ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTADA DE EDUCACIÓN

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS

Asignatura : Ecuaciones Diferenciales

Docente : M.Cs. Ing. Juan Julca Novoa

Tema de investigación : SistemasLinealesde Ecuaciones Diferenciales

Grupo de trabajo : N° 5

Integrantes : Cabanillas Soto, José Orlando

Sandoval Minchán, Luis Manuel

Cajamarca, 26 de Octubre del 2011.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 2

PRESENTACIÓN

El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y

procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. En el presente trabajo nos

enfocamos en los procedimientos para estudiar los sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales. Mostraremos cómo usar la forma algebraica para dar solución

de los sistemas lineales con coeficientes constantes.



RESUMEN

En el presente trabajo consideraremos sistema de dos ecuaciones con dos funciones

incógnitas, y más en general sistema de n ecuaciones diferenciales con n funciones

incógnitas. Estudiaremos solamente los sistemas lineales, empezando con la

consideración de varios tipos de tales sistemas. Después nos dedicaremos a estudiar la

teoría fundamental y los métodos básicos de resolución de un tipo canónico de

sistemas lineales en el caso especial de dos ecuaciones con dos funciones incógnita.

Finalmente aplicaremos las propiedades del algebra lineal para el estudio de la teoría y

los métodos básicos de resolución del correspondiente tipo canónico de sistema lineal

en el caso general de n ecuaciones con n incógnitas.



ÍNDICE

MARCO TEÓRICO 5

I. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES. 5 II. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES

CONSTANTES: DOS ECUACIONES CON DOS FUNCIONES

INCÓGNITAS. 9 A. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON

REALES Y DIFERENTES. 11

B. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERISTICA SON REALES E IGUALES. 11

C. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON

COMPLEJAS CONJUGADAS. 13 III. SISTEMAS LINEALES HOGÉNEOS CON COEFICIENTES

CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS 16

A. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS 20

B. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES REPETIDOS 24

IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 27 EJERCICIOS RESUELTOS 28

RESULTADOS Y/O CONCLUSIONES 38

BIBLIOGRAFÍA 39



MARCO TEÓRICO

V. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES.

Empezamos introduciendo los diferentes tipos de sistemas lineales que

tomaremos en consideración. El sistema lineal general con dos ecuaciones y dos

funciones incógnitas, x e y, tiene la forma:

.

,

24321

14321

tFytbxtbdt

dytb

dt

dxtb

tFytaxtadt

dyta

dt

dxta

nosocuparemos de los sistemas del tipo que tengan los coeficientes constantes. Un

ejemplo de tal sistema es:

.432

,2232

teyxdt

dy

dt

dx

tyxdt

dy

dt

dx

El sistema lineal general con tres ecuaciones y tres funciones incógnitas, x, y y

z, tiene la forma:

.

,

,

3654321

2654321

1654321

tFztcytcxtcdt

dztc

dt

dytc

dt

dxtc

tFztbytbxtbdt

dztb

dt

dytb

dt

dxtb

tFztaytaxtadt

dzta

dt

dyta

dt

dxta

Como en el caso de los sistemas de la forma (1), nos ocuparemos de los

sistemas que tengan los coeficientes constantes. Un ejemplo de tal sistema es:

)cos(232

),sen(5432

,322

tzyxdt

dz

dt

dy

dt

dx

tzyxdt

dz

dt

dy

dt

dx

tzyxdt

dz

dt

dy

dt

dx

…(1)

…(2)



Decimos que una terna ordenada (f, g, h) de funciones reales es una solución

del sistema (2), si poniendo x=f (t), y=g (t), z=h (t), las tres soluciones del sistema

(2) se satisfacen simultáneamente en cierto intervalo de la recta real bta .

Los sistemas de los tipos (1) y (2) contienen solamente primeras derivadas;

consideramos ahora los sistemas lineales básicos que contienen derivadas de

orden superior. Se trata del sistema lineal general de segundo orden con dos

ecuaciones y dos funciones incógnitas, x e y, que tienen la forma:

.

,

265432

2

22

2

1

165432

2

22

2

1

tFytbxtbdt

dytb

dt

dxtb

dt

ydtb

dt

xdtb

tFytaxtadt

dyta

dt

dxta

dt

ydta

dt

xdta

También en este caso nos ocuparemos de aquellos sistemas que tengan los

coeficientes constantes; un ejemplo de tal sistema es:

.04223

,1323752

2

2

2

2

2

2

2

2

yxdt

dy

dt

yd

dt

xd

tydt

dy

dt

dx

dt

yd

dt

xd

Dados dos enteros positivos, m y n, podríamos definir de una manera parecida

el sistema general de orden m con n ecuaciones diferenciales y n funciones

incógnitas y podríamos también dar ejemplos de este tipo de sistema. En lugar de

esto vamos introducir la forma canónica del sistema lineal (1) con dos ecuaciones

diferenciales de primer orden y dos funciones incógnitas x e y. Consideremos el

tipo especial de sistema lineal (1) que tiene la forma:

)()()(

),()()(

22221

11211

tFytaxtadt

dy

tFytaxtadt

dx

estaes la llamada forma normal en el caso de dos ecuaciones diferenciales con dos

funciones incógnita. El rasgo distintivo del sistema anterior es manifiesto por la

…(3)

…(4)



manera como aparecen las derivadas en él. Un ejemplo del sistema con

coeficientes variables es:

.

,)1(

3

32

tt eytxtedt

dy

tytxtdt

dx

Mientras que uno con coeficientes constantes es:

.232

,75 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

La forma normal en el caso de un sistema lineal con tres ecuaciones

diferenciales y tres funciones incógnitas, x, y y z, es:

).()()()(

),()()()(

),()()()(

3333231

2232221

1131211

tFztaytaxtadt

dz

tFztaytaxtadt

dy

tFztaytaxtadt

dx

Un ejemplo del sistema con coeficientes constantes es:

.1234

,542

,23

2

tzyxdt

dz

tzyxdt

dy

tzyxdt

dx

La forma normal en el caso general de un sistema lineal con n ecuaciones

diferenciales y n funciones incógnita, nxxx ,,, 21 , es:



).()()()(

),()()()(

),()()()(

2211

222221212

112121111

tFxtaxtaxtadt

dx

tFxtaxtaxtadt

dx

tFxtaxtaxtadt

dx

nnnnnnn

nn

nn

Una propiedad fundamental importante de un sistema lineal normal (5) es la

relación que tiene con una ecuación diferencial de orden n con una función

incógnita. Precisando, consideremos la llamada ecuación normalizada de orden n

(es decir, que tenga el coeficiente del término de mayor orden igual a uno) lineal

)()()()( 11

1

1 tFxtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdnnn

n

n

n

Con la función incógnita x. Sean

.,,,,,1

1

2

2

12

2

321

n

n

nn

n

ndt

xdx

dt

xdx

dt

xdx

dt

dxxxx

De (7) se deduce

.,,,, 11

12

2

21

dt

dx

dt

xd

dt

dx

dt

xd

dt

dx

dt

xd

dt

dx

dt

dx nn

nn

n

n

Utilizando (7) y (8), la ecuación de orden n (6) puede ser convertida en

).()()()(

,

,

,

1211

1

32

21

tFxtaxtaxtadt

dx

xdt

dx

xdt

dx

xdt

dx

nnnn

nn

…(5)

…(6)

…(7)

…(8)

…(9)



Que es un caso especial del sistema lineal normal (5) con n ecuaciones y n

funciones incógnitas. Vemos pues que una ecuación diferencial lineal de orden n

del tipo (6), está íntimamente relacionada con un sistema lineal normal (5) con n

ecuaciones diferenciales de primer orden y n funciones incógnitas.

VI. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES

CONSTANTES: DOS ECUACIONES CON DOS FUNCIONES

INCÓGNITAS.

El sistema es de la forma:

.

,

22

11

ybxadt

dy

ybxadt

dx

Donde los coeficientes 1a , 2b , 2a y 2b son constantes reales. Para encontrar las

soluciones de este sistema intentamos determinar una solución del tipo:

.

,

t

t

Bey

Aex

En donde yBA, son constantes. Si sustituimos (11) en (10) obtenemos

ttt

ttt

BebAeaeB

BebAeaeA

22

11 ,

Estas ecuaciones nos llevan de una manera inmediata al sistema

.0)(

,0)(

22

11

BbAa

BbAa

…(10)

…(11)

…(12)



En donde las incógnitas son ByA . El sistema tiene, obviamente, la solución

trivial 0 BA , la cual nos daría la solución trivial 0 yx del sistema (10).

Busquemos, pues, soluciones no triviales de (12). Una condición necesaria y

suficiente para que este sistema tenga una solución no trivial es que el

determinante verifique

02

1

2

1

b

b

a

a

Desarrollando este determinante nos encontramos con la ecuación de segundo

grado

0)()( 1221212 bababa

En donde es una incógnita. Esta ecuación se llama ecuación característica

asociada al sistema (10). Sus raíces 1 y 2 se llaman las raíces características.Si

el par (11) es una solución del sistema (10), entonces la de (11) debe ser una de

estas raíces. Supongamos que 1 . Sustituyendo por 1 en el sistema

algebraico (12), podemos obtener una solución no trivial 1A , 1B de este sistema

algebraico. Con estos valores obtenemos la solución no trivial

.

,

1

1

1

1

t

t

eBy

eAx

Del sistema dado.Tres casos deben tomarse en consideración:

Las dos raíces 1 y 2 son reales y diferentes.

Las dos raíces 1 y 2 son reales e iguales.

Las dos raíces 1 y 2 son complejas conjugadas.

…(13)

…(14)



D. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON

REALES Y DIFERENTES.

Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son reales y

diferentes, parece que debemos esperar que dos soluciones distintas del tipo

(11), cada una correspondiente a una de las soluciones distintas, sean válidas.

Esta suposición es en realidad cierta; además estas dos soluciones son

linealmente independientes. Resumimos este caso en el siguiente teorema.

TEOREMA 1:

Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al

sistema (10) son reales y diferentes.

Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes no

triviales del tipo.

.

,

1

1

1

1

t

t

eBy

eAx

.

,

2

2

2

2

t

t

eBy

eAx

dondeA1, B1, A2 y B2 son constantes apropiadas. La solución general del

sistema (10) puede escribirse entonces

,

,

21

21

2211

2211

tt

tt

eBceBcy

eAceAcx

en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

E. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERÍSTICA (14) SON

REALES E IGUALES.

Si las dos raíces de la ecuación característica (14) son reales e iguales,

solamente podemos encontrar una solución de la forma (11) excepto en el

subcaso especial a1 =b2 ≠0, a2 = b1 =0. En general ¿qué haremos para hallar



otra solución linealmente independiente? Recordemos la situación análoga que

se produce al tener la ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación

diferencial lineal de orden n una raíz doble. La analogía nos hace pensar que

podemos esperar una segunda solución del tipo

.

,

1

1

1

1

t

t

eBy

eAx

sinembargo, en nuestro caso la situación no es tan sencilla. Debemos buscar

una segunda solución

.)(

,)(

21

21

t

t

eBBy

eAtAx

TEOREMA 2.


sistema (10) son reales e iguales. Sea su valor común, Supongamos además

que el sistema (10) no es tal que a1 =b2 ≠0, a2 = b1 = 0 .

Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes

del tipo

,)( y ,

,)( ,

211

211

tt

tt

eBByeBy

eAtAxeAx

en donde A, B, A1, A2,B1 y B2 son constantes apropiadas, A1 y B1 no se anulan

simultáneamente y B1/A1= B/A. La solución general puede escribirse, pues, en

la forma

,)(

,)(

2121

2121

tt

tt

eBBcBecy

eAtAcAecx


…(15)



F. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON

COMPLEJAS CONJUGADAS.

Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son los números

complejos conjugados a+bi y a-bi, obtenemos las dos soluciones distintas

, ,

y

, ,

2)(

1

2)(

1

ttbia

ttbia

eByeBy

eAxeAx

de la forma (11), correspondiente a cada una de las raíces complejas. Sin

embargo las soluciones (16) son soluciones complejas. Para obtener soluciones

reales consideramos la primera de las soluciones y hacemos lo siguiente:

primeramente expresamos las constantes complejas 1A y 1B de la forma

211211 y B iBBiAAA , en donde 2121 ,, ByBAA son reales.

Aplicamos después la fórmula de Euler isenei cos y expresamos la

primera solución (16) en la forma

)(cos)(

)(cos)(

21

21

isenbtbteiBBy

isenbtbteiAAx

at

at

que operando da

)],cos()cos[(

)],cos()cos[(

1221

1221

senbtBbtBisenbtBbtBey

senbtAbtAisenbtAbtAex

at

at

Se puede demostrar que un par )()(),()( 2121 tigtgtiftf de funciones

complejas es una solución del sistema (10) si y solamente si los pares

)(),( 11 tgtf constituidos por las partes reales y el par )(),( 22 tgtf formado

…(16)

…(17)



por las partes imaginarias son ambos soluciones de (10). Por lo que tanto la

parte real

),cos[(

)],cos[(

21

21

senbtBbtBey

senbtAbtAex

at

at

comola parte imaginaria

),cos(

),cos(

12

12

senbtBbtBey

senbtAbtAex

at

at

de la solución (17) del sistema (10) son soluciones de (10). Además, las

soluciones (18) y (19) son linealmente independientes. Hallamos

).()cos( )cos(

)cos( )cos()( 1221

2

1221

1221BABAe

senbtBbtBesenbtBbtBe

senbtAbtAesenbtAbtAet at

atat

atat

Ahora bien, la constante 1B es un múltiplo no real de la constante 1A .

Si suponemos que 0BA 1221 BA , se deduce 1B que es un múltiplo real de

1A (es decir es el resultado de multiplicar 1A por cierto número real), lo

cual está en contradicción con lo que decíamos al principio. Así, pues,

0BA 1221 BA y por lo tanto el determinante )(t de (20) es diferente de

cero. Por lo tanto en virtud del teorema 7.4.

…(19)

…(18)

…(20)



TEOREMA 7.4

“Sean

)( )(

y

)( )(

21

21

tgytgy

xtfxtfx

dossoluciones de un sistema lineal homogéneo Una condición necesaria y

suficiente para que estas dos soluciones sean linealmente independientes en

bta es que el determinante

)( )(

)( )()(

21

21

tgtg

xtftft

sea diferente de cero para todo t tal que bta ”1

las soluciones (18) y (19) son efectivamente linealmente independientes.

En consecuencia una combinación lineal de estas dos soluciones reales da, en

este caso, la solución general de este sistema (10). No hay ninguna necesidad

de tomar en consideración la segunda solución de (16). Resumimos los

resultados anteriores en el siguiente teorema:

TEOREMA 3


sistema (10) son los números complejos conjugados bia .

1 Shepley L. Ross, 1979, p.333



Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes

de la forma.

),cos(y ,)cos(

),cos( x y ),cos(

1221

1221

senbtBbtBesenbtBbtBey

senbtAbtAesenbtAbtAex

atat

atat

donde A1, A2, B1 y B2 son ciertas constantes reales. La solución general del

sistema (10) puede pues escribirse

)],cos()cos([

)],cos()cos([

122211

122211

senbtBbtBcsenbtBbtBcey

senbtAbtAcsenbtAbtAcex

at

at


VII. SISTEMAS LINEALES HOGÉNEOS CON COEFICIENTES

CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS

Consideraremos ahora la forma normal de un sistema lineal homogéneo de n

ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones incógnitas x1,x2,…, xn,

donde todos los coeficientes son constantes. Para ser más específicos,

estudiaremos el caso en que cada coeficiente es un número real. Por tanto, el

sistema que consideraremos será de la forma

.

,

,

2211

22221212

12121111

nnnnnn

nn

nn

xaxaxadt

dx

xaxaxadt

dx

xaxaxadt

dx

Donde todos los aij, i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3,…,n son números reales.

Introducimos la matriz constante nn de números reales

…(21)



nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

y el vector

,

2

1

nx

x

x

x

el sistema (21) puede expresarse como ecuación diferencial vectorial lineal y

homogénea:

Axdt

dx

La matriz constante A que aparece en (24) y se define en (22), se denomina

matriz de coeficientes de (24).

Buscamos soluciones del sistema (21), es decir, de la ecuación diferencial

vectorial correspondiente (24).En efecto, buscamos soluciones no triviales del

sistema (21) de la forma

, e

, e

, e

tn

t22

t11

nx

x

x

donde 1 , 2 ,…, n y son números. Haciendo

…(22)

…(23)

…(24)

…(25)



n

2

1

yutilizando (23), vemos que la forma vectorial de la solución deseada (25) es

e tx .

Buscamos, pues, soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) que sean

de la forma

e tx

donde es un vector constante y un número.

Aplicando ahora (27) en (24), obtenemos

e e tt A

que se reduce inmediatamente a

A

yde aquí se obtiene

0, )( IA

Donde I es la matriz unidad nn . Escrito en forma de componentes, este sistema

es un sistema lineal homogéneo

,0)( ...

,0 ... )-(

,0 ... )-(

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

con las n incógnitas 1 , 2 ,…, n . Según el teorema A de la sección7,5B,

…(26)

…(27)

…(28)

…(29)



TEOREMA A

“Un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas algebraicas con n incógnitas

tiene un solución no trivial si, y solo si, el determinante de los coeficientes del

sistema es igual a cero”2

Este sistema posee una solución no trivial si, y solos si,

0

,0)( ...

,0 ... )-(

,0 ... )-(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

es decir, en notación matricial, 0 IA

Del resultado C de la sección 7.5

RESULTADO C

“Supongamos que los n autovalores n ,...,, 21 de la matriz Ann , son

distintos (es decir no hay ningún repetido); sea nxxx ,...,, 21 un conjunto de n

autovectores correspondientes en A . Entonces este conjunto de n autovectores es

linealmente independiente”(Shepley L. Ross, 1979, p.370).

Reconocemos que la ecuación (30) es la ecuación característica de la matriz de

coeficientes, )( ijaA , de la ecuación diferencial vectorial (24). Sabemos que esta

ecuación característica es una de ecuación polinómica de n-ésimo grado en ,

recordemos que sus raíces, 1 , 2 ,…, n , son los autovalores o valores propios de

A. Sustituyendo cada autovalor ),...,3,2,1( nii en el sistema (29), obtenemos las

soluciones no triviales correspondientes

n)1,2,3,..,(i ..., , , ni2i21i1 n del sitema (29). Puesto que tal


…(30)



sistema es meramente el (28) escrito en forma de componentes, el vector definido

por

n)1,2,...,(i

2

1

)(

ni

i

i

i

es un vector propio correspondiente al autovalor ),...,3,2,1( nii . Vemos

entonces que si la ecuación diferencial vectorial

Axdt

dx

tiene una solución de la forma

e tx

el número debe ser un autovalor i de la matriz de coeficientes A y el vector

ha de ser un vector propio )(i correspondiente a este autovalor i .

C. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS

Supongamos ahora que los autovalores, 1 , 2 ,…, n , de la matriz de

coeficientes A de la ecuación diferencial vectorial son los distintos (es decir,

no se repiten) y sea )()2()1( ,...,, n un conjunto de n vectores propios

respectivos de A. Entonces las n funciones vectoriales distintas nxxx ,...,, 21

definidas respectivamente por

e )( ,...,e )( ,e )( nt)(t)2(2

t)1(1

21 nn txtxtx

son soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) en todo intervalo real

[a,b].

…(31)

…(24)

…(27)

…(32)



Esto se ve fácilmente de la manera siguiente: De (28), para cada

ni ,...,3,2,1 , tenemos

; )()( iii A

y utilizando además la definición (32) de )(txi obtenemos

),()( )()( tAxeAe

dt

tdxi

titii

i ii

que evidentemente muestra que xi(t) satisface la ecuación diferencial vectorial

,Axdt

dx

en [a,b]

Consideremos ahora el Wronskiano de las n soluciones, nxxx ,..,, 21 ,

definimos por (32). Hallamos

e ... e e

e ... e e

e ... e e

))(,..,,(

tt2

t1

t2

t22

t21

t1

t12

t11

21

21

21

21

n

n

n

nnnn

n

n

n txxxW

.. .

...

...

e

21

22221

11211

)t...( 21

nnnn

n

n

n

Según el resultado C de la sección 7.5 (ya mencionado en las pág19 y 20),

los n vectores propios )()2()1( ,...,, n son linealmente independiente. Por

tanto resulta.

…(24)



0

.. .

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

Además, es evidente que 0e )t...( 21 n para todo t. Entonces

0))(,..,,( 21 txxxW n para todo t en el intervalo [a,b]. Por tanto, según el

teorema 7.15.

Teorema 7.15

“Sean las funciones vectoriales n ,...,, 21 , definidas por

)(

)(

)(

,...,

)(

)(

)(

,

)(

)(

)(

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

nn

n

n

n

nn

, n soluciones de la ecuación diferencial vectorial línea y homogénea

,)( xtAdt

dx en el intervaloreal [a,b]. Estas n soluciones n ,...,, 21 son

linealmente independiente en [a,b] si, y solo si, 0),...,,( 21 nW para todo

],[ bat ”3

Las soluciones nxxx ,...,, 21 de la ecuación diferencial (24), definidas por

(32), son linealmente independientes a [a,b], formando entonces un conjunto

fundamental de soluciones de (24) en [a,b].En consecuencia, una solución

general (24) viene dada por

,...2211 nnxcxcxc




donde nccc ,...,, 21 son números arbitrarios. Resumimos los resultados

obtenidos en el siguiente teorema

TEOREMA 4.

Consideremos la ecuación diferencial vectorial

,Axdt

dx

dondeA es una matriz real constante nn . Supongamos distintos cada uno de

los autovalores de A y sea )()2()1( ,...,, n un conjunto de los n vectores

propios de A correspondientes. Se verifica entonces que, en todo intervalo real

[a,b], las n funciones definidas por e ,...,e ,e nt)(t)2(t)1( 21 nforman un

conjunto linealmente independiente (conjunto fundamental) de soluciones (24)

y

e ...e e nt)(t)2(2

t)1(1

21 nncccx ,

donde nccc ,...,, 21 son números arbitrarios, es una solución general de (24) en

el intervalo [a,b].

…(24)



D. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES

REPETIDOS

Consideremos de nuevo la ecuación diferencial vectorial

,Axdt

dx

donde A es una matriz real constante nn , pero ahora daremos una breve

introducción al caso en que A posea un autovalor repetido. Para concretar,

supongamos que A posee un autovalor real i de multiplicidad m, donde

1<m≤n, y que el resto de los autovalores, nmm ,...,, 21 (si los hay) son

distintos. Según el resultadoD de la sección 7.5.c.

RESULTADO D

“Supongamos que la matriz cuadrada Ann , tiene un autovalor de

multiplicidad m, con .1 nm Entonces este autovalor tiene p

autovectoreslinealemente independientes que le corresponden, con .1 mp

” 4

Sabemos que el autovalor repetido i de multiplicidad m, tiene p vectores

propios linealmente independientes, 1≤p≤m. Consideremos ahora 2 casos(a)

p=m y (b) p<m.

En el caso (a), p=m, existe m vectores propios linealmente independientes

,..., , )()2()1( m correspondientes a i .Entonces, las n funciones definidas

por

t)(t)1(t)(t)2(t)1( n11m1111 e ,...,e ,e ,...,e ,e nmm


…(24)



formanun conjunto de n soluciones linealmente independientes de la ecuación

diferencial (24) y una solución general de esta ecuación es una combinación

de estas n soluciones con n números arbitrarios como constantes de la

combinación.

Un tipo de ecuación diferencial (24) que siempre lleva al caso (a), p =m, en

el caso de un autovalor repetido i , es aquella en la que la matriz de

coeficientes nn de (24) es una matriz real y simétrica. Entonces, según el

resultado G de la sección 7.5C.

RESULTADO G

“Si A es una matriz cuadrada nn , real y símetrica, existen entonces n

vectores propios linealmente independientes de A, bien sean todos los

autovectores de A distintos o bien se repitan o más de ellos”5

Existen siempre n vectores propios linealmente independientes A, sean

distintos o nolos n autovalores de A.

Vamos hacer una consideración muy breve del caso (b), p>m. En este caso

hay menos de m vectores propios, )1( , linealmente independientes que

corresponderá al autovalor i de multiplicidad m. Por tanto, existe menos de

m soluciones linealmente independientes, para la ecuación (24), de la forma




e 1)1( t correspondiendo a i , por lo que no hay un conjunto fundamental de

soluciones de la forma tk kl1e)( , donde k es un autovalor de A y )(k es un

vector propio que corresponde a k . Es evidente que hemos de buscar de otro

modo soluciones linealmente independientes.

Para descubrir que otras formas de solución hemos de buscar, consideremos

las situación análogaal caso B de II. Los resultados que sugiere son los

siguientes:

Si 1 es un autovalor de multiplicidad m=2, y p=1<m, buscamos entonces

soluciones linealmente independientes de la forma

;,ee y e ttt 111 t

donde es un vector propio que corresponde a 1 , es decir, satisface

0; )( IA

y es un vector que satisface la ecuación

.)( IA

Si 1 es un autovalor de multiplicidad m > 2, y p < m, la forma de las m

soluciones linealmente independiente que corresponde a 1 depende de si p =

1,2,…, o m – 1. Sin embargo, no consideramos estas situaciones.



SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES6

El sistema vectorial de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con

coeficientes constantes es de la forma:

)()()(' tftAxtx - - - - - (1)

Cuando tenemos una E.D lineal vectorial no homogénea )()()(' tftAxtx , su

solución general es de la forma CPG XXX donde CX es la solución a la

homogénea asociada )()(' tAxtx esta expresada por:

nnxCxCxCxCx ...332211

El objetivo es hallar la solución particular PX de la ecuación no homogénea, para ello

utilizamos el método de variación de parámetros.

Una solución particular del sistema (1) tendrá la forma:

XvX p donde:

nv

v

v

v 2

1

Para hallar el vector columna, se tendrá en cuenta

dttfXv )(1

donde:

)(

)(

)(f

)( 2

1

tf

tf

t

tf

n

, 1X es matriz inversa X = Matriz fundamental

Por lo tanto la solución general de un sistema de E.D lineales no homogéneas es de la forma:

PCG XXX

dttfXtXctXtx )()()()( 1

6 Nagle E. R. Kent, 2005, p. 551-554



EJERCICIOS RESUELTOS

1 Resolver:

yxy

yxx

yxdt

dy

yxdt

dx

4

_(1) _ _ _ 25

:asíexpresar puede Tambien

4

25

-(2)-----

: tipodelsolución una Buscamos

t

t

Bey

Aex

Hallamos sus derivadas:

t

t

eBy

eAx

(3) _ _ _ _ '



)(

(2) en (7)

)7(3 y 1

044

022

:(4) en (5) ,3 Si

)6(1

(5)----- 3 :Donde

ica)carateríst (ecuación 034

tenemosedeterinant el ndodesarrolla

01

2

4

5

:cumplirse debe trivialesno solucioneshallar Para

1 en 0yx trivialsoluciónla originaría que 0,BA es 4 de trivialSolución

)4(014

025

:Obtenemos

014 4

025 25

(1) en y(3)(2) sRemplazamo

3

3

1

2

1

2

Iey

ex

BA

BB

BA

BA

BA

BABeAeeB

BABeAeeA

t

t

ttt

ttt

tt

tt

t

t

eCeCy

eCeCx

IIey

ex

BA

BB

BA

23

1

23

1

2

2

:es general soluciónla (II), y (I) sexpresione las deLuego,

)(2

(2) en (8)

)8(3 y 2 ,1

024

024

:(4) en (6) ,1 Si



2 Resolver:

yxdt

dy

yxdt

dx

4

3

Resolución

Buscamos una solución del tipo:

Remplazamos (2) y (3) en (1), obtenemos:

Simplificando términos comunues y factorizando:

Una solución no trivial de (4) se obtiene si se cumple:



Remplazamos (5) en (4):



3. Resolver:

txxdt

dx

txdt

dx

212

21

3

32

Resolución

PRIMERO:

Hallamos la solución complementaria” CX ” . A partir del sistema homogéneo asociada a (1)

Buscamos una solución del tipo:

Remplazamos (3) y (4) en (1):



Remplazando (5) en (4) y escogiendo apropiadamente los valores:

Obtenemos A=1, B=1

De modo que una solución de (2) es:

t

t

ex

ex

22

21

Remplazando (6) en (4) y escogiendo apropiadamente los valores:

Obtenemos A=2, B=1

De modo que una solución de (2) es:

t

t

ex

ex

22

1 2

Por lo tanto la SOLUCIÓN GENERAL DE (2) es:

tt

tt

eCeCx

eCeCx

22

12

22

11 2

Forma matricial:

2

1

2

2

2

C

C

ee

eeX

tt

tt

C

Donde:

tt

tt

ee

eeX

2

2

2

MATRIZ FUNDAMENTAL DE (2), además

2

1

C

CC

Por lo tanto : XCXC

SEGUNDO.

Buscamos una solución particular de (1) “ PX ”. Buscamos una solución del tipo:

XvX p donde:

2

1

v

vv

Se cumple:

FdtXv 1 donde:

2

1

F

FF , 1X es matriz inversa de X

Hallamos 1X :



1X =

tt

tt

ee

ee

-

2 22

y

t

tF

3

Entonces:

FX 1

tt

tt

ee

ee

-

2 22

t

t3

FX 1

tt

tt

ette

tete

3

2 3 22

FX 1

t

t

te

te

4

5 2

Como :

dt

te

teFdtXv

t

t

4

5 21

Hallamos

ttt etedtte 222

4

5

2

55

ttt etedtte 444

Por lo tanto:

tt

tt

ete

etev

44

4

5

2

5 22

Hallamos:

XvX p

pX

tt

tt

ee

ee

2

2

2

tt

tt

ete

ete

44

4

5

2

5 22



4

11

2

13

4

27

2

11

t

t

X p

SOLUCIÓN PARTICULAR DE (1):

4

11

2

13

4

27

2

11

2

1

tx

tx

SOLUCION GENERAL DE (1):

CPG XXX

4

11

2

13

4

27

2

112

22

12

22

11

teCeCx

teCeCx

tt

tt

4. Resolver:

3213

3212

11

23

22

xxxdt

dx

xxxdt

dx

xdt

dx

Resolución

3213

3212

11

23

22

xxxdt

dx

xxxdt

dx

xdt

dx

Buscamos una solución de la forma:

33

22

11

t

t

t

ex

ex

ex

33

22

11

t

t

t

edt

dx

edt

dx

edt

dx

1

2 3



y en

tttt

tttt

tt

eeee

eeee

ee

3213

3212

11

23

22

tt

tt

tt

ee

ee

ee

3213

3212

11

23

22

3213

3212

11

23

22

01 2 3

0 2 12

0 0 0 1

321

321

1

Formamos el determinante

0

1 2 3

2 1 2

0 0 1

Desarrollamos el determinante

013404 12 04 1 1 2

04 1 1 2

i211 21

Tenemos una raíz real y dos diferentes

en

023

022

31

31

31

31

23

Tenemos que: 232 321

Reemplazamos los valores de 321 ,, y en

2

3

2

3

2

1

t

t

t

ex

ex

ex

4

0 0

3 2 1

5 6

5 4

5 2

7

4



en

012123

021212

0121

321

321

1

i

i

i

0223

0222

02

321

321

1

i

i

i

022

022

32

32

i

i

Tenemos que: i 321 10

Reemplazamos los valores de 321 ,, y en

ti

ti

ti

iex

ex

ex

21

3

21

2

21

1

1

0

Luego la solución de es:

tit

tit

tit

eiCeCx

eCeCx

eCeCx

21

213

21

212

21

211

2

13

02

tit

tit

t

eiCeCx

eCeCx

eCx

21

213

21

212

11

2

3

2

Aplicamos la formula de Euler

tSenCetCosCeeCx

tSenCetCosCeeCx

eCx

ttt

ttt

t

222

223

2

222113

222112

11

6 4

8

6 2

1



RESULTADOS Y/O CONCLUSIONES

El algebra lineal (matrices y vectores) es muy importante para la resolución de

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Dependiendo de las raíces de la ecuación característica de los sistemas lineales

homogéneos con coeficientes constantes, de dos ecuaciones con dos funciones

incógnitas se puede estimar las soluciones de esta, en la cual se puede tener

tres casos.



BIBLIOGRAFÍA

Shepley L. Ross. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Editorial Revereté, S.A

Paul Blanchard, Robert L. Devaney y Glen R. Hall. (1999). Ecuaciones

diferenciales. México, International Thomson Editores, S.A.

P. Puig Adam. (1965). Curso Teórico Practico de Ecuaciones Diferenciales

Aplicado a la Física y Técnica – Tomo II – Octava Edición. Madrid.

Harry W. Redick. (1961). Ecuaciones Diferenciales – Tercera Edición. Mexico

D. F. Editorial Continental, S. A.

Nagle E. R. Kent. (2005). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores

en la Frontera – Cuarta Edición. México. Editorial Pearson Educación.

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ECUACIONES DIFERENCIALES