Ecuaciones.

ÍNDICE.

1. Identidades y ecuaciones

2. Ecuaciones equivalentes

3. Ecuaciones polinómicas de primer grado

4. Ecuaciones polinómicas de segundo grado

5. Ecuaciones bicuadradas

6. Ecuaciones polinómicas de grado superior

7. Ecuaciones racionales

8. Ecuaciones irracionales

9. Ecuaciones exponenciales

10. Ecuaciones logarítmicas

Ecuaciones.

Una IDENTIDAD algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas

que se cumple para todos los valores de las variables.

Una ECUACIÓN algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas

que no se cumple para todos los valores de las variables.

Una ecuación es COMPATIBLE si tiene solución (determinada si tiene un

número finito de soluciones e indeterminada si tiene infinitas soluciones) y

es INCOMPATIBLE si no tiene solución

Identidades y ecuaciones.

Identidades y ecuaciones.2 2 2 2( )x y z x y z x y x z y z

• Ejemplos:

Es una identidad algebraica ya que desarrollando el producto

2

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

x y z x x y z y x y z z x y z

x x y x z y x y y z z x z y z

x y z x y x z y z

La ecuación 2 2010

2

xx

— Es compatible indeterminada (tiene infinitas soluciones)

La ecuación 2 3 2 2 0x x — — Es incompatible (no tiene soluciones)

La ecuación 2 3 2 0x x — — Es compatible determinada (tiene solución x = 8)

Dos ECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las mismas soluciones

Ecuaciones equivalentes.2 2( 2) 4 +8 y 4 0x x x –• Ejemplo:

Son equivalentes, ya que tienen las mismas soluciones ( x = - 2 y x = 2 )

Las ecuaciones

Para resolver ecuaciones algebraicas (encontrar soluciones), utilizamos

ECUACIONES EQUIVALENTES lo mas sencillas posibles, utilizando las

siguientes reglas

Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación una misma

expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación un mismo

número no nulo, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

3 +2=14x• Ejemplo: Resolver la ecuación

3 2 14 3 2 2 14 2 3 12

3 12 4

3 3

x x x

xx

— —

Una ecuación de 1º grado es una ecuación algebraica cuyas expresiones

son polinomios, y es equivalente a una ecuación de la forma:

a . x + b = 0; a, y b números reales; a 0.

Además, estas ecuaciones tiene solución real única x = - b / a

Ecuaciones polinómicas de primer grado.

2 23 2 1x x x • Ejemplo:

Es una ecuación polinómica de primer grado, ya que es equivalente a la

ecuación x = 1

La ecuación

Ecuaciones polinómicas de segundo grado.• Una ecuación de 2º grado es aquella que aplicando las reglas de equivalencia se

puede obtener una ecuación equivalente de la forma:

; a, b y c números reales; a 0.

• ECUACIÓN INCOMPLETA de 2º grado es aquella en la que b ó c es 0.

2 0ax bx c

2

2

2

Ecuacion completa de 2º grado: 2

Ecuacion incompleta de 2º grado: 2

Ecuacion incompleta de 2º grado: 2

x x

x

x x

• Ejemplos:

2 2

2

Resolucion de ecuaciones incompletas

) 2 0 equivale a 2

2 x 0 x 0) 2 0 equivale a 2 x 1

1 0 x 1

a x x x

b x x xx

——

Ecuaciones completa de segundo grado.• Una ecuación de 2º grado completa es una ecuación algebraica que se

reduce a la forma:

; a 0, b 0, c 0.

• Además, su solución real es de la forma:

2 0ax bx c 2 4

2

b b acx

a

2

Al valor de dentro de la raíz, se le denomina:

DISCRIMINANTE = = 4

Si 0 la ecuación tiene dos soluciones

Si 0 la ecuación tiene una única solución

Si 0 la ecuación no tiene solución

b ac

>

=

<

V

V

V

V

Ejemplo de ecuación de segundo grado.

2 5 5

2

2

2 1

es equivalente a:

2 1 0

Cuya solución es:

13 3 4 2 1 3 11

2 2 42

x x x x x

x x

x

Factorización de ecuación de segundo grado.• Una ecuación polinómica de 2º grado de la forma:

; a, b y c números reales; a 0.

• Cuyas soluciones son x 1 y x 2 , se puede factorizar como:

2 0ax bx c

( ) ( ) ( ) ( )

21 1 1 2 1 2

1 2

1 2

Además, teniendo en cuenta que:

0

Se obtiene la relación:

a x x x x ax a x x x a x x

bS x x

ac

P x xa

× = × + × + × × =

= + =

= × =

g

( ) ( )21 2

0ax bx c a x x x x+ + = =g g

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado.

( ) ( )

1 2 1 2

1. Escribir una ecuación cuadrática de soluciones 1 y 2:

: 1 2 0

2. Halla dos números cuya suma sea 5, y producto 6:

: Si 5 y P 6.

Los números buscados serán solución de

Solución x x

Solución S x x x x

=

= + = = =

g

g

2

la ecuación:

x 5 6 0.

Cuyas soluciones son x = 2 y x = 3

x+ =

Ecuaciones polinómicas bicuadradas.• Una ecuación de 4º grado de la forma:

; a, b y c números reales; a 0.

• Se pueden resolver, como una ecuación de 2º grado haciendo x 2 = y.• Una vez resuelta, se obtiene las raíces cuadradas de y.

• Es decir su solución real (si existe) es de la forma:

4 2 0ax bx c

2 4

2

b b acx

a

Las existencia de soluciones estará condicionado a que los

valores de dentro de las raíces sean mayores o igual a cero.

Ejemplo de ecuación bicuadrada.

( ) ( )

4 2

2

2 1 0

Tiene por solución:

11

1

3 3 4 21 3 1 12 2 4 1 2

2 12

x x

x

× + =

ì ìï ïï ïïï = ± = íï ï = +ï ïï ïîïï± ± ï ìï ï= ± = ± = í ïïï ïï ïïï = ± = íïï ïï ïï = +ïï ïï ïïîïî

g g

g

Ecuaciones polinómicas de grado mayor a 2• Una ecuación de grado mayor que 2, de la forma:

• Si tiene soluciones enteras, se puede intentar utilizar la regla de Ruffini,

hasta que nos de cociente un polinomio de 2º grado,.

11 1 0... 0n n

n na x a x a x a

• Ejemplo: 4 3 2Para resolver 9x 9 19 2 0x x x

• Utilizando la Regla de Ruffini:

( ) ( ) ( )4 3 2 29x 9 19 2 1 2 9 1 0x x x x x x- - + + = + - - =g g

• como:

2 1 19 1 0 tiene por soluciones ;

3 3x x x —

1 1Las soluciones de la ecuacion son x= 1; x=2; ;

3 3x x — —

Ecuaciones racionales• Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas, tenemos que

encontrar fracciones equivalentes en ambos miembros de la ecuación e

igualado numeradores obtenemos una ecuación polinómica.

• Ejemplo:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 1La ecuacion: ;

3 1

2 1 1 3es equivalente a

3 1 3 1

Luego esta ecuacion es equivalente a:

2 1 1 3 1 0

Cuya solución es: 1

x x

x x

x x x x

x x x

x

=+ +

+ +=

+ + + +

+ = + Þ =

= ±

g g

g g

g g —

Ecuaciones irracionales• Para resolver ecuaciones con radicales, tenemos que elevar al cuadrado

ambos miembros de la ecuación y obtenemos una ecuación polinómica.

• Hay que probar las soluciones obtenidas, pues no siempre la solución de la

ecuación polinómica equivalente es solución de la ecuación irracional.

• Ejemplo:

2 2 2 2

La ecuacion: x+1 1 es equivalente a

x+1 1 1 2 1 3 0

De solucion: 0; 3

Que cumplen la igualdad x+1 1

x

x x x x x x

x x

x

— — —

Ecuaciones exponenciales• Para resolver ecuaciones exponenciales, utilizamos la misma base en

ambos lados de los miembros de la ecuación e igualamos los exponentes.

• Ejemplos:

x+1 3 2 x+2 3

x+1 ln3 2x+3 ln5x+1 2 3

3

2

1.- La ecuacion: 4 2 ; equivale a 2 2

1 2 2 3

2

2.- La ecuacion: 3 5 ; equivale a e

3lnln 3 3 ln 5 51 ln 3 2 3 ln 52 ln 5 ln 3 5ln 3

x

x x

e

x x x

Ecuaciones logarítmicas

• Para resolver ecuaciones logarítmicas, utilizamos la misma base en ambos

lados de los miembros de la ecuación e igualamos los argumentos.

• Ejemplo: Si log es logaritmo neperiano

2

2

2 2

2 2

La ecuacion: log 2 1 log 2 3 ;

log 2 3es equivalente a log 2 1 2 log 2 1 log 2 3

log

es equivalente a log 2 1 log 2 3 2 1 2 3

4 2 0 2 1 0

Cuyas soluciones so

ex x

xx x x

e

x x x x

x x x x

– 2 –

n: 1; 2x x –

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

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