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El lenguaje algebraico.Ecuaciones.El lenguaje algebraico.Ecuaciones.
Tema: 6
Tema: 6
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 2Tema 6Tema 6
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Esta información podría expresarse de otra forma:
Llamamos x al ancho del campo.
El doble será 2 · x
Y el doble más 10 m: 2 · x + 10
Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol.Las dimensiones de nuestro campo,
expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
Largo
Anc
hox
2x + 10
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 3Tema 6Tema 6
Lenguaje ordinario
Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
El número natural siguiente al número n
El cuadrado de un número menos el mismo número
Lenguaje algebraico
c – 5 (Llamamos c al número)
El cuadrado de un número x2
Perímetro del cuadrado de lado x
x
xx
x
4x
x2 – x
n + 1
Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12
Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x
El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 4Tema 6Tema 6
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras:
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.
Observaciones:
1. El factor 1 no se escribe.
a
b
Área del triángulo:2
h · b
b
h
Área de un rectángulo: a · b
La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
1 · x2 · y1
2. El exponente 1 tampoco se escribe.3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 · y1 x2 · y x2 y
5abc3 5 · a · b · c3
(t = tiempo en horas)
Expresiones algebraicas
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 5Tema 6Tema 6
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Ejemplos:
1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6
x
x
Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es:
x2
A = x2 = 42 = 16
para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44
5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
Valor numérico de una expresión algebraica
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 6Tema 6Tema 6
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente.
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
¿Cómo podríamos expresar su longitud total?5x 3x
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:
5x + 3x = 8x
Suma:
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?
5x – 3x = 2x
Resta:
Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes.
No se pueden sumar2x + x2
Se deja indicado
Suma y resta de expresiones algebraicas
x x xx x x x x
5x 3xx x x x x x x x
5x
x x x x x
3x2x
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 7Tema 6Tema 6
La balanza está equilibrada.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.
10 + 2 = 4 + 8Tenemos una igualdad numérica
Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
10 + 2 = 4 + 8
Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4
Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x
Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.
La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.
La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
Igualdades y ecuaciones
2º miembro1er miembro
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 8Tema 6Tema 6
¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada?
La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad.
Platillo izquierdo:
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación.
Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.
Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.
x + 100
Platillo derecho: 500 + 200
Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200
Ejemplo
Solución de una ecuación
La solución de la ecuación
2x – 2 = x + 12 es x = 14
pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 9Tema 6Tema 6
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.
Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
a) 4 + 4x = 25 – 3xSustituyendo:
b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16
7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Ecuación dada:
8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18
Le sumamos 2 a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6xRestamos 6x a cada miembro
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 10Tema 6Tema 6
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
x = 10 Luego:
Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas.
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5
Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8
Regla de la suma
Restamos 8: 2x = x + 25
Restamos x: x = 25
La solución es x = 25
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
– 8 – 8
– x – x
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 11Tema 6Tema 6
Resuelve x – 5 = 13.
En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.
x – 5 = 13
x – 5 + 5 = 13 + 5
x = 18
Escribe la ecuación original.
Suma 5 a cada lado.
Simplifica.
► La solución es 18.
EJEMPLO
Solución
x – 5 = 13 Escribe la ecuación original.
18 – 5 = 1313 = 13
Sustituye x por 18.
La solución es correcta.
COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 12Tema 6Tema 6
x + 4 = –3
Resuelve x + 4 = –3.EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro.
x = –7 Simplifica.
► La solución es –7.
y – 3 = –14
Resuelve y – 3 = –14.EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro.
y = –11 Simplifica.
► La solución es –11.
x + 4 = –3
–7 + 4 = –3–3 = –3
Sustituye x por –7.
La solución es correcta.
COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 13Tema 6Tema 6
3a = 7 + 2a
Resuelve 3a = 7 + 2a.EJEMPLO
Escribe la ecuación original.
3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resta 2a a cada miembro.
a = 7 Simplifica.
► La solución es 7.
3a = 7 + 2a
3·7 = 7 + 2·721 = 21
Sustituye x por 7.
La solución es correcta.
COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 14Tema 6Tema 6
x = 5
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Luego:
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9
Regla del producto
Restamos 3: 4x = 2x + 6
Restamos 2x: 2x = 6
La solución es x = 3
4x = 20Hemos dividido por 4
Dividimos por 2 x = 3
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
__ __ 2 2
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 15Tema 6Tema 6
Resuelve 3x = 15.
3x = 15
x = 5
Escribe la ecuación original.
Simplifica.
► La solución es 5.
EJEMPLO
Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.
Divide cada lado por 3.3x3
= 153
3x = 15Sustituye x por 5.
La solución es correcta.
COMPROBACIÓN
3·5 = 15
15 = 15
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 16Tema 6Tema 6
Resuelve 7x = –56.EJEMPLO
7x = –56
x = – 8
Escribe la ecuación original.
Simplifica.
► La solución es –8.
Divide cada lado por 7.7x7
= –567
ResuelveEJEMPLO
y = 60
Escribe la ecuación original.
Simplifica.
► La solución es 60.
Multiplica los dos miembros por 5.
125
y
125
y
5
y·5 = 12 · 5
7x = –56
Sustituye x por –8.
La solución es correcta.
COMPROBACIÓN
7·(–8) = –56
–56 = –56
COMPROBACIÓN
605
= 12
Resolución de ecuaciones. Regla del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 17Tema 6Tema 6
Resuelve 3x – 4 = 17.EJEMPLO
3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original.
3x – 4 + 4 = 17 + 4
3x = 21
Divide cada lado por 3.3x3
= 213
Suma 4 a cada miembro.
Simplifica.
x = 7 Simplifica.
► La solución es 7.
3x – 4 = 17
3·(7) – 4 = 17
17 = 17
COMPROBACIÓN
En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto.
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 18Tema 6Tema 6
ResuelveEJEMPLO 85
3 n
85
3 n
n5
3 – 8 = + 8 – 8
55
n
5 5
n5( ) ( )·5
–25 = n
► La solución es –25.
Escribe la ecuación original.
Resta 8 a cada miembro.
Simplifica.
Simplifica.
Multiplica los dos miembros por 5.
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 19Tema 6Tema 6
Resuelve 5 – x = 7.EJEMPLO
5 – x = 7 Escribe la ecuación original.
–5 + 5 – x = –5 + 7
Divide por –1.–1x–1
= 2–1
Resta 5 a cada miembro.
Simplifica.
x = –2 Simplifica.
► La solución es –2.
–1x = 2
5 – x = 7
5 – (–2) = 7
7 = 7
COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 20Tema 6Tema 6
Resuelve b + 8 = 18 + 3bEJEMPLO
b + 8 = 18 + 3b
b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b
b – 3b + 8 = 18
b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8
b – 3b = 18 – 8
–2b = 10
–2b–2
= 10–2
b = –5
Escribe la ecuación original.
Divide por –2.
Resta 3b a cada miembro.
Simplifica.
Simplifica.
Resta 8 a cada miembro.
Simplifica.
Agrupa.
► La solución es –5.
Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 21Tema 6Tema 6
Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:
► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando.
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 22Tema 6Tema 6
a) Si sumamos a los dos miembros +8,
b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2x.
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita.
2x = 14
x = = 7142
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 2x = 6 + 8
EJEMPLOEJEMPLO Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8.
Transposición de términos en una ecuación
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 23Tema 6Tema 6
Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)
a(b + c) = ab + ac
–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6
4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8
(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18
2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8
4(5 + 8) = (6 + 9)2 =
2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2
4·5 + 4·8 == 20 + 32 = 52
6·2 + 9·2 == 12 + 18 = 30
Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.
Cuidado con los signos negativos (–).Recuerda la regla de los signos:
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = –
Cuidado con los signos negativos (–).Recuerda la regla de los signos:
+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = –
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 24Tema 6Tema 6
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
x = 8
2x = 16
2x – 21 = – 5
3x – 21 = x – 5
3x – 21 = 5x – 5 – 4x
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
5º. Dividir por 2
4º. Sumar 21
3º. Restar x
2º. Operar 5x – 4x:
1º. Quitar paréntesis:
COMPROBACIÓN
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8
3·1 = 5·7 – 4·8
3 = 35 – 32
3 = 3La solución es correcta.
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 25Tema 6Tema 6
6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)
6 – 4 – x = 8x – 6x –10
–x + 2 = 2x – 10
–x – 2x = –10 – 2
–3x = –12
x = 4
Ecuación original
Simplifica.
Quita paréntesis.
Agrupa.
Divide por –3.
Traspones términos.
Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)EJEMPLO
6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5)
6 – 8 = 32 – 34
–2 = –2
COMPROBACIÓN
Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 26Tema 6Tema 6
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
3º. Operar 3x – 2x
2º. Restar 30:
1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):
x = 30
3x – 2x = 30
3x + 30 – 2x = 60
562
5
4
xx
4 22 21
6 32 21
4 = 22
2 = 2
6 = 2·3
m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12
Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente:
Recuerda cómo se calcula el m.c.m.:
562
5
4
xx12·( ) ( )·12
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 27Tema 6Tema 6
2
1
4
3
2
1
xx
2(x + 1) + (x + 3) = 2
2x + 2 + x + 3 = 2
3x + 5 = 2
3x = 2 – 5
3x = –3
x = –13
3x
2
1
4
3
2
1
xx4( ) ( )4
2
1
4
3
2
1
xx4( ) 4( ) 4( )
EJEMPLO
1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m.c.m.(2, 4):
2º. Quitar paréntesis.
3º. Agrupar términos semejantes.
4º. Transponer términos.
5º. Despejar la incógnita.
Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 28Tema 6Tema 6
1º. Interpretación del enunciado
Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?
Edad de Jorge
2º. Plantear la ecuación
3º. Resolución de la ecuación
4º. Comprobación.
La madre de Jorge tiene 39
y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge
Jorge tiene 15 años
Resolución de problemas
Lenguaje algebraico
x39
3x – 6Son
iguales
3x – 6 = 39
3x = 45
x = 15
Suma 6
Divide por 3
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 29Tema 6Tema 6
PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial?
Un número
x + 55 = 6x
El número aumentado en 55
es igual a
6 veces el número
x + 55 = 6x 55 = 6x – x 55 = 5x 55/5 = x x = 11
El número aumentado en 55
Seis veces el número
El número buscado es 11.
Nº aumentado en 55 11 + 55 = 666 veces el número 6·11 = 66
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.
6x
xx + 55
Correcto
Resolución de problemas
El lenguaje algebraico. ECUACIONES 30Tema 6Tema 6
PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.
Lado menor xLado mayor 2x
x + 2x + x + 2x = 78
6x = 78
x = 13
Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm
2x = 26 cm
x = 13 cm
2x
xx
2x
► 4º. Comprobación.
► 3º. Resolver la ecuación.
► 2º Plantear la ecuación.
► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.
x = 786
Perímetro78x + 2x + x + 2x
Resolución de problemas