Ecua lineal

Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.

Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.

DefiniciónDefinición

2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5

3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0

8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1

2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5

3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0

8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1

Ejemplo 1: Ecuaciones linealesEjemplo 1: Ecuaciones lineales

Definición de una ecuación lineal

5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado

6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado

5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado

6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado

Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones linealesContraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales

Definición de una ecuación lineal

También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.

NotaNota

Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.

Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.

Solución o raíz de una ecuaciónSolución o raíz de una ecuación

Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:

2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19

Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:

2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19

Ejemplo 2Ejemplo 2

Raíz o solución de una ecuación

Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3obtenemos:

7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16


7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16

Ejemplo 3Ejemplo 3



4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa

Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31


4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa

Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31

Contraejemplo 2Contraejemplo 2


Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.

Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:

6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24

20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto

Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.

Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:

6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24

20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto

Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.

Ejemplo 4Ejemplo 4

Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.

Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.

Resolver una ecuaciónResolver una ecuación

Solución de una ecuación

Reglas Básicas de las igualdades

Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:

A + C = B + C A - C = B - C

Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.

Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:

A + C = B + C A - C = B - C

Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.

Regla 1Regla 1


Resuelva x + 5 = 18

x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados

x = 13 Solución

Resuelva x + 5 = 18

x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados

x = 13 Solución

Ejemplo 5Ejemplo 5


Resuelva x - 6 = 19

x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados

x = 25 Solución

Resuelva x - 6 = 19

x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados

x = 25 Solución

Ejemplo 6Ejemplo 6


Resuelva 7 = -3 + x

7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados

10 = x Solución

Resuelva 7 = -3 + x

7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados

10 = x Solución

Ejemplo 7Ejemplo 7


Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:

A · C = B · C

Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.

Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:

A · C = B · C

Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.

Regla 2Regla 2

C

B

C

A =


Resuelva 7x = 56

Dividimos por 7 a ambos lados

x = 8 Solución

Resuelva 7x = 56


x = 8 Solución

Ejemplo 8Ejemplo 8

7

56

7

7 =x


Resuelva

Multiplicamos por 6 a ambos lados

x = 180 Solución

Resuelva


x = 180 Solución

Ejemplo 9Ejemplo 9

)30(66

6 =

x

306

=x


Resuelva -4x = -28


x = 7 Solución

Resuelva -4x = -28


x = 7 Solución

Ejemplo 10Ejemplo 10

4

28

4

4

−−=

−− x

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.

NotaNota


Resuelva 3x + 5 = 8Resuelva 3x + 5 = 8


13

3

3

3

33

58553

=

=

=−=−+

x

x

x

x Restamos 5 a ambos lados

Simplificamos


Solución


Resuelva

Prueba:

Resuelva

Prueba:


54

)18(33

3

183

61266

=

=

=

+=+−

x

x

x

x Sumamos 6 a ambos lados

Simplificamos


Solución

1263

=−x

12618

1263

54

=−

=−

Cierto


Resuelva 120 – 80x = 50

Prueba:

Resuelva 120 – 80x = 50

Prueba:


8

780

70

80

80

7080

1205080120120

=

−−=

−−

−=−−=−−

x

x

x Restamos 120 a ambos lados

Simplificamos

Dividimos por -80 a ambos lados

Solución (Simplificada)

5070120

508

780120

=−

=

−

Cierto

Ver Respuestas

1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41

2) x - 3 = 25 7)

3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x

4) 9) 6 = 5x - 4

5) 5x - 6 = 48 10)

1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41

2) x - 3 = 25 7)

3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x

4) 9) 6 = 5x - 4

5) 5x - 6 = 48 10)

Post-pruebaPost-prueba

486

=x

204

5 =+ x

843

2 =−x

1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =

2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60

3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =

4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2

5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18

1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =

2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60

3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =

4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2

5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18

Post-prueba - RespuestasPost-prueba - Respuestas

486

=x

204

5 =+ x

843

2 =−x5

54

7

37

3

5−

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Ecua lineal