ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

¿QUE ES?

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en el análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática.

La ecuación de los tres momentos es una fórmula que relaciona los tres momentos en tres apoyos de una viga, facilitando el cálculo de momentos en estos apoyos.

Con la aplicación directa de la fórmula, el proceso se simplifica y se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar y fácil de interpretar

ANTECEDENTES

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos.

“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”.

Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los apoyos. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de la viga, se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los apoyos.

OBJETIVOS

Determinar las reacciones en los apoyos y los diagramas de fuerza cortante y momento de flexión completos.

Graficar correctamente el diagrama de momentos de flexión y el diagrama de fuerza cortante de la viga.

Simplificar el proceso de solución de vigas hiperestáticas o vigas estáticamente indeterminadas.

FORMULA GENERAL

Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación.

Dónde:

, momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo.

, momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo (k-1)-ésimo.

, momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo (k+1)-ésimo.

 Longitud del tramo de viga entre el apoyo (k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo

 Longitud del tramo de viga entre el apoyok-ésimo y el apoyo (k+1)-ésimo.

, área de los momentos flectores isostáticos en los tramos   y  :

 Son las distancias a los centros de gravedad de los diagramas de momentos flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede calcular como:

CALCULO DE VIGAS

1. VIGAS EN GENERAL (2 apoyos)

Para calcular vigas continuas de sccion constante se utiliza la siguiente formula :

M 1L1+2M 2(L1+L2)+M 3 L2+6 A1a1L1

+6 A2b2L2

=6 EI ( h1L1+h3L2 )

Siendo la deflexión de la viga:

6 EI El módulo de elasticidad

( h1L1+h3L2 ) Momento de inercia

El procedimiento consiste, en tomar porciones de viga formadas por dos tramos consecutivos y aplicarles la ecuación del punto anterior y da como resultado un sistema de ecuaciones cuya solución da los momentos en los apoyos.

Una forma alterna de la ecuación de los tres momentos se obtiene al observar que los términos de la derecha de la ecuación son simplemente las reacciones de las vigas conjugadas correspondientes, multiplicadas por EI.

Queda entonces:

M 1L1+2M 2(L1+L2)+M 3 L2+6 A1a1L1

+6 A2b2L2

=0

6 A1a1L1

+6 A2b2L2

se determinan con la tabla 1 donde se establece el tipo de

carga sobre el tramo.

Tabla 1

2. VIGAS DOBLMENTE EMPOTRADAS

Cuando los extremos de las vigas descansan sobre apoyos simples o están en voladizo, se empieza por establecer los valores de los momentos correspondientes. Por el contrario, en un extremo empotrado no se puede determinar antes el valor del momento. En este caso, dado que la condición geométrica requerida es que la pendiente de dicho apoyo debe ser cero, se pueden añadir una luz imaginaria adyacente al empotramiento de cualquier longitud L0 simplemente apoyada en el apoyo opuesto y de inercia infinita.

Al aplicarle a la porción A0 AB la forma generalizada de la ecuación que incluye inercias diferentes resulta:

Desde el punto de vista de aplicación, la misma ecuación resultaría si se considera que la luz imaginaria tiene longitud cero.

La ecuación de los tres momentos se puede extender para incluir el efecto de asentamientos diferenciales de los apoyos, llegándose a la siguiente forma general:

El significado de los últimos términos se muestra en la siguiente figura

Para desarrollar este tipo de vigas se utiliza las siguientes tablas:

Web- grafia

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/palmira/materiales/doc/cap3/ejemplo_3_capitulo_3_analisis_viga_indeterminada_metodo_ecua.pdf

http://marilycita.blogspot.com/2008/07/metodo-de-tres-momentos.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_tres_momentos