Eduardo Rodríguez - Teorías de Gauge, Semigrupos Abelianos y Supergravedad (2008)

Simetría y Teorías de GaugeSupersimetría y Supergravedad

Conclusiones

Teorías de Gauge, SemigruposAbelianos y Supergravedad

Seminario de Matemática y Física UCSC

Eduardo Rodríguez

Departamento de Matemática y Física AplicadasUniversidad Católica de la Santísima Concepción

Concepción, 10 junio 2008

Eduardo Rodríguez Teorías de Gauge, Semigrupos Abelianos y Supergravedad


ConclusionesGrupos y Álgebras de LieTeorías de Gauge

Contenidos

1 Simetría y Teorías de GaugeGrupos y Álgebras de LieTeorías de Gauge

2 Supersimetría y SupergravedadEl Álgebra MLa ExpansiónSupergravedad M en d = 11

3 Conclusiones




Simetrías en FísicaLas simetrías son descritas matemáticamente mediante la teoría de grupos

¿En qué pensamos cuandopensamos en simetría?La simetría es belleza.El copo de nieve es invariante bajorotaciones en 60.Estas rotaciones forman el grupofinito Z6:

Z6 =

exp(2πin

6

),n = 0, . . . , 5




Simetrías en Física ClásicaLas ecuaciones de la física deben ser invariantes bajo rotaciones y traslaciones

Las rotaciones en d = 3 forman el grupo SO (3).Los elementos de SO (3) pueden escribirse en la forma

R = exp (λiJ i) ,

donde los generadores J i satisfacen el álgebra de Lie

[J i ,J j ] = −εĳkJk .

Los generadores de traslaciones forman un álgebra abeliana:

[Pi ,Pj ] = 0.




Simetrías en Relatividad EspecialEl grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski

Un concepto clave en la teoría especial de la Relatividad es elespacio-tiempo de Minkowski:

ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = ηµνdxµdxν

Los principios de la Relatividad Especial requieren que lasecuaciones de la física sean invariantes bajo rotaciones ytraslaciones en este espacio, las cuales satisfacen el álgebra

[Pa ,Pb] = 0,[Jab,Pc] = ηcbPa − ηcaPb,

[Jab,Jcd ] = ηcbJad − ηcaJbd + ηdbJca − ηdaJcb.




Contenidos



3 Conclusiones




Las ecuaciones de Yang–MillsLas interacciones electromagnética, débil y fuerte comparten un mismo esquema

Las ecuaciones de campo para las interaccioneselectromagnética, débil y fuerte pueden ser escritas como

D ?F = 0,

donde F = dA + A2 y D = d + [A, ·].La 1-forma A y la 2-forma F son llamadas conexión ycurvatura, respectivamente. Ambas están valuadas en unálgebra de Lie g.Aquí ? es el dual de Hodge.




La acción de Yang–MillsLas ecuaciones de Yang–Mills pueden obtenerse de un principio de acción

Las ecuaciones de campo pueden obtenerse extremando laacción de Yang–Mills

SYM = −14

∫M〈F ∧ ?F〉 ,

donde 〈· · · 〉 representa un tensor simétrico de rango 2invariante bajo g.




Invariancia de gauge de la acción de Yang–MillsLa acción de Yang–Mills es escogida por su invariancia bajo ciertas transformaciones

La acción de Yang–Mills es invariante bajo lastransformaciones de gauge

A′ = g(A− g−1dg

)g−1,

F ′ = gFg−1,

donde g = exp(λAGA

)es un elemento del grupo de Lie cuya

álgebra es g.




Clausura del Álgebra de Transformaciones de GaugeLas transformaciones de gauge reproducen el álgebra de un grupo de Lie

Un transformación de gauge infinitesimal con g = 1 + λ es

δA = −Dλ,δF = [λ,F ] .

Estas transformaciones satisfacen el álgebra g:

[δλ, δη] A = δ[λ,η]A.

Esto significa que la acción de Yang–Mills es invariante bajolas transformaciones generadas por el álgebra g.




La acción de Yang–Mills y GravedadLa métrica no es un campo de gauge en la acción de Yang–Mills

La acción de Yang–Mills requiere la presencia de una métricaen la variedad M .La métrica del espacio-tiempo es la variable fundamental en laTeoría General de la Relatividad.En este contexto, RG no es una teoría de gauge.Mientras las teorías de gauge pueden hacerse cuánticas, lomismo no es cierto de RG.




La acción de Chern–SimonsLa acción de Chern–Simons es background-free: no requiere métrica

La acción de Chern–Simons en d = 2n + 1 es

S (2n+1)CS = (n + 1) k

∫M

∫ 1

0dt⟨A(tdA + t2A2

)n⟩,

donde 〈· · · 〉 representa un tensor simétrico de rango n + 1invariante bajo g.La acción de CS no requiere la presencia de una métrica en M .. . . pero sólo existe en dimensiones impares!




Propiedades de la acción de Chern–SimonsInvariancia de gauge y Ecuaciones de Movimiento para Chern–Simons

La acción de Chern–Simons es cuasi invariante bajotransformaciones de gauge:

δgaugeS (2n+1)CS =

∫∂M

Ω.

Sus ecuaciones de movimiento son

〈FnGA〉 = 0,

donde GA,A = 1, . . . , dim (g) es una base para g.




La acción de Chern–Simons y GravedadEl campo gravitacional puede incluirse como campo de gauge en la acción de CS

Al no requerir una métrica, la acción de CS abre la posibilidadde incluir el campo gravitacional directamente en la conexiónA, al igual que los otros campos:

A = 1`

eaPa + 12ωabJab + · · ·

La métrica es obtenida como un campo derivado a partir de larelación

gµν = eaµeb

νηab.

Esto se conoce como ‘formalismo de primer orden’.



Conclusiones

El Álgebra MLa ExpansiónSupergravedad M en d = 11

Contenidos



3 Conclusiones



Conclusiones


Superálgebras y UnificaciónEl Álgebra M

Es probable que la unificación de las interaccionesfundamentales requiera considerar teorías en unespacio-tiempo de 11 dimensiones.La extensión supersimétrica maximal del álgebra de Poincaréen d = 4 a 11 dimensiones es el álgebra M:

Qα, Qβ

= 1

8

[(Γa)αβ Pa −

12

(Γab

)αβ

Zab + 15!

(Γabcde

)αβ

Zabcde

]



Conclusiones


Superálgebras y UnificaciónSupergravedad M: Campos y Generadores del Álgebra M

Campos Independientes y Generadores del Álgebra MConexión de Spin ωab Jab Rotaciones de LorentzElfbein ea Pa Traslaciones de Poincaré2-Brana bab

2 Zab Carga ‘central’ (2)5-Brana babcde

5 Zabcde Carga ‘central’ (5)Gravitino ψ Q Supersimetría

Conexión de Gauge

A = 12ωabJab + 1

`eaPa + 1

2bab

2 Zab + 15!

babcde5 Zabcde + ψQ.



Conclusiones


Curvatura para el Álgebra MLa forma del álgebra determina el contenido de campos de la teoría de gauge

F = R + FP + F2 + F5 + Dωψ

R = 12

RabJab,

FP =(1`

Ta + 116ψΓaψ

)Pa ,

F2 = 12

(Dωbab − 1

16ψΓabψ

)Zab,

F5 = 15!

(Dωbabcde + 1

16ψΓabcdeψ

)Zabcde,

Dωψ = DωψQ.



Conclusiones


¿Supergravedad M?Lista de Ingredientes

Para construir una teoría de gauge para el álgebra M necesitamos:el álgebra M misma.una uno-forma A valuada en M.un tensor simétrico de rango seis invariante bajo M:

〈GA1 · · ·GA6〉 = gA1···A6 ,

donde GA,A = 1, . . . , dim (M) es una base para M.La usual supertraza no sirve en este caso!



Conclusiones


Contenidos



3 Conclusiones



Conclusiones


El Concepto de Expansión de ÁlgebrasSi S es un semigrupo finito y g un álgebra de Lie. . .

El concepto de expansión de álgebras de Lie fue propuestoinicialmente en 2002 por de Azcárraga et al.En [IRS hep-th/0606215] se reinterpreta y generaliza mediantela utilización de semigrupos abelianos.Por ejemplo, el álgebra M puede considerarse como unaS-Expansión de osp (32|1) con un semigrupo S apropiado.



Conclusiones


El Semigrupo S (2)E

. . . entonces el producto directo S × g también es un álgebra de Lie!

Consideremos el semigrupo finito S (2)E = λ0, λ1, λ2, λ3, con

la regla de multiplicación

λαλβ =λα+β, cuando α+ β ≤ 2λ3, cuando α+ β ≥ 3 .

La multiplicación definida en esta regla es cerrada, asociativay conmutativa.λ3 satisface λ3λα = λαλ3 = λ3, ∀λα ∈ S (2)

E .



Conclusiones


El Álgebra Ortosimpléctica osp (32|1)A partir del álgebra osp (32|1) y el semigrupo S(2)

E obtendremos el álgebra M

Álgebra semisimple que incluyeel álgebra de Lorentz en d = 11.Generadores:

Jab: Rotaciones de LorentzQ: Generador fermiónicoPa: Traslaciones no abelianas (AdS)Zabcde: Tensor de cinco índices (por completitud)

Admite representación con matrices de Dirac en d = 11.



Conclusiones


El Álgebra M a partir de osp (32|1)Esquema paso a paso de expansión, subálgebra resonante y reducción

Álgebra expandida, S (2)E × osp (32|1)

λ0 λ1 λ2 λ3

Jab λ0Jab λ1Jab λ2Jab λ3Jab

Q λ0Q λ1Q λ2Q λ3Q

Pa λ0Pa λ1Pa λ2Pa λ3PaZabcde λ0Zabcde λ1Zabcde λ2Zabcde λ3Zabcde



Conclusiones



Subálgebra resonante, GR ⊂ S (2)E × osp (32|1)

λ0 λ1 λ2 λ3

Jab λ0Jab λ2Jab λ3Jab

Q λ1Q λ3Q

Pa λ2Pa λ3PaZabcde λ2Zabcde λ3Zabcde



Conclusiones



Reducción de la subálgebra resonante

λ0 λ1 λ2 λ3

Jab λ0Jab λ2Jab

Q λ1Q

Pa λ2PaZabcde λ2Zabcde



Conclusiones



El Álgebra M

λ0 λ1 λ2 λ3

Jab Jab Zab

Q Q

Pa PaZabcde Zabcde



Conclusiones


Tensor Invariante para el Álgebra MRelación entre tensores invariantes para dos álgebras

Es posible demostrar que la expresión⟨G(A1,i1) · · ·G(Ar ,ir )

⟩= αkδ

ki1+···+ir 〈GA1 · · ·GAr 〉

provee de un tensor invariante para el álgebra Ma partir de un tensor invariante para osp (32|1).αk , k = 0, 1, 2, son constantes arbitrarias.



Conclusiones


Tensor Invariante para el Álgebra MComponentes no nulas de un tensor invariante de rango 6 para el álgebra M

Tensor Invariante de rango 6 para el Álgebra M

〈Ja1b1 · · ·Ja6b6〉M = α0 〈Ja1b1 · · ·Ja6b6〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Pc〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Pc〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zcd〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Jcd〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zc1···c5〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zc1···c5〉osp ,⟨QJa1b1 · · ·Ja4b4Q

⟩M

= α2⟨QJa1b1 · · ·Ja4b4Q

⟩osp.



Conclusiones


Tensor Invariante para el Álgebra MComponentes no nulas de un tensor invariante de rango 6 para el álgebra M

Tensor Invariante de rango 6 para el Álgebra M

〈Ja1b1 · · ·Ja6b6〉M = α0 〈Ja1b1 · · ·Ja6b6〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Pc〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Pc〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zcd〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Jcd〉osp ,

〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zc1···c5〉M = α2 〈Ja1b1 · · ·Ja5b5Zc1···c5〉osp ,⟨QJa1b1 · · ·Ja4b4Q

⟩M

= α2⟨QJa1b1 · · ·Ja4b4Q

⟩osp.



Conclusiones


Contenidos



3 Conclusiones



Conclusiones


El Lagrangeano para Supergravedad MEl Lagrangeano para Supergravedad M es lineal en ea , bab

2 y babcde5

El Lagrangeano

L(11)M = Haea + 1

2Habbab

2 + 15!

Habcdebabcde5 − 5

2ψRDωψ

La ReferenciaF. Izaurieta, E. Rodríguez, P. Salgado, Eleven-Dimensional GaugeTheory for the M Algebra as an Abelian Semigroup Expansion ofosp (32|1). Eur. Phys. J. C 54 (2008) 675.



Conclusiones


El Lagrangeano para Supergravedad MEl Lagrangeano para Supergravedad M es lineal en ea , bab

2 y babcde5

El Lagrangeano

L(11)M = Haea + 1

2Habbab

2 + 15!

Habcdebabcde5 − 5

2ψRDωψ

La ReferenciaF. Izaurieta, E. Rodríguez, P. Salgado, Eleven-Dimensional GaugeTheory for the M Algebra as an Abelian Semigroup Expansion ofosp (32|1). Eur. Phys. J. C 54 (2008) 675.



Conclusiones


El Lagrangeano para Supergravedad MTensores utilizados para escribir el Lagrangeano

Definición de los tensores

Ha ≡⟨R5Pa

⟩M

Hab ≡⟨R5Zab

⟩M

Habcde ≡⟨R5Zabcde

⟩M

Rαβ ≡⟨QαR4Qβ

⟩M

Donde:R = 1

2RabJab: Curvatura de Lorentz〈· · · 〉: Tensor simétrico invariante bajo M.



Conclusiones


Supergravedad M en d = 11: SimetríasSimetrías del Lagrangeano

El Lagrangeano es invariantebajo transformaciones de gauge.La invariancia es off-shell.Las transformaciones de gauge se cierran off-shellsin recurrir a campos auxiliares.La teoría es supersimétrica.



Conclusiones


Ecuaciones de MovimientoEcuaciones de Movimiento asociadas a la variación de ea , bab

2 , babcde5 y ψ

Ecuaciones de Movimiento para ea , bab2 , babcde

5 y ψ

Ha = 0,Hab = 0,

Habcde = 0,RDωψ = 0.



Conclusiones


Ecuaciones de MovimientoEcuación de Movimiento asociada a la variación de ωab

Ecuación de Movimiento para ωab

Lab − 10(Dωψ

)Zab (Dωψ) +

+5Habc

(T c + 1

16ψΓcψ

)+

+52

Habcd

(Dωbcd − 1

16ψΓcdψ

)+

+ 124

Habc1···c5

(Dωbc1···c5 + 1

16ψΓc1···c5ψ

)= 0.



Conclusiones


Ecuaciones de MovimientoEcuación de Movimiento asociada a la variación de ωab

Definición de los tensores Lab, Zab, Habc, Habcd , Habcdefg

Lab ≡⟨R5Jab

⟩M,

(Zab)αβ ≡⟨QαR3JabQβ

⟩M,

Habc ≡⟨R4JabPc

⟩M,

Habcd ≡⟨R4JabZcd

⟩M,

Habcdefg ≡⟨R4JabZcdefg

⟩M.



Conclusiones

Conclusiones y Resultados Principales

La acción de Chern–Simons permite tratar el campogravitacional y las demás interacciones en el mismo pie.Nuevas álgebras de Lie pueden ser generadas por el método deExpansión en Semigrupos Abelianos.Es posible construir tensores invariantes para álgebrasS-expandidas a partir de uno para el álgebra original.Estos conceptos matemáticos son útiles para formular teoríasde Supergravedad.


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