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131
LECCIÓN 6: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN HOMOGÉNEAS
JUSTIFICACIÓN:
En esta Lección, luego de establecer lo que se define como función
homogénea de grado n y plantear una proposición relativa a las funciones
homogéneas, se estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
homogéneas, las cuales siempre pueden reducirse a ecuaciones diferenciales de
variables separables por medio de una sustitución algebraica adecuada.
OBJETIVOS:
El alumno podrá:
1- Determinar cuando una función es homogénea
2- Determinar el grado de homogeneidad de cualquier función homogénea
3- Identificar si una ecuación diferencial dada es homogénea
4- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden homogénea.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE:
En la Lección 5 ¿qué estudiamos?
132
♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables.
Correcto. ¿Cuántos casos estudiamos?
♦ Estudiamos tres casos.
En el Caso 1 ¿qué características dijimos que tenía la ecuación diferencial, en
cuanto a la forma en que está escrita?
♦ Se dijo que en el caso 1, la ecuación diferencial tiene la forma
Q(y) dx + P(x) dy = 0
Muy bien. ¿Cuál es el factor por el cual se debe multiplicar la ecuación
diferencial para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
♦ El factor por el cual se debe multiplicar es )y(Q)x(P
1
Exactamente. ¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial luego de
multiplicar por ese factor?
♦ La ecuación diferencial queda de la forma
0dy)y(Q
1dx)x(P
1=+
Exacto. Una vez que han separado las variables ¿qué deben hacer para obtener
la solución general?
133
♦ Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial, resolver las
integrales y de ser posible despejar la variable "y".
Excelente. En el Caso 2 ¿Cuál era la característica esencial de la ecuación
diferencial?
♦ En el Caso 2, la ecuación diferencial tenía la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Muy bien. ¿Cuál es el factor por el cual tendrían que multiplicar la ecuación
diferencial para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
♦ El factor por el cual se debe multiplicar es )y(Q)x(P
1
12
Exactamente. ¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda de la forma:
0dy)y(Q)y(Qdx
)x(P)x(P
1
2
2
1 =+
Exacto. Una vez separadas las variables ¿qué deben hacer para obtener la
solución general?
♦ Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial, resolver las
integrales y de ser posible despejar la variable "y".
134
Excelente. En el Caso 3 ¿Cuál es la característica esencial de la ecuación
diferencial?
♦ La ecuación diferencial tiene la forma:
y F(x,y) dx + x G(x,y) dy = 0
con F(x,y) y G(x,y) funciones que dependen de x.y
Correcto. ¿Qué significa que F y G dependen de x.y?
♦ Significa que al sustituir x.y = v las funciones quedan dependiendo solo
de v.
Muy bien. ¿Qué se debe hacer para transformar la ecuación diferencial en una
de variables separables?
♦ Se debe realizar el cambio de variables:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=⇒=
2xdxvdvxdy
xvyxyv
Exactamente. ¿Cómo queda la ecuación diferencial con este cambio de
variable?
♦ La ecuación diferencial queda:
)v(Gxdx)v(Fxv
+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2xdxvdvx = 0
o equivalentemente
v [F(v) - G(v)] dx + x G(v) dv = 0
135
¿Cómo hacen para separar las variables?
♦ Para separar las variables se debe multiplicar por el factor
[ ])v(G)v(Fvx1−
Muy bien. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda:
[ ] 0dv)v(G)v(Fv
)v(Gdxx1
=−
+
¿Que deben hacer para obtener la solución general?
♦ Para obtener la solución general se integra cada término de la ecuación
diferencial, se resuelven las integrales y de ser posible se despeja la variable
"y".
Muy bien. En esta lección vamos a estudiar las ecuaciones diferenciales de
primer orden homogéneas, las cuales con un cambio de variable pueden ser
transformadas en ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables
separadas.
Función Homogénea:
Considere la siguiente función g(x,y) = x2 + y2
¿Qué resulta al calcular g(λx, λy)?
136
♦ Resulta que
g(λx, λy) = (λx)2 + (λy)2 = λ2 x2 + λ2 y2 = λ2 (x2 + y2)
Si observan el resultado que obtuvieron ¿quién es (x2 + y2)?
♦ Es precisamente g(x,y)
Correcto. ¿Qué podemos entonces concluir con respecto al resultado de
calcular g(λx, λy)?
♦ Se puede concluir que g(λx, λy) = λ2 g(x,y)
Considere ahora la función
h(x,y) = x3 - 2x2y + y3
¿Qué resulta al calcular h(λx, λy)?
♦ Resulta que h(λx, λy) = (λx)3 - 2(λx)2 (λy) + (λy)3 = λ3 (x3 - 2x2y + y3)
Si observan el resultado que obtuvieron ¿Quién es x3 - 2x2y + y3?
♦ Es h(x,y).
Correcto. ¿Qué podemos entonces concluir con respecto al resultado de
calcular h(λx, λy)?
♦ Se puede concluir que h(λx, λy) = λ3 h(x,y)
137
Consideren ahora la siguiente función
f(x,y) = x2y3 + x3y2 + xy
¿Qué resulta al calcular f(λx, λy)?
♦ Resulta que
f(λx, λy) = (λx)2 (λy)3 + (λx)3 (λy)2 + (λx) (λy) = λ2 (λ3x2y3 + λ3x3y2 + xy)
Observen que en este caso, la función que queda entre paréntesis, difiere de la
función f(x,y).
De los tres ejemplos que acabamos de estudiar se concluye que la función
g(x,y) es una función homogénea con grado dos de homogeneidad, la función h(x,y)
es una función homogénea con grado tres de homogeneidad, la función f(x,y) no es
una función homogénea.
Con base en esta conclusión ¿Podrían establecer un criterio para determinar
cuando una función F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad?
♦ Diremos que F(x,y) es una función homogénea con grado n de homogeneidad
si F(λx, λy) = λn F(x,y).
Exactamente. Abran sus guías en la página 25 y leamos la definición de
función homogénea que allí aparece.
Se dice que la f
si se cumple qu
FUNCIÓN HOMOGÉNEA DE GRADO "n"
unción F(x, y) es homogénea con grado "n"de homogeneidad
e: F (λx, λy) = λn F(x, y) (para todo número real λ)
138
Resuelvan el Problema 1 de la página 25 de sus guías. Trabajen en forma
individual. Disponen de tres minutos para ello.
PROBLEMA 1:
Determine si la función F(x, y) = xy
yxy3yx3x 3223 −+− es homogénea.
De ser posible indique el grado de homogeneidad.
Revisemos como resolvieron el Problema 1
¿Qué deben hacer para verificar si la función dada es una función homogénea
o no?
♦ Debemos determinar F(λx, λy)
F(λx, λy) = ( )( )xy
yxy3yx3xyx
yyx3yx3x2
3223333222233
λ−+−λ
=λλ
λ−λλ+λλ−λ
o equivalentemente
F(λx, λy) = λ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−xy
yxy3yx3x 3223= λ F(x,y)
¿Qué obtuvieron?
♦ Obtuvimos que F(λx,λy) = λ F(x,y)
¿ A qué conclusión pueden llegar con respecto a la homogeneidad de la
función F(x,y)?
139
♦ Podemos concluir que la función F(x, y) = xy
yxy3yx3x 3223 −+− es
una función homogénea con grado uno de homogeneidad.
Exacto. Resuelvan ahora el Problema 2 que está en la página 25 . Disponen
de tres minutos para ello. Pueden trabajar en grupos de tres.
PROBLEMA 2:
Determine si la función G(x, y) = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
xysenex
2yx2 es homogénea. De ser
posible indique el grado de homogeneidad.
Revisemos como resolvieron el Problema 2.
¿Cómo verifican si la función dada es o no homogénea?
♦ Determinamos quien es G(λx,λy)
G(λx,λy) = ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ λλ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλ
λ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλ
xysenex
xysenex
2yx
2222
yx
22
¿ A qué conclusión llegan?
♦ Concluimos que la función G(x, y) = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
xysenex
2yx2 no es homogénea
¿Por qué?
140
♦ Porque la función que aparece en el corchete, cuando calculamos G(λx,λy),
difiere de G(x,y).
Muy bien. El Problema 3 las queda como ejercicio.
PROBLEMA 3:
Determine cual de las funciones que se dan a continuación es homogénea y en
los casos en los cuales sea posible indique el orden de homogeneidad:
1- f(x, y) = x2 - 2xy + y2
2- g(x, y) = 3x + x y2
3- h(x, y) = y - 22 yx +
4- m(x, y) = (x + y)3 - 3xy2 - 3yx2
5- n(x, y) = x3 + y3 -2xy
6- t(x, y) = y + x Cos2 ( )xy
Consideren ahora la función g(x,y) = x2 + y2, la cual chequeamos
anteriormente que es homogénea con grado dos de homogeneidad. Si se saca como
factor común a x2 ¿Qué obtienen?
♦ Se obtiene g(x, y) = x2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
22
2
2
xy1x
xy1
Correcto. Podríamos entonces escribir g(x, y) = x2 G(x, y), donde la función
G(x, y) = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
2
xy1 .
141
Si para la función G(x, y) hacen el cambio vxy= ¿qué resulta?
♦ Resulta G(x,y) = 1 + v2.
Observen que G(x,y) queda solo en función de v, es decir depende solo de xy ;
por lo tanto podemos escribir g(x, y) = x2 G ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy .
Consideren ahora la función h(x, y) = x3 - 2x2y + y3, la cual probamos que era
una función homogénea con grado tres de homogeneidad. Si se saca x3 como factor
común ¿Qué se obtiene?
♦ Se obtiene h(x, y) = x3 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
33
3
3
xy
xy21x
xy
xy21
Correcto. Si ahora hacen el cambio de variable xy = v ¿qué resulta?
♦ Resulta h(x,y) = x3 [ ]3vv21 +−
Como puede verse
h(x, y) = x3 H(v)
o equivalentemente
h(x, y) = x3 H ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
142
Observen que en el primer caso sabiendo que g(x, y) es homogénea con grado
dos de homogeneidad, sacamos x elevado al grado de homogeneidad como factor
común; en el segundo caso sabiendo que h(x, y) es homogénea de grado tres de
homogeneidad, sacamos x elevado al grado de homogeneidad factor común. En
ambos casos, las funciones que quedan luego de sacar el factor común indicada son
funciones que dependen de (y/x).
Abran sus guías en la página 26 y procedamos a leer la proposición que allí
aparece enunciada.
PROPOSICIÓN: Si la función F(x, y) es homogénea de grado "n" de
homogeneidad, entonces F(x,y) = xn f ( .
(Observación: aquí x ≠ 0, para que el cociente (y/x) exista)
)xy
Resuelvan el Problema 4 que aparece en la guía en la página 26. Tienen tres
minutos para ello.
PROBLEMA 4:
Demuestre si la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2 es homogénea. De ser posible
indique el grado de homogeneidad y aplíquele la proposición a la función F(x, y).
Revisemos como resolvieron el Problema 4.
¿Qué hicieron para verificar si la función dada es o no homogénea?
♦ Determinamos F(λx, λy)
143
F(λx, λy) = 2(λx)( λy) - 3(λx)2 + (λy)2 = 2λ2xy - 3λ2x2 +λ2y2
o equivalentemente
F(λx, λy) = λ2 (2xy -3x2 + y2) = λ2 F(x,y)
¿Qué obtuvieron?
♦ Obtuvimos que F(λx, λy) = λ2 F(x,y)
¿Qué se puede concluir?
♦ Se puede concluir que la función dada es homogénea con grado dos de
homogeneidad.
¿ Se puede aplicar la proposición a la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2? ¿Por
qué?
♦ Si se puede aplicar, ya que resultó ser una función homogénea con grado dos
de homogeneidad.
¿Qué resulta al aplicar la proposición a la función F(x,y) = 2xy -3x2 + y2?
♦ Resulta F(x, y) = x2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
22
2
2
xy3
xy2x
xy3
xy2
El Problema 5 les queda como ejercicio, a fin de que consoliden los conceptos
hasta aquí tratados en esta lección.
144
PROBLEMA 5:
Demuestre que cada una de las funciones que se dan a continuación es
homogénea y luego aplíqueles la proposición.
1- F(x, y) = 4x3y2 - 2x5 -3y5
2- G(x, y) = 6x2 + 4 3xy
3- H(x, y) = ( ) )yx(y5x2 22 +−
4- H(x, y) = ( ) )yx(y5x2 22 +−
5- M(x, y) = 2x3 - 3xy2 - 2y3
Ecuación diferencial homogénea:
Observen la siguiente ecuación diferencial
a) (2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Si llaman P(x, y) = 2xy -3y2 , Q(x, y) = 2xy - x2 ¿Cómo prueban que las
funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas?
♦ Determinamos P(λx, λy) y Q(λx, λy)
P(λx,λy) = 2(λx)(λy) - 3(λy)2 = λ2(2xy) - λ2(3y2) = λ2(2xy - 3y2) =λ2 P(x,y)
Q(λx,λy) = 2(λx)(λy) - (λx)2 = λ2(2xy) - λ2(x2) = λ2(2xy - x2) =λ2 Q(x,y)
¿Qué pueden concluir?
145
♦ Que tanto P(x, y) como Q(x, y) son funciones homogéneas con grado dos de
homogeneidad.
Muy bien. Consideremos otra ecuación diferencial
b) (x3 - 3x2y) dx + (y2 - xy) dy = 0
Si llaman P(x, y) = x3 -3x2y , Q(x, y) = y2 - xy ¿Cómo prueban que las
funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas?
♦ Determinamos P(λx, λy) y Q(λx, λy)
P(λx,λy) = (λx)3 - 3(λx)2 (λy) = λ3x3 - 3λ2x2 λy = λ3(x3 - 3x2y) =λ3 P(x,y)
Q(λx,λy) = (λy)2 -(λx)(λy) = λ2y2 - λ2(xy) = λ2(y2 - xy) =λ2 Q(x,y)
¿Qué pueden concluir?
♦ Que P(x, y) es una función homogénea con grado tres de homogeneidad y
Q(x, y) es una función homogénea con grado dos de homogeneidad.
Correcto. Si les digo que la ecuación diferencial del ejemplo a) es una
ecuación diferencial homogénea y la del ejemplo b) es una ecuación diferencial no
homogénea. Pueden decirme ¿cuál es la característica esencial que permite identificar
a una ecuación diferencial como una ecuación diferencial homogénea?
146
♦ La característica esencial es que tanto la función que multiplica a la
diferencial dx como la función que multiplica a la diferencial dy, en la ecuación
diferencial dada, son ambas homogéneas con el mismo grado de homogeneidad.
Exactamente. Abran sus guías en la página 26 y leamos la definición de ecuación
diferencial homogénea que allí aparece.
La e
es u
func
Métod
homo
ambas
conclu
obtien
♦
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN
HOMOGÉNEA
cuación diferencial
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
na ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea si las
iones P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas con igual grado de homogeneidad.
o de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden
géneas:
Consideren la ecuación diferencial del ejemplo a)
(2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Ya chequeamos que las funciones P(x, y) = 2xy -3y2, Q(x, y) = 2xy - x2 son
funciones homogéneas con grado dos de homogeneidad; esto nos permite
ir que la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial homogénea.
Si ahora aplican la proposición a las funciones P(x, y) y Q(x, y) ¿qué
en?
Se obtiene que
147
P(x, y) = x2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2
xy3
xy2 Q(x, y) = x2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
xy2
Correcto. Si sustituyen en la ecuación diferencial ¿qué resulta?
♦ Resulta
x2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2
xy3
xy2 dx + x2 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
xy2 dy = 0
Sacando x2 como factor común, en la ecuación diferencial ¿qué obtienen?
♦ Se obtiene
x2 0dy1xy2dx
xy3
xy2
2
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Ya que x ≠ 0, ¿cuál es la ecuación diferencial que queda para resolver?
♦ La ecuación diferencial que queda por resolver es:
0dy1xy2dx
xy3
xy2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
¿ De quién dependen las funciones que multiplican a la diferencial dx y a la
diferencial dy?
♦ Quedan dependiendo de (y/x)
Exacto. Si ahora hacen el cambio de variable ⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=⇒=
dxvdvxdy
vxyxyv
148
¿Cómo se transforma la ecuación diferencial?
♦ Se transforma en:
(2v -3v2) dx + (2v - 1) (x dv + v dx) = 0
Si se desarrollan los productos que aparecen en la ecuación diferencial y se
saca la diferencial dx factor común ¿Cómo queda?
♦ Queda:
(2v - 3v2 +2v2 - v) dx + x (2v - 1) dv = 0
equivalentemente
(v - v2) dx + x (2v - 1) dv = 0
¿Pueden identificar que tipo de ecuación diferencial es esta?
♦ Es una ecuación diferencial de variables separables
Exacto. ¿Por qée factor se debe multiplicar la ecuación diferencial para
separar las variables?
♦ Se debe multiplicar por )vv(x
12−
Correcto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda
0dvvv
1v2x
dx2 =
−−
+
149
Ya que están separadas las variables ¿qué deben hacer?
♦ Se debe integrar
Cdvvv
1v2x
dx2 =
−−
+ ∫∫
¿Cómo resuelven la primera integral?
♦ Es inmediata xlnx
dx=∫
Correcto. ¿Cómo resuelven la segunda integral?
♦ Por cambio de variable:
⎩⎨⎧
−=−=
dv)v21(duvvu 2
Al sustituir el cambio de variable en la integral ¿Cómo se transforma?
♦ La integral se transforma en una integral inmediata
ulnu
du−=−∫
¿Qué deberían hacer ahora?
♦ Se deben sumar los resultados de las dos integrales y luego devolver los
cambios de variables realizados.
¿Cuál es entonces el resultado general?
150
♦ El resultado general es:
ln⎮x⎮ - ln⎮v - v2⎮= ln⎮x⎮ - ln 2
2
xy
xy− = ln 12
3
2
2 Cyxy
xln
xy
xy
x=
−=
−
o equivalentemente, al aplicar "e" a ambos lados:
⎮x3⎮ = k ⎮xy - y2⎮
Muy bien. Se dice entonces que la función ⎮x3⎮ = k ⎮xy - y2⎮, es la solución
general de la ecuación diferencial homogénea
(2xy - 3y2) dx + (2xy - x2) dy = 0
Abran sus guías en la página 27 para que revisemos cada uno de los pasos que
deben seguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial
homogénea
PASOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEA
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
1- Chequee que las funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas con igual
grado de homogeneidad
2- Si el grado de homogeneidad de las funciones P(x, y) y Q(x, y) es "n",
aplique la proposición a ambas funciones, es decir, saque xn factor común
xn p ( )xy dx + xn q ( )xy dy = 0
3- Multiplique la ecuación por nx1
p ( )xy dx + q ( )xy dy = 0
151
4-
5-
6-
7-
8- 9- 10
minu
PRO
♦ C
Efectúe el cambio de variable
⎩⎨⎧
+==⇒=
dxvdvxdyvxyxyv
p(v) dx + q(v) (x dv + v dx) = 0
Saque dx factor común
[ p(v) + v q(v) ] dx + x q(v) dv = 0
Multiplique por el factor [ ])v(qv)v(px1+
0dv)v(qv)v(p
)v(qdxx1
=+
+
Integre la ecuación diferencial de variables separadas que se obtuvo
Resuelva las integrales
Devuelva los cambios de variable efectuados
- De ser posible, despeje "y"
Resuelvan el Problema 6 que aparece en la página 27 de sus guías. Tienen 5
tos para ello. Trabajen en forma individual.
BLEMA 6:
Obtener la solución general de la ecuación diferencial
(x3 y2 + 2 y4 x) dx + (2 x2 y3 - x4 y) dy = 0
Revisemos como resolvieron el Problema 6
¿Qué fue lo primero que hicieron?
hequear que las funciones
152
P(x,y) = x3 y2 + 2 y4 x Q(x,y) = 2 x2 y3 - x4 y
son homogéneas con igual grado de homogeneidad.
P(λx, λy) = (λx)3(λy)2 + 2(λy)4(λx) = λ3x3λ2y2 + 2λ4y4λx
= λ5 (x3y2 +2y4x) = λ5 P(x,y)
Q(λx, λy) = 2(λx)2(λy)3 - (λx)4λy = 2λ2x2λ3y3 - λ4x4λy = λ5 (2x2y3 - x4y) = λ5 Q(x,y)
¿Qué se puede concluir?
♦ Se puede concluir que las funciones P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas con
grado cinco de homogeneidad.
Ya probaron que las dos funciones que aparecen en la ecuación diferencial son
homogéneas con igual grado de homogeneidad. ¿Qué deben hacer ahora?
♦ Se debe aplicar la proposición a las funciones homogéneas P(x, y) y Q(x, y),
es decir, se debe sacar x5 como factor común en ambas funciones
P(x, y) = x5 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
42
xy2
xy
Q(x, y) = x5 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
xy2
3
Sustituyendo en la ecuación diferencial ¿Cómo queda?
♦ La ecuación diferencial queda:
153
x5 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
42
xy2
xy dx + x5
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
xy2
3 dy = 0
Como x ≠ 0 multiplicando la ecuación por 1/x5 ¿Qué se obtiene?
♦ Se obtiene,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
42
xy2
xy dx +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
xy2
3 dy = 0
Observen la ecuación diferencial que resultó. ¿De quién quedan dependiendo
las funciones que multiplican a la diferencial dx y a la diferencial dy?
♦ Quedan dependiendo de xy
Correcto. Entonces ¿Qué deben hacer ahora para resolver la ecuación
diferencial que quedó planteada?
♦ Se debe realizar el cambio de variable
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+==
=
dvxdxvdyxvy
xyv
¿Cómo queda transformada la ecuación diferencial al sustituir el cambio de
variable?
154
♦ La ecuación diferencial se transforma en
(v2 + 2v4) dx + (2v3 - v) (x dv + v dx) = 0
¿Qué más se debe hacer?
♦ Se deben agrupar los términos que estén multiplicados por la diferencial dx,
sacando dx factor común, esto es
x (2v3 - v) dv + (v2 + 2v4 + 2v4 -v2) dx = 0
es decir,
x (2v3 - v) dv + 4v4 dx = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
♦ Para separar las variables debe multiplicarse la última ecuación por el factor
4vx1
¿Cómo queda entonces la ecuación diferencial?
♦ La ecuación diferencial queda
0dxx1dv
v4vv2
4
3=+
−
¿Cuál será ahora el siguiente paso?
♦ El siguiente paso es integrar cada término de la ecuación diferencial
Cdxx1dv
v4vv2
4
3=+
− ∫∫
155
¿Cómo se resuelve la integral ∫ − dvv4
vv24
3?
♦ Se resuelve separando en dos integrales, las cuales son inmediatas:
∫ − dvv4
vv24
3= ∫ dv
v4v2
4
3 - ∫ dv
v4v
4 = ∫ dvv2
1 - ∫ dvv41
3
= vln21 + 2v8
1
¿Cómo se resuelve ∫ dxx1 ?
♦ Es una integral inmediata: ∫ dxx1 = xln
Sustituyendo los resultados de las integrales ¿qué se obtiene?
♦ Se obtiene xln + vln21 + 2v8
1 = C
¿Qué deben hacer ahora?
♦ Se debe devolver el cambio, es decir, sustituir v por xy , resultando
xln +xyln
21 + 2
xy8
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= C
156
¿Como pueden simplificar la solución?
♦ Aplicando propiedades de logaritmo C8yx
xyxln
2
4
28=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial que estamos
resolviendo?
♦ La solución general de la ecuación diferencial
(x3 y2 + 2 y4 x) dx + (2 x2 y3 - x4 y) dy = 0
es x4 y2 ( )2yx
e = K
El Problema 7 les queda como ejercicio, a fin de que consoliden los
conocimientos adquiridos en esta lección
PROBLEMA 7:
Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales. Siga cada uno de los pasos indicados en esta misma guía para tal
efecto.
1- yxyx
dxdy
−+
=
2- (x2 - y2) dx - 2xy dy = 0
3- xy' = y - 22 yx +
4- (x3 + y3) dx - xy2 dy = 0
5- y' = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
xysec
xy 2
157
6- xy
yx
dxdy
−=
7- (y2 + yx) dx + x2 dy = 0
8- xyexy
dxdy
+=
9- 2x3 y dx + (x4 + y4) dy = 0
10- ( ) 0dyxdxyxy2 =−−
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
♦ Estudiamos la definición de función homogénea de grado n
¿Cómo establecemos cuando una función es homogénea de grado "n" de
homogeneidad?
♦ Chequeando que la función satisface F(λx, λy) = λn F(x,y)
Muy bién. ¿Qué más estudiamos?
♦ Se estudió una proposición que satisfacen las funciones homogéneas de grado
"n" de homogeneidad"
¿Qué dice la proposición?
158
♦ La proposición dice que si una función F(x, y) es homogénea con grado "n" de
homogeneidad, entonces puede escribirse de la forma F(x, y) = xn f ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
Exactamente. ¿Qué otro aspecto vimos?
♦ Vimos la definición de ecuación diferencial ordinaria de primer orden
homogénea
¿Cuál dijimos que debía ser la característica esencial en la ecuación
diferencial para clasificarla como una ecuación diferencial homogénea?
♦ Debía tener la forma P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 , con P(x, y) y Q(x,y)
funciones homogéneas con igual grado de homogeneidad.
Correcto. ¿Qué más estudiamos en esta clase?
♦ Estudiamos el método o los pasos a seguir para obtener la solución general de
una ecuación diferencial homogénea.
¿Podrían indicarme los pasos a seguir en la obtención de la solución de una
ecuación diferencial homogénea?
♦ Los pasos que debemos seguir para obtener la solución general de una ecuación
diferencial homogénea son:
1- Chequear que las funciones P(x, y) y Q(x, y) son homogéneas con igual grado
de homogeneidad
159
2- Si el grado de homogeneidad de las funciones P(x, y) y Q(x, y) es "n",
aplicar la proposición a ambas funciones, es decir, sacar xn (o también yn)
factor común
xn P ( )xy dx + xn Q ( )xy dy = 0
(yn P ( )yx dx + yn Q ( )yx dy = 0)
3- Multiplicar la ecuación por ( )nx1 (o por ny1 )
P ( )xy dx + Q ( )xy dy = 0
(P ( )yx dx + Q ( )yx dy = 0)
4- Efectuar el cambio de variable
⎩⎨⎧
+==⇒=
dxvdvxdyvxyxyv
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=⇒=
dyvdvydx
vyxyxv
P(v) dx + Q(v) (x dv + v dx) = 0
(P(v) (y dv + v dy) + Q(v) dy = 0)
5- Sacar dx factor común
[ P(v) + v Q(v) ] dx + x Q(v) dv = 0
(P(v) y dv + [P(v) v + Q(v)] dy = 0)
6- Multiplicar por el factor [ ])v(Qv)v(Px1+
[ ]⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+ )v(Qv)v(Py1
0dv)v(Qv)v(P
)v(Qdxx1
=+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
++ 0dv
)v(Qv)v(P)v(Qdy
y1
7- Integrar la ecuación diferencial de variables separadas que se obtuvo
8- Resolver las integrales
9- Devolver los cambios de variable efectuados
10- De ser posible, despejar "y"
