Educação Matemática

Números e operações aritméticas segundo Terezinha Nunes, Tânia Maria Mendonça Campos, Sandra

Magina e Peter Bryant

Dificuldades do sistema de numeração decimal: um exemplo da relação entre

desenvolvimento e educação

Será que é suficiente saber contar para compreender as ideias matemáticas que existem implícitas num sistema de numeração?

Organização da sequência numérica

• Composição aditiva

• Organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 x 10; 30 = 3 x 10. Essa organização multiplicativa representa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc.

Apresentação do grupo 1

• Situações em que a criança precisa contar unidades de valores diferentes, e coordená-los numa quantia única.

Idade

4 anos

Raramente resolvem problemas de contagem de moedas

5 anos

Ainda apresentam dificuldades para contar moedas.

6 anos

A maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro.

7 anos

Ainda podemos observar dificuldade na compreensão da composição aditiva dos números.

Síntese

• A compreensão da composição aditiva, avaliada por meio da tarefa de contagem do total de dinheiro usando moedas de valores diferentes, é muito importante para o progresso da criança na aprendizagem de matemática no primeiro ano do ensino elementar.

Explicitando quantidades não percebidas

• Uma moeda de 5 centavos não apresenta a quantidade “cinco” à percepção: ela representa a quantidade por uma convenção.

Apresentação do grupo 2

• Adição de parcelas escondidas.

• Equivalência entre moedas e dedos.

Transformando o sistema de numeração em instrumento de pensamento

• Mesmo que a criança saiba contar poderá não utilizar a contagem automática para resolver problemas numéricos. (Conservação)

• Contar e compreender a utilidade dos números são duas coisas bem diferentes.

Equívoco

• Pensar que a conservação é um pré-requisito para a aprendizagem das noções mais elementares de aritmética.

Segundo Piaget:

• A criança deve construir a compreensão da ideia de número a partir das noções que desenvolve de adição e subtração.

• Quando a criança compreende que as quantidades só se alteram por meio de adição e da subtração, ela chega a conclusão de que, se nada foi acrescentado e nada foi retirado das fileiras, as quantidades ficam iguais.

Apresentação do grupo 3

• Algumas tarefas para avaliar outros aspectos da compreensão da ideia de número.

Por que ensinar o sistema de numeração que usamos, às crianças?

• Sem um sistema de numeração, é impossível trabalharmos com quantidades.

• O sistema de numeração nos permite registrar as quantidades de maneira mais exata do que a percepção e nos lembramos dessas quantidades quando precisamos.

• Os sistemas de numeração amplificam nossa capacidade de raciocinar sobre quantidades.

Estruturas aditivas

• Esquemas

• Esquemas de ação

• Teoremas

• Teoremas em ação

• Pensamento concreto

Esquemas

• Em psicologia o termo esquemas é utilizado de forma semelhante àquele utilizado na vida quotidiana.

• É uma representação em que aparece apenas o essencial daquilo que é representado.

Esquemas de ação

• Os esquemas de ação a partir dos quais a criança começa a compreender a adição e a subtração são representações das ações de juntar e retirar.

• Para solucionar um problema envolvendo adição de bombons a criança utiliza os dedos para representar os bombons.

• Esses esquemas permitem à criança resolver, de modo prático, questões sobre adição e subtração.

Teoremas

• Afirmação que pode ser provada.

Teoremas em ação

• Como a compreensão da criança se mostra em suas ações, sem que a criança saiba explicar oralmente, o psicólogo francês Gérard Vergnaud chamou essa forma de conhecimento de “teorema em ação”. Resolve o problema, mas não consegue explicar por ex. que o todo é igual a soma das partes.

• Os teoremas em ação constituem o conhecimento matemático que as crianças desenvolvem em sua vida diária.

Pensamento concreto

• Ao solucionar um problema de subtração envolvendo bombons uma criança pode utilizar os dedos e ao encontrar a resposta saberá que sobraram tantos bombons e não dedos.

• O tipo de solução utilizando os dedos é chamada de pensamento concreto.

• O pensamento concreto não deve ser confundido com incapacidade de abstrair ou generalizar.

Função mais significativa da educação matemática

• Promover a coordenação dos esquemas de ação e de raciocínio que a criança desenvolve fora da sala de aula com as representações que fazem parte da cultura matemática.

Problemas simples de relações entre o todo e suas partes

• Paula tinha 5 flores. Depois sua mãe lhe deu 8 flores. Quantas flores Paula tem agora?

Raciocínio aditivo

• Desde o primeiro ano as crianças são capazes de usar esquemas de ação em coordenação com a contagem para resolver problemas de aritmética.

• Usamos a expressão raciocínio aditivo para enfatizar que, embora as operações de soma e subtração sejam distintas, elas estão relacionadas a uma mesma estrutura do raciocínio.

Problemas inversos de relação parte-todo

Carla tinha alguns doces. Ela jogou um jogo e ganhou 2 doces. Agora ela tem 12 doces. Quantos doces ela tinha?

Do esquema de ação para o conceito operatório

• Para atingir uma compreensão mais avançada, passando do conhecimento baseado em esquemas de ação para um conceito operatório de adição e subtração, é necessário que o aluno consiga coordenar os dois esquemas, reconhecendo a relação inversa que existe entre adição e subtração.

Problemas de Transformação

• Envolvem transformação: ou se acrescenta ou se retira uma quantidade de outra quantidade inicial.

Problemas inversos

• A situação descrita no problema envolve um esquema de ação, mas a solução exigiria a aplicação do esquema inverso.

• Envolvem transformação: ou se acrescenta ou se retira uma quantidade de outra quantidade inicial.

Problemas comparativos

• Problema aditivo que não envolve transformação.

Numa sala de aula há 9 alunos e 6 cadeiras.

A) Há mais cadeiras ou alunos?

B) Quantos alunos a mais?

Esquemas de ação relacionados ao raciocínio aditivo

• Juntar

• Retirar

• Colocar em correspondência um-a-um.

• Cada um desses esquemas é utilizado pelas crianças na vida diária mesmo antes de entrar na escola.

Sugestões

• As calculadoras devem ser introduzidas na sala de aula à medida que os valores utilizados nos problemas aumentem.

• Os alunos devem trabalhar com retas numéricas na resolução de problemas para que possam explicitar seu próprio raciocínio.

• O registro é importante para que a solução possa ser discutida, validada e comparada.

Oferta especial da lojinha

• Todos os pacotes devem custar 15 reais. O que incluir em cada pacote?

R$3,00 R$5,00 R$2,00 R$6,00 R$4,00

A TEORIA DOS CAMPOS A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS: CONCEITUAIS:

Contribuições da Contribuições da Psicologia para a prática Psicologia para a prática

docentedocente 

Sandra Magina

Programa de Pós-Graduaçãoem Educação MatemáticaPUC-SP

Emerge da resolução de problema

É fruto de uma tríade

Desenvolve por um longo período

de tempo

Inicia com validade restrita

ConhecimentoConhecimento

PRESSUPOSTO BÁSICOPRESSUPOSTO BÁSICO

Maturação Experiência

Aprendizagem

ALICERCE DA FORMAÇÃO DE CONCEITO

ALICERCE DA FORMAÇÃO DE CONCEITO

EXEMPLO no CAMPO CONCEITUAL ADITIVOEXEMPLO no CAMPO CONCEITUAL ADITIVO

Para dominar as estruturas aditivas, o aluno precisa ser capaz de resolver

diversos tipos de situações-problema

4 + 7Por trás de um simples

Pode-se encontrar situações tão sofisticadas que até alunos em torno de 11-12 anos encontram dificuldades em resolvê-las

EXEMPLO 1EXEMPLO 1 AO REDOR DA MESA DA SALA DE JANTAR, ESTÃO

SENTADOS 4 GAROTOS E 7 GAROTAS. QUANTAS

PESSOAS ESTÃO SENTADAS AO REDOR DA MESA?

MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 4,00 E FICOU COM R$ 7,00 NA CARTEIRA. QUANTO DINHEIRO ELA TINHA ANTES DA COMPRA?

CARLOS TEM 4 ANOS. MARIA É 7 ANOS MAIS

VELHA QUE CARLOS. QUANTOS ANOS TEM MARIA?

JOSE JOGOU HOJE DUAS VEZES TASO. NO 1o JOGO ELE NÃO LEMBRA O QUE ACONTECEU. NO 2o JOGO ELE PERDEU 4 TASOS. AO CONTAR SEUS TASOS ELE VIU QUE GANHOU HOJE 7 TASOS. ELE GANHOU OU PERDEU NO 1o JOGO? QUANTO?

Comprei300

Vendi400

Comprei500

Vendi600

A negociata do A negociata do cavalocavaloA negociata do A negociata do cavalocavalo

Ganhei, perdi ou empatei dinheiro?Quanto?

EXEMPLO 2

Comprei300

Vendi400

Comprei500

Vendi600

+ 100

+200

A negociata do A negociata do cavalocavaloA negociata do A negociata do cavalocavalo

+ 100

Comprei300

Vendi400

Comprei500

Vendi600

+ 100 + 100

+200

-800 +1000

A negociata do A negociata do cavalocavaloA negociata do A negociata do cavalocavalo

Comprei300

Vendi400

Comprei500

Vendi600

Início- 300

Término

+ 600meio- 100

A negociata do A negociata do cavalocavaloA negociata do A negociata do cavalocavalo

CONCLUSÃOCONCLUSÃO

As situações aditivas envolvem muitos diferentes conceitos que fazem parte dessa estrutura entre os quais citamos:

Conceito de medidas;

Conceito de adição;

Conceito de subtração;

Conceito de transformação de tempo;

Relações de comparação;

Composição de quantidades

POR QUE FALAR EM CAMPO CONCEITUAL?POR QUE FALAR EM

CAMPO CONCEITUAL?

Uma Uma SITUAÇÃOSITUAÇÃO( por mais simples que ( por mais simples que seja)seja)

Por isso falamos na formação de um Por isso falamos na formação de um CAMPO CONCEITUALCAMPO CONCEITUAL, e não na , e não na formação de formação de CONCEITOCONCEITO

Por isso falamos na formação de um Por isso falamos na formação de um CAMPO CONCEITUALCAMPO CONCEITUAL, e não na , e não na formação de formação de CONCEITOCONCEITO

váriosvários CONCEITOSCONCEITOS

envolveenvolve

Um Um CONCEITOCONCEITO( por mais simples que ( por mais simples que seja)seja)

forma-seforma-se váriasvárias SITUAÇÕESSITUAÇÕES

TRIPÉ QUE SUBJAZ A FORMAÇÃO DE CADA

CONCEITO

TRIPÉ QUE SUBJAZ A FORMAÇÃO DE CADA

CONCEITO

Conjunto deConjunto deINVARIANTES

Conjunto deConjunto deSITUAÇÃO

CONCEITOCONCEITO

Conjunto deConjunto deREPRESENTAÇÕES

SIMBÓLICAS

operatóriosoperatóriosdo conceitodo conceitodo conceitodo conceito

OBSERVAÇÕES IMPORTANTESOBSERVAÇÕES IMPORTANTES

SOBRE AS SITUAÇÕESSão elas que dão significado ao conceito. Quanto mais situações mais amplo o significado desse conceitoSOBRE OS INVARIANTESTratam das propriedades que definem o objeto e dos procedimentos adotados pelo aluno para resolver as situações

SOBRE AS REPRESENTAÇÕES SIMBÓLICASPermitem que o aluno se expresse sobre o conceito, relacionando o significado com as propriedades do objeto.

CABE AO PROFESSOR na sua prática em sala de

aula

CABE AO PROFESSOR na sua prática em sala de

aula Identificar os conhecimentos

implícitos (invariantes) dos seus alunos, por meio de diagnósticos

Torná-los explícitos, por meio de diversas representações simbólicas, usando várias situações-problema (situações)

identificação dos processos usados na resolução dos problemas

A TEORIA DOS CAMPOS A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS:CONCEITUAIS:

Contribuições da Psicologia Contribuições da Psicologia para a prática docentepara a prática docente 

Sandra MaginaSandra@pucsp.br