Ecuación paramétrica

Puede describirse una hélice con la ecuación paramétrica . Al variar el valor de t, se obtienen los

distintos puntos de la curva.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar laposición y la velocidad de un auto

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se

utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables

independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta

siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus

parámetros.

Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión .

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es

decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y.

No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si

se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en

donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables

dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica)

conocida como «parámetro».

En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso y= f(x) o

de z= F(x,y). Un caso paradigmático, la representación de la cicloidepor ecuaciones

paramétricas.

ejemplo para aclarar[editar]

Cuando se toma un intervalo en el eje t, los puntos c(t) = (t, t2) describen una parábola.

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma

Una parametrización posible sería

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una

en donde x e y equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para

encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente

en cada caso.

Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización

cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

A partir de la ecuación vectorial:

Real izando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades

escalares:

Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente

expresión:

{x=a1+λ⋅v1y=a2+λ⋅v2 λ∈R

Donde:

x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.

a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).

v1 y v2 son las componentes de un vector director v⃗ =(v1,v2) de r.

λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se

le asigne

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica

En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se

conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.

Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro,

generalmente, este parámetro es ‘t’.

Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las

variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el

parámetro ‘t’ como,

x = f(t) y = g(t)

Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en

un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación Cartesiana, sin

embargo esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea

función del tiempo t.

La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un

par (x, y) o (f (t), g (t)).

Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana.

Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más

conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores

correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en

coordenadas Cartesianas.

Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que

no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería

en ambas direcciones hasta el infinito.

En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende

completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un

valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico.

Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación

y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada

con mayor facilidad. De hecho existen varios métodos para hacer esto.

Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la

variableparamétrica ‘t’.

Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una

ecuación Cartesiana en términos de x e y.

Sin embargo la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata

de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica

que definitivamente no pueda ser resuelta.

Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en

este escenario.

Asimismo existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función

dada, esto seentenderá con más práctica.

Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente

para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados.

p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0 <= t <= 2

La función dada implica funciones trigonométricas así que tratemos de hacer uso de las

identidades trigonométricas para reducirla. p/ 5 = cos (t) q/ 3 = sin (t)

p2/ 25 = cos2 (t) q2/ 9 = sin2 (t)

Podemos hacer uso de la identidad sin2 (t) + cos2 (t) = 1. Entonces,sume las dos

ecuaciones para producir una ecuación única como,

p2/ 25 + q2/ 9 = 25cos2 (t)/ 25 + 9sin2 (t)/ 9

p2/ 25 + q2/ 9 = 1

La ecuación reducida es una ecuación Cartesiana que puede sergraficada mediante la

elaboración de una tabla que represente los valores de entrada y salida de la función

como, p q 5 0 0 2 -5 0 0 −2

El gráfico de la función sería,

Curvas notables

Circunferencia

Ecuación paramétrica de lacircunferenciagoniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y)

= (cost, sint).

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que

Una expresión paramétrica es

Elipse

Una elipse con centro en (x0,y0) y que se interseque con el eje x en a y -a, y con el

eje y en b y -b, verifica que

.

Otras curvas[editar]

Diferentes figuras variando k

La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de

formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la función

paramétrica:

Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

En esta otra función se puede ver una gran variedad de formas en función de los

exponentes j y k, variando los paràmetros a,b,c y d.

A continuación ejemplos para j=3 k=3 y j=3 k=4.

j=3 k=3

j=3 k=3

j=3 k=4

j=3 k=4

j=3 k=4

A continuación se describe otra función donde puede obtenerse una gran

diversidad de formas, variando el valor de las constantes: i,j,a,b,c,d,e.

i=1 j=2

Las ecuaciones paramétricas a menudo describen bellas figuras.

Representación gráfica de tres funciones paramétricas.

Representación gráfica de dos funciones paramétricas.

Representación gráfica de dos funciones paramétricas.

Diferencia entre ecuación vectorial paramétrica y ecuaciónparamétrica

Son dos formas de ecuación distintas, una recta r en el espacio queda perfectamente determinada

por un punto A yunector u = (a, b, c) no nulo, que se llama vector director de la recta.

Determinación lineal de la recta r: r(A, u)

ECUACION VECTORIAL de la recta:

: x = a + tu, t ∈ R,

Donde x es el vector de posición de un punto arbitrario X(x, y, z), y a es el vector de posición del

punto A(xo, yo, zo).

De la ECUACION VECTORIAL pasamos a las ECUACIONES PARAMETRICAS.

Sustituyendo en la ecuación vectorial las coordenadas de los puntos tenemos que:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (a, b, c)

Y a partir de aquí conseguimos las ECUACIONES PARAMETRICAS:

{x = xo+ ta

{y = yo + tb

{z = zo+ tc, con t ∈ R

ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta.

Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un vector paralelo a l.

Un punto estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es decir,

para cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema

coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como

(1)

La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que

pasa por el punto A y es paralela al vector .

Si , y , entonces

de la igualdad anterior se tiene que

(2)

Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa

por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a obtenemos un

punto específico.

Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro tenemos que

Por consiguiente, (3) Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta

que pasa por el punto A y es paralela al vector .

Ejemplos:

Dado el punto y el vector paralelo a la recta l que pasa por A.

Encuentre

a. La ecuación vectorial de .

b. Las ecuaciones paramétricas.

c. Las ecuaciones simétricas.

Solución.

a.

ecuación vectorial de l.

b.

ecuaciones paramétricas de l.

c.

ecuaciones simétricas de l.

Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos entonces . Si ,

entonces .

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto y

es paralela al vector . Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola

ecuación.

Solución.

Punto por el cual pasa la recta l.

Vector paralelo a la recta l.

Ecuación vectorial de l.

, luego las ecuaciones paramétricas de l son

igualando las ecuaciones se tiene que

esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l.

Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos

al plano y no paralelos entre si, y .

Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores y

( no es múltiplo escalar de puesto que y no son paralelos) el plano determinado por los puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son

combinaciones lineales de y .

El plano paralelo a y contiene al punto A puede verse como una traslación del

plano hasta A. De esta manera

visto en términos de vectores coordenados es

Es la ecuación vectorial del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores no

paralelos y .

Las ecuaciones paramétricas del plano

Ejemplos:

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta o de sus

correspondientes ecuaciones paramétricas, es poder obtener ecuaciones para un

segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro , por

ejemplo la ecuación vectorial , describe el segmento

de recta que va desde hasta .

Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por

elpunto y es paralelo a los vectores y . Solución.

ecuación vectorial

Las ecuaciones paramétricas del plano son

Si eliminamos los parámetros y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es

Links de Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=wV79lAAfYC0

https://www.youtube.com/watch?v=bTQEho4scuY

Ecuaciones paramétricas de la recta:

Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la

siguiente expresión: {x=a1+λ⋅v1y=a2+λ⋅v2 λ∈R

Donde:

x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.

a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).

v1 y v2 son las componentes de un vector director v⃗ =(v1,v2) de r.

λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del

valor que se le asigne.

Explicación:

Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser

determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta

y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo v⃗

Definición de una recta por medio de un punto y un vector

Como puedes observar en la figura r se trata de una recta que pasa por el punto A

y cuya dirección viene dada por el vector v⃗ .

El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre

de vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier

vector paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta.

De esta forma, si v⃗ es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier

múltiplo de v⃗ (λ⋅v⃗ λ∈R).

Ecuaciones paramétricas de las cónicas:

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables “x” y ”y”, cada

una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable.

Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada

variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma

general:

x = F (z)

y = F (z)

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan

una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se

puede ver en el siguiente ejemplo:

Elipse:

EJEMPLO. Un segmento de recta de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus

extremos en los ejes de

coordenadas. Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) situado

sobre el segmento A B a 4 cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x :

SOLUCIÓN

se tienen las funciones trigonométricas:

cos φ = x/6

sen φ = Y/4

Por tanto despejando:

x = 6 cos φ

y = 4 sen φ

Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero

necesitamos transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que

podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramétricas representan una

sola curva.

Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:

(x^2) / 36 = cos^2 φ

(y^2) / 16 = sen^2 φ

Sumando miembro a miembro:

[(x^2) / 36] + [(y^2) / 16] = sen^2 φ + cos^2 φ

Pero se sabe que: sen^2 φ + cos^2 φ= 1

Sustituyendo tenemos:

[(x^2) / 36] + [(y^2) / 16] = 1

Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una

elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4.

Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con

semiejes a y b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

x = a cos φ................. I

y = b sen ................... I

Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:

x = b cos φ................. II

y = a sen ................... II

De la circunferencia:

Para el caso de una circunferencia de radio = r y parámetro ϕ, también con centro

en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, las ecuaciones

paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son:

Considerando a P un punto cualquiera de la curva y r como el radio de la

circunferencia.

De la figura se tiene:

sen φ = y/r

cos φ =x/r

Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:

y = r sen φ ................................... III

x = r cos φ ................................... III’

En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto que representa

el radio de la circunferencia.

De la parábola:

Se sabe que para este tipo de curva la ecuación es:

y^2 = 2px ............... (1)

La cual es la ecuación de una parábola horizontal con vértice en el origen. ϕ es el

ángulo de inclinación de la tangente a la parábola en el punto P, como se muestra

en la figura adjunta.

También se sabe que el valor de la pendiente m de una recta tangente a una

parábola, si se conoce el punto de tangencia, es:

tan φ = m = y / 2x.............(2)

Por lo que de la ecuación (1), despejando a 2x:

2x = (y^2) / p ................(3)

Sustituyendo (3) en (2), se tiene:

tan φ = y/ (Y^2 /p) = py / y^2 = p / y

Es decir que:

tan φ = p / y

Por lo tanto la función trigonométrica:

cot φ = y / p

Despejando a y:

y = p cot φ ................IV

Según la ecuación (3) tendremos:

x = [(p^2) cot^2 φ ] / 2p

De donde:

x = (p / 2) cot^2 φ ................IV’

Que son las ecuaciones paramétricas de la parábola horizontal con vértice en el

origen.

De la misma manera, partiendo de la ecuación de la parábola vertical con vértice

en el origen, las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

x = ptanφ………V

y = (p / 2) tan^2 φ ................V’.

De la hipérbola:

Trazamos dos circunferencias concéntricas con centro común en el origen, de

radio

0A = a , y de radio 0D = b y consideramos un punto P(x, y) cualquiera, según la

figura siguiente:

En el triángulo rectángulo 0AB la función trigonométrica:

sec φ = OB / OA = x / a

Despejando:

x = a sec φ ......................VI

De la misma forma, en el triángulo rectángulo 0CD, tenemos la función:

tang φ = CD / OD = y / b

Despejando:

y = b tan φ .................................VI’

Que son las ecuaciones paramétricas de la hipérbola horizontal con centro en el

origen.

Para obtener la ecuación rectangular de una curva a partir de las ecuaciones

paramétricas, se obtiene normalmente eliminando el parámetro, mediante

procedimientos y conocimientos vistos en álgebra y en la geometría y

trigonometría.

Ecuaciones Paramétricas de las Hipocicloides:

Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una

circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra

circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia

generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Las ecuaciones suelen escribirse como:

Su sentido físico se ve más claramente si se expresan como:

Ecuaciones Paramétricas de las Epicicloides:

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a

una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra

circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

Ecuaciones Paramétricas de las Astroides:

En matemática, un astroide es un tipo particular de hipocicloide, una curva con

cuatro vértices. Los astroides son también superelipses: todos los astroides son

versiones escaladas de la curva especificada por la ecuación:

Su nombre moderno proviene de "estrella" en griego. La curva tiene varios nombres, incluyendo tetracúspide (todavía usado), cubocicloide, y paraciclo.

Un punto de una circunferencia generatriz de 1/4 que rueda dentro de una circunferencia directriz de radio, traza un astroide.

Si un segmento de longitud igual al radio de la circunferencia directriz con centro en (0, 0), se desliza con un extremo en el eje X y otro en el eje Y, resulta ser tangente en cada punto de la curva astroide.

Su ecuación paramétrica, para R = 1, es:

Un astroide creado por una circunferencia generatriz rodando dentro de otra de

radio contiene un área igual a .

El astroide es, además, evoluta de la elipse. Esto quiere decir que el lugar

geométrico de los centros de curvatura de una elipse siempre tiene forma de

astroide.

Por otra parte, si deslizamos un segmento de longitud constante sobre dos ejes

perpendiculares, la envolvente que se forma también es una elipse.

Videos de Youtube “Explicacion”:

https://www.youtube.com/watch?v=OTr-BsxhY88 (Astroides)

https://www.youtube.com/watch?v=69RDK7ZLh3E (Conicas)

https://www.youtube.com/watch?v=NArfLkO0V7E (Hipocicloide)

https://www.youtube.com/watch?v=bTQEho4scuY (Recta)