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Econometria
1. O Paradigma da Econometria19/8
Econometria: Paradigma
� Fundamentos teóricos� Microeconometria e macroeconometria� Modelagem comportamental: otimização, oferta de
trabalho, equações de demanda, etc.
� Fundamentos estatísticos� Elementos matemáticos� Construção do ‘Modelo’ – o modelo
econométrico
Porque usar econometria?
� Entender a covariância� Entender as relações:
� Estimar quantidades de interesse, comoelasticidades
� Predição de resultados de interesse� Controlar resultados futuros tendo em vista o
conhecimento de relações
Porque usar econometria?
� Inexistência de dados experimentais(experimentos controlados) em economia
� Necessidade de usar dados não experimentais, ou melhor, dados observados para se fazerinferências.
� Testar a teoria econômica com dados darealidade.
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Porque usar econometria?
� A análise empírica usa dados para estimarrelações entre variáveis.
� Um modelo econômico formal pode ser testado.
� Econometria pode ser utilizada para avaliarprogramas de políticas públicas e para fazerprevisões.
Mensuração como observação
População MensuraçãoTeoria
Características das escolhascomportamentais
Inferência
População Mensuração
EconometriaCaracterísticas das escolhascomportamentais
Passos para uma análise
econométrica
� Formulação da questão de interesse� Formulação das hipóteses: construção de um modelo
econômico formal (equações que descrevem umarelação)
� Construção do modelo econométrico (parametrização)� Definir forma funcional;� Quantificar variáveis do modelo;� Formular hipóteses sobre os parâmetros do modelo
� Aplicação: Existe relação entre investimento e capital de estoque?
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Inferência Clássica
População Mensuração
Econometria
Inferência imprecisa sobrea população inteira –teoria de amostragem, teoria assintótica
Características das escolhascomportamentais
Inferência Bayesiana
População Mensuração
Econometria
Inferência exata sobre umaamostra – densidade posterior
Características das escolhascomportamentais
Estrutura dos dados
� Mecanismos de observação� Passivo, não experimental� Ativo, experimental� Os chamados ‘experimentos naturais’
� Tipos de dados� Cross section� Séries de tempo� Dados em painel/longitudinais
Modelos Econométricos
� Lineares; estáticos e dinâmicos� Escolhas discretas� Dados censurados ou truncados� Modelos estruturais ou sistemas de
equações.
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Métodos de estimação
� Mínimos Quadrados – OLS, GLS, LAD, quantílica� Máxima Verossimilhança
� Máxima Verossimilhança Formal� Máxima Verossimilhança Simulada
� Variáveis instrumentais e GMM (Método de Momentos Generalizados)
� Estimação Bayesiana – Cadeia de Markov, Monte Carlo
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A Questão da Causalidade
� Estabelecer relações entre variáveis não é suficiente para a análise econômica.
� Usualmente, o interesse está na causalidadeentre as variáveis: “se aumenta a taxa de juros, o crescimento econômico cai?”
� Para encontrarmos o efeito causal, outrasvariáveis devem estar constantes – o chamado“efeito ceteris paribus”
� É difícil estabelecer causalidade!!
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Exemplo: Retornos Educação
� Modelo de capital humano: mais educaçãofaz com que as pessoas obtenhamrendimentos mais elevados.
� Simplificando, seria esta equação:
ueducY ++= 10 ββ
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Exemplo:
� A estimativa de b1, é o retorno daescolaridade, mas pode ser considerada um efeito causal?
� Tudo depende do termo de erro, u, queinclui outros fatores que afetam o rendimento.
� Fatores não observados e observadospodem estar presentes neste termos de erro.
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Econometria
1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear
Operações básicas de vetores
� Adição� Suponha dois vetores x e y com n componentes
cada:
Operações básicas de vetores
� Multiplicação escalar� x é um vetor com n componentes, α é um escalar.
Operações básicas de vetores
� Multiplicação
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Independência de vetores
� Considere os seguintes m vetores de dimensãon:
� Podemos escrevê-los da seguinte forma{x1, x2, . . . , xm}
Independência de vetores
� O conjunto de m vetores é dito independentese nenhum deles pode ser escrito como umacombinação linear dos demais.
� Se {x1,x2,…,xm} são vetores independentes nãoexiste um conjunto de escalares diferentes de zero {a1, a2, . . . ,am} tais que:
a1x1 + a2x2 + . . . + amxm = 0
Ortogonalidade
� Dois vetores x e y são ortogonais se e somentese:
x'y = 0
� Isto implica que o ângulo formado entre estesdois vetores tem coseno igual a zero.
Base de um espaço vetorial
� Um conjunto de vetores {x1,…,xm} que sãoindependentes formam um espaço vetorial V de dimensão m.
� Por exemplo, se m = 3
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Base de um espaço vetorial
� Os três vetores podem ser usados paraconstruir qualquer vetor no espaço R3.
� Qualquer vetor de dimensão M pode ser construído como uma combinação linear dos vetores x1,x2,…xm se estes vetores sãoindependentes.
� Um conjunto de m vetores que forma um espaço V de dimensão m constitui a base desteespaço.
Norma
� O tamanho da norma de um vetor x é definido como:
� Dois vetores são ditos ortonormais se e somente se:
( ) ( ) 212
12 'xxxx i == ∑
0'
1
===
yx
yx
Matrizes: operações
� Adição: as matrizes devem ter a mesma dimensão.
Matrizes: operações
� Propriedades da Adição
Se A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn, a, b escalares:
1. A = B sss aij = bij para todo i, j 2. C = A ± B sss cij = aij ± bij para todo i, j 3. aA = [a×aij]mxn4. a(A + B) = aA + aB 5. aA + bA = (a + b)A 6. A ± B = B ± A (lei comutativa) 7. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C (lei associativa)
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Matrizes: operações
� Multiplicação: � Se A é uma matriz mxn e B uma matriz nxm (o número de
colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B):
Matrizes: operações
� Exemplo:
Matrizes: operações
� Propriedades da Multiplicação
1. A(B + C) = AB + AC 2. (A + B)C = AC + BC 3. AB = 0 ≠ A = 0 ou B = 0 4. AB = AC ≠ B = C5. AB ≠ BA na maioria dos casos
Matrizes: determinantes
� Matriz 2×2:
21122211 aaaaA −=
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Matrizes: determinantes
� Matriz 3×3:
Matrizes: determinantes
� Matriz 3×3:
( )( ) ( )22132312311332331221
3223332211
bbbbbbbbbb
bbbbbB
−+−−−−=
Determinantes: interpretação
geométrica
� Exemplo:
�
Matrizes: transposta
� Se a matriz A é mxn, sua transposta, A', será nxm, i.e., se A = [aij] então A' = [aji].
� Exemplo:
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Matrizes: transposta
� Propriedades:
1. (A + B)' = A' + B‘
2. (AB)' = B'A‘
3. Uma matriz A tal que A’A=A é dita matriz idempotente
Matrizes: posto
� Seja A uma matriz mxn. O posto de A é dado pelamaior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com determinantes diferentes de zero.
� O posto da linha de A é o maior número de linhaslinearmente independentes.
� Se todas as linhas de A forem linearmenteindependentes, A tem posto cheio (full row rank).
� De forma similar, o posto da coluna de A é o maiornúmero de colunas linearmente independentes.
Matrizes: posto
� Exemplo:
� Para cada submatriz de ordem 4 (existem 5), o determinante é zero. Para cada submatriz de ordem 3 (há 40), o determinantetambém é zero. Mas, para a matriz abaixo, o determinante não é nulo, logo, o posto é 2.
−−−
−−
072537
21713
141915111
35231
08111
31det ≠=
Matrizes: posto
� Exemplo:
� A matriz A tem determinante igual a zero (3a. linha igual a 2a. linha multiplicada por -3).
� Posto de A = 2
−−−=
−=−−=++−=++
336
112
321
1336
02
132
A
zyx
zyx
zyx
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Matrizes: posto
� Propriedades:
1. Posto da linha = posto da coluna
2. ρ(AB) ≤ ρ(A) e ρ(B)
3. ρ(A) + ρ(A') = ρ(AA') = ρ(A'A)
4. ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B)
5. se |Amxm| = 0 logo ρ(A) < m
Matrizes: inversa
� Considere uma matriz A quadrada, se a inversa de A existir, será única:
� Cofator: quando os elementos da i-ésima linha e da j-ésima colunada matriz A são removidos, o determinante da sub-matriz quadradaque permanece é chamado de “first minor” (primeiro menor) de A e denominado |Aij|. O determinante afetado pelo sinal (-1)i+j é chamado de cofator de aij:
∆ij =(-1)i+j |Aij|
Matrizes: inversa
� Exemplo:
Matrizes: inversa
� Se a Matriz A é não singular, sua inversa é dada por:
� Onde [Aij]' é a matriz dos cofatores transposta: matriz adjunta de A.
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Matrizes: inversa
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
� Exemplo:
|A| = (-1)2(1)(0-6) + (-1)3(4)(10 + 2) + (-1)4(1)(6 - 0) = (-6) - (48) + 6 = - 48
Matrizes: inversa
Matrizes: inversa Matrizes: inversa
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
� Propriedades:
1. Se |A|≠0 As linhas de A são linearmente independentesAs colunas de A são linearmente independentes
2. (AB)-1 = B-1A-1
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Matrizes: traço
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
� Traço de A =
� Propriedades:
1. Tr (kA) = k Tr(A), onde k é um escalar2. Tr (AB) = Tr (BA)3. Tr (In) = n
Transformações lineares
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
� Transformação de um vetor no subespaço Rn em um vetor no subespaço Rm
� Na notação matricial: Y = AX , onde X e Y são vetores de ordem n e m, respectivamente, e, A é uma matriz de dimensão mxn.
� Exemplo:
� A projeta o vetor X tridimensional,em um plano bidimensional.
ECONOMETRIA – CONCEITOS BÁSICOS E MQO
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Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
S y' y y' X ' X ' y ' X ' X
S y' X
x' y
' X ' y
x' y
' X ' X
X ' y .2 X ' Xb X ' X b 0
2 X ' y 2 X ' X b 0
X ' y X ' X b
b X ' X 1 X ' yDanielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2010
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Econometria
1. Exemplo da técnica MQO2. Hipóteses do Modelo de RLM3. Ajuste do Modelo4. Modelo Restrito
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
Econometria
1. Exemplo da técnica MQO
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
MQO
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MQO Resíduos
Resíduos MQO MQO
M = I- X(X’X) -1X’
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MQO
Econometria
1. Exemplo da técnica MQO2. Hipóteses do Modelo de RLM
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009
Hipóteses do modelo
� Linearidade significa ser linear nos parâmetros.
� Identificação: Só existe um único conjunto de parâmetros que produz E[y|x].
� Média condicional zero
� Forma da matriz de variância covariância
� Hipóteses sobre a distribuição de probabilidade.
Linearidade do Modelo
� f(x1,x2,…,xK,β1,β2,…βK) = x1β1 + x2β2 + … + xKβK
� Notação: x1β1 + x2β2 + … + xKβK = x′β′β′β′β.
� E[y|x] = β1*1 + β2*x2 + … + βK*xK. (β1*1 = intercepto).
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Linearidade
� Modelo linear simples, E[y|x]=x’β� Modelo Quadrático: E[y|x]= α + β1x + β2x2
� Modelo Loglinear, E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk
� Modelo Semilog, E[y|x]= α + Σk lnxkβk
� Modelo Translog: E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk
+ (1/2) Σk Σl δkl lnxk lnxl
Todos modelos são lineares e existe um infinito número de variações de modelos lineares.
Linearidade
� Linearidade significa ser linear nos parâmetros, não nas variáveis
� E[y|x] = β1 f1(…) + β2 f2(…) + … + βK fK(…). fk() pode ser qq função dos dados.
� Exemplos:� Logs� Variáveis Dummy� Funções quadráticas, interações, etc.
Unicidade da média condicional
A relação da média condicional pode ser válida para qualquer conjunto de n observações, i = 1,…,n. Se n ≥ K E[y1|x] = x1′β′β′β′βE[y2|x] = x2′β′β′β′β…E[yn|x] = xn′β′β′β′β
Para todas n observações temos que : E[y|X] = Xββββ = Eββββ.
Unicidade de E[y|X]
Suponha que exista um γγγγ ≠ ββββ que produz o mesmo valor esperado,
E[y|X] = Xγγγγ = Eγγγγ.Se δδδδ = ββββ - γγγγ. Temos que:
Xδδδδ = Xββββ - Xγγγγ = Eββββ - Eγγγγ = 0.
Isto é possível? X é uma matriz n×K.
O que significa Xδδδδ = 0? Por hipótese, isto não é possível.Hipótese de ‘posto cheio’ – hipótese de ‘identificação’.
Podemos ‘estimar’ ββββ com n ≥ K .
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Dependência Linear
� Exemplo:x = [i , renda não trabalho, renda do trabalho, renda total]
Não existe dependência linear: Nenhuma variável pode ser escrita como uma função linear de outras variáveis do modelo. Condição de identificação. A teoria não necessariamente elimina a possibilidade de dependência linear, contudo, é importante para fazer a estimação possível.y = β1 + β2N + β3S + β4T + ε, onde T = N+S. y = β1 + (β2+a)N + (β3+a)S + (β4-a)T + ε para qualquer a,
= γ1 + γ2N + γ3S + γ4T + ε. � O que está sendo estimado…?� Não eliminamos a possibilidade de dependência não linear. Ex:
x e x2.
Média condicional zero
O y observado é igual a E[y|x] + variável aleatória. y = E[y|x] + ε (distúrbio)
� Existe alguma informação sobre ε em x? Ou seja, algum movimento em x dá informação sobre ε? Caso sim, não especificamos corretamente a média condicional, a função ‘E[y|x]’ não é a média condicional (não é a regressão populacional)
� Existe informação sobre ε em outras variáveis. Se E[ε|x] ≠ 0 segue que Cov[ε,x] ≠ 0.
� Violação da hipótese de ‘independência’
Média condicional zero
� E[ε|todos dados em X] = 0 � E[εεεε|X] = 0 é mais forte que E[εi | xi] = 0
� O segundo diz que o conhecimento de xi não dá nenhuma informação sobre a média de εi.
� O primeiro diz que nenhum xj dá informação sobre o valor esperado de εI.
� “nenhuma informação” é similar a nenhuma correlação.
Homocedasticidade e não
Autocorrelação
� Var[εεεε|X] = σ2I.
� Var[εεεε] = σ2I? Prova: Var[εεεε] = E[Var[εεεε|X]] + Var[E[εεεε|X]].
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Distribuição Normal de ε
� Usada para facilitar as derivações de estatísticas de testes em amostras finitas.
� Derivação das distribuições exatas das estatísticas t, F.
O Modelo Linear
� y = Xββββ+ε, N observações, K colunas em X, incluindo a coluna de um.� Hipóteses sobre X� Hipóteses sobre ε|X� E[ε|X]=0, E[ε]=0 and Cov[ε,x]=0
� Regressão?� Se E[y|X] = Xββββ� Aproximação: projeção linear.