ECUACIONES DE MODELOS DE COLAS

Colas de canal simple con población infinita

Para el análisis de las poblaciones infinita existen siete ecuaciones básicas para esta clase de problemas. La probabilidad de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema es:

= λ / μ

Donde = utilización del sistema λ = tasa de llegada, unidades / periodo de tiempo μ = tasa de servicio, unidades / periodo de tiempo

Las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando λ / μ < 1. La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso es:

P0 = 1 – (λ / μ) (1) El número esperado Lq en la cola, es:

Lq = λ2 / μ(μ-λ) (2) El número esperado L en el sistema (cola y servicio), es:

L = λ / (μ -λ) (3) El tiempo esperado Wq esperado en la cola, es:

Wq = λ / μ (μ -λ) (4) El tiempo esperado W en el sistema, es:

W = 1 / (μ -λ) (5)

El número esperado Ln en la cola no vacía, es:

Ln = λ / (μ -λ) (6)

El tiempo esperado Wn en la cola para colas no vacías, es:

Wn = 1 / (μ -λ) (7)

Colas multicanal con población infinita Estas ecuaciones son mas simples que las dadas anteriormente, ya que ellas pueden reducirse al caso del canal simple haciendo k = 1 y simplificando. La probabilidad Po de hallar vacío el sistema es:

n=k-1

Po =[ Σ (1 / n!)( λ / μ)n] + 1/k! (λ / μ)k (kμ / (kμ - λ)]

-1 (8)

n=0

donde k = número de canales de servicio λ = tasa de llegada de clientes μ = tasa de servicio de un canal simple (se supone que todos los μ son iguales)

La probabilidad Pk de que una unidad que llega tenga que esperar (probabilidad de que haya K o más unidades en el sistema) es:

Pk = 1/k!( λ/μ)k[kμ/(kμ – λ)] Po (9)

El número esperado L en el sistema es:

L = [(λμ(λ/μ)k

) Po / ((k-1)!(kμ - λ)2)] + (λ / μ) (10)

El número esperado Lq en la cola es:

Lq = [ λ μ (λ/μ)k

Po] / [(k-1)! (kμ - λ)2] (11)

El tiempo esperado Wq en la cola es:

Wq = [μ (λ/μ)k Po] / [ (k-1)! (kμ - λ)2] (12)

El tiempo esperado W en el sistema es:

W = [μ (λ/μ)k Po] / [ (k-1)! (kμ - λ)2 ] + 1/μ (13)

Colas canal simples con población finita, donde M es el número de clientes en la población de entrada La probabilidad Po de hallar vacío el sistema es:

n=M

Po = Σ [ M! / (M-n)! (λ/μ)n ] (27)

n=0 donde M es el número de clientes en la población. La robabilidad Pn de hallar clientes en el sistema es

Pn = M!/[ (M-n)! (λ/μ)n Po] (28)

El número esperado L de clientes en el sistema es:

n=M

L = Σ n Pn = M – (μ/λ) (1 - Po) (29)

n=0 Y el número esperado Lq de clientes en la cola es

Lq = M – (λ + μ / λ) (1 - Po) (30)

Colas multicanal con población finita En estos casos se supone que el número k de canales es mayor que 1, por tanto 1 < k < M. La probabilidad Po de hallar vacío el sistema es:

n=k-1 n=M

Po =Σ [M!/(M-n)! n! (λ/μ)n + Σ [M! / (M-n)!k!k

n-k(λ/μ)

n ]]

-1

n=0 n =k (31) La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema es:

Pn = Po * [ M! /(M-n)! n! ] (λ/μ)n donde 0 < n < k (32)

Pn = Po *[ M!/(M-n)! k! k n-k

] (λ/μ)n donde k < n < M (33)

Se observa que n no puede ser mayor que M. El número esperado L de clientes en el sistema es:

n=k-1 n=M n=k-1 L = Σ nPn + Σ (n-k) Pn + K(1- Σ Pn) (34)

n=0 n=k n=0 El número esperado Lq de clientes en la cola es:

n=M

Lq = Σ (n-k) Pn (35)

n=k _____________________ 1 FUENTE: Investigación de Operaciones: Un enfoque fundamental AUTOR: James Shambin y G.T. Stevens, Jr. DISEÑO: Itzomara Pinzon de Guevara