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Ecuaciones DiferencialesAcademia de Ciencias Básicas

Tarea III

1. Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a)   t

b) cos at

c)   t sin at

d) Usa el hecho que cosh bt = (ebt + e−bt)/2 y encuentra la transformada de Laplace de lafunción cosh bt

e)

f (x) =

0, t <  2

(t − 2)2, t ≥ 2.

f)   f (t) = (t − 3)u2(t) − (t − 2)u3(t)

g)   f (t) = t0

(t − τ )2 cos2τ dτ 

h)   f (t) = t

0  sin(t − τ )cos τ dτ 

2. Encuentra la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a)   2s+2s2+2s+5

b)

  8s2−4s+12

s(s2

+4)

c)   F (s) =   2(s−1)e−2s

s2−2s+2

d)   F (s) =   e−2s

s2+s−2

e)   F (s) =   1(s+1)2(s2+4)

f)   F (s) =   G(s)s2+1

3. Aplica la transformada de Laplace para resolver el problema con valor inicial dado:

a)   y − 2y + 2y = 0,  y(0) = 0,  y (0) = 1

b)   y − 2y + 2y = cos t,  y (0) = 1,  y (0) = 0

4. Encuentra la solución de la ecuación diferencial dada.a)   y − 2y − 3y = −3xe−x

b) 2y + 3y + y  =  x2 + 3 sin x

c)   y + 9y =  x2e3x + 6

5. Encuentra la solución del problema con valor inicial.

a)   y + y − 2y = 2x,  y(0) = 0, y(0) = 1.

b)   y + 2y + 5y = 4e−x cos2x,  y (0) = 1,  y (0) = 0.

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c)

y + 2y + 2y  =  h(t);   y(0) = 0, y(0) = 1, h(t) =

1, π ≤ t <  2π

0,   0 ≤ t < π, t ≥ 2π

d)

y + 2y + y =  f (t);   y(0) = 1, y(0) = 0, f (t) =

1,   0 ≤ t <  1

0, t ≥ 1

e)

y + y + 5

4y =  g(t);   y(0) = 0, y(0) = 0, g(t) =

sin t,   0 ≤ t < π

0, t ≥ π

6. Expresa la solución del problema con valor inicial dado en th́ermanos de una integral de

convolución:

a)   y + y +   54y = 1 − uπ(t);  y(0) = 1,  y(0) = −1

b)   yiv − y =  g(t);  y (0) = y(0) = y(0) = y (0) = 0

c)   y + 2y + 2y = sin αt;  y (0) = y(0) = 0

7. (Punto extra sobre calif del examen) Considere la ecuación

φ(t) +

   t

0

k(t − ξ )φ(ξ )dξ  =  f (t),

en la que  f   y  k  son funciones conocidas y ha de determinarse  φ. Dado que la función des-conocida  φ  aparece bajo un signo de integral, la ecuación se llama  ecuación integral; en

particular, pertenece a una clase de ecuaciones integrales conocida como ecuaciones integralesde Volterra. Calcule la transformada de Laplace de la ecuación integral dada y obtenga unaexpresión para L  {φ} en términos de las transformadas L  {f (t)} y L  {k(t)} de las funcionesdadas f  y k. La transformada inversa de L  {φ} es la solución de la ecuación integral original.

Considere la ecuación integral de Volterra

φ(t) =

   t

0

(t − ξ )φ(ξ )dξ  = sin 2t.

a) Demuestre que si u  es una función tal que u(t) =  φ(t), entonces u(t) + u(t)− tu(0)−u(0) = sin 2t.

b) Demuestre que la ecuación integral dada es equivalente al problema con valor inicial

u(t) + u(t) = sin2t;   u(0) = 0, u(0) = 0.

c) Resuelva la ecuación integral dada mediante la aplicación de la transformada de Laplace.

d) Resuelva el problema con valor inicial del inciso  b) y compruebe que la solución es lamisma que la del inciso  c).

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