Ecuaciones de Bernoulli

Ejemplo ilustrativo (E&P 1.6.23):

Principio de BernoulliPara el teorema matemtico enunciado por Jakob Bernoulli, vase Teorema de Bernoulli.

Esquema del Principio de Bernoulli. El principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una lnea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinmica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1. Cintica: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido. 2. Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea.

3. Energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee. La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

donde:

V = velocidad del fluido en la seccin considerada. g = aceleracin gravitatoria z = altura en la direccin de la gravedad desde una cota de referencia. P = presin a lo largo de la lnea de corriente. = densidad del fluido.

Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde es constante. La ecuacin se aplica a lo largo de una lnea de corriente o en un flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuacin se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicacin del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubera.

Caractersticas y consecuenciasCada uno de los trminos de esta ecuacin tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energa; en hidrulica es comn expresar la energa en trminos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta ltima traduccin del ingls head. As en la ecuacin de Bernoulli los trminos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presin y cabezal hidrulico, del ingls hydraulic head; el trmino z se suele agrupar con P / para dar lugar a la llamada altura piezomtrica o tambin carga piezomtrica.

Tambin podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por , de esta forma el trmino relativo a la velocidad se

llamar presin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en la presin esttica.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera ms sencilla:q + p = p0

Donde

p = P + z p0 es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de la energa cintica, la energa de flujo y la energa potencial gravitatoria por unidad de masa:

As el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservacin de la energa, es decir, en una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos. Esta ecuacin permite explicar fenmenos como el efecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Este efecto explica porqu las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presin del aire es menor fuera debido a que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro, donde la presin es necesariamente mayor. De forma, aparentemente,

contradictoria el aire entra al vehculo pero esto ocurre por fenmenos de turbulencia y capa lmite.

Ecuacin de Bernoulli y la Primera Ley de la TermodinmicaDe la primera ley de la termodinmica se puede concluir una ecuacin estticamente parecida a la ecuacin de Bernouilli anteriormente sealada, pero conceptualmente distinta. La diferencia fundamental yace en los lmites de funcionamiento y en la formulacin de cada frmula. La ecuacin de Bernoulli es un balance de fuerzas sobre una partcula de fluido que se mueve a travs de una lnea de corriente, mientras que la primera ley de la termodinmica consiste en un balance de energa entre los lmites de un volumen de control dado, por lo cual es ms general ya que permite expresar los intercambios energticos a lo largo de una corriente de fluido, como lo son las prdidas por friccin que restan energa, y las bombas o ventiladores que suman energa al fluido. La forma general de esta, llammosla, "forma energtica de la ecuacin de Bernoulli" es:

donde:

es el peso especfico ( = g). W es una medida de la energa que se le suministra al fluido. hf es una medida de la energa empleada en vencer las fuerzas de friccin a travs del recorrido del fluido. Los subndices 1 y 2 indican si los valores estn dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente. g = 9,81 m/s2 y gc = 1 kgm/(Ns2)

Suposiciones

La ecuacin arriba escrita es un derivado de la primera ley de la termodinmica para flujos de fluido con las siguientes caractersticas.

El fluido de trabajo, es decir, aqul que fluye y que estamos considerando, tiene una densidad constante. No existe cambio de energa interna.

Demostracin

Escribamos la primera ley de la termodinmica con un criterio de signos termodinmico conveniente:

Recordando la definicin de la entalpa h = u + Pv, donde u es la energa interna y v se conoce como volumen especfico v = 1 / . Podemos escribir:

que por la suposiciones declaradas ms arriba se puede reescribir como:

dividamos todo entre el trmino de la aceleracin de gravedad

Los trminos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los flujos de energa a travs del volumen de control considerado, es decir, son las entradas y salidas de energa del fluido de trabajo en formas de trabajo (w) y calor (q). El trmino relativo al trabajo w / g consideraremos que entra al sistema, lo llamaremos h y tiene unidades de longitud, al igual que q / g, que llamaremos hf quin sale del sistema, ya que consideraremos que slo se intercambia calor por va de la friccin entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene. As la ecuacin nos queda:

o como la escribimos originalmente:

As, podemos observar que el principio de Bernoulli es una consecuencia directa de la primera ley de la termodinmica, o si se quiere, otra forma de esta ley. En la primera ecuacin presentada en este artculo el volumen de control se haba reducido a tan solo una lnea de corriente sobre la cual no haban intercambios de energa con el resto del sistema, de aqu la suposicin de que el fluido debera ser ideal, es decir, sin viscosidad ni friccin interna, ya que no existe un trmino hf entre las distintas lneas de corriente.

Aplicaciones del Principio de BernoulliChimenea Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es ms constante y elevada a mayores alturas. Cuanto ms rpidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, ms baja es la presin y mayor es la diferencia de presin entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustin se extraen mejor. Tubera La ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad tambin nos dicen que si

reducimos el rea transversal de una tubera para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducir la presin. Natacin La aplicacin dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presin y mayor propulsin. Carburador de automvil En un carburador de automvil, la presin del aire que pasa a travs del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presin, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire. Flujo de fluido desde un tanque La tasa de flujo est dada por la ecuacin de Bernoulli. Dispositivos de Venturi En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de dbito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.

Ecuacin de RiccatiLa ecuacin de Riccati es una ecuacin diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemtico italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinmica. Corresponde a una ecuacin de la forma:

Esta ecuacin se resuelve si previamente se conoce una solucin particular, digamos . Conocida dicha solucin, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuacin diferencial de Bernoulli.

Obsrvese que si se hace el cambio

, esto nos lleva directamente a una ecuacin lineal diferencial de primer orden. Ecuacin de Clairaut Suponga que es una funcin real. Si a la grfica de la funcin en este punto est dada por la recta tangente

Observe que esta ecuacin es una familia de curvas uniparamtricas con parmetro . Entonces podemos encontrar una ecuacin diferencial cuya solucin general sea esta familia de curvas. Si y tiene una inversa cerca de , entonces

y podemos reescribir la ecuacin de la recta tangente como

La cual es la ecuacin diferencial buscada. A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones de Clairaut 1.3.

Definicin

[Ecuacin de Clairaut] que puede

Una ecuacin diferencial de primer orden escribirse en la forma

se conoce como ecuacin de Clairaut . Donde continuamente diferenciable.

es una funcin

El inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas. Adems, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estn dadas por la familia , tambin es solucin, en este caso una solucin singular, de la ecuacin de Clairaut.

de la ecuacin de Clairaut] a ecuacin de Clairaut

Teorema[Solucin

(1.18)

donde

es una funcin derivable, tiene como solucin general y como solucin singular

Demostracin Para resolver la ecuacin 1.18 hacemos la sustitucin para obtener

(1.19)

Derivando ambos lados respecto a

de donde obtenemos que

Surgen dos casos Caso 1: Si , entonces general .

y sustituyendo en la ecuacin 1.19 obtenemos la solucin

Observe que la solucin general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuacin 1.18 por .

Cso 2: Si , entonces , es decir y sustituyendo en la ecuacin 1.19

Estas son las ecuaciones paramtricas de una curva donde es el parmetro. Observe que esta solucin no es un caso particular de la solucin general, por lo que se trata de una solucin singular.

Ejemplo: Resuelva la ecuacin diferencial

Solucin: La solucin general es la familia de rectas la solucin singular est dada por y como

Observe que estas son las ecuaciones paramtricas de una crculo de radio 2, . En la figura 1.2 se muestra la familia de rectas tangentes y la envolvente .

Figura 1.2: Envolvente

y rectas tangentes

.

Ecuacin de ClairautUna ecuacin de Clairaut (llamada as por Alexis-Claude Clairaut) es una ecuacin diferencial de la forma

Para resolverla, se debe diferenciar con respecto a x, lo que da:

por lo que

Por consiguiente, o bien

o en cambio

En el primer caso, C = dy/dx para alguna constante C. Substituyendo en la ecuacin de Clairaut se obtiene la familia de funciones dada por:

llamada la solucin general de la ecuacin de Clairaut . En el segundo caso,

define la solucin singular y(x) cuya grfica es la envolvente de las grficas de las soluciones generales. La solucin singular se suele representar paramtricamente, como (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ecuacin lineal de primer orden Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuacin de este tipo.

Definicin

[Ecuacin lineal] Una ecuacin diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde lineal.

y

son funciones reales, se llama ecuacin diferencial

Observacin: una ecuacin diferencial lineal de orden

tiene la forma

donde los coeficientes tenemos que

son funciones reales y

. Note que cuando

y al dividir por

La cual tiene la forma

donde

y

.

Teorema La solucin general de la ecuacin diferencial de primer orden

(1.10)

est dada por

Demostracin Reescribiendo la ecuacin 1.10 como

podemos comprobar que 1.10 por este factor tenemos que

es un factor integrante. Multiplicando la ecuacin

de donde

e integrando respecto con

como se quera. Ejemplo:

Resolver la ecuacin

Reescribiendo la ecuacin tenemos

El factor integrante est dado por

Con lo cual la solucin est dada por

Es decir, Ejemplo:

Considere la ecuacin diferencial

(1.11)

Encuentre una funcin de forma tal que la ecuacin diferencial (1.11) sea exacta y resuelva dicha ecuacin diferencial. Para que la ecuacin (1.11) sea exacta debe cumplir

De aqu obtenemos la ecuacin diferencial lineas en

y

cuya solucin es

De donde tomando

obtenemos que

.

Ejemplo: Compruebe que la ecuacin diferencial

donde

y

son funcuiones reales, se transforma en una ecuacin diferencial .

lineal al hacer Como

Sustituyendo

la cual es una ecuacin diferencial lineal.

Ecuacin de Bernoulli Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuacin diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situacin semejante se presenta para la ecuacin de Bernoulli.

Definicin

Una ecuacin diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuacin de Bernoulli1.2

Observacin: cuando separable y cuandoTeorema

la ecuacin de Bernoulli se reduce a una ecuacin se trata de una ecuacin lineal, casos ya estudiados.

La ecuacin de Bernoulli

(1.12)

se reduce a una ecuacin lineal de primer orden haciendo la sustitucin . Demostracin: Al dividir la ecuacin 1.12 por , resulta

(1.13)

Usando la regla de la cadena, calculemos

a partir de la sustitucin

Sustituyendo en la ecuacin 1.13, esta se transforma en

la cual es una ecuacin diferencial lineal de primer orden, como se quera.

Ejemplo:

Resuelva la ecuacin

Solucin

sta es una ecuacin de Bernoulli con resolverla primero dividamos por

,

y

. Para

Ahora efectuemos la transformacin transforma en

. Puesto que

, la ecuacin se

Simplificando obtenemos la ecuacin lineal

Cuya solucin es

y al sustituir

se obtiene la solucin de la ecuacin original

Observacin: en esta solucin no est incluida la solucin durante el proceso de dividir por

, que se perdi

. Es decir, se trata de una solucin singular.

Ejemplo:

Compruebe que la ecuacin diferencial

se transforma en una ecuacin de Bernoulli al hacer

.

Solucin Como

Sustituyendo obtenemos

la cual es una ecuacin de Bernoulli.