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Disclaimer
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이학박사학위 청구논문
광 매개 하향변환에 의해 생성된 단일 광자 파속의
시간과 공간 모드 제어에 대한 연구
Study for Spatial and Temporal Mode Control of
Single Photon Wave Packet State Generated by
Spontaneous Parametric Down Conversion
2010 년 2 월
인하대학교 대학원
물리학과(광학전공)
강 윤 식
지도교수 노 재 우
이 논문을 박사학위 논문으로 제출함
이 논문을 강윤식의 박사학위논문으로 인정함
년 월 일
주심 (인)
부심 (인)
위원 (인)
위원 (인)
위원 (인)
Study for Spatial and Temporal Mode Control of
Single Photon Wave Packet State Generated by
Spontaneous Parametric Down Conversion
By
Yoonshik Kang
A THESIS
Submitted to the faculty of
INHA UNIVERSITY
in partial fulfilment of the requirements
for the degree of
DOCTOR OF PHILOSOPHY
Department of Physics
February 2010
요약문
본 논문에서는 광 매개 하향변환을 이용하여 발생하는 광자 상태를 시간
과 공간적으로 제어하는 것에 대하여 연구하였다.
광 매개 하향변환을 통하여 발생한 광자 상태의 시간적인 모드의 제어는
광 매개 하향변환을 일으키는 펌프광의 선폭과 비선형 결정의 길이를 적절히
선택하여 분산을 조절하면 가능하다는 것을 이론적으로 보였다. 또한 비선형 결
정 사이에 분산 보상층을 삽입하여 생성된 단일 광자 상태의 순수도를 높일 수
있다는 것을 이론적으로 다루었다.
광 매개 하향변환에서 발생하는 광자 쌍의 공간적인 전파는 프랙셔널
(fractional) 푸리에 변환과 위그너 함수의 라돈(Radon) 변환을 통하여 이론적
으로 기술하였다. 그리고 신호광 광자가 진행하는 곳에 잘 정의된 산란 물체를
설치하면, 우리가 원하는 형태의 단일 광자 파속 상태를 원격으로 만들어낼 수
있다는 것을 보였다.
Abstract
In this paper, we studied spatial and temporal mode control of photon
state generated by spontaneous parametric down conversion.
We showed theoretically that we could control spatial mode generated
by spontaneous parametric down conversion by selecting bandwidth of
pump beam and length of nonlinear crystal. Moreover, we could
theoretically explain increase of purity of the generated single photon state
wave packet by inserting dispersion compensation plate between nonlinear
crystals.
We demonstrated that the spatial property of the propagation of
photon pair generated by spontaneous parametric down conversion could be
represented by the fractional Fourier transform and the Radon transform of
Wigner distribution function. In addition, by using a well characterized
scattering object, we can remotely prepare a single-photon wave-packet
state in a known form.
그림 목차
그림 1. BBO 결정을 통한 제2종 collinear 위상 정합 형태의 광 매개 하향변환
그림 2. 결정 길이의 변화에 따른 Schmidt 모드 분해에서의 첫번째 고유값의
그래프
그림 3. 광축이 수직인 두 결정에 편광이 45도인 펌프광을 입사하여 광 매개
하향변환을 일으키는 경우
그림 4. 광축이 수평인 두 결정에 편광이 광축에 수직인 펌프광을 입사하여 광
매개 하향변환을 일으키는 경우
그림 5. 펌프광의 선폭이 다른 두 경우의 결정의 길이에 따른 값의 변화
그림 6. 펌프광과 위상 정합 대역폭의 변화에 따른 두 광자 모드 함수와
고유값
그림 7. Schmidt 모드 분해를 계산하기 위한 프로그램의 순서도
그림 8. 광축이 평행한 결정 사이에 분산 보상판을 삽입한 경우
그림 9. 결정 길이 700㎛, 분산 보상판 길이 370㎛일 때의 두 광자 모드 함수
그림 10. 그림 8의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
그림 11. 그림 8의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 함수의 고유값
그림 12. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 244㎛일 때의 두 광자 모드 함수
그림 13. 그림 10의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
그림 14. 그림 8의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 함수의 고유값
그림 15. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 1400㎛, 펌프광의 중심파장
500㎚, 대역폭은 5㎚일 때의 두 광자 모드 함수
그림 16. 그림 14의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
그림 17. 그림 14의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유값
그림 18. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 1400㎛, 펌프광의 중심파장
416.1㎚, 대역폭은 5㎚일 때의 두 광자 모드 함수
그림 19. 그림 17의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
그림 20. 그림 17의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유값
그림 21. 빛이 전파되는 평면과 구면
그림 22. 두 개의 곡률 반경을 가진 얇은 렌즈
그림 23. k값을 선택한 상황에서의 신호광 파동함수 붕괴에 의한 유동광
에서의 단일 광자 상태 생성(a) 및 advanced wave picture(b)
그림 24. 제2고조화파 발생 장치
그림 25. 광 매개 하향변환 실험 장치도
그림 26. 반파장판 각도 변화에 따른 광 매개 하향변환에서 생성된 광자 쌍의
동시 측정 계수
그림 27. 단일 광자 파속의 공간 모드 제어 실험 장치도
그림 28. 거리의 변화에 따른 상호 간섭도
그림 29. 이중 슬릿에서의 전기장 분포
그림 30. 그림 28의 전기장 분포에 의한 위그너 분포 함수
그림 31. 그림 29의 위그너 분포 함수에 대한 라돈 변환
그림 32. 측정기 거리에 대한 프렉셔널 푸리에 변환에서의 각도
그림 33. 거리의 변화에 따른 marginal 분포 및 측정값
그림 34. 위그너 분포 함수와 라돈 변환을 구하기 위한 프로그램의 순서도
목 차
제 1 장 서론 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1
제 2 장 광 매개 하향변환에서 발생한 단일광자 파속의 분산
상쇄 효과 • • • • • • 4
2-1 광 매개 하향변환에서의 광자 쌍 발생 • • • • • • • • • • • • • • 4
2-2 Schmidt 모드 분해 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 11
2-3 두 결정을 이용한 광자 쌍의 분산 보상 효과 • • • • • • • • • • • 13
2.3.1 두 개의 결정에 의하여 광자 쌍을 생성한 경우 • • • • • • • 13
2.3.2 두 개의 결정에 분산 보상층을 삽입하여 광자 쌍을
생성한 경우 • • • • 23
2.3.3 분산에 의한 위상 부정합의 효과가 매우 큰 경우 • • • • • • 33
2.4 결과 및 논의 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 40
제3장 광자 쌍 이미지 실험에 의한 단일 광자의 공간적 상태
전파의 연구 • • • • • 41
3.1 이론 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 41
3.1.1 프레넬 회절과 프렉셔널 푸리에 광학 • • • • • • • • • • • • • 41
3.1.2 광 매개 하향변환에서의 프렉셔널 푸리에 광학 • • • • • • • • 50
3.2 실험 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 59
3.2.1 실험 장치 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 59
3.2.2 Van Cittert-Zernike 이론 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 67
3.2.3 시뮬레이션 및 측정 결과 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 69
3.3 결과 및 논의 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 77
제 4 장 결론 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 78
제 5 장 부록 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 80
5.1 광자 쌍의 분산 보상 효과를 계산하기 위한 MATLAB
프로그램 코드 • • • • 80
5.2 위그너 분포 함수와 라돈 변환을 계산하기 위한
MATLAB 프로그램 코드 • • • • 83
참고문헌 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 85
제1장 서론
광 매개 하향변환을 이용한 단일 광자 파속의 발생과 특성에 대한
연구는 최근에 이르러 매우 활발하게 진행되고 있다.[1-6] 이것은 양자 정보와
관련된 여러 응용 분야에서 단일 광자 파속이 원천 광원으로 사용되기
때문이다.[7-14] 양자 암호에서는 단일 광자를 이용하여 원리적으로 도청이
불가능한 암호 시스템을 구현한다.[7-10] 그 외에도 양자 컴퓨터와 양자 메모리,
양자 리소그래피등, 여러 분야에서 단일 광자를 이용하고 있다.[8-14] 이러한
양자 정보에 사용되는 단일 광자 파속은 높은 순수도를 가질 것과 공간적으로
잘 제어된 형태에 있을 것이 요구된다.
선형 광학계를 이용한 양자 컴퓨터의 구현에 있어서 순수 상태의 단일
광자 파속 생성은 매우 중요하다.[1,15-25] 선형 광학계를 이용한 양자 컴퓨터는
독립적인 단일 광자들의 간섭 현상을 이용한다. 여기에 사용되는 단일 광자들이
순수 상태에 있지 않으면 간섭도가 떨어져 게이트 연산의 효율이 낮아지게
된다.[1] 따라서 원천으로 사용되는 단일 광자 파속은 높은 순수도를 가질 것이
요구된다. 이와 같이 독립적인 단일 광자 파속의 간섭 현상을 이용하여 양자
정보를 구현하는 경우, 원천으로 사용되는 단일 광자 파속의 순수도는 매우
중요해진다.
광 매개 하향변환을 이용하여 순수 상태의 단일 광자를 얻는 방법으로
간섭 필터를 이용하거나 공진기를 이용하는 방법들이 제안되었다.[2,6] 그러나
이와 같은 방법으로 광자를 생성하는 경우, 매우 적은 양의 광자가 생성되는
단점을 가진다. 2장에서는 분산 보상판의 길이를 조절하여 생성되는 광자의
감소 없이 단일 광자 파속의 순수도를 높이는 방법을 제안하였다.[34] 광 매개
하향변환에서 비선형 결정의 길이와 펌프광의 대역폭을 조절하면 발생하는
- 1 -
광자 쌍의 스펙트럼을 제어할 수 있다.[26-33] 광자 쌍의 스펙트럼에 따라서 두
광자 사이의 진동수에 대한 얽힘이 결정되고, 얽힌 정도를 감소시킬수록
발생하는 단일 광자의 순수도가 증가하게 된다는 것이 알려져 있다.[1,2,26-28,32]
이 전의 연구에서는 펌프광의 조절과 단일 결정의 길이만을 조절하여 얽힌
정도를 낮추는 시도를 하였다. 본 연구에서는 비선형 결정의 길이와 분산
보정판의 길이 조절으로 광자 쌍의 얽힌 정도를 보다 낮추어 생성되는 양의
감소 없이 단일 광자 파속의 순수도를 증가시킬 수 있음을 이론적으로
보였다.[34]
3장에서는 광 매개 하향변환에서 발생하는 단일 광자 파속의 공간 모드
제어에 대하여 연구하였다. 광 매개 하향변환에서 발생하는 광자 쌍의 얽힘을
이용하여 공간적으로 떨어진 곳에서 이미지와 간섭 무늬를 얻을 수 있는데,
이러한 것을 고스트 이미지와 고스트 간섭이라 한다.[41-48] 고스트 이미지와
고스트 간섭은 고전적인 광원을 이용하여서도 얻을 수 있으나, 고전적인 광원의
경우는 불확정성의 원리 때문에 운동량과 위치의 얽힘을 동시에 만들어낼 수
없다.[45,46] 광 매개 하향변환에서 발생하는 광자 쌍은 EPR(A. Einstein, B.
Podolsky, and N. Rosen) 상태[63]여서 운동량 수직 성분의 합과 수직 위치의
차에 대한 얽힘을 동시에 구현할 수 있다.[45,46] 따라서 광 매개 하향변환을
이용하면 운동량 수직 성분의 합에 대한 얽힘을 이용한 고스트 간섭과 수직
위치의 차에 대한 얽힘을 이용한 고스트 이미지를 동시에 얻을 수 있다.[45]
신호광을 점 측정기를 이용하여 측정하면서 유동광 광자를 이미지 렌즈의 초점
거리와 이미지 거리에서 동시 측정을 하여 고스트 간섭과 고스트 이미지를
얻는 것이다. 따라서 신호광 광자를 측정할 때 유동광 모드에 생성되는 단일
광자는 초점 거리에서는 간섭 무늬 형태의 공간 모드를, 이미지 거리에서는
반전된 이미지 형태의 공간 모드를 형성할 것임을 예상할 수 있다. 또한 프레넬
- 2 -
회절을 양자 광학적으로 적용할 수 있다면 임의의 거리에 생성되는 단일 광자
파속의 공간 모드를 제어할 수 있게 되는 것이다.[62]
고전적인 빛의 공간적인 전파는 프렉셔널 푸리에 광학과 위그너 분포
함수 등으로 연구되어왔다.[49-61] 프렉셔널 푸리에 변환은 프레넬 회절에
대응하고, 위그너 분포 함수의 라돈 변환은 프렉셔널 푸리에 변환에 대응한다.
따라서 빛의 위그너 분포 함수를 구하면 빛의 공간적인 전파를 예측할 수 있는
것이다.[49-53] 본 연구에서는 광 매개 하향변환에서 생성되는 단일 광자의
공간적인 전파에 대해 알아보기 위해 광 매개 하향변환에서의 프렉셔널 푸리에
광학을 이론적으로 전개하였다. 그리고 신호광 광자의 경로에 설치한 산란
물체에 의해 계산되는 위그너 분포 함수의 라돈 변환한 결과가 동시 측정으로
스캔한 실험 결과와 일치하는지를 보임으로써 단일 광자의 공간 모드 제어가
가능함을 실험적으로 보였다.[62]
- 3 -
제2장 광 매개 하향변환에서 발생한 단일광자 파속의
분산 상쇄 효과
2.1 광 매개 하향변환에서의 광자 쌍 발생
광 매개 하향변환은 비선형 결정에 강한 펌프광을 입사시켰을 경우 자발
방출에 의해 펌프광 파장의 두 배인 광자 두 개가 동시에 발생하는
현상이다.[35-40] 광 매개 하향변환은 종자광이 없이 일어나는 비선형 현상으로
고전적으로는 설명할 수 없다. 광 매개 하향변환에서 생성된 광자 쌍은 아래와
같은 에너지 보존 법칙과 운동량 보존 법칙을 만족시키면서 동시에 생성된다.
isp
isp
kkkrrr
+=
+= ννν
(2-1)
여기에서 pν 는 펌프광의 진동수, sν 신호광의 진동수, iν 는 유동광의
진동수이다. 그리고 pkr
는 펌프광의 파수벡터, skr
는 신호광의 파수벡터, ikr
는
이상광의 파수벡터이다. 신호광과 유동광은 생성된 광자 쌍의 모드이다.
(일반적으로는 신호광과 유동광으로 구분하지만, 복굴절 매질에서의 편광을
명시하는 경우에는 뒤에 설명하는 바와 같이 정상광과 이상광으로 부르기도
한다.) 이 경우 광자 쌍 중 하나의 광자를 측정하면 다른 하나의 광자가 반드시
존재하게 되므로, 단일 광자 생성에 많이 이용되고 있다.[1-3]
광 매개 하향변환은 이차 비선형 결정에 강한 펌프광을 입사시켰을 때
일어나게 된다. 이 때 펌프광에 의해 비선형 결정에 생성되는 분극과 전기장
사이의 관계는 아래와 같다.[35]
kjijki EEP χ~= (2-2)
- 4 -
여기에서 ijkχ~ 은 이차 비선형 감수율이다. 분극이 발생하였을 때의 전자기파에
의한 에너지는 아래와 같다.[35]
∫∫
=
=
V kjiijk
V iiI
xdtrEtrEtrE
xdtrEtrPH3
21
321
),(),(),(~
),(),(rrr
rr
χ (2-3)
V 는 비선형 결정의 부피이다. 그런데 비선형 계수는 전기장의 진동수에
의존하므로, 전기장을 푸리에 변환을 하여 치환하면 전자기파의 에너지는
아래와 같이 된다.[35]
)'',(~),',(~),(~)'',',;(~'''321 ωωωωωωχωωω rErErErdddxdH kjiVI
rrrr∫ ∫ ∫ ∫= (2-4)
여기에서 ),,;()2(eopr ωωωχ r
는 비선형 감수율의 푸리에 성분, ),(~jj rE ωr 는 j
모드의 전기장에 대한 푸리에 성분이다.
양자 광학에서는 전기장을 전기장 연산자로 기술해야 한다. 전기장
연산자의 양의 전기 성분을 라 하면[35] ),(ˆ )( trE r+
∑ ⋅+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
sk
rkisksk
o
etakiL
trE,
,,
2/1
3)( )(ˆ
2)(1),(ˆ
r
rr
rrr
rhr εεω
(2-5)
로 나타낼 수 있다. 여기에서 는 )(ˆ, ta skr sk ,
r모드의 소멸 연산자이고, sk ,
rrε 는
편광을 나타내는 단위 벡터이다. 전기장 연산자를 대입하여 에너지 연산자를
표현하면 아래와 같이 전개된다.[35]
[ ]tkrkkkijskisk
Vsk sk
lskskijlsk
sksk
e
VtatakkkrL
xdaakH
)()'''('',''','
',' '','''',
†',03
3
,,
†,
00)*()*(
)(ˆ)(ˆ))''(),'(),(;(1ˆˆ)(ˆ
rrrrr
rr
r rrr
rrr
rr
rrrrrh
ωεε
ωωωχω
−⋅−−×
+= ∫ ∑∑∑
(2-6)
여기에서 펌프광은 고전적으로 다루고 있고, 은 펌프광의 전기장에 대응한다.
이 에너지 연산자, 즉 해 토니안이 비선형 매질에서 2차 비선형 상호작용을
lV
- 5 -
나타낸다. 펌프광을 제외한 모드의 초기 상태가 진공인 경우, 위의
해 토니안에 의한 슈뢰딩거 방정식은 광 매개 하향변환을 기술하게 된다.
광 매개 하향변환을 양자 역학적으로 계산하기 위하여, 상호 작용
묘사에서 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 아래와 같다.[26]
)0()'(ˆ'1exp)(0
ψψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ∫
t
tI tHdt
it
h (2-7)
여기에서 )0(ψ 는 에서 초기의 상태벡터, 은 상호작용
해 토니안이다. 제2종 광 매개 하향변환의 해 토니안은 아래와 같다.
0t )'(ˆ tH I
..),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(ˆ )()()()2(3 cHtrEtrEtrErdtHV
eopI +=∫ −−+ rrrχ (2-8)
여기에서 는 비선형 결정의 부피, 은 비선형 감수율이다. 그리고,
는 펌프광 전기장 연산자의 양의 진동수 성분 연산자이고,
V )2(χ
),(ˆ )( trEpr+ ),(ˆ )( trEo
r− 는
정상광 전기장 연산자의 음의 진동수 성분, ),(ˆ )( trEer− 는 이상광 전기장
연산자의 음의 진동수 성분이다. 제2종 광 매개 하향변환은 발생하는 광자의
편광이 서로 수직인 경우이다. 제2종 위상 정합 조건에서 발생하는 광 매개
하향 변환에서, 비선형 결정의 광축에 수직한 편광인 전기장을 가지는 모드를
정상광, 정상광에 수직한 전기장을 가지는 모드를 이상광이라 한다.
논의를 간단하게 하기 위하여 제2종 collinear 위상 정합의 경우를
다루기로 한다. Collinear 위상 정합은, 그림 1에서 보듯이, 펌프광과 같은
방향으로 정상광과 이상광이 발생하도록 광축과 펌프광의 각도를 조절하는
방식이다. 이 경우의 정상광과 이상광의 전기장 연산자는[26]
∫∫
−−−
−−−
=
=
])([†*)(
])([†*)(
)(ˆ)(),(ˆ
)(ˆ)(),(ˆ
tzkieeeee
tzkiooooo
ee
oo
eaAdtzE
eaAdtzEωω
ωω
ωωω
ωωω
(2-9)
- 6 -
으로 주어진다. 와 는 정상광과 이상광의 생성 연산자이다. )(ˆ †ooa ω )(†
eea ω
( ) ( )on ωε 20ooA ωω 2/h= 와 ( ) ( )eeeA ω n ωεω 2
02/h= 는 진동수에 대하여
천천히 변하는 함수로, 적분 시에 상수로 취급해서 적분 밖으로 나오게 할 수
있다. 펌프광은 레이저에 의한 가간섭광으로 취급하여 고전적으로 취급하여
)()( )(~ tzkip
ppetE ωα −+ = 으로 다루었다. 상호작용 해 토니안은 위의 상황에서
아래와 같이 쓰여지게 된다.[26]
[ ] [ ]{ }
..
)(~)(ˆ)(ˆ)(ˆ2/
2/
)()()(††
CH
etaadddzAtHL
L
tzkkkieeooeoI
eoppeeoo
+
= ∫ ∫ ∫−
+−−+− ωωωωωαωωωω
(2-10)
여기에서 은 결정의 길이이다. L )( oA ω 와 )( eA ω 는 상수로 취급하여
AAA eo ()( ≈)ωω 로 치환하였다.
만약 펌프광이 펄스 레이저라면, 부터 까지의 시간을 제외하고는
상호작용이 없다고 가정할 수 있다. 따라서 상호작용 해 토니안에서 시간에
대한 적분 범위는 무한대로 확장될 수 있다. 펌프광의 시간에 대한 부분을
푸리에 변환의 형식을 써서
0t
dω
t
p e tip
pt ωωαα −∫= ()( )~ 로 하여 상호작용
해 토니안에 대입하여 정리하면, 식(2-2)의 위상항은 아래와 같이 쓸 수
있다.[26]
[ ] [ ]{ } ..
)()(ˆ)(ˆ')'(ˆ'
)()()(
2/
2/
††
0
cHe
daadddzdtAtHdt
tzkkki
L
Lppeeooeo
t
tI
peoppeeoo +×
=
−+−−+−
∞
∞− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
ωωωωωω
ωαωωωωω (2-11)
식(2-6)에서 긴 시간의 상호작용을 가정하면 복소 지수항의 적분이
( )eop ωωωπδ −−2 으로 주어지게 되어,
- 7 -
[ ] ..
)()(ˆ)(ˆ2)'(ˆ'
)()()(
2/
2/
††
0
cHe
aadddzAtHdt
zkkki
t
t
L
LeoeeooeoI
eopeeoo +×
+=
+−+−
−∫ ∫ ∫ ∫
ωωωω
ωωαωωωωπ
(2-12)
이 된다. 식 (2-7)에서 결정의 길이에 대한 적분을 수행하면 아래의 식을 얻을
수 있다.[26]
..),()()(ˆ)(ˆ2)'(ˆ'0
cHaaddAtHdt eoeoeeooeo
t
tI +Φ+= ∫ ∫∫ ++ ωωωωαωωωωπ (2-13)
{ }Lkkk
Lkkk
eopeeoo
eopeeooeo )]()()([
)]()()([sin),(
ωωωωωωωω
ωω+−++−+
=Φ (2-14)
여기에서 ( eo )ωωα + 는 펌프광의 스펙트럼이고, ( )eo ωω ,Φ 는 단 결정에서의
위상 정합 함수이다. 식(2-13)을 식(2-7)에 대입하고, 초기 조건을 진공으로
가정한 후 1차 섭동을 적용하여 정리하면 광 매개 하향변환에서 생성된 두
광자 상태를 얻을 수 있다.[26]
∫∫
∫∫
=
Φ+=
eeooeoeo
eeooeoeoeo
Addi
A
ddi
A
ωωωωωωπ
ωωωωωωαωωπψ
),(2
),()(22
h
h
(2-15)
여기에서 vacuuma oooo )(ˆ† ωω ≡ 과 vacuuma eeee )(ˆ† ωω ≡ 는 각각 진동수가
oω 인 정상광 광자와 eω 인 이상광 광자의 상태 벡터이다. 두 광자 모드 함수
), eo(A ωω 는 ),()(,( eoeoeoA ) ωωωωαωω Φ+≡ 로 정의된다.
위상 정합 함수는 파수 벡터의 진동수에 대한 급수 전개를 통하여 더
자세하게 설명될 수 있다.[26] Taylor 급수 전개를 하면, 파수 벡터는
L+−+= ')2()( 0 ppp kkk ωωω 과 L+−+= ')()( 0 ooo kkk ωωω ,
L+−+= ')()( 0 eee kkk ωωω 로 각각 쓸 수 있다. 여기에서 ω2 는 펌프광의 중심
- 8 -
진동수이다. 그리고 )2(0 ωpp kk = , )(0 ωoo kk = , )(0 ωee kk = 이며,
ωωωω
2)('
=∂∂= pp kk ,
ωωωω
=∂∂= )(' oo kk ,
ωωωω
=∂∂= )(' ee kk 이다. 위상 정합
함수에서 파수 벡터들을 급수 전개한 후 처음의 두 항만 취하여 정리하면,
)'')(()'')(()()()( peepooeopeeoo kkkkkkk −−+−−≅+−+ ωωωωωωωω 이 되고,
이것을 위상 정합 함수에 대입하면,[26]
{ }Lkkkk
Lkkkk
peepoo
peepooeo )]'')(()'')([(
)]'')(()'')([(sin),(
−−+−−−−+−−
=Φωωωωωωωω
ωω
(2-16)
이 된다. 여기에서 위상 부정합은 펌프광과 생성된 광자의 분산 차이에
의존한다는 것을 알 수 있다. 이것은 이 후의 논의에서 다시 다루도록 한다.
일반적으로 두 광자 모드 함수 ),( eoA ωω 는 두 개의 독립적인 함수로
인수분해 되지 않는다.[27] 즉 다시 말해 eo ψψψ ⊗=2 와 같이 되지 않는
상태이다. 이것은 정상광과 이상광이 진동수에 대해 얽힘 상태에 있다는 것을
내포하고 있다. 인수분해가 되는 상태는 한 쪽의 측정이 다른 편에 전혀 영향을
주지 않지만, 일반적인 두 광자 모드 함수로 이루어진 광자 쌍의 상태는 한
쪽의 진동수에 대한 측정을 하면 다른 쪽에 영향을 줄 수 밖에 없기 때문이다.
- 9 -
그림 1. BBO 결정을 통한 제2종 collinear 위상 정합 형태의 광 매개 하향변환
- 10 -
2.2 Schmidt 모드 분해
Schmidt 모드 분해는 두 변수로 이루어진 함수를 각 변수에 대한
함수들의 곱에 대한 합으로 전개할 수 있게 해주는 수학적인 도구이다.[19]
Schmidt 모드 분해를 양자역학에 적용하면, 두 시스템의 얽힌 정도에 대하여
쉽게 나타낼 수 있다.
두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 분해는 아래와 같다.[27]
∑=n
nnnA )()(),( 2121 ωφωψλωω (2-17)
위의 것이 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 분해의 형태이다. 여기에서
)(ωψ n 과 )(ωφn 는 아래의 고유치 방정식을 만족시키는 bi-orthogonal
모드이다.
∫∫
=
=
)(')'()',(
)(')'()',(
2
1
ωφλωωφωω
ωψλωωψωω
nnn
nnn
dK
dK (2-18)
∫∫
≡
≡
11*
12
22*
21
)',(),()',(
),'(),()',(
ωωωωωωω
ωωωωωωω
dAAK
dAAK (2-19)
규격화된 고유값 nλ 은 광 매개 하향변환에서 bi-orthogonal 모드,
)(ωψ n 와 )(ωφn 이 생성될 확률로 해석할 수 있다. 즉, 만약 )(1 ωψ 와 )(1 ωφ 의
파속을 가지는 광자 쌍을 생성할 확률이 99%가 되기를 원한다면, 1λ 값은
0.99까지 증가되어야 한다. 이러한 경우, 생성된 광자 쌍의 상태는 is 11 φψ
으로 근사적으로 다룰 수 있게 된다. 여기에서 신호광과 유동광의 파속 상태는
아래와 같다.
- 11 -
∫∫
==
=
L,3,2,1')'('
)(
nd
andd
inin
snsn
ωωφωφ
ωωωψψ (2-20)
nλ 의 분포는 신호광과 유동광의 얽힘 정도를 보여줄 수 있다. 만약
11 =λ 이고, 나머지 nλ 값들은 0이라고 가정해보자. 이 경우 신호광을 측정은
유동광에 아무런 영향을 주지 않게 된다. 정확히 인수분해 되어 있는 꼴이기에,
신호광의 파동함수가 측정에 의해 붕괴되어도 유동광의 파동함수는 아무런
변화가 없기 때문이다. 그러나 nλ 값이 균등하게 분포되어 있는 경우에는
신호광의 측정은 반드시 유동광에 영향을 주게 된다. 신호광을 측정하여 skψ
의 파동함수에 대응하는 측정값을 얻었다면, 동시에 유동광의 파동함수도 ikφ
로 붕괴되기 때문이다. 그리하여 nλ 의 분포를 통해 얽힌 정도에 대한 정보를
얻을 수 있다.
이러한 얽힌 정도의 정보는 광 매개 하향변환을 통해 생성된 단일 광자
파속의 순수도를 알아내는 데에도 유용하다.[32] 두 광자 모드함수가 완전히
인수분해 되지 않는 경우, 신호광 광자를 측정할 때 고유 함수에 대응하는
필터로 측정하지 않는 한, 유동광 광자는 고전적 확률을 가지는 파동함수의
합으로 나타나게 된다. 따라서 유동광 광자는 일반적으로 혼합상태가 된다.
그러나 두 광자 모드함수가 완전히 인수분해가 되는 형태인 경우, 신호광
광자를 측정하였을 때 유동광 광자는 항상 순수상태로 나타나게 된다.
- 12 -
2.3 두 결정을 이용한 광자 쌍의 분산 보상 효과
2.3.1 두 개의 결정에 의하여 광자 쌍을 생성한 경우
제2종 위상정합을 사용하는 경우, 생성된 광자 쌍 사이에는 분산에 의한
효과가 존재하게 된다. 우리는 두 개의 비선형 결정을 사용함으로써 분산에
의한 효과를 보강할 수도 상쇄시킬 수도 있다. 만약 우리가 두 개의 결정을
의 거리만큼 떨어뜨리고 광 매개 하향변환을 통해 광자 쌍을 얻는 경우라면, 식
(2-7)에서 은 계단 함수로 주어지게 되어 상호작용 해 토니안은 두 개의
부분으로 나누어지게 된다.[29]
d
)2(χ
이전의 논의에서는 결정 두 개에 의하여 발생하는 광자 쌍의 두 광자
모드 함수는 그대로 더하여 지는 것으로 기술되었다.[28] 그러나 광자 쌍이 첫
번째 결정을 통과하면서 생겨나는 군속도 차이에 따른 분산과 공기 층의
통과에 의한 군속도 차이에 다른 분산이 생겨나서, 두 광자 모드 함수는
위상항이 추가되어 ( ) ( )iei
eo AeA ωωωω ϕ ,, + 의 형태로 나타나게 된다. 즉,
광대역의 펌프광과 위상 정합 조건 아래에서 위상항은 분산에 따른 위상
부정합을 포함하고 있어서 더 이상 상수가 아니게 되기 때문이다. 이것은 두
광자 모드 함수에 영향을 주어 두 광자의 스펙트럼에 상당한 영향을 주게 된다.
그림 2는 그림 4와 같이 광 축이 평행인 두 결정을 간격을 두고 놓은 후
펌프광을 입사시켰을 때 발생한 광자 쌍의 결정 길이의 변화에 따른 첫 번째
Schmidt 모드의 고유값을 나타낸 것이다. 일점 쇄선은 결정 사이의 분산에
따른 위상을 고려하지 않은 결과이고, 실선은 분산을 고려한 결과이다.
BBO결정에 중심 파장 500㎚, 대역폭 5㎚인 펌프광이 입사하는 것으로 하여
계산하였다. 여기에서 보듯이 위상항은 분산의 효과를 포함하기 때문에 무시할
- 13 -
수 없다는 것을 알 수 있다.[34]
본 연구에서는 두 비선형 결정에 의해 광 매개 하향변환이 일어나는
경우, 분산 효과를 고려하여 두 광자 모드 함수를 구하고 두 광자 쌍의 얽힌
정도에 대하여 기술하였다.[34] 모드에 대한 표기는 신호광과 유동광으로
하였는데, 두 결정의 광축이 수직한 경우의 광 매개 하향변환에서 정상광과
이상광으로는 각 모드의 구분이 불가능 하기 때문이다.
그림 3과 같이 광축이 수직한 경우의 상호작용 해 토니안은 아래와
같다.
( ) [ ]{ }
( ) [ ]{ } ..)(ˆ)(ˆ
..)(ˆ)(ˆ)(ˆ
)()()(2
)()()(
0
cHeaadddzA
cHeaadddzAtH
zkkkioeoiesoe
Ld
Ld
zkkkieoeioseo
L
I
oepoies
eopeios
+++
++=
∫∫∫
∫∫∫+−+−++
+
+
+−+−++
ωωωω
ωωωω
ωωαωωωω
ωωαωωωω
(2-21)
광축을 수직하게 하여 두 개의 결정을 놓았으므로, 두 번째 적분에서 oω 와 eω
의 위치가 바뀌었음을 볼 수 있다. 이것을 대입하여 두 광자 상태를 계산하면
아래와 같다.
[ ]
∫∫
∫∫
≡
+= Δ+Δ
iss
isLkdki
Addi
A
AeAddi
A
')',('2
'),'()',('2 )'(2
ωωωωωωπ
ωωωωωωωωπψ
h
h (2-22)
여기에서 disppdispidispspis kkkkkkkk ,,,', −+=Δ−+=Δ 이다. kΔ 는 결정에서의
위상 부정합이고, 'kΔ 은 분산층에서의 위상 부정합이다. 이 경우, 위상항이
1이라고 가정하면 완전히 대칭적인 형태의 상태 벡터가 되는 것을 볼 수 있다.
그림 4와 같이 광축이 평행한 경우 역시 위와 같이 계산할 수 있다.
- 14 -
[ ]
∫∫
∫∫
≡
+= Δ+Δ
isa
isLkdki
Addi
A
AeAddi
A
')',('2
')',()',('2 )'(2
ωωωωωωπ
ωωωωωωωωπψ
h
h (2-23)
분산에 의한 효과를 이해하기 위하여 우선은 단일 결정에서 결정 길이의
변화에 따른 두 광자 함수의 변화를 알아보기로 한다. 그림 5는 펌프광의
대역폭이 다를 때 결정의 길이의 변화에 따른 1λ 의 변화이다. 펌프광의 중심
파장은 500nm로 설정하였다. 쇄선은 펌프광의 대역폭이 10nm일 때이고,
실선은 펌프광의 대역폭이 5nm인 경우이다. 대역폭이 클수록 분산의 효과가
커서, 결정의 길이에 따른 변화가 빠르게 나타나는 것을 볼 수 있다. 결정의
길이가 짧아서 위상 정합 대역폭이 큰 경우, 두 광자 모드 함수는 펌프광의
대역폭과 에너지 보존 법칙인 eop ωωω += 에 의해 대부분 결정된다. 위상 정합
대역폭은 위상 정합 함수의 크기가 최대값과 비교하여 절반이 되는 값을 가질
때의 대역폭으로 정의하였다.
그림 6은 펌프광의 대역폭과 위상 정합 대역폭의 변화에 따른 두 광자
모드 함수와 Schmidt 모드 분해에서의 고유값이다. 그림 6(a)는 펌프광의
대역폭이 1.67㎚이고, 위상 정합 대역폭이 14.5nm(결정 길이 200㎛)인 경우,
그림 6(b)는 펌프광의 대역폭이 5㎚, 위상 정합 대역폭이 4.8㎚(결정 길이
600㎛)인 경우, 그림 6(c)는 펌프광의 대역폭이 15㎚, 위상 정합 대역폭이
1.6㎚(결정 길이 1800㎛)인 경우의 두 광자 모드 함수이다. 그림 6(d)는 이 세
가지 경우에 있어서의 고유값이다. 일점 쇄선은 그림 6(a)의 경우, 실선은 그림
6(b)의 경우, 쇄선은 그림 6(c)의 경우이다. 펌프광의 중심 파장은 500㎚이다.
그림 6(a)에서 보듯이 결정의 길이가 짧아서 위상 정합 대역폭이 큰 경우, 두
광자 모드 함수는 펌프광의 대역폭과 에너지 보존 법칙인 eop ωωω += 에 의해
대부분 결정된다. 이 경우 진동수 사이에 강한 연관관계와 얽힘이 있음을 알 수
- 15 -
있다. 그림 6(b)는 펌프광의 대역폭과 위상 정합 대역폭이 비슷한 경우이다. 이
경우에는 두 광자 모드 함수가 상당히 대칭적으로 되어 인수분해가 쉽게 되는
형태가 된다. 그림 6(c)는 위상 정합 대역폭이 펌프광의 대역폭보다 큰
경우이다. 이 때에는 다시 진동수 사이의 연관관계가 강해지는 것을 볼 수 있다.
그림 6(d)는 두 광자 모드 함수를 Schmidt 분해 하였을 때의 고유값의
분포이다. 고유값의 분포가 완만하게 변화할수록 얽힌 정도가 높게 되어,
독립적인 두 파속의 함수로 인수분해 하는 것이 어렵게 된다. 그러나,
인수분해의 정도는 두 광자 모드 함수를 대칭적으로 만듦으로써 높아지게 할
수 있어, 얽힌 정도를 낮출 수 있다.
그림 7은 Schmidt 모드 분해 계산을 하기 위한 프로그램의 순서도이다.
계산을 위한 프로그램은 MATLAB으로 작성하였다. MATLAB 코드는 부록에
첨부하였다. 우선 중심 파장(lam_p)과 대역폭(d_wav), 결정의 길이(L)등을
입력하였다. 셀마이어 방정식을 이용하여 굴절률을 계산하고[70], 정상광과
이상광의 위상 부정합(dko, dke)을 계산하였다. 정상광과 이상광의 벡터
공간(W_o, W_e)을 생성하였다. MATLAB에서는 “linspace”라는 명령어에 의해
벡터 공간을 생성시킬 수 있다. 이 명령어를 이용하여 중심 파장(w_o)으로부터
±w_range만큼을 N_w의 간격으로 분할하여 정상광과 이상광의 벡터 공간을
생성하였다. 이 벡터 공간의 크기(m_o, m_e)를 계산한 후, m_o×m_e의 크기를
가지는 두 광자 모드함수와 위상 정합 함수등(Aph, P_den, P_num, A_ww)을
나타내는 행렬을 생성하였다. 순환문을 이용하여 단일 결정의 두 광자 모드
함수(A_ww)를 계산하였다. 분산 보상층에 의한 위상항(P_si2)을 계산한 후,
비선형 결정과 분산 보상층에 의해 생성된 두 광자 모드 함수(A_ww_p)를
계산하였다. MATLAB에서는 “.*” 의 명령어로 행렬의 원소별 곱을 실행할 수
있다. Schmidt 모드 분해를 위하여 고유치 방정식을 풀였다. MATLAB에서는
- 16 -
“eig” 라는 명령어에 의해 고유 함수와 고유값을 계산할 수 있다. 그리하여
고유함수 phi, psi와 고유값 m_lambda_1과 m_lambda_2를 얻어 Schmidt 모드
분해를 수행하였다.
- 17 -
그림 2. 결정 길이의 변화에 따른 Schmidt 모드 분해에서의 첫번째 고유값 1λ 의
그래프
- 18 -
그림 3. 광축이 수직인 두 결정에 편광이 45도인 펌프광을 입사하여 광 매개
하향변환을 일으키는 경우
그림 4. 광축이 수평인 두 결정에 편광이 광축에 수직인 펌프광을 입사하여 광
매개 하향변환을 일으키는 경우
- 19 -
그림 5. 펌프광의 선폭이 다른 두 경우의 결정의 길이에 따른 1λ 값의 변화
- 20 -
그림 6. 펌프광과 위상 정합 대역폭의 변화에 따른 두 광자 모드 함수와 고유값
- 21 -
그림 7. Schmidt 모드 분해를 계산하기 위한 프로그램의 순서도
- 22 -
2.3.2 두 개의 결정에 분산 보상층을 삽입하여 광자 쌍을 생성한
경우
그림 8은 광축이 평행한 두 개의 비선형 결정 사이에 분산 보상층을
삽입한 경우이다. 분산 보상층의 광축은 비선형 결정과 수직이고, 펌프광의
편광은 광축과 평행하다. 그리하여 분산 보상층에서는 위상 정합 조건이
만족되지 않아, 광자가 발생하지 않고, 이미 발생한 광자의 분산만을 보상하여
준다. 본 연구에서는 분산 보상층을 제2종 BBO 결정으로 하여 계산하였다.
얽힌 정도를 정량화 하기 위하여 엔트로피를 계산하였다. 얽힘에 대한
엔트로피는 아래와 같다.[27]
∑∞
=
−=1
2logk
kkS λλ (2-24)
얽힘에 대한 엔트로피의 값이 낮을수록 얽힌 정도가 낮게 된다.
그림 9은 두 결정 길이를 각각 700㎛, 분산 보상판의 길이를 370㎛로
하였을 때의 두 광자 모드 함수이다. 이 때, 펌프광의 중심파장은 500nm이고,
대역폭은 5nm였다. 이 경우, 얽힘에 대한 엔트로피를 계산하면 이다.
단일 결정을 사용하였을 때 얽힘에 대한 엔트로피 값이 최소가 되는 조건에서
으로 분산 보상판을 삽입하였 때 더 낮은 얽힘에 대한 엔트로피
값을 얻을 수 있었다. 즉, 발생한 광자 쌍의 얽힌 정도가 보다 작아지게 된
것이다. 그림 10는 그림 9의 두 광자 모드 함수를 Schmidt 분해 하였을 때
얻어지는 bi-orthogonal 모드이다. 그림 11은 그림 10의 모드에 해당하는
고유값이다.
5231.0=S
7363.0=S
보다 대칭적인 두 광자 모드함수를 구하기 위하여, 식 (2-16)에서
다루었던 위상 정합 함수로 돌아가보자. Grice는 자신의 논문에서 이 위상 정합
- 23 -
함수를 가우시안으로 근사할 수 있음을 보였고[11], dKddkddkddkddk
ep
op ≡−−
ωωωω
////
의
값이 -1이 되는 조건에서 두 광자 모드 함수가 완전히 원의 형태를 가지는
것을 계산했다. 이렇게 완전히 대칭적인 조건에서는 11 =λ 이 되어, 이
되는 것을 볼 수 있다. 하지만, 엄 한 계산에서 위상 정합 함수를 계산하면 이
조건이 완전히 만족되지는 않는다. 우리의 상황에서 얽힘에 대한 엔트로피 값을
더욱 낮추기 위하여, Grice가 제시한
0=S
1−=dK 이 되는 조건을 찾았다. 펌프광의
중심파장을 416.1nm, 대역폭을 5nm으로 하였고, 결정의 길이는 350㎛, 분산
보상판의 길이는 244㎛로 설정하였다. 이 경우 00004.1−=dK 가 되는 것을
확인하였고, 이 경우 가 되어 얽힌 정도를 더욱 작게 할 수 있었다.
이 조건으로 하여 신호광의 측정을 통해 유동광에서 단일 광자를 생성하게
되면, 거의 순수 상태에 가까운 파속을 가지는 광자 상태를 얻을 수 있게 된다.
이 조건에서의 두 광자 모드 함수는 그림 12이고, Schmidt 모드 분해시
얻어지는 고유 함수들은 그림 13이다. 그림 14은 그림 13의 고유 함수에
해당하는 고유값이다.
3699.0=S
광 매개 하향변환에서 신호광 측정에 의해 유동광 모드에 발생하는 단일
광자 파속의 순수도는 아래와 같이 정의된다.[1]
( ) ∑∞
=
==1
22ˆk
kiTrDOP λρ (2-25)
여기에서 ( )ρρ ˆˆ si Tr= 이고, 22ˆ ψψρ = 이다. 본 연구에서는 위의 정의에 따라
이 절에서 계산한 조건에서 생성되는 단일 광자 파속의 순수도를 계산하였다.
그림 9의 두 광자 모드 함수를 가지는 광자 쌍에서 생성되는 단일 광자
파속의 순수도는 0.8843이었다. 그리고, 그림 12의 두 광자 모드 함수를
가지는 광자 쌍에서 생성되는 단일 광자 파속의 순수도는 0.9167이 되어 두
- 24 -
광자 모드 함수가 대칭적이어서 얽힘에 대한 엔트로피가 낮을수록 생성되는
단일 광자 파속의 순수도가 증가하는 것을 알 수 있었다.
- 25 -
그림 8. 광축이 평행한 결정 사이에 분산 보상판을 삽입한 경우
- 26 -
그림 9. 결정 길이 700㎛, 분산 보상판 길이 370㎛일 때의 두 광자 모드 함수
- 27 -
그림 10. 그림 9의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
- 28 -
그림 11. 그림 9의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 함수의 고유값
- 29 -
그림 12. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 244㎛일 때의 두 광자 모드 함수
- 30 -
그림 13. 그림 12의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
- 31 -
그림 14. 그림 12의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드 함수의 고유값
- 32 -
2.3.3 분산 보상판에 의한 위상 부정합의 효과가 매우 큰 경우
분산 보상판의 길이를 매우 길게 하는 경우, 얽힌 정도가 다시 커지는
것을 발견할 수 있었다.[34] 그림 15는 결정 길이가 350㎛이고, 분산 보상판의
길이가 1400㎛인 경우의 두 광자 모드 함수이다. 펌프광의 중심파장은
500㎚이고, 대역폭은 5㎚이다. 그림 16는 그림 15의 두 광자 모드 함수를
Schmidt 분해 하였을 때 얻어지는 bi-orthogonal 모드이다. 그림 17은 그림
16의 모드에 해당하는 고유값이다. 이 경우 얽힘에 대한 엔트로피 값은
, 단일 광자 파속 생성시 단일 광자의 순수도는 0.4579였다. 7133.1=S
앞 절에서 인 조건에서는 두 광자 모드 함수가
대칭적으로 나타남을 볼 수 있었다. 그래서 그림 15의 조건에서 펌프광의
중심파장만
00004.1−=dK
00004.1−=dK 이 되도록 416.1㎚로 설정하여 두 광자 모드 함수를
구하고 분석해 보았다. 그림 18은 이 조건에서의 두 광자 모드 함수이다. 그림
19는 그림 18의 두 광자 모드 함수를 Schmidt 분해 하였을 때 얻어지는 bi-
orthogonal 모드이다. 그림 20은 그림 19의 모드에 해당하는 고유값이다. 이
조건에서는 두 층의 겹침이 나타나는 것을 볼 수 있다. 대칭적인 조건에서 분산
보상층의 길이를 길게 하면 두 모드가 크게 얽히게 되고, 다른 모드들은 거의
사라지게 되는 것이다. 이 경우의 얽힘에 대한 엔트로피 값은 , 단일
광자 파속 생성시 단일 광자의 순수도는 0.4052였다.
8166.1=S
이 연구를 통해 분산 보상층의 길이와 펌프광의 중심 파장의 선택에
의해서 얽힌 정도와 얽히는 모드들의 특성을 제어할 수 있음을 알 수 있었다.
- 33 -
그림 15. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 1400㎛, 펌프광의 중심파장 500㎚,
대역폭은 5㎚일 때의 두 광자 모드 함수
- 34 -
그림 16. 그림 15의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
- 35 -
그림 17. 그림 15의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유값
- 36 -
그림 18. 결정 길이 350㎛, 분산 보상판 길이 1400㎛, 펌프광의 중심파장
416.1㎚, 대역폭은 5㎚일 때의 두 광자 모드 함수
- 37 -
그림 19. 그림 18의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유 함수
- 38 -
그림 20. 그림 18의 두 광자 모드 함수에 대한 Schmidt 모드의 고유값
- 39 -
2.4 결과 및 논의
광 매개 하향변환에 의하여 생성되는 광자 쌍은 진동수에 대한 얽힘을
가진다. 이 얽힌 정도는 두 광자 모드 함수를 Schmidt 모드 분해를 통해 알 수
있다. 두 광자 모드 함수는 펌프광의 스펙트럼과 비선형 결정에 의한 위상 정합
함수에 의해 결정된다. 입사하는 펌프광의 대역폭과 비선형 결정의 길이를
조절하면 두 광자 모드 함수의 형태를 보다 대칭적으로 만들 수 있었고, 이
경우에 얽힌 정도가 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 얽힌 정도가 매우
작아지게 되면, 광 매개 하향변환을 이용하여 순수 상태에 가까운 단일 광자
파속을 얻을 수 있게 된다. 완전히 인수 분해가 가능한 형태의 두 광자 모드
함수인 경우에는, 한 쪽 모드의 광자를 측정하였을 때 다른 쪽 모드에는 완전히
순수한 모드의 광자 파속이 생성되기 때문이다.
또한 결정 사이에 적절한 길이의 분산 보상판을 삽입하는 경우, 광자
쌍의 얽힌 정도는 더욱 감소하였다. 일반적인 실험 상황에서는 펌프광의
대역폭을 쉽게 조절할 수 없으므로, 분산 보상판을 이용하여 얽힌 정도를
조절하는 것은 단일 광자 파속의 생성시에 순수도를 조절하는 좋은 방법으로
여겨진다.
분산 보상판의 길이를 매우 길게 하면 다시 얽힌 정도가 상승하게 된다.
그것은 오히려 위상 부정합이 분산 보상판에서 생성되어 나타나는 결과인
것으로 보인다. 분산 보상판의 길이와 펌프광의 중심 파장을 조절하면 얽힌
정도를 조절할 수 있음을 알 수 있었다.
- 40 -
제3장 광자 쌍 이미지 실험에 의한 단일 광자의 공간적
상태 전파의 연구
3.1 이론
3.1.1 프레넬 회절과 프렉셔널 푸리에 광학
빛이 자유 공간을 진행하는 것을 프레넬 회절 적분을 이용하여 나타내는
것은 널리 알려져 있다. 이 절에서는 프레넬 회절이 근축 조건내에서 프렉셔널
푸리에 변환으로 근사적으로 취급할 수 있다는 것을 보이도록 한다.[50]
함수 )(ρq 의 번 수행한 프렉셔널 푸리에 변환의 수학적 정의는 아래와
같다.[50]
a
[ ] [ ]
.20
,')'()cot'csc'2cot(expsin
)( 222/1
)2/4/ˆ(
<<
+−≡ ∫∞
∞−
−−
a
dqieqFi
a ρρφρφρρφρπφ
ρφφπ
(3-1)
각도 2/πφ a≡
)2
는 빛이 전파한 거리에 의해 결정되고, 이다. )sgn(sinˆ φφ =
( /1 πφ ==a 인 경우, 이 변환은 일반적인 푸리에 변환이 된다. ( )πφ == 2a
인 경우에는, 이 변환은 단순한 )(ρq 의 반전이 된다.
공간상으로 빛이 퍼져나갈 때, 평면 1에서 평면 2로 진행하는 빛의
프레넬 회절은 아래와 같이 주어진다.[50]
- 41 -
[ ]
( )( )( )[ ] .')'(''2/exp
')'(/)'(exp)(
)(
122
2/1
/2
12
2/1
/2
2
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
+−=
−=
dxxpxxxxdidi
e
dxxpdxxidi
exp
di
di
λπλ
λπλ
λπ
λπ
(3-2)
)'(1 xp 과 는 각각 평면 1과 평면 2의 빛의 분포이다. 는 두 평면
사이의 거리이다.
)(2 xp d
x 와 은 평면 1과 평면 2의 수직한 좌표이다. 여기에서는
1차원 수직 공간에 대해서 논하지만, 모든 결과는 2차원으로 확장할 수 있다.[14]
'x
식(3-1)과 식(3-2)를 비교해 보면 유사하다는 것을 알 수 있다. 광축과
만나는 점에서 두 평면에 접한 구면으로 빛이 전파되어 가는 가정과 약간의
수학적인 치환을 거치면, 두 식이 일치하게 되는 것을 보일 수 있다.
그림 21에서와 같이 거리가 만큼 떨어진 두 평면에 접하는 반경 과
를 가지는 두 구면을 생각해 보자. 구면에서의 전기장 분포를 과
로, 평면에서의 전기장 분포를 과 으로 하자. 그러면 근축
근사에 따라[50]
d 1R
)'2R
(2q
(1 xq
)x )'(1 xp )(2 xp
)/'exp()'()'( 12
11 Rxixqxp λπ= (3-3a)
)/exp()()( 22
22 Rxixqxp λπ= (3-3b)
이 된다. 여기에 식 (3-2)를 대입하면,
( ) ∫∞
∞− ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ')'(1''21exp)( 1
1
2
2
22/1
/2
2 dxxqRdxxx
Rdx
di
diexq
di
λπ
λ
λπ
(3-4)
을 얻게 된다. 이제 기하학적 상수인 를 아래와 같이 정의한다. 21, gg
2211 /1,/1 RdgRdg −≡+≡ (3-5)
그리고 scale factor 를 21,ss 1/'' sx=ρ , 2/ sx=ρ 와 같이 정하면
( )∫∞
∞−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−= ')'(''2exp
)()( 1
221121
22222/1
1/2
2 ρρρρρρλπ
λρ
λπ
dqsgsssgd
idi
seqdi
. (3-6)
- 42 -
을 얻는다. 아래와 같이 치환하고 식 (3-1)을 대입하면,
φλ
φλ
φλ
cscand,cot,cot 2122
2
21
1 ===dss
dsg
dsg (3-7)
식 (3-6)은 아래와 같이 된다.[50]
( )[ ]
[ ])'(sin
')'(cot'csc'2cotexp)(
)(
1
2/1)2/4/ˆ(1
/2
122222
2/11
/2
2
ρλ
φ
ρρφρφρρφρπλ
ρ
φφπλπ
λπ
qFdi
ese
dqidi
seq
adi
di
×⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+−=
−
∞
∞−∫
(3-8)
여기에서 과 와 는 1R 2R d 10 21 ≤≤ gg 의 조건아래 있게 된다.
φλ
csc21 =dss
을 사용하면, 전기장의 분포는 아래와 같이 된다.
[ ] [ ]2
12
12
1
212
2 )'()'(sin
)( ρρλ
φρ qF
ssqF
ds
q aa =×⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
(3-9)
그러므로 세기 또한 이러한 표현에 따라 rescaling 된다. 식 (3-3a)와 식(3-
3b)로부터 아래의 식을 얻는다.
22
22
21
21 )()(,)'()'( xqxpxqxp ==
(3-10)
식 (3-10)에서 보듯이 근축 근사에서는 평면에서의 전기장 분포를 구면에서의
전기장 분포로 사용해도 무방하다는 것을 알 수 있다.
그리하여 빛의 전파는 선형 광학 요소에 대응하는 적절한 scale factor를
가지는 프렉셔널 푸리에 변환을 통해 나타낼 수 있게 된다.
좋은 예로, 자유 공간을 전파하는 레이저 빛을 생각해보자. 위상 평면이
빔 허리의 위치에서 평면이라고 가정하면, ∞=1R 이어서 을, 그리고11 =g
ws π=1 으로 설정할 수 있다. 여기에서 는 빔 허리 이다. 이제, w
φλ
cot21
1 =d
sg 으로부터[49]
- 43 -
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −−−
Rzzz
wzz
sd )(tan)(tantan 01
201
21
1
πλλφ (3-11)
을 얻는다. 여기에서 는 빔 허리의 위치이고, 이다. 에서
scale factor 는
0z λπ /2wzR = 0zz −
)(2 zs φλ
21
dss csc= 과 의 정의로부터, φ2φ2 csccot1 =+
212
1
222
)( ssds +=
λ (3-12)
2
20
241
2
21
22 )(1
/1
Rzzz
sd
ss −
+=+=λ
(3-13)
이 되고, 그리하여
φcos)(1 1
2
20
12s
zzzssR
=−
+= (3-14)
의 관계가 도출된다. 그리고, φλ
cot22
2 =d
sg 를 사용하면,[49]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−= 20
2
02 )(1)(
zzzzzR R (3-15)
을 얻을 수 있다. 이것은 가우시안 빛에 대한 광학에서 알려진 곡률 반경과
정확하게 일치한다.
다른 예로, 그림 22 에서와 같이 렌즈가 빛의 경로에 위치한 경우,
렌즈에 의한 효과는 만큼 위상이 변화하는 것으로 나타낼 수
있다. 여기에서 는 렌즈의 초점거리이다. 그러므로 렌즈 앞과 뒤에서의
전기장 분포의 변화는 아래와 같이 변화한다.[50]
)/exp( 2 fxi λπ−
f
)/exp()()( 2 fxixqxq λπ−= −+ (3-16)
그리고 곡률 반경에 의한 효과는 아래와 같다.[50]
)/exp()()( 2−−− = Rxixqxp λπ (3-17)
- 44 -
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
−−−+ fR
xixqfxixpxp 11exp)()/exp()()(2
2
λπλπ (3-18)
그리하여
fRR111
−=−+
(3-19)
이 된다.
물체 평면에서 ∞=1R ( ) 으로 하면, 11 =g
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
20
010 tan
sdλφ
(3-21)
이 되고,
202
0
20 )( s
sds +=−
λ
(3-21)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=− 2
02
40
0 1d
sdRλ
(3-22)
을 얻는다.[50] 이것은 가우시안 빔의 자유 공간에서의 전파와 같다. 그리고
얇은 렌즈에서는 scaled factor 는 +− = ss 이다. 렌즈로부터 만큼 떨어진
위치의 각도
'd
'φ 는 아래의 관계식에 의해서 주어지게 된다.[50]
++ +=
Rdg '1 (3-23)
''cot
2
dsg
λφ ++=
(3-24)
이상의 논의와 같이, 계산한 여러 변수들을 프렉셔널 푸리에 광학에
적용하면 자유 공간을 전파하는 빛이나 단일 렌즈를 이용한 이미징 등과 같이
빛이 전파해가는 상황에 대해 예측할 수 있게 된다. 자유 공간에서 단일 렌즈를
통과한 레이저 빔의 전파는 )0(0 == dφ 에서 )(2/ ∞== dπφ 으로 전개하는
- 45 -
프렉셔널 푸리에 변환을 통해 나타낼 수 있다. 또한, 단일 렌즈를 통과한 빛의
전파는 렌즈의 초점 평면은 2/πφ = 으로, 이미지 평면은 πφ = 인 프렉셔널
푸리에 변환으로 나타낼 수 있다.[55] 초점 평면에서는 프렉셔널 푸리에 변환은
전형적인 푸리에 변환과 같아지고, 이미지 평면에서는 scale factor만큼의
배율을 가지고 반전하는 변환과 같아진다.
여기에서 중요한 것이 하나 있는데, 그것은 프렉셔널 푸리에 변환이
위그너 분포 함수의 라돈 변환과 일대일 대응 관계에 있다는 것이다.[51,52,60]
평면 1에서 의 전기장 분포를 가지는 빛의 위그너 분포 함수의
정의는 아래와 같다.[65-68]
)(1 xp
∫ −= dsesxpkxW iskp
π2*11 )2/(),(
1+ psx )2/(
(3-25)
위그너 분포 함수는 빛의 공간적 분포와 간섭섭에 대한 정보를 담고 있는
함수이다. 위그너 분포 함수를 파수 벡터에 대하여 적분하여 marginal 분포를
구하면 아래와 같이 위치 공간에서의 전기장 분포에 대한 정보를 얻게 된다.[65]
21 )(),(
1dkkx = xpWp∫ (3-26)
그리고 위그너 분포 함수를 위치에 대하여 적분하여 marginal 분포를 구하면
전기장 분포의 푸리에 변환한 함수에 대한 정보를 얻게 된다.[65]
21 )(~),(
1dxkx = kpWp∫ (3-27)
그리고, 아래와 같은 변환을 통하여 공간에 대한 가간섭 함수를 구할 수
있다.[65-68]
( )dk)
'')dxφ
∫ ⎜⎝⎛ +xWp 2
11
cos'(xf φ
−−⎟⎠⎞= xxikkxxpxp (exp,)()( 21
22
*111 (3-28)
임의의 함수에 대한 라돈 변환은 아래와 같이 정의된다.[49,51-53]
[ ] ∫∞
∞−
+−=ℜ= cos''sin',sin''),(),'( xxxyxfxg φφφ
(3-29)
- 46 -
여기에서 φφφφ cossin'',sincos' yxxyxx +−=+= 이다. 라돈 변환은 함수를
회전시킨 후, 한 축에 대해서 적분시키는 것이다. 그래서 이것은 투사 적분으로
불리기도 하고, 그 결과는 marginal 도 분포로 나타나게 된다. 이러한 라돈
변환과 프렉셔널 푸리에 변환과의 관계는 아래와 같이 알려져 있다.[49,51-53]
[ ] )2/,'()(1
2
1 πφ axgxpF pa ==
(3-30)
그러므로, 원리적으로 위그너 분포 함수는 여러 각도φ 에서 측정하여 모은 세기
분포 )2/,'(1
πφ axg p = 를 역 라돈 변환하여 재구성할 수 있다. 그러나 정 한
위그너 분포 함수의 재구성을 위해서는 60~70개 정도의 다른 각도에 대응하는
평면에서의 측정을 필요로 한다.
- 47 -
그림 21. 빛이 전파되는 평면과 구면
- 48 -
그림 22. 두 개의 곡률 반경을 가진 얇은 렌즈
- 49 -
3.1.2 광 매개 하향변환에서의 프렉셔널 푸리에 광학
이 절에서는 단일 광자의 위그너 분포 함수의 측정에 대해서 다루기로
한다. 이를 위해서 광 매개 하향변환에서 생성되는 광자 쌍의 성질을
이용하였다. 광자 쌍은 언제나 동시에 발생하므로, 신호광 모드의 광자를
측정하면 유동광 모드에는 반드시 광자가 존재하게 된다. 이 광자 쌍은 서로
얽혀 있다. 평행광인 펌프광이 단면적이 큰 결정에 입사하여 광 매개
하향변환을 일으키는 경우, 발생하는 광자 쌍은 EPR(A.Einstein, B. Podolsky,
and N.Rosen) 상태가 된다.[45,46]
EPR 상태는 얽힌 상태에 있는 입자들이 가지게 되는 양자 상태이다.
전형적인 위치와 운동량에 대해 얽혀 있는 상태는 아래와 같이 쓸 수 있다.[63]
(3-31) ( ) ( )( )∫∞
∞−
+−=Ψ dpexx pxxxhi 021/221, π
여기에서 은 입자 1의 위치, 는 입자 2의 위치, 는 상수이다. 이 상태
벡터를 1번 입자의 운동량의 고유 함수
1x 2x 0x
( ) 1/1)( pxhi
p xu π2e= 로 전개하면,
( )( )pxxhip x 02/
2 )( −= e 2− πψ 이 전개 계수가 되어 아래와 같이 쓸 수 있다.[63]
( ) ∫∞
∞−
=Ψ dpxuxxx pp )()(, 1221 ψ (3-32)
그런데, )( 2xpψ 는 2번 입자의 운동량 연산자에 대한 고유 함수여서, 1번
입자의 운동량 측정시 2번 입자 역시 운동량의 측정값이 결정되게 된다.
를 1번 입자의 위치에 대한 고유 함수( 21, xxΨ ) )()( 11 xxxvx −= δ 로 전개하면,
가 전개 계수가 되어 아래와 같이 쓸
수 있다.[63]
( )/2e xhi∫∞
∞−
π ( ) )( 0202 xxxhdppxx +−=+− δ)( 2xx =φ
- 50 -
( ) ∫∞
∞−
=Ψ dxxvxxx xx )()(, 1221 φ (3-33)
그런데, )( 2xxφ 는 2번 입자의 위치 연산자에 대한 고유 함수여서, 1번 입자의
위치 측정시 2번 입자 역시 위치의 측정값이 결정되게 된다. 여기에서 두
입자는 서로 상호작용을 하지 않으므로, 2번 입자는 위치와 운동량의 고유값을
동시에 가질 수 있게 된다.[63]
광 매개 하향변환에서 생성되는 광자 쌍의 얽힘을 이해하기 위하여 아래
형태의 얽힌 EPR 상태를 생각하여 보자.[45]
( ) )()(, 2121//
21212211 xxdpdpeeppxx xipxip −=+=Ψ ∫
∞
∞−
δδ hh (3-34a)
( ) )()(,~2121
//2121
2211 ppdxdxeexxpp xipxip +=−=Ψ ∫∞
∞−
−− δδ hh (3-34b)
이러한 형태의 얽힌 EPR 상태는 0)( 21 =+Δ pp 과 0)( 21 =−Δ xx 의 불확정성을
만족시키게 된다.[45] 아래에서 논의하게 될 광 매개 하향변환에서 발생하는 두
광자 상태가 이러한 형태의 얽힌 EPR 상태가 되어 고전적으로는 보일 수 없는
현상을 나타내게 된다.
본 연구에서는 광 매개 하향변환을 이용하여 생성되는 단일 광자 파속의
공간 모드 전파의 제어에 대해 다루었다.[62] 이를 위하여 광 매개 하향변환에서
발생하는 광자 쌍의 전기장 분포의 전파를 양자 역학적인 프렉셔널 푸리에
광학으로 전개하였다.[62]
매우 얇은 결정에서 광 매개 하향변환을 통해 발생한 두 광자 상태는
아래와 같이 나타낼 수 있다.[61]
∫∫ +=Ψ 0)(ˆ)(ˆ)( ††isisis aafdd κκκκκκ
(3-35)
여기에서 )( isf κκ + 는 펌프광의 각 스펙트럼과 결정에서의 위상 정합 조건에
- 51 -
의해 결정되는 함수이다. sκ 와 iκ 는 각각 신호광과 유동광의 운동량의 수직
성분 벡터이다. 여기에서는 준 단색광의 빛과 시간에 대한 의존성을 로
분리할 수 있음을 가정하고, 전기장 연산자를 아래와 같이 단순하게 기술하기로
한다.[62]
tie ω±
[ ]xiadxE κκωκ exp)(ˆ)()( ∫+ CEκ () =
(3-36a)
[ ]∫ −− xiaCxE κκκ κ exp)(ˆ))( †)( = d E ω(*
(3-36b)
여기에서 κκ ωω ∝)(EC 이다. 만약 좁은 밴드폭 투과 필터를 사용한다면,
EE CC ≈)( κω 로 근사할 수 있게 되고, 따라서
[ ]+ xiaCxE E κκ exp)(ˆ()( ∫dκ=) (3-37)
로 쓸 수 있다. 두 광자가 존재할 확률을 계산하기 위해서 식 (3-35)에서
식(3-37)까지와 교환자 관계인 [ ] )'()'(ˆ), † κκδκκ −=a(a 를 사용하면, 다음의
결과를 얻는다.[62]
)()()2(2)ˆ)(ˆ0 22)(issEiss xxxACxExE −=Ψ+ δπ()(
i+
(3-38a)
)(2)(ˆ)( sκˆ0 2)()(isEiis fCEE κκκ +=Ψ++
(3-38b)
여기에서 , )(ˆ)(ˆ )( κκ aCE E=+ [ ]∫ −= xixdxA κκ exp)()(f 이다.
이것은 완전하게 연관된 위치와 펌프광의 선폭에 의존하여 느슨하게 반-
연관된 운동량의 수직 성분에 대한 EPR 상태의 일종이다. 두 이미지에 대한
공간적 얽힘은 진폭과 위상에 모두 연관되어 있다.[47] 완전한 EPR 상태와
다르게, 실제 광 매개 하향변환에 있어서 운동량의 반-연관은 의 푸리에
변환인
)(xA
)(κf 에 의해 주어져 있다. 는 펌프광의 각 스펙트럼과 일반적인
광 매개 하향변환의 위상 정합 조건에 의해서 결정 되는 함수이다. 그러나,
는 빛의 경로에 놓여지는 산란시키는 물체에 의해서 변형될 수도 있다.
)(xA
)(xA
- 52 -
이것에 대해서는 뒤에서 다룰 것이다.
이제 신호광과 유동광의 전기장에 대한 프렉셔널 푸리에 변환에 대해서
다루기로 한다. 여기에서는 scale factor 와 를 적용하여 os is ooo sx /=ρ 와
iii sx /=ρ 로 좌표를 변환하면 아래와 같은 프렉셔널 푸리에 변환의 형태를
얻을 수 있다.[50]
[ ] ∫∞
∞−
== )(),()()( 001001 ρρρρρρ EBdEFE aa
(3-39)
[ ] ( )[ ]φρφρρφρπφ
φφπρρ cotcsc2cotexpsin
)2/4/ˆ(exp),( 2001
212/101 +−
−−= iiBa
(3-40)
프렉셔널 푸리에 변환은 아래의 성질을 지닌다.[50]
[ ]{ } [ ]
∫ +
+
=
=
=
),(),(),(or
(additive))()(
)(symmetric),(),(
2021101
00
0110
2121
1212
11
ρρρρρρρ
ρρ
ρρρρ
aaaa
aaaa
aa
BBBd
EFEFF
BB
(3-41)
전기장 연산자를 이러한 프렉셔널 푸리에 변환의 관계로 나타내면 아래와
같다.[62]
∫= )(ˆ),()(ˆ01001 ρρρρρ EBdE
(3-42)
따라서,
)(ˆ),()(ˆ01001 ρρρρρ EBdE ∫=
(3-43)
이 된다. 전기장의 양과 음의 진동수 성분으로 이것을 분해하면,
)(ˆ)(ˆ)(ˆ1
)(1
)(1 ρρρ −+ += EEE
(3-44)
이 되고, 아래와 같이 나타낼 수 있다.
)(ˆ),()(ˆ
)(ˆ),()(ˆ
0)(
1001)(
0)(
1001)(
∫∫
−−
++
=
=
ρρρρρ
ρρρρρ
EBdE
EBdE
(3-45)
- 53 -
결정으로부터 각각 평면 1과 평면 2까지 진행한 신호광과 유동광의 전기장
연산자는 아래와 같다.
∫ ++ = )(ˆ),()(ˆ )(11
)(1 sssass EBdE ρρρρρ (3-46)
∫ ++ = )(ˆ),()(ˆ )(22
)(2 iiiaii EBdE ρρρρρ (3-47)
여기에서 sρ 와 iρ 는 결정 내에서의 신호광과 유동광의 축적된 좌표이다.
임의의 거리에 있는 평면 1에서 신호광과 또 다른 임의의 거리에 있는 평면
2에서 유동광의 두 광자 측정 세기는 아래와 같다.[62]
( )( )∫ ∫
∫∫Ψ=
Ψ=
Ψ
++
++
++
)(ˆ)(ˆ0),(),(
)(ˆ),()(ˆ),(0
)(ˆ)(ˆ0
)()(21
)(2
)(1
2)(
1)(
21
21
iissiasasi
iiiaisssas
is
EEBBdd
EBdEBd
EE
ρρρρρρρρ
ρρρρρρρρ
ρρ
(3-48)
그리하여, 두 광자 측정 세기는 결정에서의 두 광자 세기와 두 개의 프렉셔널
푸리에 변환 핵(kernel)에 의해 결정된다. 이것은 두 모드 광자 상태의
일반적인 표현이다. 그러나, 단면적이 큰 결정에 평면파인 펌프광이 입사하여
광 매개 하향변환에 의해 두 광자 상태를 만드는 경우에는 식(3-38a)에 의해
.)2(2'),(')(ˆ)(ˆ0 22)()( constCAAEE Eisiiss ×=−=Ψ++ πρρδρρ
(3-49)
이 된다. 이것을 식 (3-48)에 대입하면[62]
),('
),(),('),(),('
)(),(),(')(ˆ)(ˆ0
21
2121
212)(
1)(
21
2121
21
ρρ
ρρρρρρρρρρ
ρρδρρρρρρρρ
aa
iaiaiiaiai
isiasasiis
BA
BBdABBdA
BBddAEE
+
++
=
==
−=Ψ
∫ ∫∫ ∫
(3-50)
을 얻게 된다. 그러므로, 이 경우에서 두 광자 측정 세기는 하나의 프렉셔널
푸리에 변환의 핵에 의해서 결정된다. 신호광의 경로에 산란 물체를 놓은
상황은, 과 같이, 투과 함수 )(ˆ)()('ˆ111 ρρρ ss EAE = )(ρA 를 가지고 나타낼 수
있다. 따라서 산란 물체에 의해 변화한 두 광자 측정 세기는 아래와 같이
- 54 -
변하게 된다.
Ψ=Ψ ++++ )(ˆ)(ˆ0)()(ˆ)('ˆ0 2)(
1)(
12)(
1)( ρρρρρ isis EEAEE
(3-51)
식 (3-50)과 식 (3-51)을 결합하면 아래의 식을 얻는다.[62]
),()(')(ˆ)('ˆ0 2112)(
1)(
21ρρρρρ aais BAAEE +
++ =Ψ
(3-52)
이것은 이전에 실험되었던 고스트 이미징과 고스트 간섭 실험의 연관시켜 주는
관계식이다. πφφ =+ 21 일 때에는, )(),( 212121ρρδρρ +=+aaB
2/21
와 같이 되어
고스트 이미징의 결과를 얻게 된다. 그리고, πφφ =+ 일 때에는, 푸리에
변환이 되어 고스트 간섭을 얻을 수 있게 된다. 게다가, 식 (3-52)는 임의의 두
위치에 있는 평면 1과 평면 2에 대한 두 광자 측정 세기가, 마치 평면
1에서부터 시작하여 광 매개 하향변환을 일으키는 결정을 통과하여 평면 2에
도달하는 것처럼, 각도의 합인 21 φφ + 에 대한 단일 프렉셔널 푸리에 변환에
의해 결정되는 것을 보여주고 있다. 이것은 advanced wave picture의 엄 한
수학적인 형태를 제공해주고 있다.[48] 고스트 이미지와 고스트 간섭은 위그너
분포 함수의 라돈 변환의 특별한 상황임을 볼 수 있다. 위의 성질을 이용하면
유동광 광자의 상태를 측정하여 위그너 분포 함수를 재 구성할 수 있다.
실제의 실험적 상황에서는, 광자 측정기의 면적에 의한 효과를 모두
합해야 하고, 이것은 매우 중요한 역할을 한다. 산란 물체 뒤에 렌즈를 놓고
초점평면에 위치한 point detector로 모아서 측정한다고 하자. 는 초점
평면에서의 수직 좌표이고,
Dx
Dρ 는 그것의 축적을 취한 좌표이다. 초점
평면에서의 빛은 렌즈에 의한 빛의 푸리에 변환으로 주어지므로,[62]
[ ]f
bibEdE DsDDs λρρρρρ 1,exp)(ˆ)(ˆ
11)(
1)(
, ∝−= ∫ ++
(3-53)
이 된다. 그래서, 두 광자 측정 세기는 아래와 같이 된다.
- 55 -
[ ]( )[ ]∫
∫−Ψ=
Ψ−=Ψ
++
++++
Dis
iDsiDDs
ibEEd
EibEdEE
ρρρρρ
ρρρρρρρ
12)(
1)(
1
2)(
11)(
12)()(
,
exp)(ˆ)(ˆ0
)(ˆexp)(ˆ0)(ˆ)(ˆ0
(3-54)
πφφ =+ 21 의 경우에는
[ ][ ]DE
DEiDDs
ibAC
ibAdCEE
ρρρ
ρρρρδρρρρ
222
121112
2)()(
,
exp)(
exp)()()(ˆ)(ˆ0
−=
−+=Ψ ∫++
(3-55)
이 된다. 두 광자 측정 확률은 세기의 절대값 제곱이므로
22
42
2)()(
, )()(ˆ)(ˆ0 ρρρ −=Ψ++ ACEE EiDDs (3-56)
이 된다. 일반적인 상황에서는
[ ]∫ −=Ψ +++
DaaEiDDs ibBACdEE ρρρρρρρρ 12112
12)()(
, exp),()()(ˆ)(ˆ021
(3-57)
이 된다. 0=Dρ 일 때에는,
[ ])(
),()()(ˆ)0(ˆ0
12
2112
12)()(
,
21
21
ρ
ρρρρρ
AFC
BACdEEaa
E
aaEiDs
+
+++
=
=Ψ ∫
(3-58)
이 된다. 그래서 2/21 πφφ =+ 일 때에는 고스트 간섭이 된다. 이 전에 수행되어
왔던 큰 면적을 가진 bucket detector로 수행한 고스트 이미지 실험은
위상항에 의존하지 않는다. 두 광자 측정 확률에 위상항이 포함되지 않기
때문이다. 그러나 고스트 간섭과 같은 실험에서는 위상항은 중요해진다. Dρ 의
위치가 다르면 위상항이 변하게 되어 간섭 무늬가 이동하게 된다. 그리하여
넓은 면적의 측정기로 실험을 하면 이동한 간섭 무늬들이 합해지게 되어 간섭
무늬가 사라지게 된다.
신호광 광자의 측정에 의한 두 광자 측정 세기의 조건의 변화가
생겨나는 것은 중요한 결과이다. 양자적인 기술에서 특정한 조건에 의한 파동
함수의 붕괴는 측정기의 위치에 관계된 위상항에 의해 나타나게 된다. 렌즈의
초점 평면에 있는 point detector는 그림 23(a)에서 보듯이 모드 선택의 역할을
- 56 -
한다. 초점 거리에 있는 핀홀은 일정한 '1κ 값만을 선택하게 해 주어, 신호광
광자의 측정에 의한 상태의 붕괴 후, 식 (3-35)에서의 얽힌 상태에서부터
유동광 광자의 상태는 아래와 같이 주어지게 된다.[62]
∫∫+⊗=
+∝Ψ
0)(ˆ)'('
0)(ˆ)(ˆ)(''
2†
2121
2†
1†
212111
κκκκκ
κκκκκκκκ
afd
aafddcollapsed
(3-59)
그리하여 유동광은 '1κ 에 의해 주어진 운동량의 수직 성분을 가지고 있는
원래의 두 광자 상태 함수에 의한 단일 광자 파속 상태가 된다.
이러한 형태의 단일 광자 파속의 생성은 그림 23(b)에서 보듯이 마치
핀홀에서 빛이 진행하여 비선형 결정에서 반사되고 전파하는 것과 같이 해석할
수 있다. 이러한 해석을 advanced wave picture라 부른다.
- 57 -
그림 23. k값을 선택한 상황에서의 신호광 파동함수 붕괴에 의한 유동광 에서의
단일 광자 상태 생성(a) 및 advanced wave picture(b)
- 58 -
3.2 실험
3.2.1 실험 장치
이 절에서는 앞 절에서 논의한 이론을 실험으로 보이기 위하여, 광 매개
하향변환에서 얻어진 광자 쌍에 대한 동시 측정으로 스캔하여 얻은 실험
결과를 위그너 분포 함수의 라돈 변환한 결과와 비교하였다.
우선 광 매개 하향변환에 대한 실험 결과를 자세하게 논하도록 한다. 광
매개 하향변환에 사용할 펌프광을 생성시키기 위하여, 그림 24과 같이
Ti:Sapphire 레이저에서 발진된 중심 파장 810㎚의 빛을 BBO결정에 입사시켜
제2고조화파를 발생시켰다. 발진된 레이저 빛의 대역폭은 38㎚, 펄스의 시간
폭은 27fs였다. 평균 출력은 500㎽였다. 제2고조화파 발생에 사용된
BBO결정은 두께가 500㎛이고, 컷팅 각도는 °= 6.29θ , °= 0φ 이다. 810㎚의
레이저 빛을 초점거리 25㎜인 렌즈로 집광하여 제2고조화파를 발생시켰다.
발생한 제2고조화파의 중심 파장은 405㎚, 평균 출력은 100㎽, 직경은
15㎜였다. 제1종 collinear 위상 정합 조건을 이용하여서 파장이 810㎚인 빛과
제2고조화파에 의해서 발생한 파장이 405㎚인 빛이 동일 경로로 진행한다.
810㎚의 빛은 광 매개 하향변환에 의해서 발생하는 빛과 동일한 파장이어서
완전히 제거하여야 한다. 그래서, 발생한 빛을 두 장의 harmonic separator에
여섯 번 반사하도록 설계하였다. 그리고, 또 한 장의 harmonic separator로
걸러내고, IR 차단 필터를 설치하여 810㎚의 빛을 완전히 차단하였다.
제2고조화파 발생시에 산란된 810㎚빛들이 광 매개 하향변환에서 발생하는
빛과 파장이 같아서 잡음으로 작용하기 때문에, 제2고조화파를 발생하는 모든
장치들을 상자 안에 넣어 외부와 완전히 차단시켰다.
- 59 -
광 매개 하향변환을 일으키기 위해 사용된 BBO 결정은 두께가
500 ㎛이고, 컷팅 각도는 °= 43θ , °= 30φ 으로 제 2 종 collinear 위상 정합
조건에 맞게 제작되었다. 실험 구성도는 그림 25 와 같다. 405 ㎚ 인 광 매개
하향변환의 펌프광을 완전히 제거하기 위하여, BBO 결정 뒤에 UV 제거 필터를
세 장 설치하였다. 광 매개 하향변환에 의하여 광자 쌍이 발생하는지를
확인하기 위하여, BBO 결정 뒤에 반파장판을 설치하였다.
광 매개 하향변환으로 발생한 신호광과 유동광은 편광 빛살 가르개를
통하여 갈라지게 된다. 각 모드의 광자는 초점거리 50 ㎜인 렌즈로 집광하여
APD 에 의해 측정하였다. APD 앞에는 중심파장 810 ㎚, 대역폭 10 ㎚인 간섭
필터를 설치하였다. APD 는 Perkin Elmer 사 제품으로 SPCM-AQR-12 이다.
APD 의 active diameter 는 175 ㎛이고, dead time 은 53.9 ㎱이다. 파장이
810 ㎚인 광자에 대한 양자 효율은 약 60%이다. APD 의 dark count 는 초당
100 개 미만이었다. 사용한 coincidence unit 은 ORTEC 414A 였고,
coincidence time window 는 7.5 ㎱이었다.
광 매개 하향변환을 일으켜서 각 APD 에 의해 광자를 측정하고, 두
APD 에서 나오는 신호의 동시 측정 계수를 측정하였다. APD-1 에서 측정된
초당 광자수는 24108.4 개였고, APD-2 에서 측정된 초당 광자수는
20295.4 개였다. 반파장판이 없는 경우, 동시 측정 계수는 초당 303.2 개였다.
이것은 우연히 동시에 측정되었을 경우의 값인 6.12 개에 비하여 상당히 큰
값으로, 본 실험에서 발생하는 빛이 광자 쌍인 것으로 추정할 수 있었다.
광 매개 하향변환을 확인하기 위한 방법으로는 HOM 간섭계를 이용하는
것이 널리 알려져 있다.[36] 이것을 변형한 방법으로, 제 2 종 광 매개
하향변환을 이용한 경우에는 반파장판을 이용한 간섭의 측정을 통한 검증이
있다.[69] 위 논문에서와 같이 본 실험에서도 광 매개 하향변환을 확인하기
- 60 -
위하여 BBO 결정 뒤에 반파장판을 놓고, 반파장판의 각도를 돌려가면서 동시
측정 계수를 측정하였다. 그 결과는 그림 26 이다. 그래프에서 점은 측정값이고,
실선은 추세선이다. 보간법에 의하여 얻은 결과는 아래와 같다.
( )32.3342.14sin32.23440.51 2 ++= θcR
(3-60)
최대값과 최소값의 비가 0.18 으로 고전적인 빛에서 허용하는 값인 0.5 에
비하여 상당히 작은 값이 측정되었다. 따라서 이 실험을 통하여 얻은 빛은 광
매개 하향변환에 의하여 생성된 광자 쌍으로 추정할 수 있다.
위에서 얻은 광 매개 하향변환을 이용하여 단일 광자 파속의 공간 모드
제어를 실험으로 구현하였다.[62] 그림 27은 실험 장치도 이다. Ti:Sapphire
레이저에서 발진된 중심 파장 810㎚의 펄스 광을 제1종 BBO 결정에 입사시켜
제2 고조화파 발생을 일으킨다. 이 때 발생하는 405㎚의 빛은 광 매개 하향
변환의 펌프광으로 사용하기 위해 제2종 BBO결정에 입사시킨다. 광 매개
하향변환에 의해 생성된 신호광과 유동광은 편광 빛살 가르개를 통해 분리된다.
신호광은 이중 슬릿을 통과한 후 초점거리 300㎜인 집광 렌즈의 초점 평면에
위치한 APD-2에 의해 측정된다. 유동광은 초점거리 200㎜인 이미징 렌즈를
통과한 후 APD-1로 측정된다. APD-1은 여러 거리에서 수직 방향으로
이동시켜가며 APD-2와 동시 측정으로 스캔한다.
신호광 광자를 측정하면 유동광 모드에 단일 광자 파속이 생성된다.
유동광 모드의 진행 방향에 놓인 이미징 렌즈의 초점 거리부터 이미지
거리까지 동시 측정으로 스캔한 결과를 역 라돈변환을 취하면, 유동광 모드에
생성된 단일 광자 파속의 위그너 분포 함수를 재구성할 수 있다. 본 실험에서는
산란 물체인 이중 슬릿에 의한 위그너 분포 함수의 라돈 변환하여 얻은
시뮬레이션 결과와 유동광 모드에서 이미징 렌즈의 초점 거리부터 이미지
거리까지 스캔한 실험 결과가 일치하는지 확인하였다. 이를 통해 단일 광자
- 61 -
파속의 공간 모드 제어가 가능함을 실험적으로 보일 수 있었다.
- 62 -
그림 24. 제2고조화파 발생 장치
- 63 -
그림 25. 광 매개 하향변환 실험 장치도
- 64 -
그림 26. 반파장판 각도 변화에 따른 광 매개 하향변환에서 생성된 광자 쌍의 동
시 측정 계수
- 65 -
그림 27. 단일 광자 파속의 공간 모드 제어 실험 장치도
- 66 -
3.2.2 Van Cittert- Zernike 이론
이론에서는 APD-2를 point detector로 가정하였다. 그러나, 측정 비율을
높이기 위해서는 일정한 크기를 가질 수 밖에 없고, 이러한 상황은 간섭도의
저하를 가져올 수 밖에 없다.
광 매개 하향변환에서 발생된 빛은 준 단색광에 비 간섭성 빛으로
간주된다. Van Citter-Zernike 이론[64]에 따르면, 준 단색, 비 간섭성 빛이 거리
R만큼 떨어져 있는 경우 의 두 점에서의 상호 간섭도는 아래와
같이 주어진다.
( ) ( 2211 ,,, YXYX )
ψμ iev
vJ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
)(2 112
(3-61)
여기에서 )(1 νJ 는 제1종 제1항의 베셀 함수이다. 그리고,
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+=−+−=
RYXYXYYXX
Rv
22,2 2
222
21
212
212
21 λπψρ
λπ
(3-62)
이다. 여기에서 λ 는 평균 파장이다. Advanced-wave picture에 의하면, APD-
2는 비 간섭성 광원으로 다루어 진다. 측정기의 표면이 마치 집광 렌즈의
초점에 위차한 직경이 175㎛인 가우시안 광원으로 간주할 수 있다면, 빛은
렌즈를 통과한 후에 평면파가 되는 것으로 가정할 수 있다. 그림 28은 거리의
변화에 따른 상호 간섭도의 변화를 보여주고 있다. 슬릿의 간격이 300㎛이므로
( ) ( ) mYYXX μ300221
221 =−+− 로 설정하고, 렌즈의 초점 거리가 300㎜이므로
로 설정하여 계산하면, mmR 300= 94.012 =μ 가 된다. 실험에서 간섭 무늬를
얻기에 충분하다고 판단되어, 이 값들로 실험을 구성하였다.
- 67 -
그림 28. 거리의 변화에 따른 상호 간섭도
- 68 -
3.2.3 시뮬레이션 및 측정 결과
이론과 실험 데이터를 비교하기 위하여, 슬릿에서의 빛의 분포를
가정하는 것이 필요하였다. 이중 슬릿중 하나의 슬릿을 통과한 후의 단일 광자
측정을 통하여 슬릿에서의 빛의 분포를 결정하였는데, 그 결과 10:8의
비율임을 확인하였다. 이것에 의한 단순화된 빛의 분포는 그림 29에
나타내었다.
그림 30는 그림 29과 같은 빛의 분포로부터 계산한 위그너 분포
함수이고, 그림 31은 그림 30의 위그너 분포 함수의 라돈 변환으로 구한
),'(1
φxg p 이다. 그림 31과 그림 32의 파선들은 그림 33에서 측정한 평면을
표시한다.
그림 34는 위그너 분포 함수와 라돈 변환을 하기 위한 프로그램의
순서도이다. 계산을 위한 프로그램은 MATLAB으로 작성하였다. MATLAB
코드는 부록에 첨부하였다. 우선 슬릿 간격(sl_d)과 슬릿 폭(sl_a)을 입력하였다.
위치 공간을 표현하기 위하여 –x_max부터 x_max까지를 x_d로 분할하여 벡터
스페이스(x)를 생성하였다. L_x는 x의 크기이다. 이중 슬릿을 통과한 후의
전기장의 분포(sl)를 그림 29와 같이 step 함수로 설정하였다. 두 슬릿의
전기장의 크기의 비는 1:0.8로 설정하였다. P_s와 X_s는 위그너 분포 함수를
표현하기 위한 벡터 공간이다. 위그너 분포 함수를 계산하기 위하여
커널(DD)을 순환문을 이용하여 계산하였고, DD를 fast Fourier
transformation하여 위그너 분포 함수(W_0)를 구하였다. “fft”는 fast Fourier
transformation을 하여 주는 내장함수이고, fftshift는 가로축을 보정하여 주는
내장함수이다. 위그너 분포 함수를 라돈 변환(R)하기 위하여 “radon”이라는
내장함수를 이용하였다.
- 69 -
위에서 계산한 결과와 실험 값을 비교 하기 위해서는, 라돈 변환에서의
각도 φ 와 APD-1의 위치와 관계가 필요하다. 단일 렌즈에 의한 이미징
시스템에서는 식 (3-16)에서 식 (3-24)를 이용하여 정리하면 아래의 관계식을
얻을 수 있다.
o
oo d
sλ
φ2
cot =
(3-63)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
fds
fddsd o
oo
o 1'
11'
11'cot2
2
2
λλφ
(3-64)
전체 각도는 'φφφ += o 이다. 는 렌즈와 이중 슬릿 사이의 거리이고, 는
이미징 렌즈의 초점거리이다. 은 이미징 렌즈와 측정 위치 사이의 거리이고,
od
'd
f
φ 는 프렉셔널 푸리에 변환에서의 각도이다. 여기에서 scaled parameter 는 os
fso λ= 로 설정하였다. 실험에서 사용된 이미징 렌즈의 초점거리는
200㎜이고, 빛의 파장은 810㎚이어서, scaled parameter는 mso μ5.402= 이다.
그림 31은 프렉셔널 푸리에 변환에서의 각도와 측정 위치 사이의 관계이다.
그림 33는 그림31의 수직으로 그려진 파선에 대응하는 측정 위치에서
위그너 분포 함수의 라돈 변환한 결과를 실험으로 측정한 결과이다. 실선은
이론적인 계산 결과이고, 점은 실험 데이터이다. 수직축 에러바는 통계적
에러이고, 수평축 에러바는 측정기 크기에 의한 오차이다. 이론적인 계산
결과는 측정기의 크기가 175㎛인 것을 고려하여 convolution으로 처리하였다.
그림 32(a) 는 이미징 렌즈의 초점거리에서의 간섭 무늬이고, 그림 32(f) 는
이미지 거리에서의 반전된 이미지이다. 그림 32의 (b)에서 (e)까지의 결과들은
초점 거리에서부터 이미지 거리까지 프렉셔널 푸리에 변환에 의해 얻어지는
거리에 따른 공간 모드의 변화이다.
- 70 -
그림 29. 이중 슬릿에서의 전기장 분포
- 71 -
그림 30. 그림 28의 전기장 분포에 의한 위그너 분포 함수
- 72 -
그림 31. 그림 29의 위그너 분포 함수에 대한 라돈 변환
- 73 -
그림 32. 측정기 거리 에 대한 프렉셔널 푸리에 변환에서의 각도 fd −'
- 74 -
그림 33. 거리의 변화에 따른 marginal 분포 및 측정값
- 75 -
그림 34. 위그너 분포 함수와 라돈 변환을 구하기 위한 프로그램의 순서도
- 76 -
3.3 결과 및 논의
이 장에서는 우선 광 매개 하향변환을 이용한 고스트 이미징과 고스트
간섭이 프렉셔널 푸리에 변환의 특정한 각도에 대한 상황인 것이라는 것을
보였다. 프렉셔널 푸리에 변환은 위그너 분포 함수에 대한 라돈 변환과
일치하기에, 고스트 이미징과 고스트 간섭은 광 매개 하향변환에서 생성된 광자
쌍에 대한 위그너 분포 함수의 라돈 변환에서 특별한 상황이 되기도 한다는
것을 보였다.
광 매개 하향변환에서의 두 광자 측정 세기는 비선형 결정으로부터의
거리에 대응하는 각도에 대한 프렉셔널 푸리에 변환에 의해 결정된다. 신호광
광자를 집광 렌즈의 초점거리에 위치한 점과 같은 측정기를 통해 측정하는
경우, 유동광 쪽에서 여러 거리에 대하여 유동광과 신호광을 동시 측정하여
스캔한 것을 역 라돈 변환을 취하면 유동광 광자의 위그너 분포 함수를
재구성할 수 있다. 이것은 유동광 광자와 신호광 광자가 식 (3-7)과 같이
순수상태에서 얽혀있기 때문에 가능한 것이다. 신호광 광자의 측정은 두 광자
상태를 붕괴시키고, 식 (3-31)과 같이 진행방향에 수직인 특정한 모드를
가지는 유동광 광자를 만들어 낸다. 실험 결과를 보면, 위에서 논의한 바를 잘
구현해내고 있는 것으로 보인다. 신호광 광자가 진행하는 곳에 잘 정의된 산란
물체를 설치하면, 우리가 원하는 형태의 단일 광자 파속 상태를 원격으로
만들어낼 수 있다는 것을 보였다.
- 77 -
제4장 결론
본 연구에서 우리는 광 매개 하향변환을 통해 발생하는 단일 광자의
상태를 시간과 공간적으로 제어하는 것에 대해 다루었다.
광 매개 하향변환은 펌프광의 대역폭과 결정의 위상 정합 조건에 따른
대역폭에 의해 결정되는 스펙트럼을 가진다. 일반적인 경우, 신호광 모드에
대한 광자의 측정에 따른 유동광 모드에서 발생하는 단일 광자 상태는 혼합
상태로 주어지게 된다. 그러나 광 축이 평행한 두 개의 결정을 사용하고 그
사이에 광 축이 수직인 분산 보상층을 삽입하면, 발생하는 광자의 순수도가
증가하게 되는 것을 이론적으로 계산할 수 있었다. 이것은 펌프광의 특성은
쉽게 변화시키기 어려운 것에 비해 결정과 분산 보상층의 두께만을 조절하여
높은 순수도를 얻을 수 있다는 장점을 가지게 된다. 이에 따라 우리는 광 매개
하향변환에서 발생하는 순수 상태의 시간적 모드를 가지는 단일 광자를 얻는
방법을 제안할 수 있었다.
광 매개 하향변환에서 발생하는 단일 광자의 공간적 모드를 제어하고 그
특성을 연구하기 위하여, 광 매개 하향변환에서 발생하는 광자 쌍의 공간적
전파를 위그너 분포 함수를 통하여 다루었다. 광 매개 하향변환에서 발생하는
두 광자 측정 세기는 프렉셔널 푸리에 변환을 통하여 기술될 수 있음을
이론적으로 다루었다. 프렉셔널 푸리에 변환은 위그너 분포 함수의 라돈 변환과
같으므로, 두 광자 측정 세기를 역 라돈 변환을 취하면 위그너 분포 함수를
얻을 수 있게 된다. 그리하여 신호광 모드의 측정을 통하여 생성되는 광자의
공간적인 모드에 대해 예측할 수 있게 된다.
이것을 실험적으로 구현하기 위하여 BBO결정에 405㎚의 중심파장을
가지는 펄스광을 입사시켜 광 매개 하향변환을 일으키고, 신호광에 산란 물체를
- 78 -
놓은 후 집광 렌즈를 통하여 측정하였다. 신호광과 유동광의 동시 측정을
통하여, 유동광 측에 생성된 광자의 공간적인 모드를 거리를 이동시켜가며
스캔하여 측정하였다. 측정한 결과, 이론적으로 예상한 위그너 분포 함수의
라돈 변환한 그래프와 상당히 일치하는 것을 볼 수 있었다.
본 연구의 결과로 광 매개 하향변환을 이용한 단일 광자 생성에 있어서
순수 상태의 시간적인 모드를 가지는 단일 광자 발생의 조건을 알 수 있었고,
공간적인 모드의 전파와 제어에 대해서 실험적으로 구현할 수 있었다. 이러한
결과는 앞으로 양자 정보에 사용될 광원에 대한 기초 연구로 활용될 수 있을
것으로 기대된다.
- 79 -
제5장 부록
5.1 광자 쌍의 분산 보상 효과를 계산하기 위한 MATLAB 프로그램
코드
clear all close all c = 3*10^2 ; % 빛의 속도 ㎛/ps L = 350 ; % 결정 길이 ㎛ lam_p = 0.4161 ; % 펌프광 중심 파장 ㎚ d_wav = 0.005 ; % 펌프광 대역폭 ㎚ w_p = 2*pi*c./lam_p ; w_o = w_p./2 ; w_e = w_o ; lam_o = 2*pi*c./w_o ; lam_e = 2*pi*c./w_e ; sig = (w_p./lam_p).*d_wav ; A_o = 2.7359 ; B_o = -0.01822; C_o = 0.01878 ; D_o = -0.01354 ; A_e = 2.3753 ; B_e = -0.01667 ;C_e = 0.01224 ; D_e = -0.01516 ; a_o1 = A_o*B_o + C_o ; a_o2 = 4*pi^2*c^2*A_o + 4*pi^2*c^2*B_o*D_o ; a_o3 = 16*pi^4*c^4*D_o ; b_o1 = B_o ; b_o2 = 4*pi^2*c^2 ; a_e1 = A_e*B_e + C_e ; a_e2 = 4*pi^2*c^2*A_e + 4*pi^2*c^2*B_e*D_e ; a_e3 = 16*pi^4*c^4*D_e ; b_e1 = B_e ; b_e2 = 4*pi^2*c^2 ; n_p = sqrt((a_e1*w_p.^4 + a_e2*w_p.^2 + a_e3) ./ (b_e1*w_p.^4 + b_e2*w_p.^2)) ; n_o = sqrt((a_o1*w_o.^4 + a_o2*w_o.^2 + a_o3) ./ (b_o1*w_o.^4 + b_o2*w_o.^2)) ; n_e = sqrt((a_e1*w_e.^4 + a_e2*w_e.^2 + a_e3) ./ (b_e1*w_e.^4 + b_e2*w_e.^2)) ;
- 80 -
dn_p = 1/2/((a_e1*w_p^4+a_e2*w_p^2+a_e3)/(b_e1*w_p^4+b_e2*w_p^2))^(1/2)*((4*a_e1*w_p^3+2*a_e2*w_p)/(b_e1*w_p^4+b_e2*w_p^2)-(a_e1*w_p^4+a_e2*w_p^2+a_e3)/(b_e1*w_p^4+b_e2*w_p^2)^2*(4*b_e1*w_p^3+2*b_e2*w_p)) ; dn_o = 1/2/((a_o1*w_o^4+a_o2*w_o^2+a_o3)/(b_o1*w_o^4+b_o2*w_o^2))^(1/2)*((4*a_o1*w_o^3+2*a_o2*w_o)/(b_o1*w_o^4+b_o2*w_o^2)-(a_o1*w_o^4+a_o2*w_o^2+a_o3)/(b_o1*w_o^4+b_o2*w_o^2)^2*(4*b_o1*w_o^3+2*b_o2*w_o)) ; dn_e = 1/2/((a_e1*w_e^4+a_e2*w_e^2+a_e3)/(b_e1*w_e^4+b_e2*w_e^2))^(1/2)*((4*a_e1*w_e^3+2*a_e2*w_e)/(b_e1*w_e^4+b_e2*w_e^2)-(a_e1*w_e^4+a_e2*w_e^2+a_e3)/(b_e1*w_e^4+b_e2*w_e^2)^2*(4*b_e1*w_e^3+2*b_e2*w_e)) ; dko = ( n_p./c + w_p./c.*dn_p - (n_o./c + w_o./c.*dn_o) ) * L; dke = ( n_p./c + w_p./c.*dn_p - (n_e./c + w_e./c.*dn_e) ) * L; up = 1./(n_p./c + w_p./c.*dn_p) ; uo = 1./(n_o./c + w_o./c.*dn_o) ; ue = 1./(n_e./c + w_e./c.*dn_e) ; w_mean = w_o; w_range= w_o - 1500 ; N_w = 1000 ; W_o = linspace(w_mean-w_range, w_mean+w_range , N_w ) ; W_e = linspace(w_mean-w_range, w_mean+w_range , N_w ) ; m_o=length(W_o); m_e=length(W_e); Aph = zeros(m_o,m_e) ; P_den = zeros(m_o,m_e) ; P_num = zeros(m_o,m_e) ; A_ww = zeros(m_o,m_e) ; K_ww = zeros(m_o,m_e) ; for a=1:m_o for b=1:m_e Aph(a,b) = exp(-(W_o(a)+W_e(b)-2.*w_mean)^2/sig^2); P_den(a,b) = 0.5*((W_o(a)-w_mean)*dko + (W_e(b)-w_mean)*dke); P_num(a,b) = sin(P_den(a,b)); A_ww(a,b) = Aph(a,b)*P_num(a,b)/P_den(a,b); end end d = 244 ; % 분산 보상판 길이 ㎛ P_s2 = exp(i*(W_o-w_o).*(dko*L+dke*d)./L) ; P_i2 = exp(i*(W_e-w_e).*(dke*L+dko*d)./L) ; P_si2 = P_s2.'*P_i2 ; A_ww_p = A_ww + P_si2.*A_ww ; K_ww1 = A_ww_p * A_ww_p'; K_ww2 = A_ww_p.' * conj(A_ww_p) ;
- 81 -
[psi,lambda_1]=eig(K_ww1); [phi,lambda_2]=eig(K_ww2); s_lam_1 = sum(sum(lambda_1)) ; s_lam_2 = sum(sum(lambda_2)) ; for a = 1:m_o m_lam_1(a) = lambda_1(a,a) ; end m_lam_1 = m_lam_1/s_lam_1 ; for a = 1:m_o m_lam_2(a) = lambda_2(a,a) ; end m_lam_2 = m_lam_2/s_lam_2 ; m_lam_1(N_w:-1:N_w-3) m_lam_2(N_w:-1:N_w-3) figure subplot(2,2,1),contour(W_o,W_e,abs(A_ww_p),10), title('Awwp') wth_ax=200 ; axis([w_o-wth_ax w_o+wth_ax w_e-wth_ax, w_e+wth_ax]) axis square % axis([w_o-5*sig w_o+5*sig w_e-5*sig w_e+5*sig]) subplot(2,2,2),plot(W_o,abs(psi(:,1000))) hold on subplot(2,2,2),plot(W_o,abs(psi(:,999)),'r') subplot(2,2,3),plot(W_o,abs(phi(:,1000))) hold on subplot(2,2,3),plot(W_o,abs(phi(:,999)),'r') subplot(2,2,4),plot(W_o,P_s2) , title('phase') hold on subplot(2,2,4),plot(W_o,P_i2,'r') d_po = (W_o(501)-w_o).*dko*d/L - (W_o(500)-w_o).*dko*d/L ; d_pe = (W_e(501)-w_e).*dke*d/L - (W_e(500)-w_e).*dke*d/L ; ent_lam = 0; ent_N = length(m_lam_1) ; for ent_a=1:ent_N ent_lam = ent_lam+m_lam_1(ent_a)*log2( m_lam_1(ent_a) ) ; end ent_lam = -ent_lam pu_lam = 0; pu_N = length(m_lam_1) ; for pu_a=1:pu_N pu_lam = pu_lam+m_lam_1(pu_a)^2 ; end pu_lam
- 82 -
5.2 위그너 분포 함수와 라돈 변환을 계산하기 위한 MATLAB
프로그램 코드
clear all close all sl_d = 300*10^-6 ; sl_a = 150*10^-6 ; x_max =4000*10^-6 ; x_d = 1*10^-6 ; x = -x_max:x_d:x_max ; x = x ; L_x = length(x) ; sl = zeros(1,L_x); sa = ones(1,sl_a/x_d) ; sl(1, ((L_x-1)/2-sl_d/x_d/2) - sl_a/x_d/2+1 : ((L_x-1)/2-sl_d/x_d/2) + sl_a/x_d/2 ) = sa ; sl(1, ((L_x-1)/2+sl_d/x_d/2) - sl_a/x_d/2+1 : ((L_x-1)/2+sl_d/x_d/2) + sl_a/x_d/2 ) = 0.8*sa ; P_s = (-30:30)/(2*x_max) ; X_s = (L_x-1)/8*3+1:25:(L_x-1)/8*5+1 ; L_P_s = length(P_s) ; L_X_s = length(X_s) ; W_0 = zeros(L_X_s,L_P_s) ; for a_1 = 1:L_X_s for a_2 = 1:3000 DD(a_2) = sl(X_s(a_1)+a_2)*conj(sl(X_s(a_1)-a_2)) ; end w_p = fftshift(fft(DD)); W_0(a_1,:) = w_p(1500-30:1500+30) ; end th_d=1 ; th = 0:th_d:180 ; R = radon(W_0,0:th_d:180) ; I = iradon(R, 0:th_d:180) ; plot(x,sl) figure contour(W_0,20) figure contour(R,20)
- 83 -
aa_m = size(R); aa = 1:aa_m(1,1) ; figure % b_d = 450*10^-6/18; % b_d = 400*10^-6/16; % b_d = 350*10^-6/15 ; b_d = 300*10^-6/12 ; b_x = -b_d*(aa_m(1,1)-1)/2:b_d:b_d*(aa_m(1,1)-1)/2 ; b_x = b_x' ; bb=0 ; for b=1:5:91 bb=bb+1; subplot(4,5,bb),plot(b_x,R(:,b)) end img_s = zeros(size(R)) ; det_s = 200*10^-6 ; det_s_n = round(det_s/b_d) ; blc_det = ones(det_s_n,1) ; for bb=1:181 b = 0 ; for a=aa_m(1,1)-det_s_n+1:-1:det_s_n+1 b=b+1 ; ex_im = R(a:aa_m(1,1)-b+1,bb).*blc_det ; s_ex = sum(ex_im) ; img_s(b+det_s_n/2,bb) = s_ex*b_d ; end end figure bb=0 ; for b=1:5:91 bb=bb+1; subplot(4,5,bb),plot(b_x,img_s(:,b)) end
- 84 -
참고문헌
[1] P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, P. Wasylczyk, A. B. U’Ren,
“Heralden Generation of Ultrafast Single Photons in Pure Quantum
States,” Phys. Rev. Lett. 100, 133601, (2008)
[2] M. Raymer, J. Noh, K. Banaszek and I. A. Walmsley, "Pure-state single-
photon wave-packet generation by parametric down-conversion in a
distributed microcavity," Phy. Rev. A 72, 023825 (2005).
[3] P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B, J. Smith, and I. A. Walmsley, “Conditional
preparation of single photons using parametric downconversion: a
recipe for purity,” New J. Phys. 10. 093011 (2008).
[4] T. Aichele, A. I. Lvovsky, and S. Schiller, “Optical mode characterization
of single photons prepared by means of conditional measurements on a
biphoton state,” Eur. Phys. J. D 18, 237 (2002).
[5] F. W. Sun, and C. W. Wong, “Indistinguishability of independent single
photons,” Phys. Rev. A 79, 013824 (2009).
[6] R. Kaltenbeak, and B. Bluaensteiner, “Experiment Interference of
Independent Photons,” Phys. Rev. Lett. 96, 240502 (2006)
[7] C. H. Bennett and G. Brassard, in Proceedings of the International
Conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore,
India, 1984 (IEEE, Piscataway, NJ, 1984), p. 175
[8] C. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail, and J. Smolin,
"Experimental quantum cryptography," J. Cryptology 5, 3 (1992)
[9] N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, and H. Zbinden, "Quantum cryptography,"
- 85 -
Rev. Mod. Phys. 74, 145 (2002)
[10] A. Beveratos, R. Brouri, T. Gacoin, A. Villing, J. Poizat and P. Granger,
“Single Photon Quantum Cryptography,” Phys. Rev. Lett. 89, 187901
(2002).
[11] T. B. Pittman, B. C. Jacobs and J. D. Franson, “Single photons on
pseudodemand from stored parametric down-conversion,” Phys. Rev. A
66, 042303 (2002).
[12] T. B. Pittman and J. D. Franson, "Cyclical quantum memory for
photonic qubits," Phys. Rev. A 66, 062302 (2002)
[13] T.B. Pittman, M.M. Donegan, M.J. Fitch, B.C. Jacobs, J.D. Hwang Lee,
J.D. Hwang Lee, J.D. Hwang Lee, J.P. Dowling, "Heralded Two-Photon
Entanglement From Probabilistic Quantum Logic Operations on Multiple
Parametric Down-Conversion Sources," IEEE Journal of Selected
Topics in Quantum Electronics 9, 1478 (2003)
[14] T C Ralph, "Quantum optical systems for the implementation of
quantum information processing," Reports on Progress in Physics 69,
853 (2006)
[15] E. Knill, R. Laflamme and G. J. Milburn, “A scheme for efficient
quantum computation with linear optics,” Nature 409, 46 (2001).
[16] P. Kok, W. J. Munro, K. Nemoto, T. C. Ralph, J. P. Dowling, G. J.
Milburn, "Linear optical quantum computing with photonic qubits," Rev.
Mod. Phys. 79, 135 (2007).
[17] J. Eisert, "Optimizing Linear Optics Quantum Gates," Phys. Rev. Lett.
95, 040502, (2005).
- 86 -
[18] S. Scheel, and N. Lütkenhaus, "Upper bounds on success probabilities
in linear optics," New J. Phys. 6, 51 (2004).
[19] T. Rudolph, and J. W. Pan, "A simple gate for linear optics quantum
computing," e-print quant-ph/0108056 (2001).
[20] T. C. Ralph, A. G. White, W. J. Munro, and G. J. Milburn, "Simple
scheme for efficient linear optics quantum gates," Phys. Rev. A 65,
012314 (2001).
[21] T. C. Ralph, N. K. Langford, T. B. Bell, and A. G. White, "Linear optical
controlled-NOT gate in the coincidence basis," Phys. Rev. A 65, 062324
(2002).
[22] M. Koashi, T. Yamamoto, and N. Imoto, "Probabilistic manipulation of
entangled photons," Phys. Rev. A 63, 030301(R) (2001).
[23] T. B. Pittman, B. C. Jacobs, and J. D. Franson, "Demonstration of
Nondeterministic Quantum Logic Operations Using Linear Optical
Elements," Phys. Rev. Lett. 88, 257902 (2002).
[24] T. B. Pittman, M. J. Fitch, B. C Jacobs, and J. D. Franson,
"Experimental controlled-not logic gate for single photons in the
coincidence basis," Phys. Rev. A 68, 032316 (2003).
[25] J. L. O'Brien, G. J. Pryde, A. G. White, T. C. Ralph, and D. Branning,
"Demonstration of an all-optical quantum controlled-NOT gate," Nature
(London) 426, 264 (2003).
[26] W. P. Grice and I. A. Walmsley, “Spectral information and
distinguishability in type-II down-conversion with a broadband pump,”
Phys. Rev. A 56, 1627 (1997).
- 87 -
[27] W. P. Grice, A. B. Uren and I. A. Walmsley, “Eliminating frequency and
space-time correlations in multiphoton states,” Phys. Rev. A 64, 063815
(2001).
[28] C. K. Law, I. A. Walmsley and J. H. Eberly, “Continuous Frequency
Entanglement: Effective Finite Hilbert Space and Entropy Control,” Phys.
Rev. Lett. 84, 5304 (2000).
[29] G. D. Giuseppe, M. Ature, M. D. Shaw, A. V. Sergienko, B. E. A. Saleh
and M. C. Teich, “Entangled-photon generation from parametric down-
conversion in media with inhomogeneous nonlinearity,” Phys. Rev. A 66,
013801 (2002).
[30] D. Branning, W. P. Grice, R. Erdmann and I.A. Walmsley, “Engineering
the Indistinguishability and Entanglement of Two Photons,” Phys. Rev.
Lett. 83, 955 (1999).
[31] Yoon-Ho Kim and Warren P. Grice, “Measurement of the spectral
properties of the two-photon state generated via type II spontaneous
parametric downconversion,” Opt. Lett. 30, 908 (2005).
[32] Jaewoo Noh, “Frequency Spectrum of a Photon Wave Packet
Generated from a Pulsed Optical Parametric Oscillator,” J. Korean Phys.
Soc. 44, 271 (2004).
[33] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum
Information, (Cambridge University Press, 2000). Ch 2.
[34] Y.S. Kang, C.H. Lee, Y. Sung, and J. Noh, “Effect of Dispersion
Cancellation on the Spectrum of Photons Generated from Type-II
Parametric Down Conversion,” J. Korean Phys. Soc. 50, 21 (2007)
- 88 -
[35] C. K. Hong, and L. Mandel, “Theory of parametric frequency down
conversion of light,” Phys. Rev. A 31, 2409 (1985).
[36] C. K. Hong, Z. Y. Ou, and L. Mandel, “Measurement of subpicosecond
time intervals between two photons by interference,” Phys. Rev. Lett.
59, 2044 (1987).
[37] D. C. Burnham and D. L. Weinberg, "Observation of Simultaneity in
Parametric Production of Optical Photon Pairs," Phys. Rev. Lett. 25, 84
(1970)
[38] R. L. Byer, and S. E. Harris, “Power and Bandwidht of Spontaneous
Parametric Emission,” Phys. Rev. 168, 1064 (1968)
[39] Yoon-Ho Kim, “Measurement of one-photon and two-photon wave
packets in spontaneous parametric downconversion,” J. Opt. Soc. Am. B
20, 1959 (2003).
[40] Sergey A. Podoshvedov, Jaewoo Noh and Kisik Kim, “A Full Quantum
Theory of Parametric Down Conversion and Its Application to
Coincidence Measurements,” J. Korean Phys. Soc. 47, 213 (2005).
[41] T. B. Pittman, Y. H. Shih, D. V. Strekalov, and A. V. Sergienko, “Optical
Imaging by means of two-photon quantum entanglement,” Phys. Rev. A,
52, R3429 (1995).
[42] D. V. Strekalov, A. V. Sergienko, D. N. Klyshko, and Y. H. Shih,
“Observation of Two-Photon “Ghost” interference and Diffraction,”
Phys. Rev. Lett. 74, 3600 (1995).
[43] P. H. Souto Ribeiro, and G. A. Barbosa, “Direct and ghost interference
in double-slit experiments with coincidence measurement,” Phys. Rev.
- 89 -
A 54, 3489 (1996)
[44] A. F. Abouraddy, B. E. A. Saleh, A. V. Sergienko, and M. C. Teich,
“Entangled-photon Fourier optics,” J. Opt. Soc. Am. B 19, 1174 (2002)
[45] M. D’Angelo, Y. H. Kim, S. P. Kulik, and Y. Shih, “Identifying
Entanglement Using Quantum Ghost Interference and Imaging,” Phys.
Rev. Lett. 92, 233601 (2004)
[46] R. S. Bennink, S. J. Bentley, and R. W. Boyd, “Quantum and Classical
Coincidence Imaging,” Phys. Rev. Lett. 92, 033601 (2004)
[47] Patrick Navez, Enrico Brambilla, Alessandra Gatti, and Luigi A. Lugiato,
“Spatial entanglement of twin quantum images,” Phys. Rev. A 65,
013813 (2001).
[48] T. B. Pittman, D. V. Strekalov, D. N. Klyshko, M. H. Rubin, A. V.
Sergienko, and Y. H. Shih, “Two-photon geometric optics,” Phys. Rev.
A 53, 2804-2815 (1996); D. N. Klyshko, Photons and Nonlinear Optics
(Gordon and Breach, New York, 1988).
[49] B. Eppich and N. Reng, " Measurement of the Wigner distribution
function based on the inverse Radon transformation," SPIE 2375, 261-
268 (1995).
[50] H. M. Ozaktas and D. Mendlovic, “Fractional Fourier optics,” J. Opt.
Soc. Am. A 12, 743 (1995).
[51] A. W. Lohmann and B. H. Soffer, “Relationships between the Radon-
Wigner and fractional Fourier transforms,” J. Opt. Soc. Am. A 11, 1798
(1994).
[52] Z. Zalevsky and D. Mendlovic, "Fractional Radon transform: definition,"
- 90 -
Appl. optics 35, 4628-4631 (1996).
[53] E. Won, “Derivation of the Inverse Radon Transformation,” (personal
communication, 2007)
[54] P. Pellant-Finet, “Fresnel diffraction and the fractional-order Fourier
transform,” Opt. Lett. 19, 1388 (1994)
[55] A. W. Lohmann, "Image rotation, Wigner rotation, and the fractional
Fourier transform," J. Opt. Soc. Am. A 10, 2181-2186 (1993).
[56] M. Raymer, M. Beck, and D. F. McAlister, “Complex Wave-Field
Reconstruction Using Phase-Space Tomography,” Phys. Rev. Lett. 72,
1137 (1994).
[57] M. G. Raymer, M. Beck, and D. F. McAlister, "Spatial and temporal
optical field reconstruction using phase-space tomography," in Quantum
Optics VI, D. F. Walls and J. D. Harvey (eds.) (Springer, Berlin, 1994).
[58] T. Alieva and M. J. Bastiaans, “Wigner distribution and fractional
Fourier transform,” Signal Processing and its Applications, Sixth
International Symposium on 2001, 1, 168-169 (2001).
[59] D. F. McAlister, M. Beck, L. Clarke, A. Mayer, and M. G. Raymer,
“Optical phase retrieval by phase-space tomography and fractional-
order Fourier transforms,” Opt. Lett. 20, 1181 (1995), Anhut, Tiemo;
Karamata, Boris; Lasser, Theo; Raymer, Michael G.; Wenke, Lutz,
“Measurement of scattered light Wigner functions by phase space
tomography and implications for parallel OCT,” in Coherence Domain
Optical Methods and Optical Coherence Tomography in Biomedicine VII.
Edited by Tuchin, Valery V.; Izatt, Joseph A.; Fujimoto, James G.
- 91 -
Proceedings of the SPIE, Volume 4956, pp. 120-128 (2003).
[60] A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, “Continuous-variable optical
quantum-state tomography,” Rev. Mod. Phys. 81, 299-332 (2009).
[61] C. H. Monken, P. H. Souto Ribeiro, and S. Padua, “Transfer of angular
spectrum and image formation in spontaneous parametric down-
conversion,” Phys. Rev. A 57, 3123 (1998); S. P. Walborn, D. S. Tasca,
M. P. Almeida, and P. H. Souto Ribeiro, P. Pellat-Finet, and C. H.
Monken, “Violation of Bell’s inequality with Continuous Variables and
Fractional Fourier Transforms,” arXiv:quant-ph/061214v1.
[62] Y. S. Kang, K. Cho, J. Noh, D. Vitullo, C. Leary, and M. G. Raymer,
“Remote preparation of complex spatial state of single photons and
verification by two-photon imaging experiment,” Opt. Express, (under
revision)
[63] A.Einstein, B. Podolsky, and N.Rosen, “Can Quantum-Mechanical
Description of Physical Reality be considered complete?,” Phys. Rev. 47,
777 (1935).
[64] M. Born, and E. Wolf, Principle of Optics, 6th Ed. (Cambridge
University Press, 1993).
[65] M. J. Bastiaan, "Application of the Wigner distribution function to
partially coherent light," J. opt. Soc. Am. A 3, 1227 (1986)
[66] C. H. Lee, Y. S. Knag, Y. Sung, and H. Noh, "Measurement of Spatial
Coherence Function of Laser Beam by using a Sagnac Interfeometer," J.
Opt. Soc. Korea 11, 71 (2007)
[67] C. H. Lee, Y. S. Kang, and J. Noh, "Measurement of Choerence and
- 92 -
Beam Parameter of a Propagating Laser Meam by using Wigner
Distribution Function Measurement," Appl. Phys. Express 2, 032402
(2009)
[68] C. H. Lee, Y. S. Kang, and J. Noh, "Expremental Characterization of the
Propagation Property of a Laser Beam by Using a Schmidt Mode
Decomposition," J. Korean Phys. Soc. 55, 477 (2009)
[69] P. usachev, J. Soderholm, G. Bjork, and A. Trifonov, "Experimental
verification of differences between classical and quantum polarization
properties," Opt. Comm. 193, 161 (2001)
[70] D. N. Nikogosyan, “Beta Barium Borate (BBO),” Appl. Phys. A 52, 359
(1991)
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감사의 글
어쩌면 상당히 긴 시간이었습니다. 포기하고 싶던 때도 있었습니다.
그러나 끝까지 이 길을 걸을 수 있게 하여 주신 고마운 분들 덕분에 여기까지
올 수 있었던 것 같습니다. 그 분들께 감사의 말씀을 올리며 이 논문을 맺고자
합니다.
군 전역하고 방황을 하고 있을 때 다시 물리의 길로 돌아오게 하여
주시고, 익숙하지 않던 실험이었음에도 처음부터 끝까지 믿어주시며 스스로 할
수 있게 지도하여 주신 노재우 교수님께 진심으로 감사의 말씀을 올리고
싶습니다. 물리적인 지식뿐만 아니라 믿음으로 같이 일을 하고 생활을 해 가는
것에 대하여 너무도 많은 가르침을 주셨습니다. 양자 광학에 처음으로 발을
딛게 하여 주시고 이론적인 엄 함에 대한 가르침을 주신 김기식 교수님께
감사의 말씀을 올립니다. 실제적인 상황에 대한 지식을 전수하여 주신 김경현
교수님께 감사의 말씀을 올립니다. 저의 논문 심사를 하여 주시기 위해 먼 길을
오셔서 많은 가르침을 주신 한국 표준 과학 연구원의 최상경 박사님과
서울대학교의 정현석 교수님께 감사의 말씀을 올립니다. 그리고 실험에
있어서의 기본적인 소양을 저에게 가르쳐 주신 이민희 교수님과 수업을 통하여
많은 지식을 주시고 학생들과의 관계에 있어 많은 것을 배우게 하여 주시는
이병찬 교수님께 감사의 말씀을 올립니다.
감사 드려야 할 분들이 너무도 많습니다. 학부 때부터 박사를 받을
때까지 언제나 곁에서 든든하게 함께하여 준 이창혁 학형에게 감사 드립니다.
저와 같이 실험실에 있으면서 많은 도움을 주었던 박상준 학형과 이혜숙
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학형에게 감사 드립니다. 동기로써 언제나 따뜻하게 함께 하여준 이승훈
학형에게 감사 드립니다.
저와 함께 대학원 생활을 하며 많은 토론을 통하여 연구에 깊이를
더하게 하여 주신 김경범, 김형주, 최현호, 김의석 선배님께 감사 드립니다.
언제나 즐거운 연구실 생활이 될 수 있게 배려하여 주었던 권영만, 곽윤석,
성유진 학형에게도 감사 드립니다.
대학원 밖에서도 제가 이 길을 계속 걸을 수 있도록 도와준 이들이 많이
있습니다. 스무 살이 된 그 때부터 언제나 함께 하며 일상의 기쁨과 어려움을
나누어준 제빈에게 감사 드립니다. 저에게 믿음의 관계가 무엇인지를 알게 하여
준 두식과 병훈, 기훈에게도 감사 드립니다. 서른에 들어서 혼란스럽고
흔들리던 저에게 든든한 버팀목이 되어 주었던 미영에게 감사 드립니다. 그리고
전역 후에 다시 선후배 사이의 따스함을 얻게 하여주고 같이 생활하여 준
타키온즈 여러분에게도 감사 드립니다.
끝으로 힘든 시절을 온 몸으로 버텨주며 이 길까지 이를 수 있게 하여준
형과 어쩌면 이기적으로 저의 길만을 고집하는 아들을 계속 믿어주시고
기도하여 주시는 어머니께 이 논문을 바칩니다.
