Ecuaciones Diferenciales Unidad 1 ED de primer orden

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M.C. ngel Len Rubio

Aplicacin 06 ELECTRICIDAD Segunda Ley de Kirchoff y ley de Ohm _

La segunda ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de cadas de potencial en un circuito cerrado debe ser igual a cero.

La ley de Ohm establece que el voltaje V en una resistencia R es directamente proporcional a la corriente I que fluye a travs de el

V IR= De lo cual se desprende que el voltaje en un inductor es proporcional a la variacin en la corriente que fluye a travs de l, es decir

L

diV L

dt=

De esta forma, siguiendo la segunda ley de Kirchoff

diL Ri V

dt+ =

Que representa la ecuacin diferencial de un circuito RL en serie. EJEMPLO 41 En un circuito RL formado por un inductor de 2 Henrios y una resistencia de 6 , se conecta una fuente de 50senV t= volts. Determine: la ecuacin de la corriente en cualquier instante de tiempo. De la segunda ley de Kirchof

2 6 50sendi

i tdt

+ =

Que es una ecuacin diferencial lineal, para la cual su factor integrante es

( ) 6 6dt tt e e = =

V

L

R

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Entonces

6 650 sent td

e i e tdt

=

Integrando ambos lados

6 650 sent te i e tdt= La cual es una integral cclica, resolvindola

6 6

6 61 16 6

6 6 61 1sen cos6 6

cos sen

6 6 6 61 1 1 16 6 6 6

6 6 6 61 1 16 36 36

sen sen cos

sen cos sen

sen cos se

t t

t t

t t tu t u tdv e dt dv e dtdu tdt du tdtv e v e

t t t t

t t t t

e tdt e t e tdt

e tdt e sent e t e tdt

e tdt e sent e t e

= == == == =

=

= + =

6 6 6 61 1 1

36 6 36

6 6 637 1 136 6 36

6 6 66 137 37

n

sen sen cos

sen cos

sen cos

t t t t

t t t

t t t

tdt

e tdt e tdt e sent e t

e tdt e sent e t

e tdt e sent e t

+ =

=

=

Por lo tanto,

( )6 6 66 137 376 6 6300 50

37 37

50 cos

cos

t t t

t t t

e i e sent e t

e i e sent e t

=

=

Despejando a ( )i t

300 5037 37 cosi sent t=

Que representa la ecuacin de la corriente en cualquier instante de tiempo t