Ecuaciones diferenciales

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Editorial

V. B

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colecciónGrado

ISBN: 978-84-362-6565-1

9 788436 265651

90106

Problemas de ecuaciones diferenciales

Vicente Bargueño FariñasMaría Alonso Durán

Con introducciones teóricas

Este libro ofrece al lector un acceso sencillo al conocimiento de las ecuaciones diferenciales mediante

el procedimiento más práctico, que es la resolución de problemas.

Los contenidos del mismo son los correspondientes a los estudios de grado de Ingeniera en la Escuela

Técnica de Ingenieros Industriales de la UNED. El sistema metodológico empleado es mixto. Consiste

en una introducción teórica en cada capítulo para, posteriormente, resolver, de forma secuencial, los

ejercicios correspondientes a cada uno de esos contenidos teóricos.

Este método supone una forma de proceder muy adecuada en la enseñanza a distancia, ya que

ambos componentes combinados marcan, al mismo tiempo que se sedimentan conceptos, una

secuencia lógica de adquisición y comprensión de los mismos.

Vicente Bargueño Fariñas es ingeniero industrial por la UPM y doctor ingeniero industrial por la

UNED. Es autor de algunos libros de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, y posee una larga

experiencia en la docencia de distintas asignaturas referentes a la matemática aplicada en distintas

escuelas técnicas de grado medio y superior en las universidades citadas, ejerciendo funciones,

respectivamente, de catedrático de Escuela Universitaria y profesor titular de Universidad.

María Alonso Durán es doctora en ingeniería industrial por la UNED. Posee una amplia experiencia

en la docencia de asignaturas de matemáticas en los estudios de Ingeniería y en las licenciaturas

de Economía y ADE. En la actualidad es profesora asociada en el Departamento de Matemática

Aplicada I de la UNED, e imparte las asignaturas de Ecuaciones Diferenciales y Álgebra Lineal. Su

actividad investigadora se desarrolla en el campo de la Matemática Aplicada, centrándose en estudios

de Diferenciación Generalizada.

C

M

Y

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www.uned.es/publicaciones

Problemas de ecuaciones diferenciales

Con introducciones teóricas

VICENTE BARGUEÑO FARIÑAS MARÍA ALONSO DURÁN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CON INTRODUCCIONES TEÓRICAS

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografíay el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamos públicos..

© Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid 2013


© Vicente Bargueño Fariñas, María Alonso Durán

ISBN electrónico: 978-84-362-6766-2

Edición digital: octubre de 2013


ÍNDICE

Prólogo

Capítulo 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. GENERALIDADES

Introducción teórica Ejercicios resueltos

Capítulo 2. INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN. LA ECUACIÓN LINEAL

Introducción teórica Ejercicios resueltos

Capítulo 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Introducción teóricaEjercicios resueltos

Capítulo 4. ECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES


Capítulo 5. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


Capítulo 6. SOLUCIONES DEFINIDAS POR SERIES


Capítulo 7. SISTEMAS DE ECUACIONES


PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo 8. ESTABILIDAD DE SOLUCIONES. SISTEMAS NO LINEALES


Capítulo 9. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. GENERALIDADES


Capítulo 10. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES DE SEGUN- DO ORDEN. SEPARACIÓN DE VARIABLES


Las ecuaciones diferenciales forman parte esencial de los diferentes modelos matemáticos que ayudan a comprender los sistemas y fenómenos técnicos y que, generalmente, se encuentran presentes a la hora de resolver problemas existentes en las distintas ramas de la física y la ingeniería.

La publicación de este libro pretende ofrecer al lector un acceso sencillo a las ecuaciones diferenciales mediante su conocimiento más práctico, que es la resolu-ción de problemas.

El procedimiento metodológico empleado es mixto. Consiste en una introduc-ción teórica en cada capítulo, y posteriormente en la resolución de los problemas correspondientes. Este método supone una forma de proceder muy adecuada en la enseñanza a distancia, ya que ambos componentes combinados marcan, al mis-mo tiempo que se sedimentan conceptos, una secuencia lógica de adquisición y comprensión de los mismos.

El libro está dirigido a los estudiantes de las Escuelas Técnicas de Ingeniería, y fundamentalmente a los de grado, en sus diferentes denominaciones, de la Escue-la Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UNED. El contenido se divide en dos bloques claramente diferenciados. Del primero se ocupan los capítulos 1-8 y trata sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias. El segundo bloque se desa-rrolla en los capítulos 9 y 10 y consiste en una introducción breve a las ecuaciones en derivadas parciales.

Los requisitos previos que tiene que poseer el lector para abordar este libro se centran en el conocimiento de los elementos básicos de álgebra lineal y del cálculo de funciones de una y varias variables.

Finalizamos estas notas indicando que en la elaboración de este texto se ha ofrecido la larga experiencia que los autores tienen en la docencia de las matemá-ticas y de las ecuaciones diferenciales en distintas Escuelas Técnicas de grado me-dio y superior, y agradeciendo a la Universidad Nacional de Educación a Distancia el interés mostrado en dicha elaboración.

Los autores

PRÓLOGO

CAPÍTULO 1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

GENERALIDADES

Introducción teórica

1. Definiciones

Ecuación diferencial es una ecuación en la que figura una funcióndesconocida y alguna de sus derivadas.

Si la función incógnita es de una variable se llama ecuación diferen-cial ordinaria. Si esa función incógnita es de dos o más variables, y las de-rivadas que aparecen son derivadas parciales, se llama ecuación en deri-vadas parciales.

Orden de una ecuación es el de la derivada de mayor orden que inter-venga. Grado es el grado de la derivada de mayor orden.

Solución (o integral) de la ecuación diferencial ordinaria de orden n es toda función ϕ definida en un cierto intervalo, que tiene n derivadas continuas en ese intervalo, y tal que sustituida ella y sus derivadas, convierten la ecua-ción en una identidad. La gráfica de una solución se llama curva integral.

Integrar (o resolver) una ecuación es hallar el conjunto de todas sus soluciones.

2. Ecuación diferencial de un haz de curvas planas

La expresión F(x,y,λ) = 0 define, en una cierta región del plano xy, unhaz de curvas tal que por cada punto del plano pasa una curva y solo una del haz. La eliminación del parámetro λ entre

( )λ =

∂∂

+ ∂∂

′ =

F x y

Fx

Fy

y

, , 0

0


lleva a la expresión Φ(x,y,y′) = 0 que es la ecuación diferencial de la familia de curvas.

3. La ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Tiene como expresión general: F(x,y,y ) = 0. Si puede hacerse, despe-jando y la expresión es y = f(x,y), en donde f se supone definida en un cierto dominio de R2.

4. Problema de Cauchy

Se llama así a la siguiente cuestión:

Dada la ecuación diferencial y = f(x,y), y un punto (x0,y0) del dominio de definición de f, ¿qué condiciones debe cumplir la función f para que exista una única solución y = (x) de la ecuación, tal que y0 = (x0)? La condición y0 = (x0) dada se llama condición inicial.

5. Teorema de existencia y unicidad de solución

Ofrece una respuesta al anterior problema de Cauchy.

Sea f una función continua de un dominio de R2 en R y (x0,y0) . Se

considera el problema de Cauchy: y = f (x, y)

y0 = (x0 ). Si la función f satisface las

condiciones:

a) f es continua en Ω.

b) f posee derivada parcial f x yy

( , ) continua en .

Entonces existen > 0 y una única función y = (x) tales que

d (x)dx

= f x, (x)( ), x0 x x0 +

y0 = (x0 )

6. Solución general y solución particular

Si es el dominio en el que la ecuación y = f(x,y) cumple las condi-ciones de existencia y unicidad de las soluciones, se llama integral o so-

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. GENERALIDADES

lución general de la ecuación en el dominio a una función y = y(x,C) (donde C es una constante arbitraria), tal que:

a) y = y(x,C) satisface la ecuación cualquiera que sea el valor de laconstante C.

b) Para cada punto (x0,y0) del dominio , existe un valor C0 de C talque y = y(x,C0) es la única solución que satisface la condición y0 = y(x0,C0).

Se llama Solución particular a cada una de las funciones que se obtie-nen de la integral general al dar un valor determinado a la constante C.

7. Aproximación gráfica de soluciones

a) Método básico. Las curvas solución se trazan a partir de sus vecto-res tangentes en cada punto (x,y) del dominio , que son vectores unita-rios en la dirección del vector (1 , f(x,y)).

El vector unitario es

1

1+ f x, y( )( )2,

f x, y( )1+ f x, y( )( )2

(1.1)

b) Método de las isoclinas. Las isoclinas son la familia de curvas en lascuales las curvas integrales tienen dirección constante. Es decir, es la fami-lia de curvas de ecuación f(x,y) = k, con k R. Las curvas solución se tra-zan siguiendo el siguiente proceso:

1. Se representa una familia de curvas isoclinas.

2. En cada isoclina f(x,y) = k, se representan segmentos de pendiente k.

3. Se trazan las curvas integrales de forma que sean tangentes a lossegmentos en el punto de cada isoclina.

Ejercicios resueltos

1.1. Determínese el orden y el grado de las siguientes ecuaciones:

a) + − =xd ydx

xdydx

xy e2 x22

2

b) ′ + =y y y xy( ) 23 2

c) ′′′ − + =xy x y x 0iv2 ) 4

d) − + − + =x y dx x x y dy( ) ( 2 ) 02 3 2

e) ′′ + ′′′ − ′ =y y y x( ) ( ) ( )3 2 4

SOLUCIÓN

a) Orden 2, grado 1.

b) Orden 1, grado 3.

c) Orden 4, grado 1.

d) Orden 1, grado 1.

e) Orden 3, grado 2.

1.2. Verifíquese que la función indicada es solución de la correspon-diente ecuación:

a) ′ + + == +

y x y

y x

( ) 2

3

2 b) ′ = +

=

yyx

y x x

1

ln


c) ′ − =

= +

xy y x

y x x3

2

2

d) ′′ + ′ − =

= −

y y y

y e

2 3 0x3

SOLUCIÓN

En todos los casos se trata de calcular las derivadas correspondientes de la función y sustituir en la ecuación, comprobando que se verifica la igualdad.

a) y = x + 3 y =1 .

Sustituyendo y,y en la ecuación: + + = +x x1 2 32

b) y = x ln x y = ln x +1 .

Sustituyendo y,y en la ecuación: + = +xx x

xln 1

ln1

c) y = 3x + x2 y = 3+ 2x . Se obtiene: + − + =x x x x x(3 2 ) (3 )2 2

d) y = e 3x y = 3e 3x y = 9e 3x .

Sustituyendo y,y ,y en la ecuación: + − − =− − −e e e9 2( 3 ) 3 0x x x3 3 3

1.3. Hállese la ecuación diferencial de la familia de circunferencias con centro en el eje x y radio igual a 2.

SOLUCIÓN

Los puntos del eje x son de la forma ( ,0). Por tanto la ecuación de es-tas circunferencias es

− λ + =x y( ) 42 2

Derivando implícitamente respecto a x se obtiene:

− λ + ′ =x yy2( ) 2 0

Eliminando λ entre las dos ecuaciones anteriores, es decir, despejando λ en la última ecuación y sustituyendo en la primera, se llega a la ecuación diferencial


+ ′ =y y(1 ) 42 2

que es la ecuación diferencial de la familia.

1.4. Hállese en cada caso la ecuación diferencial de la siguientes fami-lias de curvas:

a) = + λ −y e ex x2

b) = λy x xln

c) − λ =x y 12 2

d) − λ = λy x2 2

SOLUCIÓN

a) Derivando respecto a x se tiene

′ = − λ −y e e2x x2

Eliminando λ entre la ecuación y su derivada se obtiene la ecuación di-ferencial pedida.

Despejando λ en la derivada se obtiene

λ = − ′−

e ye2

x

x2

que sustituyendo en la primera ecuación resulta

y = ex + ex y

2e 2x e 2x = ex + ex y2

y + 2y 3ex = 0

b) Procediendo de la misma manera que en el ejercicio anterior

y = (ln x +1) = yln x +1


Sustituyendo en la primera ecuación:

y = yln x +1

x ln x y = y(ln x +1)x ln x

o bien:

y = yx

1+ 1ln x

c) Derivando respecto a x

2x 2 yy = 0 = xyy

Sustituyendo en la primera ecuación

x2 xyy

y2 =1 x2yy xy2 = yy yy (x2 1) xy2 = 0

d) Derivando respecto a x

2yy = 0 = 2yy

Sustituyendo en la primera ecuación

y2 2yy x = 4y2y 2 4y2y 2 + 2yy x y2 = 0

1.5. Hállese la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el punto (3,–1).

SOLUCIÓN

La ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto (3,–1) es

y +1=m(x 3) y =m(x 3) 1


Derivando se obtiene: y = m.

Sustituyendo en la ecuación de partida resulta

′ − − − =y x y( 3) 1 0

1.6. Hállese la ecuación diferencial de la familia de circunferencias

con centro en la recta y = 1, y radio igual a la distancia entre su centro y el

punto (0,1).

SOLUCIÓN

Las coordenadas del centro son: C(a,1) y el radio: R = a

La ecuación de la familia de circunferencias es

− + − =x a y a( ) ( 1)2 2

Derivando la expresión anterior, se obtiene

x a y y2( ) 2( 1) 0− + − ′ =

Eliminando el parámetro a entre − + − ′ =

− + − =⎧⎨⎩

x a y y

x a y a

2( ) 2( 1) 0

( ) ( 1)2 2 2, resulta

( )′ − + − = + ′ −

′ − = − −

y y y x y y

xy y y x

( 1) ( 1) ( 1)

2 ( 1) ( 1)

2 2 2 2

2 2

1.7. En una selva se analizó la población y(t) de una determinada es-

pecie de insectos, y se observó que en el instante t = 0 era y0 el número de

los mismos, y en el t = 1 era y32 0 . Además, se comprobó que su velocidad de

crecimiento dydt

venía dada por la expresión = α +dydt

y t y t( ) ( )2 , donde es

una constante real. Con estos datos, se pide:


a) Hallar de forma explícita y(t).

b) Valor y signo de la constante .

c) Probar que la función que define la población y(t) es estrictamentecreciente, y determinar el límite de la misma cuando el tiempo tiende a in-finito.

SOLUCIÓN

a) De la ecuación diferencial se deduce

dydt

= y2(t)+ y(t) dyy2 + y

= dt dyy y +1( ) = dt

que descomponiendo en fracciones simples puede escribirse

−α

α +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

y ydy dt

11

Integrando, queda

ln y ln y +1 = t + K lnyy +1

= t + K yy +1

= Cet y = C ety + Cet

y(1 C et ) = Cet

Por tanto la solución general es

( ) =− α

y tC e

C e1

t

t

Para t = 0 es y = y0, es decir =− α

yC

C10 o también =+ α

Cy

y10

0

.


Sustituyendo C y simplificando se obtiene la solución pedida

( )( ) =α − +

y ty e

y e1 1

t

t0

0

b) En la nueva medición, para t = 1 es y y32 0 , por lo tanto se verifica

=− α

yC e

Ce32 10

Sustituyendo el valor de C obtenido en el apartado anterior y despejan-do resulta

( )α = ⋅−−y

ee

1 3 23 10

Es decir, tiene signo negativo.

c) Al ser < 0 y sustituyendo los valores y(t), hallados, se obtiene que

la derivada = α +dydt

y t y t( ) ( )2 > 0 y por tanto la función y(t) es estrictamen-

te creciente. El límite cuando t ∞ es

( )( ) =α − +

= −α→∞ →∞

y ty e

y elim lim

1 1

1t t

t

t0

0

1.8. Determínese si el teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia de una solución única para los siguientes problemas de Cauchy:

a) ′ =−

=

yy

y

14

(3) 0

2 b) ′ = −

=

y y

y

16

(1) 2

2

c) ′ = −

=

y y

y

16

(0) 4

2

d) ′ =−

=

yy

x

y

1

(5) 0


SOLUCIÓN

a) Las funciones:

=−

f x yy

( , )1

4,2 ( )

∂∂

= −

−

fy

x yy

y( , )

2

42 2

son continuas en un entorno del punto (3,0). Por tanto existe solución única.

b) = −f x y y( , ) 16 2 y∂∂

=−−

fy

x yy

y( , )

16 2 son continuas en un entorno

del punto (1,2). Existe solución única.

c) La función ( ) = −f x y y, 16 2 es continua en (0,4), pero ∂∂

=−−

fy

x yy

y( , )

16 2

no lo es en ese punto. El teorema no garantiza la existencia de solución única.

d) Al ser∂∂

=−

⋅fy

x yx y

( , )1

1

1

2no continua en (5,0), el teorema no ga-

rantiza la existencia de solución única.

1.9. Determínese una región del plano xy en la que en cada caso, la ecuación diferencial dada tenga solución única:

a) − ′ = +y x y y x( ) 22

b) = −dydx

y x1

2

c) ′ − + =y e x y 0x

d) ′ + = −y x y x y( )2 2

e) − − =y x dx dy( ) 01

3 2


SOLUCIÓN

a) Tanto la función =+−

f x yy xy x

( , )2

2 , como su derivada parcial

∂∂

=− − −

−fy

x yy x xy

y x( , )

4( )

2

2 2

son discontinuas en la curva y2 x = 0 y2 = x . Las hipótesis del teo-rema de existencia y unicidad de solución no se cumplen en dicha cur-va. Por tanto por cada punto (x, y) situado en alguna de las regiones ∈ >x y R y x( , ) |2 2 o ∈ <x y R y x( , ) |2 2 pasa una solución única de laecuación.

b) La función = −f x y y x( , )1

2 no está definida y por tanto no es conti-nua en el conjunto ∈ <x y R y( , ) | 02 .

La derivada parcial ∂∂

=fy

x yy

( , )1

2no es continua en ∈ ≤x y R y( , ) | 02 .

Por tanto la región del plano donde la ecuación posee solución única es

∈ >x y R y( , ) | 02

c) La función =−

f x yx ye

( , ) x y la derivada parcial ∂∂

=−f

yx y

e( , )

1x son

continuas en todo el plano xy, por tanto la ecuación tiene solución única en todo el plano xy.

d) La función =−+

f x yx y

x y( , ) 2 2 y la derivada parcial

( )∂∂

=− − +

+

fy

x yx xy y

x y( , )

22 2

2 2 2

son continuas en todo el plano excepto en el punto (0,0). En consecuencia existe solución única de la ecuación en cualquier región del plano xy que no contenga al punto (0,0).

e) La derivada parcial∂∂

=fy

x yy

( , )1

3 23no es continua en la recta y = 0.

La ecuación tiene solución única en cualquier región del plano xy que no contenga a dicha recta.


1.10. Utilizando el método básico y el método de las isoclinas, de-termínese la forma aproximada de las curvas integrales de las siguientes ecuaciones:

a) ′ = −yxy

b) ′ = +y x y

c) ′ = −y x xy4

SOLUCIÓN

a) Método básico: El campo de vectores unitarios se representa en lafigura 1.1 y viene dado ((1.1) de la introducción teórica) por

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=+

−

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟x

y

xy

xy

y

x y

x yy

x y

1

1

,

1

| |,

| |

2 2 2 2 2 2

Figura 1.1


Método de las isoclinas: Las isoclinas son curvas de la familia − =xy

k, es

decir = −yxk

(rectas que pasan por (0,0)). En la figura 1.2 se representan

las isoclinas para los valores:

= − − − − −k 4, 3, 2, 1, 0, 1/ 2, 1,1/ 2, 2, 3, 4

En cada isoclina se han trazado segmentos pequeños con la misma pendiente. Como cada curva solución, al cortar a cada isoclina lo hace con la pendiente que esta tiene, las uniones de esos segmentos pequeños de cada isoclina serán la curvas integrales. Circunferencias concéntricas en este caso.

Figura 1.2


b) Método básico: El campo de vectores unitarios se representa en lafigura 1.3 y viene dado por

+ ++

+ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟x y

x y

x y

1

1 ( ),

1 ( )2 2

Figura 1.3

Las curvas solución estarán formadas por las curvas que unen los vec-tores unitarios.

Método de las isoclinas: Las isoclinas son la familia de curvas x + y = k es decir y = k – x. En la figura 1.4 se representan las isoclinas para los va-lores k = –4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4 y algunas curvas solución de la ecuación y = x + y. (Obsérvese que la isoclina de ecuación x + y = –1 es también una curva solución).


Figura 1.4

c) Método básico: El campo de vectores unitarios viene dado por

+ −−

+ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟x xy

x xy

x xy

1

1 ( 4 ),

4

1 ( 4 )2 2

Método de las isoclinas: Las isoclinas son la familia

x 4xy = k y = 14

k4x

En la figura 1.5 se representan las isoclinas para los valores:

k = –8,–4,–2,–1,0,1,2,4,8

y algunas curvas solución de la ecuación y = x – 4xy. (Obsérvese que la iso-clina de ecuación x 4xy = 0 y = 1

4 es también una curva solución de la

ecuación).


Figura 1.5

CAPÍTULO 2

INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN.

LA ECUACIÓN LINEAL


1. Ecuaciones con variables separables

Son ecuaciones que pueden expresarse en la forma

dy

dx =

P(x)

Q(y), es decir P(x)dx = Q(y)dy.

La solución general es: ∫∫ ( )( ) = +P x dx Q y dy C

2. Ecuaciones homogéneas

Una ecuación y′ = f(x, y) se dice homogénea si f(x, y) es una funciónhomogénea de grado 0. Esto es cuando f(λx, λy) = f(x, y) para todo λ ∈ R.

Se resuelve mediante el cambio de variable dependiente y = ux, con el que se obtiene una ecuación con variables separadas.

3. Ecuaciones reducibles a homogéneas

Son ecuaciones de expresión general

=+ ++ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y fa x b y ca x b y c

' 1 1 1

2 2 2

y se transforman en una homogénea de la siguiente forma:

Cuando a2

a1

≠b2

b1


Las expresiones: a1x + b1y + c1 = 0; a2x + b2y + c2 = 0 representan dos rectas no paralelas.

Si (α, β) es el punto de corte de ambas rectas, los cambios de variable x = u + α y = v + β, la transforman en homogénea.

Cuando a2

a1

= b2

b1

= λ con c2

c1

≠ λ2 (rectas paralelas no coincidentes), la

ecuación diferencial puede ponerse =+ ++ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y fa x b y c

p a x b y c'

( )1 1 1

1 1 2

, y el cambio

de variable dependiente z = a1x + b1y la transforma en una de variables se-paradas.

4. Ecuaciones diferenciales exactas. Función potencial

La ecuación

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

es diferencial exacta si existe una función F(x, y) tal que

∂F(x, y)

∂x = P(x, y),

∂F(x, y)

∂y = Q(x, y) (2.1)

Entonces F(x, y) = C es la solución general de la ecuación, y F(x, y) se denomina función potencial de (P, Q).

5. Cálculo de la función potencial

Si existe la función potencial F de (P, Q), esta se determina:

1. Se integra P(x, y) respecto de x, que según (2.1) será

∫( ) ( ) ( )= +F x y P x y dx k y, ,

2. Se halla k(y) derivando la expresión respecto de y, recordando (2.1)

INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN. LA ECUACIÓN LINEAL

∫ ( ) ( )∂∂

= =∂∂

+F x y

yQ x y

yP x y dx k y

( , )( , ) , '

6. Factor integrante

Si P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 no es diferencial exacta, pero existe una fun-ción μ(x, y) tal que lo es la ecuación μ(x, y) [P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = 0, en-tonces μ(x, y) se denomina factor integrante.

Dicho factor integrante ha de cumplir que

∂[μ(x, y) P(x, y)]

∂y =

∂[μ(x, y) Q(x, y)]

∂x

lo cual se traduce en

∂μ∂

−∂μ

∂+ μ

∂∂

−∂

∂⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =P x y

x yy

Q x yx yx

x yP x y

yQ x y

x( , )

( , )( , )

( , )( , )

( , ) ( , )0.

Ecuación esta última que puede simplificarse suponiendo distintas cuestiones, por ejemplo que μ sólo depende de x, o bien solo de y, etc.

Es importante comprobar que las soluciones halladas al resolver la ecuación obtenida con el factor integrante, son todas ellas soluciones de la ecuación inicial, pues pueden aparecer funciones que anulan idénticamen-te el factor μ(x, y).

7. La ecuación lineal de primer orden

Es de la forma

y′ + f(x)y + g(x) = 0 (f, g continuas). (2.2)

La ecuación y′ + f(x)y = 0 se llama: Ecuación homogénea asociada, di-ciéndose no homogénea (o completa) a la ecuación (2.2).


1. Resolución: Si u(x) es una solución de la ecuación homogénea aso-ciada, el cambio de variable dependiente y = u(x)v(x) conduce a la expre-sión

∫= ∫ − ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )−y e C g x e dx( )

f x dx f x dx( )(2.3)

que es la solución general.

2. Otra forma de resolución. Se basa en la siguiente propiedad:

La solución general de la ecuación lineal de primer orden es igual a la so-lución general de la ecuación homogénea asociada más una solución parti-cular de la completa.

Para ello se halla la solución general de y′ + f(x)y = 0 que es la homogé-nea asociada a (2.2), y posteriormente se busca una solución particular de la completa.

8. Método de variación de las constantes

Una forma de hallar una solución particular de la ecuación lineal com-pleta es el llamado Método de variación de las constantes, que consis-te en buscar dicha solución particular con la misma forma que la solución general de la ecuación homogénea asociada, pero donde la constante de integración C se hace variable C(x).

La sustitución de dicha solución buscada, junto con su derivada, en la ecuación completa permite identificar C(x) y con ello la solución particular.

9. La ecuación de Bernouilli

Se llama así a la ecuación de la forma

y′ + f(x)y + g(x)yn = 0 (f, g continuas).

Se transforma en lineal dividiendo por yn y efectuando el cambio

z 1

(1 – n)yn–1⇒ z′ =

y′

yn


10. La ecuación de Riccati

Se llama así a la ecuación de la forma

y′ + f(x)y2 + g(x)y + h(x) = 0 (f, g, h continuas).

Para resolverla se necesita una solución particular. Si y = φ(x) es esa so-lución, el cambio y = φ(x) + u ⇒ y′ = φ′(x) + u′ la transforma en una ecua-ción de Bernouilli.

11. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada

Son ecuaciones de la forma F(x, y, y′) = 0. Algunos de los tipos más fre-cuentes son:

1. Ecuaciones de grado n respecto a y′

(y′)n + P1(x, y)(y′) + ... + Pn–1(x, y)(y′) + Pn(x, y) = 0 (Pi(x, y) continuas)

Si la ecuación se factoriza como

(y′ – f1(x, y)) ... (y′ – fn(x, y)) = 0

la integral general está formada por el conjunto de las integrales:

ϕi(x, y, Ci) = 0 | i = 1, ..., n

donde ϕi(x, y, C) = 0 es la solución de y′ = fi(x, y).

2. Ecuaciones de la forma f(y, y′) = 0:

a) Si se puede expresar y = g(y′), se efectúa el cambio y′ = p,dy = pdx.

b) Si puede expresarse en forma paramétrica: y = α(t), y′ = β(t), lasolución es:

∫=αβ

+

= α

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

xtt

dt C

y t

´( )( )

( )


3. Ecuaciones de la forma f(x, y′) = 0:

a) Si se puede despejar x = g(y′), se efectúa el cambio y′ = p, dy = pdx.

b) Si puede expresarse en forma paramétrica: x = α(t), y′ = β(t), lasolución es

∫= α β +

= α

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

y t t dt C

x t

´( ) ( )

( )

12. La ecuación de Lagrange

Es de la forma

y = xf(y′) + g(y′) (f, g continuas y derivables).

Se transforma en lineal con el cambio y′ = p.

Un caso particular es la Ecuación de Clairaut, de expresión y = xy′ + g(y′), que tiene la particularidad de que su solución general es una familia de rectas

y = Cx + g(C)

resultante de sustituir y′ por C en la expresión de la ecuación.

13. Soluciones singulares

Son las soluciones de la ecuación diferencial que no se encuentran en-tre las de su solución general.

Dada la ecuación de primer orden F(x, y, y′) = 0, un elemento (x, y, y′) es regular si existe un entorno V de (x, y) en el que por cada uno de sus pun-tos pasa una única solución de la ecuación, en otro caso es singular. Una solución singular es la que está formada por puntos singulares.

Por tanto, por todo punto de la solución singular pasa una curva de las contenidas en la solución general de la ecuación y además ella misma. Es decir, en ese punto no se verifica el teorema de existencia y unicidad. Con ello puede decirse que:

Una solución singular de una ecuación diferencial, es aquella que siendo solución, no se deduce de su solución general para ningún valor de la constante de integración.


14. Forma de hallar las soluciones singulares

Si F es de clase uno en A, las soluciones singulares se encuentran en-tre las curvas que cumplen la condición ψ(x, y) = 0, obtenida al eliminar y′ entre:

F(x, y, y′) = 0

∂F

∂y′ (x, y, y′) = 0

Es necesario además comprobar que cada curva obtenida es solución de la ecuación diferencial y además no se deduce de la integral general.

15. Trayectorias de una familia de curvas

Dada una familia uniparamétrica de curvas H(x, y, λ) = 0, se llama tra-yectoria oblicua de dicha familia a la curva que las corta bajo un ángulo constante α.

Si la ecuación diferencial de dichas curvas es F(x, y, y′) = 0, la de las tra-yectorias que las cortan bajo el ángulo α es:

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=F x y

y kky

, ,´

1 ´0, donde k=tg .

Si α = 90º las trayectorias son ortogonales. En ese caso la pendiente de una curva de la familia y la de su trayectoria ortogonal son inversas y cam-biadas de signo.

Por tanto, si la ecuación diferencial de una familia de curvas es F(x, y, y′) = 0, la de sus trayectorias ortogonales es

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=F x y

y, ,

1'

0


16. Determinación de las trayectorias de una familia de curvas

Las trayectorias que cortan bajo un ángulo α la familia de curvas de ecuación H(x, y, λ) = 0 se determinan de la siguiente forma:

1. Se obtiene la ecuación diferencial F(x, y, y′) = 0 de la familia.

2. Se sustituye y′ en dicha ecuación diferencial pory′ – k

1 + ky′, donde

k = tg α

3. Se resuelve la ecuación diferencial resultante.

En caso de hallar las trayectorias ortogonales, se siguen los mismos pa-

sos pero sustituyendo y′ por – 1

y′, y resolviendo la ecuación diferencial

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=F x y

y, ,

1'

0.


2.1. Intégrese la ecuación

y3y′ + y3x2y′ + x – xy2 = 0

SOLUCIÓN

La ecuación es de variables separables ya que se puede escribir de la forma

y′y3(1 + x2) + x(1 – y2) = 0 ⇒ y3

1 – y2 dy =

–x

1 + x2 dx

Descomponiendo en fracciones simples e integrando se obtiene

∫∫ − +−

−+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = −

+y

y ydy

xx

dx1/ 21

1/ 21 1 2

cuya solución es

+ − + = + +y

y y x C2

ln (1 )(1 ) ln 1 ,2

2

O de otra forma

+ − + − + =y

y y x C2

ln (1 )(1 ) ln 12

2



y′ x2

cos2 y + tg y = 1

SOLUCIÓN

La ecuación es de variables separables ya que

y′ x2

cos2 y = 1 – tg y ⇒

dy

cos2 y(1 – tg y) =

dx

x2

Integrando ∫ ∫−=

dyy y

dxxcos (1 tg )2 2

, se obtiene como solución

–ln(1 – tg y) =–1

x + K

Por tanto la solución de la ecuación es

y = arctg (1 – Ce1/x)


y′ = xy + 3x – y – 3

xy – 2x + 4y – 8

SOLUCIÓN


dy

dx =

x(y + 3) – y – 3

y(x + 4) – 2x – 8⇒

dy

dx =

(y + 3) (x – 1)

(x + 4) (y – 2)⇒

y – 2

y + 3 dy =

x – 1

x + 4 dx


Integrando

y 2y + 3

dy = x 1x + 4

dx 15

y + 3dy = 1

5x + 4

dx

Se obtiene

y – 5 ln(y + 3) = x – 5 ln(x + 4) + C

Por tanto

− ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − =y

yx

x Cln34

5

.


(ex – 2)sec2 ydy – 3extg ydx = 0

SOLUCIÓN


sec2 y

tg y dy =

3ex

ex – 2 dx

Integrando

∫ ∫= −y

ydy

ee

dxsectg

32

x

x

2

se obtiene como resultado

ln(tg y) = 3 ln(ex – 2) + K ⇒ tg y = C(ex – 2)3


En consecuencia

y = arctg (C(ex – 2)3)


(2x + y2x)dx – (4y + x2y)dy = 0

SOLUCIÓN

La ecuación es de variables separables

x(2 + y2)dx – y(4 + x2)dy = 0 ⇒ y

2 + y2 dy =

x

4 + x2 dx

Integrando se obtiene

∫ ∫+=

+

+ = + +

yy

dyxx

dx

y x K

2 4

12

ln(2 )12

ln(4 )

2 2

2 2

Por tanto

y2 = C(4 + x2) – 2


x3 y′ + ey = 1

SOLUCIÓN

La ecuación es de variables separables

x3 dy

dx = 1 – ey ⇒

dy

1 – ey =

dx

x3



∫ ∫−=

dye

dxx1 y 3 (2.4)

Para calcular la primera integral se hará el cambio de variable ey = t, con lo que descomponiendo en fracciones simples queda

∫ ∫∫−=

−= +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − − =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dye

dtt t t t

dt t tt

te

e1 (1 )1 1

1ln ln(1 ) ln

1ln

1y

y

y

Por tanto la igualdad (2.4) da como resultado

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − +

e

e xKln

1

1

2

y

y 2 ⇒ −

=−e

eCe

1

y

yx

1

2 2

⇒ =+

eC

C e

y

x

1

2 2

La solución es

=+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

yC

C e

lnx

1

2 2

2.7. El crecimiento del número de bacterias en una botella de leche y en un determinado día es proporcional al número de las mismas existentes en ese día. Si en el análisis de una botella se encuentran 500 bacterias un día después de haber sido embotelladas y al segundo día se encuentran 8.000, ¿cuál es el número de bacterias en el momento de embotellar la leche?.

SOLUCIÓN

Sea Q(t) el número de bacterias en el día t. La ecuación diferencial que representa el crecimiento de dichas bacterias es, según el enunciado

dQ(t)

dt = kQ(t)


Donde k es la constante de proporcionalidad.

La ecuación es de variables separables ya que puede expresarse

dQ(t)

Q(t) = kdt


ln Q(t) = kt + K ⇒ Q(t) = Cekt

donde K es la constante de integración, que se redefine como C.

El momento de embotellado corresponde a t = 0, por tanto

Q(0) = C ⇒ Q(t) = Q(0)ekt

Según los análisis de la botella se tiene

Q(1) = 500 ⇒ 500 = Q(0)ek m

Q(2) = 8.000 ⇒ 8.000 = Q(0)e2k

De la división de ambas ecuaciones

ek = 8.000

500 = 16

y sustituyendo en la primera

500 = Q(0)16

Por tanto

Q(0) = 500

16


Como Q(0) ha de ser entero (n.º de bacterias), resulta

Q(0) = 32


(xy + y2 + x2)dx – x2dy = 0

SOLUCIÓN

Es una ecuación homogénea ya que se puede escribir de la forma

y′ = xy + y2 + x2

x2

y la función f(x, y) = xy + y2 + x2

x2 es homogénea de grado 0 (es decir, veri-

fica f(λx, λy) = λ0 f(x, y)).

Mediante el cambio de variable y = ux, y′ = u + xu′, se tiene

u + xu′ = ux2 + u2x2 + x2

x2

Simplificando

xu′ = u2 + 1 ⇒ du

u2 + 1 =

dx

x (Ecuación de variables separables).


arctg u = ln x + K ⇒ u = tg(ln |Cx|)

Y deshaciendo el cambio de variable anterior

y

x = tg(ln |Cx|)


Por consiguiente, la solución es

y = x tg(ln |Cx|)


y′ = 2y – x + 5

2x – y – 4

SOLUCIÓN

Es una ecuación transformable en homogénea.

Las rectas 2y – x + 5 = 0, 2x – y – 4 = 0 se cortan en el punto (1,–2).

El cambio

x = X + 1, y = Y – 2

que supone una traslación de ejes coordenados, la transforma en la ecua-ción homogénea

y′ = 2Y – X

2X – Y

Haciendo

Y = uX ⇒ Y′ = u′X + u

se tiene

u′X + u = 2u – 1

2 – u⇒ u′X =

2u – 1

2 – u– u =

u2 – 1

2 – u⇒ du

2 – u

u2 – 1 =

dX

X

Esta última ecuación es de variables separadas. Integrando se obtiene

∫ ∫−−

=uu

dudXX

212


y descomponiendo en fracciones simples resulta

12

u 1

32

u 1du

dXX

12

ln(u 1)32

ln(u 1) ln X K

lnu 1

(u 1)3 ln X Ku 1

(u 1)3 CX

Deshaciendo los cambios y simplificando

Y X(Y + X )3 = C y x + 3

(y + x +1)3 = C

que operando y renombrando la constante, resulta

(y + x + 1)3 = C(y – x + 3)


(2x + y – 1)dx + (6x + 3y + 1)dy = 0

SOLUCIÓN

Es una ecuación transformable en homogénea.

Las rectas 2x + y – 1 = 0, 6x + 3y + 1 = 0 son paralelas.

Efectuando el cambio

u = 2x + y, du = 2dx + dy

se obtiene

(u – 1)dx + (3u + 1)(–2dx + du) = 0 ⇒ (u – 1 – 6u – 2)dx + (3u + 1)du = 0 ⇒ (3u + 1)du = (5u + 3)dx


que es una ecuación de variables separables ya que puede expresarse en la forma

3u + 1

5u + 3 du = dx

Integrando

3u+15u+ 3

du = dx35

45

5u+ 3du = x + C 3

5u

425

ln 5u+ 3 = x + C

35

(2x + y) 425

ln |10x +5y + 3 |= x + C

y operando convenientemente, resulta la solución general pedida

+ − + + =x y x y C345

ln 10 5 3


+⎛⎝

⎞⎠ − =x ye dx xe dy 0

yx

yx

SOLUCIÓN

Es una ecuación homogénea ya que expresándola en la forma

y′ = x + yey/x

xey/x

la función f(x, y) = x + yey/x

xey/x es una función homogénea de grado cero.


Haciendo el cambio

y = ux, y′ = u′x + u

se obtiene

′ + =+

u x ux uxe

xe

uxx

uxx

Simplificando

u x + u = 1+ ueu

euu x = 1+ ueu

euu u x = 1

eueudu = dx

x

Integrando

eu = ln x + C ⇒ ey/x = ln x + C

Por tanto

y = x ln ln x + C( )

2.12. Compruébese que

(yex + 2xy2)dx + (ex – 1 + 2x2y)dy = 0

es una ecuación diferencial exacta e intégrese.

SOLUCIÓN

Es diferencial exacta ya que verifica la igualdad de las derivadas cruza-das

∂ +∂

= + =∂ − +

∂ye xy

ye xy

e x yx

( 2 )4

( 1 2 )xx

x2 2


Por tanto, existe la función potencial F(x, y) tal que

( ) ( )∂∂

= +∂

∂= − +

F x y

xye xy

F x y

ye x y

,2 ;

,1 2x x2 2

Integrando la primera igualdad respecto a x, manteniendo y constante, se obtiene

∫= + + = + +F x y ye xy dx k y ye x y k y( , ) ( 2 ) ( ) ( )x x2 2 2

donde k(y) es la constante de integración.

Aplicando a esta F(x, y) la segunda igualdad se tiene

+ + ′ = − +e x y k y e x y2 ( ) 1 2x x2 2

de donde

k (y) = 1 k(y) = y

Por tanto

= + −F x y ye x y y( , ) x 2 2

y la solución general de la ecuación es

+ − =ye x y y Cx 2 2

2.13. Determínese la función M(x, y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=M x y dx xe y xyx

dy( , ) 21

0x


SOLUCIÓN

Para que la ecuación sea exacta debe verificarse la igualdad de las deri-vadas cruzadas

My= exy + xexy + 2y

1x2

My= yex(1+ x)+ 2y

1x2

Por tanto

M x y ye x yx

dyy

e x yx

y g x( , ) (1 ) 21

2(1 )

1( )x x

2

22

2∫= + + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = + + − +

donde g(x) es una función arbitraria.


+ + + − =ye y dx xe xy y dy( 4 ) ( 12 2 ) 0xy xy3 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación exacta, ya que

∂ +∂

= + + =∂ + −

∂ye y

ye xye y

xe xy yx

( 4 )12

( 12 2 )xyxy xy

xy32

2

Por tanto, existe la función potencial F(x, y) tal que

( ) ( )∂∂

= +∂

∂= + −

F x y

xye y

F x y

yxe xy y

,4 ;

,12 2xy xy3 2

Integrando la primera igualdad respecto a x, manteniendo y constante, se obtiene

∫= + + = + +F x y ye y dx k y e y x k y( , ) ( 4 ) ( ) 4 ( )xy xy3 3

donde k(y) es la constante de integración.


Hallando ahora ∂F(x, y)

∂y y aplicando la segunda igualdad, se tiene

xexy +12xy2 + k (y) = xexy +12xy2 2y

k (y) = 2y k(y) = y2

Por tanto

= + −F x y e y x y( , ) 4xy 3 2

y la solución general de la ecuación es

+ − =e y x y C4xy 3 2


− + =x y dx x ydy(1 sen tg ) cos sec 02

SOLUCIÓN

La ecuación es exacta ya que

∂ −∂

= − =∂

∂x y

yx y

x yx

(1 sen tg )sen sec

(cos sec )22

La función potencial es

∫= − + = + +F x y x y dx k y x x y k y( , ) (1 sen tg ) ( ) cos tg ( )

Y verifica

∂∂

=F x y

yx y

( , )cos sec2


Por tanto

cos xsec2 y = cos xsec2 y + k (y) k (y) = 0 k(y) = C

La solución general de la ecuación es

+ =x x y Ccos tg


+ + + =xy y dx x y x dy(3 4 ) (3 2 ) 03 2 2

mediante un factor integrante de la forma μ = μ(x).

SOLUCIÓN

La ecuación no es exacta ya que no son iguales las derivadas

∂ +∂

= + ∂ +∂

= +xy yy

xyx y x

xxy

(3 4 )9 4 ;

(3 2 )6 2

32

2 22

Para que μ = μ(x) sea un factor integrante, deberá cumplir

μ(x)P(x, y)[ ]y

μ(x)Q(x, y)[ ]x

μ(x)P(x, y)

ydμ(x)

dxQ(x, y)+ μ(x)

Q(x, y)x

Por tanto

μ ∂∂

−∂

∂⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

μxQ x y

P x yy

Q x yx

d xdx

( )( , )

( , ) ( , ) ( )


En consecuencia

μ+

+ − −⎡⎣ ⎤⎦ =μx

x y xxy xy

d xdx

( )3 2

9 4 6 2( )

2 22 2

Simplificando se obtiene

μ= ′μ

x

que es una ecuación de variables separables =μμ

dxx

d. Integrando queda

dxx= dμ

μln x = lnμ K x = Cμ

Elegimos como factor integrante μ = x. Multiplicando la ecuación por el factor integrante resulta la ecuación diferencial exacta:

+ + + =x y xy dx x y x dy(3 4 ) (3 2 ) 02 3 3 2 2

Por tanto la función potencial es

∫= + + = + +F x y x y xy dx k y x y x y k y( , ) (3 4 ) ( ) 2 ( )2 3 3 3 2

Como F x y

y( , )

ha de ser 3x3y2 + 2x2, entonces

3x3y2 + 2x2 = 3x3y2 + 2x2 + k (y) , de donde k (y) = 0 k(y) = C

En consecuencia, la solución de la ecuación es

+ =x y x y C23 3 2

2.17. Un método para suministrar un fármaco en la sangre, es hacer-lo de forma continua mediante un proceso de inyección llamado infusión intravenosa. Este proceso puede ser modelado mediante la ecuación dife-rencial

( )( ) ( )− − =VdC t I kC t dt 0


donde C(t) = Concentración de medicación en cada instante t, siendo V, I, k = constantes positivas que representan las características del proce-so y las condiciones particulares del paciente.

Se pide:

a) Comprobar que la ecuación no es diferencial exacta y encontrar unfactor integrante μ = μ(t), dependiente solo de t.

b) Resolver la ecuación.

c) Hallar la solución particular que cumple la condición inicialC(0) = 0, y expresarla en forma explícita (despejar C(t)).

d) Comprobar que a medida que pasa el tiempo, la concentración C(t)de medicación crece, pero nunca sobrepasa una cantidad llamada umbral, o nivel de saturación. ¿Cuál es esa cantidad?.

SOLUCIÓN

a) Para que la ecuación VdC(t) – (I – kC(t))dt = 0 fuese diferencial exac-ta, debería cumplir la igualdad de las derivadas cruzadas

∂∂

= ∂ − +∂

Vt

I kCC

( )

Pero ∂∂

=∂ − +

∂=

Vt

I kCC

k0,( )

, por tanto no lo es.

Multiplicando por μ = μ(t), la ecuación queda

( )μ − − μ =V dC I kC dt 0

Sus derivadas cruzadas son

Vμ( )t

Vdμdt

I kC( )μ( )C

kμ

Vdμdt

kμ Vdμμ

kdt


Integrando esta última ecuación, resulta

μ = ektV

Por lo tanto, μ = ektV es un factor integrante.

b) Introduciendo el factor integrante en la ecuación original, queda

( )− − =Ve dC I kC e dt 0ktV

ktV

Función potencial

U = VektV dC + t( ) = Ve

ktV C + t( )

Por tanto

Ut= ke

ktV C + ' t( )

Debe cumplirse que

kektV C + ' t( ) = I kC( )e

ktV = 0 ' t( ) = Ie

ktV

Integrando

t( ) = IVkektV + ( = cte.)

Solución general

− = αVe CIVk

ektV

ktV


c) Para C(0) = 0, resulta − = αIVk

, con lo que la solución particular es

− = −Ve CIVk

eIVk

ktV

ktV

o también

( )( ) = −−

C tIk

e1ktV

d) La función C(t) es creciente y ( ) =→∞

C tIk

limt

que será el nivel de satu-ración.

2.18.

a) Hállese la función f(x) para la cual μ(x) = x es factor integrante de laecuación diferencial

+ + =f xdydx

y x( ) 02

y además verifica f(1) = 1.

b) Para ese valor hallado de f(x) resuélvase la ecuación.

SOLUCIÓN

a) Al ser μ(x) = x un factor integrante y multiplicar la ecuación por di-cho factor se obtiene

+ + =xf xdydx

xy x( ) 03

o de otra forma

( ) + + =xf x dy xy x dx( ) ( ) 03


Como es diferencial exacta debe cumplir

(xy + x3 )y

= (xf (x))x

x = xf '(x)+ f (x)

que es la ecuación lineal

+ − =f xx

f x'( )1

( ) 1 0

Resolviéndola resulta

∫= ∫ + ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = +

−f x e C e dx

Cx

x( )

2x

dxx

dx1 1

Al ser f(1) = 1 ⇒ C = 1/2, la función buscada es

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f x xx

( )12

1

b) La ecuación es

( )+ + + =x dy xy x dx12

1 ( ) 02 3

La función potencial

∫= + + = + +F x y xy x dx k yx

yx

k y( , ) ( ) ( )2 4

( )32 4

donde

( ) ( )∂∂

= + ′F x y

yx

k y,

2

2

que ha de ser igual a x12

( 1).2


De igualar ambas expresiones se obtiene

k y( ) = 12

k y( ) = 12y

Por tanto la función potencial es

= + +F x yx

yx

y( , )2 4

12

2 4

Y la solución general de la ecuación

+ + =x y x y C2 22 4

2.19. Determínese la condición que debe cumplir la función μ = μ(y) dependiente solo de y, para ser factor integrante de la ecuación

( ) ( )+ =P x y dx Q x y dy, , 0

e intégrese

+ − =ydx x ye dy(2 ) 0y

mediante un factor integrante de ese tipo.

SOLUCIÓN

Para que μ sea un factor integrante tiene que cumplirse

[ ] [ ]∂ μ∂

=∂ μ

∂y P x y

y

y Q x y

x

( ) ( , ) ( ) ( , )

Por tanto

′μ + μ∂

∂= μ

∂∂

y P x y yP x y

yy

Q x yx

( ) ( , ) ( )( , )

( )( , )


Es decir

μ (y)P(x, y)+ μ(y)Q(x, y)

xP(x, y)

yμ (y)μ(y)

Q(x, y)x

P(x, y)y

P(x, y)

Como el primer miembro depende solo de y, la condición es que el se-gundo miembro sea una función exclusivamente de y.

La ecuación

+ − =ydx x ye dy(2 ) 0y

verifica la condición anterior, ya que en este caso

μμ

2 1y

μμ

1y

Integrando

lnμ = ln y + K μ = Cy

Eligiendo μ = y, la ecuación una vez multiplicada por el factor integran-te, queda

+ − =y dx xy y e dy(2 ) 0y2 2

que es una ecuación diferencial exacta como puede comprobarse.


F(x, y) = y2 dx + k(y) F(x, y) = y2x + k(y)

Al ser

− =∂

∂xy y e

F x yy

2( , )y2


se tiene

2xy y2ey = 2xy + k (y) k (y) = y2ey k(y) = y2ey dy

Resolviendo esta integral por partes se obtiene

= − + −k y y e ye e( ) 2 2y y y2

Por lo tanto la solución general es

− + − =y x y e ye e C2 2y y y2 2

que coincide con la de la ecuación inicial excepto para y = 0.

2.20. Determínese la condición que debe cumplir la función μ = μ(xy), dependiente solo del producto xy, para ser factor integrante de la ecuación

( ) ( )+ =P x y dx Q x y dy, , 0

y aplíquese para resolver

+ + + + + =y x y x dx x xy y dy( 2 ) ( 4 8 ) 03 2 4 3

SOLUCIÓN

La condición que debe cumplir μ para ser factor integrante es

[ ] [ ]∂ μ∂

=∂ μ

∂xy P x y

y

xy Q x y

x

( ) ( , ) ( ) ( , )

Por facilidad de cálculo se utilizará z = xy. De la igualdad anterior se obtiene

μ (z)xP(x, y)+ μ P(x, y)y

μ (z)yQ(x, y)+ μ Q(x, y)x

μ (z)(xP yQ) μ Qx

Py


Por tanto

′μμ

=

∂∂

− ∂∂

−zz

Qx

Py

xP yQ( )( )

Como el primer miembro solo depende de z, el segundo miembro tam-bién debe depender solo de z, es decir de xy.

La ecuación

+ + + + + =y x y x dx x xy y dy( 2 ) ( 4 8 ) 03 2 4 3

verifica esa condición. En efecto

′μμ

−+ − −

−− + −

−+

y xx y x xy y

y xxy x y x y xy

42 4 8

4( 4 ) 2( 4 )

12

4 3

4 3 5 4

4 3

3 4 3 4

Por tanto

μμ= 1

z + 2dμμ

= 1z + 2

dz lnμ = ln(z + 2) 1 + K μ = Cz + 2

= Cxy + 2

Eligiendo μ =+xy1

2, y multiplicando la ecuación por μ se obtiene

1xy + 2

(y + x3y + 2x2 )dx + 1xy + 2

(x + 4xy4 +8y3 )dy = 0

1xy + 2

y + x2(xy + 2) dx + 1xy + 2

x + 4y3(xy + 2) dy = 0

yxy + 2

+ x2 dx + xxy + 2

+ 4y3 dy = 0


que es diferencial exacta como puede comprobarse. La función potencial es

∫= ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = + + +F x yy

xyx dx k y xy

xk y( , )

2( ) ln( 2)

3( )2

3

Operando como en ejercicios anteriores, se tiene

xxy + 2

+ 4y3 = xxy + 2

+ k (y) k (y) = 4y3 k(y) = y4

En consecuencia la solución de la ecuación es

+ + + =xyx

y Cln( 2)3

34

que coincide con la de la ecuación inicial excepto para xy = 0.

2.21. Las dos variables p = presión, y V = volumen, de un cierto gas ideal verifican la ecuación diferencial

+ =C pdV C Vdp 0p V

donde Cp, CV son dos constantes (Cp ≠ CV) que representan los calores espe-cíficos del gas a presión y volumen constante, respectivamente. Se pide:

a) Comprobar que la ecuación no es diferencial exacta, pero μ =pV1

es un factor integrante de la misma.

b) Resolverla.

SOLUCIÓN

a) La ecuación es de la forma PdV + Qdp = 0, con P = Cp p, Q = CV V.

Las derivadas cruzadas son

∂∂

=Pp

Cp , ∂∂

=QV

C .V

que al ser Cp ≠ CV, no es diferencial exacta.


Multiplicando por μ =pV1

, la ecuación queda

+ =C

VdV

Cp

dp 0p V

Y sus derivadas cruzadas son ahora iguales.

∂⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

∂=∂⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

∂=

C

Vp

CpV

0

p V

Por lo tanto, μ =pV1

es un factor integrante.

b) La solución es de la forma U(V, p) = K, donde

UV

=Cp

VU =

Cp

VdV + p( ) U = Cp lnV + p( )

Up= ' p( ) = CV

p' p( )p

= Cp p( ) = CV ln p

Por tanto la solución general es

⋅ + ⋅ =C V C p Kln lnp V

o de otra forma

( ) ⋅ =V p KC Cp V

donde se ha renombrado la constante de integración.


2.22. En la ecuación (x2 + y2 + 1)dx – (xy + y)dy = 0, hállese n para que μ(x) = (x + 1)n sea factor integrante, y resuélvase.

SOLUCIÓN

= + += − +

⎫⎬⎭

∂∂

=∂∂

= −P x y

Q xy yPy

yQx

y1

( )2 ;

2 2

Multiplicando la ecuación por μ = (x + 1)n, se tiene

( ) ( )( ) ( )+ + + − + + =x x y dx x xy y dy1 1 1 0n n2 2

Las derivadas cruzadas

∂ μ∂

= +∂ μ∂

= − + +Py

y xQx

y n x( )

2 ( 1) ;( )

( 1)( 1)n n

Han de ser iguales, es decir

(μP)y

(μQ)x

2y(x +1)n y(n +1)(x +1)n n 3

En consecuencia, el factor integrante es

( )μ = + −x 1 3

Y la ecuación que resulta al multiplicar la primitiva por dicho factor in-tegrante

( ) ( )( ) ( )+ + + − + + =− −x x y dx x xy y dy1 1 1 03 2 2 3


Puesto que ahora es diferencial exacta, la solución será de la forma F(x, y) = C, donde

Fy= (x +1) 3(xy + y) = y(x +1) 2

F = y(x +1) 2 dy+ (x)= y2

2(x +1) 2 + (x)

Fx= y2(x +1) 3 + '(x) = (x +1) 3(x2 + y2 +1) '(x) = (x +1) 3(x2 +1)

De donde

(x) = x +1( ) 3 (x2 +1)dx = x2 +1

x +1( )3dx

Descomponiendo en fracciones simples, se obtiene

x2 +1

x +1( )3= A

x +1( )3+ B

(x +1)2 +Cx +1

A + B(x +1)+ C(x +1) = x2 +1 A = 2 ;B = 2 ;C =12

Por tanto

(x) = 2(x +1)3 dx +

2(x +1)2 dx +

1x +1

dx = (x +1) 2 + 2(x +1) 1 + ln (x +1)

En consecuencia

= − + − + + + + +− − −F x yy

x x x x( , )2

( 1) ( 1) 2( 1) ln( 1)2

2 2 1


La solución general

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + + + + =− −yx x x C

21 ( 1) 2( 1) ln( 1)

22 1

2.23. Compruébese que la ecuación (xy2 – y3)dx + (1 – xy2)dy = 0 no es diferencial exacta y que cumple la condición para que exista un factor in-tegrante μ = μ(y). Hállese dicho factor integrante, y resuélvase la ecuación.

SOLUCIÓN

La ecuación no es diferencial exacta, ya que son distintas las derivadas

∂ −∂

= − ∂ −∂

= −xy yy

xy yxyx

y( )

2 3 ;(1 )2 3

22

2

Para que exista un factor integrante μ = μ(y), el segundo miembro de la expresión

( )( )

( ) ( )

( )μμ

=

∂∂

−∂

∂yy

Q x yx

P x yy

P x y'

, ,

,

debe ser función exclusivamente de y (ejercicio 2. 19).

Esta condición se verifica. En efecto

( )( )

( )( )

μμ

= − − +−

=− −

−= −

yy

y xy yxy y

y x yy x y y

' 2 3 2 22 2

2 3 2

Por tanto

( )( )

μμ

= −y

y y

' 2



( ) ( )μ = ∈yCy

C R2

Eligiendo C = 1, el factor integrante es

( )μ =yy1

2

Multiplicando la ecuación diferencial por μ y simplificando, resulta

( )− + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=x y dxy

x dy1

02


∫( ) ( ) ( ) ( )= − + = − +F x y x y dx k yx

yx k y,2

2

ComoF x y

y( , )

ha de sery

x1

2 , se tiene

1y2 x = x + k´(y) k´(y) = 1

y2 k y( ) = 1y

Por lo tanto

( ) = − −F x yx

yxy

,2

12

Y la solución general es

− − =x

yxy

C2

12

que coincide con la de la ecuación inicial excepto para y = 0.


2.24. Resuélvase la ecuación

+ + =−dydx

y e 0x2

SOLUCIÓN

Es de la forma

+ + =y f x y g x´ ( ) ( ) 0

Es una ecuación lineal. Una forma de obtener su solución general es mediante la expresión (2.3 de la introducción teórica)

∫= ∫ − ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )−y e C g x e dx( )

f x dx f x dx( )

En este caso

∫ ∫= ∫ − ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = −⎡

⎣⎤⎦

− − − −y e C e e dx e C e e dxdx x dx x x x2 2

que resolviendo las integrales indicadas resulta como solución general

= +− −y e Cex x2

Otra forma de resolución: También puede resolverse mediante va-riación de constantes, resolviendo primero la ecuación homogénea asociada.

La ecuación homogénea asociada es

+ =dydx

y 0


Integrando se obtiene su solución general

= − = − + = −dyy

dx y x c y Ce; ln ; x

Para calcular la solución particular yp de la ecuación completa se apli-cará el método de variación de las constantes. La solución particular yp y su derivada son:

yp = C x( )e xd yp( )dx

= C x( )e x + e x dC(x)dx

Sustituyendo ambas en la ecuación completa, se obtiene

C x( )e x + e x dC(x)dx

+ C x( )e x + e 2x = 0

e x dC(x)dx

= e 2x dC(x)dx

= e x C x( ) = e x + K

donde K es la constante de integración.

Para K = 0 resulta una solución particular

= −y epx2

La solución general de la ecuación completa es la suma de la de la so-lución general de la homogénea asociada y esta solución particular hallada

= +− −y e Cex x2


=−

dydx

yy x

(Ind.: Obsérvese que es lineal considerando x función de y).


SOLUCIÓN

La ecuación se puede escribir de la forma

dxdy

= y xy

dxdy

= y xy

dxdy

+ 1yx 1= 0

donde se considera x como función, e y como la variable independiente. Por tanto

∫ ∫( )= ∫ − − ∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +

−−x e C e e C e dy

yC

y Cy

y12 2

ydy

ydy

y y1 1

ln ln2

y la solución general es

= +xCy

y2

O también

= ± −y x x C22

2.26. Dada la ecuación

′ − = − −xy y x x2 sen cos

a) Calcúlese su integral general.

b) Determínese la solución que pasa por el punto (0,0).

c) Calcúlese una solución acotada cuando x → ∞.

SOLUCIÓN

a) La ecuación puede escribirse en la forma

′ − ++

=yx

yx x

x

1

2

sen cos

20


Se trata de una ecuación lineal. La solución general es

∫= ∫ −+ ∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

− − −y e C

x x

xe

sen cos

2x

dxx

dx1

2

1

2

∫= −+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−e C

x x

xe dx

sen cos

2x x m

La integral

∫=+ −I

x x

xe dx

sen cos

2x

puede calcularse aplicando reiteradamente el método de integración por partes.

( )= − + +−I e x xcos senx

m

∫( )+ − − +− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥− −e x x

x x

xe dxsen cos

sen cos

2x x

Entonces

2I 2e cos xx I e xcos x

En consecuencia

= +⎡⎣ ⎤⎦y e Cx e cos xx

Y la integral general es

= +y Ce xcosx


b) Sustituyendo en la solución general se tiene

0 = C + cos0 C = 1 y = e x + cos x

c) Cuando x Ce x ± (dependiendo del signo de C).

Para que la solución esté acotada, C tiene que ser igual a 0. Por tanto, una solución acotada es

y xcos

2.27. Hállese la solución general de la ecuación

+ ′ + − = −x y x y e( 1) (2 1) x2

SOLUCIÓN

La ecuación puede escribirse en la forma

′ +−+

−+

=−

yxx

yex

2 11 1

0x2

Por tanto es una ecuación lineal. La solución general viene dada por

∫ ∫

∫

= ∫ − −+

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

∫ − −+

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

= + ++ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + −

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −+

− −+

− −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

−

y e Cex

e e Cex

e

x e Cex

ex

dx x e Cx

1 1

( 1)1

1( 1)

( 1)1

3( 1)

xx

dxx x

xdx

xdx x

xdx

xx

x x

2 11

2 2 11

23

12 2

31

3 22

23

3 23

Es decir

= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−y e C x( 1)13

x2 3


2.28. Hállese la solución general de la ecuación

+ =dydx

x y e(cotg ) 5 xcos

SOLUCIÓN

Es una ecuación lineal, por tanto

∫ ∫

∫

= ∫ − − ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +⎡

⎣⎤⎦ =

= +⎡⎣

⎤⎦

− −y e C e e dx e C e e dx

xC e x dx

5 5

1sen

5 sen

x dx x x dx x x x

x

cotg cos cotg ln(sen ) cos ln(sen )

cos

Solución general

= −⎡⎣ ⎤⎦yx

C e1

sen5 xcos


− ′+ − =x y y x x(1 cos ) 2 sen tg 0

determínese su solución general integrando la ecuación homogénea aso-ciada, y hallando una solución particular de la ecuación completa.

SOLUCIÓN

Expresando la ecuación en la forma

′ +−

−−

=yxx

yx

x2sen

1 costg

1 cos0


La ecuación homogénea es

′ +−

=yxx

y2sen

1 cos0

que es de variable separables ya que

= −−

dyy

xx

dx2sen

1 cos

Integrando se obtiene su solución general

( )= − +

=−

−y x C

yC

x

ln ln 1 cos ln

(1 cos )

2

2

Para calcular la solución particular yp de la ecuación completa se apli-cará el método de variación de las constantes

yp =C(x)

(1 cos x)2 yp =C (x)

(1 cos x)2 2C(x)sen x

(1 cos x)3

Sustituyendo en la ecuación completa se obtiene

′−

−−

+−

⋅−

−−

=

′−

−−

=

C xx

C xxx

xx

C xx

xx

C xx

xx

( )(1 cos )

2 ( )sen

(1 cos )2sen

1 cos( )

(1 cos )tg

1 cos0

( )(1 cos )

tg1 cos

0

2 3 2

2

Esta ecuación es de variables separables

= −dC x x dxtg (1 cos )

Integrando, se obtiene

= − +C x x x( ) ln(cos ) cos


La solución particular

( )=

−−

yx x

xcos ln cos

(1 cos )p 2

Por tanto la solución general de la ecuación completa es

=−

+−−

yC

xx x

x(1 cos )cos ln(cos )

(1 cos )2 2


= +xy y x x' sen2

a) Determínese su integral general.

b) Calcúlese la solución particular que contiene el punto (π,0).

c) Estúdiese la existencia de soluciones que pasan por (0,0). ¿Se verifi-ca en ese punto el teorema de existencia y unicidad? ¿Por qué?

SOLUCIÓN

a) Es una ecuación lineal.

Ecuación homogénea asociada

− =

=

xy y

dyy

dxx

' 0

Solución general de la homogénea

y Cx

Método de variación de las constantes. Solución particular

= ⋅ = ′ +y C x x y C x x C x( ) ; ' ( ) ( )p p


Sustituyendo en la ecuación, se obtiene

+ = + = = −C x x C x x C x x x x C x x C x x'( ) ( ) ( ) sen ; '( ) sen ; ( ) cos2 2

Por tanto, una solución particular es

= −y x xcosp

La solución general de la ecuación completa

= −y Cx x xcos

b) Si contiene el punto (π,0), entonces

= π + π = −C C0 ; 1

La solución

= − +y x x(1 cos )

c) Si contiene el punto (0,0)

0 = C ∙ 0 + 0

que se cumple para todo valor de la constante C. Todas las curvas de la so-lución general pasan por el punto (0,0). Es decir, hay infinitas soluciones que contienen a ese punto.

Por tanto, en ese punto no se verifica el teorema de unicidad. Si se es-cribe la ecuación en la forma y′ = f(x, y), es decir

′ = +yyx

x xsen

se observa la no continuidad en x = 0 de la función f(x, y) correspon-diente.


2.31. Se considera la ecuación lineal

+ = −λadydx

by e x

donde a, b son constantes positivas y λ es una constante no negativa,

con λ ≠ba

.

a) Calcúlese la solución general.

b) Si λ = 0. ¿A qué valor tiende toda solución cuando x → ∞? Lo mis-mo si λ > 0.

SOLUCIÓN

a) Ecuación homogénea asociada

+ =adydx

by 0

Es de variables separables. Expresándola en la forma

= −dyy

ba

x

e integrando se obtiene

=−

y Ceba

x

Para calcular una solución particular yp de la ecuación completa, se aplica el método de variación de las constantes.

yp = C x( )ebax

yp ' = C x( ) ba

ebax+ C ' x( )e

bax


Sustituyendo en la ecuación se obtiene

aC x( ) ba

ebax+ aC ' x( )e

bax+ bCe

bax= e x C ' x( ) = 1

ae

ba

xC x( ) = e

ba

x

b a

Por tanto, la solución particular es

=− λ

−λyb a

e1

px

La solución general de la ecuación no homogénea

= +− λ

− −λy Ceb a

e1b

ax x

b) Si λ = 0: y = Cebax+ 1b

limx

y = 1b

Si λ > 0: =→∞

ylim 0x

2.32. La intensidad en un circuito eléctrico se rige según la ecuación

+ =LdIdt

RI E

donde:

I = Intensidad de la corriente, L = Inductancia, R = resistencia, E = Fuer za electromotriz.

Se pide:

a) Resolver la ecuación con una corriente inicial I0, si se conecta en elcircuito una fuerza electromotriz E0 en el instante t = 0.

b) Observar en el resultado anterior que la ley de Ohm (E0 = RI) esaproximadamente válida para valores muy grandes de t (cuando t tiende a infinito).


c) Cuando I0 = 0, y E0 ≠ 0. ¿Cuál es el valor del máximo teórico de la in-tensidad de corriente I?

d) Probar que la mitad de ese máximo de corriente I se alcanza en el

tiempo =⋅

tL

Rln2 .

SOLUCIÓN

a) Es una ecuación lineal. La ecuación homogénea asociada es

+ =LdIdt

RI 0

Es una ecuación de variables separables

= −dII

RL

dt

Integrando se obtiene su solución general, que es

ln I = RLt + lnC I = Ce

RLt

Método de variación de las constantes. Solución particular Ip de la no homogénea

Ip = C(t)eRLt dIp

dt= C ' t( )e

RLt+ C t( ) R

Le

RLt

Sustituyendo en la ecuación completa, resulta

LC ' t( )eRLt+ LC t( ) R

Le

RLt+ RC t( )e

RLt= E

C ' t( ) = ELeRLt

C t( ) = EReRLt+ k


Eligiendo por ejemplo k = 0, resulta la siguiente solución particular

IERp

La solución general de la ecuación completa es

= +−

IER

CeRL

t

donde C es una constante arbitraria.

Aplicando las condiciones iniciales se obtiene

I t = 0( ) = I0

E t = 0( ) = E0

I0 =E0

R+ C , C = I0

E0

R

Por tanto la solución pedida es

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−I

ER

IER

eRL

t00

0

b) Cuando t → ∞ resulta

IER

0 (ley de Ohm)

c) Si I0 = 0, entonces

( )= −−

IER

e1RL

t0

El máximo teórico de la intensidad de corriente I se alcanza cuando t → ∞, y vale

IERmax

0


d) El valor de t cuando se alcanza la mitad del máximo será

( )= − = − = −

=⋅

− −ER

ER

e eRL

t

tL

R

21 ;

12

; ln2

ln2

RL

tRL

t0 0


′ + =xy y x y4 3

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Bernouilli, ya que puede escribirse en la forma

+ + =y f x y g x y´ ( ) ( ) 0n , (f, g continuas).

La ecuación dada, escrita de esa manera es

′ + − =yyx

x y 03 3

Dividiendo por y3, y efectuando el cambio

=−

′ =′

zy

zyy

12

,2 3

se transforma en

′ − − =zx

z x2

03

que es una ecuación lineal cuya solución viene dada por

∫ ∫ ∫= ∫ − − ∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +⎡

⎣⎤⎦ = +⎡

⎣⎤⎦ =

= +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −z e C x e dx e C x e dx x C x dx

x Cx2

xdx

xdx x x

23

22ln 3 2ln 2

22


Por último, deshaciendo el cambio anterior, resulta la solución general

= − +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−y x Cx

22

2 22

O de otra forma

( )=−

yx C x

122 2

donde se ha renombrado la constante de integración.


′ + = −y y y x x(cos sen )2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Bernouilli. Dividiendo por y2, y efectuando el cambio

= − ′ =′

zy

zyy

1, 2

se transforma en

′ − − − =z z x x(cos sen ) 0

que es una ecuación lineal, cuya solución general es

∫ ∫= ∫ + − ∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= + −⎡

⎣⎤⎦

− −z e C x x e dx e C x x e dx(cos sen ) (cos sen )dx dx x x

Para calcular la integral incluida en la expresión anterior se aplica rei-teradamente el método de integración por partes, obteniéndose

∫ − =− −x x e dx e x(cos sen ) senx x


por consiguiente

= +⎡⎣ ⎤⎦ = +−z e C e x Ce xsen senx x x

Deshaciendo el cambio resulta la solución general pedida

= −+

yCe x

1senx

2.35. La velocidad de crecimiento de una cierta población viene dada por la ecuación

= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟x t ax t

Kx t'( ) ( ) 1

1( )

donde x(t) es la población en un instante t, y K, a constantes positivas. Se pide:

a) Calcular esa población x(t), sabiendo que x(0) = x0 (el tamaño en elinicio es x0).

b) Comprobar que aunque la población siempre crece con el tiempo, eltamaño x(t) de la misma no excede una cierta cantidad T llamada tamaño de equilibrio.¿Cuál es esa T?.

SOLUCIÓN

a) Es una ecuación de Bernouilli. Efectuando el cambio de variable

( ) ( )= − =z tx t

z tx tx t

1; '( )

'( )( )2

y sustituyendo en la ecuación resulta la ecuación lineal

= − −z t az taK

'( ) ( )


Su ecuación homogénea asociada

+ =z t az t'( ) ( ) 0

es de variables separables. Su solución general es

= −z t Ce( ) at

Se busca la solución particular de la completa por el método de va-riación de las constantes

= = − +− − −z t C t e z t aC t e C t e( ) ( ) ; '( ) ( ) '( )pat

pat at

Por lo tanto

aC(t)e at + C '(t)e at = aC(t)e at aK

C '(t) = aeat

KC(t) = 1

Keat

La solución particular es

= −z tK

( )1

p

Solución general de la ecuación completa

= −−z t CeK

( )1at

Por último, deshaciendo el cambio anterior resulta

=− −x t

KCKe

( )1 at

donde C es la constante de integración.


De la condición inicial x(0) = x0, se obtiene =−

Cx KKx0

0

.

Entonces, la expresión que determina la población con esa condición inicial es

( )=+ − −x t

Kxx K x e

( ) at0

0 0

b) La expresión anterior es una función creciente donde el límitecuando t → ∞ es

( )=+ −

=→∞ →∞ −x t

Kxx K x e

Klim ( ) limt t at

0

0 0

(Tamaño de equilibrio).

Es decir, la población no rebasa el valor de K, cualquiera que sea el ta-maño inicial.

Por tanto, el tamaño de equilibrio es T = K.

2.36. Hállese la integral general de la ecuación

′ − + − − =y xy x y x2 1 02 2 3

determinando previamente una solución de la forma y = ax + b.

SOLUCIÓN

Se trata de una ecuación de Ricatti. Una solución es de la forma y = ax + b.

Sustituyendo la solución y su derivada, y′ = a, en la ecuación se tiene

− + + + − − =a x ax b x ax b x( ) 2 ( ) 1 02 2 3


Identificando coeficientes resulta

a = 1, b = 0

La solución buscada es

y = x


y = x + u y =1+ u

se obtiene

+ ′ − + + + − − =u x x u x x u x1 ( ) 2 ( ) 1 02 2 3

que simplificando resulta

′ − =u xu 02

Esta ecuación es de variables separables. Puede expresarse

duu

xdx2


1u

= x2

2+ K u = 1

x2

2+ K

Y deshaciendo el cambio, resulta la solución de la ecuación inicial

= −+

y xx C

22



′ + + − − − =y x xx

y x xy x x(2 sen1

) sen 2 sen 02 2 3

determinando previamente una solución de la forma y = ax + b.

SOLUCIÓN

Se trata de una ecuación de Ricatti. Una solución es de la forma y = ax + b.

Sustituyendo la solución y su derivada en la ecuación, esta queda

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − + + − − =a x x

xax b x x a x b axb x x2 sen

1( ) sen ( 2 ) 2 sen 02 2 2 2 3

Donde identificando coeficientes resulta

a = 1, b = 0

Por tanto la solución buscada es

y = x

Efectuando el cambio de variable

y = x + u y =1+ u

La ecuación queda

1+ u + 2x2 sen x + 1x

(x + u) xsen x(x + u)2 2 x3 sen x = 0

u xsen xu2 + ux= 0

que es una ecuación de Bernouilli.


Dividiendo por u2 y haciendo el cambio

z = 1u

z = uu2

se obtiene la ecuación lineal

′ − − =zx

z x x1

sen 0

cuya solución viene dada por

∫ ∫ [ ]= ∫ + ∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +⎡

⎣⎤⎦ = −

−z e C x xe dx x C x dx x C xsen sen cosx

dxx

dx1 1

Deshaciendo los cambios anteriores, resulta la solución general de la ecuación inicial

= −−

y xx C x

1( cos )


′ = − −y yx

yx

1 2522

sabiendo que admite una solución de la forma ycx

.

SOLUCIÓN

Se trata de una ecuación de Ricatti. Una solución es de la forma ycx

.

Sustituyendo la solución y su derivada, ′ = −ycx2

, en la ecuación se tiene

cx2 = c2

x2

1x

cx

25x2 c2 25 = 0 c = ±5


Por tanto, una solución es

yx5


y = 5x+ u y = 5

x2 + u

se obtiene

5x2 + u = 25

x2 + u2 + 10xu

1x

5x+ u 25

x2 u9xu u2 = 0

que es una ecuación de Bernouilli. Dividiendo por u2 y haciendo el cambio

z = 1u

z = uu2

se obtiene la ecuación lineal

′ + − =zx

z9

1 0

Su solución viene dada por

∫ ∫= ∫ + ∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +⎡

⎣⎤⎦ = +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

− − − −z e C e dx e C x dx x Cx

Cxx

10 10x

dxx

dx x9 9

9ln 9 910

9

Deshaciendo los cambios anteriores, resulta la solución general de la ecuación inicial

= −

= −+

yx z

yx

xC x

5 1

5(1 10)

9

10


2.39.

a) Hállese la solución general de la ecuación diferencial

( )− − =x y y xy' 2 02 2

b) La solución y = 0 se observa fácilmente que es solución de la ecua-ción. ¿Es una solución singular? Explique la razón.

SOLUCIÓN

a) Escribiendo la ecuación en la forma

=−

yxy

x y'

22 2

se observa que es una ecuación homogénea.

Cambio de variable

= = +yx

udydx

u xdudx

;

Sustituyendo en la ecuación, queda

( )+ =−

=−+

u xdudx

uu

dxx

u

u u

21

;1

12

2

2

Descomponiendo en fracciones simples

1 u2

u 1+ u2( ) =Au+ Bu+ C

1+ u2 A =1, B = 2 , C = 0

Por tanto

= −+

dxx u

uu

1 21 2


Integrando resulta

ln x = lnu ln 1+ u2( ) + lnC x = Cu1+ u2

Deshaciendo el cambio, se obtiene la solución general pedida

+ =x y C y2 2

b) y = 0 es solución de la ecuación, y no está incluida en la solución ge-neral. Por lo tanto es una solución singular.

2.40. Calcúlense las soluciones singulares, si existen, de las ecuacio-nes

a) = ′ − ′y xy y y2 ( )2

b) − ′ + = ′y y x y( 1) ( )2

c) ′ + =y y( 1) 12 2

SOLUCIÓN

Expresando en cada caso la ecuación correspondiente en la forma F(x, y, y′) = 0, se observa que en todos ellos la función F es de clase uno en R3. Las soluciones singulares, si existen, están entre las curvas φ(x, y) que cumplen las ecuaciones:

′ =∂∂ ′

′ =F x y yFy

x y y( , , ) 0 , ( , , ) 0

y que se obtienen de eliminar y′ entre ambas.

a)

( ) = − ′ + ′ =

∂∂

= − + ′ =

F x y y y xy y y

Fy

x yy

, , ' 0 ; 2 ( ) 0

'0 ; 2 2 0

2


De la segunda ecuación se obtiene

yy = x y' = xy

Y sustituyendo en la primera resulta

y2 = x2

Las posibles soluciones singulares son

y = ±x

b)

( ) ( )

( )

= − ′ + − ′ =

∂∂

= − + − ′ =

F x y y y y x y

Fy

x y

, , ' 0 ; 1 ( ) 0

'0 ; 1 2 0

2

Despejando y′ en la segunda ecuación, y sustituyendo en la primera, se obtiene

= − +y

x( 1)4

2

c)

( )( ) = + − =

∂∂

= ′ =

F x y y y y

Fy

y y

, , ' 0 ; ' 1 1 0

'0 ; 2 0

2 2

2

La segunda ecuación se verifica para y = 0, o bien y′ = 0.

La función y = 0 no es solución de la ecuación. Sustituyendo la otra po-sibilidad en la primera ecuación se obtiene

y = ±1

que son las soluciones singulares.


2.41. Determínese la solución general de

′ − ′ − ′ − + =y xy y x x6 3 02 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación polinómica de grado 2 respecto a y′

′ + ′ − − − + =y y x x x( 1) 6 3 02 2

Resolviendo la ecuación en y′, se obtiene

′ =+ ± − − − − +

=+ ± − +

=yx x x x x x x1 ( 1) 4( 6 3 )

21 25 10 1

2

2 2 2

=+ ± −x x1 (5 1)

2

2

Las raíces son: y′ = 3x, y′ = –2x + 1.

Por tanto la ecuación se puede escribir en la forma

′ − ′ + − =y x y x( 3 )( 2 1) 0

y su solución general es la de las ecuaciones

′ − = ′ + − =y x y x3 0 ; 2 1 0

es decir

= + = − + +yx

C y x x C32

;2

2

Ambas familias de curvas componen la solución general de la ecua-ción.


2.42. Determínese la integral general de

′ + =y y( 1) 12 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de la forma f(y, y′) = 0.

Su expresión en forma paramétrica es

y t

y t

cos

' tg

De donde se obtiene

= −=

dy t dt

dy t dx

sen

tg

Entonces

tg t dx = sen t dt dx = sen ttg t

dt x = sen ttg t

dt = cos t dt = sen t + C

y la solución general viene dada por

= − +=

x t C

y t

sen

cos


′ − ′ + − =e y y e2 1 0x x

SOLUCIÓN

Es una ecuación de la forma f(x, y′) = 0, es decir dependiente sólo de x, y′ en donde se puede despejar x en función de y′, obteniendo x = g(y′). La forma de resolverla es la siguiente


Haciendo y′ = p, se tiene x = g(p), y con ello

( )= =dy pdx pg p dp'

Por tanto, la solución general de la ecuación viene dada por

∫=

= ′ +

x g p

y pg p dp C

( )

( )

En este caso, despejando x en la ecuación queda

ex = 1+ yy + 2

x = ln1+ yy + 2

x = ln1+ pp+ 2

g(p) = ln1+ pp+ 2

g (p) = 1(p+1)(p+ 2)

Por tanto

∫= + +y p

p pdp

1( 1)( 2)

y descomponiendo en fracciones simples se obtiene

∫( )

=−+

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +y

p pdp

p

pC

11

22

ln21

2

Por consiguiente la solución general en paramétricas es

( )

=++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=++

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

xp

p

yp

pC

ln1

2

ln21

2


En este caso es sencillo eliminar p entre ambas ecuaciones de la si-guiente forma.

De la primera ecuación en paramétricas se despeja p y se obtiene

ex = 1+ pp+ 2

p = 1 2ex

ex 1p+ 2 = 1

ex 1

Es decir

+ = −−

pe

e1

1

x

x

que sustituyendo en la expresión para y resulta

y = ln1 (ex 1)( )2

ex (ex 1)+ C y = ln

1ex(ex 1)

+ C

que es la expresión explícita de la solución general.


= + ′ − ′y x y y3 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Lagrange

( ) ( )= +y xf y g y' '

donde f(y′) = 1, g(y′) = y′ – 3 y′2

Haciendo y′ = p, se obtiene

= + −y x p p3 2 (2.5)


De donde = + −dy dx dp pdp6

que al ser dy = pdx, queda

= + − − = − =−−

pdx dx dp pdp p dx p dpdxdp

pp

6 ; ( 1) (1 6 ) ;1 6

1

dx = 1 6pp 1

dp dx = 65p 1

dp x = 6p 5ln(p 1)+ C

Sustituyendo en la expresión (2.5) se tiene

= − − − − +y p p p C5 3 5ln( 1)2

En consecuencia, las ecuaciones paramétricas de la solución general son

= − − − +

= − − − − +

x p p C

y p p p C

6 5ln( 1)

5 3 5ln( 1)2

2.45. Intégrese la ecuación diferencial

− + =xp yp x3 9 02 2 , para x>0, donde pdydx

y hállense las soluciones singulares, si existen.

SOLUCIÓN

Expresando la ecuación en la forma

= +y xpxp

39 2

puede resolverse de forma similar a las ecuaciones de Lagrange.


Diferenciando ambos miembros, y sustituyendo p por dy / dx, resulta

= + + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟p p

xp

xxp

dpdx

318 9 2

2

o también

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

px

px

xp

dpdx

2 19

19

2 2

Una solución de la ecuación es

− =x

p1

902 (2.6)

Eliminando ese factor, queda como ecuación a resolver

p xdpdx

2

Su solución es p = Cx2, que junto con la ecuación inicial constituyen las ecuaciones paramétricas de la solución general:

− + =

=

xp yp x

p Cx

3 9 02 2

2

Eliminando p entre ambas, se obtiene como solución general

− + =C x Cyx x3 9 02 5 2 2

que al ser x > 0 puede simplificarse, quedando

− + =C x Cy3 9 02 3

o escogiendo adecuadamente la constante de integración

= +y CxC13


Las soluciones singulares se obtienen eliminando p entre las ecuaciones:

( ) = ∂∂

=F x y pFp

, , 0 , 0

En este caso

− + =− =

xp yp x

px y

3 9 0

2 3 0

2 2

Eliminando p se obtiene

y2 = 4x3

que corresponde a las soluciones:

= = −y x y x2 , 23/2 3/2

Ambas son soluciones singulares, ya que verifican la ecuación y no se deducen de la solución general para ningún valor de C.

Puede observarse que estas soluciones singulares corresponden al fac-tor que se eliminó anteriormente (2.6), y de esa expresión también pueden obtenerse.

En efecto

− =xp

19

02 ; p x92 ; y x' 92 ; = ±y x' 3 1/2 ; y x2 3/2 ; = −y x2 3/2

2.46.

a) Dedúzcase la familia de rectas solución general de la ecuación deClairaut.

b) Hállese la envolvente de dicha familia, y compruébese que es unasolución singular.

c) Aplíquense los resultados anteriores en la ecuación

( )− − =y xy y' ' 02


SOLUCIÓN

a) La ecuación de Clairaut tiene de expresión general

( )= +y xy g y' '

Se resuelve haciendo, y′ = p, con lo que se tiene

( )= +y xp g p (2.7)

Derivando con respecto a x y simplificando se obtiene

( )

( )

= + +

+⎡⎣ ⎤⎦ =

dydx

xdpdx

p g pdpdx

x g pdpdx

'

' 0

Las soluciones son

1.dpdx

0

con lo que p = C, y sustituyendo en la ecuación resulta

( )= +y Cx g C

que es la solución general. Como puede verse, es una familia de rectas.

2. x + g′(p) = 0

Despejando p y sustituyendo en (2.7) se obtiene otra solución que es la solución singular de la ecuación.

b) La envolvente de una familia uniparamétrica de curvas G(x, y, C) = 0es la curva, si existe, que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia. Se obtiene eliminando el parámetro C entre las si-guientes ecuaciones:

( ) =∂∂

=

G x y C

GC

, , 0

0


En este caso son:

( )( )

− − =

− − =

y Cx g C

x g C

0

' 0

La segunda ecuación es x + g′(C) = 0, precisamente la misma obtenida de la segunda solución de la ecuación. Eliminado C se obtiene la ecuación de la envolvente, que es la solución singular hallada anteriormente.

c) Ecuación

( )− − =y xy y' ' 02

Sustituyendo y′ por C se obtiene su solución general

− − =y Cx C 02

La solución singular se deduce de eliminar p entre:

( )− − =+ =

y xp p

x g p

0

' 0

2

En este caso g′(p) =2p.

Por tanto

+ = = −x p px

2 0 ;2

Sustituyendo en la ecuación, resulta

= −yx4

2

que es la solución singular.


2.47. Hállese la ecuación de todas las rectas y curvas cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área 8.

SOLUCIÓN

Sea la ecuación de la curva y = y(x).

La ecuación de la recta tangente en el punto (X, Y) viene dada por

( )− = −Y y y X x'

Puntos de corte con los ejes

Y = 0 X = x yy'

Punto A xyy'

,0

X = 0 Y = y xy' Punto B 0, y xy'( )

Por tanto el área del triángulo viene dada por

12

y y'x( ) xyy'

= 8 y y'x( ) xyy'

= ±16 (2.8)

Considerando ambos casos:

1. Para el valor negativo (–16), la expresión anterior queda

y y'x( )2 =16y' y = y'x ± 4 y'

que es una ecuación de Clairaut.

La solución general es la familia de rectas

( )= ± ≥y Cx C C4 , 0 (2.9)

donde C es la constante de integración, y las soluciones corresponden a va-lores de C ≥ 0.


La ecuación de Clairaut tiene una solución singular que es la curva en-volvente de la familia de rectas solución (2.9). Eligiendo el signo positivo, la envolvente se deduce de las ecuaciones:

− − =

− − =

y Cx C

xC

4 0

20

.

En las que eliminando C se obtiene

xy = –4

que corresponde a la ecuación de una hipérbola situada en el segundo y cuarto cuadrante.

Con la familia de rectas (2.9) con el signo negativo se obtiene la misma envolvente.

2. Para el valor positivo (+16), la expresión (2.8), queda

y y'x( )2 = 16y' y = y'x ± 4 y'

que es también una ecuación de Clairaut.

La solución general es la familia de rectas

( )= ± − ≤y Cx C C4 , 0

que corresponden a valores de C ≤ 0.

La envolvente, eligiendo el signo positivo es

− − − =

− +−

=

y Cx C

xC

4 0

20


Eliminando C se obtiene

xy = 4

que corresponde a la ecuación de una hipérbola situada en el primero y tercer cuadrante.

Por tanto, todas las rectas y curvas que verifican el enunciado, y se re-presentan en la figura 2.1 son

Rectas= ± ≥

= ± − ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

y Cx C C

y Cx C C

4 , 0

4 , 0 . Curvas: = ±xy 4

1

7

2

3

4

5

6

–7

–1

–6

–5

–4

–3

–2

1 2 3 4 5 6 7–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

y

xy=4

Figura 2.1

2.48.

a) Compruébese que la ecuación diferencial

= ′ − ′y y x y xtg sec2 2


se reduce a una ecuación de Clairaut efectuando la sustitución u = sen x.

b) Resuélvase dicha ecuación y hállese su solución singular.

SOLUCIÓN

u = sen x y = dydx

= dydu

dudx

= dydu

cos x

y tg x = dydx

tg x = dydu

cos x tg x = dydu

u

y 2 sec2 x = dydx

2

sec2 x = dydu

2

cos2 x sec2 x = dydu

2

Por tanto

y = y tg x y 2 sec2 x y = dydu

udydu

2

que es una ecuación de Clairaut.

c) La solución de la ecuación = ⋅ − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ydydu

udydu

2

viene dada por

= −y Cu C2

Que deshaciendo el cambio efectuado es

= −y C x Csen 2

La solución singular se obtiene despejando λ de la ecuación

+ ′ λ =u g ( ) 0

Es decir

u+ g ( ) = 0 u 2 = 0 = u2


sustituyendo este valor queda

= λ + λ = − =

=

y u u g u yu

uu

yu

yx

( ) ( ( ));2 4

;4

sen4

2 2

2

2.49. Determínese la ecuación de las curvas que cortan bajo un ángu-lo de 45º a la familia

− = λy x2 2 2

SOLUCIÓN

Derivando la ecuación se obtiene la ecuación diferencial asociada a la familia

′ − =yy x 0

Teniendo en cuenta que tg 45º = 1, la pendiente de la recta tangente a la curva viene dada por

α = ′ −+y

′ytg

1

1

Sustituyendo y′ por ′ −+ ′

yy1

1en la ecuación diferencial se tiene

yy 11+ y

x = 0 y = x + yy x

que es la ecuación diferencial de las trayectorias pedidas.


Se trata de una ecuación homogénea. Mediante el cambio de variable

y = ux y = u x + u.

la ecuación queda

u x + u = x + uxux x

u x = 1+ uu 1

u

u x = u2 + 2u+1u 1

du(u 1)u2 + 2u+1

= dxx

Descomponiendo en fracciones simples e integrando, se obtiene

1 2u (1+ 2)

1 2u (1 2)

du = 1xdx

ln1

u (1+ 2( ) u (1 2( )= ln x + K x = C

u (1+ 2( ) u (1 2( )

x = C

(u 1)2 2

Y despejando u

= ± +uCx

1 22

2

Por tanto, las ecuaciones de las trayectorias pedidas vienen dadas por

= ± +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟y x

Cx

1 22

2


2.50. En la familia de curvas planas

y = cxn

donde n es un entero positivo, se pide:

a) Su ecuación diferencial.

b) La familia de trayectorias ortogonales. ¿Qué tipos de curvas son?.Dichas trayectorias, ¿son circunferencias en algún caso?

c) ¿Qué efecto tiene sobre dichas trayectorias ortogonales el aumen-tar n?.

SOLUCIÓN

a) La ecuación diferencial de la familia y = cxn es

y′ = ncxn–1

Eliminando c entre ambas resulta

y nyx

'

b) Ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales

Sustituyendo en la ecuación diferencial y′ por −′y

1 se tiene

− =y

nyx

1'

que es una ecuación de variables separables. Integrando se obtiene

+ =x ny K2 2


que se puede escribir en la forma

+ =x ny C2 2 2

o bien

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=xC

y

Cn

12

2

2

2

Se trata por tanto de una familia de elipses, que para n = 1 son circun-ferencias.

c) Al aumentar n las elipses son más estrechas en dirección el eje Y. (Elsemieje OY es cada vez menor).

2.51. Dada la familia de circunferencias de centro C(λ,0), y radio λ, se pide:

a) Ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales.

b) Resolver la ecuación anterior indicando el tipo de curvas soluciónde la misma.

SOLUCIÓN

a) Ecuación de la familia de circunferencias

( )− λ + = λx y2 2 2

Eliminando λ entre

( )

( )

− λ + = λ

− λ + ′ =

x y

x yy2 2 0

2 2 2

se obtiene

− + ′ =x y xy y2 02 2


que es la ecuación diferencial de la familia dada.

Para hallar la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales, se

sustituye y′ por −′y1

en la ecuación diferencial de las curvas, y se obtiene

− + −′

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

′ =−

x y xyy

yxy

x y

21

0

2

2 2

2 2

b) Es una ecuación del tipo homogéneo. Haciendo el cambio de variable

y = ux y = u x + u

y sustituyendo en la ecuación se obtiene

( )′ + =−

′ =−

− =+−

−+

=xu uuu

xuuu

uu u

uu

u udu

xdx

21

;2

1 1;

1

1

12 2

3

2

2

2

Al ser

( )−+

= −+

uu u u

uu

11

1 21

2

2 2

integrando se obtiene

+=

uu

Cx12

Deshaciendo el cambio y renombrando la constante, resulta

+ =x y Cy2 2

Es una familia de circunferencias de centro en el eje OY, y que pasan por (0,0).


2.52. Hállese el valor de K para que la familia de elipses x2 + 2y2 – y = C2, sean las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas y = C1x2 + K.

SOLUCIÓN

Ecuación diferencial de la familia de parábolas. Se obtiene eliminando C1 entre

′ =

= +⎫⎬⎭⎪

y C x

y C x K

2 1

12

Queda

= ′ +yxy

K2

Trayectorias ortogonales. Sustituyendo y′ por −′y

1 resulta

= −′+y

xy

K2

que es la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales.

Es una ecuación de variables separables.

( )′ =−

′ − =yx K y

y K y x2 1

, 2

Su solución general es

2Ky y2 = x2

2+ C x2 + 2y2 4Ky + 2C = 0

Por último, igualando el coeficiente de y con el de la ecuación de la fa-milia de elipses se obtiene

K14

CAPÍTULO 3

ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR


1. La ecuación diferencial ordinaria de orden n

Tiene como expresión general F(x, y, y′, y″, ..., yn)) = 0. Si se puede des-pejar yn), entonces resulta

…( )= ′) )−y f x y y y, , , ,n n 1 (3.1)

en donde f se supone definida en un cierto dominio de Rn+1.


Dada la ecuación (3.1), y las condiciones iniciales

…( ) ( ) ( )= = ′ = )−

−y y x y y x y y x, , , nn

0 0 1 0 11

0 (3.2)

¿Existe alguna función y = y(x) que cumpla la ecuación (3.1) con las con-diciones (3.2)?


Sean la ecuación (3.1) y las condiciones iniciales (3.2). Si la función f sa-tisface

a) f es continua en su dominio de definición.

b) f posee derivadas parciales continuas


∂∂

∂∂ ′

∂∂ ′′

fy

fy

fy

, , ,

∂∂ )−

fy

, n 1 en Ω

entonces existe una única solución y = (x) de la ecuación que satisface las condiciones iniciales.

4. Solución general y solución particular

Si es el dominio en el que la ecuación de orden n: yn) = (x, y, y , ..., yn–1))cumple las condiciones de existencia y unicidad de las soluciones, la inte-gral o solución general tendrá la forma

y = x,C1,C2,…,Cn( )

donde C1, C2, ..., Cn son constantes arbitrarias. Una Solución particular es cada una de las funciones que se obtienen de la integral general al dar un valor determinado a cada constante Ci (i = 1,2,...,n).

5. Métodos elementales de integración

1. Ecuaciones de la forma yn) = f(x).

Se integra sucesivamente y se obtiene la solución general.

… … …∫∫∫ ( ) ( )= ⎡⎣

⎤⎦ +

−+ + +

−

−y f x dx dx dx Cx

nC x C

1 !

n

n n1

1

1

2. Ecuaciones que no contienen la variable independiente: F(y, y ,y , ..., yn)) = 0.

El cambio y = p reduce el orden de la ecuación en una unidad. Se con-sidera p función de y, con lo que

′ = =ydydx

p ; ′′ = = ⋅ =ydpdx

dpdy

dydx

pdpdy

( )′′′ =

′′= ⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ ⋅ + ⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+yd y

dxdpdx

dpdy

pddx

dpdy

dpdy

dydx

dpdy

pd pdy

dydx

pdpdy

pd pdy

2

2

2

22

2


Sustituyendo estas derivadas en la ecuación, resulta

G(y, p, p , ..., pn–1)) = 0

en la que no figura la derivada de orden n.

3. Ecuaciones que no contienen a la función ni a sus derivadashasta la de orden m – 1 inclusive: F(x,ym), ..., yn)) = 0.

El cambio ym) = p reduce el orden m de la ecuación hasta el ordenn – m.

La ecuación se transforma en G(x, p, p , ..., pn–m)) = 0, cuya soluciónserá de la forma p = f(x, C1, ..., Cn–m). La solución general de la ecua-ción inicial se obtendrá integrando sucesivamente m veces la ecuaciónym) = f(x, C1, ..., Cn–m)

4. Ecuaciones homogéneas respecto a la función y sus derivadas.

Si la ecuación F(x, y, y , ..., yn)) = 0 es homogénea de grado p respecto a la función y sus derivadas, es decir:

F(x, y, y , ..., yn)) = pF(x, y, y , y , ..., yn)

entonces su orden se reduce en una unidad mediante el cambio

= ′z

yy

, o lo que es lo mismo = ∫y ez dx

.

5. Ecuaciones que son derivadas exactas de expresiones diferenciales.

Si F(x, y, y , ..., yn)) = 0 es la derivada de una expresión diferencial de or-den n – 1, la ecuación primitiva puede resolverse fácilmente poniéndola como derivada de esa expresión diferencial. Esta expresión diferencial se llama primera integral de la ecuación, la cual igualada a una constante será de un orden menor que la primitiva, y con ello teóricamente más sen-cilla de resolver.

6. Ecuaciones lineales de orden n

Su expresión general es

…( ) ( ) ( ) ( )+ + + + =−

− −d ydx

h xd ydx

h xdydx

h x y F xn

n

n

n n n1

1

1 1 (3.3)


con h1(x), h2(x), ..., hn(x) y F(x) funciones continuas en un cierto intervalo real (a,b) de valores de x. Si F(x) = 0, la ecuación se llama ecuación homo-génea asociada a la ecuación lineal completa que es la expresión (3.3).

Aunque de forma estricta en una ecuación lineal no es necesaria la con-tinuidad de las funciones hi(x), i = 1,2, ..., n y F(x), consideraremos aquí solo aquellas en las que sí son continuas esas funciones. En ese caso, el problema de valores iniciales:

…

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= − − − +

= = ′ = )

−

−−

y h x y h x y F x

y y x y y x y y x, , ........,

n nn

nn

)1

1)

0 0 1 0 11

0

en todo punto x0 del intervalo real de definición de las funciones, tiene so-lución única (obsérvese que en ese caso se cumplen las hipótesis del teore-ma de existencia y unicidad).

7. El operador diferencial lineal

Es una aplicación tal que a toda función y(x), derivable n veces, le hace corresponder la expresión

…( ) ( ) ( ) ( )= + + + +−

− −L yd ydx

h xd ydx

h xdydx

h x yn

n

n

n n n1

1

1 1

O de otra forma

…( )( ) ( ) ( )= + + +−L y D h x D h x D yn nn1

1 0

donde D expresa la derivada de la función con el orden correspondiente.

Esto permite expresar de forma reducida la ecuación lineal homogénea asociada a (3.3) por L(y) = 0, y la completa por L(y) = F(x). A L se le llama operador diferencial lineal.

Llamando H(D) al polinomio

…( )( ) ( ) ( )= + + +−H D D h x D h x Dn nn1

1 0


la ecuación homogénea se puede expresar por H(D)(y) = 0, y la completa por H(D)(y) = F(x), donde se expresa de forma explícita el polinomio en D. Este polinomio H(D) se llama polinomio operacional asociado a la ecua-ción lineal.

8. Wronskiano de una familia de funciones

Dada una familia F de funciones y1, y2, ..., yn definidas y derivables hastael orden n – 1 en un intervalo (a,b) de R, se llama wronskiano de F al determi-nante

…( ) = ′ ′ ′

− − −

W y y y

y y y

y y y

y y y

, , ,

...

...

... ... ... ......

n

n

n

n nnn

1 2

1 2

1 2

11)

21) 1)

a) Si las funciones y1, ..., yn definidas y derivables hasta el orden n – 1en un intervalo (a,b) de R son linealmente dependientes, su wronskiano es cero en dicho intervalo.

Como consecuencia: Si el wronskiano de un sistema de funciones es dis-tinto de cero en un intervalo (a,b) de R, entonces es linealmente independien-te en dicho intervalo.

b) Sea la familia y1, ..., yn de soluciones particulares de la ecuación linealhomogénea

…( ) ( ) ( )+ + + + =−

− −d ydx

h xd ydx

h xdydx

h x y 0n

n

n

n n n1

1

1 1 (3.5)

donde los coeficientes h1(x), h2(x), ..., hn(x) son continuos en (a,b). Si esa fa-milia es linealmente independiente, su wronskiano es distinto de cero en to-dos los puntos de dicho intervalo.

9. Ecuación lineal homogénea

1. Espacio de soluciones. El conjunto de soluciones de una ecuación li-neal homogénea de orden n tiene estructura de espacio vectorial real de


dimensión n con las operaciones usuales de suma de funciones y produc-to por un número real. Por lo tanto:

a) Toda combinación lineal, con coeficientes constantes, de soluciones deuna ecuación lineal homogénea es también solución de ella.

b) Si la ecuación lineal homogénea con coeficientes reales tiene una solu-ción compleja, la parte real de la misma y su parte imaginaria, por se-parado, son también soluciones de dicha ecuación.

2. Sistema fundamental. Se llama sistema fundamental de solucionesde una ecuación lineal homogénea de orden n en (a,b), al conjunto de n so-luciones cualesquiera linealmente independientes.

3. Solución general. Si y1, y2, ..., yn es un sistema fundamental de so-luciones de la ecuación lineal homogénea (3.5), donde los coeficientes h1(x), h2(x), ..., hn(x) son continuos en (a,b), la expresión

…= + + +y C y C y C yn n1 1 2 2

para los distintos valores de Ci se llama solución general de la ecuación.

10. Ecuación lineal completa

1. Solución general. La solución general de la ecuación lineal completaL(y) = F(x) es la suma de una solución particular y la solución general de la ecuación homogénea L(y) = 0 asociada.

2. Principio de superposición: Si y1 es solución general de la ecuación li-neal completa L(y) = F1(x), e y2 es solución de L(y) = F2(x), entonces y1 + y2 es solución de la ecuación L(y) = F1(x) + F2(x).

11. Método de reducción de orden

Una técnica interesante para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas cuando se conoce una solución particular de la ecua-ción es el método de reducción de orden.


Si y1(x) es una solución particular de la ecuación de orden n

…( ) ( ) ( )+ + + + =−

− −d ydx

h xd ydx

h xdydx

h x y 0n

n

n

n n n1

1

1 1

entonces el cambio de variable y = y1(x) · (x) la transforma en una ecua-ción lineal homogénea de orden n – 1.


3.1. Resuélvase el problema de Cauchy

( ) ( ) ( ) ( )=

= − ′ = ′′ = ′′′ = −x y

y y y y

12

1 1, 1 0, 1 4, 1 4

iv4 )

SOLUCIÓN

Si x R – 0, integrando de manera reiterada se determina la solución general

′′′ =− +yx

A4

;3; ′′ = + +y

xAx B

22

; ′ =− + + +yx

Ax

Bx C;2

2

2

= − + + + +y x Ax

Bx

Cx D2ln | |6 2

3 2

Las constantes de integración A,B,C,D se calculan imponiendo las con-diciones iniciales.

= −y(1) 1 + + + = −A B

C D6 2

1

′ =y (1) 0 − + + + =A

B C22

0

′′ =y (1) 4 + + =A B2 4

′′′ = −y (1) 4 − + = −A4 4


Resolviendo el sistema se obtiene A = C = 0, B = 2, D = –2.

Por tanto la solución del problema de Cauchy es

= − + −y x x2ln | | 22

3.2. Determínese un intervalo en torno a x = 0 en el cual el problema de Cauchy dado tenga solución única:

a) ( )− ′′ + = = ′ =x y y x y y3 4 , (0) 0 , (0) 1

b) ′′ + = = ′ =y xy x y ytg , (0) 1 , (0) 0

SOLUCIÓN

a) Expresando la ecuación en la forma

′′ = −−

+−

yx

yx

x4

3 3

Las funciones:

( ) ( )= −−

=−

h xx

F xx

x4

3,

3

Están definidas y son continuas salvo en x = 3.

Por tanto el intervalo en torno a x = 0 pedido es (–∞,3).

b) La ecuación es

′′ = − +y xy xtg

Las funciones:

( ) ( )= − =h x x F x x, tg

Están definidas y son continuas ambas. excepto en =π+ πx k

2, con

k Z donde no lo es tg x.


Por tanto, un intervalo en torno a x = 0 donde el problema de Cauchy del enunciado tiene solución única es

∈−π π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

x2

,2


′′ + ′′ ′ =y y y 42

SOLUCIÓN

La ecuación es de la forma F(y, y ) = 0 (no contiene la variable indepen-diente). Con el cambio y = p se reduce el orden de la ecuación, obteniéndose

′ + ′ =p p p 42

Es una ecuación de primer orden de la forma f(p, p ) = 0 en la que se puede despejar p

=− ′′

pp

p4 2

Haciendo el cambio p = t, queda

p = 4 t2

tdp = ( t2 4)dt

t2

De p = t se tiene dp = t dx. Sustituyendo en la igualdad anterior, se ob-tiene

t dx = ( t2 4)dtt2 dx = 1

t4t3 dt

e integrando

x = ln t + 2t2 + C1


Por tanto

p = 4 t2

ty = 4 t2

tdydx

= 4 t2

tdy = 4 t2

tdx

Y sustituyendo dx por su expresión en función de t obtenida anterior-mente, resulta

dy = 4 t2

t1t

4t3 dt = 16

t4 +1 dt

y = 163t3 + t + C2

Por tanto, la solución general de la ecuación en paramétricas viene dada por

x = ln t + 2t2 + C1

y = 163t3 + t + C2


′′ + ′′ − =y xy x3 10 02 2

SOLUCIÓN

La ecuación no contiene ni a la función ni a su derivada de primer or-den. El cambio y = p reduce el orden, y se obtiene

′ + ′ − =p xp x3 10 02 2

que es una ecuación polinómica de grado 2 respecto a p . Sus raíces

′ =− ± +

=− ±

px x x x x3 9 40

2–

3 72

2 2


Por tanto la solución viene dada por la de las dos ecuaciones

′ = ′ =p x p x2 , 5

que integrando queda

= + =−

+p x C px

C52

22

Y deshaciendo el cambio

y = x2 + C y = x3

3+ Cx + D

y = 5x2

2+ C y = 5x3

6+ Cx + D

Ambas soluciones constituyen la solución general de la ecuación.


( )′′ = + ′yy y2 1 2

SOLUCIÓN

La ecuación es de la forma F(y, y ) = 0 (no contiene la variable indepen-diente). Con el cambio y = p se reduce el orden.

La expresión de la segunda derivada es

′′ = = =ydpdx

dpdy

dydx

pdpdy

Sustituyendo ambas derivadas en la ecuación, se obtiene

= +ypdpdy

p2 1 2


Ecuación de primer orden, que integrando queda

2pdp1+ p2 = dy

yln 1+ p2( ) = ln y + lnC1 1+ p2 = C1y

Es decir

1+ y( )2 = C1y ; y = ± C1y 1 ;dydx

= ± C1y 1 ;dy

± C1y 1= dx

± 2C1

C1y 1 = x + C2 ;4

C1( )2C1y 1( ) = x + C2( )2 ;

C1( )24

x + C2( )2 = C1y 1

Y simplificando, resulta la solución general pedida

( )= + +yC

Cx C

141

12

2


′ − ′′ =x y x yy y2 2 2 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación homogénea de grado 2 en y,y ,y . Dividiendo por y2 queda

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ′′ =xyy

xyy

12

2

2

Haciendo el cambio

z = yy

z = y y y 2

y2 = yy

yy

2yy

= z + z2

la ecuación se transforma en

x2z2 x2(z + z2 ) =1 z = 1x2 dz = 1

x2 dx


que es de variables separables. Integrando se obtiene

z = 1x+ C1

yy= 1x+ C1 ln y = ln x + C1x + lnC2

La solución es

y C xeC x2

1

3.7. Determínese si las funciones dadas son linealmente dependientes o linealmente independientes:

a) x xsen ,cos ,12 2

b) + −x x x,2 2,3 12

c) −x e esen , ,x x

SOLUCIÓN

En los tres casos se utilizará el Wronskiano para determinar la depen-dencia lineal

a)

W sen2 x, cos2x,1( ) =1 sen2x cos2 x0 2sen xcos x 2sen xcos x0 2(cos2 x sen2x) 2(cos2 x sen2x)

=

=2sen xcos x 2sen xcos x

2(cos2 x sen2x) 2(cos2 x sen2x)= 0

linealmentedependientes.

b)

W x2, 2x + 2, 3x 1( ) =x2 2x + 2 3x 12x 2 32 0 0

=16 linealmente independientes.


c)

W sen x, ex , e x( ) =sen x ex e x

cos x ex e x

sen x ex e x

= 4sen x linealmente independientes.

3.8. Calcúlense los valores de a R para los que el sistema de funcio-nes ax, a2x2+1, x2+a es linealmente independiente.

SOLUCIÓN

+ + =+ +

= −W ax a x x a

ax a x x a

a a x x

a

a a( , 1, )1

2 20 2 2

2 22 2 2

2 2 2

2

2

4

Para que las funciones sean linealmente independientes

W(ax,a2x2 +1,x2 + a) 0 2a4 2a 0 a 0 y a 1.

3.9. Compruébese que el conjunto ex, xex, x es un sistema fundamen-tal de soluciones de una ecuación diferencial y calcúlese la ecuación a la que corresponde.

SOLUCIÓN

Las funciones son linealmente independientes ya que el wronskiano

( ) = +

+

= −W e xe x

e xe x

e e x

e e x

e x, , ( 1) 1

( 2) 0

( 2)x x

x x

x x

x x

x2

no es idénticamente nulo.

Al ser el conjunto dado un sistema fundamental de soluciones de la ecuación, la solución general es

= + +y C e C xe C xx x1 2 3


donde C1, C2, C3 son las constantes arbitrarias.

El sistema formado por la ecuación anterior junto con sus derivadas es

= + +

′ = + + +

′′ = + +

′′′ = + +

y C e C xe C x

y C e C e x C

y C e C e x

y C e C e x

( 1)

( 2)

( 3)

x x

x x

x x

x x

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2

en el que considerando las constantes como incógnitas, tendrá solución distinta de la trivial si

( )( )( )

′ +

′′ +

′′′ +

=

y e xe x

y e e x

y e e x

y e e x

1 1

2 0

3 0

0

x x

x x

x x

x x

Resolviendo el determinante, resulta

[ ]

( )( )( )

′ +

′′ +

′′′ +

=′ − −′′ − −′′′ − −

=

= −′ − −′′ − −′′′ − −

= −′ − −′′ − −′′′ − ′′

=

= − ′′′ − + ′′ − + ′ − =

e

y x x

y x

y x

y x

e

y x x

y y x

y y x

y y x

e

y y x

y y x

y y x

e

y y x

y y x

y y

e y x y x y x y

1

1 1 1

1 2 0

1 3 0

1

0 1 1

0 2

0 3

1 1

2

3

1 1

2

1 0

( 2) (3 2 ) 0

x x

x x

x

2 2

2 2

2

En consecuencia, la ecuación pedida es

′′′ − + ′′ − + ′ − =y x y x y x y( 2) (3 2 ) 0


3.10. Encuéntrese la ecuación cuya solución general es

= +y C x C x xsen cos1 2

SOLUCIÓN

Derivando dos veces la expresión de la solución general, resulta el si-guiente sistema

= +′ = + −′′ = − + − −

y C x C x x

y C x C x x x

y C x C x x x

sen cos

cos (cos sen )

sen ( 2sen cos )

1 2

1 2

1 2

donde considerando las constantes como incógnitas, tiene solución si

′ −′′ − − −

= ′′ − + ′ + − − =y x x x

y x x x x

y x x x x

y x x x y x y x x x

sen cos

cos cos sen

sen 2sen cos

(sen cos ) 2 sen ( cos sen ) 02

Por tanto, la ecuación es

− + ′′′ + − − =x x x y x y x x x y(sen cos ) (sen )2 ( cos sen ) 02

3.11. En las ecuaciones diferenciales siguientes donde se indica una solución, calcúlese una segunda utilizando el método de reducción de orden:

a) ′′ − ′ + = =x y xy y y x7 16 0 , 21

4

b) ( )+ ′′ + ′ − = = −x y xy y y e2 1 4 4 0 , x1

2

SOLUCIÓN

a) El cambio de variable dependiente

( ) ( )=y x y x v1


transforma la ecuación en otra de primer orden.

Las derivadas respecto a x son

′ = ′ + ′′ = ′′ + ′ +y x v x v y x v x v x v4 ; 8 124 3 4 3 2

Sustituyendo la expresión del cambio junto con sus derivadas en la ecuación se obtiene

′′ + ′ + − ′ + + =x x v x v x v x x v x v x v( 8 12 ) 7 ( 4 ) 16 02 4 3 2 4 3 4

Que simplificando queda

′′ + ′ =x v x v 06 5

Haciendo v = z, resulta la ecuación de primer orden

′ + =x z x z 06 5

de solución

x6z + x5z = 0dzz

= 1xdx ; z = C1

1x

Deshaciendo los cambios, queda

∫= = +

= +

v z dx C x C

y C x x C x

ln

ln

1 2

14

24

que es la solución general de la ecuación.

Una segunda solución se deduce, por ejemplo, para C1 = 1, C2 = 0, resul-tando

y x xln24


b) El cambio de variable a efectuar, y sus derivadas son

= ′ = ′ − ′′ = ′′ − ′ +− − − − − −y e v y e v e v y e v e v e v; 2 ; 4 4x x x x x x2 2 2 2 2 2

que sustituyendo en la ecuación se obtiene

( ) ( )+ ′′ − ′ + + ′ − − =− − − − − −x e v e v e v x e v e v e v(2 1) 4 4 4 2 4 0x x x x x x2 2 2 2 2 2

Y simplificando

′′ + + ′ − − =v x v x(2 1) ( 4 4) 0

Efectuando en esta última ecuación el cambio de variable v = z, resulta

′ + + − − =z x z x(2 1) ( 4 4) 0

que es una ecuación de primer orden. Su integral general es

( ) ( )= ++

= ++

= + + + = +dz

z

x

x xz x x C z C x e

4 4

2 12

2

2 1 ; 1n 2 1n 2 1 1n ; 2 1 x

1 12

Por último, deshaciendo los cambios efectuados resulta la solución ge-neral pedida

∫= + = +

= + −

v C x e dx C xe C

y C x C e

(2 1) x x

x

12

12

2

1 22

En consecuencia, haciendo por ejemplo C1 = 1, C2 = 0, resulta una se-gunda solución

y2 = x


+ ′′ − ′ + =x y xy y( 1) 2 2 02


a) Encuéntrese una solución polinómica del tipo y = ax + b

b) Resuélvase la ecuación utilizando el método de reducción de orden.

SOLUCIÓN

a) = + ′ = ′′ =y ax b y a y; ; 0.


(x2 +1) 0 2xa+ 2(ax + b) = 0 b = 0, a cualquier valor.

Por ejemplo, para a = 1 la solución es

y = x

c) Se buscará una segunda solución por el método de reducción de orden.

El cambio de variable a efectuar y sus derivadas son

= ′ = + ′ ′′ = ′ + ′′y xv y v xv y v xv; ; 2

Sustituyendo dicho cambio y sus derivadas en la ecuación, queda

+ ′ + ′′ − + ′ + =x v xv x v xv xv( 1)(2 ) 2 ( ) 2 02

Y simplificando convenientemente

′′ + + ′ =v x x v( 1) 2 02

El cambio de variable v = z, transforma esta última ecuación en la de primer orden

′ + + =z x x z( 1) 2 02


Que integrando resulta

=−+

= − + + + =+dz

z x xdx z x x C z C

xx

2( 1)

; ln 2ln ln( 1) ln ;1

22

1 1

2

2

Y deshaciendo los cambios efectuados

∫=+

= − +

= − +

v Cx

xdx C x

xC

y C x C x

1(

1)

( 1)

1

2

2 1 2

12

2


3.13. Considérese la ecuación diferencial

xy x y x y ydy

dx2 1 1 0 , donde ( ) ( )′′ − + ′ + + = ′ =

a) Hállense las constantes A,n, para que y = Aenx sea una solución nonula de la misma.

b) Utilizando la solución anterior, hallar otra linealmente independien-te con ella, y la solución general.

SOLUCIÓN

a) y Ae y Ane y An e , , nx nx nx2= ′ = ′′ =

Sustituyendo en la ecuación, se obtiene el siguiente sistema

xAn e x Ane x AeAn An A

An A2 1 1 0; ;

2 0

0nx nx nx2

2

( ) ( )− + + + =− + =

− + =⎧⎨⎩⎪

La segunda ecuación es A(1 – n) = 0, que como la solución ha de ser no nula, entonces

n = 1, para todo A≠ 0


Por tanto, una solución, por ejemplo, es

y = ex

b) Método de reducción de orden.

Cambio de variable y derivadas

= ′ = + ′

′′ = + ′ + ′′ = + ′ + ′′

y e v x y e v x e v x

y e v x e v x e v x e v x v x v x

( ) ; ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )]

x x x

x x x x


+ ′ + ′′ − + + ′ + + =xe v v v x e v v x e v( 2 ) (2 1) ( ) ( 1) 0x x x

Y simplificando convenientemente

′′ − ′ =xv v 0

Haciendo v = z se tiene una ecuación de primer orden de variables se-parables

′ − =xz z 0

Hallando la solución general de esta ecuación, y deshaciendo los cam-bios efectuados, sucesivamente resulta

= = +z C x v Cx

C;21 1

2

2

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y e Cx

C2

x1

2

2

Donde, por ejemplo, para C1 = 2, C2 = 0 resulta

y = ex x2

que es otra solución independiente de la calculada en el apartado a).


Solución general

y = C1 x2 ex + C2 ex


′′ + ′ + =y Ay By p x( )

Sabiendo que y1(x) = sen x es una solución particular y que y2(x) = ex, y3(x) = e3x son soluciones de la ecuación homogénea asociada,

a) Calcúlese la solución general de la ecuación completa.

b) Determinar A,B y p(x).

SOLUCIÓN

a) Las soluciones y2 e y3 son un sistema fundamental de soluciones dela ecuación homogénea ya que su wronskiano

W y y e e

e ee,

32

x x

x x

x2 3

3

3

4( ) = =

no es idénticamente nulo.

Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es

y = C1 ex + C2 e3x

y la de la ecuación completa

y = C1 ex + C2 e3x + sen x

b) El sistema formado por la solución general de la ecuación homogé-nea y sus derivadas es

= +

′ = +

′′ = +

y C e C e

y C e C e

y C e C e

3

9

x x

x x

x x

1 23

1 23

1 23


que considerando las constantes como incógnitas, tiene solución si

y ex e3x

y ex 3e3x

y ex 9e3x

0 y 4y 3y 0

Que comparado con la ecuación, resulta A= – 4, B=3.

En consecuencia, la ecuación completa es

′′ − ′ + =y y y p x4 3 ( )

Al ser y1(x) = sen x una solución particular, sustituyendo en la ecuación resulta

= −p x x x( ) 2sen 4cos

3.15. Sea y1(x) una solución no trivial de la ecuación lineal homogénea

′′ + ′ + =y p x y q x y( ) ( ) 0

a) Compruébese mediante el método de reducción de orden, que unasegunda solución y2(x), linealmente independiente es

∫ ( )( )=

∫−y x y x

e

y xdx( ) ( )

p x dx

2 1

( )

1

2

b) Aplicar lo anterior a la ecuación

( )′′ − + ′ + = >xy x y y x1 0, ( 0)

donde una solución es y1(x) = ex.

SOLUCIÓN

a) Se utilizará el método de reducción de orden para resolver la ecua-ción.


El cambio de variable dependiente y sus dos primeras derivadas son

= ⋅′ = ′ + ′′′ = ′′ + ′ ′ + ′′

y y x v x

y y x v y x v

y y x v y x v y x v

( ) ( )

( ) ( )

( ) 2 ( ) ( )

1

1 1

1 1 1

Introduciendo esos resultados en la ecuación, queda

( )′′ + ′ + ′ + ′′+ ′ + =y v y py v y py qy v(2 ) 01 1 1 1 1 1

Al ser y1 solución, el último paréntesis es cero

′′ + ′ + ′ =y v y py v(2 ) 01 1 1

y haciendo w = v , resulta la ecuación de primer orden en la variable w si-guiente

′ + ′ + =y w y py w(2 ) 01 1 1

Esta ecuación es de variables separables. Integrando se obtiene

ww

= 2y1

y1

p ln w = ln y12 p(x)dx + lnC1

Es decir

= ∫−w Cy

e1 p x dx

112

( )

Deshaciendo los cambios anteriores, resulta

v = C1

1y1

2 ep(x)dx

v = C1

1y1

2 ep(x)dx

dx + C2

∫= ∫ +−

y C yy

e dx C y1 p x dx

1 112

( )

2 1



Para C1 = 1, C2 = 0, una segunda solución es

∫ ( )( )=

∫−y x y x

e

y xdx( ) ( )

p x dx

2 1

( )

1

2

b) La ecuación expresada en forma normal es

′′ −+

′ + = >yx

xy

xy x

1 10, ( 0)

Aplicando el resultado del apartado anterior, una segunda solución es

∫ ( )=

∫− − +

y x ee

edx( ) x

xx

dx

x2

1

2

donde resolviendo las integrales y simplificando, resulta

= − −y x x( ) 12

3.16. Se considera la ecuación lineal y + a1(x)y + a2(x)y = x donde y1(x), y2(x) son dos soluciones linealmente independientes de su ecuación homogénea asociada. Sabiendo que y1(x) = x2 y que el wronskiano de am-bas soluciones W(y1,y2) = –3 se pide:

a) y2(x) suponiendo que y2(1) = 1.

b) En dicha ecuación homogénea, demostrar que la expresión que ob-tiene el coeficiente a1(x) es:

[ ]= − ′′− ′′a x

y y y yW y y

( ),1

1 2 2 1

1 2

y encontrar otra similar que obtenga a2(x).

c) Determinar dichos coeficientes.

d) Sabiendo que la ecuación completa admite una solución del tipo ax3

con a R, calcular su solución general.


SOLUCIÓN

a) W y yy y

y y

x y

x yx y xy,

23 . 2 31 2

1 2

1 2

22

2

22 2( ) =

′ ′

⎢

⎣⎢⎢

⎥

⎦⎥⎥=

′= − ′ − = −

Es una ecuación lineal, de variable dependiente y2,de la que se halla su solución general.

La ecuación homogénea asociada ′ − =x y xy2 022 2 es de variables sepa-

rables.

Su solución es

y2

y2

= 2x

ln y2 = 2ln x + lnC y2 = Cx2

Para calcular una solución particular de la ecuación completa, se aplica-rá el método de variación de las constantes. Solución particular

y C x x y C x x C x x ; 2 .p p2

22

2( ) ( )( ) ( ) ( )= ′ = ′ +


x2 C (x)x2 + 2C(x)x 2xC(x)x2 = 3 C (x)x4 = 3

C (x) = 3x 4 C(x) = x 3


= =−y x xx

( )1

p23 2

Solución general

= +y Cxx1

.22


Con y2(1) = 1 resulta C = 0. Por lo tanto

y xx

( )1

2

b) Si y1(x), y2(x) son dos soluciones independientes, cualquier otra y(x)es combinación lineal de ellas. Es decir

( ) =W y y y, , 01 2 ; ′ ′ ′′′ ′′ ′′

=y y y

y y y

y y y

01 2

1 2

1 2

Desarrollando el determinante por los elementos de la última columna, resulta

( )′′ − ′′′ ′′

+′ ′′′ ′′

=y W y y yy y

y yy

y y

y y, 01 2

1 2

1 2

1 2

1 2

que es una ecuación lineal de segundo orden que tiene a y1(x), y2(x) como soluciones linealmente independientes. Por lo tanto es la ecuación dada. Es decir:

( ) ( )

( ) ( )

=

−′′ ′′

= −−

=

′ ′′′ ′′

= ′ ′′− ′ ′′

a x

y y

y y

W y y

y y y y

W y y

a x

y y

y y

W y yy y y yW y y

( ),

'' ''

,

( ), ,

1

1 2

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2

c) Sustituyendo ahora los valores correspondientes

= ′ = ′′=

= ′ = − ′′ =

y x y x y

y x y x y x

; 2 ; 2

1/ ; 1/ ; 2 /

12

1 1

2 22

23


Resulta

= − ⋅ − ⋅−

=a xx x x

( )2 / 2 1/

301

2 3

; = ⋅ − −−

= −a xx x x

x( )

2 2 / 2( 1/ )3

22

3 2

2

d) La ecuación completa es

′′ − =yx

y x2

2 . o también ′′ − =x y y x22 3 (3.6)

Como y1(x), y2(x) son soluciones linealmente independientes de la ecua-ción homogénea asociada, la solución general de esta ecuación homogé-nea viene dada por

= +y C x Cx1

12

2

Se sabe que y = ax3 es una solución particular de la ecuación completa (3.6). Por tanto

y = ax3 y = 3ax2 y = 6ax

Sustituyendo en la ecuación (3.6) e identificando coeficientes, resulta

x26ax 2ax3 = x3 a = 14


y = x3

4

La solución general de la ecuación completa

y = C1x2 + C2

1x+ x3

4


3.17. Dada la ecuación diferencial

( ) ( )+ − + + =xd ydx

xdydx

xy xe1 1 2 x2

2

a) Compruébese que ex es una solución particular de la homogéneaasociada.

b) Compruébese que el cambio de variable dependiente y = exz reduceen una unidad el orden de la ecuación completa.

c) Determínese la solución general.

SOLUCIÓN

a) La ecuación homogénea asociada es

( ) ( )+ − + + =xd ydx

xdydx

xy1 1 2 02

2

Sustituyendo y = ex y sus derivadas, se comprueba que es una solución particular.

b) Cambio de variable y derivadas

y = exz dydx

= ex dzdx

+ z d2ydx2 = ex d2z

dx2 + 2dzdx

+ z


( ) ( )+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+ =x e

d zdx

dzdx

z x edzdx

z xe z xe1 2 1 2x x x x2

2

que simplificando queda

( )+ + =xd zdx

dzdx

x12

2


Haciendo ahoradzdx

u , resulta la ecuación lineal

( )+ + =xdudx

u x1

c) La ecuación homogénea asociada es

1+ x( ) dudx

+ u = 0uu

= 11+ x

De solución

=+

uC

x1

Método de la variación de las constantes. Haciendo variable la constan-te de integración, se obtiene

=+

uC x

x( )

1 , ( )

( )′ =

′ + −+

uC x C

x

1

1 2

Sustituyendo en la ecuación, resulta

(1+ x)C 1+ x( ) C

1+ x( )2 + C1+ x

= x C = x C x( ) = x2

2

Por tanto, una solución particular es

=+

ux

x2

1

2

Solución general de la ecuación lineal completa

=+

++

=++

uC

xx

xx C

x12

12

2(1 )

2 2


Deshaciendo los cambios y renombrando las constantes, resulta

∫ ( )

( )

=++

= − + + +

= − + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

zx C

xdx x x C x C

y e x x C x C

22(1 )

14

12

ln 1

14

12

ln 1x

22

1 2

21 2

3.18. Considérese la ecuación no homogénea y + p(x)y + q(x)y = g(x) donde p, q, g son funciones continuas y continuamente diferenciables.

a) Muéstrese que la sustitución y(x) = v(x) f(x) donde f(x) es una solu-ción no trivial de la ecuación homogénea asociada, reduce la ecuación an-terior a la ecuación lineal de primer orden

( )′ + ′ + =fw f pf w g2 donde ′ =w v

b) Mediante el procedimiento anterior hallar la solución general dey + x–1y – 4x–2y = 1 – x–3, x > 0 sabiendo que la ecuación homogénea aso-ciada admite una solución polinómica.

SOLUCIÓN

a) La sustitución indicada y sus derivadas son

y x v x f x( ) ( ) ( ) , ′ = ′ + ′y vf v f , ′′ = ′′ + ′ ′ + ′′y vf v f v f2

Sustituyendo este cambio y sus derivadas en la ecuación, queda

vf + 2v f + v f + p vf + v f( ) + qvf = g fv + 2f + pf( )v + f + pf + qf( )v = g

Haciendo w = v , y considerando que f + pf + qf = 0, ya que f es solu-ción de la homogénea, entonces resulta

( )′ + ′ + =fw f pf w g2

que es una ecuación lineal de primer orden en la variable w.


b) Ecuación homogénea asociada

′′ + ′ − =− −y x y x y4 01 2

Esta ecuación admite una solución polinómica. Probemos con un poli-nomio de segundo grado. La solución a probar, y sus derivadas son

= + +y ax bx c2 , ′ = +y ax b2 , ′′ =y a2

Al sustituir dicha solución y sus derivadas en la ecuación, se obtiene

( )+

+−

+ +=a

ax bx

ax bx c

x2

2 40

2

2

que simplificando queda

3bx

4cx2 = 0 3bx 4c = 0

Identificando coeficientes, resulta

b = c = 0, para todo valor de a.

Para a = 1 resulta la solución particular buscada y = x2

Para resolver la ecuación no homogénea

′′ + ′ − = −− − −y x y x y x4 11 2 3 , x 0 (3.7)

se utilizará el método de reducción de orden, ya que se conoce una solu-ción particular de la homogénea asociada.

El cambio de variable a efectuar es

y x x v x( ) ( )2

Sus derivadas son

( ) ( ) ( )′ = ′ +y x x v x xv x22 , ( ) ( ) ( ) ( )′′ = ′′ + +y x x v x xv x v x4 22


Sustituyendo el cambio y sus derivadas en la ecuación no homogénea (3.7), queda

′′ + ′ = − −x v xv x5 12 3

donde haciendo w = v , resulta la ecuación lineal de primer orden

′ + = − −x w xw x5 12 3 (3.8)

Su ecuación homogénea asociada es

x2w +5xw = 0 xw +5w = 0

Es una ecuación de variables separadas, de solución

= −w Cx 5

Método de variación de constantes

= −w C x x( ) 5 ; ′ = ′ −− −w C x Cx55 6

Sustituyendo en la ecuación (3.8) se obtiene

x2 C x 5 5Cx 6( )+5xCx 5 =1 x 3 C x 3 =1 x 3

C = x3 1 C(x) = x4

4x

Por tanto la solución de la homogénea viene dada por

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −−wx

x xx x4

14

145

4

y la solución general de la ecuación completa es

= + −− − −w Cx x x14

.5 1 4


Por consiguiente

∫= = − + + +− −v x w x dxC

x x x C( ) ( )4

14

ln13

4 32

Que renombrando constantes puede expresarse

= + + +− −v x C x x x C( )14

ln131

4 32

Por último, recordando que y(x) = v(x) f(x), resulta la solución general pedida

= + + +− −y x C x x x x C x( )14

ln131

2 2 12

2

CAPÍTULO 4

ECUACIONES LINEALES

DE COEFICIENTES CONSTANTES


En este capítulo se tratan diversos métodos de obtención de soluciones de las ecuaciones lineales de coeficientes constantes, tanto homogéneas como completas.

1. Ecuaciones lineales de coeficientes constantes

La ecuación lineal de coeficientes constantes tiene de expresión general

… …( )+ + + + = = =−

− −d ydx

ad ydx

adydx

a y F x a i n, cte. ( 1, , )n

n

n

n n n i1

1

1 1 (4.1)

donde F(x) es una función continua en un cierto intervalo (a,b) de R. En notación operacional L(y) = F(x), o también H(D)y = F(x) con

…( ) = + + + +−−H D D a D a D an n

n n11

1

2. Ecuación característica

Dada la ecuación lineal de coeficientes constantes (4.1), la expresión

r( ) = rn + a1rn 1 +…+ an = 0

se llama ecuación característica.

3. Solución general de la ecuación lineal homogénea

La función y = erx es solución de L(y) = 0 si, y solo si, r es raíz de la ecua-ción característica.


Por lo tanto, la ecuación se resuelve buscando soluciones y = ekx. Casos a considerar:

a) (r) = 0 tiene n raíces r1, r2, ..., rn reales y distintas.

Un sistema fundamental de soluciones es … e e e, , ,r x r x r xn1 2

Solución general: …= + + +y C e C e C er x r xn

r x1 2

n1 2

b) (r) = 0 tiene raíces reales múltiples.

Si r1 es una raíz de orden m, entonces …e xe x e x e, , , ,r x r x r x m r x2 11 1 1 1

son so-luciones de la ecuación y linealmente independientes.

Solución general: …= + + +y P x e P x e P x e( ) ( ) ( )r x r xq

r x1 2

q1 2 , donde P1, P2, ..., Pq son polinomios de coeficientes arbitrarios y de grado el orden de multi-plicidad menos uno de la raíz correspondiente.

c) (r) = 0 tiene raíces complejas.

Si ± i son raíces complejas, entonces [ ]β + βαe A x B xcos senx donde A,B son constantes arbitrarias, son soluciones de la ecuación.

En caso de ser ± i raíces complejas múltiples de orden m, entonces

[ ]β + βαe P x x Q x x( )cos ( )senx

donde P, Q son polinomios de coeficientes arbitrarios y de grado m – 1, son soluciones de la ecuación.

Solución general: Se formará con las soluciones de la forma anterior en cada caso.

4. Solución general de la ecuación lineal no homogénea

La solución general de la ecuación lineal no homogénea o completa, L(y) = F(x), se obtiene sumando a una solución particular suya, la solución general de la ecuación homogénea asociada.

ECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES

5. Métodos de obtención de soluciones particulares de la ecuación nohomogénea

1) Método de variación de constantes.

Se puede aplicar incluso para el caso de que los coeficientes de la ecua-ción no sean constantes. Consiste, igual que en las ecuaciones de primer orden, en buscar una solución particular de la misma forma que la solu-ción general de la ecuación homogénea asociada pero haciendo variables las constantes que allí aparecen.

La sustitución de esta pretendida solución en la ecuación permite iden-tificar las variables empleadas.

2) Método de los coeficientes indeterminados, o de selección.

Consiste en la búsqueda de soluciones que sean funciones de similares características a las del término no homogéneo F(x) de la ecuación (4.1). Algunos casos:

a) …( ) ( )= + + + + = =− −F x A x A x A x A A i k, 1,2,..., ctes.k k kk i0 1

12

2 (polino-mio de grado k)

— Si r = 0 no es raíz de la ecuación característica

Solución particular: …= + + +−y B x B x Bpk k

k0 11

— Si r = 0 es raíz de la ecuación característica con orden de multiplici-dad s.

Solución particular: …= + + +−y x B x B x B( )ps k k

k0 11

b) ( )( ) ( )= + + + = =−F x e A x A x A a A i k.......... . , 1,2,..., ctes.ax k kk i0 1

1

— Si a no es raíz de la ecuación característica

Solución particular: …= + + +−y e B x B x B( )pax k k

k0 11

— Si a es raíz de la ecuación característica con orden de multiplicidad s

Solución particular: …= + + +−y x e B x B x B( )ps ax k k

k0 11

c) ( )( ) ( )( ) = + =F x e P qx Q qx p qcos sen , ( , ctes.)pxl m , y Pl, Qm polinomios

de grado l,m respectivamente.


— Si p ± qi no son raíces de la ecuación característica

Solución particular: ( )( ) ( )= +y e P qx Q qxcos senpxv v

— Si p ± qi son raíces de multiplicidad s de la ecuación característica:

Solución particular: ( )( ) ( )= +y x e P qx Q qxcos sens pxv v

En ambos casos: [ ]=v l mmax , , y P Q,v v son polinomios de grado v con coeficientes indeterminados

3) Método operacional.

Se trata de un método general para la obtención de una solución parti-cular de una ecuación lineal de coeficientes constantes. Emplearemos aho-ra la notación H(D)y = F(x) para la ecuación completa.

La forma de obtenerlo se basa en la siguiente igualdad: En la ecuación H(D)y = F(x), donde

…( ) = + + + +−−H D D a D a D an n

n n11

1

una solución particular es

( ) ( )=yH D

F x1

p

donde ( )H D1

es el operador inverso de H(D). Se considerarán solamente

algunos de los casos más sencillos:

a) F(x) es un polinomio Pn(x) de grado n.

Solución particular

( ) ( ) ( ) ( )= =yH D

P x Q D P x1

p n n (4.2)

Q(D)= cociente de grado n que resulta de dividir formalmente 1 entre H(D).

b) F(x) es una función exponencial erx, y r no es raíz de la ecuación ca-racterística. (H(r) ≠ 0)


Solución particular: ( )=yH r

e1

prx (4.3)

c) Funciones de la forma ( ) ( )=F x e f xrx

Solución particular: ( ) ( )=+

y eH D r

f x1

prx (4.4)

6. Ecuación de Euler

La ecuación de Euler es una ecuación lineal cuyos coeficientes sonmonomios de igual grado que el orden de la derivada que acompañan

… ( )+ + + + =−−

− −xd ydx

a xd ydx

a xdydx

a y F xnn

nn

n

n n n11

1

1 1

y se reduce a una ecuación lineal de coeficientes constantes mediante el cambio de variables independiente x = et.

La ecuación de Legendre es un caso más general que el anterior, es de la forma

… ( )λ + μ + λ + μ + + λ + μ + =−−

− −xd ydx

a xd ydx

a xdydx

a y F x( ) ( ) ( )nn

nn

n

n n n11

1

1 1

reduciéndose ahora a una ecuación lineal de coeficientes constantes me-diante el cambio x + = et.

Obsérvese que este cambio es el resultado de hacer primero x + = z, lo que convierte la ecuación en una de Euler, y posteriormente z = et que la transforma en la ecuación de coeficientes constantes.


4.1. Encuéntrese la solución general de las siguientes ecuaciones dife-renciales:

a) ′′′ − ′′ + ′ =y y y6 9 0

b) ′′′ − ′′ − ′ + =y y y y4 3 18 0

c) ′′ − ′ + =y y y6 13 0

d) y y y y y7 19 23 ´ 10 0iv) − ′′′ + ′′ − + =

e) + ′′ + =y y y2 0iv)

f) + ′′′ + ′′ =y y y 0iv)

g) ′′ + ′ − =y y y4 6 0

h) + ′′ + =y y y16 40 25 0iv)

SOLUCIÓN

a) La ecuación característica

− + =r r r6 9 03 2

tiene como soluciones:

r r0, 3 (doble).

La solución general de la ecuación es

= + +y C e C C x( )x1

32 3


b) Ecuación característica

− − + =r r r4 3 18 03 2

Soluciones: r = –2, r = 3 (doble).

Solución general de la ecuación

= + +−y C e e C C x( )x x1

2 32 3

c) Ecuación característica

− + =r r6 13 02

Soluciones: = ±r i3 2


= +y e C x C x( cos2 sen2 )x31 2

d) Ecuación característica

− + − + =r r r r7 19 23 10 04 3 2

Soluciones:

= = = ±r r r i1, 2, 2


= + + +y C e C e e C x C x( cos sen )x x x1 2

2 23 4

e) Ecuación característica + + =r r2 1 04 2 . Soluciones: r = ±i (doble)

La solución general es

= + + +y C C x x C C x x( )sen ( )cos1 2 3 4

f) Ecuación característica + + =r r r 04 3 2 . Soluciones: r = 0 (doble),

=−

±r i1

232

.



= + +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

y C C x e C x C xcos3

2sen

32

x

1 22

3 4

g) Ecuación característica + − =r r4 6 02 . Soluciones: = − ±r 2 10 .


= +− + − −y C e C ex x1

( 2 10 )2

( 2 10 )

h) Ecuación característica + + =r r16 40 25 04 2 . Soluciones = ±r i5

2(cada una de ellas doble).


=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟y C x C x C x x C x xcos

52

sen5

2cos

52

sen5

21 2 3 4


′′ − ′ + =yx

y x y1

4 02

encuéntrese un cambio de variable independiente u = u(x), que transforme la ecuación en otra de coeficientes constantes. Resuélvase la ecuación.

SOLUCIÓN

Con el cambio de variable independiente u = u(x), las distintas deriva-das son:

′ = =ydydx

dydu

dudx

′′ = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

yd ydx

ddx

dydu

dudx

dydu

d udx

dudx

ddx

dydu

dydu

d udx

d ydu

dudx

2

2

2

2

2

2

2

2

2


La ecuación resulta

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + =dydu

d udx

d ydu

dudx x

dydu

dudx

x y1

4 02

2

2

2

22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =dudx

d ydu

d udx x

dudx

dydu

x y1

4 02 2

2

2

22

( ) ( )+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =d ydu du dx

d udx x

dudx

dydu

xdu dx

y1

/

14

1

/0

2

2 2

2

22

2

para ser de coeficientes constantes

4x2 1

du / dx( )2 = C dudx

2

= Cx2 dudx

= Cx u x( ) = Cx2

donde se ha modificado convenientemente la constante C.

El cambio es u(x) = x2, con lo que la ecuación transformada es

d2ydu2 + y = 0

que es una ecuación de coeficientes constantes.

Ecuación característica r2 + 1 = 0. Raíces: r = ±i.

Solución general

y = C1 cosu+ C2 senu

Que deshaciendo el cambio queda

( ) ( )= +y C x C xcos sen12

22


′′ + =

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ′

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

y y

y y

0

30,

32


SOLUCIÓN

Ecuación característica r2 + 1 = 0. Raíces: r = ±i. Solución general de la ecuación

= +y C x C xcos sen1 2

y3

2

C1 cos3

C2 sen3

0

y3

2 C1 sen3

C2 cos3

0

Resolviendo el sistema = − =C C3, 11 2 . La solución es

= − +y x x3 cos sen


′′′ − ′′ + ′ − =y y y y3 4 2 0

= ′ = ′′ =y y y(0) 0, (0) 0, (0) 1

SOLUCIÓN

Ecuación característica − + − =r r r3 4 2 03 2 . Raíces: r = 1, r = 1±i.


= + +y C e e C x C x( cos sen )x x1 2 3

Por tanto

′ = + + − +

′′ = + − +

y C e e C x C x C x C x

y C e e C x C x

( cos sen sen cos )

( 2 sen 2 cos )

x x

x x

1 2 3 2 3

1 2 3


La aplicación de las condiciones iniciales aporta el siguiente sistema

y(0) = 0 0 = C1 + C2

y (0) = 0 0 = C1 + C2 + C3

y (0) =1 1= C1 + 2C3

De donde C1 = 1, C2 = –1, C3 = 0. La solución al problema es

y = ex(1 cos x)

4.5. En la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes variables

x2 d2ydx2 + x dy

dx+ y = 6x3

Se pide:

a) Comprobar que el cambio de variable independiente x = et, la con-vierte en otra no homogénea también, pero de coeficientes constantes.

b) Resolverla.

SOLUCIÓN

a) Ecuación

x2 d2ydx2 + x dy

dx+ y = 6x3

Cambio x = et, entonces:

dydx

= dydt

dtdx

= e t dydt

d2ydx2 = d

dxdydx

= ddx

e t dydt

= e 2t d2ydt2

dydt


Sustituyendo en la ecuación resulta

d2ydt2 + y = 6e3t

que es de coeficientes constantes.

Ecuación homogénea asociada d2ydt2 + y = 0

Ecuación característica r2 + 1 = 0. Raíces complejas r = ±i

Solución general y = C1 cos t + C2 sen t.

Solución particular de la no homogénea en la forma yp = Ae3t.

Entonces: yp = 3Ae3t , yp = 9Ae3t , que en la ecuación resulta A35

.

Solución particular y e35p

t3

Solución general

= + +y C t C t ecos sen35

t1 2

3

Que deshaciendo el cambio queda

( ) ( )= + +y C x C x xcos ln sen ln351 2

3

4.6. Se considera la ecuación diferencial de coeficientes constantes

+ + + =d ydx

ad ydx

adydx

a y e10 x3

3 1

2

2 2 32

a) Hallar los coeficientes a1, a2, a3, sabiendo que la ecuación homogé-nea asociada tiene una ecuación característica en la que dos de sus raíces son: r1 = 1, r2 = –1 + i.

b) Resolverla.


SOLUCIÓN

a) Al tener la raíz compleja r2 = –1 + i, tiene también su conjugadar2 = –1 – i.

Por lo tanto, la ecuación característica es

( )( )( )− + − + + = + − =k k i k i k k1 1 1 0 ; 2 03 2


+ − =d ydx

d ydx

y2 03

3

2

2

Es decir, los coeficientes pedidos son: a1 = 1, a2 = 0, a3 = –2.

b) La solución general de la homogénea es

( )= + +−y C e e C x C xcos senx x1 2 3

Solución particular de la ecuación completa: yp = Ae2x (Método de selección).

Por lo tanto ′ = ′′ = ′′′=y Ae y Ae y Ae2 ; 4 ; 8px

px

px2 2 2

Sustituyendo la solución y sus derivadas en la ecuación, resulta

8Ae2x + 4Ae2x 2Ae2x =10e2x A =1

Solución particular: yp = e2x

Solución de la ecuación completa

( )= + + +−y C e e C x C x ecos senx x x1 2 3

2

4.7. La ecuación diferencial del movimiento forzado con amortigua-miento, por ejemplo el de una cierta masa sujeta a un resorte que vibra al actuar sobre ella una fuerza siempre activada f(t), es

( ) ( ) ( )′′ + λ ′ + ω =y t y t y f t52


donde y(t) representa el desplazamiento de la masa en función del tiempo, y los parámetros , son los que caracterizan el sistema. Se pide:

a) Resolver la ecuación para λ = ω =6, 10 , siendo f(t) la función pe-

riódica f(t) = 5 cos (4t), y las condiciones iniciales ( ) =y 012

, ( )′ =y 0 0.

b) Comprobar que de los dos sumandos de que consta la solución ha-llada, el primero yc(t), que corresponde a la solución general de la ecua-ción homogénea asociada, tiende a cero al aumentar el tiempo t, es decir

( ) =→∞

y tlim 0ct, (término transitorio), y sin embargo el segundo, yp(t), que co-

rresponde a la solución particular, siempre permanece (término estable).

c) Hágase una interpretación física lógica de por qué sucede lo anterior.

SOLUCIÓN

a) Ecuación( ) ( ) ( )+ + =

d y tdt

dy tdt

y t t6 10 25cos(4 )2

2

Ecuación homogénea asociada ( ) ( ) ( )+ + =

d y tdt

dy tdt

y t6 10 0.2

2

Ecuación característica r2 + 6r + 10 = 0. Raíces: r1 = –3 + i, r2 = –3 – i.

Solución general de la homogénea ( )( ) = +−y t e C t C tcos senct3

1 2

Una solución particular de la no homogénea es de la forma

( ) = +y t A t B tcos(4 ) sen(4 )p

Sus derivadas

′ = − + ′′ = − −y A t B t y A t B t4 sen(4 ) 4 cos(4 ), 16 cos(4 ) 16 sen(4 )p p

Sustituyendo en la ecuación resulta

A B t A B t t6 24 cos(4 ) 24 6 sen(4 ) 25cos(4 )( ) ( )− + + − − =

− + =− − =

= − =A BA B

A B6 24 2524 6 0

,25

102,

5051



( ) = − +y t t t25

102cos(4 )

5051

sen(4 )p


( )( ) = + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−y t e C t C t t tcos sen25

102cos(4 )

5051

sen(4 )t31 2

Condiciones iniciales:

y 0( ) = 12

12= C1

25102

C1 =3851

dydt t=0

= 0 C2 =8651

Por tanto, la ecuación del movimiento es

( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−y t e t t t t3851

cos8651

sen25

102cos(4 )

5051

sen(4 )t3

b) La ecuación anterior contiene dos sumandos. El primero, que es de-bido a la solución de la ecuación homogénea ( )( ) = +−y t e C t C tcos senc

t31 2 ,

es tal que ( ) =→∞

y tlim 0ct, es decir, es un término transitorio que desaparece

con el tiempo, sin embargo el segundo sumando, que correspondiente a la solución particular yp(t) es periódico y no se anula al crecer el tiempo t, es decir, permanece (es estable).

c) También puede observarse que el término transitorio yc(t) se ha ob-tenido independientemente de la fuerza exterior f(t)que actúa, y por ello, si dicha fuerza no existiese, el movimiento se amortiguaría por efecto del muelle.

El sumando yp(t) se ha hallado con el término independiente de la ecuación, que es la fuerza exterior siempre activada, y debido a ello el mo-vimiento permanece.


4.8. En el polinomio operacional = + + +−F D a D a D a( ) ...n nn0 1

1 . (ai = ctes.):

a) Comprobar que si emx es solución de la ecuación F(D)y = 0, don-de F(D) es el polinomio anterior, entonces m es una raíz algebraica de su ecuación característica.

b) En la ecuación + ′′′ + ′′ + ′ + =y y y y y x2 3 2 2 sen(2 )iv , se pide:

1. Comprobar que y(x) = eix (i = n.º complejo), es solución de su ecua-ción homogénea asociada.

2. Encontrar cuatro soluciones reales y linealmente independientes dedicha ecuación homogénea.

3. Hallar una solución particular, y su solución general.

SOLUCIÓN

a) Si emx es solución de la ecuación, entonces F(D)emx = 0.

Por derivaciones sucesivas se comprueba fácilmente que F(D)emx = = emxF(m), (m = n.º real o complejo), y por lo tanto en este caso

F D e e F m( ) ( ) 0mx mx

emxF(m) = 0 F(m) = 0 m es una raíz de la ecuación característica.

b) yiv + 2y + 3y + 2y + 2y = sen(2x)


+ ′′′ + ′′ + ′ + =y y y y y2 3 2 2 0iv

(4.5)

1. y (x) = eix es solución. En efecto

′ = ′′ = − ′′′ = − =y x ie y x e y x ie y x e( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )ix ix ix iv ix

y sustituyendo en la ecuación homogénea, se comprueba que la verifica.


2. Ecuación característica

+ + + + =r r r r2 3 2 2 04 3 2

Si eix es solución de la ecuación, entonces i es solución algebraica com-pleja de su ecuación característica (apartado a)). Ahora bien, si en la ecua-ción característica, que es una ecuación algebraica, existe la solución com-pleja r = i, también existe la conjugada r = –i.

Conociendo esas dos soluciones de la ecuación característica, pueden obtenerse fácilmente, por ejemplo por el método de Ruffini, las otras dos, que son r = –1 ± i.

Por tanto, las cuatro raíces de la ecuación característica son:

= ± = − ±r i r i; 1

que corresponden a las siguientes soluciones de la ecuación homogénea (4.5):

= = + = = +− + −y e x i x y e e x i xcos sen ; (cos sen )ix i x x( 1 )

Por lo tanto, cuatro soluciones reales linealmente independientes son

= = = =− −y x y x y e x y e xcos ; sen ; cos ; senx x1 2 3 4

3. La solución general de la homogénea es

= + + +− −y C x C x C e x C e xcos sen cos senx x1 2 3 4

y utilizando coeficientes indeterminados, se busca una solución particular de la completa, en la forma

= +y A x B xsen(2 ) cos(2 )p


Las derivadas son

′ = − = − −

′′′= − + = +

y A x B x y A x B x

y A x B x y A x B x

2 cos(2 ) 2 sen(2 ) ; 4 sen(2 ) 4 cos(2 )

8 cos(2 ) 8 sen(2 ) ; 16 sen(2 ) 16 cos(2 )

p p

p piv

′′


A B130

;1

15


= +y x x130

sen(2 )1

15cos(2 )p

Solución general de la ecuación completa:

= + + + + +− −y C x C x C e x C e x x xcos sen cos sen130

sen(2 )1

15cos(2 )x x

1 2 3 4


′′ + =y y xsen2

utilizando el método de variación de las constantes para encontrar una so-lución particular.

SOLUCIÓN

La ecuación homogénea asociada es ′′ + =y y 0 .

Su ecuación característica es r2 + r = 0, de raíces r = i, r = –i.

Por tanto la solución general de la homogénea

= +y C x C xsen cos1 2


Método de variación de las constantes. Se busca una solución particu-lar de la ecuación completa, de la forma

= +

′ = ′ + + ′ −

y C x x C x x

y C x C x C x C x

( )sen ( )cos

sen cos cos sen

p

p

1 2

1 1 2 2

Imponiendo la condición

′ + ′ =C x C xsen cos 01 2 (4.6)

la primera derivada queda

′ = −y C x C xcos sen1 2

Derivando de nuevo esta última expresión, se obtiene

′′ = ′ − − ′ −y C x C x C x C xcos sen sen cos1 1 2 2

y sustituyendo en la ecuación completa

′ − ′ =C x C x xcos sen sen1 22

(4.7)

Del sistema formado por (4.6) y (4.7) se pueden deducir las constantes C1, C2.

C1 =

0 cos x

sen2x sen x

sen x cos x

cos x sen x

= sen2xcos x C1 = sen2xcos xdx = sen3x3

C2 =

sen x 0

cos x sen2 x

sen x cos x

cos x sen x

= sen3x C2 = sen3xdx = cos xcos3x

3


Por consiguiente, la solución particular es

( )

( )( )

( ) ( )

= + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + =

= − + + = + =

= + = +

yx

x xx

x x x x

x x x x x x x

x x x

sen3

sen coscos

3cos

13

sen cos cos

13

sen cos sen cos cos13

sen23

cos

13

sen 2cos13

1 cos

p

3 34 4 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2


( )= + + +y C x C x xsen cos13

1 cos1 22


′′ − ′ − =xy y x y x e4 8 x3 5 2

sabiendo que y ex2

es una solución de la ecuación homogénea asociada.

SOLUCIÓN

Para calcular otra solución de la homogénea se aplicará el método de re-ducción de orden. Efectuando el cambio de variable dependiente y e v x( )x2

, se obtiene

′ = + ′ = + ′ ′′ = + ′ + + ′ + ′′y xe v e v e xv v y xe xv v e v xv v2 (2 ) ; 2 (2 ) (2 2 )x x x x x2 2 2 2 2

Sustituyendo en la ecuación homogénea y simplificando, queda

v (4x2 1)+ xv = 0vv

= 4x2 +1x


Haciendo ahora v = z, e integrando la ecuación resultante, se tiene

zz= 4x2 +1

xln z = ln x 2x2 + ln c1 z = c1xe

2x2

Deshaciendo los cambios efectuados, resulta

∫= = + = +− − −v c xe dx c e c y c e c e;x x x x1

21

22 1 2

2 2 2 2

donde se han modificado convenientemente las constantes de integración.

Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es

= + −y C e C ex x1 2

2 2

La solución particular de la ecuación completa se buscará mediante el método de variación de las constantes, haciendo

= +

′ = ′ + + ′ −

−

− −

y C x e C x e

y C e xC e C e xC x e

( ) ( )

2 2 ( )

x x

x x x x

1 2

1 1 2 2

2 2

2 2 2 2

Imponiendo la condición

′ + ′ =−C e C e 0x x1 2

2 2

(4.8)

se obtiene ′ = − −y xC e xC x e2 2 ( )x x1 2

2 2

.

Derivando de nuevo, y sustituyendo en la ecuación completa, se tiene

( ) ( )′′ = ′ + + − ′ − −− − −y xC e C e x e xC x e C e x e2 2 4 2 ( ) 2 4 .x x x x x x1 1

22 2

22 2 2 2 2 2

′ − ′ =−x C e x C e x e2 2 8x x x21

22

52 2 2

(4.9)

De (4.8) y (4.9) se pueden deducir las constantes C1, C2.


C1 =

0 e x2

8x5ex2

2x2e x2

ex2

e x2

2x2ex2

2x2e x2

= 2x3 C1 =x4

2

C2 =

ex2

0

2x2ex2

8x5ex2

ex2

e x2

2x2ex2

2x2e x2

= 2x3e2x2

C2 = e2x2 x2

2+ 1

4

En consecuencia, la solución particular es

= + − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ = − +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−yx

e ex

e ex x

2 214 2 2

14p

x x x x4

22 4 2

2 2 2 2

Y la solución general de la ecuación completa

y C e C e x x e14

2 – 2 1x x x1 2

– 4 22 2 2( )= + + +

4.11. En la ecuación lineal no homogénea ( ) ( )′′ − + ′ + + = − −xy x y x y x e2 1 1 4 x1 ,se pide:

a) Calcular el valor de p para que y1 = epx sea una solución particular desu ecuación homogénea asociada.

b) Utilizando esa solución, encontrar la solución general de dichaecuación homogénea.

c) Mediante el método de variación de las constantes, hallar una solu-ción particular de la ecuación completa, y la solución general de la misma.


SOLUCIÓN

a) y1 = epx y1 = pepx y1 = p2epx

Sustituyendo en la ecuación se tiene

( ) ( )− + + + =xp e x pe x e2 1 1 0px px px2 ; ( ) ( )− + + −⎡⎣ ⎤⎦ =p p x p e2 1 1 0px2 ;

( ) ( )− + − =p x p1 1 02

Ha de ser p = 1. Solución y1 = ex.

b) Método de reducción de orden. Cambio de variable: y = ex v(x).

Sus derivadas son

y = exv + exv y = exv + 2exv + exv

Sustituyendo en la ecuación homogénea, queda

( ) ( )+ ′ + ′′ − + + ′ + + =x e v e v e v x e v e v x e v2 (2 1) ( 1) 0x x x x x x

Operando convenientemente se obtiene

xexv exv = 0 xv v = 0

Haciendo v = w, la ecuación es xw w = 0ww

= 1x

Es una ecuación de variables separadas, cuya solución es: w = C1x

Deshaciendo los cambios resulta

v = C1x v = C1

x2

2+ C2

y = exv(x) = ex C1

x2

2+ C2


Solución general de la ecuación homogénea

= +y C x e C ex x1

22

c) Variación de las constantes. Solución a buscar

= +y C x x e C x e( ) ( )x x1

22

su primera derivada es

( )′ = + + ′ + + ′y C x e xe C x e C e C e2x x x x x1

21

22 2

que imponiendo la condición

′ + ′ =C x e C e 0x x1

22

queda

( )′ = + +y C x e xe C e2x x x1

22

Derivando de nuevo se obtiene

( ) ( )′′ = + + + ′ + + + ′y C x e xe e C x e xe C e C e4 2 2x x x x x x x1

21

22 2

Sustituyendo en la ecuación no homogénea, resulta otra condición

( )′ + + ′ = −C x e x e C xeex

24x x x

x

13 2

2

De ambas condiciones, resulta

C1x2 C2 0

C1 x22

2x C2

4x

C1

2x3

C2

2x

C1

1x2

C2 2ln x


Por tanto, la solución particular de la no homogénea buscada es

= +y e e x2 lnpx x


( )= + + +y e C x C x2ln 1x1

22


′′ − =+

y ye

e2

1

x

x

2

2

determinando una solución particular mediante el método de variación de las constantes.

SOLUCIÓN


′′ − =y y 0

Ecuación característica: r2 1= 0 r = ±1.


= + −y C e C ex x1 2

Variación de las constantes.

= +

= + ′ − + ′

−

− −

y C x e C x e

y C e C e C e C e

( ) ( )

'

x x

x x x x

1 2

1 1 2 2

Imponiendo la condición: ′ + ′ =−C e C e 0x x1 2 la primera derivada queda

′ = − −y C e C ex x1 2


Y derivando de nuevo, se obtiene

′′ = + ′ + − ′− −y C e C e C e C ex x x x1 1 2 2

Sustituyendo en la ecuación no homogénea, resulta otra condición

′ − ′ =+

−C e C ee

e2

1x x

x

x1 2

2

2

De ambas condiciones

′ + ′ =

′ − ′ =+

⎧⎨⎪

⎩⎪

−

−

C e C e

C e C ee

e

0

21

x x

x xx

x

1 2

1 2

2

2

se obtiene

C1 = e 2x e3x

e2x +1= ex

e2x +1C1 =

ex

e2x +1dx = arctg( ex )

C2 =e3x

e2x +1C2 =

e3x

e2x +1dx = ex + arctg(ex )

Por lo tanto, una solución particular de la ecuación no homogénea es

( )= + − = + −− −y e e e e e e earctg ( ) arctg( ) 1 arctg( ) 1px x x x x x x

Solución general pedida

y C e C e e e earctg( ) 1x x x x x1 2 ( )= + + + −− −

4.13. Considérese la ecuación diferencial

′′ + ′ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=utu

tu

11

14

02


Se pide:

a) Ecuación que resulta al efectuar un cambio de variable dependiente,de la forma

u t( ) = t t( ) , = n.º real

b) Comprobar que para α = −12

la ecuación resultante es de coeficien-

tes constantes, y a través de ella hallar la solución general de la ecuaciónoriginal.

c) Determinar la solución general de la ecuación no homogénea

′′ + ′ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=utu

tu t

11

14 2

1/2

SOLUCIÓN

a) Cambio de variable, y derivadas

u t( ) = t t( )u (t) = t t( )+ t 1 t( )u (t) = t t( )+ 2 t 1 t( )+ 1( )t 2 t( )

sustituyendo todo ello en la ecuación y reordenado los términos, queda

t t( )+ 2 +1( )t 1 t( )+ t + 2 14

t 2 t( ) = 0

b) Para α=−12

, la ecuación es

t 1/2 t( )+ t 1/2 t( ) = 0

o también

t( )+ t( ) = 0



Ecuación característica y raíces:

r2 + r = 0 r = ±i

La solución es

t( ) = C1 cos t + C2sen t

Deshaciendo el cambio, resulta

( ) = +u t Ct

tC

t

t

cos sen1 2

c) Efectuando el cambio de variable anterior u t( ) = t 1/2 t( ) , resulta laecuación

t 1/2 t( )+ t 1/2 t( ) = t1/2 ; t( )+ t( ) = t

La solución general de la homogénea asociada se ha calculado anterior-mente.

Utilizando el método de selección, una solución particular se busca en la forma:

p t( ) = At + Bp t( ) = A , p t( ) = 0

Sustituyendo en la ecuación se deduce

At + B = t A =1 , B = 0

Por tanto, la solución particular es p t( ) = t .

Solución general

t( ) = C1 cos t + C2 sen t + t



u t Ct

tC

t

tt

cos sen1 2( ) = + +


( ) ( )+ − + + =xd ydx

xdydx

xy xe1 1 2 x2

2

a) Compruébese que ex es una solución particular de la ecuación ho-mogénea asociada, y que el cambio de variable dependiente y = ex z reduce en una unidad el orden de la ecuación completa.

b) Determínese la solución general.

SOLUCIÓN:

a) Por simple sustitución se comprueba fácilmente que y = ex es solu-ción de la ecuación homogénea asociada

( ) ( )+ − + + =xd ydx

xdydx

xy1 1 2 02

2

Cambio de variable dependiente

y = ex z

Las relaciones entre las derivadas de ambas variables son

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dydx

edzdx

zx , = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d ydx

ed zdx

dzdx

z2x2

2

2

2

Al aplicar el cambio de variable, la ecuación completa queda

( ) ( )+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+ =x e

d zdx

dzdx

z x edzdx

z xe z xe1 2 1 2x x x x2

2


y simplificando

( )+ + =xd zdx

dzdx

x12

2

Haciendo ahora dzdx

u , resulta la ecuación

( )+ + =xdudx

u x1 (4.10)

que es una ecuación lineal de primer orden.

b) Solución general de la homogénea asociada

=+

uC

x1

Aplicando variación de las constantes se tiene

=+

uC x

x( )

1 ,

( )( )

′ =′ + −

+u

C x C

x

1

1 2

En la ecuación

( )( )

′ + −+

++

=C x C

xC

xx

11 1

, ′ =C x , ( ) = +C xx

C2

2

Solución general de la ecuación (4.10)

=++

ux C

x2

2(1 )

2

Deshaciendo los cambios, resulta

∫=++

= − + + +

= − + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

zx C

xdx x x C x K

y e x x C x C

22(1 )

14

12

ln 1

14

12

ln 1x

22

21 2



′′ − ′ + = −y y y x e4 4 4(2 1) x4

utilizando el método de los coeficientes indeterminados para determinar una solución particular.

SOLUCIÓN


′′ − ′ + =y y y4 4 0

Ecuación característica y raíces

r r4 4 02 − + = . Raíces: r=2 (doble).

Solución de la homogénea

( )= +y C C x e x1 2

2

Solución particular de la no homogénea. Método de los coeficientes in-determinados.

El término no homogéneo es x e(8 4) x4 , y 4 no es raíz del polinomio característico. Por tanto la solución particular se busca en la forma

= +y e Ax B( )px4

Derivando

y e Ax B A(4 4 )px4′ = + + , y e Ax B A(16 16 8 )p

x4′′ = + +

Sustituyendo en la ecuación no homogénea y simplificando se obtiene

+ + = −Ax A B x4 4 4 8 4


Identificando coeficientes resulta A = 2, B = –3.

Por tanto la solución particular de la no homogénea es

= −y e x(2 3)px4

Solución general

( )= + + −y C C x e x e(2 3)x x1 2

2 4


− ′′′ + ′′ = − +y y y x x4 4 12 40 42iv) 2

utilizando el método de los coeficientes indeterminados.

SOLUCIÓN


− ′′′ + ′′ =y y y4 4 0iv)

Ecuación característica

r4 4r3 + 4r2 = 0 r2(r2 4r + 4) = 0. Raíces: r = 2, r = 0 (dobles ambas).


( )= + + +y C C x C C x e x1 2 3 4

2

El término no homogéneo es − +x x12 40 42.2

Al ser r = 0 una raíz del polinomio característico con multiplicidad dos, la solución particular a buscar será de la forma

= + + = + +y x Ax Bx C Ax Bx Cx( )p2 2 4 3 2


Con ello:

′ = + +

′′ = + +

′′′= +

=

y Ax Bx Cx

y Ax Bx C

y Ax B

y A

4 3 2

12 6 2

24 6

24

p

p

p

ivp

3 2

2

)


+ − + + − + = − +Ax x A B A B C x x48 ( 96 24 ) 24 24 8 12 40 422 2

Identificando coeficientes resulta

= =−

=A B C14

,2

3,

52


y x x x14

23

52p

4 3 2= − +

Solución general

y C C x C C x e x x x14

23

52

x1 2 3 4

2 4 3 2( )= + + + + − +

4.17. Utilícese el método de los coeficientes indeterminados para ha-llar una solución particular de la ecuación:

′′ − ′ + = −y y y x e6 9 2(9 2) x3

y hállese su solución general.


SOLUCIÓN

Ecuación homogénea asociada:

′′ − ′ + =y y y6 9 0


r2 6r + 9 = 0 r = 3 (doble).


= +y C C x e( ) x1 2

3

El término no homogéneo es x e2(9 2) x3 . Como r = 3 es raíz doble de la ecuación característica, la solución particular de la no homogénea será de la forma

= + = +y x e Ax B e Ax Bx( ) ( )px x2 3 3 3 2

Entonces

′ = + + +

′′ = + + + + +

y e Ax x A B Bx

y e Ax x A B x B A B

(3 (3 3 ) 2 )

(9 (18 9 ) (12 6 ) 2 )

px

px

3 3 2

3 3 2

Sustituyendo en la ecuación no homogénea, simplificando e identifi-cando coeficientes, se obtiene

6Ax + 2B =18x 4 A = 3, B = 2

Por tanto, la solución particular de la no homogénea es

= −y x e x(3 2)px2 3

Solución general

y C C x e x x e( ) (3 – 2)x x1 2

3 2 3= + +



′′ + =y y x25 20sen(5 )


SOLUCIÓN


′′ + =y y25 0

Ecuación característica r2 + 25 = 0. Raíces: r = ±5i.


= +y C x C xcos(5 ) sen(5 )1 2

El término no homogéneo es 20 sen (5x). Al ser ±5i soluciones de la ecuación característica de multiplicidad uno, la solución particular de la no homogénea será de la forma

( )= +y x A x B xcos(5 ) sen(5 )p

Entonces

′ = + + − +

′′ = − + + − −

y A Bx x Ax B x

y Ax B x Bx A x

( 5 )cos(5 ) ( 5 )sen(5 )

( 25 10 )cos(5 ) ( 25 10 )sen(5 )

p

p


+ − =B x A x x10 cos(5 ) ( 10 )sen(5 ) 20sen(5 )


10B = 0

10A = 20A = 2, B = 0



= −y x x2 cos(5 )p

Solución general

= + −y C x C x x xcos(5 ) sen(5 ) 2 cos(5 )1 2


′′ + = +y y x x4 16sen(3 ) 12cos(3 )


SOLUCIÓN


′′ + =y y4 0

Ecuación característica: r2 + 4 = 0 r = ±2i. Solución de la homogénea

= +y C x C xcos(2 ) sen(2 )1 2

El término no homogéneo es 16 sen (3x) + 12 cos (3x). Como ±2i son soluciones de la ecuación característica de multiplicidad uno, la solución particular de la no homogénea será de la forma

= +y A x B xcos(3 ) sen(3 )p

Derivando, sustituyendo e identificando coeficientes se obtiene

=−

=−

A B125

,165


Por tanto

= − −y x x125

cos(3 )165

sen(3 )p

Solución general de la ecuación pedida

= + − −y C x C x x xcos(2 ) sen(2 )125

cos(3 )165

sen(3 )1 2

4.20. Considérese la ecuación diferencial, expresada en notación ope-racional

( ) = +H D y e 4x

donde ( ) = − + − +H D D D D D4 5 4 44 3 2 , (D = operador derivada).

Se pide:

a) Solución general de su ecuación homogénea asociada.

b) Una solución particular de la ecuación completa. Para ello aplicar:

1. El método de selección. (coeficientes indeterminados)

2. El método operacional.

c) Solución general.

SOLUCIÓN

a) La ecuación desarrollada es

− ′′′ + ′′ − ′ + = +y y y y y e4 5 4 4 4iv x)


− ′′′ + ′′ − ′ + =y y y y y4 5 4 4 0iv)


r4 4r3 5r2 4r 4 0 r 2, ,2 i



= + + +y C e C xe C x C xcos senx x1

22

23 4

b) Solución particular de la ecuación completa.

1. Método de selección.

La solución a buscar es (Apartado 5.2 de la introducción teórica)

= +y Ae Bpx

Sus derivadas: ′ = ′′ = ′′′= =y Ae y y y Ae,px

p pivp

x)

Sustituyendo en la ecuación, resulta A B12

, 1. Con ello

= +y e12

1px

2. Método operacional.

Aplicando el principio de superposición (Introducción teórica Cap. 3).

Para la ecuación H(D)y = ex:

La solución particular de dicha H(D)y = ex es ((4.3) de la introducción teórica)

( ) ( )= = =yH D

eH

e e1 1

112p

x x x1

Para la ecuación H(D)y = 4:

Dividiendo 1 entre el polinomio ( ) = − + − +H D D D D D4 4 5 42 3 4 , se ob-tiene de cociente

( ) = + +Q D D14

14

...


Por lo tanto, la solución particular es (4.2) de la introducción teórica)

= + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =y D

14

14

... 4 1p2

La solución particular yp es la suma de las dos yp = yp1 + yp2, es decir

= +y e12

1px

c) Solución general de la ecuación completa

= + + + + +y C e C xe C x C x ecos sen12

1x x x1

22

23 4


+ + + =d ydx

d ydx

dydx

y e x3

3

2

25

Se pide:

a) Determinar tres soluciones linealmente independientes de la ecua-ción homogénea asociada.

b) Calcular el Wronskiano de las soluciones halladas.

c) Solución general de la ecuación no homogénea, hallando previa-mente una solución particular de la misma utilizando el método operacio-nal.

SOLUCIÓN

a) Ecuación homogénea asociada

+ + + =d ydx

d ydx

dydx

y 03

3

2

2



r r r 1 03 2+ + + = . Raíces: r1=−1, r2,3= i

Las soluciones correspondiente a cada raíz son

= = =−y e y x y x, cos , senx1 2 3

b) Wronskiano de dichas soluciones

W e x xe x x

e x x

e x x

ex xx xx x

e

x x

x x x x

x x

,cos , sencos sensen coscos sen

1 cos sen1 sen cos

1 cos sen

1 cos sen

0 cos sen cos sen

0 2cos 2sen

x

x

x

x

x

x

( ) = − −− −

= − −− −

=

= − +− −

=

−

−

−

−

−

−

( )= − + + + =− −e x x x x x x e2sen cos 2sen 2cos 2sen cos 2x x2 2

Es decir

( ) =− −W e x x e,cos , sen 2x x

Al ser ( ) = ≠− −W e x x e,cos , sen 2 0x x para todo valor de x, las tres solu-ciones son linealmente independientes.

c) Solución particular de la ecuación completa.

Como 5 no es raíz de la ecuación característica, entonces

= =+ + +

=yH

e e e1(5)

15 5 5 1

1156p

x x x53 2

5 5

Solución general

= + + +−y C e C x C x ecos sen1

156x x

1 2 35


4.22. Resuélvanse las siguientes ecuaciones, utilizando el método operacional en la búsqueda de la solución particular.

a) − ′′ + = −y y y x2 3iv) 3

b) ′′ − ′ + =y y y x e4 4 x4 2

c) − = −y y x e16iv x) 4

d) ′′′ − = −y y e xx 2

e) ′′′ + ′′ + ′ = −y y y e x6 8 x2 3

f) ′′ − ′ + =y y y e x8 16 x4 3

g) ′′ + ′ + = +−y y y e x6 9 ln( 2)x3

SOLUCIÓN

a) − ′′ + = −y y y x2 3iv) 3


r4 2r2 +1= 0 r = 1 – (doble), r = 1 (doble)


y = (C1 + C2x) ex + (C3 + C4x) e-x

Ecuación completa en notación operacional

− + = −D D y x( 2 1) 34 2 3

El polinomio operacional es

= − +H D D D( ) 2 14 2

Solución particular de la ecuación completa. Aplicando (4.2) de la in-troducción teórica

= − =− +

− = + − =

= − + ⋅ = + −

yH D

xD D

x D x

x x x x

1( )

[ 3]12 1

[ 3] (1 2 )( 3)

3 2 6 12 3

p3

4 23 2 3

3 3



y C C x e C C x e x x( ) ( ) 12 3x x1 2 3 4

3= + + + + + −−

b) ′′ − ′ + =y y y x e4 4 x4 2


r2 4r + 4 = 0 r = 2 (doble)


= +y C C x e( ) x1 2

2

Ecuación completa

− + =D D y x e( 4 4) x2 4 2

Es decir: = − +H D D D( ) 4 4.2

Solución particular de la ecuación completa. Aplicando (4.4) de la in-troducción teórica:

=+

=+ − + +

⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ =y eH D

x eD D

x eD

x ex1

( 2)[ ]

1( 2) 4( 2) 4

130p

x x x x2 4 22

4 22

4 26

Solución general

= + +y C C x e ex

( )30

x x1 2

2 26

c) − = −y y x e16iv x) 4


r4 16 = 0 r = ±2, ± 2i



= + + +−y C e C e C x C xsen(2 ) cos(2 )x x1

22

23 4

Ecuación en notación operacional: − = −D y x e( 16) x4 4

Solución particular de la completa. Aplicando el principio de superpo-sición

= −y y yp p p1 2

Donde:

yp1 es solución particular de la ecuación (D4 – 16) y = x4

yp2 es solución particular de la ecuación (D4 – 16) y = ex

Por tanto, aplicando (4.2) y (4.3) de la introducción teórica, respectiva-mente, se obtiene

yD

x D x x

yH

e e

116

116

1256

116

332

1(1)

115

p

px x

1 44 4 4 4

2

=−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = − −

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = −

Por tanto

=−

− +y x e1

16332

115p

x4


= + + + − − +−y C e C e C x C x x esen(2 ) cos(2 )1

16332

115

x x x1

22

23 4

4

d) ′′′ − = −y y e xx 2


r r i1, 12

32

− ±3 0


Solución general de la ecuación homogénea asociada

y C e e C x C xcos3

2sen

32

x x

1

12

2 3+=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−

Solución particular de la completa. Al ser H(D) = D3 – 1, según (4.4)

=−

=− −

=− + −

⎡⎣ ⎤⎦ =

=−

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎡⎣ ⎤⎦ = − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− −

− −

y eH D

x eD

xD D D

x

e D D x e x x

1( 1)

[ ]1

( 1) 1[ ]

13 3 2

12

34

38

12

332

px x

x x

23

23 2

2

2 2 2


y C e e C x C x e x xcos3

2sen

32

12

332

x x x1

12

2 32= +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ + − − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− −

e) ′′′ + ′′ + ′ = −y y y e x6 8 x2 3


r3 + 6r2 +8r = 0 r = 0, 4, 2


y = C1 + C2 e–2x + C3 e–4x

Solución particular de la completa

=−

=− + − + −

=

=−

− −

−

y eH D

x eD D D

x

eD D

x

1( 2)

[ ]1

( 2) 6( 2) 8( 2)[ ]

14

[ ]

px x

x

2 3 23 2

3

23

3

Descomponiendo la fracción, queda

−=−

+−D D DD

D1

41/ 4 1/ 4

43 2


y dividiendo formalmente la última fracción

…−

=−

− − +D D D

D D1

41/ 4 1

161643

3


=−

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − ⋅ − − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

−

y eD

D D x ex

x

ex

x

14

116

164

[ ]14 4

116

3164

6

163

16332

px x

x

2 3 3 24

2

24

2


= + + + − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −y C C e C e ex

x16

316

332

x x x1 2

23

4 24

2

f) ′′ − ′ + =y y y e x8 16 x4 3


r2 8r +16 = 0 r = 4 (doble)


= +y C C x e( ) x1 2

4


=+

=+ − + +

=

= =

y eH D

x eD D

x

eD

x e x

1( 4)

[ ]1

( 4) 8( 4) 16[ ]

1[ ]

928

px x

x x

4 3 42

3

42

3 4 73



= + +y C C x e x e( )928

x x1 2

4 73 4

g) ′′ + ′ + = +−y y y e x6 9 ln( 2)x3


r2 + 6r + 9 = 0 r = 3 (doble)


= + −y C C x e( ) x1 2

3


=−

+ =− + − +

+ =

= +

− −

−

y eH D

x eD D

x

eD

x

1( 3)

[ln( 2)]1

( 3) 6( 3) 9[ln( 2)]

1[ln( 2)]

px x

x

3 32

32

Utilizando el metodo de integración por partes, se halla

∫∫ ∫

∫∫

( ) [ ]+ = + = + + − + =

=+

+ −++

− + =

=+

+ − −

Dx x dx dx x x x dx

xx

xx

dx x dx

xx x x

1[ln( 2)] ln( 2) ( 2)ln( 2) ( 2)

( 2)2

ln( 2)( 2)2( 2)

( 2)

( 2)2

ln( 2)34

3

2

2 2

22

Por tanto

=+

+ − −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−y ex

x x x( 2)

2ln( 2)

34

3px3

22



= + ++

+ − −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −y C C x e ex

x x x( )( 2)

2ln( 2)

34

3x x1 2

3 32

2

4.23. Encuéntrese la solución general de la ecuación diferencial

+ + = +xd ydx

xdydx

y x3 122

2

SOLUCIÓN

Es un ecuación de Euler. El cambio de variable independiente a efec-tuar es x = et.

Las derivadas son

dydx

edydt

t= − , d ydx

ed ydt

dydt

t2

22

2

2= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−


+ + = +d ydt

dydt

y e2 1t2

2



+ + =d ydt

dydt

y2 02

2


r2 + 2r +1= 0 r = 1 doble.


( )= + −y C C t e t1 2


Utilizando coeficientes indeterminados, la solución particular de la completa se busca

yp = Aet + B yp = Ae

t , yp = Aet

que sustituyendo en la ecuación e identificando coeficientes, resulta

Aet + 2Aet + Aet + B = et +1 A = 14

, B =1


= +y e14

1pt

Solución general

( )= + + +−y C C t e e14

1t t1 2

Deshaciendo el cambio

( )= + + +yx

C C x x1

ln14

11 2

4.24. Considerando la ecuación diferencial siguiente:

( )+ − =xd ydx

f xdydx

y2 022

2

Se pide:

a) Hallar f(x) sabiendo que ( ) =y x x1

12 es una solución de la misma.

b) Encontrar una nueva solución y2 (x) de tal manera que ( )x y x,12

2

sea un sistema fundamental de soluciones.

c) Comprobar, mediante su wronskiano, que ambas soluciones son li-nealmente independientes. ¿Qué sucede en x = 0?.


SOLUCIÓN

a) Sustituyendo la solución dada y sus derivadas, es decir

( ) ( ) ( )= ′ = ′′ = −− −

y x x y x x y x x;12

;141

12

1

12

1

32

En la ecuación, se obtiene

( )−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− =

− −x x f x x y2

14

12

0232

12

De donde se deduce

f(x) = 3x

b) Con ese valor de f(x), la ecuación queda

+ − =xd ydx

xdydx

y2 3 022

2

Es una ecuación de Euler. Cambio de variable x = et.

Sus derivadas son

dydx

edydt

t= − , d ydx

ed ydt

dydt

t2

22

2

2= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

Al sustituir en la ecuación se obtiene la de coeficientes constantes

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − =

+ − =

− −e ed ydt

dydt

e edydt

y

d ydt

dydt

y

2 3 0

2 0

t t t t2 22

2

2

2



2r2 + r 1= 0 r = 12

, 1

Soluciones correspondientes a cada raíz:

y t et

1

12( ) = ,

y t e t2 ( ) = −

que deshaciendo el cambio son

y x x1

12( ) = , y x x2

1( ) = −

c) El determinante wronskiano de ambas soluciones es

W y yx x

xx

x, 1

21

32

101 2

1/2 1

1/22

3/2( ) =−

= − ⋅ ≠

−

− para x 0

Por tanto, y1(x), y2(x) son linealmente independientes.

Escribiendo la ecuación en la forma

+ − =d ydx x

dydx x

y3

21

20

2

2 2

se observa que los coeficientes no son continuos en x = 0 y el wronskiano puede tener singularidades en ese punto.


′′ + ′ − =x y xy y x6 8 82 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Euler. Cambio de variable: x = et


Las derivadas de la función en la nueva variable son:

ydydx

edydt

t′ = = − , yd ydx

ed ydt

dydt

t2

22

2

2′′ = = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−


+ − =d ydt

dydt

y e6 2 8 t2

22

que es una ecuación lineal de coeficientes constantes.


r r6 2 8 02 + − = . Raíces r 1 ,43

= −

Solución general de la ecuación homogénea asociada:

= +−y C e C et t

1 2

43

Para hallar una solución particular de la completa se utilizará el méto-do operacional.

La ecuación en notación operacional es

( )+ − =D D y e6 2 8 t2 2

Y el polinomio operacional

( ) = + −H D D D6 2 82

Como 2 no es raíz de la ecuación característica, la solución particular yp es

yH

e e1(2)

120p

t t2 2



= + +−y C e C e e1

20t t t

1 2

43 2

que deshaciendo el cambio resulta

= + +−y C x C x x1

2011

2

43 2

4.26.

a) Encuéntrese la solución general de la ecuación diferencial

− + =xd ydx

xdydx

y2 2 622

2

b) ¿De esas soluciones, cuál o cuáles verifican las condiciones iniciales

ydydx

0 3 ; 1x 0

( ) = ==

?

c) Si se ha obtenido más de una, explicar porqué existen solucionesdistintas que verifican esas condiciones iniciales.

SOLUCIÓN

a) Es una ecuación de Euler. Efectuando el cambio de variable x = et, ysiguiendo los pasos de ejercicios anteriores se obtiene la ecuación de coefi-cientes constantes

− + =d ydt

dydt

y3 2 62

2


r r3 2 02 − + = . Raíces: r = 1, r = 2.



= +y C e C et t1

22

La solución particular de la ecuación completa será de la forma yp = A, que al sustituir en dicha ecuación e identificando coeficientes, resulta

yp = 3

Por tanto, la solución general de la ecuación completa es

= + +y C e C e 3t t1

22

Deshaciendo el cambio se obtiene la solución general pedida

= + +y C x C x 312

2

b) Aplicando las condiciones iniciales se obtiene

y(0) = 3 se cumple para todo C1, C2.

dydx x=0

=1 C2 =1

Soluciones

y C x x 312= + + . (Infinitas)

c) Si se expresa la ecuación en la forma

− + =d ydx x

dydx x

yx

2 2 62

2 2 2

se observa que x = 0 es un punto donde no se cumplen las condiciones su-ficientes para la existencia de solución única (no se cumplen las hipótesis del teorema de existencia y unicidad).



′′ − ′ − = + +x y xy y x x2 3 3 2 22 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Euler. Mediante el cambio x = et y, siguiendo los pa-sos de ejercicios anteriores, se obtiene

− − = + +d ydt

dydt

y e e2 5 3 2 2t t2

22


− − =d ydt

dydt

y2 5 3 02

2


− − =r r2 5 3 02 . Raíces: = −r 3;

12


= +−

y C e C et t

13

2

12

Solución particular de la completa. Aplicando el principio de superpo-sición y el método operacional se tienen las siguientes soluciones particu-lares:

De la ecuación − − =d ydt

dydt

y e2 5 3 t2

22 , una solución particular es

= = −yH

e e1(2)

15p

t t1

2 2


De − − =d ydt

dydt

y e2 5 3 2 t2

2 , una solución particular = = −yH

e e1(1)

213p

t t2 .

De − − =d ydt

dydt

y2 5 3 22

2 , = = −yH

1(0)

223p3 .

Por tanto, la solución particular yp buscada es

= + +y y y yp p p p1 2 3

Es decir

= − − −y e e15

13

23p

t t2


= + − − −−

y C e C e e e15

13

23

t t t t1

32

12 2


= + − − −y C x Cx

x x1 1

513

231

32

2

4.28. Resuélvase la ecuación diferencial

+ + = ≠xd ydx

xdydx

yx

x4 21

022

2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Euler. Aplicando el cambio de variable x = et y el procedimiento de ejercicios anteriores se obtiene la ecuación

+ + = −d ydt

dydt

y e3 2 t2

2



r2 + 3r + 2 = 0 r = 1, 2


= +− −y C e C et t1 2

2

Solución particular de la ecuación completa. Al ser –1 raíz de la ecua-ción característica será de la forma yp = Ate–t.

Sus derivadas son

( )= − −dy

dtA At ep t

; ( )= − −d y

dtAt A e2p t

2

2

Sustituyendo en la ecuación completa, e identificando coeficientes, resulta

− + − + =At A A At At At2 3 3 2 , A = 1


yp = te–t


= + +− − −y C e C e tet t t1 2

2


= + +− − −y C x C x x xln11

22 1


′′′ − ′′ + ′ − = −x y x y xy y x3 6 6 ln 13 2 3


SOLUCIÓN

Es una ecuación de Euler. Cambio de variable independiente x = et.

Las derivadas de la función son

= −dydx

edydt

t , = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−d ydx

ed ydt

dydt

t2

22

2

2 , = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−d ydx

ed ydt

d ydt

dydt

3 2t3

33

3

3

2

2

La ecuación que resulta al sustituir los resultados anteriores es

− + − = −d ydt

d ydt

dydt

y t6 11 6 3 13

3

2

2


r3 6r2 +11r 6 = 0 r =1; 2; 3


= + +y C e C e C et t t1 2

23

3

Solución particular de la completa, aplicando el método operacional

= − =− + −

− = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− = − −yH D

tD D D

t D t t1( )

(3 1)1

6 11 6(3 1)

16

1136

(3 1)12

34p 3 2


= + + − −y C e C e C e t12

34

t t t1 2

23

3


= + + − −y C x C x C x x12

ln341 2

23

3


4.30. Considérese la ecuación diferencial lineal definida en R – 0

( ) ( )′′ + ′ + =y a x y a x y 01 2

donde a1(x), a2(x) son funciones definidas en el mismo intervalo. Se pide:

a) Hallar los coeficientes a1(x), a2(x) sabiendo que y1(x) = x, y2(x) = x2

son dos soluciones particulares.

b) Comprobar que es una ecuación de Euler y reducir, mediante uncambio de variables apropiado, dicha ecuación a una de coeficientes cons-tantes.

c) Hallar la solución general.

SOLUCIÓN

a) Si y1(x) = x, y2(x) = x2 son dos soluciones particulares, cualquier otray = y(x) es linealmente dependiente con ellas. Es decir, el wronskiano de las tres soluciones es cero.

( ) = ′′′

=W y y y

y x x

y x

y

, , 2 1

2 0

01 2

2

, − ′′ + ′ − = ′′ − ′ + =x y xy y yx

yx

y2 2 02 2

022

Por tanto

( ) ( )= − =a xx

a xx

2,

21 2 2

b) La ecuación es ′′ − ′ + =x y xy y2 2 0.2

Es una ecuación de Euler. El cambio de variable x = et la convierte en la ecuación de coeficientes constantes

− + =d ydx

dydt

y3 2 02

2


c) Ecuación característica: r2 – 3r + 2 = 0. Raíces: r = 1, r = 2.

Solución general

= +y C e C et t1 2

2

4.31. Resuélvase el problema de valores iniciales:

( )

( )

− = >

= = −=

xd ydx

y x x

ydydx

6 ln , 0

1 1/ 6 ;16x

22

2

1

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Euler. Cambio de variable x = et.

Sustituyendo dicho cambio y sus derivadas, se obtiene

− − =d ydt

dydt

y t62

2

Ecuación característica de la homogénea r2 – r – 6 = 0, raíces r = 3, r = –2.


= + −y C e C et t1

32

2

Solución particular de la completa: yp = At + Bdydt

= A.

Sustituyendo e identificando coeficientes se obtiene

= − +y t16

136p

Solución general

= + − +−y C e C e t16

136

t t1

32

2



= + − +−y C x C x x16

ln1

3613

22

Condiciones iniciales:

y 1( ) = 16

C1 + C2 =536

dydx x=1

= 16

3C1 2C2 = 0C1 =

118

, C2 =1

12

Solución del problema:

= + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

yx x

x16 3 2

ln16

3 2


+ ′′ + + ′ + = +x y x y y x( 2) ( 2) ( 2)2 23

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Legendre, que mediante el cambio z = x + 2, se ob-tiene la de Euler:

+ + =zd ydz

zdydz

y z22

2

23

Y con z = et se llega a la ecuación:

+ =d ydt

y et

2

2

23

Ecuación característica: r2 + 1 = 0 r = ±i

Solución general de la ecuación homogénea: y = C1 cos t + C2 sen t


Solución particular de la completa, aplicando el método operacional

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=yH

e e123

913p

t t23

23


= + +y C t C t ecos sen9

13

t

1 2

23


[ ] [ ]= + + + + +y C x C x xcos ln( 2) sen ln( 2)9

13( 2)1 2

23


+ ′′ + + ′ + = + − +x y x y y x x(3 4) 10(3 4) 6 (3 4) 4ln(3 4)2 2

SOLUCIÓN

Es una ecuación de Legendre. Efectuando el cambio z = 3x + 4, y poste-riormente z = et, se obtiene la ecuación

+ + = −d ydt

dydt

y e t9 21 6 4t2

22

Ecuación característica: 9r2 + 21r + 6 = 0 r = 2;1

3

Solución general de la ecuación homogénea: = +− −y C e C et t

12

2

13

Solución particular de la completa. Separando los dos sumandos del término independiente de la ecuación, y aplicando el principio de superpo-sición, la solución particular será

yp = yp1 + yp2


donde, aplicando el método operacional en cada uno de ellos se obtiene:

Solución correspondiente a e2t

yH

e e1(2)

184p

t t1

2 2

Solución correspondiente a –4t

[ ] [ ] [ ]= − =+ −

− = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− = − +y

H Dt

D Dt D t t

1( )

41

9 21 64

16

712

423

73p2 2

Por tanto

= − +y e t1

8423

73p

t2


= + + − +− −y C e C e e t

184

23

73

t t t1

22

13 2

Y deshaciendo los cambios realizados

=+

++

+ + − + +y Cx

Cx

x x1

(3 4)1

3 4

184

(3 4)23

ln(3 4)731 2 2 3

2

4.34. Compruébese que el cambio de variable independiente x + 1 = et, transforma la ecuación de Legendre

( ) ( ) ( )+ + + − = +xd ydx

xdydx

y x1 1 2ln 133

3

en otra de coeficientes constantes. Hállese la solución general, utilizando el método operacional, para encontrar una solución particular.


SOLUCIÓN

( ) ( ) ( )+ + + − = +xd ydx

xdydx

y x1 1 2ln 133

3

Derivando en x + 1 = et, se deduce

1= et dtdx

dtdx

= e t

Las derivadas sucesivas de la función son

= ⋅ = −dydx

dydt

dtdx

edydt

t

= ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − − − −d ydx

ddx

edydt

e ed ydt

edydt

ed ydt

dydt

t t t t t2

2

2

22

2

2

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= − +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− − − −

−

d ydx

ddx

ed ydt

dydt

e ed ydt

d ydt

edydt

d ydt

ed ydt

d ydt

dydt

2

3 2

t t t t

t

3

32

2

22

2

2

3

32

2

2

33

3

2

2

Sustituyendo en la ecuación, resulta la ecuación de coeficientes constantes

− + − =d ydt

d ydt

dydt

y t3 3 23

3

2

2


− + − =d ydt

d ydt

dydt

y3 3 03

3

2

2


r3 3r2 + 3r 1= 0 r =1 (triple).



y = C1et + C2te

t + C3t2et

Solución particular de la no homogénea

[ ] ( )= =− + −

= − − = − −yH D

tD D D

t D t t1( )

21

3 3 1[2 ] 1 3 [2 ] 2 6p 3 2

Solución general

= + + − −y C e C te C t e t2 6t t t1 2 3

2

que deshaciendo el cambio de variables, resulta

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + + − + −y C x C x x C x x x1 1 (ln 1 ) 1 ln 1 2ln 1 61 2 3

2

CAPÍTULO 5

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


En este capítulo se estudia la transformada de Laplace como herra-mienta para determinar la solución de problemas de valor inicial.

1. Orden exponencial

Una función f(x) es de orden exponencial si existen dos números realesc, M(M > 0) tales que a partir de un cierto valor x0 de x es ( ) ≤f x Mecx paratodo x > x0.

2. Definición de transformada de Laplace

Se llama Transformada de Laplace de una función f(x) definida en0 ≤ x < ∞, a la función F(s) determinada por

∫( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = = −∞

L f x F s e f x dxsx

0

3. Condiciones de existencia

Si la función f(x) es continua a trozos y de orden exponencial, entoncesexiste su transformada de Laplace.

4. Propiedades de la transformada de Laplace

— La transformada de Laplace es un operador lineal

( ) ( ) ( ) ( )α + β⎡⎣ ⎤⎦ = α ⎡⎣ ⎤⎦ + β ⎡⎣ ⎤⎦L f x g x L f x L g x


— La transformada de Laplace F(s) = L[ f(x)] de una función tiende a cero cuando s tiende a infinito.

( ) =→∞

F slim 0s

— Si L[f(x)] = F(s) entonces L[eax f(x)] = F(s – a). (Propiedad de traslación)

— Si L[ f(x)] = F(s) entonces ( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = −L x f xdds

F s1n nn

n .

— Si L[ f(x)] = F(s) entonces ∫( ) ( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

∞

Lf x

xF s ds

s

.

— ∫∫( ) ( )= ⎡⎣ ⎤⎦

∞∞ f xx

dx L f x ds00

(siempre que estas integrales existan).

— L[f (x)] = sL[f(x)] – f(0) (si existe f (x) y su transformada de Laplace).

L[ f (x)] = s2L[ f(x)] – sf(0) – f (0)

L[f (n)(x)] = snL[f(x)] – sn–1f(0) – sn–2f (0) – ... – f (n–1)(0)

5. Algunas transformadas de Laplace

f(x) L[f(x)] = F(s)

1

s1

eax

s a1

xnn

s!

n 1


f(x) L[f(x)] = F(s)

sen (bx)b

s b2 2

cos (bx)s

s b2 2

xn f(x), (n N) ( ) ( )−dds

F s1 nn

n

eax f(x) F(s– a)

6. Definición de transformada inversa de Laplace

Se llama Transformada inversa de Laplace L–1[ f(s)] de F(s), a la fun-ción f(x) que satisface L[ f(x)] = F(s).

7. Convolución de funciones

Si f y g son dos funciones continuas a trozos en un intervalo de valores no negativos de x, se llama convolución de f y g a la función (f g) definida por

∫ ( ) ( )∗ = −f g x f x v g v dv( )( )x

0

8. Teorema de convolución

Si existen las transformadas de Laplace de dos funciones, el producto de dichas transformadas es igual a la transformada de su convolución.

( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ =L f x F s , ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ =L g x G s , entonces ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = ∗⎡⎣ ⎤⎦F s G s L f x g x

De este resultado se deduce que

( ) ( ) ( ) ( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ = ∗−L F s G s f x g x1


9. Función escalón unitario

Para un número real c ≥ 0, se llama Función escalón unitario (o tambiénFunción de Heaviside), a la función Hc(x) definida para x no negativo, por

( ) = <≥

⎧⎨⎪

⎩⎪H x

x c

x c

0, si

1, sic

y

1

0 c x

Hc(x)

Figura 5.1. Función escalón unitario

Un aspecto interesante es que estas funciones pueden utilizarse para expresar otras con discontinuidad de salto en una sola expresión, como combinación lineal de funciones escalón unitario.

La transformada de Laplace de la función Hc(x) es

( )⎡⎣ ⎤⎦ = >−

L H xes

s, 0c

cs

(5.1)

10. Función trasladada

Dada la función f(x), puede comprobarse fácilmente que la función g(x) = Hc(x) f(x – c) corresponde a la resultante de trasladar c unidades f(x) en sentido positivo Se llama función trasladada c unidades de f(x).

11. Propiedad de la función trasladada

La relación entre las transformadas de Laplace de una función f(x), y su trasladada Hc(x) f(x – c) es

( ) ( ) ( )−⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦−L H x f x c e L f xc

cs (5.2)


12. Función periódica

Una función f(x) de variable real es una función periódica, si para todo x existe un número positivo p (periodo), tal que

( )( ) = +f x f x p

Si f(x) es una función periódica de periodo p que verifica las condicio-nes de existencia de transformada de Laplace, entonces

∫( )

( )⎡⎣ ⎤⎦ = −

−

−L f x

e f x dx

e1

sxp

sp0 (5.3)

13. Función impulso

La función x0(x) definida de la forma

( )δ =<

≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

Ix

x x

x x

2, si

0, six 0

0

0

0

corresponde a una función como la de la figura 5.2.a, donde el área comprendida entre (–x0, x0) es I. Esta función se llama función impul-so, siendo I la cantidad o el valor de dicho impulso. Si I = 1 la función se llama Función impulso unitario.


–x0 xx0

I2x0

a) Función (x)x0

a – x0 x

2x0

b) Función (x – a)x0

a a + x0

I

Figura 5.2.a Figura 5.2.b

Si el centro del impulso se fija en x = a en lugar de el origen, la función resultante será la trasladada a unidades: será x0

(x – a) (figura 5.2.b).

14. Función delta de Dirac

El límite de distintas funciones impulso unitario x0(x – a), para distin-

tos valores de x0 cuando este tiende a cero se llama Función delta de Di-rac, (x – a).

La transformada de Laplace de la función delta de Dirac es

( )δ −⎡⎣ ⎤⎦ =−L x a e sa (5.4)


En los ejercicios de este capítulo se omiten las restricciones sobre la va-riable s. Estas se suponen suficientes para que exista la convergencia de la correspondiente transformada de Laplace.

5.1. Utilizando la definición, calcúlese la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) =+

− ≤ ≤< ≤<

⎧

⎨⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⎪

f xx

xx

x( )

03

2 1

sisisi

4 11 4

4

b) = − ≤ ≤>

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪f x

x

xx

x( )

3 sisi

0 112

c) f x e x( ) cosx

SOLUCIÓN

a) ∫∫∫ ∫= = ⋅ + ⋅ + +− − −∞ −∞L f x e f x dx e dx e dx e x dx[ ( )] ( ) 0 3 (2 1)sx sx sx sx

1

4

0

1

0 4

Resolviendo por partes la última integral

∫ ∫+ = −+

+ = −+

−− −−

−−

e x dxxs

ee

sdx

xs

ees

(2 1)(2 1)

2(2 1) 2sx sx

sxsx

sx

2

resulta

= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

+−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + +

−−

− ∞ − − −

L f xes

xs

ees

es

es

es

[ ( )]3 (2 1) 2 6 2 3sx

sxsx s s s

1

4

24

4 4

2


b) ∫∫∫[ ] = = − +− − −∞∞L f x e f x dx e x dx e x dx( ) ( ) (3 )sx sx sx 2

10

1

0

Aplicando el método de integración por partes, se tiene

∫

∫

− = − − +

= − − −

−− −

−∞ − −−

e x dx xe

ses

e x dxx e

sxes s

e

(3 ) (3 )

2 2

sxsx sx

sxsx sx

sx

20

1

2

1

2

2 3

Por tanto

= − − +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + − − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= − + + − + + +

− − − −−

∞

− − − −−

L f x xe

ses

x es

xes s

e

es

es s s

es

es s

e

[ ( )] (3 )2 2

23 1 2 2

sx sx sx sxsx

s s s ss

20

1 2

2 31

2 2 2 3

= − + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− +−L f x e

s s s s s[ ( )]

1 3 2 1 3s2 3 2

c) ∫∫[ ] = =− −∞∞L f x e e x dx e x dx( ) cos cossx x x s(1 )

00

Integrando por partes

∫ ∫

∫

= − − =

= + − + −

− − −

− − −

e x dx e x s x e dx

e x s e x s x e dx

cos sen (1 )sen

sen (1 ) cos (1 ) cos

x s x s x s

x s x s x s

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) 2 (1 )

Por tanto, despejando la integral se obtiene

∫ [ ]=+ −+ −

− −e x dx ex s x

scos

sen (1 )cos1 (1 )

x s x s(1 ) (1 )2

y en consecuencia

[ ] [ ]=+ −+ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

−+ −

−∞

L f x ex s x

sss

( )sen (1 )cos

1 (1 )1

1 (1 )x s(1 )

20

2


5.2. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace y la ta-bla del apartado 5 de la introducción, calcúlese la transformada de las si-guientes funciones:

a) = + −f x x x( ) 3 8 52

b) = −f x x( ) (2 1)3

c) = − −f x x e( ) 2 x3 4

d) ( ) ( )= +f x x x( ) cos 3 sen 4

e) f x x( ) cos2

f) = ⋅f x x x( ) sen cos

g) f x e x x( ) cos(2 )x3 2

h) = −f x e x( ) cosx5 2

i) f xx

x( )

sen2

j) f xe x

x( )

sen(4 )x3

k) = +f x x e e( ) ( )x x3 2

l) =− −

f xe e

x( )

x x

SOLUCIÓN

a) Teniendo en cuenta la propiedad de linealidad y la tabla de transfor-madas

= + − = + −L f x L x L x Ls s s

[ ( )] 3 [ ] 8 [ ] 5 [1]6 8 523 2


b) = − = − + −f x x x x x( ) (2 1) 8 12 6 13 3 2

= − + − = − + −L f x L x L x L x Ls s s s

[ ( )] 8 [ ] 12 [ ] 6 [ ] [1]48 24 6 13 2

4 3 2

c) = − = −+

−L f x L x L es s

[ ( )] [ ] 2 [ ]6 2

4x3 4

4

d) = + =+

++

L f x L x L xs

s s[ ( )] [cos(3 )] [sen(4 )]

94

162 2

e) Teniendo en cuenta que =+

xx

cos1 cos(2 )

22 , entonces

( )( )= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L f x L xs

ss

[ ( )]12

1 cos 212

142

f) Puesto que ( )

=x xx

sen cossen 2

2, entonces

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

+L f x

s s[ ( )]

12

24

142 2

g) Teniendo en cuenta que =+

L xs

s[cos(2 )]

42 , y aplicando la propie-

dad del producto por xn, resulta

( )= −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−

+L x x

dds

ss

dds

ss

s s

s[ cos2 ] ( 1)

44

( 4)2 24

42 2

2

2 2

2

2 2

3

2 3

Y según la propiedad de la traslación

( )=

− − −

− +⎡⎣ ⎤⎦L e x x

s s

s[ cos2 ]

2( 3) 24( 3)

3 4

x3 23

2 3

h) Aplicando el resultado obtenido en el apartado e) y después la pro-piedad de la traslación, resulta

( )=

++

++ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−L e xs

s

s[ cos ]

12

15

5

5 4x5 2

2


i) Teniendo en cuenta que =−

xx

sen1 cos(2 )

22 y aplicando la linealidad,

queda

⎡⎣ ⎤⎦ = −+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

L xs

ss

sen12

14

22

Según la propiedad de la transformada del cociente de una función por x

∫ ( ) ( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=+∞

∞

Lx

x ss

sds s s

s

ssen 1

21

412

ln12

ln 412

ln4

ss

2

22

21

2

j) Aplicando la tabla y la propiedad de la traslación

=− +

L e xs

[ sen(4 )]4

( 3) 16x3

2

En virtud de la propiedad de la transformada del cociente de una fun-ción por x

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − +

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=π−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∞∞

Le x

x sds

s ssen(4 ) 4( 3) 16

arctg3

4 2arctg

34

x

ss

3

2

k) = + = + +f x x e e x e e e( ) ( ) ( 2 )x x x x x3 2 2 6 4

Mediante la tabla de transformadas

+ + =−

+−

+−

L e e es s s

[ 2 ]1

21

62

4x x x2 6 4

En virtud de la propiedad del producto por xn

( )+ =−

+−

+−

L x e es s s

[ ]1

( 2)1

( 6)2

( 4)x x3 2

2 2 2


l) Aplicando la linealidad y la propiedad de la división entre x

∫=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= −−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ∞∞

L f x Lex

Lex s s

dsss

ss

ss

[ ( )]1

11

1ln

11

ln1 ln11

ln11

x x

ss

5.3. Se llama integral euleriana de segunda especie a la función de (0,∞) en R definida por la integral:

∫( )Γ = − −∞

x t e dtx t1

0

Sabiendo que (n + 1) = n! (n = 1, 2, ...) y aplicando la definición de transformada de Laplace L[ f(x)] de una función, deducir que para a R, es:

( )⎡⎣ ⎤⎦ = − +x e

n

s aL

!n axn 1

SOLUCIÓN

∫ ∫⎡⎣ ⎤⎦ = = ( )−∞

−∞

x e e x e dx e x dxL n ax sx n ax a s x n

0 0

Mediante el cambio de variable: z = –(a – s)x; dz = (s – a)dx resulta

∫ ∫( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ =

−⋅

−=

−−

∞

+−

∞

x e ez

s a

dzs a s a

e z dzL1n ax z

n

n nz n

01

0

Como ∫( )Γ = − −∞

x t e dtx t1

0

, entonces ∫( )Γ + = =−∞

n t e dt n1 !n t

0

, y se obtiene

( )⎡⎣ ⎤⎦ = − +x e

n

s aL

!n axn 1


5.4. Calcúlese la transformada inversa de cada una de las siguientes funciones:

a) s1

4 1

b) s

s4

4 12

c) s

s2 6

162

d) + −

ss s2 62

e) s

s( 2)2

3

f) +

+ −s

s s s1

203 2

g) s

194

h) −+

ss2 6

92

SOLUCIÓN

a) Puesto que =−

L es a

[ ]1ax y teniendo en cuenta que

+=

+s s1

4 11 4

1 4 se

llega a

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=− −

Ls

e1

4 114

x114

b) Expresando+

=+

ss

s

s

44 1 1

42 2

, y recordando que [ ] =+

L bxs

s bcos 2 2

se obtiene:

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−Ls

sx

44 1

cos12

12


c) Descomponiendo en fracciones simples.

−−

=+

+−

ss s s2 6

167 4

41 4

42

Por tanto

−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +− − − −L

ss

Ls

Ls

e e2 6

167 4

41 4

474

14

x x12

1 1 4 4

d) Descomponiendo en fracciones simples

+ −=

++

−s

s s s s2 33 4

31 4

12

Por tanto

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +− − − −L

ss s

Ls

Ls

e e2 3

3 43

1 41

34

14

x x12

1 1 3

e) Descomponiendo en fracciones simples

+= + +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥+ ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= + +− − − −

ss s s s

Ls

sL

sL

sL

sx x

( 2) 1 4 4

( 2) 1 4 41 4 2

2

3 2 3

12

31 1

21

32

f) Descomponiendo en fracciones simples

( )( )+

+ −=

++ −

=−+

+−

−s

s s ss

s s s s s s1

201

5 44 45

55 36

41 20

3 2

++ −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= − + −− − − − −L

ss s s

Ls

Ls

Ls

e e1

204 45

55 36

41 20 4

455

361

20x x1

3 21 1 1 5 4


g) Descomponiendo en fracciones simples

( )( )−=

+ + −=

−

+−

++

−s s s s s s s

19

1

3 ( 3) 3

16

3

112 3

3

112 3

34 2 2

( )

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= − ⋅ − +

− − − −

−

Ls

Ls

Ls

Ls

x e e

19

1 63

1 (12 3)

3

1 (12 3)

3

16

1

3sen 3

1

12 3

1

12 3x x

14

12

1 1

3 3

h)

−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= −− − −L

ss

Ls

sL

sx x

2 69

29

69

2cos(3 ) 2sen(3 )12

12

12

5.5. Pruébese que la función =+

F ss

s( )

1 no es transformada de

Laplace de una función continua a trozos y de orden exponencial.

SOLUCIÓN

Si fuera transformada de Laplace de una función con esas propiedades,

debería cumplir que =→∞

F slim ( ) 0s

, pero +

=→∞

ss

lim1

1s

.

5.6.

a) Demuéstrese la siguiente propiedad de la transformada de Laplacede una función f(x)

∫ ∫( ) ( )= ⎡⎣ ⎤⎦

∞ ∞f xx

dx L f x ds0 0


b) Aplicando lo anterior, calcúlese ∫−∞ ax bxx

dxsen( ) sen( )

0, siendo a > 0

y b < 0

SOLUCIÓN

a) Sea F(s) la transformada de Laplace de f(x), y sea g(x) la función

( ) ( )=g x

f xx

, siendo G(s) su transformada de Laplace.

De f(x) = x g(x), se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ = − ⎡⎣ ⎤⎦ = − ′F s L f x L xg xdds

L g x G s

es decir

G (s) = –F(s)

Integrando esta expresión entre infinito y s, resulta:

∫ ∫( ) ( ) ( )= − =∞

∞

∞

G s F s ds F s dss

s

s

por tanto

∫( ) ( )− =→∞

∞

G s G s F s dslim ( )s

s

Al ser =→∞

G slim ( ) 0s

(límite de la transformada de Laplace de una fun-

ción), queda

∫( ) ( )=∞

G s F s dss


o lo que es igual

∫( ) ( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

∞

Lf x

xF s ds

s

Expresión que aplicando la definición puede ponerse también

∫ ∫( ) ( )=

∞−

∞f xx

e dx F s dssx

s0

y haciendo tender s a cero se obtiene

∫ ∫( ) ( )= ⎡⎣ ⎤⎦

∞ ∞f xx

dx L f x ds0 0

b) Aplicando la propiedad anterior se obtiene

∫ ∫ ∫[ ]− = − =+

−+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

= π − − π⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = π

∞ ∞ ∞

∞

ax bxx

dx L ax bx dsa

s ab

s bds

sa

sb

sen( ) sen( )sen( ) sen( )

arctg arctg2 2

0 0 2 2 2 20

0

(Obsérvese que b < 0).

5.7. Utilizando el teorema de convolución, calcúlense las transforma-das inversas de las funciones

a) =−+

F ss

s s( )

2 1( 1)2 2

b) =+

+ +F s

ss s

( )1

( 2 2)2 2

c) =+

F ss

s a( )

( )2 2 2


SOLUCIÓN

a) F(s) puede expresarse de la siguiente forma

=−+

= ⋅−+

= ⋅F ss

s s ss

sG s H s( )

2 1( 1)

1 2 11

( ) ( )2 2 2 2

donde se ha llamado a ( ) =G ss12

, y a ( ) = −+

H ss

s2 1

12

Las transformadas inversas de G(s) y de H(s) son, respectivamente

( )

( )

= = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= =−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= −

− −

− − − −

g x L G s Ls

x

h x L H s Ls

sL

ss

Ls

x x

[ ( )]1

[ ( )]2 1

12

11

12cos sen

1 12

1 12

12

12

La convolución g x h x( )* ( ) es

g x h x g x v h v dv x v v v dv

x d d

x

x x x

( )* ( ) ( ) ( ) ( )(2cos sen )

(2cos sen ) (2cos sen )

2sen cos (2sen cos ) 2cos sen

2cos sen 2

xx

xx

x x x

00

00

0 0 0

∫∫

∫∫[ ] [ ] [ ]

= − = − − =

= ν − ν ν − ν ν − ν ν =

= ⋅ ν + ν − ν ν + ν + − ν + ν =

= − − + +

Por tanto, y aplicando el teorema de convolución

[ ]⋅ =−L G s H s g x h x( ) ( ) ( )* ( )1

resulta

[ ] = − − + +−L F s x x x( ) 2cos sen 21


b) Expresando F(s) de la misma forma que en el apartado anterior, setiene

=+

+ +⋅

+ += ⋅F s

ss s

G s H s( )1

( 1) 11

( 1) 1( ) ( )2 2

Para hallar las transformadas inversas de G(s) y H(s) se aplicará la pro-piedad de traslación, y queda

( )

( )

= =+

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= =+ +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

− − −

− − −

g x L G s Ls

se x

h x L H s Ls

e x

[ ( )]1

( 1) 1cos

[ ( )]1

( 1) 1sen

x

x

1 12

1 12

Aplicando el teorema de convolución, se obtiene

∫∫( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ = = − = − ν− −L G s H s g x h x g x v h v dv e x v v d( ) ( )* ( ) ( ) ( ) cos( )senxxx1

00

Y teniendo en cuenta que

=+ + −

A BA B A B

sen cossen( ) sen( )

2(5.5)

Entonces

∫ ∫− =+ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

=

= ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− ⋅

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

− −

− −

e x v v dv ex v x

dv

e v xv x

e x x

cos( )sensen sen(2 )

2

12

sen12

cos(2 )2

12

sen

xx xx

xx x

x

0 0

0 0

Por tanto

[ ] =− −L F s e x x( )12

senx1


c) =+

⋅+

= ⋅F ss

s a s aG s H s( )

1( ) ( )2 2 2 2

Las transformadas inversas de G(s) y H(s) son

( ) ( )

( ) ( )

= =+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= =+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

− −

− −

g x L G s Ls

s aax

h x L H s Ls a

axa

[ ( )] cos

[ ( )]1 sen

1 12 2

1 12 2

Por el teorema de convolución

∫∫( ) ( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ = = − = −−L G s H s g x h x g x v h v dv a x vav

adv( ) ( )* ( ) ( ) ( ) cos ( )

sen( )xx1

00

Utilizando la fórmula trigonométrica (5.5) se tiene

∫ ∫

[ ]

( )

( )

− =+ −

=

= ⋅ −−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

a x vav

adv

ax av axa

dv

av ax

av axa a

x ax

cos ( )sen( ) sen( ) sen(2 )

2

12

sen( )cos(2 )

21

2sen

x x

xx

0 0

00

Por tanto

[ ] ( )=−L F sa

x ax( )1

2sen1

5.8. Resuélvase el problema de valores iniciales

( )+ ∗ = =−dydx

e y x y( ) 1 ; (0) 0x2

= Convolución de funciones


SOLUCIÓN

Considerando transformadas de Laplace en la ecuación, llamando Y(s) = L[y(x)], y recordando la transformada de la derivada y el teorema de convolución, se obtiene

[ ] [ ]( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ∗⎡⎣ ⎤⎦ =

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦ =

− ++

=

− −Ldydx

L e y x L Ldydx

L e L y x L

sY s ys

Y ss

( ) 1 ; 1

( ) (0)1

2( )

1

x x2 2

De donde se deduce

=++

Y ss

s s( )

2( 1)2

Por tanto

( )=

++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−y x Ls

s s( )

2

11

2


s+ 2s(s+1)2 = A

s+ B

(s+1)2 +Cs+1

A = 2

B = 1

C = 2

Queda

( )=

++

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= −

+−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − − − −y x Ls

s sL

s s sL

sL

sL( )

2

1

2 1( 1)

21

2 1( 1)

2s 1

12

12

1 12

1

Y hallando las transformadas inversas se obtiene la solución pedida

= − −− −y x xe e( ) 2 2x x


NOTA: La transformada inversa+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=− −L

sxe

1( 1)

x12 se puede deducir fá-

cilmente de la expresión (Ejercicio 5.3), para n = 1, a = –1

( )⎡⎣ ⎤⎦ = − +x e

n

s aL

!n axn 1

5.9.

a) Utilizando la transformada de Laplace, resuélvase el problema devalores iniciales:

′′ − == ′ =

⎧⎨⎩

x y y

y y

6 0

(0) (0) 0

2

b) Compruébese que la solución a dicho problema no es única y justifí-quese.

SOLUCIÓN

a) Sea y(x) la solución. Llamando Y(s) = L[y(x)] y hallando transforma-das se obtiene

[ ]′′⎡⎣ ⎤⎦ − =L x y L y6 02

(5.6)

Recordando que [ ]′′⎡⎣ ⎤⎦ = ′′L x ydds

L y22

2, y que

[ ]′′ = − − ′ =L y s Y s sy y s Y s( ) (0) (0) ( )2 2

entonces

( )′′⎡⎣ ⎤⎦ = = ′′ + ′ +L x ydds

s Y s s Y s sY s Y s( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )22

22 2


y la ecuación (5.6) queda

′′ + ′ − =s Y s sY s Y s( ) 4 ( ) 4 ( ) 02

Es una ecuación de Euler con s como variable independiente, e Y(s) como función.

Efectuando el cambio de variable s = et, entonces

( )′ = = −Y sdYds

edYdt

t , ( )′′ = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−Y sd Yds

ed Ydt

dYdt

t2

22

2

2

,

quedando la ecuación homogénea de coeficientes constantes

+ − =d Ydt

dYdt

Y3 4 02

2

Ecuación característica: k2 + 3k – 4 = 0. Raíces: k = 1, k = –4.

Solución general: = + −Y C e C et t1 2

4


= + −Y s C s C s( ) 1 24

Ahora bien, la transformada de Laplace de una función tiende a cero

cuando s ∞, con lo cual ha de ser C1 = 0, y con ello Y sCs

( ) 24

.

Por tanto, la solución pedida es

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=−y x L

Cs

Cx( ) 1 24

3

b) y(x) = Cx3 es solución del problema para todo valor de C como pue-de comprobarse. Ello es debido a que las condiciones iniciales están dadas en un punto x = 0 donde no se verifica el teorema de existencia y unicidad.


Expresando la ecuación en forma normal

′′ − =yx

y1

02

se observa la no continuidad en ese punto del coeficiente x1

2 .

5.10. Aplicando transformadas de Laplace, resuélvase el problema de valor inicial:

( )′ − = = −y y x e y2 , 0 1x

SOLUCIÓN

Llamando L[y] = Y(s) y tomando transformadas de Laplace en la ecua-ción, se obtiene

L y L y L x e2 x[ ] [ ]′ − = ⎡⎣ ⎤⎦ , sL y y L ys

0 21

1 2[ ] [ ]( )( )

− − =−

s L ys

21

112[ ]( )

( )− =

−−

Es decir

[ ] ( )=

−−

L ys

s 1 2


s

s 1( )2= A

s 1( )2+ Bs 1

A = 1 , B = 1

Por tanto

[ ] ( )=

−−

+−−

L ys s

1

1

112


Tomando transformadas inversas

( )= −

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= − −− −y L

sL

sxe e

1

1

11

x x12

1

La solución del problema es

y = –ex (x + 1)

5.11. Utilizando la función escalón unitario Hc(x), hállense las trans-formadas de Laplace de las siguientes funciones:

a) = ≤ <≥

⎧⎨⎪

⎩⎪f x x

x( ) 1 si 0 3

0 si 3

b) =

≤ <− ≤ <

≤ <>

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

f x

xx

xx

( )

2 si 0 11 si 1 3

0 si 3 51 si 5

SOLUCIÓN

a) La gráfica se representa a continuación en la figura 5.3.a

y

1

0 3 x

f(x)

Figura 5.3.a

La función puede expresarse en términos de función escalón unitario

( ) ( ) ( )= −f x H x H x0 3


Recordando la transformada de Laplace de la función escalón unitario (5.1) de la introducción teórica, resulta

( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦ = −−

L f x L H x L H xs

es

1 s

0 3

3

b) Gráfica de la función a continuación (Figura 5.3.b).

y

2

0 3 x

f(x)1

–1

5

Figura 5.3.b

En términos de función escalón unitario

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + +f x H x H x H x H x2 30 1 3 5

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦ = − + +− − −

L f x L H x L H x L H x L H xs

es

es

es

2 32 3 s s s

0 1 3 5

3 5

( )⎡⎣ ⎤⎦ =− + +− − −

L f xe e e

s2 3 s s s3 5


5.12. De la función ( )= ⋅g x x H x( ) 1 , se pide:

a) Representarla gráficamente

b) ¿De que función f(x) es trasladada una unidad?

c) Hallar su transformada de Laplace, aplicando la propiedad de lafunción trasladada.

SOLUCIÓN

a) La gráfica se representa a continuación (Figura 5.4).

y

1

0 x

f(x)

g(x)

1

Figura 5.4

b) La función f(x) es

f(x) = x + 1 para x ≥ 0

Es decir, se verifica: ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ − = ⋅g x H x f x H x x11 1

c) Aplicando la propiedad de la función trasladada, (5.2) de la intro-ducción teórica, resulta

[ ]( ) ( ) ( )⋅ −⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ = + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −L H x f x e L f x e L x es s

1 11 1s s s

1 2

Es decir: ( )⎡⎣ ⎤⎦ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−L g x es s1 1s2


5.13. Hállense las siguientes transformadas inversas de Laplace:

a) ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−−

Les

s1

3

b) +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−−π

Le

s 1

s1

2

SOLUCIÓN

a) Recordando la propiedad de la función trasladada

( ) ( ) ( )−⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦−L H x f x c e L f xc

cs

o lo que es igual

( ) ( ) ( )− = ⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣ ⎤⎦− −H x f x c L e L f xc

cs1

y comparándola con el enunciado, se observa que c = 1, y que ( )= ⎡⎣ ⎤⎦sL f x

13

.

Por tanto

( ) = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=−f x L

sx

1 12

13

2

Y la transformada inversa es

( ) ( ) ( ) ( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⋅ − = ⋅ −−

−

Les

H x f x H x x112

1s

13 1 1

2

b) En este caso c = – , ( )+

= ⎡⎣ ⎤⎦sL f x

112 .


Por tanto

( ) =+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=−f x L

sx

11

sen12

Y utilizando la propiedad de la función trasladada, la transformada in-versa pedida es

( )+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= − π = −− −π

π πL es

H x x H x x1

1( )sen ( )sens1

2

5.14. La corriente I(t) en un circuito eléctrico de inductancia D, y re-sistencia R, viene dada por la ecuación

( ) ( ) ( )+ =DdI t

dtRI t E t

donde E(t) es la fuerza electromotriz aplicada. Suponiendo I(0) = 0, hállese I(t) si E(t) es la función escalón unitario E(t) = H0(t).

SOLUCIÓN

Considerando transformadas de Laplace en la ecuación, llamando Y(s) = L[I(t)], se tiene

L DdIdt

+ L RI[ ] = L H0[ ] DsY s( )+ RY s( ) = 1s

Y s( ) = 1s Ds+ R( )


1s Ds+ R( ) =

As+ BDs+ R

A = 1R

; B = DR


Por tanto

( ) ( )

( )

= ⎡⎣ ⎤⎦ = +−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= −

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −

−

I t L Y s LR

sD R

Ds R RL

s s R D

I tR

e

1/ / 1 1 1/

11

RD

t

1 1 1

5.15. Un mecanismo mantiene un cierto sistema técnico con una trayectoria determinada que se intenta sea h(t). Sin embargo, y por des-gaste del mismo, existe error. Si la trayectoria real es y(t), ese error será e(t) = y(t) – h(t), y se suele corregir mediante la actuación de un par de fuerzas de momento I.

Si el mecanismo viene definido por la ecuación diferencial

Iy t ke t( ) ( )′′ = − , con k = cte.

se pide

a) Empleando Transformadas de Laplace, resolver la ecuación anteriorhallando el error e(t) cuando las condiciones iniciales son y (0) = y(0) = 0, y la trayectoria deseada es

h(t) = at

comprobando que la trayectoria real es senoidal, es decir, oscila de un lado a otro de la trayectoria deseada.

b) ¿Cuál es la máxima amplitud de la oscilación? ¿Cómo podría ac-tuarse sobre k e I para disminuir el error?.

SOLUCIÓN

a) El problema a resolver es

Iy t ke t( ) ( )′′ = − , con ( ) ( )′ = =y y0 0 0


Sea L[y(t)] = Y(s), L[e(t)] = E(s). Tomando transformadas de Laplace, se obtiene

I s2Y (s) sy(0) y (0) = kE(s) Is2Y (s) = kE(s)

Es decir

=−

Y skE sIs

( )( )2 (5.7)

Como el error es e(t) = y(t) – at, entonces

= − −E s Y s as( ) ( ) 2 ; = + −Y s E s as( ) ( ) 2

Sustituyendo en (5.7) y despejando E(s), se obtiene

= −+

E saI

s I k( ) 2

que puede expresarse en la forma

( )= − ⋅

+E s

a

k I

k I

s k I( )

/

/

/22

Su transformada inversa es

( )= −e ta

k Ik I t( )

/sen /

que corresponde al error que se comete.

La trayectoria real del sistema es, por lo tanto

( )= −y t ata

k Ik I t( )

/sen /


donde se observa que es senoidal, es decir el sistema oscila de un lado a otro de la trayectoria at deseada.

b) La máxima amplitud de la oscilación es a

k I/

El error puede disminuirse haciendo k muy grande respecto al momen-to de inercia I, pero puede observarse que en este caso el sistema oscilaría muy rápido.

5.16. Utilícese la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales

( ) ( ) ( )+ = + δ − π = ′ =d ydx

y x x y ysen , 0 0 02

2

donde (t) es la función Delta de Dirac.

SOLUCIÓN

Llamando Y(s) = L[y(t)], y recordando que la transformadas de Laplace de la función delta de Dirac es ((5.4) de la introducción teórica)

( )δ − π⎡⎣ ⎤⎦ =− πL x e s

Al hallar transformadas de Laplace, se obtiene

( )

( ) ( )

( )

+ =+

+

=+

++

− π

− π

s Y s Y ss

e

Y ss s

e

11

1

1

11

s

s

22

2 2 2

Y al calcular sus transformadas inversas

( )( ) =

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − − πy x Ls

L es

1

1

11

s1

2 21

2 (5.8)


Para la primera se aplica el teorema de convolución, y se obtiene

∫( ) ( ) ( )+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

+⋅

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= − ν− −L

sL

s sx v dv

1

1

1

1

1

1sen( )sen

x1

2 21

2 2 0

Teniendo en cuenta que

( ) ( )= − − +⎡⎣ ⎤⎦A B A B A Bsen sen12

cos cos

se tiene

∫ ∫( ) ( )

( )

− = − −⎡⎣ ⎤⎦ =

=−

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−

x v v dv x v x dv

x vv x

x x x

sen sen12

cos 2 cos

12

sen 22

cossen cos

2

x x

x

0 0

0

Por tanto

( )+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

−−Ls

x x x1

1

sen cos2

1

2 2

La segunda transformada inversa de (5.8) está resuelta en el ejercicio 5.13.b

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= −− − π

πL es

H x x1

1( )sens1

2

Por lo tanto

=−

− πy xx x x

H x x( )sen cos

2( )sen


5.17. Un sistema dinámico lineal, de variable de entrada u(t), y de sa-lida y(t) se puede representar por la ecuación diferencial lineal:

+ + + ′ + = + + + ′ +−−

−−y a y a y a y b u b u b u b u...... .....n

nn

mm

mm)

11)

1 0)

11)

1 0

a) Aplíquese la transformada de Laplace a la ecuación, suponiendo nu-las las condiciones iniciales en cero, es decir

… …( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = ′ = = = = ′ = =− −y y y u u u0 0 0 0 0 0 0n m1) 1)

para obtener la función G sY sU s

( )( )( )

donde Y(s) = L[y(t)]; U(s) = L[u(t)]

b) En el sistema de ecuación y + 3y + 2y = u – u, y con las mismascondiciones iniciales anteriores, calcular G(s), y a partir de la relación Y(s) = G(s) U(s) del apartado a), obtener y(t) cuando u(t) = H1(t) (Función escalón unitario).

SOLUCIÓN

a) La transformada de la derivada n-ésima de una función y(t) es

…⎡⎣ ⎤⎦ = − − ′ − −− − −L y s L y s y s y y( ) (0) (0) (0)n n n n n) 1 2) 1)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación lineal del enuncia-do, y considerando sus propiedades de linealidad, se obtiene

… …( ) ( )+ + + +⎡⎣ ⎤⎦ = + + + +⎡⎣ ⎤⎦−−

−−s a s a s a Y s b s b s b s b U sn

nn

mm

mm

11

1 0 11

1 0

donde Y(s) = L[y(t)], U(s) = L[u(t)].

Entonces, la función G(s) es

……

= =+ + + ++ + + +

−−

−−G s

Y sU s

b s b s b s bs a s a s a

( )( )( )

mm

mm

nn

n1

11 0

11

1 0


b) Para el sistema y + 3y + 2y = u – u, será

= =−

+ +G s

Y sU s

ss s

( )( )( )

13 22

Recordando que [ ] =−

L H tes

( )s

1 , entonces ( ) =−

U ses

s

De la relación Y(s) = G(s) U(s) resulta

=−

+ +⋅

−

Y ss

s ses

( )1

3 2

s

2

Por lo tanto: ( )( ) ( )= ⎡⎣ ⎤⎦ =−+ +

⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −y t L Y s Ls

s s se

1

3 2s1 1

2

Calculemos primero ( )−+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−Ls

s s s

1

3 21

2

s 1s(s2 + 3s+ 2)

= s 1s s+1( ) s+ 2( ) =

As+ Bs+1

+ Cs+ 2

A = 1/ 2,B = 2,C = 3 / 2

Por tanto

( )−+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

−+

++−+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= − + −− − − −L

s

s s sL

s s se e

1

3 2

1/ 2 21

3 / 22

12

232

t t12

1 2

En virtud de la propiedad de la función trasladada se tiene

( )−+ +

= − + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= ⋅ − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( ) ( )− − − − − − − −es

s s se L e e L H t e e

1( 3 2)

12

232

12

232

s s t t t t2

21

1 2 1

De donde resulta

( ) ( )= ⋅ − + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − − −y t H t e e12

232

t t1

( 1) 2( 1)


5.18. En el estudio de un circuito eléctrico al que en el instante t = se le aplica un impulso unitario de voltaje, surge el problema de valores iniciales:

′′ + ′ + = δ − π = ′ =y y y t y y2 2 ( ) ; (0) 0 , (0) 0

donde t es la función Delta de Dirac.

Resuélvase dicho problema y representar aproximadamente la curva solución, dando una interpretación física a la misma.

SOLUCIÓN

Hallando transformadas de Laplace en la ecuación y recordando que L[ (t – )] = e– s), se obtiene

s2 + 2s+ 2( )Y (s) = e s donde Y (s) = L y(x)[ ]

por tanto

Y (s) = 1s2 + 2s+ 2

e s = 1

s+1( )2 +1e s

Recordando que L 1 1

s+1( )2 +1= e t sen t y aplicando el teorema de la

función desplazada, resulta

1

s+1( )2 +1e s = L e t sen t e s = L H t( ) e t( ) sen t( )

Como y(t) = L–1[Y(s)], entonces: ( ) ( )= ⋅ − π( )π

− −πy t H t e t( ) sent , o también

( )=

< π

− π ≥ π

⎧⎨⎪

⎩⎪( )− −πy t

t

e t t( )

0 ,

sen ,t


La representación gráfica es la siguiente (Figura 5.5)

Figura 5.5

Dado que en t = 0 las condiciones iniciales son nulas y no hay excita-ción hasta t = , no hay respuesta hasta entonces. En ese instante se aplica un impulso unitario que luego decrece en la forma que indica la curva.

5.19.

a) Encuéntrese la función yp(x), tal que

( )⋅⎡⎣ ⎤⎦ =−−

L e y xs

s s3 2

2x

p2

2

b) ¿Cual es la función f(x), sabiendo que la ecuación diferencial

( )+ − =d ydx

dydx

y f x22

2

admite la yp(x) como solución particular?


c) Calcúlese la solución general de la ecuación diferencial

( ) ( )+ − = +d ydx

dydx

y f x x2 20sen 22

2

donde f(x) es la función hallada en el apartado anterior

SOLUCIÓN

a) Hallando transformadas inversas en la expresión, se obtiene

( ) ( )⋅ =−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −e y x Ls

s sL

ss s

3 22

3 22

xp

2 12

1


( )−−

= +−

ss s s s3 2

21 2

2

Resulta

( )⋅ = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +− −e y x L

sL

se

1 22

1 2xp

x2 1 1 2

Por tanto

yp(x) = e–2x + 2

b) Esta solución ha de verificar la ecuación. Al sustituir esa función ysus derivadas

= − −dy

dxe2p x2 , = −d y

dxe4p x

2

22

Resulta

( )− − − =− − −e e e f x4 2 2 4x x x2 2 2


De donde

( ) = −f x 4

c) La ecuación es ahora

+ − = − +d ydx

dydx

y x2 4 20sen2

2

no homogénea de coeficientes constantes.

Ecuación homogénea asociada: + − =d ydx

dydx

y2 02

2.

Ecuación característica: r2 + r – 2 = 0. Raíces: r = 1, r = –2.

Solución general: = + −y C e C ex x1 2

2 .

Solución particular de la ecuación completa:

Por el apartado anterior, una solución particular de la ecuación

+ − = −d ydx

dydx

y2 42

2

es yp1(x) = e–2x + 2.

Se aplicará el método de los coeficientes indeterminados para calcular la solución particular de

+ − =d ydx

dydx

y x2 20sen(2 )2

2

La solución particular a buscar es de la forma

= +y A x B xcos(2 ) sen(2 )p2 .

Derivando

= − + = − −dy

dxA x B x

d y

dxA x B x2 sen(2 ) 2 cos(2 ) ; 4 cos(2 ) 4 sen(2 )p p2

22

2


y sustituyendo en la ecuación, queda

( )( )

− − + − + −

− + =

A x B x A x B x

A x B x x

4 cos(2 ) 4 sen(2 ) 2 sen(2 ) 2 cos(2 )

2 cos(2 ) sen(2 ) 20sen(2 )

Es decir

4A + 2B 2A = 0

4B 2A 2B = 20 A = 1, B = 3 yp2 = cos(2x) 3sen(2x)

Aplicando el principio de superposición, la solución particular de la ecuación total es

= +y y yp p p1 2 , es decir: = + − −−y e x x2 cos(2 ) 3sen (2 )px2

Por lo tanto, la solución general pedida es

( ) = + + + − −−y x C e C e x x( 1) 2 cos(2 ) 3sen(2 )x x1 2

2

O de otra forma

( ) = + + − −−y x C e C e x x2 cos(2 ) 3sen(2 )x x1 2

2

donde se ha llamado C2 a C2 + 1.

5.20. Aplicando transformadas de Laplace, resuélvase el problema de valores iniciales:

( )′′ + ′ = = ′ =y y x y y3 , 0 0, (0) 12


SOLUCIÓN

Llamando Y(s) = L[y], y tomando transformadas de Laplace en la ecua-ción, se tiene

s2Y (s) sy(0) y (0)+ sY (s) y(0) = 6s3 Y (s) s2 + s = 6

s3 +1

Y (s) = 6 + s3

s3(s2 + s)= 6 + s3

s4(s+1)


6 + s3

s4(s+1)= As+ Bs2 +

Cs3 +

Ds4 +

Es+1

A = 5 , B = D = 6 ,C = 6 , E = 5.

Por tanto

= − + − + ++

Y ss s s s s

( )5 6 6 6 5

12 3 4

Hallando las transformadas inversas

[ ] = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥− ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥+ ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥+

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= − + − + +

− − − − − −

−

L Y s Ls

Ls

Ls

Ls

Ls

x x x e

( )5 6 6 6 5

1

5 6 3 5 x

1 1 12

13

14

1

2 3

Por consiguiente

= − + − + + −y x x x e5 6 3 5 x2 3

5.21. Aplicando transformadas de Laplace, resolver el problema de valores iniciales:

( )′′ + ′ + = = ′ =−y y y e x y y2 5 3 sen , 0 0, (0) 3x


SOLUCIÓN

Llamando L[y] = Y(s) y tomando transformadas de Laplace, se obtiene

− − ′ + − + = ⋅+ +

s Y s sy y sY s y Y ss

( ) (0) (0) 2 ( ) 2 (0) 5 ( ) 31

( 1) 12

2

+ +⎡⎣ ⎤⎦ = + ++

=+ +

+ + + +⎡⎣ ⎤⎦

Y s s ss

Y ss s

s s s

( ) 2 53

( 1) 13

( )3 6 9

( 2 5) ( 1) 1

22

2

2 2

Descomponiendo en fracciones simples, se tiene

3s2 + 6s+ 9(s2 + 2s+5) (s+1)2 +1

= As+ B(s2 + 2s+5)

+ Cs+ D(s+1)2 +1

3s2 + 6s+ 9 = (As+ B) (s+1)2 +1 + (Cs+ D)(s2 + 2s+5)

A = C = 0, B = 2, D =1

Por tanto

=+ +

++ +

Y ss s s

( )22 5

1( 1) 12 2

Hallando transformadas inversas

[ ] =+ +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

+ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +− − − − −L Y s L

s sL

se x e x( )

22 5

1( 1) 1

sen(2 ) senx x1 12

12

Por consiguiente

= +−y e x x(sen(2 ) sen )x


5.22. Resuélvase, mediante transformadas de Laplace, el problema de valores iniciales:

′′ + − ′ − = = ′ =xy x y y y y(1 2 ) 2 0, (0) 1, (0) 2

SOLUCIÓN

Llamando L[y] = Y(s) y tomando transformadas de Laplace se tiene que

′′ = − ′′ = − − − ′ = − ′ − +L xydds

L ydds

s Y s sy y s Y s sY s[ ] [ ] [ ( ) (0) (0)] ( ) 2 ( ) 12 2

− ′ = ′ − ′ = − + − =

= − + + ′

L x y L y L xy sY s ydds

sY s y

sY s Y s sY s

[(1 2 ) ] [ ] 2 [ ] ( ) (0) 2 [ ( ) (0)]

( ) 1 2 ( ) 2 ( )

Por tanto la ecuación se transforma en

− ′ − + + − + + ′ − =s Y s sY s sY s Y s sY s Y s( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 02

Simplificando

− − ′ =s s Y s sY s( 2) ( ) ( )

Por tanto

′ = −−

Y sY s s

( )( )

12

Integrando esta última ecuación

Y (s)Y (s)

ds = 1s 2

ds Y (s) = Ks 2

y = Ke2x

Como y(0) = 1 K = 1. Por consiguiente

y = e2x

CAPÍTULO 6

SOLUCIONES DEFINIDAS POR SERIES


En este capítulo se analiza la búsqueda de soluciones y(x) de ecuacio-nes diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables

y P x y P x y 01 2( ) ( )′′ + ′ + = (6.1)

mediante su desarrollo en serie de potencias de x, de la forma

y x a xnn

n 0∑( ) ==

∞

1. Puntos ordinarios y singulares

Un punto x0 de la ecuación (6.1) es ordinario si las dos funciones P1(x),P2(x) son analíticas en ese punto. Si al menos una de ellas no lo es, el pun-to se dice que es singular.

Un punto singular x0, se dice singular regular si las funciones

x x P x x x P x,0 1 0

2

2( ) ( )( ) ( )− −

son ambas funciones analíticas en ese punto.

2. Ecuación indicial

Si el punto x0 es singular regular, la ecuación

r r p r q1 00 0( )− + + =


en donde p x x P xlim0 x x 0 10

( ) ( )= −→

, q x x P xlim0 x x 0

2

20

( ) ( )= −→

se llama ecuación

indicial. Los valores de r solución de la ecuación indicial se llaman raíces indiciales, o exponentes de la singularidad.

Con objeto de simplificar, se supondrá siempre que el punto en el cual se busca la solución es x0 = 0. En caso de ser otro distinto, se puede me-diante el cambio de variable t = x – x0, reducir el problema al caso anterior.

3. Soluciones mediante series de potencias

1. Si el punto x0 = 0 es ordinario, la ecuación (6.1) admite dos solucio-nes linealmente independientes y analíticas en un entorno de x0 = 0 en la forma

y x a xnn

n 0∑( ) ==

∞

Además, el radio de convergencia de la serie es igual a la distancia de x0 al punto singular más cercano.

2. Si el punto x0 = 0 de la ecuación (6.1) es singular regular, dichaecuación admite al menos una solución expresable en la forma

y x x a xrn

n

n 0∑( ) ==

∞

donde r es una de las raíces de la ecuación indicial. Además, dicha serie converge en el intervalo 0 < x – x0 < R, donde R es igual a la distancia de x0 al punto singular más cercano. (Teorema de Frobenius).

Las series de la forma anterior se llaman Series de Frobenius, y el mé-todo de cálculo de las mismas Método de Frobenius.

4. Ecuación de Bessel

Se llama ecuación de Bessel de orden p (número real no negativo) a laecuación diferencial

x y xy x p y 02 2 2( )′′ + ′ + − = (6.2)


5. Funciones de Bessel

Las funciones:

J x

x

n n pJ x

x

n n p

12

! 1;

12

! 1p

nn p

np

nn p

n

2

0

2

0∑ ∑( ) ( )( )

( )( )

( )=

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Γ + +=

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Γ − +

+

=

∞

−

−

=

∞

(6.3)

en donde es la función gamma de Euler, son ambas solución de la ecua-ción de Bessel, y se llaman funciones de Bessel de primera especie de orden p en el primer caso, y de orden –p en el segundo.

6. Solución general de la ecuación de Bessel en términos de las funcionesde Bessel

Si p no es un número entero las dos funciones anteriores (6.3) son li-nealmente independientes. En este caso, la solución general de la ecuación de Bessel (6.2) es

y C J x C J xp p1 2( ) ( )= + −

Si p es un número entero, las funciones Jp(x), J–p(x) son linealmente de-pendientes, verificándose la siguiente relación

J x J x1pp

p( ) ( ) ( )= −−

por lo que hay que buscar otra solución para hallar la solución general. La forma habitual de hacerlo es mediante la llamada Función de Newman

N xJ x p J x

p

cos

senpp p( )

( )( ) ( ) ( )=

π −π

−

que aunque no existe si p es un número entero, si lo hace el límite Y x N xlimp q p q( ) ( )=

→ con q no entero. La función Yp(x) así definida es también


solución de la ecuación y linealmente independiente con Jp(x). Esta Yp(x) se llama Función de Bessel de segunda especie de orden p.

En este caso, la solución general de la ecuación de Bessel es

y C J x C Y xp p1 2( ) ( )= +

7. Expresión general y solución de la ecuación de Bessel

En la práctica, la ecuación de Bessel se presenta en la forma

x y xy k x p y 02 2 2 2( )′′ + ′ + − = (6.4)

que se reduce a la anterior (6.2) mediante el cambio de variable kx = t.

La solución general en este caso viene dada por:

a) Si p no es un número entero

y C J kx C J kxp p1 2( ) ( )= + −

b) Si p es un número entero

y C J kx C Y kxp p1 2( ) ( )= +


6.1. En la siguiente expresión sumatoria,

na x a x2 0nn

nn

nn

1

01∑∑ + =−

=

∞

=

∞

encuéntrese una ley de recurrencia que relacione el coeficiente an con el primero distinto de cero.

SOLUCIÓN

Para obtener una ley de recurrencia que incluya a an se elegirá en la ex-presión sumatoria una potencia que lo contenga. Puede observarse que an se encuentra, por ejemplo, en el coeficiente de xn–1.

El coeficiente de xn–1 en toda la expresión es el siguiente:

En el primer sumatorio corresponde a la potencia xn–1 y el coeficiente es nan.

En el segundo sumatorio de la expresión, el coeficiente de la misma po-tencia xn–1 es 2an–1

Por tanto, el coeficiente de xn–1 igualado a cero es

nan + 2an 1 = 0 an =2nan 1 (n 1)

Esta es la ley de recurrencia que relaciona cada coeficiente con el ante-rior. De ella pueden deducirse todos en función de a0.


Para n 1: a1 –2a0

n 2: a2 –22

a1

22

2!a0

n 3: a3 –23

a2 –23

3!a0

an

a12

!nn

n

0( )= −

expresión que es fácil comprobar.


y y 0′′ + =

Mediante identificación de coeficientes, y suponiendo su convergencia, encuéntrese dos soluciones linealmente independientes de la forma

y a xnn

n 0∑==

∞

y con ello su solución general. Expresar dicha solución general en térmi-nos de funciones analíticas elementales.

SOLUCIÓN

La solución a buscar es de la forma y a xnn

n 0∑==

∞

, que derivando resulta

y na x y n n a x; 1nn

nn

n

n

1

1

2

2∑ ∑ ( )′ = ′′ = −−

=

∞−

=

∞

y sustituyendo la solución y sus derivadas en la ecuación, se obtiene

n n a x a x1 0nn

nn

n

n

2

2 0∑ ∑( )− + =−

=

∞

=

∞

(6.6)


Mediante identificación de coeficientes, se deduce:

Coeficiente de x0 : 2 1a2 + a0 = 0 a2 =1

2 1a0

x1 : 3 2a3 + a1 = 0 a3 =1

3 2a1

x2 : 4 3a4 + a2 = 0 a4 =1

4 3a2 =

14 3 2 1

a0

x3 : 5 4a5 + a3 = 0 a5 =1

5 4a3 =

15 4 3 2

a1

Coeficiente de

Coeficiente de

Coeficiente de

Donde puede observarse que los términos pares están relacionados en-tre sí, e igualmente los impares. De esta iteración puede deducirse una ley de recurrencia que relacione el coeficiente an con otros anteriores.

Sin embargo para conseguirla de una manera más rápida se elegirá en la expresión sumatoria general (6.6) un término que contenga el coeficien-te an. Por ejemplo el xn.

Su coeficiente es

n + 2( ) n +1( )an+2 + an = 0 an+2 =1

n + 2( ) n +1( ) an

Esta relación puede ponerse de forma equivalente haciendo n = n – 2, y se obtiene

an n

a1

1n n 2( )= −− −

que es la ley de recurrencia buscada.

Como se ha dicho, esta ley relaciona por una parte los coeficientes de índice par y por otra los de índice impar. Estas paridades pueden asegurar-se de la siguiente forma:

Para la ley que relaciona los términos de índice par, haciendo n = 2k queda

ak k

a1

2 2 1k k2 2 1( )( )= −− ( )−


y recursivamente, suponiendo a0 ≠ 0

( )( ) ( )( )( )( )= −−

=− − −

= −( ) ( )− −ak k

ak k k k

a1

2 2 11

2 2 1 2 2 2 3k k k2 2 1 2 2.....

( ) ( )= −ak

a11

2 !kk

2 0 , k (1,2, )…

De la misma forma los de índice impar. Haciendo n = 2k + 1, suponien-do a1 ≠ 0

( ) ( )= −++a

ka1

12 1 !k

k2 1 1 , k (1,2, )…

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es

y x ax x

a xx x

12! 4! 3! 5!0

2 4

1

3 5

… …( ) = − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

O expresado mediante sumatorios

y x ak

x ak

x11

2 !1

12 1 !

k

k

k k k

k0

0

21

2 1

0∑ ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −

+=

∞+

=

∞

donde a0, a1 representan constantes arbitrarias.

Para a0 = 1, a1 = 0 primero, y para a0 = 0, a1 = 1 después, se obtienen respectivamente las siguientes soluciones particulares:

y xx x

nx

y x xx x

nx

12! 4!

11

2 !

3! 5!1

12 1 !

n n

n

n n

n

1

2 42

0

2

3 52 1

0

…

…

∑

∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= − + − = −

= − + − = −+

=

∞

+

=

∞

las cuales puede comprobarse fácilmente que son linealmente indepen-dientes.


La solución y1(x) corresponde al desarrollo en serie de cos x, siendo y2(x) el desarrollo de sen x. Por lo tanto, la solución general de la ecuación en esos términos es

y C x C xcos sen1 2= + .

donde C1, C2 son constantes arbitrarias.

6.3. Determínense los puntos singulares de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x y y x y1 2 02( )− ′′ − ′ + =

b) xy x ysen 0( )′′ + =

c) xy x x y x y1 (sen ) 01( )′′ + − ′ + =−

SOLUCIÓN

a) La ecuación en la forma normalizada y P x y P x y 01 2( ) ( )′′ + ′ + = es

yx

yx

xy

21 1

02

′′ −−

′ +−

=

Los coeficientes P xx

211 ( ) = −

− ,P x

xx 12

2

( ) =− son funciones que están

definidas y son analíticas en x R, excepto en los puntos en que se anula

el denominador. Por lo tanto, todos los puntos son ordinarios excepto x = 1

que es un punto singular.

Al ser (x – 1) P1(x) = –2, (x – 1)2 P2(x) = x2(x – 1) funciones analíticas en x = 1, el punto es singular regular.

b) La ecuación en forma normalizada es

yx

xy

sen0′′ + =

donde el coeficiente xx

sen es una función analítica aunque se anule el de-

nominador en x = 0, ya que x se elimina al establecer el desarrollo en serie

de Taylor


xx x

xx x x x xsen 13! 5! 7!

13! 5!

3 5 7 2 4

… …= − + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − + −

Por lo tanto en la ecuación no existen puntos singulares.

c) La ecuación en forma normalizada es

yx

x xy

xx

y( 1)

sen0′′ +

−′ + =

El único punto singular es x = 1, ya que en P1(x) puede eliminarse x, y P2(x) es la función del apartado anterior. Además, es un punto singular re-gular, puesto que las funciones (x – 1) P1(x), (x – 1)2 P2(x) son analíticas en x = 1.

6.4. Compruébese que el punto x = 0 es un punto ordinario de la ecua-ción diferencial

y xy y 0′′ + ′ + =

y encontrar el desarrollo en serie de potencias de x de dos soluciones li-nealmente independientes, así como la solución general en las proximida-des de dicho punto.

SOLUCIÓN

El punto x = 0 es un punto ordinario, ya que en ese punto las funcio-

nes P1(x) = x, P2(x) = 1 de la ecuación, que está expresada en la forma

y P x y P x y 01 2( ) ( )′′ + ′ + = , son analíticas.

Por lo tanto, existen dos soluciones de la ecuación, linealmente inde-pendientes, expresables en la forma

y x a xnn

n 0∑( ) ==

∞

Las derivadas son:

∑( )′ = −

=

∞

y x na xnn

n

1

1

, ∑ ( )′′ = − −

=

∞

y n n a x1 nn

n

2

2


Sustituyendo la solución y sus derivadas en la ecuación se obtiene

n n a x na x a x1 0nn

nn

n

nn

n

n

2

2 1 0∑ ∑ ∑( )− + + =−

=

∞

=

∞

=

∞

Los primeros coeficientes de las potencias de x son:

De x0 : 2 1a2 + a0 = 0 a2 =12a0

De x1 : 3 2a3 + a1 + a1 = 0 a3 =13a1

De x2 : 4 3a4 + 2a2 + a2 = 0 a4 =14a2 =

14 2

a0

De x3 : 5 4a5 + 3a3 + a3 = 0 a5 =15a3 =

15 3

a1

El coeficiente de xn–2 dará la siguiente recurrencia

n n a n a a

an

a n

1 2 0

12

n n n

n n

2 2

2

( ) ( )

( )

− + − + =

= − ≥

− −

−

Esta expresión indica que para los coeficientes de índice par existe una relación recursiva en función de a0, y para los impares en función de a1.

Haciendo n = 2k se obtiene

ak

ak k

a1

21

2 2 2k k k2 2 2 2 4 …( )= − =−

=− −

que en función de a0 es

( ) ( )= −ak

a11

2 !!kk

2 0 , k (1,2,…)


Haciendo ahora n = 2k + 1 se aseguran los términos impares en fun-ción de a1

( ) ( )= −++a

ka1

12 1 !!k

k2 1 1 , k (1,2,…)

Por lo tanto, la solución general puede expresarse

y a x a a x a x a x a x a x

y ax x

a xx x

12

13

14 2

15 3

12!! 4!! 3!! 5!!

nn

n 00 1 0

21

30

41

5

0

2 4

1

3 5

…

… …

∑= = + − − +⋅

+⋅

−

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

donde a0, a1 representan constantes arbitrarias.

Dos soluciones linealmente independientes son:

yx x

nx

y xx x

nx

12!! 4!!

11

2 !!

3!! 5!!1

12 1 !!

n n

n

n n

n

1

2 42

0

2

3 52 1

0

…

…

∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

= − + − = −

= − + − = −+

=

∞

+

=

∞

6.5. En las siguientes ecuaciones diferenciales hállese la ecuación in-dicial y los exponentes de la singularidad (raíces indiciales), correspon-dientes a los puntos singulares regulares que en cada caso existan:

a) x y x x y y( 1) 4 02 ′′ + + ′ − =

b) x y x x y ysen 02 ( )′′ + ′ − =

c) x x y xy x y2 1 02( ) ( )+ ′′ − ′ + + =

SOLUCIÓN

a) La ecuación en forma normalizada es

yx

xy

xy

1 402′′ +

+′ − =


Los coeficientes P xx

x1

1 ( ) = +, P x

x4

2 2( ) = −indican que x = 0 es el único

punto singular. Al ser xP1(x) = x + 1, x2P2(x) = –4 analíticas en él, entonces x = 0 es punto singular regular.

La ecuación indicial para ese punto es

( )− + + =r r p r q1 00 0 , con ( )= =→

p xP xlim 1x0 0 1 , ( )= = −

→q x P xlim 4

x0 0

22

Ecuación indicial r2 – 4 = 0. Raíces indiciales: r = 2, r = –2.

b) La ecuación normalizada es

yx

xy

xy

sen 102′′ + ′ − =

donde x = 0 es un punto singular.

Al ser xP1(x) = sen x, x2P2(x) = –1 funciones analíticas en él, entonces x = 0 es punto singular regular.

La ecuación indicial viene dada por

( )− + + =r r p r q1 00 0 , con ( )= =→

p xP xlim 0x0 0 1 , ( )= = −

→q x P xlim 1

x0 0

22

Ecuación indicial r2 − r −1 = 0. Raíces indiciales: = ±r12

52

.

c) En este caso ( ) ( )= −+

P xx x

121 , ( ) ( )

( )=++

P xx

x x1

22 2 .

Por lo tanto x = 0, x = –2 son puntos singulares.

1. Para x = 0: ( )= = −→

p xP xlim12x0 0 1 , ( )= =

→q x P xlim

12x0 0

22 .

Ecuación indicial = ±r12

52

.

Raíces indiciales: r r1,12

.


2. Para x = –2: ( ) ( )= + =→−

p x P xlim 212x0 2 1 , ( ) ( )= + =

→−q x P xlim 2 0

x0 2

22

Ecuación indicial r r r112

0( )− + =

Raíces indiciales r r0,12

6.6. Dada la ecuación diferencial xd ydx

x xdydx

x y2 3 2 1 022

22( ) ( )+ − − + = , se pide:

a) Comprobar la singularidad del punto x = 0, y hallar la ecuación in-dicial y las raíces indiciales correspondientes.

b) Utilizando la teoría de Frobenius, encontrar el desarrollo en seriede potencias de x de dos soluciones linealmente independientes.

SOLUCIÓN

a) La ecuación en forma normalizada es

d ydx

xx

dydx

xx

y3 2

21

20

2

2 2+−

−+

=

( ) = −P x

xx

3 221 , ( ) = − +

P xx

x1

22 2

Las funciones P1(x), P2(x) no están definidas en x = 0, pero si lo están y son analíticas en ese punto

( ) = −xP x x321 , ( ) = − −x P x

x2

12

22

Por lo tanto, el punto x = 0 es singular regular.

Ecuación indicial r(r – 1) + p0r + q0 = 0, donde

( )= =→

p xP xlim32x0 0 1 , ( )= = −

→q x P xlim

12x0 0

22


Por lo tanto, la ecuación indicial y sus raíces son respectivamente

( )− + − =r r r132

12

0. Raíces: = − =r r1,12

b) Método de Frobenius. Solución a buscar

∑=∞

y x a xrn

n

0

∑( )′ = + + −∞

y r n a xnr n 1

0, ∑( )( )′′ = + − + + −

∞

y r n r n a x1 nr n 2

0

Sustituyendo en la ecuación queda

r n r n a x r n a x r n a x

a x a x

2 1 3 2

0

nr n

nr n

nr n

nn r

nr n

0

1

00

1

0 0

∑ ∑∑

∑ ∑

( )( ) ( ) ( )+ − + + + − + −

− − =

+ +∞

+ +∞∞

+ +∞

+∞

Del coeficiente de xr+n se obtiene

( )( ) ( ) ( )

( )( )

+ − + + + − + − − − =

= + −+ + + −

− −

−

r n r n a r n a r n a a a

ar n

r n r na

2 1 3 2 1 0

2 2 12 2 1 1

n n n n n

n n

1 1

1

que será la ley de recurrencia de los coeficientes.

Para r = –1:

( )( )= −− − −

= −−

=− − −an

n na

nn n

an

a2 3

1 2 1 12 3

2 31

n n n n1 2 1 1

Suponiendo el primer coeficiente a0 ≠ 0, los restantes serán:

a a1 0 , a a a12

122 1 0 , = = ⋅a a a

13

13

123 2 0 , ... , a

na

1!n 0.

, (n≥1)

, (n≥1)


La solución correspondiente es

y x x a x a xn

x a x x x x1!

112!

13!n

n

n

n

n1

1

00

1

00

1 2 3 …∑ ∑( ) = = = + + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

=

∞−

=

∞−

Para r12

:

( )=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

=+− −a

n

n na

na

212

2 2 1

22 3n n n1 1

De la misma manera que antes, suponiendo a0 ≠ 0, se tiene

= = ⋅a a a

25

2 35!!1 0 0 , a a a

27

2 37!!2 1

2

0= = ⋅ , ... , ( )= ⋅

+a

na

2 32 3 !!n

n

0

∑ ∑( ) ( )= = ⋅+=

∞

=

∞

y x x a x a xn

x2 3

2 3 !!nn

n

nn

n2

1/2

00

1/2

0

Dos soluciones de la ecuación linealmente independientes son, por lo tanto:

y x x x x xn

x

y x x x xn

x

112!

13!

1!

12 35!!

2 37!!

2 32 3 !!

n

nn

11 2 3

21/2

22

… …

… …

( )

( ) ( )

= + + + + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= +⋅

+⋅

+ +⋅+

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

6.7. Aplíquese el método de Frobenius para encontrar el desarrollo en serie de potencias de x, de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

x x y x y y2 2 1 2 02( ) ( )− ′′ + − ′ − =

y con ello su solución general.

, (n≥1)


SOLUCIÓN

a) Ecuación en forma normalizada

( )+−−

−−

=d ydx

xx x

dydx x x

y2 12

22

02

2 2 2

( ) ( )=−−

P xx

x x2 121 2

, ( ) = −−

P xx x

222 2

Las funciones P1(x), P2(x) no están definidas en x = 0, pero sí lo están y son analíticas en ese punto xP1(x), x2P2(x):

( ) ( )=−−

xP xx

x2 1

21 , ( ) = −

−x P x

xx

22

22

Por tanto, el punto x = 0 es singular regular.


( )= = −→

p xP xlim 1x0 0 1

, ( )= =→

q x P xlim 0x0 0

22

Por tanto, la ecuación indicial y sus raíces son, respectivamente:

r(r – 1) – r = 0. Raíces: r = 0, r = 2

Método de Frobenius. Solución a buscar y x a xrn

n

0∑=∞

. Sus derivadas:

∑( )′ = + + −∞

y r n a xnr n 1

0

, ∑( )( )′′ = + − + + −∞

y r n r n a x1 nr n 2

0

Sustituyendo dicha solución y sus derivadas en la ecuación queda

x x r n r n a x x r n a x a x2 1 2 1 2 0nr n

nr n

nr n2 2 1

0 00∑ ∑∑( ) ( )( ) ( ) ( )− + − + + − + − =+ − + −∞

+∞∞


Del coeficiente de xn+r se obtiene

r n r n a r n r n a r n a r n a a

r n r n a r n r n r n a

2 1 1 2 2 1 2 0

2 1 1 1 2 2

n n n n n

n n

1 1

1

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

+ + + − + + − + + − + + − =

+ − + +⎡⎣ ⎤⎦ = + + − − + +⎡⎣ ⎤⎦

+ +

+

ar n r nr n r n

a n3 2

2 1 10n n1

( )( )( )( ) ( )=+ + − ++ − + +

≥+

Esta relación puede ponerse, haciendo n = n – 1, de esta otra forma

ar n r n

r n r na n

1 4 22 2

1n n 1

( )( )( )( ) ( )=

+ − + − ++ − +

≥−

que es una ley de recurrencia de coeficientes.

Para r = 0, dicha ley de recurrencia queda

an

na n

32

1n n 1 ( )=−

≥−

Suponiendo a0 ≠ 0 pueden obtenerse los distintos coeficientes:

Para n a a

n a a a

n a

1: –

2 : –14

14

3 : 0

1 0

2 1 0

3

Por lo tanto a4 = a5 = ... = 0

Son cero todos los coeficientes a partir de a3. La solución queda con solo los tres primeros términos

y x a x x1140

2( ) = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

que para a0 = 1 se obtiene la siguiente solución particular

y x x x1141

2( ) = − +


Si r = 2:

ann

a1

2 2n n 1( )=−+ −

Para n = 1: a1 = 0 a2 = a3 = ... = 0. Son cero todos los coeficientes ex-cepto a0.

La solución correspondiente y x x a xnn2

0∑( ) =∞

es y2(x) = a0x2.

Igual que antes, para a0 = 1 se obtiene la solución particular

y2(x) = x2

Ambas soluciones y1, y2 son linealmente independientes. La solución general de la ecuación es

y C x x C x1141

22

2= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

donde C1, C2 son constantes arbitrarias.

6.8. Dada la ecuación diferencial x y x x y y3 3 02 2( )′′ + − ′ + = , utilíceseel método de Frobenius para encontrar el desarrollo en serie de poten-cias de x de una solución particular, y comprobar que dicha solución es de la forma xne–x para un determinado número natural n que hay que de-terminar.

SOLUCIÓN

Ecuación en forma normalizada

′′ +−

′ + =yx x

xy

xy

3 30

2

2 2

( ) = −P xx

13

1, ( ) =P x

x3

2 2


Las funciones P1(x), P2(x) no están definidas en x = 0, pero si lo están y son analíticas en ese punto xP1(x), x2P2(x)

xP1(x) = x – 3 , x2P2(x) = 3

Por tanto, el punto x = 0 es singular regular.


( )= = −→

p xP xlim 3x0 0 1 , ( )= =

→q x P xlim 3

x0 0

22

Por tanto, la ecuación indicial y sus raíces son:

r(r – 1) – 3r + 3 = 0. Raíces: r = 1, r = 3

Método de Frobenius. La ecuación admite al menos una solución en la forma

y x a x a xrn

n

nn

r n

n0 0∑ ∑= ==

∞+

=

∞

Derivando se obtiene:

∑( )′ = + + −

=

∞

y r n a xnr n

n

1

0

, ∑ ( )′′ = + − + + −

=

∞

y r n r n a x( 1) nr n

n

2

0

Y la ecuación, sustituyendo dicha solución y sus derivadas, queda

r n r n a x r n a x r n a x a x( 1) 3 3 0nr n

nr n

nn

r nn

r n

nnn

1

0 000∑ ∑∑∑ ( ) ( ) ( )+ − + + + − + + =+ + +

=

∞+ +

=

∞

=

∞

=

∞

El coeficiente de xr+n es

r n r n a r n a r n a a1 1 3 3 0n n n n1( )( ) ( ) ( )+ − + + + − − + + =−

que despejando an, resulta:

ar n

a n1

31n n 1 ( )= −

+ −≥−


que es la ley de recurrencia que relaciona cada coeficiente con el ante-rior.

Para r = 3 la ley de recurrencia queda

an

a1

n n 1= − −

Los distintos coeficientes son

= −a a1 0 , = − =a a a12

122 1 0 , = − = −

⋅a a a

13

13 23 2 0 , ... ,

( )= − −−an

an

a1

=…= 11!n n

n1 0

y la solución correspondiente

y x a x a x a x a x a x x x x12!

112!

13!n

n

n

3

00

30

40

50

3 2 3… …∑( ) = = − + − = − + − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

=

∞

donde se observa que lo incluido en el paréntesis corresponde al desarrollo en serie de la función e–x. Por lo tanto la solución es

y = x3e–x

y el valor de n pedido

n = 3


xy y y x4 2 0 ( 0)′′ + ′ + = ≥

Se pide:

a) Determinar sus puntos singulares.

b) El desarrollo en serie de potencias de x de dos soluciones lineal-mente independientes, así como la solución general en términos de funcio-nes elementales.


SOLUCIÓN

a) Ecuación

yx

yx

y1

21

40′′ + ′ + =

Las funciones P xx

121 ( ) = , P x

x1

42 ( ) = están definidas y son ambas ana-

líticas en todo punto excepto x = 0 que será, por lo tanto, el único punto

singular de la ecuación. Es singular regular ya que tanto xP x121 ( ) = como

x P x x14

22 ( ) = sí son analíticas en ese punto.

b) Se utilizará el método de Frobenius. Existe al menos una soluciónde la ecuación de la forma

y x x a xrn

n

n 0∑( ) ==

∞

Derivando

y x n r a xnn r

n

1

0∑( ) ( )′ = + + −

=

∞

, y x n r n r a x1 nn r

n

2

0∑( ) ( )( )′′ = + + − + −

=

∞

y sustituyendo en la ecuación se obtiene

n r n r a x n r a x a x4 1 2 0nn r

nn

n r

nn

n r

n

1

0

1

0 0∑ ∑ ∑( )( ) ( )+ + − + + + =+ −

=

∞+ −

=

∞+

=

∞

El coeficiente an se encuentra en el del término xr+n–1

n r n r a n r a a4 1 2 0n n n 1( )( ) ( )+ + − + + + =−

de donde se deduce la ley de recurrencia de los coeficientes

an r n r

a n1

2 2 2 11n n 1( )( ) ( )= −

+ + −≥−


Ecuación indicial

r r p r q1 00 0( )− + + = , con p xP xlim120 x 0 1 ( )= =

→, q x P xlim 00 x 0

22 ( )= =

→

r r r112

0( )− + = Raíces: r = 0 , r12

Si r = 0:

Ley de recurrencia an n

a1

2 2 1n n 1( )= −− −

Para = = −

= = −⋅

=

= = −⋅

= = −

n a a

n a a a

n a a a

1:12

2:1

4 314!

3:1

6 516!

;

1 0

2 1 0

3 2 0… …

an

a11

2 !nn

0( ) ( )= −

Por lo tanto, la solución correspondiente es

y x an

x a x x1

2 !1

12!

14!

nn

n1 0

00

2 …∑( ) ( )( )=−

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

Si r12

:

Ley de recurrencia an n

a1

2 1 2n n 1( )( )= −+ −

Para n a a a

n a a a

n a a a

1:1

3 213!

2:1

5 415!

3:1

7 617!

1 0 0

2 1 0

3 2 0

= −⋅

= −

= = −⋅

=

= = −⋅

= −

an

a11

2 1 !nn

0( ) ( )= −+

, (n≥1)

, (n≥1)


La solución correspondiente

∑( ) ( )( )=−+

= − + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

=

∞y x a

nx a x x x

12 1 !

13!

15!

nn

n2 0

1/2

00

1/2 3/2 5/2 …

Por tanto, la solución general de la ecuación es

y x Cn

x Cn

x1

2 !1

2 1 !

nn

n

nn

n1

02

1/2

0∑ ∑( ) ( )

( )( )

( )=−

+−+=

∞+

=

∞

(C1,C2, valores arbitrarios).

Expresando cada sumando y1(x), y2(x) en la siguiente forma:

y x an

x an

x

y x an

x an

x

12 !

12 !

12 1 !

12 1 !

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

1 00

0

2

0

2 01/2

00

2 1

0

∑ ∑

∑ ∑

( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

=−

=−

=−+

=−+

=

∞

=

∞

+

=

∞ +

=

∞

se observa que y1 es el desarrollo en serie de xcos( ) e y2 el de xsen( ), am-

bas en el intervalo de valores x ≥ 0.

Por tanto, la solución general en términos de funciones elementales es

y C x C xcos sen1 2( ) ( )= +

6.10. Encuéntrese dos soluciones linealmente independientes desa-

rrollables en serie de potencias de x, de la ecuación diferencial

y xy py 0′′ − ′ + = ; (p R)

comprobando que si p es entero y positivo, una de las soluciones es finita.

Hállense esas soluciones para p = 2 y para p = 3.


SOLUCIÓN

El punto x = 0 es un punto ordinario. Por lo tanto, existen dos solucio-nes linealmente independientes en la forma

y x a xnn

n 0∑( ) ==

∞

Las derivadas son:

y x na xnn

n

1

1∑( )′ = −

=

∞

, y n n a x1 nn

n

2

2∑ ( )′′ = − −

=

∞


n n a x na x pa x1 0nn

nn

n

nn

n

n

2

2 1 0∑ ∑ ∑( )− − + =−

=

∞

=

∞

=

∞

El coeficiente de xn–2 es

n n a n a pa1 2 0n n n2 2( ) ( )− − − + =− −

de donde se deduce la ley de recurrencia

ap nn n

a n2

12n n 2( ) ( )= −

− +−

≥−

Los primeros coeficientes son:

Para n ap

a

n ap

a

n ap

ap p

a

n ap

ap p

a

2 :2

3 :1

3 2

4 :2

4 32

4!

5 :3

5 43 15!

2 0

3 1

4 2 0

5 3 1

( )

( )( )

= = −

= = −−⋅

= = −−⋅

=−

= = −−⋅

=− −


Como puede verse, para los índices pares existe una relación de recu-rrencia en función de a0, y para los impares en función de a1. Consideran-do ambos a0 ≠ 0, a1 ≠ 0, la solución desarrollada es

…

…

…

∑

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( ) = = + + + + + =

= − +−

−− −

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

+ −−

+− −

−− − −

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

y x a x a a x a x a x

ap

xp p

xp p p

x

a xp

xp p

xp p p

x

12!

24!

2 46!

13!

1 35!

1 3 57!

nn

n 00 1 2

23

3

02 4 6

13 5 7

Las expresiones de cada paréntesis corresponden a dos soluciones de la ecuación linealmente independientes:

( )

( )

= − +−

−

= − − +− −

−

yp

xp p

x

y xp

xp p

x

12!

24!

13!

( 1) 35!

12 4

23 5

…

…

Por lo tanto, si p es entero y positivo, una de las dos soluciones es fini-ta. Si p = par lo será y1, y si p = impar lo será y2.

Para p = 2 la solución es y = 1 – x2.

Para p = 3 la solución es y x x13

3= − .


xy y y4 0′′ + ′ − =

Se pide:

a) Encontrar el desarrollo en serie de potencias de x de una solucióny1(x) de la misma.


b) Utilizando el método de reducción de orden, encontrar los prime-ros términos de una segunda solución linealmente independiente con la primera.

SOLUCIÓN

a) Ecuación

yx

yx

y1 4

0′′ + ′ + =

Las funciones P xx1

1 ( ) = , P xx4

2 ( ) = están definidas y son ambas ana-

líticas en todo punto excepto x = 0 que, será por lo tanto, el único punto singular de la ecuación. Es singular regular ya que tanto xP1(x) = 1 como x2P2(x) = 4 sí son analíticas en ese punto.

Buscando la solución en serie de Frobenius

y x x a xrn

n

n 0∑( ) ==

∞

que derivando se obtiene

y x n r a xnn r

n

1

0∑( ) ( )′ = + + −

=

∞

, y x n r n r a x1 nn r

n

2

0∑( ) ( )( )′′ = + + − + −

=

∞

y sustituyendo en la ecuación, queda

n r n r a x n r a x a x1 4 0nn r

nn

n r

nn

n r

n

1

0

1

0 0∑ ∑ ∑( )( ) ( )+ + − + + − =+ −

=

∞+ −

=

∞+

=

∞

El coeficiente de xn+r–1 es

n r n r a n r a a1 4 0n n n 1( )( ) ( )+ + − + + − =−


de donde se deduce la ley de recurrencia

an r

a n4

1n n2 1( )( )=

+≥−

Ecuación indicial y raíces:

r r p r q1 00 0( )− + + = donde p xP xlim 10 x 0 1 ( )= =→

, q x P xlim 00 x 0

22 ( )= =

→

r r r1 0( )− + = . Raíces: r = 0

Para r = 0, la ley de recurrencia queda

an

a n4

1n n2 1 ( )= ≥−

Para

( )

( )

= =

= = = ⋅⋅

=

= = =

n a a

n a a a a

n a a a

1:41

2:42

4 42 1

4

2!

3:43

4

3!

1 0

2 2 1 2 2 0

2

2 0

3 2 2

3

2 0

an

a4

!n

n

2 0( )=

Por lo tanto, una solución de la ecuación es

y x an

x a x x4

!1 4

4

2!

nn

n1 0 2

00

2

22 …∑( )

( ) ( )= = + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

∞

El cálculo de una segunda solución linealmente independiente con la anterior es bastante laboriosa, y por ello de interés limitado. No obstante puede conseguirse mediante el método de reducción de orden efectuando el cambio de variable dependiente

y x y x v x1( ) ( ) ( )=


con lo que resulta una segunda solución y2(x) linealmente independiente con la anterior (véase ejercicio 3.15)

y x y xe

y x

P x dx

2 1

1

2

1

∫ ( )( ) ( )

( )=

∫ ( )−

donde P1(x) es el coeficiente de y de la ecuación en forma normalizada.

Para este caso, se obtiene

y x y x

x x x x

1

1 4 4169

2 12 3

2

…∫( ) ( )=

+ + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

dx

Recordando como se opera para hallar el cuadrado y el inverso de una serie de potencias de x, se pueden calcular sus primeros términos, que en este caso son

x x x x x

x xx x

1 4 4169

1 8 24

11 8 24

1 8 40

2 32

2

22

… …

……

+ + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= + + +

+ + += − + −

Por tanto, los primeros sumandos de la segunda solución serán:

y x y xx

x x dx y x x x x1

1 8 40 ln 8 202 12

12… …∫( ) ( ) ( ) ( )= − + −⎡⎣ ⎤⎦ = − + −⎡⎣ ⎤⎦

Esta segunda solución y2(x) es, como puede verse, linealmente indepen-diente con y1(x).

Por lo tanto, la solución general es

y x C y x C y x x x xln 8 201 1 2 12 …( ) ( ) ( ) ( )= + − + −⎡⎣ ⎤⎦

donde C1, C2 son valores reales arbitrarios.


6.12. Dedúzcanse las siguientes relaciones a partir de la expresión de las funciones de Bessel Jp(x), J–p(x).

a) ddx

x J x x J xpp

pp 1( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = −

b) ddx

x J x x J xpp

pp 1( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ = −− −+

SOLUCIÓN

a) La función de Bessel de primera especie es

J x

x

n n px

n n p

12

! 11

2 ! !p

nn p

n

n n p

n pn

2

0

2

20

∑ ∑( ) ( )( )( ) ( )

=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Γ + +=

−+

+

=

∞ +

+=

∞

(6.7)

donde multiplicando por xp y posteriormente derivando, se obtiene

x J xx

n n p1

2 ! !p

p

n n p

n pn

2 2

20∑ ( )( ) ( )

=−

+

+

+=

∞

ddx

x J xn p x

n n px

n n p

x

x

n n px J x

1 22 ! !

12 ! 1 !

12

!

pp

n n p

n pn

n n p

n pn

p

nn p

n

pp

2 2 1

20

2 2 1

2 10

2 1

01

∑ ∑

∑

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

⎡⎣ ⎤⎦ =− ⋅ +

⋅ ⋅ +=

−⋅ ⋅ + −

=

=− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Γ +=

+ −

+=

∞ + −

+ −=

∞

+ −

=

∞

−

b) Multiplicando por x–p la expresión (6.7) se obtiene

x J xx

n n px

n n p1

2 ! 11

2 ! !p

p

n n

n pn

n n

n pn

2

20

2

20

∑ ∑( ) ( )( ) ( ) ( )=

−⋅ Γ + +

=−⋅ ⋅ +

−+

=

∞

+=

∞


que derivando, queda

ddx

x J xn x

n n p1 2

2 ! !p

p

n n

n pn

2 1

21∑ ( )( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ =

− ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

−−

+=

∞

Esta expresión, haciendo n = n + 1 resulta

∑

∑

( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

⎡⎣ ⎤⎦ =− ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + +=

= −− ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + +

−+ +

+ +=

∞

+

+ +=

∞

ddx

x J xn x

n n p

n xn n p

1 2( 1)2 1 ! 1 !

1 2( 1)2 1 ! 1 !

pp

n n

n pn

n n

n pn

1 2 1

2 20

2 1

2 20

donde el sumatorio comienza en n = 0.

Transformándola convenientemente se obtiene

∑

∑

∑

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

⎡⎣ ⎤⎦ = −− ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + +

=

= −− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ + +=

= −− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅Γ + += −

−+

+ +=

∞

−

+ +

=

∞

−

+ +

=

∞−

+

ddx

x J xn x

n n n p

x

x

n n p

x

x

n n px J x

1 2( 1)2 2 1 ! 1 !

12

! 1 !

12

! 2

pp

n n

n pn

p

nn p

n

p

nn p

n

pp

2 1

2 10

2 1

0

2 1

01

6.13. Utilícense las funciones de Bessel para expresar la solución ge-neral de las siguientes ecuaciones:

a) x y xy x y4 4 ( 3) 02 2′′ + ′ + − =

b) yx

y y1

0′′ + ′ + =


SOLUCIÓN

a) La ecuación puede ponerse en la forma

x y xy x y14

34

02 2′′ + ′ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

que es la ecuación de Bessel (6.4) donde k12

, p3

2.

Solución general

y C J x C J x12

121 3 /2 2 3 /2

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−

b) Poniendo la ecuación en la siguiente forma

x y xy x y 02 2′′ + ′ + =

se observa que es la ecuación de Bessel de orden cero, cuya solución es

y C J x C Y x1 0 2 0( ) ( )= +


x y xy x y1 02 4( )′′ + ′ + − =

comprúebese que el cambio de variable independiente t = x2 la transforma en una ecuación de Bessel, y expresar su solución general en términos de funciones de Bessel.

SOLUCIÓN

Las derivadas de la función con el cambio de variable t = x2, son:

dydx

dydt

dtdx

xdydt

tdydt

d ydx

d dy dx

dtdtdx

td ydt

tdydt

t td ydt

dydt

2 2

/2 2 4 2

1/2

2

21/2

2

21/2 1/2

2

2

( )

= = =

= = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +−


Y sustituyendo en la ecuación primitiva queda la de Bessel

td ydt

tdydt

t y4 4 1 022

22( )+ + − =

O también

td ydt

tdydt

t y14

14

022

22+ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

de solución general

y C J t C J t12

121 1/2 2 1/2= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−

Deshaciendo el cambio resulta la solución pedida

y C J x C J x12

121 1/2

22 1/2

2= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−

CAPÍTULO 7

SISTEMAS DE ECUACIONES


En este capítulo se analizan los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y algunos de sus métodos de resolución.

1. Definiciones

Sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n es todoconjunto de m ecuaciones que contienen una variable independiente t defi-nida en un cierto intervalo de la recta real, y m funciones x1(t), x2(t), ..., xm(t) en esa misma variable, así como sus derivadas hasta el orden n.

Sistema lineal es aquel en que todas las ecuaciones son lineales res-pecto a las funciones y sus derivadas. Se llama no lineal en caso contrario.

2. Sistemas de primer orden

Un sistema de primer orden con m ecuaciones y m funciones x1(t),x2(t), ..., xm(t) en una variable independiente t, es aquel que contiene solo las derivadas de orden 1 de esas funciones.

La expresión general de un sistema de primer orden, con las ecuacio-nes resueltas respecto a la primera derivada, es:

…

…

( )

( )

=

=

dxdt

f t x x x

dxdt

f t x x x

, , , ,

, , , ,

m

m

11 1 2

22 1 2

…( )=dxdt

f t x x x, , , ,mm m1 2

(7.1)

donde f1, ..., fm son funciones conocidas, y t pertenece a un cierto intervalo I de R. Es la llamada forma normal.


Esta forma puede ponerse fácilmente en esta otra llamada forma ca-nónica o simétrica

… ……

…( ) ( ) ( )= = =dxf t x x x

dxf t x x x

dxf t x x x, , , , , , , , , , , ,m m

m

m m

1

1 1 2

2

2 1 2 1 2

3. Expresión de una ecuación diferencial ordinaria mediante un sistemade primer orden

Toda ecuación diferencial ordinaria …( )= ′ ′′ −y g t y y y y, , , , ,m m) 1) de ordenm es equivalente a un sistema normal de ecuaciones de primer orden. Para ello, en la ecuación se sustituyen las sucesivas derivadas por las siguientes funciones nuevas:

…′ = ′′ = =−−y x y x y x, , , m

m1 21)

1

obteniendose el sistema de primer orden

… …( )= = = =−−

dydt

xdxdt

xdxdt

xdx

dtg t y x x x, , , , , , , , ,m

m11

22

31

1 2 1

donde la variable independiente es t, y las funciones: y, x1, x2, ..., xm–1.


Dado el sistema (7.1) y las condiciones x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, ...,xm(t0) = xm0, ¿existe alguna solución (t) = 1(t), 2(t), ..., m(t) del sistema que cumpla esas condiciones ? Y en caso de existir, ¿es única?


Sea f una función continua en un cierto dominio de las variables, ysea el problema de Cauchy

′ =x f t x( , )i i ; x t x( )i i0 0 . ∈i m1,2,...,


Si la función f verifica las condiciones:

a) Es continua en

b) Posee derivadas parciales( ) ∂

∂∈

f t x x x

xi j m

, , ,.....,, , 1,2,.....,i m

j1 2 conti-

nuas en

Entonces existen > 0 y una única función x = (t) tales que

t( ) = f t, t( )( )t0( ) = x0

, para todo x0 x x0 +

Es decir, x = (t) es la única solución del problema de Cauchy.

6. Solución general

En el dominio en el que un sistema (7.1) cumple las condiciones delteorema de existencia y unicidad de las soluciones, se llama Solución (o Integral) general del sistema a una familia de m funciones

i = (t, C1, C2, ..., Cm), i = 1, 2, ..., m

dependientes de m constantes arbitrarias C1, C2, ..., Cm tales que:

a) Satisfacen el sistema cualesquiera que sean los valores de las cons-tantes.

b) A cada punto x0 = (x10, x20, ..., xm0) de se le puede asignar unsolo valor de las constantes de modo que el conjunto de funciones i es la única solución del sistema que satisface las condiciones iniciales

i = xi0, i = 1, 2, ..., m

7. Métodos de resolución de sistemas

a) Método de eliminación. Consiste en la eliminación, mediante de-rivaciones sucesivas, de todas las ecuaciones del sistema menos una, de modo que junto con el sistema permita eliminar todas las funciones me-


nos una también, resultando así una sola ecuación con una variable sola-mente. De la resolución de esta ecuación resulta el valor de la incógnita co-rrespondiente, la cual introducida en el sistema completa la resolución del mismo.

La aplicación de este método necesita suponer la existencia de las deri-vadas sucesivas de las funciones que intervengan, hasta las que sean nece-sarias.

b) Método de combinaciones integrables. Es también un método deeliminación que permite reducir el número de ecuaciones del sistema me-diante la resolución de las llamadas integrales primeras.

Se denomina Integral primera de un sistema de ecuaciones diferencia-les a toda relación F(t,x1,x2, ..., xn) = C que se verifique para cualquier solu-ción del sistema. Una Combinación integrable es toda ecuación tal que su solución es una integral primera del sistema.

Los sistemas que pueden expresarse en forma normal, se resuelven de manera sencilla mediante el conocimiento de integrales primeras de los mismos. Así, si en un sistema con n variables dependientes puede calcular-se un conjunto de r,(r < n) integrales primeras

F1 (t,x1,x2, ..., xn) = C1

F2 (t,x1,x2, ..., xn) = C2

Fr (t,x1,x2, ..., xn) = Cr

que sean independientes, entonces pueden expresarse de forma unívoca r variables de las n en función de las demás, las cuales introducidas en el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver, reducen el número de in-cógnitas del mismo y así simplifican su resolución.

c) Método del operador D. Es un método de eliminación utiliza-ble solo para sistemas lineales con coeficientes constantes. Se basa en las propiedades lineales del operador D, y consiste en convertir el sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema algebraico, en el que al ser simila-res las propiedades del operador D y las algebraicas, es más sencillo de re-solver.


8. Sistemas lineales

Son sistemas cuya expresión general es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′ = + + + +

′ = + + + +

′ = + + + +

x t a t x t a t x t a t x t f t



.......

.......

.......

n n

n n

n n n nn n n

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

donde se supone aquí que los coeficientes aij(t), y los términos indepen-dientes fi(t), son funciones que están definidas y son continuas en un cierto intervalo de la recta real.

Pueden expresarse en forma matricial, o vectorial X’(t)=A(t)X(t)+F(t), donde

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

X t

x t

x t

x t

A t

a t a t

a t a t

a t a t

F t

f t

f t

f t

( )

( )

( )

.

.( )

; ( )

( ) ... .... ( )

( ) ... ... ( )

... ... ... ...

... .... ... ...

( ) ... ... ( )

; ( )

( )

( )

.

.( )n

n

n

n nn n

1

2

11 1

21 2

1

1

2

El sistema X’(t) = A(t)X(t) (es decir, F(t) = 0) deducido del anterior, se llama sistema homogéneo asociado, llamándose al primitivo no homo-géneo, o completo.

9. Estructura de las soluciones de un sistema lineal homogéneo

Al ser continuas las funciones de la matriz A(t) de orden n, el conjuntode soluciones del sistema lineal homogéneo de primer orden X’(t)=A(t)X(t) tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n.

10. Sistema fundamental de soluciones de un sistema lineal homogéneo

Se llama sistema fundamental de soluciones de un sistema lineal ho-mogéneo, a toda base del espacio vectorial de soluciones del mismo.


11. Matriz fundamental de un sistema lineal homogéneo

La matriz M(t) cuyas columnas son un sistema fundamental de solucio-nes, se llama matriz fundamental.

Teorema. La condición necesaria y suficiente para que una matriz de so-luciones de un sistema lineal homogéneo sea fundamental, es que su deter-minante sea distinto de cero en algún punto del intervalo I de definición de la variable.

Esta condición permite identificar si un conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es fundamental, sin más que elegir un punto del dominio de existencia de la variable y comprobar que el determinante que tiene por columnas el conjunto en cuestión es distinto de cero. Si lo es en un punto cualquiera lo es en todos los del dominio.

12. Teorema de caracterización de matrices fundamentales

La condición necesaria y suficiente para que una matriz M(t) cualquie-ra sea matriz fundamental del sistema lineal homogéneo X’(t) = A(t)X(t), es que se verifique:

1. ( ) ( ) ( )=dM t

dtA t M t

2. ( ) ≠M t 00 en algún t0 I (I = dominio de existencia de t)

13. Solución general de un sistema lineal homogéneo

La expresión X(t) = M(t) · C, donde M(t) es una matriz fundamental, y C es una matriz de constantes, es la Solución general.

14. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes

De acuerdo con el teorema de existencia y unicidad, si la matriz A del sistema lineal homogéneo

X’(t) = AX(t), t R (7.2)


es constante, entonces para cada t0 R y para cada vector X0 Rn, dicho sistema posee solución única X(t) tal que X(t0) = X0 para todo t R.

15. Ecuación característica de un sistema lineal homogéneo

Se llama ecuación característica del sistema homogéneo (7.2), a la ex-presión dada por el determinante

− =A kI 0

donde I es la matriz unidad del mismo orden que A.

Las raíces de la ecuación característica del sistema son los valores pro-pios de A. Los valores propios determinan la forma de las soluciones del sistema.

16. Cálculo de la solución general de un sistema lineal homogéneo decoeficientes constantes

Para integrar el sistema homogéneo (7.2), se procede de manera análo-ga a como se hizo en el caso de las ecuaciones lineales de orden n, esto es, se obtiene un sistema fundamental de soluciones X1(t), X2(t), ..., Xn(t). de modo que el conjunto

X(t) = C1 X1(t) + C2 X2(t) + ... + Cn Xn(t)

es su solución general.

Las soluciones son de la forma X = Uekt, donde k es un valor propio de la matriz A, y U su vector propio asociado. Para cada vector propio U aso-ciado a k se obtiene una solución del sistema.

1. Valores propios reales y distintos. Si las raíces k1, k2, ..., kn,de laecuación característica son reales y distintas, se obtienen n soluciones in-dependientes:

X U ek t1 1

1

, X U ek t

2 22

, ... , X U en n

k tn


ya que lo son los vectores propios Ui hallados. La matriz que tiene por co-lumnas esas soluciones será una matriz fundamental del sistema.

2. Valores propios complejos. Si la ecuación característica tiene raí-ces complejas, los vectores propios correspondientes generalmente lo son también y con ello las soluciones respectivas. Para obtener soluciones rea-les se aplicará la siguiente propiedad

Si un sistema lineal homogéneo con coeficientes reales tiene una solución compleja, las partes real e imaginaria son soluciones también.

3. Valores propios múltiples.

Si la ecuación característica posee valores propios repetidos, sean estos reales o complejos, la forma de proceder es la misma, siempre y cuando el espacio de vectores propios asociado tenga una dimensión igual al orden de multiplicidad de ese valor propio, ya que entonces se encontrarán vec-tores propios independientes, y con ello soluciones independientes tam-bién, suficientes para formar la matriz fundamental.

Si no es así, es decir, si al valor propio k repetido p veces le corres-ponde un espacio de vectores propios de dimensión r, menor que p, no se encontrarán suficiente soluciones, y habrá que buscar las p-r que faltan para completar el sistema fundamental. Los casos donde se puede encon-trar esta situación, para matrices de segundo o tercer orden, son los si-guientes:

a) p = 2, r = 1 (Valor propio k con multiplicidad 2, y su espacio de vec-tores propios de dimensión 1)

Una solución es: X1 = Uekt (U = vector propio asociado a k)

Una segunda solución es

X2 = (Ut + V) ekt (7.3)

donde V es un vector que verifica

( )( )

− =

− =

A kI U

A kI V U

0

(7.4)


o equivalentemente

( ) ( )− = − ≠A kI V A kI V0 , 02 (7.5)

b) p = 3, r = 1 (Valor propio k con multiplicidad 3, y su espacio de vec-tores propios de dimensión 1)

Tres soluciones son:

( )( )

( )

=

= +

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

X t Ue

X t Ut V e

X t Ut Vt W e

( )

12

kt

kt

kt

1

2

32

(7.6)

donde U, V, W son vectores que verifican:

( )( )( )

− =

− =

− =

A kI U

A kI V U

A kI W V

0

(7.7)

c) p = 3, r = 2 (Valor propio k con multiplicidad 3, y su espacio de vec-tores propios de dimensión 2)

Dos soluciones son: X1(t) = U1ekt, X2(t) = U2ekt, donde U1, U2 son dos vec-tores linealmente independientes del espacio de vectores propios asociado a k.

La tercera solución es

X3 (t) = (Ut + V) ekt

donde U es un vector propio cualquiera (una combinación lineal de U1, U2, y V es un vector que cumple

(A – kI) V = U

17. Sistemas lineales no homogéneos

La solución general de un sistema lineal no homogéneo X’(t) = A(t)X(t) + F(t) es la suma de una solución particular suya, y la solución general del sistema homogéneo asociado.


Algunos de los métodos para hallar la solución particular del sistema no homogéneo son:

a) Método de variación de las constantes. Consiste en la búsquedade una solución particular de la misma forma que la solución general del sistema homogéneo asociado, pero suponiendo que la constante que inter-viene es variable.

Si la solución general del sistema homogéneo es X(t) =M(t)C, donde M(t) es una matriz fundamental, se busca una solución particular del siste-ma no homogéneo de la forma

Xp(t) =M(t)C (t)

donde, como se observa, se ha hecho C función vectorial C(t), que hay que calcular.

Sustituyendo dicha solución particular en la ecuación completa, recor-dando que M(t) es una matriz fundamental del sistema homogéneo, y por ello se verifica tanto que M’(t)=A(t)M(t) como que existe la matriz inversa M–1(t), se obtiene la solución buscada

∫( ) ( ) ( ) ( )= −X t M t M t F t dtp1 (7.8)

b) Método de los coeficientes indeterminados. Es un método aná-logo al estudiado en las ecuaciones lineales, y como allí, debe restringirse a los sistemas lineales de coeficientes constantes. Consiste en el ensayo de soluciones particulares del mismo tipo al que figura en el término no ho-mogéneo, y con las mismas restricciones que se contemplaban en las ecua-ciones lineales.

c) Método de la Transformada de Laplace. De la misma forma queen las ecuaciones lineales puede utilizarse la transformada de Laplace para resolver sistemas lineales con condiciones iniciales. Consiste en to-mar la transformada de Laplace en cada ecuación, para obtener un siste-ma lineal de ecuaciones algebraicas en las que las incógnitas son ahora las transformadas de Laplace. Resolviendo ese sistema algebraico y hallando las transformadas inversas correspondientes, resultará la solución del sis-tema pedida.


7.1. Encuéntrese un sistema de ecuaciones que sea expresión diferen-cial de la familia de curvas

( )= +x C t Ccos1 2 , ( )= − +y C t Csen1 2

SOLUCIÓN

a) Derivando ambas ecuaciones respecto a t, se obtiene

( )= − +dxdt

C t Csen1 2 ; ( )= − +dydt

C t Ccos1 2

Eliminando C1, C2 entre las ecuaciones del sistema y sus derivadas, re-sulta el sistema pedido

= = −dxdt

ydydt

x,

7.2. Transfórmese cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes en un sistema equivalente de ecuaciones de primer orden. (las derivadas son respecto a t)

a) + + =y y y t''' 3 ' 7 2

b) ( )= +y t y'' '3 2

c) ( )+ + =y y y t y''' '' 'iv 2 2


SOLUCIÓN

a) Expresando la ecuación en la forma y g t y y y( , , ', '')m) se tiene

= − − +y y y t''' 3 ' 7 2

haciendo y' = x1, y'' = x2, y sustituyendo en la ecuación se obtiene el sistema de primer orden

dydt

x1 , dxdt

x12 , = − − +dx

dtx y t3 72

12

donde t es la variable independiente, y las funciones son: y, x1, x2.

b) Mediante la sustitución y' = x1, la ecuación es equivalente al sistemade primer orden con dos ecuaciones:

dydt

x1 , ( )= +dxdt

x t11

2 3

donde las funciones son: y, x1.

c) Ecuación ( )= − − +y y y t y''' '' 'iv 2 2

Efectuando las sustituciones, y' = x1, y'' = x2, y''' = x3, resulta el sistema

dydt

xdxdt

xdxdt

xdxdt

x x t x, , ,11

22

33

3 22

1

2( )= = = = − − +

7.3. Resuélvase por el método de eliminación el sistema lineal homo-géneo siguiente

= +

= − −

dxdt

x x

dxdt

x x

4

6

11 2

21 2

SOLUCIÓN

Derivando respecto a t en la primera ecuación del sistema, se tiene

= +d xdt

dxdt

dxdt

42

12

1 2


y sustituyendo la segunda ecuación

= − −d xdt

dxdt

x x4 62

12

11 2

Por último, sustituyendo el valor de x2 obtenido de la primera ecuación del sistema, resulta la siguiente ecuación lineal homogénea de segundo or-den en x1

− + =d xdt

dxdt

x3 2 02

12

11

que se resuelve.


k2 – 3k + 2 = 0. Raíces: k = 1, k = 2

Solución general

= +x C e C et t1 1 2

2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación del sistema queda

= − = − −xdxdt

x C e C e4 3 2t t2

11 1 2

2


= +

= − −

x C e C e

x C e C e3 2

t t

t t

1 1 22

2 1 22

7.4. Resuélvase por el método de eliminación el sistema lineal no ho-mogéneo

= − +

= + +

dxdt

x x

dxdt

x x t

2

5 2 9

11 2

21 2


SOLUCIÓN

Derivando respecto a t en la primera ecuación del sistema, se tiene

= − +d xdt

dxdt

dxdt

22

12

1 2

Sustituyendo en esta expresión las dos ecuaciones, resulta la ecuación lineal de segundo orden no homogénea

− =d xdt

x t9 92

12 1 (7.9)

que se resuelve.


− =d xdt

x9 02

12 1

Su ecuación característica y raíces son

k2 – 9 = 0. Raíces: k = 3, k = –3

Su solución general

= + −x C e C et t1 1

32

3 .

Utilizando el método de selección, una solución particular de la ecua-ción no homogénea es de la forma

x1p = At+B

que al sustituirla en la ecuación se obtiene A = –1, B = 0 y con ello

x1p = –t.


Por lo tanto, la solución general de (7.9) es

= + −−x C e C e tt t1 1

32

3

Sustituyendo este valor en la primera ecuación del sistema, resulta

= + = − − −−xdxdt

x C e C e t2 5 2 1t t2

11 1

32

3

Por tanto, la solución general del sistema es

= + −

= − − −

−

−

x C e C e t

x C e C e t5 2 1

t t

t t

1 13

23

2 13

23

7.5. Resuélvase el siguiente sistema, reduciéndolo previamente a una ecuación equivalente de mayor orden.

dxdt

x12 ;

dxdt

x23 ;

dxdt t

x tx t x1

2 233 1 2

23( )= − + −

SOLUCIÓN

Las variables x2, x3 expresadas en función de x1 son

xdxdt2

1 ; xdxdt

d xdt3

22

12

(7.10)

que al sustituirlas en la tercera ecuación del sistema, resulta la siguiente ecuación equivalente a dicho sistema

+ − + =td xdt

td xdt

tdxdt

x2 2 033

13

22

12

11 (7.11)


Esta es una ecuación de Euler que se resuelve efectuando el cambio de variable independiente t = ev (ver cap. 4), cuyas derivadas son:

= =

=ν

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dxdt

dxdv

dvdt t

dxdv

d xdt

ddt t

dxd t

d xdv

dxdv

d xdt

ddt t

d xdv

dxdv t

d xdv

d xdv

dxdv

1

1 1

1 13 2

1 1 1

21

21

2

21

21

31

3 2

21

21

3

31

3

21

21

Sustituyendo estas expresiones en (7.11), queda la siguiente ecuación de coeficientes constantes

ν−

ν−

ν+ =d x

dd xd

dxd

x2 2 03

13

21

21

1

de ecuación característica r3 – 2r2 – r + 2 = 0, y raíces: r1 = 1, r2 = –1, r3 = 2.

Su solución general es

= + +−x C e C e C ev v v1 1 2 3

2

y deshaciendo el cambio efectuado

= + +−x C t C t C t1 1 21

32

Sustituyendo en las expresiones (7.10) este valor de x1, se obtienen las otras variables.

Por lo tanto, la solución general del sistema es

= + +

= − +

= +

−

−

−

x C t C t C t

x C C t C t

x C t C

2

2 2

1 1 21

32

2 1 22

3

3 23

3


7.6. Resuélvanse mediante el método de combinaciones integrables, los siguientes sistemas:

a)dxdt

xdxdt

x,12

21

b) = + = + +dxdt

x xdxdt

x x e, t11 2

21 2

SOLUCIÓN

a) Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se obtiene la si-guiente combinación integrable

+ = +dxdt

dxdt

x x1 21 2

que puesta en la forma

+ = +d x xdt

x x( )1 2

1 2

se observa que es una ecuación lineal de variable dependiente (x1 + x2). Su solución

x1 + x2 = c1 et

proporciona una integral primera del sistema.

De la misma forma, restando ahora ambas ecuaciones del sistema ini-cial, resulta

dx1

dtdx2

dt= x2 x1

d(x1 x2 )dt

= (x1 x2 ) x1 x2 = c2et

que es otra integral primera independiente de la anterior. Ambas determi-nan la solución general pedida, que es

= +

= −

−

−

x C e C e

x C e C e

t t

t t

1 1 2

2 1 2

donde se ha llamado C1 = c1/2, C2 = c2/2.


b) Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones queda la combi-nación integrable

dx1

dt+ dx2

dt= 2(x1 + x2 )+ et d(x1 + x2 )

dt= 2(x1 + x2 )+ et

que es una ecuación lineal no homogénea de variable (x1 + x2), que se re-suelve.


+ = +d x xdt

x x( )

2( )1 21 2

Solución general x1 + x2 = c1 e2t

La solución particular de la ecuación completa se busca en la forma

(x1 + x2) = Aet

que mediante la sustitución oportuna se obtiene

Aet = 2 Aet + et A = –1.

Solución particular (x1 + x2) = –et

Por lo tanto, una integral primera es

x1 + x2 = c1 e2t – et

Restando ahora las dos ecuaciones del sistema, resulta

d(x1 x2 )dt

= et x1 x2 = et + c2

que es otra integral primera independiente de la anterior. Ambas determi-nan la solución general, que mediante una redefinición de las constantes es:

= + −

= −

x C e C e

x C e C

t t

t

1 12

2

2 12

2


7.7. Aplíquense las propiedades del operador D para encontrar la so-lución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ( )( )

− + =

+ − =

Dx D x

x D x e

1 0

1 t

1 2

1 22

b)

( )= − +

− + =

D x x t

D x Dx t3 2

21 2

1 22

c) = +

= +

D x x

D x x t

121 2

22 1

SOLUCIÓN

a) Aplicando el operador D a la segunda ecuación, queda

( )( )

− + =

+ − = =

Dx D x

Dx D D x De e

1 0

1 2t t

1 2

1 22 2

Restando la primera ecuación de la segunda, y aplicando las propieda-des lineales del operador D, resulta

D D 1( )+ D +1( ) x2 = 2e2t D2 +1( )x2 = 2e2t

que es una ecuación lineal no homogénea, de la que se halla la solución ge-neral.

La ecuación homogénea asociada es (D2 + 1)x2 = 0. Las raíces de (D2 + 1) = 0 son D = ±i. Su solución general es x2 = C1 cos t + C2 sen t.

Se busca la solución particular de la no homogénea en la forma (x2)p = Ae2t. Por lo tanto D(x2)p = 2Ae2t, D2(x2)p = 4Ae2t, lo que sustituido en la ecuación no homogénea e identificando coeficientes, resulta

( ) =x e25p

t2

2


Por lo tanto, la solución general de la ecuación completa es

= + +x C t C t ecos sen25

t2 1 2

2

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación del sistema primitivo,

resulta

x e D x1t1

22( )= − − , x e D C t C t e1 cos sen

25

t t1

21 2

2( )= − − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x C t t C t t e(cos sen ) (sen cos )35

t1 1 2

2= + + − +


= + + − +

= + +

x C t t C t t e

x C t C t e

(cos sen ) (sen cos )35

cos sen25

t

t

1 1 22

2 1 22

b) Aplicando el operador D a la primera ecuación, el sistema queda

( )+ =

− + =

D x Dx

D x Dx t

1

3 2

31 2

1 22

y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene

− +⎡⎣ ⎤⎦ = −D D x t3 2 131

2

que es una ecuación de orden 3, cuya solución general tendrá en este caso

tres constantes arbitrarias.


( )− + =D D x3 2 031


Las raíces de (D3 – 3D + 2) = 0 son D = –2, y D = 1 doble. Su solución general es

= + + −x C e C te C et t t1 1 2 3

2

La solución particular de la completa se busca en la forma

( ) = + +x At Bt Cp1

2

con lo cual

D x At B2p1( ) = + , D x A2

p2

1( ) = , D x 0p

31( ) =

y sustituyendo en la ecuación completa resulta

( ) = − − −x t t12

32

74p1

2

Por tanto

= + + − − −−x C e C te C e t t12

32

74

t t t1 1 2 3

2 2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación del sistema inicial, se obtiene x2, resultando

= − + + − + +−x C C C t e C e t( 2 ) 4 1t t2 1 2 2 3

2


= + + − − −

= − + + − + +

−

−

x C e C te C e t t

x C C C t e C e t

12

32

74

( 2 ) 4 1

t t t

t t

1 1 2 32 2

2 1 2 2 32

c) Sumando ambas ecuaciones y aplicando las propiedades del opera-dor D, se tiene

D2 x1 + x2( ) = x1 + x2 + t +1 (D2 1) x1 + x2( ) = t +1


que es una ecuación lineal no homogénea de segundo orden en la variable (x1 + x2).

La solución general de la homogénea asociada es

x1 + x2 = c1et + c2e

t

La solución particular de la ecuación completa se busca en la forma

(x1 + x2)p = At + B

que al sustituir en la ecuación e identificar coeficientes, resulta

(x1 + x2)p = –t – 1

Por tanto, la solución de la ecuación no homogénea es

+ = + − −−x x c e c e t 1t t1 2 1 2 (7.12)

Restando las dos ecuaciones del sistema inicial, se obtiene

( )+ − = −D x x t( 1) 121 2

que es una ecuación lineal no homogénea en la variable (x1 – x2).

La solución general de la homogénea asociada es

− = +x x c t c tcos sen1 2 3 4

Se busca la solución particular de la ecuación completa en la forma

(x1 – x2)p = At + B

que al sustituir en la ecuación e identificar coeficientes, queda

(x1 – x2)p = 1 – t


− = + + −x x c t c t tcos sen 11 2 3 4 (7.13)


Despejando x1, x2 entre (7.12) y (7.13), y redefiniendo las constantes, re-sulta la solución general del sistema

= + + + −

= + − − −

−

−

x C e C e C t C t t

x C e C e C t C t

cos sen

cos sen 1

t t

t t

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

7.8. Exprésese en notación operacional y posteriormente, aplican-do las propiedades del operador D, resuélvase el siguiente sistema, donde m = cte., (m 0).

( )′ − − =

′ + − − =

x x x e

x m x x

3

1 0

t1 1 2

2

22

1 2

SOLUCIÓN

El sistema expresado en notación operacional es

( ) ( )− − =

− + − =

D x x e

m x D x

( 3)

1 1 0

t1 2

2

21 2

Aplicando el operador (D – 1) a la primera ecuación, queda

( ) ( )( )

− − − − = −

− + − =

D D x D x D e

m x D x

( 1) ( 3) 1 1

(1 ) 1 0

t1 2

2

21 2

Sumando las dos ecuaciones y utilizando convenientemente las propie-dades del operador D, resulta la siguiente ecuación lineal no homogénea

D2 4D + 3( ) x1 + 1 m2( )x1 = 2e2t e2t D2 4D + 4 m2( ) x1 = e2t

La ecuación homogénea asociada es (D2 – 4D + 4 – m2) x1 = 0. Las raí-ces de D2 – 4D + 4 – m2 son 2 ± m, con lo que su solución general es

= +( ) ( )+ −x C e C em t m t1 1

22

2


Solución particular de la no homogénea

( ) =x Aep

t1

2

Sus derivadas

D x Ae2p

t1

2( ) = , D x Ae4p

t21

2( ) =

Sustituyendo en la ecuación completa resulta = −Am1

2 , y la solución particular

( ) = −xm

e1

pt

1 22

Por tanto, la solución general de la homogénea es

= + −( ) ( )+ −x C e C em

e1m t m t t

1 12

22

22

Sustituyendo este resultado en la primera ecuación del sistema inicial expresada en la forma

( )= − −x D x e3 t2 1

2

resulta

( ) ( )= − + − − + −( ) ( )+ −x C m e C m em

me1 1

1m t m t t2 1

22

22

22

Ambos valores de x1, x2 hallados definen la solución general pedida

( ) ( )

= + −

= − + − − + −

( ) ( )

( ) ( )

+ −

+ −

x C e C em

e

x C m e C m em

me

1

1 11

m t m t t

m t m t t

1 12

22

22

2 12

22

2

22


7.9. En el sistema lineal

= + = +dxdt

x xdxdt

x x3 4 , 211 2

21 2

se pide:

a) Comprobar que cada una de las dos familias de funciones

1 t( ) = e5t ,12e5t , 2 t( ) = e t , e t

donde t R, son solución del sistema.

b) Comprobar que la matriz M(t) cuyas columnas son 1, 2 es unamatriz fundamental.

c) Expresar en forma matricial la solución general y determinar la so-lución particular (t) que verifica las condiciones iniciales (0) = x1(0), x2(0) = 1, 2. Aplicar el teorema de existencia y unicidad para comprobar que esta solución es única, determinando el intervalo de definición de la misma.

SOLUCIÓN

a) Por simple sustitución puede comprobarse que ambas familias

son solución del sistema. Así, para 1 = e5t ,12e5t , sustituyendo x1 = e5t,

x e12

t2

5 se comprueba que lo verifica. Igual con 2.

b) Matriz M(t) de soluciones

( ) =−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

−M te e

e e12

t t

t t

5

5

Una condición necesaria y suficiente para que una matriz de soluciones de un sistema lineal homogéneo sea matriz fundamental del mismo es que


su determinante sea distinto de cero en algún punto del intervalo de defi-nición de t.

( ) = − ≠M t e32

0t4 para todo t R

Por lo tanto M(t) es una matriz fundamental del sistema.

c) Solución general

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−

x

x

e e

e e

C

C12

t t

t t

1

2

5

5

1

2

Aplicando las condiciones iniciales, resulta

x1 0( )x2 0( )

=1 112

1

C1

C2

= 12

C1 = 2,C2 = 1

La solución particular pedida es

t( ) = 2e5t e t , e5t + e t

El sistema es de coeficientes constantes. La solución definida para cualquier par de constantes C1, C2 de la solución general es única para todo t R.

7.10.

a) Compruébese que las funciones vectoriales 1 t( ) = t0

, 2 t( ) = et

0son linealmente independientes.

b) ¿Existe un sistema lineal X’ = A(t)X, donde A(t) es una matriz defunciones continuas, que tenga a 1(t), 2(t) como soluciones del mismo?


SOLUCIÓN

a) Ambas funciones son linealmente independientes, ya que

1 1 + 2 2 = 0, 1t0

+ 2et

0= 0

0 1 = 2 = 0

b) Para que la matriz de soluciones sea matriz fundamental de unsistema lineal de coeficientes continuos, ha de ser no nulo su determi-nante.

Al ser t e0 0

0t

para todo t R, no existe un sistema de la forma

X’ = A(t)X con A(t) continua del cual son 1, 2 soluciones.

7.11. Sea el sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales X’ = A(t)X donde las funciones aij(t) que componen la matriz A(t) están de-finidas y son continuas en un cierto intervalo I de R. Compruébese que:

a) Si M(t) es una matriz fundamental del sistema, también lo es M(t)Cdonde C es una matriz constante no singular del mismo orden.

b) Si M1(t), M2(t) son matrices fundamentales del sistema, existe unamatriz C de números reales no singular, tal que M2(t) = M1(t) C en todo punto del intervalo en el que M1(t) y M2(t) son no singulares.

SOLUCIÓN

a) Si M(t) es una matriz fundamental del sistema X’ = A(t)X definidaen I de R, entonces (teorema de caracterización de matrices fundamenta-les):

1. ( ) ( ) ( )=dM t

dtA t M t

2. ( ) ≠M t 00 para t0 I


Pero estas condiciones también se verifican para M(t)C. En efecto:

1.( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =

d M t C

dtdM t

dtC A t M t C A t M t C

2. ( ) ( )= ≠M t C M t C 00 0 para t I, al ser no singular la matriz C.

Por lo tanto, también la matriz M(t)C es matriz fundamental del siste-ma.

b) Si M1(t), M2(t) son matrices fundamentales definidas para t I, en-tonces en cualquier t0 I sus determinantes respectivos son:

( ) ≠M t 01 0 , y ( ) ≠M t 02 0

Es decir, ambas matrices son no singulares. Por esa razón, existen las matrices

( )( ) −M t1 0

1, y ( )( ) −

M t2 0

1

inversas, respectivamente, de cada una de ellas, y estas también son no singulares, es decir:

( )( ) ≠−

M t 01 0

1

, y ( )( ) ≠−

M t 01 0

1

Sea ahora C la matriz producto

( )( ) ( )=−

C M t M t1 0

1

2 0

que será no singular al no ser singular ninguna de las del producto.

Ahora bien, por el apartado a) M1(t)C es matriz fundamental al serlo M1(t), y se cumple

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⎡⎣

⎤⎦ =

−M t C M t M t M t M t1 0 1 0 1 0

1

2 0 2 0


cualquiera que sea t0 del dominio de t en el que M1(t0), M2(t0) sean no sin-gulares. Por lo tanto M2(t) = M1(t)C en todo punto del intervalo en el que M1(t) y M2(t) son no singulares.

7.12. Sea el sistema lineal homogéneo X’ = A(t)X, donde las funciones aij(t) que componen la matriz A(t) están definidas y son continuas en un cierto intervalo I de R. Sea M(t) una matriz fundamental, y sea C una ma-triz de números reales, no singular y del mismo orden que M(t).

Compruébese que es condición suficiente que se verifique la condición

CA(t) = A(t)C

para que CM(t) sea también una matriz fundamental del sistema.

SOLUCIÓN

Para que CM(t) sea matriz fundamental de X’ = A(t)X, ha de cumplirse:

1.( ) ( )( ) ( ) ( )=

d CM t

dtA t CM t

2. ( ) ≠C M t 00 para t0 I

La condición 2 es evidente, ya que si M(t) es matriz fundamental, en-tonces ( ) ≠M t 00 para t0 I, y al ser C no singular, también es

( ) ( )= ≠CM t C M t 00 0 para t0 I

En cuanto a la condición 1, si M(t) es matriz fundamental del sistema, entonces

( ) ( ) ( )=dM t

dtA t M t

Multiplicando el segundo miembro por C–1C, ya que existe la matriz in-versa C–1 al ser C no singular, y operando convenientemente, recordando que C es constante, se tiene


dM t( )dt

= C 1CA t( )M t( ) CdM t( )dt

= CA t( )M t( ) d CM T( )( )dt

= CA t( )M t( )

Por lo tanto, para que se cumpla la condición 1 es suficiente que se ve-rifique

( ) ( )=CA t A t C

ya que en ese caso

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =d CM T

dtCA t M t A t CM t

7.13. En el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales:

( ) ( ) ( )= +X t A X t F t' , con =−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A 0 2

1 3, ( ) =

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

F te

e

t

t

se pide:

a) Una matriz fundamental M(t) del sistema homogéneo asociado.

b) Comprobar que una solución particular del sistema completo es

∫( ) ( ) ( ) ( )= −X t M t M t F t dtp1 (Método de variación de las constantes)

c) Obtener por el método anterior dicha solución particular, y con ellala solución general del sistema.

SOLUCIÓN

a) Ecuación característica y valores propios del sistema homogéneoasociado:

− = −− −

= − + =A kI kk

k k21 3

3 2 02 . Valores propios k = 1, k = 2


Vectores propios y soluciones correspondiente a cada uno de ellos:

Para k = 1:

A 1I( )U = 0 1 21 2

1

2

= 0, 1 + 2 2 = 0

Haciendo, por ejemplo 2 = 1, se obtiene el vector propio =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟U 2

11

Solución correspondiente =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟X e2

1t

1

Para k = 2:

A 2I( )U = 0 2 21 1

1

2

= 0, 1 + 2 = 0

De la misma forma, haciendo 2 = 1, se obtiene =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟U 1

12 .

Solución =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X e1

1t

22

Ambas soluciones son linealmente independientes. Una matriz funda-mental es

( ) =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟M t e e

e e

2 t t

t t

2

2

y, por lo tanto, la solución general del sistema homogéneo

( ) =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

X t e e

e e

C

C2 t t

t t

2

2

1

2

(7.14)

b) Se buscará una solución particular Xp(t) del sistema no homogéneoen la forma

( ) ( ) ( )=X t M t C tp (7.15)

donde se hallará C(t) obligando a que verifique dicho sistema completo.


Derivando la expresión (7.15) y sustituyéndola junto con su derivada en la ecuación completa, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= +

+ = ⎡⎣ ⎤⎦ +

X t M t C t M t C t

M t C t M t C t A t M t C t F t

' ' '

' '

p

Como M(t) es una matriz fundamental del sistema homogéneo, es M'(t) = A(t) M(t), y la igualdad anterior queda

( ) ( ) ( )=M t C t F t'

Multiplicando ahora por M(t)–1, ya que M(t) es no singular, resulta

( ) ( ) ( )= −C t M t F t' 1

e integrando

∫( ) ( ) ( )= +−C t M t F t dt K1

Haciendo K = 0, ya que se necesita una sola solución particular, esta es, por lo tanto

∫( ) ( ) ( ) ( )= −X t M t M t F t dtp1

c) Hallando cada matriz en el caso particular indicado, se obtiene

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

++

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−− −

− −

−− −

− − −

−

− − −

M t e e

e eM t F t e e

e e

e

e e

M t F t dte

dtt

eX t e e

e e

t

ett

e

2,

2

23

23

23

, 2 23

4 32 3

t t

t t

t t

t t

t

t t

t t p

t t

t t tt

1

2 2

1

2 2

12

2

La solución general del sistema completo es la del sistema homogéneo (7.14), más la solución particular hallada.


( ) =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+ +

+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X t e e

e e

C

Ctt

e2 4 32 3

t t

t t

t2

2

1

2

7.14. Dado el sistema de ecuaciones diferenciales X' = AX + F, donde

( )( )

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

−

−X

x t

y tX

dxdtdydt

A F e

et R, ' , 1 1

1 3, ,

t

t

se pide:

a) Comprobar que la matriz ( ) =− − −

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟M t t

te1

1 1t2 es una matriz fun-

damental del sistema homogéneo asociado.

b) Su solución general.

SOLUCIÓN

a) M(t) es una matriz fundamental del sistema X' = AX si, y solo si:

1.

( ) ( ) ( )=dM t

dtA t M t

2. ( ) ≠M t 00 en algún t0 R

En efecto:

1.( )

( ) ( )

=+

− − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ − − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= +

− − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

dM tdt

tt

e

A t M t tt

e tt

e

2 2 12 2 3

1 11 3

11 1

2 2 12 2 3

t

t t

2

2 2

2. ( ) ( )=− − −

= − ≠M te te

e t ee

10

t t

t tt

2 2

2 24 para todo t R.


b) Al ser M(t) matriz fundamental del sistema homogéneo asociado, susolución general es

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

− − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x t

y tt

te

C

C11 1

t2 1

2

La solución particular del sistema completo se buscará en la forma

( ) =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−X t

A e

B ep

t

t con A, B constantes.

c) Sustituyendo en X' = AX + F e identificando coeficientes, resulta

Ae t

B e t= 1 1

1 3

Ae t

B e t+ e t

e t

A e t = A B( )e t + e t

Be t = A + 3B( )e t e t

A = 1/ 3

B =1/ 3

Solución general del sistema completo

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

− − −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

−⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−x t

y tt

te

C

Ce1

1 1

13

13

t t2 1

2

7.15. Resuélvase el sistema no homogéneo X' = AX + F, donde

( )( )

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= =−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X

x t

x tX

dXdt

A Ft

, ' , 2 14 2

, 1/ 81

2

SOLUCIÓN

Ecuación característica y valores propios del sistema homogéneo asociado

− = −− −

= − + =A kI kk

k k2 14 2

4 8 02


Valores propios k1,2 = 2 ± 2i complejos.

Vector propio asociado a k1 = 2 + 2i

A 2+ 2i( ) I( )U = 0 2i 14 2i

1

2

= 0; 2i 1 + 2 = 0;

Haciendo, por ejemplo 1 = 1, se obtiene el vector propio U = 12i

.

La solución correspondiente es una solución compleja

( )=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ =

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

( )+Xi

ei

e t i t et

ti

t

t12

12

cos(2 ) sen(2 )cos(2 )

2sen(2 )

sen(2 )

2cos(2 )i t t t2 2 2 2

La parte real e imaginaria por separado son soluciones reales. Por lo tanto

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟X e

t

tX e

t

t

cos(2 )

2sen(2 );

sen(2 )

2cos(2 )t t

12

22

son soluciones reales y linealmente independientes. La solución general del sistema homogéneo asociado es

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x t

x te C

t

tC

t

t

cos(2 )

2sen(2 )

sen(2 )

2cos(2 )t1

2

21 2

Solución particular del sistema completo. Se utilizará el método de se-lección.

Al ser polinomios las componentes del vector F, la solución se buscará en la forma

=++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Xa t b

a t bp1 1

2 2



⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟++

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟a

a

a t b

a t b t2 14 2

1/ 81

2

1 1

2 2

o lo que es equivalente

( )( )

= + + + +

= − + + − +

a a a t b b

a a a t b b

2 2 1/ 8

4 2 1 4 2

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2


a181 , = −a

142 , b

1321 , = −b

1162


=+

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Xt

t

18

132

14

116

p

Solución general del sistema completo

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

+

− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

x t

x te C

t

tC

t

t

t

t

cos(2 )

2sen(2 )

sen(2 )

2cos(2 )

18

132

14

116

t1

2

21 2

7.16. Hállese la solución general del sistema de ecuaciones diferen-ciales

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

− −−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

ddt

x

x

x

xe

e

1 11 3

t

t

1

2

1

2


y la solución particular que verifica las condiciones iniciales

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

x

0

0

19

4

81

2

SOLUCIÓN

Ecuación característica de la matriz del sistema homogéneo asociado

( )− = − − −− −

= + =A kI kk

k1 11 3

2 02

Valores propios: k = –2 doble.

Vector propio asociado U, y solución correspondiente X1:

A + 2I( )U = 1 11 1

1

2

= 0 1 2 = 0. U = 11

Solución =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−X e1

1t

12

Otra solución independiente de la anterior es de la forma

X2 = (Ut + V)e–2t

donde hay que determinar el vector V.

Sustituyendo dicha solución en el sistema se obtiene

+ + = +kUte Ue kVe AUte AVekt kt kt kt kt

E igualando los coeficientes de ekt para el valor de k = –2

(A + 2I)V =U 1 11 1

v1

v2

= 11

v1 v2 =1


Tomando, por ejemplo, v1 = 1, resulta =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V 1

0, y la solución

= + = +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −X Ut V e t

te( ) 1t t

22 2

Por tanto, la solución general del sistema homogéneo es

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−Xx

xe C C t

t11

1t1

2

21 2

Aplicando coeficientes indeterminados se halla una solución particular del sistema completo, que al ser de distinta forma los dos componentes de la matriz columna del término no homogéneo del sistema, se utilizará el principio de superposición.

Dicho término no homogéneo puede expresarse

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= +

−−F e

ee e F F1

001

t

t

t t1 2

Para =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟F e0

1t

1 , la solución particular es la forma ( ) =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Xa

aep

t

1

1

2, donde

a1, a2 son números reales a determinar.

Sustituyendo en el sistema e identificando coeficientes, resulta

ddt

a1

a2

et =1 11 3

a1

a2

et + 10

eta1 = a1 a2 +1

a2 = a1 3a2

a1 =49

,a2 =19

La solución particular correspondiente es ( ) =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X e

19

41p

t

1


Para =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−F e0

1t

2 se buscará la solución particular ( ) =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−Xb

bep

t

2

1

2

, y

de la misma manera se determina b1 = –1, b2 = 0, siendo en este caso la solu-ción particular

( ) = −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−X e1

0pt

2

Una solución particular del sistema no homogéneo es por lo tanto

( ) ( )= + =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−X X X e e

19

41

10p p p

t t

1 2

y la solución general del sistema completo

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ +⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −X

x

xe C C t

te e1

11 1

941

10

t t t1

2

21 2

La solución particular que verifica las condiciones iniciales dadas

x1 0( )x2 0( )

= 19

4

8;

19

48

= C111

+C210

+ 19

41

10

C1 = 1,C2 = 2

x1

x2

= 2t +12t 1

e 2t + 19

41

et 10

e t

7.17. Resuélvase el sistema de ecuaciones diferenciales X' = AX, donde

( )( )( )

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=−

− −− − −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =X

x t

x t

x t

A XdXdt

,6 6 18 8 11 1 1

, '1

2

3


SOLUCIÓN

Ecuación característica y valores propios de la matriz A:

( )( )− =− −− − −− − − −

= − + + =A kIk

kk

k k k6 6 1

8 8 11 1 1

1 2 0

Valores propios: k = 0, k = –1, k = –2

Al ser distintos los valores propios, se pueden obtener tres vectores pro-pios linealmente independientes, y de ellos tres soluciones linealmente in-dependientes también.

Para k = 0:

A 0I( )U =6 6 18 8 11 1 1

1

2

3

= 06 1 + 6 2 3 = 0

1 2 3 = 02 = 1

3 = 0

Haciendo, por ejemplo, 1 = 1, el vector propio y la solución son:

= −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

11

01 . Solución: = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟X e

11

0

11

0

t1

0

Para k = –1:

A + I( )U =7 6 18 7 11 1 0

1

2

3

= 07 1 + 6 2 3 = 0

1 2 = 02 = 1

3 = 1

El vector propio y la solución correspondiente son:

U11

12 = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ . Solución: X e

11

1

t2 = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−


Para k = –2:

A + 2I( )U =8 6 18 6 11 1 1

1

2

3

= 08 1 + 6 2 3 = 0

1 2 + 3 = 0

2 =75 1

3 =25 1

Para 1 = 5, resulta:

U572

3 = −−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠


572

t3

2= −−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−

La solución general del sistema es:

( )( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + −

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

− −

x t

x t

x t

C C e C e11

0

11

1

572

t t

1

2

3

1 2 32

7.18. Solución general del sistema:

= + −

= − − +

= −

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

dxdt

x y z

dydt

x y z

dzdt

x z

3 2 2

2

SOLUCIÓN

Matriz: =−

− −−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟A

3 2 21 1 1

2 0 1


Ecuación característica y valores propios de la matriz A

( )− =− −− − −

− −= − − + − = = = ±A kI

kk

kk k k k k i

3 2 21 1 1

2 0 11 0. 1 ,3 2

Vectores propios y soluciones correspondientes:

Para k = 1:

A I( )U =2 2 21 2 1

2 0 2

1

2

3

= 02 1 + 2 2 2 3 = 0

2 1 2 3 = 02 = 0

3 = 1

Haciendo 1 = 1, el vector propio y la solución son, respectivamente:

U101

1 =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠


101

t1 =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Para k = i:

A iI( )U =3 i 2 2

1 1 i 12 0 1 i

1

2

3

= 03 i( ) 1 + 2 2 2 3 = 0

2 1 + 1 i( ) 3 = 0

Haciendo 3 = 2, el vector propio y la solución son, respectivamente:

=+−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

+−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

ii X

ii e

1

2;

1

2

it2 2


De una solución compleja pueden deducirse dos soluciones reales. En forma binómica, la solución es

( )( )+

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

+−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + =

− + +−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

ii e

ii t i t

t t i t t

t i t

t i t

t t

t

t

it t

tt

1

2

1

2cos sen

cos sen cos sen

sen cos

2cos 2 sen

cos sen

sen

2cos

cos sen

cos2

it

La parte real del binomio y la compleja, por separado son soluciones reales del sistema.

Por tanto, son soluciones:

=−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=+

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Xt t

tt

Xt t

tt

cos sensen

2cos;

cos sencos

2sen2 3

Solución general

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

X C e Ct t

tt

Ct t

tt

101

cos sensen

2cos

cos sencos

2sen

t1 2 3

O también

( ) ( )= + − + +

= −

= + +

x C e C t t C t t

x C t C t

x C e C t C t

cos sen cos sen

sen cos

2 cos 2 sen

t

t

1 1 2 3

2 2 3

3 1 2 3


7.19. Resuélvase el sistema de ecuaciones diferenciales X' = AX, donde

( )( )( )

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

X

x t

x t

x t

1

2

3

, =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A0 1 11 0 11 1 0

, XdXdt

'

y determínese la solución del problema de valor inicial

( )( )( )

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟X

x

x

x

0

0

0

110

1

2

3

SOLUCIÓN

Ecuación característica y valores propios de la matriz A:

( )− λ =−

−−

= − + =A Ik

kk

k k1 1

1 11 1

2 )( 1 02

. Raíces: k = 2, k = –1 doble.

En este caso se obtiene un valor propio con orden de multiplicidad dos y otro simple. Los vectores propios y soluciones correspondientes son:

Para k = 2:

A 2I( )U =2 1 1

1 2 11 1 2

1

2

3

= 02 1 + 2 + 3 = 0

1 2 2 + 3 = 02 = 1

3 = 1

Haciendo 1 = 1, el vector propio y la solución son:

Vector propio =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

111

1 . Solución =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟X e

111

t1

2


Para k = –1:

A + I( )U =1 1 11 1 11 1 1

1

2

3

= 0 1 + 2 + 3 = 0

En este caso, el espacio vectorial de vectores propios es de dimen-sión 2, por lo que pueden elegirse dos vectores linealmente indepen-dientes.

Haciendo 1 = 1, 2 = 0, se obtiene el siguiente vector propio y solu-ción

=−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

101

2 , =−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−X e101

t2

Y haciendo 1 = 0, 2 = 1:

=−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

011

3 , =−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−X e011

t3

Solución general del sistema

( )( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

− −

x t

x t

x t

C e C e C e111

101

011

t t t

1

2

3

12

2 3

x1 0( )x2 0( )x3 0( )

=110

110

= C1

111

e2t + C2

101

e t + C3

011

e t

C1 = 2 / 3

C2 =1/ 3

C3 =1/ 3


Solución

( )( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

− −

x t

x t

x t

e e e23

111

13

101

13

011

t t t

1

2

3

2

7.20. Resuélvase el sistema de ecuaciones diferenciales X’ = AX, donde

( )( )( )

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

X

x t

x t

x t

1

2

3

, = − − −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟A

3 11 51 1 1

2 0 1

, XdXdt

'

SOLUCIÓN


− λ =−− − − −

−=A I

kk

k

3 11 51 1 1

2 0 10 . Raíces: k = –1, k = 2 doble.


Para k = –1:

4 11 51 0 1

2 1 2

1

2

3

= 04 1 +11 2 +5 3 = 0

1 3 = 0

1 = 3

2 =111 3

Vector propio y solución correspondiente:

Vector propio =−

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟U

11/111

1 . Solución: =−

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−X e1

1/111

t1


Para k = 2:

1 11 51 3 1

2 0 1

1

2

3

= 0 1 3 2 3 = 0

2 1 3 = 02 = 1

3 = 2 1

El espacio vectorial de vectores propios es de dimensión 1, por lo que solo existe un vector propio y con ello una solución

U11

22 = −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

. Solución: X e11

2

t2

2= −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Se necesita otra que sea linealmente independiente con las anteriores. Se supone esta solución de la forma

X3 = (U2t + V) e2t

Donde V es un vector que verifica (7.5)

A I V2 02( )− = , A I V2 0( )− ≠

A 2I( )2V =1 11 51 3 1

2 0 1

1 11 51 3 1

2 0 1

1

2

3

= 00 22 110 2 10 22 11

1

2

3

= 0

2 2 3 = 0 V =100

La solución correspondiente es

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟X t e

ttt

e11

2

100

1

2

t t3

2 2


Solución general del sistema propuesto:

( )( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=−

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

+−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

x t

x t

x t

C e C Ct

tt

e1

1/111

11

2

1

2

t

1

2

3

1 2 32t

7.21. Resuélvase el sistema de ecuaciones diferenciales X’ = AX, donde

X

x t

x t

x t

1

2

3

( )( )( )

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

, A3 2 12 1 14 4 1

=−−

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

, XdXdt

'

SOLUCIÓN


( )− λ =− −

− −− −

= − − =A Ik

kk

k3 2 1

2 1 14 4 1

1 03. Valores propios k = 1 triple.

Vectores propios correspondientes a k = 1

(A I)U =2 2 12 2 14 4 0

1

2

3

= 02 1 2 2 + 3 = 0

4 1 + 4 2 = 03 = 0

2 = 1

El vector propio y la solución correspondiente es:

Vector propio U110

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ . Solución: X t e

110

t1 ( ) =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟


Hallando los vectores V, W mediante las condiciones (7.7), y sustituyen-do en las expresiones (7.6), se determinan las dos soluciones que faltan

A I( )V =U2 2 12 2 14 4 0

v1

v2

v3

=110

2v1 2v2 + v3 =1

4v1 + 4v2 = 0

v3 =1

v2 = v1

Haciendo v1 = 0, resulta

V001

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

. Solución: X t Ut V ett e1

t t2 ( ) ( )= + =

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

A I( )W = V2 2 12 2 14 4 0

w1

w2

w3

=001

2w1 2w2 + w3 = 0

4w1 + 4w2 =1

Haciendo w1 = 0, resulta

W0

1/ 41/ 2

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

. Solución: X t Ut Vt W e

t

t

t

e12

12

12

14

12

t t3

2

2

2( ) = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

La solución general del sistema es

( )( )( )

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ + +

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

x t

x t

x t

C Ctt C

t

t

t

e110 1

12

12

14

12

t

1

2

3

1 2 3

2

2


7.22. En el sistema lineal no homogéneo X’ = A(t)X + F(t) de coefi-cientes variables, donde

Xx t

x t1

2

( )( )

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

; A t tt

1/ 01

( ) = ⎛⎝⎜

⎞

⎠⎟ ; F t t

1( ) =

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ ; t( 0)

Se pide:

a) Expresión analítica del sistema homogéneo asociado, y su solucióngeneral.

b) Una matriz fundamental M(t) de dicho sistema homogéneo.

c) Hallar una solución particular Xp(t) del sistema no homogéneo apli-cando el método de variación de las constantes.

d) La solución general.

SOLUCIÓN

a) La expresión analítica del sistema homogéneo es

( )

( )

′ =

′ = +

x tt

x

x t x tx

11 1

2 1 2

De la primera ecuación puede deducirse

x tt

x1

1 1( )′ = ; xx t

11

1

′ = ; x C t1 1

y de la segunda

x t x tx2 1 2( )′ = + ; x t C t tx2 1 2( )′ = + ; x C x t( )2 1 2′ = + ; x C e Ct2 2

/21

2

= −

Solución general del sistema homogéneo:

=

= −

x C t

x C e Ct

1 1

2 2/2

1

2


En expresión matricial

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x t

x t

t

e

C

C

0

1t

1

2 2

1

2

2

b) Matriz fundamental del sistema homogéneo

( ) =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

M tt

e

0

1t2

2

c) Método de variación de constantes:

( ) =M t tet2

2

; ( ) =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−

M tt

e te

et

0

1

1 01

t t

t1

2

1

2

22

2

2

( ) ( )⋅ =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−t FM t

te

et

t1 01 1

10t

t1

2

22

2

Una solución particular es

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )

( )

= =−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−X t M t M t F t dtt

edt

t

e

t1

t

t e

X tt

t e

0

1

10

0

1p t t t

p t

1

2 2

2

2

2

2

2 2 2

2

d) Solución general de la ecuación completa

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

x t

x t

t

e

C

C

t

t e

0

1t t

1

2 2

1

2

2

2

2 2


7.23. Utilizando el método de la transformada de Laplace, determíne-se la solución del problema:

+ + =

− − + =

dxdt

dxdt

x e

dxdt

dxdt

x x

2 4

1

t1 21

1 21 2

donde x1(0) = 1, x1(0) = 2.

SOLUCIÓN

Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros de cada una de las ecuaciones del sistema, se tiene:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥+ = ⎡⎣ ⎤⎦

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥− + =

Ldxdt

Ldxdt

L x L e

Ldxdt

Ldxdt

L x L x L

2 4

1

t1 21

1 21 2

Haciendo [ ]( ) =X s L x1 1 , [ ]( ) =X s L x2 2 , queda

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + =−

− − − − + =

sX s x sX s x X ss

sX s x sX s x X s X ss

2 0 04

1

0 ( 0 )1

1 1 2 2 1

1 1 2 2 1 2

y sustituyendo los valores iniciales

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

− + − + =−

− − + − + =

sX s sX s X ss

sX s sX s X s X ss

2( 1) 24

1

1 21

1 2 1

1 2 1 2


es decir

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ + =−

− − − = −

s X s sX ss

s

s X s s X ss

s

2 14

1

1 11

1 2

1 2

O también

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ + =−

− = −

s X s sX ss

s

X s X ss

2 14

1

1

1 2

1 2

Multiplicando por s la segunda ecuación y posteriormente sumando ambas, se obtiene

3s+1( )X1 s( ) = 4ss 1

1 X1 s( ) = 1s 1

y sustituyendo este valor en la segunda ecuación

( ) ( )=−

+ = −−

X ss s

ss s

11

1 2 112

Tomando ahora transformadas inversas, se obtiene

( )⎡⎣ ⎤⎦ = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=− −L X s L

se

11

t11

1

Para X2(s), al descomponer su expresión en fracciones simples queda

−−

= +−

ss s

As

Bs

2 1( 1) 1

, ( )− = − +s A s Bs2 1 1 ; + =

− = −⎧⎨⎩

A B

A

2

1 ; A B1, 1


Por tanto

( )⎡⎣ ⎤⎦ = +−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= +− −L X s L

s se

1 11

1 t12

1

La solución del problema es

( )( )

=

= +

x t e

x t e1

t

t

1

2

CAPÍTULO 8

ESTABILIDAD DE SOLUCIONES.

SISTEMAS NO LINEALES


En este capítulo se analizan las soluciones de los sistemas autóno-mos

( ) ( )= =dxdt

f x x x i n, ,....., , 1,2,...,ii n1 2

en los que no aparece la variable independiente t en el segundo miembro, y fundamentalmente de los sistemas con dos ecuaciones, es decir de la forma

( ) ( )= =dxdt

f x ydydt

g x y, ; , (8.1)

o matricialmente

( )= =XdXdt

F x y' ,

donde ( )( ) ( )=X x t y t, y F f g( , )

1. Definiciones y propiedades

Trayectoria. Se llama así a la representación gráfica en el plano xy deuna solución del sistema.

Cálculo de las trayectorias. Si de una solución particular (t) = x(t), y(t) del sistema se elimina t, se obtiene su trayectoria, que será una representa-ción en el plano xy de dicha solución.


La ecuación general de las trayectorias del sistema (8.1) es la solución general de la ecuación

( )( )=

dydx

g x y

f x y

,,

Punto crítico o punto de reposo (o punto de equilibrio). Se llama así a todo punto (x0, y0) tal que

( ) ( )= =f x y g x y, , 00 0 0 0

Si (x0, y0) es un punto crítico, entonces = x0, y0 es una solución cons-tante del sistema, donde su trayectoria es solo un punto, precisamente ese punto crítico.

Plano de las fases. Es el plano xy donde se representan las trayecto-rias de las soluciones del sistema.

Retrato fase o diagrama de fases. Es el conjunto de las trayectorias de las soluciones del sistema expuestas en el plano fase.

2. Estabilidad de un punto crítico. Definición

Sea B(P, r) el círculo de centro el punto P y radio r. Un punto crítico P del sistema es estable, si para todo > 0, existe > 0 de modo que cual-quiera que sea la trayectoria (x(t), y(t)) que en un instante determinado t0 cumple que

( )( ) ( ) ( )∈ δx t y t B P, ,0 0

entonces (x(t), y(t)) B (P, ) para todo t > t0.

Si el punto crítico es estable y además, toda trayectoria que para un t = t0 se encuentre dentro del círculo de radio y centro el punto crítico, tiende a dicho punto cuando t ∞, se dice que es asintóticamente es-table.

Si el punto crítico no es estable, se dice inestable.

ESTABILIDAD DE SOLUCIONES. SISTEMAS NO LINEALES

La idea intuitiva de las definiciones anteriores se observa fácilmente en la figura (8.1) a continuación:

TT T

t=t0

t=t0 t=t0

a) Estabilidad

P P P

b) Estabilidad asintótica c) Inestabilidad

Figura 8.1. Tipos de estabilidad

El análisis de la estabilidad de un punto crítico se facilita suponiendo que dicho punto es (0, 0). Si no fuese así, basta con efectuar una traslación de ejes de tal forma que el origen sea el punto crítico. Así, si el punto críti-co es (x0, y0), el cambio de variables:

= − = −u x x v y y,0 0

transforma el sistema en otro que tiene a (0, 0) como punto crítico, siendo la estabilidad de ambos puntos, en su sistema correspondiente, la misma.

3. Sistemas lineales. Tipos simples de puntos críticos

Las propiedades de estabilidad de una solución cualquiera de un siste-ma lineal son las de su punto crítico (0, 0).

Si la ecuación autónoma es

X AX' con =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Aa a

a a11 12

21 22

y si k1, k2 son las raíces de la ecuación característica de A, en el siguiente cuadro se muestra la estabilidad del punto crítico (0, 0) según los diferen-tes valores de k1, k2, así como las trayectorias correspondientes a cada uno de los casos.


Autovalores Estabilidad Clase de punto

Reales (k1 ≠ k2)

As. Estable (k1, k2 < 0)

Inestable (k1, k2 > 0)

Inestable (k1 < 0 < k2)

Nodo estable

Nodo inestable

Punto silla

Reales (k1 = k2)As. Estable (k1 = k2 < 0)

Inestable (k1 = k2 > 0)

Nodo estable

Nodo inestable

Complejas conjugadas(k = p ± qi. (p,q ≠ 0))

As. Estable (p < 0)

Inestable (p > 0)

Punto espiral

Punto espiral

Imaginarias puras(k = ± qi. (q ≠ 0))

Estable Centro

4. Sistemas no lineales. Sistema de primera aproximación

En el caso de sistemas no lineales

… …( ) ( )= =dxdt

f x x x i n, , , , 1,2, ,ii n1 2

en los que las funciones fi(x1, x2, ..., xn) pueden expresarse en la forma

… … …( ) ( )= + + + +f x x x a x a x a x R x x, , , , ,i n i i in n i n1 2 1 1 2 2 1

es decir, se pueden desarrollar por la fórmula de Taylor en un entorno del origen, al sistema:

… …= + + + =dxdt

a x a x a x i n, 1,2, ,ii i in n1 1 2 2

que se obtiene al prescindir de las funciones resto Ri(x1, ..., xn), se le llama sistema linealizado del primero, o también sistema de primera aproxi-mación.


5. Estabilidad de sistemas no lineales

El único caso que se analiza en este texto es el de los sistemas

( ) ( )= =dxdt

f x ydydt

g x y, ; ,

con un punto crítico en el origen de coordenadas, y donde f y g son funcio-nes analíticas en un entorno de (0, 0), es decir, pueden expresarse como la suma de una serie de potencias

…

…

( )( )

= + + + +

= + + + +

f x y a x b y c xy d x

g x y a x b y c xy d x

,

,1 1 1 1

2

2 2 2 22

Cuando los valores de x e y son pequeños, es decir en un entorno sufi-cientemente pequeño del punto crítico (0, 0), el siguiente teorema propor-ciona un resultado que indica los casos en que coinciden la estabilidad de dicho punto crítico del sistema con la de su sistema linealizado, la cual ló-gicamente es siempre más sencillo de hallar.

Teorema 8.1. Si (0, 0) es punto crítico del sistema no lineal

…

…

= + + + +

= + + + +

dxdt

a x b y c xy d x

dydt

a x b y c xy d x

1 1 1 12

2 2 2 22

entonces el punto crítico (0, 0) del sistema linealizado

= +

= +

dxdt

a x b y

dydt

a x b y

1 1

2 2

cuando a1 b2 – a2 b1 ≠ 0, es del mismo tipo del sistema no lineal excepto en los casos siguientes:


a) Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales. El puntocrítico del sistema no lineal puede ser un nodo o un punto espiral, sin embar-go en el sistema lineal es siempre un nodo.

b) Las raíces de la ecuación característica son imaginarias puras. Elpunto crítico del sistema no lineal puede ser un centro o un punto espiral, sin embargo en el sistema lineal es siempre un centro.

6. Criterio de estabilidad de Hurwitz

El siguiente criterio establece condiciones para la determinación del signo de las partes reales de las raíces de la ecuación característica de una matriz, que son precisamente las condiciones para que el punto crítico de un sistema lineal sea asíntóticamente estable.

Criterio de Hurwitz. Sea

…+ + + + + =− −−k a k a k a k a 0n n n

n n11

22

1

la ecuación característica de una matriz real A. La condición necesaria y sufi-ciente para que las raíces de dicha ecuación sean reales negativas, o complejas con parte real negativa, es que los menores diagonales principales de la matriz

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

H

a

a a a

a a a

a

1 0 ... 0

... 0

... 0

... ... ... ... ...0 0 0 ... n

1

3 2 1

5 4 3

sean estrictamente positivos.

Esta matriz se llama matriz de Hurwitz y tiene como diagonal princi-pal los coeficientes en sentido decreciente de las potencias de k partiendo de la de kn–1. En cada fila m se sitúan a la izquierda los coeficientes poste-riores am+1, am+2, ..., y a la derecha los anteriores am–1, am–2, ..., seguido de ce-ros hasta completar la línea.


8.1. En el sistema

= = −dxdt

ydydt

x,

Se pide:

a) Su solución general, y comprobar que las curvas solución del mismoson periódicas de periodo 2 .

b) Hallar las proyecciones sobre el plano xy de las curvas anteriores(Trayectorias de las soluciones), e indicar sobre ellas el sentido de avance de un punto correspondiente a un determinado valor de t, cuando este va-lor de t crece.

c) ¿Qué trayectoria corresponde a la solución trivial x = 0, y = 0?

SOLUCIÓN

Matriz del sistema

=−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A 0 1

1 0

Ecuación característica y raíces, de la matriz A:

− = −− −

= + =A kI kk

k11

1 02 ; Raíces: k1,2 = ±i imaginarias puras.


Vector propio asociado a k1 = i

A iI( )U = i 11 i

1

2

= 0 i 1 + 2 = 0

Haciendo 1 = 1 se obtiene el vector propio =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟U

i1

La solución correspondiente

( )=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ =

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Xi

ei

t i t tt

i tt

1 1 cos sen cossen

sencos

it

La parte real e imaginaria por separado son soluciones reales. Por lo tanto

=−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X t

tcossen1 ; =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟X

t

t

sen

cos2

son soluciones del sistema reales y linealmente independientes.

Solución general

= += − +

x C t C t

y C t C t

cos sen

sen cos1 2

1 2 (8.2)

Cuando el valor de t se incrementa en 2 los valores de x y de y se repi-ten. Las funciones que definen la solución son periódicas de periodo 2 .

b) Eliminando t en (8.2) se obtienen las trayectorias, que son las pro-yecciones sobre el plano xy de las curvas solución. Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene

+ = +x y C C2 212

22

Son circunferencias de centro el origen y radio variable.

Si para t = t0 el punto correspondiente en (8.2) es (x0, y0), al aumentar t, di-cho punto se desplaza en la dirección que se indica en la figura 8.2.


x

(x0,y0)

y

Figura 8.2.

c) La solución trivial corresponde a los valores de las constantesC1 = C2 = 0, y la trayectoria correspondiente es el origen (0, 0).

8.2. Hállense los puntos críticos de los siguientes sistemas autónomos:

a) = − = −dxdt

x ydydt

x y2 , 3 4

b) = − + − = −dxdt

x ydydt

x y2 3,2

c)dxdt

xdydt

, 0

d)dxdt

dydt

0, 0

e)dxdt

dydt

2, 4

f) = − − =dxdt

x ydydt

xy9 9 ,2 2


SOLUCIÓN

a)x 2y 0

3x 4y 0x y 0 Punto crítico (0, 0)

b)− + − =− =

⎫⎬⎪

⎭⎪

x y

x y

2 3 0

0

2

De la segunda ecuación se deduce x = y

Sustituyendo en la primera, resulta y2 – 2y – 3 = 0, con solución y = –1, y = 3

Puntos críticos: (–1, –1), (3, 3).

c)==

⎫⎬⎭

x 0

0 0. Puntos críticos: (0, y). Todo punto del eje y es punto crítico.

d) Cualquier punto (x, y) es crítico.

e) No existen puntos críticos.

f)− − ==

⎫⎬⎭

x y

xy

9 9 0

0

2 2

De la segunda ecuación se obtiene x = 0 para todo y, o bien y = 0 para todo x. El caso x = y = 0 no es solución de la primera ecuación, luego (0, 0) no es punto crítico.

Si x = 0, la primera ecuación queda 9 – 9y2 = 0; y = ±1. Puntos críticos: (0, 1), (0, –1).

Si y = 0 , resulta 9 – x2 = 0; x = ±3. Son puntos críticos: (3, 0), (–3, 0).

8.3. Exprésese la ecuación + + + − − =d xdt

dxdt

x x x x2 2 02

4 3 2 mediante

un sistema de ecuaciones de primer orden y hállense sus puntos críticos.


SOLUCIÓN

Haciendo dxdt

y , y sustituyendo en la ecuación resulta el sistema de primer orden

= = − − − + +dxdt

ydydt

y x x x x, 2 24 3 2

Puntos críticos:

y = 0

y x4 2x3 + x2 + 2x = 0x4 2x3 + x2 + 2x = 0 ; x = 0,1, 1, 2

Los puntos críticos del sistema (y de la ecuación) son:

(0, 0), (1, 0), (–1, 0), (–2, 0)

8.4. Considerando el sistema autónomo ( )=dxdt

f x y, ; ( )=dydt

g x y, ,

donde f, g son funciones continuas y tienen derivadas primeras continuas,

comprobar que:

a) Si 1(t) = x1(t), y1(t) es una solución del sistema, entonces

2(t) = 1(t + C), con C R, también lo es.

b) Si (t) = x(t), y(t), (t) es una solución no constante del sistema, to-das las soluciones de la forma (t) = (t + C) = x(t + C), y(t + C), tienen la misma trayectoria.

SOLUCIÓN

a) Por sencillez se representará el sistema en forma simplificada x' = F(x, y),donde

= ⎛⎝⎜⎞⎠⎟x

dxdt

dydt

' , , ( )( ) ( ) ( )=F x y f x y g x y, , , ,


Lo que hay que comprobar es que si 1(t) es solución del sistema, es de-cir si '1(t) = F( 1), entonces 2(t) = 1(t + C), con C R también lo es. Es decir, se verifica '2(t) = F( 2).

En efecto, derivando 2(t) y sustituyendo en la ecuación, se obtiene

2 t( ) = d 1 t + C( )dt

=d 1 t + C( )d t + C( )

d t + C( )dt

= 1 t + C( )

Al ser 1(t) solución del sistema, entonces '1(t) = F(x(t), y(t)), es decir '1(t + C) = F(x(t + C), y(t + C)).

Por lo tanto, '2(t) = '1(t + C) = F(x(t + C), y(t + C)) = F( 2).

b) Es consecuencia del modo de obtener la trayectoria de una solucióneliminando el parámetro.

Eliminando t en la solución (t) = x(t), y(t) se obtiene su trayectoria correspondiente, que es la misma que si se elimina t + C de otra solución del tipo (t) = (t + C) = (x(t + C), y(t + C).

8.5. Para cada uno de los sistemas c),d) y e) del ejercicio 8.2, hallar su solución general, los puntos críticos, la ecuación de las trayectorias, y la disposición de dichas trayectorias en las proximidades de los puntos críti-cos hallados.

SOLUCIÓN

a)

Sistema dxdt

xdydt

, 0

Integrando cada ecuación por separado se obtiene la solución general

x C e

y C

t1

2

Puntos críticos

dxdt

= x = 0,dydt

= 0 x = 0, y = C , (C arbitraria)


Es decir: (0, y), y R. Todos los puntos del eje y.

Ecuación general de las trayectorias

dydx

= 0 y = C

Son rectas paralelas al eje x. Para un punto crítico cualquiera, hacien-do t ∞ se observa que el valor absoluto de x crece. Por lo tanto, el senti-do de movimiento de un punto cualquiera sobre la trayectoria es de aleja-miento del punto crítico.

b)

Sistema: dxdt

dydt

0, 0

Solución general

x C

y C1

2

Todos los puntos son críticos. No existen trayectorias distintas de los propios puntos críticos.

c)

Sistema: dxdt

dydt

2, 4

Solución general:

= += +

x t C

y t C

2

41

2

No existen puntos críticos.

Trayectorias

dydx

= 2 y = 2x + C

Son rectas de pendiente 2. El sentido de movimiento de un punto sobre la trayectoria es hacia valores de x, y al infinito.


8.6. En los siguientes sistemas hállese la solución general, la ecuación de sus trayectorias, y basándose en la definición, la estabilidad de sus solu-ciones.

a) = − = −dxdt

xdydt

y,

b)dxdt

xdydt

y,

c) = = −dxdt

ydydt

x,

SOLUCIÓN

a) Resolviendo cada ecuación del sistema por separado, se obtiene susolución general

=

=

−

−

x C e

y C e

t

t

1

2

Ecuación general de las trayectorias

dydx

yx

, y Cx

Son rectas que al aumentar t se aproximan al origen de coordenadas. (Fig. 8.3.a).

El único punto crítico es el orígen de coordenadas: P = (0, 0). La estabi-lidad de una solución cualquiera es la del punto crítico.

Esto puede comprobarse gráficamente en la figura 8.3.a. Si en un de-terminado momento un punto (x(t0), y(t0)) sobre una trayectoria (que es una recta) está dentro del círculo B(P, ) de centro P y radio , al avanzar ese punto (incrementar el valor de t) sobre esa misma trayectoria, el punto se mantiene dentro de ese mismo círculo.


Además, todo punto sobre una trayectoria, tiende al origen cuando

t ∞. Por lo tanto, el punto crítico es asintóticamente estable.

b) Resolviendo, igual que en el caso anterior, cada ecuación por sepa-

rado, se obtiene la solución general del sistema:

x C e

y C e

t

t

1

2

El único punto crítico es el origen de coordenadas. La ecuación general

de las trayectorias es

dydx

yx

, y Cx

Son rectas igual que en el caso anterior, pero que al aumentar t se ale-

jan del origen de coordenadas. (Fig. 8.3.b).

El punto crítico es inestable. Cualquier trayectoria (x(t), y(t)) que en

un instante determinado t0 está dentro de un círculo B(P, ) de centro en

P y radio , al aumentar t no se conserva dentro del mismo.

y

xP

B(P, )

y

x

B(P, )



c) Es el ejemplo del ejercicio 8.1, donde las trayectorias son circunfe-rencias. El punto crítico es estable. Cualquier punto en una trayectoria, correspondiente a un cierto valor de t, que en un instante dado se encuen-tre dentro de un determinado círculo con centro en el origen, al aumentar t el punto permanece siempre dentro de ese círculo.

No es asintóticamente estable porque las trayectorias no tiende al ori-gen cuando t ∞.

8.7. Dado el sistema

= −−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X X' 3 18

2 9 , =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟X

x t

y t

( )

( ) , X

dXdt

'

se pide:

a) Solución general.

b) Clasificar el punto crítico (0, 0) y hacer el retrato fase del sistema,así como el sentido del movimiento existente en cada trayectoria.

c) Comprobar que la trayectoria correspondiente a la solución particu-lar X1 que satisface X(0) = (3, 1), es una semirrecta.

SOLUCIÓN

a) Matriz del sistema = −−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A 3 18

2 9


− = − −− −

= + + =A kI kk

k k3 182 9

6 9 02 . Raíces: k = –3 doble.


Para k = –3:

A + 3I( )U = 6 182 6

1

2

= 0 6 1 18 2 = 0


Haciendo 2 = 1 se obtiene

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟U 3

1. Solución =

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−X e3

1.t1

3

La segunda solución se busca en la forma

= +− −X Ute Vet t2

3 3

que sustituyendo en la ecuación e igualando términos se obtiene

( )+ =A I V U3

de donde se deduce el vector V.

( )+ = −−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A I V

v

v3 6 18

2 631

1

2 , − =v v6 18 31 2 , =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎞

⎠

⎟⎟⎟V 1/ 20

Por tanto:

=⎛

⎝

⎜⎜⎜⎞

⎠

⎟⎟⎟ +⎛

⎝

⎜⎜⎜⎞

⎠

⎟⎟⎟− −X te e3

11/ 2

0t t

23 3

Solución general

( )( )

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −x t

y tC e C te e3

131

1/ 20

t t t1

32

3 3

b) Los autovalores son reales e iguales. El punto crítico (0, 0) es unnodo estable. El retrato fase en las proximidades del origen se muestra en la fig.8.4.a.

En la solución general se observa que cuando t ∞ el punto (x(t), y(t)) 0. Las flechas se dirigen al centro. El punto crítico es asintóti-camente estable.


c) Si X t = 0( ) = 3,1( ) 3C1 +12C2 = 3

C1 =1C1 =1,C2 = 0.

La solución particular es

X1 =31

e 3tx t( ) = 3e 3t

y t( ) = e 3t

y la trayectoria correspondiente (Figura 8.4.b), es la semirrecta de ecuación

y x13

, x( 0)

y

x

y

x

13 = x,(x>0)y


8.8. Determínese el tipo y la estabilidad del punto crítico (0, 0), y di-bújese la disposición de las trayectorias en sus proximidades, para cada uno de los siguientes sistemas lineales autónomos:

a) = − = −dxdt

x ydydt

x y2 , 3 4


b) = + = +dxdt

x ydydt

x y3 , 3

c) = − = −dxdt

xdydt

y,

d) = − = +dxdt

x ydydt

x y4 2 , 5 2

e) = = −dxdt

ydydt

x, 2

SOLUCIÓN

a) La ecuación característica del sistema y sus raíces son:

− −− −

= + + =kk

k k1 23 4

3 2 02 . Raíces k1 = –1, k2 = –2 reales y negativas.

El punto crítico es asintóticamente estable. Es un nodo estable.

La disposición de las trayectorias en las proximidades del punto crítico, así como el sentido de crecimiento de un punto sobre una trayectoria se muestra en la figura 8.5.

y

x

Figura 8.5


y

x

y

x

Figura 8.6 Figura 8.7

b) −−

= − − =kk

k k1 33 1

2 8 02 . Raíces: k1,2 = 4, –2 reales y de distinto signo.

El punto crítico es un punto de silla inestable (figura 8.6).

c) ( )− −− −

= − − =kk

k1 00 1

1 02 . Raíces: k1,2 = –1 doble.

El punto crítico es un nodo estable donde las trayectorias son semi-rrectas con dirección al origen (figura 8.7).

d) − −−

= − + =kk

k k4 25 2

6 18 02 . Raíces: k1,2 = 3 ± 3i, imaginarias con parte real positiva.

El punto crítico es un punto espiral inestable (figura 8.8).

e) −− −

= + =kk

k12

2 02 . Raíces: = ±k i21,2 imaginarias puras.

El punto crítico es un centro estable (figura 8.9).


y

x

y

x

Figura 8.8 Figura 8.9

8.9. Determínense los valores de para que el punto crítico del siste-ma lineal

= α + = − − αdxdt

x ydydt

x y; , α ∈R

a) Sea un punto silla.

b) Sea un centro.

SOLUCIÓN

Ecuación característica y valores propios del sistema:

α −− −α −

= − α + =kk

k11

1 02 2 . Raíces: = ± α −k 11,22

a) Es punto silla si las raíces son reales de signos opuestos. Es decir, si

2 1> 0 >1

b) Para ser centro, las raíces han de ser imaginarias puras2 1< 0 <1


8.10. Compruébese que para el sistema

= α + = − +dxdt

x ydydt

x y; , R ,

el origen (0, 0) es para todo valor de un punto crítico inestable. ¿Cuando es un punto espiral? ¿Cuándo es un nodo?

SOLUCIÓN

a) Matriz del sistema

= α−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A 1

1 1


( )− = α −− −

= − α + + α + =A kI kk

k k11 1

1 1 0.2

Raíces:( ) ( )( )

=α + ± α + α −

k1 1 3

21,2

Las posibles situaciones, según los distintos valores de , son las si-guientes:

< –1. Las raíces son reales de distinto signo, ya que ( )( )α + α − > α +1 3 1.

–1 < < 3. Las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva.

= 3. Las raíces son reales, iguales y positivas.

> 3. Las raíces son reales y positivas ambas.

El punto crítico es inestable cuando las raíces son reales y no negativas ambas (iguales o no), cuando son reales y de distinto signo, o bien cuan-do sean complejas conjugadas con parte real positiva. Estas condiciones se cumplen en todos los casos como puede comprobarse.

El punto crítico es un punto espiral para –1 < < 3, y es un nodo para ≥ 3.


8.11. Dado el sistema

( )

( )

= + μ +

= μ − +

dxdt

x y

dydt

x y

1

1

donde R es un parámetro real. Se pide:

a) Discutir el carácter del punto de equilibrio (x, y) = (0, 0) en función de .

b) Cuando = 1, encontrar la solución general del sistema de ecuacio-nes y dibujar el retrato fase en las proximidades del punto de equilibrio anterior, mostrando las direcciones de las trayectorias.

SOLUCIÓN

a) Matriz del sistema

=μ +

μ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟A

1 1

1 1


( )( )− =− μ +

μ − −= − − μ − =A kI

k

kk

1 1

1 11 1 02 2 . Raíces: = ± μ −k 1 12

Las posibles situaciones, según los distintos valores de , son las si-guientes:

1. μ <1. Raíces complejas con parte real positiva. Es un Foco inesta-ble.

2. μ = 1. Raíz doble (k = 1). Es un Nodo inestable.

3. μ >1. Raíces reales. Puede suceder:


3.1. 2 – 1 > 1. Esto es μ > 2 . Una raíz positiva y otra negativa.

Punto de silla. Inestable.

3.2. 2 – 1 < 1. Esto es μ < 2 . Dos raíces positivas distintas.Nodo Inestable.

b) Para = 1, la ecuación característica de la matriz y sus valores pro-pios son

( )− = −−

= − =A kI kk

k1 20 1

1 02 . Valores propios: k = 1 doble.

Vector propio y solución correspondiente:

A I( )U = 0 20 0

1

2

= 00

2 2 = 0

Haciendo 1 = 1 se obtiene

Vector propio: =⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟U 1

0. Solución: ( ) = ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X t e1

0t

1

La segunda solución se busca en la forma

X2(t) = (Ut + V) et

Sustituyendo en el sistema e identificando coeficientes, resulta

A kI( )V =U 0 20 0

v1

v2

= 10

v2 =1/ 2

Haciendo v1 = 0 se obtiene

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟V 0

1/ 2 . ( ) = ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

X t te e10

01/ 2

t2


Solución general

( ) = ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

X t C e C te e10

10

01/ 2

t t t1 2

O de otra forma

( )

( )

= +

=

x t C e C t e

y t C e12

t t

t

1 2

2

El punto crítico (0, 0) es un nodo inestable. La direcciones en las tra-yectorias indican que un punto sobre ella se alejan del punto de equilibrio al crecer t. (Figura 8.10).

y

x

Figura 8.10

8.12. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

= = − − > ≥dxdt

ydydt

p x qy p q; 2 ( 0 ; 0)2

representa las vibraciones de una masa sujeta a un muelle, donde p, q son constantes, (q = viscosidad del medio; p = rigidez del muelle). Se pide:


a) Solución general del sistema resultante de suponer nula la viscosi-dad del medio.

b) Para cada uno de los casos siguientes: q = 0; q = p; 0 < q < p

1. Estabilidad del punto crítico x = y = 0.

2. Un dibujo de las trayectorias en las proximidades de ese punto crítico.

3. Una interpretación física básica del movimiento correspondiente dela masa.

SOLUCIÓN

a) Para q = 0, el sistema queda

= = −dxdt

ydydt

p x; 2

Matriz del sistema

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟A

p

0 102

Ecuación característica y valores propios:

− =−− −

= + =A kIk

p kk p

102

2 2 . Valores propios: k = ±pi

Vector propio U asociado al valor propio k = pi.

A piI( )U =pi 1

p2 pi1

2

= 0 pi 1 + 2 = 0.


Haciendo 1 = 1, resulta el vector propio y la solución correspondiente

Vector propio =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟U

pi1

. Solución ( ) = ⎛⎝⎜

⎞

⎠⎟X t e1

0t

1

Expresando la solución en la forma

( )=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =

+− +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Xpi

epi

pt i ptpt i pt

p pt pi pt1 1

cos( ) sen( )cos( ) sen( )

sen( ) cos( )pit

La parte real y la imaginaria son soluciones reales por separado:

=−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Xpt

p ptX

pt

p pt

cos( )

sen( );

sen( )

cos( )1 2

La solución general es X = C1X1 + C2X2. Es decir

= += − +

x C pt C pt

y C p pt C p pt

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )1 2

1 2

b) Para q = 0 el sistema es el del apartado anterior.

El punto crítico es un centro estable.

Al tender t 0, los valores de x, y no tienden a cero. No es asintótica-mente estable.

La disposición de las trayectorias se muestra en la figura 8.11.a.

Al no haber viscosidad (rozamiento del medio), la masa oscila sin pa-rar.

Si p = q la matriz del sistema es

=− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟A

p p

0 122



−− − −

= + + =k

p p kk pk p

12

2 022 2 . Raíces: k = –p < 0 doble.

Las soluciones son del tipo

= +

= +

−

−

x e C C t

y e C C t

( )

( )

pt

pt

1 2

*1

*2

donde las constantes de integración están relacionadas entre si.

El punto crítico es un nodo estable. (fig.8.11.b)

Cuando t 0, (x, y) (0, 0). Estabilidad asintótica.

Al coincidir la rigidez del muelle y la viscosidad del medio, la masa no oscila, se para.

Para 0 < q < p (fig.8.11.c):

Matriz del sistema

=− −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟A

p q

0 122


− =−− − −

= + + =A kIk

p q kk qk p

12

2 0 .22 2

Raíces: = − ± −k q q p2 2 . Imaginarias con parte real negativa.

El origen es un Foco estable (Asintóticamente estable).

Al ser mayor la rigidez del muelle que el rozamiento en el medio, la masa tiende a pararse oscilando.


Fig. 8.11.a Fig. 8.11.b Fig. 8.11.c

8.13. Determínense los puntos críticos del sistema no lineal

( )= + + = + + ∈ =dxdt

a x b y cdydt

a x b y c a b c R i; , , , , 1,2,3i i i1 1 1 2 2 2

para los casos de que a1b2 – a2b1 sea distinto o igual a cero.

SOLUCIÓN

Los puntos críticos corresponden a las soluciones del sistema lineal al-gebraico

+ + =+ + =

a x b y c

a x b y c

0

01 1 1

2 2 2

1. Si a1b2 – a2b1 ≠ 0, el sistema tiene solución única (x0, y0) que será elpunto crítico.

2. Si a1b2 – a2b1 = 0, o lo que es igual ab

ab

1

1

2

2

, puede ser:

2.a. = ≠ab

ab

cc

1

1

2

2

1

2

. El sistema algebraico es incompatible. No existen

puntos críticos.

2.b. ab

ab

cc

1

1

2

2

1

2

. El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de

ellas es un punto crítico.


8.14. Hállense los puntos críticos del sistema no lineal

= + + = + +dxdt

x ydydt

x y2 5 ; 3 3 6

y determinar su estabilidad efectuando un determinado cambio de varia-bles que lo transforme en uno lineal.

SOLUCIÓN

El punto crítico es la solución de

+ + =+ + =

x y

x y

2 5 0

3 3 6 0

Por tanto, el punto crítico es P = (1, –3).

El cambio de variables dependientes

x = u + 1 ; y = v – 3

transforma el sistema en uno lineal con variables u, v.

En efecto, sustituyendo dicha transformación y sus derivadas en el sis-tema inicial, se obtiene el nuevo sistema

( )

( ) ( )

= + + − + = +

= + + − + = +

dudt

u v u v

dvdt

u v u v

1 2 3 5 2

3 1 3 3 6 3 3

que es lineal, y donde el punto crítico es (0, 0). Su estabilidad coincide con la del no lineal.


−−

= − − =kk

k k1 23 3

4 3 02 . Raíces: = ±k 2 71,2 , reales y de distinto signo.

El punto crítico es un punto de silla inestable.


8.15. Aplicando el teorema 8.1, analícese la estabilidad (si es posible) del punto crítico (0, 0) de los siguientes sistemas no lineales:

a) = + + = − +dxdt

x y x ydydt

x y y, 3 32 2

b) = − − − = − +dxdt

x y x ydydt

x y y3 , 3 32 2

c) = − − =dxdt

y xdydt

x,2

d) = − = −dxdt

x y ydydt

x y2 cos , 3 2

SOLUCIÓN

a) El sistema linealizado, resultante de eliminar los términos no linea-les es:

= + = −dxdt

x ydydt

x y, 3

Ecuación característica y raíces de la matriz del sistema:

−− −

= − =kk

k1 13 1

4 02 . Raíces: k,21 = ±2, reales y de signo distinto.

Según el teorema 8.1, la estabilidad de los sistemas no lineal y lineali-zado coinciden.

Es un punto silla inestable.

b) Sistema linealizado

= − − = −dxdt

x ydydt

x y, 3



− − −− −

= + + =kk

k k1 13 1

2 4 02 . Raíces: = − ±k i1 31,2 , imaginarias

con parte real negativa.

La estabilidad de ambos sistemas coinciden.

Es un punto espiral asintóticamente estable.

c) Sistema linealizado:

= − =dxdt

ydydt

x,

− −−

= + =kk

k11

1 02 . Raíces k1,2 = ±i, imaginarias puras.

Es uno de los casos en que pueden no coincidir los dos sistemas (no li-neal y linealizado).

El punto crítico del sistema linealizado es un centro, pero el del siste-ma lineal puede ser un centro o un punto espiral.

d) Recordando que

= − + −xx x

cos 12! 4!

,2 4

…

el sistema linealizado es

= − = −dxdt

x ydydt

x y2 , 3 2


− −− −

= − =kk

k2 13 2

1 02 . Raíces: k1,2 = ±1, reales y de signo distinto.

El punto crítico es un punto silla inestable.


8.16. El sistema no lineal

= − − = − − +dxdt

x x xydydt

y y xy, 22 2

es un caso típico de los llamados sistemas depredador-presa. Calcule los puntos de equilibrio, y resuelva su estabilidad.

SOLUCIÓN

Los puntos de equilibrio corresponden a la solución de

− − =

− − + =

x x xy

y y xy

0

2 0

2

2

Si x = 0, de la segunda ecuación se obtiene y = 0, y = –1

Si x ≠ 0, despejando y en la primera ecuación se obtiene y = 1 – x, que

sustituyendo en la segunda resulta x = 1, x = 23

.

Por tanto, los puntos de equilibrio son:

( ) ( ) ( )− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0,0 , 0, 1 , 1,0 ,23

,13

Punto (0, 0):

El sistema linealizado es

= = −dxdt

xdydt

y,


−− −

= − =kk

k1 00 1

1 02 . Raíces: k1 = 1, k2 = –1 reales y de signo distinto.


La estabilidad de ambos sistemas (no lineal y linealizado) coinciden.

El punto crítico es un punto silla inestable.

Punto (0, –1):

Para que el punto crítico sea el (0, 0) se traslada el origen de coordena-das al punto (0, –1) mediante el cambio de variables

u = x , v = y + 1.

El nuevo sistema es

( )

( ) ( ) ( )

= − − − = − −

= − − − − + − = − + + −

dudt

u u u v u uv u

dvdt

v v u v u v uv v

1 2

1 1 2 1 2 2

2 2

2 2

El sistema linealizado

= = − +dudt

udvdt

u v2 , 2

Las raíces de su ecuación característica son:

−− −

= − + =kk

k k2 02 1

3 2 02 . Raíces: k1 = 1, k2 = 2 reales, distintas y positivas.

La estabilidad de ambos sistemas coinciden. Es un nodo inestable.

Punto (1, 0):

Cambio de variables: u = x – 1, v = y.

El nuevo sistema es

( ) ( )

( )

= + − + − + = − − − −

= − − + + = + −

dudt

u u u v u v u uv

dvdt

v v u v v uv v

1 1 1

2 1 2

2 2

2 2


Sistema linealizado

= − − =dudt

u vdvdt

v,

La ecuación característica y raíces son:

− − −−

= − =kk

k1 10 1

1 02 . Raíces: k1 = 1, k2 = –1 reales y de signo distinto.

Coinciden también ambos sistemas. Es un punto silla inestable.

Punto ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

,13

:

Cambio de variables: = − = −u x v y23

,13

.

El sistema transformado es

= − − − −

= − + −

dudt

u v u uv

dvdt

u v uv v

23

23

23

13

2

2

2 .

Sistema linealizado = − − = −dudt

u vdvdt

u v23

23

;23

13

.

− − −

− −= + + =

k

kk k

23

23

23

13

23

02 . Raíces: = − ±k i12

5 / 32

.1,2


Coinciden también ambos sistemas. Es un punto espiral asintótica-mente estable.

8.17. Hállense los puntos críticos del sistema

= − +

= −

dxdt

y x

dydt

x y

5 62

identificando su estabilidad.

SOLUCIÓN

Los puntos críticos corresponden a las soluciones del sistema:

− + =− =

y x

x y

5 6 0

0

2

De la segunda ecuación se deduce x = y, resultado que sustituido en la primera se obtiene la ecuación:

− + =x x5 6 02

de raíces: x = 2, x = 3. Los puntos críticos son:

P(2, 2) , Q(3, 3)

Análisis de P(2, 2):

El cambio de variables u = x – 2, v = y – 2, transforma el sistema en

( ) ( )

( ) ( )

= + − + + = − + +

= + − + = −

dxdt

v u u v v

dydt

u v u v

2 5 2 6 5 4

2 2

2 2


donde el punto crítico correspondiente es el (0, 0).

El sistema linealizado es

= − +

= −

dxdt

u v

dydt

u v

5 4


− −− −

= + + =kk

k k5 41 1

6 1 02 . Valores propios: = − ±k 3 2 2 reales y ambosnegativos.

Punto asintóticamente estable. Es un nodo estable.

Punto P(3, 3):

Con el cambio de variables u = x – 3, v = y – 3, resulta el sistema

( ) ( )

( ) ( )

= + − + + = − + +

= + − + = −

dxdt

v u u v v

dydt

u v u v

3 5 3 6 5 6

3 3

2 2

donde el punto crítico es (0, 0).

Sistema linealizado

= − +

= −

dxdt

u v

dydt

u v

5 6



− −− −

= + − =kk

k k5 61 1

6 1 02

Valores propios: = − ±k 3 10 . Ambos son reales y de distinto signo.

Punto inestable. Es un punto silla.

8.18. Analícese, según los distintos valores de m R, la estabilidad asintótica del sistema diferencial X’ = AX, donde la ecuación característica de la matriz A es

+ + + + =x x x x m2 3 4 04 3 2

SOLUCIÓN

Se aplicará el criterio de estabidad de Hurwitz (6 de Introducción teórica).

La matriz de Hurwitz es

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Hm

m

2 1 0 04 3 2 10 4 30 0 0

Las raíces de la ecuación dada tienen parte real negativa si y sólo si (criterio de Hurwitz), los menores:

1 = 2 , 2 =2 14 3

= 2 , 3 =2 1 04 3 20 m 4

= 8 4m , 4 = H =m 8 4m( )


son estrictamente positivos. Para ello ha de ser:

( )− >

− >m

m m

8 4 0

8 4 0

Es decir

0 < m < 2

8.19. En el sistema de ecuaciones diferenciales:

= −

= +

dxdt

m x y

dydt

x m y

donde m R, se pide:

a) Aplicando el criterio de Hurwitz, analizar la estabilidad del puntocrítico (0, 0) según los distintos valores de m.

b) Para m = 1 hallar la solución general del sistema, y un boceto delas trayectorias y direcciones de las mismas en las proximidades de dicho punto crítico (0, 0).

SOLUCIÓN

a) Ecuación característica y raíces de la matriz del sistema:

− −−

= − + + =m km k

k mk m11

2 1 02 2 . Raíces: k = m ± i

Matriz de Hurwitz

= −+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟H

m

m

2 10 12


Menores diagonales:

1 = 2m ; 2 =2m 10 m2 +1

= 2m3 2m

El punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable si, y solo si 1, 2 > 0.

1 = 2m > 0 m < 0

2 = 2m m2 +1( ) > 0 m < 0

Entonces:

— Si m < 0 el punto es asintóticamente estable. Punto espiral.

— Si m > 0 las raíces de la ecuación característicason imaginarias con parte real positiva. El punto es inestable. Punto espiral.

— Si m = 0 las raíces son imaginarias puras. El punto es estable. Cen-tro.

b) Para m = 1, la matriz del sistema es

= −⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟A 1 1

1 1

y los autovalores: k = 1 ± i.

Vector propio asociado a k = 1 + i

(A kI)U = i 11 i

1

2

= 0 1 2i = 0 1 = 2i

Los vectores propios son de la forma

=−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟αU

i1

1


Haciendo 1 = 1 resulta la solución

( )=−

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ =

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+Xi

ei

e x i x ex i x

x i x1 1 cos sen

cos sen

sen cosi x x x(1 )

que es una solución compleja. En forma binómica es

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟X e x

xe

x

xicos

sensen

cosx x

Dos soluciones reales y linealmente independientes son:

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X e x

xcossen

x1 , =

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟X e

x

x

sen

cosx

2

Solución general

=⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

−⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

X e C xx

C xx

cossen

sencos

x1 2

El punto crítico (0, 0) es un punto espiral inestable.

Las trayectorias en las proximidades del punto crítico son como en la figura 8.8 del ejercicio 8.8. El sentido de movimiento de un punto sobre una trayectoria al crecer t es de alejamiento del centro.

8.20. En el sistema lineal en notación matricial X’ = AX (A real), el punto de reposo (0, 0) se llama atractor de dicho sistema si la parte real de todo autovalor k de A es negativa (Re(k) < 0).

Según esta definición, se pide:

a) Si A es de orden 2, comprobar que cuando el origen es atractor, loscoeficientes de la ecuación característica de A son positivos (Puede aplicar-se el criterio de Hurwitz).


b) Determinar el valor del parámetro a para el cual el origen es atrac-tor del sistema siguiente:

= − − = − − + = −dxdt

x xdxdt

x x axdxdt

x x; 2 ;11 2

21 2 3

31 3

SOLUCIÓN

Si la matriz A es de orden 2, su ecuación característica tiene una expre-sión de la forma

+ + =k a k a 021 2 (8.3)

Hay que demostrar que si el punto crítico (0, 0) es atractor entonces a1, a2 son positivos.

En efecto, y como se ha definido, si (0, 0) es atractor, la parte real de las raíces de la ecuación característica (autovalores) son negativas.

El criterio de Hurwitz indica que si la parte real de las raíces de la ecuación (8.3) son negativas, los menores 1 y 2, de la matriz de Hurwitz

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Ha

a

1

01

2

son estrictamente positivos.

Esos menores son: 1 = a1 , 2 = a1 a2 .

Ambos son positivos si:

a1 > 0

a1 a2 > 0 a1 > 0 y a2 > 0

Es decir, los coeficientes de la ecuación característica son positivos.

b) Matriz A del sistema:

=− −− −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A a1 1 01 1 2

1 0 1


Ecuación característica:

1 k 1 01 1 k 2a

1 0 1 k= 0 k3 + 3k2 + 2k + 2a( ) = 0

La matriz de Hurwitz es:

=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

H aa

3 1 02 2 30 0 2

Menores:

1 = 3

2 =3 1

2a 2= 6 2a > 0 a < 3

3 = 2a 2 > 0 2a 6 2a( ) > 0 0 < a < 3

Por tanto, ha de ser:

0 < a < 3

CAPÍTULO 9

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

GENERALIDADES


En este capítulo se hace una introducción básica a las ecuaciones dife-renciales en derivadas parciales que abreviaremos por EDP.

1. Definiciones

Ecuación diferencial en derivadas parciales es cualquier igualdad

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=F x u

ux

ux

ux x

ux x

, , , , , , , 0n1

2

1 1

2

1 2

… … (9.1)

donde x = x1,x2,…,xn( ) Rn con abierto.

Orden de una EDP es el mayor de los órdenes que tienen las derivadas que en ella intervienen.

Solución particular de la EDP (9.1) es toda función u: R, tal que al sustituirla en la ecuación hace que se cumpla. Solución general es la expresión que teóricamente contiene a todas las soluciones particulares.

2. Ecuación lineal en derivadas parciales

Una ecuación en derivadas parciales (9.1), es lineal si la función F sepuede expresar como suma de una función solo dependiente de x, más una función lineal en las variables correspondientes a u, y a las derivadas par-ciales que intervengan.

Para el caso de dos variables independientes, es decir x = (x, y), la ex-presión general de la ecuación en derivadas parciales lineal y de segundo orden, con una función u(x, y) es de la forma


∂∂

+∂∂ ∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+ =au

xb

ux y

cu

yd

ux

euy

fu g2

2

2 2

2 (9.2)

donde a, b, c, d, e, f, g son funciones de x e y. Estas funciones a, b, c,..., pue-den ser independientes de x e y, en cuyo caso la EDP será lineal de coefi-cientes constantes.

Si g = 0 se tiene la expresión general de la ecuación lineal homogénea de segundo orden

3. Condiciones de contorno

Se llaman Condiciones de contorno o de frontera a las restriccioneso condiciones adicionales definidas en el dominio de definición de unaEDP, que suelen acompañarlas cuando estas forman parte de un determi-nado sistema o problema técnico. A estos problemas se les llama Proble-mas de valores de contorno, o Problemas de valores en la frontera.

Para las ecuaciones de segundo orden, se llama:

1. Condición de Dirichlet. Especifica los valores de una solución to-mada sobre la frontera. Es de la forma

( ) ( )= ∈u x g x x frontera de

2. Condición de Newmann. Especifica los valores de la derivada nor-mal de una solución sobre la frontera. Son de la forma

( ) ( )∂∂

= ∈un

x g x x frontera de

3. Condición de Robin. Es una combinación lineal de las condicionesde Dirichlet y de Newman. Es de la forma

( ) ( ) ( )+ ∂∂

=Au x Bun

x g x , A,B, R x frontera de

En todos los casos, si g = 0, las condiciones se llaman homogéneas.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. GENERALIDADES

4. Ecuación unidimensional del calor

Es la ecuación que representa la transferencia de calor por conduccióny de forma unidimensional, a través de una varilla delgada y aislada.

x + xx0 t

x

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla en cada punto x y en cada ins-tante t, la ecuación es

− α = α =u u 0 ; cte.t xx2

5. Ecuación del calor como problema de contorno

Expresión clásica de la ecuación del calor como un problema de con-torno:

− α =u u 0t xx2 , x L0 , t 0 = cte.

( ) ( )

( ) ( )

= < <

= = >

u x f x x L

u t u L t t

,0 ; 0

0, , 0 ; 0

(9.3)

Las condiciones añadidas a la ecuación del calor indican:

1. Una distribución de temperatura f(x) de la varilla en el instante t = 0(condición inicial): u(x, 0) = f(x); 0 < x < L

2. Los extremos de la varilla se mantiene a temperatura cero durantetodo el tiempo t > 0: u(0, t) = u(L, t) = 0; t > 0 (Condición de frontera de Di-richlet)

Si estas condiciones varían, lo hace el sistema técnico definido, y por lo tanto la ecuación y las condiciones han de formalizarse e interpretarse de forma correcta.


6. Ecuación de ondas

Analiza las vibraciones transversales de una cuerda sujeta entre dospuntos fijos. Expresando por u(x, t) el desplazamiento vertical de la cuer-da en la dirección de U, en el punto de abcisa x y en el momento t, la ecua-ción de ondas define de forma matemática ese desplazamiento, e indica la posición de la misma en cada instante.

U

u(x,t)

0 x L X

La expresión clásica como un problema de contorno:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∂∂

−∂∂

= < < >

= = ≥

= ≤ ≤

∂∂

= ≤ ≤

ut

cu

xx L t

u t u L t t

u x f x x L

ut

x g x x L

0 0 0

0, , 0 0

,0 0

,0 0

2

22

2

2

(9.4)

donde c2 es una cantidad estrictamente positiva, que depende de las carac-terísticas físicas de la cuerda.

La ecuación y las condiciones adicionales significan técnicamente:

1. En la ecuación, el cero del segundo miembro supone que no hayfuerzas externas que actúen sobre la cuerda. Si existiese alguna, la ecua-ción sería de la forma

( )∂∂

−∂∂

= < < >u

tc

ux

h x t x L t, 0 02

22

2

2


donde h(x, t) representa esa fuerza (rozamiento del aire, amortigua-miento, etc.)

2. La primera condición: u(0, t) = u(L, t) = 0; t ≥ 0, indica que la cuerdase mantiene fija al eje x en ambos extremos, x = 0 y x = L, y en todo instan-te t.

3. Las otras dos condiciones indican el desplazamiento inicial

u(x, 0) = f(x), y la velocidad inicial ( ) ( )∂∂

=ut

x g x,0 respectivamente en cada

punto de abcisa x de la cuerda. Si no hubiese desplazamiento ni velocidad

inicial, serían f(x) = g(x) = 0.

7. Ecuación de Laplace

Determina, bajo diversas condiciones, la temperatura u(x, y) en cadapunto de una placa o lámina bidimensional situada en el plano XY.

∂∂

+∂∂

=u

xu

y0

2

2

2

2 (9.5)

se llama Ecuación de Laplace bidimensional, y se abrevia con la notación

2u = 0

donde el operador 2u =2ux2 +

2uy2 se llama Operador laplaciano bidi-

mensional.

El problema de contorno clásico tiene la expresión

( ) ( ) ( ) ( )

∂∂

+∂∂

= < < < <

∂∂

=∂∂

= < <

= = < <

= =

ux

uy

x a y b

ux

ux

y b

u x f x u x b g x x a

0 0 , 0

0 , 0 , 0

,0 , , , 0

x x a

2

2

2

2

0

(9.6)


y significa

1. Las caras laterales de la placa están aisladas. Es decir, que no escapa

ni entra calor por ellas: ∂∂

=∂∂

= < <= =

ux

ux

y b0 , 0 , 0x x a0

2. En los extremos superior e inferior respectivamente, se supo-ne una distribución de temperatura previamente asignada: u(x, 0) = f(x), u(x, b) = g(x), 0 < x < a.


9.1. ¿De que órden son las siguientes ecuaciones diferenciales en de-rivadas parciales, donde la función es u(x, y), en dos variables indepen-dientes.

a) + + =u u x 0x y

b) + + =u u xu 0x xy y

c) + + =u u xsen( ) 0x y

d) u uxy2

SOLUCIÓN

En los casos a) y c) las ecuaciones son de primer orden. En los otros de segundo orden.

9.2. Indique las características básicas (linealidad, homogeneidad, coeficientes), de las siguientes ecuaciones en derivadas parciales, donde la función es u(x, y).

a) + =u x5 0x

b) + + =u u xu 5x xy y

c) + =u yu ux

d) ( )+ =uu u uxx y

2 2

e) + + =u x u u uln( )x yy xy


SOLUCIÓN

a) Ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes.

b) Lineal no homogénea, de coeficientes no constantes.

c) Lineal homogénea de coeficientes no constantes.

d) Ecuación no lineal.

e) Lineal homogénea y de coeficientes no constantes.

9.3. Compruebe que las siguientes funciones u(x, y), corresponden a soluciones particulares de las ecuaciones correspondientes.

a) ( ) ( )= + −u x y x x y, sen es solución de la ecuación + =u u 1x y .

b) ( ) = +u x t x t, 42 2 es solución de la ecuación de ondas − =u u4 0tt xx .

c) ( ) ( )= −u x t e x, sen 3t es solución de la ecuación del calor para un de-

terminado valor de la constante 2.

SOLUCIÓN

a) Las derivadas parciales de la función ( ) ( )= + −u x y x x y, sen son:

( ) ( )=∂∂

= + − =∂∂

= − −uux

x y uuy

x y1 cos , cosx y

Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación, se comprueba que la verifica.

( ) ( )+ = + − − − =u u x y x y1 cos cos 1x y

b) Las derivadas de la función ( ) = +u x t x t, 42 2 son

=∂∂

= =∂∂

=

=∂∂

= =∂∂

=

uux

x uut

t

uu

xu

ut

2 , 8

2 , 8

x t

xx tt

2

2

2

2


Se verifica:

− =u u4 0tt xx

c) Las derivadas parciales de la función ( ) ( )= −u x t e x, sen 3t son

( ) ( )

( )

=∂∂

= =∂∂

= −

=∂∂

= −

− −

−

uux

e x uut

e x

uu

xe x

3 cos 3 , sen 3

9 sen 3

xt

tt

xxt

2

2

Ecuación del calor − α =u u 0t xx2 ; = cte.

Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación, resulta

( )( ) ( ) ( )− α = − + α = α − =− − −u u e x e x e xsen 3 9 sen 3 9 1 sen 3 0t xxt t t2 2 2

Al ser acotada la función seno, ha de ser

9 2 1= 0 2 = 19

9.4.

a) Compruébese que la función

( )( ) = + + =u x y a x y b a b, ln , ctes.2 2

es una solución particular de la ecuación de Laplace bidimensional.

b) Determinar a, b para que u satisfaga las siguientes condiciones:

( )( ) =

= + =

u e

u x y x y

0, 5

, 0 en 12 2


SOLUCIÓN

a) Ecuación de Laplace bidimensional

∂∂

+∂∂

=u

xu

y0

2

2

2

2

Las derivadas parciales de la función ( )( ) = + +u x y a x y b, ln 2 2 son:

( )( )

( )( )

=∂∂

=+

=∂∂

=+

=∂∂

=−

+=∂∂

=−

+

uux

axx y

uuy

ayx y

uu

x

a y x

x yu

uy

a x y

x y

2,

2

2,

2

x y

xx yy

2 2 2 2

2

2

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2 2

Fácilmente puede comprobarse que se verifica + =u u 0xx yy .

b) Sustituyendo las condiciones del enunciado en la expresión deu(x, y), se obtiene:

u 0,e( ) = 5 2a+ b = 5

u x, y( ) = 0, en x2 + y2 =1 a ln1+ b = 0 b = 0

De ambos

a b52

, 0

9.5. Hállese la solución general de las siguientes ecuaciones en deriva-das parciales, donde la función es u = u(x, y).

a) ux = 0

b) uxy = 0

c) uxy = 2(x + 1) sen y


SOLUCIÓN

a)

( )=∂

∂=u

u x y

x

,0x

Integrando con respecto a x suponiendo la y constante, se obtiene

u(x, y) = f(y)

donde f(y) es una función arbitraria. Es la solución general.

b) Expresando la ecuación en la forma

=∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=u

xuy

0xy

e integrando con respecto a x, suponiendo y constante, se obtiene

uy= y( )

donde (y) es una función arbitraria, que se supone continua.

Integrando ahora esta última ecuación con respecto a y, se obtiene la solución general

u x, y( ) = y( )dy + f x( )u x, y( ) = g y( ) + f x( )

donde g(y) es una primitiva de (y), y f(x) una función arbitraria.

c) Expresando la ecuación en la forma

( )∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +

xuy

x y2 1 sen


e integrando con respecto a x, se obtiene

uy= x2 + 2x( )sen y + y( )

donde (y) es una función arbitraria, que se supone continua.

Integrando ahora la última expresión con respecto a y, resulta la solu-ción general de la ecuación propuesta

( )( ) ( ) ( )= − + + +u x y x x y g y f x, 2 cos2

donde g(y) es una primitiva de (y), y f(x) una función arbitraria.

9.6. Resuélvanse como ecuaciones ordinarias las siguientes ecuacio-nes en derivadas parciales que contienen derivadas solo respecto a una va-riable, considerando constantes a las que no intervienen en la derivación parcial.

a) uy = u

b) uxx + u = 0

SOLUCIÓN

a) Considerando x constante, la ecuación corresponde a una ecuación or-dinaria de variables separadas, donde y es la variable independiente.

Con esas condiciones, integrando dicha ecuación, resulta

uy

u=1

uy

udy = dy ln u + g x( ) = y + C u = eC g x( ) ey

donde g(x) es una función arbitraria, y C es una constante de integración.

Renombrando ambas, la solución general puede expresarse

( ) ( )=u x y f x e, y


b) Considerando y constante, es una ecuación lineal ordinaria de se-gundo orden y de coeficientes constantes.

La ecuación característica y sus raíces son:

k2 + 1 = 0. Raíces: k1,2 = ±i

Por tanto, la solución general es

( ) ( ) ( )= +u x y f y x g y x, cos sen

donde f(y), g(y) son funciones arbitrarias.

9.7. Resuélvase el siguiente problema de valores de contorno:

( )

( )

( )

∂∂ ∂

=

= −

=

u x y

x yx y

u x x

u y y

,2 sen

,0

0,

2

2

2

SOLUCIÓN

Puesta la ecuación en la forma

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

xuy

x y2 sen

e integrando con respecto a x, suponiendo y constante, se obtiene

( )∂∂

= +uy

x y f ysen2

donde f(y) es una función arbitraria, función que se supone continua.

Integrando ahora esta última ecuación con respecto a y, con x constan-te, resulta

( ) ( ) ( )= − + +u x y x y g y h x, cos2

donde g(y) es una primitiva de f(y), y h(x) una función arbitraria.


Aplicando las condiciones se obtiene

u(x,0) = x2 g 0( )+ h x( ) = 0

u 0, y( ) = y2 g y( ) + h 0( ) = y2

De la primera ecuación se deduce

h(x) = −g(0) , y con ello h(0) = −g(0).

y de la segunda

g(y) = y2−h(0) , es decir g(y) = y2 +g(0).

Por lo tanto, la solución del problema es

u(x,y) = −x2 cosy + g(y) + h(x) = −x2 cosy + y2

9.8. Indíquese un modelo matemático que describa la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud L, donde la distribución inicial de dicha temperatura es f(x), para los siguientes casos:

a) La varilla está aislada y los extremos están a una temperatura cons-tante de T grados.

b) La varilla está aislada y los extremos están aislados también, es de-cir, el flujo de calor es nulo (no entra ni sale calor por los extremos).

c) La varilla no está aislada (existe una fuente de calor de distribuciónh(x) que la calienta) y los extremos se mantienen a temperatura constante de 0 grados.

d) La varilla está aislada, y en el extremo x = L existe un flujo de calorproporcional a su temperatura en cada instante.

SOLUCIÓN

Los distintos casos corresponden a la ecuación del calor con ciertas condiciones de contorno.


a) El modelo matemático está definido por el siguiente problema:

− α = < < > α =u u x L t0 ; 0 , 0 cte.t xx2

(1)

( ) ( )= < <u x f x x L,0 ; 0 (2)

( ) ( )= = >u t u L t T t0, , ; 0 (3)

donde las condiciones indican

(1) La varilla está aislada (segundo miembro de la ecuación diferencial es cero).

(2) La distribución inicial de temperatura en la varilla es f(x).

(3) Los extremos está a una temperatura constante de T grados.

b) En este caso, el modelo matemático es

− α = < < > α =u u x L t0 ; 0 , 0 cte.t xx2

(1)

( ) ( )= < <u x f x x L,0 ; 0 (2)

( ) ( )= = ≥u t u L t t0, , 0 ; 0x x (3)

La condición (3) indica que el flujo de calor (cantidad de calor por uni-dad de tiempo) es cero en los extremos.

c) Modelo matemático

( )− α = < < > α =u u h x x L t; 0 , 0 cte.t xx2 (1)

( ) ( )= < <u x f x x L,0 ; 0 (2)

( ) ( )= = ≥u t u L t t0, , 0 ; 0 (3)

En la condición (1), el valor h(x) indica que una fuente de calor con la distribución indicada calienta la varilla.

d) Modelo matemático

− α = < < > α =u u x L t0 ; 0 , 0 cte.t xx2

(1)

( ) ( )= < <u x f x x L,0 ; 0 (2)

( ) ( )= λ ≥u L t u L t t, , ; 0x (3)


La condición (3) indica la proporcionalidad con factor del flujo de ca-lor existente en el extremo x = L.

9.9. Descríbase un modelo matemático que defina el desplazamien-to vertical u(x, t) en cada instante t de una cuerda de longitud L, donde no existen fuerzas externas que actúen sobre ella, que parte de la posición ini-cial u(x, 0) = ex con velocidad inicial ut(x, 0) = x, y que los extremos de di-cha cuerda estén ambos fijos. ¿Con estas condiciones, cuál ha de ser la po-sición de ambos extremos?

SOLUCIÓN

El modelo descrito corresponde a la ecuación de ondas, y con las con-diciones de contorno definidas está representado por

( ) ( )

( )

( )

∂∂

−∂∂

= < < >

= = ≥

= ≤ ≤

∂∂

= ≤ ≤

ut

cu

xx L t

u t A u L t B t

u x e x L

ut

x x x L

0 0 0

0, , , 0

,0 0

,0 0

x

2

22

2

2

donde las cantidades constantes A y B indican la posición fija de los extre-mos de la cuerda.

Para que el modelo sea conforme, esos valores A y B han de verificar el resto de las condiciones. De la segunda se deduce

Para x = 0 : u(0,0) = e0 = 1

Para x = L : u(L,0) = eL

Por tanto, la posición de ambos extremos ha de ser

A = 1 , B = eL

CAPÍTULO 10

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

LINEALES DE SEGUNDO ORDEN.

SEPARACIÓN DE VARIABLES


En este capítulo se analizan las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales de segundo orden, cuya expresión general es

∂∂

+∂∂ ∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+ =au

xb

ux y

cu

yd

ux

euy

fu g2

2

2 2

2 (10.1)

donde a, b, c, d, e, f, g son funciones de x e y.

1. Tipos de EDP lineales de segundo orden

Se dice que la ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden(10.1) es:

1. Hiperbólica si b2 – 4ac > 0.

2. Parabólica si b2 – 4ac = 0.

3. Elíptica si b2 – 4ac < 0.

El carácter de las ecuaciones lineales con coeficientes variables (en las que a, b, c son funciones de x e y) puede ser distinto según sea el subcon-junto (x, y) R2, o de otra forma, según sea la región del plano xy.

2. Ecuación de Euler

Se conoce por Ecuación de Euler el caso especial de ecuación (10.1),homogénea de la forma

∂∂

+∂∂ ∂

+∂∂

=au

xb

ux y

cu

y0

2

2

2 2

2 (10.2)

en la que a, b, c son constantes.


Se resuelve buscando una solución en la forma u = f( ), donde = y + mx, con m = constante. Introduciendo esa solución y sus derivadas, se observa que la solución de la ecuación depende de los valores de m que hagan

+ + =am bm c 02

Entonces, según sea la ecuación a resolver, y los valores de m, resulta

1. a ≠ 0 y las raíces m1, m2 de la ecuación son distintas (reales o imagi-narias).

1.1. m1, m2 reales. Ha de ser b2 – 4ac > 0 (Ecuaciones hiperbólicas).

Solución general: u = f(y + m1x) + g(y + m2x).

1.2. m1, m2 imaginarias. Ha de ser b2 – 4ac < 0 (Ecuaciones elípticas).

Solución general: u = f(y + (p + qi) x) + g(y + (p – qi) x).

2. a ≠ 0 y la ecuación tiene una raíz m doble.

Solución general: u = f(y + mx) + xg(y + mx).

3. a = 0.

3.1. b ≠ 0. Solución general: ( )= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+u f y

cb

x g x .

3.2. b = 0. Lógicamente c ≠ 0. Solución general: u = f(x) + yg(x).

3. El método de separación de variables

Es un método de resolución de problemas con valores en la frontera en los que intervienen ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales con n variables independientes, y que consiste en suponer la existencia de soluciones producto de la forma X1, X2, ..., Xn, donde cada factor Xi es fun-ción solamente de cada una de esas variables.

Así, si la ecuación contiene dos variables independientes x y t, con fun-ción u(x, t), se supone que la ecuación admite soluciones producto de la forma

u(x, t) = X(x) · T(t)

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN. SEPARACIÓN DE VARIABLES

con X(x) función solo de x, y T(t) función solo de t. Por lo tanto, si la supo-sición hecha es cierta, el método conduce a la resolución de dos ecuacio-nes diferenciales ordinarias, cada una de las cuales ha de verificar las con-diciones adicionales que contienen los problemas de contorno que se van a resolver.

Para aplicar el método consideremos por ejemplo un problema de con-torno compuesto por:

u(x, t) definida para x (0, L), t ≥ 0.

u(0, t) = u(L, t) = 0.

u(x, 0) = f(x).

El procedimiento general para aplicarlo es el siguiente:

1. Se separan variables, suponiendo la solución en la forma u(x, t) = X(x) · T(t).

2. Se introduce la solución supuesta, mediante las convenientes deri-vaciones, en la ED, y se separan a ambos miembros de una igualdad las funciones que resulten dependientes de una u otra variable. El que sean iguales dos funciones dependientes de variables distintas es solo posible cuando ambas sean una constante . Resultan así dos ecuaciones ordina-rias.

3. Se resuelve la primera ecuación aplicando únicamente las condicio-nes de contorno, considerando los tres casos en que los valores de sean: = 0, > 0, < 0 y con ello encontrando los valores y las soluciones co-

rrespondientes para que estas sean no triviales.

4. Se resuelve la otra ecuación ordinaria.

5. Se construyen todas las soluciones de la EDP como producto de lasanteriores.

6. Se aplica el principio de superposición y se obtiene una combina-ción lineal de todas las soluciones producto.

7. Se impone la condición inicial.


8. Se identifican los coeficientes. Esta identificación de coeficientespuede hacerse directamente si la forma de f(x) lo permite, o bien mediante otros métodos, como es el el desarrollo en serie de Fourier de f(x) que no será tratado aquí


10.1. Clasifíquense las siguientes ecuaciones en hiperbólicas, parabó-licas o elípticas

a) − + + + =u u u u u5 2 0xx xy yy x y

b) − + − + =u u u u2 4 2 0xx xy yy x

c) − + =u u u7 6 0xx xy yy

d) π − + + =u u u u2 0xx xy yy y

SOLUCIÓN

La clasificación de la ecuación en hiperbólica, parabólica o elíptica depende del signo de b2 – 4ac, siendo a, b, c los coeficientes respectivos de uxx , uxy , uyy en la expresión general de la ecuación lineal de segundo orden (10.1).

a) En este caso a = 5, b = –1, c = 2. Por lo tanto b2 – 4ac = –39 < 0.Ecuación elíptica.

b) a = –2, b = 4, c = –2. Por lo tanto b2 – 4ac = 0. Ecuación parabólica.

c) a = 1, b = –7, c = 6. Ahora b2 – 4ac > 0. Ecuación hiperbólica.

d) a = , b = –1, c = 2. Por lo tanto b2 – 4ac = 1 – 8 < 0. Ecuación elíp-tica.

10.2. Hállense los puntos (x, y) R2 en los que las siguientes ecuacio-nes son hiperbólicas, parabólicas o elípticas, determinando en el plano xy las regiones correspondientes


a) + + =xu yu xu2 0xx xy yy

b) ( )− − − =u xu y u y2 1xx xy yy2

c) − − =xu yu u y2 senxx xy yy

SOLUCIÓN

a) Los coeficientes son

a = x, b = 2y, c = x

Por tanto

( )( )− = − = + −b ac y x y x y x4 4( ) 42 2 2

Si y2 – x2 > 0, es decir, para (x, y) R2. y2 > x2, la ecuación es hiperbólica.

Si y2 – x2 < 0, es decir, para (x, y) R2. y2 < x2, la ecuación es eliptica.

Si y2 – x2 = 0, es decir, para (x, y) R2. y2 = x2, la ecuación es parabólica.

En el plano xy, la ecuación es parabólica en los puntos de las rectas y = x, y = –x, la ecuación es elíptica en la región correspondiente a los con-juntos abiertos a derecha e izquierda de dichas rectas, y es hiperbólica en el resto del plano. Figura 10.1.a.

b) ( )= = − = − −a b x c y1, 2 , 12

− = + −b ac x y4 4( 1)2 2 2

Si x2 + y2 – 1 > 0, es decir, para (x, y) R2. x2 + y2 > 1, la ecuación es hi-perbólica.

Si x2 + y2 – 1 < 0, es decir, para (x, y) R2. x2 + y2 < 1, la ecuación es elíptica.

Si x2 + y2 – 1 = 0, es decir, para (x, y) R2. x2 + y2 = 1, la ecuación es pa-rabólica.


En el plano xy, la ecuación es parabólica en los puntos de la circunfe-rencia de centro (0, 0) y radio 1, la ecuación es elíptica en el círculo defi-nido por esa circunferencia, y es hiperbólica en el resto del plano. Figura 10.1.b.

c) = = − = −a x b y c, 2 , 1

− = +b ac y x4 4( )2 2

Si y2 + x > 0, es decir, para (x, y) R2. x > –y2, la ecuación es hiperbólica.

Si y2 + x < 0, es decir, para (x, y) R2. x < –y2, la ecuación es elíptica.

Si y2 + x = 0, es decir, para (x, y) R2. x = –y2, la ecuación es parabólica.

Por tanto, la ecuación es parabólica en los puntos de la parábola x = –y2, es elíptica en el conjunto interior limitado por la misma, y es hiperbóli-ca en el resto del plano. Figura 10.1.c.

y = –x

parabólica

y = xhiperbólica

elíptica elíptica

hiperbólica

parabólica

elíptica

hiperbólica

1

parabólica

elíptica hiperbólica

Fig. 10.1.a Fig. 10.1.b Fig. 10.1.c

10.3. Hállese la solución general de las siguientes ecuaciones:

a) − + =u u u5 2 2 0xx xy yy

b) − + − =u u u2 4 2 0xx xy yy

c) − + =u u u7 6 0xx xy yy

d) u 0yy


SOLUCIÓN

Son todas ecuaciones de Euler de la forma (10.2). La función f(y + mx) con f arbitraria, es solución de la ecuación para los valores de m que verifi-quen

+ + =am bm c 02 (10.3)

a) − + =u u u5 2 2 0xx xy yy

En este caso a = 5, b = –2, c = 2.

Es una ecuación del tipo elíptico (b2 – 4ac = –36 < 0).

La ecuación de segundo grado (10.3) que corresponde es

− + =m m5 2 2 0.2 . Raíces i15

35

.

Por tanto, la solución general de la ecuación es de la forma

( ) = + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

u x y f y i x g y i x,15

35

15

35

donde f, g son funciones arbitrarias en sus argumentos correspondientes.

b) − + =u u u2 4 2 0xx xy yy

En este caso a = 2, b = –4, c = 2.

Es una ecuación del tipo parabólico (b2 – 4ac = 0).

Luego (10.3) proporciona

2m2 – 4m + 2 = 0. Raíz: 1 doble.

La solución general es de la forma

( ) ( ) ( )= + + +u x y f y x xg y x, . f, g funciones arbitrarias.


c) − + =u u u7 6 0xx xy yy

a = 1, b = –7, c = 6. Es una ecuación hiperbólica (b2 – 4ac = 25 > 0).

Por tanto, (10.3) da

m2 – 7m + 6 = 0. Raíces: 6, 1.

Solución general

( ) ( ) ( )= + + +u x y f y x g y x, 6 , f, g funciones arbitrarias.

d) uyy = 0

En este caso a = b = 0, c = 1.

La ecuación am2 + bm + c = 0 se reduce a un absurdo (1 = 0). No exis-ten soluciones en la forma f(y + mx).

La solución general se consigue integrando parcialmente

uyy = 0y

uy

= 0uy= f x( ) u x, y( ) = yf x( )+ g x( )

donde f(x), g(x) son funciones arbitrarias.


( )∂∂ ∂

=u x tx t

,0

2

Se pide

a) Clasifícarla en elíptica, parabólica o hiperbólica.

b) Hallar una solución general que contenga dos funciones arbitrarias.

c) Resolver el siguiente problema

( )( )

( )∂∂ ∂

=

= −

=

u x tx t

u x x

u t t

,0

, 0

0,

2

2


SOLUCIÓN

a) Ha de estudiarse el signo de b2 – 4ac. Aquí es a = c = 0, b = 1.

b2 – 4ac = 1 > 0. Ecuación hiperbólica.

b) u x tx t x

ut

,0 , 0

2 ( )∂∂ ∂

= ∂∂

∂∂

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

Integrando respecto a x, se obtiene:

ut= t( )

donde (t) es una función arbitraria que se supone continua.

Integrando respecto a t se obtiene la solución general

u = t( )dt + g(x) u = f t( )+ g x( )

donde f(t) es una función primitiva de (t).

También puede obtenerse considerándola una ecuación de Euler.

Es el caso a = 0, b ≠ 0 (con c = 0).

Una solución es = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

u f tcb

x , que al ser c = 0 queda u = f(t). Otra es u = g(x).

La solución general es u = f(t) + g(x).

c) Aplicando ahora las condiciones dadas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − = + = − −u x x x f g x g x f x, 0 : 0 ; 02 2 2 , y con ello ( ) ( )= −g f0 0 .

( ) =u t t0, : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = − = +t f t g f t t g f t t f0 ; 0 ; 0

Sustituyendo f(t), g(x) en la solución general, resulta la solución parti-cular buscada

( ) = − +u x t x t, 2


10.5. Encuéntrense las ecuaciones diferenciales ordinarias que apare-cen al utilizar el método de separación de variables en cada una de las ecua-ciones en derivadas parciales siguientes donde la función es u(x, t):

a)∂∂

=∂∂

ux

ut

2

2

2

2

b)∂∂

− α∂∂

=ut

ux

022

2

c)∂∂

= α∂∂

− β∂∂

ut

ut

ux

2

2

d)∂∂

=∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ux t t

tut

1

SOLUCIÓN

a)∂∂

=∂∂

ux

ut

2

2

2

2

Solución a buscar: u(x, t) = X(x) · T(t), donde las variables x y t están se-paradas.

Derivando convenientemente X(x), T(t) se obtiene

∂∂

=ux

X T' , ∂∂

=ut

XT ' , ∂∂

=ux

X T''2

2 , ∂∂

=ut

XT ''2

2

y sustituyendo estos resultados en la ecuación inicial, queda

X ''T = XT ''X ''X

= T ''T

El lado izquierdo de la igualdad es función solo de x, y el derecho solo de t. Por lo tanto esa igualdad solo puede darse si ambas partes son la mis-ma constante. Sea esa constante, es decir

= = λXX

TT

'' ''


Por lo tanto, las dos ecuaciones ordinarias que han de verificarse son

− λ =

− λ =

d Xdx

X

d Tdt

T

0

0

2

2

2

2

b) ∂∂

− α∂∂

=ut

ux

022

2

Solución a buscar u(x, t) = X(x) · T(t).

Las derivadas son

∂∂

=ux

X T' , ∂∂

=ut

XT ' , ∂∂

=ux

X T''2

2 , ∂∂

=ut

XT ''2

2

que sustituyendo en la ecuación inicial resulta

XT ' = 2X ''T 2 X ''X

= T 'T

El lado izquierdo de la igualdad es función solo de x, y el derecho solo de t. Esa igualdad solo puede darse si ambas partes son la misma constan-te . En ese caso

α = = λXX

TT

'' '2

Las ecuaciones ordinarias deducidas de esta expresión son

−λα

=

− λ =

d Xdx

X

dTdt

T

0

0

2

2 2

c) ∂∂

= α∂∂

− β∂∂

ut

ut

ux

2

2


Solución a buscar u(x, t) = X(x) · T(t) donde las variables x y t están se-paradas.


∂∂

=ux

X T' , ∂∂

=ut

XT ' , ∂∂

=ux

X T''2

2 , ∂∂

=ut

XT ''2

2

y sustituyendo en la ecuación inicial

XT ' = XT '' X 'TX 'X

= T '' T 'T

El lado izquierdo de la igualdad es función solo de x, y el derecho solo de t. Por lo tanto esa igualdad solo puede darse si ambas partes son la mis-ma constante. Si es esa constante, de la expresión

=α −

β= λ

XX

T TT

' '' '

se deducen las siguientes ecuaciones ordinarias:

− λ =

−α

− λβα

=

dXdx

X

d Tdt

dTdt

T

0

10

2

2

d) ∂∂

=∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ux t t

tut

1

Solución a buscar: u(x, t) = X(x) · T(t), donde las variables x y t están se-paradas.


∂∂

=ux

X T' , ∂∂

=ut

XT ' , ∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +

tt

ut

tXT XT'' '


y sustituyendo estos resultados en la ecuación inicial

X 'T = XT ''+ XT 't

X 'X

= tT ''+ T 'tT

=

Por tanto, las ecuaciones ordinarias que se deducen son

dXdx

X = 0

d2Tdt2 + 1

tdTdt

T = 0

X '(x) X = 0,

1tddt

tdTdt

T = 0

10.6. Encuéntrense todas la funciones u(x, t), resultantes de aplicar el método de separación de variables a la ecuación

∂∂

−∂∂

−∂∂

= < < π >ut

ux

ux

u x t4 4 , 0 , 02

2

con las condiciones de contorno homogéneas siguientes:

( ) ( )= π = ≥u t u t t0, , 0, 0

SOLUCIÓN

Solución a buscar

u(x, t) = X(x) · T(t) (10.4)

Derivando se obtiene

∂∂

=ux

X T' , ∂∂

=ut

XT ' , ∂∂

=ux

X T''2

2 , ∂∂

=ut

XT ''2

2

y sustituyendo en la ecuación

XT ' X ''T 4X 'T = 4XTX ''+ 4X '+ 4X

X= T 'T

=


Las ecuaciones diferenciales ordinarias que se obtienen son

( ) ( ) ( )+ + − λ =X x X x X x'' 4 ' (4 ) 0 (10.5)

( ) ( )− λ =T t T t' 0 (10.6)

Aplicando las condiciones de contorno del problema a la función u(x, t) expresada en (10.4), se obtiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= ⋅ =

π = π ⋅ =

u t X T t

u t X T t

0, 0 0

, 0

Y como la función T(t) buscada es no trivial, es decir T(t) ≠ 0, ha de ser

( ) ( )= π =X X0 0

Resolvamos según los valores de , el problema compuesto por estas condiciones junto con la ecuación (10.5), es decir:

( ) ( ) ( )( ) ( )

+ + − λ =

= π =

X x X x X x

X X

'' 4 ' (4 ) 0

0 0

La ecuación característica y sus raíces son

( )+ + − λ =k k4 4 02 . Raíces: = − ± λk 2 .

Si = 0, la solución es

( ) = +− −X x C e x C ex x1

22

2

que aplicando las condiciones se obtiene

X 0( ) = 0 C2 = 0

X ( ) = 0 C1 e 2 + C2e2 = 0 C1 = 0


Con ello resulta como única solución la trivial X(x) = 0.

Si > 0, la solución es

( ) = +λ− − λ+X x C e C ex x1

( 2)2

( 2)

que al aplicar las condiciones resulta

X 0( ) = 0 C1 + C2 = 0

X ( ) = 0 C1e( 2)x + C2e

( +2)x = 0

Este es un sistema homogéneo en C1, C2 con solución única C1 = C2 = 0.

Por tanto la única solución es también X(x) = 0.

Si < 0, la solución general es

( ) = λ + λ− −X x C e x C e xcos( - ) sen( - )x x1

22

2 .

De X(0) = 0 C1 = 0. La solución queda ( ) = λ−X x C e xsen( - ).x2

2

De X( ) = 0 C2e2xsen ( - ) = 0 . El valor de C2 depende del valor de .

Por tanto, existen infinitas soluciones.

Ahora bien, para que las soluciones sean distintas de X(x) = 0, ha de ser necesariamente

λ π =sen( - ) 0

ya que en caso contrario el valor de C2 sería cero, y la única solución sería la trivial.

Por tanto, para que exista solución no trivial, ha de ser

−λπ = πn con n Z

lo cual se da cuando

= –n2 con n N


Por lo tanto la solución general de la ecuación (10.5) para cada valor de n es

( ) = −X x A e n xsen( )n nx2

donde An = constante arbitraria. n = 1, 2, ...

Sea ahora la segunda ecuación (10.6)

( ) ( )+ =T t n T t' 02

donde se ha sustituido el valor hallado de . Su solución general es

( ) = =−T t B e B,nn t

n

2

constante arbitraria.

Por tanto, la solución buscada (10.4) es

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ ⎤⎦− −u x t X x T t A e nx B e, senn

xn

n t2 2

donde agrupando constantes, se deduce que las funciones

( )( ) = =− − …u x t C e e n x n, sen( ) , ( 1,2,3 )nn t x22

donde Cn son constantes arbitrarias, verifican la ecuación y las condiciones de contorno.

10.7. Resuélvase el problema de contorno

( )

( ) ( )

( )

( )

∂∂

=∂∂

< < π >

= π = ≥

= ≤ ≤ π

∂∂

= ≤ ≤ π

ux

ut

x t

u t u t t

u x x x

ut

x x x

0 0

0, , 0 0

,0 sen 2 0

,0 3sen 0

2

2

2

2

utilizando el método de separación de variables.


SOLUCIÓN

La obtención de las ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas al aplicar el método de separación de variables se hizo en el ejercicio 10.5.a). Estas son

( ) ( )( ) ( )

− λ =

− λ =

X x X x

T t T t

'' 0

'' 0

Se pueden obtener las soluciones X, T resolviendo estas ecuaciones, asegurando además que cumplen las condiciones de contorno del proble-ma. Apliquemos esas condiciones adicionales.

De las dos primeras, se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= ⋅ =

π = π ⋅ =

u t X T t

u t X T t

0, 0 0

, 0 para todo t.

que al buscar T(t) ≠ 0 (se excluye la solución trivial u(x, t) = 0), se verifican solo si X(0) = X( ) = 0.

Por lo tanto, la función X(x) a buscar ha de satisfacer el siguiente pro-blema

( ) ( )( ) ( )

− λ =

= π =

X x X x

X X

'' 0

0 0 ; 0 (10.7)

y la función T(t) este otro

( ) ( )− λ =T t T t'' 0 (10.8)

Resolvamos el primero, (10.7), cuya solución dependerá del valor de .

Se observa claramente que la función X(x) = 0 es solución para cual-quier valor de , e incluso existirá alguno de ellos para el cual sea la úni-ca solución. Como el objetivo es buscar soluciones de u(x, t) = X(x) · T(t) no triviales, necesariamente ha de ser X(x) no trivial. Busquemos esos valores X(x) ≠ 0.


La ecuación característica de ( ) ( )− λ =X x X x'' 0 es k2 – = 0, con raíces= ± λk .

1. > 0. Las raíces son reales y distintas. La solución general es

( ) = +λ − λX x C e C ex x1 2

X 0( ) = 0 C1 + C2 = 0

X ( ) = 0 C1e + C2e = 0

Este es un sistema homogéneo en C1, C2 con solución única C1 = C2 = 0.

Por lo tanto la única solución es X(x) = 0.

2. = 0. La ecuación característica tiene una raíz doble k = 0, y la solu-ción es

( ) = +X x C C x1 2

X 0( ) = 0 C1 = 0

X ( ) = 0 C1 + C2 = 0

es decir C1 = C2 = 0. De nuevo resulta la solución trivial.

3. < 0. Raíces complejas = ± −λ −λ >k i. ( 0)

Solución general: ( ) = λ + λX x C x C xcos - sen -1 2

Al aplicar las condiciones de contorno, puede deducirse lo siguiente:

De X(0) = 0 C1 = 0. La solución general queda ( ) = λX x C xsen -2

De De X( ) = 0 λ π =C sen( - ) 02 . El valor de C2 depende del de

Como se busca una solución no trivial de X(x) ha de ser C2 ≠ 0, con lo cual

( )−λ π =sen 0


y para ello ha de ser −λ = n , con n natural, es decir los valores posiblesde son:

λ = −n2 ; n = 1,2,3... (10.9)

donde se excluye n = 0, porque entonces es = 0 y la solución sería la tri-vial.

Es decir, existe un conjunto infinito de valores de , los de la forma (10.9)

λ = − − −1, 4, 9,…,

para los cuales la solución de X(x) no es la trivial. Son los valores propios o característicos.

La solución del problema (10.7) que se obtiene para cada uno de esos valores es:

( ) ( )=X x a nxsenn n

La segunda ecuación (10.8) con cada valor posible de hallado queda

( ) ( )+ =T t n T t'' 02

que es lineal de segundo orden, cuya ecuación característica tiene las raí-ces complejas ±ni, y, por tanto, su solución general para cada valor de n es

( ) = +T t C nt C ntcos( ) sen( )n n n,1 ,2

donde Cn,1, Cn,2 son las constantes arbitrarias de integración.

Entonces, para cada valor de n, la solución correspondiente de u(x, t) = X(x) · T(t) es

( ) = +⎡⎣ ⎤⎦u x t a nx C nt C nt, sen( ) cos( ) sen( )n n,1 n,2


donde agrupando constantes y recordando que las combinaciones lineales de soluciones son soluciones también, se tiene la expresión más reducida

∑ [ ]( ) = +=

∞

u x t nx A nt B nt, sen( ) cos( ) sen( )n nn 1

(10.10)

Puede observarse que para cada valor propio del problema (valor de que hace que exista solución no trivial) existe una solución particular del mismo (función propia o función característica) que tiene la forma ante-rior.

Si = –1, es decir n = 1, la solución es [ ]( ) = +u x t x A t B t, sen cos sen1 1 .

Si = –4, es decir n = 2, la solución es u x,t( ) = sen 2x( ) A2cos 2t( )+ B2sen 2t( ) .

De las otras condiciones de contorno definidas en el enunciado del ejer-cicio, se deduce:

De u(x, 0) = sen (2x), es decir, haciendo t = 0 en la solución (10.10)

∑( ) ( )= ==

∞

u x A nx x,0 sen( ) sen 2nn 1

Ha de ser

A A A A1, 02 1 3 4 …

Por tanto, la solución es

∑( ) = ⋅ +=

∞

u x t x t nx B nt, sen(2 ) cos(2 ) sen( ) sen( )nn 1

Para aplicar la última condición de contorno, primero hay que derivar respecto a t obteniéndose

∑ [ ]∂∂

= − ⋅ +=

∞ut

x t nx nB nt2sen(2 ) sen(2 ) sen( ) cos( )nn 1


y de ( )∂∂

=ut

x x,0 3sen , se obtiene

∑ [ ]( ) ( )∂∂

= ⋅ ==

∞ut

x nx nB x,0 sen 3sennn 1

Ha de ser

B B B3, 0.1 2 3 …

Por tanto, la solución del problema es

( ) = +u x t x t x t, sen(2 )cos(2 ) 3sen sen

10.8. Aplíquese el método de separación de variables para resolver la ecuación del calor

∂∂

−∂∂

= < < >ut

ux

x t0, 0 1, 02

2

con las condiciones

( ) ( )∂∂

= >∂∂

= >ux

t tux

t t0, 0, 0; 1, 0, 0

y si para t = 0, la función es

a) u(x, 0) = 6 + 4cos (3 x)

b) u(x, 0) = x

Nota: En el caso b) expresar la solución en forma de sumatorio.

SOLUCIÓN

Solución a buscar

u(x, t) = X(x) · T(t). (10.11)


Las ecuaciones diferenciales ordinarias que se obtienen al aplicar sepa-ración de variables (véase ejercicio 10.5.b, para = 1), son

( ) ( )− λ =X x X x'' 0 (10.12)

( ) ( )− λ =T t T t' 0 (10.13)

Derivando convenientemente en (10.11), y aplicando las primeras con-diciones de contorno del enunciado, considerando que se buscan solucio-nes no triviales, es decir T(t) ≠ 0, se deduce

ux

0,t( ) = X ' 0( ) T t( ) = 0 X ' 0( ) = 0

ux

1,t( ) = X ' 1( ) T t( ) = 0 X ' 1( ) = 0

(10.14)

Resolvamos ahora la ecuación (10.12) con las condiciones (10.14), para distintos valores de .

Si = 0, la ecuación queda X"(x) = 0 de solución general

X(x) = C1 x + C2

con C1, C2 constantes arbitrarias. Su derivada es

X'(x) = C1

y aplicando las condiciones (10.14) referidas, resultan las soluciones cons-tantes

X = C2

Si > 0, la solución general es

( ) = +λ − λX x C e C ex x1 2


Su derivada

( ) = λ − λλ − λX x C e C e' x x1 2

y al aplicar las condiciones (10.14) se obtiene

X ' 0( ) = 0 C1 C2 = 0

X ' 1( ) = 0 C1e C2e = 0

Este es un sistema homogéneo en C1, C2 con solución única C1 = C2 = 0. Por tanto la solución es la trivial X(x) = 0.

Si < 0, la solución general es

( ) = −λ + −λX x C x C xcos( ) sen( )1 2 (10.15)

Su derivada

( ) ( )( ) = − −λ −λ + −λ −λX x C x C x' sen cos1 2

De X'(0) = 0 se deduce C2 = 0, con lo cual la solución (10.15) queda

( )( ) = λX x C xcos -1 ,

y su derivada

( )( ) = − −λ −λX x C x' sen1 .

De X'(1) = 0 se deduce ( )− −λ −λ =C sen 01 . Entonces para que sea C1 ≠ 0 (en caso contrario sería la solución trivial), ha de ser necesariamente

−λ = π ∈n n Z;

es decir

λ = − π ∈n n N; .2 2


Por lo tanto la solución general de la ecuación (10.12) para cada valor de n, y con las condiciones (10.14) es

( ) ( )= πX x C n xcosn n

donde Cn = constante arbitraria, y n = 0,1, 2, ...

Sea ahora la ecuación (10.13), que al sustituir los valores de hallados, queda

( ) ( )+ π =T t n T t' 02 2

Su solución general se halla fácilmente, y es

( ) = =− πT t De D,n t2 2

constante arbitraria.

Agrupando constantes y recordando que las combinaciones lineales de soluciones son soluciones también, resulta la solución (10.11) de la si-guiente forma

∑( ) ( ) ( )= ⋅ = π=

∞− πu x t X x T t A n x e, cos( )n

n

n t

0

2 2

(10.16)

Apliquemos ahora, en cada caso, la última condición de contorno indi-cada en el enunciado.

a) u(x,0) = 6 + 4cos (3 x)

Para facilitar la comprensión de los cálculos, expresemos (10.16) en la forma equivalente

∑( ) = + π=

∞− πu x t A A n x e, cos( )n

n

n t0

1

2 2

(10.17)

donde el sumatorio empieza ahora en n = 1, a diferencia de la expresión anterior donde comenzaba en n = 0.


Con la condición de contorno, ha de ser

∑( ) ( )= + π = + π=

∞

u x A A n x,0 cos( ) 6 4cos 3 xnn

01

es decir A n A A A A6, 3, 4, 00 3 1 2 4…

Por tanto, la solución es

( ) = + π − πu x t x e, 6 4cos(3 ) t9 2

b) u(x,0) = x

En este caso

∑( ) ( )= π = < <=

∞

u x A n x x x,0 cos 0 1nn 0

Los distintos coeficientes An pueden identificarse observando que la expresión anterior se trata de un desarrollo en serie coseno de Fourier, análisis que no se trata en este texto. La sustitución de los coeficientes en (10.16) supone la expresión de la solución del problema.

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BIBLIOGRAFÍA

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