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幾何学序論講義ノート
【集合・写像・数】【連続・コンパクト・連結】
市原一裕
平成 26 年 12 月 14 日
3
はじめに
このノートは「幾何学序論」の講義用のノート（講義を実際にするための
メモ，および，学生の自習（予習と復習）用）として作成しています．わから
ないところや，ミスだとおもわれるところがあれば，いつでも遠慮なく，市
原まで連絡ください．質問やコメントによって，みんなのノートとして，よ
り良いものにしていければと思っています．
さて，ここでは講義の概略や講義前の準備について説明しましょう．
この講義（幾何学序論）のテーマは「集合と位相（トポロジー（topology））」
です．より正確には（固い感じのいいまわしでは）「集合論と位相空間論」が
テーマです．
知っての通り，いわゆる現代の数学は
代数学，幾何学，解析学，（数学基礎論），（応用数学），· · ·というように大きく分類されています．もちろん研究の先端においては，そ
れぞれの分野を横断するような革新的な研究が，日進月歩で押し進められて
います．しかしそれでも，「集合論と位相空間論」は，現代数学の（ほとんど）
全ての基盤ということができるかと思います．（もちろん異論のある方もいらっ
しゃるかとは思いますが）．つまり，この現代数学の共通言語ともいえる「集
合論と位相空間論」の初歩を習得することが，この講義の目標となります．
ここで「初歩を習得」とかいた具体的な内容として考えているのは，いわ
ゆる「読む」「聞く」「書く」「話す」というようなことが，きちんとできるよ
うになるということです．その為には，基本的な用語を知ること（定義を覚
える，意味を理解する，感覚的にわかる），および，抽象的な論理を理解し
て使えるようになること，が必要だと思います．特に後者は，普通は講義を
聴くだけではできるようにはならないと思います．従って，自分の頭で考え
練習することが大事です．このノートが少しでもその役に立つと嬉しいので
すが．
また大変残念なことに，いわゆる「位相空間」について，より深く学ぶと
ころまでは進むことができないと思います．意欲のある人は，あとに述べる
参考文献をもとに，ぜひ自分で勉強を進めていって欲しいと思います．
講義題目について
蛇足かもしれないですが，講義題目について補足です．上のような講義内
容，つまり，「現代数学の共通基盤」として集合と位相を学ぶ，を説明すると，
なぜ講義題目が「幾何学序論」なのですか？ と質問をされることがあります．
これには，大きく２つの理由があると考えています．
一つは，歴史的理由です．数学の共通基盤（というか出発点）として，「数
学」という学問をはじめて言語化（理論的に）した本というのが，いわゆる
ユークリッドの「原論（ストイケイア（ギリシャ語），英語では「Elements」）」
でした（紀元前３世紀）．この本の多くの部分（全てではない）が「幾何学」
に関するものであり，幾何学原論などとも呼ばれることから，「幾何学序論」
という講義題目で，現代数学の基礎である「集合と位相」を学ぶことにして
います．
もう一つは，現代数学において，より詳しく，位相空間を専門的に扱う分
野を位相幾何学（トポロジー）といっています．そこで，「幾何学序論」とい
う講義題目で「集合と位相」を学ぶことにしています．注意ですが，英語で
Topology といったときに，この学問分野の名称（通常，日本語では，位相幾
何学）と，集合に対して決まる構造（日本語では厳密には位相構造，この講
義では最後の方に触れるだけかもしれない）の両方を指します．良く混乱し
て間違ってしまうことがあるので，どっちの意味で言って（書いて）いるの
か，気をつけるようにしてください．
4
講義の概要
前期は第 1章から第 3章までです．
第 1章はテーマは集合の基礎です．集合の相等の証明がかけるようになる
こと，直積集合とはなにかがわかること，集合族の性質の証明ができるよう
になることが目標です．
第 2章のテーマは写像の基礎と集合の濃度です．全単射について基礎的な
証明が出来るようになること，さらにそれを用いて，集合の濃度の大小につ
いて理解することを目標とします．
第 3章のテーマは数体系の構築です．自然数の定義（ペアノの公理による）
から始め，同値関係を用いて，整数の集合と有理数の集合を構成していきま
す．さらに，コーシー列の集合から同値類を考え，実数の集合を構築します．
抽象的な数体系を論理的に構築していく様子を学ぶことが目標です．
後期は第 4章から第 7章までです．
第 4章のテーマはユークリッド幾何学から位相幾何学（トポロジー）へ，で
す．まずは 1次元の幾何学（数直線上の幾何学）からはじめて，高校までで
学んで来た図形の学習を「ユークリッド幾何学」として見直し，きちんと定
義し，そして，そこからの発展として，新しい幾何学とか柔らかい幾何学と
呼ばれる「位相幾何学（トポロジー）」を定義します．
第 5章では，空間のコンパクト性について学びます．基本的な問題として
「開区間 (0, 1)と閉区間 [0, 1]が同相か？」という問題を考え，これを証明す
る手段として「コンパクト」という概念を導入します．
第 6章では，空間（図形）の連結性を学びます．ここで最終的に証明した
い問題は「数直線 Rと平面 R2 は同相か？」というものです．直感的には当
たり前なことをどうやって証明するか．よくよく考えて進めていきたいと思
います．
最後に第７章では，ユークリッド空間における距離と開集合の概念を一般
化して，より抽象的な「距離空間」と「位相空間」を定義します．より詳し
い性質までは触れられませんが，とにかく定義だけはきちんとするのが目標
です．付録として，点列で定義したユークリッド空間内の部分集合のコンパ
クト性を，開被覆を用いた形で再定義し，位相空間がコンパクトであること
の定義を与えます．
5
参考書
この講義では，特に決まった教科書（テキスト）は使用しません．昨年度
までの講義内容をもとに，このノートを基に進めていきます．
より詳しい内容を勉強したい人は，以下の参考書が役に立つかと思います．
ただし，このノートで使っている用語や記号とは，いろいろ異なっているこ
とがあるので，注意してください．
• ライブラリ新数学大系-E 1
「集合と位相への入門」 ユークリッド空間の位相
鈴木晋一 (早稲田大学名誉教授) 著
定価：1,733円（本体 1,650円+税）
発行：サイエンス社
発行日：2003-04-10
ISbn 978-4-7819-1034-5 ／ A5判／ 168頁
• はじめての集合と位相
大田 春外 著
定価：税込み 2,730円（本体価格 2,600円）
判型：A5判 ページ数：272ページ
ISbnコード 978-4-535-78668-4 発刊日：2012.08
• 数学 30講シリーズ 3
集合への 30講
志賀浩二 著
A5／ 196ページ／ 1988年 05月 20日
ISbn978-4-254-11478-2 C3341
定価 3,780円（税込）
• 数学 30講シリーズ 4 位相への 30講
志賀浩二 著
A5／ 228ページ／ 1988年 09月 10日
ISbn978-4-254-11479-9 C3341
定価 3,780円（税込）
6
7
目 次
はじめに 3
講義題目について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
講義の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
参考書 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 1章 集合 11
1.1 集合とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 包含関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 集合の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 和集合と共通部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 補集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 差集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 直積集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 冪集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 集合族 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 集合族の和集合・共通部分 . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 集合族の補集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
【余談】集合の集合？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
第 2章 写像の基礎と集合の濃度 25
2.1 写像とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 像と逆像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 合成写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 単射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 全射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 全射・単射と合成写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 全単射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 集合の対等と濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.1 有限集合とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.2 無限集合とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 可算集合と非可算集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10 濃度の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
【余談】関数とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
第 3章 数とは 41
3.1 自然数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 同値関係と商集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 同値関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 商集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 写像の誘導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 整数とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 整数の集合の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 整数の演算と大小関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 有理数とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 有理数の集合の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2 有理数の集合の濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 実数とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 実数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 実数の完備性と連続公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.3 アルキメデスの原理と有理数の稠密性 . . . . . . . . . 57
3.6 実数の集合の濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
【余談】カントールの連続体仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第 4章 ユークリッド幾何学と位相幾何学 61
4.1 1次元の幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.1 数直線上の合同 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.3 同相写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 連続関数と開集合・閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 ε-近傍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 開集合と閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 連続写像と開集合・閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 n次元ユークリッド幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 n次元空間とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 ユークリッド距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 ユークリッド空間とユークリッド幾何学 . . . . . . . . 69
4.4 Rn の連続写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 部分集合と開集合・閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
【余談】トポロジーと位置と形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
第 5章 コンパクト空間 81
5.1 数列と点列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.1 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.2 数列から Rn 内の点列へ . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8
5.2 点列コンパクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
【余談】どうしてコンパクトなんて考えるの？ . . . . . . . . . . . . 86
第 6章 連結性と弧状連結性 87
6.1 連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.1 連結とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.2 連続写像と連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 連結性とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.1 連結性と部分集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.2 連結性の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 弧状連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.1 弧状連結とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.2 道の接合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 弧状連結成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
第 7章 距離空間と位相空間 95
7.1 距離空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 位相空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 被覆コンパクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9
11
第1章 集合
この章では，まず（高校で教わったような）集合についての復習からスター
トします．まずは，集合の相等などについて，ちゃんと（論理的な）証明が
かけるようになるようにしましょう．また最後は「集合の集合」である集合
族を扱います．
1.1. 集合とは 第 1. 集合
前期第1講
1.1 集合とは� �定義 1.1.1. 【 集合（set）】
確定した，互いに区別できる対象を 1 つにまとめたもの（数学辞典より）� �注意 1.1.1. 定義（definition）とは，用語の意味を明確に規定する文のこと
（式を含んでもよい）．よく def. とか df とか df’n などと省略される．
これから特に定義はなにかということをよくよく考えること．
集合の表し方（記法）
• ものを書き並べて { }でくくる（列挙法）
• 「～をみたすものの全体」という言い方
• {記号 |条件 }
� �集合の記号：∈，∋（属する（belong to）），/∈（属さない）
用語：要素，元（element）
空集合（empty set）：∅，∅
� �注意 1.1.2. （記号の由来）詳しくは，以下を参照．
Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic
http://jeff560.tripod.com/set.html
よく使われる記号� �N，Z，Q，R，C 厳密な定義はあとで．．．� �
1.2 包含関係� �定義 1.2.1. 【 部分集合（subset）】２つの集合X と Y について，X の
どんな要素も Y の要素になっているとき，X は Y の部分集合であると
いう．X ⊂ Y，もしくは，Y ⊃ X であらわす．⊆，⊇もつかう．� �12
第 1. 集合 1.2. 包含関係
� �定義 1.2.2. 【 真部分集合（proper subset）】集合 X が集合 Y の真部
分集合であるとは，X ⊂ Y だがX ⊃ Y であること．⊊，⊋であらわす．� �注意 1.2.1. • 「A ⊂ B」⇔「A ⊃ B」（排反事象ではない）
• X ⊂ X
• ∅ ⊂ X （数学的（論理的）な意味）
bababababababababababababababab
注意 1.2.2. AはBに含まれている，つまりA ⊂ Bのときでも，A
は Bの要素ではない．（「含まれている」という言い方にだまされな
いこと！）
注意 1.2.3. ひとつの集合内の部分集合達を考えるとき，それらすべてを含
む集合を全体集合といったりする．� �定義 1.2.3. 【 集合の相等 】
２つの集合X と Y が等しいとは，
X ⊂ Y かつ X ⊃ Y が成り立つこと．
（つまり，全ての要素が等しい）� �
13
1.2. 包含関係 第 1. 集合
練習問題 1.2.1. 次の集合を列挙法で表しなさい．
(1) {n2 | n ∈ Z , −2 ≤ n ≤ 3}
(2) {pq | p, q ∈ Z , 1 ≤ p ≤ 3 , 1 ≤ q ≤ 4}
(3) {x | x ∈ R , x2 + x+ 1 ≤ 0}
練習問題 1.2.2. {3x | x ∈ R} = Rを示しなさい．
練習問題 1.2.3. A = {2x2 − 1 | x ∈ R}と B = {x ∈ R | x > −2}について，A ⊊ B を示しなさい．
練習問題 1.2.4. A = {n ∈ N | nは偶数 }と B = {n(n + 1) | n ∈ N}について，A ⊋ B を示しなさい．
14
第 1. 集合 1.3. 集合の演算
前期第２講
1.3 集合の演算
演算（えんざん）とは，いくつかの与えられたものから，一定の法則を適
用して，他のものを作り出す操作のこと．
以下，1つの集合 U を固定して（U を全体集合（Universal set）として），
その部分集合について考える．つまり，{x | · · · }と書いたら {x | x ∈ U, · · · }のこと．
1.3.1 和集合と共通部分� �定義 1.3.1. 【 和集合（Union）， ∪（cup，カップ）】
２つの集合 Aと B について，
A ∪B := {x | x ∈ A または x ∈ B} を Aと B の和集合という．� �注意 1.3.1. X := Y という記号で「X を Y で定義する」という意味．
定理 1.3.1. 任意の２つの集合 Aと B について次が成り立つ．
(1) A ∪A = A (2) A ∪ ∅ = A
(3) A ∪B = B ∪A (4) A ⊂ A ∪B かつ B ⊂ A ∪B
� �定義 1.3.2. 【 共通部分（intersection） ∩（キャップ，cap）】
２つの集合 Aと B について，
A ∩B := {x | x ∈ A かつ x ∈ B} を Aと B の共通部分という．� �注意 1.3.2. 共通部分のことを，積集合（product set）ということもある．
定理 1.3.2. 任意の２つの集合 Aと B について次が成り立つ．
(1) A ∩A = A (2) A ∩ ∅ = ∅(3) A ∩B = B ∩A (4) A ⊃ A ∩B かつ B ⊃ A ∩B
定理 1.3.3. 集合 A，B，C について以下が成り立つ．
(1) 「A ⊂ C かつ B ⊂ C」ならば A ∪B ⊂ C
(2) 「C ⊂ Aかつ C ⊂ B」ならば C ⊂ A ∩B
15
1.3. 集合の演算 第 1. 集合
定理 1.3.4. 集合 A，B，C について以下が成り立つ．
(1) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(2) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
(4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
1.3.2 補集合� �定義 1.3.3. 【 補集合（complement）】
全体集合 U の部分集合 Aに対して，
Ac := {x ∈ U | x /∈ A}を Aの補集合という．
（c は complement の頭文字）� �
注意 1.3.3. 高校では Aを使っ
ていたと思うが，ここでは Ac
にする． は，他でも使うので
（例えば，共役複素数）．
定理 1.3.5. 全体集合 U の部分集合 Aについて，
(1) A ∪Ac = U (2) A ∩Ac = ∅ (3) (Ac)c = A
(4) 集合 B が A ∪B = U と A ∩B = ∅をみたすならば B = Ac
定理 1.3.6. 全体集合 U の部分集合 Aと B について，
(1) A ⊂ B ⇔ Ac ⊃ Bc
(2)【ド・モルガンの定理】 (A∪B)c = Ac∩Bc (A∩B)c = Ac∪Bc
1.3.3 差集合� �定義 1.3.4. 【 差集合（difference set）】
２つの集合 Aと B について，A−B := {x | x ∈ A, x /∈ B}をAとBの差集合という．A−B = A∩Bc = A− (A∩B)ともかける．� �
注意 1.3.4. A \B と書くこともある．
注意 1.3.5. B が Aの部分集合でなくても，A−B は定義される．
定理 1.3.7. ２つの集合 Aと B について，
(A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B −A)
注意 1.3.6. (A ∪B)− (A ∩B)のことを，Aと Bの対称差（たいしょうさ，
symmetric difference）ともいう．A△B であらわしたりする．
16
第 1. 集合 1.3. 集合の演算
練習問題 1.3.1. 集合 U の部分集合 A，B，C について，A ∩ (B ∪ C) =
(A ∩B) ∪ (A ∩ C) を示しなさい．
練習問題 1.3.2. 全体集合U の部分集合AとBについて，(A∩B)c = Ac∪Bc
を証明しなさい．
練習問題 1.3.3. ２つの集合 Aと B について，
(A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B −A) を証明しなさい．
（Hint: 定義 1.3.4と定理 1.3.6と定理 1.3.4を使う．）
17
1.4. 直積集合 第 1. 集合
前期第３講
1.4 直積集合� �定義 1.4.1. 【 直積集合（direct product）】（Cartesian product とも）
２つの集合 Aと Bに対して，Aの要素 xと Bの要素 yの組 (x, y)全体
の集合を，Aと B の直積集合といい，A×B とかく．� �注意 1.4.1. 最初に「発見」したのは，ルネ・デカルトとされる（1637年）．
いわゆる座標（デカルト座標）．
注意 1.4.2.
• 組 (x1, y1)と (x2, y2)に対して，
(x1, y1) = (x2, y2) ⇔ x1 = x2 かつ y1 = y2
• A = B ならば A×B = B ×A
定理 1.4.1.
(1) 集合 Aに対して，A× ∅ = ∅ ×A = ∅
(2) 集合 A，B，C に対して，
(a) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)
(b) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C)
(3) A ⊂ X，B ⊂ Y のとき，
(X × Y )− (A×B) = ((X −A)× Y ) ∪ (X × (Y −B))
18
第 1. 集合 1.5. 冪集合
1.5 冪集合� �定義 1.5.1. 【 冪集合（べきしゅうごう，power set）】集合 Aの部分集
合の集合を Aの冪集合（べきしゅうごう）といい，2A であらわす．� �注意 1.5.1. 冪集合の記号はいろいろある．P(A)とかP(A)とか．
定理 1.5.1. （冪集合の要素の個数）
要素がm個の集合 Aに対して，その冪集合は 2m個の要素（集合）か
らなる集合である．
19
1.5. 冪集合 第 1. 集合
練習問題 1.5.1. A × B = B × Aとなるような集合 Aと B の具体例をあげ
なさい．
練習問題 1.5.2. 集合A，B，Cに対して，(A∩B)×C = (A×C)∩ (B×C)
を証明しなさい．
練習問題 1.5.3. 集合A = {1, 3, 5}に対して，2Aを列挙法であらわしなさい．
練習問題 1.5.4. 空集合 ∅に対して，2∅ と 22∅を列挙法であらわしなさい．
20
第 1. 集合 1.6. 集合族
前期第４講
1.6 集合族� �定義 1.6.1. 【集合族（family of sets)】ある集合 Λの各要素 λ ∈ Λに
対応して，集合 Aλが与えられているとき，この集合の集まり {Aλ}λ∈Λ
を，Λを添字集合（index set）とする集合族という．� �Λ: ギリシャ文字のひとつ．ラムダ とよむ
注意 1.6.1. 集合族と添字集合は，なんの関係もない．添字集合は単にラベ
ルをつけるだけのもの．
記号� �確認：以下では，全体集合 U を一つ定めてあって，{Aλ}λ∈Λは，集合 Λ
を添字集合とする部分集合族をあらわす．� �1.6.1 集合族の和集合・共通部分� �定義 1.6.2. 【集合族の和集合】
集合族 {Aλ}λ∈Λ の和集合とは∪λ∈Λ
Aλ := {x ∈ U | ∃λ ∈ Λ s.t. x ∈ Aλ}
� �例 1.6.1. Λ = {1, 2}のとき，
∪λ∈Λ
Aλ = A1 ∪A2
一般には，Λは自然数とは限らないので，このように列挙するような書き
方はできない．� �定義 1.6.3. 【集合族の共通部分】
集合族 {Aλ}λ∈Λ の共通部分とは
∩λ∈Λ
Aλ := {x ∈ U | ∀λ ∈ Λ, x ∈ Aλ}
� �21
1.6. 集合族 第 1. 集合
定理 1.6.1. （集合族の和集合・共通部分の性質）
全体集合 U の部分集合族 {Aλ}λ∈Λと U の部分集合 Bに対して，以下
が成り立つ．
(1)
(∪λ∈Λ
Aλ
)∪B =
∪λ∈Λ
(Aλ ∪B)
(2)
(∩λ∈Λ
Aλ
)∩B =
∩λ∈Λ
(Aλ ∩B)
(3)
(∩λ∈Λ
Aλ
)∪B =
∩λ∈Λ
(Aλ ∪B)
(4)
(∪λ∈Λ
Aλ
)∩B =
∪λ∈Λ
(Aλ ∩B)
1.6.2 集合族の補集合
定理 1.6.2. 全体集合 U の部分集合族 {Aλ}λ∈Λ に対して，次が成り
立つ．
(1)
(∪λ∈Λ
Aλ
)c
=∩λ∈Λ
(Aλ)c
(2)
(∩λ∈Λ
Aλ
)c
=∪λ∈Λ
(Aλ)c
22
第 1. 集合 1.6. 集合族
練習問題 1.6.1. n ∈ Nに対して，An :=
[− 1
n,1
n
]⊂ Rとするとき，∪
n∈N
An ⊂ [−1, 1] = A1 を証明しなさい．
練習問題 1.6.2. n ∈ Nに対して，An :=
(− 1
n, 1
]⊂ Rとするとき，∩
n∈NAn ⊃ [0, 1] を証明しなさい．
練習問題 1.6.3. 全体集合 U の部分集合族 {Aλ}λ∈Λと U の部分集合 Bに対
して，以下を証明しなさい．(∩λ∈Λ
Aλ
)∩B =
∩λ∈Λ
(Aλ ∩B)
注意 1.6.2. a < bである実数 aと bに対して，[a, b]は数直線上の閉区間を
あらわす．つまり，
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
くわしくは後で
注意 1.6.3. 記号 ≤ は ≦ の意味．≦ は世界的には余り使われていない記号なので，この講義では ≤ を主に使う．「小なりイコール」と日本語では読むことが多い．「 x 以下」「たかだか x（at most x）」などともいう．
注意 1.6.4. a < bである実数 aと bに対して，(a, b)は数直線上の開区間を
あらわす．つまり，
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
同様に，半開区間 (a, b]や [a, b)も定義する．
23
1.6. 集合族 第 1. 集合
【余談】集合の集合？
集合族は「集合の集合」のようなもの．では，本当に「集合」？
ただし，「集合の集合」を無制限に使うのは危険！
（ラッセルのパラドックス，1902）
V := {X | X は集合 は集合だろうか？
もし，これが本当に集合ならば，
Z := {X ∈ V | X ∈ X}
は V の部分集合．つまり，集合．
さて，この Z について，Z ∈ Z だろうか？ それとも，Z ∈ Z だろうか？
（参考文献）
結城 浩 (著)
「数学ガール ゲーデルの不完全性定理」(数学ガールシリーズ 3)
（コミック版もある）
個人的なおすすめは
野矢 茂樹 (著)
無限論の教室 (講談社現代新書)
もうひとつ，参考文献．
一昨年の３年生がゼミ発表の為に調べて書いた解説を，次のページに置い
てあります．
http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Labo/Notes/2012/3rd/0516Kiyota.pdf
正直，ちょっと難しいだろうけど，良い読み物になっていると思う．
ちなみにこの学生は，このゲーデルの不完全性定理に関して卒論を書きま
した．
24
25
第2章 写像の基礎と集合の濃度
この章では，まず写像について復習をして，基本をしっかり身につけるよ
うにする．特に，全射／単射を確実に理解しよう．最後には，全単射の考え
方を利用して，集合の濃度について学ぶ．
2.1. 写像とは 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
前期第５講
2.1 写像とは� �定義 2.1.1. 【写像（map）】
集合X から集合 Y への写像とは，X のある要素と Y のある要素との間
の対応関係のこと．� �注意 2.1.1. 狭い意味では「ある要素からある要素を対応させるルール（法
則）」のこと．一般には明確なルールはなくても良い（対応関係さえはっきり
していれば）（ディリクレの定義）
bababababababababababababababab
【写像の表し方】f : X → Y で写像 f をあらわす．
写像 f が要素 xを f(x)に写すことを x 7→ f(x)とあらわす．
� �定義 2.1.2. 【始域（source），終域（target）】
写像 f : X → Y に対し，集合Xを f の始域，集合 Y を f の終域という．
定義 2.1.3. 【定義域（domain），値域（range）】
写像 f : X → Y に対して，f による対応関係があるような x ∈ X の集
合を f の定義域といい，x ∈ X に対して f(x)の集合を f の値域という．� �注意 2.1.2. この定義からわかるように，一般には，f の定義域は f の始域
の部分集合であり，f の値域は f の終域の部分集合となる．
ただし通常は，始域と定義域は一致すると仮定しておく．このような写像
を特に全域写像，そうでない写像を部分写像ということもある．
例 2.1.1. h : N → R，h(n) =1
n− 3とすると，これは写像ではない（全域写
像ではない．部分写像ではあるけれど）．例えば，始域を N− {3}とするか，
h(n) =
1
n− 3if n = 3
2π if n = 3
などとすれば写像になる．
26
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.1. 写像とは
� �定義 2.1.4. 【関数（function）】
終域が数の集合（たとえば，Rとか Cとか）である写像のこと．� �注意 2.1.3. 昔は「函数」とかいた．この「函（かん）」は「はこ」の意味．
注意 2.1.4. おおざっぱに言ってしまえば，関数を（微積を使って）研究する
のが解析学．
終域が複素数の集合 Cである関数を特に，複素関数といい，複素関数を研究するのが複素解析学（函数論もしくは関数論ともいう）．
� �定義 2.1.5. 【写像の相等】
２つの写像 f : X → Y と g : X ′ → Y ′ に対して，
X = X ′ かつ Y = Y ′，さらに，∀x ∈ X に対して f(x) = g(x)
が成り立つとき，f と gは等しいという．� �例 2.1.2. f(x) = x2 − 1で定まる写像 f : R → Rと，g(x) = x2 − 1で定ま
る写像 g : N → Rは等しくない！ なぜなら，f と gは定義域が異なるから．
関数をあらわす式だけをみないこと． 式は関数ではない ．
� �定義 2.1.6. 【恒等写像（identity map）と包含写像（inclusion map）】
集合X の恒等写像 idX : X → X とは，∀x ∈ X，idX(x) = xで決まる
写像のこと．つまり，なにも動かさない写像のこと．
一方で，X ⊊ Y（つまり，X は Y の真部分集合）のとき，包含写像
（inclusion map）iX : X → Y とは，∀x ∈ X，iX(x) = xで決まる写像
のこと．� �注意 2.1.5. これら２つの写像は等しくない．なぜなら，終域が違うから．
（始域も定義域も値域も等しいけど）．
� �定義 2.1.7. 【制限写像（restriction map）】
写像 f : X → Y と X の部分集合 Aに対して，A ∋ a 7→ f(a)で決まる
写像 A → Y を，f の Aへの制限写像といい，f |A であらわす．つまり，f |A : A → Y，f |A(a) = f(a)となる．� �
注意 2.1.6. f と f |A は始域が違うので，やっぱり異なる写像．
27
2.1. 写像とは 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
練習問題 2.1.1. f(x) = 2x2 − 1で定義される写像 f : R → Rの始域，終域，定義域，値域を書きなさい．
練習問題 2.1.2. f(x) = xで定義される f : {0, 1} → Rと，g(x) = x2 で定
義される g : {0, 1} → Rが等しいことを証明しなさい．
練習問題 2.1.3. 包含写像 iQ : Q → Rと，制限写像 id|Q : Q → Rは，写像として等しいことを証明しなさい．
28
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.2. 像と逆像
前期第６講
2.2 像と逆像� �定義 2.2.1. 【像（image）】
写像 f : X → Y と X の要素 xに対して，f(x) ∈ Y で決まる Y の要素
を f による xの像という．
写像 f : X → Y とX の部分集合 Aに対して，{f(a) ∈ Y | a ∈ A}で決まる Y の部分集合を f による Aの像といい，f(A)とかく．
特に，f による定義域Xの像を，（単に）f の像といい，f(X)とかく．こ
れはつまり f の値域のこと．� �注意 2.2.1. f(A)は Y の要素ではなくて部分集合であることに注意！！
定理 2.2.1. A，Bを集合とし，f : A → Bを写像とする．Aの部分集
合 A1，A2 に対して，次が成り立つ．
(1) A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2)
(2) f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2)
(3) f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2)
(4) f(A1 −A2) ⊃ f(A1)− f(A2)� �定義 2.2.2. 【逆像（inverse image）】写像 f : X → Y と Y の要素 yに
対して，{x ∈ X | y = f(x) ∈ Y }で決まる X の部分集合を f による y
の逆像という．記号では f−1(y)であらわす．
写像 f : X → Y と Y の部分集合Bに対して，{x ∈ X | f(x) ∈ B}で決まる X の部分集合を f による B の逆像という．記号では f−1(B)であ
らわす．� �注意 2.2.2. f−1とかいても，逆写像ではない．f−1(x)でひとつの記号．そ
して，f−1(x)はX のひとつの要素ではなくて部分集合であることに注意！！
またBの逆像を考える時，Bは f の像 f(X)に入っていなくても良い．例
えば，y /∈ f(X)のとき，f−1(y) = ∅となる．
29
2.3. 合成写像 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
定理 2.2.2. A，Bを集合とし，f : A → Bを写像とする．Bの部分集
合 B1，B2 に対して，次が成り立つ．
(1) B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2)
(2) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2)
(3) f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2)
(4) f−1(B1 −B2) = f−1(B1)− f−1(B2)
定理 2.2.3. X，Y を集合とし，f : X → Y を写像とする．X の部分
集合 A，Y の部分集合 B に対して，次が成り立つ．
(1) f−1(f(A)) ⊃ A
(2) f(f−1(B)) ⊂ B
2.3 合成写像� �定義 2.3.1. 【合成写像（composition map）】f : X → Y と g : Y → Z
という 2つの写像に対し，fと gの合成写像 g◦f : X → Zを，g◦f(x) :=g(f(x))と定義する．� �定理 2.3.1. f : X → Y，g : Y → Z，h : Z → W とするとき，
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)
注意 2.3.1. この定理から，(h ◦ g) ◦ f および h ◦ (g ◦ f)のことを，h ◦ g ◦ fと書いても大丈夫ということ．
30
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.3. 合成写像
練習問題 2.3.1. f : R → R，f(x) = x2 + 2とするとき，
(1) 次の集合の像を求めなさい．
(a) A1 = [0, 1]
(b) A2 = (2, 3]
(c) A3 = (4, 5)
(2) 次の集合の逆像を求めなさい．
(a) B1 = [0, 1]
(b) B2 = (2, 3]
(c) B3 = (4, 5)
練習問題 2.3.2. 写像 f : X → Y とし，A1 と A2 は X の部分集合とする．
このとき，次を証明しなさい．
A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2)
練習問題 2.3.3. 写像 f : X → Y とし，A1 と A2 は X の部分集合とする．
このとき，次を証明しなさい．
f(A1 −A2) ⊃ f(A1)− f(A2)
練習問題 2.3.4. f : R → R，f(x) = 2x+3と，g : R → R，g(x) = x2+x+1
について，次に答えなさい．
• g ◦ f，f ◦ g，f ◦ f，g ◦ gを式であらわしなさい．
• f ◦ f ◦ · · · ◦ f（n個の合成）を式であらわしなさい（できれば，数学的
帰納法で証明しなさい）．
31
2.4. 単射 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
前期第７講
2.4 単射� �定義 2.4.1. 【単射（injection, monomorphism, one-to-one map）】
写像 f : X → Y が単射であるとは，∀x1, x2 ∈ X に対し，「x1 = x2 なら
ば f(x1) = f(x2)」が成り立つということ．� �言い換え (1)� �
f が単射 ⇔ ∀x1, x2 ∈ X に対し，「f(x1) = f(x2)ならば x1 = x2」が成
り立つということ．� �注意 2.4.1. この言い換えは，定義 2.4.1の対偶．証明のときに良く使う．
言い換え (2)� �f が単射 ⇔ ∀y ∈ Y, ♯(f−1(y)) ≤ 1� �
注意 2.4.2. ♯(S)は集合 S の要素の数をあらわす� �どのようにして与えられた写像が単射かどうか判断するか？
定義域が有限集合のときはすべての要素の行き先を調べる．
定義域が無限集合のときは，定義の対偶（上の言い換え (1)）を調べる
とうまくことが多い．� �注意 2.4.3. 単射性を調べるときは，定義域を把握しておく必要がある．つ
まり，定義域によって，単射になったりならなかったりする．
2.5 全射� �定義 2.5.1. 【全射（surjection, epimorphism, onto map）】
写像 f : X → Y が全射であるとは，「∀y ∈ Y に対し，∃x ∈ X s.t.
y = f(x)」が成り立つということ．� �言い換え� �
f が全射 ⇔ ∀y ∈ Y, ♯(f−1(y)) ≥ 1� �32
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.6. 全射・単射と合成写像
2.6 全射・単射と合成写像
定理 2.6.1. X，Y，Z を集合とし，f : X → Y と g : Y → Z を 2つ
の写像とする．
(1) f と gが単射 ⇒ g ◦ f は単射
(2) f と gが全射 ⇒ g ◦ f は全射
(3) g ◦ f : X → Y が単射 ⇒ f は単射
(4) g ◦ f : X → Y が全射 ⇒ gは全射
2.7 全単射� �定義 2.7.1. 【全単射（bijection）】
写像 f : X → Y が全単射であるとは，f が単射かつ全射ということ．� �言い換え� �
f が全単射 ⇔ ∀y ∈ Y, ♯(f−1(y)) = 1� �� �定義 2.7.2. 【逆写像（inverse map）】
写像 f : X → Y が全単射であるとき，∀y ∈ Y に対して，♯(f−1(y)) = 1
より，y = f(x)となる x ∈ X が唯一つ存在する．
従って，y 7→ xという対応により Y からX への写像が定まる．
この写像を f の逆写像といい，f−1 : Y → X であらわす．� �定理 2.7.1. 写像 f : X → Y が全単射であるならば，
(1) f ◦ f−1 = idY
(2) f−1 ◦ f = idX
定理 2.7.2. 2つの写像 f : X → Y と g : Y → X があって，
f ◦ g = idY g ◦ f = idX
が成り立つならば，f も g も全単射であり，g = f−1 かつ f = g−1 が
成り立つ．
33
2.7. 全単射 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
練習問題 2.7.1. f : R → R，f(x) = 2x− 1が単射であることを示しなさい．
練習問題 2.7.2. f : R → R，f(x) = |x|が全射でないことを示しなさい．
練習問題 2.7.3. 次の集合X と Y の間の全単射を見つけなさい．
(1) X = (0, 1)，Y = R
(2) X = N，Y = Z
(3) X = (0, 1)，Y = [0, 1]
練習問題 2.7.4. 写像 f : X → Y が単射のとき，X の部分集合 A1 と A2 に
対して，次を証明しなさい．
f(A1 ∩A2) = f(A1) ∩ f(A2)
34
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.8. 集合の対等と濃度
前期第８講
ここでは集合の “大きさ”（要素の個数）について考えてみよう．鍵となる
のは全単射．これはおよそ 130年前に，ドイツの数学者 G.カントールによっ
て考えはじめられた．
2.8 集合の対等と濃度
2.8.1 有限集合とは
直感的な定義：有限集合とは，含まれる元の個数が有限個の集合のこと．
bababababababababababababababab
つまり・・・全ての元に（有限個の）番号が付けられる集合
⇒ その「番号」に対して，元たちと全単射がつくれる！
� �定義 2.8.1. 【有限集合（finite set）】
集合X が有限集合であるとは，ある n ∈ Nに対して，
全単射 f : {1, 2, 3, · · · , n} → X が存在すること．
この自然数 nを 集合X に含まれる元の個数 といい，♯X であらわす．� �注意 2.8.1. 本当は先に Nの定義をしないといけない．．．が，ここでは，まず直感的にわかってもらうために，それは後回し．
定理 2.8.1. ２つの有限集合X と Y に対して，
(1) 単射 f : X → Y が存在する ⇔ ♯X ≤ ♯Y
(2) 全射 f : X → Y が存在する ⇔ ♯X ≥ ♯Y
(3) 全単射 f : X → Y が存在する ⇔ ♯X = ♯Y
注意 2.8.2. (1) の⇒の対偶「♯X > ♯Y ⇒ 単射 f : X → Y が存在しない」
は鳩の巣原理 とよばれ有名（1834年，ディリクレ）．
35
2.9. 可算集合と非可算集合 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
� �定義 2.8.2. 【集合の対等（濃度が等しい）】
２つの集合X と Y が対等である（濃度が等しい）とは，
全単射 f : X → Y が存在すること．このとき，X ∼ Y とかく．� �注意 2.8.3. ここでは「集合の濃度」とはなにか，という定義は（まだ）し
ない．あくまで「濃度が等しい」ことの定義だけ．
定理 2.8.2. ２つの有限集合X と Y が対等であるための必要十分条件
は ♯X = ♯Y であること．
2.8.2 無限集合とは
注意 2.8.4. 無限集合についても，集合が対等である（濃度が等しい）ことの
定義は，有限集合のときと同じ，つまり全単射が存在することと定義しよう．
� �定義 2.8.3. 【無限集合（infinite set）】
集合X が無限集合であるとは，
X とは異なるX の部分集合（つまり，X の真部分集合）で，
X と対等な集合が存在すること．� �例 2.8.1. Nは無限集合．
注意 2.8.5. 鳩の巣原理より，有限集合は無限集合ではない．
2.9 可算集合と非可算集合� �定義 2.9.1. 【可算集合（countable set）・非可算集合（uncontable set）】
集合X が可算集合であるとは，
X と Nが対等である（つまり，全単射X → Nが存在する）こと．� �例 2.9.1. Rは非可算集合（証明は対角線論法による）
36
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.10. 濃度の比較
2.10 濃度の比較
ここでは集合の “大きさ” を比べて，集合たちを分類してみよう．
（かなり大雑把にだけど）� �定義 2.10.1. 【濃度の大小】
２つの集合X と Y に対して，単射 f : X → Y が存在するとき，
Y の濃度はX の濃度以上であるといい，♯X ≤ ♯Y とかく．� �定理 2.10.1. ２つの集合X と Y に対して，♯X ≤ ♯Y かつ ♯Y ≤ ♯X の
とき，
X と Y は対等である，つまり，濃度は等しい
（つまり，全単射 f : X → Y が存在する）
この定理は次の定理からわかる．
定理 2.10.2. ベルンシュタインの定理（1897）
２つの集合X と Y に対して，２つの単射 f : X → Y と g : Y → X が
存在するとき，
実は，全単射 h : X → Y が存在する．
注意 2.10.1. この f と gそのものは全単射になるかわからない．証明は，f
と gから新しい hをつくり，それが全単射になることをいう．
次の定理もカントールが証明した．
この定理により，いくらでも濃度の大きな無限集合が存在することがわかる．
定理 2.10.3. 任意の集合X に対して，♯X ≤ ♯2X である．
37
2.10. 濃度の比較 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
練習問題 2.10.1. 整数の集合 Zが無限集合であることを示しなさい．
練習問題 2.10.2. 整数の集合 Zが可算集合であることを示しなさい．
練習問題 2.10.3. X := {n | n = 3k−√2 , k ∈ Z}としたとき，♯X ≤ ♯Zを
示しなさい．
38
第 2. 写像の基礎と集合の濃度 2.10. 濃度の比較
【余談】関数とは
関数（かんすう，function）という用語を導入したのは，ゴットフリート・
ヴィルヘルム・ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）だと
言われています．
具体的には，1676年の論文「Methodus tangentium inversa（逆接線法）」
において「関数」という用語を導入したとされています．実際には，諸説あっ
て，僕も原論文を読んでいないので，なんとも言えません．また彼のいう「関
数（functio，ラテン語）」は，今で言う「関数」の意味とは違ったものと言
われています．
次に，レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707 - 1783）による定義
に進みます．『無限小解析入門』(Introductio in Analysin Infinitorum : 1748
年) によると，
「変数と定数とから組み立てられた解析的な式」
となっていて，つまり，「式が関数」という，今で言う中学生風の定義になっ
ています．（ちなみに， f(x) という記法を導入したのはオイラーだとされて
います．）逆に言うと，式さえあれば良いので，今で言う「多価関数」（一つ
の入力が与えられたときに一つあるいは複数の出力を得る）も含めて考えて
います．これは今では写像といえないものなので，いわゆる「関数」とは言
わないことになっています．しかし「「多価関数」は関数でない」となったの
は 20世紀前半になってから，だそうです．
次に，オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789-
1857）による定義になります．1823年の「解析学講義」によれば，
二つの変数 x と y があり，入力 x に対して出力 y の値を決定す
る規則が与えられているとき，変数 y を「x を独立変数とする関
数」あるいは簡単に「x の関数」という．
となっていて，これは今の中学／高校における定義とほとんど同じです．し
かし，この時代にはまだ，「集合」「写像」という概念が浸透していなかった
ため，なんらかの「統一的な」または「記述可能な」規則こそが関数だとさ
れていたわけです．
最後に，ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ (Peter Gustav Lejeune
Dirichlet,1805-1859)によって，
個々の独立変数と従属変数の対応そのもの（式による一定の法則
は必要ない） [1837]
39
2.10. 濃度の比較 第 2. 写像の基礎と集合の濃度
とし，これがいわゆる「関数」もしくは「写像」の概念に到達したものだ
と考えられています．
もちろんこの講義で扱っているような関数（写像）の定義のためには，集
合論の確立が必要不可欠で，それはカントール以降になってからと言われて
います．
なお用語「関数」についてですが，古くは「函数」と書いていました．こ
れは英語 「function」 の中国語訳（音訳）とされています（「代微積拾級」
（１８５９年））．これが日本に伝わったのですが，1950年頃，いわゆる当用
漢字に「函」が含まれないことになり，「関数」という表記になったというこ
とです．
ちなみに未だに由緒正しいところでは「函数」の表記が使われています．例
えば，日本における数学者の集まりである「日本数学会」では，その分科会
の名称として「函数論」「函数方程式論」「実函数論」「函数解析学」などが使
われています．
40
41
第3章 数とは
この章では，幾何学とは少しずれてしまうが，集合としての「数」（自然
数，整数，有理数，実数）をきちんと定義してみよう．大事なのは，同値関
係とそれによる商集合の考え方である．これらは後々，重要になってくるの
で，しっかり学ぶことにしよう．
3.1. 自然数の定義 第 3. 数とは
前期第９講
3.1 自然数の定義
ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）� �イタリアの数学者。トリノ大学教授。
自然数の公理系 （ペアノの公理）、ペアノ曲線の考案者
として知られる。（1858.8.27-1932.4.20）� �� �定義 3.1.1. 【自然数（ペアノの公理, 1891）】
(1) 1 は自然数である
(2) 任意の自然数 a に対して、a+ が自然数を与えるような右作用演
算 + が存在する
(3) もし a, b を自然数とすると、 a+ = b+ ならば a = b である
(4) a+ = 1 を満たすような自然数 a は存在しない
(5) 集合 S が二条件
(i) 1 は s に含まれる,
(ii) 自然数 a が S に含まれるならば a+ も S に含まれる
を満たすならば、あらゆる自然数は S に含まれる。� �注意 3.1.1. 公理（axiom）：その他の命題を導きだすための前提として導入
される最も基本的な仮定
注意 3.1.2. 公理 (5) は，いわゆる「数学的帰納法の原理」．
注意 3.1.3. ペアノ自身は，上の５条件を，自然数がみたすべき公理として
導入した（1891）．従って，この条件をみたす集合が，本当に存在するかど
うか，は考えられていない．
後になって，実際にこれらの条件を満たす集合 Nは（集合論的に）構成できることが示された（例えば，フォン・ノイマン）．
bababababababababababababababab
自然数の集合 Nが定義されたので，次は整数の集合 Zを定義したい．そのために，準備として，まず同値関係と商集合を学ぼう．
42
第 3. 数とは 3.2. 同値関係と商集合
3.2 同値関係と商集合
3.2.1 同値関係� �定義 3.2.1. 【関係（relation），同値関係（equivalence relation）】
集合X に対して，写像 R : X ×X → {0, 1}を，X 上の関係という．
集合X 上の関係 R : X ×X → {0, 1}が以下の条件をみたすとき，その関係をX における同値関係という．
(1) ∀x ∈ X, R(x, x) = 1
(2) ∀x, y ∈ X, R(x, y) = R(y, x)
(3) ∀x, y, z ∈ X, R(x, y) = 1かつ R(y, z) = 1ならば R(x, z) = 1� �注意 3.2.1. 条件 (1)を反射律，条件 (2)を対称律，条件 (3)を推移律という．� �集合 X における同値関係 R が与えられたとき，簡単にかくため，
R(x, y) = 1のとき，x ∼ y とかくことにする．
このとき，３つの条件は，以下のように書き換えられる．
(1) ∀x ∈ X, x ∼ x
(2) ∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇔ y ∼ x
(3) ∀x, y, z ∈ X, x ∼ yかつ y ∼ z ⇒ x ∼ z� �3.2.2 商集合� �定義 3.2.2. 【同値類（equivalence class）】
集合X における同値関係 ∼が与えられたとき，a ∈ X に対して，
C(a) := {b ∈ X | b ∼ a}
を，aを代表元とする同値類という．� �注意 3.2.2. C(a)の代表元は aでなくても良い．C(a)の任意の元を一つ選
んで来たら，それを代表元として良い．
43
3.2. 同値関係と商集合 第 3. 数とは
定理 3.2.1. 集合X における同値関係∼が与えられたとき，次が成立．
(1) ∀x ∈ X, x ∈ C(x)
(2) x ∼ y ⇔ C(x) = C(y)
(3) x ∼ yでない ⇔ C(x) ∩ C(y) = ∅
(4) X =∪a∈X
C(a)
� �定義 3.2.3. 【商集合（quotient set）】
集合X における同値関係 ∼が与えられたとき，同値類全体の集合
{C(a) | a ∈ X}
を，X の ∼による商集合，または，X を ∼で割った商集合，という．この商集合を X/∼ であらわす．� �� �定義 3.2.4. 【商写像（quotient map）】
集合X における同値関係∼が与えられたとき，a 7→ C(a)で決まる写像
X → X/∼ を商写像という．� �定理 3.2.2. 集合 X における同値関係 ∼ が与えられたとき，商写像X → X/∼ は全射になる．
3.2.3 写像の誘導� �定義 3.2.5. 【誘導写像（induced map）】
集合X に同値関係∼が与えられたとし，商写像X → X/∼をΦで表す．
写像 f : X → Y に対して，ある写像 f : X/∼ → Y が存在して，
f = f ◦ Φと表せるとき，この f を誘導写像という．� �
44
第 3. 数とは 3.2. 同値関係と商集合
定理 3.2.3.
集合Xに同値関係∼が与えられたとし，商写像X → X/∼をΦで表す．
写像 f : X → Y に対して誘導写像が存在する
⇔ 「∀a, b ∈ X に対して C(a) = C(b) ⇒ f(a) = f(b)」が成り立つ
練習問題 3.2.1. 整数の集合 Zにおいて，「a ∼ b ⇔ a − bは 4の倍数」とい
う関係 ∼を考えるとき，関係 ∼は同値関係であることを示しなさい．
注意 3.2.3. 本来なら先に Zを定義しなくてはいけないけれど，とりあえずここでは知ってる範囲で考えてください．
練習問題 3.2.2. 練習問題 3.2.1 ができたとして，つまり，「a ∼ b ⇔ a −bは 4の倍数」とすると∼は同値関係になると仮定して，その商集合 Z/∼をかきなさい．
練習問題 3.2.3. 練習問題 3.2.1 ができたとして，つまり，「a ∼ b ⇔ a −bは 4の倍数」とすると∼は同値関係になると仮定して，f(n) := sin(nπ)で
決まる写像 f : N → Rには，誘導写像が存在することを示しなさい．
45
3.3. 整数とは 第 3. 数とは
前期第１０講
bababababababababababababababab
前回の補足 自然数の集合 Nに対して，集合と写像（だけ）を用いて，大小関係（順序）と，和 と 積 の演算が定義できる．残念な
がら，ここでは詳しいことは省略．これまで直感的に理解して来た
ような性質が，自然に成り立つような定義になっているので，計算
などではこれまで通りに使って良いことにする．
注意 3.2.4. 演算（operation）：正確には二項演算（binary operation）とよ
ばれる．集合X 上の演算（二項演算）とは，写像 X ×X → X のこと．
3.3 整数とは
3.3.1 整数の集合の構成� �定義 3.3.1. 【整数の集合 Z（integer）】
自然数の対の集合
{(a, b) | a ∈ N, b ∈ N}
つまり，直積集合 N× N を考える．ここで，
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a+ d = c+ b
で定義される関係を考えると，これは同値関係になる（ぜひ自分で証明
してください）．
そこで，商集合 N × N/∼ を考え，この集合を 整数の集合 Z と定義し，その各要素を 整数 と定義する．� �
注意 3.3.1. この定義では，Zの要素である整数は，商集合の要素なので同値類であることに注意．つまり，N×Nの部分集合．例えば，{(1, 2), (3, 4), · · · } ∈ Z
注意 3.3.2. 記号 Zの由来：ドイツ語 Zahlen（「数」）� �定義 3.3.2. 【0（ゼロ，零）】
同値類 {(1, 1), (2, 2), · · · }で表される Zの要素を，0と定義する．� �注意 3.3.3. 0の発見：ブラーマグプタ（インド），628年
46
第 3. 数とは 3.3. 整数とは
� �定義 3.3.3. 【負の数】
n,m ∈ Nとするとき，(n,m)を代表元とするZの要素（整数）について，
• n > mのとき，代表元として (N + 1, 1)がとれる．
このとき，その同値類をN で表し，自然数N と同一視する．
• n < mのとき，代表元として (1, L+ 1)がとれる．
このとき，その同値類を −Lで表す．
また，x := {(n,m), (n + 1,m + 1), · · · } ∈ Zで表される整数に対して，{(m,n), (m+ 1, n+ 1), · · · } ∈ Zで表される整数を −xで表す．� �
3.3.2 整数の演算と大小関係� �定義 3.3.4. 【整数の演算】
x, y ∈ Zに対して，xが (a, b)を代表元とする同値類で，yが (c, d)を代
表元とする同値類のとき，
x+ y := (a+ c, b+ d)を代表元とする同値類
x× y := (ac+ bd, ad+ bc)を代表元とする同値類
と定義する．また，x− y := x+ (−y)と定義する．� �注意 3.3.4. これらの演算の定義については，well-defined であることを示し
ておく必要がある．例えば和 x + yが，xと yの代表元の取り方によらずに
決まることを示さないといけない．
定理 3.3.1. ∀x ∈ Zに対して，x− x = 0が成り立つ．
� �定義 3.3.5. 【整数の大小関係】 x, y ∈ Zに対して，x− y ∈ Nのとき，x > yと定義する．
x− y = 0のとき，x = yと定義する．
y − x ∈ Nのとき，x < yと定義する．� �定理 3.3.2.
x, y ∈ Zに対して，x > yか x = yか x < yのいずれかが必ず成り立つ．
47
3.3. 整数とは 第 3. 数とは
練習問題 3.3.1. N× Nにおいて，
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a+ d = c+ b
で定義される関係を考えると，これは同値関係になることを示しなさい．
練習問題 3.3.2. 定義 3.3.4で定義した整数 xと yの和 x+ yが，xと yの代
表元によらずに決まることを示しなさい．
練習問題 3.3.3. 定義 3.3.4に基づいて，∀x ∈ Zに対して，x− x = 0が成り
立つことを証明しなさい．
練習問題 3.3.4. 定義 3.3.4に基づいて，−1×−1 = 1を証明しなさい．
48
第 3. 数とは 3.4. 有理数とは
前期第１１講
3.4 有理数とは
3.4.1 有理数の集合の構成
bababababababababababababababab
一つの分数は整数２つの組で表される．たとえば，pq ↔ (p, q)．た
だこれだと， 12 = 2
4 とならない．どうしたら良いか．．．？
⇒ 同値関係を考える！
� �定義 3.4.1. 【有理数の集合 Q，有理数（rational number）】
直積集合 Z× (Z− {0})を考える．ここで，
(m,n) ∼ (m′, n′) ⇔ mn′ = m′n
で定義される関係を考えると，これは同値関係になる（ぜひ自分で証明
してください）．
そこで，商集合 Z × (Z − {0})/∼ を考え，この集合を 有理数の集合 Qと定義し，その各要素を 有理数 と定義する．� �
注意 3.4.1. 分母に 0が来ないようにするため，Z×Zではなく，Z×(Z−{0})を考える．
注意 3.4.2. Qの「Q」は，Quotient （商）の頭文字．
注意 3.4.3. また公理的に定義することも可能（標数 0の素体として）．ここ
での構成は，一般に，環から商体を作る構成法．
注意 3.4.4. Q = Z × (Z − {0})/∼ の元で，その代表元が (m,n)のものを，mn で表す．このとき，定義より，任意の k ∈ Zに対して，次が成り立つ．
m
n=
km
kn
つまり，(m,n)を代表元とする同値類と，(km, kn)を代表元とする同値類は
等しい．
注意 3.4.5. n ∈ Zに対して，(n, 1)を代表元とするQ = Z× (Z−{0})/∼の要素を，nで表し，整数 n ∈ Zと同一視する．この同一視によって，Qの部分集合 {n
1 ∈ Q | n ∈ Z}と整数の集合 Zとの間に全単射を作ることができる．
49
3.4. 有理数とは 第 3. 数とは
� �定義 3.4.2. 【有理数の演算】
x, y ∈ Qに対して，xが (a, b)を代表元とする同値類で，yが (c, d)を代
表元とする同値類のとき，
x+ y := (ad+ bc, bd)を代表元とする同値類
x× y := (ac, bd)を代表元とする同値類
と定義する．また，x− y := x+ (−y)と定義する．� �注意 3.4.6. これらの演算の定義については，整数の演算のように，well-
defined であることを示しておく必要がある．
注意 3.4.7. 有理数の大小関係についても，整数のときと同様に定義する．
注意 3.4.8. これらの演算について，交換律や分配律など，これまで使って
来たような性質は，きちんと証明できる．
定理 3.4.1. 【有理数の逆数】ab ,
cd ∈ Qについて，a
b × cd = 1ならば c
d = ba が成り立つ．
注意 3.4.9. 言い換えると，(a, b)を代表元とする同値類 x ∈ Qと，(c, d)を
代表元とする同値類 y ∈ Qに対して，x× y = 1ならば，yは (b, a)を代表元
としてもつ．さらに言い換えると，x× y = 1ならば，(c, d) ∼ (b, a)となる．� �定義 3.4.3. 【有理数の除法】
x, y ∈ Qに対して，商 x÷yを x = y×zをみたす要素 zとして定義する．� �注意 3.4.10. 次の定理により，このような x÷ yは必ず存在して，ただ一つ
である．
定理 3.4.2.
Q = Z× (Z− {0})/∼ の２つの元 ab，
cd について，次が成り立つ．
a
b÷ c
d=
a
b× d
c
3.4.2 有理数の集合の濃度
定理 3.4.3. 自然数の集合Nと有理数の集合Qは対等である．つまり，全単射 N → Qが存在する．また言い換えると，Qは可算集合である．
50
第 3. 数とは 3.4. 有理数とは
練習問題 3.4.1. 直積集合 Z× (Z− {0})において，
(m,n) ∼ (m′, n′) ⇔ mn′ = m′n
で定義される関係を考えると，これは同値関係になることを示しなさい．
練習問題 3.4.2. Q = Z× (Z− {0})/∼ の元として，mn = km
kn が成り立つこ
とを示しなさい．
練習問題 3.4.3. 定義 3.4.2で定義した有理数 xと yの積 xyが，xと yの代
表元によらずに決まることを示しなさい．
51
3.5. 実数とは 第 3. 数とは
前期第１２講
3.5 実数とは
3.5.1 実数の定義
注意 3.5.1. R.デデキントが考えた「有理数の切断」を使う方法もある（1872）．
「デデキントの切断」ともよばれる．以下で紹介するのは，カントールによる
方法（おなじく 1872）．� �定義 3.5.1. 【有理数のコーシー列（Cauchy sequence】
各項が有理数である数列 {xn}が以下の条件を満たすとき，「有理数のコーシー列」または「有理コーシー列」という：
∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N s.t. m,n > N(ε) ⇒ |xm − xn| < ε� �注意 3.5.2. 有理数のコーシー列は（Qの中で）収束するとは限らない．
注意 3.5.3. 有理数の絶対値は，通常通り，定義する（ここでは省略）．
定理 3.5.1. 【有理コーシー列の同値関係】
２つの有理コーシー列 {xn}と {yn}の関係 {xn} ∼ {yn} を次のように定義すると，これは同値関係になる．
∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N s.t. n > N(ε) ⇒ |xn − yn| < ε
注意 3.5.4. 上の条件は，有理数の数列として {xn − yn}が 0 に収束してい
る，とみることができる．つまり， limn→∞
(xn − yn) = 0 としても良い．
� �定義 3.5.2. 【実数の集合 R】有理コーシー列の集合 A := { {xn} | {xn} は有理数のコーシー列 } と，上で定義した同値関係 ∼ を用いて，実数の集合 Rを A/∼ と定義する．
すなわち実数とは，同値関係 ∼による有理コーシー列の同値類のこと．� �注意 3.5.5. 有理数 rに対して，数列 {r, r, r, · · · }とすると，これはコーシー列．これを r ∈ Qと同一視する．これにより，Q ⊂ Rとみなす．
注意 3.5.6. 以下，有理コーシー列 {an}の表す同値類（つまり，実数）を，[{an}]で表すことにする．（前の記号では，C( )と書いていたけど，見にくい
ので変更）
52
第 3. 数とは 3.5. 実数とは
� �定義 3.5.3. 【実数の四則演算】
2つの実数 α = [{an}]と β = [{bn}]について，
(1) 和 α+βを数列 {cn := an+ bn}の定める同値類 [{cn}]と定義する．
(2) 差 α−βを数列 {dn := an−bn}の定める同値類 [{dn}]と定義する．
(3) 積 αβ を数列 {en := anbn}の定める同値類 [{en}] と定義する．
(4) β = 0 のとき，商α
βを次の数列 {fn}の同値類 [{fn}]と定義する．
fn :=
anbn
(bn = 0)
an (bn = 0)� �定理 3.5.2. 【四則演算の well-definedness】
(1) 上の数列 {cn}，{dn}，{en}，{fn}は全て有理コーシー列になる．
(2) 有理数のコーシー列 {an}，{a′n}，{bn}．{b′n}があり，
{an} ∼ {a′n}かつ {bn} ∼ {b′n}であるとする．このとき，上のようにして得られる数列 {cn}と {c′n}は同値（つまり，{cn} ∼ {c′n}）．
{dn}と {d′n}，{en}と {e′n}，{fn}と {f ′n} についても同様．
注意 3.5.7. 有理数を表す数列に対する四則演算は，これまでの有理数の四
則演算と一致する．
定理 3.5.3. 【加法の性質】
(1) 実数の加法について，結合則と交換則がなりたつ．
つまり，任意の実数 α，β，γ に対して，次が成り立つ．
α+ (β + γ) = (α+ β) + γ , α+ β = β + α
(2) 0 = [{0, 0, 0, · · · }]は加法の単位元である．
つまり，任意の実数 α に対して，0 + α = α+ 0 = α
定理 3.5.4. 【加法の逆元】
(1) 実数 α に対して 0−α を，−α と略記すると，−αは加法におい
て αの逆元である．つまり，α+ (−α) = (−α) + α = 0 である．
(2) 実数 αと β に対して，α− β = α+ (−β)が成り立つ．
53
3.5. 実数とは 第 3. 数とは
定理 3.5.5. 【乗法の性質】
• 任意の実数 α, β, γ ∈ R に対して，次が成り立つ．
(1) αβ = βα
(2) α(βγ) = (αβ)γ
(3) α(β + γ) = αβ + αγ
• 実数 1 は正の実数における乗法の単位元である．
つまり，任意の α ∈ R に対して，α× 1 = 1×α = αが成り立つ．
• 任意の実数 α と実数 0 に対して，α×0 = 0×α = 0が成り立つ．
• 任意の実数 αに対して，以下が成立．
(1) −α = (−1)× α
(2) −(−α) = α
定理 3.5.6. 【乗法の逆数】
ゼロでない実数 α の逆数 1α を，割り算 1÷ α の結果として定義する
と， 1α は乗法において αの逆数である．
つまり， 1α × α = α× 1
α = 1が成り立つ．
� �定義 3.5.4. 【実数の大小関係】
2つの実数 α = [{an}]と β = [{bn}]について，次のように大小関係を定義する．
• （復習）α = βが成り立つのは，それぞれの代表元（有理コーシー
列）{an}と {bn} が次をみたすとき：
∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N s.t. n > N(ε) ⇒ |xn − yn| < ε
（つまり， limn→∞
|an − bn| = 0）
• α = β かつ，ある代表元 {an} と {bn}について，
∀n ∈ Nについて an ≤ bn がなりたつとき，α < β と定義する．
• α = β かつ，ある代表元 {an} と {bn}について，
∀n ∈ Nについて an ≥ bn がなりたつとき，α > β と定義する．� �54
第 3. 数とは 3.5. 実数とは
定理 3.5.7. 【実数の大小関係の性質】
実数 α，β，γ に対して，次が成り立つ．
• 次の 3つのうち一つだけが常に成立する: α < β，α = β，α > β
• 推移律が成り立つ: α < β かつ β < γ ならば α < γ
• (1) α < β ならば α+ γ < β + γ
(2) α < β かつ γ > 0 ならば α× γ < β × γ
定理 3.5.8. 【実数の十進小数表示】任意の正の実数 x ∈ Rに対して，次の形の有理コーシー列 {an} で x = [{an}] となるものが存在する．
an = x0 +x1
10+
x2
102+ · · ·+ xn
10n, xi ∈ Z, 0 ≤ xi ≤ 9
ただし x0 は，x = x0 または x > x0 をみたす最大の整数．
練習問題 3.5.1. ２つの有理コーシー列 {xn}と {yn}の関係 {xn} ∼ {yn} を次のように定義したとき，反射律が成り立つことを示しなさい．
∀ε > 0, ∃N(ε) ∈ N s.t. n > N(ε) ⇒ |xn − yn| < ε
練習問題 3.5.2. ２つの有理コーシー列 {an}と {bn}に対して，数列 {dn :=
an − bn}が有理コーシー列になることを示しなさい．
練習問題 3.5.3. 有理コーシー列の同値類として実数を定義したとき，0.9999 · · · =1となることを示しなさい．
55
3.5. 実数とは 第 3. 数とは
前期第１３講
前回の続き．実数の性質を調べよう．
注意 3.5.8. 実数に対して，その絶対値を，これまでと同様に定義すること
ができる．詳しいことは，ここでは省略．
3.5.2 実数の完備性と連続公理
定理 3.5.9. 【実数の完備性（completeness）】
実数のコーシー列は必ず収束する．
すなわち，任意の実数の列 {xn}がコーシー列である，つまり，
∀ε > 0, ∃N(ε) s.t. ∀n, n′ > N(ε), |xn − xn′ | < ε
が成り立つとき，実数 α がただ一つ定まり，次が成立する．
∀ε > 0, ∃N(ε) s.t. ∀n > N(ε), |xn − α| < ε
注意 3.5.9. 一般に，絶対値（ノルム）が定義されている集合において，任
意のコーシー列が収束するとき，その集合は完備である（complete）という．� �定義 3.5.5. 【上限（sup）と下限（inf）】
Rの部分集合を Aとする．
• Aに対して「すべての α ∈ Aに対して α ≤ x」となるような x ∈ Rが存在するとき，この xを Aの上界という．
• Aの上界がすくなくとも一つ存在するようとき，Aは上に有界で
あるという．
• Aが上に有界であるとき，Aの上界のうちで最小のもの，つまり
任意の「A の上界」λに対して，α ≤ λをみたす Aの上界 αが存
在するとき，それを Aの上限（supA）という．
下界，下に有界，下限も同様に定義する．� �定理 3.5.10. 【実数の連続公理】
上に有界なRの部分集合Aには，必ず上限 α = supA ∈ Rが存在する．また，下に有界な集合 B には，必ず下限 β = inf B ∈ Rが存在する．
56
第 3. 数とは 3.6. 実数の集合の濃度
注意 3.5.10. いまのように，コーシー列から実数を定義している場合，これ
は「定理」だが，この「連続公理」と前節の定理たちと次節の「アルキメデ
スの原理」をあわせて，「公理」として実数の集合を定義することもできる．
3.5.3 アルキメデスの原理と有理数の稠密性
定理 3.5.11. 【有理数の稠密性（ちゅうみつせい）】
α < β をみたす任意の実数 αと β に対して，α < r < β となる有理数
r が無数に存在する．
定理 3.5.12. Rの中で Nは有界ではない．
定理 3.5.13. 【アルキメデスの原理】
0 < α < β をみたす任意の２つの実数 αと β に対して，ある自然数N
が存在してNα > β が成り立つ．
3.6 実数の集合の濃度
定理 3.6.1. 【Rの濃度】 Rと 2N は対等である．
定理 3.6.2. Rと R× Rは対等である．
注意 3.6.1. この定理は，カントールが 1877年に（32才のときに）示した
もので，無限に関しては次元には意味がない！ことを意味しているように見
える．
カントール自身，自分で証明できてしまったが，次のような友人のデデキ
ント宛ての手紙が残っている
「私は見た．しかし信じられない（Je le vois, mais je ne le crois pas!）」
57
3.6. 実数の集合の濃度 第 3. 数とは
練習問題 3.6.1. A = (0, 1)の下限が 0であることを示しなさい．
練習問題 3.6.2. 集合 { nm+n | m,n ∈ N} ⊂ Rが上限または下限を持つかど
うか調べなさい．
練習問題 3.6.3. 任意の正の実数 αに対して，0 < r < αをみたす有理数が
存在することを示しなさい．
（Hint: 1α を考えて，Nの非有界性を使う）
58
第 3. 数とは 3.6. 実数の集合の濃度
【余談】カントールの連続体仮説
59
61
第4章 ユークリッド幾何学と位相幾何学
これまでに学んだように，例えば，閉区間 [0, 1]から開区間 (0, 1)への全
単射，また，実数の集合 Rから平面 R× Rへの全単射を作ることができる．従って，全単射によって集合（図形）を区別するというのは，幾何学におい
ては適切ではないように思えてしまう．
では，どのように，全単射では区別できない集合（図形）を区別したら良
いだろうか？
（図形を区別する基準を定めることにより，一つの幾何学の分野が決まる
（章末の【余談】参照） ）
ここではまず，「合同」の概念を見直し，高校までに学んで来た幾何学を再
定義する．そのうえで，「連続写像」という概念を導入し，それによって図形
を分類する位相幾何学（トポロジー）を考えていこう．
4.1. 1次元の幾何学 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
後期第１講
4.1 1次元の幾何学
ここではまず，これから学んでいくことの雛形（モデルケース）として，1
次元の幾何学，言い換えれば，数直線上の幾何学を考えてみよう．
4.1.1 数直線上の合同
1次元の空間として，数直線を考える．その中の図形というのは，例えば，
開区間 (0, 1)や，閉区間 [2, 6]，半開区間 [−1, 2)，さらには，[0, 1] ∪ (2, 3)な
ども 1次元の図形だとみなすことができる．
これらの図形が合同であるとは，どういうことだろうか？� �定義 4.1.1. 【合同（congruent），合同変換，等長写像（isometry）】
X,Y ⊂ Rを二つの 1次元の図形とする．
このとき，X と Y が合同であるとは，ある合同変換 f : R → R s.t.
f(X) = Y となること．
また Rから Rへの写像 f : R → Rが，合同変換（等長写像）であるとは，∀a, b ∈ Rに対して，|a− b| = |f(a)− f(b)|が成り立つこと．� �
注意 4.1.1. 実は，f が等長写像ならば，f が全単射になることがわかる．し
かし，一般に逆は成り立たない．
注意 4.1.2. 等長写像とは，単純にいえば，２点間の距離を保つ写像のこと．
例えば，数直線上では，平行移動や点対称移動．
例 4.1.1. f(x) = xで定義される写像 f : R → Rは等長写像．f(x) = −x
で定義される写像 f : R → Rも等長写像．f(x) = x + 1で定義される写像
f : R → Rも等長写像．f(x) = 2xで定義される写像 f : R → Rは等長写像でない．
例 4.1.2. [0, 1]と [2, 3]は合同．(−2, 3]と [−3, 2)も合同．しかし，(0, 1)と
(1, 3)は合同でない．[1, 2]と (3, 4]も合同でない．
次の節では，これを n次元に一般化して，（n次元）ユークリッド幾何学を
展開する．
しかし，この「合同」という基準は厳しすぎるように見える．つまり，図
形を細かく分類しすぎてしまうので，実際に分類するのが大変（平面上の三
角形の合同条件くらいならすぐできるけど，四角形の合同条件すらきちんと
いうのは大変（Visual Math 2 で学ぶ予定））．
そこで，もっと「ゆるい」基準で図形を分類してみよう．これこそが柔ら
かい幾何学と呼ばれる位相幾何学（トポロジー） ！
62
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.1. 1次元の幾何学
4.1.2 連続関数
等長写像は「距離を保つ」写像だった．もっとゆるく考えて，距離を「ぴっ
たり」保たなくて良い，としてみたい．つまり，「だいたい」近い点は近い点
にうつす，くらいで考えてみたい．それはつまり，連続写像のことだろう！
いま１次元の図形，つまり数直線 R上の図形を考えている．Rから Rへの写像というのは，つまり関数のこと（つまり，関数は特殊な写像の一種）．
つまり，高校まででも扱っていたような（ふつうの）関数．そのような関
数について，「連続」を復習しよう．� �定義 4.1.2. 【連続関数（continuous function）】
X ⊂ R，f : X → Rとし，a ∈ X とする．
このとき，f が aにおいて連続である とは，次が成り立つこと．
limx→a
f(x) = f(a)
（この書き方は limの定義がないので曖昧さが残っている）
正確には，ε-δ論法を用いて，次のように定義される．
f が aにおいて連続 ⇔∀ε > 0,∃δ > 0 s.t. |x− a| < δ(x ∈ X) ⇒ |f(x)− f(a)| < ε
さらに，∀a ∈ X において f が連続であるとき，f はX 上で連続，また
は，単に，f は連続関数であるという．� �注意 4.1.3. ここで a ∈ X，つまり，aは定義域内の点であることに注意．
例えば，f(x) =1
xは連続関数になる．
次の節で，まずは n次元ユークリッド空間での連続写像を考えて，さらに
それを一般化することを考えたい．
4.1.3 同相写像
連続関数（連続写像）を使って，次のように「ゆるい」合同変換のような
ものを考えてみよう．� �定義 4.1.3. 【同相写像（homeomorphism）】
写像 f : X → Y が，同相写像であるとは，f が全単射で連続写像，か
つ，f の逆写像 f−1 も連続写像となること．� �このままでは，X や Y がなんなのか曖昧なので，きちんとした定義ではな
い．この章の目標は，この同相写像をきちんと一般的に定義すること．
63
4.1. 1次元の幾何学 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
注意 4.1.4. f が全単射で連続関数だけでは，変な例が作れてしまう．例え
ば，X = [0, 1) ∪ [2, 3]，Y = [0, 2] とおき，写像 f : X → Y を
f(x) =
x (0 ≤ x < 1)
x－ 1 (2 ≤ x ≤ 3)
で定義すると，これは全単射かつ連続だが，逆写像は連続にならない．この
X と Y が「同じ図形」だとは，さすがにトポロジーでも思いたくない．
練習問題 4.1.1. 次を示しなさい．
(1) f(x) = xで定義される写像 f : R → Rは等長写像．
(2) f(x) = −xで定義される写像 f : R → Rも等長写像．
(3) f(x) = x+ 1で定義される写像 f : R → Rも等長写像．
(4) f(x) = 2xで定義される写像 f : R → Rは等長写像でない．
練習問題 4.1.2. 次の二つの集合 Aと B について，Aを B にうつすような
Rの等長写像を求めなさい．
(1) A = [0, 1]，B = [2, 3]
(2) A = (−2, 3]，B = [−3, 2)
練習問題 4.1.3. 次の二つの集合 Aと B について，Aを B にうつすような
Rの等長写像は存在しないことを示しなさい．
(1) A = (0, 1)，B = (1, 3)
(2) A = [1, 2]，B = (3, 4]
練習問題 4.1.4. f(x) = 2xで定義される関数 f : R → Rが，x = 1において
連続であることを示しなさい．
練習問題 4.1.5. f(x) =
1 xが有理数のとき
0 xが無理数のときで定義される関数 f : R →
Rが，x = 0において連続でないことを示しなさい．
64
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.2. 連続関数と開集合・閉集合
後期第２講
4.2 連続関数と開集合・閉集合
ここでの目標は，閉区間 [0, 1]と開区間 (0, 1)が，Rの同相写像で移り合わないことを示すこと．
4.2.1 ε-近傍
まず連続の概念を一般化する為に，ひとつ用語を導入しておこう．� �定義 4.2.1. 【ε-近傍（ε-neighborhood）】
xを R内の点とする．ε > 0に対して，xの（Rにおける）ε-近傍とは，
(x− ε, x+ ε)のこと．これをN(x, ε)で表す．つまり，次の集合のこと．
N(x, ε) = {y ∈ R | |x− y| < ε}� �
� �定義 4.2.2. 【連続関数の定義の言い換え】
f : R → Rとし，a ∈ Rとする．このとき，
f が aにおいて連続 ⇔∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ N(a, δ) ⇒ f(x) ∈ N(f(a), ε)
さらに，∀a ∈ Rにおいて f が連続であるとき，f は R上で連続，または，単に，f は連続関数であるという．� �
注意 4.2.1. 関数の定義域は R全体ではなく，その一部かもしれない（例えば，f(x) = 1
x とか f(x) =√xとか）．そのような場合どうするか，は次回．
4.2.2 開集合と閉集合
次に，閉区間 [0, 1]と開区間 (0, 1)についてだけでなく，より一般の場合に
も適用できるように，「開／閉」の概念を明確に定義しておこう．
65
4.2. 連続関数と開集合・閉集合 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
� �定義 4.2.3. 【開集合（open set）】
U ⊂ Rが開集合であるとは，任意の a ∈ U に対して，ある ε > 0が存在
して，N(x, ε) ⊂ U が成り立つこと．� �注意 4.2.2. εは aに応じてとれれば良い．
注意 4.2.3. (0, 1)は開集合だが，[0, 1)は開集合でない．もちろん [0, 1]も開
集合ではない．∅は開集合．Rも開集合．
定理 4.2.1. 【開集合の性質】
(1) U1, · · · , UmをRの開集合とすると，U1∩· · ·∩UmもRの開集合．
(2) Λを添字集合とした集合族 {Uλ}λ∈Λに対して，全ての Uλが開集
合ならば，∪λ∈Λ
Uλ も開集合．
� �定義 4.2.4. 【閉集合（closed set）】
F ⊂ Rが閉集合であるとは，R− F が開集合であること．� �注意 4.2.4. 閉集合を先に定義して，あとから開集合を定義するやり方もあ
る．ただ，先に開集合を定義する方が一般的．
注意 4.2.5. ∅は閉集合．Rも閉集合．つまり，開かつ閉である集合というものがありえる．
注意 4.2.6. 開集合でないからといって閉集合になるとは限らない．どちら
でもない集合やどちらでもある集合も存在する．
66
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.2. 連続関数と開集合・閉集合
4.2.3 連続写像と開集合・閉集合
定理 4.2.2. 【連続関数と開集合】
関数 f : R → Rに対して，f が R上の連続関数⇔ 終域 Rの任意の開集合 V に対して，f による V の逆像 f−1(V )が Rの開集合．
この定理から，閉区間 [0, 1]と開区間 (0, 1)が，Rの同相写像で移り合わないことが示される．
注意 4.2.7. 連続関数 f : X → Rにおいて，X の開集合 U の像 f(U)が開集
合にならない場合もある．例えば，f(x) = x2 で定義される f : R → Rは連続関数だが，開集合 (−1, 1)の像は [0, 1)なので Rの開集合でない．
定理 4.2.3. 【連続関数と閉集合】
関数 f : R → Rに対して，点 a ∈ Rにおいて f が連続⇔ 終域 Rの任意の閉集合 V に対して，f による V の逆像 f−1(V )が Rの閉集合．
練習問題 4.2.1. [0, 1]が開集合でないことを示しなさい．
練習問題 4.2.2. (0, 1)が閉集合でないことを示しなさい．
練習問題 4.2.3. (0, 1]が開集合でも閉集合でもないことを示しなさい．
67
4.3. N 次元ユークリッド幾何学 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
後期第３講
4.3 n次元ユークリッド幾何学
前節までの「１次元の幾何学」から，いよいよ２次元以上の幾何学へ進んで
みよう．この節の目標は，n次元ユークリッド空間 Rnを定義し，Rn上の等
長写像（合同変換）を定義し，（n次元）ユークリッド幾何学を定義すること．
4.3.1 n次元空間とは
もとになる集合は以下の通り．� �定義 4.3.1. 【Rn】
自然数 nに対し，実数の集合Rの n個の直積集合をRnで表す．つまり，
Rn := {(x1, · · · , xn) | xi ∈ R (1 ≤ i ≤ n) }� �ただし，これだけでは，単なる集合であって，幾何学的な意味はない．
そこで，この集合に「距離」の概念を（自然に）導入しよう．
4.3.2 ユークリッド距離
4.1節でみたように，自然な（いままで習って来たような）「合同」という概
念を考えようとすると，その基本となるのは，「２点間の距離」だった．逆に，
第３章で定義した単なる集合 Rに，次のようにして「距離」を定義しよう．� �定義 4.3.2. 【Rの距離】実数の集合 R 内の２点 x と y に対して，x と y との距離 d(1)(x, y) を
|x− y| と定義する．� �注意 4.3.1. つまり，大学での数学においては，「Rが数直線を表す」ことはあたりまえではなく，この定義で初めて意味が与えられると思うことにする．
次は２次元や３次元．高校で教わったことを思い出すと，次のように定義
すれば良いことに気がつくだろう．� �定義 4.3.3. 【R2 における距離】
R2内の２点P (x1, x2)とQ(y1, y2)に対して，P とQとの距離 d(2)(P,Q)
を√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 と定義する．� �
68
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.3. N 次元ユークリッド幾何学
� �定義 4.3.4. 【R3 における距離】
R3 内の２点 P (x1, x2.x3) と Q(y1, y2, y3) に対して，P と Q との距離
d(3)(P,Q)を√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 と定義する．� �
注意 4.3.2. つまり，平面幾何学におけるいわゆる「ピタゴラスの定理（三
平方の定理）」は，この講義では（解析幾何学の立場では），定理ではなく定
義に近い．
さて，これをふまえて，n ≥ 4の場合 を考えてみよう．こうなると，これ
までに学んだ「図形的な直観」には頼れなくなる．．．が，しかし，そこには
深く（哲学的に）悩まないで，以下のように（自然に）定義することにする．� �定義 4.3.5. 【Rn におけるユークリッド距離（Euclidean distance）】
n を自然数とする．Rn 内の２点 P (x1, · · · , xn) と Q(y1, · · · , yn)に対して，P と Q とのユークリッド距離 d(n)(P,Q) を√(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2 と定義する．
正確には，d(n) は，
d(n)((x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn)) :=√
(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2
で決まる関数 d(n) : Rn ×Rn → R のこと．よって，特に d(n)のことを，
（n次元）ユークリッド距離関数ともいう．� �注意 4.3.3. n = 1の場合は，
定義 4.3.2にちゃんと一致する．
注意 4.3.4. 「ユークリッド」とはもちろん紀元前のギリシャのユークリッド
のこと．上のような距離をユークリッド自身が考えた訳ではないけれど，考え
ている空間が，いわゆる数直線や平面の拡張であることから，特にこう呼ぶ．
4.3.3 ユークリッド空間とユークリッド幾何学
以上をあわせて，次のように「n次元の空間」を定義する．� �定義 4.3.6.【n次元ユークリッド空間（n-dimensional Euclidean space）】
集合Rnとユークリッド距離関数 d(n)の組，(Rn, d(n))を，n次元ユーク
リッド空間 という．� �69
4.3. N 次元ユークリッド幾何学 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
注意 4.3.5. 自然数から実数までを定義したのと同様に，単なる集合ではな
く，追加の写像を組にして考えることが重要．「数」のときは，集合と演算．
このような演算を代数構造といったりする．集合と代数構造の組を研究する
のが代数学だとすれば，集合と距離関数などの「幾何的」な構造の組を研究
するのが幾何学だとも言える．
注意 4.3.6. 単純に集合 Rnのことを「ユークリッド空間」といってしまうこ
とも多い．また多くの場合，Rnとかいたら，ユークリッド距離が自然に定義
されているとみなして，Rn をユークリッド空間とよんでいる．
これで準備は終わり．いよいよ（n次元）ユークリッド幾何学を定義しよう．� �定義 4.3.7. 【Rn の等長写像】
n次元ユークリッド空間 (Rn, d(n)) （ただし，d(n) はユークリッド距離
関数）を考える．写像 f : Rn → Rn が
d(n)(x, y) = d(n)(f(x), f(y))
を任意の x, y ∈ Rnに対してみたすとき，f を Rnから Rnへの等長写像
（もしくは合同変換）という．� �注意 4.3.7. 一般に，写像 f : Rn → Rm が
d(n)(x, y) = d(m)(f(x), f(y))
を任意の x, y ∈ Rnに対してみたすとき，f を Rnから Rmへの等長写像とい
う．さらに一般の場合については，（たぶん）最後の節で触れる．� �定義 4.3.8. 【n次元ユークリッド幾何学（n-dimensional Euclidean Ge-
ometry）】
全体の空間として Rn を考えて，その中の図形（要するに部分集合のこ
と）を合同という規準で研究する（つまり，Rnのある等長写像 f が存在
して，f(A) = B となるような二つの図形 Aと B は「同じ」とみなす）
学問を ユークリッド幾何学という．� �注意 4.3.8. 集合 Rn に対して，ユークリッド距離 d(n) ではない距離を考え
ることもできる．詳しくは 4.6節で学ぶ（はず）．
70
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.3. N 次元ユークリッド幾何学
練習問題 4.3.1. 平面 R2 上のユークリッド距離 d(2) が次を満たすことを示
しなさい．
d(2)(P,Q) = 0 ⇒ P = Q
練習問題 4.3.2. R2上の x軸に沿った平行移動は等長写像になることを示し
なさい．
練習問題 4.3.3. F ((x, y)) = xで定義される写像 F : R2 → Rは等長写像でないことを示しなさい．
71
4.4. RN の連続写像 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
後期第４講
4.4 Rnの連続写像
まずは定義 4.1.2の「連続関数」の定義を思い出そう．
この定義を，Rn（n ≥ 2）の写像に拡張するには，どうすれば良いだろうか？
例えば，R2（平面）とした場合，なにが問題となるだろうか．定義 4.1.2を
そのまま適用しようとすると，
|x− a| < δ
のところで，|x− a|が計算できないことに気付く．このとき，|x− a|という値が 幾何学的に 意味しているのは，
数直線上での点 xと点 aの間の距離
だった！
そこで「|x− a| < δ」とするかわりに，「xと aとの距離は δ未満」つまり
「d(2)(x, a) < δ未満」とすれば良さそうだ．．．
ということで，次の定義にたどりつく．� �定義 4.4.1. 【連続写像（continuous map）】
f : Rn → Rm とし，a ∈ Rn とする．このとき，
f が aにおいて連続 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.
d(n)(x, a) < δ ⇒ d(m)(f(x), f(a)) < ε
さらに，∀a ∈ Rn において f が連続であるとき，f は Rn 上で連続，
または，単に，f は連続写像であるという．� �注意 4.4.1. n = m = 1のときは，１次元のときの定義と全く一致．
注意 4.4.2. 高校のときのように，limを使って定義する方法もある．そのた
めには「数列」のかわりに「点列」を考える必要がある．詳しくは，次の章で．
注意 4.4.3. 定義域や値域がRnやRmの部分集合の場合は，次の節で考える．
これで，次のような定義をすることができる．� �定義 4.4.2. 【同相写像（homeomorphism）】
写像 f : Rn → Rnが，同相写像であるとは，f が全単射で連続写像，か
つ，f の逆写像 f−1 も連続写像となること．� �さてここで，１次元のときと同様に，次のような問題を考えてみよう．
72
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.4. RN の連続写像
境界を含む円板（閉円板）{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} と境界を含まない円板（開円板）{(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1} は,
平面 R2 の同相写像で移り合うだろうか？
実は，次のように 1次元の場合と同様に定義をし，連続写像の定義を言い
換えれば，同様の定理を証明することができ，「移り合わない」ということを
証明することができる．� �定義 4.4.3. 【ε-近傍（ε-neighborhood）】
xを Rn 内の点とする．ε > 0に対して，xの（Rn における）ε-近傍と
は，次の集合のこと．
N(x, ε;Rn) = {y ∈ Rn | d(n)(x, y) < ε}� �注意 4.4.4. 境界は含まれないので，より正確に「ε-開近傍」といったり，ま
た３次元のときのイメージで「ε-開球（ε open ball）」というときもある．
注意 4.4.5. N(x, ε;Rn) のセミコロンの後（Rn）は，前後関係から明らかに
わかるときは省略してもよい（するかもしれない）．� �定義 4.4.4. 【連続写像の定義の言い換え】
f : Rn → Rm とし，a ∈ Rn とする．
このとき，
f が aにおいて連続 ⇔∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ N(a, δ) ⇒ f(x) ∈ N(f(a), ε)
さらに，∀a ∈ Rn において f が連続であるとき，f は Rn 上で連続，
または，単に，f は連続写像であるという．� �� �定義 4.4.5. 【開集合（open set）・閉集合（closed set）】
U ⊂ Rn が開集合であるとは，任意の a ∈ U に対して，ある ε > 0が存
在して，N(a, ε) ⊂ U が成り立つこと．
F ⊂ Rn が閉集合であるとは，R− F が開集合であること．� �注意 4.4.6. 任意の x ∈ Rn と ε > 0に対して，N(x, ε;Rn)は開集合．
73
4.4. RN の連続写像 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
定理 4.4.1. 【連続関数と開集合・閉集合】
関数 f : Rn → Rm に対して，f が Rn 上の連続関数
⇔ 終域Rmの任意の開集合 V に対して，f による V の逆像 f−1(V )が
Rn の開集合．
⇔ 終域 Rmの任意の閉集合W に対して，f によるW の逆像 f−1(W )
が Rn の閉集合．
練習問題 4.4.1. f((x, y)) = xで定義される写像 f : R2 → Rが点 (1, 2)にお
いて連続写像であることを示しなさい．
練習問題 4.4.2. f((x, y)) = (2x, 2y)で定義される写像 f : R2 → R2 が原点
(0, 0)において連続写像であることを示しなさい．
練習問題 4.4.3. R2上の x軸に沿った平行移動は同相写像になることを示し
なさい．
練習問題 4.4.4. 開球 {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 < 1}は R3内の開集合で
あることを示しなさい．
練習問題 4.4.5. {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn | xn ≤ 0}は Rn 内の閉集合である
ことを示しなさい．
74
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.5. 部分集合と開集合・閉集合
後期第５講
4.5 部分集合と開集合・閉集合
X,Y ⊂ R を二つの 1 次元の図形とする．ある同相写像 f : R → R s.t.
f(X) = Y となるとき，これらの図形が同相．．．といいたいところだが，こ
の定義を採用すると，直感的に「同じ」図形をちがう図形と見なしてしまう
場合がある．
例えば，[0, 1] ⊂ Rと [0, 1] ⊂ [−1, 3]．Rと [−1, 3]との間には同相写像は
存在しなさそう（ちゃんと証明するのは大変）．しかし，[0, 1]は（直感的に
は）明らかに同じ図形．
そこで二つの図形X と Y について，同相写像 f : X → Y が存在するとき，
X と Y は同相である，と定義しよう．そのためには，f : X → Y が連続写
像であるという定義をきちんとしなくてはならない．
ということで，連続写像の定義（定義 4.4.1）を拡張しよう．� �定義 4.5.1. 【連続写像（continuous map）】
X ⊂ Rn，Y ⊂ Rm，f : X → Y とし，a ∈ X とする．
このとき，f が aにおいて連続である とは，次が成り立つこと．
f が aにおいて連続 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.
d(n)(x, a) < δ （ただし x ∈ X） ⇒ d(m)(f(x), f(a)) < ε
さらに，∀a ∈ X において f が連続であるとき，f はX 上で連続，また
は，単に，f は連続写像であるという．� �注意 4.5.1. 前の定義とほとんど同じように見えるが，感覚的に異なる場合
があることに注意（f(x) = 1x とか（注意 4.1.3参照））．
これでようやく，トポロジーにおける図形の分類の基準（同相）を，きち
んと定義することができる．� �定義 4.5.2. 【同相写像（homeomorphism）】
X ⊂ Rn，Y ⊂ Rm とする．写像 f : X → Y が，同相写像であるとは，
f が全単射で連続写像，かつ，f の逆写像 f−1 も連続写像となること．� �この定義により，例えば，平面上の「⃝」と「△」は同相である，という
ことが，ちゃんと証明できる．
75
4.5. 部分集合と開集合・閉集合 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
一方で，実は非常に大変なことが生じてくる．4.2節で，
「閉区間 [0, 1] と開区間 (0, 1) が, R の同相写像で移り合わない」ことを証明した．これからすぐに，
「閉区間 [0, 1] と開区間 (0, 1) は同相でない」
ことが証明できるだろうか？
とりあえず，同じように証明できるかやってみよう．そのためには，定理
4.2.2 と 4.2.3 ，さらにその拡張である前節の定理 4.4.1 の拡張版をつくる必
要がある．
まず同様に，前節の定義（4.4.3，4.4.4，4.4.5） を拡張してみる．� �定義 4.5.3. 【ε-近傍（ε-neighborhood）】X を Rnの部分集合（つまり
X ⊂ Rn）とし，xを X 内の点とする（つまり，x ∈ X）．与えられた
ε > 0に対して，xのX における ε-近傍とは，次の集合のこと．
N(x, ε;X) = {y ∈ X | d(n)(x, y) < ε}� �注意 4.5.2. つまり，N(x, ε;X) = N(x, ε;Rn) ∩X のこと．� �定義 4.5.4. 【連続写像の定義の言い換え】
X ⊂ Rn，Y ⊂ Rm，f : X → Y とし，a ∈ X とする．
このとき，f が aにおいて連続である とは，次が成り立つこと．
f が aにおいて連続 ⇔∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ N(x, δ;X) ⇒ f(x) ∈ N(f(a), ε;Y )
さらに，∀a ∈ X において f が連続であるとき，f はX 上で連続，また
は，単に，f は連続写像であるという．� �� �定義 4.5.5. 【部分集合の開集合（relative open set）】
X ⊂ Rn かつ Y ⊂ X のとき，Y が X 内で開集合であるとは，任意の
y ∈ Y に対して，ある ε > 0が存在して，N(y, ε;X) ⊂ Y が成り立つ
こと．� �注意 4.5.3. 例えば，任意の x ∈ X ⊂ Rn と ε > 0に対して，N(x, ε;X)は
X の開集合．
� �定義 4.5.6. 【部分集合の閉集合（relative closed set）】
X ⊂ Rnかつ Y ⊂ X のとき，Y がX 内で閉集合であるとは，X − Y が
X の開集合であること．� �76
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.5. 部分集合と開集合・閉集合
注意 4.5.4. 全体集合ではなく，部分集合の開集合である，ことを特に明示
したいときは，「相対開集合」という言い方をする（この「相対」は relative
の訳）．閉集合についても同様．
こうすると，確かに前節の定理 4.4.1 の拡張版が証明できる．
定理 4.5.1. 【連続関数と開集合・閉集合】
X ⊂ Rn，Y ⊂ Rm，関数 f : X → Y に対して，f がX 上の連続関数
⇔ 終域 Y の任意の開集合 V に対して，f による V の逆像 f−1(V )が
X の開集合．
⇔ 終域 Y の任意の閉集合W に対して，f によるW の逆像 f−1(W )
がX の閉集合．
ところが，問題発生．この定理を使って「閉区間 [0, 1] と開区間 (0, 1) は
同相でない」ことを証明しようと思うと．．．
（背理法）X = [0, 1]と Y = (0, 1)が同相だったとしよう．つまり，同相
写像 f : X → Y が存在したとする．もし，
「閉区間 [0, 1] が開集合でない」かつ「開区間 (0, 1) が開集合で
ある」
となれば，f−1(Y ) = X より，定理 4.5.1 に矛盾．しかし，これは正しい
のか？？
次の定理を使ってみると．．
定理 4.5.2. 【部分集合の開集合の特徴付け】
X を Rn の部分集合，V をX の部分集合とするとき，
V がX の開集合 ⇔ ∃V ⊂ Rn s.t. Vは Rn の開集合 かつ V = V ∩X
77
4.5. 部分集合と開集合・閉集合 第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学
練習問題 4.5.1. X = {x ∈ R | x > 0} ⊂ Rとする．f(x) = (x, |x|x )で決まる
写像 f : X → R2 は連続写像であることを示しなさい．
（Hint: まずは写像 f のグラフを図示してみよう）
練習問題 4.5.2. X = [0, 1] ⊂ R，Y = {(x, y) | y = x, 0 ≤ x ≤ 1} ⊂ R2とす
る．X と Y は同相であることを示しなさい．
（Hint: f(x) = (x, x)で決まる写像 f : X → Y を考える）
練習問題 4.5.3. X = [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2とする．N((0, 0), 1;X)を図示しな
さい．
練習問題 4.5.4. X = [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2，Y = X − (0, 0) ⊂ X とする．Y が
X 内で開集合であることを示しなさい．
78
第 4. ユークリッド幾何学と位相幾何学 4.5. 部分集合と開集合・閉集合
【余談】トポロジーと位置と形
もうちょっと複雑な例．平面上の単位円周と，３次元空間内の結び目とか．
これは図形としては「同じ」ように思えるが，空間への入り方が違うことに
よる．そのような分類基準を採用すれば，また違う幾何学ができて面白いが，
一般的な位相幾何学では，それらは「同じ」図形だと見なしたい．
図 4.1: 結び目
結び目理論
79
81
第5章 コンパクト空間
この章の目的は「[0, 1]と (0, 1)は同相でない」ことを示すことです．その
ために「閉集合」がもつ特徴的な性質を調べます．そして，そのような性質
を抽出した性質「コンパクト性」を定義し，連続写像によってコンパクト性
が保たれることを示します．
前章で，連続写像による開集合（閉集合）の逆像は開集合（閉集合）とな
ることを示しました．しかし，例えば閉区間 [0, 1]を，R内で考えれば開集合でないことが示せますが，実は部分集合としてでなく考えれば開集合になり
ます（全体集合は常に開集合かつ閉集合です）．
これは部分集合としては「閉集合は開集合の補集合」として定義されてい
て，外の集合（補集合）を使って定義されているためだと思うことができます．
そこで，補集合を使わずに，閉集合の特徴付けを考える，というのが，こ
の章の目的なのです．
5.1. 数列と点列 第 5. コンパクト空間
後期第６講
5.1 数列と点列
まず，閉集合の特徴付けを考える為に，数列とその高次元化である点列に
ついて考えてみよう．
5.1.1 数列� �定義 5.1.1. 【数列（sequence）】
自然数の集合 Nから Rへの写像 x : N → Rが与えられたとき，i ∈ Nの像 x(i)を xi と表し，像の集合 {xi ∈ R | i ∈ N}を数列という．この集合を，記号を省略した形で，{xi}や {xi}i∈N や {xi}∞i=1 などで表す．� �� �定義 5.1.2. 【数列の収束（convergence）】
R内の数列 {xn}∞n=1が実数 α ∈ Rに収束するとは，次が成り立つこと：
∀ε > 0に対して ∃N ∈ N s.t. n > N ならば |xn − α| < ε
このとき， limn→∞
xn = α もしくは xn → α（n → ∞）などと表す．
言い換えると
limn→∞
xn = α ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N s.t. n > N ならば xn ∈ N(α, ε)� �定理 5.1.1. 【関数の連続性と数列の収束】
X ⊂ R，f : X → Rとし，a ∈ X とする．
このとき「f が aにおいて連続である」ための必要十分条件は，
aに収束する任意の数列 {xi} ∈ X に対して limi→∞
f(xi) = f(a)
定理 5.1.2. 【閉集合と数列の収束】
F を Rの閉集合とし，F 内の数列 {xn}を考える．このとき，{xn}がR内で実数 αに収束する（つまり xn → α (n → ∞)）ならば α ∈ F．
注意 5.1.1. 開集合はこの性質を持たない．つまり，これも「閉集合の特徴
付け」になっている．しかし「{xn}が R内で実数 αに収束する」という条
件は，「R内で」という条件があるので，やっぱり全空間を使っている（全空間があることを仮定している）．例えばこの条件をはずすと，開集合でも自
明に成り立ってしまう．
82
第 5. コンパクト空間 5.1. 数列と点列
5.1.2 数列からRn内の点列へ� �定義 5.1.3. 【点列（sequence）】
自然数の集合 Nから Rn への写像 P : N → Rn が与えられたとする．
このとき，i ∈ Nの像 P (i)を Piと表し，像の集合 {Pi ∈ Rn | i ∈ N}を点列という．� �� �定義 5.1.4. 【点列の収束（convergence）】
Rn内の点列 {Pn}∞n=1が点A ∈ Rnに収束するとは，次が成り立つこと：
∀ε > 0に対して ∃N ∈ N s.t. n > N ならば d(n)(Pn, A) < ε
このとき， limn→∞
Pn = A もしくは Pn → A（n → ∞）などと表す．
言い換えると
limn→∞
Pn = A ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N s.t. n > N ならば Pn ∈ N(A, ε)� �定理 5.1.3. 【写像の連続性と点列の収束】
X ⊂ Rn，Y ⊂ Rm，f : X → Y とし，A ∈ X とする．
このとき「f が Aにおいて連続である」ための必要十分条件は，
Aに収束する任意の点列 {Pi} ∈ X に対して limi→∞
f(Pi) = f(A)
定理 5.1.4. 【閉集合と点列の収束】
Rn 内の閉集合 F 内の数列 {Pn}を考える（つまり Pn ∈ F（∀n））．このとき，{Pn}がRn内で点Aに収束する（つまりPn → A (n → ∞)）
ならば A ∈ F．
練習問題 5.1.1. limn→∞
(1
n,1
n
)= (0, 0)を証明しなさい．
83
5.2. 点列コンパクト 第 5. コンパクト空間
後期第７講
5.2 点列コンパクト
ここでは，閉集合の特徴付けとして「コンパクト性」を定義しよう．
その前にひとつだけ準備．� �定義 5.2.1. 【部分点列（subsequence）】
Rn内の点列 {Pi}が与えられたとき，{Pi}から並びの順番を変えずに要素を抜き出してつくった無限に続く点列を，{Pi}の 部分列 という．たとえば，写像 i : N → Nが，i(1) < i(2) < · · · < i(k) < · · · をみたすとき，{Pi(k)} ⊂ {Pi}は，{Pi}の部分列になる．� �
注意 5.2.1. つまり元の点列と比べて，順番をとばすのはいいが，ひっくり
返してはいけないということ．
さていよいよ「コンパクト性」を定義しよう．� �定義 5.2.2. 【点列コンパクト（sequencial compact）】
集合X ⊂ Rnが次の性質をもつとき，Xは点列コンパクトであるという．
X内の任意の点列 {Pi}に対して，ある部分列 {Pi(k)} ⊂ {Pi}と点 A ∈ X が存在して，{Pi(k)}は Aに収束する� �
例 5.2.1. [0, 1]は点列コンパクト．(0, 1)は点列コンパクトでない．Rも点列コンパクトでない．
そして，次が成り立つ．
定理 5.2.1. 【コンパクト閉集合と点列（Heine-Borel の定理， 1895）】
Rn の部分集合X が Rn 内で有界閉集合⇔ X は点列コンパクト
84
第 5. コンパクト空間 5.2. 点列コンパクト
次は⇐ を証明する為の補題．
定理 5.2.2. 【点列の収束と有界性】
収束する点列は有界である．つまり，点列 {Pn}がある点に収束するとき，集合 {Pn | n ∈ N}は Rn の中で有界集合．
定理 5.2.3. 【部分点列の収束】
Rn内の点列 {Pi}が点Aに収束するとき，任意の部分列 {Pi(k)} ⊂ {Pi}も Aに収束する．
最後に次の定理が成り立つ．
定理 5.2.4. 【連続写像とコンパクト】
X ⊂ Rn とし，f : X → Rm を連続写像とする．
このとき，X が点列コンパクトならば，
f によるX の像 f(X) = {f(x) ∈ Rm | x ∈ X}も点列コンパクト．
注意 5.2.2. 残念ながら，逆は成り立たない．（y = sinxとか）
この定理から，[0, 1]と (0, 1)が同相でないことが（ようやく）証明できる．
練習問題 5.2.1. X = {1, 2, 3}が点列コンパクトであることを示しなさい．
練習問題 5.2.2. {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}が点列コンパクトであることを示しなさい．
（Hint: 定理 5.2.4を使って良い）
練習問題 5.2.3. (0, 1]× [0, 1]が点列コンパクトでないことを示しなさい．
85
5.2. 点列コンパクト 第 5. コンパクト空間
【余談】どうしてコンパクトなんて考えるの？
ハイネ–ボレルの被覆定理の歴史的背景：
The history of what today is called the Heine-Borel theorem starts in the
19th century, with the search for solid foundations of real analysis. Central
to the theory was the concept of uniform continuity and the theorem stating
that every continuous function on a closed interval is uniformly continuous.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet was the first to prove this and implicitly
he used the existence of a finite subcover of a given open cover of a closed
interval in his proof. He used this proof in his 1862 lectures, which were
published only in 1904. Later Eduard Heine, Karl Weierstrass and Salvatore
Pincherle used similar techniques. Emile Borel in 1895 was the first to
state and prove a form of what is now called the Heine-Borel theorem.
His formulation was restricted to countable covers. Pierre Cousin (1895),
Lebesgue (1898) and Schoenflies (1900) generalized it to arbitrary covers.
英語版「Wikpedia」http://en.wikipedia.org/wiki/Heine–Borel theorem
86
87
第6章 連結性と弧状連結性
この章の目的は，次の問題を考えることです．
Q1. [0, 1]と [0, 1] ∪ [2, 3]は同相か？
Q2. (0, 1)と (0, 1]は同相か？
Q3. Rと R2 は同相か？
そのために，図形の「連結性」を使います．Q1. で考えている二つの図形
はあきらかに同じ（同相）とは思えないでしょう．その理由は，直感的には，
[0, 1]はあきらかに「つながっている」けれども，[0, 1] ∪ [2, 3]はあきらかに
「二つの部分にわかれている」からです．まず，このことを正確に示すために
「連結性」を定義し，その性質が連続写像で保たれることを示します．実はこ
のことを使うと，Q2. も証明できてしまいます．
一方で，図形が連結であることを証明するのは，（たとえば [0, 1]であって
も）意外と大変です．そこで，より簡単に証明できる「弧状連結性」という
概念を導入します．すると，一般に「弧状連結⇒連結」が成り立つことがわかり，たとえば Rn が連結であることを（比較的簡単に）証明することがで
きます．さらに「弧状連結性」を使って Q3. を解いていきます．
6.1. 連結性 第 6. 連結性と弧状連結性
後期第８講
6.1 連結性
6.1.1 連結とは� �定義 6.1.1. 【連結（connected】
X を Rn の部分集合とする．次の条件を満たすX の開集合の組 {A,B}が存在するとき，X は 連結でない という．
(1) X = A ∪B
(2) A ∩B = ∅
(3) A = ∅ かつ B = ∅� �注意 6.1.1. 対偶をとると
「X が連結 ⇔ 上の条件をみたすようなX の開集合の組は存在しない」．
例 6.1.1. {0, 1}は連結でない．{0} は連結．[0, 1]は連結．
定理 6.1.1. 【区間の連結性】
X を Rの部分集合とする．このとき， X が連結 ⇔ X は区間
つまり，X は [a, b], (a, b], [a, b), (a, b)のいずれか
（ただし，a, b は実数か∞か −∞）．
6.1.2 連続写像と連結性
定理 6.1.2. 【連続写像と連結性】
X ⊂ Rn とし，f : X → Rm を連続写像とする．
X が連結ならば，f による像 f(X) = {f(x) ∈ Rm | x ∈ X}も連結．
定理 6.1.3. 【閉区間と半開区間】(0, 1)と (0, 1]は同相ではない．
証明には「連続写像の制限写像は連続」を使う。
練習問題 6.1.1. X = {1, 2, 3}が連結でないことを示しなさい．
練習問題 6.1.2. {0} ⊂ Rが連結であることを示しなさい．
練習問題 6.1.3. Rが連結であることを示しなさい．
88
第 6. 連結性と弧状連結性 6.2. 連結性とその応用
後期第９講
6.2 連結性とその応用
6.2.1 連結性と部分集合
定理 6.2.1. 【連結性と部分集合】
Rn の部分集合X が連結 ⇔ ∀a, b ∈ X に対して，{a, b} ⊂ C をみたす
連結な部分集合 C ⊂ X が存在
定理 6.2.2. 【Rn の連結性】
任意の自然数 nについて Rn は連結．
6.2.2 連結性の応用
定理 6.2.3. 【中間値の定理】
X ⊂ Rn を連結な部分集合とし，f : X → Rm を連続写像とする．
f(P ) < f(Q)となる P,Q ∈ X がとれたとき，f(P ) ≤ y ≤ f(Q)とな
る任意の y ∈ Rに対して，ある x ∈ X が存在して y = f(x) が成り
立つ．
6.3 弧状連結性
6.3.1 弧状連結とは� �定義 6.3.1. 【道（path）】
XをRnの部分集合とするとき，連続写像 γ : [0, 1] → Xを，X上の道と
いう．また，γ(0)を道 γ の始点，γ(1)を道 γ の終点 という．� �� �定義 6.3.2. 【弧状連結（path connected）】
X を Rn の部分集合とする．
X が 弧状連結⇔ X 内の任意の２点 P と Qに対して，
P を始点とし Qを終点とする道が存在．
正確には，ある連続写像 γ : [0, 1] → X が存在して，γ(0) = P かつ
γ(1) = Qをみたすということ．
つまり，X 内の任意の２点を道でつなげられるということ．� �例 6.3.1. R内の任意の区間は弧状連結．一方，[−1, 1]−{0} = [−1, 0)∪ (0, 1]
は弧状連結でない．
89
6.3. 弧状連結性 第 6. 連結性と弧状連結性
定理 6.3.1. 【連続写像と弧状連結性】
X ⊂ Rn とし，f : X → Rm を連続写像とする．
このとき，X が弧状連結ならば，
f によるX の像 f(X) = {f(x) ∈ Rm | x ∈ X}も弧状連結．
定理 6.3.2. 【弧状連結ならば連結】
X を Rn を部分集合とするとき，X が弧状連結ならば，X は連結．
注意 6.3.1. n = 1の場合，つまり，Rの部分集合については，次が成立．
注意 6.3.2. n ≥ 2の場合，一般には逆は成り立たない．
（例えば，X = {(x, sin 1x ) | x ∈ [0, 1]} ∪ {(0, y) | y ∈ [−1, 1]} ）
練習問題 6.3.1. R2 が連結であることを示しなさい．
練習問題 6.3.2. Rが弧状連結であることを定義に従って証明しなさい．
練習問題 6.3.3. {0, 1}が弧状連結でないことを証明しなさい．（中間値の定理は使って良い）
90
第 6. 連結性と弧状連結性 6.3. 弧状連結性
後期第１０講
6.3.2 道の接合� �定義 6.3.3. 【道の接合】
X を Rn の部分集合とし，γ と γ′ をX 内の２つの道とする．
γ(1) = γ′(0)となっているとき，次で定義される写像 γγ′ : [0, 1] → X を
考える．
γγ′(t) :=
γ(2t) 0 ≤ t ≤ 12
γ′(2t− 1) 12 ≤ t ≤ 1
このとき，実は γγ′ は連続写像になっていて，γ(0)を始点とし γ′(1)を
終点とするX 内の道になっている．
この道 γγ′ を，γ と γ′ の接合という．
� �注意 6.3.3. γγ′ とかいても，これは写像の合成ではない．
定理 6.3.3. 【開集合の弧状連結性と連結性】
XをRnを部分集合とする．Xが開集合かつ連結ならば，Xは弧状連結．
91
6.4. 弧状連結成分 第 6. 連結性と弧状連結性
後期第１１講
6.4 弧状連結成分
弧状連結性を使うと次が証明できる．
定理 6.4.1. Rと R2 は同相でない．
注意 6.4.1. 前期の最後に示したように，R → R2という 全単射は存在 する
（Cantor）．つまり，この定理は「連続」ということが本質的に意味があるこ
とを示している．
同様にすれば，例えば [0, 1]と [0, 1]∪ [2, 3]が同相でないことがいえる（も
ちろん一般に逆は言えない）．
では，[0, 1]∪ [2, 3]と [0, 1]∪ [2, 3]∪ [4, 5]が同相でないことは，どのように
示したら良いだろうか（上と同様に，では少しうまくいかなそう）。
ということで，次のようなことを考えてみる。
定理 6.4.2. 【弧状連結性と同値関係】
X ⊂ Rn とする．X 内の２点 P と Qについて，
P ∼ Q ⇔ P を始点とし Qを終点とするX 内の道が存在
とすると，∼はX 内の点と点との同値関係を与える．
� �定義 6.4.1. 【弧状連結成分（path connected component）】
Rn の部分集合 X において，定理 6.4.2 で決まった同値関係に関する
P ∈ X の同値類を，P を含む X の弧状連結成分 という．
つまり，P を含むX の弧状連結成分とは，次の集合のこと
{Q ∈ X | P を始点とし Qを終点とするX 内の道が存在 } ⊂ X� �注意 6.4.2. Rn の部分集合 X が弧状連結であるための必要十分条件は，X
の弧状連結成分はただひとつであること．
定理 6.4.3. 【同相写像と弧状連結成分の個数】
Rn の部分集合 X と Y について，X と Y が同相ならば，X の弧状連
結成分の個数と Y の弧状連結成分の個数は等しい．
これでようやく，[0, 1]∪ [2, 3]と [0, 1]∪ [2, 3]∪ [4, 5]が同相でないことが示
せる。
92
第 6. 連結性と弧状連結性 6.4. 弧状連結成分
練習問題 6.4.1. 定理 6.4.1で定義した関係 ∼が同値関係であることを示しなさい（つまり，定理 6.4.1を証明しなさい）．
練習問題 6.4.2. R − {0} の弧状連結成分が２個であることを示しなさい．（Hint: R− {0} = {x ∈ R | x > 0} ∪ {x′ ∈ R | x′ < 0}なので，
(1) {x ∈ R | x > 0} が弧状連結であること(2) {x′ ∈ R | x′ < 0} が弧状連結であること(3) {x ∈ R | x > 0}の点と {x′ ∈ R | x′ < 0}の点を結ぶ道がないことを示せば良い．
（Hint の Hint: (1) ができれば (2) は「同様に示せる」で OK．））
練習問題 6.4.3. 弧状連結成分の数は等しいが同相でないR2の２つの部分集
合の例を挙げなさい．
93
95
第7章 距離空間と位相空間
これまでは全てユークリッド空間内の図形（部分集合）について考えてき
ました．
ここでは，その一般化がどこまで可能なのか，を考えてみたいと思います．
言い換えれば，図形をできるかぎり抽象的に考えてみようということです．
第５～７章で学んできたことを，Rn内の部分集合だけでなく，より一般の
集合に拡張するのに，最低限必要な「もの」はなんでしょうか？
7.1. 距離空間 第 7. 距離空間と位相空間
後期第１２講
7.1 距離空間
定理 7.1.1. 【距離の性質】
∀P,Q,R ∈ Rn に対して，次が成立．
(1) d(n)(P,Q) ≥ 0 かつ d(n)(P,Q) = 0ならば P = Q
(2) d(n)(P,Q) = d(n)(Q,P )
(3) d(n)(P,Q) + d(n)(Q,R) = d(n)(P,R) （三角不等式）
� �定義 7.1.1. 【距離関数（distance function）】
X を任意の集合とする．上の定理の３つの性質を満たすような関数X ×X → R を，集合X 上の距離関数 という．� �
例 7.1.1. 例えば R2 上で，2 点 P = (x1, y1)と Q = (x2, y2) に対して
dM (P,Q) = |x1 − x2|+ |y1 − y2|
によって決まる関数 dM : R2 × R2 → R は距離関数になる．この距離関数をマンハッタン距離関数 という．（ニューヨークのマンハッタン島はいわゆる碁
盤状に道路が走っているので．日本だったら京都距離関数？）．
� �定義 7.1.2. 【距離空間（metric space）】
集合Xに，X上の距離関数 d : X×X → Rが与えられたとき，組 (X, d)
を距離空間という．� �例 7.1.2. R2 とマンハッタン距離関数 dM の組 (R2, dM ) で距離空間がひ
とつ決まる．この距離空間で考える幾何学を「タクシーの幾何学（Taxicab
Geometry）」といったりする．
練習問題 7.1.1. d(3) が R3 上の距離関数になることを示しなさい．
練習問題 7.1.2. dM が R2 上の距離関数になることを示しなさい．
96
第 7. 距離空間と位相空間 7.2. 位相空間
後期第１３講
7.2 位相空間
定理 7.2.1. 【開集合の性質】
Rn の開集合に対して，次が成立．
(1) ∅と Rn 自身は開集合．
(2) {Oλ}λ∈Λ を Rn の開集合の族とすると，∪
λ∈Λ Oλ も開集合．
(3) O1, · · · , On ⊂ Rn を開集合とすると，O1 ∩ · · · ∩On も開集合．
注意 7.2.1. 和集合に関しては無限個でも良いが，共通部分に関しては有限
個でないとダメ．無限個の共通部分を考えると成り立たない場合があるから．
例えば{ (
− 1n ,
1n
) }n∈N とか．
� �定義 7.2.1. 【開集合系（open sets）】
X を任意の集合とする．
上の定理の３つの性質を満たすような X の部分集合の族 {Oλ}λ∈Λ を，
集合X の開集合系 という．� �� �定義 7.2.2. 【位相空間（topological space）】
集合Xに，Xの開集合系 {Oλ}λ∈Λが与えられたとき，組 (X, {Oλ}λ∈Λ)
を位相空間という．� �練習問題 7.2.1. X := {1, 2, 3, 4}とし，O = {∅, {1}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, X}とすると，(X,O)は位相空間になることを示しなさい．
（Hint: Oが開集合系になること，つまり，Oが定理 7.2.1の条件 (1)，(2)，
(3) をみたすことを示せば良い）
練習問題 7.2.2. X を任意の集合とし，O1 = {∅, X} とすると，(X,O1)は
位相空間になることを示しなさい．（このような位相空間を 密着位相空間と
いう）
練習問題 7.2.3. X を任意の集合とし，O2 = 2X とすると，(X,O2)は位相
空間になることを示しなさい．（このような位相空間を離散位相空間という）
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7.3. 被覆コンパクト 第 7. 距離空間と位相空間
7.3 被覆コンパクト� �定義 7.3.1. 【開被覆（open coverings）】
集合 X ⊂ Rn の開集合族 {Uλ}λ∈Λ （つまり各 Uλ は X の開集合）が，
X =∪
λ∈Λ Uλ をみたすとき，{Uλ}λ∈Λ を X の 開被覆 という．� �� �定義 7.3.2. 【被覆コンパクト（covering compact）】
集合X ⊂ Rn が 被覆コンパクト
⇔ X の任意の開被覆が有限部分開被覆をもつ．
つまり，Xの任意の開被覆 {Uλ}λ∈Λ が与えられたとき，ラベル集合 Λの
中から有限個の要素 λ1, · · · , λmをうまく選べばX = Uλ1∪Uλ2∪· · ·∪Uλm
とできるということ．� �注意 7.3.1. 普通は「被覆コンパクト」の方を，単に「コンパクト」という．
実際は，あとでみるように「被覆コンパクト⇔点列コンパクト」が成り立つ．
注意 7.3.2. 有限個の開集合で覆われるからといって被覆コンパクトとは限
らない．例えば，(0, 1)．
定理 7.3.1. 【閉区間は被覆コンパクト】
[0, 1] ⊂ Rは被覆コンパクト．
例 7.3.1. 有限個の点の集合は被覆コンパクト．(0, 1)は被覆コンパクトでな
い．Rも被覆コンパクトでない．
定理 7.3.2. 【コンパクト性】
Rn の部分集合X が被覆コンパクト⇔ X は点列コンパクト
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