蛋 白 質 折 れ 畳 み ダ イ ナ ミ ッ ク ス に お け る 階 層 的 規

則 性神 戸 大 学 理 学 部 地 球 惑 星 科 学 科 （ 非 線 形 科 学 分

野 ）松 永 康 佑 　 　 yasu@kobe-u.ac.jp

蛋 白 質 は 如 何 に し て 効 率 的 に native 状 態 を 探 し 出す の か 、 と い う の は 蛋 白 質 の 折 れ 畳 み ダ イ ナ ミ ック ス に お け る 重 要 な 問 題 で あ る 。 現 在 ま で の と ころ 、 蛋 白 質 の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー 表 面 の 地 形に 注 目 し た 研 究 が 多 く 行 わ れ て い る 。 少 数 の 研 究者 [1] を 除 い て 、 蛋 白 質 の 折 れ 畳 み と い う の は 、native 構 造 へ の bias が あ る エ ネ ル ギ ー ラ ン ド ス ケ ープ 上 で 、 “ 完 全 な ” 確 率 過 程 と し て 生 じ 、 い く つ かの エ ネ ル ギ ー 障 壁 を 乗 り 越 え て い く こ と で 生 じ るも の だ と 考 え ら れ て き た 。 本 稿 に お い て は 、 我 々は む し ろ 折 れ 畳 み の 動 力 学 的 側 面 に 注 目 す る 。 蛋白 質 の 熱 的 揺 ら ぎ の 中 に 埋 も れ た 規 則 性 を 、 蛋 白質 の 折 れ 畳 み の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン か ら 詳 細 に 解 析し 、 規 則 性 と 折 れ 畳 み ダ イ ナ ミ ッ ク ス の 効 率 性 との 関 連 性 を 議 論 す る 。

我 々 は 、 native 構 造 と し て β-barrel 構 造 を と る ４ ６個 、 ３ 種 類 の beads sequence で 出 来 た off-lattice モ デ ル を調 べ た [2] 。 ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー は 以 下 の よ うに 与 え ら れ る 。

こ の モ デ ル に 対 し て 転 移 温 度 TF と そ れ よ り 高 い ・低 い 温 度 と い う 、 異 な る ３ つ の 温 度 に お い て 等 温分 子 動 力 学 計 算 [3] を 行 っ た 。 解 析 の 初 め の 段 階 では 、 そ れ ぞ れ の 温 度 で 主 成 分 解 析 を 行 い 、 最 小 二乗 的 な 意 味 で 系 の 揺 ら ぎ を 最 も 良 く 表 し て い る 協調 的 な 運 動 を 抜 き 出 し た 。 こ れ ら の 集 団 座 標 は 、

46 bead modelB9N3(PB) 4N3B9N3(PB) 5P

B:hydrophobic, P:hydrophilic, N:neutral

BB:S1= S2=1PB,P: S1=2/3, S2=-1NB,P,N: S1=1, S2=0

具 体 的 に は beads の デ カ ル ト 座 標 の 共 分 散 行 列 を 対角 化 し て 得 ら れ る 。 こ の よ う に し て Ｍ Ｄ の 結 果 とし て 各 主 成 分 ご と に ひ と つ の 時 系 列 が 得 ら れ る 。今 回 こ れ ら の 時 系 列 そ れ ぞ れ に 対 し て “ 埋 め 込 み論 [4,5]” と 呼 ば れ る 非 線 形 時 系 列 解 析 を 行 っ た 。 埋め 込 み 論 と は 、 一 般 的 に あ る 限 定 さ れ た 時 系 列 情報 に 対 し て 、 遅 延 座 標 系 と い う も の を 使 っ て 、 力学 系 の 元 来 の 状 態 空 間 と 同 じ 動 力 学 的 性 質 を も った 状 態 空 間 を 再 構 成 し 、 系 の 動 力 学 的 特 徴 （ 次 元性 な ど ） を 抽 出 す る 理 論 ・ 解 析 方 法 を い う 。以 下 、 説 明 も 兼 ね て 、 埋 め 込 み 論 の 例 を 見 て い くこ と に す る 。

　 Lorenz ア ト ラ ク タ ー に 対 し て 埋 め 込 み 論 を 使 っ てみ よ う 。 Lorenz ア ト ラ ク タ ー を 記 述 す る 力 学 構 造 は既 知 で あ る が 、 こ こ で は 、 力 学 変 数 （ も し く はX,Y,Z か ら 成 る 任 意 の 関 数 ） の あ る ひ と つ （ 例 え ばX(t)） し か 観 測 す る 術 が な い と す る 。 つ ま り 、 X(t)を時 系 列 情 報 と し て 取 り 上 げ る （ 図 1 ） 。 先 程 、 埋め 込 み 論 と は あ る 限 定 さ れ た 時 系 列 情 報 か ら 、 元来 の 状 態 空 間 と 同 じ 性 質 を も つ 状 態 空 間 を 再 構 成す る も の だ と 述 べ た 。 そ れ は 具 体 的 に は 遅 延 座 標系

を 使 っ て 達 成 さ れ る 。 例 と し て 、 ３ 次 元 の 遅 延 座標 系 の つ く り 方 を 図 2 に 示 す 。 図 2 か ら 分 か る よ うに 、 遅 延 座 標 系 は 手 に 入 れ た 時 系 列 に 対 し て あ る遅 れ 時 間 τ を 決 め て や り 、 そ の 整 数 倍 の 遅 れ 時 間の 値 を 順 に 成 分 と し て 持 つ 座 標 系 で あ る 。 こ う して 遅 延 座 標 系 の 次 元 を 同 様 の 方 法 で 多 次 元 に 拡 張し て い く と 、 あ る 次 元 ｍ か ら 、 そ の 遅 延 座 標 系 で張 ら れ た 空 間 は 、 時 系 列 の 背 後 に あ る 系 の 状 態 空間 と 同 じ 動 力 学 的 性 質 を も っ た 状 態 空 間 を 再 構 成す る （ “ 埋 め 込 む ” ） 。 件 の Lorenz ア ト ラ ク タ ー の 場合 、 3 次 元 で 似 た 構 造 が 得 ら れ て い る （ 図 3 ） 。 これ が 埋 め 込 み 論 で あ っ て 、 こ の 後 に つ づ く 詳 細 な解 析 の 舞 台 は こ の 再 構 成 さ れ た 多 次 元 状 態 空 間 とな る 。 こ こ で 埋 め 込 み 論 に 関 し て の い く つ か の 注意 を 述 べ て お く 。 ま ず 、 遅 延 時 間 τ は 数 学 的 に はデ ー タ 数 ・ 精 度 が 無 限 の 条 件 の 下 で は 、 “ ほ ぼ ” 任意 に と っ て 良 い こ と が 許 さ れ て い る が 、 実 デ ー タで は こ れ ら の 条 件 は 満 た さ れ る こ と は な く 、 再 構成 の 為 の よ り 最 適 な τ を 選 ぶ 必 要 が 生 じ る 。 こ の τの 推 定 法 と し て は 数 多 く の 方 法 が 研 究 ・ 提 案 さ れて い る 。 再 構 成 に 必 要 な 最 小 の 次 元 ｍ （ 本 稿 で はこ の ｍ を 埋 め 込 み 次 元 と 呼 ぶ こ と に す る ） の 推 定法 に つ い て も 種 々 の 方 法 が 提 案 さ れ て い て 、 統 一的 な 方 法 は な い 。 ま た ｍ の 推 定 法 は 、 実 デ ー タ の

長 さ の 有 限 性 の 為 、 超 多 次 元 の 多 様 体 の 埋 め 込 みに つ い て は 必 ず 無 力 と な る 。 今 回 の 我 々 の 研 究 では 、 力 学 の 解 の 一 意 性 に 矛 盾 す る 軌 道 の 交 差 を 調べ て い く と い う 方 法 [6] を 用 い て 埋 め 込 み 次 元 ｍ を推 定 し た 。 と こ ろ で 、 こ う し た 埋 め 込 み 論 を 蛋 白質 の モ デ ル の よ う な 多 体 系 に 使 う 意 義 は 何 だ ろ うか 。 最 初 に 述 べ た よ う に 、 我 々 は こ こ で 蛋 白 質 の熱 的 揺 ら ぎ の 中 に 埋 も れ た 規 則 性 の 発 見 ・ 抽 出 をす る こ と を 目 的 と し て い る 。 も し あ る 重 要 な 自 由度 に 関 し て 、 そ の 運 動 が 規 則 的 で あ る な ら ば 、 その 時 系 列 に 対 し て 埋 め 込 み を 行 う こ と で 、 我 々 は縮 小 さ れ た 新 た な 次 元 の 空 間 の 中 で 、 状 態 空 間 を再 構 成 し 、 そ の ダ イ ナ ミ ッ ク ス の 発 展 を 予 測 す る表 現 を 得 る こ と が で き る か も し れ な い 。 一 方 で 、も し 系 が “ 完 全 に ” 確 率 的 な も の で あ る な ら ば 、 遅延 座 標 系 の 性 質 上 、 常 に 再 構 成 は 不 可 能 と な る（ 実 際 は ｍ 推 定 法 の 限 界 と し て 現 れ る だ ろ う ） 。つ ま り 、 こ こ で は 埋 め 込 み 論 を 、 あ る 自 由 度 に 関す る 規 則 性 の 発 見 ・ 抽 出 の 道 具 と し て 使 お う と いう わ け で あ る 。

今 回 の 解 析 に よ っ て 、 系 の 揺 ら ぎ に 大 き く 寄 与し て い る 主 成 分 か ら 成 る 状 態 空 間 に お い て 、 蛋 白質 が 転 移 温 度 TF （ =0.72 ） 付 近 で は 、 埋 め 込 み 次 元が 他 の ２ つ の 温 度 領 域 に 比 べ て 小 さ い こ と が 分 かっ た （ 極 端 に 低 い 温 度 を 除 い て ） （ 図 4 ） 。 こ の転 移 温 度 付 近 に お け る 運 動 の 規 則 性 は 、 Garcia ら によ る 水 溶 液 中 の チ ト ク ロ ー ム c の 全 原 子 Ｍ Ｄ に おけ る 解 析 結 果 を 部 分 的 に 支 持 す る 。 彼 ら に よ れ ば 、水 溶 液 中 の チ ト ク ロ ー ム c の 揺 ら ぎ が 大 き い 主 成分 上 で は 、 転 移 温 度 以 下 か つ 0.1ns以 上 の ス ケ ー ルに お い て 、 平 均 二 乗 変 位 の 時 間 依 存 ベ キ 指 数 β=1.75と な る 運 動 （ super-diffusion） 、 す な わ ち 力 学 と の 類 推を 用 い れ ば 、 低 次 元 に お ち る 弾 道 的 な 運 動 が 生 じて い る （ 図 5 ） 。 今 回 我 々 の 埋 め 込 み 解 析 で は 、転 移 温 度 付 近 に お い て 、 こ う し た 弾 道 的 な 運 動 が捕 ら え ら れ た の か も し れ な い 。 こ う し た 結 果 を 考察 し て み る と 、 蛋 白 質 の 折 れ 畳 み ダ イ ナ ミ ッ ク スの 概 略 図 と し て 図 6 の よ う な も の を 描 く こ と が でき る 。 ま ず 、 高 温 で は 我 々 や Garcia ら の 結 果 （ β=1の 通 常 拡 散 ） が 示 唆 す る よ う に 、 そ の 運 動 は 高 い次 元 を 伴 う 確 率 的 ダ イ ナ ミ ッ ク ス を し て い る と 考え ら れ る 。 ま た 転 移 温 度 よ り 低 い 温 度 領 域 の 運 動に つ い て も 、 埋 め 込 み 次 元 の 高 さ か ら 、 依 然 そ のダ イ ナ ミ ッ ク ス の 描 像 は 高 温 領 域 と そ れ 程 変 わ らず 、 小 さ い 凸 凹 （ rugged ） な ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギー 曲 面 に 捕 獲 さ れ 、 そ こ で の 抑 圧 ・ 脱 出 の た め にβ=0.5 と な る 運 動 (sub-diffusion)や super-diffusionが 生 じ て い る

の だ と 解 釈 さ れ る 。 そ れ に 対 し て 転 移 温 度 付 近 では 、 埋 め 込 み 次 元 の 低 さ が 示 唆 す る よ う に 、 そ の運 動 は 通 常 の 拡 散 よ り も 早 く 、 低 次 元 な 弾 道 的 ダイ ナ ミ ッ ク ス が 生 じ て い て 、 そ の 領 域 で は 蛋 白 質折 れ 畳 み に 対 す る 従 来 の 拡 散 的 な 描 像 で は 決 し て捕 ら え き れ な い 別 の 描 像 が 存 在 す る 可 能 性 を 示 唆し て い る 。

最 近 、 Wales ら [7] 、 Nymeyer ら [8] に よ っ て 、 こ の 46 bead model は よ く 知 ら れ て い る " フ ァ ネ ル (funnel) 型 " エネ ル ギ ー 地 形 を 必 ず し も 取 っ て い な い こ と が 指 摘さ れ て い る 。 将 来 的 に は 、 native 構 造 に お け る フラ ス ト レ ー シ ョ ン (frustration) が よ り 小 さ い Gō-like モ デル も 併 せ て 解 析 し 、 エ ネ ル ギ ー ラ ン ド ス ケ ー プ の観 点 か ら 、 転 移 ダ イ ナ ミ ッ ク ス の 次 元 性 ・ 規 則 性な ど の 動 力 学 的 相 違 と 折 れ 畳 み の 効 率 の 良 さ ・ 頑健 性 に つ い て 議 論 す る 予 定 で あ る 。 ま た 他 に も 将来 的 に 行 い た い こ と は 、 媒 質 を 陽 に 入 れ た と き に 、そ の 媒 質 が 蛋 白 質 の ダ イ ナ ミ ッ ク ス の 規 則 性 に 及ぼ す 役 割 の 見 極 め 。 Garcia ら の 見 つ け た 異 な る 層（ 0.1ns 以 上 ・ 以 下 ） の ダ イ ナ ミ ッ ク ス を 捕 ら え るた め の 埋 め 込 み 論 の 展 開 。 1 分 子 計 測 な ど 実 際 の時 系 列 の 解 析 、 な ど が あ る 。

【 謝 辞 】　 著 者 の 指 導 教 官 で あ る 小 松 崎 民 樹 助 教 授 の 日 々の 研 究 指 導 お よ び 励 ま し に 感 謝 い た し ま す 。 多 くの 方 々 か ら の 批 判 、 意 見 を お 待 ち し て い ま す 。

図1

　 　 　 　 　 　

X(t+2)

X(t)X(t+)

図2

図3

図4

図5

【参考文献】[1] Steven S. Plotkin and Peter G. Wolynes Phys. Rev. Lett. 80 5015 (1998).

[2] J. D. Honeycutt and D. Thirumalai, Biopolymers 32, 698 (1992).

[3] Berendsen, H. J. C., Postma, J. P. M., van Gunsteren, W. F. , DiNola, A. & Haak, J. R.  J. Chem. Phys. 81, 3684 (1984)

[4] Henry D. I. Abarbanel, Analysis of Observed Chaotic Data, Springer-Verlag New York, Inc. (1996).

[5] Holger Kantz and Thomas Schreiber, Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press (1997).

[6] Liangyue Cao, Physica D, 85 225(1995).

[7] David J. Wales, Jonathan P. K. Doye, Mark A. Miller, Paul N. Mortenson, and Tiffany R. Walsh Adv. Chem. Phys. 115, 1 (2000)

[8] H. Nymeyer, A. E. Garcia, and J. N. Onuchic, Proc. Natl. Acad Sci. USA 95, 5921 (1998)

[9] Y. Matsunaga and T. Komatsuzaki, 生物物理 & J. Phys. Chem. 投稿準備中

[10] K. Kostov, Y. Matsunaga, M. Toda and T. Komatsuzaki J. Phys. Chem. 投稿準備中

図6