Ecuaciones diferenciales parciales

• Diferencias finitas: ecuaciones

elípticas

• Diferencias finitas: ecuaciones

parabólicas

Motivación

• Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales

• El orden de una EDP es el de la derivada más alta

• Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en

la función desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes

que dependen sólo de las variables independientes

122

2

2

2

uy

uxy

x

uyu

y

ux

yx

u58

2

2

2

3

xyx

u

x

u2

33

2

2

6 xy

uxu

x

u2

2

Motivación

• Por su amplia aplicación en ingeniería, nos concentramos en la

solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo

orden

donde

A, B, y C son funciones de x y y

D es una función de x, y, u, u/ x y u/ y

• Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de

la segunda derivada (A, B, y C) esta ecuación se puede clasificar en

elíptica, parabólica o hiperbólica

02

22

2

2

Dy

uC

yx

uB

x

uA

Motivación

B2-4AC Categoría Ejemplo

< 0 Elíptica

Ecuación de Laplace (en estado

estable con dos dimensiones

espaciales)

= 0 Parabólica

Ecuación de conducción de calor

(variable de tiempo con una

dimensión espacial)

> 0 Hiperbólica

Ecuación de onda (variable de

tiempo con una dimensión

espacial)

Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales lineales de

segundo orden

02

2

2

2

y

T

x

T

2

2

'x

Tk

t

T

02

22

2

2

Dy

uC

yx

uB

x

uA

2

2

22

2 1

t

y

cx

y

Métodos empleados antes de la era de las

computadoras

• Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones

analíticas o exactas de ecuaciones diferenciales parciales

• Aparte de los casos más simples, estas soluciones a menudo

requieren gran esfuerzo y complicación matemática

• Muchos sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente, por

lo que tienen que simplificarse usando linearización,

representaciones geométricas simples, y otras idealizaciones

• Estas soluciones aportan algún conocimiento del sistema que se

está estudiando, sin embargo, están limitadas por la fidelidad con

que representan la realidad

EDP y práctica de la ingeniería

• Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales

conforman clases específicas de problemas de ingeniería

• Las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas de

estado-estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o

término transitorio)

– Por lo general se emplean para determinar la distribución en

estado estable de una incógnita en dos dimensiones

1

1

S

k Tw

Tw

Tw

Tw X(m)

Y(m

)

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frame 001 17 Sep 2002 CONDUCCION ESTABLE CON GENERACION DE CALORFrame 001 17 Sep 2002 CONDUCCION ESTABLE CON GENERACION DE CALOR

Conducción estable con generación de calor

Distribución de

temperaturas

EDP y práctica de la ingeniería

• Las ecuaciones parabólicas determinan cómo varía una incógnita

tanto en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial

y temporal)

– Tales casos se conocen como problemas de propagación

• Las ecuaciones hiperbólicas, también representan problemas de

propagación, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones

parabólicas en que la incógnita se caracteriza por una segunda

derivada con respecto al tiempo

– En consecuencia, la solución oscila

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas

• Las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para

caracterizar problemas de estado estable y con valores en la

frontera

ECUACIÓN DE LAPLACE

• La ecuación de Laplace puede ser usada para modelar diversos

problemas que involucran el potencial de una variable desconocida

• Ésta se puede deducir a partir

de un problema físico sencillo

• La transferencia de calor a

través de una placa rectangular

delgada

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas

ECUACIÓN DE LAPLACE • La placa esta aislada excepto en sus

extremos

• La transferencia de calor esta limitada

a las dimensiones x y y

• Considerando un elemento de la

placa, el flujo de calor que entra en un

periodo de tiempo debe ser igual al

que sale

y

x z Δz

q(x)

q(y+Δy)

q(y)

q(x+Δx)

Δx

Δy

0y

q

x

q

q es el flujo de calor (cal/(cm2 s)

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas

• Ésta es una ecuación diferencial parcial, que es una expresión de la

conservación de energía de la placa

• La ecuación debe ser replanteada en términos de la temperatura

• El enlace entre el flujo de calor y la temperatura está dado por la

Ley de Fourier de conducción de calor

0y

q

x

q

i

Tkqi

Diferencias finitas: ecuaciones elípticas

• Sustituyendo la Ley de Fourier en la ecuación de conservación de

energía de la placa se obtiene la ecuación de Laplace

• Para el caso donde hay fuentes o sumideros de calor dentro del

dominio bidimensional, se agrega un término adicional

02

2

2

2

y

T

x

T

yxfy

T

x

T,

2

2

2

2

Ecuación de Poisson

Técnica de solución

• La solución numérica de las EDP elípticas procede en dirección

inversa a la manera en que fue deducida la ecuación

• Se sustituyen las derivadas parciales de la ecuación por diferencias

finitas basadas en la discretización de la placa como una malla de

puntos discretos, transformando la EDP en una ecuación algebraica

de diferencias y

x 0, 0

0, n+1 m+1, n+1

m+1, 0

i, j i+1, j i-1, j

i, j-1

i, j+1

La ecuación de Laplace en diferencias

• Las diferencias centrales basadas en el esquema de la malla son

2

,1,,1

2

2 2

x

TTT

x

T jijiji

2

1,,1,

2

2 2

y

TTT

y

T jijiji

i, j i+1, j i-1, j

i, j-1

i, j+1 • Las cuales tienen errores de O[Δx2] y O[Δy2]

• Sustituyendo en la ec. de Laplace

• Para una malla cuadrada Δx = Δy

02

2

2

2

y

T

x

T0

222

1,,1,

2

,1,,1

y

TTT

x

TTT jijijijijiji

04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT Cumple para todos los puntos

internos de la malla

La ecuación de Laplace en diferencias

• Las condiciones en la frontera en los extremos de la placa deben

estar especificadas para obtener una solución única

• Condición de frontera de Dirichlet es el caso más simple, se

especifican valores constantes de la variable dependiente

(Temperatura) en los bordes

• Para el nodo (1, 1) el balance de energía es,

y

x 0, 0

0, n+1 m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºC

T =

75

ºC

T = 100ºC

T =

50

ºC

04 1,10,12,11,01,2 TTTTT

Cond. Borde T0,1 = 75 T1,0 = 0

754 1,22,11,1 TTT

La ecuación de Laplace en diferencias

• Determinando el balance de energía en cada uno de los nodos

internos se obtiene un sistema de nueve ecuaciones algebraicas

lineales con nueve incógnitas

y

x 0, 0

0, n+1 m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºC T

= 7

5ºC

T = 100ºC

T =

50

ºC

1504

1004

1754

504

04

754

504

04

754

3,33,22,3

3,33,23,12,2

3,23,12,1

3,32,32,21,3

3,22,32,22,11,2

3,12,22,11,1

2,31,31,2

2,21,31,21,1

2,11,21,1

TTT

TTTT

TTT

TTTT

TTTTT

TTTT

TTT

TTTT

TTT

La ecuación de Laplace en diferencias

• Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene la distribución de

temperatura en el interior de la placa

y

x 0, 0

0, n+1 m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºC

T =

75

ºC

T = 100ºC

T =

50

ºC

71050.69

06402.76

58718.78

33999.52

11238.56

21152.63

88506.33

29755.33

00061.43

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

Condiciones en la frontera de Neumann

• Otra condición en la frontera comúnmente utilizada, en lugar de fijar

un valor constante para la variable dependiente, es el caso cuando

la derivada esta dada (tasa de variación de la variable dependiente

en la frontera)

• Esta condición es conocida como condición en la frontera de

Neumann

• Para el caso de la placa calentada, equivale a especificar el flujo de

calor en la frontera

• Un ejemplo es cuando un extremo de la placa está aislado, en este

caso la derivada es cero (condición en la frontera natural)

• Otro podría ser cuando se especifica el flujo de calor, ya sea por

radiación o conducción, en una frontera

Condiciones en la frontera de Neumann

• Supongamos que se especifica una condición de Neumann en la

frontera izquierda de la placa, la ecuación de balance de energía en

un punto de dicha frontera es

04 ,01,01,0,1,1 jjjjj TTTTT

0, j 1, j -1, j

0, j-1

0, j+1

• Se usa un punto imaginario fuera de la

placa, que permite especificar la

condición de frontera de la derivada

• Sustituyendo

x

TxTT

x

TT

x

Tjj

jj2

2,1,1

,1,1

0422 ,01,01,0,1 jjjj TTTx

TxT

x

T

Estas condiciones generan

ecuaciones adicionales para

caracterizar a los nodos frontera a los

cuales se especifican las derivadas

Diferencias finitas: ecuaciones

parabólicas

• Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar

problemas dependientes del tiempo y el espacio

ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

• Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance de energía en

un elemento diferencial de una barra larga y delgada aislada, considerando la

cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt

Caliente Frio

t

T

x

T2

2

Diferencias finitas: ecuaciones

parabólicas

• Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las

derivadas parciales por las diferencias divididas finitas

• Sin embargo, ahora hay que considerar cambios en el tiempo así

como en el espacio

• Mientras las ecuaciones elípticas están acotadas en todas las

dimensiones, las parabólicas están temporalmente abiertas en los

extremos

• Existen dos aproximaciones fundamentales para la solución de

EDP parabólicas:

– Esquema explícito

– Esquema implícito

t

T

x

T2

2

Métodos explícitos

• La ecuación de conducción de calor requiere aproximaciones para

la segunda derivada en el espacio y para la primera derivada en el

tiempo

• Sustituyendo

2

11

2

2 2

x

TTT

x

T l

i

l

i

l

i

t

TT

t

T l

i

l

i

1

Error de O[Δx2] Error de O[Δt]

t

TT

x

TTT l

i

l

i

l

i

l

i

l

i

1

2

11 2

211

1 2x

tTTTTT l

i

l

i

l

i

l

i

l

i

t

T

x

T2

2

Convergencia y estabilidad de los

métodos explícitos

• Convergencia: significa que conforme Δx y Δt tienden a cero, los

resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la

solución verdadera

• Estabilidad: significa que los errores en cualquier etapa del cálculo

no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo

avanza

• Se puede demostrar que el método explícito es convergente y

estable si < 1/2, o

• Si 1/2 la solución oscila

• Si 1/4 la solución no oscila

• Si 1/6 los errores por truncamiento se minimizan

k

xt

2

2

1