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電気回路学の復習（１）
2019.4.8
担当教官 山尾 泰
禁無断複製
回路システム学第二 2019@ YYamao
回路システム学第二 2019@ YYamao
例題1.（回路方程式）
図1の回路において，端子電圧 v (t) に成り立つ回路方程式を立てよ．また R,C,Lが以下の値をとる場合の式を求めよ
図１
1
e(t) = A sin ωt [V],
R = 1[Ω],
C = 0.5[F],
L = 1[H],
回路システム学第二 2019@ YYamao
： 集中定数回路
ヒント；理解の“コツ”＝システム分析
＜４つの要点＞
要素
システム
関係
重要度
： 回路素子（抵抗、コンデンサ、
コイル、電圧源）
： 接続情報（結線情報）
： ドミナント（支配的）な要素と関係
回路方程式
2
回路システム学第二 2019@ YYamao
回路方程式とは？
（１）回路素子の電圧ー電流の関係式
R
tvtior
)()( =
（オームの法則）
dt
tdvCtior
)()( =
dt
tdiLtv
)()( =
抵抗R
ｺﾝﾃﾞﾝｻC
ｺｲﾙL
)()( tRitv =
=t
tdtti
Ctv
0
)(1
)(
=t
tdttv
Ltior
0
)(1
)(
3
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回路方程式とは？
（２）回路網の電圧、電流の法則
（２ー２）キルヒホッフの電圧法則(KVL)v1 v3
v2
任意の閉路に沿った枝電圧の総和は“０”
=
=m
tv1
0)(
（２ー１）キルヒホッフの電流法則(KCL)
任意の節点を出る枝電流の総和は“０”
=
=m
ti1
0)(
i1
i2i3
（節点方程式）
（閉路方程式）
4
KVL
iR
iC
KCL
iLvR
v
KCL
KVL 0)()()( =++− tvtvte R
0)()()( =++− tititi LCR
RtitiRtitv LCRR ))()(()()( +==
)()()( tvtetv R−=
RdttvLdt
tdvC
t
t))(
1)((
0+=
5
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RdttvLdt
tdvCtetv
t
t))(
1)(()()(
0+−=
（続き）
微分と積分が混在しているので、両式を微分して（t）を省略すると
vL
R
dt
vdRC
dt
de
dt
dv−−=
2
2
vdt
vd
dt
tAd
dt
dv−−=
2
2
5.0)sin(
これで変数は v のみとなったので、素子定数 R, C, L と電圧源関数 e を入れると
これを微分次数順に整理すると
tAvdt
dv
dt
vd cos222
2
2
=++
正 解6
回路システム学第二 2019@ YYamao
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回路の正弦波定常解
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回路に交流電圧入力（e(t) = Asin ωt ）が印加されてから時間が十分に経過した定常状態で回路に流れる電流は
同じ角周波数ωの交流信号となる
( ) ( ) +=+= tItIti mm cossin)( Im : 振幅
( ) ( ) )(ReRecos)( tIeItIti tj
mm ==+= +
交流の複素数表示を用いると
I (t): 複素表示電流
Re ReI
Idt idtj
= =
Ijdt
dI= =
j
IIdt
Re RedI di
j Idt dt
= =
微分方程式において微分演算は を， 積分演算は を乗ずることを意味する
jj
1
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回路方程式の正弦波定常解
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RdttvLdt
tdvCtetv
t
t))(
1)(()()(
0+−= において、
に書き直すことでを複素数表示
と書き直し、をを
VEtvte
jdtj
dt
d
,)(),(
1,
RLj
VCVjEV )(
+−=
を得る。これから
ELCRLR
LjCRLRLjE
LjCRLR
LjV
2222
2
2 )(
)(
+−
−−=
+−=
回路方程式
回路素子の交流インピーダンスCj
LjR
1
,,
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複素インピーダ
ンス表示
（V,Ⅰは複素記号）
基本表示
記号
キャパシタインダクタ抵抗受動素子
Riv =dt
diLv = = idt
Cv
1
V RI= V j LI=1
V Ij C
=
i i i
v vv
R L C
9
回路素子のインピーダンス表示
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フェーザ（Phasor）とは、交流解析において、正弦波の実効値振幅と位相を複素ベクトル表示したもの
フェーザについて
]V[2
AEe =正弦波の電圧の実効値
正弦波を印加した抵抗の発熱が直流による発熱と同じになるように換算したもの
正弦波の電圧 ]V[)sin()( += tAtv A: 振幅
)sin(2)( += tEtv e実効値表示；
10
（続き）
( ) ]2Im[]2Im[)( tjj
e
tj
e eeEeEtv == +
電圧フェーザ E同様に電流についても
( ) ( ) ]2Im[]2Im[)( tjj
e
tj
e eeIeIti −−+ ==
電流フェーザ I
正弦波の電圧 v(t)は複素数の虚部表示 Im[z] により
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+= tx とおけば
オイラーの公式； を用いてxjx sincos +=jxe
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( )2
0 0 0 0 0 0
0
2cos 2 cos cos cos
2 2 2 2
T
v i v i v it dt
T = + + = =
瞬時電力と平均消費電力
12
( ) ( )0 cosv t v t= ( ) ( )0 cosi t i t = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 cos cos cos 2 cos
2
v ip v t i t v i t t t = = + = + +
2
0
2
T
LP pdtT
=
瞬時電力
平均消費電力 周波数は2倍
位相差
0
2m
vv= 0
2m
ii=実効値電圧 cosL m mP v i =実効値電流
平均すると0
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電流と電圧が同相の場合
瞬時電力と平均消費電力（1）
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Time (sec)
0 2 4 6 8 10-4
-2
0
2
4
6
8
Time (sec)Time (sec)Time (sec)
p
v
i
平均電力
瞬時電力
T
T/2
電圧、電流の周期
瞬時電力の周期
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電流と電圧に位相差がある場合
瞬時電力と平均消費電力（2）
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Time (sec)
0 2 4 6 8 10-4
-2
0
2
4
6
8
Time (sec)Time (sec)Time (sec)
p
v i 平均電力
消費
発電
T
T/2
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平均消費電力のフェーザ表現
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j t
mV v e = ( )j t
mI i e +
=
( )j tj t j
m m m mVI v e i e v i e − + −= =
( )j tj t j
m m m mV I v e i e v i e + −= =
0
mV v e=
j
mI i e =
j
m mVI v i e −=
j
m mV I v i e =
j te の省略形
( )1
cos2
m m LV I VI v i P + = =
( )Re cosm m LV I v i P = =
( )Re cosm m LVI v i P = =
いずれも PLに等しい
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回路システム学演習（１）
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例題２ 負荷回路で消費される平均電力を求めよ
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R
L
CV
I
負荷回路
交流電圧フェーザ を V, 電流フェーザ を I とする
（1） 負荷回路の交流インピーダンス Z を求めよ
（２） 負荷回路で消費される平均電力 Pを Vまたは I の関数として求めよ
