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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

23 de octubre de 2012

M. Fernandez Ecuaciones Diferenciales Lineales


Ecuaciones diferenciales lineales.Introduccion

Este capıtulo esta dedicado casi en su totalidad a lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Contieneademas una introducion a las ecuaciones diferencialeslineales de orden superior con coeficientes constantes y alos sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Las ecuaciones lineales de segundo orden se utilizan paramodelar matematicamente fenomenos fısicos en los que seusa la segunda ley de la mecanica de Newton, tales como elmovimiento de una partıcula que cae bajo la accion de lagravedad, el movimiento de un pendulo, el de los planetasalrededor del Sol, o las oscilaciones en sistemas mecanicos yelectricos.



Ecuaciones diferenciales lineales.Introduccion

Este capıtulo esta dedicado casi en su totalidad a lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Contieneademas una introducion a las ecuaciones diferencialeslineales de orden superior con coeficientes constantes y alos sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Las ecuaciones lineales de segundo orden se utilizan paramodelar matematicamente fenomenos fısicos en los que seusa la segunda ley de la mecanica de Newton, tales como elmovimiento de una partıcula que cae bajo la accion de lagravedad, el movimiento de un pendulo, el de los planetasalrededor del Sol, o las oscilaciones en sistemas mecanicos yelectricos.


Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de solucionesEstructura algebraica del conjunto de soluciones

Ecuaciones diferenciales lineales de segundoorden

Una ecuacion diferencial de segundo orden tiene la forma

g(t, x, x′, x′′) = 0, (1)

donde

g : D ⊂ R4 → R, (t, x1, x2, x3)→ g(t, x1, x2, x3).



El concepto de solucion

Sea I un intervalo de R. Se dice que x : I → R es una solucionde la ecuacion diferencial si para todo t ∈ I,

x es dos veces derivable,

(t, x(t), x′(t), x′′(t)) ∈ D,

g(t, x(t), x′(t), x′′(t)) = 0.






(t, x(t), x′(t), x′′(t)) ∈ D,

g(t, x(t), x′(t), x′′(t)) = 0.






(t, x(t), x′(t), x′′(t)) ∈ D,

g(t, x(t), x′(t), x′′(t)) = 0.



Ecuaciones explıcitas

La ecuacion diferencial esta en forma explıcita si

x′′ = f(t, x, x′), (2)

donde f : D ⊂ R3 → R.



Existencia y unicidad de soluciones

Cada (t0, x0, x′0) ∈ D es una condicion inicial.

El problema de valor inicial para x′′ = f(t, x, x′) consiste enencontrar soluciones tales que x(t0) = x0, x

′(t0) = x′0.

Es decir, tales que su grafica pase por el punto (t0, x0) yque la pendiente de la recta tangente en dicho punto seax′(t0) = x′0.






′(t0) = x′0.







′(t0) = x′0.




Estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordendel tipo

a0(t)x′′ + a1(t)x

′ + a2(t)x = a3(t), (3)

donde ai : I → R son funciones definidas en el intervalo I ⊂ R.

En el caso en que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, la ecuacion sepuede escribir en la forma

x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t), (4)

donde a(t) = a1(t)a0(t)

, b(t) = a2(t)a0(t)

y c(t) = a3(t)a0(t)

.



Estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordendel tipo

a0(t)x′′ + a1(t)x

′ + a2(t)x = a3(t), (3)

donde ai : I → R son funciones definidas en el intervalo I ⊂ R.En el caso en que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, la ecuacion sepuede escribir en la forma

x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t), (4)

donde a(t) = a1(t)a0(t)

, b(t) = a2(t)a0(t)

y c(t) = a3(t)a0(t)

.




Teorema

Sean a(t), b(t), c(t) continuas en el intervalo I y sea(t0, x0, x

′0) ∈ I × R2. Entonces existe una unica solucion

x : I → R de la ecuacion

x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t)

tal que x(t0) = x0, x′(t0) = x′0.




Es decir, existe una unica solucion del problema de valorinicial para la ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t).

Notese que se afirma que la solucion esta definida en todoel intervalo I de definicion de las funciones a(t), b(t), c(t).




Es decir, existe una unica solucion del problema de valorinicial para la ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t).

Notese que se afirma que la solucion esta definida en todoel intervalo I de definicion de las funciones a(t), b(t), c(t).



Estructura algebraica del conjunto desoluciones

En todo lo que sigue se supondra que las funcionesa(t), b(t), c(t) son continuas en el intervalo I y quecualquier solucion esta definida en el intervalo I, sinmencionarlo explıcitamente.

La ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t) = 0 se llama homogenea, encontraposicion con la ecuacion no homogenea o completa,que corresponde al caso x′′ + a(t)x′ + b(t) = c(t) con c(t) noidenticamente nula.




En todo lo que sigue se supondra que las funcionesa(t), b(t), c(t) son continuas en el intervalo I y quecualquier solucion esta definida en el intervalo I, sinmencionarlo explıcitamente.

La ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t) = 0 se llama homogenea, encontraposicion con la ecuacion no homogenea o completa,que corresponde al caso x′′ + a(t)x′ + b(t) = c(t) con c(t) noidenticamente nula.




El conjunto de soluciones de la ecuacionx′′ + a(t)x′ + b(t) = c(t) es un subconjunto del espaciovectorial de las funciones de clase 2 sobre el intervalo I.

Se probara que el conjunto de soluciones de la ecuacionhomogenea es un subespacio vectorial y el de las nohomogeneas un subespacio afın, ambos de dimension 2.




El conjunto de soluciones de la ecuacionx′′ + a(t)x′ + b(t) = c(t) es un subconjunto del espaciovectorial de las funciones de clase 2 sobre el intervalo I.

Se probara que el conjunto de soluciones de la ecuacionhomogenea es un subespacio vectorial y el de las nohomogeneas un subespacio afın, ambos de dimension 2.




Proposicion

Sean x(t), y(t) soluciones de

x′′ + a(t)x′ + b(t)x = 0, (5)

y λ, µ ∈ R. Entonces λx(t) + µy(t) tambien es solucion.Sea xp(t) una solucion de

x′′ + a(t)x′ + b(t)x = c(t).

Entonces {xp(t) + xh(t) : xh(t) es solucion de(5)} es el espacioafın de todas las soluciones de la ecuacion no homogenea.




Demostracion.

Sea C2(I) (resp. C(I)) el espacio de las funciones reales de clase2 (resp. continuas) definidas en I. Defınase L : C2(I)→ C(I)mediante la formula Lx = x′′ + a(t)x′ + b(t)x. Entonces L eslineal.

Ademas L(xp + xh) = c(t) y dadas dos soluciones x, y de laecuacion no homogenea, L(x− y) = 0.




Demostracion.

Sea C2(I) (resp. C(I)) el espacio de las funciones reales de clase2 (resp. continuas) definidas en I. Defınase L : C2(I)→ C(I)mediante la formula Lx = x′′ + a(t)x′ + b(t)x. Entonces L eslineal.Ademas L(xp + xh) = c(t) y dadas dos soluciones x, y de laecuacion no homogenea, L(x− y) = 0.



Caso homogeneo. El wronskiano de dossoluciones

El siguiente resultado es un criterio para que dos solucionessean linealmente indeprendientes de aplicacion muy sencilla.

Proposicion

Sean x, y soluciones de la ecuacion homogenea y sea t0 ∈ I.Entonces x, y son linealmente independientes si y solo si losvectores (x(t0), x

′(t0)), (y(t0), y′(t0)) son linealmente

independientes.




Demostracion.

Es facil comprobar que si (x(t0), x′(t0)), (y(t0), y

′(t0)) sonlinealmente independientes, entonces x, y son linealmenteindependientes.

Recıprocamente, supongase que x, y sonlinealmente independientes. Sean λ, µ ∈ R tales queλ(x(t0), x

′(t0)) + µ(y(t0), y′(t0)) = (0, 0). La solucion

λx(t) + µy(t) es la solucion identicamente nula por la unicidadde soluciones del problema de valor inicial. Por tantoλ = µ = 0.




Demostracion.

Es facil comprobar que si (x(t0), x′(t0)), (y(t0), y

′(t0)) sonlinealmente independientes, entonces x, y son linealmenteindependientes. Recıprocamente, supongase que x, y sonlinealmente independientes. Sean λ, µ ∈ R tales queλ(x(t0), x

′(t0)) + µ(y(t0), y′(t0)) = (0, 0). La solucion

λx(t) + µy(t) es la solucion identicamente nula por la unicidadde soluciones del problema de valor inicial. Por tantoλ = µ = 0.




La utilidad de este criterio se hace patente al demostrar lasiguiente proposicion.

Proposicion

El subespacio vectorial de las soluciones de la ecuacionhomogenea tiene dimension 2.




Demostracion.

Sea t0 ∈ I. Sea x1(t) (resp. x2(t)) la solucion de la ecuacionhomogenea tal que (x1(t0), (x

1)′(t0)) = (1, 0) (resp(x2(t0), (x

2)′(t0)) = (0, 1)).

Entonces x1(t) y x2(t) sonlinealmente independientes.Sea x(t) la solucion del sistema homogeneo tal quex(t0) = x0, x

′(t0) = x′0. Entonces x0x1(t) + x′0x

2(t) tambien essolucion y cumple la misma condicion inicial. Por tantox(t) = x0x

1(t) + x′0x2(t) para todo t ∈ I.




Demostracion.


1)′(t0)) = (1, 0) (resp(x2(t0), (x

2)′(t0)) = (0, 1)). Entonces x1(t) y x2(t) sonlinealmente independientes.

Sea x(t) la solucion del sistema homogeneo tal quex(t0) = x0, x







Demostracion.


1)′(t0)) = (1, 0) (resp(x2(t0), (x

2)′(t0)) = (0, 1)). Entonces x1(t) y x2(t) sonlinealmente independientes.Sea x(t) la solucion del sistema homogeneo tal quex(t0) = x0, x







El wronskiano de dos soluciones. Sean x, y : I → Rfunciones derivables. El wronskiano de x, y es por definicion

W (x, y)(t) =

∣∣∣∣ x(t) y(t)x′(t) y′(t)

∣∣∣∣ .




Proposicion

Sean x, y soluciones de la ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t)x = 0 yt0 ∈ I. Entonces

W (x, y)(t) = W (x, y)(t0) exp

(−∫ t

t0

a(s) ds

). (6)




Demostracion.

Se probara que W (x, y)′(t) = −a(t)W (x, y)(t), ya queintegrando entre t0 y t se obtiene (6).

W (x, y)′(t) = x(t)y′′(t)− x′′(t)y(t)

= x(t)(−a(t)y′(t)− b(t)y(t))

− (−a(t)x′(t)− b(t)x(t))y(t)

= −a(t)W (x, y)(t).




Una consecuencia de la proposicion anterior es que elWronskiano de dos soluciones de la ecuacion homogenea, o esdistinto de cero para todo t ∈ I o es identicamente nulo.

Teniendo en cuenta la Proposicion 2 se obtiene la




Una consecuencia de la proposicion anterior es que elWronskiano de dos soluciones de la ecuacion homogenea, o esdistinto de cero para todo t ∈ I o es identicamente nulo.Teniendo en cuenta la Proposicion 2 se obtiene la




Proposicion

Sean x, y soluciones de la ecuacion x′′ + a(t)x′ + b(t)x = 0 yt0 ∈ I. Son equivalentes:

x, y son linealmente independientes.

Los vectores (x(t0), x′(t0)), (y(t0), y

′(t0)) son linealmenteindependientes.

W (x, y)(t0) 6= 0.

W (x, y)(t) 6= 0 para todo t ∈ I.




Proposicion





W (x, y)(t0) 6= 0.





Proposicion





W (x, y)(t0) 6= 0.





Proposicion





W (x, y)(t0) 6= 0.



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