1. ec u a c io n es d ifer en c ia lesY PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA E d ici nB oyce4D ip r i^ a ad ig ita l:Educacin/p ara todosa E d ic i n ui?N v VW *

2. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera Cuarta edicinWilliam E. Boyce Richard C. DiPrima R e n s s e l a e r P o ly te c h n i c In stitute 3. V e r s i n a u t o r iz a d a e n e s p a o l d e PUBLICADA EN INGLS CON L TTULO:la o b r aELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS Jo h n W ile y & Son s, In c. C o la b o r a d o re n la t r a d u c c i n :HUGO VILLAGMEZ VELZQUEZ R e v is i n :JOS HERNN PREZ CASTELLANOS In ge n ie ro in d u s tria l de la E s c u e la M ilit a r de In genieros. P r o fe s o r de matemticas en la E scuela S u p e rio r de Ingeniera M ecnica y E l c tr ic a d e l In s titu to P o lit c n ic o N a c io n a l, M xico.La presentacin y disposicin en c o n ju n to deECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA son pr o pied a d del e d ito r . N in g u n a parte de esta OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA O MTODO, ELECTR NICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERA CIN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACIN), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.D erechosreservados:2000, EDITORIAL UMUSA, S.A. de C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES B a ld e ra s 95, M xico, D.F. C.P. 06040 m (5)521-21-05 01(800) 7-06-91-00 [ S (5)512-29-03 "rlimusa@noriega.com.mx www.noriega.com.mxCANIEM N m . 121 S e g u n d a r e im p r e s i n DE LA CUARTA EDICIN H e c h o en M xicoISBN 968-18-4974-4 4. A la grata memoria de nuestros padres Ethel y Clyde DiPrima Marie y Edward Boyce 5. PrlogoUn curso de ecuaciones diferenciales elementales es un medio excelente para que el estu diante comprenda la relacin que hay entre las matemticas y las ciencias fsicas o la inge niera. Antes de que el ingeniero o el cientfico pueda aplicar con confianza las ecuaciones diferenciales, debe dominar las tcnicas de resolucin y tener un mnimo de conocimiento de la teora que las fundamenta. El estudiante de matemticas recibe un gran beneficio al conocer algunas de las maneras en que el deseo de resolver problemas especficos ha esti mulado el trabajo de naturaleza ms abstracta. Escribimos este libro desde el punto de vista intermedio de quien se dedica a las matem ticas aplicadas, cuyo inters en las ecuaciones diferenciales puede ser muy terico e inten samente prctico. Buscamos combinar una exposicin slida y precisa (pero no abstracta) de la teora elemental de las ecuaciones diferenciales, con bastante material sobre mtodos de resolucin, anlisis y aproximacin que han probado su utilidad en una amplia variedad de aplicaciones. Pusimos atencin especial en aquellos mtodos de mayor aplicacin y que pueden extenderse a problemas fuera del alcance de nuestro libro. Se hace hincapi en que es tos mtodos tienen una estructura sistemtica y ordenada, y que no son slo una coleccin diversa de artificios matemticos. Los mtodos analizados en el libro no slo incluyen tcnicas analticas elementales que dan soluciones exactas en ciertas clases de problemas, tambin incluyen aproximaciones basadas en algoritmos numricos o en desarrollos en serie, as como mtodos cualitativos o geomtricos que a menudo permiten una mejor com prensin del comportamiento global de las soluciones. Estos ltimos mtodos se estn vol viendo mucho ms accesibles a los estudiantes, como resultado del uso comn de computadoras personales o calculadoras de bolsillo poderosas. De hecho, con la amplia disponibilidad del enorme poder de cmputo, incluyendo los flexibles paquetes de cmputo simblico, es razonable preguntarse si los mtodos analti cos elementales para resolver ecuaciones diferenciales siguen siendo un tema de estudio que valga la pena. Creemos que s, al menos por dos razones. Primera, resolver un proble 6. 8Prlogo ma difcil de ecuaciones diferenciales a menudo exige el empleo de diversas herramientas, tanto analticas como numricas. Poner en prctica un procedimiento numrico eficiente requiere de un considerable anlisis preliminar: determinar las caractersticas cualitativas de la solucin como gua para el clculo, investigar los casos lmite o especiales, o descu brir qu intervalos de las variables o parmetros requieren o ameritan atencin especial. Segunda, comprender en cierta medida un proceso natural complicado a menudo se logra al combinar o partir de modelos ms sencillos y ms bsicos. Estos ltimos suelen describirse mediante ecuaciones diferenciales de un tipo elemental. Por tanto, el paso inicial e indis pensable hacia la resolucin de problemas ms complejos es un conocimiento completo de estas ecuaciones, sus soluciones y los modelos que representan. Una de las metas de esta revisin es alentar a los estudiantes y maestros a explotar el poder de cmputo con el que ahora cuentan para que los estudiantes logren una compren sin ms profunda de las ecuaciones diferenciales y una apreciacin ms precisa de la mane ra en que pueden aplicarse al estudio de problemas importantes de las ciencias naturales o la ingeniera. En esta edicin se incluyen muchas grficas nuevas generadas por compu tadora que ayudan a declarar el comportamiento cualitativo de las a menudo complicadas frmulas que producen los mtodos analticos de resolucin. Al mismo tiempo, en el texto se hace un anlisis ms amplio de las propiedades geomtricas o asintticas de las solucio nes. Se presentan aproximadamente 275 problemas nuevos, en muchos de los cuales se requiere que el estudiante ejecute algn clculo numrico, construya (con ayuda de algn paquete idneo para trazar grficas) la grfica de una solucin y, con frecuencia, llegue a conclusiones adecuadas a partir de esas acciones. Por ltimo, se agregan dos nuevas seccio nes: una sobre ecuaciones en diferencias de primer orden en la que se destaca la ecuacin logstica, y otra sobre las ecuaciones de Lorenz. En estas secciones se presentan algunas de las ideas bsicas asociadas con bifurcaciones, caos y atractores extraos. Adems de ser fascinante por s mismo, este material puede usarse para terminar con la creencia de que las matemticas son una disciplina ya agotada, y no una en constante crecimiento y renovacin. Escribimos este libro principalmente para estudiantes que ya tienen conocimientos de clculo obtenidos en un curso normal de dos o tres semestres; el material de la mayor parte del libro es accesible a estos estudiantes. En el captulo 7 se resume en dos secciones la informacin necesaria acerca de las matrices. Las secciones sealadas con un asterisco probablemente requieren mayor elaboracin matemtica (aunque, en trminos escritos, no ms conocimientos) que el resto del libro. Algunos problemas tambin estn sealados con un asterisco, lo cual indica que son ms difciles que la mayora y que, en algunos casos, rebasan el alcance del material presentado en el propio libro. Consideramos que este libro ofrece una flexibilidad mayor que el promedio para adaptar se a las necesidades de un curso. A partir del captulo 4, los captulos son en esencia inde pendientes entre s, aunque el captulo 11 sigue lgicamente al captulo 10 y el captulo 9 contiene citas del captulo 7. De este modo, una vez que se completan las partes necesarias de los tres primeros captulos (en trminos generales, las secciones 1.1, 2.1, a 2.4 y 3.1 a 3.7), la seleccin de los temas adicionales, as como el orden y profundidad con los cuales se traten, quedan al criterio del profesor. Por ejemplo, aunque hay bastante material sobre aplicaciones de varios tipos, especialmente en los captulos 2, 3, 9 y 10, la mayor parte de este material se presenta en secciones separadas, de modo que un profesor puede elegir con facilidad las aplicaciones que desee incluir y las que quiera omitir. Otra posibilidad es combinar la presentacin de las ecuaciones lineales de segundo orden y de orden superior 7. Prlogo9 mediante el estudio concurrente de los captulos 3 y 4. Todava otra posibilidad es empezar la presentacin del material sobre mtodos numricos del captulo 8 inmediatamente des pus, o incluso al mismo tiempo, que el material sobre problemas con valor inicial de primer orden del captulo 2. Por ltimo, aunque en esta revisin se supone que el estudiante dispone de una computadora o calculadora, es posible que algn profesor que no desee destacar este aspecto del tema lo logre, si selecciona con un poco ms de atencin los problemas asignados. Al final de cada seccin del texto hay un conjunto de problemas para el estudiante. Estos problemas van desde los comunes hasta los que representan un reto; en algunos de estos l timos se amplan aspectos de la teora o se introducen reas de aplicacin que no se trataron en el texto principal. Como ya se mencion, en otros problemas es necesaria una investiga cin, con ayuda de computadora, de una ecuacin diferencial mediante la aplicacin de tcnicas numricas o grficas. Al final del libro se dan las respuestas de casi todos los problemas. Tambin, hay un manual de soluciones, compilado por Charles W. Haines del Rochester Institute of Technology, que contiene soluciones detalladas de muchos problemas. Las secciones del libro estn numeradas en forma decimal y, en cada seccin, los teore mas y las figuras lo estn consecutivamente. As, el teorema 3.2.4 es el cuarto teorema de la seccin 3.2. Al trmino de cada captulo se proporciona una bibliografa general y, algunas veces, las ms especficas aparecen como notas de pie de pgina. El alcance del libro puede juzgarse a partir del contenido, y los lectores que conocen la edicin anterior encontrarn que sta sigue el mismo patrn general. Sin embargo, esta revisin contiene muchos cambios menores y los ms importantes se dan en seguida, algu nos de los cuales ya se mencionaron: 1. En correspondencia con la tendencia de crecimiento de la materia as como con la creacin de paquetes amigables para construir grficas por computadora, en esta edicin se hace mayor hincapi en las propiedades geomtricas de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. En comparacin con las ediciones anteriores, hay ms grficas, ms anlisis de las propiedades y mtodos geomtricos y ms problemas en los que el estudiante debe hacer grficas u obtener conclusiones a partir de ellas. 2. En el texto se destaca ms la obtencin de conclusiones a partir de una solucin, y no slo la deduccin de la solucin en s, y tambin se proponen ms problemas en este sentido. Lo anterior refleja el hecho de que a menudo la motivacin para resolver una ecuacin diferencial particular es la necesidad de comprender algn proceso o fenmeno natural descrito por la ecuacin. 3. Se han agregado secciones nuevas sobre ecuaciones en diferencias de primer orden y sobre las ecuaciones de Lorenz, introduciendo los conceptos de bifurcaciones, caos y atractores extraos. 4. El material bsico acerca de las ecuaciones lineales de segundo orden del captulo 3 se volvi a escribir para hacer ms directa la presentacin y, en especial, para analizar la solucin de algunos problemas simples antes de abordar la teora general. 5. Se intercambiaron los captulos 4 (ecuaciones lineales de orden superior) y 5 (solu ciones en series de potencias) para facilitar la labor de los profesores que deseen combinar el tratamiento de las ecuaciones lineales de segundo orden y las de orden superior. 6. Al captulo 8 se le agreg un anlisis ms completo de los mtodos numricos para resolver sistemas de ecuaciones. Tambin se proponen aproximadamente 30 problemas nuevos en este captulo. 8. 10Prlogo 7. El captulo 9, sobre anlisis de estabilidad y del plano fase, fue ampliado de manera considerable. Adems de la nueva seccin sobre las ecuaciones de Lorenz, ahora hay dos secciones en vez de una sobre la interaccin de dos poblaciones, as como una seccin nueva sobre ciclos lmite en la que se hace resaltar la ecuacin de van der Pol. A medida que el tema de estudio de las ecuaciones diferenciales contine creciendo, que nuevas tecnologas se vuelvan lugar comn, que se amplen los antiguos campos de aplica cin y que suijan nuevos campos en este aspecto, as tendrn que evolucionar el contenido y los puntos de vista de los cursos y sus libros de texto. Esta fue la idea que pretendimos expresar en este libro.William E. Boyce Troy, Nueva York 9. AgradecimientosDurante la preparacin de esta revisin recibimos la valiosa ayuda de varias personas. Es un placer expresar ahora nuestro agradecimiento sincero a todos y cada uno de ellos por su tiempo y dedicacin. Mientras revisaba el manual de soluciones, Charles W. Haines ley el texto y comprob las respuestas de muchos de los problemas. Gracias a su capacidad de observacin se elimi naron numerosos errores e incoherencias. Richard Bagby, Bruce Berndt, Paul Davis y Thomas Otway revisaron todo el manuscrito e hicieron muchas sugerencias pertinentes; como resultado, el libro es considerablemente mejor de lo que hubiera sido sin su ayuda. A partir de la publicacin de la edicin precedente recibimos valiosos comentarios de varios usuarios. De ellos, merecen mencin especial R. B. Burckel, Leah Edelstein-Keshet y Melvin Lax por lo detallado y amplio de sus sugerencias. Cathy Caldwell ley la mayor parte del manuscrito, verificando los ejemplos y las res puestas dadas a los problemas nuevos. Tambin fue de gran ayuda en la correccin de las pruebas. En esta edicin se presentan figuras nuevas generadas por computadora. Algunas de stas se trazaron originalmente con la aplicacin del PHASER de Hseyin Koqak, mientras que otras se prepararon con ayuda del PHASE PORTRAITS de Hermn Gollwitzer. Por ltimo, y lo ms importante de todo, agradezco a mi esposa Elsa no slo su ayuda en actividades como la lectura de pruebas y la comprobacin de clculos, en especial por su apoyo moral, aliento y paciencia infatigables a lo largo de todo el proyecto. W .E.B. 10. ContenidoCaptulo 1.Introduccin 1.1 1.2Captulo 2.17Clasificacin de las ecuaciones diferenciales Notas histricas 2717Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 *2.11 2.12Captulo 3. Ecuaciones lineales de segundo orden 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.731Ecuaciones lineales 31 Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales 40 Ecuaciones separables 47 Diferencias entre las ecuaciones lineales y las no lineales 54 Aplicaciones de las ecuaciones lineales de primer orden 60 Dinmica de las poblaciones y algunos problemas relacionados Algunos problemas de mecnica 87 Ecuaciones exactas y factores integrantes 95 Ecuaciones homogneas 103 Problemas diversos y aplicaciones 107 Teorema de existencia y unicidad 111 Ecuaciones en diferencias de primer orden 12171135Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes 135 Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogneas 144 Independencia lineal y el wronskiano 154 Races complejas de la ecuacin caracterstica 160 Races repetidas; reduccin de orden 168 Ecuaciones no homogneas; mtodo de los coeficientesindeterminados Variacin de parmetros 189 11. Contenido14 3.8 3.9Ecuaciones lineales de orden superior 4.1 4.2 4.3 4.4Captulo 5.6 .3 6 .4 6.5 6 .67 .4 7 .5 7 .6 7 .7 7 .8 7 .98 .2 8 .3 8 .4 8 .533 5353Introduccin 353 Repaso de matrices 361 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales; independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores 371 Teora bsica de los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 38 3 Sistemas lineales homogneos con coeficientes constantes 388 Eigenvalores complejos 39 8 Eigenvalores repetidos 405 Matrices fundamentales 413 Sistemas lineales no homogneos 420Mtodos numricos 8.1241309Definicin de la transformada de Laplace 309 Solucin de problemas con valor inicial 316 Funciones escaln 327 Ecuaciones diferenciales con funciones de fuerza discontinuas Funciones impulso 33 9 Integral de convolucin 344Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden 7.1 7 .2 7 .3Captulo 8.219Repaso de series de potencias 241 248 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, parte I 259 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario, parte II Puntos singulares regulares 266 Ecuaciones de Euler 271 280 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte I 286 Soluciones en serie cerca de un punto singular regular, parte II Soluciones en serie cerca de un punto singular regular; rx = r2 y r i Ecuacin de Bessel 295La transformada de Laplace 6.1 6 .2Captulo 7.219Teora general de las ecuaciones lineales de n-simo orden Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes 225 Mtodo de los coeficientes indeterminados 232 Mtodo de variacin de parmetros 236Soluciones en sene de las ecuaciones lineales de segundo orden 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 *5.8 *5.9Captulo 6.197nCaptulo 4.Vibraciones mecnicas y elctricas Vibraciones forzadas 210429Mtodo de Euler o de la recta tangente 429 Errores en los procedimientos numricos 436 Mejoras en el mtodo de Euler 444 Mtodo de Runge-Kutta 450 Algunas dificultades con los mtodos numricos454 12. Contenido15 8.6 8.7Captulo 9.467Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8Captulo 10.Un mtodo de pasos mltiples 460 Sistemas de ecuaciones de primer ordenPlano fase: sistemas lineales 473 Sistemas autnomos y estabilidad 486 Sistemas casi lineales 495 Especies competidoras 508 Ecuaciones del depredador-presa 521 Segundo mtodo de Liapunov 531 Soluciones peridicas y ciclos lmite 541 Caos y atractores extraos: ecuaciones de Lorenz552Ecuaciones diferenciales parciales y series de Fourier 10.1 Separacin de variables; conduccin del calor 563 10.2 Series de Fourier 572 10.3 Teorema de Fourier 582 10.4 Funciones pares e impares 588 10.5 Solucin de otros problemas de conduccin del calor 597 10.6 Ecuacin de onda: vibraciones de una cuerda elstica 608 10.7 Ecuacin de Laplace 620 Apndice A. Deduccin de la ecuacin de conduccin del calor Apndice B. Deduccin de la ecuacin de onda 634Captulo 11.473563629Problemas con valores en la frontera y teora de Sturm-Liouville 639 11.1 Ocurrencia de problemas con valores en la frontera en dos puntos 639 11.2 Problemas lineales homogneos con valores en la frontera: eigenvalores y eigenfunciones 643 11.3 Problemas de Sturm-Liouville con valores en la frontera 652 11.4 Problemas no homogneos con valores en la frontera 665 *11.5 Problemas singulares de Sturm-Liouville 681 *11.6 Otras consideraciones sobre el mtodo de separacin de variables: un desarrollo en serie de Bessel 689 *11.7 Series de funciones ortogonales: convergencia en la media 695Respuestas a los problemas ndice751705 13. Captulo introduccinEn este breve captulo se proporciona una perspectiva del estudio de las ecuaciones dife renciales. Primero, se indican varias maneras de clasificar las ecuaciones, a fin de contar con una estructura organizada para el resto del libro. Luego, se presentan algunas de las figuras y tendencias ms importantes en el desarrollo histrico de la materia. El estudio de las ecuaciones diferenciales ha llamado la atencin de muchos de los matemticos ms grandes del mundo a lo largo de los tres ltimos siglos. Sin embargo, sigue siendo un campo dinmico de la investigacin actual, con muchas preguntas interesantes abiertas.1.1Clasificacin de las ecuaciones diferenciales Cuando se plantean en trminos matemticos muchos problemas importantes y significati vos de la ingeniera, las ciencias fsicas y las ciencias sociales, se requiere determinar una funcin que satisfaga una ecuacin que contiene una o ms derivadas de la funcin desco nocida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Quiz el ejemplo ms conocido es la ley de Newton md 2u(t) 2 = F t dt2(AdUT ^ ~d( 1)para la posicin u(t) de una partcula sobre la cual acta una fuerza F, que puede ser una funcin del tiempo t, de la posicin u(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el mo vimiento de una partcula sobre la que acta una fuerza F es necesario hallar una funcin u que satisfaga la ecuacin (1). El objetivo primordial de este libro es analizar algunas propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales y describir algunos de los mtodos que han probado su eficacia para hallar las soluciones o, en algunos casos, dar aproximaciones de las mismas. A fin de 14. 18Introduccin contar con un marco de referencia para la presentacin, en principio se mencionarn varias maneras tiles de clasificar las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Una de las clasificaciones ms eviden tes se basa en el hecho de si la funcin desconocida depende de una sola variable indepen diente o de varias variables independientes. En el primer caso en la ecuacin diferencial slo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuacin ordinaria; En el segundo las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuacin se denomina ecua cin diferencial parcial. Adems de la ecuacin (1), dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias sonL q m+ R m+ ^ m. m(2)para la carga Q(t) en un condensador en un circuito con capacitancia C, resistencia R, inductanciaL y voltaje aplicado E{t), y la ecuacin que rige el decaimiento con el tiempo de una cantidad R{t) de una sustancia radiactiva, como el radio, (3) dt en donde Ares una constante conocida. Ejemplos tpicos de ecuaciones diferenciales parcia les son la ecuacin del potencial d2u(x,y) 5* 2d2u(x, y) +y 2K )la ecuacin de la difusin o conduccin del calor du(x, t) I I2 d2u(x, t) dx2( 5)y la ecuacin de onda d2u(x, t) d x2d2u(x, t) dt2( 6)en donde a 2 y a2 son ciertas constantes. La ecuacin del potencial, de difusin y de onda surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasti cidad y mecnica de fluidos. Cada una de ellas es tpica de fenmenos fsicos distintos (observe los nombres) y cada una es representativa de una gran clase de ecuaciones dife renciales parciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Otra clasificacin de las ecuaciones diferenciales depende del nmero de funciones desconocidas que intervienen. Si hay que determinar una sola funcin, entonces basta una ecuacin. Sin embargo, si existen dos o ms funciones desconocidas, entonces se requiere un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuacio nes de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, son importantes en la creacin de modelos ecolgicos; estas ecuaciones tienen la forma 15. 1.1Clasificacin de las ecuaciones diferenciales19 dH /dt= aH - ocHP, dP/dt = cP + yHP,( 7)en donde H(t) y P(t) son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantes a, a, c y y se basan en observaciones empricas y dependen de las especies en estudio. En los captulos 7 y 9 se estudian los sistemas de ecuaciones; en particular, en la seccin 9.5, se examinan las ecuaciones de Lotka-Volterra. Orden. El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta que apa rece en ella, as, las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y la (3) es una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden. (4), (5) y (6) son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. De manera ms general, la ecuacin F [x , u(x), u'(x ), . . . , m (")(x )] = 0(8)es una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden. La ecuacin (8) representa una relacin entre la variable independiente x y los valores de la funcin u y sus n primeras derivadas u', u" , . . . , u^n En las ecuaciones diferenciales es conveniente y se acostumbra escribir y en vez de u(x), as como y', y", . . . , y(") en vez de w'(x), u"(x), . . . , u^nx); por tanto, la ecuacin (8) se escribe como F(x, y, y ' , . . . , y{n)) = 0.(9)y"' + 2 exy" + y y' = x 4(10)Por ejemplo, es una ecuacin diferencial de tercer orden para y = u(x). En ocasiones se usan otras letras en lugar de y; el resultado resulta evidente a partir del contexto. Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden ms alto en una ecuacin diferencial ordinaria dada y obtener /"> = f(x , y, y', y " , y (n~ 1}).(11)Slo se estudiarn las ecuaciones de la forma (11). Lo anterior se hace principalmente para evitar la ambigedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuacin de la forma (9) puede corresponder a varias ecuaciones de la forma (11). Por ejemplo, la ecuacin y'2 + xy' + 4y = 0 da las dos ecuaciones ,x + y/x2 16y,x y/x2 16ySolucin. Una solucin de la ecuacin diferencial ordinaria (11) sobre el intervalo a < x < p es una funcin 0 tal que existen < ', >",..., /") y se satisface /> 4>{n)( x ) = / [ x , 4>(x), (f)'(x) , . . . , (f)in~ X)( x ) ](1 2 )para toda x en a < x < 3. A menos de que se diga otra cosa, se supone que la funcin /d e la ecuacin (11) es una funcin de valores reales, y se tiene inters en obtener las soluciones y = 0(x) de valores reales. 16. Introduccin20Es fcil comprobar por sustitucin directa que la ecuacin de primer orden (3) dR/dt = -kR tiene la solucin R = < (t) = ce~kt, >oo < t < oo,(13)en donde c es una constante arbitraria. De manera semejante, las funciones y ^x ) = eos x y y 2(x) = sen x son soluciones de /' + y =O(14)para toda x. Como un ejemplo un poco ms complicado, se comprueba que ^ ( x ) = x 2 ln x es una solucin de x 2y" 3xy' + 4y = O ,x > 0.(15)Se tiene 4> (x) = x 2 ln x, < i(x) = x 2(l/x) + 2x ln x = x + 2x ln x, fi 4y(x) = 1 + 2x(l/x) + 2 ln x = 3 + 2 ln x. Al sustituir en la ecuacin diferencial (15) se obtiene x 2(3 + 2 ln x) 3x(x + 2x ln x) + 4(x2 ln x) = 3x2 3x2 + (2 6 + 4)x2 ln x = O , con lo cual se comprueba que ^ ( x ) = x2 lnx es una solucin de la (15). Tambin es posible demostrar que 0 2(x) = x2 es una solucin de la ecuacin (15); se deja esto ltimo como ejercicio. Aunque para las ecuaciones (3), (14) y (15) es posible verificar que ciertas funciones sencillas son soluciones, en general no se tienen con facilidad esas soluciones. Por tanto, una pregunta fundamental es: dada una ecuacin de la forma (11), cmo es posible decir si tiene una solucin? Esta es la cuestin de existencia de una solucin. El hecho de que se ha ya escrito una ecuacin de la forma (11) no necesariamente significa que exista una funcin y = >(x) que la satisfaga. De hecho, no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones, ni su existencia es un asunto puramente matemtico. Si un problema fsico que tenga senti do, se plantea matemticamente de manera correcta como una ecuacin diferencial, enton ces el problema matemtico debe tener una solucin. En este sentido, un ingeniero o un cientfico cuenta con un medio para comprobar la validez del planteamiento matemtico. En segundo lugar, suponiendo que una ecuacin dada tiene una solucin, tendr otras soluciones? En caso afirmativo, qu tipo de condiciones adicionales es necesario especifi car para singularizar una solucin especfica? Esta es la cuestin de unicidad. Obsrvese que para la ecuacin de primer orden (3) existen una infinidad de soluciones, que corres ponden a la infinidad de posibilidades de eleccin de la constante c de la ecuacin (13). Si se especifica R en algn instante t, esta condicin determinar un valor de c; sin embar go, an as no se sabe todava si la ecuacin (3) no tiene otras soluciones que tambin tengan el valor prescrito de R en el instante predeterminado t. Las cuestiones de existencia 17. 1.1Clasificacin de las ecuaciones diferenciales21y unicidad son difciles de responder; a medida que se avance se analizarn estas dudas y otras relacionadas. Una tercera pregunta, ms prctica, es: dada una ecuacin diferencial de la ecuacin (11), cmo se determina realmente una solucin? Observe que si se encuentra una solucin de la ecuacin dada, al mismo tiempo se responde la pregunta de la existencia de una solu cin. Por otra parte, sin conocer la teora de la existencia posible, por ejemplo, usar una computadora para hallar una aproximacin numrica a una solucin que no existe. Aun que fuese posible saber que existe una solucin, puede ser que sta no sea expresable en trminos de las funciones elementales usuales: funciones polinomiales, trigonomtricas, exponenciales, logartmicas e hiperblicas. No obstante, esto es lo que sucede para la ma yor parte de las ecuaciones diferenciales. Por tanto, al mismo tiempo que se analizan los mtodos elementales que pueden aplicarse para obtener soluciones de ciertos problemas relativamente sencillos, tambin es importante considerar los mtodos de naturaleza ms general que puedan aplicarse a problemas ms difciles. Ecuaciones lineales y no lineales. Otra clasificacin decisiva de las ecuaciones dife renciales es si stas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuacin diferencial ordinaria F(x, y , / , . . . , yl">) = 0 es lineal si F es una funcin lineal de las variables y, y', , yw ; se aplica una definicin semejante para las ecuaciones diferenciales parciales. Por tanto, la ecuacin diferencial ordinaria lineal general de orden n es a0(x)yln) + a 1(x)y(n~ 1 + + a(x)y = g{x). }(16)Las ecuaciones (2) a (6), (14) y (15) son lineales. Una ecuacin que no es de la forma (16) es no lineal. La (10) es no lineal debido al trmino yy'. Un problema fsico sencillo que da origen a una ecuacin diferencial no lineal es el pndulo oscilante. El ngulo 9 formado por un pndulo oscilante de longitud /, con respecto a la vertical (ver la figura 1.1.1) satisface la ecuacin no lineal d Y + j sen fl = 0. j dt l(17)La teora matemtica y las tcnicas para resolver ecuaciones lineales estn bastante desa rrolladas. Por el contrario, para las ecuaciones no lineales la situacin no es tan satisfacto-FIGURA 1.1.1 Pndulo oscilante. 18. Introduccin22ria. Faltan en gran parte tcnicas generales para resolver las ecuaciones no lineales y la teora no asociada con ellas tambin es ms complicada que la correspondiente de las ecuaciones lineales. En vista de lo anterior, resulta conveniente que muchos problemas importantes originen ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o, por lo menos en una primera aproximacin, ecuaciones lineales. Por ejemplo, para el problema del pndulo, si el ngulo 6 es pequeo, entonces sen 6 = 6 y la ecuacin (17) puede sustituirse por la ecuacin linealPor otra parte, existen fenmenos fsicos importantes, como los problemas ecolgicos de las secciones 9.4 y 9.5, en los que no es posible dar una aproximacin de las ecuaciones diferenciales no lineales rectoras por medio de lineales: la no linealidad es decisiva. En un texto elemental es natural hacer hincapi en el anlisis de las ecuaciones lineales. Por consiguiente, la mayor parte de este libro est dedicada a las ecuaciones lineales y a diversos mtodos para resolverlas. Sin embargo, los captulos 8 y 9, as como una gran parte del captulo 2, tratan de ecuaciones no lineales. A lo largo de todo el texto se intenta mostrar por qu las ecuaciones no lineales son, en general, ms difciles y por qu muchas de las tcnicas tiles para resolver ecuaciones lineales no pueden aplicarse a las no lineales. Campos direccionales. A partir del prximo captulo se analizarn con detalle muchos mtodos para resolver varias clases de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, antes de proceder a ese anlisis, vale la pena hacer algunos comentarios acerca de la interpretacin geomtrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Un punto de vista geomtrico es particularmente til para las ecuaciones de primer orden, es decir, ecuaciones de la forma (19) Dado que una solucin de la ecuacin (19) es una funcin y = 4>(x), la representacin geomtrica de una solucin es la grfica de una funcin. Geomtricamente, en la ecua cin (19) se afirma que, en cualquier punto (x, y) la pendiente dy/dx de la solucin en ese punto est dada por/(x, y). Esto pude indicarse si se traza un pequeo segmento rectilneo que pase por el punto (x, y) con la pendiente f(x, y). La coleccin de todos esos segmentos rectilneos se llama campo direccional de la ecuacin diferencial (19). El campo direccional puede observarse si se trazan pequeos segmentos rectilneos en algn conjunto represen tativo de puntos en el plano xy. Aunque hacer esto manualmente es tedioso, resulta una tarea sencilla para una computadora, ya que slo se requiere la evaluacin repetida de f{x, y) para valores diferentes de x y y. Por lo general se elige alguna rejilla rectangular de puntos. Una vez que se obtiene un esquema del campo direccional, a menudo es posible ver de inmediato el comportamiento cualitativo de las soluciones, o quiz observar regiones del plano que tienen algn inters especial. Por ejemplo, en la figura 1.1.2 se tiene el campo direccional de la ecuacin= 3~ y dx2(20) 19. 1.1Clasificacin de las ecuaciones diferenciales23S//NXXSXXSXXXS41///2///3-X/FIGURA 1.1.2 Campo direccional de y' = (3 -y)/2. Para esta ecuacin,/(jc, y) slo depende de y, de modo que los segmentos rectilneos tienen la misma pendiente en todos los puntos sobre cualquier recta paralela al eje x. Por ejemplo, sobre la recta y = 2 la pendiente de cada segmento rectilneo es 1/2. Cualquier solucin de la (20) tiene la propiedad de que, en todo punto, su grfica es tangente al elemento del cam po direccional en ese punto. Por tanto, como puede observarse a partir de esta figura, el campo direccional proporciona una informacin cualitativa acerca de las soluciones. Por ejemplo, con base en la figura 1.1.2 parece evidente que las soluciones son funciones de crecientes cuando y > 3, que son crecientes cuando y < 3, y que, aparentemente, todas las soluciones tienden al valor 3 cuando x -* oo. En la seccin 2.1 se estudia con mayor detalle esta ecuacin; all se encontrarn sus soluciones y se confirmarn estas conclusiones tentativas. Como otro ejemplo, considere la ecuacinAhora la funcin f{x, y) = e~x - 2y depende tanto de x como de y, de modo que es una ecuacin ms complicada que la (20). En la figura 1.1.3 se muestra el campo direccional de la ecuacin (21). Una vez ms, el patrn general de las curvas solucin resulta evidente con base en esta figura y parece que todas las soluciones tienden a cero cuando x -> oo. Empleo de las computadoras en las ecuaciones diferenciales. Una computadora puede ser una herramienta bastante valiosa para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Duran te muchos aos se han utilizado las computadoras para ejecutar algoritmos numricos, como los que se describen en el captulo 8, a fin de construir aproximaciones numricas para las soluciones de ecuaciones diferenciales. En la actualidad, estos algoritmos se han refinado hasta un nivel extremadamente superior de generalidad y eficiencia. Para resolver numricamente una amplia variedad de ecuaciones diferenciales bastan unas cuantas lneas de cdigo de computadora, escritas en un lenguaje de alto nivel, como FORTRAN, BASIC 20. 24Introduccino Pascal, y que se ejecuten (a menudo en unos cuantos segundos) en una computadora relativamente poco costosa. En la mayora de los centros de cmputo se cuenta con las rutinas ms complicadas. Estas rutinas combinan la capacidad de manejar sistemas muy grandes y complejos, con numerosas caractersticas de diagnstico que alertan al usuario respecto a posibles problemas a medida que se presentan. La salida usual de un algoritmo numrico es una tabla de nmeros en la que se listan valores seleccionados de la variable independiente y los valores correspondientes de la variable dependiente. Con medios id neos para trazar grficas con computadoras, tambin es fcil presentar grficamente la solucin de una ecuacin diferencial, sin importar que la solucin se haya obtenido num ricamente o como resultado de un procedimiento analtico de algn tipo. Esta presentacin grfica suele ser mucho ms ilustrativa y til, para comprender e interpretar la solucin de una ecuacin diferencial, que una tabla de nmeros o una frmula analtica complicada. Por ejemplo, muchas de las figuras en este libro se generaron por medio de una computa dora, aunque hayan sido vueltas a trazar por un artista. Por supuesto, ahora la amplia dispo nibilidad de microcomputadoras poderosas ha puesto este tipo de capacidad de cmputo y grfica al alcance de los estudiantes, quienes poseen sus propias computadoras personales o tienen acceso a laboratorios pblicos de microcomputadoras. Un estudiante interesado en las ecuaciones diferenciales debe considerar, a la luz de sus propias circunstancias, la mejor manera de aprovechar los recursos de cmputo de que disponga. En el mercado existen varios paquetes de software bien diseados para la investigacin grfica de las ecuaciones diferenciales y seguramente en el futuro aparecern ms. Al final de este captulo, en la bibliografa, se listan algunos de los paquetes disponibles. Otro aspecto muy pertinente del uso de las computadoras para el estudio de ecuaciones diferenciales es la existencia de paquetes de software extremadamente poderosos y genera les para efectuar clculos simblicos y numricos. Entre stos se encuentran Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, y MathScribe, cada uno de los cuales puede utilizarse en 21. 1.1Clasificacin de las ecuaciones diferenciales25varios tipos de computadoras personales o estaciones de trabajo. Entre otras funciones, estos paquetes pueden efectuar las operaciones analticas que intervienen en la resolucin de muchas ecuaciones diferenciales, a menudo en respuesta a una sola instruccin. El em pleo de manipuladores simblicos o del lgebra por computadora an es incipiente, pero quienquiera que pretenda abordar las ecuaciones diferenciales de forma no superficial debe familiarizarse por lo menos con un paquete de manipulacin simblica e investigar las maneras en que es posible aplicarlo. Para el estudiante, estos recursos diversos de cmputo tienen un efecto sobre la manera en que debe estudiar las ecuaciones diferenciales. Sigue siendo esencial comprender cmo se aplican los diversos mtodos de resolucin, y esta comprensin se logra en parte al trabajar con detalle un nmero suficiente de empleos. Sin embargo, llegar el momento en que deba delegar tanto como sea posible los detalles sistemticos (a menudo repetitivos) a una computadora para concentrar ms la atencin en el planteamiento adecuado del proble ma y en la interpretacin de la solucin. En especial, el estudiante debe esforzarse por combinar los mtodos numricos, grficos y analticos a fin de comprender mejor el com portamiento de la solucin y del proceso subyacente modelado por el problema. Nuestro punto de vista es que siempre debe tratar de usar las mejores herramientas disponibles para cada tarea. Algunas veces pueden ser lpiz y papel; otras, una computadora o una calcula dora. A menudo lo mejor es una combinacin atinada.Problemas En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden de la ecuacin diferencial dada; diga tambin si la ecuacin es lineal o no lineal d 2y 1. x :+ x dx2dy7 d 2y - ,d*yd 3yd 2ydx4dx3dx2dy dxdxdy 4. - h x y dx^= 0d 3y dy , 6. z + x + ( e o s 2 x) y x dx dxd 2y dx2dydx22. (1 + y ) T ~2 + x y = e* +Y 2 y = sen x dx+ se n (x + y) = sen xEn cada uno de los problemas 7 a 14, verifique que la funcin o funciones que se dan son una solucin de la ecuacin diferencial. 7. y" y = 0; 8. y" + 2y' -y ^ x ) = e x, 3y = 0;9. x y y x 2;y -10. y"" -Y 4y' + 3y = x; 11. 2 x 2y" + 3 x y ' - y = 0, 12. x 2y" + 5 x y ' + 4 y = 0, 13. y" + y = se c x , 14. y' 2 x y = 1 ;y 2(x) = c o s h xy x(x) = e ~ 3x,y 2(x) = e x3x + x 2 y i(^ ) = x /3 , y 2(x) e x > 0; y t(x) = x 1/2, x > 0;0 < x < n2y ^ x ^ x -2 ,+ x /3 y 2(x) =x~ 1y 2(x) = x ~ 2 l n Xy = (e o s x) ln e o s x -I- x se n xy = e xl Jo e ~ ' 2d t + e x2 22. Introduccin26En cada uno de los problemas 15 a 18, determine los valores de r para los que la ecuacin diferencial dada tiene soluciones de la forma y = erx. 15. y' 4- 2 y 0 17. y" + y' 6y = 016. y" y = 0 18. y'" 3y + 2y' 0En cada uno de los problemas 19 y 20, determine los valores de r para los que la ecuacin diferencial dada tiene soluciones de la forma y = xf, para x > 0. 19. x 2y" + 4xy' + 2y = 020.x 2y" - 4xy' + Ay 0En cada uno de los problemas 21 a26,determine el orden de la ecuacin diferencial parcial dada; diga tambin si la ecuacin es lineal o no lineal. Las derivadas parciales se denotan por medio de subndices. 21 .23. 25.22 .ol2 uxx = utuxx + uyy + uzz = 0 a 2uxx uxxxx= utt 4- 2u xxyy 4"uyyyy024. 26.uxx+uyyut + uux+ uux + uuy + 1 4- uxxu=0En cada uno de los problemas 27 a 32, verifique que la funcin o funciones dadas son una solucin de la ecuacin diferencial parcial correspondiente. 27. uxx + uyy 0; u ^ x , y) = eos x cosh y, u 2(x, y) = ln(x2 4- y 2) 28. oc2uxx = u t; u ^ x , t ) = e ~ a2t sen x, u2(x, t) = e ~ a222 sen Xx, X es una constante real 29. a 2uxx = utt; u^x, t) = sen Ax sen Xat, u2(x, t) =sen(x ai), X es una constante real 30. uxx 4- uyy + uzz = 0; u = ( x 2 + y 2 + z 2) ~ 1/2, (x, y, z) ^ (0, 0, 0) 31. a 2uxx = ut; u = ( n / t ) 1,2e ~ x2l4'a2t, t > 0 32. a 2uxx = uff; u f ( x a t) + g ( x + at), en donde / y #son funciones doblemente diferenciables En cada uno de los problemas 33 a 40 use una computadora, de ser posible, para hacer un esquema del campo direccional de la ecuacin diferencial dada. Con base en el campo direccional, determine el comportamiento de y cuando x -> oo. 33. y' = - 1 - 2y 34. y' = y + 2 35. y' 2 + x y 36. y' = xe 2x 2y 37. y' = e~x +y 38. y' = x 4- 2y 39. y' = y(4 - y) 40. y' = - y (5 - y) Isclinas. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuacin diferen cial y' = f(x, y), es til observar que la pendiente y' de la solucin tiene el valor constante cen todos los puntos de la curva f(x, y) = c. Estas curvas se denominan isclinas. Para ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isclinas y luego insertar los segmentos rectilneos tangentes a la solucin en varios puntos de cada una. Por ejemplo, las isclinas de la ecuacin (20) son rectas paralelas al eje x y las isclinas de la (21) son las grficas de la ecuacin y= (e~x- c)/2 para varios valores de c.En cada uno de los problemas del 41 al 46, determine las isclinas y despus selas paratrazar el campo di reccional. Compruebe su dibujo usando una computadora, si es posible. 41. y' = 3 2y 43. y' = (1 - y)(2 y) 45. y' = x2 4- y242.y' = 4- y2) y(l 44.y' = 2x 3y 46.y' = 1 xy 23. 1.2Notas histricas Si no se tienen algunos conocimientos acerca de las ecuaciones diferenciales y los mtodos para resolverlas, es difcil apreciar la historia de esta importante rama de las matemticas. Adems, el desarrollo de las ecuaciones diferenciales est estrechamente relacionado con el desarrollo general de las matemticas, por lo que no es posible separarlo de ste. Sin embargo, para proporcionar una perspectiva histrica, se indican algunas de las tendencias ms importantes en la historia de la materia y se identifican los primeros contribuido res ms sobresalientes. En los pies de pgina dispersos en todo el libro y en la bibliografa que se encuentra al final de este captulo se proporciona informacin histrica adicional. El estudio de las ecuaciones diferenciales se origin en los albores del clculo con Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), en el siglo XVII. Newton creci en la campia inglesa, estudi en el Trinity College de Cambridge y trabaj ah como profesor de matemticas a partir de 1669. Sus memorables descubrimientos del cl culo y las leyes fundamentales de la mecnica datan de 1665. Estos circularon en forma privada entre sus amigos, pues Newton era extremadamente sensible a la crtica y no co menz a publicar sus resultados hasta 1687 con la aparicin de su libro ms famoso, Philosophiae naturalisprincipia mathematica. Aunque Newton trabaj relativamente poco en las ecuaciones diferenciales per se, su desarrollo del clculo y su aclaracin de los prin cipios fundamentales de la mecnica proporcionaron una base para la aplicacin de aqu llas en el siglo XVIII, de modo ms notable por Euler. Newton clasific las ecuaciones diferenciales de primer orden segn las formas dy dx = f(x), dy/dx = f(y) y dy/dx = f(x, y). Para la ltima ecuacin desarroll un mtodo de resolucin, aplicando series infinitas, cuan do / ( x, y) es un polinomio en x y y. La larga carrera de investigacin activa de Newton, termin a principios de la dcada de 1690, salvo por la resolucin de problemas ocasionales que constituan un desafo. En 1695 fue designado guardin de la Casa de Moneda britnica y algunos aos despus, renunci a su ctedra. Fue nombrado caballero en 1705 y al falle cer sus restos fueron depositados en la Abada de Westminster. Leibniz naci en Leipzig y termin su doctorado en filosofa a la edad de 20 aos en la Universidad de Altdorf. Durante toda su vida se entreg a trabajos eruditos en varios cam pos. En matemticas fue esencialmente autodidacta, ya que su inters en la materia se inici cuando tena un poco ms de 20 aos. Leibniz lleg a los resultados fundamentales del clculo de manera independiente, aunque un poco ms tarde que Newton, pero los public primero, en 1684. Leibniz tena plena conciencia del poder de una buena notacin matemtica, y la notacin actual para la derivada (dy/dx) y el smbolo de la integral se deben a l. Descubri el mtodo de la separacin de variables (seccin 2.3) en 1691, la reduccin de ecuaciones homogneas a ecuaciones separables (seccin 2.9) en 1691, y el procedimiento para resolver ecuaciones lineales de primer orden (secciones 2.1 y 2.2), en 1694. Fue embajador y consejero de varias familias de la realeza alemana, lo que le permi ti viajar mucho y mantener una amplia correspondencia con otros matemticos, en espe- 24. 28Introduccin cial con los hermanos Bernoulli. En el curso de esta correspondencia se resolvieron mu chos problemas de ecuaciones diferenciales durante la ltima parte del siglo XVII. Los hermanos Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748) Bernoulli de Basilea hicieron mucho por llegar a mtodos para resolver ecuaciones diferenciales y ampliar el alcance de sus aplicaciones: Jakob empez a trabajar como profesor de matemticas en Basilea en 1687, y Johann obtuvo la misma ctedra al morir su hermano en 1705. Fueron pendencie ros, celosos y frecuentemente se enredaban en disputas, especialmente entre ellos. Sin em bargo, los dos hicieron contribuciones importantes en varias reas de las matemticas. Con la ayuda del clculo plantearon y resolvieron varios problemas de la mecnica como ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Jakob Bernoulli resolvi la ecuacin diferencial y' = [a3/(b2 - a 3)]1/2 en 1690 y en el mismo artculo aplic el trmino integral en el sentido y moderno. En 1694, Johann Bernoulli pudo resolver la ecuacin dy/dx = y/ax, aun cuan do todava no se saba que d(ln *) = dx/x. Uno de los problemas a cuya solucin colaboraron los dos hermanos, y que provoc bastantes fricciones entre ellos, fue el de la braquistcrona (la determinacin de la curva de descenso ms rpido). En el problema 17 de la seccin 2.7 se ver que este problema da origen a la ecuacin no lineal de primer orden y [l + (y')2] = c, en donde c es una constante. El problema de la braquistcrona tambin fue resuelto por Leibniz y Newton, adems de los hermanos Bernoulli. Se dice, aunque quiz no sea cierto, que Newton supo del problema al final de una tarde de un fatigoso da en la Casa de Mone da y que lo resolvi esa noche, despus de la cena. Public la solucin de manera annima, pero Johann Bernoulli, al verla, exclam: Ah!, conozco al len por su zarpa. Daniel Bernoulli (1700-1782), hijo de Johann, emigr en su juventud a San Petersburgo para ingresar a la recientemente creada Academia de San Petersburgo, pero en 1733 volvi a Basilea como profesor de botnica y, ,ms tarde, de fsica. El tema que ms le atrajo fue esencialmente el de las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Por ejemplo, su nom bre es el que se asocia a la famosa ecuacin de Bernoulli de la mecnica de fluidos. Tam bin fue el primero en descubrir las funciones que un siglo ms tarde se conocieron como funciones de Bessel. El matemtico ms grande del siglo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), creci cerca de Basilea y fue alumno de Johann Bernoulli. En 1727 sigui a su amigo Daniel Bernoulli a San Petersburgo. Durante el resto de su vida estuvo relacionado con la Academia de San Petersburgo (1727-1741 y 1766-1783) y con la Academia de Berln (1741-1766). Euler fue el matemtico ms prolfico de todos los tiempos; sus trabajos reunidos llenan ms de 70 grandes volmenes. Su inters se extendi a todas las reas de las matemticas y muchos campos de aplicacin. Aun cuando qued ciego durante los ltimos 17 aos de su vida, su ritmo de trabajo no disminuy hasta el mismo da de su fallecimiento. De inters particular para estas notas es su planteamiento de problemas de mecnica en lenguaje matemtico y su desarrollo de mtodos para resolver estos problemas matemticos. Refirindose al traba jo de Euler en mecnica, Lagranje dijo que era el primer gran trabajo en el que se aplica el anlisis a la ciencia del movimiento. Entre otras cosas, Euler identific las condiciones para la exactitud de las ecuaciones diferenciales de primer orden (seccin 2.8) en 17341735, desarroll la teora de los factores integrales (seccin 2.8), en el mismo documento, y dio la solucin general de las ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constan tes (secciones 3.1, 3.4, 3.5 y 4.2), en 1743. De 1750 a 1751 extendi estos ltimos resulta 25. 1.2Notas histricas29 dos a las ecuaciones no homogneas. Comenzando alrededor de 1750, Euler aplic con bastante frecuencia las series de potencias (captulo 5) para resolver ecuaciones diferen ciales. De 1786 a 1769 tambin propuso un procedimiento numrico (seccin 8.1), hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales y dio el primer trata miento sistemtico del clculo de variaciones. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) se convirti en profesor de matemticas en su Turn natal a los 19 aos. En 1776 ocup la ctedra de matemticas dejada por Euler en la Acade mia de Berln y en 1787 se desplaz a la Academia de Pars. Es ms famoso por su monu mental trabajo Mcanique analytique, publicado en 1788; un tratado elegante y extenso de la mecnica newtoniana. Con respecto a las ecuaciones diferenciales elementales, Lagrange demostr en 1762-1765 que la solucin general de una ecuacin diferencial lineal homog nea de n-simo orden es una combinacin lineal de n soluciones independientes (secciones 3.2, 3.3 y 4.1). Ms tarde, entre 1774 y 1775, dio un desarrollo completo del mtodo de variacin de parmetros (secciones 3.7 y 4.4). Lagrange tambin es conocido por su trabajo fundamental en ecuaciones diferenciales parciales y el clculo de variaciones. El nombre de Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) a menudo se asocia con el de La grange, aunque la naturaleza de su trabajo matemtico fue bastante diferente. Laplace uti liz las matemticas como un medio para comprender la naturaleza, mientras que Lagrange se dedic a las matemticas por s mismas. Laplace vivi su juventud en Normanda, aun que en 1768 se mud a Pars, donde en poco tiempo dejo su sello en los crculos cientficos, siendo elegido como miembro de la Academia de Ciencias en 1773. Destac en el campo de la mecnica celeste; su obra ms importante, Trait de mcanique cleste, fue publicada en cinco volmenes entre 1799 y 1825. La ecuacinen donde los subndices denotan derivadas parciales, se conoce como ecuacin de Laplace o como ecuacin del potencial. Es fundamental en muchas ramas de la fsica-matemtica y Laplace la estudi ampliamente en relacin con la atraccin gravitacional. La transformada de Laplace (captulo 6) tambin recibi ese nombre en honor a l, aunque su utilidad en la resolucin de ecuaciones diferenciales no se reconoci hasta mucho despus. Alrededor de fines del siglo XVIII se haban descubierto muchos mtodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. En el siglo XIX el inters se dirigi ms hacia la investigacin de cuestiones tericas de existencia y unicidad, as como al desarro llo de mtodos menos elementales, como los que se basan en mtodos de series de poten cias (ver el captulo 5). Tambin se empezaron a estudiar con intensidad las ecuaciones diferenciales parciales, en la medida en que se aclaraba su papel primordial en la fsicamatemtica. Las numerosas ecuaciones diferenciales que no podan ser resueltas por mtodos analti cos originaron la investigacin de mtodos de aproximaciones numricas (ver el captulo 8). Ya por 1900 se haban ideado mtodos de integracin numrica bastante efectivos, aun que su aplicacin estaba muy restringida por la necesidad de ejecutar los clculos a mano o con equipo de cmputo bastante primitivo. Durante los ltimos 50 aos el desarrollo de com putadoras cada vez ms poderosas y verstiles ha ampliado mucho la variedad de proble mas que es posible investigar con eficacia por medio de mtodos numricos. Durante el mismo periodo se han creado integradores numricos en extremo refinados y poderosos disponibles en casi todos los centros cientficos de cpiputo. Las versiones adecuadas para 26. 30Introduccin computadoras personales han puesto al alcance de los estudiantes la capacidad de resolu cin para un gran nmero de problemas significativos. Otra caracterstica de las ecuaciones diferenciales en el siglo XX ha sido la creacin de mtodos geomtricos o topolgicos, especficamente para resolver ecuaciones no lineales. El objetivo en este caso es comprender por lo menos el comportamiento cualitativo de las soluciones desde un punto de vista geomtrico, en vez de analtico. En el captulo 9 se presenta una introduccin a estos mtodos. Durante los ltimos quince o veinte aos se han unificado estas dos tendencias. Las computadoras, y en especial las grficas por computadora, han dado un nuevo impulso al estudio de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales. Se han descubierto fenmenos inesperados (seccin 9.8), a los que se les ha dado el nombre de atractores extraos, caos, y fractales, los cuales se estn estudiando intensamente y estn dando origen a nuevas con cepciones en diversas aplicaciones. Aunque las ecuaciones diferenciales constituyen un tema antiguo acerca del cual se sabe mucho, a fines del siglo XX siguen siendo una fuente de problemas fascinantes e importantes que no se han resuelto.BIBLIOGRAFIATres paquetes de software muy adaptables para presentar grficam ente las solu cion es de ecuaciones d iferenciales son: Koak, H., Differential a n d Difference Equ ations Through Com puter E xperimen ts (2a. ed.) (N ew York/ Berln: Springer-Verlag, 1989). Este es un am plio manual de disquetes incluidos que contiene el progra ma PH A SER, que puede ejecutarse en varias mquinas IBM y com patibles. G ollw itzer, H ., P h a s e P o r tr a its (Philadelphia: D rexel U niversity, 1988). Este program a se corre en com putadoras M acintosh y en la actualidad lo distribuye Intellimation Inc., Santa Barbara, California. New m an, D ., Carosso, K., y Freed, N ., Mathlib (Claremont Cal.: Innosoft International, Inc.). Este soft ware se ejecuta en mquinas VAX en las que se use V M S. Para m s inform acin acerca de la historia de las matem ticas pueden consultarse libros com o los que se listan a continuacin. D e los cuatro que se m encionan, el ms am plio es el de K line. B ell, E. T., Men o f M athem atics (N ew York: Sim n & Schuster). Boyer, C. B . y U . C. Merzbach, A H istory o f Mat hem atics (2a. ed.) (N ew York: W iley). Eves, H., A n Introduction to the H istory o f Mathem atics (5a. ed.) (Troy, M issouri: Saunders). K line, M ., Mathem atical Throught from Ancient to M od e ra Times (N ew York: Oxford U niversity Press). En la siguiente obra tambin aparece un ndice histrico til: Ince, E. L., Ordinary Differential Equ ations (London: Longm ans, Green, 1927; N ew York: D over). En el m ercado se encuentran varias antologas que incluyen material de fuentes originales, as com o c o m entarios exp licativos e histricos; por ejemplo: Calinger, R., ed., Classics o f Mat hem atics (Oak Park, Illinois: M oore Publishing Com pany N ew m an, J. R., ed., The World o f M athem atics (4 v o ls.)(N ew York: Sim n & Schuster). Por ltim o, una fuente en ciclopdica de informacin sobre la vida y obra de m atem ticos del pasado es G illesp ie, C. C., ed., D iction ary ofScientific Biography (15 vols.) (N ew York: Scribners ) . 27. Captulo Ecuaciones diferenciales de O primer ordenEn este captulo se estudian ecuaciones diferenciales de primer orden,j - = /(*> y)ax Sin embargo, para una funcin arbitraria / , no existe un mtodo general para resolver esta ecuacin en trminos de funciones elementales. En lugar de ello, se describen varios mto dos, cada uno de los cuales es aplicable a cierta subclase de ecuaciones. En otras secciones de este captulo se abordan algunas de las aplicaciones importantes de las ecuaciones dife renciales de primer orden y algunas cuestiones tericas relacionadas con la existencia y la unicidad de las soluciones.2.1Ecuaciones lineales Se empieza con las ecuaciones de la forma y'=f(x,y),( 1)en donde/es una funcin dada de dos variables. Cualquier funcin diferencial y = 4>{x) que satisface la ecuacin (1) para toda x en algn intervalo se llama solucin, y el objetivo es determinar si existen funciones de este tipo y, en caso afirmativo, desarrollar mtodos para encontrarlas. En esta seccin y en la siguiente se supondr que la funcin/(x, y) depende linealmente de la variable dependiente y. En este caso, la ecuacin (1) puede escribirse en la forma y' + p(x)y = g(x)(2) 28. Ecuaciones diferenciales de primer orden32y se denomina ecuacin lineal de primer orden. Se supondr que p y g son funciones dadas y que son continuas en algn intervalo a < x < 3. Por ejemplo, la ecuacin dife rencial d y1-3di + 2 y ~2(3)es una ecuacin lineal particularmente simple en la que las funciones p(x) = 1/2 y g(x) = 3/2 son constantes. Recuerde que en la figura 1.1.2 del captulo anterior sedioel campo direccional de la ecuacin (3).Ejemplo 1|jResolver la ecuacin (3) y determinar el comportamiento de las soluciones para valores grandes de a:. Tambin, determinar la solucin cuya grfica contiene el punto (0, 2). Para resolver la ecuacin (3) se observa que si y 3, entonces esa ecuacin puede escribirse = de nuevo como dy/dx = _ 1 y 3^2Como el primer miembro de la ecuacin (4) es la derivada de ln y - 3, se tieneEntonces, se concluye que ln|y 3| = -+ C, en donde C es una constante arbitraria de integracin. Por consiguiente, al tomar la exponencial de ambos miembros, se obtiene y 3| = ec e ~ xl2,o bien, y 3 = e Le ~ xl2,y, por ltimo, y 3 + c e ~ xl2,(5)en donde c = e c tambin es una constante arbitraria (diferente de cero). Observe que la solu cin constante y = 3 tambin est contenida en la expresin (5), si se permite que c tome el valor cero. En la figura 2.1.1 se muestran las grficas de la ecuacin (5) para varios valores de c. Ntese que poseen el carcter inferido con base en el campo direccional de la figura 1.1.2; por ejemplo, a partir de la ecuacin (5) resulta evidente que y -> 3 cuando x -* ce. Para un valor particular de c la grfica correspondiente contiene el punto (0, 2). Para hallar este valor de c, en la ecuacin (5) se sustituye x = 0 y y = 2 y s e encuentra que c = -1. Por tanto, 29. 2.1Ecuaciones lineales33y = 3 - e x/2(6)es la solucin cuya grfica contiene al punto dado (0, 2). Esto se ilustra con la curva de trazo grueso en la figura 2.1.1.Factores integrantes. Al volver a examinar la solucin de la ecuacin diferencial del ejemplo 1, es posible encontrar un indicio que conduzca a un mtodo para resolver ecuacio nes lineales de primer orden ms generales. En primer lugar, la ecuacin (5) se escribe en la forma yex/2 = 3exl2 + c;(7)y luego, al derivar ambos miembros con respecto a x se obtiene ( / + b ) e xl2 =e x/2,(8)lo que es equivalente a la ecuacin original (3). Observe ahora que la ecuacin (3) puede resolverse si se invierten los pasos precedentes. Es decir, si se multiplica primero la ecua cin (3) por e*/2, con lo que se obtiene la ecuacin (8). Luego, note que el primer miembro de la ecuacin (8) es la derivada de y e x/1, de modo que la ecuacin queda (yex/2)' (9)Por ltimo, al integrar ambos miembros de la ecuacin (9) se obtiene la ecuacin (7) y, por tanto, la solucin de la ecuacin (5). En otras palabras, una manera de resolver la ecuacin (3) es multiplicarla primero por la funcin e x/2. Como esta multiplicacin reduce la ecua cin a una forma que es integrable de manera inmediata, la funcin e x/2 se denomina factor 30. Ecuaciones diferenciales de primer orden34integrante (o de integracin) de la ecuacin (3). Por supuesto, para que este mtodo sea eficaz debe ser posible calcular el factor integrante directamente a partir de la ecuacin diferencial. A continuacin, se aborda esta cuestin en el contexto de la ecuacin ms general (2). E1 anlisis anterior sugiere que una manera posible de resolver la ecuacin lineal general de primer orden (2), y + p(x)y = g{x), es multiplicar por un factor integrante adecuado y llevarla en consecuencia a una forma integrable. Para encontrar ese factor integrante primero se multiplica la ecuacin (2) por una funcin //(*), que por el momento no est determinada. Entonces, se tiene fi(x)y + p(x)p(x)y = p(x)g(x).( 10)El objetivo es elegir /u(x) de modo que el primer miembro de la ecuacin (10) sea la deriva da de alguna funcin. El trmino n(x)y' sugiere que la funcin deseada podra ser el produc to fi(x)y. A fn de obtener la combinacin [/>i(x)y]' = f'(x)y + fi(x)y' es necesario sumar y restar el trmino ux)y en el primer miembro de la ecuacin (10); al hacerlo y agrupar los trminos de manera conveniente, se obtiene [p'(x)y + p(x)y] - |>'(x) - p(x)p(x)]y = p(x)g(x).( 11)Ahora, si el segundo trmino del primer miembro de la ecuacin (11) fuese cero, entonces esta ecuacin tendr la forma [>(x)y]' = g(x)g(x),( 12)y el primer miembro (por lo menos) sera fcilmente integrable. A fn de lograr lo anterior, debe elegirse fu de modo que p'(x) - p(x)g(x) = 0.( 13)Si, por el momento, se supone que //es positiva, entonces la ecuacin (13) puede escribirse comoo bien, ln fi(x) = p(x). dx(14)Por tanto, ( 15)Al elegir la constante k como cero se obtiene la funcin ms simple posible para //, a saber ( 16)Observe que j (x) es positiva para toda x, como se supuso. 31. 2.1Ecuaciones lineales35Una vez que se ha encontrado la funcin p, se regresa a la ecuacin (2) y se multiplica por p(x), obtenindose as la ecuacin (12). Al integrar ambos miembros de la ecuacin (12) se obtiene p(x)y = J p(x)g(x) dx + c,o bien, J p(x)g(x) dx + cy=-nH(x)(n )Como y representa cualquier solucin de la ecuacin (2), se concluye que toda solucin de la ecuacin (2) est incluida en la expresin del segundo miembro de la ecuacin (17). Por consiguiente, esta expresin se conoce como solucin general de la ecuacin (2). Observe que para encontrar la solucin dada por la ecuacin (17) se requieren dos inte graciones: una para obtener p(x) a partir de la ecuacin (16) y otra para determinar y a partir de la ecuacin (17). Tambin, observe que antes de calcular el factor integrante p{x) a partir de la ecuacin (16), es necesario asegurarse de que la ecuacin diferencial est exactamente en la forma (2); especficamente, el coeficiente de y' debe ser uno. En caso contrario, la p(x) usada pa ra calcular p ser incorrecta. En segundo lugar, despus de encontrar p(x) y multiplicar la ecuacin (2) por ella, es necesario tener la certeza de que los trminos en los que aparecen y y y' son, en efecto la derivada p(x)y, como debe ser. Con lo anterior se obtiene una com probacin del clculo de p. Por supuesto, una vez que se ha encontrado la solucin y, tam bin puede verificarse sustituyndola en la ecuacin diferencial. La interpretacin geomtrica de la ecuacin (17) es una familia infinita de curvas, una para cada valor de c, de la misma manera en que las grficas de la figura 2.1.1 representan las soluciones (5) de la ecuacin (3). A menudo, a estas curvas se les da el nombre de curvas integrales. Algunas veces es importante elegir un elemento especfico de la familia de curvas integrales. Lo anterior se lleva a cabo al identificar un punto particular (x0, y0) por el que se requiera que pase la grfica de la solucin. Este requisito suele expresarse como (18) y se denomina condicin inicial. Una ecuacin diferencial de primer orden, como la (1) o (2), junto con una condicin inicial, como la (18), constituyen un problema con valor inicial.Ejemplo 2Determinar la solucin del problema con valor inicial y' + 2 y = T x,(19)y (0 ) = 0.7 5 .(20)En la figura 1.1.3 se muestra el campo direccional de la ecuacin (19), de donde es posible deducir el perfil general de las curvas integrales. Para resolver la ecuacin (19), observe que sta es de la forma de la ecuacin (2), con p(x) = 2 y g(x) = e~x. Por tanto, el factor integrante es 32. Ecuaciones diferenciales de primer orden36p(x) = exp J 2 dx = e2x, y al multiplicar la ecuacin (19) por esta cantidad, se obtiene e2xy' + 2e2xy ex.(21)El primer miembro de la ecuacin (21) es la derivada de e2xy, de modo que esta ecuacin puede escribirse como (ie2xy)' = ex, y por integracin se concluye que e2xy = ex + c, en donde c es una constante arbitraria. Por lo tanto, y = e~x + ce~lx(22)es la solucin general de la ecuacin (19). En la figura 2.1.2 se muestran algunas curvas integra les de la ecuacin (19); observe que siguen el patrn que resulta evidente basndose en el campo direccional de la figura 1.1.3. Con ms precisin, para x grande el segundo trmino del segun do miembro de la ecuacin (22) es despreciable en comparacin con el primer trmino; por tanto, las grficas de todas las soluciones tienden a la grfica de y = exp(-x) cuando x -* oo. Para satisfacer la condicin inicial (20), se sustituyen x = 0 y y = 0.75 en la ecuacin (22); esto da c = -0.25, de modo que la solucin del problema con valor inicial dado es v = e~x - Q.2Se~2x.(23)En la figura 2.1.2 se muestra la grfica de esta solucin, por medio de la curva de trazo grueso.FIGURA 2.1.2 Curvas integrales de y' + 2y = e x. 33. 2.1Ecuaciones linealesEjemplo 337Determinar la solucin del problema con valor inicial y' - 2 x y = x ,y (0) = 0.(24)En la figura 2.1.3 se observa el campo direccional de esta ecuacin diferencial. Para resolver la ecuacin en primer lugar se encuentra el factor integrante fi(x) = e x p | J 2 x d x j e ~ x2.Luego, al multiplicar porse obtiene eiy 2xe v 2y xe y 2,o bien, (y e ~ x2)' = x e ~ x2.Por consiguiente, y e ~ x2 = J x e ~ xl d x + c = j e ~ x2 + c,y se concluye que y = j + c e x2(25)es la solucin general de la ecuacin diferencial dada. Para satisfacer la condicin inicial y(0) = 0 es necesario elegir c = 1/2. De donde, y = - + e x2(26)es la solucin delproblema con valor inicial (24). En la figura 2.1.4 se muestran algunas curvas integrales y la solucin particular que pasa por el origen.y 'v *. * X X x " / / // // // / // / /N/ // / /so* / / / , 1 / / / 1/ // / /v./ / // / . / s N / _ __ _ _ * / _T "X/ /NS S 1^ s_ 1 ^//// // /** */ /-2_ N S/ / // / / ' 1/ i 1/ / // // // // / / / / " * / / / / // / / N s *. SFIGURA 2.1.3 Campo direccional de y - 2xy - x.//s s . - ' *s -.X 34. Ecuaciones diferenciales de primer orden38Problemas En cada uno de los problemas 1 a 8, encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial dada. 1. 3. 5. I./ + 3y = x + e~2x y' + y = xe~x + 1 y' - y = 2ex y' + 2xy = 2xe~xl2. 4. 6. 8..y' - 2y - x 2e2x y' + (1x)y = 3 eos 2x, x>0 xy' + 2y = sen x, x> 0 (1 + x 2)y + 4xy = (1 + x 2)~2En cada uno de los problemas 9 a 16, encuentre la solucin del problema con valor inicial dado. 9. y' - y = 2xe2x, y(0) = 1 10. y + 2y = xe~2x, y(l) = 0 II. xy + 2y = x 2 x + 1, y(l) =x >012. y' + - y = ^ , y(n) = 0, x > 0 x x 13. y' 2y = e2x, y(0) = 2 14. xy' + 2y = sen x, y(n/2) = 1 15. x3/ + 4x2y = e~x, y( 1) = 0 16. xy + (x + l)y = x, y(ln 2) = 1 En cada uno de los problemas 17 a 20, use una computadora para graficar el campo direccional. Obtenga una conclusin acerca del comportamiento de las solucionescuando x -> oo. Para comprobar la conclusin a la que lleg, resuelva la ecuacin diferencialy despus tome el lmite cuando x -* oo. 17. y' + 3y = x + e-2* (Problema 1) 18. y' + y = xe~x + 1 (Problema 3) 35. 2.1Ecuaciones lineales3919. xy' + 2y = sen x (Problema 6) 20. (1 + x2)y' + 4xy = (1 + x2)~2 (Problema 8) 21. Encuentre la solucin deSugerencia: Considere x como variable independiente, en vez de y. 22. a) Demuestre que >(*) = e2* es una solucin de y' - 2y = 0 y que y = c(f>(x) tambin es una solucin de esta ecuacin para cualquier valor de la constante c. b) Demuestre que (f>(x) = l/x es una solucin de y' + y2 = 0, para x > 0, pero que y = c(f>(x) no es una solucin de esta ecuacin, a menos de que c = 0 o c = 1. Observe que la ecuacin del inciso b) es no lineal, mientras que la del inciso a) es lineal. 23. Demuestre que si y = < (x) es una solucin de y' +p(x)y = 0, entonces y = c(x) tambin j> es una solucin para cualquier valor de la constante c. 24. Sea y = y^x) una solucin de y' + p(x)y = 0,(i)/ + P(x)y = g(x).(ii)y sea y = y2(x) una solucin deDemuestre que y =y^x) + y2(x) tambin es una solucin de la ecuacin (ii). *25 Variacin de parmetros. Considere el siguiente mtodo para resolver la ecuacin li neal general de primer orden: y' + p(x)y = g(x). a)(i)si g(x) es idnticamente cero, demuestre que la solucin es y = A exp J p(x) dxj,(ii)en donde A es una constante. b) Si g(x) no es idnticamente cero, suponga que la solucin es de la forma y = A(x) exp[ dxJ , J P(x)(iii)en donde ahora A es una funcin de x. Por sustitucin de y en la ecuacin diferencial dada, demuestre que A(x) debe satisfacer la condicin. A'(x) = g(x) exp [ J p(x) dx].(iv)c) Determine A(x) a partir de la ecuacin (iv); luego sustituya A(x) en la ecuacin (iii) y determine y. Compruebe que la solucin obtenida de esta manera concuerda con la de la ecuacin (17) del texto. Esta tcnica se conoce como mtodo de variacin de parme tros y se analiza con detalle en la seccin 3.7 en relacin con las ecuaciones lineales de segundo orden. 36. Ecuaciones diferenciales de primer orden40E n ca d a u n o d e lo s p r o b le m a s 2 6 y 2 7 , a p liq u e e l m to d o d e l p r o b le m a 2 5 para r e s o lv e r la e c u a c i n d ife r e n c ia l d ad a. * 26. /2.2 2 y = x 2e 2x*27. /+ (1 x ) y = 3 e o s 2 x ,x > 0Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales En la seccin 2.1 se mostr cmo construir soluciones de problemas con valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el uso de un factor integrante para cambiar la ecuacin diferencial por una forma integrable. A continuacin se abordarn algunas cuestiones de carcter ms general, a saber, 1. 2. 3.Un problema con valor inicial de este tipo siempre tiene una solucin? Es posible que tenga ms de una solucin? Es vlida la solucin para toda x o slo para algn intervalo restringido alrededor del punto inicial? El siguiente teorema fundamental da respuesta a las preguntas anteriores.T eo rem a2 .2.1Si las funcionesp y ^son continuas en un intervalo abierto /: a < x < (5 que contenga el punto x = .V entonces existe una nica funcin y = 4>(x) que satisface la ecuacin dife y, rencial/ +p{*)y = d(x)( 1)para toda x en /, y que tambin satisface la condicin inicial = > -(2)en donde yy es un valor inicial arbitrario prescrito.Observe que el teorema 2.2.1 establece que el problema con valor inicial dado tiene una solucin y tambin que el problema tiene slo una solucin. En otras palabras, el teorema asegura la existencia y la unicidad de la solucin del problema con valor inicial (1), (2). Adems establece que la solucin existe en toda la extensin de cualquier intervalo / que contenga al punto inicial xQen el que los coeficientes p y g sean continuos. Es decir, la solucin puede ser discontinua o no existir slo en los puntos en los que por lo menos una de p y g sea discontinua. A menudo estos puntos se identifican a primera vista. La demostracin de este teorema est parcialmente contenida en el anlisis de la seccin anterior que llev a la frmula J p(x)g(x) dx + c yMi*)( 3) 37. 2.2Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales41en donde (4 )En la seccin 2.1 se demostr que si la ecuacin (1) tiene una solucin, entonces sta debe estar dada por la ecuacin (3). Al observar con ms cuidado esa deduccin, tambin puede concluir que, en efecto, la ecuacin diferencial (1) debe tener una solucin. Dado que p es continua para a < x < 3, se concluye que est definida en este intervalo y que es una funcin diferenciable diferente de cero. Al multiplicar la ecuacin (1) por p(x) se obtiene [/i(x)y]' = p(x)g{x).( 5)En virtud de que p y #son continuas, la funcin pges integrable, y la ecuacin (3) se deduce de la (5). Adems, la integral de pg es diferenciable, de modo que y, dada por la ecuacin (3), existe y es diferenciable en todo el intervalo a < x < 5. Al sustituir la expresin dada para y por la ecuacin (3), en (1) o en (5), es fcil verificar que esta expresin satisface la ecuacin diferencial en todo el intervalo a < x < {3. Por ltimo, la condicin inicial (2) determina de manera nica la constante c, de modo que existe slo una solucin del proble ma con valor inicial, con lo que se completa la demostracin. Dado que la ecuacin (3) contiene todas la soluciones de la ecuacin (1), esta expresin se llama solucin general de la ecuacin (1). La ecuacin (4) determina el factor de integracin p(x) solo hasta un factor multiplicativo que depende del lmite inferior de integracin. Si se elige este lmite inferior como x Q , entonces ( 6)y se concluye que p(xQ = 1. Al utilizar el factor integrante dado por la ecuacin (6) y elegir ) el lmite inferior de integracin de la ecuacin (3) tambin igual a x0, se obtiene la solucin general de la ecuacin (1) en la formaf * p(s)g(s) ds + c Jxo p(x) Para satisfacer la condicin inicial (2) debe elegirse c = y0. Por tanto, la solucin del proble ma con valor inicial (1), (2) esy= en donde p(x) est dada por la ecuacin (6).p(x)( 7) 38. Ecuaciones diferenciales de primer orden42Ejemplo 1Resolver el problema con valor inicial xy' + 2y = 4x2,(8)y( 1) = 2,(9)y determinar el intervalo en el que la solucin es vlida. Si se procede como en la seccin 2.1, la ecuacin (8) se reescribe como y' + y 4x x(10)y se busca una solucin en un intervalo que contenga ax = 1. Dado que los coeficientes en (10) son continuos excepto en x = 0, por el teorema 2.2.1 se concluye que el problema con valor inicial dado tiene una solucin vlida por lo menos en el intervalo 0 < x < /?. Para encontrar esta solucin en primer lugar se calcula p(x): li(x) = exP ^ J d xj = e21"x = x 2.(11)Al multiplicar la ecuacin (10) por ju(x) = x 2, se obtiene x 2y' + 2xy = (x2y)' = 4x3. y, por consiguiente, x 2y - x 4 + c, en donde c es una constante arbitraria. Se concluye que y = x2 + 4xz()2)es la solucin general de la ecuacin (8). En la figura 2.2.1 se tiene un esquema de las curvas integrales de (8) para varios valores de c. Para satisfacer la condicin inicial (9) es necesario elegir c = 1; por tanto, y = x2 H r, x^x>0(13)es la solucin del problema con valor inicial (8), (9). Esta solucin se muestra en la figura 2.2.1 por medio de la curva de trazo grueso. Observe que la funcin y = x2 + (1/x2), para x < 0, no forma parte de la solucin de este problema con valor inicial. La solucin (13) se hace no acotada cuando x -* 0. Este hecho no es sorprendente, ya que x = 0 es un punto de discontinuidad del coeficiente de y en la ecuacin diferencial (10). Sin embar go, si se cambia la condicin inicial (9) por y(1) = 1,(14)entonces por la ecuacin (12) se concluye que c = 0. De donde, la solucin del problema con valor inicial (8), (14) es y = x2,(15)que es acotada y continua incluso en la vecindad de x = 0. Lo anterior demuestra que el teorema 2.2.1 no aseguraque la solucin deun problema con valorinicialdebe volverse siempre que p o g se hagan discontinuas: en lugar de ello,establece que lasolucin no puede hacerse discontinua en otros puntos. 39. 2.2Otras consideraciones acerca de las ecuaciones linealesFIGURA 2.2.143Curvas integrales de xy' + 2y = 4x2.El comportamiento posible de las soluciones de problemas con valor inicial de ecuacio nes lineales de primer orden en la vecindad de un punto en el que p o g es discontinua es ms variado que lo que puede sugerir el anlisis anterior. Las posibilidades se examinan en cierta medida en los problemas del 13 al 16 y en el problema 16; en el captulo 5 se presenta un tratamiento ms detallado en relacin con las ecuaciones lineales de segundo orden.Ejemplo 2Encontrar la solucin del problema con valor inicial y ' - 2 x y = ,y(0) = -0.5(16)2 Para resolver la ecuacin diferencial, se observa que pipe) = e~x ; por consiguiente, e~x y ' - 2xy) = e~xly y e ~ x2 = J e_x2 d x + c.(17)Para evaluar c es conveniente tomar el lmite inferior de integracin como el punto inicial x = 0. Luego, al resolver para y la ecuacin (17), se obtiene y = e x2J* e ~ l2 d t+ c e x2,(18)que es la solucin general de la ecuacin diferencial dada. Para satisfacer la condicin inicial y(0) = -0.5, debe elegirse c = -0.5; de donde, 40. Ecuaciones diferenciales de primer orden44FIGURA 2.2.2 Curvas integrales de y' - 2xy - 1.y e*2 J* e2 dt 0.5e*2(19)es la solucin del problema con valor inicial dado. En la figura 2.2.2 se muestran algunas de las curvas integrales y la solucin particular que pasa por (0, -0.5).En la solucin del ejemplo 2, la integral de exp(-*2) no es expresable como una funcin elemental. Esto ilustra el hecho de que puede ser necesario dejar en forma de integral inclu so la solucin de un problema muy sencillo. Sin embargo, una expresin integral como la ecuacin (19) puede ser un punto de partida para el clculo numrico de la solucin de un problema con valor inicial. Para un valor fijo de x, la integral de (19) es una integral defini da, y su valor puede obtenerse en forma muy aproximada por la regla de Simpson o algn otro mtodo de integracin numrica. Al repetir la integracin numrica para valores dife rentes de x, es posible elaborar una tabla de valores, o construir una grfica, de la solucin y. Tambin existen otros procedimientos numricos en los que se utiliza la ecuacin dife rencial directamente para calcular valores aproximados de la solucin, para un conjunto dado de valores de x; en el captulo 8 se estudian algunos de estos mtodos. En el caso de la ecuacin (19), tambin sucede que la funcinllamada funcin de error, ya se ha tabulado con amplitud y a menudo se considera como una funcin conocida. Por tanto, en vez de la ecuacin (19) es posible escribir 41. Otras consideraciones acerca de las ecuaciones lineales45A fin de evaluar el segundo miembro de la ecuacin (21) para un valor dado de x es posible consultar una tabla de valores de la funcin de error, o bien, apoyarse en un proce dimiento numrico como se sugiri antes. En principio, trabajar con la funcin de error no es ms difcil que trabajar con la funcin exp(x2). La diferencia ms importante es que muchas calculadoras tienen rutinas integradas para evaluar la funcin exponencial, mien tras que no cuentan con rutinas semejantes para evaluar la funcin de error u otras funcio nes integrales que pudieran presentarse en la resolucin de una ecuacin diferencial. Esta seccin termina con un resumen de algunas de las propiedades ms importantes de las ecuaciones lineales de primer orden y sus soluciones. 1.2.3.Existe una solucin general, que contiene una constante arbitraria, que incluye todas las soluciones de la ecuacin diferencial. Al elegir el valor adecuado para la constante arbitraria es posible seleccionar una solucin particular que satisfaga una condicin inicial dada. Existe una frmula para la solucin; a saber, la ecuacin (3) o la (7). Adems, aunque comprende dos integraciones, la frmula es explcita para la solucin y = 4>(x), en vez de ser una ecuacin que defina (f> . Los puntos posibles de discontinuidad, o singularidades, de la solucin pueden identi ficarse (sin resolver el problema) simplemente al hallar los puntos de discontinuidad de los coeficientes. Por tanto, si los coeficientes son continuos para toda x, entonces la solucin tambin existe y es continua para toda x.Problemas En cada uno de los problemas 1a 4, halle la solucin general de la ecuacin diferencial dada. 1. 2. 3. 4.y' + (l/x)y = senx, x > 0 x 2y' + 3xy = (sen x)/x, x 0En cada uno de los problemas del 5 al 12, determine la solucin del problema con valor inicial dado. Escriba el intervalo en que la solucin es vlida.1 a -hj I Ixy' + 2y = x2 x + 1, y( D = i xy' + y = ex, y(l) = i y' + (cot x)y = 2 esc x, y(n/2) = 1 xy' + 2y senx, y(n) = n 0 y' + (cot x)y = 4 sen x, x(2 + x)y' + 2(1 + x)y = 1 + 3x2, = y(-l)= 1 y' + y = 1/(1 + x2), X2), y(0): 2 = II I X 1 v,15. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.o I I o2.2Cada una de las ecuaciones de los problemas del 13 al 16 tiene por lo menos un coeficiente discontinuo en x = 0. Resuelva cada ecuacin para x > 0 y describa el comportamiento de la solucin cuando x -* 0, para varios valores de la constante de integracin. Trace varios miem bros de la familia de curvas integrales. 42. Ecuaciones diferenciales de primer orden46 13. / + (2x)y = 1/x2 15. / - (l/x)y = x 1/214. y' (l/x)y = x 16. y' + (l/x)y = (eos x)/xEn cada uno de los problemas 17 a 20, determine (sin resolver el problema) un intervalo en el que se tenga la certeza de que la solucin del problema con valor inicial dado no existe. 17. (x - 3)/ + (ln x)y = 2x, 19. (4 - x 2)y' + 2 x y = 3 x 2,y(l) = 2 3) = 1y(18. / + (tan x)y = senx, (ln x ) / + y = cot x ,20.y(7t) = 0 y(2) = 321. Para el problema con valor inicial / - y = 2, y (0) = yQ determine de qu manera el valor , lmite de y cuando x -> oo depende de y0. 22. Aplique la regla de Simpson (o cualquier otro procedimiento de integracin numrica que el lector conozca) para evaluar y a partir de la ecuacin (19) para x = l . Asegrese de que la respuesta es correcta por lo menos hasta tres cifras decimales. 23. a) Demuestre que la solucin de / - 2xy = 1, y (0) = y0 (ver el ejemplo 2) puede escri birse en la formab) Con base en la figura 2.2.2 parece que cuando x -* oo la solucin crece sin lmite en la direccin positiva para algunos valores de y0, y en la direccin negativa para otros valo res de y0. Tambin se sabe que erf(x) -* 1 cuando x -* oo. Aplique este hecho para hallar el valor crtico de y0 que separa las soluciones que crecen positivamente de aquellas que lo hacen negativamente. 24. a) Demuestre que la solucin (3) de la ecuacin lineal general (1) puede escribirse en la forma >' = cy1(x)+y2(x),(i)en donde c es una constante arbitraria. Identificar las funciones y t y y2. b) Demuestre que y 1 es una solucin de la ecuacin diferencial y'+p(x)y = 0,()correspondiente a g(x) = 0. c) Demuestre que y2 es una solucin de la ecuacin lineal completa (1). Despus se ver (por ejemplo, en la seccin 3.6) que las soluciones de las ecuaciones lineales de orden superior tienen un patrn semejante al de la ecuacin (i). 25. Demuestre que si a y A son constantes positivas y b es cualquier nmero real, entonces toda solucin de la ecuacin / + ay = be X x tiene la propiedad de que y -> 0 cuando x - oo. Sugerencia: Considere por separado los casos a = A y a A = . 26. Coeficientes discontinuos. Algunas veces se presentan ecuaciones diferenciales linea les en las que una o las dos funcionesp y g tienen discontinuidades por salto. Si x0 es uno de esos puntos de discontinuidad, entonces es necesario resolver la ecuacin por separa do para x < x0 y para x > xQ Despus, las dos soluciones se acoplan de modo que y sea . continua en x0; esto se logra al hacer una eleccin adecuada de las constantes arbitrarias. Esta situacin se ilustra mediante los dos ejemplos siguientes. Observe en cada caso que tambin es imposible hacer continua / en x0. 43. 2.3Ecuaciones separables47a) Resuelva el problema con valor inicial y'+ 2y = g(x),y( 0) = 0en donde 0 < x < 1,x > 1. b) Resuelva el problema con valor inicial y'+p(x)y = 0,y{0) = 1en donde 0 < x < 1, x > 1.*Ecuaciones de Bernoulli. Algunas veces es posible resolver una ecuacin no lineal al realizar un cambio de la variable dependiente que la convierta en una ecuacin lineal. La clase ms importante de estas ecuaciones es de la forma y'+p(x)y = q(x)yn. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Bernoulli, en honor de Jakob Bernoulli. Los problemas 27 a 31 tratan de las ecuaciones de este tipo. 27. a) Resuelva la ecuacin de Bernoulli cuando n = 0; cuando n = 1. b) Demuestre que si n = 0, entonces la sustitucin v =y1 reduce la ecuacin de Bernoulli ~n a una ecuacin lineal. Este mtodo de resolucin fue descubierto por Leibniz en 1696. En cada uno de los problemas 28 a 31, la ecuacin dada es una de Bernoulli. En cada caso, resulvala aplicando la sustitucin mencionada en el problema 27 b). 28. x 2y' + 2xy - y3 = 0, x> 0 29. y' = r y - ky2, r > 0 y k > 0 . Esta ecuacin es importante en la dinmica de las poblacio nes y se analiza con detalle en la seccin 2.6. 30. y' = e y - a y3, e > 0 y a > 0. Esta ecuacin se presenta en el estudio de la estabilidad del flujo de fluidos. 31. dy/dt = ( r eos t + T)y - y 3, en donde T y T son constantes. Esta ecuacin tambin se presenta en el estudio de la estabilidad del flujo de fluidos.2.3Ecuaciones separablesgEn este estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, j - = fix i y dx(1)a continuacin se tratan las ecuaciones que pueden ser no lineales, es decir, ecuaciones en las que/depende de una manera no lineal de la variable dependiente y. A menudo es conve niente reescribir la ecuacin (1) en la forma 44. Ecuaciones diferenciales de primer orden48M(x, y) + N(x, y ) = 0. dx(2)Siempre es posible hacer lo anterior estableciendo que M{x, y) = -/(x, y) y N(x, y) = 1, pero pueden existir otras maneras. En caso de que M sea una funcin slo de x y N sea una funcin slo de y, entonces (2) queda M ( x ) + N ( y ) ^ - = 0. dx(3)Se dice que una ecuacin de ese tipo es separable, porque si se escribe en la forma diferencial M(x) dx = - N(y) dy,(4)entonces cada miembro de la ecuacin depende solamente de una de las variables.Ejemplo 1Demostrar que la ecuacindxi(5)- y2es separable y, a continuacin, encontrar una ecuacin para sus curvas integrales. Si la ecuacin (5) se escribe como- x 2 + (i- y2) y dx=o,( 6)entonces tiene la forma (3) y, por consiguiente, es separable. En seguida, observe que el primer trmino de la ecuacin (6) es la derivada de -x3/3 y que el segundo trmino, por medio de la regla de la cadena, es la derivada con respecto a x de y - y 3/3. Por tanto, la ecuacin (6) puede escribirse comoPor lo tanto, -x3 + 3y - y 3 = c,(7)en donde c es una constante arbitraria, es una ecuacin para las curvas integrales de la ecuacin (5). En la figura 2.3.1 se muestran el campo direccional y varias curvas integrales. Es posible hallar una ecuacin de la curva integral que pasa por un punto particular (x0, y0) al sustituir x y ypor xQy y0, respectivamente, en la ecuacin (7) y determinar el valor correspondiente de c. 1 Cualquier funcin diferenciable y = >(x) que satisfaga la ecuacin (7) es una solucin de la I ecuacin (5). 45. 2.3Ecuaciones separables49FIGURA 2.3.1 Campo direccional y curvas integrales de y = x 2!{ - y )Para cualquier ecuacin separable es posible seguir en esencia elmismo procedimiento. Si se regresa ala ecuacin (3), sea H l y H 2 funciones cualesquiera tales que H[(x) = M(x),H'iiy) - N(y);(8)entonces (3) queda H(x) + H ( y ) f - = 0. 2 dx(9)Segn la regla de la cadena,( 1 0 )Por consiguiente, (9) se transforma en H(x) + ~ H 2(y) = 0, dx o bien, ^ [ / 1(x) + H 2(y)] = 0.(11)Al integrar la ecuacin (11) se obtiene H 1(x )+ H 2(y) = c,(12)en donde c es una constante arbitraria. Cualquier funcin diferenciable y = >(*) que satis faga la ecuacin (12) es una solucin de la ecuacin (3); en otras palabras, (12) define la 46. Ecuaciones diferenciales de primer orden50solucin implcita, en vez de explcitamente. Las funciones H 1 y H 2 son antiderivadas de M y N, respectivamente. En la prctica, la ecuacin (12) se obtiene casi siempre a partir de (4) al integrar el primer miembro con respecto a x y el segundo con respecto a y. Si, adems de la ecuacin diferencial, se prescribe una condicin inicial(1 ) 3 entonces la solucin de (3) que satisface esta condicin se obtiene al hacer x = xQ y y = y 0 en la (12). Con lo anterior se obtiene c = H l(x0) +H2(y0).(14)Al sustituir este valor de c en (12) y al observar que H ^ x ) - H f x o) =P M(t) dt,JxoH 2(y) - H 2(y0) =P N(t) dt,Jyose obtiene P M(t) dt + P N{t) dt = 0. Jxo Jyo(15)La ecuacin (15) es una representacin implcita de la solucin de la ecuacin diferencial (3) que tambin satisface la condicin inicial (13). Es necesario tener presente que la deter minacin de una frmula explcita para la solucin requiere que en (15) se despeje y como una funcin de x; esto puede presentar enormes dificultades.Ejemplo 2Resolver el problema con valor inicial dy3x2 + 4x + 2dx2(y -y(0) = 1.(16)1)La ecuacin diferencial puede escribirse como 2(y - 1) dy = (3x2 + 4x + 2) dx. Al integrar el primer miembro con respecto a y y el segundo con respecto a x da y2 - 2y = x3 + 2x2 + 2x + x,(17)en donde c es una constante arbitraria. Para determinar la solucin que satisface la condicin inicial prescrita, en la ecuacin (17) se sustituyen x = 0 y y = -1, con lo que se obtiene c = 3. Por tanto, la solucin del problema con valor inicial est dada implcitamente por y 2 - 2 y = x2 + 2x2 + 2x + 3.(18)A fin de obtener la solucin de manera explcita, es necesario despejar y en la ecuacin (18), en trminos de x. En este caso, es fcil, ya que la ecuacin (18) es cuadrtica en y, por lo que se obtiene y -1 v x 3 + 2 x 2 + 2x + 4.(19)La ecuacin (19) da dos soluciones de la ecuacin diferencia, sin embargo, slo una de ellas satisface la condicin inicial dada. sta es la solucin correspondiente al signo negativo en (19), de modo que por ltimo se obtiene 47. 2.3Ecuaciones separables51y = (>(x) = 1 - V * 3 + 2 x 2 + 2 x + 4(20)como la solucin del problema con valor inicial (16). Observe que si por error se elige el signo positivo en (19), entonces se obtiene la solucin de la misma ecuacin diferencial que satisface la condicin inicial y (0) = 3. Finalm