La Ecuacin de Bernoulli

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La Ecuacin de Bernoulli201426/05/2014

Universidad Catlica de Santa Mara

Ao de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico

Facultad de Ciencias e Ingenieras Biolgicas y Qumicas

Programa Profesional de Ingeniera de Industria Alimentaria

Nombres y Apellidos: Coloma Sahuanay, Brenda JenniferRojas Vela, Elvis Elias

Asignatura: Fsica I

Docente: Guzmn Valdivia, Alfredo

Fecha de Entrega: 26-05-2014

Biografa

Daniel Bernoulli FRS (Groninga, 8 de febrero de 1700 Basilea, 17 de marzo de 1972) fue un matemtico, estadstico, fsico y mdico holands-suizo y fue uno de los muchos matemticos prominentes de lafamilia Bernoulli . Destac no slo en la matemtica pura, sino tambin en las llamadas aplicadas, principalmente estadsticas y probabilidad. Hizo importantes contribuciones en hidrodinmica y elasticidad.l es particularmente recordado por sus aplicaciones de las matemticas a la mecnica, especialmentela mecnica de fluidos, y por su trabajo pionero en laprobabilidadyestadsticas.Su nombre se conmemora en elprincipio de Bernoulli, un ejemplo particular de laconservacin de la energa, que describe la matemtica del mecanismo subyacente en la explotacin de dos importantes tecnologas del siglo 20: elcarburadory el avin a motor.Por deseo de su padre estudiMedicinaen laUniversidad de Basilea. Daniel finaliz los estudios de Medicina en 1721. En principio intent entrar como profesor en la Universidad de Basilea, pero fue rechazado.En 1738 public su obraHydrodynamica, en la que expone lo que ms tarde sera conocido como elPrincipio de Bernoulli, que describe el comportamiento de un fluido al moverse a lo largo de un conducto cerrado. Daniel tambin hizo importantes contribuciones a lateora de probabilidades.Es notorio que mantuvo una mala relacin con su padre a partir de 1734, ao en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de Pars. Johann lleg a expulsarlo de su casa y tambin public un libroHydraulicaen el que trat de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia.En 1750 la Universidad de Basilea le concedi, sin necesidad de concurso, la ctedra que haba ocupado su padre. Public 86 trabajos y gan 10 premios de la Academia de Ciencias de Pars, slo superado por Euler que gan 12.Daniel Bernoulli fue elegido miembro de laRoyal Societyel 3 de mayo de 1750.Al final de sus das orden construir una pensin para refugio de estudiantes sin recursos. Muri de un paro cardio-respiratorio.

Primeros AosDaniel Bernoulli naci enGroninga, en losPases Bajos, en una familia de distinguidos matemticos.La familia Bernoulli vino originalmente de Amberes, en ese momento en los Pases Bajos espaoles, pero emigr por escapar de la persecucin espaola de los hugonotes.Despus de un breve perodo en Frankfurt la familia se traslad a Basilea, en Suiza.Daniel era el hijo deJohann Bernoulli(uno de los primeros desarrolladores declculo),el sobrino deJakob Bernoulli(quien fue el primero en descubrir lateora de la probabilidad),y el hermano mayor deJuan II.Daniel Bernoulli fue descrito porWW Rouse Bolacomo "de lejos, el ms capaz de los ms jvenes Bernoulli".Se dice que ha tenido una mala relacin con su padre, Johann.Dos de ellos entran y empatan en el primer lugar en un concurso cientfico en laUniversidad de Pars, Johann, incapaz de soportar la vergenza de ser comparado como igual con Daniel, lo prohibi salir de su casa.Johann Bernoulli tambin plagi algunas ideas clave del libro de Daniel Hydrodynamicaen su propio libroHydraulicaque retroactivo antes a Hydrodynamica.A pesar de los intentos de Daniel de reconciliacin, su padre llevaba el resentimiento hasta su muerte. Cuando Daniel tena siete aos, su hermano menor,Johann II Bernoullinaci. Alrededor de la edad de escolarizacin, su padre, Johann Bernoulli, le anim a estudiar administracin de empresas, habiendo recompensas pobres en espera de un matemtico.Sin embargo, Daniel se neg, porque quera estudiar matemticas.Ms tarde cedi a los deseos de su padre y estudi negocios.Su padre le entonces a estudiar enla medicina, y Daniel estuvo de acuerdo con la condicin de que su padre le iba a ensear matemticas en privado, que continuaron por algn tiempo. Daniel estudi medicina en Basilea,HeidelbergyEstrasburgo, y obtuvo un doctorado en la anatoma y la botnica en 1721. l era un amigo contempornea y cerca deLeonhard Euler.Se fue aSanPetersburgoen 1724 como profesor de matemticas, pero no era feliz all, y una enfermedad temporal en 1733 le dio una excusa para irse.l volvi a la Universidad de Basilea, donde ocup sucesivamente las ctedras demedicina,la metafsicay lafsica filosofahasta su muerte. En mayo de 1750 fue elegidomiembro de la Royal Society.

Trabajo MatemticaSu trabajo matemtico ms antiguo fue elExercitationes (Ejercicios matemticos),publicado en 1724 con la ayuda de Goldbach.Dos aos ms tarde se seal por primera vez la conveniencia frecuente de la resolucin de un movimiento compuesto en movimientos de traslacin y el movimiento de rotacin.Su obra principal esHydrodynamica,publicado en 1738;se asemeja aJoseph Louis Lagrange'sMcanique Analytiqueen que est dispuesta de manera que todos los resultados son consecuencias de un nico principio, a saber,la conservacin de la energa.Esto fue seguido por una memoria sobre la teora de las mareas, a la que, conjuntamente con las memorias de Euler yColin Maclaurin, un premio fue otorgado por laAcademia Francesa: estas tres memorias contienen todo lo que se ha hecho sobre este tema entre la publicacin deIsaac Newton'sPhilosophiae Naturalis Principia Mathematicay las investigaciones dePierre Simon Laplace. Bernoulli tambin escribi un gran nmero de artculos sobre diversas cuestiones mecnicas, sobre todo en los problemas relacionados conlas cuerdas vibrantes, y las soluciones dadas porBrook Taylory deJean le Rond d'Alembert. Junto Bernoulli y Euler trataron de descubrir ms sobre el flujo de fluidos.En particular, queran saber acerca de la relacin entre la velocidad a la que fluye la sangre y su presin.Para investigar esto, Daniel experiment por puncin de la pared de un tubo con una pequea paja abierta y observ que la altura a la que el lquido se levant la paja estaba relacionada con la presin del fluido en la tubera. Pronto los mdicos de toda Europa estaban midiendo la presin arterial de los pacientes por pegar tubos de vidrio de punto de composicin directamente en sus arterias.No fue sino hasta unos 170 aos ms tarde, en 1896, que un mdico italiano descubri un mtodo menos doloroso que todava est en uso hoy en da.Sin embargo, el mtodo de medicin de la presin de Bernoulli todava se utiliza hoy en da en los aviones modernos para medir la velocidad del aire que pasa el plano;que es su velocidad de aire.Tomando ms sus descubrimientos, Daniel Bernoulli ahora volvi a su trabajo anterior sobre la Conservacin de la Energa. Se saba que un cuerpo en movimiento intercambia su energa cintica para la energa potencial cuando se gana altura. Daniel dio cuenta de que de una manera similar, un movimiento intercambios de fluidos su energa cintica para la presin. Matemticamente esta ley est escrito:

Donde P es la presin, es la densidad del fluido y u es su velocidad.Una consecuencia de esta ley es que si la velocidad aumenta entonces la presin cae.Esta es explotada por el ala de un avin que est diseado para crear un rea por encima de su superficie donde la velocidad del aire aumenta.La presin de esta zona es ms bajo, y por lo que el ala es aspirada hacia arriba.

EstadsticaDaniel Bernoulli fue tambin el autor en 1738 dela pieza theoriae novas de mensura Sortis (Exposicin de una nueva teora sobre la Medicin de Riesgo),en el que elSt.Petersburgo paradojafue la base de la teora econmica dela aversin al riesgo,prima de riesgoy lautilidad. Uno de los primeros intentos de analizar un problema estadstico involucradatos censuradosera 1.766 anlisis de Bernoulli dela viruelamorbilidadymortalidadde datos para demostrar la eficacia dela vacunacin.

FsicaEnHydrodynamica (1738)sent las bases de lateora cintica de los gases, y se aplica la idea de explicarla ley de Boyle. Trabaj con Euler sobrela elasticidady el desarrollo de laecuacin de Euler-Bernoulli viga,el principio de Bernoullies de uso crtico enla aerodinmica.

PrembuloQuerer discutir las propiedades de un fluido en movimiento. Podr hacer esto inicialmente posible bajo simples condiciones, las cuales conducen a la ecuacin de Bernoulli. Y se les aplican las siguientes restricciones:

El flujo es no viscoso, no hay fuerzas de arrastre viscoso La conduccin de calor no es posible para un fluido no viscoso El fluido es incompresible. El flujo es estacionario (patrn de velocidad constante). Los caminos recorridos por pequeas secciones del fluido estn bien definidos. Ser implcitamente usando las ecuaciones de Euler de movimiento

Coordenadas y lneas de corriente

Cada pieza de fluido tiene una velocidad v. Flujo constante, nada cambia con el tiempo dado ubicacin. Todas las partculas que pasan a travs de (1) termina arriba en (2) con una velocidad v Las trayectorias seguidas por las partculas son llamadas lneas de corriente. Describe los movimientos en trminos de distancia recorrida a lo largo de lnea de corriente, s. Velocidad dada por . Es normal a la velocidad en n. La corriente de lnea se puede doblar, R es el radio de curvatura.

Usando coordenadas fijas del cuerpo. Si las partculas cambian de velocidad a lo largo de lnea de corriente, o racionalizan curvas, la aceleracin debe estar siempre presente.

La Aceleracin Tangencial

La Aceleracin Normal

El radio de la curvatura R, cambia de acuerdo lo largo de la lnea de corriente.

Lneas de Corriente Coordenadas

Es conveniente utilizar un sistema de coordenadas definido en trminos de las lneas de corriente de flujo. La coordenada a lo largo de la lnea de corriente es s y la coordenada normal a racionalizar es n. Los vectores de la unidad de la lnea de corriente coordenadas son y . La direccin de ser elegida para estar en la misma direccin que la velocidad. Entonces .

Y

Streamlines

V

S

El plano de flujo est cubierto con una red curvada ortogonal de lneas coordenadas y y para flujo constante.Fuerzas Sobre Lneas de Corriente

Cualquier partcula que viaja a lo largo de la lnea de corriente ser sometida a una serie de fuerzas. Las Fuerzas relevantes para la ecuacin de Bernoulli son la gravedad y la presin.

Lneas de Corriente

Resolveremos fuerzas en direcciones paralelas a y perpendicular a con partculas en movimiento. Est fuera de pgina, est abajo, es horizontal.

Resolver fuerzas:

sera 0 para el movimiento horizontal.La presin cambia con la altura. Sea la presin en medio de la losa de fluido. Deje sean presin en frente a la losa y sea la presin detrs de la losa. De la serie de Taylor:

La fuerza de presin neta

La fuerza neta

Introduccin

Elprincipio de Bernoulli, tambin denominadoecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de unacorriente de agua, dice que la suma de energas potencial y cintica en los varios puntos del sistema es constante, cuando el dimetro de un tubo se modifica, la velocidad tambin se modifica. Fue expuesto porDaniel Bernoullien su obraHidrodinmica(1738) y expresa que en un fluido ideal (sinviscosidadni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, laenergaque posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

La ecuacin de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaracin del principio de la conservacin de la energa, para el flujo de fluidos. El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el trmino "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presin del lquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor. Este descenso de presin por un estrechamiento de una va de flujo puede parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presin como una densidad de energa. En el flujo de alta velocidad a travs de un estrechamiento, se debe incrementar la energa cintica, a expensas de la energa de presin.

La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

Cintica: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido; Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea; energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.

La siguiente ecuacin conocida como "ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

Donde:

=velocidaddel fluido en la seccin considerada. =densidaddel fluido. =presina lo largo de la lnea de corriente. =aceleracin gravitatoria = altura en la direccin de lagravedaddesde unacotade referencia.

Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad(friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudalconstante. Flujo incompresible, dondees constante. La ecuacin se aplica a lo largo de unalnea de corrienteo en un flujo irrotacional.

Un ejemplo de aplicacin del principio se da en elflujo de agua en tubera.

Tambin podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por, de esta forma el trmino relativo a la velocidad se llamarpresin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en la presin esttica.

O escrita de otra manera ms sencilla:

Donde: es una constante

Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de laenerga cintica, laenerga de flujoy laenerga potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de laconservacin de la energa realmente se deriva de la conservacin de laCantidad de movimiento.Esta ecuacin permite explicar fenmenos como elefecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Este efecto explica porqu las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presin del aire es menor fuera debido a que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro, donde la presin es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehculo pero esto ocurre por fenmenos deturbulenciaycapa lmite.

La ecuacin de Bernoulli

La ecuacin de Bernoulli es una relacin aproximada entre la presin, velocidad y elevacin y es vlida en condiciones de estado estacionario, flujo incompresible, donde la fuerza friccional neta es despreciable.Considere el movimiento de una partcula de fluido en un campo de flujo en estado estacionario. Aplicando la segunda ley del movimiento de Newton (ecuacin de momento lineal) en la direccin s, sobre una partcula moviendo a lo largo de una lnea de corriente.

En regiones de flujo donde las fuerzas friccionales netas son despreciables, no hay bomba o turbina, y no hay transferencia de calor a lo largo de la lnea de corriente, las fuerzas significativas actuando sobre la direccin s son la presin (actuando sobre ambos lados) y el componente del peso de la partcula en la direccin s. Por eso:

W es el peso de la partcula de fluido y

Sustituyendo.

Cancelando dA de cada termino y simplificando.

Note que y dividiendo cada termino por la densidad,

Las ltimas dos expresiones son diferenciales exactas, en el caso de flujo incompresible, el primer termino tambin llega a ser una diferencial exacta e integrando a lo largo de una lnea de corriente.

Esta es la ecuacin de Bernoulli para flujo incompresible en estado estacionario a lo largo de una lnea de corriente en regiones de flujo no viscosas. La ecuacin de Bernoulli tambin puede ser escrita entre dos puntos de la misma lnea de corriente como:

Equiparar dos expresiones para

El cambio en la velocidad de las partculas de fluido a lo largo de una lnea de corriente se lleva a cabo por una combinacin de presin y fuerzas de gravedad.

Ahora use Y Y A lo largo de la lnea de corriente

Expresin Compacta de Bernoulli

Ahora haciendo la suposicin de que la densidad es constante, se obtiene la ecuacin de Bernoulli:

La suposicin de densidad constante (flujo incompresible) es bueno para los lquidos (a veces los gases a baja velocidad). La ecuacin de Bernoulli se present en 1738 en el libro Hidrodinmica de Daniel Bernoulli. Si uno tiene fluido compresible

Y el conocimiento de cmo vara con .

Fuerzas normales para aerodinamizar

La aceleracin normal a la lnea de corriente es donde es el radio local de la curvatura de la lnea de corriente.Un cambio en la direccin de la corriente se produce a partir de la presin y/o las fuerzas de gravedad. Resolver las fuerzas:

seria 0 para movimiento vertical.La presin cambia con la altura. Sea p la presin en medio de la losa de fluido, es la presin en la parte superior de la losa y ser la presin en la parte inferior de la losa. De la serie de Taylor

La fuerza de presin neta,

Necesitas combinar las fuerzas de presin y de peso para obtener la fuerza netaCombinando las fuerzas de presin y peso:

La presin y las fuerzas de peso de desequilibrio producen la curvatura. Para el gas que fluye es comn utilizar:

La presin aumenta con distancia del centro de curvatura ( es negativo desde es positivo).Por lneas de corriente rectas paralelas (en gases) . No hay cambios de presin a travs de corriente

Tendr en cuenta los parmetros del fluido normal a racionalizar

donde es constante.

Y as para flujos incompresibles

Para una sustancia comprimible, la mejor reduccin es

Interpretacin para flujos incompresibles

A lo largo de la lnea de corriente

Al otro lado de la lnea de corriente

Las unidades de las ecuaciones de Bernoulli son . Esto no es sorprendente, ya que ambas ecuaciones surgieron de una integracin de la ecuacin de movimiento para la fuerza a lo largo de los y direcciones. La ecuacin de Bernoulli a lo largo de la lnea de corriente es un enunciado del teorema de la energa del trabajo. A medida que la partcula se mueve, la presin y las fuerzas gravitacionales pueden hacer el trabajo, lo que resulta en un cambio en la energa cintica.

Presiones dinmicas y estticas

La presin esttica es la presin como en movimiento medido con el fluido. (Por ejemplo, esttica con el fluido). Este es el trmino de la ecuacin de Bernoulli. Imagnese moverse a lo largo el fluido con un medidor de presin. Algunas veces el trmino en la ecuacin de Bernoulli es llamado presin hidrosttica. (Por ejemplo, es el cambio en la presin debido al cambio en la elevacin.) La presin dinmica es una presin que se produce cuando la energa cintica del fluido que fluye se convierte en aumento de la presin. Esta es la presin asociada con el trmino de la ecuacin de Bernoulli.

La presin esttica en 1 puede ser estimada por la altura de la columna.

Abierto

(4)

(3)

(2)(1)

La presin dinmica en se estima por:

La presin adicional debido a la presin dinmica har que el lquido se eleve una altura de . El punto se llama un punto de estancamiento.

El punto de estancamiento

Estancamiento de Flujo de AirePunto de estancamiento

Punto de estancamiento

Cuando el fluido fluye alrededor de cualquier cuerpo estacionario, algunas de las lneas de corriente pasan por el centro y algunas pasan por debajo del objeto. Pero siempre hay un punto de estancamiento en que la lnea de corriente de estancamiento termina. La presin de estancamiento es:

es la velocidad en algn momento en la corriente de lnea lejos de obstruccin. La presin total es,

es la suma de las presiones estticas, dinmicas y hidrostticas.

Ecuacin de Bernoulli con friccin y trabajo externo

La ecuacin de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportacin de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extraccin de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservacin de laCantidad de movimientopara fluidos incompresibles se puede escribir una forma ms general que tiene en cuenta friccin y trabajo:

Donde:

es elpeso especfico(). Este valor se asume constante a travs del recorrido al ser un fluido incompresible. es el trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad de caudal msico a travs del recorrido del fluido. es la disipacin por friccin a travs del recorrido del fluido. Los subndicesyindican si los valores estn dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente. g = 9,81 m/s2.

Principio de Bernoulli

Endinmica de fluidos, estados principio de Bernoullique para unflujo no viscoso, un aumento en la velocidad del fluido se produce simultneamente con una disminucin enla presino una disminucin en elfluidode energa potencial. El principio lleva el nombre deDaniel Bernoulli, cuando public su libro Hydrodynamica en 1738. El principio de Bernoulli se puede aplicar a diversos tipos de flujo de fluido, resultando en lo que se suelta denotado comola ecuacin de Bernoulli.De hecho, existen diferentes formas de la ecuacin de Bernoulli para diferentes tipos de flujo.La forma simple del principio de Bernoulli es vlida paraflujos incompresibles(por ejemplo, la mayor partede lquidosflujos) y tambin paraflujos comprensibles (por ejemplo,los gases) que se mueven a bajosnmeros de Mach (generalmente menos de 0,3).Las formas ms avanzadas pueden en algunos casos ser aplicadas a los flujos compresibles a mayoresnmeros de MachEl principio de Bernoulli se puede derivar del principio de conservacin de la energa.Esto indica que, en un flujo constante, la suma de todas las formas de energa mecnica en un fluido a lo largo de unalnea de corrientees la misma en todos los. Esto requiere que la suma de la energa cintica y la energa potencial permanezca constante.Por lo tanto un aumento en la velocidad del fluido se produce proporcionalmente con un incremento tanto en supresin dinmicayla energa cintica, y una disminucin de su presin estticay la energa potencial.Si el lquido sale de un depsito, la suma de todas las formas de energa es la misma en todas las lneas de corriente debido a que en un depsito de la energa por unidad de volumen (la suma de la presin yla gravedad potencialgh )es la misma en todas partes.El principio de Bernoulli tambin se puede derivar directamente de la segunda ley de Newton.Si un pequeo volumen de fluido est fluyendo horizontalmente desde una regin de alta presin a una regin de baja presin, entonces hay ms presin detrs que por delante.Esto da una fuerza neta sobre el volumen, la aceleracin a lo largo de la lnea de corriente.Partculas de fluido slo estn sujetas a la presin y su propio peso.Si un fluido est fluyendo en sentido horizontal y a lo largo de una seccin de una lnea de corriente, donde la velocidad aumenta slo puede ser debido a que el fluido en esa seccin se ha movido de una regin de presin ms alta a una regin de menor presin;y si su velocidad disminuye, slo puede ser debido a que se ha movido de una regin de presin ms baja a una regin de presin ms alta.En consecuencia, dentro de un fluido que fluye en sentido horizontal, la velocidad ms alta se produce donde la presin es ms baja, y la velocidad ms baja se produce donde la presin es ms alta.La ecuacin de Bernoulli establece que,

Donde:

puntos 1 y 2 se encuentran en una lnea de corriente, el fluido tiene una densidad constante, el flujo es constante, y no hay friccin.

Aunque estas restricciones suenen grave, la ecuacin de Bernoulli es muy til, en parte porque es muy sencillo de utilizar y en parte porque puede dar gran penetracin en el equilibrio entre la presin, la velocidad y la elevacin.Qu tan til es la ecuacin de Bernoulli?Qu tan restrictiva son los supuestos que rigen su uso?Aqu le damos algunos ejemplos.

Variacin de presin / velocidad

Considere la constante, el flujo de un fluido de densidad constante en un conducto convergente, sin prdidas debidas a la friccin (figura 14).Por tanto, el flujo satisface todas las restricciones que rigen el uso de la ecuacin de Bernoulli.Aguas arriba y aguas abajo de la contraccin hacemos la suposicin de una sola dimensin que la velocidad es constante en las zonas de entrada y salida y paralelo.Figura 14. Conducto unidimensional que muestra el volumen de control.

Cuando las lneas de corriente son paralelas la presin es constante a travs de ellos, a excepcin de las diferencias de altura hidrosttica (si la presin fue mayor en el centro del conducto, por ejemplo, se esperara que las lneas de corriente a divergen, y viceversa).Si hacemos caso omiso de la gravedad, a continuacin, las presiones ms de las reas de entrada y salida son constantes.A lo largo de una lnea de corriente en la lnea central, la ecuacin de Bernoulli y la unidimensionalecuacin de continuidaddan, respectivamente,

Estas dos observaciones proporcionan una gua intuitiva para el anlisis de los flujos de fluido, incluso cuando el flujo no es unidimensional.Por ejemplo, cuando el fluido pasa por encima de un cuerpo slido, las lneas de corriente se acercan juntos, la velocidad de flujo aumenta, y la presin disminuye.Las aspas aerodinmicas estn diseados de modo que el flujo sobre la superficie superior es ms rpido que sobre la superficie inferior, y por lo tanto la presin media sobre la superficie superior es menor que la presin media de la superficie inferior, y se produce una fuerza resultante debido a esta diferencia de presin.Esta es la fuente de ascensor en un perfil aerodinmico.Ascensor se define como la fuerza que acta sobre una superficie de sustentacin debido a su movimiento, en una direccin normal a la direccin de movimiento.Del mismo modo, la friccin en una superficie aerodinmica se define como la fuerza que acta sobre una superficie de sustentacin debido a su movimiento, a lo largo de la direccin del movimiento.Una demostracin sencilla de la sustentacin producida por una corriente de aire requiere un pedazo de papel de cuaderno y dos libros de aproximadamente igual espesor.Coloque los libros cuatro a cinco pulgadas de distancia, y cubrir la brecha con el papel.Cuando se sopla a travs del paso realizado por los libros y el papel, qu ves?Por qu?

Dos ejemplos ms:

Ejemplo 1

Una pelota de tenis de mesa se coloca en un chorro de aire vertical queda suspendido en el jet, y es muy estable a pequeas perturbaciones en cualquier direccin. Empuje la pelota hacia abajo, y de que se devuelve a su posicin de equilibrio;empujarlo hacia los lados, y vuelve rpidamente a su posicin original en el centro del chorro.En la direccin vertical, el peso de la pelota se equilibra con una fuerza debido a las diferencias de presin: la presin sobre la mitad posterior de la esfera es menor que ms de la mitad delantera debido a las prdidas que se producen en laestela(grandes remolinos se forman en la despertarse que disipan una gran cantidad de energa de flujo).Para entender la relacin de fuerzas en la direccin horizontal, lo que necesita saber que el chorro tiene su velocidad mxima en el centro, y la velocidad del chorro disminuye hacia los bordes.La posicin de la bola es estable porque si la bola se mueve hacia los lados, su lado exterior se mueve en una regin de menor velocidad y mayor presin, mientras que su lado interior se mueve ms cerca del centro, donde la velocidad es ms alta y la presin es menor.Las diferencias de presin tienden a mover el baln hacia el centro.

Ejemplo 2

Supongamos que una bola est girando hacia la derecha a medida que viaja a travs del aire de izquierda a derecha, las fuerzas que actan sobre la pelota que gira seran las mismas si se coloca en una corriente de aire que se mueve de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 15.Figura 15. Spinning bola en un flujo de aire.

Una fina capa de aire (unacapa lmite) se ve obligado a girar con el baln debido a la friccin viscosa.En A, el movimiento debido al giro es opuesto a la de la corriente de aire, y por lo tanto cerca de A hay una regin de baja velocidad donde la presin es cercana a la atmosfrica.En B, la direccin del movimiento de la capa lmite es la misma que la de la corriente de aire externo, y puesto que las velocidades aaden, la presin en esta regin es inferior a la atmosfrica.La pelota experimenta una fuerza que acta desde A hasta B, haciendo su camino hacia la curva.Si el giro en sentido anti-horario era, el camino tendra la curvatura opuesta.La aparicin de una fuerza lateral sobre una esfera giratoria o el cilindro se denomina efectoMagnus,y es bien conocido por todos los participantes endeportes de pelota, especialmente el bisbol, el cricket y el tenisjugadores.

Presin de estancamiento y la presin dinmica

La ecuacin de Bernoulli conduce a algunas conclusiones interesantes con respecto a la variacin de la presin a lo largo de una lnea de corriente.Considere la posibilidad de un flujo constante que incide sobre una placa perpendicular (figura 16).Figura flujo punto 16. Estancamiento.

Hay una lnea de corriente que divide el flujo en dos: por encima de esta lnea de corriente todo el flujo Baln por encima del plato, y por debajo de este agilizar todo el flujo pasa por debajo de la placa.A lo largo de esta lnea de corriente divisoria, el fluido se mueve hacia la placa.Dado que el flujo no puede pasar a travs de la placa, el fluido debe venir a descansar en el punto donde se encuentra con la placa.En otras palabras, `` estanca.'' El fluido a lo largo de la divisoria, o `` lnea de corriente estancamiento'' se ralentiza y finalmente llega a descansar sin deformacin en elpunto de estancamiento.La ecuacin de Bernoulli lo largo de la lnea de corriente estancamiento da

Donde el punto e es lejos contra la corriente y el punto 0 se encuentra en el punto de estancamiento.Puesto que la velocidad en el punto de estancamiento es cero,

Elestancamientoo presintotal,p_0, es la presin medida en el punto donde el fluido llega a descansar.Es la presin ms alta se encuentra en cualquier parte del campo de flujo, y se produce en el punto de estancamiento.Es la suma de lapresin esttica(p_0), y lapresin dinmicamedida lejos aguas arriba.Se llama la presin dinmica porque surge a partir del movimiento del fluido.La presin dinmica no es realmente una presin en absoluto: es simplemente un nombre conveniente para la cantidad (media de los tiempos de densidad de la velocidad al cuadrado), que representa la disminucin en la presin debido a la velocidad del fluido.Tambin podemos expresar la presin en cualquier lugar en el flujo en la forma de un no dimensional C_P coeficiente de presin, donde

En el punto de estancamiento C_P = 1, que es su valor mximo.En la corriente libre, lejos de la placa, C_P = 0.

Tubo de Pitot

Una de las aplicaciones ms inmediatas de la ecuacin de Bernoulli es en la medicin de la velocidad con un tubo de Pitot.El tubo de Pitot (llamado as por el cientfico francs Pitot) es uno de los instrumentos ms simples y ms tiles jams concebidas.Consiste simplemente en un tubo doblado en ngulo recto (figura 17).Figura 17. Tubo de Pitot en un tnel de viento.

Al apuntar el tubo directamente la corriente del caudal y la medicin de la diferencia entre la presin detectada por el tubo de Pitot y la presin del flujo de aire circundante, que puede dar una medida muy precisa de la velocidad.De hecho, es probablemente el mtodo ms exacto disponible para la medicin de la velocidad del flujo sobre una base de rutina, y exactitudes mejor que 1% son fcilmente posible.La ecuacin de Bernoulli a lo largo de la lnea de corriente que comienza lejos aguas arriba del tubo y viene a descansar en la boca del tubo de Pitot muestra las medidas de tubo de Pitot la presin de estancamiento en el flujo.Por lo tanto, para encontrar el V_E velocidad, es necesario conocer la densidad del aire, y la diferencia de presin (p_0 - p_e).La densidad se puede encontrar a partir de tablas estndar si la temperatura y la presin son conocidas.La diferencia de presin se encuentra generalmente indirectamente mediante el uso de un `` punto de muestreo esttico presin'' situada en la pared del tnel de viento, o en la superficie del modelo.

Trabajo y Energa

Sabemos que si dejamos caer una pelota se acelera hacia abajo con una aceleracin(Despreciando la resistencia de friccin debido al aire).Podemos calcular la velocidad de la pelota despus de caer a una distanciahpor la frmula(a = gys = h).La ecuacin puede aplicarse a una gota que cae del agua como se aplican las mismas leyes del movimientoUn enfoque ms general para la obtencin de los parmetros de movimiento (de ambos slidos y fluidos) es aplicar el principio deconservacin de la energa. Cuando la friccin es despreciable la suma de la energa cintica y la energa potencial gravitacional es constante.Energa cinticaEnerga potencial gravitatoria(Mes la masa,ves la velocidad yhes la altura por encima del dato).Para aplicar esto a una gota que cae tenemos una velocidad inicial de cero, y que cae a travs de una altura de h.La energa cintica inicialLa energa potencial inicialLa energa cintica finalEnerga potencial finalSabemos queEnerga + energa potencial cintica = constanteAsEnerga cintica inicial + energa potencial inicial = energa cintica final + energa potencial final

As

Aunque esto se aplica a una gota de lquido, un mtodo similar se puede aplicar a unchorro continuode lquido.

La trayectoria de un chorro de aguaPodemos considerar la situacin como en la figura anterior - un chorro continuo de agua proveniente de una tubera con velocidad.Una partcula del lquido con la masaviaja con el chorro y cadas desde una alturaa.La velocidad tambin cambia desdea.El chorro se desplaza en el aire, donde la presin atmosfrica es en todas partes lo que no hay fuerza debido a que acta sobre el fluido a presin.La nica fuerza que acta es que debido a la gravedad.La suma de las energas cintica y potencial se mantiene constante (como descuidamos las prdidas de energa debido a la friccin), de modo

Comoes constante esto se convierte

Esto dar un resultado razonablemente precisa, siempre y cuando el peso del chorro es grande en comparacin con las fuerzas de friccin.Slo es aplicable mientras el chorro es entero - antes de romperse en gotas.

El flujo desde un depsito

Podemos utilizar una aplicacin muy similar del concepto de conservacin de la energa para determinar la velocidad de flujo a lo largo de una tubera desde un depsito.Considere el 'depsito idealizado' en la siguiente figura.

El nivel del agua en el depsito es.Teniendo en cuenta la situacin de la energa - no hay movimiento de agua lo que la energa cintica es cero, pero la energa potencial gravitatoria es.Si un tubo est unido en la parte inferior de agua fluye a lo largo de este tubo fuera del tanque a un nivel.Una masaha fluido desde la parte superior del depsito a la boquilla y que ha ganado una velocidad.La energa cintica es ahoray la energa potencial.ResumiendoLa energa cintica inicialLa energa potencial inicialLa energa cintica finalEnerga potencial finalSabemos queEnerga + energa potencial cintica = constanteAs

As

Ahora tenemos una expresin para la velocidad del agua a medida que fluye a partir de una boquilla de la tubera a una alturapor debajo de la superficie del depsito.(Despreciando las prdidas por friccin en la tubera y la boquilla).Ahora aplicar esto a este ejemplo: un depsito de agua tiene la superficie a 310m por encima de la boquilla de salida de un tubo con 15 mm de dimetro.Cul es la a) la velocidad, b) la descarga de la boquilla y c) tasa de flujo de masa.(Abandono todas las fricciones en la boquilla y el tubo).

Tasa de flujo de volumen es igual al rea de la boquilla multiplicado por la velocidad

La densidad del agua espor lo que la tasa de flujo de masa es

En los ejemplos anteriores la fuerza de presin resultante fue siempre cero como la presin que rodea el fluido era la misma en todas partes la - atmosfrica.Si las presiones hubieran sido diferentes, no habra sido una fuerza que acta extra y que tendramos que tener en cuenta el trabajo realizado por esta fuerza en el clculo de la velocidad final.Ya hemos visto en la seccin de la hidrosttica un ejemplo de la diferencia de presin, donde las velocidades son cero.

El tubo se llena con fluido estacionaria de la densidadtiene presionesya nivelesyrespectivamente.Cul es la diferencia de presin en trminos de estos niveles?

o

Esto se aplica cuando la presin vara, pero el fluido es estacionario.Compare esto con la ecuacin derivada de la presin del fluido, pero constante movimiento:

Se puede ver que se trata de forma similar.Qu pasara si la presin y la velocidad variaran?

La ecuacin de Bernoulli es una de las ecuaciones ms importantes / tiles en la mecnica de fluidos.Puede ser escrito,

Vemos que a partir de la aplicacin de una presin igual o cero velocidades obtenemos las dos ecuaciones de la seccin anterior.Ambos son slo casos especiales de la ecuacin de Bernoulli.La ecuacin de Bernoulli tiene algunas restricciones en su aplicacin, son:

El flujo es constante; La densidad es constante (lo que tambin significa que el fluido es incompresible); Las prdidas por friccin son insignificantes. La ecuacin relaciona los estados en dos puntos a lo largo de una nica lnea de corriente, (no condiciones en dos lneas de corriente distintas). Todas estas condiciones son imposibles de satisfacer en cualquier instante en el tiempo!Afortunadamente para muchas situaciones reales, donde las condiciones son aproximadamentesatisfechas, la ecuacin da muy buenos resultados.

La derivacin de la ecuacin de Bernoulli:

Un elemento de fluido, como que en la figura anterior, tiene energa potencial debido a su altura z por encima de un punto de referencia y la energa cintica debido a su velocidadu.Si el elemento tiene mg de peso luego: potenciales de energa = energa potencial por unidad de peso = energa potencial por unidad de peso = la energa cintica por unidad de peso =

En cualquier seccin transversal, la presin genera una fuerza, el lquido fluir, moviendo la seccin transversal, por lo que se puede hacer el trabajo.Si la presin en la seccin transversal AB esPy el rea de la seccin transversal esunacontinuacinvigor el AB =cuando elmgmasa de fluido ha pasado AB, Seccin AB se habr movido a A'B 'volumen que pasa AB =por lo tantodistancia AA '=trabajo hecho = fuerza distancia AA '=Trabajo realizado por unidad de peso =Este trmino es conocido como la energa de la presin de la corriente que fluye.Sumando todos estos trminos energticos da

o

Como todos estos elementos de la ecuacin tienen unidades de longitud, que se refiere a menudo como la siguiente: carga de presin = cabeza de velocidad = cabeza potencial = altura total =

Por el principio de conservacin de la energa, laenergatotal del sistema no cambia, Por lo tanto,la alturatotal no cambia.As la ecuacin de Bernoulli se puede escribir

Como se indic anteriormente, la ecuacin de Bernoulli se aplica a las condiciones a lo largo de una lnea de corriente.Podemos aplicarlo entre dos puntos, 1 y 2, en la lnea de corriente en la siguiente figura

Dos puntos unidos por una lnea de corriente

Energa total por unidad de peso en 1 = energa total por unidad de peso en 2OAltura total a 1 = altura total en 2O

Esta ecuacin supone que no hay prdidas de energa (por ejemplo, de la friccin) o ganancias de energa (por ejemplo, de una bomba) a lo largo de la lnea de corriente.Puede ser ampliado para incluir estos simplemente, mediante la adicin de los trminos de energa apropiados:

Un ejemplo de la utilizacin de la Ecuacin de Bernoulli

Cuando la ecuacin de Bernoulli se combina con la ecuacin de continuidad los dos se pueden usar para encontrar las velocidades y presiones en puntos en el flujo conectado por una lnea de corriente.Aqu es un ejemplo del uso de la ecuacin de Bernoulli para determinar la presin y la velocidad en dentro de un tubo de contraerse y expandirse.

Un tubo de expansin de la contratacin

Un fluido de densidad constante = 960es que fluye constantemente a travs del tubo por encima.Los dimetros de las secciones son.La presin manomtrica en 1 esy la velocidad aqu es.Queremos saber la presin manomtrica en la seccin 2.Usaremos por supuesto, la ecuacin de Bernoulli para hacer esto y lo aplicamos a lo largo de una lnea de corriente de unirse a la seccin 1 de la seccin 2.El tubo es horizontal, conz =1z2de modo de Bernoulli nos da la siguiente ecuacin para la presin en la seccin 2:

Pero no sabemos el valor de.Podemos calcular esto desde la ecuacin de continuidad: La descarga en el tubo es igual a la de descarga, es decir fuera

As que ahora podemos calcular la presin en la seccin 2

Observe cmo ha aumentado la velocidad, mientras que la presin ha disminuido.El fenmeno - que la presin disminuye a medida que aumenta la velocidad - a veces viene en muy til en la ingeniera.(Es en este principio de que el carburador en muchos motores de los automviles funciona - la presin se reduce en una contraccin que permite una pequea cantidad de combustible para entrar).Aqu hemos utilizado tanto la ecuacin de Bernoulli y el principio de continuidad juntos para resolver el problema.El uso de esta combinacin es muy comn.Vamos a ver esto de nuevo con frecuencia durante el resto del curso.

Carga de presin, carga de velocidad, carga potencial y carga total

Al mirar de nuevo el ejemplo del depsito con el que se alimenta una tubera veremos cmo estos diferentescabezasse relacionan entre s.Considere el depsito por debajo de la alimentacin de una tubera que cambia de dimetro y se eleva (en realidad podra tener que pasar por encima de una colina), antes de caer a su nivel final.

Pantano alimentar una tubera

Para los anlisis del flujo en la tubera aplicamos la ecuacin de Bernoulli a lo largo de una lnea de corriente desde el punto 1 en la superficie del depsito al punto 2 en la boquilla de salida de la tubera.Y sabemos que laenerga total por unidad de pesoola altura totalno cambia - esconstante- a lo largo de una lnea de corriente.Pero, qu es este valor de esta constante?Tenemos la ecuacin de Bernoulli

Podemos calcular la altura total,H,en el embalse,como esta es la atmosfrica y presin manomtrica atmosfrica es cero, la superficie se est moviendo muy lentamente en comparacin con el que en el tubo de manera, As que todo lo que nos queda esla elevacin del depsito.Un mtodo til de analizar el flujo es mostrar las presiones grficamente en el mismo diagrama que la tubera y el depsito.En la figura de arriba de la lneade carga totalse muestra.Si nos apegamos piezmetros en los puntos a lo largo de la tubera, lo que sera su nivel cuando la boquilla de tubo se cerr(Piezmetros, como se recordar, se limitan a abrir los tubos verticales en llenos con el mismo lquido cuya presin que se est midiendo).

Niveles de piezmetros con velocidad cero

Como se puede ver en la figura anterior, con velocidad cero a todos los niveles en los piezmetros son iguales y lo mismo que la lnea de carga total.En cada punto de la lnea, cuandou = 0

El nivel en el piezmetro esla carga de presiny su valor viene dado por.

Qu le pasara a los niveles en los piezmetros (cabezas de presin) si el si el agua estaba fluyendo con velocidad =u?Sabemos a partir de ejemplos anteriores de que a medida que aumenta la velocidad lo que la presin cae.

Niveles piezmetro cuando el lquido est fluyendo

Vemos en esta figura que los niveles se han reducido en un importe igual a la altura de velocidad, .Ahora que la tubera es de dimetro constante, sabemos que la velocidad es constante a lo largo de la tubera por lo que la carga de velocidad es constante y representado grficamente por la lnea horizontal se muestra.(Esta lnea se conoce como lalnea de gradiente hidrulico).Qu pasara si la tubera no era de dimetro constante?Mira la siguiente figura donde el tubo en el ejemplo anterior se sustituye ser un tubo de tres secciones con la seccin central de mayor dimetro

Niveles de piezmetros y jefes de velocidad con el fluido que fluye en diferentes tubos de dimetro

La carga de velocidad en cada punto ahora es diferente.Esto es porque la velocidad es diferente en cada punto.Al considerar la continuidad sabemos que la velocidad es diferente debido a que el dimetro de la tubera es diferente.Qu tubera tiene el mayor dimetro?Tubo 2, porque la velocidad, y por lo tanto la carga de velocidad, es la ms pequea.Esta representacin grfica tiene la ventaja de que podemos ver a simple vista que las presiones en el sistema.Por ejemplo, cuando a lo largo de toda la lnea es la altura de presin ms bajo?Es el lugar donde la lnea de gradiente hidrulico es ms cercana a la elevacin de tubera es decir, en el punto ms alto de la tubera.

Las prdidas debidas a la friccin.

En una lnea de tubera real hay prdidas de energa debidas a la friccin - stas deben ser tomadas en cuenta, ya que puede ser muy significativo.Cmo seran las lneas de presin y grado hidrulico cambiar con la friccin?Volviendo a la tubera de dimetro constante, tendramos una situacin de presin como ste se muestra a continuacin

Lnea piezomtrica y totales lneas de la cabeza de un tubo de dimetro constante con la friccin

Cmo puede la altura total a cambiar?Hemos dicho que la altura total - o energa total por unidad de peso - es constante.Estamos considerando la conservacin de energa, por lo que si tenemos en cuenta la cantidad de energa que se pierde debido a la friccin, la altura total cambiar.Hemos visto la ecuacin para esto antes.Pero aqu est de nuevo con la prdida de energa debido a la friccin escrito como unacabezay da el smbolo.Esto a menudo se conoce comola prdida de carga por friccin.

La ecuacin de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaracin del principio de laconservacin de la energa, para el flujo de fluidos. El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el trmino "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presin del lquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor. Este descenso de presin por un estrechamiento de una va de flujo puede parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presin como una densidad de energa. En el flujo de alta velocidad a travs de un estrechamiento, se debe incrementar la energa cintica, a expensas de la energa de presin.

Clculo de Bernoulli

El clculo en el "mundo real", de la presin en un estrechamiento de un tubo, es difcil de hacer debido a las prdidas por viscosidad, turbulencia, y presunciones que se deben hacer sobre el perfil de la velocidad (que afectan a la energa cintica calculada). El modelo de clculo de aqu, asume unflujo laminar(sin turbulencia), tambin asume que la distancia del dimetro mayor al menor es suficientemente pequea para despreciar lasprdidas por viscosidady asume que elperfil de la velocidadsigue el del flujo laminar terico. En concreto, est asumiendo que la velocidad de la corriente efectiva es la mitad de la velocidad mxima, y que la densidad media de energa cintica est dado por un tercio de la densidad de energa cintica mxima.

Este clculo puede dar la perspectiva de la energa que participa en el flujo de fluido, pero su precisin es siempre sospechosa, debido a la suposicin de flujo laminar. Para condiciones tpicas en la entrada, la densidad de energa asociada con la presin, ser dominante en el lado de la entrada, despus de todo vivimos en el fondo de un mar atmosfrico que aporta una gran cantidad de energa de presin. Si se usa una reduccin suficientemente grande del radio, para producir una presin en el estrechamiento, que sea menor que lapresin atmosfrica, es casi seguro que se producir alguna turbulencia en el flujo dentro del estrechamiento. Sin embargo, el clculo puede mostrar por qu podemos obtener una cantidad significativa de succin (presin inferior a la atmosfrica), con un aspirador montado sobre una boquilla de alta presin. Estos dispositivos constan de un tubo de metal de radio reducido, con un tubo lateral introducido dentro de la regin del estrechamiento, para la succin.

Curva en una pelota de Bisbol

Una pelota de bisbol no giratoria o estacionaria, sobre una corriente de aire, mostrar un flujo simtrico. Una pelota de bisbol que se lance con giro, se curvar porque uno de sus lados, experimentar una presin reducida. Esto es interpretado comnmente, como una aplicacin delprincipio de Bernoulli, e implica la viscosidad del aire y lacapa lmitedel aire en la superficie de la bola.

La rugosidad de la superficie de la bola y los cordones de la pelota son importantes!

Con una bola perfectamente lisa, no se consigue interaccin con el aire. Hay algunas dificultades con la imagen de esta curva de bisbol. La ecuacin de Bernoulli en realidad no se puede utilizar para predecir la cantidad de curvatura de la pelota, el flujo del aire es compresible, y no se puede seguir los cambios de densidad para cuantificar el cambio en la presin efectiva. El trabajo experimental de Watts y Ferrer con pelotas de bisbol en un tnel de viento, sugiere otro modelo que da atencin destacada a la capa lmite de aire girando alrededor de la pelota de bisbol. En el lado de la bola, en donde la capa lmite se est moviendo en la misma direccin que la velocidad de la corriente de aire libre, (en la figura en la parte de abajo de la pelota) esta capa lmite est ms cerca de la bola antes de separarse en un flujo turbulento. Por el lado donde la capa lmite, se opone al flujo libre de aire, (lado superior en la figura), tiende a separarse prematuramente. Estas dos acciones conjuntamente, proporcionan una desviacin neta del flujo de aire en una direccin por detrs de la pelota, y por lo tanto por latercera ley de Newton, una fuerza de reaccin sobre la pelota en la direccin opuesta. Con esto se da una fuerza efectiva en la direccin que se indica arriba.Cuestiones similares se plantean en el tratamiento de un cilindro que gira en una corriente de aire, que se ha demostrado que experimenta elevacin. Este es el tema delteorema Kutta-Joukowski. Tambin se plantea en el debate de la sustentacin aerodinmica.

Superficie Aerodinmica (Airfoil)

El aire a travs de la parte superior de una superficie aerodinmica convencional, experimenta un estrechamiento de las lneas de flujo e incrementa la velocidad relativa del aire en el ala. Este causa una disminucin de la presin en la parte superior de acuerdo con laecuacin de Bernoulliy produce una fuerza de sustentacin. La aerodinmica (ver Eastlake) usa el modelo de Bernoulli para relacionar las medidas de presin realizadas en los tneles de viento y afirman que cuando se realizan las medidas de presin en varios lugares alrededor de la superficie de sustentacin y se suman, estn razonablemente de acuerdo con la elevacin observada.Otros apelan al modelo basado en la ley de Newton y afirman que la sustentacin principal, viene como resultado delngulo de ataque. Parte del modelo de la ley de Newton de una parte de la fuerza de sustentacin, implica la fijacin de lacapa lmitede aire sobre la parte superior del ala, con el resultado de una cada de flujo de airepor detrs del ala. Si el ala le da al aire una fuerza hacia abajo, entonces por la tercera ley de Newton, el ala experimenta una fuerza en la direccin opuesta -elevacin-. Mientras continua el debate "Bernoulli vs Newton", la posicin de Eastlake es que ambas son realmente equivalentes, slo son diferentes enfoques sobre el mismo fenmeno fsico. La NASA tiene una agradable pgina de aerodinmica en el que se discuten estos temas.El incremento del ngulo de ataque, proporciona una mayor elevacin proveniente de la componente vertical de la presin ejercida sobre la parte de abajo del ala. Esa fuerza de elevacin, puede considerarse como una fuerza de reaccin derivada mediante latercera ley de Newtonpor la fuerza que ejerce hacia abajo el ala sobre el aire.Con un ngulo de ataque demasiado alto, se incrementa drsticamente la turbulencia del flujo y la aeronave entra en prdida.

Ecuacin de Flujo Incomprensible

En la mayora de los flujos de lquidos y de gases a bajanmero de Mach, ladensidadde un paquete de fluido puede ser considerada como constante, independientemente de las variaciones de presin en el flujo.Por lo tanto, el fluido puede ser considerado como incompresible y a estos flujos se llama flujo incompresible.Bernoulli realiz sus experimentos sobre los lquidos, por lo que su ecuacin en su forma original es vlida slo para flujo incompresible.Una forma comn de la ecuacin de Bernoulli, vlida arbitrariamente en cualquier punto a lo largo de unalnea de corriente, es:

Donde:

es el flujo de fluidode velocidaden un punto en una lnea de corriente, es laaceleracin debida a la gravedad, es laelevacindel punto por encima de un plano de referencia, con la direccinzpositiva apuntando hacia arriba , en direccin opuesta a la aceleracin de la gravedad, es lapresinen el punto elegido, y es ladensidaddel fluido en todos los puntos en el fluido.

Porla fuerza conservadoracampos, la ecuacin de Bernoulli se puede generalizar como:

Dondees elpotencial de la fuerzaen el punto considerado en la lnea de corriente.Por ejemplo,para la gravedad de la Tierra=gz.Estos dos puntos se deben cumplir para poder aplicar esta ecuacin de Bernoulli:

El caudal debe ser incompresible, a pesar de que la presin vara, la densidad debe permanecer siempre constante a lo largo de una lnea de corriente. La friccin por las fuerzas viscosas tiene que ser insignificante.En las largas filas se producir disipacin de energa mecnica en forma de calor.Esta prdida puede estimarse por ejemplo, utilizandola ecuacin de Darcy-Weisbach.

Al multiplicar con la densidad del fluido, La ecuacin (A) se puede reescribir como:

Donde: esla presin dinmica, es laaltura piezomtricaocabeza hidrulica(la suma de la elevacinzy lacabeza de presin)y es lapresin total(la suma de la presin estticaPy presin dinmicaq).

La constante en la ecuacin de Bernoulli se puede normalizar.Un enfoque comn es en trminos detotal de la cabezao la cabeza de la energaH:

Las ecuaciones anteriores sugieren que existe una velocidad de flujo en el cual la presin es cero, y a velocidades incluso mayores la presin es negativa.Muy a menudo, los gases y los lquidos no son capaces de llegar a la presin absoluta negativa, o incluso de presin cero, por lo que la ecuacin de Bernoulli claramente deja de ser vlida antes de que se alcance la presin cero.En los lquidos, cuando la presin es demasiado baja, se produce la cavitacin.Las ecuaciones anteriores utilizan una relacin lineal entre la velocidad de flujo al cuadrado y la presin.A velocidades de flujo ms altas en los gases, o parasonidoen ondas de lquido, los cambios en la densidad de masa se vuelven significativos de manera que el supuesto de densidad constante no es vlido.

Formulario Simplificado

En muchas aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli, el cambio en el trminoz, , g alo largo de la lnea de corriente es tan pequeo en comparacin con los otros trminos que muchas veces pueden ser ignorados.Por ejemplo, en el caso de las aeronaves en vuelo, el cambio enlaalturaza lo largo de una lnea de corriente es tan pequeo que los trminosz, , gse pueden omitir.Esto permite que la ecuacin anterior se pueda representa de la siguiente forma simplificada:

Dondea p0se le denomina "presin total, yqesla presin dinmica.Muchos autores se refieren a lapresinpcomola presin estticapara distinguirla de la presin totalp0yla presin dinmicaq.EnAerodinmica,LJ Clancy escribe: "Para distinguir de las presiones totales y las presiones dinmicas, la presin real del fluido, que no est asociado con su movimiento pero si con su estado, se refiere a menudo como la presin esttica, pero el trmino presin solo se refiere a esta presin esttica".La forma simplificada de la ecuacin de Bernoulli se puede resumir en la ecuacin siguiente:

presin esttica + presin dinmica = presin total

Cada punto en un fluido que fluye de forma constante, independientemente de la velocidad del fluido en ese punto, tiene su propia y nica presin estticapyqy su presin dinmica.La sumap+qse define como la presin totalp0.La importancia del principio de Bernoulli ahora se puede resumir en que lapresin total es constante a lo largo de una lnea de corriente.Si el flujo de fluido esirrotacional, la presin total en cada lnea de corriente es el mismo y el principio de Bernoulli puede resumirse en que lapresin total es constante en todas partes en el flujo de un fluido.Es razonable suponer que existe flujo irrotacional en cualquier situacin en la que un gran cuerpo de fluido est fluyendo ms all de un cuerpo slido.Ejemplos de ello son las aeronaves en vuelo, y los barcos en movimiento en los cuerpos de agua abiertos.Sin embargo, es importante recordar que el principio de Bernoulli no se aplica en lacapa lmiteo en el flujo de fluido a travs de largas tuberas.Si el flujo de fluido en algn punto a lo largo de una lnea de corriente se lleva a reposo, este punto se denomina un punto de estancamiento, y en este punto la presin total es igual a lapresin de estancamiento.Aplicabilidad de la ecuacin de flujo incompresible al flujo de los gases

La ecuacin de Bernoulli es a veces vlida para el flujo de gases: con la condicin de que no hay transferencia de energa cintica o potencial del flujo de gas a la compresin o expansin del gas. En este caso, la ecuacin de Bernoulli, en su forma de flujo incomprensible no puede ser asumida como vlida.Sin embargo, si el proceso de gas es del todoisobricao isocora, entonces no se realiza trabajo sobre o por el gas, (por lo que el balance de energa simple no es molesto).De acuerdo con la ley de los gases, un proceso isobrico o iscoro es normalmente la nica manera de asegurar una densidad constante en un gas.Tambin la densidad del gas ser proporcional a la relacin de la presin absoluta yla temperatura, sin embargo, esta relacin variar en la compresin o expansin, no importa qu cantidad distinta de cero de calor se aade o elimina.La nica excepcin es si la transferencia neta de calor es cero, como en un ciclo termodinmico completo, o en un individuoisoentrpico(sin friccinadiabticaproceso), e incluso entonces este proceso reversible debe ser invertido, para restaurar el gas a la presin original y especfica de volumen, y por lo tanto la densidad.Slo entonces es la ecuacin de Bernoulli original, no modificado aplicable.En este caso, la ecuacin se puede usar si la velocidad de flujo del gas es suficientemente por debajo de lavelocidad del sonido, de tal manera que la variacin en la densidad del gas (debido a este efecto) a lo largo de cadalnea de corrientepuede ser ignorada.El flujo adiabtico a menos de Mach 0,3 se considera generalmente que es lo suficientemente lento.

Flujo potencial inestable

La ecuacin de Bernoulli para el flujo de potencial inestable se utiliza la teora delas ondas de la superficie del ocanoyla acstica.Para unflujo irrotacional, lavelocidad de flujopuede ser descrito como elgradientede unpotencial de velocidad.En ese caso, y para una constantedensidad,losimpulsoecuaciones de lasecuaciones de Eulerse pueden integrar a:

Que es una ecuacin de Bernoulli vlida tambin para los flujos dependientes inestables o de tiempo.Aqu / tdenota la derivada parcialde la potencial de velocidadcon respecto al tiempot,yV= || es la velocidad de flujo.La funcinf (t)depende slo de tiempo y no de la posicin en el fluido.Como resultado, la ecuacin de Bernoulli en algn momentotno slo se aplica a lo largo de una cierta lnea de corriente, sino en todo el dominio de fluido.Esto tambin es vlido para el caso especial de un flujo irrotacional constante, en cuyo caso f es una constante.Ademsf (t)se puede hacer igual a cero mediante la incorporacin en el potencial de velocidad usando la transformacin

Tenga en cuenta que la relacin del potencial y de la velocidad de flujo no se ve afectada por esta transformacin: =.La ecuacin de Bernoulli para el flujo potencial de inestabilidad tambin parece desempear un papel central en elprincipio de variacin de Lucas, una descripcin variacional de superficie libre fluye utilizando lafuncin de Lagrange(que no debe confundirse conlas coordenadas de Lagrange).

Ecuacin de flujo compresible

Bernoulli desarroll su principio a partir de sus observaciones relativas a los lquidos, y su ecuacin es aplicable solamente a los fluidos incompresibles y fluidos compresibles hasta el nmero de Mach 0.3.Es posible utilizar los principios fundamentales de la fsica para desarrollar ecuaciones similares aplicables a fluidos compresibles.Hay numerosas ecuaciones, cada uno adaptado para una aplicacin particular, pero todos son anlogas a la ecuacin de Bernoulli y todos se basan en nada ms que los principios fundamentales de la fsica, tales como las leyes de movimiento de Newton o la primera ley de la termodinmica.

Flujo compresible en la dinmica de fluidos

Para un fluido compresible, con unaecuacin barotrpica de estado, y bajo la accin defuerzas conservadoras,

Donde:

pes lapresin es ladensidad ves lavelocidad de flujo es el potencial asociado con el campo de fuerza conservadora, a menudo elpotencial gravitacional

En situaciones de ingeniera, las elevaciones son generalmente pequeas en comparacin con el tamao de la Tierra, y las escalas de tiempo del flujo de fluidos son lo suficientemente pequeos para considerar la ecuacin en estado adiabtico.En este caso, la ecuacin anterior se convierte en:

Donde, adems de los trminos indicados anteriormente: es larelacin de los calores especficosdel fluido ges la aceleracin debida a la gravedad zes la elevacin del punto por encima de un plano de referencia

En muchas aplicaciones de flujo compresible, los cambios en la elevacin son insignificantes en comparacin con los otros trminos, por lo que el trminogzse puede omitir.Una forma muy til de la ecuacin es la siguiente:

Donde: p0es lapresin total 0 es la densidad total

Flujo Comprensible en Termodinmica

Otra forma til de la ecuacin, adecuada para uso en la termodinmica y de (cuasi) flujo constante, es:

Aquwes laentalpapor unidad de masa, que tambin se escribe a menudo comoh(que no debe confundirse con la "cabeza" o "altura").Tenga en cuenta quedondees latermodinmicade energa por unidad de masa, tambin conocida como laenerga interna especfica.La constante en el lado derecho es a menudo llamada la constante de Bernoulli, se denotab.Para una constante adiabtica no viscosa, el flujo sin fuentes o sumideros de energa adicionales,bes una constante a lo largo de cualquier lnea de corriente determinado.En trminos ms generales, cuandobpuede variar a lo largo de lneas de corriente, todava resulta un parmetro til, relacionada con la "cabeza" del fluido.El cambio enpuede ser ignorada, una forma muy til de esta ecuacin es:

Dondew0 es la entalpa total.Para un gas perfecto calrico, tales como un gas ideal, la entalpa es directamente proporcional a la temperatura, y esto conduce al concepto de la total (estancamiento) de la temperatura.Cuandolas ondas de choqueestn presentes, en unmarco de referenciaen la que el choque es estacionario y el flujo es estacionario, muchos de los parmetros en la ecuacin de Bernoulli sufren cambios abruptos en que pasa por el choque.El parmetro de Bernoulli en s, sin embargo, no se ve afectado.Una excepcin a esta regla son los shocks radiactivos, que violan los supuestos que conducen a la ecuacin de Bernoulli, a saber, la falta de sumideros o fuentes de energa adicionales.

Derivaciones de la Ecuacin de Bernoulli

Ecuacin de Bernoulli para fluidos incomprensibles

La ecuacin de Bernoulli para fluidos incompresibles puede derivarse ya seaintegrandosegunda ley del movimiento de Newton, o mediante la aplicacin de la ley deconservacin de la energaentre dos secciones a lo largo de una lnea de corriente, haciendo caso omiso dela viscosidad, compresin, y los efectos trmicos.

Derivacin a travs de la integracin de la Segunda Ley del Movimiento de Newton

La derivacin ms simple es hacer caso omiso a la gravedad y considerar constricciones y expansiones en tubos que son de otra manera recta, como se ve enel efecto de Venturi.Deje que el eje xse dirija hacia el eje de la tubera.Definir un paquete de fluido en movimiento a travs de un tubo con rea de seccin transversalA,la longitud de la parcela es dx,y el volumen de la parcelaAdx.Sila densidad de masaes,la masa de la parcela es igual a la densidad multiplicada por su volumenm=.dx.El cambio en la presin sobre la distancia dxes dpyla velocidad de flujov=dx/dt.Aplicarla segunda ley de Newton del movimiento(fuerza = masa x aceleracin) y reconociendo que la fuerza efectiva en laparcela de fluidoes, undp.Si la presin disminuye a lo largo de la longitud de la tubera, dpes negativa, pero la fuerza resultante en el flujo es positiva a lo largo del ejex.

En flujo constante del campo de velocidad es constante con respecto al tiempo,V=V (x)=V (x (t)),por lo queV no es directamente una funcin del tiempot.Es slo cuando el paquete se mueve a travs de X que los cambios transversales al rea de la seccinvdependen det,slo a travs de la posicin de la seccin transversalx (t).

Concomo densidad constante, la ecuacin de movimiento se puede escribir como:

Mediante la integracin respecto de x

DondeCes una constante, a veces referida como la constante de Bernoulli.No es unaconstante universal, sino ms bien una constante de un sistema de fluido particular.La deduccin es: donde la velocidad es grande, la presin es baja y viceversa.En la derivacin anterior, ningn principio trabajo-energa externa se invoca.Ms bien, el principio de Bernoulli fue inherentemente deriva por una sencilla manipulacin de la segunda ley de Newton.

Derivacin mediante el uso de la Conservacin de Energa

Otra manera de derivar el principio de Bernoulli para un flujo incompresible es mediante la aplicacin de la conservacin de la energa.En el teorema de trabajo-energa, indica que:

El cambio en la energaEfamiliarescintica del sistema es igual al trabajoWneto realizado en el sistema;

Por lo tanto, eltrabajorealizado por lasfuerzasen el fluido = al aumento de laenerga cintica.El sistema consiste en el volumen de lquido, en principio, entre las secciones transversalesA1yA2.En el tiempo de los elementos intervalotde fluidos inicialmente en la cruz-seccin de entradaA1movimiento a una distancias1=v1t,mientras que en la seccin transversal de salida el fluido se mueve fuera de la seccin transversalA2a una distanciaS2=V2t.Los volmenes de fluido desplazado a la entrada y salida son, respectivamente, unS1y A2S2.Las masas de fluidos desplazados asociados son, cuandoes del fluidodensidad de masa, igual a veces la densidad de volumen, por lo A1s1y A2s2.Por conservacin de la masa, estas dos masas son desplazados en el tiempo intervalottienen que ser iguales, y esta masa desplazada se denota por m:

El trabajo realizado por las fuerzas se compone de dos partes: Eltrabajo realizado por la presinque acta sobre las zonasA1 y 2.

Eltrabajo realizado por la gravedad:la energa potencial gravitatoria en el volumenA1s1se pierde, y en la salida de recursos para que el volumen se hasubidode2s2.Por lo tanto, el cambio en el potencial gravitatorio Eolla, energa,lagravedaden el intervalo de tiempo tes

Ahora, eltrabajo de la fuerza de gravedad se encuentra frente a la variacin de energa potencial,la gravedadW= -olla? E,gravedad:mientras que la fuerza de gravedad se encuentra en la direccinznegativa, los tiempos de la fuerza de trabajo-gravedad Cambio de cota- ser negativo por un positivo cambio de elevacin z=z2-z1, mientras que el correspondiente cambio de energa potencial es positivo.Por lo tanto:

Y el trabajo total realizado en este intervalo de tiempoes:

Elaumento de la energa cinticaes:

Poner esto junto, la obra cintica teorema de la energaW= Ekinda:

o

D

Despus de dividir por el masam= A1v1t= A2v2tel resultado es:

O, como se indica en el primer prrafo:

(Ec. 1),que es tambin la ecuacin (A)

Adems la divisin porgproduce la siguiente ecuacin.Tenga en cuenta que cada trmino puede ser descrito en la longitud de ladimensin (tal como metros).Esta es la ecuacin de cabeza de derivados del principio de Bernoulli:(Ec. 2 bis)

El trmino medio,Z,representa la energa potencial del fluido debido a su elevacin con respecto a un plano de referencia.Ahora,zse llama la cabeza de elevacin y dada la designacin deelevacinz.Ala cada libre dela masa de una elevacinz>0 (en unvaco) alcanzar unavelocidad deal llegar a la cotaz= 0 O cuando nos reorganizamos como unacabeza.

EltrminoV2/ (2g)se llama lavelocidad dela cabeza, expresado como una medida de longitud.Se representa la energa interna del fluido debido a su movimiento.Lapresin hidrostticapse define como , ConP0un poco de presin de referencia, o cuando nos reorganizamos como unacabeza:

Al trminop/(g),tambin se llama lacabeza de presin, expresada como una medida de la longitud.Se representa la energa interna del fluido debido a la presin ejercida sobre el recipiente.Cuando combinamos la cabeza debido a la velocidad de flujo y la cabeza debido a la presin esttica con la elevacin por encima de un plano de referencia, se obtiene una relacin sencilla utilidad para fluidos incompresibles usando la cabeza de velocidad, desnivel, y la carga de presin.(Eqn. 2b)

Si tuviramos que multiplicar la ecuacin1 por la densidad del fluido, se conseguira una ecuacin con tres trminos de presin:

(Ec. 3)

Tomamos nota de que la presin del sistema es constante en esta forma de la ecuacin de Bernoulli.Si la presin esttica del sistema (el trmino ms a la derecha) aumenta, y si la presin debida a la elevacin (el trmino medio) es constante, entonces sabemos que la presin dinmica (el trmino izquierda) debe haber disminuido.En otras palabras, si la velocidad de un lquido disminuye y no es debido a una diferencia de elevacin, sabemos que debe ser debido a un aumento en la presin esttica que se resiste el flujo.Las tres ecuaciones son ms que versiones simplificadas de un balance de energa en un sistema.

Ecuacin de Bernoulli para fluidos incomprensiblesLa derivacin para fluidos compresibles es similar.Una vez ms, la derivacin depende de (1) conservacin de la masa, y (2) la conservacin de la energa.Conservacin de la masa implica que en la figura anterior, en el intervalo de tiempo t,la cantidad de masa que pasa a travs de la frontera definida por el reaA1es igual a la cantidad de masa que pasa hacia fuera a travs de la frontera definida por el reaA2:

.

Conservacin de la energa se aplica de una manera similar: Se asume que el cambio en la energa del volumen del tubo de corriente limitada porA1yA2se debe enteramente a la energa que entra o sale a travs de uno o el otro de estos dos lmites.Es evidente que en una situacin ms complicada, como un flujo de fluido, junto con la radiacin, no se cumplen tales condiciones.Sin embargo, suponiendo que ste sea el caso, y suponiendo que el flujo es constante por lo que la variacin neta de la energa es igual a cero,

Donde E1y E2son la energa que entra a travs deA1y dejando a travs deA2,respectivamente.La energa que entra a travs deA1es la suma de la entrada de energa cintica, la energa que entra en la forma de energa potencial gravitatoria del fluido, la entrada de energa termodinmica de fluido, y la entrada de energa en forma de trabajop dVmecnica:

donde=gzes unafuerza potencialdebido a lagravedad de la Tierra,ges la aceleracin debida a la gravedad, yzes la elevacin por encima de un plano de referencia.Una expresin similar parapuede ser fcilmente construido.As que ahora el establecimiento de:

Que puede ser reescrita como:

Ahora, usando el resultado obtenido previamente de conservacin de la masa, esta se puede simplificar para obtener

que es la ecuacin de Bernoulli para flujo compresible.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

En la vida diaria moderna hay muchas observaciones que se pueden explicar con xito mediante la aplicacin de principio de Bernoulli, a pesar de que ningn fluido real es totalmente no viscosoy una pequea viscosidad a menudo tiene un gran efecto sobre el flujo.

El principio de Bernoulli se puede utilizar para calcular la fuerza de sustentacin en un perfil aerodinmico si se conoce el comportamiento del flujo de fluido en la vecindad de la lmina.Por ejemplo, si el aire que fluye ms all de la superficie superior de un ala de avin se est moviendo ms rpido que el aire fluye ms all de la superficie inferior, entonces el principio de Bernoulli implica que la presinen las superficies de la banda ser inferior por encima que por debajo. Esta diferencia de presin se traduce en un alzafuerza de elevacin. Cada vez que se conoce la distribucin de la velocidad ms all de las superficies superior e inferior de un ala, las fuerzas de elevacin se pueden calcular (a una buena aproximacin) usando las ecuaciones de Bernoulli, establecido por Bernoulli ms de un siglo antes de que se usaron las primeras alas artificiales con el propsito de vuelo.El principio de Bernoulli no explica por qu el aire fluye ms rpido ms all de la parte superior del ala y ms lento ms all de la parte inferior.Etil para entenderla circulacin, lacondicin de Kuttay elteorema de Kutta-Joukowski Elcarburadorusado en muchos motores de intercambio contiene unVenturipara crear una regin de baja presin para extraer el combustible en el carburador y se mezcla bien con el aire entrante.La baja presin en la garganta de un Venturi se puede explicar por el principio de Bernoulli;en la estrecha garganta, el aire se est moviendo a su velocidad ms rpida y por lo tanto es en su presin ms baja. Eltubo de Pitotypuerto estticoen una aeronave se utilizan para determinar lavelocidad relativade la aeronave.Estos dos dispositivos estn conectados alindicador de velocidad, que determina lapresin dinmicadel flujo de aire ms all de la aeronave.La presin dinmica es la diferencia entrela presin de estancamientoypresin esttica.El principio de Bernoulli se utiliza para calibrar el indicador de velocidad de forma que muestre lavelocidad indicada adecuada a la presin dinmica. La velocidad de flujo de un fluido se puede medir usando un dispositivo tal como unmedidor de Venturio unaplaca de orificio, que puede ser colocado en una tubera para reducir el dimetro del flujo.Para un dispositivo horizontal, la ecuacin de continuidadmuestra que para un fluido incompresible, la reduccin de dimetro provocar un aumento en la velocidad de flujo de fluido.Principio de Bernoulli, a continuacin, muestra que debe haber una disminucin en la presin en la regin de dimetro reducido.Este fenmeno se conoce como elefecto Venturi. La tasa mxima de drenaje posible para un tanque con un agujero o del grifo en la base se puede calcular directamente a partir de la ecuacin de Bernoulli, y se encuentra que es proporcional a la raz cuadrada de la altura del fluido en el tanque.Esta esla ley de Torricelli, mostrando que la ley de Torricelli es compatible con el principio de Bernoulli. La viscosidadreduce esta tasa de drenaje.Esto se refleja en el coeficiente de descarga, que es una funcin del nmero de Reynolds y la forma del orificio. En hidrulica de canales abiertos, un anlisis detallado del teorema de Bernoulli y su extensin fueron recientemente (2009) desarrollado.Se demostr que la energa especfica de la profundidad promedio alcanza un mnimo en la convergencia de la aceleracin de flujo de superficie libre sobre vertederos y canales.Adems, en general, un canal de control con un mnimo de energa especfica en el flujo curvilneo no se aisl a partir de las ondas de agua, como estado habitual en la hidrulica de canales abiertos Elagarre de Bernoullise basa en este principio para crear una fuerza de adhesivo sin contacto entre una superficie y la pinza. Flautasyflautas fipple. Chimenea.- Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es ms constante y elevada a mayores alturas. Cuanto ms rpidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, ms baja es la presin y mayor es la diferencia de presin entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustin se extraen mejor.

Tubera.- La ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad tambin nos dicen que si reducimos el rea transversal de una tubera para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducir la presin.

Natacin.- La aplicacin dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presin y mayor propulsin.

Carburador de automvil.- En un carburador de automvil, la presin del aire que pasa a travs del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presin, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanque.- La tasa de flujo est dada por la ecuacin de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi.- En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de dbito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual est basado en el principio de Bernoulli.

Aviacin.- Los aviones tienen el extrads (parte superior del ala o plano) ms curvado que el intrads (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presin, creando as una succin que sustenta la aeronave.

Los malentendidos acerca de la generacin de elevacin

Se pueden encontrar muchas explicaciones para la generacin de elevacin (sobre superficies de sustentacin,la hlicepalas, etc.), algunas de estas explicaciones pueden ser engaosas, y algunas son falsas.Esto ha sido fuente de una acalorada discusin con los aos.En particular, ha habido un debate sobre si la elevacin se explica mejor por el principio de Bernoulli olas leyes del movimiento de Newton.Escritos modernos estn de acuerdo en que tanto el principio de Bernoulli y las leyes de Newton son relevantes, o bien se pueden utilizar para describir correctamente el ascensor. Varias de estas explicaciones usan el principio de Bernoulli para conectar la cinemtica de flujo a las presiones inducidas por el flujo.En los casos deexplicaciones incorrectas (o parcialmente correctas), basndose en el principio de Bernoulli, los errores ocurren generalmente en los supuestos sobre la cinemtica de flujo y cmo se producen estos.No es propio del principio de Bernoulli que se cuestione, porque este principio est bien establecido.

Mala aplicacin del principio de Bernoulli en manifestaciones comunes de la clase

Hay varias manifestaciones comunes de la clase que son a veces incorrectamente explican utilizando el principio de Bernoulli.Uno de ellos implica la aceleracin de un pedazo de papel en posicin horizontal que se inclina hacia abajo y luego se sopla sobre la parte superior de la misma.A medida que el manifestante sopla sobre el papel, el papel se levanta.A continuacin, se afirma que esto se debe a que "el aire se mueve ms rpidamente porque tiene presin ms baja". Un problema con esta explicacin puede ser visto por soplar a lo largo de la parte inferior del papel, era la deflexin debido simplemente al aire de movimiento ms rpido uno esperara que el papel se desviara hacia abajo, pero el papel se desva hacia arriba independientemente de si el aire se mueve ms rpidamente en la parte superior o la parte inferior. Otro problema es que cuando el aire sale de la boca del demostrador tiene lamismapresin que el aire circundante,el aire no tiene la menor presin slo porque se est moviendo;en la manifestacin, la presin esttica del aire que sale de la boca del demostrador esiguala la presin del aire circundante. Un tercer problema es que es falsa para hacer una conexin entre el flujo en los dos lados del papel con la ecuacin de Bernoulli desde el aire por encima y por debajo son diferentes campos de flujo y el principio de Bernoulli slo se aplica dentro de un campo de flujo. A medida de la redaccin del principio, se puede cambiar sus implicaciones, afirmando que el principio es correctamente importante, El principio de Bernoulli dice en realidad que dentro de un flujo de energa constante, cuando el fluido fluye a travs de una regin de menor presin se acelera y viceversa?Por lo tanto, se ocupa el principio de Bernoulli concambiosen la velocidad ylos cambiosen la presindentro deun campo de flujo.No se puede utilizar para comparar diferentes campos de flujo.Una explicacin correcta de por qu los aumentos de papel observaran que elpenachosigue la curva del papel y que una lnea de corriente curvada desarrollar un gradiente de presin perpendicular a la direccin de flujo, con la presin ms baja en el interior de la curva. El principio de Bernoulli predice que la disminucin de la presin se asocia con un aumento en la velocidad, es decir, que a medida que el aire pasa sobre el papel se acelera y se mueve ms rpido de lo que se mova cuando sali de la boca del demostrador.Pero esto no es evidente a partir de la manifestacin. Otras demostraciones de clase comunes, como soplando entre dos esferas suspendidas, o suspender una pelota en una corriente de aire se explican a veces de una manera similar engaosa al decir "el aire se mueve ms rpidamente si tiene presin ms baja". Ecuacin de continuidad

Es la expresin del principio de conservacin de la masa lquida (en ausencia de manantiales y sumideros), el ujo de masa que pasa a travs de una supercie cerrada S debe ser igual a la disminucin, por unidad de tiempo, de la masa de uido contenido en su interior. Formalizaremos este hecho en una ecuacin para lo que tenemos que denir el ujo de uido a travs de una supercie.

Consideremos una porcin de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.En un intervalo de tiempo Dt la seccin S1 que limita a la porcin de fluido en la tubera inferior se mueve hacia la derecha Dx1=v1Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm1=rS1Dx1=rS1v1Dt.Anlogamente, la seccin S2 que limita a la porcin de fluido considerada en la tubera superior se mueve hacia la derecha Dx2=v2Dt en el intervalo de tiempo Dt la masa de fluido desplazada es Dm2=r S2v2 Dt, debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la seccin S1 en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la seccin S2 en el mismo intervalo de tiempo.v1S1=v2S2

Esta relacin se denomina ecuacin de continuidad.En la figura, el radio del primer tramo de la tubera es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo:Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeo chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.La ecuacin de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La seccin trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la accin de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

Aplicando la ecuacin de continuidad

Despejamos el radio r del hilo de agua en funcin de la distancia h al grifo.

Dinmica de Fluidos

La dinmica de uidos estudia los uidos en movimiento y es una de las ramas ms complejas de la mecnica. Aunque cada gota de uido cumple con las leyes del movimiento de Newton las ecuaciones que describen el movimiento del uido pueden ser extremadamente complejas. En muchos casos prcticos, sin embargo el comportamiento del uido se puede representar por modelos ideales sencillos que permiten un anlisis detallado.

Caractersticas de fluido:

Cuando un fluido est en movimiento, su flujo puede ser laminar o turbulento. El flujo es estable o laminar si cada partcula del fluido sigue una trayectoria uniforme, por lo que las trayectorias de diferentes partculas nunca se cruzan entre s. En el flujo estable, la velocidad del fluido en cualquier punto se mantiene constante en el tiempo.

En un principio vamos a trabajar con lo que llamaremos uido ideal, es decir un uido que es incompresible y que no tiene rozamiento interno o viscosidad.

La hiptesis de incompresibilidad es una suposicin razonable para lquidos pero no para los gases. Un gas puede tratarse como incompresible si su movimiento es tal que las diferencias de presin que aparecen no son demasiado grandes. El rozamiento interno en un uido da lugar a esfuerzos cortantes cuando dos capas adyacentes se mueven la una sobre la otra o cuando el uido se mueve por tubos o se encuentra a un obstculo. En algunos casos estos esfuerzos son despreciables si se comparan con fuerzas gravitatorias o con la originada por diferencias de presin

La trayectoria descrita por un elemento de uido en movimiento se llama lnea de ujo.La velocidad del elemento vara en magnitud y direccin a lo largo de su lnea de ujo. Si cada elemento que pasa por un punto dado sigue la misma lnea de ujo que los elementos precedentes se dice que el ujo es estable o estacionario.Un ujo puede empezar no estacionario y hacerse estacionario con el tiempo. En un ujo estacionario la velocidad en cada punto del espacio permanece constante en el tiempo aunque la velocidad de la partcula puede cambiar al moverse de un punto a otro.

La lnea de corriente:

La curva, cuya tangente en un punto cualquiera tiene la direccin de la velocidad del uido en ese punto.En el rgimen estacionario las lneas de corriente coinciden con las lneas de ujo. Si dibujamos todas las lneas de corriente que pasan por el contorno de un elemento del uido de rea S estas lneas rodean un tubo denominado tubo de ujo o tubo de corriente. En virtud de la denicin de lnea de corriente el uido no puede atravesar las paredes de un tubo de ujo y en rgimen estacionario no puede haber mezcla de uidos de dos tubos diferentes.

Tipos de Flujos:

Flujo Laminar.- Se llama ujo laminar al tipo de movimiento de un uido cuando ste es perfectamente ordenado, estraticado, suave, de manera que el uido se mueve en lminas paralelas sin entremezclarse.

Las capas adyacentes del uido se deslizan suavemente entre s. El mecanismo de transporte es exclusivamente molecular. Se dice que este ujo es aerodinmico. Ocurre a velocidades relativamente bajas o viscosidades altas como veremos. Flujo turbulento.- Se llama ujo turbulento cuando se hace ms irregular, catico e impredecible, las partculas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partculas se encuentran formando pequeos remolinos aperidicos.Aparece a velocidades altas o cuando aparecen obstculos abruptos en el movimiento del uido.

Tipos de Flujos de fluidos

Flujo compresible.- Si su densidad vara con la posicin al interior del fluido.

Flujo estacionario.- Si la velocidad en cada punto del espacio permanece constante. Lo que no implica necesariamente que sea la misma en todos los puntos.

Tipos de Flujos de fluidos:

Flujo viscoso.- aquel cuya viscosidad es apreciable.

Flujo rotacional: aquel que presenta vrtices

Fluido Ideal

No viscoso (rozamiento no significativo) En estado estacionario (en cualquier punto la velocidad es constante en el tiempo) Incompresible (no vara su volumen ante el aumento de la presin) Irrotacional (no presenta vrtices)

Viscosidad

La viscosidad puede considerarse como el rozamiento interno de un uido.La viscosidad ejercer fuerza para hacer que una capa lquida se deslice sobre otra. La viscosidad es mayor en lquidos que en gases. El problema del movimiento de un uido viscoso es similar al del esfuerzo cortante y la deformacin por cizalladura en un slido. Dos placas paralelas entre las que hay un uido con la placa inferior en reposo y la placa superior movindose con velocidad v, el uido en contacto con las placas se mueve con la misma velocidad que ellas. La velocidad de las capas intermedias aumenta uniformemente de una supercie a otra.

Este tipo de ujo se llama ujo laminar.Las capas del lquido se deslizan unas sobre otras una porcin de lquido (lnea continua) tomar en un instante posterior la forma sealada en el dibujo (lnea discontinua) y se deformar cada vez ms al continuar el movimiento aumenta constantemente su deformacin por cizalladura.

Hidrodinmica

Estudia los fluidos en movimientos, es decir, el flujo de los fluidos. Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad, velocidad) en cada punto del espacio en funcin del tiempo.

Caractersticas y leyes generalesLa hidrodinmica o fluidos en movimientos presentan varias caractersticas que pueden ser descritas por ecuaciones matemticas muy sencillas. Entre ellas:

Ley de Torricelli.- si en u