Ecuaciones de Lax y Par de Lax...Conclusiones Pares de Lax Pares de Lax De nici on Consideremos una matriz A cuyos elementos A ij son funciones de nidas en el espacio de fases . Supongamos

IntroduccionEcuaciones de Lax y Evoluciones Espectrales

Propiedades y ObservacionesEjemplos

Conclusiones

Ecuaciones de Lax y Par de Lax

Daniel Juarez Robles

Centro de Investigacion de MatematicasMaestrıa en Matematicas Aplicadas

11 de diciembre de 2012

Profesor:Adrian Espınola Rocha

Daniel Juarez Robles Par de Lax



Conclusiones

Pares de Lax

Pares de Lax

Definicion

Consideremos una matriz A cuyos elementos Aij son funciones definidas enel espacio de fases . Supongamos que existe una matriz B tal que laevolucion temporal de la matriz A viene dada por:

d

dtA = BA− AB = [B,A] (1)

donde [B,A] denota al conmutador de las matrices B y A.En este caso se dice que estas dos matrices forman un par de Lax y laecuacion de evolucion de la matriz A se denomina ecuacion de Lax.




Conclusiones

Pares de Lax

Traza del conmutador

Si la traza de un conmutador es nula, esto es,

tr [B,A] = tr(BA− AB) = tr(BA)− tr(AB) = 0

de lo que se deduce que si un sistema admite una representacion deLax entonces la traza de la matriz A es constante del movimiento.

I1 = trA,d

dtI1 = 0

Si las matrices (A,B) son un par de Lax entonces (A2,B) tambien esun par de Lax. Esto se puede generalizar para (Am,B) con m > 1.




Conclusiones

Pares de Lax

Proposicion

Si un sistema dinamico admite un par de Lax (A,B) entonces las funcionesdefinidas de la forma

I1 = trA, I2 = trA2, ..., In = trAn,

son constantes de movimiento

d

dtIk = 0, k = 1, 2, ..., n




Conclusiones

Evoluciones isoespectrales

Supongamos que la evolucion temporal de la matriz A viene dada porA = [BA]Consideremos una matriz P definida de la forma

d

dtP = BP, P(0) = I

esto significa que la matriz B se puede expresar de la forma

B =

(d

dtP

)P−1 = PP−1

.




Conclusiones


Consideremos que la matriz AP esta definida de la siguiente forma

AP = P−1AP

y cuya evolucion temporal es:

d

dt

(P−1AP

)= P−1AP + P−1AP + P−1AP = 0

Por lo tanto,

P−1AP(t) = P−1AP(0) = A(0)

Esto significa que la evolucion temporal de la matriz A es de la forma

A(t) = PA(0)P−1

,Daniel Juarez Robles Par de Lax



Conclusiones


A(t) = PA(0)P−1

⇒ A(t) y A(0) son semejantes ⇒ A(t) y A(0) tienen el mismo polinomiocaracterıstico ⇒ A(t) y A(0) tienen los mismos valores propios, o lo que eslo mismo, los valores propios λi , i = 1, 2, ..., n, se mantienen constantes alo largo de la evolucion temporal

d

dtλi = 0, i = 1, 2, ..., n

En este caso decimos que la evolucion temporal de la matriz A gobernadapor una ecuacion de Lax es isoespectral.




Conclusiones

Unicidad

Un par de Lax no es unico. Mas concretamente, dado un par de Lax (A,B)siempre se puede construir una familia de pares de Lax.

Consideremos la ecuacion

d

dtA = BA− AB

y denotemos Ag y Bg las matrices definidas de la siguiente forma

Ag = gAg−1, Bg = gBg−1 + gg−1




Conclusiones

Transformacion gauge de la ec. de Lax

Sea

Ag = gAg−1, Bg = gBg−1 + gg−1

la siguiente ecuacion de Lax tambien es cierta

d

dtAg = BgAg − AgBg

Las matrices A y Ag son semejantes y poseen los mismos valores propios.




Conclusiones

Equivalencia con un sistema Hamiltoniano

Todo sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentido deArnold-Liouville admite una representacion de Lax.

Supongamos que un sistema posee n constantes de movimiento eninvolucion entonces existe, al menos localmente, un sistema decoordenadas conjugadas,

(qi , pi )→ (θi , Ii )

donde las funciones Ii dependen unicamente de las funciones constantesFj . En este nuevo sistema las ecuaciones del movimiento son

d

dtθj =

∂H

∂Ij,

d

dtIj = 0




Conclusiones

Equivalencia con un sistema Hamiltoniano

Pues bien en este caso se puede construir una ecuacion matricial del tipo

d

dtL = ML− LM

de tal forma que ambas ecuaciones sean equivalentes. Esto significa que(L,M) forman un par de Lax para el Hamiltoniano H. Sin embargo, estaconstruccion es formal y carece de utilidad ya que requiere el conocimientoprevio de las variables accion - angulo para poder construir el par de Lax.




Conclusiones

Observacion

Separabilidad

La utilizacion de pares de Lax es particularmente util en el estudio desistemas integrables no separables; esto es, sistemas cuya ecuacion deHamilton-Jacobi es complicada pero que poseen constantes delmovimiento de orden superior.




Conclusiones

Oscilador armonicoEcuacion de Schrodinger

Oscilador armonico

Sean

A =

(p ωqωq −p

)y B =

(0 −ω/2ω/2 0

)este par de Lax es equivalente a las ecuaciones de movimiento de unoscilador armonico:

q = p

p = −ω2q

ya que

dA

dt= [B,A] = A =

(p ωqωq −p

)=

(−ω2q ωpωp ω2q

)Daniel Juarez Robles Par de Lax



Conclusiones


Oscilador armonico

El sistema lineal de ecuaciones diferenciales obtenido:

q = p

p = −ω2q

representa una condicion de compatibilidad para que el sistema anteriortenga solucion unica. Por otra parte, el Hamiltoniano asociado al sistemaes

H(p, q) =p2

2+ω2q2

2




Conclusiones


Constantes del Movimiento

Observese que el Hamiltoniano H se puede escribir como Tr(A2)/4.

A2 =

(p ωqωq −p

)(p ωqωq −p

)

A2 =

(p2 + ω2q2 0

0 p2 + ω2q2

)Por lo tanto:

tr(A2) = 2(p2 + 2ω2q2

)H(p, q) =

1

4tr(A2) =

p2

2+ω2q2

2




Conclusiones


Constantes del Movimiento

Por otra parte,

A3 =

(p3 + pω2q2 ωqp2 + ω3q3

ωqp2 + ω3q3 −p3 − pω2q2

)Por lo tanto:

tr(A3) =(p3 + pω2q2

)+(−p3 − pω2q2

)tr(A3) = 0

De tal forma que para este ejemplo las cantidades que se conservan son:H(p, q) = (1/4)]tr(A2) y tr(A3) = 0




Conclusiones


Ecuacion de Schrodinger

Existen ecuaciones no lineales que puedes ser escritas como la condicion decompatibilidad de ecuaciones lineales. Tal clase de ecuaciones son llamadasintegrables .El prototipo de una ecuacion integrable es la celebre ecuacion no lineal deSchrodinger:

iqt + qxx + 2λ|q|2q = 0, λ = ±1, x ∈ R, t > 0, (2)

donde q(x , t) ∈ C.




Conclusiones



El par de Lax asociado consiste de las siguientes dos ecuaciones linealessatisfechas por la funcion M(x , t, k) evaluada en las matrices de 2× 2 yk ∈ C es un parametro arbitrario.{

Mx + ik [σ3,M] = QM

Mt + 2ik2 [σ3,M] = QM, k ∈ C(3)

donde:

σ3 =

(1 00 −1

)Q =

(0 qλq 0

)Q = 2kQ − iQxσ3 − λi |q|2σ3Daniel Juarez Robles Par de Lax



Conclusiones



Para una funcion dada q(x , t), la Ec. 3 constituye un sistema de dosecuaciones para una unica funcion M(x , t, k).

Este sistema sobredeterminado no tiene solucion a menos que las Ecs.3 sean compatibles.

Esto implica que la ecuacion no lineal, Ec. 2, es equivalente a lasecuaciones lineales 3.

Ası, la ecuacion 2 ha sido linealizada y por lo tanto, la solucion decualquier problema relacionado con la Ec. 2 puede ser reducido a lasolucion de un problema asociado al par de Lax, Ec. 3.




Conclusiones


Par de Lax para EDPs lineales de evolucion

El metodo espectral o tambien conocido como transformada de dispersioninversa (IST, por sus siglas en ingles) parece ser muy diferente al metodode la transformada de Fourier. De hecho, el metodo previo es unaconsecuencia de la aproximacion referente al de la separacion de variables.Por ejemplo, la ecuacion linealizada correspondiente a la ecuacion 2 NLSes la ecuacion:

iut + uxx = 0, x ∈ R, t > 0, (4)

Haciendo que u(x , t) = X (x ; k)T (t; k), encontramos que:

d2X

dx2− k2X = 0,

dT

dt+ ik2T = 0, k ∈ C (5)




Conclusiones



{µx + ikµ = u

µt + ik2µ = iux + ku, k ∈ C(6)

Las Ecs. 6 son compatibles si y solo si u satisface la Ec. 4 y se puedenreescribir como

(µe ikx+ik2t

)x

= ue ikx+ik2t ,(µe ikx+ik2t

)t

= (iux + ku) e ikx+ik2t(7)

Ası, (µe ikx+ik2t

)xt−(µe ikx+ik2t

)tx

= (ut − iuxx) e ikx+ik2t (8)




Conclusiones



La solucion u(x , t) puede ser construida de X y T por medio desuperposicion.

Esto mismo puede ser logrado de una manera sistematica y rigurosausando la teorıa espectral.

En particular, el analisis espectral de las Ecs. 5 con x ∈ R y concondiciones de decaimiento como |x | → ∞ conduce al par de latransformada de Fourier.

Esto sugiere que el para de Lax representa un tipo de separabilidadmas profundo.




Conclusiones

ConclusionesReferencias

Conclusiones

El par de Lax representa un tipo de separabilidad mas general que sepuede aplicar a ecuaciones diferenciales no lineales.

Lo anterior es una ventaja dado que el metodo de separacion devariables solo funciona para ecuaciones diferenciales lineales.

No existe una metodologıa u algoritmo para obtener el par de Laxasociado a una ecuacion diferencial no lineal.




Conclusiones


Diez lecciones sobre sistemas hamiltonianos. Integrabilidad yseparabilidad. Curso impartido en la Facultad de Matematicas, Dep.de Matematica Aplicada, U.P.C., Barcelona, Noviembre 2008, ManuelF. Ranada.

A. S. Fokas, Lax pairs: a novel type of separability, Topical review,Inverse problems, 25 (2009) 123007, pp.44.

Lax pairs and other integrable equations, author=?.

Adam Howard Spiegler, Stability of generic equilibria of the 2Ndimensional free rigid body using the energy-Casimir method.Doctoral degree dissertation, Faculty of Department of Mathematics,The University of Arizona.

A. S. Fokas, On the integrability of linear and non linear partialdifferential equations, Journal of Mathematical Physics, Vol. 41, (6),2000.




Conclusiones


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