权重和 λm ax ;
( 3) 做一致性检验.
解 ( 1) 根据判断矩阵 bij的含义, 有
A B1 �B2 �B3 �
B1 �1 �3 �5 �
B2 �1 �/ 3 1 �2 �
B3 �1 �/ 5 1 �/ 2 1 �
此即为判断矩阵.
( 2) 先计算矩阵每一行元素的乘积 Mi:
M 1 = 15, M2 = 0. 667, M3 = 0. 167.
·642·
再次求 M i 的 3 次方根:
V1 = 2. 466, V2 = 0. 874, V3 = 0. 551.
再将 V= ( v1 , v2 , v3 )规一化:
W1 = 0. 634, W2 = 0. 225, W 3 = 0. 142.
于是, B 1 , B 2 , B3 的权重分别为 0. 634, 0. 225, 0. 142. 最大特征根:
λm a x = ∑3
i= 1
( BW) i
3W i=
2. 0193× 0. 634
+0. 72
3× 0. 225+
0. 38133× 0. 142
= 3. 023.
( 3) 由于
CI =λm ax - 33 - 1
=3. 023 - 3
2= 0. 0115,
查表有 RI = 0. 58. 故
CR =CIRI
=0. 0115
0. 58= 0. 02 < 0. 10.
故认为判断矩阵具有满意的一致性.
例 8 设某决策问题有如下所示的分层结构和判断矩阵. 试求第二层诸因素的权重和
第三层诸因素的组合权重.
C C1 �C2 �C3 �
C1 U1 r5 �9 �
C2 U1 D/ 5 1 �5 �
C3 U1 D/ 9 1 r/ 5 1 �
C1 �S 1 �S 2 lS3 �权重
S1 �1 �3 ]6 �0 �. 6442
S2 �1 �/ 3 1 ]4 �0 �. 2706
S3 �1 �/ 6 1 // 4 1 �0 �. 0852
CR= 0 V. 0463
C2 �·C3 S2 �S 3 `权重
S 1 �1 �1 Q0 �. 5
S 2 �1 �1 Q0 �. 5
CI = 0 �
解 ( 1) 求第二层的权重, 利用方根法可求. 由于该层对上层的判断矩阵为
C C1 �C2 �C3 �
C1 a1 ~5 �9 �
C2 a1 P/ 5 1 �5 �
C3 a1 P/ 9 1 ~/ 5 1 �
因此有:
M 1 = 45, M 2 = 1, M 3 = 0. 0222,
V1 = 3. 56, V2 = 1, V3 = 0. 28.
从而各因素的权重为 W 1 = 0. 7355, W2 = 0. 2066, W 3 = 0. 0579. 最大特征根为 λm ax = 3. 1,
CR= 0. 09< 0. 1. 故此判断矩阵具有满意的一致性.
( 2) 第三层诸因素的组合权数, 即 S 1 , S 2 , S 3 对总目标 C 的权数. S i 对 C 的权数应为 S i
·742·
对 C j 的权数与 C j 对 C 的权数乘积之和 j = 1, 2, 3. 故记 ηi 为 S i 对 C 的权数. 则
η1 = 0. 6442× 0. 7355 = 0. 474,
η2 = 0. 2706× 0. 7355 + 0. 5× 0. 2066 + 0. 5× 0. 0579 = 0. 331,
η3 = 0. 0852× 0. 7355 + 0. 5× 0. 2066 + 0. 5× 0. 0579 = 0. 195.
列成表格如表 10. 5 所示.
表 10. 5
CC1 �C2 �C3 �
0 :. 7355 0 h. 2066 0 �. 0579
组合
权重
S 1 �0 :. 6442 0 �0 �0 �. 474
S 2 �0 :. 2706 0 �. 5 0 �. 5 0 �. 331
S 3 �0 :. 0852 0 �. 5 0 �. 5 0 �. 195
CR= 0 �. 0463< 0. 1
从而因素 S 1 从综合评价来看是重要的.
10. 3 习 题
10. 1 某厂新建一间厂房, 有 3 个方案供选择, 这三个方案的资料如表 10. 6 所示.
表 10. 6
目标 单位 方案Ⅰ 方案Ⅱ 方案Ⅲ
1 �. 投资总额 万元 145 �. 8 119 �. 3 113 �. 5
2 �. 建成年限 年 5 �4 �3 �
3 �. 年产值 万元 260 �196 �220 L
4 �. 产值利润率 % 12 �15 �13 5
5 �. 环境污染 中等 最轻 轻
假定 5 个目标的权系数分别为 0. 2, 0. 1, 0. 3, 0. 2, 0. 2, 试用线性加权和法选择最满意
的方案.
10. 2 某机械厂为解决大型铸件淬火问题, 提出如下 4 个可能的技术改造方案: 安装双
梁行车 ( A1 ) ; 制做固定行车( A2 ) ; 改造平板车为翻车 ( A3 ) ; 改造龙门吊车( A4 ) . 评价方案优
劣有五种指标: 投资额; 可靠性; 质量; 操作是否方便; 耗工多少. 各种方案的经济、技术指标
的情况以及各指标的权数如表 10. 7 所示. 试问应取哪一个方案最为合理?
表 10. 7
指标方案
投资 可靠性 质量 操作 耗工
A 1 �7 Q. 1 好 好 方便 1500 �
A 2 �4 :. 05 较好 较好 较方便 310 �
A 3 �2 Q. 8 差 差 很不方便 325 �
A 4 �0 Q. 7 较差 较好 稍麻烦 100 �
权数 0 Q. 3 0 �. 2 0 �. 3 0 e. 15 0 �. 05
10. 3 某工厂为推出一种新产品, 拟定投资 200 万元、50 万元、20 万元 3 个投资方案.
·842·
在分析投资风险的基础上, 分别计算这 3 个方案的期望净现值 U、单位投资期望净现值 K、
投资失败率 P 、风险损失值 F 和风险盈利值 R 如表 10. 8 所示. 试评价这 3 个方案的优劣.
表 10. 8
指标方案
U K P F R
方案Ⅰ 57 �. 99 0 �. 29 0 �. 4052 81 . 04 34 N. 49
方案Ⅱ 132 �. 11 2 �. 64 0 �. 0089 0 �. 445 130 e. 93
方案Ⅲ 192 �. 46 9 �. 62 0 �. 0418 0 �. 836 184 e. 42
10. 4 在购买飞机的决策问题中, 方案 A 1 , A 2 , A 3 , A4 的 5 个目标属性的相应值如表
10. 9 所示. 假设该问题的目标属性的重要性排序为
x 3 > x 5 > x 1 > x 2 > x 4
试确定购买飞机的最优方案.
表 10. 9
属性方案
x1 �x2 Gx 3 x 4 �x 5 r
A 1 �352 �1400 }30 �8 |. 5 高
A 2 �404 �2500 }24 �7 |. 8 很高
A 3 �316 �2200 }26 �8 |. 0 一般
A 4 �435 �1900 }30 �8 |. 0 高
10. 5 某工厂生产 A、B 两种型号的摩托车. A 型车每辆利润为 100 元, B 型车每辆利
润为 80 元, 设 A 型车每辆生产的平均时间为 3 小时, B 型车为 2 小时. 工厂每周生产 120 小
时, 但尚可加班 48 小时. 在加班时间内生产 A 型车的利润为 90 元, B 型车的利润为 70 元.
设市场每需要 A、B 两型车各 30 辆以上. 试用步骤法求解, 在尽量满足市场需要的前提下,
如何安排生产, 才可能使得利润最大, 而加班时间最少?
10. 6 已知多目标规划问题如下
maxZ 1 ( x) = 100x 1 + 90x 2 + 80x 3 + 70x4
minZ 2 ( x) = 3x 1 + 2x 4
x 1 + x 2 ≥ 30
x 3 + x 4 ≥ 30
3x 1 + 2x 3 ≤ 120
3x 2 + 2x 4 ≤ 48
xi ≥ 0 i= 1, 2, 3, 4.
试用步骤法进行分析决策.
10. 7 某部门为评价管理信息系统, 拟定了 3 个评价准则: 信息处理、管理控制、辅助决
策. 对于选择满意的管理信息系统而言, 这 3 个准则的判断矩阵如表 10. 10 所示. 试计算该
判断矩阵的单排序权值, 并做出一致性检验.
·942·
表 10. 10
满意的管理信息系统 信息处理 管理控制 辅助决策
信息处理 1 �1 �/ 4 1 �/ 2
管理控制 4 �1 �3 �
辅助决策 2 �1 �/ 3 1 �
10. 8 某工厂在超额完成任务后, 有一笔留成利润要由领导决定如何使用, 以促进生
产. 可供选择的方案有: 作为奖金发给职工( P 1 ) ; 扩建托儿所( P 2 ) ; 开办职工学校( P 3 ) , 建立
俱乐部( P 4 ) ; 引进新型设备进行技术改造( P 5 ) . 衡量这些方案措施可以从下列三方面着眼:
是否调动了职工的生产积极性( C1 ) , 是否提高了职工的文化技术水平( C2 ) , 是否改善了职工
的物质文化生活状况 ( C3 ) . 已知各判断矩阵如表 10. 11、表 10. 12、表 10. 13、表 10. 14 所示.
其中 A 为目标层 (合理使用企业留成利润 ) , C 为准则层( C1 , C2 , C3 ) , P 为方案层 ( P 1 , P 2 ,
P 3 , P 4 , P 5 ) . 试用层次分析法对这 5 种方案进行评价.
表 10. 11 判断矩阵 A—C
A C1 �C2 �C3 �
C1 �1 �1 �/ 5 1 �/ 3
C2 �5 �1 �3 �
C3 �3 �1 �/ 3 1 �
表 10. 12 判断矩阵 C1—P
C1 �P 1 �P 2 MP 3 �P 4 �P 5 x
P 1 �1 �3 85 �4 �7 c
P 2 �1 Q/ 3 1 83 �2 �5 c
P 3 �1 Q/ 5 1 �/ 3 1 �1 |/ 2 3 c
P 4 �1 Q/ 4 1 �/ 2 2 �1 �3 c
P 5 �1 Q/ 7 1 �/ 5 1 �/ 3 1 |/ 3 1 c
表 10. 13 判断矩阵 C2—P
C2 �P 2 dP 3 �P 4 �P 5 3
P 2 �1 O1 f/ 7 1 �/ 3 1 �/ 5
P 3 �7 O1 �5 �3 �
P 4 �3 O1 f/ 5 1 �1 �/ 3
P 5 �5 O1 f/ 3 3 �1 �
表 10. 14 判断矩阵 C3—P
C3 �P 1 dP 2 �P 3 �P 4 3
P 1 �1 O1 �3 �3 �
P 2 �1 O1 �3 �3 �
P 3 �1 !/ 3 1 f/ 3 1 �1 �
P 4 �1 !/ 3 1 f/ 3 1 �1 �
·052·
10. 9 举例说明多目标规划问题的特点.
10. 10 举例说明层次分析法的逆序现象.
10. 11 对于 A 而言, bij表示 B i 对 B j 的相对重要性, 其量化值的含义为何? 且 B= ( bij )
叫什么矩阵?
10. 12 常用的解决多目标决策问题的方法有哪些?
10. 13 某公司用某种原料生产 A、B 两种产品, 生产 A 种产品的单位所需原料为 3
吨, 每单位产品获利 4 万元、污染处理费 2 万元; 生产 B 种产品的单位所需原料为 4 吨、获
利 3 万元、污染处理费 1 万元. 已知原料库存为 12 吨, 问如何安排生产才能使得获利最大,
而污染处理费用最小?
( 1) 写出该问题的数学模型.
( 2) 该工厂将污染处理费控制在 8 万元内, 试求解数学模型.
10. 14 用线性加权和法求解下列多目标规划问题:
maxF ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) , f 3 ( x) )T
x ∈ X .
其中,
f 1 ( x ) = 6x 1 + 5x 2 - 6x 3 , f 2 ( x) = 2x 1 + 7x 2 - 12x 3 ,
f 3 ( x ) = 6x 1 + 23x 2 - 12x 3 ,
X = {( x1 , x 2 , x 3 ) ©¦- x 1 + x 2 + 3x3 ≤ 6, x 1 + 2x 2 + 7x 3 ≤ 21, xi ≥ 0, i= 1, 2, 3}.
权数为 w 1 =13
, w 2 =12
, w 3 =16
.
10. 15 对习题 10. 4, 如果 5 个目标的权系数分别为 0. 2, 0. 2, 0. 3, 0. 1, 0. 2, 试用线性
加权和法选择最满意的方案.
10. 16 对习题 10. 1, 如果假设该问题的目标属性的重要性排序为
f 3 > f 4 > f 5 > f 1 > f 2 ,
试确定最优方案
10. 17 设因素 B1 , B2 , B3 对上一层某因素 A 两两比较其相对重要性后的判断矩阵为
B =
1 3 6
13
1 4
16
14
1
.
图 10. 1
试求( 1) B 1 , B 2 , B3 的权重和最大特征根 λm a x .
( 2) 对 B 做满意的一致性检验.
10. 18 某企业在进行企业目标决策时, 确定其企
业目标分为两类. 即经济目标和社会目标并具体将其目
标分为目标 C1 , C2 , C3 , C4 ( 年利润增长 10% , 每年全国各
地新开分支机构 5 家, 职工年收入年增长 20% , 提高企
业形象等) , 并制定了三项具体政策方案, 层次结构如图
10. 1 所示.
·152·
运用专家评比法等进行比较判断, 有如下的一些判断矩阵:
判断矩阵 A——B:
A B1 �B2 �
B1 �1 2 �
B2 �12
1 �
判断矩阵 B1 ——C1 , C2 , C3 :
B1 zC1 �C2 bC3 �
C1 z1 �1 Q4
2 �
C2 z4 �1 Q3 �
C3 z1 �2
1 Q3
1 �
判断矩阵 B2 ——C1 , C2 , C3 , C4 :
B2 @C1 WC2 nC3 �C4 �
C1 @1 E2 \2 s4 �
C2 @1 E2
1 \5 s2 �
C3 @1 E2
1 \5
1 s2 �
C4 @1 E4
1 \2
1 s2
1 �
判断矩阵 C1 ——D:
C1 xD1 �D 2 gD 3 �
D 1 �1 �2 Q3 �
D 2 �1 �2
1 Q2 �
D 3 �1 �3
1 Q2
1 �
判断矩阵 C2 ——D :
C2 �D1 �D 2 D 3 �
D 1 �1 �1 �4
12
D 2 �4 �1 �2
D 3 �2 �1 �2
1
判断矩阵 C3 ——D:
C3 �D 1 "D 2 9D3 P
D 1 �1 �1 "1 94
D 2 �1 �1 "1 93
D 3 �4 �3 "1 9
判断矩阵 C4 ——D:
C4 �D1 D 2 7D 3 N
D 1 �1 �1 5
1 72
D 2 �5 �1 3 7
D 3 �2 �1 3
1 7
( 1) 求各政策关于具体企业目标的权重.
( 2) 求各目标重要性权重.
( 3) 求各政策对总目标的权重.
10. 4 习 题 解 答
10. 1 解 先将第五个目标环境污染对三个方案定性量化为 5、9、7 ( 此为成本型指
标) , 然后利用
aij =99× ( f ij - f * *
j )f
*j - f
* *j
+ 1,
·252·
其中, f*j = max
if ij , f
* *j = min
if ij , 得到指标值矩阵( a ij )如表 10. 15 所示.
表 10. 15
aij 投资( f 1 �) 年限( f 2 �) 产值( f 3 �) 利润( f 4 .) 污染( f 5 �)
方案(Ⅰ) : ( x 1 �) 1 !1 �100 e1 �1 M
方案(Ⅱ) : ( x 2 �) 82 �. 22 50 �. 5 1 7100 �100 {
方案(Ⅲ) : ( x 3 �) 100 O100 �37 �. 13 33 �49 6. 5
于是
U( x 1 ) = ∑5
j = 1
a1 j ¡¤w j = 30. 7,
U( x 2 ) = ∑5
j = 1
a2 j ¡¤w j = 61. 794,
U( x 3 ) = ∑5
j = 1
a3 j ¡¤w j = 57. 639,
U*
= maxU = U( x 2 ) .
故方案(Ⅱ) 是最满意的.
10. 2 解 据题意先按效益型量化指标将问题中的定性指标定量化得指标值, 如表
10. 16所示.
表 10. 16
指标方案
投资( f 1 �) 可靠性( f 2 F) 质量( f 3 �) 操作( f 4 .) 耗工( f 5 �)
A1 �( x1 ) 7 �. 1 7 �7 77 �1500 �
A2 �( x2 ) 4 �. 05 6 �6 76 �310 {
A3 �( x3 ) 2 �. 8 3 �3 71 �325 {
A4 �( x4 ) 0 �. 7 4 �6 74 �100 {
无量纲标准化, 由
aij =99( f ij - f * *
j )f
*j - f
* *j
+ 1
得表 10. 17.
表 10. 17
aij f 1 0f 2 �f 3 Ff 4 �f 5 \
A1 �( x1 ) 1 !100 �100 e100 �1 M
A2 �( x2 ) 48 �. 18 75 ~. 25 75 �. 25 83 �. 5 85 �. 15
A3 �( x3 ) 68 �. 52 1 �1 71 �84 �. 09
A4 �( x4 ) 100 O25 ~. 75 75 �. 25 50 �. 5 100 {
·352·
于是
U ( x 1 ) = ∑5
j = 1
a 1j w j = 65. 35,
U ( x 2 ) = ∑5
j = 1
a 2j w j = 68. 86,
U ( x 3 ) = ∑5
j = 1
a 3j w j = 25. 41,
U ( x 4 ) = ∑5
j = 1
a 4j w j = 70. 3,
U*
= max{U } = U ( x 4 ) .
故方案 A4 为最满意的方案.
10. 3 解 略.
10. 4 解 先据效益型量化指标可得指标值如表 10. 18 所示.
表 10. 18
属性方案
X 1 9X 2 �X 3 OX 4 �X 5 e
A 1 O352 O1400 �30 N8 �. 5 7 M
A 2 O404 O2500 �24 N7 �. 8 9 M
A 3 O316 O2200 �26 N8 �. 0 5 M
A 4 O435 O1900 �30 N8 �. 0 7 M
先求
maxX 3 ( x )
x ∈ {A1 , A2 , A3 , A4 }.
得 x*
= A 1 , A4 .
再求
maxX 5 ( x) ,
x ∈ {A1 , A4 },
得 x*
= A 1 , A4 .
又求
maxX 1 ( x) ,
x ∈ {A1 , A4 },
得 x*
= A 4 . 此解为惟一的最优解. 故 A4 为所求得的最优方案.
10. 5 解 设正常上班生产 A 型车为 x 1 辆, B 型车为 x 2 辆. 加班生产 A 型车为 x3 辆,
B 型车为 x4 辆, 则依题意有如下多目标规划模型(用 P 表示利润, T 表示加班时间) .
maxP = 100x 1 + 80x 2 + 90x 3 + 70x 4 ,
minT = 3x 3 + 2x 4 ,
·452·
x1 + x 3 ≥ 30
x2 + x 4 ≥ 30
3x 1 + 2x 2 ≤ 120
3x 3 + 2x 4 ≤ 48
xi ≥ 0.
i= 1, 2, 3, 4
令
X =
x 1 + x 3 ≥ 30
x 2 + x 4 ≥ 30
3x 1 + 2x 2 ≤ 120
3x 3 + 2x 4 ≤ 48
x i ≥ 0
i= 1, 2, 3, 4,
则上述模型的标准式为
maxF ( x ) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) )T
x ∈ X
其中, f 1 ( x) = P ( x) , f 2 ( x) = - T ( x) .
现分别求解
maxf 1 ( x ) = 100x 1 + 80x 2 + 90x 3 + 70x 4
x ∈ X
和
maxf 2 ( x) = - 3x 3 - 2x 4
x ∈ X .
求得
x 1* = ( 14, 39, 16, 0) , f *1 = 5960,
x2*
= ( 20, 30, 10, 0) , f*2 = - 30.
由此构造支付表如表 10. 19 所示.
表 10. 19
x f 1 �f 2 �
( 14 �, 36, 16, 0) 5960 �- 48 M
( 20 �, 30, 10, 0) 5300 �- 30 M
又由于通过
αi =
f *i - f m
i
f*i
∑n
j
c2ij
-12 , 当 f *
i > 0
f mi - f *
i
fmi
∑n
j
c2ij
-12 , 当 f *
i ≤ 0,
其中, fmi 为支付表中第 i列的最小值.
·552·
求得
α1 = 0. 00065, α2 = 0. 11859,
π1 = 0. 005, π2 = 0. 995.
于是, 求解下列线性规划
minλ,
0. 005( 5960 - 100x1 - 80x 2 - 90x 3 - 70x 4 ) ≤ λ
0. 995( - 30 + 3x 3 + 2x 4 ) ≤ λ
x1 + x 3 ≥ 30
x2 + x 4 ≥ 30
3x 1 + 2x 2 ≤ 120
3x 3 + 2x 4 ≤ 48
xi ≥ 0 i= 1, 2, 3, 4
λ≥ 0,
可得:
x 1 = 19. 067, x 2 = 31. 4, x 3 = 0, x4 = 10. 93.
于是有
f 1 = 5183. 8, f 2 = - 21. 86.
目标值( 5183. 8, - 21. 86) 与理想值( 5960, - 30)比较, f 2 是可以的, 但 f 1 太低了.
如果加班时间可接受到 25 小时, 则可以继续迭代下去. 此时, 约束集可修改为
X′=
X
- 3x 3 - 2x 4 ≥- 25
100x 1 + 80x 2 + 90x 3 + 70x4 ≥ 5183. 8.
从而进行下一轮迭代. 首先取 π2 = 0, 此时有 π1 = 1
故下一轮迭代用的线性规划为
minλ
5960 - 100x 1 - 80x2 - 90x 3 - 70x 4 ≤ λ
x ∈ X′.
解得:
x 1 = 28. 63, x 2 = 22. 1, x 3 = 0, x 4 = 12. 50,
f 1 = 5506, f 2 = - 25.
与前一轮迭代结果相比及与理想值相比, 结果较满意, 故可终止计算.
10. 6 解 如果模型中的 x 2 为 x 3 , x 3 为 x2 , 则此模型为 10. 5 题的模型. 故解答略.
10. 7 解 ( 1) 求 Mi= ∏n
j = 1
bij .
M1 =18
, M 2 = 12, M3 =23
.
·652·
( 2) 求 Vi. 即 Vi=n
Mi, 于是
V1 =12
= 0. 5, V2 = 2. 29, V3 = 0. 87.
于是单排序权值为
W1 = 0. 137, W2 = 0. 626, W 3 = 0. 237.
又
λma x = ∑3
i= 1
( BW) i
3Wi
=0. 412
3× 0. 137+
1. 8853× 0. 626
+0. 72
3× 0. 237
= 3. 019,
CI =λma x - nn - 1
=3. 019 - 3
2
= 0. 009,
CR =CIRI
=0. 0090. 58
= 0. 016 < 0. 10.
故认为判断矩阵具有满意的一致性.
10. 8 解 对于准则层的判断矩阵, 我们有
M 1 = 0. 067, M2 = 15, M 3 = 1,
V1 =3
M1 = 0. 406, V2 =3
M 2 = 2. 466, V3 =3
M3 = 1,
W1 =V1
V1 + V2 + V3=
0. 4060. 406 + 2. 466 + 1
= 0. 105,
W2 =V2
V1 + V2 + V3=
2. 4660. 406 + 2. 466 + 1
= 0. 637,
W3 =V3
V1 + V2 + V3=
10. 406 + 2. 466 + 1
= 0. 258.
一致性检验:
λm a x = ∑3
i= 1
( BW ) i
3Wi=
0. 31843× 0. 105
+1. 936
3× 0. 637+
0. 78533× 0. 258
= 3. 038,
CI =λm a x - nn - 1
=3. 038 - 3
3 - 1= 0. 019,
CR =CIRI
=0. 0190. 58
= 0. 033 < 0. 1.
排序及一致性检验如表 10. 20 所示.
·752·
表 10. 20
A C1 aC2 �C3 �排序
C1 �1 O1 f/ 5 1 �/ 3 0 �. 105
C2 �5 O1 �3 �0 �. 637
C3 �3 O1 f/ 3 1 �0 �. 258
CR= 0 1. 033< 0. 1
同理, 我们有五个方案对于各准则的判断矩阵以及运算所得的结果分别见表 10. 21～
表 10. 24 所示:
对于准则 C1 有:
表 10. 21
C1 �P 1 �P 2 6P 3 �P 4 �P 5 JW
P 1 �1 �3 "5 ~4 �7 60 6. 491
P 2 �1 �/ 3 1 "3 ~2 �5 60 6. 232
P 3 �1 �/ 5 1 �/ 3 1 ~1 �/ 2 3 60 6. 093
P 4 �1 �/ 4 1 �/ 2 2 ~1 �3 60 6. 138
P 5 �1 �/ 7 1 �/ 5 1 P/ 3 1 �/ 3 1 60 6. 046
CR= 0 �. 028< 0. 1
对于准则 C2 有:
表 10. 22
C2 �P 1 �P 2 6P 3 �P 4 �P 5 JW
P 1 �
P 2 �1 "1 P/ 7 1 �/ 3 1 �/ 5 0 6. 055
P 3 �7 "1 ~5 �3 60 6. 564
P 4 �3 "1 P/ 5 1 �1 �/ 3 0 6. 118
P 5 �5 "1 P/ 3 3 �1 60 6. 263
CR= 0 2. 04< 0. 1
对于准则 C3 有:
表 10. 23
C3 �P 1 �P 2 MP 3 �P 4 �W
P 1 �1 �1 83 �3 �0 �. 375
P 2 �1 �1 83 �3 �0 �. 375
P 3 �1 Q/ 3 1 �/ 3 1 �1 �0 �. 125
P 4 �1 Q/ 3 1 �/ 3 1 �1 �0 �. 125
CR= 0 �< 0. 1
·852·
层次总排序结果见表 10. 24.
表 10. 24
C1 aC2 �C3 �
0 �. 105 0 8. 637 0 }. 258总排序值
P 1 �0 �. 491 0 }. 375 0 �. 148
P 2 �0 �. 232 0 8. 055 0 }. 375 0 �. 156
P 3 �0 �. 093 0 8. 564 0 }. 125 0 �. 401
P 4 �0 �. 138 0 8. 118 0 }. 125 0 �. 122
P 5 �0 �. 046 0 8. 263 0 �. 173
CR= 0 H. 03< 0. 1
从以上结果可以看出, 方案 3 即开办职工学校综合看来是最满意的方案.
10. 9 略.
10. 10 略.
10. 11 略.
10. 12 略.
10. 13 解 设生产 A 种产品数量为 x 1 , 生产 B 种产品数量为 x 2 , 则 x 1≥0, x2 ≥0, 且
目标函数有两个:
maxf 1 ( x ) = 4x 1 + 3x 2 ,
min( - f 2 ( x) ) = 2x1 + x 2 .
约束条件为
3x1 + 4x 2 ≤ 12,
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
于是
( 1) 该问题的数学模型为
maxF ( x ) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) )T
3x 1 + 4x2 ≤ 12
x 1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
( 2) 该工厂将污染处理费控制在 8 万元之内, 即
- f 2 ( x) = 2x 1 + x 2 ≤ 8.
由主要目标法有如下单目标规划:
maxf 1 ( x) = 4x 1 + 3x 2
3x 1 + 4x 2 ≤ 12
2x 1 + x 2 ≤ 8
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.
由单纯形法求得
·952·
x 1 = 4, x 2 = 0.
此时有
f *1 ( x) = 16, - f *
2 ( x) = 8.
10. 14 解 由题意知: 线性加权和评价函数为
U( x) =13
f 1 ( x) +12
f 2 ( x) +16
f 3 ( x)
= 4x 1 + 9x 2 - 10x3 .
此时, 问题转化为单目标规划
maxU ( x) = 4x 1 + 9x 2 - 10x 3 ,
- x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 6
x 1 + 2x 2 + 7x3 ≤ 21
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
使用单纯形法求得
x 1 = 3, x 2 = 9, x3 = 0.
此时,
U( x) = 93, f 1 ( x) = 63, f 2 ( x) = 69, f 3 ( x) = 225.
10. 15 解 由习题 10. 4 可将指标无量纲化, 结果见表 10. 25.
表 10. 25
aij f 1 �f 2 Gf 3 f 4 �f 5 r
A 1 �30 Q. 95 1 8100 �100 �50 L. 5
A 2 �74 Q. 21 100 f1 �1 �100 �
A 3 �1 �73 O34 �29 |. 29 1 c
A 4 �100 �46 O100 �29 |. 29 50 L. 5
其中, a ij =99× ( f *
ij - f * *j )
f *j - f * *
j+ 1, f
*j = max
if ij , f
* *j = min
if ij .
于是
U1 = ∑5
j = 1
a 1j w j = 56. 49,
U2 = ∑5
j = 1
a 2j w j = 55. 24,
U3 = ∑5
j = 1
a 3j w j = 28. 13,
U4 = ∑5
j = 1
a 4j w j = 72. 23,
U* = max{Ui} = U 4 .
故最满意的方案为 A4 .
10. 16 解 由习题 10. 1 知目标属性值表如表 10. 26 所示.
·062·
表 10. 26
目标方案
投资( f 1 �) 年限( f 2 �) 产值( f 3 ]) 利润( f 4 �) 污染( f 5 �)
方案( Ⅰ) : A 1 �145 �. 8 5 8260 �12 �5 c
方案( Ⅱ) : A 2 �119 �. 3 4 8196 �15 �9 c
方案( Ⅲ) : A 3 �113 �. 5 3 8220 �13 �7 c
先求
max( f 3 ( x ) )
x ∈ {A1 , A2 , A3 }
得 x*
= A 1 , 此解为惟一的最优解. 故 A1 为所求的最满意方案.
10. 17 解 ( 1) 先求 M i= ∏n
j = 1
bij , 求得 M 1 = 18, M 2 = 1. 333, M 3 = 0. 042.
然后求 Vi=n
M i, 求得
V1 = 2. 621, V2 = 1. 101, V3 = 0. 348.
故有 B 1 , B 2 , B 3 的权重为 Wi = Vi ∑n
i= 1
Vi. 即
W1 = 0. 644, W2 = 0. 271, W 3 = 0. 085.
最大特征根
λm ax = ∑n
i= 1
( BW) i
nW i= 1. 018 + 1. 016 + 1. 02 = 3. 054.
( 2) 由于
CI =λma x - nn - 1
=3. 054 - 3
2= 0. 027,
RI = 0. 58,所以
CR =CIRI
=0. 0270. 58
= 0. 047 < 0. 1.
故可认为 B 有满意的一致性.
10. 18 解 ( 1) 对于目标 C1 有:
M 1 = 6, M 2 = 1, M 3 = 0. 167,
V1 = 1. 817, V2 = 1, V3 = 0. 551.
从而权重为
W1 = 0. 539, W2 = 0. 297, W 3 = 0. 164.
同理有对于目标 C2 的权重:
W1 = 0. 143, W2 = 0. 571, W 3 = 0. 286,
对于目标 C3 的权重为:
W1 = 0. 172, W2 = 0. 192, W 3 = 0. 636.
对于目标 C4 的权重为:
W1 = 0. 122, W 2 = 0. 648, W3 = 0. 23.
·162·
( 2) 对于 B1 各目标的权重
W1 = 0. 219, W2 = 0. 630, W 3 = 0. 151.
对于 B 2 各目标的权重:
W 1 = 0. 429, W2 = 0. 321, W 3 = 0. 143, W 4 = 0. 107.
( 3) 先求出 B1 , B2 对总目标的权重:
W1 = 0. 667, W 2 = 0. 333.
又 D 1 , D 2 , D 3 对 B 1 的权重 W 如表 10. 27 所示.
表 10. 27
B1 �
C1 aC2 �C3 �
0 �. 219 0 O. 63 0 }. 151W
D 1 !0 �. 539 0 8. 143 0 }. 172 0 �. 234
D 2 !0 �. 297 0 8. 571 0 }. 192 0 �. 454
D 3 !0 �. 164 0 8. 286 0 }. 636 0 �. 312
D 1 , D 2 , D 3 对 B 2 的权重 W 如表 10. 28 所示.
表 10. 28
B2 �
C1 �C2 IC3 �C4 �
0 ". 429 0 �. 321 0 �. 143 0 M. 107W
D 1 �0 ". 539 0 �. 143 0 �. 172 0 M. 122 0 �. 315
D 2 �0 ". 297 0 �. 571 0 �. 192 0 M. 648 0 �. 407
D 3 �0 ". 164 0 �. 286 0 �. 636 0 M. 230 0 �. 278
最后, 各政策对总目标的权重 W 如表 10. 29 所示.
表 10. 29
B1 �B2 �
0 g. 667 0 f. 333W
D 1 �0 g. 234 0 f. 315 0 e. 261
D 2 �0 g. 454 0 f. 407 0 e. 438
D 3 �0 g. 312 0 f. 278 0 e. 301
由此看来, 政策 2 对总目标的影响最大.
·262·
附录 运筹学案例
《运筹学》的各种优化方法是取之于实践, 用之于实践, 是解决各种实际优化问题常用的
数量分析方法. 本书的作者们在讲授运筹学课程时, 特别注重培养学生运用所学的《运筹学》
知识去分析实际问题, 解决实际问题的能力. 本附录收集的 4 个案例, 均是作者们对所教授
MBA 的硕士研究生根据自己工作单位存在的实际问题, 运用《运筹学》方法设计的优化方
案进行精选、提炼而得. 案例中模型的求解均在计算机上采用 Q SB+ 软件进行求解. 这些案
例可供读者参考或教学使用.
案例 1 某集团摩托车公司产品年
度生产计划的优化研究
1. 问题的提出
某集团摩托车公司是生产各种类型摩托车的专业厂家, 有 30 多年从事摩托车生产的丰
富经验. 近年来, 随着国内摩托车行业的发展, 市场竞争日趋激烈, 该集团原有的优势逐渐丧
失, 摩托车公司的生存和发展面临严峻的挑战. 为此, 公司决策层决心顺应市场, 狠抓管理,
挖潜创新, 重振摩托雄风. 为制定 1999 年度摩托车生产计划, 公司从市场调查入手, 紧密结
合公司实际, 运用科学方法对其进行优化组合, 制定出企业总体经济效益最优的方案.
2. 市场调查与生产状况分析
1998 年, 由于受东南亚金融风暴的影响, 国内摩托车市场出现疲软, 供给远大于需求.
该集团的摩托车生产经营也出现开工不足、库存增加和资金周转困难等问题. 对此, 在制定
1999 年生产计划时必须给予充分考虑.
该集团共有 3 个专业厂, 分别生产轻便摩托车、普通两轮车和三轮摩托车三大系列产
品. 在市场调查的基础上, 从企业实际出发普遍下调整车出厂价和目标利润率, 有关数据见
附表 1. 1.
附表 1. 1 摩托车品种、厂价、利率和生产能力
产品系列 轻便摩托车 普通两轮摩托车 三轮摩托车
型 号 M1 �M2 �M3 yM4 �M5 aM6 �M7 IM8 �M9 1
出 厂 价 1800 r元 2100 �元 2300 Z元 3800 �元 4800 B元 6500 �元 8200 *元 8800 �元 9200 �元
目标利率 6 8% 7 �% 10 7% 5 �% 6 �% 8 |% 6 �% 6 d% 6 �%
最大生产能力 50000 �辆 60000 Y辆 10000 �辆
1999 年该集团可供摩托车生产的流动资金总量为 4000 万元, 年周转次数为 5 次, 生产
·362·
各种型号摩托车资金占用情况见附表 1. 2.
附表 1. 2 各种摩托车的生产需占用资金量
型 号 M1 �M2 �M3 yM4 �M5 aM6 �M7 IM8 �M9 1
占用资金(元/ 辆) 1520 �1700 1850 �3200 �4100 |5400 �6900 d7450 �8600 L
由于发动机改型生产的限制, 改型车 M3 和 M6 两种车 1999 年的生产量预测数分别为
20000 辆和 22000 辆.
合理地控制 1999 年末产成品的库存是减少资金占用和降低仓储压力的必要措施. 经预
测, 三种系列摩托车 1999 年产销率列于附表 1. 3 中, 同时还列出各系列摩托车仓储面积占
用率.
附表 1. 3 1999 年摩托车产销率和仓储面积占用率
产品系列 轻便摩托车 普通二轮车 三轮摩托车
产销率 97 �% 97 �% 92 �%
单车占用面积 1 �个仓储单位 1 �. 5 个仓储单位 3 �个仓储单位
公司 1999 年可提供的最大仓储能力为 3000 个仓储单位, 库存产品最大允许占用生产
资金为 1600 元万.
3. 建模与求解
设 x j 表示生产 Mj 型摩托车的数量( j = 1, 2, ⋯, 9) , 综上所述数据, 可列出如下摩托车
产品生产计划总利润最大的数学模型:
目标函数:
max Z= 0. 18× 0. 06x 1 + 0. 21× 0. 07x 2 + 0. 23× 0. 1x 3 + 0. 38× 0. 07x4 + 0. 48× 0. 06x 5
+ 0. 65× 0. 08x 6 + 0. 82× 0. 06x 7 + 0. 88× 0. 06x 8 + 0. 92× 0. 06x 9 .
约束条件:
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 50000 ( 1)
x 4 + x 5 + x 6 ≤ 60000 ( 2)
x 7 + x 8 + x 9 ≤ 10000 ( 3)
0. 152x 1 + 0. 17x2 + 0. 185x 3 + 0. 32x 4 + 0. 41x 5 + 0. 54x 6
+ 0. 6x 7 + 0. 745x8 + 0. 86x 9 ≤ 4000× 5 ( 4)
x 3 ≤ 20000 ( 5)
x 6 ≤ 22000 ( 6)
0. 03× ( x 1 + x 2 + x 3 ) + 0. 03× 1. 5( x 4 + x 5 + x 6 )
+ 0. 08× 3( x 7 + x 8 + x 9 ) ≤ 3000 ( 7)
0. 00456x 1 + 0. 0051x2 + 0. 00555x 3 + 0. 0096x 4 + 0. 0123x 5
+ 0. 0162x 6 + 0. 048x 7 + 0. 0596x 8 + 0. 0688x 9 ≤ 1600 ( 8)
模型说明:
约束式( 1)、( 2)、( 3)分别表示三种系列摩托车的最大生产能力限制;
·462·
约束式( 4)表示摩托车生产受流动资金的限制;
约束式( 5)和( 6) 表示 x 3 和 x 6 两种车受发动机供应量的限制;
约束式( 7)表示销售的产量受库存能力的限制;
约束式( 8)表示未销售产品占用资金的限制.
该模型是一个线性规划模型, 可运用 Q SB+ 软件在计算机上进行求解, 计算结果见附表
1. 4 和附表 1. 5.
附表 1. 4 线性规划模型计算结果( 1)
Final Slut ion for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00234353 10 � s1 + 4000 �. 0024 0 q
2 k x 2 + 25999 �. 998 0 F11 � s2 + 38000. 000 0 q
3 k x 3 + 20000 �. 000 0 F12 � s3 + 10000. 000 0 q
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01507059 13 � s4 0 �+ 0 �. 08647059
5 k x 5 0 �+ 0 �. 00665294 14 � s5 0 �+ 0 �. 00700294
6 k x 6 + 22000 �. 000 0 F15 � s6 0 �+ 0 �. 00530588
7 k x 7 0 �+ 0 �. 00268236 16 � s7 + 630 �. 00006 0 q
8 k x 8 0 �+ 0 �. 01162059 17 � s8 + 675 �. 20001 0 q
9 k x 9 0 �+ 0 �. 03716471
MaximiZed OBJ. = 1986 /. 2 Iterat ion= 4
附表 1. 5 线性规划计算结果( 2)
Summ ar iced Report for mtl
Const r St at us RHS Shadow
Price
Slack for
Sur plus
Minimum
RHS
Maximum
RHS
1 PL oose ≤50000 d. 000 0 �+ 4000 L. 0024 + 45999 �. 996 + Infinity
2 PL oose ≤60000 d. 000 0 �+ 38000 z. 000 + 22000 �. 000 + Infinity
3 PL oose ≤10000 d. 000 0 �+ 10000 z. 000 0 �+ Infinity
4 PT igh ≤20000 d. 000 + 0 7. 08647059 0 e+ 15580 �. 000 + 20680 �. 000
5 PT igh ≤20000 d. 000 + 0 7. 00700294 0 e0 �+ 43891 �. 891
6 PT igh ≤22000 d. 000 + 0 7. 00530588 0 e+ 2074 �. 740 + 30185 �. 184
7 PL oose ≤3000 6. 0000 0 �+ 630 �. 00006 + 2370 �. 0000 + Infinity
8 PL oose ≤1600 6. 0000 0 �+ 675 �. 20001 + 924 �. 79999 + Infinity
4. 结果分析
( 1) 根据计算结果, 能够使年利润达到最大化的产品生产品种计划是: 生产 M2 型车
26000 辆, 生产 M3 型车 20000 辆, 生产 M 6 型车 22000 辆, 共计 68000 辆. 目标利润为
1986. 2 万元.
( 2) 松弛变量 s1、s2、s3 不为零, 其取值表示三种系列的摩托车的生产能力均有富余, 尤
其是三轮摩托车未安排生产, 生产能力完全剩余; s4 = 0, 说明用于摩托车生产的流动资金完
·562·
全用完, s5 = s6 = 0, 说明 M 3 和 M 6 两种车型的发动机也无剩余。s7、s8 不为零, 其取值表示库
存容量及库存车占用的生产资金额度尚有富余。
( 3) 从附表 1. 5 结果来看, 约束式( 1)、( 2) 、( 3)、( 7) 和( 8) 为松约束与松弛变量取非零
值相对应, 说明生产能力、库存量、库存品占用资金有剩余。约束式( 4)、( 5)、( 6)为紧约束, 与
松弛变量取零值相对应, 其含义与松弛变量分析相同; 与约束式( 1)、( 2) 、( 3)、( 7) 、( 8)对应
的影子价格为零, 说明约束右边项的增加不会引起目标函数的改善. 因此, 我们可以考虑通
过增加流动资金的注入和扩大 M3 和 M6 两种车发动机的供应能力来提高盈利水平, 且增
加流动资金注入, 能够使盈利水平提高最快.
( 4) 上述计算虽然得出了最优解, 使得目标利润最大化, 但应该看到, 该计划没有充分
挖掘公司现有的生产能力, 尤其是三轮摩托车生产线完全闲置. 为保持产品的市场的市场占
有率, 可添加一些约束条件, 重新规划最优生产方案.
5. 方案调整分析
上述计算得出的生产方案虽然是最优的, 但也存在明显缺陷, 主要问题是公司摩托车生
产能力利用严重不足, 利用率仅 57% 左右. 因此, 有必要对该方案作进一步分析并做出适当
调整.
( 1) 关于流动资金约束的讨论. 根据前面分析, 流动资金是紧约束, 其影子价格最高. 因
此, 如果适当增加, 可以使盈利水平有较大提高.
首先, 可以从加快生产经营节奏, 加速资金周转考虑来提高资金使用效率, 即保持流动
资金供应总量 4000 万元不变. 争取将年周转次数增加 1 次, 即由 5 次增至 6 次, 其他条件不
变. 计算结果见附表 1. 6.
附表 1. 6 加速资金周转后计算结果
Final Slut ion for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00271563 10 � s1 0 �+ 0 �. 00229916
2 k x 2 + 30000 �. 000 0 F11 � s2 + 31126. 053 0 q
3 k x 3 + 20000 �. 000 0 F12 � s3 + 9163 �. 8652 0 q
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01027815 13 � s4 0 �+ 0 �. 06579832
5 k x 5 + 6873 �. 9482 0 F14 � s5 0 �+ 0 �. 00731302
6 k x 6 + 22000 �. 000 0 F15 � s6 0 �+ 0 �. 01464622
7 k x 7 + 836 y. 13477 0 F16 � s7 0 �+ 0 �. 04050419
8 k x 8 0 �+ 0 �. 00594075 17 � s8 + 502 �. 91592 0 q
9 k x 9 0 �+ 0 �. 02910756
MaximiZed OBJ. = 2284 �. 108 It er at ion= 5
从附表 1. 6 可见, 资金周转加速后, 摩托车总产量由 68000 辆提高到 79710 辆, 目标利
·662·
润由 1986. 2 万元提高到 2284 万元.
由于 s4 依然为零, 说明如果进一步考虑注入新的流动资金, 可以使产量和利润有更大
提高, 附表 1. 7 所示为增加 1000 万元流动资金后的计算结果, 摩托车的生产量为 73333 辆,
目标利润为 2506. 4 万元.
附表 1. 7 增加流动资金 1000 万元后的计算结果
Final Slut ion for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00840000 10 � s1 + 30000. 000 0 q
2 k x 2 0 �+ 0 �. 00450000 11 � s2 + 6666 �. 6670 0 q
3 k x 3 + 20000 �. 000 0 F12 � s3 + 10000. 000 0 q
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01620000 13 � s4 + 1573 �. 3334 0 q
5 k x 5 + 31333 �. 334 0 F14 � s5 0 �+ 0 �. 00380000
6 k x 6 + 22000 �. 000 0 F15 � s6 0 �+ 0 �. 02320000
7 k x 7 0 �+ 0 �. 10439999 16 � s7 0 �+ 0 �. 63999999
8 k x 8 0 �+ 0 �. 10079999 17 � s8 + 599 �. 19995 0 q
9 k x 9 0 �+ 0 �. 11639998
MaximiZed OBJ. = 2506 /. 4 Iterat ion= 4
( 2) 关于发动机生产量约束讨论. 约束 5 和约束 6 表明, 发动机的生产量限制了 M3 和
M 6 两种车的产量. 因此, 应设法多增产这两种发动机. 如果将这两种发动机的产量增加, 使
M 3 和 M 6 两种车的产量各增加 5000 台, 则计算结果如附表 1. 8 所示, 摩托车产量为 75000
辆, 目标利润为 2641. 4 万元.
附表 1. 8 增加 M3 和 M6 发动机后计算结果
Final Slution for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00840000 10 � s1 + 25000. 000 0 q
2 k x 2 0 �+ 0 �. 00450000 11 � s2 + 10000. 000 0 q
3 k x 3 + 25000 �. 000 0 F12 � s3 + 10000. 000 0 q
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01620000 13 � s4 + 1364 �. 9999 0 q
5 k x 5 + 23000 �. 000 0 F14 � s5 0 �+ 0 �. 00380000
6 k x 6 + 27000 �. 000 0 F15 � s6 0 �+ 0 �. 02320000
7 k x 7 0 �+ 0 �. 10439999 16 � s7 0 �+ 0 �. 63999999
8 k x 8 0 �+ 0 �. 10079999 17 � s8 + 555 �. 94995 0 q
9 k x 9 0 �+ 0 �. 11639998
MaximiZed OBJ. = 2641 /. 4 Iterat ion= 4
( 3) 关于合理安排生产品种的讨论, 根据生产和销售的实际需要, 为保持公司各种系列
摩托车有一定的市场占有率, 需对上述结果做出修改. 即要保证三轮摩托车达到一个最低生
·762·
产量. 安排生产 M9 型车不少于 2000 辆. 为此, 需增加约束式 ( 9) : X 9≥2000. 其计算结果为
附表 1. 9 所示, 摩托车产量为 66333 万辆, 目标利润为 2408. 6 万元.
附表 1. 9 规定必须生产 M 9 型车 2000 辆后计算结果
Final Slut ion for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00840000 11 � s1 + 20666. 666 0 q
2 k x 2 0 �+ 0 �. 00450000 12 � s2 + 8000 �. 0005 0 q
3 k x 3 + 25000 �. 000 0 F13 � s3 + 4018 �. 3328 0 q
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01620000 14 � s4 0 �+ 0 �. 00380000
5 k x 5 + 12333 �. 334 0 F15 � s5 0 �+ 0 �. 02320000
6 k x 6 + 27000 �. 000 0 F16 � s6 0 �+ 0 �. 63999999
7 k x 7 0 �+ 0 �. 10439999 17 � s7 + 549 �. 54999 0 q
8 k x 8 0 �+ 0 �. 10079999 18 � s8 0 �+ 0 �. 11639999
9 k x 9 + 2000 �. 000 0 F19 � A 9 0 �- 0 �. 11639999
10 � s1 + 25000 �. 000 0 F
MaximiZed OBJ. = 2408 /. 6 Iterat ion= 4
( 4) 关于适当增加库存能力的讨论. 为保证三轮摩托车生产线的开动, 使公司整个摩托
车的生产量和目标利润受到较大影响. 从附表 1. 8 可知, 由于三轮摩托车占用的库存量较
大, 约束式( 7) 的影子价格非常高, 因此, 可考虑适当增加库存量, 以提高生产量和目标利润.
若将库存量扩大 500 个单位, 则计算结果见附表 1. 10, 摩托车产量为 79176 辆, 目标利润为
2705. 2 万元.
附表 1. 10 扩大库存能力 500 辆后计算结果
Final Slut ion for mt l
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Opporlunt y
Cost
1 k x 1 0 �+ 0 �. 00311613 11 � s1 + 13021. 508 0 q
2 k x 2 + 5198 �. 9292 0 F12 � s2 + 8000 �. 0005 0 q
3 k x 3 + 25000 �. 000 0 F13 � s3 0 �+ 0 �. 04354838
4 k x 4 0 �+ 0 �. 01228064 14 � s4 0 �+ 0 �. 00764677
5 k x 5 + 19978 �. 492 0 F15 � s5 0 �+ 0 �. 01753871
6 k x 6 + 27000 �. 000 0 F16 � s6 0 �+ 0 �. 24322584
7 k x 7 0 �+ 0 �. 03530323 17 � s7 + 393 �. 64725 0 q
8 k x 8 0 �+ 0 �. 03801774 18 � s8 0 �+ 0 �. 05862581
9 k x 9 + 2000 �. 000 0 F19 � a9 0 �- 0 �. 05862581
10 � s1 + 19801 �. 072 0 F
MaximiZed OBJ. = 2705 �. 205 It er at ion= 6
·862·
综上分析, 我们认为在安排 1999 年摩托车生产计划时, 需要适当增加流动资金的注入
和扩充库存面积, 这样不仅能有效利用现有的生产能力, 还可增加企业盈利. 因此, 1999 年
摩托车生产的合理计划是:
M 1 = 0, M 6 = 27000 辆,
M 2 = 5199 辆, M 7 = 0,
M 3 = 25000 辆, M 8 = 0,
M 4 = 0, M 9 = 2000 辆,
M 5 = 19978 辆.
需补充说明的是, 摩托车的生产数量是整数, 原本应用整数规划来求解, 但由于摩托车
的生产数量较大, 相对于 1 而言误差不大, 故直接采用线性规划单纯形法求解.
案例 2 A 市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究
1. 问题的提出
A 市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一, 主要产品有 2105 柴油
机、x2105 柴油机、x 4105 柴油机、x4110 柴油机、x6105 柴油机、x 6110 柴油机, 产品市场占有
率大, 覆盖面广, 广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等. 在同行业中占
有一定的优势. 但另一方面, 也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题, 尤其是随
着经济体制改革的深入, 以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场经济的
要求.
为改变这种不利局面, 厂领导决定学“邯钢”, 降成本, 实行科学管理. 经过研究分析, 认
为年度产品生产计划是企业的纲领性计划, 它直接影响到企业整个计划体系. 因此, 努力提
高企业编制产品生产计划的科学性就成为一个重要的目标.
2. 生产现状及资料分析
柴油机的主要生产过程如附图 2. 1 所示.
附图 2. 1 柴油机的生产过程
·962·
由附图 2. 1 可知, 柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料, 再进行热处
理、机加工工序, 进入总装, 最后试车、装箱、入成品库. 根据国家提倡的企业应由粗放型经营
向集约型经营、橄榄型经营向哑铃型经营转变的两个基本思想, 该厂将毛胚生产工艺, 即锻
造、铸造或下料过程渐渐向外扩散, 形成专业化生产, 以达到规模效益. 故柴油机生产过程主
要可以分三大类: 热处理、机加工、总装. 可以看出, 与产品生产有关的主要因素有单位产品
的产值、生产能力、原材料供应量及市场需求情况等.
每种产品的单位产值如附表 2. 1 所示.
附表 2. 1 各种产品的单位产值表
序号 产品型号及产品名称 单位产值(元)
1 :2105 �柴油机 5400 �
2 :x2105 柴油机 6500 �
3 :x4105 柴油机 12000 �
4 :x4110 柴油机 14000 �
5 :x6105 柴油机 18500 �
6 :x6110 柴油机 20000 �
为简化问题, 根据一定时期的产量与所需工时, 测算了每件产品所需要的热处理、机加
工、总装工时( 见附表 2. 2) .
附表 2. 2 单位产品所需加工工时表
序号 产品型号及名称 热处理( 工时) 机加工( 工时) 总装( 工时)
1 �2105 �柴油机 10 f. 58 14 �. 68 17 �. 08
2 �x2105 �柴油机 11 f. 03 7 �. 05 150 L
3 �x4105 �柴油机 29 f. 11 23 �. 96 29 �. 37
4 �x4110 �柴油机 32 f. 26 27 �. 7 33 �. 38
5 �x6105 �柴油机 37 f. 63 29 �. 36 55 �. 1
6 �x6110 �柴油机 40 f. 84 40 �. 43 53 �. 5
同时, 全厂所能提供的总工时如附表 2. 3.
附表 2. 3 各工序所能提供的总工时
工序名称 热处理(工时) 机加工(工时) 总装( 工时)
全年提供总工时 120000 695000 �180000 4
产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源. 供应科根据历年的统计资料及当
年的原材料市场情况估算出当年四大类材料的货源情况, 从而给出一个原材料供应最大的
·072·
可能值(见附表 2. 4) .
附表 2. 4 原材料最大供应量
原材料名称 生铁(吨) 焦碳( 吨) 废钢( 吨) 钢材(吨)
最大供应量 1562 �951 �530 �350 L
单位产品原材料消耗情况如附表 2. 5 所示.
附表 2. 5 单位产品原材料消耗定额表
序号 产品型号及名称 生铁( 吨) 焦碳( 吨) 废钢(吨) 钢材( 吨)
1 P2105 �0 P. 18 0 8. 11 0 . 06 0 �. 04
2 Px2105 �0 P. 19 0 8. 12 0 . 06 0 �. 04
3 Px4105 �0 P. 35 0 8. 22 0 . 12 0 �. 08
4 Px4110 �0 P. 36 0 8. 23 0 . 13 0 �. 09
5 Px6105 �0 P. 54 0 8. 33 0 . 18 0 �. 12
6 Px6110 �0 P. 55 0 8. 34 0 . 19 0 �. 13
市场情况可以依照历年销售情况、权威部门的市场预测及企业近期进行的市场调查结
果, 分别预测出各种型号柴油机今年的市场需求量, 如附表 2. 6 所示.
附表 2. 6 各种型号柴油机今年的市场需求量表
序号 产品型号及名称 生产能力( 台) 市场最大需求量(台)
1 �2105 �柴油机 8000 |8000 �
2 �x2105 �柴油机 2000 |1500 �
3 �x4105 �柴油机 4000 |4000 �
4 �x4110 �柴油机 2000 |1000 �
5 �x6105 �柴油机 3000 |3000 �
6 �x6110 �柴油机 3000 |2000 �
根据以上资料, 就可以研究如何制定较为科学的产品生产计划。
3. 建模与求解
厂领导希望尽量挖掘企业潜力, 在力所能及的条件下使各种产品的总产值尽可能提高.
因此, 在制定产品计划时, 可以将产值作为目标要求, 使其尽可能大.
假设 6 种产品产量分别为 x j , j = 1, 2, ⋯, 6; 若将相应的单位产品产值分别用 C j , j = 1,
2, ⋯, 6 来表示, 则其总产值可以用下面的线性函数来表示, 即
Z = ∑6
j = 1
cj x j
根据附表 2. 2、附表 2. 3 所列数据及相关资料可以将工时限制分别就热处理、机加工、
·172·
总装列出 3 个线性不等式约束; 根据附表 2. 4、附表 2. 5 及相关资料可以就 4 类主要原材料
供应限制列出 4 个线性不等式约束; 根据附表 2. 6 市场需求量限制条件则可以列出 6 个线
性不等式约束, 这样就可以建立产品品种计划的数学模型如下:
max Z= 5400x 1 + 6500x 2 + 12000x 3 + 14000x 4 + 18500x 5 + 20000x 6
约束条件:
( 1) 10. 58x 1 + 11. 03x2 + 20. 11x 3 + 32. 26x 4 + 37. 68x 5 + 40. 84x 6≤120000
( 2) 14. 58x 1 + 7. 05x 2 + 23. 96x 3 + 27. 7x 4 + 29. 36x 5 + 40. 43x 6≤95000
( 3) 17. 08x 1 + 150x2 + 29. 37x 3 + 33. 38x 4 + 55. 1x 5 + 53. 5x 6≤180000
( 4) 0. 18x 1 + 0. 19x2 + 0. 35x 3 + 0. 36x 4 + 0. 54x 5 + 0. 55x 6≤1562
( 5) 0. 11x 1 + 0. 12x2 + 0. 22x 3 + 0. 23x 4 + 0. 33x 5 + 0. 34x 6≤951
( 6) 0. 06x 1 + 0. 06x2 + 0. 12x 3 + 0. 13x 4 + 0. 18x 5 + 0. 19x 5≤530
( 7) 0. 04x 1 + 0. 04x2 + 0. 08x 3 + 0. 09x 4 + 0. 12x 5 + 0. 13x 6≤350
( 8) x 1≤8000
( 9) x 2≤1500
( 10) x 3≤4000
( 11) x 4≤1000
( 12) x 5≤3000
( 13) �x 6≤2000
x j ≥0, ( j = 1, 2, ⋯, 6)
上述数学模型由于目标函数和约束条件均为线性, 因而是一个线性规划模型, 应用
Q SB+软件, 经过 8 次迭代计算其结果如附表 2. 7 所示.
附表 2. 7
Final Solut ion for LQ Page: 1 B
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 0 �+ 763 2. 40826 11 � s5 + 3 H. 9308126 0 q
2 k x 2 + 206 y. 91324 0 F12 � s6 + 9 H. 9999952 0 q
3 k x 3 0 �+ 314 2. 68771 13 � s7 0 �+ 153003 �. 92
4 k x 4 + 999 y. 99994 0 F14 � s8 + 8000 �. 0000 0 q
5 k x 5 + 2097 �. 6956 0 F15 � s9 + 1293 �. 0868 0 q
6 k x 6 0 �+ 25 �. 986412 16 � s10 + 4000 �. 0000 0 q
7 v s1 + 6521 �. 4653 0 F17 � s11 0 �+ 145 ]. 11830
8 v s2 + 4252 �. 9199 0 F18 � s12 + 902 �. 30426 0 q
9 v s3 0 �+ 2 �. 5322881 19 � s13 + 2000 �. 0000 0 q
10 � s4 + 29 K. 930822 0 F
Minimized OBJ. = - 5 �. 41523E + 07 Iteration= 8 E lapsed CPU second= 5. 078125E - 02
·272·
4. 结果分析
( 1) 由计算结果可知, 使总产值最大的产品生产计划是: 全年生产 x2105 柴油机 207
台、x4110 柴油机 1000 台、x6105 柴油机 2098 台, 其余产品均不生产, 这样可使全年总产值
达到 5415 万元.
( 2) 松弛变量 s1 , s2 , s3 , ⋯, s13 的取值表明各种资源的节余量及市场需求量的非饱和量,
具体分析如下: s1 = 6521, s2 = 4253, s3 = 0, 说明热处理工时尚节余 6521 工时, 机加工尚节余
4253 工时, 总装工时全部用完没有节余. 从原材料消耗来看, 各种原材料使用较为均匀, 生
铁节余 30 吨, 焦碳节余 4 吨, 废钢节余 104 吨, 钢材全部用完没有节余. 工厂一方面可以提
高总装的生产能力以提高产品产量; 另一方面也可适当增加钢材的采购, 使原材料配置更趋
优化.
( 3) 市场需求限量是通过市场预测得到的, 其预测值是否准确对建模及求解结果均有
较大影响, 其中 x4110 柴油机市场需求量若能够扩大, 则对总产值有较大帮助.
( 4) 求解结果表明, 当前的最优解是唯一的, 因为所有非基变量的检验数均严格大于
零, 即根据计算结果所确定的产品生产计划是惟一使总产值达到最大的生产计划. 因此, 厂
领导只能通过适当调整某些约束条件, 才能得出更优的计划方案.
5. 进一步讨论
上述计算结果给出的最优生产方案是惟一的, 这个结果中生产的产品品种太少, 全厂共
有 6 种产品, 但最优化生产计划中只安排了 3 种, 这无论从市场需求及企业本身来说都不能
令人满意, 因此作为企业应该进一步修改计划, 使之更切合实际需求.
( 1) 关于工时约束的讨论
结果分析表明, 总装工时全部用完没有节余, 热处理工时尚节余 6521 工时, 机加工尚节
余 4253 工时. 因此, 应设法提高总装的生产能力. 假如总装的生产能力从原有的 180000 工
时提高到 320000 工时, 其他条件不变, 则可得到计算结果如附表 2. 8 所示.
附表 2. 8
Final Solut ion for LQ Page: 1 B
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 0 �+ 763 2. 55743 11 � s5 0 �+ 1525 �. 9530
2 k x 2 + 1288 �. 9926 0 F12 � s6 + 11 v. 968563 0 q
3 k x 3 0 �+ 315 2. 54126 13 � s7 0 �+ 148860 �. 78
4 k x 4 + 999 y. 99994 0 F14 � s8 + 8000 �. 0000 0 q
5 k x 5 + 1310 �. 4806 0 F15 � s9 + 211 �. 00739 0 q6 k x 6 + 393 y. 71255 0 F16 � s10 + 4000 �. 0000 0 q
7 v s1 + 8129 �. 8101 0 F17 � s11 0 �+ 170 ]. 90152
8 v s2 + 3819 �. 0940 0 F18 � s12 + 1689 �. 5193 0 q
9 v s3 0 �+ 2 �. 4163637 19 � s13 + 1606 �. 2874 0 q
10 � s4 + 32 K. 889946 0 F
Minimized OBJ. = - 5 �. 449659E + 07 It erat ion= 10 E lapsed CPU second= 0
·372·
由附表 2. 8 所示可知, 当总装的生产能力从原有的 180000 工时提高到 320000 工时, 总
产值可从原有的 5415. 23 万元提高到 5449. 66 万元.
从数据可知, 尽管总装的生产能力有较大提高, 但总产值提高不大, 说明该种改进方法
不合算.
( 2) 关于原材料约束的讨论
从结果分析可知, 钢材全部用完没有节余, 因而适当提高钢材的最大供应量可相应提高
总产值, 如钢材的最大供应量从原有的 350 吨提高到 400 吨, 其他条件不变, 则可得到计算
结果如附表 2. 9 所示.
附表 2. 9
Final Solution for LQ Page: 1 �
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 0 �+ 1209 `. 1849 11 � s5 0 �+ 47687 �. 875
2 k x 2 + 211 y. 55064 0 F12 � s6 + 6 H. 1309471 0 q
3 k x 3 0 �+ 733 2. 15192 13 � s7 + 26 v. 137106 0 q
4 k x 4 + 999 y. 99994 0 F14 � s8 + 8000 �. 0000 0 q
5 k x 5 + 1711 �. 1939 0 F15 � s9 + 1288 �. 4493 0 q
6 k x 6 + 385 y. 05853 0 F16 � s10 + 4000 �. 0000 0 q
7 v s1 + 5288 �. 5840 0 F17 � s11 0 �+ 440 ]. 51447
8 v s2 0 �+ 92 �. 543404 18 � s12 + 1288 �. 8060 0 q
9 v s3 0 �+ 0 �. 83349502 19 � s13 + 1614 �. 9414 0 q
10 � s4 + 25 K. 978445 0 F
Minimized OBJ. = - 5 �. 473334E+ 07 It erat ion= 8 Elapsed CPU second= 0
由附表 2. 9 所示可知, 当钢材的最大供应量从原有的 350 吨提高到 400 吨, 总产值可从
原有的 5415. 23 万元提高到 5473. 33 万元.
( 3) 关于轮番生产方案的构想
生产部门根据市场实际需要, 希望能提出一个在几年内轮番生产所有 6 种产品的方案.
根据这一要求(按如下方式实现) , 即: 将第一年安排的 3 种产品在原模型中删除, 重新计算
修改后的线性规划, 算出第二年的生产品种, 再将第二年生产的产品从模型中删去, 重新计
算, 得第三年的生产产品品种, 由此可得出一个按产值大小排列的若干年的生产计划, 具体
计算结果见附表 2. 10、附表 2. 11 及附表 2. 12.
为适应市场要求, 同时也不浪费设备, 如果要求每年 6 种产品都必须生产, 则可通过市
场调查后确定产品 x 1、x 3、x 6 的产量下限为:
x 1 ≥ 600, x 3 ≥ 500, x 6 ≥ 200.
将上述 3 个产品产量下限作为约束条件加到原来的线性规划模型中, 其计算结果如附
表 2. 13 所示.
·472·
附表 2. 10
Final Solut ion for lq3 8. dat Page: 1
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 0 �+ 1902 `. 1700 8 � s5 + 78 v. 712852 0 q
2 k x 3 + 3964 �. 9417 0 F9 � s6 + 54 v. 207005 0 q
3 k x 6 0 �+ 248 2. 74895 10 � s7 + 32 v. 804657 0 q
4 v s1 + 4580 �. 5469 0 F11 � s8 + 8000 �. 0000 0 q
5 v s2 0 �+ 500 2. 83472 12 � s9 + 35 v. 058132 0 q
6 v s3 + 63549 �. 668 0 F13 � s10 + 2000 �. 0000 0 q
7 v s4 + 174 y. 27037 0 F
Maximized OBJ. = 4 �. 75793E + 07 Iterat ion= 4 E lapsed CPU second= 0
附表 2. 11
Final Solution for lq4 8. dat Page: 1
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 + 969 y. 82166 0 F7 � s5 + 164 �. 31961 0 q
2 k x 6 + 2000 �. 0000 0 F8 � s6 + 91 v. 810707 0 q
3 v s1 + 28059 �. 287 0 F9 � s7 + 51 v. 207146 0 q
4 v s2 0 �+ 370 2. 37036 10 � s8 + 7030 �. 1782 0 q
5 v s3 + 56435 �. 445 0 F11 � s9 0 �+ 5025 �. 9258
6 v s4 + 287 y. 43207 0 F
Minimized OBJ. = 4 �. 523704E + 07 Iterat ion= 2 E lapsed CPU second= 0
附表 2. 12 3 年轮番生产计划
年份 安排生产的产品及产量(台) 总产值(万元)
1 9x 2 y= 207, x 4= 1000, x 5= 2098 5415 <. 23
2 9x 3 y= 3965 4757 <. 93
3 9x 1 y= 970, x 6= 2000 4523 <. 7
由附表 2. 13 所示可得到一个 1 年内每种产品都生产的计划, 即:
① 2105 柴油机 x 1 = 600
② x 2105 柴油机 x 2 = 244
③ x 4105 柴油机 x 3 = 500
·572·
附表 2. 13
Final Solut ion for lq5 v. dat Page: 1
Variable
No. Names
Solut ion Opport unity
Cost
Variable
No. Nam es
Solut ion Oppor tunit y
Cost
1 k x 1 + 600 y. 00000 0 F14 � s8 + 7400 �. 0000 0 q
2 k x 2 + 224 y. 40053 0 F15 � s9 + 1275 �. 5995 0 q
3 k x 3 + 499 y. 99997 0 F16 � s10 + 3500 �. 0000 0 q
4 k x 4 + 566 y. 28497 0 F17 � s11 + 433 �. 71500 0 q
5 k x 5 + 1666 �. 1405 0 F18 � s12 + 1333 �. 8594 0 q
6 k x 6 + 199 y. 99999 0 F19 � s13 + 1800 �. 0000 0 q
7 v s1 + 7488 �. 6460 0 F20 � s14 0 �+ 1504 �. 4889
8 v s2 0 �+ 154 2. 61552 21 � a14 0 �- 1504 �. 4889
9 v s3 0 �+ 2 �. 5654874 22 � s15 0 �+ 992 ]. 68848
10 � s4 + 22 K. 785410 0 F23 � a15 0 �- 992 ]. 68848
11 � s5 0 �+ 41876 �. 145 24 � s16 0 �+ 626 ]. 25018
12 � s6 + 9 �. 0136375 0 F25 � a16 0 �- 626 ]. 25018
13 � s7 + 0 �. 12147906 0 F
Minimized OBJ. = - 5 {. 345019E+ 07 It eration= 9 Elapsed CPU second= 0. 0625
④ x 4110 柴油机 x 4 = 566
⑤ x 6105 柴油机 x 5 = 1666
⑥ x 6110 柴油机 x 6 = 200
最大总产值为 5345. 02 万元.
案例 3 某设计项目人员指派方案的研究
1. 问题的提出
某设计院是国家甲级工程勘察设计单位, 主要从事煤矿、选煤厂、电厂、水泥厂、铁路、工
业及民用建筑及其他工程的勘察设计工作. 近几年来, 随着经济体制改革的不断深化, 逐步
走向市场, 该院设计项目管理的方法落后、手段陈旧的矛盾日益突出, 造成设计质量不高、设
计工期较长, 严重影响该院的经济效益和市场竞争力. 为此, 必须加强和重视对设计项目管
理的分析和研究.
以下就该院具典型意义的某较大型设计项目, 对设计项目管理中的核心问题——设计
人员指派问题进行分析研究, 作为设计项目管理现代化的开端.
2. 基本情况分析
该设计项目为一较大型矿井设计项目, 牵涉到采矿、电气、机制、设备、土建、总运、技经,
共 7 个专业. 每个专业又需若干名设计人员分别担任设计和检审工作. 各专业现有人员中可
抽调人员数和需要人员数见附表 3. 1. 由于专业技术的限制, 各专业之间专业技术人员不能
流动.
·672·
附表 3. 1 各专业可用人员和需要人员数量表 单位: 名
专业 采矿 电气 机制 设备 土建 总运 技经
可用人数 5 �7 �4 �7 e10 M3 �5 �
需设计人数 3 �2 �2 �4 e5 62 �3 �
需检审人数 1 �1 �1 �2 e2 61 �1 �
由于每个设计人员的素质不同, 因而他们从事设计或检审工作的效率和质量也各不相
同. 为简化问题, 由该院专业技术委员会对每个设计人员从事设计或检审的工作效率和质量
进行综合评估, 以百分制来衡量他们从事设计或检审工作的综合素质, 而不对效率和质量分
别考虑, 各设计人员从事设计或检审工作的综合素质评分见附表 3. 2.
附表 3. 2 设计人员质量效率综合素质评分表
人员 1 �2 g3 �4 O5 �6 77 �8 �9 �10 �
采矿专业
设计 89 �. 54 72 P. 3 78 �. 5 65 8. 9 82 �. 3
检审 70 �. 25 90 9. 02 82 �. 35 86 8. 8 78 �. 78
电气专业
设计 77 �. 21 93 P. 5 68 �. 75 85 !. 64 73 �. 56 82 �. 78 80 }. 16
检审 88 �. 15 72 9. 31 82 �. 56 87 !. 85 78 �. 26 69 �. 76 73 }. 15
机制专业
设计 87 �. 34 78 9. 33 74 �. 98 81 !. 23
检审 77 �. 15 67 9. 22 84 �. 87 71 !. 54
设备专业
设计 83 �. 15 87 9. 42 79 �. 68 73 !. 54 90 �. 75 85 �. 34 75 }. 67
检审 76 �. 45 84 9. 87 85 �. 74 82 !. 64 82 �. 12 72 �. 65 78 }. 91
土建专业
设计 92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
检审 88 �. 25 78 9. 32 81 �. 93 82 !. 65 74 �. 87 80 �. 05 77 }. 25 91 �. 73 70 e. 02 75 �. 62
总运专业
设计 83 �. 15 84 9. 26 78 �. 3
检审 88 �. 16 85 9. 27 80 �. 81
技经专业
设计 76 �. 56 79 9. 35 82 �. 16 80 !. 98 72 �. 81
检审 77 �. 57 70 9. 69 81 �. 6 78 !. 21 68 �. 98
注 : 表中空白栏表示无此人
·772·
根据以上条件和数据, 可以建立其数学模型并求解.
3. 建模与求解
该问题的目标就是根据各设计人员从事设计或检审工作的综合素质评分, 选取各专业
合适的人员进行设计工作或检审工作, 以使参加项目人员的综合素质总分最高, 从而从人员
选配方面保证整个设计项目达到效率和质量综合效果最好.
对于这个问题, 我们可以对每个设计人员分别就设计工作、检审工作引用两个 0-1 变
量, 以参加项目人员的综合素质总分最高为目标, 以参加各专业设计或检审工作的人数作为
约束, 并考虑同一个人不能同时参加设计和检审, 就可以建立一个 0-1 规划模型. 但是, 我们
可以想象该模型变量和约束众多, 而 0-1 规划的求解也比较困难, 有必要寻找更简捷的解决
办法.
由于该问题是人员指派问题, 我们可以考虑通过化简, 将其化为标准的指派问题进行求
解. 首先, 该问题中每个专业都分别是一个指派问题, 因而可以分成 7 个指派问题. 其次, 每
个专业的指派问题并不是标准的指派问题, 但可以运用技巧化为标准的指派问题, 以采矿专
业为例说明如下:
该专业可用人数 5 人, 设计需 3 人, 检审需 1 人. 我们可以将设计当成 3 项不同工作, 检
审 1 项, 再增加 1 项虚拟工作, 就可化为平衡的标准指派问题了, 其综合素质矩阵见附表 3. 3.
附表 3. 3 采矿专业综合素质矩阵
人员 1 O2 �3 e4 �5 {
设计 1 �89 !. 54 72 �. 3 78 N. 5 65 �. 9 82 d. 3
设计 2 �89 !. 54 72 �. 3 78 N. 5 65 �. 9 82 d. 3
设计 3 �89 !. 54 72 �. 3 78 N. 5 65 �. 9 82 d. 3
检审 70 !. 25 90 �. 02 82 7. 35 86 �. 8 78 M. 78
虚拟工作 0 O0 �0 e0 �0 {
同理, 可以将其他专业也化为标准的指派问题, 其综合素质矩阵分别见附表 3. 4～附表
3. 9 所示.
附表 3. 4 电气专业综合素质矩阵
人员 1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �
设计 1 77 �. 21 93 �. 5 68 �. 75 85 �. 64 73 �. 56 82 �. 78 80 �. 16
设计 2 77 �. 21 93 �. 5 68 �. 75 85 �. 64 73 �. 56 82 �. 78 80 �. 16
检审 88 �. 15 72 �. 31 82 �. 56 87 �. 85 78 �. 26 69 �. 76 73 �. 15
虚拟工作 1 ]0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �
虚拟工作 2 ]0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �
虚拟工作 3 ]0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �
虚拟工作 4 ]0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �
·872·
附表 3. 5 机制专业综合素质矩阵
人员 1 O2 �3 �4 �
设计 1 s87 !. 34 78 f. 33 74 �. 98 81 �. 23
设计 2 s87 !. 34 78 f. 33 74 �. 98 81 �. 23
检审 77 !. 15 67 f. 22 84 �. 87 71 �. 54
虚拟工作 0 O0 �0 �0 �
附表 3. 6 设备专业综合素质矩阵
人员 1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �
设计 1 �83 �. 15 87 �. 42 79 �. 68 73 �. 54 90 �. 75 85 �. 34 75 �. 67
设计 2 �83 �. 15 87 �. 42 79 �. 68 73 �. 54 90 �. 75 85 �. 34 75 �. 67
设计 3 �83 �. 15 87 �. 42 79 �. 68 73 �. 54 90 �. 75 85 �. 34 75 �. 67
设计 4 �83 �. 15 87 �. 42 79 �. 68 73 �. 54 90 �. 75 85 �. 34 75 �. 67
检审 1 �76 �. 45 84 �. 87 85 �. 74 82 �. 64 82 �. 12 72 �. 65 78 �. 91
检审 2 �76 �. 45 84 �. 87 85 �. 74 82 �. 64 82 �. 12 72 �. 65 78 �. 91
虚拟工作 0 �0 �0 �0 �0 �0 �0 �
附表 3. 7 土建专业综合素质矩阵
人员 1 �2 g3 �4 O5 �6 77 �8 �9 �10 �
设计 1 �92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
设计 2 �92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
设计 3 �92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
设计 4 �92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
设计 5 �92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 72 !. 76 85 �. 53 79 �. 75 68 }. 76 87 �. 74 83 e. 35 76 �. 84
检审 1 �88 �. 25 78 9. 32 81 �. 93 82 !. 65 74 �. 87 80 �. 05 77 }. 25 91 �. 73 70 e. 02 75 �. 62
检审 2 �88 �. 25 78 9. 32 81 �. 93 82 !. 65 74 �. 87 80 �. 05 77 }. 25 91 �. 73 70 e. 02 75 �. 62
虚拟工作 1 �0 �0 g0 �0 O0 �0 70 �0 �0 �0 �
虚拟工作 2 �0 �0 g0 �0 O0 �0 70 �0 �0 �0 �
虚拟工作 3 �0 �0 g0 �0 O0 �0 70 �0 �0 �0 �
·972·
附表 3. 8 总运专业综合素质矩阵
人员 1 �2 �3 �
设计 1 �83 �. 15 84 �. 26 78 �. 3
设计 2 �83 �. 15 84 �. 26 78 �. 3
检审 88 �. 16 85 �. 27 80 �. 81
附表 3. 9 技经专业综合素质矩阵
人员 1 �2 83 �4 �5 c
设计 1 /76 Q. 56 79 �. 35 82 �. 16 80 |. 98 72 5. 81
设计 2 /76 Q. 56 79 �. 35 82 �. 16 80 |. 98 72 5. 81
设计 3 /76 Q. 56 79 �. 35 82 �. 16 80 |. 98 72 5. 81
检审 77 Q. 57 70 �. 69 81 �. 6 78 |. 21 68 5. 98
虚拟工作 0 �0 80 �0 �0 c
这样, 就可以利用匈牙利法求解, 应用 QSB+ 软件分别求解这 7 个指派问题, 得出整个
问题的最优解, 详见附表 3. 10.
附表 3. 10. 1
Summary of Results for 1 � sxw1 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !+ 1 j. 0000 + 89 �. 540 0 NT 3 @04 L0 {+ 65 �. 900 - 3 �. 1800
T 1 �02 !0 P+ 72 �. 300 0 NT 3 @05 L0 {+ 82 �. 300 0 y
T 1 �03 !0 P+ 78 �. 500 0 NT 4 @01 L0 {+ 70 �. 250 - 37 �. 010
T 1 �04 !0 P+ 65 �. 900 - 3 h. 1800 T 4 @02 L+ 1 �. 0000 + 90 �. 020 0 y
T 1 �05 !0 P+ 82 �. 300 0 NT 4 @03 L0 {+ 82 �. 350 - 13 �. 870
T 2 �01 !0 P+ 89 �. 540 0 NT 4 @04 L0 {+ 86 �. 800 0 y
T 2 �02 !0 P+ 72 �. 300 0 NT 4 @05 L0 {+ 78 �. 780 - 21 �. 240
T 2 �03 !0 P+ 78 �. 500 0 NT 5 @01 L0 {0 z- 20 �. 460
T 2 �04 !0 P+ 65 �. 900 - 3 h. 1800 T 5 @02 L0 {0 z- 3 �. 2200
T 2 �05 !+ 1 j. 0000 + 82 �. 300 0 NT 5 @03 L0 {0 z- 9 �. 4200
T 3 �01 !0 P+ 89 �. 540 0 NT 5 @04 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 3 �02 !0 P+ 72 �. 300 0 NT 5 @05 L0 {0 z- 13 �. 220
T 3 �03 !+ 1 j. 0000 + 78 �. 500 0 N
Maximized OBJ= 340 �. 36 It erat ion = 0 Elapsed CPU second= 1. 203125
·082·
附表 3. 10. 2. 1
Summary of Results for 1 � sxw2 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !0 P+ 77 �. 210 - 8 h. 7300 T 3 @03 L0 {+ 82 �. 560 - 2 �. 4300
T 1 �02 !+ 1 j. 0000 + 93 �. 500 0 NT 3 @04 L0 {+ 87 �. 850 0 y
T 1 �03 !0 P+ 68 �. 750 - 14 �. 030 T 3 @05 L0 {+ 78 �. 260 - 6 �. 7300
T 1 �04 !0 P+ 85 �. 640 0 NT 3 @06 L0 {+ 69 �. 760 - 15 �. 230
T 1 �05 !0 P+ 73 �. 560 - 9 h. 2200 T 3 @07 L0 {+ 73 �. 150 - 11 �. 840
T 1 �06 !0 P+ 82 �. 780 0 NT 4 @01 L0 {0 z- 3 �. 1600
T 1 �07 !0 P+ 80 �. 160 - 2 h. 6200 T 4 @02 L0 {0 z- 10 �. 720
T 2 �01 !0 P+ 77 �. 210 - 8 h. 7300 T 4 @03 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 2 �02 !0 P+ 93 �. 500 0 NT 4 @04 L0 {0 z- 2 �. 8600
T 2 �03 !0 P+ 68 �. 750 - 14 �. 030 T 4 @05 L0 {0 z0 y
T 2 �04 !+ 1 j. 0000 + 85 �. 640 0 NT 4 @06 L0 {0 z0 y
T 2 �05 !0 P+ 73 �. 560 - 9 h. 2200 T 4 @07 L0 {0 z0 y
T 2 �06 !0 P+ 82 �. 780 0 NT 5 @01 L0 {0 z- 3 �. 1600
T 2 �07 !0 P+ 80 �. 160 - 2 h. 6200 T 5 @02 L0 {0 z- 10 �. 720
T 3 �01 !+ 1 j. 0000 + 88 �. 150 0 NT 5 @03 L0 {0 z0 y
T 3 �02 !0 P+ 72 �. 310 - 23 �. 400 T 5 @04 L0 {0 z- 2 �. 8600
Maximized OBJ= 267 �. 29 Iterat ion= 2 E lapsed CPU second= 0. 8828125
附表 3. 10. 2. 2
Summary of Results for 1 � sxw2 Page: 2
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 5 �05 !+ 1 j. 0000 0 O0 NT 6 @07 L0 {0 z0 y
T 5 �06 !0 P0 O0 NT 7 @01 L0 {0 z- 3 �. 1600
T 5 �07 !0 P0 O0 NT 7 @02 L0 {0 z- 10 �. 720
T 6 �01 !0 P0 O- 3 h. 1600 T 7 @03 L0 {0 z0 y
T 6 �02 !0 P0 O- 10 �. 720 T 7 @04 L0 {0 z- 2 �. 8600
T 6 �03 !0 P0 O0 NT 7 @05 L0 {0 z0 y
T 6 �04 !0 P0 O- 2 h. 8600 T 7 @06 L0 {0 z0 y
T 6 �05 !0 P0 O0 NT 7 @07 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 6 �06 !+ 1 j. 0000 0 O0 N
Maximized OBJ= 267 �. 29 Iterat ion= 2 E lapsed CPU second= 0. 8828125
·182·
附表 3. 10. 3
Summary of Results for 1 � sxw3 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !+ 1 j. 0000 + 87 �. 340 0 NT 3 @01 L0 {+ 77 �. 150 - 0 e. 49999
T 1 �02 !0 P+ 78 �. 330 0 NT 3 @02 L0 {+ 67 �. 220 - 1 �. 4200
T 1 �03 !0 P+ 74 �. 980 - 19 �. 580 T 3 @03 L+ 1 �. 0000 + 84 �. 870 0 y
T 1 �04 !0 P+ 81 �. 230 0 NT 3 @04 L0 {+ 71 �. 540 0 y
T 2 �01 !0 P+ 87 �. 340 0 NT 4 @01 L0 {0 z- 9 �. 0100
T 2 �02 !0 P+ 78 �. 330 0 NT 4 @02 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 2 �03 !0 P+ 74 �. 980 - 19 �. 580 T 4 @03 L0 {0 z- 16 �. 230
T 2 �04 !+ 1 j. 0000 + 81 �. 230 0 NT 4 ?04 L0 {0 z- 2 �. 9000
Maximized OBJ= 253 �. 44 It erat ion = 1 Elapsed CPU second= 0. 609375
附表 3. 10. 4. 1
Summary of Results for 1 � sxw4 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !0 P+ 83 �. 150 0 NT 3 @03 L0 {+ 79 �. 680 0 y
T 1 �02 !0 P+ 87 �. 420 0 NT 3 @04 L0 {+ 73 �. 540 - 3 �. 0400
T 1 �03 !0 P+ 79 �. 680 0 NT 3 @05 L0 {+ 90 �. 750 0 y
T 1 �04 !0 P+ 73 �. 540 - 3 h. 0400 T 3 @06 L+ 1 �. 0000 + 85 �. 340 0 y
T 1 �05 !+ 1 j. 0000 + 90 �. 750 0 NT 3 @07 L0 {+ 75 �. 670 0 y
T 1 �06 !0 P+ 85 �. 340 0 NT 4 @01 L+ 1 �. 0000 + 83 �. 150 0 y
T 1 �07 !0 P+ 75 �. 670 0 NT 4 @02 L0 {+ 87 �. 420 0 y
T 2 �01 !0 P+ 83 �. 150 0 NT 4 @03 L0 {+ 79 �. 680 0 y
T 2 �02 !+ 1 j. 0000 + 87 �. 420 0 NT 4 @04 L0 {+ 73 �. 540 - 3 �. 0400
T 2 �03 !0 P+ 79 �. 680 0 NT 4 @05 L0 {+ 90 �. 750 0 y
T 2 �04 !0 P+ 73 �. 540 - 3 h. 0400 T 4 @06 L0 {+ 85 �. 340 0 y
T 2 �05 !0 P+ 90 �. 750 0 NT 4 @07 L0 {+ 75 �. 670 0 y
T 2 �06 !0 P+ 85 �. 340 0 NT 5 @01 L0 {+ 76 �. 450 - 12 �. 760
T 2 �07 !0 P+ 75 �. 670 0 NT 5 @02 L0 {+ 84 �. 870 - 8 �. 6100
T 3 �01 !0 P+ 83 �. 150 0 NT 5 @03 L+ 1 �. 0000 + 85 �. 740 0 y
T 3 �02 !0 P+ 87 �. 420 0 NT 5 @04 L0 {+ 82 �. 640 0 y
Maximized OBJ= 515 �. 04 Iterat ion= 1 E lapsed CPU second= 0. 6015625
·282·
附表 3. 10. 4. 2
Summary of Results for 1 � sxw4 Page: 2
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 5 �05 !0 P+ 82 �. 120 - 14 �. 690 T 6 @07 L0 {+ 78 �. 910 - 2 �. 8200
T 5 �06 !0 P+ 72 �. 650 - 18 �. 750 T 7 @01 L0 {0 z- 7 �. 4800
T 5 �07 !0 P+ 78 �. 910 - 2 h. 8200 T 7 @02 L0 {0 z- 11 �. 750
T 6 �01 !0 P+ 76 �. 450 - 12 �. 760 T 7 @03 L0 {0 z- 4 �. 0100
T 6 �02 !0 P+ 84 �. 870 - 8 h. 6100 T 7 @04 L0 {0 z- 0 e. 91000
T 6 �03 !0 P+ 85 �. 740 0 NT 7 @05 L0 {0 z- 15 �. 080
T 6 �04 !+ 1 j. 0000 + 82 �. 640 0 NT 7 @06 L0 {0 z- 9 �. 6700
T 6 �05 !0 P+ 82 �. 120 - 14 �. 690 T 7 @07 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 6 �06 !0 P+ 72 �. 650 - 18 �. 750
Maximized OBJ= 515 �. 04 Iterat ion= 1 E lapsed CPU second= 0. 6015625
附表 3. 10. 5. 1
Summary of Results for 1 � sxw5 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !+ 1 j. 0000 + 92 �. 740 0 NT 2 @07 L0 {+ 68 �. 760 - 10 �. 990
T 1 �02 !0 P+ 89 �. 860 0 NT 2 @08 L0 {+ 87 �. 740 - 1 �. 0900
T 1 �03 !0 P+ 90 �. 560 0 NT 2 @09 L0 {+ 83 �. 350 0 y
T 1 �04 !0 P+ 72 �. 760 - 6 h. 9900 T 2 @010 c0 {+ 76 �. 840 - 2 �. 9100
T 1 �05 !0 P+ 85 �. 530 0 NT 3 @01 L0 {+ 92 �. 740 0 y
T 1 �06 !0 P+ 79 �. 750 0 NT 3 @02 L+ 1 �. 0000 + 89 �. 860 0 y
T 1 �07 !0 P+ 68 �. 760 - 10 �. 990 T 3 @03 L0 {+ 90 �. 560 0 y
T 1 �08 !0 P+ 87 �. 740 - 1 h. 0900 T 3 @04 L0 {+ 72 �. 760 - 6 �. 9900
T 1 �09 !0 P+ 83 �. 350 0 NT 3 @05 L0 {+ 85 �. 530 0 y
T 1 �010 80 P+ 76 �. 840 - 2 h. 9100 T 3 @06 L0 {+ 79 �. 750 0 y
T 2 �01 !0 P+ 92 �. 740 0 NT 3 @07 L0 {+ 68 �. 760 - 10 �. 990
T 2 �02 !0 P+ 89 �. 860 0 NT 3 @08 L0 {+ 87 �. 740 - 1 �. 0900
T 2 �03 !+ 1 j. 0000 + 90 �. 560 0 NT 3 @09 L0 {+ 83 �. 350 0 y
T 2 �04 !0 P+ 72 �. 760 - 6 h. 9900 T 3 @010 c0 {+ 76 �. 840 - 2 �. 9100
T 2 �05 !0 P+ 85 �. 530 0 NT 4 @01 L0 {+ 92 �. 740 0 y
T 2 �06 !0 P+ 79 �. 750 0 NT 4 @02 L0 {+ 89 �. 860 0 y
Maximized OBJ= 616 �. 42 Iterat ion= 9 E lapsed CPU second= 0. 6484375
·382·
附表 3. 10. 5. 2
Summary of Results for 1 � sxw5 Page: 2
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 4 �03 !0 P+ 90 �. 560 0 NT 5 @09 L+ 1 �. 0000 + 83 �. 350 0 y
T 4 �04 !0 P+ 72 �. 760 - 6 h. 9900 T 5 @010 c0 {+ 76 �. 840 - 2 �. 9100
T 4 �05 !+ 1 j. 0000 + 85 �. 530 0 NT 6 @01 L0 {+ 88 �. 250 - 7 �. 3900
T 4 �06 !0 P+ 79 �. 750 0 NT 6 @02 L0 {+ 78 �. 320 - 14 �. 440
T 4 �07 !0 P+ 68 �. 760 - 10 �. 990 T 6 @03 L0 {+ 81 �. 930 - 11 �. 530
T 4 �08 !0 P+ 87 �. 740 - 1 h. 0900 T 6 @04 L0 {+ 82 �. 650 0 y
T 4 �09 !0 P+ 83 �. 350 0 NT 6 @05 L0 {+ 74 �. 870 - 13 �. 560
T 4 �010 80 P+ 76 �. 840 - 2 h. 9100 T 6 @06 L0 {+ 80 �. 050 - 2 �. 6000
T 5 �01 !0 P+ 92 �. 740 0 NT 6 @07 L0 {+ 77 �. 250 - 5 �. 4000
T 5 �02 !0 P+ 89 �. 860 0 NT 6 @08 L+ 1 �. 0000 + 91 �. 730 0 y
T 5 �03 !0 P+ 90 �. 560 0 NT 6 @09 L0 {+ 70 �. 020 - 16 �. 230
T 5 �04 !0 P+ 72 �. 760 - 6 h. 9900 T 6 @010 c0 {+ 75 �. 620 - 7 �. 0300
T 5 �05 !0 P+ 85 �. 530 0 NT 7 @01 L0 {+ 88 �. 250 - 7 �. 3900
T 5 �06 !0 P+ 79 �. 750 0 NT 7 @02 L0 {+ 78 �. 320 - 14 �. 440
T 5 �07 !0 P+ 68 �. 760 - 10 �. 990 T 7 @03 L0 {+ 81 �. 930 - 11 �. 530
T 5 �08 !0 P+ 87 �. 740 - 1 h. 0900 T 7 @04 L+ 1 �. 0000 + 82 �. 650 0 y
Maximized OBJ= 616 �. 42 Iterat ion= 9 E lapsed CPU second= 0. 6484375
附表 3. 10. 5. 3
Summary of Results for 1 � sxw5 Page: 3
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 7 �05 !0 P+ 74 �. 870 - 13 �. 560 T 9 @01 L0 {0 z- 12 �. 990
T 7 �06 !0 P+ 80 �. 050 - 2 h. 6000 T 9 @02 L0 {0 z- 10 �. 110
T 7 �07 !0 P+ 77 �. 250 - 5 h. 4000 T 9 @03 L0 {0 z- 10 �. 810
T 7 �08 !0 P+ 91 �. 730 0 NT 9 @04 L0 {0 z0 y
T 7 �09 !0 P+ 70 �. 020 - 16 �. 230 T 9 @05 L0 {0 z- 5 �. 7800
T 7 �010 80 P+ 75 �. 620 - 7 h. 0300 T 9 @06 L0 {0 z0 y
T 8 �01 !0 P0 O- 12 �. 990 T 9 @07 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 8 �02 !0 P0 O- 10 �. 110 T 9 @08 L0 {0 z- 9 �. 0800
T 8 �03 !0 P0 O- 10 �. 810 T 9 @09 L0 {0 z- 3 �. 6000
T 8 �04 !0 P0 O0 NT 9 @010 c0 {0 z0 y
T 8 �05 !0 P0 O- 5 h. 7800 T 10 W01 L0 {0 z- 12 �. 990
T 8 �06 !+ 1 j. 0000 0 O0 NT 10 W02 L0 {0 z- 10 �. 110
T 8 �07 !0 P0 O0 NT 10 W03 L0 {0 z- 10 �. 810
T 8 �08 !0 P0 O- 9 h. 0800 T 10 W04 L0 {0 z0 y
T 8 �09 !0 P0 O- 3 h. 6000 T 10 W05 L0 {0 z- 5 �. 7800
T 8 �010 80 P0 O0 NT 10 W06 L0 {0 z0 y
Maximized OBJ= 616 �. 42 Iterat ion= 9 E lapsed CPU second= 0. 6484375
·482·
附表 3. 10. 5. 4
Summary of Results for 1 � sxw5 Page: 4
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 10 ,07 !0 P0 O0 NT 10 W09 L0 {0 z- 3 �. 6000
T 10 ,08 !0 P0 O- 9 h. 0800 T 10 W010 c+ 1 �. 0000 0 z0 y
Maximized OBJ= 616 �. 42 Iterat ion= 9 E lapsed CPU second= 0. 6484375
附表 3. 10. 6
Summary of Results for 1 � sxw6 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !0 P+ 83 �. 150 0 NT 2 @03 L+ 1 �. 0000 + 78 �. 300 0 y
T 1 �02 !+ 1 j. 0000 + 84 �. 260 0 NT 3 @01 L+ 1 �. 0000 + 88 �. 160 0 y
T 1 �03 !0 P+ 78 �. 300 0 NT 3 @02 L0 {+ 85 �. 270 - 4 �. 0000
T 2 �01 !0 P+ 83 �. 150 0 NT 3 @03 L0 {+ 80 �. 810 - 2 �. 5000
T 2 �02 !0 P+ 84 �. 260 0 N
Maximized OBJ= 250 �. 72 It erat ion = 2 Elapsed CPU second= 1. 710938
附表 3. 10. 7
Summary of Results for 1 � sxw7 Page: 1
From T o Shipment @ prft . Opp. Ct . From T o Shipment @prft. Opp. Ct .
T 1 �01 !0 P+ 76 �. 560 0 NT 3 @04 L0 {+ 80 �. 980 0 y
T 1 �02 !0 P+ 79 �. 350 0 NT 3 @05 L0 {+ 72 �. 810 0 y
T 1 �03 !+ 1 j. 0000 + 82 �. 160 0 NT 4 @01 L+ 1 �. 0000 + 77 �. 570 0 y
T 1 �04 !0 P+ 80 �. 980 0 NT 4 @02 L0 {+ 70 �. 690 - 9 �. 6700
T 1 �05 !0 P+ 72 �. 810 0 NT 4 @03 L0 {+ 81 �. 600 - 1 �. 5700
T 2 �01 !0 P+ 76 �. 560 0 NT 4 @04 L0 {+ 78 �. 210 - 3 �. 7800
T 2 �02 !0 P+ 79 �. 350 0 NT 4 @05 L0 {+ 68 �. 980 - 4 �. 8400
T 2 �03 !0 P+ 82 �. 160 0 NT 5 @01 L0 {0 z- 3 �. 7500
T 2 �04 !+ 1 j. 0000 + 80 �. 980 0 NT 5 @02 L0 {0 z- 6 �. 5400
T 2 �05 !0 P+ 72 �. 810 0 NT 5 @03 L0 {0 z- 9 �. 3500
T 3 �01 !0 P+ 76 �. 560 0 NT 5 @04 L0 {0 z- 8 �. 1700
T 3 �02 !+ 1 j. 0000 + 79 �. 350 0 NT 5 @05 L+ 1 �. 0000 0 z0 y
T 3 �03 !0 P+ 82 �. 160 0 N
Maximized OBJ= 320 �. 06 Iterat ion= 1 E lapsed CPU second= 0. 7109375
4. 结果分析讨论
根据附表 3. 10 的计算结果, 我们可以归纳得到附表 3. 11.
·582·
附表 3. 11 某设计项目各专业人员工作安排表
人员 1 �2 g3 �4 O5 �6 77 �8 �9 �10 �
采矿专业 综合素质评分合计最大值: 340 g. 36 平均: 85. 09
设计 89 �. 54 78 �. 5 82 �. 3
检审 90 9. 02
电气专业 综合素质评分合计最大值: 267 �. 29 平均: 89. 1
设计 93 P. 5 85 !. 64
检审 88 �. 15
机制专业 综合素质评分合计最大值: 253 g. 44 平均: 84. 48
设计 87 �. 34 81 !. 23
检审 84 �. 87
设备专业 综合素质评分合计最大值: 515 g. 04 平均: 85. 84
设计 83 �. 15 87 9. 42 90 �. 75 85 �. 34
检审 85 �. 74 82 !. 64
土建专业 综合素质评分合计最大值: 616 g. 42 平均: 88. 06
设计 92 �. 74 89 9. 86 90 �. 56 85 �. 53 83 e. 35
检审 82 !. 65 91 �. 73
总运专业 综合素质评分合计最大值: 250 g. 72 平均: 83. 75
设计 84 9. 26 78 �. 3
检审 88 �. 16
技经专业 综合素质评分合计最大值: 320 g. 06 平均: 80. 02
设计 79 9. 35 82 �. 16 80 !. 98
检审 77 �. 57
附表 3. 11 中空白格表示无此人或不安排该工作. 有数字格表示此人安排该工作, 其数
字就是此人从事该工作的综合素质评分. 全体 30 名参加项目人员的综合素质总分为
2563. 33分, 平均为 85. 44 分.
对以上结果分析如下:
( 1) 从上面的讨论可以看到, 应用运筹学原理, 利用计算机技术, 能够快速有效地选取
各专业合适的人员进行设计工作或检审工作, 从人员选配方面保证整个设计项目的工期和
质量.
( 2) 从各专业选派人员的综合素质平均评分来看, 电气专业和土建专业较高, 而技经专
业和总运专业较差. 这主要是因为电气专业和土建专业可选派人员较多, 选择余地较大, 而
总运专业就没有选择余地, 技经专业人员素质普遍较差. 这一方面要求在该项目实施过程
中, 要对技经专业和总运专业密切关注、及时检查指导, 保证整个项目的工期和质量. 另一方
面, 也要抓紧抓好提高技经专业人员素质的工作, 同时要优化电气专业、土建专业和总运专
·682·
业的人员结构配置.
( 3) 设计项目人员指派问题的优化的关键在于各专业设计人员从事设计或检审工作的
综合素质评价的准确性. 综合素质评价工作要定期进行, 要建立一套完整、客观、准确的综合
素质评价体系.
案例 4 某计量所投资优化、人员组合优化模型研究
1. 问题的提出
某市计量所是本地区的法定计量检定机构和社会公益性科研单位, 负责向全市各有关
企事业单位、医院、科研院所及大专院校进行量值传递和计量技术服务. 随着市场经济的发
展, 该所的市场已发生了很大的变化, 其检测能力已不适应新的形势. 因此必须提高本所对
市场需求变化的适应能力, 重视对本所检测项目的设置的分析, 以提高经济效益和社会
效益.
由于计量检测项目繁多, 各项目投资额、产出效益各不相同, 市场发展前景也不尽相同,
因此必须从单位实际出发, 充分考虑社会需求, 并兼顾社会效益, 以有限的资金投入到最大
限度满足社会需求、兼顾社会效益的项目中. 这就需要制定一个科学的投资优化组合方案.
在一个科学的投资优化组合方案实现的同时, 还需要有适当的人员去实现各个投资项目, 但
每个人对不同的项目具有不同的工作效率, 因而必须科学地分配工作.
2. 总体模型设计
该计量所依据计量法律、法规, 主要从事国家规定的强制检定目录, 即医疗卫生、贸易结
算、安全防护、环境监测四大块中 56 个项目中的 30 多个小项. 据测算, 如对 30 多个小项进
行全部投资, 将超过该计量所资金实力的数倍. 为此, 根据具体情况, 必须在有限的资金条件
下, 决定对哪些项目进行投资, 使该计量所的总效益最大. 同时, 由于每个人在各个项目的工
作效率各不相同, 而且, 只有取得相应项目检定员证书的职工才有相应项目的工作资格, 因
此, 采用 0—1 整数规划模型来解决此问题.
3. 项目投资优化组合模型( 0-1 整数规划模型)
根据该计量所及本地区经济的实际情况, 这里选取其中最重要的 15 个项目进行研究.
经过详细的市场调查、分析研究, 以及计量专家的预测, 见附表 4. 1 中的数据. 而目前, 该计
量所可使用的投资总额仅仅 20 万元. 根据附表 4. 1 和投资限制可建立一个项目投资优化组
合的模型.
将 15 种项目依次编号为: x j , j = 1, 2, ⋯, 15; 相应的项目产生的效益依次编号为: C j , j
= 1, 2, ⋯, 15; 则总投资收益可用下面的线性函数表示:
Z = ∑15
j = 1
C j ¡¤x j
其中 x j 只能取 0 或 1, 取 0 表示不投资该项目, 取 1 表示投资该项目. 由于项目 197、302、
902、910 涉及社会公益性的公正检测和仲裁检定, 必须优先建项.
·782·
附表 4. 1
项目代码 x j 投资额(万元) 可产生效益(万元) Cj
119 �x 1 �0 �. 5 1 �. 2
197 �x 2 �0 �. 9 0 �. 8
199 �x 3 �1 �. 2 3 �. 4
314 �x 4 �0 �. 8 10 �. 1
213 �x 5 �0 �. 4 0 �. 8
329 �x 6 �0 �. 1 0 �. 7
008 �x 7 �0 �. 3 1 �. 1
302 �x 8 �5 �. 5 51 �. 2
388 �x 9 �0 �. 7 3 �. 2
351 �x 10 �1 �. 0 4 �. 2
420 �x 11 �15 �. 1 3 �. 0
901 �x 12 �0 �. 8 1 �. 5
902 �x 13 �0 �. 3 4 �. 2
910 �x 14 �0 �. 4 3 �. 8
425 �x 15 �1 �. 8 4 �. 9
因此问题的数学模型为(模型 1)
maxZ = 1. 2x 1 + 0. 8x 2 + 3. 4x 3 + 10. 1x 4 + 0. 8x 5 + 0. 7x 6 + 1. 1x7 + 51. 2x 8
+ 3. 2x 9 + 4. 2x 10 + 3x 11 + 1. 5x1 2 + 4. 2x1 3 + 3. 8x 1 4 + 4. 9x 1 5 .
约束条件为:
0. 5x 1 + 0. 9x 2 + 1. 2x 3 + 0. 8x 4 + 0. 4x 5 + 0. 1x 6 + 0. 3x 7 + 5. 5x 8 +
0. 7x 9 + 1. 0x 10 + 15. 1x 1 1 + 0. 8x 1 2 + 0. 3x 13 + 0. 4x 14 + 1. 8x 15 ≤ 20,
x 2 = 1,
x 8 = 1,
x 13 = 1,
x 14 = 1,
x j = 0 或 1, j = 1, 2, ⋯, 15.
用 Q SB+软件计算其结果见附表 4. 2～附表 4. 4.
附表 4. 2
Summarized Result s for zj Page: 1 >
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 1 �. 2000001 9 � x9 + 1 H. 0000000 - 3 �. 2000000
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 10 � x 10 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
3 k x 3 + 1 �. 0000000 - 3 �. 4000001 11 � x 11 0 �- 3 �. 0000000
4 k x 4 + 1 �. 0000000 - 10 �. 100000 12 � x 12 + 1 H. 0000000 - 1 �. 5000000
5 k x 5 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 13 � x 13 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
6 k x 6 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 14 � x 14 + 1 H. 0000000 - 3 �. 8000000
7 k x 7 + 1 �. 0000000 - 1 �. 1000000 15 � x 15 + 1 H. 0000000 - 4 �. 9000001
8 k x 8 + 1 �. 0000000 - 51 �. 200001
Minimized OBJ= - 91. 1 Iteration = 3 Elapsed CPU second= 0. 109375 Branch select ion: Newest
pr oblem Integer tolerance: 01 Max. # node: 2
·882·
4. 结果分析
由附表 4. 2 可知, x 11 = 0, 即项目 420 不投资, 其余项目都能投资, 并产生最大效益 91. 1
万元, 而且结果是惟一的. 资金有余额, 可作另外考虑或结转下一年.
附表 4. 3
Summarized Result s for zj-001 ! Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 1 �. 2000001 9 � x9 + 1 H. 0000000 - 3 �. 2000000
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 10 � x 10 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
3 k x 3 + 1 �. 0000000 - 3 �. 4000001 11 � x 11 0 �- 3 �. 0000000
4 k x 4 + 1 �. 0000000 - 10 �. 100000 12 � x 12 + 1 H. 0000000 - 1 �. 5000000
5 k x 5 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 13 � x 13 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
6 k x 6 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 14 � x 14 + 1 H. 0000000 - 3 �. 8000000
7 k x 7 + 1 �. 0000000 - 1 �. 1000000 15 � x 15 + 1 H. 0000000 - 4 �. 9000001
8 k x 8 + 1 �. 0000000 - 51 �. 200001
Minimized OBJ = - 91 0. 1 It eration = 33 Elapsed CPU second = 0. 6601563 Branch selection:
Newes t pr oblem Integer tolerance: . 01 Max. # node: 6
附表 4. 4
Summ ar ized Result s for zj-001 �-1 Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 1 �. 2000001 9 � x9 + 1 H. 0000000 - 3 �. 2000000
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 10 � x 10 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
3 k x 3 + 1 �. 0000000 - 3 �. 4000001 11 � x 11 + 1 H. 0000000 - 3 �. 0000000
4 k x 4 + 1 �. 0000000 - 10 �. 100000 12 � x 12 + 1 H. 0000000 - 1 �. 5000000
5 k x 5 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 13 � x 13 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
6 k x 6 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 14 � x 14 + 1 H. 0000000 - 3 �. 8000000
7 k x 7 + 1 �. 0000000 - 1 �. 1000000 15 � x 15 + 1 H. 0000000 - 4 �. 9000001
8 k x 8 + 1 �. 0000000 - 51 �. 200001
Minimized OBJ= - 94 �. 1 Iterat ion = 1 Elapsed CPU second= 0 Br anch select ion: Newest problem
Int eger t olerance: . 01 Max. # node: 6
这是由于项目 420 需要投资额 15. 1 万元, 而产生的效益仅有 3. 0 万元. 由于投入产出
比太低的原因, 即使总投资额增加为 27. 0 万元, 该投资模型求解的结果仍然不变. 见附表
·982·
4. 3. 只有当投资总额达到 30. 0 万元( 实际分析为 29. 8 万元) 时, 才会对其进行投资( 此时所
有项目都入选) . 其结果如附表 4. 4, 但最大效益仅 94. 1 万元. 显然, 增加投资额近 10 万元,
仅有 3 万元的增加收入, 很不经济. 仅当有充裕的资金来源时, 才能考虑.
随着国家机构改革的进行, 该计量所不久将与省计量所合并, 因而, 其业务量将有较大
的增长幅度, 其投资方案将有何变化?
经过分析, 合并后的各个项目投资额不变, 各项投资效益见附表 4. 5.
附表 4. 5
项目代码 x j 投资额( 万元) 可产生效益( 万元) Cj
119 O0 f. 5 2 �. 0
197 O0 f. 9 0 �. 8
199 O1 f. 2 3 �. 4
314 O0 f. 8 40 �. 0
213 O0 f. 4 2 �. 1
329 O0 f. 1 2 �. 5
008 O0 f. 3 1 �. 3
302 O5 f. 5 51 �. 2
388 O0 f. 7 8 �. 1
351 O1 f. 0 9 �. 1
420 O15 f. 1 12 �. 0
901 O0 f. 8 8 �. 0
902 O0 f. 3 4 �. 2
910 O0 f. 4 3 �. 8
425 O1 f. 8 4 �. 9
该问题的数学模型为(模型 2)
max Z = 2. 0x 1 + 0. 8x2 + 3. 4x 3 + 40. 0x 4 + 2. 1x 5 + 2. 5x 6 + 1. 3x 7 + 51. 2x 8
+ 8. 1x 9 + 9. 1x 10 + 12. 0x 11 + 8. 0x1 2 + 4. 2x1 3 + 3. 8x 1 4 + 4. 9x 1 5 .
约束条件为:
0. 5x 1 + 0. 9x2 + 1. 2x 3 + 0. 8x 4 + 0. 4x 5 + 0. 1x 6 + 0. 3x 7 + 5. 5x 8
+ 0. 7x 9 + 1. 0x 1 0 + 15. 1x 11 + 0. 8x 12 + 0. 3x1 3 + 0. 4x 1 4 + 1. 8x 1 5 ≤ 20,
x 2 = 1,
x 8 = 1,
x 1 3 = 1,
x 1 4 = 1,
x j = 0 或 1, j = 1, 2, ⋯, 15.
其计算结果见附表 4. 6.
由附表 4. 6 可知, x 11 = 0, 即项目 420 不投资, 其余项目都能投资, 并产生最大效益
141. 4万元, 而且结果是惟一的. 和前面一样, 资金有余额, 可作另外考虑或结转下一年.
·092·
附表 4. 6
Summarized Results for zj1 � Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 2 �. 0000000 9 � x9 + 1 H. 0000000 - 8 �. 1000004
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 10 � x 10 + 1 H. 0000000 - 9 �. 1000004
3 k x 3 + 1 �. 0000000 - 3 �. 4000001 11 � x 11 0 �- 12 /. 000000
4 k x 4 + 1 �. 0000000 - 40 �. 000000 12 � x 12 + 1 H. 0000000 - 8 �. 0000000
5 k x 5 + 1 �. 0000000 - 2 �. 0999999 13 � x 13 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
6 k x 6 + 1 �. 0000000 - 2 �. 5000000 14 � x 14 + 1 H. 0000000 - 3 �. 8000000
7 k x 7 + 1 �. 0000000 - 1 �. 3000000 15 � x 15 + 1 H. 0000000 - 4 �. 9000001
8 k x 8 + 1 �. 0000000 - 51 �. 200001
Minimized OBJ= - 141 2. 4 It er at ion= 3 Elapsed CPU second= 5. 078125E - 02 Br anch selection:
Newes t pr oblem Int eger t oler ance: . 01 Max. # node: 2
同样, 这是由于项目 420 需要投资额 15. 1 万元, 而产生的效益仅有 12 万元. 投入产出
比太低的原因, 当总投资额增加为 27 万元, x 3 = 0, x 15 = 0, 即项目 199, 425 不投资, 总效益为
145. 1 万元. 仅有 3. 7 万元的效益增加, 不经济, 一般不予考虑. 其结果如附表 4. 7 所示.
附表 4. 7
Summarized Results for zj2 � Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 2 �. 0000000 9 � x9 + 1 H. 0000000 - 8 �. 1000004
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 10 � x 10 + 1 H. 0000000 - 9 �. 1000004
3 k x 3 0 �- 3 �. 4000001 11 � x 11 + 1 H. 0000000 - 12 /. 000000
4 k x 4 + 1 �. 0000000 - 40 �. 000000 12 � x 12 + 1 H. 0000000 - 8 �. 0000000
5 k x 5 + 1 �. 0000000 - 2 �. 0999999 13 � x 13 + 1 H. 0000000 - 4 �. 1999998
6 k x 6 + 1 �. 0000000 - 2 �. 5000000 14 � x 14 + 1 H. 0000000 - 3 �. 8000000
7 k x 7 + 1 �. 0000000 - 1 �. 3000000 15 � x 15 0 �- 4 �. 9000001
8 k x 8 + 1 �. 0000000 - 51 �. 200001
Minimized OBJ = - 145 T. 1 Iteration = 51 Elapsed CPU second = 0. 9882813 Branch selection:
Newes t pr oblem Integer tolerance: . 01 Max. # node: 9
5. 人员配备模型( 0-1 整数规划)
当投资项目确定后, 该计量所剩下的任务就是人员的配备. 由于计量单位的职工必须具
有相应项目的检定证书才能从事相应项目的检定工作, 而且, 他们的检定工作效率也各不相
同. 这就产生了人员配备模型.
根据该计量所的专业技术委员会评定、打分, 具有相应项目的检定证书的职工从事相应
项目的检定工作的工作效率( ci) 见附表 4. 8.
·192·
附表 4. 8
项目职工
119 �197 �199 �314 �213 g329 O008 7302 �388 �351 �420 �901 �902 �910 �425 w
1 �0 k. 8 0 S. 7
2 �0 k. 2 0 S. 9 0 ;. 2
3 �0 k. 2 0 ;. 9
4 �0 k. 5 0 S. 2
5 �0 k. 7
6 �0 #. 9
7 �0 �. 9 0 �. 9
8 �0 �. 5 0 �. 8
9 �0 #. 5 0 �. 8 0 �. 7 0 �. 9
10 �0 �. 5
11 �0 �. 9
12 �0 �. 9
13 �0 �. 5
14 �0 �. 8 0 �. 4
15 �0 �. 9
16 �0 #. 4 0 �. 5 0 �. 5 0 �. 9 0 3. 7
17 �0 �. 8 0 �. 9 0 c. 7 0 �. 2
18 �0 {. 9 0 K. 5
19 �0 �. 8 0 3. 8 0 �. 9
20 �0 �. 6 0 {. 7 0 c. 7 0 K. 6
21 �0 {. 7 0 c. 8 0 K. 7
根据计量法律法规, 每个项目至少应该有两名具有相应项目的检定证书的职工进行检
定. 同时, 该计量所又规定, 每个职工最多从事两个项目的检定工作. 这样, 我们就可以建立
一个 0-1 整数规划的人员配备模型了.
设检定人员从事各检定项目的效率为 ci, 空白处为 ci= 0, 即无该项目的检定证书不能
从事该项目工作. 并引入变量 x i 对应于附表 4. 8 中的每一个单元格, 即职工 1 所对应的变
量有 x 1～x 1 5 , 职工 2 所对应的变量为 x 16～x 30 , 如此类推( i= 1, 2, ⋯, 315) . 当 x i= 0 时, 表示
某人不从事某项目的检定工作, x i= 1 时, 表示某人从事某项目的检定工作.
建立该问题的数学模型如下: ( 模型 3)
maxZ = ∑31 5
i= 1
ci ¡¤x i
约束方程:
·292·
每人最多两项:
x 1 + x2 ≤ 2
x 1 6 + x 17 + x 18 ≤ 2
x 3 1 + x 33 ≤ 2
x 4 6 + x 47 ≤ 2
x 6 1 ≤ 2
x 7 9 ≤ 2
x 9 5 + x 96 ≤ 2
x 1 11 + x 11 2 ≤ 2
x 1 24 + x 12 5 + x 126 + x1 27 ≤ 2
x 1 41 ≤ 2
x 1 58 ≤ 2
x 1 75 ≤ 2
x 1 88 ≤ 2
x 2 03 + x 20 5 ≤ 2
x 2 19 ≤ 2
x 2 29 + x 23 0 + x 231 + x2 34 + x 23 9 ≤ 2
x 2 48 + x 24 9 + x 252 + x2 55 ≤ 2
x 2 66 + x 26 8 ≤ 2
x 2 79 + x 28 4 + x 285 ≤ 2
x 2 94 + x 29 6 + x 297 + x2 98 ≤ 2
x 3 11 + x 31 2 + x 313 ≤ 2
每项至少两人:
x 1 + x1 6 + x 31 + x 4 6 + x 61 ≥ 2
x 2 + x1 7 + x 47 ≥ 2
x 1 8 + x 33 ≥ 2
x 7 9 + x 124 + x2 29 ≥ 2
x 9 5 + x 125 + x2 30 ≥ 2
x 9 6 + x 111 + x1 26 + x 14 1 + x 211 ≥ 2
x 1 12 + x 12 7 ≥ 2
x 1 58 + x 18 8 + x 203 + x2 48 ≥ 2
x 2 19 + x 23 4 + x 249 + x2 79 + x 29 4 ≥ 2
x 1 75 + x 20 5 ≥ 2
x 2 66 + x 29 6 + x 311 ≥ 2
x 2 52 + x 29 7 + x 312 ≥ 2
x 2 68 + x 29 8 + x 313 ≥ 2
x 2 39 + x 28 4 ≥ 2
x 2 55 + x 28 5 ≥ 2
·392·
x i = 0 或 1, i= 0, 1, ⋯, 315.
附表 4. 9
Summarized Result s for zj-002 � Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 25 � x 205 + 1 H. 0000000 - 0 �. 40000001
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 26 � x 211 0 �0 q
3 ^ x16 0 �- 0 �. 20000000 27 � x 219 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
4 ^ x17 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 28 � x 229 + 1 H. 0000000 - 0 �. 40000001
5 ^ x18 + 1 �. 0000000 - 0 �. 20000000 29 � x 230 0 �- 0 �. 50000000
6 ^ x31 + 1 �. 0000000 - 0 �. 20000000 30 � x 231 0 �- 0 �. 50000000
7 ^ x33 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 31 � x 234 0 �- 0 �. 89999998
8 ^ x46 + 1 �. 0000000 - 0 �. 50000000 32 � x 239 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
9 ^ x47 + 1 �. 0000000 - 0 �. 20000000 33 � x 248 0 �- 0 �. 80000001
10 u x61 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 34 � x 249 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
11 u x79 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 35 � x 252 0 �- 0 �. 69999999
12 u x95 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 36 � x 255 + 1 H. 0000000 - 0 �. 20000000
13 u x96 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 37 � x 266 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
14 g x111 + 1 �. 0000000 - 0 �. 50000000 38 � x 268 + 1 H. 0000000 - 0 �. 50000000
15 g x112 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 39 � x 279 0 �- 0 �. 80000001
16 g x124 0 �- 0 �. 50000000 40 � x 284 + 1 H. 0000000 - 0 �. 80000001
17 g x125 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 41 � x 285 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
18 g x126 0 �- 0 �. 69999999 42 � x 294 0 �- 0 �. 60000002
19 g x127 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 43 � x 296 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
20 g x141 + 1 �. 0000000 - 0 �. 50000000 44 � x 297 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
21 g x158 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 45 � x 298 0 �- 0 �. 60000002
22 g x175 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 46 � x 311 0 �- 0 �. 69999999
23 g x188 + 1 �. 0000000 - 0 �. 50000000 47 � x 312 + 1 H. 0000000 - 0 �. 80000001
24 g x203 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 48 � x 313 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
Minimized OBJ= - 23. 9 Iteration = 1 Elapsed CPU second= 1. 648438 Branch select ion: Newest
pr oblem Integer tolerance: . 01 Max. # node: 6
用 Q SB+软件求解上述模型, 结果如附表 4. 9 所示. 分析附表 4. 9 可知:
职工 1 参与项目 119、197, �职工 2 参与项目 197、199,
职工 3 参与项目 119、199, 职工 4 参与项目 119、197,
职工 5 参与项目 119, 职工 6 参与项目 314,
职工 7 参与项目 213、329, 职工 8 参与项目 329、008,
职工 9 参与项目 213、008, 职工 10 参与项目 329,
职工 11 参与项目 302, 职工 12 参与项目 351,
职工 13 参与项目 302, 职工 14 参与项目 302、351,
职工 15 参与项目 388, 职工 16 参与项目 314、910,
职工 17 参与项目 388、425, 职工 18 参与项目 266、268,
·492·
职工 19 参与项目 910、425, 职工 20 参与项目 420、901,
职工 21 参与项目 901、902.
即只要持有检定员证书的职工, 就能参与某项目的检定工作, 造成工作的惰性, 竞争性
不强. 为了提高工作效率, 可以通过提高职工间的竞争性来达到目的. 这可通过改变约束条
件, 也就是说, 每个项目只允许两名检定人员检定. 模型修改为模型 4.
约束方程为: 每人最多两项:
x 1 + x2 ≤ 2
x 1 6 + x 17 + x 18 ≤ 2
x 3 1 + x 33 ≤ 2
x 4 6 + x 47 ≤ 2
x 6 1 ≤ 2
x 7 9 ≤ 2
x 9 5 + x 96 ≤ 2
x 1 11 + x 11 2 ≤ 2
x 1 24 + x 12 5 + x 126 + x1 27 ≤ 2
x 1 41 ≤ 2
x 1 58 ≤ 2
x 1 75 ≤ 2
x 1 88 ≤ 2
x 2 03 + x 20 5 ≤ 2
x 2 19 ≤ 2
x 2 29 + x 23 0 + x 231 + x2 34 + x 23 9 ≤ 2
x 2 48 + x 24 9 + x 252 + x2 55 ≤ 2
x 2 66 + x 26 8 ≤ 2
x 2 79 + x 28 4 + x 285 ≤ 2
x 2 94 + x 29 6 + x 297 + x2 98 ≤ 2
x 3 11 + x 31 2 + x 313 ≤ 2
每项只能两人:
x 1 + x1 6 + x 31 + x 4 6 + x 61 = 2
x 2 + x1 7 + x 47 = 2
x 1 8 + x 33 = 2
x 7 9 + x 124 + x2 29 = 2
x 9 5 + x 125 + x2 30 = 2
x 9 6 + x 111 + x1 26 + x 14 1 + x 211 = 2
x 1 12 + x 12 7 = 2
x 1 58 + x 18 8 + x 203 + x2 48 = 2
x 2 19 + x 23 4 + x 249 + x2 79 + x 29 4 = 2
x 1 75 + x 20 5 = 2
·592·
x 26 6 + x 296 + x 311 = 2
x 25 2 + x 297 + x 312 = 2
x 26 8 + x 298 + x 313 = 2
x 23 9 + x 284 = 2
x 25 5 + x 285 = 2
x i = 0, 1, i= 0, 1, ⋯, 315.
解上述模型, 有附表 4. 10. 即:
附表 4. 10
Summarized Result s for zj-003 ! Page: 1
Var iables
No. NamesSolut ion
Obj. Fnctn.
Coefficient
Variables
No. Nam esSolut ion
Obj. Fnct n.
Coefficient
1 k x 1 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 25 � x 205 + 1 H. 0000000 - 0 �. 40000001
2 k x 2 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 26 � x 211 0 �0 q
3 ^ x16 0 �- 0 �. 20000000 27 � x 219 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
4 ^ x17 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 28 � x 229 + 1 H. 0000000 - 0 �. 40000001
5 ^ x18 + 1 �. 0000000 - 0 �. 20000000 29 � x 230 0 �- 0 �. 50000000
6 ^ x31 0 �- 0 �. 20000000 30 � x 231 0 �- 0 �. 50000000
7 ^ x33 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 31 � x 234 0 �- 0 �. 89999998
8 ^ x46 0 �- 0 �. 50000000 32 � x 239 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
9 ^ x47 0 �- 0 �. 20000000 33 � x 248 0 �- 0 �. 80000001
10 u x61 + 1 �. 0000000 - 0 �. 69999999 34 � x 249 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
11 u x79 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 35 � x 252 0 �- 0 �. 69999999
12 u x95 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 36 � x 255 + 1 H. 0000000 - 0 �. 20000000
13 u x96 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 37 � x 266 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
14 g x111 + 1 �. 0000000 - 0 �. 50000000 38 � x 268 + 1 H. 0000000 - 0 �. 50000000
15 g x112 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 39 � x 279 0 �- 0 �. 80000001
16 g x124 0 �- 0 �. 50000000 40 � x 284 + 1 H. 0000000 - 0 �. 80000001
17 g x125 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 41 � x 285 + 1 H. 0000000 - 0 �. 89999998
18 g x126 0 �- 0 �. 69999999 42 � x 294 0 �- 0 �. 60000002
19 g x127 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 43 � x 296 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
20 g x141 0 �- 0 �. 50000000 44 � x 297 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
21 g x158 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 45 � x 298 0 �- 0 �. 60000002
22 g x175 + 1 �. 0000000 - 0 �. 89999998 46 � x 311 0 �- 0 �. 69999999
23 g x188 0 �- 0 �. 50000000 47 � x 312 + 1 H. 0000000 - 0 �. 80000001
24 g x203 + 1 �. 0000000 - 0 �. 80000001 48 � x 313 + 1 H. 0000000 - 0 �. 69999999
Minimized OBJ = - 22 � It erat ion = 1 Elapsed CPU second = 0. 9804688 Br anch selection: Newest
pr oblem Integer tolerance: . 01 Max. # node: 0
·692·
职工 1 参与项目 119、197, �职工 2 参与项目 197、199,
职工 3 参与项目 199, 职工 4 无参与项目,
职工 5 参与项目 119, 职工 6 参与项目 314,
职工 7 参与项目 213、329, 职工 8 参与项目 329、008,
职工 9 参与项目 213、008, 职工 10 无参与项目,
职工 11 参与项目 302, 职工 12 参与项目 351,
职工 13 无参与项目, 职工 14 参与项目 302、351,
职工 15 参与项目 388, 职工 16 参与项目 314、910,
职工 17 参与项目 388、425, 职工 18 参与项目 266、268,
职工 19 参与项目 910、425, 职工 20 参与项目 420、901,
职工 21 参与项目 901、902.
很明显, 加强竞争后, 职工 4、10、13 由于其持有检定员证书的项目工作效率较低, 没有
竞争力, 而无项目参与, 只有下岗. 上岗的办法是, 提高所在项目的工作效率, 或取得其他项
目的检定员证书并有较高的工作效率.
6. 结论
从实际情况看, 该计量所目前的产值约 70 万元左右, 与模型 1 理论值 94. 1 万元相比,
有相当差距. 将其开展的项目与理论项目对比, 主要原因在于投资了 x 11即 420 项目, 从而导
致该投资的项目不能实现投资. 另外, 人员配备上, 模型 3 的理论值与实际值基本相同. 但通
过仔细分析可以知道, 这实际上是效率低的表现, 是没有竞争的结果. 较佳的人员配备方案
应该是模型 4.
案例 5 运输路线的最优化问题
1. 问题的提出
A 公司是隶属中国外运集团的专业化、综合性国际货运企业. 在上海、深圳、广州等地设
有分公司, 拥有铁路专用线、外贸专用码头、汽车运输车队、储运仓库等设备和设施. 依托集
团遍布全球的业务网络, 为江西外贸企业组织承办各类进出口货物运输.
由于江西特殊的地理位置, 江西的外贸货物出口运输通常由汽车、火车、驳船运至上海、
深圳、广州等沿海港口, 再换装海轮运输出口. 在实际工作中, 如何在满足顾客服务需求的前
提下, 选择最优运输路线, 是公司决策者们所要解决的问题.
根据实际情况, 江西外贸货物出口运输路线可以按时间或空间顺序分解成几个相互联
系的阶段. 我们在每段决策时不仅要考虑本阶段最优, 还应考虑对最终目标的影响, 从而做
出对全局来讲是最优的决策.
2. 资料及分析
江西中华罐头食品有限责任公司每批次有 3 个 20 英尺集装箱货量的罐头运出至台湾
基隆. 由于历史的原因, 海峡两岸尚未实现三通, 此货物须经第三国或地区( 通常为新加坡、
·792·
香港)转运到台湾. A 公司可为其组织的运输路线如附图 5. 1 所示:
附图 5. 1 运输路线示意图
通常为了获得经济利益最大化, 需要选择出运输费用最低的路线作为最优运输路线. 根
据目前实际运价水平制成与附图 5. 1 对应的运输网络附图 5. 2.
附图 5. 2 罐头运输网络图
图中数字代表各地间运费(单位: 千元/ 吨) . 驳船运输仅限运至上海, 故 A2—B 2 , A2—B 3
间运费取相对较大值 100 表示为不可行.
3. 建模与求解
该问题属多阶段决策问题.
整个过程共划分四个阶段, Q—A ( 工厂—外运公司) , A—B ( 外运公司—沿海港口 ) ,
B—C( 沿海港口—转运港) , C—D (转运港—目的港) .
即 n= 4, k= 1, 2, 3, 4.
设状态变量: sk 为第 k 阶段货物所处的位置.
s1 = {Q} s2 = {A1 , A2 , A3 }
s3 = {B 1 , B2 , B3 } s4 = {C1 , C2 }, s5 = {T }
决策变量: d k ( sk )为第 k 阶段处于状态 sk 时拟将货物发运到达下站的位置.
状态转移方程: sk+ 1 = T k ( sk , d k ) = d k 反映 sk , d k 确定后, sk+ 1也随之确定.
指标函数: vk ( sk , d k ( sk ) ) 表示从 sk 出发, 采用决策 d k ( sk ) 的运输费用.
最优指标函数: f k ( sk ) 表示从 sk 出发点至终点 T 按最优运输线路运输时的最低运费.
建立逆向递归的函数方程为:
·892·
f k ( sk ) = min {vk ( sk , d k( sk ) ) + f k+ 1 ( d k+ 1 ) }
dk ( sk ) ∈ D k ( sk ) k = 4, 3, 2, 1
f 5 ( s5 ) = 0
特别指出的是, 影响市场运价水平的因素较多, 各地间运费并非与距离呈线性关系, 因
而此动态规划模型中的状态变量与决策变量均只能取离散值, 对基本方程的求解采用分段
穷举法.
用 Q SB+软件求解上述模型的结果如下:
T he Final Shortest Routes for WH F1 �
St age( 阶段) A rc Decision(决策) Dis tance t o Des tinat ion ( 最小费用)
1 �1 %-2 25 ". 2
2 �2 %-6 23 ". 4
3 �6 %-9 17 ". 2
4 �9 �-10 11 ". 0
Elapsed CP U second= 0 �
由以上结果可知, 为使总运输费用最低的运输路线, 即最优运输路线为 Q—A1—B 2—
C2—T , 也就是应该由汽车将工厂货物运至外运铁路专用线, 用火车发运至深圳, 再由船运
经香港转运至台湾. 此时总运费为 2. 52(万元) .
4. 分析与讨论
( 1) 对公司近年组织中华公司罐头出口运输资料进行成本核算, 可知采用上述规划所
确定的运输路线所发生的运费成本的确最低.
( 2) 此决策结果对于像罐头、设备等重量货物的运输一般同样有效, 但对服装、茶叶等
轻泡货物则不一定适用. 这是因为运费计价单位一般是重量吨, 同样是 3 个 20 英尺集装箱
货量, 轻泡货物的汽车运输费用要远低于重量货物. 决策变量如汽车运费、铁路运费、海运费
等大幅变化极可能会影响最优决策方案.
如同样出口货量为 3 个 20 英尺集装箱服装至台湾, 江西中昌服装有限公司的货物运输
网络如附图 5. 3 所示.
附图 5. 3 服装运输网络图
图中弧上数字表示各地间运费(单位: 千元/ 吨)
·992·
用 Q SB+软件求解得结果如下:
T he Final Shortest Routes for WH F2 �
Stage Arc Decis ion Dis tance t o Des tinat ion1 �1 %-3 23 ". 3
2 �3 %-6 22 ". 6
3 �6 %-9 17 ". 2
4 �9 �-10 11 ". 0
Elapsed CP U second= 0 �
由上述结果可知运输费用最低的运输路线为 Q—A2—B2—C2—T , 即先由汽车运至广
州, 再船运香港转运至台湾. 此时总运费最低为 2. 33 万元.
( 3) 通常, 外商根据市场需求限定发货人的交货期限, 否则拒收货物或进行索赔. 有时,
在时间非常紧的情况下, 发货人则要求尽快运输. 此时, 最优运输路线不再是运费最低路线,
而是时间最短路线. 以上述货物运输为例, 其运输网络如附图 5. 4 所示.
附图 5. 4
附图 5. 4 中数字代表各地间的运输时间.
通过 Q SB+ 软件求解结果如下:
T he Final Shortest Routes for WH F3 �
Stage Arc Decis ion Dis tance t o Des tinat ion
1 �1 i-3 7 �
2 �3 i-5 6 �
3 �5 i-8 4 �
4 �8 N-10 2 �
Elapsed CP U second= 0 �
由以上结果可知运输时间最短的路线为:
Q—A2—B 1—C1—T . 即由汽车运至上海, 再船运输新加坡, 转运至台湾. 此时总运输时
间最短为 7 天.
( 4) 在实际工作中, 动态规划法并非能找出一切能满足不同需求的最优运输路线. 比
如, 一些特殊货物, 如危险品、易碎、易损物品, 则对运输方式的安全性有特殊要求, 其最优运
输路线的选择往往是尽量采用船运方式. 再如客户有可能提出运输成本、运输时间的限制性
·003·
约束条件等, 这都给问题的解决增加了复杂性和难度. 这时, 我们应该具体问题具体分析, 从
全局着眼, 灵活地运用运筹学知识, 在经营活动中, 努力挖掘企业潜力, 争取经济决策最优
化、企业经济效益最大化.
( 5) 随着世界经济一体化以及中国加入 WT O, 国际运输业市场竞争将日趋激烈, 现代
物流取代传统的运输方式势在必行, 对企业的管理、决策水平提出了更高的要求. 运筹学作
为管理科学的重要组成部分, 以其科学性和实践性为我们进行最优化决策提供了定量分析
的依据和手段, 必将显现出越来越重要的作用.
·103·
参 考 文 献
[ 1] �程理民 , 吴江 , 张玉林编著 . 运筹学模型与方法教程 . 北京: 清华大学出版社 , 2000
[ 2] 程理民 , 张亚光主编 . 运筹学 . 北京: 科学技术文献出版社 , 1998
[ 3] 运筹学教材编写组编. 运筹学 . 北京: 清华大学出版社 , 1990
[ 4] 胡运权主编 . 运筹学习题集 . 北京: 清华大学出版社 , 1995
[ 5] 蓝伯雄 , 程佳惠 , 陈秉正编著 . 管理数学( 下) ——运筹学 . 北京: 清华大学出版社, 1997
[ 6] 陈仪坤主编 . 运筹学 . 上海: 同济大学出版社 , 1997
[ 7] 腾传琳主编 . 管理运筹学 . 北京: 中国铁道出版社 , 1986
[ 8] 魏国华 , 傅家良 , 同仲良编著 . 实用运筹学 . 上海: 复旦大学出版社 , 1987
[ 9] 李向东主编 . 运筹学-管理科学基础 . 北京: 北京理工大学出版社 , 1990
[ 10] �胡运权 . 运筹学基础及应用 . 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社 , 1990
[ 11] 官世遷等编 . 运筹学习题集 , 上海: 同济大学出版社 , 1984
[ 12] 胡家骥主编 . 运筹学 . 武汉: 中南工业大学出版社 , 1987
[ 13] C. F 帕尔默和 A. E 莫尼斯合著 . 运筹学例题习题集 . 北京: 机械工业出版社 , 1987
[ 14] 罗明安主编 . 运筹学 . 北京: 经济管理出版社 , 1998
[ 15] 周志诚 , 林同曾主编 . 运筹学教程 . 上海: 立信会计图书用品社 , 1988
[ 16] 吴立煦 , 朱幼文译 . 运筹学 . 上海: 上海人民出版社 , 1985
[ 17] 杜端甫编 . 运筹学图论 . 北京: 北京航空航天大学出版社 , 1989
·203·
