Ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger

Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27)

Erwin Schrödinger

Nace el 12 de agosto 1887 en Viena, Erdberg y muere de tuberculosis el 4 de enero 1961 a la edad de 73 años. Físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.

Erwin Schrödinger 1906-1910 Estudios en Viena con Franz Serafin Exner (1849-

1926), Fritz Hasenhrl, trabajos experimentales con Kohlrausch. 1920 Ayudante de Max Wien, Jena. 1920 Profesor asociado, Stuttgart. 1921 Profesor titular, Breslau (hoy Wrocław, Polonia). 1922 Universidad de Zürich. 1926 Annalen der Physik: "Quantisierung als Eigenwertproblem"

(Cuantización como problema de autovalores): ecuación de mecánica ondulatoria de Schrödinger.

1927 Sigue a Max Planck a la Universidad de Berlin-Humboldt. 1933 Fellow del Magdalen College, Universidad de Oxford. 1934 Asociado en la Universidad de Princeton. 1936 Universidad de Graz, Austria. 1938 Busca becas e investigaciones a través de Italia y Suiza

hasta Oxford - Universidad de Ghent. En el Instituto de Estudios Avanzados en Dublín, es Director de la Escuela de Física Teórica. Más de 50 publicaciones en varias áreas. Intentos hacia una teoría de campo unificada.

Ecuación de Schrödinger

Fue desarrollada en 1925 y describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, pues define la ecuación de conservación de la energía pero en sistemas mecánico cuánticos, es decir, el mundo microscópico, tanto para partículas elementales, tales como electrones y sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

Ecuación de Schrödinger contexto histórico

Hacia el s. XX se había comprobado la dualidad de la luz (onda-partícula), es decir, la luz podría ser partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico) u onda electromagnética.

Louis-Victor Broglie, en 1923 generalizó esta dualidad a todas las partículas conocidas (onda de Broglie); hasta 1927 se comprobó su hipótesis experimentalmente, cuando se observó la difracción de electrones


Análogamente con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía (E) y cantidad de movimiento (p) una frecuencia (ʋ) y una longitud de onda (λ):

E = hʋhλ

p =


La comprobación experimental, hecha por Clinton Davisson y Lester Germer, demostró que la longitud de onda asociada a los electrones, medida en la difracción según la fórmula de Bragg, correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie.

nλ = 2dsen(θ)Ley de Bragg


Esa predicción llevó a Schrödinger a describir una ecuación para la onda asociada de De Broglie, que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:

Et = P2

2m+ V

Siendo

Et energía totalP cantidad de movimientom masaV energía potencial


La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. Como resultado del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».

Ecuación de Schrödinger desarrollo

Partiendo de la ecuación general de la ley de conservación de la energía:

Ec + V = Et

energíacinética

energíapotencial

energía total


El calculo de Ec es fácil; lo que caracteriza a la ecuación de Schrödinger es la energíapotencial, relacionada con el medio donde mueve la partícula

Ec =12

mv2 = p2

2m

No obstante, se debe considerar una pequeña

variación en el calculo de la Ec


Pi = îħ ^ ∂

∂x

Observablefísico

Operadormatemático

p2 = -ħ2 ∂2

∂x2

p2

2m -ħ2

2m ∂2

∂x2=

Elevando alcuadrado

Por consiguiente:


Retomando la ecuación de conservación de laenergía, y aplicando el resultado obtenido en elpaso anterior se obtiene que:

Et = Ec + V

Et = -ħ2

2m ∂2

∂x2 + V

Partícula enmovimiento

Ambiente


A la ecuación anterior, Schrödinger agregóuna función denominada ”función de onda”,que resulta ser la solución a la ecuación de Schrödinger

EtΨ = -ħ2

2m ∂2

∂x2 + V[ ]Ψ

Ψ es la función de onda, donde esta el contenidode toda la información del sistema

mecánico-cuántico


El planteamiento que sigue, corresponde solo aun análisis unidimensional (en x)

EtΨ = -ħ2

2m d2

dx2 + V[ ]ΨMultiplicar por (–) a ambos lados de la ecuación

-EtΨ = ħ2

2m d2

dx2 - V[ ]Ψ Llevar -EtΨ al ladoderecho de la ecuación

0 = ħ2

2m d2

dx2 - V[ ]Ψ -EtΨFactorizar Ψ


0 = ħ2

2m d2

dx2 +(E – V)[ ]ΨMultiplicando al interiorpor 2m/ħ2

0 = d2

dx2 + (E – V)[ ]Ψ2m ħ2

Haciendo K2 = 2m/ħ2(E-V)

0 =d2Ψdx2 + K2Ψ

0 = Ψ’’ + K2Ψ Lo cual conduce a:


0 = Ψ’’ + K2Ψ Posee dos funciones solución, siendo la general una combinaciónlineal de ambas (pues la ecuacióndiferencial es de grado 2)

Procedemos a convertir la ecuación diferencial degrado 2 a una algebraica de mismo grado:

Hacemos

D = ddx

D2 = d2

dx2


0 =d2Ψdx2 + K2Ψ

D = ddx

D2 = d2

dx2

Reemplazando estos valores en la ecuaciónse obtiene que:

0 = D2Ψ + K2Ψ Factorizando Ψ

0 = Ψ(D2 + K2) Solucionando la suma de cuadrados

0 = Ψ(D + iK)(D - iK)


Del sistema anterior se rescata que:

Ψ1(D + iK) = 0 ó Ψ2(D - iK) = 0

ddx

Ψ1D + Ψ1iK = 0 ó Ψ2D - Ψ2iK = 0Reemplazando D por d/dx

Ψ1 + Ψ1iK = 0 ó Ψ2 - Ψ2iK = 0 ddx

Ψ1 = -Ψ1iK ó Ψ2 = Ψ2iK ddx

ddx

Realizando algunos despejese integrando se obtiene que:


= -iKdx ó = iKdxΨ1

dΨ2dx

dΨ1∫ ∫ ∫ ∫Ln(Ψ1) = -iKx + Ln(A) ó Ln(Ψ2)= iKx + Ln(B)

Aplicando exponencial

Ψ1 = Ae-iKx ó Ψ2 = BeiKx

La solución general resulta una combinación lineal de Ψ1 y Ψ2


Ψ = C1e-iKx + C2BeiKx

Los términos de la derecha describenel comportamiento de ondas planascirculares. El signo del exponenteindica que dirección posee la onda

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