Upload
cristina-spatari
View
96
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
c
Citation preview
Am intrat deja activ n mileniul III, n care facem alegeri i trim consecinele lor. Schimbrile cotidiene devin o realitate aproape inevitabil, iar lucrul cel mai permanent n viaa uman este continuitatea aproape nentrerupt a schimbrii. Trebuie s fim contieni de faptul c totul se schimb permanent i s percepem rupturile aprute ca normale sau mai puin dureroase. Totul n activitatea uman evolueaz. Aceast evoluie se face prin schimbri repetate sau prin salturi. Noutatea este o regul, o prezen constant n felul de a percepe lumea. Fr inovare nimic nu ar exista, deoarece nsi procesul viaa este bazat pe inovare. Anume viaa ne ofer cel mai bun serviciu atunci cnd ne pune piedici n cale. Anume datorit acestor obstacole de dezvoltm permanent, acumulm noi experiene i ne transformm permanent n ceea ce dorim s fim.
Puternic stabilit n realitile contemporane i cu implicaii n toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu ncredere i interes celelalte tiine. Matematica a ptruns treptat din ce n ce mai mult n sfera conceptului de cultur general i de cultur de specialitate, lsnd puine sectoare lipsite de prezena ei.
Trecerea sistematic de la nvmntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin rezolvarea unui numr optimal de probleme i situaii probleme, utiliznd diverse strategii n rezolvarea lor, prin nsuirea unor metode spicifice anumitor clase de probleme.
Pentru nsuirea mai profund a materiei de Curriculum la matematic sunt propuse probleme i exerciii ce prezint un grad sporit de dificultate. Ele constituie subiecte pentru examenele de BAC, la olimpiade i alte concursuri.
n cursul contemporan de matematic din liceu un loc aparte l ocup parametrul. Parametrul este un puternic instrument de dezvoltare a gndirii logice, lrgete cu mult clasa problemelor i exerciiilor rezolvabile n liceu. Pentru elevii claselor de liceu nu prezint dificulti de a rezolva ecuaii de tipul ax = b, n mulimea numerelor ntregi. Problema se complic, atunci cnd coeficienii a,b,c depind de careva parametru. n cadrul rezolvrii problemelor cu parametru nu se cere pur i simplu de a rezolva ecuaia propus, ci i s se discute dup parametrul dat. Deci, la rezolvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie s manifeste intuiie matematic, ingeniozitate, spirit inventativ, caliti care trebuie noi profesorii s le dezvoltm pe parcursul anilor de coal.
Voi ncepe cu rezolvarea ecuaiilor liniare care conin parametri. Nu prezint nici o problem rezolvarea n mulimea numerelor reale a ecuaiilor de forma ax = b, unde a, b depind de un parametru. Dac a = 0 i b = 0 atunci ecuaia ia forma 0x = 0 Atunci S = R, adic ecuaia admite o infinitate de soluii.
Dac a = 0 i atunci ecuaia ia forma 0x = b. Atunci S=
Dac i b oricare, atunci ecuaia admite o singur soluie
Exemplul 1.
S se rezolve ecuatia i s se discute dup parametrul real m.
Rezolvare:
EMBED Equation.3
Rezolvm ecuatia liniar obtinut:
Dac m = 0, ecuatia ia forma 0x = 2 Deci, S=
Dac m = 1, ecuatia ia forma 0x = 3 Deci, S= Dac atunci ecuatia va admite o soluie
Soluia obtinut trebuie s satisfac conditia . S verificm aceast conditie. Pentru aceasta rezolvm ecuatia :
Deci, pentru numitorul fractiei devine zero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu zero.
Rspuns : Dac S=
Dac
Rezolvati independent ecuatia:
Rspuns: Dac S= Dac atunci
S rezolvm o ecuaie cu parametru care se reduce la ecuaie liniar.
Exemplul 2
Determinai toate valorile reale ale parametrului m , pentru care ecuaia
EMBED Equation.3 nu are soluii.
Rezolvare:
EMBED Equation.3 Aceasta este o ecuaie liniar n raport cu 3x. Deci vom cerceta cazul cnd ecuaia liniar nu are soluii. i deoarece este o ecuaie exponenial, nu va avea soluii atunci cnd
Rspuns:
Rezolvai independent:
Determinai valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia admite o singur soluie real. Determinai aceast soluie.
EMBED Equation.3 Ecuaia dat va admite o singur soluie atunci cnd
Rspuns : Pe intervalul dat soluia ecuaiei va fi
Exemplul 3.Pentru ce valori ale parametrului real a ecuaia va admite o soluie negativ ?
Rezolvare :
EMBED Equation.3 Aceasta este o ecuaie exponenial n raport cu 4x-2 , care se reduce la o ecuaie liniar i va avea o soluie atunci cnd
EMBED Equation.3 n acest interval ecuaia va admite soluia
EMBED Equation.3 S determinm valorile parametrului real a pentru care soluia obinut este negativ. Rezolvm sistemul:
Rspuns : pentru ecuaia va avea o soluie negativ.
n cadrul ecuaiilor cu parametru un loc aparte l ocup ecuaiile de gradul doi cu parametru. Rezolvnd mai multe ecuaii de gradul doi cu parametru am dedus unele condiii sau relaii dintre coeficienii ecuaiei i soluiile ei.
Fie ecuaia de gradul doi ax2 + bx + c =0, unde a, b, c sunt coeficieni care depind de parametri reali.
1. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale distincte atunci cnd
2. Ecuaia ptrat admite o soluie real atunci cnd
3. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de acelai semn atunci cnd
4. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale pozitive atunci cnd
5. Ecuaia ptrat admite dou soluiii reale negative atunci cnd
6.Ecuaia ptrat admite dou soluiii reale de semne opuse atunci cnd
7.Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia pozitiv mai mare dect soluia negativ dup modul atunci cnd
8. Ecuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia negativ dup modul este mai mare atunci cnd :
9. Ecuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar cealalt este negativ atunci cnd :
10. Ecuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar a doua este pozitiv atunci cnd
Deseori se cere s se discute soluiile ecuaiei dup valorile parametrului. A discuta soluiile ecuaiei nseamn n general a stabili condiiile n care aceasta admite rdcini ntr-o mulime dat i a determina apoi numrul lor, semnele lor etc. n cazul cel mai frecvent mulimea dat este mulimea numerelor reale R, uneori mulimea numerelor complexe C.
Exerciiul 3S se rezolve ecuaia i s se discute soluiile ei dup parametrul real m .
Rezolvare:
1. Pentru m = 1 ecuaia ia forma
EMBED Equation.3 2. Pentru m + 2 = 0 adic pentru m = 2 , ecuaia se scrie astfel
3. S calculm valorile parametrului pentru cazul cnd soluiile ecuaiei vor fi egale : adic
Dac atunci ecuaia are o soluie
4. Dac
EMBED Equation.3 ecuaia va admite dou soluii reale distincte
5. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluiile ecuaiei sunt reale i pozitive: adic
Deci, dac ecuaia are dou soluii reale pozitive.
6. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluiile sunt reale i negative adic
Deci, pentru ecuaia are dou soluii reale negative.
7. S calculm valorile parametrului m din intervalul pentru care ecuaia admite soluii reale de semne opuse adic
Pentru ecuaia admite dou soluii reale de semne opuse.
Rspuns : Dac ecuaia nu admite soluii reale
Dac ecuaia are o soluie real
Dac ecuaia are dou soluii reale negative
Dac ecuaia are dou soluii
Dac ecuaia are dou soluii reale de semne opuse.
Dac m = 1 ecuaia are o singur soluie
Dac ecuaia are dou soluii reale pozitive.
Exist ns probleme a cror rezolvare impune cercetarea condiiilor n care o ecuaie admite soluii ntr-o submulime a mulimii numerelor reale, care rezult din condiiile problemei respective. Vom rezolva aceast problem n cazul cnd submulimea este un interval dat pentru ecuaia de gradul doi.
Exemplul 4.
Se d ecuaia . 1). S se discute soluiile ecuaiei , tiind c
2). Fr s se rezolve ecuaia , s se afle m astfel nct
Rezolvare: 1. Dac m = 2 ecuai ia forma
EMBED Equation.3 adic ecuaia are dou soluii x1 = 0 ; x2 = 4.2. Dac m = 0 ecuaia se transform n x2 + 2 = 0, care nu are soluii reale. Are soluii complexe.
3. Ecuaia va avea soluii reale atunci cnd adic
4. Dac ecuaia nu are soluii reale, adic are soluii complexe.
5. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i pozitive.
6. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i negative.
EMBED Equation.3 7. S calculm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluii sunt reale i de semne diferite.
Rspuns: I: Dac ecuaia are dou soluii negative
Dac ecuaia nu are soluii reale
Dac ecuaia are dou soluii reale pozitive
Dac m = 2, ecuaia are soluiile x1 = 0, x2 = 4Dac ecuaia are dou soluii de semne diferite
II. S calculm valorile parametrului m pentru care se satisface condiia
Efectum careva transformri cu expresia n rezultat avem . Conform relaiilor lui Viete obinem :
Rspuns II : Pentru este satisfcut condiia.
Exemplul 5.
S se determine toate valorile reale ale parametrului k pentru care ecuaia are soluii reale i diferite. Cte soluii a acestei ecuaii sunt situate n intervalul n dependen de parametrul k ?
Rezolvare :
Pentru ca soluiile ecuaiei s fie reale i distincte e necesar ca
Deci, pentru ecuaia va avea dou soluii reale distincte.
Conform relaiilor lui Viete avem :
Deoarece semisuma soluiilor ecuaiei este nseamn, c una din soluii este mai mare dect , iar cealalt mai mic ca , adic . Deci, intervalului i va aparine numai o soluie x1, fiind pozitiv. A doua soluie , atunci rezult , c ambele soluii sunt pozitive, adic . Deci, pentru n intervalul este situat numai o soluie, cea mai mic
Rspuns : Pentru n intervalul este situat o singur soluie
Exemplul 6.
Fie dat ecuaia : R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaia are o soluie unic?
Rezolvare :
Pentru ca ecuaia ptrat exponenial s admit o soluie unic e necesar s fie satisfcute urmtoarele condiii:
Rspuns: Pentru
EMBED Equation.3 ecuaia va admite o soluie unic.
Inecuaii cu o singur necunoscut cu parametruFie date dou funcii numerice f(x) i g(x) i fie D mulimea ce reprezint intersecia domeniilor de definiie a acestor funcii, adic . Dac se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este just inegalitatea numeric
EMBED Equation.3 , atunci se spune c este dat o inecuaie cu o singur necunoscut . Mulimea D este numit domeniul valorilor admisibile al necunoscutei,( DVA ), iar x0 este soluie a inecuaiei.
n mod analog trebuie formulate i nelese problemele : s se rezolve inecuaiile f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g (x). Mulimea soluiilor unei inecuaii reprezint , de regul, o mulime infinit de numere i de aceea verificarea ei este dificil. Unica metod, care garanteaz justeea rspunsului const n faptul, c la rezolvarea inecuaiilor trebuie efectuate astfel de transformri, nct s se pstreze echivalena inecuaiilor.
Dou inecuaii sunt echivalente dac mulimile soluiilor lor coincid.
Aducem afirmaiile de baz cu privire la echivalena inecuaiilor , care se formuleaz i se demonstreaz pe baza proprietilor inegalitilor numerice.
1. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) g(x) > 0 sunt echivalente
2. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) + a > g(x) + a sunt echivalente pentru orice a real.
3. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) > ag(x) sunt echivalente pentru orice a pozitiv.
4. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) < ag(x) sunt echivelente pentru orice a negativ.
5. Inecuaiile i f(x) > g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat a > 16. Inecuaiile i f(x )< g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat 0 < a < 17. Fie n un numr natural i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt nenegative. Atunci pe aceast mulime inecuaiile f(x) > g(x) i sunt echivalente.
8. Fie a un numr fixat din domeniul i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile i f(x ) > g (x).9. Fie a un numr fixat din domeniul (0;1) i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile i f(x) < g(x) .
10. Fie c pe mulimea M , care se conine n DVA al inecuaiei f(x) > g(x), funcia este pozitiv . Atunci pe aceast mulime snt echivalente inecuaiile i
Fiecare dintre inecuaiile de forma ax > b, ax < b, ax b, ax b , unde a i b sunt numere reale sau funcii de parametri, iar x este o necunoscut se numete inecuaie liniar cu o necunoscut cu parametru.
Considerm inecuaia ax > b , la rezolvarea creia vom deosebi urmtoarele cazuri : 1). Dac a > 0 atunci
2). Dac a < 0 atunci 3). Dac a = 0 i b < 0, obinem inecuaia 0x > b, care este verificat de orice valoare real a necunoscutei x.4). Dac a = 0 i b > 0, obinem inecuaia 0x > b, care nu are soluii.
Exemplul 1.
S se rezolve inecuaia :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Rezolvare:
Efectund unele transformri , inecuaia dat ia forma
Dac , atunci
Dac , atunci
Dac a = 1, atunci inecuaia ia forma 0x > 8, care nu are soluii
Dac a = 1 , atunci inecuaia devine 0x > 8 , care este verificat de orice x real.
Exemplul 2.
Pentru care valori ale parametrului k inecuaia este verificat de valorile necunoscutei ?
Rezolvare:
Vom considera funcia graficul creia reprezint o linie dreapt pentru orice valoare a parametrului k.
Se observ c pe segmentul , atunci i numai atunci, cnd
Efectund careva transformri necesare , obinem
Deci, pentru inecuaia este verificat de valorile necunoscutei
Rspuns:
Fiecare dintre inecuaiile de forma ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c 0 ,unde a 0 se numete inecuaie de gradul doi sau inecuaie ptrat cu o necunoscut, iar a, b, c sunt numere reale sau depind de parametru.
Rezolvarea inecuaiilor ptrate cu parametri necesit cunoaterea profund a proprietilor trinomului ptrat
Exemplul 3.
De rezolvat inecuaia
Rezolvare:
Dac m = 1 atunci inecuaia ia forma
Dac R \ atunci soluiile inecuaiei vor depinde de valorile discriminantului i de valorile lui m 1 . Calculm discriminantul :
Determinm semnul discriminantului.
. Determinm semnul expresiei m 1 .
Depunem toate valorile obinute pe o dreapt:
+ + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +
m 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 + + + + + + + +
Calculm rdcinile trinomului asociat inecuaiei: i
Rspuns : Dac
Dac
S=R
Dac m = 1
Dac
EMBED Equation.3
Exemplul 4Determinai valorile reale ale parametrului a , pentru care funcia este cresctoare pe R.Rezolvare :
O funcie este cresctoare pe R atunci cnd f ' (x) 0. f ' (x ) =
S determinm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaia 0. Observm, c este o inecuaie ptrat cu parametru. Verificm pentru nceput
Dac a=1 avem c f '(x) =2 > 0. Deci, este realizat condiia problemei.
Dac a = 1 avem c f '(x) = 4x + 2, care nu este nenegativ pentru orice x real. Prin urmare, nu este realizat condiia problemei.
Dac R\ obinem c f '(x) 0
Am obinut, c f '(x) 0 pentru
Rspuns : Pentru f ' (x) 0 pentru orice valoarea real a lui x , adic f (x) este cresctoare.
Pentru lucrul independent:
1. Determinai valoarea maxim a parametrului real a , pentru care funcia este monoton descresctoare pe R.
2. Pentru care valori reale ale parametrului real a , funcia admite puncte critice ?
3. Fie funcia Determinai valorile lui m pentru care funcia f este descresctoare pe R.
4. Fie funcia determinai parametrul real m pentru care D = R.5. Pentru care valori ale parametrului real a ecuaia are o unic soluie?
Ciuga Maria, profesor de matematic,
Grad didactic nti
Liceul Teoretic M. Eminescu
or. Drochia
e-mail [email protected]
tel.mob. 069945020
tel. dom. 025224520
_1381507258.unknown
_1383979489.unknown
_1383991120.unknown
_1383992053.unknown
_1383992371.unknown
_1383993284.unknown
_1383995352.unknown
_1384609530.unknown
_1384609998.unknown
_1383995418.unknown
_1383993989.unknown
_1383995244.unknown
_1383995304.unknown
_1383994919.unknown
_1383995021.unknown
_1383993308.unknown
_1383992459.unknown
_1383992520.unknown
_1383992931.unknown
_1383993144.unknown
_1383992545.unknown
_1383992481.unknown
_1383992384.unknown
_1383992305.unknown
_1383992343.unknown
_1383992359.unknown
_1383992325.unknown
_1383992087.unknown
_1383992106.unknown
_1383992071.unknown
_1383991693.unknown
_1383991792.unknown
_1383991919.unknown
_1383992035.unknown
_1383991897.unknown
_1383991727.unknown
_1383991751.unknown
_1383991711.unknown
_1383991455.unknown
_1383991560.unknown
_1383991655.unknown
_1383991519.unknown
_1383991199.unknown
_1383991225.unknown
_1383991152.unknown
_1383990655.unknown
_1383990863.unknown
_1383991017.unknown
_1383991054.unknown
_1383990886.unknown
_1383990707.unknown
_1383990782.unknown
_1383990681.unknown
_1383990447.unknown
_1383990562.unknown
_1383990606.unknown
_1383990540.unknown
_1383982110.unknown
_1383990378.unknown
_1383990425.unknown
_1383988950.unknown
_1383984567.unknown
_1383981570.unknown
_1383981637.unknown
_1383981497.unknown
_1381511310.unknown
_1381574972.unknown
_1381587770.unknown
_1381589575.unknown
_1381589840.unknown
_1381651021.unknown
_1381651751.unknown
_1381652132.unknown
_1381652597.unknown
_1381651905.unknown
_1381651403.unknown
_1381649645.unknown
_1381649919.unknown
_1381589888.unknown
_1381589769.unknown
_1381589824.unknown
_1381589644.unknown
_1381588597.unknown
_1381589080.unknown
_1381589289.unknown
_1381589006.unknown
_1381588517.unknown
_1381588534.unknown
_1381588012.unknown
_1381577963.unknown
_1381587220.unknown
_1381587365.unknown
_1381578047.unknown
_1381577242.unknown
_1381577440.unknown
_1381577138.unknown
_1381512121.unknown
_1381568709.unknown
_1381572640.unknown
_1381574951.unknown
_1381571921.unknown
_1381513589.unknown
_1381568569.unknown
_1381513573.unknown
_1381511818.unknown
_1381512009.unknown
_1381512062.unknown
_1381511880.unknown
_1381511474.unknown
_1381511767.unknown
_1381511363.unknown
_1381508703.unknown
_1381510420.unknown
_1381511047.unknown
_1381511244.unknown
_1381510600.unknown
_1381509770.unknown
_1381510106.unknown
_1381509378.unknown
_1381507953.unknown
_1381508291.unknown
_1381508457.unknown
_1381508126.unknown
_1381507846.unknown
_1381507899.unknown
_1381507362.unknown
_1381490178.unknown
_1381496131.unknown
_1381504693.unknown
_1381505316.unknown
_1381505924.unknown
_1381506756.unknown
_1381505561.unknown
_1381504910.unknown
_1381505247.unknown
_1381504875.unknown
_1381497265.unknown
_1381504498.unknown
_1381504593.unknown
_1381497927.unknown
_1381496395.unknown
_1381497101.unknown
_1381496152.unknown
_1381492496.unknown
_1381493312.unknown
_1381494235.unknown
_1381494393.unknown
_1381494543.unknown
_1381495843.unknown
_1381494503.unknown
_1381494295.unknown
_1381493517.unknown
_1381493102.unknown
_1381493222.unknown
_1381492634.unknown
_1381490789.unknown
_1381491694.unknown
_1381491856.unknown
_1381491070.unknown
_1381490612.unknown
_1381490772.unknown
_1381490249.unknown
_1381408670.unknown
_1381410783.unknown
_1381412894.unknown
_1381489416.unknown
_1381489816.unknown
_1381490032.unknown
_1381485248.unknown
_1381412187.unknown
_1381412319.unknown
_1381411912.unknown
_1381409602.unknown
_1381409811.unknown
_1381410541.unknown
_1381409729.unknown
_1381409047.unknown
_1381409358.unknown
_1381408926.unknown
_1381401432.unknown
_1381402300.unknown
_1381402705.unknown
_1381406420.unknown
_1381402429.unknown
_1381401694.unknown
_1381401842.unknown
_1381401520.unknown
_1381398983.unknown
_1381399029.unknown
_1381399513.unknown
_1381399013.unknown
_1381398591.unknown
_1381398882.unknown
_1381398169.unknown