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高校電磁気学 ~電磁誘導編~
問題演習
問1
磁場中を動く導体棒に関する問題
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(1)おもりの落下速度がvのとき、 導体棒abに生じる誘導起電力の大きさを求めよ。
・ 導体棒の間隔 L
・ 導体棒の速度 v、水平方向の速度 vcosθ ・ Δtの時間に回路を貫く磁束の変化ΔΦは、ΔΦ = BΔS = BLvcosθΔt ・ ファラデーの法則 V = − N より、 | V | = BLvcosθ
補足 V = ( v × B ) L
R
m
滑車
θ
B
a
b
ΔΦ Δt
→ → →
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(2)おもりの落下速度がvのとき、 導体棒abを流れる電流が磁場から受ける力を求めよ。
・ 導体棒の間隔 L
V = BLvcosθ より、 I = = F = ( I × B ) L より、 F = ( × B ) L =
R
m
滑車
θ
B
a
b
V R
BLvcosθ R
→ → →
BLvcosθ R
B2L2vcosθ R
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(3)おもりの落下速度v=一定のとき、導体棒abの速さvを求めよ。
・ 導体棒の間隔 L
力のつりあいより、おもりの重力 − 導体棒の重力 = 磁場から受ける力 mg − Mgsinθ = cosθ
∴ v =
R
m
滑車
θ
B
a
b
B2L2vcosθ R
(mg− Mgsinθ)R B2L2cos2θ
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(4)おもりの落下速度v=一定のとき、単位時間あたりにおもりが失った力学的エネルギーを求めよ。
・ 導体棒の間隔 L
失った力学的エネルギーは、位置エネルギーのみ ※運動エネルギーは速度が変化していないので、減少していない。 単位時間あたりに失った位置エネルギー mgv ∴mgv =
R
m
滑車
θ
B
a
b
m2g2R B2L2cos2θ
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(5)おもりの落下速度v=一定のとき、単位時間あたりに抵抗Rで発生する熱エネルギーを求めよ。
・ 導体棒の間隔 L
P = RI2
= R ( )2 = v2 = ( )2
=
R
m
滑車
θ
B
a
b
m2g2R B2L2cos2θ
BLvcosθ R
mgR B2L2cos2θ
B2L2cos2θ R
B2L2cos2θ R
・ 導体棒の間隔 L
R
m
滑車
θ
B
a
b
(6) (改題)エネルギーの保存を示せ。
・ 導体棒の間隔 L
・ 単位時間あたりおもりが失った位置エネルギー ・ 単位時間あたりに抵抗Rで発生する熱エネルギー ・単位時間あたりに導体棒abが得る位置エネルギー Mgvsinθ =
R
m
滑車
θ
B
a
b
Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2L2cos2θ
(mg−Mgsinθ)2R B2L2cos2θ
mg(mg−Mgsinθ)R B2L2cos2θ
・ 導体棒の間隔 L
・ エネルギー保存より、 = + 右辺の分子は、 = (mg−Mgsinθ)2R + Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ = (m2g2−2Mmg2sinθ+M2g2sin2θ+Mmg2sinθ− M2g2sin2θ)R = (m2g2−Mmg2sinθ)R = mg(mg−Mgsinθ)R = 左辺の分子 ∴ エネルギー保存が成り立つ。
R
m
滑車
θ
B
a
b
Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2L2cos2θ
(mg−Mgsinθ)2R B2L2cos2θ
mg(mg−Mgsinθ)R B2L2cos2θ
問2
磁場中を回転する導体棒 に関する問題
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
(1) 導体棒が角速度ωで回転しているとき、点O,Pのどちらの電位が高いか。
P
R
V = ( v × B ) L VはOからPの向き、すなわちPの方が電位が高い。 (別解&補足) ・ 導体棒OP上の電子は、O,Pのどちらに移動するか。 OP内の電子は F = −e ( v × B )のローレンツ力を受ける。 PからOの向き ゆえに、O側に電子が寄る。 ∴ P側の電位が高い
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
P
R
→ → →
→ → →
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
(2) 導体棒が角速度ωで回転しているとき、誘導起電力の大きさVを求めよ。
P
R
V = −N , ΔΦ = BΔSより、 | V | = B =
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
P
R
ΔΦ Δt
O 弧 : LωΔt
半径 : L
ΔS
½ LωΔt・L Δt
BωL2
2
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
(3) 導体棒を一定の角速度で回転させるために、点Pに一定の力FをOPに対して垂直に加えた。Fを求めよ。
P
R
単位時間あたりに抵抗で発生する熱エネルギー P = = P点における仕事率 Fv = FLω F = =
・ 導体棒の角速度 ω ・ 導体棒の長さ L ・ Oは円の中心で固定 ・ 磁束密度 B : 上向き
O
ω B
P
R
B2ω2L4
4R
V2
R
P
Lω B2ωL3
4R
問3
磁場中を通過するコイル に関する問題
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
(1) コイルを貫く磁束の時間変化のグラフを描け。コイルが磁場中に入る時刻を t = 0とする。
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
3b
・ コイルが全て磁場中に入る時刻は、 ・コイルが磁場中から出始める時刻は、 ・コイルが磁場中から出終わる時刻は、
b
v 3b
v 4b
v
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
(i) 0 < t < のとき コイルを貫く磁束Φ(=BS)は一様に増えていく。 t = のとき、Φ = Bab
b
v
b
v
0 時刻 t b
v
磁束 Φ
Bab
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
(ii) < t < のとき コイルを貫く磁束Φ=Babは一定。
b
v
0 時刻 t b
v
磁束 Φ
Bab
3b
v
3b
v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
3b
(iii) < t < のとき コイルを貫く磁束Φは一様に減っていく。
3b
v
0 時刻 t b
v
磁束 Φ
Bab
4b
v
3b
v
4b
v
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
0 時刻 t b
v
磁束 Φ
Bab
3b
v
4b
v
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
(2) コイルに発生する誘導起電力の時間変化のグラフを描け。ただし、時計回りに電流を流す方向を正とする。
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
(i) 0 < t < のとき コイルに発生する誘導起電力の大きさ V = vBaは一定。 レンツの法則より、 手前向きの磁場を作る方向に 電流を流すので、 誘導電流の向きは反時計回り。
b
v
0
b
v
−vBa
3b
時刻 t
起電力 V
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
(ii) < t < のとき コイルを貫く磁束Φ=Babは一定で、磁束Φが変化しないため、 誘導起電力V= =0
b
v
3b
v
3b
dΦ
dt
0
b
v
−vBa 3b
v
時刻 t
起電力 V
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v
b
a
B v
3b
(iii) < t < のとき コイルに発生する誘導起電力の大きさ V = vBaは一定。 レンツの法則より、 奥向きの磁場を作る方向に 電流を流すので、 誘導電流の向きは時計回り。
3b
v
4b
v
4b
v
0 時刻 t
b
v
起電力 V
−vBa 3b
v
vBa
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
(3) コイルの速度を一定に保つため、外部から加える力Fの時間変化のグラフを描け。ただし、コイルの抵抗をRとし、Fの正の向きはvと同様、右向きとする。
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
b
a
B v
(i) 0 < t < のとき 長さbの辺2つが受ける合力は0。∴長さaの右の辺だけ考える。 コイルが磁場から受ける力の大きさF=IBa I = = ∴F = 右の辺の電流は上向きなので、 コイルが磁場から受ける力は左 これに逆らう力を加えるので、右
b
v
3b
V
R
vBa
R
vB2a2
R
0 時刻 t b
v
力 F
vB2a2
R
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
b
a
B v
(ii) < t < のとき 磁束変化がなく、誘導電流が流れないので、 (F=IBLより、I=0なので、) F=0
b
v
3b
v
3b
0 時刻 t b
v
力 F
vB2a2
R
3b
v
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
b
a
B v
3b
(iii) < t < のとき (i)と同様に考える。長さaの左の辺だけ考える。 F = 左の辺の電流は上向きなので、 コイルが磁場から受ける力は左 これに逆らう力を加えるので、右
3b
v
4b
v
vB2a2
R
0 時刻 t b
v
力 F
vB2a2
R
3b
v
4b
v
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
(4) コイルが磁場中を通過し終えるまでに外力がした仕事を求めよ。
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
b
a
B v
3b
外力Fが仕事をするのは、回路が入るときの距離b、出るときの距離b、合わせて2bの区間である。 外力Fのする仕事 W = Fx = ・2b = vB2a2
R
2vB2a2b R
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
(5) コイルが磁場中を通過し終えるまでに消費した電力量を求めよ。
b
a
B v
3b
・ 磁束密度Bの領域:長さ3b ・ 長さa,bの長方形コイル ・ コイルの速度 v ・ コイルの抵抗 R
b
a
B v
3b
電力量W = P t = I V t = ・ vBa ・ = 外力がした仕事とコイルが消費する電力量(ジュール熱)が同じ。 ∴外力がした仕事は最終的に全て熱エネルギーに変換される。
2vB2a2b R
vBa
R
2b
v
問4
コイル・コンデンサーを含む回路 に関する問題
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
(1.1)スイッチを入れた直後、コンデンサーの電気量を求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
V
C
L R
S
コンデンサー手前の抵抗を通って電流が流れるため、 コンデンサーの電荷は急に変化しない。(過渡現象) ∴ スイッチを入れる直前と同様、0 C
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
(1.2) スイッチを入れた直後、コイルに流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
V
C
L R
S
コイルは自己誘導のため、コイルを流れる電流の変化を妨げるはたらきがある。 ∴ コイルを流れる電流は 0A
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
(1.3) スイッチを入れた直後、コイルにかかる電圧の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
V
C
L R
S
LとCは並列なので、コイルの電圧VLはコンデンサーの電圧VCと常に等しい。 コンデンサーの電圧 VC=Q/C は、Q=0より、VC=0 ∴ コイルの電圧VL=0
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
(1.4) スイッチを入れた直後、抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
V
C
L R
S
VC=0、VL=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ IR =
V
R
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
(1.5) スイッチを入れた直後、コンデンサーに流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 0 C
V
C
L R
S
Lには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コンデンサーの電流 また、抵抗に流れる電流 IR = より、 コンデンサーに流れる電流 IC =
V
R V
R
・ スイッチ閉
(2.1) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コイルにかかる電圧の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ閉
V
C
L R
S
コイルに流れる電流は充分に時間が経つと、変化しなくなる。 コイルの自己誘導による誘導起電力 VL = −L より、 = 0 なので、 VL = 0
dI
dt dI
dt
・ スイッチ閉
(2.2) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コンデンサーの電気量を求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ閉
V
C
L R
S
LとCは並列なので、VL = 0より、VC = 0
・ スイッチ閉
(2.3) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ閉
V
C
L R
S
VC=0、VL=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ IR =
V
R
・ スイッチ閉
(2.4) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コンデンサーに流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ閉
V
C
L R
S
充分に時間が経つと、コンデンサーに流れる電流は 0A
・ スイッチ閉
(2.5) スイッチを入れて充分時間が経ったとき、コイルに流れる電流の大きさを求めよ。
V
C
L R
S
・ スイッチ閉
V
C
L R
S
Cには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コイルの電流 また、抵抗に流れる電流 IR = より、 コイルに流れる電流 IL =
V
R V
R