電気機器の等価回路モデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...日立金属FINEMET® TDK HF core （実部のみ）複素透磁率は周波数特性をもつ。直流BH曲線によるヒステリシスだけなら、周波数に無関係の筈

電・エネルギーフォーラム「先進電磁界解析による設計度化技術」2017年 3 10 同志社学東京オフィス

電気機器の等価回路モデル

川崎重業株式会社進藤裕司

© 2016 Kawasaki Heavy Industries, Ltd. All Rights Reserved 2

本研究の狙い

磁性体の使周波数範囲は拡の途昔の電気機器では50Hz/60Hzで事りていたパワエレ技術が普及した現代では周波化が進む基本波：DC~1KHz PWMキャリア周波数：500Hz〜60kHz線路共振周波数〜数100kHz

磁性体の損失評価ヒステリシス損失と渦電流損失に別される周波域では、渦電流損失が配的

複素透磁率複素透磁率の虚部は、損失に対応する複素数を、実数（実時間）の世界に展開する法は？


背景

機器の周波化とそのモデリングの重要性


周波リアクトルの例

Finemet. JFE super core.

Insertion Loss: 0.1~0.2 % Insertion Loss: 0.4~0.5 %

Driving conditions:

Fundamental Freq. : 670 Hz

PWM carrier Freq. : 8kHz

Used for Low Voltage 400kW High Speed motor

The coils of both reactor are made of Litz Wire.

A B(Original)

B’(Modified)

Material Steel sheet Nanocrystalline softmagnetic material

Conductivity [1/Ωm]

1.22E+06 8.33E+05 8.33E+05

Relative Permeability

23000 40000 70000

Thickness [m] 0.0001 0.000015 0.000023


関連先技術

Ogasawara

Matsumura and Akagi

Tallam, Skibinski, Shudarek and Lukaszewski

Shimizu, Saito, Nakamura and Miyazaki

D. Rendusara and P. Enjeti:

本当にダンピング抵抗要るの？


実時間解析の必要性

１．損失計算のような後処理では、破壊電圧の波形は求まらない。２．PWM波形は複雑なので、実時間解析でピーク電圧を求めたい。３．PWMの周波数スペクトルは、少なくとも１MHｚ以上まで分布。４．インバータや他の電気機械と連成して解く必要がある。５．電磁鋼板の特性を記述できる周波等価回路が必要！！


インバータサージ電圧の実時間解析例

実機

高周波損失が無いとしたとき

板厚を0.1mm 0.2mmとしたとき。損失が増えるので、サージ電圧が下がっている。

シミュレーション0.1mm Super E


機器設計に考慮すべき周波数範囲

基本波周波数 DC〜1kHzPWM キャリア周波数 500〜20kHz

(〜100 kHz, SiC)線路共振周波数 50ｋHz〜1MHzLC型出フィルタ共振周波数 0.5kHz〜10kHz

60

70

80

90

100

100 1,000 10,000 100,000 1,000,000

Frequency [Hz]

|μe| [

dB]

-60

-45

-30

-15

0

∠μe

[de

g.]

|μec|

∠μec

Fundamental Freq. fPWM×2 Ringing Freq.

Finemet

JFE Super Core


渦電流と複素透磁率


積層電磁鋼板

積層電磁鋼板をまともに分割すると、スパコンでも解析不能

均質化法に適用できないか？

電磁鋼板中の渦電流の方程式は放物型で、一次元の

熱伝導方程式と同じ

数理物理学では、三角関数の級数とおいて解を導く

（フーリエの方法）

CauerのI型の物理的な意味は何？

フーリエの方法が参考にならないのか？


ファラデーの法則

Li

dS

SB

S Φi

e

dt

diL

dt

de

ファラデーの電磁誘導の法則起電力 e は磁束の変化を妨げるように発生する起電力 e は磁束Φの時間微分磁束Φと電流は比例関係

インダクタンスLが比例係数磁束Φは、自分自身の作った磁束でなくてもよい


複素透磁率の例

日立金属 FINEMET® TDK HF core （実部のみ）

複素透磁率は周波数特性をもつ。

直流BH曲線によるヒステリシスだけなら、周波数に無関係の筈渦電流が関係する


高周波でははから遅れるB H

複素透磁率

HBHB ,

0Im,0Re, j

tan

周波数ωをひとつ固定しておき、物理諸量をその周波数での複素ベクトルとして取り扱う。

実部（インダクタンス成分）虚部（抵抗成分）

損失係数

複素透磁率は、もともと線形理論における考え。周波数特性がくなって、磁束密度Bが磁界の強さHに追従しきれなくなっていることを表現する。

また、透磁率を使った損失の表現が可能になる。

0

Re

Im


複素透磁率を使ったリアクタのインダクタンス

)()(

RLjl

SN

l

SNj

l

SNjLj

複素透磁率の虚部は、インダクタの損失分に対応

d

N

l

i S磁路断面積

等価磁路長コイル巻数 jL

Il

NH I

l

NHB

l

SNL BS


連分数とラダー回路


互除法とは

0224224

21462146

4261642616

611622611622

整数の世界には分数（有理数）がない代わりに，余りがある


互除法と連分数展開

2

1

1

1

2

11

2

11

12

11

1

1

1

11

1

1

1

1

1

11

116

22

375.116

22

部品箱に１Ωの抵抗器しかない時，1.375 Ω を実現する直並列回路としては，最小個数による組合せ

モザイク（アルハンブラ宮殿）

唐草模様（黄金比の作る

螺旋）

2242146

42616611622


多項式環における連分数展開（互除法）

43

8

3

11

1

123

484412

11

484412

1231

484412

604712/

2

23

23

23

23

zz

z

zzz

zzz

zzzz

zzzBA

)4(3123 zz

604712

)5)(4)(3(23

zzz

zzzA

484412

)6)(4)(2(23

zzz

zzzB

0

4812

4812

328

43

8

3

1

48448

4

484412123

2

2

2

23

23

z

z

zz

zz

zz

zz

zzzz

が最大公約数


演算法とCauerフィルタ

O. Heaviside1850-1925

演算子法の発明

jωL ，1/jωCと置けば，Rと同様な回路表現が可能

交流インピーダンスは z =

jωを変数とする有理式で記述できる

楕円フィルタと，体系的なNetworkSynthesis法の発明（Canonical circuit）

17次のButterworthフィルタ８次のChebyshevフィルタ

⇓5次のEllipticフィルタ

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06Frequency [Hz]

|μ|

-60

-45

-30

-15

0

∠μ

|μ|

∠μpolezero

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Freqency [Hz]

L [

H]

n=1

n=3

n=4

n=2

n=5

　pole　zero

Analytical

Lc1 Lc2 Lc3

Rc Rc Rc Rc

Lc4 3Rc/2 7Rc/2 11Rc/2

Lc Lc/5 Lc/9 Lc/13

W. Cauer1900-1945

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01


L [

H]

Foster I

Foster II

n=1n=16

n=1

n=16

2tan

2

0

kd

kdHdc

Foster Cauer


連分数展開の有限打切りとPade近似

42

2

222

2222

45105

10105

7531

1

97531

1tan

1

zz

z

zzz

zzzzz

z

2

222

615

15

531

1

z

zzz

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -1 0 1 2

真値２乗の項まで４乗の項まで

有理式の連分数展開を有限打切りすると，Pade近似になる

2

2

32

612

612

23211

!3!21exp

xx

xxxxxx

xxxx


複素透磁率と周波インピーダンスの

等価回路表現


電磁鋼板の渦電流損失（古典モデル）

xdt

dBxh

dt

dBe

dxwdx

hr 22,

2

)(

)2(

xdxdt

dB

dx

xdtdB

r

edi

)(2

2)(

dxxdt

dB

r

edp 2

22

2

222

0

22

12

12

1

dt

dBddxx

dt

dB

dp

d

磁束密度Bは鋼板内で一様（渦電流の影響は無い）と仮定

単位体積当たりの損失（積分範囲に注意！）

渦電流損失は、周波数の二乗および磁束密度の二乗に比例する

上の仮定が成りてば･･･

左図、灰部分の損失

B

i

p

0-d/2 d/2


古典モデルの等価回路

E2=(ωB)2は、周波数の乗と磁束密度の乗の積

周波数に拘わらず磁束密度は様なので、L=μは定

となせる。


周波でも通する解析解による磁界分布

JE ,

y

z xHB ,

0H

-d/2 0 d/2

EJx

HHjBj

x

E

,

0)()(

2

2

xHj

x

xH

02cos

cos)( H

kd

kxxH

jk

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10x [mm]

|H| [

A/m

]

100Hz1kHz10kHz100kHz1MHz

2

2tan

2tan2

2cos

cos2

)(2

0

0

2

00

2

0

Td

TdH

d

HTdT

dxHTd

Tx

dxxH

d

d

02 HdH


電磁鋼板の複素透磁率（線形モデル）

-60

-45

-30

-15

0

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01


d

2

29 fcfc

2~fP

2fP

]W

/Hz

[/

],H

/m[

22 f

Pc

.][d

egar

gc

arg cc

0

2

02tan

2)(2 Hkd

kdxxH

d

dd

djd

d

j

kd

kdHdc

coshcos

sinhsin1

2tan

2

0

2

1

,4

arg,2

dif

d cc

2,

42

ccc f

d

高周波モデル古典モデル

損失は周波数の1.5乗に例

複素三角関数の計算はFortranやMatlabで容易にできる！！

2

,1

j

jk


電磁鋼板の複素透磁率の周波数特性と極零配置

0

2

02tan

2)(2 Hkd

kdxxH

d

jk

kd

kdH

Bc

2tan

2

0

0

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01


|μ|

-60

-45

-30

-15

0

∠μ

|μ|

∠μpolezero

222

222

2222

1222

222

4:

2/14:

44

)2/1(1

1tan

1

dnszeros

dnspoles

dj

dkz

nz

nzz

z

zn

pn

n

|μ|の周波数特性の傾きは、周波数の1/2乗。極と零が交互に現れる。

Classic model


12

22

2

22

2

212

12

cos

sin

n

Rn

s

Rn

s

n

n

TRT

TRsG

(1+T10s)

(1+T00s)

(1+T11s)

(1+T01s)

(1+T12s)

(1+T02s)

(1+T13s)

(1+T03s)

伝達関数の極とゼロが交互に出現

⇒ 遅れ進み要素の無限乗積で表現できる

伝達関数による解釈


Fosterの回路による等価回路

Rc1

Rc2

Rc3

Lc

Lc/2

Lc/2

Lc/2

122 212

12tan

1

n nzz

z

1n

cncn

cncn

LjR

RLjLj

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Freqency [Hz]

L [

H] n=1

n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8Theoretical

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Frequency [Hz]

L [

H] n=1

n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8Theoretical

ccn

c

ccn

c

Rn

R

dRR

Ln

L

L

2

82

21

2

,

22

2

22

122

2 121cot

n nzzzz

1

22

111

n cncc RLjLjLj

Foster I Foster II逆数関係

収束がとても遅い!

Fosterの等価回路：極（零）を一つずつ、忠実に再現

R. M. Foster, 1896-198,リアクタンス定理、AT&T

部分分数展開

部分分数展開


正接関数の連分数展開

jk

2tan

2

0

kd

kdHdc

2

4,

dR

lL cc

97531

1

!6!4!21

!7!5!31

cos

sin1

)(

)(1tan

1

2222

642

64221

21

zzzz

zzz

zzz

z

z

z

zJ

zJ

zz

z


2

tan2

2tan

2 kd

kdLj

kd

kdjj

Cauer I 型等価回路による実現

BjE

HI

jkkd

kdc

,

2tan

2

RLjd

jzkd

dRL

/42

4,

22

2

2

ラダー回路は、素子の直並列の繰り返し古典渦電流損モデルの等価回路

9

/7

/5

/3

/1

RLjRLjRLjRLj

Lj

9

/7

/5

/3

111

RLjRLjRLj

R

Lj

9

/7

/5

3

111

RLjRLj

LjRLj

9

/7

/151

3

111

RLjR

Lj

RLj

97

151

3

111

LjRLj

RLj

Lj

RLj

RLj

91

7

151

3

111


Cauer実現の有限次元打ち切り

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Freqency [Hz]

fc

9fc

100fc

441fc1296fc

Ladder network (N=4)

(N=3)

(N=2)(N=1)

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

Freqency [Hz]

(N=1)

(N=2)

(N=3)

(N=4)

Ladder network (N=5)

4.5fc

50fc

220.5fc

648fc

1512.5fc

複素透磁率渦電流損失

広い周波数範囲は少ない個数の回路素子でカバーできる !

2

4,,

2

1

dRL

L

Rfc

古典モデルN = 1

古典モデルN = 1


ラダー回路の物理的意味


関数展開とヒルベルト空間

ijji

N

i

i

N

i

ii

N

i

ii

ii

N

a

ba

a

aaa

),(

),(

),(

),,0,1,0,(

),,,,(

1

22

1

1

21

ee

aaa

ba

ea

e

a

ijji

x

x

x

x

N

i

ii

ii

ff

dxxffff

dxxgxfgf

xfaxf

xff

xff

),(

)(),(

)()(),(

)()(

,)(

),(

2

1

2

1

22

1

0)()(

,)()(2

2

1

xHjx

xHxfhxH

i

ii

有限次元線形代数空間

無限次元関数空間


ルジャンドルの多項式

)35315693429)(16/1()(

)5105315231)(16/1()(

)153563)(8/1()(

),33035)(8/1()(

),35)(2/1()(

),13)(2/1()(

,)(

,1)(

3577

2466

355

244

33

22

1

0

xxxxxP

xxxxP

xxxxP

xxxP

xxxP

xxP

xxP

xP

グラム・シュミットの直交化法 0121

2

22 ynn

dx

dyx

dx

ydx ,,,,,1 432 xxxx n

n

n

nn xdx

d

nxP 1

!2

1)( 2

ルジャンドルの常微分方程式ロドリーグの公式

n が偶数： x の偶数次のべき乗和n が奇数： x の奇数次のべき乗和

偶

偶

偶

偶

奇

奇

奇

奇

P0

P2

P4 P6 P8

P2n(x)

x

偶数次

奇数次

定義域は [ -1, 1 ]


ルジャンドルの多項式の性質

)()1(1

)(0

d)()()()(

d)()(

)()12/(2

)(0d)()(

,)1()1(,1)1(

1

1

11

1

1

1

1

nm

nm

xxPx

xPxPxP

xxPxPx

mnn

nmxxPxP

PP

nm

nmnm

nm

mn

nnn

1

10

)()(2

12,)()( dxxPxf

nxPxf nn

n

nn

多項式関数列は直交関数系をなす

区間[-1,1]の任意の二乗可積分関数 f(x) は以下のように展開できる。

直交性

微分との関係

端条件


電磁鋼板内の磁界のシミュレーション例

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10x [mm]

|H| [

A/m

]

100Hz1kHz10kHz100kHz1MHz

-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.25

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

P0P2P4

100 Hz, 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz, 1 MHz

Exact solution

Legendre expansion continued

1

)()(i

ii xfhxH


カウアII型への変換


Cauer II 型の実現（回路網の等価変換）

L1 L2 L3 L4 L5

R1 R2 R3 R4

S/d

d

l

symmetry

R1/2 R2/2 R3/2

L1/2 L2/2 L4/2L3/2

Eddy current

0H 0H

11

11

011

1

011

1

,)(

1)(

)(

n

n

nn

nn

nn

a

bL

sysLsz

asasa

bsbsbsbsz

1

11

111

011

1

011

11

,)(

11)(

)(

n

n

nn

nn

aR

szRsy

ss

asasasy

Cauer I型から Cauer II型への変換は、一度有理式に直して、互除法を用いて導く。Cauer II型は、有限要素法や差分法などの、空間を直接分割して得られるモデルと同じ。少ない分割数で広い周波数範囲をカバーできる。

L1 L2 L3 L4

R1 R2 R3


変換結果（n=2~7）

n =2

n =3

n =4

n =5

n =6

n =7

L 1 L 2

L 3 L 4 L 5 L 6 L 7

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.00 0.05 0.10x [mm]

|H| [

A/m

]

Cauer II

Analytical

1kHz

10kHz

100kHz1MHz

L 5 L 4 L 3 L 2 L 1

L1 L2 L3 L4 L5

R1 R2 R3 R4

図2.19 Cauer II realization at n=5.

図2.20 Division of Inductance. 図2.21 Distribution of H by Cauer II at n=5.


丸導体（電線）への適


電線の等価回路表現

JE ,HB ,

0Er

D

R0 3R0 5R0

L0/2 L0/4 L0/6

EJHrrr

HjBjr

E

1

,

0)()(1)(

2

2

rEjr

rE

rr

rE

0

0

0

)2/(

)()( E

TDJ

TrJrE

00

122

00 )2(

)2(2

2)(2 E

TDJ

TDJ

TD

DdrrErI

D

)2(

)2(

2

2

1

0

20

0

TDJ

TDJTD

DI

ER

61

1

5

1

41

1

3

1

21

111

00

0000

LjR

LjRLjRR

4,4 02

0 LDR

電線もラダー回路による等価回路表現ができる

Bessel関数とZernike多項式


電線中の電界と磁界

JE ,HB ,

R0 3R0 5R0

L0/2 L0/4 L0/6

000420

5

1

3

11

RRR

642000

531LLL

,1123020)12()(

,166)12()(

,12)12()(

,1)12()(

246236

24224

2212

200

xxxxPxS

xxxPxS

xxPxS

xPxS

),4306035()(

),31210()(

),23()(

,)(

2467

245

23

1

xxxxxS

xxxxS

xxxS

xxS

Zernike多項式と回路定数が求まった。 Eを求める際に，境界条件に共役条件を使った Hを求める際には，Hの有界性を使った

4,4 02

0 LDR


まとめ


まとめ

互除法はタイル貼り職の技法 Cauer実現は，電気回路のタイル張り収束が早いし，物理的意味がハッキリしている

変圧器，誘導機におけるT型等価回路と円線図法同期機におけるPark程式と等価回路表現電磁アクチュエータのモデリング法への展開

均質化法への適異常渦電流モデルへの適

電気機械への応用

磁性材料への応用


Thank you for your Attention !

Thank you for your attention !

Documents

電気機器の等価回路モデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...日立金属FINEMET® TDK HF core （実部のみ） 複素透磁率は周波数特性をもつ。直流BH曲線によるヒステリシスだけなら、周波数に無関係の筈

電気機器の等価回路モデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...日立金属FINEMET® TDK HF core （実部のみ）複素透磁率は周波数特性をもつ。直流BH曲線によるヒステリシスだけなら、周波数に無関係の筈