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ECONOMETRÍA APLICADA A
LA TOMA DE DECISIONES
EMPRESARIALES EMPRESARIALES
Lección 3: Heteroscedasticidad.
Sjm1
Diapositiva 1
jm1 Se agradece la contribución de los profesores Arranz, Suárez y Zamora, cuyos materiales de clase se han utilizado en la elaboración de esta presentación.juan muro; 28/09/2007
Heteroscedasticidad.
1. ¿ Qué es un modelo heteroscedástico? Ej. Gasto de un consumidor como función de
renta (curva de Engel). Fichero: Heteros_Greene.wf1.
2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se
11/29/2012 Juan Muro
2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se suelen presentar modelos heteroscedásticos? Corte transversal; serie temporal; datos de
panel.
S
Heteroscedasticidad.
3. ¿ Qué problemas plantea a la estimación por MCO?
3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz
11/29/2012 Juan Muro
3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz
de varianzas y covarianzas de los
estimadores MCO corregida por el efecto
de la heteroscedasticidad, White(1980)?
S
Heteroscedasticidad.
4. ¿ Cómo se detecta la heteroscedasticidad?
11/29/2012 Juan Muro
S
Heteroscedasticidad.
5. ¿ Cómo se estima un modelo heteroscedásticomediante estimadores que tengan buenas propiedades estadísticas?
¿ Qué se entiende por mínimos cuadrados
11/29/2012 Juan Muro
¿ Qué se entiende por mínimos cuadrados ponderados?
¿ Qué problemas plantea la utilización de un "deflactor" como método para resolver la heteroscedasticidad?
¿ Cómo podemos decidir entre la utilización de una especificación lineal logarítmica y una lineal en un modelo con heteroscedasticidad?
S
3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.
Yi=X’iβ+ui; i=1,2,……N. Corte transversal; tserie temporal.
11/29/2012 Juan Muro
X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yi, ui, escalares.
Var(ui|X)= σi2.
S
3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.
Estimador MCO: b= (ΣXiX’i)-1ΣXiYi.
E(b|X)= β. Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1 ΣXi σi
2 X’i
11/29/2012 Juan Muro
E(b|X)= β. Var(b|X)= (ΣXiX’i) ΣXi σi X’i(ΣXiX’i)
-1.
Como Var(ui|X)= σi2 es desconocida, la
matriz lo es.
S
3.1. Consecuencias de la heteroscedasticidad.
Variable de interés de carácter cualitativo(modelos logit y probit): inconsistencia.
Variable de interés de carácter cuantitativo
11/29/2012 Juan Muro
Variable de interés de carácter cuantitativo(MRLG): ineficiencia y cálculo erróneo dematriz de varianzas y covarianzas.
En general, la matriz por MCO, s2(ΣXiX’i)-1,
subestima la matriz anterior.A
Matriz de White (1980).
La matriz (ΣXiX’i)-1 ΣXi ei
2 X’i (ΣXiX’i)-1 es un
estimador consistente de la matriz
Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1ΣXi σi
2 X’i (ΣXiX’i)-1.
11/29/2012 Juan Muro
Var(b|X)= (ΣXiX’i)-1ΣXi σi
2 X’i (ΣXiX’i)-1.
La sugerencia de White es estimar por MCO(lineal e insesgado) y calcularconsistentemente los errores por mediode su matriz (estimadores no eficientes).
A
3.2. Contrastes de heteroscedasticidad.
Carácter
Hipótesis nula
Exactos Asintóticos
Generales Goldfeld-Quandt(1965) Breusch-Pagan(1979)
11/29/2012 Juan Muro S
Generales (robustos)
Goldfeld-Quandt(1965)
Harvey-Phillips(1974)
CUSUMSQ
Breusch-Pagan(1979)
White(1980)
Específicos (potentes)
Glejser(1969)
Harvey(1976)
Engle(1982).
Goldfeld-Quandt(1965). Contraste exacto.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza no es constante en toda la muestra.
Operativa:
1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.
11/29/2012 Juan Muro S
culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.2. Desechar c observaciones centrales.3. Ajustar por MCO el modelo con las (T-c)/2 primeras y (T-c)/2 últimas observaciones.4. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico
Donde T es el tamaño de la muestra y k el número de parámetros explícitos; SCR1 y SCR2: suma de los cuadrados de los residuos MCO de las regresiones con las primeras y con las últimas observaciones, respectivamente.
,2
2k-c-T,
2
2k-c-TF
SCR
SCR
1
2
~
Harvey-Phillips(1974). Contraste exacto.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.
H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza no es constante en toda la muestra.
Operativa:
1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente
11/29/2012 Juan Muro S
1. Ordenar las observaciones, en orden creciente de varianzas, según la variable presuntamente culpable de ocasionar la desigualdad en las varianzas.2. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los T-k residuos recursivos.3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico
Donde T es el tamaño de la muestra y k el número de parámetros explícitos; SCR1 y SCR2: suma de los cuadrados de los residuos de los primeros y últimos residuos recursivos, respectivamente.
,2
k-T,
2
kTF
SCR
SCR
1
2
−−−−~
White(1980). Contraste asintótico.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.
H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de las variables causantes de la heteroscedasticidad.
Operativa:
11/29/2012 Juan Muro S
Operativa:
1.Ajustar por MCO el modelo y obtener los residuos MCO e.
2.Efectuar la regresión de los residuos al cuadrado sobre las variables
explicativas, sus productos cruzados y las variables explicativas elevadas al cuadrado.
3. Forma del contraste: contrastar la significatividad de la o las regresiones anteriores.
Breusch-Pagan(1979). Contraste asintótico.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de
una combinación lineal de las variables que producen la heteroscedasticidad. σi
2= h(Ziα). Zi es 1xp de variables explicativas (con
cte).
11/29/2012 Juan MuroS
Operativa:
1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.2. Calcular
3. Estimar la regresión gi= Ziα+ui.
4. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el estadístico se distribuye asintóticamente
Donde SCE es la suma de cuadrados explicada de la regresión estimada en (3).
.e
=g ;eT
1=
2
2
i
i
2
i
2
σσ
ˆˆ ∑∑∑∑
, 1)-(p 2
SCE 2
ΧΧΧΧ~
Glejser(1969). Contraste asintótico.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.
H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función cualquiera de la variable que produce la heteroscedasticidad.
Operativa:
11/29/2012 Juan Muro S
1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.
2. Estimar por MCO la o las regresiones
donde z es la variable causante de la heteroscedasticidad y h es un número que
Glejser sugiere que tome los valores de prueba: 1, -1, 1/2, -1/2.
3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula el parámetro de la variable Z no será
significativo en las regresiones anteriores.
,u+z+=e
,u+z+|=e|
tht10
2t
tht10t
δδ
δδ
Harvey(1976). Contraste asintótico.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.
H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza es una función exponencial de una combinación lineal de las variables que producen la
heteroscedasticidad. σi2= exp(Ziα). Zi es 1xp de variables explicativas (con
cte).
11/29/2012 Juan Muro S
Operativa:
1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.
2. Estimar por MCO la regresión lnei2= Ziα.
3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula la regresión anterior no es significativa.
En concreto el estadístico siguiente puede utilizarse
.~
9348.4 1)-(p
SCEg 2
ΧΧΧΧ====
Contraste para modelos ARCH: Engel(1982). Contraste
asintótico.
H0 : HOMOSCEDASTICIDAD: la varianza es constante en toda la muestra.
H1 : HETEROSCEDASTICIDAD: la varianza condicional es autorregresiva. Es decir, en el caso de un ARCH(1) var(ut|ut-1)= α0+ α1 ut-1
2.
Operativa:
11/29/2012 Juan Muro A
Operativa:
1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.
2. Estimar por MCO la regresión entre los residuos al cuadrado del modelo anterior y
los residuos al cuadrado de dicho modelo retardados. En el caso de un ARCH(1) la
regresión sería et2= α0+ α1 et-1
2.3. Forma del contraste: contrastar la significatividad de los parámetros del modelo
anterior. El contraste de multiplicadores de Lagrange, TR2, se distribuye como una
Chi-2 con un grado de libertad y es equivalente asintóticamente al F habitual.
3.3. Solución a la heteroscedasticidad.
Yi=X’iβ+ui; i=1,2,……N. Corte transversal; tserie temporal.
X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,
11/29/2012 Juan Muro
X’i, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yi, ui, escalares.
Var(ui|X)= σi2.
S
3.3. Solución a la heteroscedasticidad.
MCO: estimación lineal, insesgada y no óptima; matriz deWhite(1980).
MCG: exige el conocimiento de la matriz Ω. Estimaciónlineal, insesgada y óptima; heteroscedasticidad teórica.
11/29/2012 Juan Muro
MCGF: Estimación en dos etapas o iterativa, consistente.
MV: exige una parametrización de la matriz Ω. Estimaciónconsistente, asintóticamente eficiente y con distribuciónasintótica normal.
A
Estimación por MCO en presencia de heteroscedasticidad.
Estimador MCO: b= (ΣXiX’i)-1ΣXiYi.
Matriz de White: (ΣXiX’i)-1ΣXi ei
2 X’i (ΣXiX’i)-1.
11/29/2012 Juan Muro
Matriz de White: (ΣXiX’i) ΣXi ei X’i (ΣXiX’i) .
El estimador no es óptimo pero permiterealizar inferencia por los procedimientoshabituales ya que la matriz de varianzasestá estimada consistentemente.
A
Estimación por MCG en presencia de heteroscedasticidad.
Estimador MCG: bMCG= (ΣX*iX*’i)-1ΣX*iY*i.
Donde X*i=X*i/σi; Y*i=Y*i/σi.
Matriz de varianzas. Var(bMCG)= (ΣX*iX*’i)-1.
11/29/2012 Juan Muro
Matriz de varianzas. Var(bMCG)= (ΣX*iX*’i) .
La aparición o no de un término σ2 en la matriz devarianzas es una cuestión de mera notación.
Ej. La heteroscedasticidad derivada del uso demagnitudes medias en un modeloeconométrico. En este caso σi=(Ni)
1/2.A
Estimación por MCGF en presencia de heteroscedasticidad.
Estimador MCGF:
Donde
[[[[ ]]]] .***'*ˆ 1
iiiiMCGFYXXX ΣΣΣΣΣΣΣΣ====
−−−−β
i
i
i
i
i
i
YY
XX
σσ ˆ*;
ˆ* ========
11/29/2012 Juan Muro
Matriz de varianzas.
Método en dos etapas (o iterativo): primera etapa MCO paraestimar σi ; segunda etapa aplicar MCG (MCO delmodelo transformado).
S
[[[[ ]]]] .*'*)ˆvar(1−−−−
ΣΣΣΣ====iiMCGF
XXβ
Estimación por MCGF en presencia de heteroscedasticidad.
Estimador MCGF por el procedimiento iterativo:
1ª etapa: estimación por MCO. Estimación de σi por mediode residuos MCO al cuadrado y supuestos establecidos(sobre heteroscedasticidad).
2ª etapa: estimación por MCG. A continuación se estima σ
11/29/2012 Juan Muro
2ª etapa: estimación por MCG. A continuación se estima σipor medio de los residuos MCO al cuadrado ysupuestos establecidos (sobre heteroscedasticidad).
3ª etapa y sus siguientes. Reiterar el procedimiento de lasegunda etapa hasta alcanzar la convergencia, porejemplo, en SCR.
La eficiencia asintótica depende de su similitud con elestimador MV.
A
Estimación por MV en presencia de heteroscedasticidad.
Función de verosimilitud en logaritmos
.1
2
1-
2
1-)(2
2
T-=X)Y,|,L(
iiXX
2
ii
2
ii
2
i 'lnlnσ
σσβ ΣΣΣΣΣΣΣΣΠΠΠΠ
11/29/2012 Juan Muro
Bajo supuestos sobre el comportamiento de la
heteroscedasticidad (paramétricos) la
maximización de esa función proporciona los
estimadores MV.
A
222 iii σ
Mínimos cuadrados ponderados.
La denominación de método de mínimoscuadrados ponderados que se usa para elmétodo de corrección de la heteroscedasticidadse deriva de la forma que adopta en este casoel método de mínimos cuadrados
11/29/2012 Juan Muro
el método de mínimos cuadradosgeneralizados.
MCG en este caso es aplicar MCO a un modelo enel que las variables “se ponderan”, es decir, seobtienen dividiendo cada variable por la raízcuadrada de la varianza estimada.
A
Utilización de un deflactor.
Se suele decir que para eliminar la heteroscedasticidad de un modelo(especialmente con datos temporales) hay que deflactar.
El método anterior es correcto siempre que la heteroscedasticidad seauna función lineal del cuadrado de la variable que se use paradeflactar. En otros casos el método es incorrecto.
11/29/2012 Juan Muro
Ej. En un modelo de Consumo frente a renta, si la heteroscedasticidades función de la renta al cuadrado, deflactar el modelo mediante larenta elimina la heteroscedasticidad. Precaución: en modelosdeflactados la pendiente se convierte en el término independiente yel término independiente en el parámetro del recíproco de lavariable usada para deflactar.
A
Contrastes para decidir entre la forma lineal y logarítmico lineal de
un modelo.Para eliminar la heteroscedasticidad de un modelo
se suelen adoptar formas lineales en los
logaritmos en el modelo. La decisión sobre qué
especificación utilizar debe fundarse en algún
contraste apropiado. Entre ellos están los de
11/29/2012 Juan Muro
contraste apropiado. Entre ellos están los de
Box-Cox(1962); Bera-McAleer(1982) y
McKinnon, White y Davidson(1983).
El de Bera-McAleer(1982) consiste en lo siguiente:
S
Contraste de Bera-McAleer(1982).1. Estimar las regresiones
2. Obtener los valores ajustados de y, log y en las regresiones contrarias. Es decir, obtener el logaritmo en la regresión sin
.u+x+=y
,u+x+=y
2tt10t
1tt10t
ββ
ββlog
11/29/2012 Juan Muro
contrarias. Es decir, obtener el logaritmo en la regresión sin logaritmos y la variable y en la regresión con logaritmos.
3. Estimar las regresiones auxiliares siguientes
.
S
v+x+=y
v+x+=)y(
2tt10t
1tt10t
ββ
ββ~log
ˆlogexp
Contraste de Bera-McAleer(1982).
4. El contraste se fundamenta en las regresiones auxiliares
εθββ
εθββ
t2t1t10t
t1t0t10t
+v+x+=y
+v+x+=y
ˆ
ˆlog
11/29/2012 Juan Muro
Si el parámetro de los residuos estimados en la regresión en logaritmos no es significativo elegimos la especificación logarítmica. Lo mismo cabe decir para la especificación lineal y el parámetro de los residuos estimados de su ecuación.
A
Referencias
• Wooldridge (2006). Cap. 8, 11 y 12.
11/29/2012 Juan Muro