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Edwin Camacho Mora Siviany Camacho Mora
1
Universidad de Costa Rica
Sede del Atlántico
Recinto de Turrialba
Taller de Materiales Didácticos y Medios Audiovisuales
Teorema de Pitágoras
Johana MoNGE
Edwin Camacho Mora B21304
Siviany Camacho Mora B31308
II Ciclo
2014
Edwin Camacho Mora Siviany Camacho Mora
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Índice
Contenido Introducción .............................................................................................................................3
Reto ............................................................................................................................................4
Demostración Geométrica del Teorema de Pitágoras ...................................................5
Demostración algebraica ......................................................................................................6
Definición del Teorema de Pitágoras .................................................................................8
Ejemplos resueltos .................................................................................................................8
Algunas aplicaciones del Teorema de Pitágoras ..........................................................11
Historia del Teorema de Pitágoras ....................................................................................11
El Teorema de Pitágoras en Babilonia .........................................................................12
El Teorema de Pitágoras en Egipto ..............................................................................13
El Teorema de Pitágoras en la India .............................................................................14
Demostración en la escuela de Platón .....................................................................15
Demostración en los elementos de Euclides .........................................................15
Demostración de Pappus (300 d.C) ..........................................................................16
Demostración de Bhaskara (1114-1185) ..................................................................16
La demostración de Leonardo da Vinci (1452-1519).............................................16
La demostración de Anaricio–Göpel (hacia 1824) ................................................16
Práctica ....................................................................................................................................17
Bibliografía..............................................................................................................................20
Edwin Camacho Mora Siviany Camacho Mora
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Introducción
En este pequeño trabajo se pretende dar a conocer el teorema de Pitágoras. Con
el fin de que los estudiantes de secundaria puedan obtener una buena
información sobre este importante teorema. La idea es llevar la secuencia que
se pide en los planes de estudio de matemáticas del MEP.
Este empieza con los retos. En esta parte se pretende que el estudiante
encuentre por sus propios medios los resultados de los diferentes retos que se
le piden. Estos retos pueden ser problemas contextualizados o juegos
introductorios del tema.
La importancia de los problemas contextualizados es ubicar al estudiante en su
entorno y de que ellos se den cuenta de la importancia de este teorema y más
aun de la importancia en sus vidas, también que permite al estudiante desarrollar
su capacidad en la resolución de problemas.
La parte de los juegos es sumamente importante ya que primero el profesor
logra obtener la atención de sus estudiantes, segundo desarrolla actividad
psicomotriz y tercero desarrolla creatividad, imaginación y experimentación.
Luego se iniciaran las demostraciones geométricas y algebraicas, con la idea de
que los estudiantes puedan analizar intuitivamente las demostraciones
geométricas y entender la demostración algebraica.
Luego de todo el análisis realizado se les dará a los estudiantes la definición del
teorema, para que puedan entender todo lo que se analizó y lo relacionen con la
definición del teorema de Pitágoras.
Así mismo, se empezara con la práctica de este teorema. Se escribirán
problemas resueltos para que los estudiantes empiecen a utilizar el teorema en
la resolución de problemas para terminar de entender este teorema. Y por último
llevara un poco de historia, con la finalidad de motivar a los estudiantes, a que
se apasionen más por las matemáticas.
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Reto
La finalidad del reto es que los estudiantes puedan resolver por sus propios
medios unos problemas que da inicio al tema nuevo. El siguiente problema da
inicio al Teorema de Pitágoras.
Ramiro necesita comprar una escalera para subirse al techo de su casa. El techo
está a una altura de 6 metros. Para poder tener una buena estabilidad en la
escalera al apoyarse en la pared, las patas de la escalera deben estar a una
distancia de entre 3 y 4 metros. ¿Cuál podría ser la medida aproximada de la
escalera?
El problema permite el uso de varias estrategias, como hacer un dibujo a escala
en su cuaderno, utilizar una cinta métrica y realizar una simulación de la
situación. Esto permite estimular la creatividad estudiantil. Es importante analizar
tanto las soluciones como las estrategias utilizadas. Además hay que tomar en
cuenta que hay gran variedad de soluciones correctas.
Juego
Así mismo, se puede realizar mediante un juego, la demostración de dicho
teorema. Hay que tomar en cuenta que este te puede realizar antes, durante o
después del tema.
El juego se llama rompecabezas pitagórico.
Este consiste en
1. Darles a los estudiantes las piezas de un rompecabezas.
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2. Formar dos cuadrados con esas piezas.
3. Una vez realizado eso, se dará el triángulo rectángulo para que ubiquen
los cuadrados en los catates del triángulo respectivamente.
4. Luego con esos dos cuadrados tendrán que formar un solo cuadrado.
5. Una vez llegado a la solución se colocara ese cuadrado en la hipotenusa
del triángulo.
6. Donde ellos tendrán que dar alguna respuesta de lo que ellos observaron
y de lo que realizaron.
Reglas.
a. Sera individual.
b. No sobran piezas.
c. El profesor solo los observara y en algún caso los guiara.
Demostración Geométrica del Teorema de Pitágoras
Dados dos cuadrados con las mismas medidas de sus lados. Como se muestra
en las siguientes dos imágenes.
1. 2.
Con los cuadrados anteriores se pondrá al estudiante a recortar las imágenes y
que analicen. La idea es que ellos puedan observar que al ser la área del
cuadrado 1 igual a la del cuadrado 2, el profesor los ponga a recortarlos, de
donde van a quedar los mismos cuatro triángulos en ambos cuadrados y al ser
los cuadrados de las mismas áreas tendrán que deducir que el área de los dos
cuadrados que quedan en la primera imagen es igual al cuadrado que queda en
la segunda imagen.
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Es decir la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.
Una vez realizado lo anterior, con la tercera imagen los estudiantes van a ubicar
los cuadrados en sus respectivos lados del triángulo rectángulo, como se
muestra en la siguiente imagen.
3.
Es decir
El objetivo de esta demostración no es solo tenerla como teoría, la idea es
ponerlo en práctica con los estudiantes y que ellos vallan logrando su
entendimiento con mayor claridad.
Demostración algebraica
Lo importante es que los estudiantes conozcan una de las demostraciones más
conocidas de este Teorema y la importancia es que se motiven en conocer más
sobre este teorema.
Vamos a demostrar que 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
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Podemos observar que en la siguiente imagen encontramos 4 triángulos
congruentes con las de midas de los lados a, b, c respectivamente.
Así mismo vemos el cuadrado grande con la medida de los lados a + b entonces,
su área es (𝑎 + 𝑏)2, que es lo mismo que (a + b) (a + b).
1. Observa un cuadrado ABCD con la medida de los lados c.
Por lo tanto su área es 𝑐2.
2. Sabemos que el triángulo tiene de área 1
2𝑎𝑏.
Por lo tanto el área de los cuatro triángulos es 4(1
2) 𝑎𝑏 = 2𝑎𝑏.
3. Si sumamos el cuadrado ABCD y los cuatro triángulos obtenemos que
Área es 𝑐2 + 2𝑎𝑏
4. El área del cuadrado grande es al área del cuadrado inclinado más la
área de los cuatro triángulos entonces obtenemos:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑐2 + 2𝑎𝑏
5. Si aplicamos distributivita antes de la igualdad tendremos
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏
6. Si restamos 2ab a ambos lados se tiene
𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
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Lo anterior es igual a 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Por lo tanto el teorema de Pitágoras se cumple.
Definición del Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa. Sea a, b y c los lados de un triángulo rectángulo, a
es la hipotenusa, b y c los catetos del triángulo, entonces por definición se
obtiene la siguiente formula:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
De esta fórmula se obtienen las siguientes:
Ejemplos resueltos
1) El interior de la señal de tráfico es un triángulo equilátero de 74 cm de
lado. La línea que divide al triángulo es una altura. ¿Cuánto mide esa
altura?
ℎ2 = 𝑎2 − 𝑏2
ℎ2 = 742 − 372
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2
𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
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ℎ2 = 4107
ℎ = √4107
ℎ = 64.09
En una urbanización se han protegido 310 ventanas cuadradas de 126 cm de
lado con una cinta adhesiva especial, como se ve en la figura. ¿Cuántos metros
de cinta se han empleado?
𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑑2 = 1262 + 1262
𝑑2 = 31752
𝑑 = √31752
𝑑 = 178.19 𝑐𝑚
Se utilizo 178.19 cm de cinta adhesiva en cada ventana.
Metros de cinta adhesiva que utilizaron es: 178.19 ∙ 310 = 552389 𝑐𝑚 = 552.39
m
2) Un futbolista entrena corriendo la diagonal del terreno de juego de un
campo de fútbol, ida y vuelta, 30 veces todos los días. ¿Qué distancia total
recorre en un día? El terreno de juego tiene unas medidas de 105 x 67 m.
Medida de la diagonal.
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𝑒2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑒2 = 672 + 1052
𝑒2 = 15514
𝑒 = √15514
𝑒 = 124.55 𝑚
La diagonal de la cancha de futbol mide 124.55 m
Distancia que recorre el futbolista.
124.55 ∙ 30 = 3736.5 𝑚
La distancia que recorre el futbolista en un día es 3736.5 m.
3) Un observador, erguido, ve reflejado en un espejo, que está situado en el
suelo, la parte más alta de un edificio. Calcula la altura del edificio y la
reflexión que se forma del es espejo a lo más alto del edificio, sabiendo
que la altura del observador, desde sus ojos al suelo, es 1,58 m, el espejo
está situado a 2,96 m del observador y a 10,66 m del edificio.
Como se forman dos triángulos semejantes entonces obtenemos:
𝑎
1.58=
10.66
2.96
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𝑎 =10.66
2.96∙ 1.58
𝑎 =16.84
2.96
𝑎 = 5.69 𝑚
Teniendo la altura del edificio, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para
averiguar c:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 5.692 + 10.662
𝑐2 = 146
𝑐 = √146
𝑐 = 12.08
Algunas aplicaciones del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de
la vida cotidiana.
Por ejemplo:
El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar
la medida de algunas montañas lunares.
Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que
proyecta y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la
sombra.
Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere
construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a
la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la
escalera.
Historia del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es sin duda alguna la relación matemática que ocupa el
primer lugar en cuanto a estudios matemáticos. Es las más importante y útil en
todas las civilizaciones. La que más nombre, atención y pruebas a recibida a lo
largo de los siglos. Este ha llamado la atención de matemáticos y no
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matemáticos, también utilizado por personas como Leonardo Da Vinci, Hobbes,
Schopenhauer y Einstein.
Lo más interesante de este teorema es que no existe ninguna relación intuitiva
entre los cuadrados construidos de un triángulo rectángulo con respecto a los
catetos y la hipotenusa que uno pueda decir que tienen un vínculo entre sí como
los demás teoremas.
El Teorema de Pitágoras es la base para la demostración de la gran cantidad de
demostraciones de los Teorema Geométricos, de los estudios de los Polígonos
y Poliedros, de la Geometría Analítica y de la Trigonometría, la relación de
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 es un caso particular del Teorema de Pitágoras y el Teorema
del Coseno es una generalización del Teorema de Pitágoras.
La relación pitagórica de 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 es la relación de la circunferencia y la raíz
histórica del análisis indeterminado de Diofanto y Fermat. Y así innumerables
estudios matemáticas son consecuencia de este Teorema.
Ahora aremos un pequeño repaso del Teorema de Pitágoras a través de la
historia.
El Teorema de Pitágoras en Babilonia
De acuerdo con Pedro Miguel Gonzales
La Arqueología ha recuperado cerca de medio millón de tablillas de arcilla con textos
cuneiformes, de las cuales casi trescientas tienen contenido matemático. Entre ellas
sobresalen la tablilla YALE o YBC 7289, conservada en la Universidad de Yale y la
PLIMPTON 322 en la Universidad de Columbia. (Gonzales, pág.: 105. 2008)
La tablilla YALE (Y BC 7289) de 1600 a.C. Universidad de Yale. De acuerdo con la interpretación de los
números sexagesimales inscritos en la tablilla, este documento mesopotámico estaría relacionado con el Teorema de Pitágoras
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En la tablilla YALE figura un cuadrado con los triángulos rectángulos resultantes
de trazar las diagonales y varios números en caracteres cuneiformes escritos en
el sistema de numeración sexagesimal babilónico, basado en las potencias de
60. La relación con el Teorema de Pitágoras se observa al traducir estos
números a nuestro sistema decimal. Se expresada de esta manera, pasado a
nuestro sistema decimal seria:
1; 24, 51, 10 =1 + 24
60+
51
602 +10
603 , 1,414213… √2
El Teorema de Pitágoras en Egipto
De acuerdo con Pedro Miguel Gonzales:
Los famosos papiros de Rhind y de Moscú, a pesar de su alto valor matemático, no
mencionan el Teorema de Pitágoras ni las ternas pitagóricas. No obstante, los egipcios
conocían y utilizaban el hecho de que el triángulo de lados 3, 4 y 5 (+o proporcionales a
estos números), llamado "Triángulo egipcio", es rectángulo, para trazar una línea
perpendicular a otra, a modo de "escuadra de carpintero", que era una práctica habitual
de los agrimensores oficiales para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras tras
los periódicos corrimientos de tierras producidos por las crecidas del río Nilo. (Gonzales,
pág. 107. 2008)
Todas las pirámides de Egipto, excepto la de Keops, incorporan de alguna
manera este triángulo rectángulo en su construcción, el cual añade a su sencillez
que permite una comprobación visual instantánea del Teorema el hecho de ser
el único cuyos lados son enteros consecutivos, teniendo los obtenidos por
proporcionalidad los lados en progresión aritmética. La mención explícita de la
relación pitagórica aparece en Egipto, en un papiro de la XII dinastía hacia el
2000 a.C. encontrado en Kahun, en cuatro casos numéricos concretos
proporcionales a los del Triángulo egipcio:
12 + (3
4)2 = (1.
1
2)2, 82 + 62 = 102, 22 + (1.
1
2)2 = (2.
1
2)2, 162 + 122 = 202
a b c
3 4 5
6 8 10
9 12 15
12 16 20
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Los agrimensores egipcios utilizaban el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, llamado Triángulo egipcio a modo de escuadra para trazar líneas perpendiculares. Así nació la
profesión de arpedonapta palabra griega traducción de otra egipcia que significa tendedor de cuerda. Fue precisamente este hecho lo que indujo al gran historiador Heródoto a escribir:
A partir de esta práctica, es como se llegó al conocimiento de la Geometría en Egipto en primer lugar, de donde más tarde pasó a Grecia"
El Teorema de Pitágoras en la India
Como resultado de la planificación de templos y de la construcción de altares,
entre los siglos octavo y segundo a.C. en la India se desarrollan conocimientos
aritmético-geométricos, prácticos y primitivos, relacionados con el Teorema de
Pitágoras.
Todo este venerable saber adoptó la forma de un cuerpo de doctrina conocido
por el nombre de "Sulvasutras" o "Manual de las reglas de la cuerda". Sulva es
un término que se refiere a las cuerdas utilizadas para realizar mediciones, pues
la India tuvo también, como Egipto, los " tensadores de la cuerda", mientras que
el término Sutra hace referencia a un libro de reglas o aforismos relativos a un
determinado ritual o a una ciencia.
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En el antiguo Egipto el Triángulo egipcio, era llamado también Triángulo de Isis y tenía un cierto carácter sagrado, porque el número tres representaba a Osiris, el cuatro a Isis y el cinco a Horus. Así lo relata Plutarco en Sobre Isis y Osiris, VIII, 4: "Los egipcios se imaginaban el mundo la forma del más bello de los triángulos. Este triángulo, símbolo de la fecundidad, tiene su lado vertical compuesto de tres, la base de cuatro y la hipotenusa de cinco partes. El lado vertical simbolizaba al macho, la base a la hembra, y la hipotenusa a la primogenitura de los dos".
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Así pues, los Sulvasutras hindúes eran una especie de manuales donde se
detallaban prescripciones para la construcción ritual de altares de forma y
tamaño determinados.
Trazas de los altares trapezoidales del Sulvasutra de Apastamba (siglo V a.C.) con indicación
de las ternas pitagóricas utilizadas en la construcción ritual.
Eso ha sido un poco de la historia del teorema de Pitágoras, se dice que estas
civilizaciones la utilizaron antes de Pitágoras, pero la realidad no es así,
Pitágoras fue quien demostró este teorema y se dice que fue la primera
demostración desarrolla en las matemáticas y que este también dio a conocer la
existencia de los números irracionales al descubrir que la √2 no pertenecía a los
números naturales que se conocían hasta ese momento.
Ahora rápidamente veamos unas demostraciones geométricas que se han
desarrollado a lo largo de la historia.
Demostración en la escuela de Platón
Demostración en los elementos de Euclides
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Demostración de Pappus (300 d.C)
Demostración de Bhaskara (1114-1185)
La demostración de Leonardo da Vinci (1452-1519)
La demostración de Anaricio–Göpel (hacia 1824)
La idea de dar a conocer la historia de este famoso teorema es que los
estudiantes tomen ideas intuitivas y ponerlos a pensar y a dar ideas de cómo se
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puede demostrar el teorema, así mismo podemos tomar la historia para motivar
a los estudiantes, de cómo hace miles de años no contaban con la tecnología ni
con las facilidades que tenemos ahora y ellos podían demostrar todo este tipo
de cosas, sabiendo que ellos eran personas iguales que nosotros y que por lo
tanto también nosotros podemos realizar cualquier tipo de cosa que nos
propongamos.
Práctica
1. Una escalera cuya longitud es de 3 metros se encuentra apoyada contra
una pared en el suelo horizontal y alcanza 2,8 m sobre esa pared vertical.
¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?
2. Una cancha de fútbol mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus
diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo de juego?
3. La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 12 cm es igual al lado de un
cuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado?
4. Comprueba cuales de las siguientes ternas de longitudes forman un
triángulo rectángulo.
a. 5 𝑐𝑚, 4 𝑐𝑚 𝑦 3 𝑐𝑚
b. 6 𝑐𝑚, 10 𝑐𝑚 𝑦 8 𝑐𝑚
c. 9 𝑐𝑚, 12 𝑐𝑚 𝑦 15 𝑐𝑚
d. 5 𝑐𝑚, 6 𝑐𝑚 𝑦 7 𝑐𝑚
5. Un poste de madera tiene 8 m de altura y se quiere sujetar tres cables
que van desde el extremo superior a un punto del suelo que dista de la
base del poste 3 m. ¿Qué longitud de cable se necesita?
6. Un carpintero hace marcos rectangulares de maderas para ventanas,
para que marco no se deforme les pone en la diagonal un listón de madera
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de 2 m de largo. Si el alto del marco mide 1.2 m. ¿Cuánto mide el ancho
del marco?
7. ¿Cuál es el valor del área de los cuadrados 𝐴, 𝐵 en cada uno de los
triángulos rectángulos que se le presentan a continuación?
8. Un globo cautivo está sujeto al suelo con una cuerda. Ayer que no había
viento, el globo estaba a 50 m de altura. Hoy hace viento y la vertical del
globo se ha alegado 30 m del punto de amarre.
¿A que altura esta hoy el globo?
9. Un caracol sale todos los días de su escondite y va a comer los brotes
tiernos de un árbol. Para ello se desplaza por el suelo durante 8 minutos
y luego, sin variar su velocidad, trepa durante 6 minutos por el tronco.
Pero un buen día se encuentra con que alguien ha colocado un tablón
justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol.
¿Cuánto crees que tardara si decide subir por el tablón? Eso sí, él avanza,
siempre imperdurable, a la misma velocidad.
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10. Para afianzar una antena de 24 m de altura, se van a tender, desde su
extremo superior, cuatro tirantes que se amarran, en tierra, a diez m de
la base de torre. ¿Cuantos metros de cable se necesitan para los tirantes
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Bibliografía
Alexander Borbón A. (2005). Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.
11/11/2014, de Revista TEC Digital Matemáticas Sitio web: http://www.tec-
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Miguel Martin Cano. (2009). Semejanza del Teorema Pitágoras. 12/11/2014, de
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Pedro Miguel González Urbaneja. (2009). EL TEOREMA LLAMADO DE
PITÁGORAS. UNA HISTORIA GEOMÉTRICA DE 4.000 AÑOS. 11/11/2014, de
SIGMA Sitio web: http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/
Sin Autor. (03/05/2099). TEOREMA DE PITAGORAS EJERCICIOS
DESARROLLADOS Y APLICACIONES EN PDF Y VIDEOS. 12/11/2014, de
Matematical.1 Sitio web: http://matematica1.com/category/teorema-de-
pitagoras/
