EE240/2009

EE240/2009Design of Experiments

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Planejamento de Experimentos ou

Experiment Design

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• Planejamento de Experimento: selecionar fatores manipuláveis x1, ... ,xp e determinar formas de utilizá-los em experimentos, de modo que sejam obtidas informações suficientes sobre o processo com pequeno número de ensaios.

• Otimizar o processo: dado um critério quantitativo, encontrar a combinação dos níveis dos fatores controláveis que levam à melhor resposta y.

Processoentradas saídas

y

x1 x2 xp

fatores manipuláveis

...z1 z2 zq

fatores não manipuláveis(nuisance)

...

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Exemplo

• Fatores que interferem na durabilidade de uma lâmpada incandescente:

– Temperatura Ambiente?– Ciclos Liga-Desliga?– Tensão Aplicada?– Umidade do Ar?– Vibração?

• Como planejar experimentos com estes fatores?

• Qual a estimativa de RUL, sabendo-se que a temperatura ambiente será mantida em 22oC, o número de ciclos liga-desliga é de 5 em 5 horas, a tensão é regulada 110 ± 2V, a umidade do ar é controlada em 70% e a vibração é menor do que 0.02m/s2?

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Roteiro para a realização de um experimento

• Identificar e estabelecer o problema

• Escolha dos fatores e de seus níveis

• Seleção da variável resposta

• Escolha do projeto experimental

• Realização do experimento

• Análise estatística dos dados

• Conclusões e recomendações

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Conceitos Importantes

• Níveis: valores que podem ser assumidos por cada fator manipulável

• Tratamentos: uma particular combinação de níveis dos fatores incluídos no estudo experimental.

• Replicações: repetições de um ensaio em cada condição tratamento para avaliar erros experimentais

• Aleatorização: forma de realizar os ensaios em que a seqüência é aleatória, evitando biases.

• Blocagem: organização das unidades experimentais em subgrupos mais homogêneos.

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ExemploExperimento com Um Fator

• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e

C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre

duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo

de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais

fatores manipuláveis.

• Deseja-se testar as hipóteses:

– H0: os tempos de transmissão são iguais para os três tipos de rede; e

– H1: os tempos de transmissão não são todos iguais (depende do tipo de rede).

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Processoentradas saídas

y = tempo médio de transmissão

fatores x assumindo valores C1, C2 e C3

...z1 z2 zq

fatores não manipuláveis(nuisance)

Setup Experimental

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Tipo de rede

Replicação C1 C2 C3

1 7,2 7,8 6,3

2 9,3 8,2 6,0

3 8,7 7,1 5,3

4 8,9 8,6 5,1

5 7,6 8,7 6,2

6 7,2 8,2 5,2

7 8,8 7,1 7,2

8 8,0 7,8 6,8

Média 8,21 7,94 6,01

Resultados Obtidos

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Tratamento

Replicação 1 2 ... g

1 y11 y21 ... yg1

2 y12 y22 ... yg2

... ... ... ... ...

n y1n y2n ... ygn

Soma y1. y2. ... yg.

Média ...

i

iyy ...

.1y .2y .gy i

iyg

y .1

..

g

i

n

jijTot yySQ

1 1

2..

df = N - 1onde: N = ng

g

ii

g

i

n

jiTrat yynyySQ

1

2...

1 1

2...

g

i

n

jiijErro yySQ

1 1

2.

Erro

Trat

QM

QMF

ANOVA

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Teste F

• Se H0: 1 = 2 =...= g = 0 for verdadeira, a estatística F tem distribuição F com (g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g) graus de liberdade no denominador.

Densidade de probabilidade F

possíveis valores da estatística F, sob H 0

dens

idad

e de

pro

babi

lidad

e

0,00

0,25

0,50

0,75

0 1 2 3 4F

p

• p , rejeita H0

• p > , aceita H0

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ExemploExperimento com Um Fator

• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e

C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre

duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo

de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais

fatores manipuláveis.

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ANOVA1 One-way analysis of variance (ANOVA). ANOVA1 performs a one-way ANOVA for comparing the means of two or more groups of data. It returns the p-value for the null hypothesis that the means of the groups are equal.

The p-value is the probability of obtaining a result at least as extreme as the one that was

actually observed, assuming that the null hypothesis is true. The lower the p-value, the

less likely the result, assuming the null hypothesis. One often uses p-values of 0.05 or 0.01, corresponding to a 5% chance or 1% of an outcome that extreme, given the null hypothesis.

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ExemploExperimento com Um Fator

• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e

C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre

duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo

de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais

fatores manipuláveis.

Tipo de rede

Média 8,21 7,94 6,01

f = 21.07p < 0.01

Não há diferença estatisticamentesignificativa entre os tempos

> p = anova1([c1 c2 c3])

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Comparação de 2 tratamentos

Comparação de um lubrificante (A) com outra (B) na durabilidade de mancais (Y):

– H0: B = A

– H1: B > A

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Número do

Mancal

Tipo do

Lubrificante

Durabilidade

1 A 29,9

2 A 11,4

3 B 26,6

4 B 23,7

5 A 25,3

6 B 28,5

7 B 14,2

8 B 17,9

9 A 16,5

10 A 21,1

11 B 24,3

Resultado dos Ensaios

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Lubrificante A Lubrificante B

29,9 26,611,4 23,725,3 28,516,5 14,221,1 17,9

24,3

médias:

diferença entre as médias:

84,20Ay 53,22By

69,1 AB yy

A diferença entre as médias amostrais 1,69 é suficientemente grande para rejeitar H0? (H0: B = A)

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TTEST2 Two-sample T-test with pooled or unpooled variance estimate. H = TTEST2(X,Y) performs a T-test of the hypothesis that two independent samples, in the vectors X and Y, come from distributions with equal means, and returns the result of the test in H. H==0 indicates that the null hypothesis ("means are equal") cannot be rejected at the 5% significance level. H==1 indicates that the null hypothesis can be rejected at the 5% level. The data are assumed to come from normal distributions with unknown, but equal, variances.

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Lubrificante A Lubrificante B

29,9 26,611,4 23,725,3 28,516,5 14,221,1 17,9

24,3

73,39

9

)51,29(5)50,52(4

2

11

21

22

212

12

+

nnSn + Sn

= Sa

84,201 y53,222 y

50,5221 s

51,2922 s

44,0

61

51

73,39

53,2284,20

11

21

21

+ .

n +

n .S

y y t =

a

> h = ttest2(A,B)h=0

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Durabilidade de Pneus

Fabricante Adivisão aleatória

Fabricante B

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Fabricante A

Fabricante B

Amostras Pareadas

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Aeroplano

1 2 3 4 5 ...

Durabilidade

Fabricante A

Fabricante B

Amostras Pareadas

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Exemplo: Teste t para Dados Pareados

Aeroplano

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dif. (B - A)

0.8

0.6

0.3

-0.1

1.1

-0.2

0.3

0.5

0.5

0.3

H0: D = 0 vs. H1: D 0

Média

Desvio padrão

41,0D

387,0DS

S

n . Dt =

D

35,3387,0

10 . )41,0( =t

p 0,009

rejeita H0

gl = n - 1 = 9

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Processoentradas saídas

y

A B

Fator A

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

b1 b2 b3 b4

a1

a2

Fator B

Fator A

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

a2b4a2b3a2b2a2b1

b1 b2 b3 b4

a1

a2

Fator B

Planejamento Fatorial de Experimentos

Todas as combinações

de ai e bj

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Exemplo (Freitas, 2001, p.277)

• Considere o problema de estudar os efeitos do tamanho da memória principal (fator A) e tamanho da memória cache (fator B) no desempenho de um sistema de arquivos de uma rede local de computadores (LAN). O fator A foi ensaiado nos níveis 128 e 256 Mbytes e o fator B nos níveis 256 e 512 kbytes.

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Exemplo com k = 2 e 1 observação por tratamento:

A

B

+

+

y(A+,B–) = a y(A+,B+) = ab

y(A–,B+) = by(A–,B–) = (1)

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ef(A) = (40 + 52)/2 (20 + 30)/2 = 21 AA yyAef )(

A

B

+

+

a = 40 ab = 52

b = 30(1) = 20

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ef(B) = (30 + 52)/2 (20 + 40)/2 = 11 BB yyBef )(

A

B

+a = 40 ab = 52

b = 30(1) = 20

+

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ef(B) = (30 + 52)/2 (20 + 40)/2 = 11

ef(A) = (40 + 52)/2 (20 + 30)/2 = 21

40 52

3020

– +

Fator A

Fator B

–

+

y = 35,5 + 10,5*x1 + 5,5*x2

10

20

30

40

50

60

B B+

A

A+

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EXEMPLO DE UM PROJETO 23

Barbetta, Reis e Bornia, 2004, p. 44

Um estudo foi desenvolvido para verificar os fatores que influenciam a qualidade da transmissão de dados através da porta serial de microcomputadores.

Observou-se a taxa de falhas de transmissão em função dos fatores:

(A) velocidade da transmissão (2400 / 9600 bauds),

(B) tamanho do arquivo (100 / 200 bytes) e

(C) comprimento do cabo serial (15 / 20 m).

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ensaio

12345678

trata-mento

(1)ababcacbcabc

A B C AB AC BC ABC

+ + + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + +

A

B

C(1) b

a ab

bc

abcac

c

+

+

+y = q0 + q1x1+ q2x2 + q3x3 +

q12x1x2 + q23x2x3 + q13x1x3 +

q123x1x2x3

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Projeto de experimento fatorialfracionado de dois níveis: 2k-p

Exemplo 23 -1:

A

B

C(1) b

a ab

bc

abcac

c

+

+

+

––

–

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Observe: A = BC; B = AC; C = AB

Isto é, ao calcular o efeito A, na verdade está se calculando

O efeito de A + BC (há confusão entre esses efeitos)

trata-mento

abc

abc

abacbc(1)

efeito fatorialI A B C AB AC BC ABC

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

trata-mento

abc

abc

abacbc(1)

efeito fatorialI A B C AB AC BC ABC

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

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Tipos de resoluções

• Resolução III: os efeitos principais não estão confundidos entre si, mas estão confundidos com interações de segunda ordem (2III

3-1);

• Resolução IV: os efeitos principais não estão confundidos entre si e nem com interações de segunda ordem, mas estas podem estar confundidas entre si (2IV

4-1);

• Resolução V: os efeitos principais e as interações de segunda ordem não estão confundidos entre si, mas somente com interações de ordem superior (2V

5-1)

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Muito Obrigado!