電流と磁界

磁気• 磁石：鉄などを引きつける力（磁力）を持つ

• 地球も大きな磁石（磁気双極子）：地磁気を発生

磁力線 N極→S極

磁力線の束＝磁束 (単位: ウェーバー[Wb])単位面積あたりの磁束＝磁束密度（磁場）B （単位 テスラ[T]=[Wb/m2]）磁界 H=Ｂ/μ0 （真空中）単位[A/m] μ0:真空の透磁率

磁石

Ｎ極 Ｓ極

地磁気の大きさ～45000nT（東京付近）

電流

連続の方程式

tj

vj

enSvI

三次元では、

両辺をＳで割ると、

𝐼: 電流[C/s]𝑒: 電気素量[C]𝑛: 電子密度[1/m3]𝑆: 断面積[1/m2]𝑣: 電子の平均速度[m/s]

𝑗 = 𝐼/𝑆 [ 𝐶 𝑚2 ∙ 𝑠]: 電流密度𝜌 = 𝑒𝑛 𝐶 𝑚3 : 電荷密度

電流とは、荷電粒子（自由電子など）の流れである。

電場E

導体陽イオン

電子

eEkv

電子は電場から力eEを、陽イオンなどから抵抗力kvを受け、平均の速さvで運動している。

v

長さ x = vt

断面積 S

v

電子導体

電荷と電流

電荷（密度）↔電場Ｅ（電束密度Ｄ）電流（密度）↔磁界Ｈ（磁束密度Ｂ）

定常状態

ˆ2

),(

ˆ4

1,

0

2

00

r

IHjHjB

rr

QEDE

0

0

B

E

電場の渦はない磁場の湧き出しはない

Ｑ

E

磁束保存の式𝜵 ∙ 𝑩 = 0

磁場の「湧き出し」（磁気単極子＝モノポール）は存在しない

𝐸 𝐵

磁束保存の理由

0 ∞ ∞0Ψ４Ψ3

球面を無限遠点に縮めることはできない→磁気単極子（モノポール）が存在しない

電場＝ψ３ 磁場＝ψ４

球面を１点（原点）に縮める→点電荷

アンペールの法則（定常状態）

定常状態においては電流の周りに磁場の渦ができる

B

j0

r

IBH

r

IB

IldBSdBCS

22 0

0

0

または、

積分形

Ｉ：積分領域Ｓを貫く総電流（Ａ）

H: 磁界 単位：[A/m]

電流I

紙面の裏から表

磁界H反時計回り

r

IH

2

電流I

紙面の表から裏磁界H時計回り

r r

電流I 電流I

磁界磁界

上から下

紙面の表から裏紙面の裏から表

紙面の裏から表

下から上

直線電流と磁界

電流

磁界

O

地平面上の点Oを通る大きさI[A]の直線電流が鉛直上向きに流れている。以下の地点における磁界の強さHと向きをそれぞれ求めよ。（１）I = 3.14A, Oから東に1.0m離れた地点 → H =（ ）A/m, 向き（ ）（２）I = 6.28A、Oから北に0.50m離れた地点 → H =（ ）A/m、向き（ ）（３）I = 5.0A, Oから西に2.5ｍ離れた地点 → H =（ ）A/m、向き（ ）（４）I = 2.4A, Oから南に0.48m離れた地点 → H =（ ）A/m、向き（ ）

電流I

磁界H磁界

H（中心）=I/2r

円形電流↔中心に磁界

円形電流がつくる磁界円形電流があると、その中心に短い棒磁石があるのと同じような磁界が発生する。地磁気と同様、磁気双極子による磁界である。半径r[m]の１回巻き円形コイルに右ねじを回す向きにI[A]の電流を流したとき、円の中心にできる磁界の向きは右ねじを進める向きであり、強さH[A/m]は

H =I

2rN回巻きコイルの場合の磁界の強さは

H =NI

2rとなる。

問：水平面に置かれた半径0.10mの１回巻き円形コイルに反時計回りに2.0Aの電流を流した。このとき、円の中心にできる磁界の向きは（鉛直上・鉛直下 ）向きであり、大きさは（ ）A/mである。

ソレノイドがつくる磁界

電流I磁界H

H=nI（nは単位長さあたりの巻き数）

ソレノイド

導線を円筒状に巻いたコイルをソレノイドという。密に巻いた十分長いソレノイドの内部の磁界は、場所によらず強さも向きも一定である（一様な磁界）。ソレノイドを流れる電流をI[A]、１ｍあたりの巻数を n[回/m]としたとき、ソレノイド中の磁界の強さH[A/m]は、

H=nI

電流の向きを、右ねじを巻く向きとすると、磁界の向きは右ねじを進める向きである。

問） 巻き数200、全長0.20mの細長いソレノイドに3.0Aの電流を流した。このときソレノイドの内部の磁界の強さを求めよ。

一様磁場中の電流（電荷）にはたらく力

)( 0

HI

BIF

Bvqf

ローレンツ力

フレミング左手の法則

真空中

電流I磁場B

力F

速度v

磁場B

力f

荷電粒子電気量q

𝑣 × 𝐵 = 𝑣𝑦𝐵𝑧 − 𝑣𝑧𝐵𝑦, 𝑣𝑧𝐵𝑥 − 𝑣𝑥𝐵𝑧, 𝑣𝑥𝐵𝑦 − 𝑣𝑦𝐵𝑥

電流が磁界から受ける力

強さE [N/C]の電場の中に置かれた電荷q [C]は電場からF = qE [N]の力を受ける。同様に、磁界中に置かれた電流は磁界から力を受ける。真空中における磁束密度B[T] の磁界と垂直に置かれた長さl [m]の導

線に電流I [A]を流したとき、導線が受ける力F [N]は、F = ( )

と表される。左手の中指を人差し指に対して90度折り曲げ、親指を立てたときに、電流の方向を中指の方向、磁界の方向を人差し指の方向とすると、力の向きは親指の方向である。これをフレミング左手の法則という。

FをBの代わりに磁界H[A/m]を用いて表すと、B＝ μ0Hより、F＝ ( )

μ0は真空の透磁率=4π×10-7[N/A2]。

問） 鉛直上向きで強さ10A/mの磁界中において、長さ0.20mの導線を真空中に置き、南から北の方向に4.0Aの電流を流した。導線が磁界から受ける力の向きと大きさを求めよ。透磁率は真空の透磁率 （μ0=4π×10

-7N/A2）を用いること。円周率は3.14とし、有効数字2桁で求めよ。

ローレンツ力

電流を荷電粒子（キャリア）の運動と考えると、磁界中の荷電粒子は磁界から力を受けると考えられる。この力のことを、ローレンツ力という。荷電粒子の電気量をq[C]、速度をv [m/s]、磁束密度をB [T]とすると、ローレンツ力f [N]は

f = ( )と表される。

問） 磁束密度の大きさB = 2.5×10－5 [T]の磁界中を磁界に垂直に電子が速さv = 1.2 ×103 [m/s]で運動している。電子にはたらくローレンツ力の大きさf [N]を求めよ。ただし、電子の電荷を－1.6×10－19 [C]とする。

速度v

磁場B

力f荷電粒子

q>0

q<0

一様な磁界中の荷電粒子の運動

速度v

磁場B

力f

q>0

磁束密度の大きさB[T]の一様な磁界に電気量の大きさ（絶対値）がq[C]の荷電粒子が磁界の向きに速さv[m/s]で垂直に入射した場合を考える。荷電粒子にはたらくローレンツ力（大きさf = ( )）の向きは、粒子の運動方向と常に垂直なので、ローレンツ力は荷電粒子にとって向心力としてはたらき、荷電粒子は円運動をする。円運動の半径をr [m]、荷電粒子の質量をm [kg]とすると、運動方程式は、

（ ）の関係が成り立つ。これよりr = ( )また、円運動の周期T [s]は、

T = 2πr / v = ( )となって、vとrに無関係となる。正の荷電粒子と負の荷電粒子はローレンツ力の向きが逆になるので、回転方向は互いに逆向きになる。磁界の向きを鉛直上向きとすると、正の荷電粒子の回転方向は（ 時計回り・反時計回り ）であり、負の荷電粒子の回転方向は（ 時計回り・反時計回り）である。

速度v

磁場B

力f

q<0

q<0

2本の平行な直線電流の間にはたらく力

rI1 I2

H1F

P Q

じゅうぶん長い2本の導線PおよびQが、真空中に距離r[m]離れて平行に置かれている。導線Pには電流I1[A]、導線Qには電流I2[A]が流れている。このときPの周りには、右ねじの法則により、同心円状の磁界ができる。導線Qの位置の磁界の強さH1[A/m]は、

H1 = ( ) ・・・(1)導線Qはこの磁界から力を受ける。力の向きは、フレミングの左手の法則より、 I1と I2が同じ向きのときは（ 引力・斥力 ）、逆向きのときは（ 引力・斥力 ）となる。また、導線Qの長さl [m]の部分が受ける力の大きさF[N]は、μ0、I2、H1、 l を用いて、

F = ( )これに（１）を代入すると、

F = ( )・・・（２）

問） 電流I2がつくる磁界から導線Pの長さl [m]の部分が

受ける力を同様に計算しなさい。

問） I1 = I2 = 1[A], r = 1[m], l = 1[m]のときFを求め

よ。ただし、μ0=4πx10-7[N/A2]とする

電流

磁界磁界

磁界

モノとみなす

空間とみなす

磁気双極子のイメージ