EDDP - cursuri

  • View
    53

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ecuatii dif cursuri predate de xw

Text of EDDP - cursuri

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale

    Curs Nr. 1

    Lect. Dr. Munteanu Iuliana

    1

    Ecuatie diferentiala de ordin k ( )

    ,, (1), ,() = 0 (1)

    Se cunoaste F de k+2 variabile, : +2 . Se cere sa se determine : astfel

    incat sa verifice ecuatia (1), adica trebuie gasita :1 astfel incat

    , , 1 , = 0, .

    Ecuatia (1) poate fi:

    1. Liniara:

    =

    =0

    ,0, , sunt functii continue

    2. Liniara cu coeficienti constanti:

    =

    =0

    Daca = 0 atunci ecuatia este omogena.

    3. Cvasiliniara de ordin k:

    = , , 1 , , 1

    Ecuatie diferentiala de ordin 1

    , , = 0 forma implicita

    2 = (, ) forma explicita

    = , (2)

    (,): 2 defineste ecuatia (2).

    Cerinte: a) Se da un 0() si verificam ca este solutie pentru (2).

    0: 0

    0 = ,0 , 0

    b) Se cere determinarea solutiei generale sau a unei solutii particulare care

    indeplineste conditia (0) = 0 (problema Cauchy)

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale

    Curs Nr. 1

    Lect. Dr. Munteanu Iuliana

    2

    DEF.: Spunem ca s-a dat o problema Cauchy (, 0,0) pentru ecuatia (2) daca se cauta o

    functie (): astfel incat = , ,

    0 = 0

    Interpretare a solutiei ecuatiei (2): inseamna a se gasi o familie de functii , pentru care se

    cunoaste din (2) directia tangentei.

    Ecuatie diferentiala de ordin 1 integrabila prin cuadraturi

    1. Ecuatie cu variabile separabile

    = (x) (3)

    , functii continue

    Rezolvare: Se determina solutiile stationare obtinute din = 0, apoi se separa

    variabilele ( 0):

    ()=

    ()=

    2. Ecuatie liniara

    = (4)

    Tema: Sa se arate folosind ecuatia (3) ca solutia generala a ecuatiei (4) este de forma

    = ,

    3. Ecuatie afina

    = + () (5)

    , functii continue

    Rezolvare: Se rezolva ecuatia omogena atasata

    = si se aplica metoda variatiei

    constantelor. (Tema)

    ()

    0 = 0 0

    Ecuatia tangentei

    )

    )

    (derivate intr-un punct al unei

    functii cu o variabila da

    directia tangentei)

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale

    Curs Nr. 1

    Lect. Dr. Munteanu Iuliana

    3

    4. Ecuatie omogena (functia f nu depinde arbitrar de t si x)

    =

    (6)

    Adica (,) din ecuatia (2) are proprietatea de a fi functie omogena

    , = , , (, )

    Rezolvare: Schimbare de variabila:

    = ,

    ()

    = (), se obtine o noua ecuatie doar in z.

    = = +

    Ecuatia (6) devine + =

    si se reduce la =1

    ( ) ecuatie cu variabile separabile.

    5. Ecuatie Bernoulli

    = + () (7)

    , functii continue, 0,1

    Observatie: = 0 . ; = 1, .

    Rezolvare: Varianta 1

    a. Se identifica ,

    b. Se rezolva ecuatia liniara atasata

    =

    . = ,

    c. Utilizand metoda variatiei constantelor determinam functia astfel incat

    = () sa verifice (7)

    = + () ()

    + = + ()(())

    = ()(1) ecuatie cu variabile separabile pentru

    determinarea lui c .

    Solutii stationare exista numai daca > 0 = 0 = 0 = 0 este solutie

    stationara pt (7).

    = 1

    Varianta 2

    Se face schimbarea de variabile = 1 , = ( )1

    = ( )1

    1

    =

    1

    1

    1

    11 =

    1

    1

    1 ().

    Ecuatia (7) devine: 1

    1

    1 = 1

    1 + ()

    1

    = 1 1

    1

    1 + ()

    = 1 + () ecuatie afina in z, se aplica algoritmul pentru ecuatia afina.

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale

    Curs Nr. 1

    Lect. Dr. Munteanu Iuliana

    4

    6. Ecuatie Riccati

    = 2 + + () (8)

    , , : functii continue

    Observatie: 1) 0 (diferit de functia identic 0), altfel este ecuatie afina

    2) 0, altfel este ecuatie Bernoulli pentru =2

    Rezolvare: (se presupune cunoscuta o solutie 0 a ecuatiei (8))

    Se face schimbarea de variabila = + 0, = + 0()

    0 = 0

    2 + 0 + 9

    = + 0

    Ecuatia (8) devine: + 0 = + 0

    2+ + 0 +

    (0()) = ()2 + 2()0() + ()0

    2() + () + ()0() + ()

    = 2 0 + 1

    + 2

    1

    pentru y o ecuatie Bernoulli pt = 2.

    Observatie: Ecuatia rasturnata a ecuatiei:

    = , este ecuatia: :

    =

    1

    , , care,

    uneori, poate fi incadrata intr-unul din tipurile de mai sus. Se determina = () care constituie

    solutie implicita si pentru ecuatia

    = , .

    Exemplu (pentru ecuatie rasturnata): =

    32

    , =

    3 2 : , 2 3 2

    Ecuatia rasturnata:

    =

    32

    =

    3

    ()

    + ()

    =

    3

    = 3 = 3ln| | = ||

    3= ln||3 = 3,

    Variatia constantelor: cautam () astfel incat = ()3 sa fie solutie a ecuatiei

    rasturnate:

    =

    3

    3 + 32 =3

    3

    = 1

    2 (ecuatie de tip primitiva)

    =1

    + ,

    Solutia ecuatiei rasturnate: = 1

    + 3 = 2 + 3,

    Tema (ecuatie rasturnata) : =1

    2 2

    = 2 + 2(Bernoulli cu = 2)

  • Existenta si unicitatea solutiei problemei Cauchypentru ecuatii diferentiale scalare de ordin 1

    (Partea I)

    Curs Nr. 2

    dx

    dt= f(t, x) , (1)

    Ecuatia diferentiala (1) este definita de campul vectorial f(, ) : D R2 R.

    Definitia problemei Cauchy

    Spunem ca s-a dat o problema Cauchy pentru ecuatia (1), notata (f, t0, x0),daca se cauta o functie derivabila : I R R, astfel ncat (t0) = x0, = {(t, (t)|t I} Dsi sa verifice ecuatia (1) (t) = f(t, (t)),t I.

    Problema Cauchy se scrie sub forma:{dxdt , f(t, x)x(t0) = x0

    (2)

    Conditia x(t0) = x0 este numita conditie initiala.

    Probleme de studiat pentru problema Cauchy

    1. Existenta solutiei (ne intereseaza obiecte care exista)

    2. Unicitatea solutiei (asigura posibilitatea previziunii stiintifice)

    3. Existenta unei solutii maximale (daca D = [a, b] R R2, atunci intere-seaza daca exista solutie definita pe ntreg domeniul)

    4. Dependenta de datele initiale: t0, x0 (dependenta continua asigura ca laerori mici ale datelor initiale corespund erori mici ale solutiei)

    5. Metode de aproximare a solutiei n cazul n care nu poate fi determinatasolutia prin integrare directa prin cuadraturi (folosirea calculatoarelor)

    1

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale Lect.Dr. Iuliana Munteanu

    Interpretarea geometrica a solutiei problemei Cauchy

    Daca solutie a problemei (2), avem D

    6

    -

    r(t)

    t

    (t0)

    t0

    directia tangentei(t0) = f(t0, (t0))

    Teorema Cauchy-Picard(existenta si unicitatea problemei Cauchy)

    Se da f(, ) : D R2 R. Consideram (t0, x0) D. Acestea definesc problemaCauchy (2). Consideram a, b > 0 astfel ncat D1 = [t0a, t0 +a] = [x0 b, x0 +b] D. Consideram ca f continua si f

    xeste marginita pe D1. Deci M1 >

    0,M1 = max(t,x)D1fx (t, x) . Cum f este continua pe D1 rezulta ca M =

    sup(t,x)D1 |f(t, x)| . Fie min(a, bM ). Atunci problema Cauchy are o unicasolutie : [t0, t0 +] R, adica exista si este unica astfel nca sa verifice{(t) = f(t, (t))(t0) = x0

    Preliminarii (Siruri de functii)

    Fie (fi)i0, fi : I R un sir de functii continue.Definitii:

    1. Sirul f(fi)i0 converge la f : I R (fi i

    f) daca > 0, t I,

    N(, t) N astfel ncat |fi(t) f(t)| < , i N(, t). (3)2. Sirul (fi)i0 converge uniform la f : I R daca > 0, N(, t) N

    astfel ncat |fi(t) f(t)| < , i N(, t), t I. (4)3. Sirul f(fi)i0 estesir Cauchy daca > 0, N(, t) N astfel ncat

    |fi(t) fj(t)| < , i, j N(, t), t I. (5)

    2

  • Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale Lect.Dr. Iuliana Munteanu

    Propozitie: Fie f(fi)i0 sir Cauchy de functii continue,fi : I R, I = [a, b]. Atunci:

    1. fi i

    f

    2. limiba

    fi(t) dt =ba

    f(t) dt

    Demonstratie:

    1. Pentru t [a, b], (fi(t))i0 este sir Cauchy. Deci lt = limi fi(t). Definimf : [a, b] R, f(t) = lt, t [a, b]. Cum (fi)i0 sir Cauchy, consideram n (5)j , deci > 0, N() N astfel ncat |fi(t) f(t)| < , i N(), t [a, b], de unde rezulta ca (fi)i0 converge uniform la f .Aratam ca f este uniform continua: fie > 0 si t1, t2 [a, b]. Avem:|f(t1) f(t2)| = |f(t1) fi(t1) + fi(t1) fi(t2) + (fi(t2) f(t2))| |f(t1) fi(t1)|

    <

    + |fi(t1) fi(t2)| < (fi continua pe intervalul compact [a,b])

    + |fi(t2) f(t2)| <

    0astfel ncat |f(t, x1) f(t, x2)| L |x1 x2| , (t, x1), (t, x2) D (6)

    Demonstratie: Fie (t, x1), (t, x2) D. Cum fx

    este continua si f este continua

    pe D, aplicam teorema cresterilor finite pentru x pe [x1, x2]: (, ) D astfel ncatf(t1, x1) f(t2, x2) = f

    x(, )

    marginita

    (x1 x2). De unde se obtine: |f(t1, x1) f(t2, x2)|

    M1|x1 x2|, adica conditia (6) pentru L = M1

    Lema 2 (de reprezentare integrala a solutiei): In ipotezele teoremei Cauchy-Picard,fie problema Cauchy (f, t0, x0). Are loc urmatoarea echivalenta: : [t0, t0+] Reste solutie a problemei Cauchy (f, t0, x0) (t) = x0 +

    tt0

    (f(s), (s))ds .

    Demonstratie: solutie {(t) = f(t, (t)), t I(t0)