電路學(一) 第7章二階電路第7章二階電路eportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/0/T093000174/repository/電路學(一)/第7章二階... · 此為標準的二階常微分方程式，因此諸如此類的電路又稱為二階電路(second-order

電路學(一) 第 7 章二階電路

Kun Shan University http://www.ksu.edu.tw

1

第 7 章二階電路

研習完本章，將學會

1. RLC 並聯電路的自然響應 -------------------------------------01

2. RLC 並聯電路的步階響應 -------------------------------------15

3. RLC 串聯電路的自然與步階響應 --------------------------------28

4. 兩積分器電路 -----------------------------------------43

5. 習題 -----------------------------------------------49

7-1 RLC 並聯電路的自然響應

RLC 基本電路的電壓與電流表示式如下

無外加電源的 RLC 並聯電路，電感的初始電流位 I0，電容的初始電壓位 V0，根據上列的數

學式，可以配合使用 KCL：

iR+iL+iC=0

0

上式微分



2

此為標準的二階常微分方程式，因此諸如此類的電路又稱為二階電路(second-order circuit)

RLC 並聯電路自然響應的計算步驟

使用特性方程式(characteristic equation)求解

m2

通解為

v k1 k2

k1、k2 為常數

：兩相異實根，稱為 overdamped

：兩相同實根，稱為 critically damped

：兩共軛複數根，稱為 underdamped

求 k1、k2 為常數：iR+iL+iC=0，iC(0+)=-iR(0

+)-iL(0+)

v(0+) = V0 = k1 k2



3

v’(0+) = iC(0+) = = m1k1 m2k2

如圖電路，I0=30mA，V0=12V，求

(a) 各分支初始電流 (b) v’(0+) (c) v(t)

(a) 已知 I0=30mA，V0=12V，即

iL(0)=I0=30 mA

iR(0)=V0/R=12/(0.2k)=60 mA

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=-90 mA

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)= iC(0)/C=-90m/(0.2μ)=-450 kV/s

(c)因為 iR+iL+iC=0

0

代入數值

v’’+25000v’+108v=0

由特性方程式可知

m2+25000m+108=0



4

‐5000

‐20000

因此電壓 v(t)為

v(t) k1 k2

代入初始條件

v(0+)=k1 k2=V0 =12

v’(0+)= iC(0+)=-5000k1 k2=-450000

k1 ， k2

v(t) = -14 V

電壓輸出圖如下所示

0 100 200 300 400 500 600 700-5

0

5

10

t(μs)

v(t)

這是典型 overdamped 的輸出

續範例 1，如圖電路，I0=30mA，V0=12V，求各分支電流



5

已知 v(t) = -14 V

iR(t)=v(t)/R =(0.005)(-14

=-70

iC(t)=Cv’(t)=(0.2μ)(70000

=14

iL(t)=-iR(t)-iC(t)= 56

電流輸出圖如下所示：其中 iR(0)=60mA，iC(0)=-90mA，iL(0)=30mA

0 100 200 300 400 500 600 700

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

t(μs)

i(t)

如圖電路，I0=-12.25mA，V0=0，求




6

(a) 已知 I0=-12.25mA，V0=0V，即

iL(0)=I0=-12.25 mA

iR(0)=V0/R=0/(20k)=0 mA

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=12.25 mA

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)= iC(0)/C=12.25m/(0.125μ)=98000 V/s


0

代入數值：1/RC=1/(20k×0.125μ)=400，1/LC=1/(8×0.125μ)=106

v’’+400v’+106v=0


m2+400m+106=0

‐200 j979.8

‐200‐j979.8


v(t) k1 k2

代入初始條件

v(0+)=1[k1 k2 ]= k1=V0 =0



7

意即 v(t)

v’(t)=

v’(0+)= iC(0+)=k2 =98000

k2

v(t) = V


0 5 10 15 20 25

-20

0

20

40

60

t(ms)

v(t)

這是典型 underdamped 的輸出

如圖電路，I0=-12.25mA，V0=0，求


(a) 已知 I0=-12.25mA，V0=0V，即

iL(0)=I0=-12.25 mA

iR(0)=V0/R=0/(4k)=0 mA



8

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=12.25 mA

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)= iC(0)/C=12.25m/(0.125μ)=98000 V/s


0

代入數值：1/RC=1/(4k×0.125μ)=2000，1/LC=1/(8×0.125μ)=106

v’’+2000v’+106v=0


m2+2000m+106=0

‐1000

‐1000


v(t) k1 k2

代入初始條件

v(0+)=1[k1 k2 ]= k1=V0 =0

意即 v(t) = ，v’(t)=

v’(0+)= iC(0+)=k2 = =98000



9

k2

v(t) = V


0 2 4 6 8 100

10

20

30

t(ms)

v(t)

這是典型 critically damped 的輸出

7-1 練習

1. 如圖電路，I0=-4A，V0=0，求

(a)各分支初始電流 (b) v’(0+) (c) v(t)

(a) 已知 I0=-4A，V0=0V，即

iL(0)=I0=-4 A

iR(0)=V0/R=0/(2k)=0 mA

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=4 A

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)=iC(0)/C=4/(10×10-9)=4×108 V/s



10


0

代入數值：1/RC=1/(2k×10×10-9)=50000，1/LC=1/(0.25×10×10-9)=4×108

v’’+50000v’+4×108v=0


m2+50000m+4×108=0

‐10000

‐40000


v(t) k1 k2

v’(t)=-10000k1 k2 ，代入初始條件

v(0+)=k1 k2=V0 =0

v’(0+)= iC(0+)=-10000k1 k2=4×108

k1 ， k2

v(t)=13333 ) V




11

0 100 200 300 400 500 600 7000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t(μs)

v(t)

2. 如圖電路，I0=80mA，V0=10V，求

(a)各分支初始電流 (b) v’(0+) (c) v(t) (d)各分支初始電流

(a) 已知 I0=80mA，V0=10V，即

iL(0)=I0=80 mA

iR(0)=V0/R=10/(62.5)=160 mA

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=-240 mA

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)=iC(0)/C=-240m/(1μ)=-240000 V/s


0

代入數值：1/RC=1/(62.5×1μ)=16000，1/LC=1/(10m×1μ)=108



12

v’’+16000v’+108v=0


m2+16000m+108=0

‐8000 j6000

‐8000‐j6000


v(t) k1 k2

代入初始條件

v(0+)=1[k1 k2 ]= k1=V0 =10

意即 v(t) k2

v’(0+)= iC(0+)=10 =-240000

k2

v(t)= V


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

6

8

10

t(ms)

v(t)



13

(d) 已知 v(t)= V

iR(t)=v(t)/R =(16)[ mA

=

iC(t)=Cv’(t)

=(1m)[10(-8000)

=-240

iL(t)=-iR(t)-iC(t)=80

電流輸出圖如下所示：其中 iR(0)=160mA，iC(0)=-240mA，iL(0)=80mA

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-200

-100

0

100

t(ms)

i(t)

3. 如圖電路，初始能量 25mJ 平均儲存在電感與電容器之中，求

(a) 各分支初始電流 (b) v’(0+) (c) v(t) (d) iR(t)



14

(a) 已知

→ I0=250 mA

→ V0=50 V

因此

iL(0)=I0=250 mA

iR(0)=V0/R=50/(0.1k)=500 mA

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=-750 mA

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)=iC(0)/C=-750m/(10μ)=-75000 V/s


0

代入數值：1/RC=1/(100×10μ)=1000，1/LC=1/(0.4×10μ)=0.25×106

v’’+1000v’+0.25×106v=0


m2+1000m+0.25×106=0

‐500

‐500




15

v(t) k1 k2

代入初始條件

v(0+)=1[k1 k2 ]= k1=V0 =50

意即 v(t) 50+k2 ，v’(t)= 50+k2 0+k2

v’(0+)= iC(0+)=-25000 =-75000

k2

v(t) = 50-50000 V


0 5 10 15 20-20

-10

0

10

20

30

40

50

t(ms)

v(t)

(d) iR(t)=v(t)/R= 50-50000 500-5×105 mA

7-2 RLC 並聯電路的步階響應

如下圖所示的外加電流源 RLC 並聯電路



16

假設電感的初始電流位 I0=0，電容的初始電壓位 V0=0，根據 KCL：

iR+iL+iC=I

以 iL 表示：v=L ， L

此為標準的二階非齊次常微分方程式，類似前述的無加電源 RLC 並聯電路

差別就在於等號右邊的電流源項

RLC 並聯電路步階響應的計算步驟

使用特性方程式(characteristic equation)求解

m2



17

通解為

k1 k2

k1、k2 為常數

：兩相異實根，稱為 overdamped

：兩相同實根，稱為 critically damped

：兩共軛複數根，稱為 underdamped

求特解：令特解 ip=k，，代回原式

k = I

意即特解 ip=I

綜合以上所求通解與特解，全解為

k1 k2

求 k1、k2 為常數：iL(0)=0，v (0)=0， (0)=0

k1 k2 k1 k2 0

(0)= m1k1 m2k2=0



18

如圖電路，I0=0，V0=0，求

(b) 各分支初始電流 (b) (0) (c) iL(t)

(a) 已知 I0=0mA，V0=0V，即

iL(0)=I0=0 mA

iR(0)=V0/R=0/(0.2k)=0 mA

iC(0)=I-iL(0)-iR(0)=24 mA

(b) v (0)=0

(0)=0

(c)因為 iR+iL+iC=I

代入數值：1/RC=1/(400×25n)=105，1/LC=1/(25m×25n)=16×108

+105 +16×108 =0


m2+105m+16×108=0

‐20000



19

‐80000

因此通解電流 (t)為

t k1 k2

代入特解 ip=I=24mA

t k1 k2

代入初始條件 iL(0)=0， (0)=0

iL(0)=k1 k2+24=0

(0)= -20000k1 k2=0

k1 ， k2

t ‐32 8 mA

電流輸出圖如下所示

0 100 200 300 4000

5

10

15

20

t(μs)

i(t)

這是典型 overdamped 的輸出

續範例 5，如圖電路，I0=0，V0=0，求 iL(t)



20

因為 iR+iL+iC=I

代入數值：1/RC=1/(625×25n)=64000，1/LC=1/(25m×25n)=16×108

+64000 +16×108 =0


m2+64000m+16×108=0

‐32000 j24000

‐32000 j24000


t k1 k2


t k1 k2 mA

代入初始條件 iL(0)=0， (0)=0

iL 0 k1 k2sin 0 24 k1 24 0



21

k1=-24

即

t ‐24 k2 mA

上式微分再代入 (0)，並且 cos(t)項微分為-sin(t)，sin(0)=0，因此-24 項的微分

可以不考慮

0 ‐32000 ‐24000cos 0 0 0

0 ‐32000 ‐24000 0

k2

t ‐24 mA

電流輸出圖與上一範例做比較，輸出如下所示

0 100 200 300 4000

5

10

15

20

t(μs)

i(t)

歐姆400

歐姆625

如圖電路，I0=0，V0=0，求 iL(t)



22

因為 iR+iL+iC=I

代入數值：1/RC=1/(500×25n)=80000，1/LC=1/(25m×25n)=16×108

+80000 +16×108 =0


m2+80000m+16×108=0

‐40000

‐40000


t k1 k2


t k1 k2 mA

代入初始條件 iL(0)=0， (0)=0

iL 0 k1 k2 0 24 k1 24 0

k1=-24

即

t k2 mA



23

上式微分

t k2 k2

代入

0 k2 k2 0

k2

t mA

電流輸出圖與上述 2 個範例做比較，輸出如下所示

0 100 200 300 4000

5

10

15

20

t(μs)

i(t)

歐姆400

歐姆625歐姆500

如圖電路，假設電感的初始電流 I0=29mA，電容的初始電壓 V0=50V，求

(a) iL(0) (b) (0) (c) t (d) v(t) for t≧0

(a) 已知 I0=29mA，V0=50V，電感器無法瞬間改變電流值，即

iL(0)=I0=29 mA



24

iR(0)=V0/R=50/(0.5k)=100 Ma

根據 KCL 可知 I=iL(t)+iL(t)+iC(t)

iC(0)=24-iL(0)-iR(0)=-105 mA

(b) VL(t)=L (t)

VL(0)=L (0)=V0=50 V

(0)=50/(25m)=2000 A/s

(c) 由範例 7 已知 t k1 k2 mA，代入初始條件 iL(0)=29mA，

(0)=2000 A/s

iL 0 k1 k2 0 24 k1 24 29

k1=5 mA

即

t k2 mA

上式微分

t k2 k2

代入

0 k2 k2 2000

k2 A/s= mA/s

t mA




25

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

t(μs)

i(t)

(d) VL(t)=L (t)=v(t)

v t 25m 2.2 106 2.2 106 m

v t 50 2.2 106 V

電壓輸出圖如下所示，其中 v(0)=50 0=50 V

0 50 100 150 200 250 300-20

0

20

40

60

t(μs)

v(t)

7-2 練習

1. 如圖電路，I0=0.5A，V0=40V，求

(a)各分支初始電流 (b) (0) (c) t (d) v(t) for t≧0



26

(a) 已知 I0=0.5A，V0=40V，電感器無法瞬間改變電流值，即

iL(0)=I0=0.5 A

iR(0)=V0/R=40/(0.5k)=80 mA=0.08 A

根據 KCL 可知 I=iL(t)+iL(t)+iC(t)

iC(0)=-1-0.5-0.08=-1.58 A

(b) VL(t)=L (t)

VL(0)=L (0)=V0=40 V

(0)=40/(0.64)=62.5 A/s

(c) 因為 iR+iL+iC=I

代入數值：1/RC=1/(500×1μ)=2000，1/LC=1/(0.64×1μ)=1.5625×106

+2000 +1.5625×106 =0


m2+2000m+1.5625×106=0

‐1000 j750



27

‐1000‐j750


t k1 k2

代入特解 ip=I=-1A

t k1 k2 A

代入初始條件 iL(0)=0.5A， (0)=62.5 A/s

iL 0 k1 k2 k1 0.5

k1=1.5 A

即

t 1.5 k2 A

上式微分

t

k2

代入

0 k2 62.5

0 k2 62.5

k2

即

t 1.5 2.0833 A




28

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

t(ms)

i(t)

(d) VL(t)=L (t)=v(t)

v t 0.64 ‐1000

v t V

電壓輸出圖如下所示，其中 v(0)= =40 V

0 2 4 6 8 10-500

-400

-300

-200

-100

0

t(ms)

v(t)

7-3 RLC 串聯電路的自然與步階響應

自然響應



29

電路中同時含有電感器 L 與電容器 C，就會成為二階常微分方程式，解法如前所述 RLC

並聯電路，例如，無外加電源的 RLC 串聯電路

其中 I0 為電感器的初始電流，V0 為電容器的初始電壓，在此電路條件下可以求其自然響應；

根據 KVL 方程式

vR(t)+vL(t)+vC(t)=0

代入 i = q'，i' = q''

或者以 i 為變數，方程式改寫為

上式微分

即



30

由特性方程式求解，再代入初始條件

iL(0)=0

vL(0)=L (0)=- vR(0)-vC(0)=-V0

(0)=- i(0)- =-

求出未知係數

步階響應

如下所示為有外加電源的 RLC 串聯電路

根據 KVL 方程式 vR(t)+vL(t)+vC(t)=E(t)

代入

即



31

由特性方程式求通解，並且求出特解，再代入初始條件求出未知係數

如圖電路，vc(0)=100V，求(a) i(t) (b) vc(t) for t≧0

(a) ，

代入數值：R/L=560/0.1=5600，1/LC=1/(0.1×0.1μ)=108

+5600 +108 =0


m2+5600m+108=0

‐2800 j9600

‐2800‐j9600


t k1 k2



32

代入初始條件 i(0)=iL(0)=0A， (0)=- i(0)- =- =100/0.1=1000 A/s

i 0 k1 k2 k1 0

即

t 0 k2 A

上式微分

t k2

代入

0 k2 1000

0 k2 1000

k2

即

t A mA


0 0.5 1 1.5 2

-20

0

20

40

60

t(ms)

i(t)

mA



33

(b) vL(t)=L (t)

vL t 0.1 0.1042 ‐2800 0.1042

vL t V

vR t iR V

因為 vR(t)+vL(t)+vC(t)=0

vC t ‐vR t ‐vL t V

電壓輸出圖如下所示，其中 vC(0)= =-100 V

0 0.5 1 1.5 2-100

-50

0

t(ms)

v(t)

如圖電路，求 vc(t)，若 vc(0) = 0，i(0) = 0

根據 KVL，可知



34

vR +vL+vC = E(t)

依題意要求，以 vc(t)表示，其中 vR=iR，vL=Li’

iR L

代入

原式改寫為

8 vc'' 6 vc' vc 5

<1> 求通解 ic：由特性方程式可知

8m2 + 6m + 1 = 0

(4m + 1)(2m + 1) = 0

解為兩重根

，

所以其通解為

<2> 求特解 vcp：觀察 E(t)，求其 uc 集合，因為

(5)' = 0

可知 uc 集合為

[ k3 ]



35

所以可以令 vcp = k3

v'cp = 0 ， v''cp = 0

代回原式 8vc''+6vc'+vc=5

k3 = 5

即

vcp = 5

<3> 綜合以上結果，全解為

求 k1，k2：代入起始條件

vc(0)=k1+k2+5=0

將 k1=-2k2 代入 k1+k2+5=0，得

k2 = 5 ， k1 = -10

如圖電路，求 i(t)，若 i(0) = 0，i'(0) = 0



36

根據 KVL，可知

vR +vL+vC=E(t)

依題意要求，以 i(t)表示，其中 vR=iR，vL=Li’，

代入數值

上式微分

<1> 求通解 ic：由特性方程式可知

m2 +4m+4=0

(m +2)2=0

解為兩重根

m1= -2 ， m2 = -2

所以其通解為

ic = k1 e-2t + k2 t e

-2t

<2> 求特解 ip：觀察 E(t)，求其 uc 集合，因為

(cos4t )' = -4 sin4t

(cos4t)'' = -16 cos4t



37

可知 uc 集合為

[ cos4t，sin4t]

所以可以令 ip=k3 cos4t+k4 sin4t

= -4k3 sin4t +4k4 cos4t

= -16k3 cos4t -16k4 sin4t

代回原式 i’’+4i’+4i=40cos4t

(-16 k3 cos4t -16 k4 sin4t) +4(-4 k3 sin4t

+ 4 k4 cos4t) + k3 cos4t + k4 sin4t = 40 cos4t

-12k3 +16k4 = 40

，

-16k3 -12k4 = 0

k3 =-6/5=-1.2

，

k4=8/5=1.6

即

其中θ=tan-1(6/8)=sin-1(6/10)=cos-1(8/10)=36.87°


7-3 練習



38

1. 如圖電路，開關按下之前，沒有能量儲存在電感或電容之中，求 vc(t) for t≧0

t 48 +48 V

根據 KVL，可知

vR +vL+vC = E(t)


iR L

代入

原式改寫為

vc'' 2800 vc' 25×106 vc 25×106×48

<1> 求通解 vc：由特性方程式可知

m2 + 2800m + 25×106 = 0

‐1400 j4800

‐1400‐j4800



39

所以其通解為

t k1 k2


(5)' = 0

可知 uc 集合為

[ k3 ]

所以可以令 vcp =k3

，

代回原式 vc'' 2800 vc' 25×106 vc 25×106×48

25×106k3 =25×106×48

k3 =48

即

vcp=48


t k1 k2 +48


vc(0)=k1+48=0

將 k1=-48 代入 t k1 k2 +48，得

t 48 k2 +48

又因為 i(0)=0=C 0 ，即 0 =0

0 ‐1400 ‐48 0 0



40

t 48 +48 V

2. 如圖電路，開關在 t = 0 移至位置 2 之前，已經在位置 1 很長時間，求 vc(t) for t≧0+

開關在位置 1 很長時間

戴維寧化

可見當 t=0 時，vc(t=0)=vc(0+)=vc(0

-)=V0=50 V

(a) 開關在位置 2

根據 KVL，可知

vR +vL+vC = E(t)



41


iR L

代入

原式改寫為

vc'' 16000 vc' 108 vc 108 100


m2 + 16000m + 108 = 0

‐8000 j6000

‐8000‐j6000

所以其通解為

t k1 k2 V


(100)' = 0

可知 uc 集合為

[ k3 ]




42

，

代回原式 vc'' 16000 vc' 108 vc 108 100

108k3 =108×100

k3 =100

即

vcp=100


t k1 k2


vc(0)=k1+100=50

k1=-50

將 k1=-50 代入 t k1 k2 ，得

t k2

又因為 i(0)=0=C 0 ，即 0 =0

0 ‐8000 ‐50 0 0

=-66.67

即

t V

3. 續上一題，如圖電路，開關在 t = 0 時按下之前，已經在位置 1 很長時間，

求 i(t) for t≧0+



43

i(t)= k1 k2 +ip= k1 k2

i 0 0 k1 k2 k1

即

i(t) = k2

又因為

Ri(0)+L +vc(0)=100 ， (5m) +50=100

10000 A/s

上式代入 di(t)/dt= k2

10000= k2 =6000

因此

i(t) = 1.67 A

7-4 兩積分器電路

電路中包含兩個串聯的積分放大器，例如下圖所示的電路，因為第一級的輸出，也是第

二級的輸入，因此，這是屬於二階電路。



44

第一級：根據虛短路的觀念

第二級：同樣根據虛短路的觀念

上式微分

具有回授電阻之雙積分器電路

電路中包含兩個串聯的積分放大器，但是回授元件新增一並聯電阻，例如下圖所示的電

路，此種電路仍然是屬於二階電路，分析方法類似前述的步驟。



45

第一級：根據虛短路的觀念

時間常數τ1=R1C1

第二級：同樣根據虛短路的觀念

時間常數τ2=R2C2，上式微分

因為，即



46

上式代入

至此化簡程二階微分

如圖電路，t>0，vin 為 25mV，並且沒有能量儲存在回授電路中，求 vout

1/R1C1=1/(250k×0.1μ)=40，1/R2C2=1/(500k×1μ)=2，vin=25mV，代入二階方程

式

求通解：由特性方程式



47

m2=0 ， m=0 (重根)

求特解：令 vop=k=常數，但解與通解重覆，因此提高冪次，即 vop=kt，但解仍然與通解重覆，

因此再提高冪次，即 vop=kt2，求其導數

，

代回原方程式

2k=2 ， k=1

可知原方程式特解為

vop = t2

綜合以上，可知全解為

t2

因為 vout(0)=0

vout(0)=0=A+0+0 ， A=0

可知

vout(t) = Bt+t2

再代入：

=0=B+0 ， B=0

最後可知輸出電壓為

vout(t) = t2

如圖電路，t>0，vin 為 250mV，並且沒有能量儲存在回授電路中，求 vout



48

1/R1C1=1/(500k×0.1μ)=20，1/R2C2=1/(100k×1μ)=10，，

vin=250mV，t>0，代入二階方程式

=1000

求通解：由特性方程式

m2+30m+200=0 ， (m+10)(m+20)=0

m=-10 ，m=-20

求特解：令 vop=k=常數，求其導數

，

代回原方程式

0+0+200k=1000 ， k=5

可知原方程式特解為

vop = 5

綜合以上，可知全解為

+5) V



49

因為 vout(0)=0

vout(0)=0= +5= +5 ……(1)

再代入：

(0)=0= ……(2)

解(1)(2)聯立方程式，可知

A=-10 ， B=5

最後可知輸出電壓為

+5) V

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

t(s)

vout

(t)

7-5 習題

1. 如圖電路，iL(0)=I0=-1A，vC(0)=V0=4V，求

(c) 各分支初始電流 (b) v’(0+) (c) v(t) (d) iL(t)

2. 如圖電路，iL(0)=I0=4A，vc(0)=V0=-4V，求(a) i(t) (b) vc(t) for t≧0



50

3. 如圖電路，iL(0)=I0=0.5A，vc(0)=V0=1V，求(a) vc(t) (b) i(t) for t≧0

4. 如圖電路，求 vc(t)，若 vc(0)=-4V，i(0)=4A

5. 如圖電路，開關在 t = 0 移至位置 2 之前，已經在位置 1 很長時間，求 vc(t) for t≧0+

1.



51

(a) 已知 I0=-1A，V0=4V，即

iL(0)=I0=-1 A

iR(0)=V0/R=4/2=2 A

iC(0)=-iL(0)-iR(0)=-1 A

(b) iC(t)=Cv’(t)

v’(0)= iC(0)/C=-1/0.2=-5 V/s

(c) 因為 iR+iL+iC=0

0

代入數值：RC=(2)(0.2)=0.4，1/(RC)=2.5，LC=(5)(0.2)=1，1/(LC)=1

v’’+2.5v’+v=0


m2+2.5m+1=0

‐0.5 ， ‐2


v(t) k1 k2

代入初始條件



52

v(0+)=k1 k2=V0 =4

v’(0+)= iC(0+)=-0.5k1 k2=-5

解聯立方程式：k1 k2=4，k1 k2=10，可得

k1 ， k2

v(t) =2 V


0 2 4 6 80

1

2

3

4

t (s)

v(t)

(V

)

(d) iL(t)= =

iL(t)=

2.

(a) ，



53

代入數值：R/L=6/1=6，1/LC=1/(1×0.04)=25

+6 +25 =0


m2+6m+25=0

‐3 j4

‐3‐j4


t k1 k2

代入初始條件 i(0)=iL(0)=4A， (0)=- i(0)- =-6/1×(4)-(-4)/1=-20 A/s

i 0 k1 k2 k1 4

即

t 4 k2 A

上式微分

t 4 k2 k2

代入

(0)= 4 k2 k2 ]=-20



54

k2=-20

k2 2

即

t 4 2 A


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

0

2

4

t (s)

i(t)

(A)

(b) vL(t)=L (t)

vL t 1 ‐3 4 2

vL t V

vR t iR 24 12 V

因為 vR(t)+vL(t)+vC(t)=0

vC t ‐vR t ‐vL t V

電壓輸出圖如下所示，其中 vC(0)= =-4 V



55

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-10

0

10

20

30

t (s)

v(t)

(V

)

VL(t)

VR(t)VC(t)

3.

(a) ，i(t)=Cv’(t)+v(t)/8=v’(t)/8+v(t)/8

i’(t)= v’’(t)/8+v’(t)/8

v’’(t)/4+v’(t)/4+10/8v’(t)+10/8v(t)+v(t)=0

v’’(t)+6v’(t)+9v(t)=0


m2+6m+9=0

‐3 ， ‐3


t k1 k2



56

代入初始條件 v(0)=vC(0)=1V

0 k1 k2 0 k1 1

即

t 1 k2 V

上式微分

t 1 k2 0 k2

因為 i(t)=Cv’(t)+v(t)/8=v’(t)/8+v(t)/8，代入

0 1 k2 0 k2 ‐3 k2

i(0)=v’(0)/8+v(0)/8

(-3+k2)/8+1/8=0.2 ， -3+k2+1=4

k2

即

電壓輸出圖如下所示，其中

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

t (s)

v(t)

(V

)

(b) i(t)=v’(t)/8+v(t)/8，



57

i t 0.125

電流 i(t)輸出圖如下所示，其中 i 0 0.5 A

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

i(t)

(A)

4. 根據 KVL，可知

vR +vL+vC=12u(t)


iR L

代入

，

原式改寫為

vc'' 6 vc' 25vc 300

<1> 求通解 vcc(t)：由特性方程式可知

m2 + 6m +25 = 0



58

m = = -3±4j

解為兩共軛複數根，所以其通解為

vcc(t) =

<2> 求特解 vcp：觀察 E(t)=12u(t)，求其 uc 集合，因為

(12)' = 0

可知 uc 集合為

[ k3 ]

所以可以令 vcp = k3

v'cp = 0 ， v''cp = 0

代回原式 vc'' 6 vc' 25vc 300

25k3 =300 ， k3 =12

即

vcp = 12


vc(t) = V

求 k1，k2：代入起始條件，vc(0)=-4V

vc(0) = = = -4

即

vc(t) = V

因為



59

v'c(t) =

v’c(0)= =48

= =4

，

vc(t) = V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

0

10

20

t (s)

v(t)

(V

)

其中

vc(0) = V

vc(∞) = V

5. 開關在位置 1 很長時間

達到穩態時，電感器短路，電容器斷路



60

可見當 t=0-時，

vc(0-)=vc(0+)=vc(0)=V0=12× V

iL(0-)= iL(0+)=iL(0)=I0= A

開關在位置 2：

根據 KVL，可知

vR +vL+vC=E(t)=24

依題意要求，以 vc(t)=v(t)表示，其中 vR=iR，vL=Li’

iR L

代入數值



61

i(t)=Cv’(t)+v(t)/2=v’(t)/4+v(t)/2

i'(t)=v’’(t)/4+v’(t)/2

10(v’(t)/4+v(t)/2)+2(v’’(t)/4+v’(t)/2)+v(t)=24

原式改寫為

v’’(t)+7v’(t)+12v(t)=48


m2 + 7m + 12 = 0 ， (m+3)(m+4)=0

m=-3，-4

所以其通解為

t k1 k2 V


(24)' = 0

可知 uc 集合為

[ k3 ]


，

代回原式 v’’(t)+7v’(t)+12v(t)=48

12 k3=48 ， k3 =4

即

vcp=4




62

t k1 k2 V

求 k1，k2：代入起始條件：vc(0)=V0= V，iL(0)=I0= A

vc(0)= k1 k2 =2

k1 k2=-2

將 i(t)=Cv’(t)+v(t)/2=v’(t)/4+v(t)/2，代入 i(0)=v’(0)/4+v(0)/2=1

(0) =-3k1 k2 =-3k1 k2

i(0)=v’(0)/4+v(0)/2=1

(-3k1 k2)/4+2/2=1 ， -3k1 k2=0

即解聯立

k1 k2=-2

-3k1 k2=0

得 k1 =-8，k2=6

(t) =-8 6 V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

2.5

3

3.5

4

t (s)

v(t)

(V

)

Documents

電路學(一) 第7章 二 階電路 第7章 二階電路eportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/0/T093000174/repository/電路學(一)/第7章 二階... · 此為標準的二階常微分方程式，因此諸如此類的電路又稱為二階電路(second-order

電路學(一) 第7章二階電路第7章二階電路eportfolio.lib.ksu.edu.tw/user/T/0/T093000174/repository/電路學(一)/第7章二階... · 此為標準的二階常微分方程式，因此諸如此類的電路又稱為二階電路(second-order