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EE-240/2009 Modelamento. Modelagem. Caixa Opaca. Caixa Transparente. Dados Experimentais. Leis Físicas. Identificação. Caixa Transparente (Branca). P. ao. R. c. P. Q. aw. Q. Q. A. P. P. P. ao. aw. A. C. S. R. R. p. c. Q. R. C. A. C. p. L. S. Q. P. pl. - PowerPoint PPT Presentation
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EE-240/2009
EE-240/2009Modelamento
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas Dados Experimentais
Identificação
EE-240/2009
Caixa Transparente(Branca)
EE-240/2009
C
R
C
C
pl
PQ
L
S
p
Rc
QA
aw
Pao
PA
Ppl
C
R
C
C
pl
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pRc
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Ppl
EE-240/2009
AAeq
SawS
QPdtdC
QPdtdC
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A
Aawp
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S
PPR1Q
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C
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A
peq
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Aaw
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Cpaw
RCP
RCP
Pdtd
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RCP
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Pdtd
A22aw21A
ao1A12aw11aw
PaPaP
PbPaPaP
BuAxx
Ceq
C
R
C
C
pl
PQ
LS
pRc
QA
QS
awPao PA
Ppl
EE-240/2009
BuAxx
x1 = Airway Pressurex2 = Alveolar Pressureu = Oral Apperture Pressure
Se a variável de interesse éa ventilação alveolar QA:
Aawp
A PPR1Q
y = Cx
EE-240/2009
Qs
Pao Q
QA
Paw
du/dt
dPaw/dt
Volume vs time
Ventilator
respm2.mat
To File
Sum3
Sum2
Sum1
Sum
0.5
Rp
Q vs time
Pao vs time
Mux
Mux
Memory
1/s
Integrator1
1/s
Integrator
0.005
Cs
1
1/Rc
1/0.2
1/Cw
1/0.2
1/CL
EE-240/2009
Caixa Opaca(Preta)
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Planta V
EE-240/2009
Planta
-20dB/dec
-20dB/dec
100s10s1000)s(G
EE-240/2009
Planta V H
EE-240/2009
hk
uk yk
k
0iiikk uhy
k
0iuuik
k
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k
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kjuy
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EE-240/2009
hk
uk yk
*
E (.)
hi
iq
EE-240/2009
0 5 10 15 20 25 30-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350Resposta Impulso
k
h(k) 786.0z646.1z
0674.0z073.0)z(G 2
4.02
4s2.1s4)s(G
n
2
EE-240/2009
x2
x1
x3
x4
x5
x6
x7
y
y = f (x1,...,x7,W)
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
RNA
W
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),,Regras)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
Regras
EE-240/2009
y(k)z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Identificação Paramétrica
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
kkk wCxfx ,1
kkk vGxHy
kw
EE-240/2009
Estimação Pontual
Dados: qy Rp ,,
Taentecorrespondy
Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
1. Estimador:
1,yp 2,yp
y
Exemplo:
a
ayseayse
yg
2
1)(
EE-240/2009
LSE
2. Estimador Não-Polarizado: dpgygE yR ,)(
Exemplo: Seja ),0(~ INeeAy
mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter
yAAA
yAAA
AAAyyydd
AyAydd
Aydd
TT
TT
TTTT
T
1
ˆ
2
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022
02
0
0
EE-240/2009
eAAAEAAAAE
eAAAAAAAE
eAAAAE
yAAAEygE
poispolarizadonãoéyAAA
TTTT
TTTT
TT
TT
TT
11
11
1
1
1
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)()(
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)()(
,ˆ
EE-240/2009
3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
covˆcov,EquetalBy
EE-240/2009
Matriz deInformação
de Fisher
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg
onde
),(log),(log ypypEm yj
yi
ij
5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg
6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ
7. Propriedades do LSE:
eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado
EE-240/2009
Y = A + E
8. Identificação de Modelos ARMAX:
kmkmknknkk euuyyy 1111
kmkmknknkk euuyyy 1111
N
n
n
n
m
n
mNNnNN
mnnn
mnnn
mnnn
N
n
n
n
e
eee
uuyy
uuyyuuyyuuyy
y
yyy
2
1
1
1
11
2121
11
101
2
1
yAAA TT1
ˆ
EE-240/2009
9. Lema de Inversão de Matrizes:
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
10. Estimação Recursiva:
1111
N
NTN
N
N
NeE
aA
yY
medidasN
11
1
111ˆ
N
NT
TN
NTN
NT
TN
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aA
aA
11
1
111ˆ
N
NN
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N
NN
TNN y
YaA
aA
aA
111
111ˆ
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TN
TNNN
TNN yaYAaaAA
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TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,
EE-240/2009
1 NTNN AAP
T
N
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11
111
1
11
1111
T
NNNTNT
N
NT
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NN
TNN aaAA
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1111111 AbcAbAcAbcA TTT
1111
111
TNNN
TNNN
TNN aaPaaAAP
NTNNNNN
TNN PaaPaPaP 11
1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
EE-240/2009
111
111ˆ
NNN
TN
TNNN
TNN yaYAaaAA
1111ˆ NNN
TNNN yaYAP
NTNNNNN
TNNN PaaPaPaPP 11
1111 1
1111
11111
111
111
1
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NNNTNNNNN
TNNNN
NTNN
TNNNNN
TNN
TNNN
yaPaaPaPayaP
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NTNNN YAP̂ 1
1111
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111
EE-240/2009
NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
mNNnNNTN uuyya 111
NmNmNnNnNN euuyyy 1111
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
ke
Tmn 11
EE-240/200913 set 2006
kkk
kkk1k
vx100y
w111
u001
x5.11074.001
12.000x
Exemplo:
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/2009
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
kkk wCxfx ,1
kkk vGxHy
kw
Identificação Paramétrica
EE-240/2009
Dados: qy Rp ,,
Taentecorrespondy
Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
1. Estimador:
1,yp 2,yp
y
Exemplo:
a
ayseayse
yg
2
1)(
Identificação Paramétrica
EE-240/2009
LSE
2. Estimador Não - Polarizado:
dpgygE yR ,)(
Exemplo: Seja ),0(~ INeeAy
mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter
yAAA
yAAA
AAAyyydd
AyAydd
Aydd
TT
TT
TTTT
T
1
ˆ
2
ˆ
022
02
0
0
EE-240/2009
eAAAEAAAAE
eAAAAAAAE
eAAAAE
yAAAEygE
poispolarizadonãoéyAAA
TTTT
TTTT
TT
TT
TT
11
11
1
1
1
)()(
)()(
)()(
)()(
,ˆ
3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
covˆcov,EquetalBy
EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
T
TT
T
T
T
BB
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EByEByE
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EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
1
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EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
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~
1
1
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TT
TT
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EE-240/2009
Matriz deInformação
de Fisher
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg
onde
),(log),(log ypypEm yj
yi
ij
dpgouygE
polarizadonãoégComo
yRm ),()()(
,(.)
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10
EE-240/2009
IpgE
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m
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0),(
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Por outro lado,
EE-240/2009
Ty
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gSe então,
1
1
11
cov
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0cov
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Mg
Mg
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MI
MIIg
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5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg
6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ
1ˆcov
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my 21exp
21),( 2/
AyAymp Ty 2
12log2
),(log
AAAeeAEM
eAyAAAp
TTT
TTTy
),(log
1ˆcov M
EE-240/2009
7. Propriedades do LSE:
eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado
8. Identificação de Modelos ARMAX:
kmkmknknkk euuyyy 1111
N
n
n
n
m
n
mNNnNN
mnnn
mnnn
mnnn
N
n
n
n
e
eee
uuyy
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y
yyy
2
1
1
1
11
2121
11
101
2
1
y = A + e
EE-240/2009
1. Lema de Inversão de Matrizes:
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
2. Estimação Recursiva:
1111
N
NTN
N
N
NeE
aA
yY
medidasN
11
1
111ˆ
N
NT
TN
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Identificação Paramétrica Recursiva
EE-240/2009
1 NTNN AAP
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11
1111
T
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N
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EE-240/2009
111
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NNN
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TNNN
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TNNN PaaPaPaPP 11
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1111
11111
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111
1
1ˆ
NNNTNNNNN
TNNNN
NTNN
TNNNNN
TNN
TNNN
yaPaaPaPayaP
YAPaaPaPaYAP
NTNNN YAP̂ 1
1111
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111
EE-240/2009
NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
mNNnNNTN uuyya 111
NmNmNnNnNN euuyyy 1111
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
ke
Tmn 11
3. Identificação de Modelos ARX:
EE-240/2009
kkk
kkk1k
vx100y
w111
u001
x5.11074.001
12.000x
Exemplo:
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/200913 set 2006
EE-240/2009
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo
Par
amet
ros
Est
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os
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/2009
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo
P[i,
j]
Matriz P
EE-240/2009
4. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e é conhecido:
iiii pN 2,~ˆ
12 )(,~ˆ AAN T
1,0~ˆ
Npii
ii
)1,0(2/ Ndexpercentilx
xconfiançacompp iixiiixii 1ˆ,ˆ
EE-240/2009
5. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e é desconhecido: qN ReRY
ˆ1ˆ 2 AYqN
qNtpii
ii
~ˆ
ˆ
xconfiançacompp iixiiixii 1ˆˆ,ˆˆ
)(2/ qNtdexpercentilx
EE-240/2009
6. Teste de Hipóteses:
eAY
N
kk
N
kk eSeS
1
2
1
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qNS
pSStesindependensãoSSeS
22
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é verdadeiro, então011 pqqqSe
0
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11
pqqqimpondoLSELSE
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EE-240/2009
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2
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qNpF 21,
Se N - q é grande
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qNS
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EE-240/2009
Para p =1, (p) possui valor crítico de 4 para significância 95%2
Portanto, é rejeitado se 0q
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4
1
1Se
Então a ordem é r
EE-240/2009
Muito Obrigado!
