ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 10.1 EL VECTOR DE …matematiib.weebly.com/uploads/6/8/1/9/6819250/10._ecuaciones_d… · TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS La Geometría Analítica

Alonso Fernández Galián

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TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS La Geometría Analítica en el espacio se ocupa fundamentalmente del estudio de rectas y planos por medio de ecuaciones. En particular, en este tema estudiaremos las posiciones relativas de rectas y planos mediante la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 10.1 EL VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. APLICACIONES Consideremos un punto del espacio, ),,( 321 aaaA . Para poder operar con sus coordenadas se

introduce su vector de posición, que se define como OAa .

),,( 321 aaaOAa

Observemos que el vector de posición de A tiene las mismas coordenadas que el punto A. Veamos ahora cómo utilizar vectores para resolver varios problemas geométricos. Vector que une dos puntos. Sean ),,( 321 aaaA y ),,( 321 bbbB dos puntos del espacio. El vector de origen A y extremo B puede escribirse como:

abOAOBAB

Las coordenadas de los vectores a y b

coinciden con las de A y B, respectivamente:

),,( 321 aaaa y ),,( 321 bbbb

Por lo tanto, tenemos:

),,( 332211 ababababAB

Comprobación de si tres puntos están alineados. Para comprobar si los puntos A, B y C están alineados basta observar si los vectores AB y AC son linealmente dependientes:

A, B y C están alineados AB y AC son l.d. ABAC para algún ℝ

Ejemplo: Dados los puntos )4,0,2( A y )2,1,3(B , calcular las coordenadas de los

vectores AB y BA .

(a) El vector AB tiene coordenadas: 6,1,5)4(2,01,23 AB

(b) El vector BA tiene coordenadas: 6,1,524,10),3(2 BA

Notemos que se trata de vectores opuestos:

Matemáticas II

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Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos

),,( 321 aaaA y ),,( 321 bbbB es igual al módulo del vector AB :

233

222

211 )()()(, abababABBAd

El punto medio de un segmento. El punto medio del segmento de extremos ),,( 321 aaaA y

),,( 321 bbbB tiene por coordenadas la media aritmética de las coordenadas de los extremos:

2

,2

,2

332211 bababaM

Demostración: Debemos determinar las coordenadas del vector de posición de M, OM . Para ello, observemos que:

AMOAOM

Por otro lado, se tiene: ABAM21

. Así:

),,(21),,(

21

332211321 abababaaaABOAAMOAOM

22

,2

2,2

22

,2

,2

333222111333

222

111

abaabaabaabaabaaba

2,

2,

2332211 bababa

Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento de extremos )0,3,5( A y )2,4,1( B .

1,

21,2

2)2(0,

243,

215 MM

Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos )0,1,3( A y )5,2,1( B .

38)05()12()31(, 222 ABBAd u.l.

Ejemplo: Comprueba si los puntos )5,3,1(A , )1,1,3( B y )4,0,5( C están alineados.

ABACACAB

5,15,1

69

23

46

)9,3,6()6,2,4(

Como los vectores AB y AC son proporcionales (l.d.), los puntos están alineados.

Nota: En lugar de AB y AC se pueden usar, por ejemplo, AB y BC .

Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos

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10.2 LA ECUACIÓN DE LA RECTA Una recta r queda determinada conociendo un punto A por el que pasa y un vector u que determine su dirección, denominado vector director de la recta.

Nota: Ni el punto A ni el vector u son únicos, podemos tomar cualquier otro punto por el que pase la recta y cualquier vector paralelo a ella. La ecuación de la recta en forma vectorial. Sea r la recta que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene vector director ),,( 321 uuuu

. Para cualquier punto ),,( zyxP de la recta existirá un número ℝ tal que:

uOAOP

Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta. En coordenadas:

),,(),,(),,( 321321 uuuaaazyx

Dando distintos valores al parámetro obtendremos las coordenadas ),,( zyx de los distintos puntos de la recta r. La ecuación de la recta en forma paramétrica. Si igualamos coordenadas en la ecuación vectorial de la recta, deducimos que las coordenadas ),,( zyx satisfacen:

33

32

11

uazuayuax

Estas igualdades reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. Buscamos ahora ecuaciones que no dependan de ningún parámetro. La ecuación de la recta en forma continua. Despejando el parámetro en las ecuaciones paramétricas e igualando las tres expresiones resultantes se obtiene:

3

3

2

2

1

1

uaz

uay

uax

Estas igualdades se denominan ecuaciones continuas de la recta. La ecuación de la recta en forma implícita. Las ecuaciones continuas son dos ecuaciones lineales. Al expresarlas en forma general obtenemos dos ecuaciones de la forma:

00

dzcybxadczbyax

Estas ecuaciones se constituyen la forma implícita de la ecuación de la recta. Posteriormente estudiaremos la estudiaremos con detalle, incluyendo su interpretación geométrica.

Matemáticas II

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Nota: En la forma continua se permite, de manera indicativa, que alguno de los denominadores sea 0, lo que en realidad es un abuso de notación.

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ),,( 321 aaaA y

),,( 321 bbbB basta notar que dicha recta tendrá vector director:

),,( 332211 abababABu

Ejemplo: Considera los puntos del espacio )1,0,1( A y )2,5,1( B .

(a) Escribe las ecuaciones continuas de la recta r que pasa por los puntos A y B:

11

521)1,5,2(

zyxABu

(b) Comprueba si el punto )3,10,3( C pertenece a la recta:

Hay que ver si las coordenadas de C satisfacen la ecuación de la recta:

111

510

215

☺ El punto C sí pertenece a r

Ejemplo: Escribe en forma vectorial la recta dada en forma continua por:

04

37

21

zyx

La recta pasa por el punto )4,7,1( A y tiene vector director )0,3,2(u . Por tanto, su ecuación vectorial es:

uOAOP )0,3,2()4,7,1(),,( zyx

Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por )5,0,2( A y tiene vector director )2,1,3( u .

1º) Ecuación vectorial: uOAOP

)2,1,3()5,0,2(),,( zyx 2º) Ecuaciones paramétricas:

250

32

zyx

, es decir,

25

32

zyx

3º) Ecuaciones continuas:

25

132

zyx

4º) Ecuaciones implícitas:

052023

zyyx


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10.3 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r la recta que pasa por el punto A y tiene vector director u y s la recta que pasa por el punto B y tiene vector director v :

),,(),,(

:321

321

uuuuaaaA

r y

),,(),,(

:321

321

vvvvbbbB

s

Para estudiar la posición relativa de r y s debemos considerar las siguientes matrices:

321

321,vvvuuu

vu y

332211

321

321

,,ababab

vvvuuu

ABvu

Estudiemos las distintas posibilidades según el rango de estas matrices:

1. Si 1, vur y 1,, ABvur , las dos rectas son coincidentes (son la misma recta):

2. Si 1, vur y 2,, ABvur , las dos rectas son paralelas:

3. Si 2, vur y 2,, ABvur , las rectas son secantes (se cortan en un punto):

4. Si 2, vur y 3,, ABvur , las rectas se cruzan en el espacio:

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

125

1:

zyx

r y

2141

23:

zyx

s

Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,

)1,2,1()1,5,1(

:uA

r y

)2,4,2()1,1,3(

:vB

s [...]

Matemáticas II

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Intersección de dos rectas en forma paramétrica. Para calcular el punto P de intersección de dos rectas secantes dadas en forma paramétrica:

33

32

11

uazuayuax

y

33

32

11

vbzvbyvbx

(los parámetros deben ser distintos) debemos igualar coordenada a coordenada para calcular y , después, sustituimos cualquiera de ellos en la recta correspondiente.

[…] El vector AB tiene coordenadas )0,4,2(AB . Las matrices correspondientes son:

242121

,vu y

042242121

,, ABvu

Obviamente,

1, vur (los vectores son proporcionales) y 2,, ABvur

Así, concluimos que las rectas son paralelas.

Ejemplo: Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas y, en caso de ser secantes, calcula el punto de intersección:

21

25:

zyx

r

y

34

32:

zyx

s

Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,

)0,1,2()2,1,5(

:uA

r y

)1,4,3()3,0,2(

:vB

s

El vector AB tiene coordenadas )1,1,3( AB . Se comprueba que:

2, vur y 2,, ABvur

Por tanto, las rectas son secantes. Para calcular el punto de intersección, igualamos coordenada a coordenada en las ecuaciones paramétricas:

3241

3225

Las soluciones del sistema planteado son 3 y 1 . Si por ejemplo hacemos 3 en la ecuación de la recta r obtenemos que el punto de intersección es:

)2,4,1(P

(si hubiéramos hecho 1 en la ecuación de s hubiéramos obtenido el mismo punto)


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10.4 LA ECUACIÓN DEL PLANO Un plano queda determinado conociendo un punto A por el que pasa y dos vectores linealmente independientes u y v que determinen su dirección, denominados vectores directores del plano.

Veamos las ecuaciones que satisfacen las coordenadas de un punto ),,( zyxP del plano. La ecuación del plano en forma vectorial. Sea el plano que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene vectores directores ),,( 321 uuuu

y ),,( 321 vvvv . Para cualquier punto ),,( zyxP de la recta existirán dos números , ℝ tal que:

vuOAOP

Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial del plano. En coordenadas:

),,(),,(),,(),,( 321321321 vvvuuuaaazyx

Dando distintos valores a los parámetros y se obtienen las coordenadas ),,( zyx de los distintos puntos del plano . La ecuación del plano en forma paramétrica. Igualando las coordenadas en la ecuación vectorial del plano obtenemos:

333

232

111

vuazvuayvuax

Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas del plano. La ecuación del plano en forma general. Según la ecuación vectorial del plano, los puntos P del plano quedan caracterizados según la siguiente relación:

vuOAOPP

o, equivalentemente:

vuAPP

Así, el punto P pertenece al plano si y sólo si los vectores AP , u y v son linealmente dependientes, lo cual equivale a que el determinante de la matriz vuAP ,, sea 0. Así:

00,,det

321

321

321

vvvuuu

azayaxvuAPP

Desarrollando el determinante obtenemos una ecuación de la forma:

0 dczbyax

Esta ecuación se denomina ecuación general o implícita del plano.

Matemáticas II

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Plano determinado por tres puntos. Un plano queda determinado conociendo tres puntos no alineados A, B y C.

Para ello partimos de un punto cualquiera, por ejemplo A, y tomamos como vectores directores los vectores ABu

y ACv .

Ecuaciones de los planos coordenados. Veamos cuáles son las ecuaciones generales de los planos que contienen a los ejes de coordenadas. Los tres planos pasan por el punto O.

-Plano x-y: ...0,,det jiOP

0z

-Plano x-z: ...0,,det kiOP

0y

-Plano y-z: ...0,,det kjOP

0x

Ejemplo: Escribe la ecuación general del plano determinado por los puntos )4,1,3( A , )4,2,5( B y )3,1,1(C .

09220122

012413

)1,2,2()0,1,2(

)4,1,3(:

zyx

zyx

ACABA

Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación del plano que pasa por )5,0,2( A y tiene vectores directores )1,1,2( u y )2,0,3(v .

1º) Ecuación vectorial:

)2,0,3()1,1,2()5,0,2(),,( zyx

2º) Ecuaciones paramétricas:

25

322

zyx

3º) Ecuación general:

0203112502

zyx

01132 zyx


- 9 -

10.5 EL VECTOR NORMAL A UN PLANO Veamos la interpretación de los coeficientes de a, b y c en la ecuación general de un plano .

0:

321

321

321

vvvuuu

azayax

Si descomponemos el determinante en suma de dos por la primera fila se obtiene:

0

321

321

321

321

321

vvvuuuaaa

vvvuuuzyx

El segundo determinante es un número real d ℝ . Desarrollemos el primero por la primera fila:

021

21

31

31

32

32 dzvvuu

yvvuu

xvvuu

Observamos así que los coeficientes de x, y y z son las coordenadas del vector vun .

),,( cban

El vector n es perpendicular a los vectores u y v , y por tanto, al plano . Se denomina vector normal al plano . Determinación de un plano por un punto y el vector normal. Un plano queda determinado conociendo:

-Un punto por el que pasa, ),,( 321 aaaA .

-Un vector perpendicular (o normal) al plano.

Notemos que dos planos paralelos tienen los mismos vectores normales.

Ejemplo: Determinar la ecuación del plano paralelo a 04322: zyx que pasa por el punto )1,0,2(P .

El plano debe tener el mismo vector normal que el plano , )3,2,2( n . Por tanto, debe de ser de la forma 0322: dzyx . Calculemos d.

101302)2(2 ddP

El plano pedido es, por tanto: 01322: zyx .

Ejemplo: Escribir en forma general la ecuación del plano perpendicular al vector )5,1,2( n que pasa por el punto )1,0,4(A .

(i) La ecuación general del plano es de la forma 052: dzyx .

(ii) Calculemos d para que el plano pase por el punto A:

130150)4(2 ddA

(iii) El plano pedido es, por tanto: 01352 zyx

Matemáticas II

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10.6 POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS Consideremos dos planos en el espacio:

0: dczbyax y 0: dzcybxa

La posición relativa de estos planos dependerá de la compatibilidad del sistema formado por sus ecuaciones:

00

dzcybxadczbyax

(es indiferente escribir los términos independientes a la izquierda). A su vez, la compatibilidad del sistema se estudia a través de su matriz de coeficientes y de su matriz ampliada:

cbacba

A y

dcbadcba

A*

Veámoslo:

1. Si 1Ar y 1* Ar , los planos son coincidentes (son el mismo plano):

2. Si 1Ar y 2* Ar , los planos son paralelos:

3. Si 2Ar y 2* Ar , los planos son secantes (se cortan en una recta):

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 0322: zyx y 05636: zyx .

El sistema formado por sus ecuaciones es:

5636322

056360322

zyxzyx

zyxzyx

La matriz ampliada del sistema es:

56363212

*A

Obviamente 1Ar y 2* Ar , por lo que los planos son paralelos. […]


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[…]

Nota: Observemos que los respectivos vectores normales de los planos son:

)2,1,2( n

)6,3,6( n

Los vectores son proporcionales entre ellos.

Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 01346: zyx y 02: zyx .


21346

0201346

zyxzyx

zyxzyx


21111346

*A

Obviamente 2* ArAr , por lo que los planos son secantes. Se cortan en una recta:

Podemos calcular la recta en la que intersecan los dos planos. Dicha recta será la solución del sistema:

zyxzx

zyxzyx

zyxzyx EE

272

23146

21346 21 4

Para cada valor ℝ que demos a z obtendremos una solución del sistema:

z 21

27

27

x 23

211

21

272

y

Tenemos así que la recta en la que intersecan los planos es:

z

y

x

r23

211

21

27

:

Matemáticas II

- 12 -

10.7 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Veamos ahora cómo decidir la posición relativa de tres planos en el espacio, , y . Como antes, debemos estudiar la compatibilidad del sistema formado por sus ecuaciones:

000

::

:

dzcybxadzcybxadczbyax

000


La compatibilidad del sistema se determina con la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

cbacbacba

A y

dcbadcbadcba

A*

Veámoslo:

1. Si 1Ar y 1* Ar , los tres planos son coincidentes (son el mismo plano):

2. Si 1Ar y 2* Ar , los tres planos son paralelos o hay dos planos coincidentes y uno paralelo a ellos:

3. Si 2Ar y 2* Ar , los tres planos son secantes y se cortan en una recta, o hay dos

coincidentes y uno secante a ellos.

4. Si 2Ar y 3* Ar , los planos se cortan dos a dos o hay dos planos paralelos y el tercero es secante respecto a ellos:

5. Si 3Ar y 3* Ar , los tres planos son secantes y se cortan en un punto:


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Veamos otro ejemplo:

Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:

02: zyx 062: yx 02432: zyx


2432622

0243206202

zyxyxzyx

zyxyxzyx


243260122111

*A

Calculemos el rango de A y de A* usando determinantes:

011211

0432012111

det A 0232612211

,,det 421 CCC

Según esto, 2* ArAr . Como además no hay dos planos coincidentes podemos concluir que los tres planos se cortan en una recta.

* Resolviendo el sistema, que es compatible indeterminado, obtenemos la recta en la que intersecan los tres planos:

426:

622

2432622

213 4

zyx

ryxzyx

zyxyxzyx

xEEE

Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:

3: x 024: zyx 0123: zyx


1230243

01230243

zyxzyxx

zyxzyxx


121302143001

*A

Se comprueba que 2Ar y 3* ArAr . Como obviamente no hay dos planos paralelos, concluimos que los tres planos se cortan dos a dos.

Matemáticas II

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10.8 FORMA IMPLICITA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Según hemos visto, dos planos secantes en el espacio determinan una recta. Por ello, una recta se indica muchas veces como intersección de dos planos secantes:

00

:dzcybxadczbyax

r , 2* ArAr

Estas dos ecuaciones conjuntamente se denominan educaciones implícitas de la recta r.

Para escribir en forma implícita una recta expresada en forma paramétrica, primero la pasamos a forma continua y después agrupamos a la derecha los términos de las dos igualdades:

Ejemplo: Escribir en forma implícita la recta de ecuaciones paramétricas:

214

32:

zyx

r

(a) Primero escribimos la recta en forma continua.

21

14

32

zyx

(b) Ahora, desarrollamos las dos ecuaciones que aparecen en la forma continua.

0720143

:

21

14

14

32

21

14

32

zyyx

rzy

yxzyx

Ejemplo: Comprobar que las siguientes ecuaciones implícitas determinan una recta. Después, escribir esta recta en forma paramétrica.

54127

zyxzyx

(a) La matriz ampliada del sistema es:

51141127

*A

Obviamente 2* ArAr , por lo que los planos son secantes y determinan una recta r. (b) Para expresar la recta en forma paramétrica debemos resolver el sistema:

xyxzy

xzyxzy

zyxzyx EE

363712

45712

54127 12

Llamando a x y despejando obtenemos la solución del sistema, que constituye la forma paramétrica de la ecuación de la recta:

532:

zyx

r


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10.9 POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO Para estudiar la posición relativa de un plano y una recta conviene que la recta esté expresada en forma implícita, Así, la posición relativa de la recta r y el plano ,

00

:dzcybxadczbyax

r y 0: dzcybxa ,

se estudia mediante el sistema que forman sus ecuaciones:

000


Lo que a su vez viene dado por el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

cbacbacba

A y

dcbadcbadcba

A*

Hay que tener en cuenta que, como las dos primeras ecuaciones determinan una recta, el rango de la matriz A es al menos 2. Veamos:

1. Si 2Ar y 2* Ar , la recta está contenida en el plano:

2. Si 2Ar y 3* Ar , la recta es paralela al plano:

3. Si 3Ar y 3* Ar , la recta corta al plano (es decir, el plano y la recta son secantes):

Ejemplo: Determinar la posición relativa de la recta r y el plano :

06650144

:zyx

zyxr y 0352: zyx

El sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano es:

3520665

144

zyxzyxzyx

[…]

Matemáticas II

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Haz de planos. Consideremos una recta r escrita como intersección de dos planos:

00

:dzcybxadczbyax

r

Cualquier plano que contenga a r debe ser tal que su ecuación forme con las ecuaciones anteriores un sistema compatible indeterminado. Es decir, la ecuación del plano debe ser una combinación lineal de las ecuaciones de r:

0: dzcybxadczbyax

Si 0 obtenemos el primero de los planos que determinan r. En caso contrario, dividiendo entre y haciendo / obtenemos:

0: dzcybxadczbyax

Esta expresión se denomina haz de planos que contienen a la recta r. Dando distintos valores al parámetro obtenemos las ecuaciones de los distintos planos que contienen a r.


351206651441

*A

Calculemos el rango de A y el de *A usando determinantes:

0146541

0512665441

det A 035

312065141

,,det 321

CCC

Según esto, se tiene que 2Ar y 3* Ar , por lo que la recta y el plano son paralelos.

Ejemplo: Calcular el plano que pasa por el punto )1,2,1( P y contiene a la recta r,

0132022

:zyxzyx

r

(Observemos que P no pertenece a ninguno de los dos planos que determinan r).

(i) El haz de planos de r es:

013222 zyxzyx

(ii) Calculamos de manera que el plano resultante pase por el punto )1,2,1( P :

01)1(3)2(122)1()2(21 2/1

(iii) El plano es, por tanto:

01322221

zyxzyx

0543 zyx


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ANEXO: POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN FORMA IMPLÍCITA Ya sabemos determinar la posición relativa de dos rectas r y s cuando están escritas en forma paramétrica, veamos ahora cómo hacerlo cuando están expresadas en forma implícita.

00

:dzcybxadczbyax

r

00

:dzcybxadzcybxa

s

Como siempre, consideremos el sistema formado por las ecuaciones de las rectas,

dzcybxadzcybxadzcybxadczbyax

y estudiemos el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:

cbacbacbacba

A y

dcbadcbadcbadcba

A*

Notemos que, como las ecuaciones primera y segunda por un lado, y tercera y cuarta por otro, deben determinar sendas rectas, el rango de la matriz A debe ser al menos 2.

1. Si 2Ar y 2* Ar , las rectas son coincidentes (son la misma recta):

2. Si 2Ar y 3* Ar , las rectas son paralelas:

3. Si 3Ar y 3* Ar , las rectas son secantes (se cortan en un punto):

4. Si 3Ar y 4* Ar , las rectas se cruzan en el espacio:

Ejemplo: Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:

2202

:zyxzyx

r y zyxs

52

31:

[...]

Matemáticas II

- 18 -

Veamos un último ejemplo:

Ejemplo: Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:

1

2:

zyxy

r y

3302

:zyxyx

s

Como siempre, escribamos el sistema correspondiente junto con la matriz ampliada:

3131001211112010

*

33021

2

A

zyxyxzyxy

Se comprueba que:

016*det A

Así, debe ser 3Ar y 4* Ar , por lo que las rectas se cruzan en el espacio.

Primero expresemos la recta s en forma implícita:

2513

:

52

31

52

31

zyzx

szy

zx

zyx

Ahora, escribamos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas:

2513

2202

zyzxzyxzyx


2510130122110112

*A

Calculemos el rango de A y de A* usando determinantes. Se comprueba que:

0*det A

Por tanto, 4* Ar .Buscamos menores no nulos:

011112

0301211112

0

510211112

01

101211012

Así, tenemos que 2Ar y 3* Ar , por lo que las rectas son paralelas.


- 19 -

El vector de posición: aplicaciones 1. Comprueba en cada caso si los puntos están alineados:

(a) 1,1,1A , 1,0,2B y 1,2,0C . (b) 3,2,1A , 1,4,2B y 1,1,1C . 2. Encuentra el punto medio del segmento de extremos 1,0,1A y 3,2,5B . 3. Dados los puntos 9,3,2A y 6,2,1 B , encuentra tres puntos P, Q y R que dividan al segmento AB en cuatro partes iguales. La ecuación de la recta 4. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene dirección 3,1,6 u . 5. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos 5,3,2 A y 3,4,8B .

6. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos 5,3,1P y 2,3,2Q .

7. Escribe en forma vectorial y paramétrica las siguientes ecuaciones de la recta:

(a) 14

531

zyx (b)

05

22

38

zyx

8. Comprueba si el punto 3,6,2P pertenece a alguna de las siguientes rectas:

(a)

213

46:

zyx

r (b) 36

243:

zyxs

9. Determina los valores de m para que los puntos 3,2, mA , 1,,2 mB y 2,3,5 A estén alinea-dos y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

10. Calcula la ecuación de la recta r paralela a 3

473

:

zyxs que pasa por 0,2,2 P .

11. Estudiar la posición relativa de las rectas:

tzty

txr

3121 y

sz

sysx

r67

222

2

12. Estudiar la posición relativa de las rectas:

43

22

31:

zyxr y

423

12: zyxs

EJERCICIOS DEL TEMA 10

Matemáticas II

- 20 -

13. Comprueba que las siguientes rectas se cortan. Después, escribe sus ecuaciones paramétricas y calcula el punto de intersección.

21

12

11:

zyxr

21

13

23:

zyxs

14. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

tztytx

r 345

: y 42

312: zyxs

La ecuación del plano 15. Encuentra la ecuación del plano determinado por el punto 3,2,1A y los vectores

5,1,2 u y 4,2,3v . 16. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos 3,1,2A , 1,1,1B y 8,1,5C . 17. Escribe en formas vectorial, paramétrica e implícita las ecuación de los planos determinados por los ejes de coordenadas. 18. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto 2,1,2 P y contiene a la recta de ecuaciones paramétricas:

2x , 3y , 1z .

19. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 122

33

zyxr y pasa por el

punto P(1,– 1, 0). 20. Comprobar si los puntos 3,2,1A , 8,7,4B , 5,5,3C y 3,2,1 D son coplanarios. 21. Comprueba que los puntos 2,1,1 A , 3,2,2 B y 0,1,1C no están alineados y encuentra el plano determinado por ellos. Vector normal a un plano 22. Hallar el plano que pasa por el punto 2,1,3 A y tiene vector normal 8,1,2n . 23. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 1,2,3 A y 2,0,4B y es perpendicular al plano 0625: zyx . 24. Dados el plano 632 zyx y la recta r:

10

zyx

r

Encuentra la ecuación general de un plano perpendicular a y que contiene a r.


- 21 -

Posiciones relativas entre planos y rectas 25. Estudia la posición relativa de los planos 422: zyx y 1244: zyx .

26. Comprueba que los siguientes planos se cortan en una recta. Después, calcula dicha recta:

45: zyx y 123: zyx 27. Estudia la posición relativa de los planos:

45 zyx y 121533 zyx 28. Consideremos los planos:

73: zbyax y 32: zyx

Determina los parámetros ba, ℝ para que los planos sean paralelos. 29. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto 1,1,1A y es paralelo al plano de ecuación 0553 yx . 30. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:

035402023

zyxzyxzyx

31. Determina el valor de k ℝ para que los siguientes planos se corten en una recta:

114103322

zykxzyxzyx

32. Determina la posición relativa de la recta:

2x , 13 y , z

y el plano 051123 zyx . 33. Determina la posición relativa de la recta r y el plano :

143

:zxzyx

r 13: zyx

34. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano :

10

zyx

r , ℝ 632 zyx

35. Dado el plano 022: zyx y la recta r dada por la intersección de los planos:

3 yzx y 12 yx

Obtén la ecuación del plano perpendicular a , paralelo a r, y que contiene al punto P(1, 2, 1).

Matemáticas II

- 22 -

36. Estudia la posición relativa de las rectas:

321

53:

zyxr y

67334

:zyxzyx

s

37. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y, si es posible, calcula el plano que las contiene:

zyxr

11

32: y

95242

:zyxzyx

s

38. Sean las rectas:

202

:zyzx

r y

azyxzyx

s22

1:

Determina a para r y s estén situadas en el mismo plano. Después, encuentra dicho plano. 39. Encuentra el valor de m ℝ para que las siguientes rectas sean secantes:

5134

21

zyx

r y

22

2zyx

mzyxs

Después, encuentra el punto de intersección. Varios 40. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a la recta intersección de los planos:

0201

yxzyx

41. Determina la recta que pasa por el punto 1,1,1A , es paralela al plano 02: zyx y está en el mismo plano que:

3211: zyxr

42. Escribe la ecuación continua de la recta que es paralela a los planos 03: zyx y

0532: zyx y pasa por 5,1,2 P . 43. (PAEG Junio 10-11) Dados el plano y la recta r:

0 zx y

tztyatx

r2

11

, t ℝ

(a) Determina el parámetro a ℝ para que la recta r y el plano sean paralelos.

(b) Para el valor de a encontrado, encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta r’ paralela al plano y que corta perpendicularmente a r en el punto 0,1,1P .


- 23 -

44. Sean las rectas:

10

:zyx

r y

zyx

r 221

:

(a) Determina su posición relativa. (b) Comprueba que sus vectores directores son perpendiculares. (b) Halla la ecuación general de un plano que contenga a r y sea paralelo a r’. 45. Halla las ecuación de la recta r’, proyección ortogonal de la recta

332

1:

zyx

r

sobre el plano 042: zyx . 46. Considera las rectas:

tztbyatx

r2

1 y

26

122

zyxs

(a) Determina los valores de ba, ℝ para que las rectas sean secantes y perpendiculares.

(b) Para los valores obtenidos, encuentra el punto de corte. 47. Dado el plano 62 zx y la recta

40

azyxzy

r

(a) Encuentra el valor del parámetro a ℝ para que y r sean paralelos.

(b) Para el valor de a calculado, encuentra el plano perpendicular a que contiene a r.

Selección de Ejercicios de PAEG _____________________________________________________________________________ Junio 2009-2010

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Matemáticas II

- 24 -

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