Edom

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Corso di Fondamenti di Geotecnica Prof. Ing. M.Grisolia

Esercitazione n°5 – Prove di Laboratorio: Prova Edometrica

Esercitazione N°5 – Prove di Laboratorio: Prova Edometrica Esercizio 5.1 – Elaborazione di una prova di compressione edometrica

Un campione di terreno indisturbato di argilla limosa è stato prelevato ad una profondità di 12.0 m dal p.c.

ed è stato sottoposto a prove di identificazione e classificazione, i cui risultati sono riportati in tabella 1. Dal

campione è stato ricavato un provino cilindrico sul quale è stata effettuata una prova di compressione

edometrica.

I risultati della prova, in termini di abbassamenti del provino (ΔHi) per ciascun incremento della

sollecitazione unitaria (σ'v) al termine della fase di consolidazione, sono riportati in tabella 1.

Ricostruire e tracciare in scala semilogaritmica la curva e-log σ'v. In base alla costruzione grafica

di Casagrande, determinare la tensione di preconsolidazione σ'p e quindi, considerando la falda al

piano campagna e il deposito omogeneo e isotropo, stimare il grado di sovraconsolidazione OCR del

terreno. Calcolare inoltre i moduli edometrici Eed nella fase di carico, riportandoli su un grafico

bilogaritmico, in funzione della tensione applicata. Infine, dalla curva e-log σ'v, ricavare

graficamente l'indice di compressibilità (Cc) e l'indice di rigonfiamento (Cs).

Tabella 1 – Prova edometrica

Cella edometrica D mm 71,4 Dimensioni del Provino H0 mm 20,0

Risultati della prova edometrica

Tensioni verticali applicate Abbassamenti del provino

σ'v ΔHi

kPa mm

50 0,03

100 0,089

200 0,405

400 0,835

800 1,372

1600 1,968

3200 2,642

800 2,209 200 1,543

Identificazione e classificazione del provino Contenuto naturale d'acqua wn % 28,34 Peso dell'unità di volume γ kN/m3 19,6 Peso specifico dei grani Gs - 2,7

Grado di saturazione Sr % 100 Limite di liquidità wl % 85 Limite di plasticità wp % 28,9

Classificazione (USCS) Argilla CH

50 0,911

σa = N/A εa = δ/H0

εr = 0

N

Hδ

31



Traccia della soluzione

a) Per tracciare la curva e - log σ'v si dovranno riportare su un grafico in scala semilogaritmica le diverse coppie di

valori e -σ'v. La relazione che lega la variazione dell'indice dei vuoti con la variazione dell'altezza del provino è:

( )00 1 e

eHz+Δ

=Δ

da cui, a partire dai dati a disposizione, si ottiene:

( )00

100 1 e

HHHeeee ii +

Δ−Δ−=Δ−=→ −

Tenere presente che il valore di eo , in condizioni di saturazione, può essere espresso dalla relazione:

ysat = (Gs + e0)/(1+e0)·yw da cui si ricava e0 = GS·wn

b) La determinazione sperimentale della pressione di preconsolidazione σc attraverso la

costruzione grafica di Casagrande può essere così schematizzata:

1. si individua sul grafico il punto di massima curvatura della curva e - log σ'v;

2. si tracciano la tangente alla curva in tale punto, la retta orizzontale passante per lo stesso punto e

la bisettrice dell'angolo individuato dalle prime due rette;

3. l'intersezione della bisettrice con la retta ottenuta dal prolungamento del tratto di compressione

(tratto rettilineo della curva e - log σ'v) individua la σ'c.

c) Il grado di sovraconsolidazione O.C.R. del terreno è definito come:

0''

...V

CRCOσσ

=

dove σ'v0 è la tensione verticale efficace in sito.

d) Il modulo edometrico Eed corrispondente ad un generico intervallo di tensione Δσ'v, è dato da:

01

1''H

HHE

ii

iied

−

−

Δ−Δ−

=σσ

dove H0 è l'altezza iniziale del provino e ΔHi è il cedimento conseguente all'incremento di carico.

e) L'indice di ricompressione Cr è dato dalla inclinazione del tratto iniziale della curva e-log σ'v nel tratto

relativo alla fase di ricormpressione, fino al raggiungimento della pressione di preconsolidazione σ'p;

esso è così espresso:

vc

eC'logσΔ

Δ−=

f) L'indice di compressibilità Cc è dato dalla inclinazione del tratto rettilineo della curva e-log σ'v a partire

da una pressione maggiore della pressione di preconsolidazione σ'p; esso è così espresso:

vc

eC'logσΔ

Δ−=

g) L'indice di rigonfiamento Cs è dato dalla inclinazione del tratto di curva e-log σ'v nel tratto relativo

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alla fase di scarico, approssimando la curva con una retta; esso è così espresso:

vs

eC'logσΔ

Δ−=

Curva edometrica

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

10 100 1000 10000

Indi

ce d

ei v

uoti

- e

Tensioni applicate - σ'v (kPa)

σ'p =

O.C.R. =

Cr =

Cc =

Cs =

Variazione di Eed con le tensioni applicate σ'v

1

10

100

10 100 1000 10000

Mod

ulo

edom

etri

co -

Eed

(Mpa

)

Tensioni applicate - σ'v (kPa)

33



Esercizio 5.2 – Elaborazione delle curve cedimenti - tempo

In tabella 1 sono riportati i dati sperimentali misurati durante la prova edometrica. Essi sono riferiti agli

intervalli di carico Δσ'v =100÷200 kPa e Δσ'v = 200÷400 kPa.

Dopo aver ricostruito le curve cedimenti - tempo relative ai due intervalli, stimare il coefficiente di

consolidazione (cv) e la permeabilità del terreno (k).

Δσ'v= 100÷200 kPa Hiniz.= 19,91 mm Δσ'v= 200÷400 kPa Hiniz.= 19,59 mm

Tempo Hi Tempo Hi

s mm s mm

7,5 19,84 7,5 19,50

15 19,83 15 19,48

30 19,82 30 19,47

60 19,81 60 19,46

120 19,80 120 19,45

240 19,78 240 19,42

480 19,76 480 19,39

1200 19,72 900 19,36

1800 19,70 1800 19,31

3600 19,66 3600 19,24

7200 19,62 7200 19,19

13920 19,59 14040 19,16

28620 19,58 30240 19,14

85740 19,57

86940 19,13 Tabella 1: Dati sperimentali della curva cedimenti – tempo

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Traccia della soluzione a) Dalle curve δ - logt si dovrà individuare graficamente, per ciascuna curva, l'istante finale del processo di

consolidazione primaria (t100) che corrisponde ad un grado di consolidazione medio U=100. Esso è assunto

coincidente con l'intersezione del tratto rettilineo finale della curva δ - logt e della tangente alla curva nel punto di

flesso; noto il t100, si potrà ricavare in corrispondenza il valore del cedimento δ100;

b) Sarà quindi necessario ricostruire sull'asse dei cedimenti l'origine (zero corretto) delle deformazioni che

corrisponde all'inizio della consolidazione (U = 0%); tale origine si può ottenere attraverso la costruzione grafica

che sfrutta l'approssimazione ad una parabola del tratto iniziale del processo di consolidazione.

Per valori di U < 60 % vale la relazione:

2

1

2

1

)()(

tt

tt

=δδ

per cui assumendo t2 = 4t1 si ha che δ(t2) = 2 δ(t1); di conseguenza sarà sufficiente scegliere due istanti di tempo tali

che t2 = 4t1 e si potrà ricavare lo zero ribaltando rispetto a δ(t1) il segmento δ(t2) - δ(t1). Ad esempio, facendo

riferimento alla figura 1, si ha

- t1 = 20 secondi; δ(t1) = punto 2;

- t2 = 4 t1 = 80 secondi; δ(t2) = punto 1;

- assunto il segmento "a" uguale al segmento "b", l'origine risulta nel punto "3", in quanto "a+b" = 2 "b".

Curva edometrica

19,55

19,60

19,65

19,70

19,75

19,80

19,85

19,90

1 10 100 1000 10000 100000

Def

orm

azio

ni -

H (m

m)

Tempo - t (s)

t1=20

ab

t2=80

321

Figura 1 - Ricostruzione origine dei cedimenti

U100

35



c) Noto il cedimento iniziale e quello finale, è noto anche quello corrispondente al 50 % della consolidazione primaria e

quindi il tempo t50 ad esso corrispondente.

d) Dal t50 si potranno ricavare il coefficiente di consolidazione (cv) e il coefficiente di permeabilità (k), sfruttando le

seguenti relazioni :

[ ] 2

50

2

2197.0

sec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= mi

viH

tmc

[ ]edi

viwi E

cmk ⋅=

γsec

e) La lunghezza massima del percorso di drenaggio è la metà dell'altezza media del campione nell'intervallo di carico

fra l'inizio (U = 0 %) e la fine della consolidazione (U = 100 %):

21−+

= iimi

HHH

36



Esercizio 5.3 – Calcolo del cedimento di consolidazione adottando il metodo edometrico

Il campione indisturbato sottoposto alla prova edometrica si riferisce ad un’area sulla quale sarà realizzato un

silos.

Nella figura 1 è riportato lo schema della fondazione del silos, che verrà collocato su una piastra quadrata di

dimensioni 10,0 m ⋅ 10,0 m posto ad una profondità dal piano campagna pari a 0,50 m.

Il terreno di imposta è pianeggiante, e come si è desunto dai sondaggi effettuati, lo strato di argilla limosa è

presente fino ad una profondità di 14.0 m, a partire da quale è presente il substrato indeformabile: la falda

freatica è posta alla quota del piano di posa della fondazione.

Considerando che la fondazione è sottoposta a dei carichi permanenti verticali pari a N = 9000 kN,

determinare il cedimento finale della struttura wf con il metodo edometrico, utilizzando i valori dell'indice

di compressibilità (Cc) e l'indice di ricompressione (Cr) ottenuti dall’elaborazione della prova edometrica

dell’esercizio 4.1.

Figura 1 – Schema della fondazione e stratigrafia di riferimento

Argilla limosa γ = 19,6 kN/m3 Substrato indeformabile

10,00 m

-14,0 m

37



Traccia della soluzione

I cedimenti nei terreni a grana fine avvengono in parte all’applicazione dei carichi, per deformazioni a

volume costante (cedimento immediato o non drenato wo) ed in parte gradualmente con il progressivo

trasferimento del carico dalla fase fluida allo scheletro solido (cedimento di consolidazione wc), processo

la cui velocità nel tempo è legata principalmente al processo di smaltimento della sovrapressioni

interstiziali a sua volta regolato dalla conducibilità idraulica del materiale e dalle cosiddette “condizioni di

drenaggio” (processo di consolidazione).

Ad un generico tempo t il cedimento w è pari a:

w = wo + U ⋅ wc

dove U esprime il grado di consolidazione e varia nel tempo fra 0 e 1.

Per il calcolo del valore del cedimento finale w = wo + wc = wf corrispondente ad un tempo t = ∞, si può

utilizzare il cosiddetto metodo edometrico, basato sulle seguenti ipotesi:

a) le deformazioni al di sotto del piano di fondazione avvengono solo in direzione verticale, senza

contrazioni o espansioni orizzontali;

b) la sovrapressione interstiziale iniziale Δu è pari all’incremento di tensione verticale totale Δσv indotta

dai carichi.

Ciò è vero con approssimazione tanto migliore quanto è maggiore il rapporto tra B/H, fra larghezza della

fondazione e spessore dello strato deformabile.

Con riferimento allo schema di figura 2, i passi necessari per applicare tale metodo sono i seguenti:

1) Definito lo schema stratigrafico di riferimento, noto il peso per unità di volume γ e l’indice dei

vuoti e0, è necessario stimare, tramite l’elaborazione di apposite prove edometriche, i valori

dell'indice di compressibilità (Cc) e l'indice di ricompressione (Cr), nonché la profondità della

falda;

2) Si suddivide il banco di terreno comprimibile in un conveniente numero di strati aventi spessore

iniziale Hi, e in corrispondenza della mezzeria di ciascuno di tali strati vengono valutati la

tensione verticale efficace geostatica σ’v0, la pressione di preconsolidazione, σ’p (per terreni NC i

profili di σ’v0 e di σ’p coincidono) e l’incremento del carico unitario netto trasmesso dalla

fondazione, p = q – γD, in cui q è la pressione media totale trasmessa dalla fondazione e γD è la

tensione verticale totale geostatica alla profondità del piano di fondazione.

3) L’incremento di tensione verticale Δσv prodotto dalla pressione p agente sull’area di carico è

calcolato fino alla profondità Z oltre la quale non sono presenti strati compressibili o fino alla

profondità Z alla quale si ha Δσv = 0,1 σ’v0, e viene determinato ricorrendo alla teoria

dell’elasticità. Il cedimento di consolidazione è dovuto alle deformazioni verticali del terreno fra le

profondità D e Z, e quindi che lo spessore di terreno compressibile sia H = Z – D: indicando con

Hi lo spessore dell’ i-esimo strato o sottostrato, sarà H = ΣHi.

4) Si calcola il cedimento ΔHi di ciascuno strato tramite apposite relazioni a seconda se il terreno è

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normalmente consolidato o sovraconsolidato e infine si calcola il cedimento finale della

fondazione wf sommando i contributi degli strati considerati

∑Δ=i

if Hw

Svolgimento

A partire dai risultati dell’elaborazione della prova edometrica nell’esercizio 4.1, noto il valore del peso

per unità di volume γ, l’indice dei vuoti e0 e la posizione della falda, determinare il profilo della tensione

verticale efficace σ’v e della pressione di preconsolidazione σ’p in asse alla fondazione (vedi figura 2), a

partire dall’andamento del grado di sovraconsolidazione OCR con la profondità riportato in tabella 1.

I valori dell'indice di compressibilità Cc e l'indice di ricompressione Cr sono stati ottenuti dall’elaborazione

della prova edometrica dell’esercizio 4.1.

e0 Cc Cs

Figura 2 – Schema tipico di applicazione del metodo edometrico per la stima dei cedimenti di consolidazione

Stima dei cedimenti con il metodo edometrico: profilo di σ'v 0, σ'c e dell'incremento di tensione Δσv

0

4

8

12

16

20

0 50 100 150 200 250 300

kPa

m

Bulbo tensioni Tensione vert icale ef f icace Pressione di preconsolidazione

σ’v σ’p

σ’v + Δσ zi

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Profondità z (m)

σ’v OCR σ’p

0,5 4,5 1 4,0

1,5 3,0 2 2,5 3 2,2 5 2,1 7 1,9

10 1,8 15 1,6 20 1,4

Tabella 1 – Profilo della tensione verticale efficace e della pressione di preconsolidazione con la profondità

La pressione verticale media netta trasmessa dalla fondazione è pari a

p = q – γD

in cui q (kPa) è la pressione media totale trasmessa dalla fondazione (N(kN) / B ⋅ L) e γD è la tensione

verticale totale geostatica alla profondità del piano di fondazione.

Per determinare il profilo dell’incremento di tensione verticale Δσv prodotto dalla pressione p agente

sull’area di carico in asse alla fondazione, è necessario utilizzare la teoria dell’elasticità.

Per il calcolo degli incrementi di tensione indotte dai carichi si fa ricorso alla teoria del semispazio

elastico omogeneo ed isotropo.

Secondo tale teoria, la tensione verticale σz indotta in un punto P generico da un sistema di carichi

applicato ad una fondazione dipende dall’entità e distribuzione del carico all’estradosso della fondazione,

dalla rigidezza della struttura di fondazione e dalla rigidezza del terreno di fondazione, dalle coordinate

del punto.

Nel caso in esame può essere applicato lo schema di fondazione di rigidezza finita, per la quale in

letteratura sono disponibili numerose soluzioni sotto forma di abachi dimensionali, per condizioni di

carico variabili.

Nella figura 3 è riportato il caso di carico uniformemente distribuito con intensità costante su di un’area

rettangolare: nella tabella 3 sono riportati le grandezze necessarie a calcolare i valori delle tensioni Δσz =

Δσv in funzione di p, per il caso L / B = 1.0, riferiti alla verticale passante per il cosiddetto punto

caratteristico, caratterizzato dall’avere un valore del cedimento simile a quello di una fondazione rigida.

40



In tal modo, entrando nelle tabelle con i valori di B e p di progetto, si traccia il profilo dell’incremento di

tensione verticale Δσz prodotto dalla pressione p agente sull’area di carico fino alla profondità Z oltre la

quale non sono presenti strati compressibili o fino alla profondità Z alla quale si ha Δσz = 0,1 σ’v0.

La differenza Z - D è pari ad H, lo spessore dello strato compressibile: questo deve essere suddiviso in n

sottostrati di spessore Hi, poiché nel calcolo del cedimento con il metodo edometrico si sostituisce

l’integrale delle deformazioni verticali nello spessore H con la sommatoria dei cedimenti dei singoli

sottostrati Hi.

A tal riguardo si può utilizzare la discretizzazione utilizzata prima nel calcolo delle tensioni nel sottosuolo,

e considerare le profondità zi, in corrispondenza del quale sono state precedentemente calcolati i valori di

σ’v0 e σ’c, come le profondità del punto medio di ciascuno strato o sottostrato di spessore Hi (Tabella 4).

A questo punto si stima il contributo al cedimento totale di cedimento ogni i-esimo strato nel modo

seguente: s

a) se il terreno è normalmente consolidato σ’p = σ’v0

( ) ( )zvfin

v

finc

ii C

eHH

eeH

σσσσσ

Δ+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+=⋅

+Δ

=Δ

0

000

0

''

;''

log11

b) se il terreno è sovraconsolidato σ’p >σ’v0 bisogna considerare due casi a seconda della

grandezza di Δσv:

1. se σ’fin= σ’v0 + Δσz <σ’p:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+=Δ

00 ''

log1 v

finr

ii C

eHH

σσ

Rapporto z/B

Valori di Δσz / p Caso L/B = 1

Profondità zi (m)

Tensioni Δσzi = Δσv

(kPa) 0,05 0,9811 0,5 -

0,1 0,8984 1,0

0,15 0,7898 1,5

0,2 0,6947 2,0

0,3 0,5566 3,0

0,5 0,4088 5,0

0,7 0,3249 7,0

1 0,2342 10

1,5 0,1438 15

2 0,0939 20

Figura 3 – Pressione uniforme su di un’area rettangolare

Tabella 3 – Tensioni indotte nel sottosuolo da un

carico rettangolare

41



2. se σ’fin= σ’v0 + Δσz >σ’p

( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅

+=Δ→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+=Δ

c

fincr

ii

c

finc

v

cr

ii

COCRCe

HH

CCe

HH

''

loglog1

''

log''log

1

0

00

σσ

σσ

σσ

Il valore del cedimento finale wf di tutto lo strato compressibile H è pari a:

wf = ΣΔHi.

Tabella 4

Profondità zi (m)

OCR Tensioni Δσz (kPa)

σ’v0 (kPa)

σ’fin =Δσz + σ’v0

σ’p (kPa) Hi (m) ΔHi (m)

0,5 -

1,0 0,50

1,5 0,50

2,0 0,50

3,0 1,50

5,0 2,50

7,0 1,50

10 4,50

15 5,50

Cedimento finale wf

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