ECUACIONES DIFERENCIALES

0UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERACONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100412 Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONESDIFERENCIALES


UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

PROGRAMA CIENCIAS BSICAS

100412 ECUACIONES DIFERENCIALESCARLOS IVAN BUCHELI CHAVES

(Director Nacional)

RICARDO GOMEZ NARVAEZ(Acreditador)

San Juan de Pasto, Julio 2010


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente mdulo fue diseado en el ao 2009 por Carlos Ivn Bucheli Chavesdocente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor esfsico-matemtico, especialista en docencia universitaria, magster en enseanzaproblemita y otros. Se ha desempeado como tutor de la UNAD desde 2001 hastala fecha y ha sido catedrtico de diversidad Universidades de Pasto.

El presente mdulo ha tenido 4 actualizaciones y se han realizado por su autorCarlos Ivn Bucheli Chaves.

El material ha sido revisado por la direccin de la Escuela de Ciencias bsicas,Tecnologa e Ingeniera: Jorge Elicer Rondon y por su acreditador: RicardoGmez Narvez, los cuales han aportado para la calidad de este material.


INTRODUCCIN

El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temticas conmayor grado de importancia en el desarrollo de la educacin superior ya que estase considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en elrea de la ingeniera. La estrategia para comprender esta rama de lamatemtica, implica inters, dedicacin compromiso y sobre todo responsabilidad.

La enseanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una granevolucin, tanto en trminos pedaggicos como el contenido. Lo que una vez sepudo considerar como una coleccin de mtodos, ha avanzado sustancialmentecon el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que unreconocido matemtico ha denominado conceptualizacin, exploracin ysolucin de problemas de dificultad superior.

El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambiosestructurales con el nico objetivo de consolidar un material prctico para elestudiante, este le permitir instruirse con mayor facilidad y as obtener unmayor rendimiento acadmico.

El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje deecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quierenotros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se haceun desarrollo ms o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentesecuaciones a tratar.

En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar lasdefiniciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, as mismosencontrar ejemplos prcticos por cada tema a tratar como tambin ejercicios pararesolver. Una caracterstica particular del modulo es la presentacin resumidade los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual


INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.1.1. Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales.1.1.2. Conceptualizacin de una ecuacin diferencial.1.1.3. Resolucin de una ecuacin diferencial.1.1.4. Clasificacin de las ecuaciones diferenciales.1.1.5. Ejercicios propuestos.

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.2.1. Ecuaciones con variables separables.1.2.2. Ecuaciones Homogneas.1.2.3. Ecuaciones exactas.1.2.4. El factor integrante.1.2.5. Ejercicios Propuestos.

1.3. CAMPOS DE APLICACIN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.3.1. Trayectorias Ortogonales.1.3.2. Los campos de fuerza. Una aplicacin de las Ecuaciones diferenciales.1.3.3. Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales.1.3.4. Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.1.3.5. Ejercicios Propuestos.

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DEORDEN SUPERIOR

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.


2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y mtodos de solucin.2.1.2. La Solucin General de una ecuacin diferencial como Combinacin Lineal de Soluciones Linealmente Independientes.2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas y no homogneas con coeficientes Constantes.2.1.4. Operador para la solucin de ecuaciones diferenciales.2.1.5. Ejercicios Propuestos.

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.2.2.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes.2.2.3. Ecuacin diferencial de orden superior homognea y no homognea con coeficientes constantes.2.2.4. Mtodos generales de solucin de las ecuaciones diferenciales de orden superior.2.2.5. Ejercicios propuestos.

2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

2.3.1. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden2.3.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior2.3.3. Ecuaciones diferenciales de Euler.2.3.4. Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel .2.3.5. Ejercicios Propuestos.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES.

3.1.1. Definicin de serie matemtica.3.1.2. Clasificacin de las series matemticas.3.1.3. Tcnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemticas.3.1.4. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuacin diferencial.3.1.5. Ejercicios Propuestos.


3.2. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS.

3.2.1. Estudio de Series De Potencias.3.2.2. Propiedades y Convergencia de las series de potencias.3.2.3. Solucin de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias.3.2.4. Solucin de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias.3.2.5. Ejercicios Propuestos.

3.3. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS.

3.3.1. Funciones analticas.3.3.2. Series De Taylor.3.3.3. Solucin de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor.3.3.4. Series de MacLaurn.3.3.5. Ejercicios Propuestos.

AUTOEVALUACION DEL CURSO


LISTADO DE TABLAS

Pag.

Tabla 1 ... 40

Tabla 2 . 41


LISTADO DE GRFICOS

Pag.

1) Grfica 1 16

2) Grfica 2 46

3) Grfica 3 55

4) Grfica 4 ..... 55

5) Grfica 5 . 56

6) Grfica 6 ...56

7) Grfica 7 ..105

8) Grfica 8 .106


UNIDAD 1

Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENIntroduccin Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una

ecuacin de la forma ( , , ') 0F x y y = En la que aparecenuna variable independiente, una variable dependiente yuna primera derivada. La razn por la cual a lasecuaciones de este tipo se les dice ecuacionesdiferenciales ordinarias1En esta unidad trataremos los siguientes aspectos demucha Importancia en la ingeniera y sus diferentesproyecciones a la solucin de problemas as: estudio delas ecuaciones diferenciales de primer orden,clasificacin, tipo, orden, linealidad y mtodos de solucinpara las ecuaciones de variables separadas yhomogneas. Donde los tipos de ecuaciones diferencialesa trabajar principalmente son las exactas y las lineales,veremos sus caractersticas, su modo de identificacin yla manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos,ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad.

Justificacin Las ecuaciones diferenciales, de primer orden,constituyen uno de los ms importantes instrumentostericos y a su vez herramienta para la praxis y asinterpretar y modelar fenmenos cientficos y tcnicos dela mayor variedad. Son por eso de especial importanciaprctica y terica para los ingenieros de cualquier rama.El rea de los sistemas ha penetrado prcticamente entodas las reas de la tecnologa, porque permite abordar ymanejar sistemticamente aspectos de optimizacin ylogro de comportamientos deseados. El rea de lossistemas es transversal y genrica. Transversal poraplicarse a varias reas de conocimiento: sistemasmecnicos, elctricos, de procesos, humanos,econmicos entre otras reas, por eso se encuentra todognero de investigadores: ingenieros de todas lasdisciplinas, economistas, fsicos, matemticos entre otros.

IntencionalidadesFormativas

Reconoce y distingue una ecuacin diferencial de primerorden. Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con sutipo, orden y linealidad.

1 es.wikibooks.org/ecuacionesdiferenciales

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERACONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100412 Ecuaciones Diferenciales

Reconoce la diferencia entre una solucin particular yuna solucin general de la ecuacin diferencial. Define campo de direcciones correspondientes a laecuacin diferencial de primer orden. Identifica ecuaciones diferenciales de variablesseparadas y homogneas. Emplea el mtodo de separacin de variables pararesolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Resuelve correctamente ecuaciones diferencialeshomogneas. Reconoce una ecuacin diferencial exacta y lasresuelve. Encuentra el factor integrante para una ecuacindiferencial lineal. Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuacionesdiferenciales de Bernoulli. Realiza sustituciones adecuadas para poder resolverecuaciones diferenciales con tipos ya conocidosempleando sustituciones. El estudiante plantea problemas correctamenteempleando la modelacin con ecuaciones diferenciales deprimer orden. Por ultimo, resuelve correctamente ecuacionesdiferenciales lineales y cuantifica la importancia de lamodelacin matemtica con ecuaciones diferenciales enla solucin de problemas cientficos.

Denominacin decaptulos

1.1. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES.1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEPRIMER ORDEN.1.3. CAMPOS DE APLICACIN DE LAS ECUACIONESLINEALES DE PRIMER ORDEN.

CAPITULO 1: INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Introduccin

Dejaremos de lado las funciones de dos o ms variables y comenzaremos con elestudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y as encontraras algunasdefiniciones importantes que nos permitirn el estudio de diferentes tipos ymtodos de solucin a la ecuacin para luego ubicarlas en el fascinante mundo delas matemticas como herramienta de aplicacin a nivel socioeconmico ycientfico.

11


Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, lasmismas estn orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuacionesdiferenciales, su estructura y aspectos bsicos.

Leccin 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuacionesdiferenciales.

Ver modulo de Calculo diferencial y calculo integralUnad 2010.

Leccin 2: Conceptualizacin de una ecuacin diferencial

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que contiene derivadas de una o msvariables dependientes con respecto a las variables independientes. Son ejemplosde ecuaciones diferenciales las siguientes:

( ) ( ) 7 0f x f x x+ - =

3y x =

c o s ( ) 0y x - =

3 2y y x - = +

5 0yxx

dd + =

2

2 2 3 0d y d y yd x d x

+ + =

2

2 2d y xdx

=

2

2 0d y yd x

+ =

23

2 (1 )d y dydx dx

= +

12


5 3

4 3 6u u

x x - =

En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definicin deecuacin diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinariasy parciales), adems en los ejemplos se observan diferentes notaciones dederivada como lo hemos aprendido en el clculo diferencial. En resumen podemosdecir que una ecuacin que tiene derivadas se llama ecuacin diferencial.

A travs de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrs la oportunidad deverificar la comprensin del material en el cual las ecuaciones diferencialesparciales son muy importantes y tiles; sin embargo su manejo requiere delconocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Leccin 3: Resolucin de una ecuacin diferencial

Una funcin ( )y f x= se dice que es una solucin de una ecuacin diferencialsi al sustituir y sus derivadas en la ecuacin la reduce a una identidad. Por

ejemplo, derivando y sustituyendo es fcil comprobar que2xy e-= es una

solucin de la ecuacin diferencial:

Se puede demostrar que toda solucin de esta ecuacin diferencial es de la forma-2xy Ce= , solucin general.

Donde C denota cualquier nmero real.

Derivando la ecuacin -2xy Ce= derivando -2xy 2 Ce= -Reemplazando en la ecuacin diferencial la funcin y su respectiva derivada,efectivamente existe una identidad 2x 2x2 Ce 2 Ce- -- = -

2 0d y yd x

+ =

13


Ejemplo:Averiguar si las funciones dadas son solucin de la ecuacin diferencial:

a)

b) 2xy e=

c) xy 4e-=

d) xy Ce=

Averigemos:

a) Como:

2

2 2 0d y y sen x sen x sen xdx

- =- = -

Por tanto, ( )y sen x= no es solucin.

b) Como2xy e=

2

2 0d y yd x

- =

( )y sen x=

c o s ( )d y xd x

=

2

2 ( )d y sen xdx

= -

dydx

=

2

2

d ydx

=22

d ydx

d yd x

y senx=

22 xe

24 xe2 2 2 4 3 0x x xy e e e- = =

14


Por tanto, y = e2x no es solucin.

c) Como 4 xy e-=

= - y = 4e-x 4e-x = 0

Por tanto, 4 xy e-= es solucin.

d) Como xy Ce=

Por tanto, xy Ce= es solucin.Ejemplo: Solucin particular

Para la ecuacin diferencial verificar que 3y Cx= essolucin y hallar la solucin particular determinada por la condicin inicialy 2= cuando x 3= - .Solucin:

Sabemos que 3y Cx= es una solucin, ya que 2 3Cx= , as que:

dydx

=

2

2

d ydx

=

3 0d yx yd x

- =

d yd x

2

2

d ydx

2

2 4xd y e

dx-=

2

2

d ydx

xCe

xCe

0x xy Ce Ce- = =

15


Adems, la condicin inicial y 2= cuando x 3= - implica que la Solucingeneral es

3y Cx= y remplazando la condicin inicial se tiene:( )32 C 3= - por tanto

Luego concluimos que la solucin particular es:

Para determinar una solucin particular, el nmero de condiciones inciales hade coincidir con el de constantes arbitrarias en la solucin general.Recordemos que la solucin de una ecuacin diferencial no es una sola funcin,sino todo un conjunto de funciones (famila de soluciones).

Ejemplo:4

4yy c= + es la solucin general de 3 0dy xdx - =

Derivando y Tenemos:3dy x

dx= al sustituir en la ecuacin diferencial, la convierte

en una identidad 3 3x x=INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION

DIFERENCIAL

Geomtricamente, la solucin general de una ecuacin diferencial de primer ordenrepresenta una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valorasignado a la constante arbitraria C.

( ) ( )2 33 x 3 Cx 3 Cx 0dyx ydx - = =

3227xy = -

227

c = -

16


El trmino condiciones inciales proviene de que, con frecuencia, en problemasdonde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o dealguna de sus derivadas en el instante inicial t 0= .El problema de valor inicial implica hallar la solucin de una ecuacin diferencial

sujeta a una condicin inicial ( )Y Xo Yo= , y es el punto de partida paraencontrar la familia de curvas.

Cabe aclarar que la solucin del problema de valor inicial no es una familia decurvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones.

Ejemplo:

Al resolver la ecuacin diferencial 2dy xdx

= es fcil observar que la solucin general

es 2y x c= + generando una familia de curvas (familia de parbolas) y al dar unacondicin inicial se obtiene de esa familia de curvas una nica curva, por ejemplocon la condicin inicial ( )y 2 5= tenemos que C 1= por tanto la curva es

2 1y x= + (veamos la grfica demostrativa):

Grafica 1

Grafica del programa derive y Editor Matemtico MathtypeFuente: Esta investigacinAutor: Carlos Buchely

Leccin 4: Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

Ver link ovas Texto. http://www.caribu.byethost8.com/

Grfica de color rojo es la nicacurva que satisface las condicionesinciales y las otras curvaspertenecen a la familia de curvassolucin.

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Leccin 5: Ejercicios propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje espara toda la vida y el proceso de aprender tambin debe llevarse a cabo durantetodo el tiempo que vivamos, adems que cada individuo elabora y construye suaprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a susvivencias.

A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden:

1)

Sol. Ordinaria y de primer orden

2)

Sol. Ordinaria y de segundo orden

3)

Sol. Ordinaria y de segundo orden

4)

Sol. Parcial y de segundo orden.

23d y x y xd x

+ =

2

2 2 1d y d y yd x d x

+ + =

2

2 4td x d y x e

d t d t+ - =

2

2 s e c ( )u d u t

t d t + =

18


5)

Sol. Ordinaria y de segundo orden.

B. Verificar que la funcin dada es solucin de la ecuacin diferencial.

1. 1 2y C cos x C sen x= + ,

2. 1 2x xy C e cos x C e senx- -= + ,

3.tu e sen bx= ,

C. Hallar la solucin particular que pasa por el punto (-4,4)

2 3y Cx= ,

Miscelnea de ejercicios

1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y lalinealidad.

2

2

4 0

2 0

8 8 0

y y yy y

d y d yxd x d x

y y y y

+ - = =

+ =

- + - =

2. Verifique que la funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial.

22

2( ) 3 ( ) 4 0d y d y yd x d x

+ - =

2

2

d y y od x

+ =

2

2 2 2 0d y d y yd x d x

+ + =

22

2

u ubt t

=

2 x ( ) 3 0d y yd x

- =

19


22

3

4 32; 8

12 0;

( ) ; 1

dy y ydx

x dy xydx yx

dy dyx y y xdx dx

+ = =

+ = = -

+ = = +

3. verifique la solucin de la ecuacin diferencial 1d y xd x x y

+=

Donde su solucin es 2 2(ln( ) )y x x c= + + (como x 0> , no se necesitade valor absoluto).- Grafique la familia de curvas o familia solucin.- Encuentre una solucin particular cuando ( )y 1 4=

5 x 4 = 202 x 8 = 16

Algunos casos importantes de Derivadasn

n - 1

a . y = x y = n x

b . y = c y = o

s nc o s

n

n

e

- 1

c . y = c x y = n c x

d . y = x y = x

20


c o ss ne

ee

x

x

e . y = x y = x

f . y = y =

1

g

g . y = l n x

y =x

h . y = f x g x y = f x x

2

0

g g

g g

g

g g

g g

i . y = f x g x y = f x x + f x x

f xj . y = g xg xf x x - f x x y =

[ g x ]

Algunos casos importantes de Integrales - Capitulo 1

21


1

2

.

. 11

. 0

. 0

c o s. s n 0

.

1. s n1

. s e c t a n

. c o s

. c s c

nn

a d x

b d x c nnec e d x c n

nad a d x c a

L o g aK xe e K x d x c K

Kd xf cx

g e x c

h x d x x cs e n K xi K x d x c

Kj x d x c

-

+ -+

+

+ >

- +

+

+ - +

+

+

-1

n xn x

xx

2

2

= x + cxx =

=

=

=

= L n x

=x

=

=

= - c t g x

CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Introduccin

En este aparte daremos a conocer tcnicas para resolver ecuaciones diferencialesordinarias. Como lo es la solucin de ecuaciones por el mtodo de separacin devariables, solucin de ecuaciones diferenciales homogneas, solucin deecuaciones exactas y utilizacin del factor integrante. Entonces se da a conocerlos procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje.

22


Una ecuacin de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma:

( ) ( )M d, y dx N x, y 0+ =Siendo M y N funciones de X e Y

( ) ( )M x, y dx N x, y dy K + =Siendo una solucin de la ecuacin.

Leccin 1: Ecuaciones con variables separables

En este aparte comenzamos estudiando tcnicas para resolver familiasespecficas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Como una ecuacin diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma:

Donde M es una funcin continua de x solamente, y N una funcin continua de ysolamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los trminos en x se pueden unircon dx y todos los trminos en y con dy, y se obtiene una solucin por integracin.El procedimiento de resolucin se denomina separacin de variables. Los pasosnecesarios son los siguientes:

1. Expresar la ecuacin en forma diferencial:

( ) ( ) 0d yM x N yd x

+ =

23


De la siguiente ecuacin:( ) ( )M x dx N y dy 0+ =

Despejando obtenemos:

( ) ( )M x dx N y dy= -2. Integrar para obtener la solucin general:

Despejando obtenemos:

Ejemplos de separacin:

ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES

EJEMPLO

Hallar la solucin general de:

Solucin: Para empezar, observamos que y = 0 es una solucin. Con el fin dehallar otras soluciones, supongamos y 0 y separamos las variables as:

( )2x 4 dy xy dx+ = Forma diferencial

( ) ( )M x d x N y d y C+ =

( ) ( )M x d x N y d y C= - +

2 3 0d yx yd x

+ = 23 y d y x d x= -

( ) c o sd ys e n x xd x

= ( t a n )d y x d x=

21y

d yxd x

e=

+

1 21y

d y d xe x

=+

2( 4 ) d yx x yd x

+ =

24


Separar variables

Integrando, obtenemos:

2 4dy x dxy x

=+

Integrar

Como y 0= tambin es solucin, podemos escribir la solucin general como:

Solucin general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solucin general en laforma explicita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivacin explicita paraverificar dicha solucin.

Ejemplo:2 2( 1) 0xxydx e y dy+ - = Donde y es diferente de 0

Donde la solucin general es2 2 2ln 2xe y y c+ - = .

Ejemplo

Por el mtodo de separacin de variables encuentre la solucin general de laecuacin diferencial y encuentre su solucin particular.

2 2y y + = Con la condicin 1/ 2y = si 4x =Solucin:

2 4d y x d x

y x=

+

21

1 ( 4 )2

L n y L n x C= + +

1 2 4Cy e x= +

1 2 4Cy e x= +

2 4y C x= +

25


Por tanto por separacin de variables

2 2dy ydx

= - Entonces 2 2dy dx

y=- integrando 2 2

dy dxy=- se tiene:

2 2ln2

y x c- = + Remplazando la condicin inicial 4c = - por tanto la solucin

particular es2 2ln 4

2y x- = - (solucin implcita).

Ejemplo

Hallar la ecuacin de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente 2yx

Solucin: como la interpretacin geomtrica de la derivada es la pendiente de la

curva entonces 2dy ydx x

=

Separando variables e integrando se llega a

2

dy dxy x

= 0y Entonces 1ln y cx= - + donde(1/ ) 1/x c xy e ce- + -= =

como 6 2y y x= = 1/26 ce-= 1/2 6C e= por tanto la curva

que se pide es1/2 1/6. xy e e-= simplificando (1/2 1/ )6. xy e -=

26


Al trabajar con las constantes en el mtodo de separacin de variables dichaconstante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tantoutilizamos una sola constante C.

Leccin 2: Ecuaciones HomogneasUna funcin ( ), ,f x y es homognea de grado n si para un nmero real n satisfacela siguiente identidad:

( , ) ( , )nf tx ty t f x y=

Veamos con ejemplos si la funcin es homognea o no.

a) ( ) 2 3 2f x, y x y 4 x 3xy= - + es una funcin homognea de grado 3 porque:

( ),f tx ty = ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 2 4 3tx ty tx tx ty- +

= ( ) ( ) ( )3 2 3 3 3 2 4 3t x y t x t xy- + = ( )3 2 3 2 4 3t x y x xy- +

= ( )3 ,t f x y

b) ( ) ( )x/yf x, y xe y sen y / x= + es una funcin homognea de grado 1 porque:/( , ) x y t yf t x ty tx e ty s e n

tx= +

/( )x y yt x e y s e nx

= +

27


c) ( ), = + 2x y x y no es homognea porque( ), = + 2 2f tx ty tx t y

( ) ( )+ +2 n 2t x ty t x y

d) 2( , ) 2f x y x xy= + Es homognea de grado

2

2 2

( , ) ( ) 2 ( )( )( , ) ( 2 )

f tx ty tx tx tyf tx ty t x xy

= += +

e) 3 3( , ) 5f x y x y xy= - + No es homognea (verificar)

En una mayora de casos se puede verificar si una funcin es homognea siobservas el grado de cada trmino de la funcin. Como ejemplo a lo anteriorveamos ejemplos:

2 2 3( , )f x y x y y x y= + + El grado de los 3 trminos es 3 por tanto eshomognea de grado 3

5( , ) 12f x y x xy= + Esta funcin tiene dos trminos de grado 5 y 2respectivamente por tanto no es homognea.

Ahora veamos si una ecuacin diferencial es homogneas.

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS:

Si la ecuacin diferencial tiene la forma:

( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y+ =

Y cumple con la propiedad:

( , )tf x y=

28


( , ) ( , )

( , ) ( , )

n

n

M tx ty t M x yyN tx ty t N x y

=

=

Se dice que la ecuacin diferencial es homognea siempre y cuando tienen elmismo grado n.

MTODO DE SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA

Si la ecuacin diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se puedenreducir a una ecuacin de separacin de variables utilizando una sustituciny ux= o ,x vy= Donde u y v son variables dependientes.

Si elegimos y ux= entonces

( , ) ( , ) [ ] 0d y u d x x d uM x u x d x N x u x u d x x d u

= ++ + =

Por homogeneidad del mismo grado

[ (1, ) (1, ) (1, ) 0M u u N u d x x N u d u+ + =

Y por tanto por homogeneidad la ecuacin se transforma a variables separadasy procedemos a resolverla con los procedimientos para separacin devariables, explicado con anterioridad en el modulo.

Veamos lo anterior con ejemplos:

Ejemplo:

29


Resolver la ecuacin:

Solucin:

Aqu 2M y= y 2N x x y= - . Ambas son homogneas y de segundo gradoX y Y . Adems tenemos.

Haciendo la sustitucin y ux= , se obtiene:

O sea

A fin de de separar las variables, dividimos por ux, esto da:

Integrando se tiene:

Pero Luego la solucin general es:

2 2( ) 0y d x x x y d y+ - =

2 2 dy dyy x xydx dx

+ =

2

2

d y yd x x y x

=-

2

1d u ux ud x u

-+ = -(1 ) 0u d x x u d u+ - =

(1 ) 0d u u d ux u

-+ =

,c u c uu

L n x L n u u CL n u x C uu x e e eu x C e

+

+ - == +

= ==yux

=

/y xy C e=

30


El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre loque se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidacin, as comodarse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos.

Ecuaciones Homogneas.

Son de la forma

.yy fx

=

Se hace el cambio de la funcin y(x) por u(x) mediante y=ux, transformndose asla E.D. en una de variables separadas.

Ejemplo: resolver la ecuacin2 3 3dyxy y x

dx= -

La ecuacin la escribimos 2 3 3( ) 0x y d y y x d x- - =

Como es una ecuacin diferencial homognea de grado 3 sustituimos Y ux= por

tanto 2 3 3( ) ( ) (( ) ) 0dy udx xdux ux udx xdu ux x dx

= ++ - - =

Haciendo distribucin y reduciendo la ecuacin se tiene:

2 4 3u x d u x d x= Como 2 10 ,x u d u d xx =

31


Integrando 3 3ln 3y x c= + reemplazando la sustitucin Y ux= entoncesu y / x= obtenemos 3 3 33 ln 3y x x cx= +

Ejemplo: Comprueba que la ecuacin diferencial

( ) 0x y dx xdy- + =es homognea de grado 1 y al resolver la ecuacin su

resultado es lnx x y cx= +

Leccin 3: Ecuaciones exactas

Si en la ecuacin diferencial de la forma ( ) ( )M x, y dx N x, y dy 0+ =El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna funcin ( ),f x y laecuacin diferencial es exacta.

Criterio de exactitud

Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuacin diferencial

( ) ( )M x, y dx N x, y dy 0+ = es exacta si y solamente si:

Ejemplos de comprobacin para exactitud.

a) La ecuacin diferencial:

( )2 2xy x dx yx dy 0+ + =

M Ny x

=

32


Es exacta porque:

( ) ( )2 2 xy x 2xy yxy x + = =

b) la ecuacin2( 1) 0y dx xydy+ + = no es exacta.

c) la ecuacin cos ( )2y dx y xsen y dy 0+ + = no es exacta, a pesar de quedifiere de la primera ecuacin solamente en un signo.

En algunos casos se ve que una ecuacin es exacta despus de una agrupacinadecuada de sus trminos. La ecuacin as ordenada se puede integrar trmino atrmino.

Ejemplo:

Es exacta porque:

Ejemplo:

La ecuacin es exacta.

Ejemplo:

2M N x yy x

= =

2 2( ) ( ) 0x y d x y x d y- + - =

2 2( ) 1 ( )M Nx y y xy y x x

= - = - = - =

3 4 2 2

3 2

( 4 2 ) ( 3 ) 0

1 2 2

x x y d x x y x d yM Nx y xy x

- + - = = - =

3 3

3

( 3 2 ) 0

3

x x

x

e y x d x e d y

M Ney x

- + =

= =

33


Ejemplo:

La ecuacin tambin es exacta.

Solucin de una ecuacin diferencial exacta

El mtodo de solucin de la ecuacin diferencial exacta es el siguiente:

1. Verificamos que la ecuacin diferencial sea exactaM Ny x

=

2. Suponemos que existe una funcin f tal que

( , )f M x yx

=

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a x ymantenemos constante y:

( , ) ( , ) ( )f x y M x y dx g y= + Donde ( )g y es la constante de integracin.

( c o s c o s ) ( ) 0

c o s

y y x d x s e n x x s e n y d y

M Ns e n y xy x

+ + - =

= - + =

34


4. Ahora derivamos ( ),f x y con respecto a y por tanto se debe obtener ( ), .N x y

( ( , ) ( ))

( ) ( , ) ( , )

f M x y dx g yy y

g y N x y M x y dxy

= +

= -

Donde

5. Ahora integrando esta ltima ecuacin obtenemos respecto a y obtenemos( ).g y

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la funcin a encontrar( ),f x y .

Ejemplo: Hallar la solucin de la siguiente ecuacin diferencial

( ) ( )2 22xy 3x dx x 2y dy 0+ =Solucin: La ecuacin diferencial dada es exacta, ya que:

( ) ( )2 2 2xy 3x 2x x 2yy x - = =

Podemos obtener la solucin general ( ),f x y como sigue:

2( , ) ( , ) ( 2 3 )f x y M x y d x x d x= = -

My

Nx

2 3( , ) ( )f x y x y x g y= - +

35


Determinamos ( )g y integrando ( )N x, y con respecto a y e igualando las dosexpresiones de ( )f x, y .

Ejemplo: Resolver la ecuacin2

2

2 0x xdx dyy y

- =

Verificando las derivadas 22M N x

y x y = = -

Suponemos 2f xx y

= integrando respecto a x tenemos:

2

( , ) ( )xf x y g yy

= + Ahora derivamos respecto a y se tiene:

2

2 ( )f x g yx y

= - + Igualando a( )N x, y

2 2

2 2 ( )x x g yy y

- = - +

Entonces ( ) 0g y = por lo tanto ( )g y c= donde c es una constante arbitraria.

Reemplazando2

( , ) xf x y cy

= + esta es la funcin solucin.

Leccin 4: El factor integrante

Cuando una ecuacin diferencial no es exacta se puede convertir en exacta,

multiplicando por un factor apropiado ( ), ,u x y llamado factor integrante de laecuacin diferencial. Por ejemplo, si la ecuacin diferencial

2 21

( ) ( , )

( ) 2

g y N x y d y

g y x y d y y C

=

= - = - +

2 3 21( , )f x y x y x y C= - - +

36


2 0y dx x dy+ = Ecuacin no exacta

Es multiplicada por el factor integrante ( ), ,u x y x= la ecuacin resultante22 0xy dx x dy+ = Es una ecuacin exacta

Otro ejemplo: si la ecuacin 0y dx x dy = Ecuacin no exacta

Si al multiplicarla por el factor integrante ( ),u x y = , la ecuacinresultante:

Es una ecuacin exacta.

Y luego se resuelve la ecuacin de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahoracuando se presenta una ecuacin diferencial exacta es necesario encontrar elfactor integrante. Cmo encontrarlo?

Si ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = no es exacta entonces, se buscar unfactor integrante:

2

1y

2

1 0xd x d yy y

- =

) ( )

M Ny xa s i f x

N

- =

( )f x d xe

37


Funcin solo de x, entonces es un factor integrante de laecuacin diferencial.

b)

Funcin de solo de y, entonces es un factor integrante de laecuacin diferencial.

Ejemplo

La ecuacin no es exacta.

Sin embargo,

Luego:

Es un factor

Integrante, al reemplazarlo en la ecuacin diferencial inicial la ecuacin es exacta.

( )

M Ny xs i g y

M

- = -

( )g y d ye

3 2 2 2(2 2 ) ( 3 ) 0y y y yxy e xy y dx x y e x y x dy+ + + - - =

3 4 28 2 6 1y yM x y e x y e x yy

= + + +

4 22 2 3yN xy e xyx

= - -

3 28 8 4yM N xy e xyy x

- = + +

4 ( )

M Ny x g y

M y

- = = -

4( ) 44

1dyg y dy Lnydxe e ey

- - = = =

38


EJEMPLO

La ecuacin es exacta.

El factor integrante es

Si se introduce en la ecuacin se convierte en:

Luego la ecuacin diferencial es exacta.

Ejemplo 3

( )2 2 0y x dx y dy+ =Solucin: La ecuacin no es exacta, ya que ( ) ( ), 2 , 0x xM x y y y N x y= =

22 4

3 2 4(2 2 ) ( 3 ) 0y dy x x xxe dx x e dy

dx y y y+ + + - - =

3 2 2 2 4 3 2(2 4 2 2 ) 2( ) 0x y x y xy xy y dx y x y x dy+ + + + + + + =

3 2 34 4 4 4 2M x y x xy xyy

= + + + +

2 ( 2 1 )N x yx

= +

2

M Ny x x y

N

- =

22xdx xe e =

2 23 2 2 2 4 3 2(2 4 2 2 ) 2( ) 0x xx y x y xy xy y e dx y x y x e dy+ + + + + + + =

( ) 2MM y y x yy

- =

39


Sin embargo como:

( , ) ( , ) 2 0 1 ( )( , ) 2

y xM x y N x y y h xN x y y

- -= = =

xe Es un factor integrante. Multiplicando la ecuacin diferencial dada porxe , obtenemos la ecuacin exacta:

( )2 x x xy e x e dx 2y e dy 0+ =

Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el mtodo deecuaciones diferenciales exactas.

Leccin 5: Ejercicios Propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje espara toda la vida y el proceso de aprender tambin debe llevarse a cabo durantetodo el tiempo que vivamos, adems que cada individuo elabora y construye su

( 2 ) 0N yx

=

40


aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a susvivencias.

1. De a cuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que sepiden:

1)2 2 2

2 2 2 2 0u u u u

x y x y

+ + + = 2)6 4 3

6 4 3d x d x d x x tdt dt dt

+ + =

3) ( ) x y x y x+ + - - =2 4 2 0 4) 1223

+=

dsrd

dsdr

5) 22

dtyd ( )t y+ =sen 0 6) 2

2

dtyd ( )y t+ =sen 0

7) 2 xdy x y xedx

+ = 8) x dy y dx+ =2 2 0

Ecuacin

Ordinariao Parcial

Orden Funcinincgnita

Variablesindependientes

12 Ordinaria 6 x(t) t345678

Tabla 1

2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde tambin a lo siguienteEcuacin

LinealSI oNO?

Trminos NOlineales

Justificacin de la NO linealidad

2 NO ( )( ) x xiv Los coeficientes de la cuarta y de latercera derivada dependen de lavariable dependiente

35678

41


Ecuacin Estn en forma estndarSI o NO?(si NO lo estn ponerlas en esaforma)

HomogneaSI o NO?

TrminoNOhomogneo

12358

Tabla 2

3. Por separacin de variables resuelva:2

3

2

1 . 3 1

2 .

3 . 41 24 .

5 . (1 )

6 . s e c ( ) c o t ( )

d y xd x

d y xd x y

x y yd x yd y y s e n xd p p pd t

x d y x y d y

= +

=

=+=

= -

=

4. Determine si la ecuacin diferencial es homognea y determine el grado3 2 2

1 . ( , )8

x y x yf x yx y-= +22. ( , ) ( 1)f x y x y= + +

3. ( , ) cos( )xf x yx y

= +

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solucinparticular.

42


2 3 31. , (1) 2dyxy y x ydx

= - =2 2 22. , (0) 1xtdx x dt t x t dt t- = + =

5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuacin por su mtodo casocontrario si no es exacta, encuentre el factor integrante.

1.(2 ) ( 6 ) 0x y dx x y dy+ - + =

2.( )( ) ( 2 ) 0x y x y dx x x y dy+ - + - =

2 3 3 22

13.( ) 01 9

dxx y x yx dy

- + =+

4.(3 cos3 3 3) (2 5) 0x x sen x dx y dy+ - + + =

5 x 4 = 202 x 8 = 16

Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org

METODO DE RESOLUCION

FORMULA GENERAL DE LA INTEGRACION

43


Recordemos Factor integrante solo en funcin de x.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ),entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Factor integrante solo en funcin de y.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ),entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Factor integrante solo en funcin de xy.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto a xy (es decir,

), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Donde M * x = MxMencionando que:

CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIN DE LAS ECUACIONES LINEALESDE PRIMER ORDEN

44


Introduccin

Antes de entrar de lleno a los campos de aplicacin es necesario realizar una notasobre una herramienta de las matemticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli,ecuacin muy utilizada en fsica y en general las ciencias naturales.Como sabemos una ecuacin diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

( ) ( )dy P x y Q xdx

+ =

Donde P y Q son funciones continuas, y partiendo de esto no podemos olvidarque existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a linealcomo es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguientenotacin:

( ) ( ) ndy P x y Q x ydx

+ =

Donde esta ecuacin ser lineal si 0n = , pero la ecuacin de Bernoulli tiene an diferente de 0.

Realizando procesos matemticos podemos demostrar (investiga estademostracin) encontramos que la solucin de la ecuacin de Bernoulli es:

(1 ) ( ) (1 ) ( )1 (1 ) ( )n P x d x n P x d xny e n Q x e d x C- -- = - +

Solucin a la ecuacin de Bernoulli.

Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuacin de Bernoulli

2 3xy xy xe y- - + =

Solucin: 3U = - usamos la sustitucin 1 4nz y y derivando-= =

34z y y = Multiplicando por2

3

3 4

4 ,

4 4 4 xy tenemos

y y xy xe - + =

Ahora ya tenemos la ecuacin diferencial lineal2

4 4 xz xz xe- + = donde( ) 4P x x y= adems integrando P se tiene la expresin 22 x con lo que el

45


factor integrante para la ecuacin diferencial es22 xe y multiplicando por este

factor integrante la ecuacin diferencial:

2 22[ ] 4x xd z e x ed x

= Por tanto z = 2 222 x xe Ce- -+ sustituyendo el valor de

Z la solucin general es2 24 22 x xy e c e- -= +

Trabaja con la ecuacin de Bernoulli e investiga sus aplicaciones

Leccin 1: Trayectorias Ortogonales.

Un problema comn en electrosttica, termodinmica e hidrulica es hallar lafamilia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo alcomportamiento del fenmeno.

Son ortogonales por que cada curva corta la familia de curvas de la solucin delproblema diferencial.

Por ejemplo en electrosttica las lneas de fuerza son ortogonales a lasequipotenciales. En termodinmica es el flujo de calor ortogonal a las curvasllamadas isotermas y en hidrulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvaspotenciales de velocidad.

Tambin las curvas ortogonales son encontradas en estudios meteorolgicos.

46


Primero debemos encontrar ( , )dy f x ydx

= para la familia de curvas dada, luego

encontramos1

( , )dydx f x y

-= permitindonos as encontrar las ortogonales.

Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuacin trmica2y cx= .

Esta familia es un conjunto de curvas parablicas asimtricas al eje y, derivamos

entonces para encontrar 2dy cxdx

= como la ecuacin dada es 2y cx= .Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores.

2dy ydx x

= Ahora para las ortogonales se invierte 2dy xdx y

-= y la solucin a esta

ecuacin es:2 21

2x y k+ = que son las curvas ortogonales a las parbolas.

Grafica 2

Grafica del programa derive y Editor Matemtico Mathtype

Fuente: Esta investigacinAutor: Carlos Buchely

47


Leccin 2: Los campos de fuerza. Una aplicacin de las Ecuacionesdiferenciales.

En la fsica los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones ysentido de aplicacin, intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerzaaplicada, esta fuerza en su mayora de tipo electromagntico. Veamos un ejemplo:

Para hallar el campo de fuerzas dado por

2

2 2 2 2

2( , ) y y xf x y i jx y x y

= -+ +

Determinamos la pendiente del vector ( ),F x y

En forma diferencial es

Resolviendo la ecuacin

2 1x xy e C e -- + = es decir,2 xy x 1 C e -= +

Esta funcin nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Sigraficramos la ecuacin observamos que el vector fuerza es tangente a la curva

que pasa por ( ), .x y

Plantea tus propios problemas de la fsica en campos vectoriales y encuentra loscampos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales.

2

2 2 2

2 2

( )

( )2 2

y x

x yd y y xyd x y

x y

--- - -= =

-

2( ) 2 0y x d x y d y- + =

48


Leccin 3: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonalesTexto

http://www.caribu.byethost8.com/

Leccin 4: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de lasecuaciones diferenciales. En este e material didctico procederemos a encontrarsolamente el modelo matemtico (ecuacin diferencial) de las aplicaciones ydejaremos al lector para resuelva la ecuacin diferencial por procedimientosanteriormente explicados como transferencia en el curso.

Aplicacin 1.Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A liquido y 10 por 10de liquido B , se vierte este deposito a 4 litros/minuto una segunda mezcla quecontiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente, al mismo tiempo se vaca en elrecipiente a razn de 5 litros/minuto. La mezcla total se agita totalmente. Cuntoalcohol queda en el depsito despus de 7minutos?

Solucin:

Y= nmero de litros de B en el deposito en un tiempo t50Y = Cuando 0t =

El nmero de litros en el instante dado t es 50-tEl recipiente pierde 5 litros/minuto entonces

5( )50

yt- Es la cantidad de litros de B por minuto

Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuacin paradeterminar cambio de cantidad esta dada por la ecuacin diferencial

49


52 ( ) .50

dy ydt t

= - - Sugerencia (para resolver la ecuacin se debe hacer

( ) 5 / (50 )P t t= - Y adems al hacer 50t < se omite el valor absoluto en laintegral y se reemplazaremos luego la condicin inicial 5y = cuando 0t =obteniendo la solucin general y de esta reemplazamos el valor pedido de

7t = minutos.Aplicacin 2.

Las ecuaciones diferenciales tambin son muy utilizadas para modelar elcomportamiento de los circuitos elctricos. Recordemos que en un circuito simplehay una corriente I (amperios), una resistencia r (ohmios), una inductancia L (nhenrios) y una fuerza electromotriz constante E (en voltios). Gracias a la ley deKirchhoff, si se cierra el interruptor W en t=0 la fuerza aplicada es igual a la sumade las cadas de potencial en el resto del circuito por tanto la ecuacin diferencial

de la corriente es:d IL R I Ed t

+ =

Ejemplo: la siguiente ecuacin diferencial del circuito ( / ) (2)LdI dt RI sen t+ = donde( ) 2E sen t= .

Aplicacin 3

Otra aplicacin esta en la segunda ley de Newton (cada de cuerpos) donde no sedesprecia la resistencia del aire al cuerpo. Aqu g=gravedad (constante),m|=masa, F=m.a

La fuerza hacia abajo es: mg-kv y k es la constante de proporcionalidad.La ecuacin diferencial que refleja el comportamiento es:

d vm m g k vd t

d v k v gd t m

= -

+ =Entonces

50


Ejemplo: Un avin deja caer un cuerpo de masa m, hallar la velocidad en t tiempo.Suponer que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo.

S/ recuerde al utilizar la ecuacin diferencial hacer b= k/m ya que son constantes yas separar variables.

Aplicacin 4.

En la ingeniera de alimentos, es importante pensar en la conservacin dealimentos, el alimento se transforma, siendo este proceso proporcional a laconcentracin y (t) del alimento sin cambios.

Ejemplo: Si sabemos que la concentracin es de 1/40 cundo t = 0 y 1/160 tras 2horas. Hallar la concentracin sin cambios a del alimento despus de 5 horas.

Aqu por ser cambio proporcional a ( )y t la ecuacin es:dy kydx

= Resolvamos esta ecuacin por separacin de variables y encontremosc haciendo ( ) 1 / 40y o = adems encontremos K haciendo ( )2 1/160y = .Luego proceda a reemplazar la condicin t =5 horas.

Aplicacin 5.

En microbiologa: Los microorganismos crecen con una rapidez de acuerdo altamao, las ecuaciones diferenciales permiten calcular la cantidad demicroorganismos en un tiempo t.

Entonces la poblacin de microorganismos esta en funcin del tiempo y (t) por

tanto la ecuacin diferencial esdy kyd t

=

Ejemplo: si al comienzo hay 100 microorganismos y despus de 5 horas 2000,calcular despus de 8 horas.

Aqu ( ) ( )0 100 5 2000y y= = , estas sern condiciones inciales para laecuacin diferencial. Para encontrar c y k respectivamente c con la primeracondicin y k con la segunda condicin. (Realiza el ejercicio).

APLICACIN 6.

Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razn de que unobjeto se enfri es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto ymedio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Entonces el

51


cambio de temperatura es dTdTm

y por tanto la ecuacin diferencial es

( )dT k T Tmdt

= - donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuacin eslineal.

Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100grados; si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora, cual es latemperatura al cabo de 6 horas.

Sabemos que ( ) ( ) 100, 0 500 1 300Tm T y t= = =

100dT KTdt

+ =

Integramos utilizando el factor integrantek te 75 ktT ce-= + ahora

reemplazamos la condicin ( ) 0T , para encontrar c, entonces( ) 75 225 ktT t e-= + si utilizamos ( ) 1T encontramos k (Proceda a resolver el

problema con estas indicaciones). Luego encuentre lo buscado ( ) 6 .T


1. La concentracin de monxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.

Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentracin.

t=1 hr 21 min.

2. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la direccin delmovimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de lavelocidad, determinar: la velocidad 20 seg despus de que la barca hayaempezado a moverse. s/

3. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamao. Si se tiene 1000y despus de 2 horas se tiene 2500. Cuantos hay en 6 horas. S/ 15.625 hongos.

2.4 / .v m seg=

52


4. Encontrar la corriente I en funcin del tiempo para un circuito de L = 1, R=1000000 y fuerza = 1 voltio. S/ 1 amperio si t aumenta.

5. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a75 grados, la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. Cul esla temperatura a las 3 horas? S/ 81,6 grados.

6. Un cuerpo que pesa 64 nwtones se deja caer desde una altura de 100 metroscuya velocidad inicial es 10 m/s, la resistencia del aire es proporcional a lavelocidad del cuerpo. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posicin en un

instante t. s/ 13( ) 128 1534 1534t

x t e-

= + -

7. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. Se sabe que lasolucin salina entra al tanque a razn de 3 galones por minuto, se agita elrecipiente y sale la solucin en la misma proporcin. Que cantidad de sal hay en elrecipiente en 2 horas. S/ 9.52 libras.

8. Halle las curvas ortogonales de 2 2x y cx- = .

5 x 4 = 202 x 8 = 16

Teorema De Bernoulli

Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

En trminos matemticos esta ley se expresa mediante la relacin:

53


http://es.wikipedia

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD

Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial dada.

1.dy ydx x

= 2.2 23

dy xdx y

+=

Sol:2 2

2 2y x C- = Sol:

13 3

23xy x C

= + +

3.4.

Sol: ( )32 2y C x= + Sol: 1y C x=Hallar la solucin particular de la ecuacin diferencial que satisface la condicininicial dada.

Ecuacin diferencial Condicin inicial

Soluciones:

(2 ) 3dyx ydx

+ = dyx ydx

=

5 ) 0

6 ) 0

7 ) ( 1) 0

8 ) ln 0

d yy e xd x

d yx yd x

d yy xd x

d yx y xd x

- =

+ =

+ + =

- =

(0) 4(1) 4

( 2) 1(1) 0

yy

y

==

- ==

( )12 216y X= +e1

3 22

4 163xy

= - +

54


Averiguar si la funcin es homognea, y si es as, hallar el grado.

13. ( ) 3 2 3, 4f x y x xy y= +Sol. La funcin es homognea de tercer grado.

14. ( ), 2f x y ln xy=Sol. La funcin no es homognea.

15. ( ) ( )f x, y tg x y= +Sol. La funcin no es homognea.

16. ( )f x, y 2 ln xy=

Sol. La funcin es homognea de grado cero.

( ) ( ), ,f tx ty f x y=Resuelva la ecuacin diferencial homognea

17. 18.

1

1x

y+

=

2x2e

y n= l X

2d y x yd x x

+=dy x ydx y

+=

55


Sol:2

1 yx c nx

= - l Sol: 11

3

1

1

x cyx

= +

18 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia dada y dibjense variosmiembros de cada familia, ver figura 3.

a.2 2x y C+ =

Sol:

Grfica 3

b. 2x Cy=Sol:

Grfica 4

56


c. 2 22x y C- =Sol:

Grfica . 5

d. 2 2y Cx=Sol:

Grfica 6

Grafica del programa derive y Editor Matemtico MathtypeFuente: Esta investigacinAutor: Carlos Buchely

57


19. En las pirmides de inversin La cuanta A de una inversin P se incrementaa un ritmo proporcional al valor de A en el instante t.

a) Obtener la ecuacin de A como funcin de t.

Sol:

r t

A c e=

b) Si la inversin inicial es de $1000,00 y el inters del 11 por 100, calcular elcapital al cabo de 10 aos.

Sol: 1000 r tA e =c) Si el inters es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la

inversin.

Sol: 6,28t =20. La tasa de crecimiento de una poblacin en Colombia en un instante dado esproporcional al tamao de la poblacin en dicho momento. Si hay 180 despusdel segundo da del experimento y 300 despus del cuarto da. Cuntas habaoriginalmente?

Sol: 65,32Q =

58


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1

http://www.caribu.byethost8.com/

59


UNIDAD 2

Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDENY DE ORDEN SUPERIOR

Introduccin En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferencialesde segundo orden con coeficientes constantes y su formade solucin, utilizando una herramienta del lgebra que esla ecuacin caracterstica. Adems analizaremos ysolucionaremos las ecuaciones homogneas y nohomogneas de segundo orden, determinando as losdiferentes casos que se pueden presentar en la ecuacindiferencial.

Justificacin Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienenuna importancia fundamental en la Matemtica y para laingeniera debido a que muchos problemas serepresentan a travs de leyes y relaciones fsicasmatemticamente por este tipo de ecuaciones1.El inters en esta unidad es la deduccin de lasEcuaciones Diferenciales a partir de situaciones fsicasque se presentan en determinados problemas de carcterfsico y/o tcnico.

IntencionalidadesFormativas

- Reconoce una ecuacin diferencial con coeficientesconstantes.- Asocia a la ecuacin diferencial con coeficientesconstantes la ecuacin caracterstica.- Realiza la diferencia de las soluciones de una ecuacinde de segundo orden, con respecto a las races de laecuacin caracterstica.- Resuelve correctamente las ecuaciones de segundoorden y orden superior con coeficientes constantes.- Emplea correctamente los mtodos para solucionarecuaciones diferenciales homogneas de segundo ordeny orden superior.- Soluciona ecuaciones diferenciales no homogneas porel mtodo de coeficientes indeterminados y de variacinde parmetros.- Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales nohomogneas con coeficientes constantes.

1 http://personales.ya.com/casanchi/mat/problediferencial01

60


- Encuentra el operador anular para una funcin y lo aplicacorrectamente en la solucin de sistema de ecuaciones.- El estudiante plantea problemas correctamenteempleando la modelacin con ecuaciones diferenciales.- Por ultimo, resuelve correctamente ecuacionesdiferenciales lineales y cuantifica la importancia de lamodelacin matemtica con ecuaciones diferenciales enla solucin de problemas cientficos.

Denominacin decaptulos

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDOORDEN.2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDENSUPERIOR.2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DESEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

CAPITULO 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Introduccin

En este aparte estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden concoeficientes constantes y su forma de solucin, utilizando una herramienta dellgebra que es la ecuacin caracterstica. Adems analizaremos y solucionaremoslas ecuaciones homogneas y no homogneas de segundo orden, determinandoas los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuacin diferencial.

Leccin 1: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y mtodos desolucin.

Es necesario para comenzar con esta leccin, tener en claro la notacin de unaecuacin diferencial de orden n , porque en la leccin trabajaremos para aquellasecuaciones donde n = 2 y as abordar las ecuaciones diferenciales de segundoorden.

Definicin de Ecuacin Diferencial Lineal de Segundo Orden n

Sea 1 2, , , nw w wK y f funciones de x con un dominio comn. Una ecuacin dela forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1n n n n ny w x y w x y w x y w x y f x- - - + + + + + =K

61


Se llama ecuacin diferencial lineal de orden n . Ahora si ( ) 0=xf se diceque la ecuacin es homognea; en caso contrario, se llama inhomognea. DeAqu en adelante nos ocuparemos de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ahora la ecuacin diferencial de segundo orden es:

( ) ( ) ( )1 2y w x y w x y f x + + =Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo orden las siguientes.

0126 =++ yyy .

044 =++ yyy

022

=+

+ y

mk

dtdy

mp

dtyd

0=- yy

0232 =-+ yyy

0762 =+- yyy

xsenyyy 232 =--

xeyyy -=-- 32Solucin General de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casoscaractersticos para encontrar la solucin general. En esta leccin solamentedaremos a conocer los diferentes casos que se pueden presentar en una ecuacindiferencial de segundo orden:

1. Solucin general como combinacin lineal de soluciones linealmenteindependientes. Donde la clave es la ecuacin caracterstica que se puede asignara la ecuacin diferencial segn la estructura de la misma.Recordando que la ecuacin diferencial tiene la siguiente forma:

62


0y ay by - - =

y en general la ecuacin cuadrtica 02 =++ bamm tiene races

242

1baam -+-=

y 242

2baam ---=

2. Solucin de una ecuacin mediante coeficientes indeterminados: funcionando

bien si ( )xf esta formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguenun modelo cclico.

3. Solucin por variacin de parmetros: Para poder solucionar el problema delanterior mtodo.

Procedamos entonces a analizar estos mtodos.

Leccin 2: La Solucin General de una ecuacin diferencial comoCombinacin Lineal de Soluciones Linealmente Independientes.

Concepto de independencia lineal:

Decimos que las funciones nyyy ,,, 21 K son linealmente independientes si lanica solucin de la ecuacin

02211 =+++ nn yCyCyC K

Donde 021 ==== nCCC K . En caso contrario, las funciones se dice que sonlinealmente dependientes.

Ejemplo, las funciones ( )1y x sen x= - e2

2y x= , linealmente independientes.Porque los nicos valores de 21 CyC para los cuales

21 2( ) 0C sen x C x- + = Para todo x

Son 00 21 == CyC .

63


Ejemplo: ( ) ( )1 2, 3y x x y x x= = son linealmente dependientes, porque( ) ( ) 0321 =+ xCxC presenta 1,3 21 =-= CC .

Vemos entonces de aqu en adelante la importancia de la independencia lineal alconstruir la solucin general de una ecuacin diferencial lineal homognea desegundo orden con coeficientes constantes.

La solucin general de una ecuacin diferencial se presenta como unacombinacin lineal de soluciones linealmente independientes

ENTONCES: Independientes significa que ninguna es mltiplo de la otra.

Si 21 yyy son soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial

0=++ byyay entonces la solucin general es

2211 yCyCy += Donde 21 CyC son las constantes.

Pensemos y recordemos la solucin de una ecuacin diferencial de primer ordencon coeficientes constantes por tanto la ecuacin diferencial de segundo orden

tiene soluciones de la forma ,mxy e entonces= 2,mx mxy me y m e = = , luego

de hacer un reemplazo nos encontramos con una ecuacin caracterstica que nospermitir encontrar las races de la ecuacin

02 =++ mxmxmx beameem

64


( ) 02 =++ bammemx

Comomxe nunca se anula,

mxey = es una solucin si y solamente si02 =++ bamm

Ecuacin caracterstica

Recuerde que la ecuacin caracterstica puede determinarse a partir de su

ecuacin diferencial simple sustituyendo y por 2m , y por m , y por 1.Ejemplo: Encontrar la ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial

04 =+ yyLa ecuacin caracterstica es 04

2 =-m donde 2=mEntonces

xxm eey 21 2 == exxm eey 22 2

-==son soluciones

particulares de la ecuacin diferencial dada. Adems, como estas dos solucionesson linealmente independientes la solucin general es

xx eCeCy 222

1-+=

Tambin podemos decir que a independencia la podemos encontrar basndose enel wronskiano, pensando en su generalizacin al caso n soluciones de lasecuaciones lineales de orden n.

Definicin (Se propone al lector profundizar sobre este aspecto).

Se designa por W[f1, ... , fn] donde fi son funciones para averiguar sudependencia en funcin a sus derivadas.

[ ]1 2 n' ' '

1 2 n1 n

(n 1) (n 1) (n 1)1 2 n

f f ff f f

W f , ..., f

f f f- - -

=

Condicin necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares 1( )y x ,

2 ( )y x de la ecuacin homognea L[y] 0= , sean linealmente independientesen I, es que:

65


1 2[ ( ), ( )] 0W y x y x x I "

[ ]x

xo

p( ) d

1 2 oW ( ), ( ) W(x )et t

y x y x-

=

Leccin 3: Ecuaciones diferenciales lineales homogneas y no homogneascon coeficientes Constantes.

- Ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientesConstantes.

Teniendo en cuenta los apartes anteriores la ecuacin diferencial

1 2( ) ( ) ( )y a x y a x y m x + + = es una ecuacin de segundo orden, pero esnecesario hacer dos suposiciones: 1. los coeficientes son constantes 2.

( )m x 0= y por tanto esta ser una ecuacin diferencial homognea concoeficientes constantes.

Una ecuacin homognea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto esnecesario recordar la solucin de una ecuacin cuadrtica donde se puedenpresentar tres casos. Todo lo anterior segn la estructura de la ecuacincaracterstica (Ver lecciones anteriores).

CASOS:

1. Caso 1: Soluciones reales y distintas.2. Caso 2: Soluciones iguales y reales.3. Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas.

Estudiemos ahora cada uno de los casos:

1. Caso 1. Soluciones reales y distintas.

Al resolver la ecuacin caracterstica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces:Solucin general es

xmxm eCeCy 22 21 +=

66


Ejemplo: 16 0y y - =

La ecuacin caracterstica es

2 16 0m - = Ecuacin caracterstica

As que 4m = . Luego 14

1m x xy e e= = e 2 42 m x xy e e-= = son

soluciones particulares de la ecuacin diferencial dada. Adems, como estas dossoluciones son linealmente independientes, la solucin general es

4 41 2

x xy C e C e-= +

Ejemplo: 6 7 0y y y + - =La ecuacin caracterstica es

2 6 7 0m m+ - = Ecuacin caracterstica

As que 1 27, 1m m= - = . Luego1 7

1m x xy e e-= = e 2 12 m x xy e e-= =

son soluciones particulares de la ecuacin diferencial dada. Adems, como estasdos soluciones son linealmente independientes, la solucin general es

7 11 2

x xy C e C e-= +

2. Caso 2. Soluciones iguales y reales.

Al resolver la ecuacin caracterstica se tienen las solucionesm m1 m2= = entonces:Solucin general es

1 2mx mxy C e C xe= +

Ejemplo: 044 =++ yyyLa ecuacin caracterstica

67


( ) 0244 22 =+=++ mmmtiene dos races complejas 2-=m repetidas. Luego la solucin general es

xx xeCeCy 222

1-- += Solucin general

Ejemplo: 20 100 0y y y - + =La ecuacin caracterstica

( )22 20 100 10 0m m m- + = - =tiene dos races complejas 10m = repetidas. Luego la solucin general es

10 101 2

x xy C e C xe= + Solucin general3. Caso 3. Soluciones complejas conjugadas

La ecuacin caracterstica tiene Races complejas: Si im ba +=1 yim ba -=2 , entonces la solucin general es

1 2cos( ) ( )x xy C e x C e sen xa ab b= +

Ejemplo: Resolver 4 13 0y y - + =

La ecuacin caracterstica2 4 13 0m m- + =

Encontrando las races

2 3m i= Siendo estas races complejas conjugadas.La solucin general de la ecuacin diferencial es:

68


2 21 2cos(3 ) (3 )

x xy C e x C e sen x= +

Ejemplo: Ejemplo: Resolver 6 12 0y y + + =La ecuacin caracterstica

2 6 12 0m m+ + =Encontrando las races

3 3m i= - Siendo estas races complejas conjugadas.La solucin general de la ecuacin diferencial es:

3 31 2cos( 3 ) ( 3 )

x xy C e x C e sen x- -= +

Recuerde que para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales concondiciones iniciales siempre va a encontrar un sistema de ecuaciones de 2 por 2para as encontrar las constantes C1 y C2 de la solucin general.

Ejemplo: 3 10 0; (0) 1; (0) 10y y y y y - - = = =La ecuacin caracterstica es

2 3 10 0m m- - = Ecuacin caracterstica

As que 1 25, 2m m= = - . Luego1 5

1m x xy e e= = e 2 22 m x xy e e-= =

son soluciones particulares de la ecuacin diferencial dada. Adems, como estasdos soluciones son linealmente independientes, la solucin general es

5 21 2

x xy C e C e-= + Ahora con la primera condicin ( )y 0 1= se tiene1 21 c c= +

Ahora hallamos y y reemplazamos la segunda condicin (0) 10y = donde

1 210 5 2c c= -

69


Con las dos ecuaciones encontradas por las condiciones iniciales se forma el

sistema de ecuaciones y al resolverlo encontramos 1 212 5,7 7

c c= = - que son losvalores encontrados para reemplazar en la solucin general

5 21 2

x xy C e C e-= +

entonces la solucin particular es5 2

1 2

12 57 7

x xy e e-= -

- Ecuaciones diferenciales lineales no - homogneas con Coeficientesconstantes

Ahora trabajemos en la solucin de ecuaciones diferenciales de segundo orden nohomogneas con coeficientes constantes y para ello existen los otros dos mtodosnombrados con anterioridad en la Leccin 1 de este capitulo, donde la solucin esuna suma de las soluciones de una ecuacin homognea y una particular lo cualse puede dar as:

Si se tiene que ( )xFbyyay =++ es una ecuacin diferencial lineal nohomognea de segundo orden.

1. Hacemos ( )F x 0= para convertir la ecuacin a una homognea concoeficientes constantes. Esta es la llamada solucin Asociada hy

2. Encontramos una solucin particular de la ecuacin no homognea. Esta es

la llamada Solucin particular py

3. Sumamos los resultados de 1 y 2 y por tanto encontramos la solucin

general de la no homognea: h py y y= +

`.

Por tanto los pasos 1 y 3 no tienen problema, lo verdaderamente nuevo para ustedseor lector es como resolver el paso 2. Bueno entonces, manos a la obra:

70


Utilizaremos el mtodo de coeficientes indeterminados donde se debe suponer

que la solucin py es una forma general de ( )xF . Por ejemplo:

1. Si ( ) 23xxF = , escjase CBxAxy p ++= 2 .2. Si ( ) xxexF 4= , escjase xxp BeAxey += .3. Si ( ) xsenxxF 2+= , escjase ( ) xDxCsenBAxy p 2cos2 +++= .Entonces, por sustitucin, determinamos los coeficientes de esta solucin general.

Por tanto py se la puede encontrar con base en ensayos como los anteriores.Generalizando los ensayos los podemos denotar:

si1

1 1 0( ) ...r r

r rf x d x d x d x d-

-= + + + + Entonces ensayar con1

1 1 0...r r

p r ry c x c x c x c-

-= + + + +

si

( ) axf x be= Entonces ensayar con axpy ce=si

( ) cosf x b x csen xb b= + Entonces ensayar concospy b x csen xb b= +

71


Si alguno de los trminos de ( )f x es solucin de la homognea, multiplicamospor x la solucin.Veamos ahora ejemplos:

Ejemplo

Hallar la solucin general de la ecuacin

Solucin: Para hallar hy resolvemos la ecuacin caracterstica:

( )( )2m 2m 3 m 1 m 3 m 1 y m 3= + - = - =

Entonces la solucin 31 2x xC e C e- + hy = 31 2x xC e C e- +

Procedemos a encontrar py donde utilizaremos para la( ) ( ) ( )f x 2sen x n x= el ensayo

cosx senxpy A B= +

c o sd y p A s e n x B xd x

= - +

2

2 c o sd y p A x B s e n xd x

= - +

Reemplazando en la ecuacin se tiene

( 4A 2 )cosx (2A 4 )senx 2sen(x)(-4A-2B)B B- - + - =

Igualados los coeficientes de ( )cos x y de ( )sen x , que dan lugar al sistema.

2

2 2 3 2d y dy y senxdx dx

- - =

72


4 2 0A B- - = y 2 4 2A B- =

Donde ( ) 1 y 2 / 5A B= = -

3h 1 2

1 2y y cos( ) ( )5 5

x xpy C e C e x sen x

-= + = + + -

Ejemplo 4 4 2 6y y y x + + = +

Entonces por pasos sera as:

1. 4 4 0y y y + + =La ecuacin caracterstica es: 2 4 4 0m m+ + = aqu m 2= - siendo real e igualpor tanto 2 21 2

x xhy C e C xe

- -= +

2. para ( ) 2 6f x x= + probemos con py AX B= +

Derivando se tiene: , 0y A y = = , reemplazando en la ecuacin diferencialoriginal se tiene:

4 2,4 4 6A A B= + =de donde A 1/ 2 y B 1= = por tanto

1 12p

y X= +

3. La solucin general es la suma entonces2 2

1 21 12

x xy C e C xe x- -= + + +

Ejemplo ( )y y y xsen x + + = Realizando los pasos aprendidos

73


Encontramos lo siguiente

/21 2

3 3( cos )2 2

xhy e c x c sen x

-= +

( ) cos( ) ( ) cos( )

( ) 2cos( ) cos( )p

p

y Asen x B x Cxsen x Dx xy sen x x x x

= + + += + -

Nota: Se deja al lector, la realizacin de los procesos para obtener los resultadosanteriores.Su solucin general es:

/21 2

3 3( cos ) ( ) 2cos( ) cos( )2 2

xhy e c x c sen x sen x x x x

-= + + + -

Otro de los mtodos que nombramos anteriormente y que soluciona la dificultadque se presenta al solucionar con mtodos anteriores las ecuaciones diferencialesde segundo orden es el mtodo de variacin de parmetros donde nos ayuda a

encontrar la solucin particular py miremos el camino:

Sea 1 2( ), ( )u x u x soluciones independientes de la ecuacin diferencialcaracterstica entonces existe:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

py r x u x r x u x

r x u x r x u x

r x u x r x u x g x

= + + =

+ =Ejemplo: csc( ).cot( )y y x x + = Aqu

74


2

1 2

1 0,cos( ) ( )h

my c x c sen x

+ == + Por tanto 1 2( ) cos( ), ( ) ( )u x x u x sen x= = ahora

1 1 2 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) cos( ) ( ) ( )p

p

y r x u x r x u xy r x x r x sen x

= += +

Derivando segn la explicacin se tiene 1 2( ) cot( ), ( ) cot( )r x x r x x = - = -

integrando encontramos los valores que necesitamos1

2

ln( ( ))cot( )

r sen xr x x= -= - -

Recuerde que aqu no termina el ejercicio solucin, debes aplicar la combinacin

de h py y+ que es la solucin general. (Termnalo).

Leccin 4: Operador para la solucin de ecuaciones diferenciales

Daremos a conocer ahora la definicin de operador diferencial, el cual se empleapara encontrar un anulador de funcin D.

Para nosotros D ser es la primera derivada, D3 segunda derivada D3 terceraderivada y as sucesivamente.

Por tanto la ecuacin diferencial de orden 2 quedara as:

22 1 0 ( )a D y a Dy a y f x+ + =

El polinomio en trminos de D se llama operador diferencial ( )P D , y si loscoeficientes de este polinomio son constantes entonces:

( )P D Es factorizable y dichos factores cumplen con la ley conmutativa.Ahora el operador anulador se define as:

Si ( )y f x= es una funcin derivable 2 veces, entonces2

2 1 0a D a D a+ + si cumple que

75


22 1 0( ) ( ) 0a D a D a f x+ + =

Ejemplos:

Funcin que anula Operador anular5x 6D4 37 6 8x x- + 5D

axe ( )D a-x 2DEn general

1.nD anula funciones 2 3 41, , , , ,.. .x x x x etc

2. ( )nD a- anula funciones 2 3, , , ..ax ax ax axe xe x e x e etc

3. 2 2 2( 2 ( ))nD Da a b- + + anula funciones2

2

cos , cos , cos ,... ,, , ,...

x x x

x x x

e x xe x x e x etce sen x xe sen x x e sen x etc

a a a

a a a

b b bb b b

Ejemplo: encontrar el operador que anule a ( ) cos(2 )xf x e x= Nos remitimos a 3entonces 1, 2a b= = Reemplazando en 3 se tiene:

2( 2 5). ( ) 0D D f x- + =Recuerde que el operador es til para solucionar sistemas de ecuacionesdiferenciales, donde la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales es unconjunto de funciones derivables ( ) ( ) ( )g t , f x , w t , etc., que satisfacen lasecuaciones.

Ejemplo:

2dx x ydrdy xdr

= -

=

Utilizando operadores D se tiene

( )D 2 x y 0- + =x Dy 0- + =

Formndose un sistema de ecuaciones 2 por 2 eliminamos la variable ymultiplicando la primera ecuacin por D entonces nos queda una ecuacin entrminos de x as:

76


2( 2 1) 0D D x- + = Ahora tenemos que la ecuacin caracterstica es2 22 1 ( 1)m m m- + = -

As mismo eliminamos y tomando la ecuacin y multiplicando por ( )D 2- y laecuacin caracterstica ser 2( 2 1) 0D D y- + = ecuacin caracterstica es

2 22 1 ( 1)m m m- + = - sustituyendo lo anterior podemos demostrar que la solucin

del sistema es1 2

1 2 2

( )

( ) ( )

r r

r r

x r c e c rey r c c e c re

= += - +


1. Por el mtodo de variacin de parmetros resolver:

a)1 2

22

1: ln2

x

x x x x

ey y yx

sol c e c xe xe xe x

- + =

+ - +

b)1 2

( ): cos( ) ( ) cos( ) ln(sec )

w w tg xsol c x c sen x x x tgx + =

+ - +

c)1 2

csc( )cot( ): cos( ) ( ) cos( ) ln( ( )) cos( ) ( )

y y x xsol c x c sen x x sen x x xsen x + =

+ - - -

2. Encuentre el operador anulador para

a)

3 2

2 3 2

( ) 5 6: ( 3)( 2) (5 6 ) 0

t t

t t

f t e tesol D D e te

= -- - - =

b)2

2 2 2

( ) ( ) cos( ): ( 2 )( 4 5)( ( ) cos( )) 0

t t

t t

f t e sen t e tsol D D D D D e sen t e t

- -

- -

= -+ + + + - =

3. Encontrar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

77


a)

2 2

2

1 221 1

( ) 2 01: ln( 1)

2

x y y xyx xsol c x c

c c

+ - =

+ + - +

b)

2

1 2

2 ( ) 1

: 2 ln(cos( ))2

y yxsol y c c

= +

= - + +

c) 21 2

4 4 0: ( )x

y y ysol y e c x c

- + == +

d)1 2

0: cos( ) ( )

y ysol y c x c sen x + =

= +

e)2

11 2

1 1 0

:

y y yx x

sol c x c x -

+ - =

+

4. Encontrar la solucin particular de las anteriores ecuaciones cuando

(0) 4, (0) 1y y= = -

5. Hallar una solucin particular de las siguientes ecuaciones diferenciales nohomogneas:

2

2

2

2 2

) 5 141:9

)4 4 4

1:2

x

xp

x

x

p

a y y y e

sol y xe

b y y y e

sol y x e

-

-

+ - =

=

+ + =

=

6. Halle la ecuacin diferencial por medio del operador

78

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERACONTENIDO

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ECUACIONES DIFERENCIALES